第六章 fx定积分

5
x
x
0 x
10-12学时 学时
′( x )与x 2为等价无穷小，求 f ′′(0). 为等价无穷小， 当x → 0时， F
F ( x) = ∫
x
0
( x − t ) f ′′( t )dt = x
2 2 x 2 0
2
∫
x
0
′′( t )dt − ∫ t 2 f ′′( t )dt f
0
2
x
F ′(x ) = 2 x ∫ f ′′(t )dt + x f ′′( x) − x f ′′( x) = 2 x ∫0 f ′′( t )dt ,
第六章 定积分
x lim
x →0
2
∫
x
0
f ( t )dt
3 f ( x ) + xf ′( x ) 2 f ( x ) + f ( x ) + xf ′( x ) = lim = lim 2 x →0 x →0 ′( x 2 ) 4 xf 2 f ′( x ) ⋅ 2 x f ( x) f ( x) 3 + f ′( x ) lim = f ′(0) 3+1 x = lim = 1. x→0 x = x →0 ′( x 2 ) 4f 4
x
2 x ∫ f ′′( t )dt 2∫ f ′′( t )dt F ′( x ) 0 lim 2 = lim = lim 0 2 x →0 x →0 x →0 x x x 1 1 = lim 2 f ′′( x ) = 1 ⇒ lim f ′′( x ) = , f ′′(0) = . x →0 x →0 2 2
x →0
10-12学时 学时 x tf ( x 2 − t 2 )dt ∫
0 − x2
1 x ∫0 tf ( x − t )dt = − 2 ∫0 u 1 0 1 x2 = − ∫ 2 f ( u)du = ∫ f ( u)du, 2 x 2 0 1 1 x2 x 2 2 f ( x2 ) ⋅ 2 x tf ( x − t )dt ∫ 0 f (u)du ∫0 lim = lim 2 − x2 = lim 2 − x2 − x2 x→0 x →0 x →0 1− e − e ⋅ (−2 x) 1− e
c c
1
1 dx t = 3 x. 1. ∫0 3 1+ x 2 x ln x dx 2. ∫ 1 2 2 ( x + 2) 1 2 ln x 1 2 1 2 = ∫ d ( x + 2) = − ∫ ln xd ( 2 ). 2 2 2 1 ( x + 2) 2 1 x +2
1
第六章 定积分
10-12学时 学时
2 2
1− e f ( x 2 − t 2 )d ( x 2 − t 2 )
.
1 e 2 f ( x ) = f (0) = 1. = lim x→ 0 2 → 2
x2
3
6.
10-12学时 学时 x 2 x ∫ f ( t )dt f ′( x ) 连续，f (0) = 0，f ′(0) = 1，求 lim x 20 连续， . x →0 ∫ f (t )dt
4
∫
x2
= lim lim
22 ∫ f ( tt))dt + xxff ( x )) x∫ dt +
2 0 0
x x
0
0
f ( t )dt
x→ x → 00 x→
2 xf ( x )) 2f x
22
第六章 定积分 7.
设 F ( x ) = ∫ ( x 2 − t 2 ) f ′′( t )dt ，
b
∫
b(x) (x
a
f (t )dt f [b( x)]b′( x) ]′ =
A = ∫ [ϕ 1 ( y ) − ϕ 2 ( y )]dy
c d
5. A = ∫a [ f1( x) − f2( x)]dx
b 2 b 2
d 2 d
6. Vx = ∫a π y dx = ∫a π f ( x)dx
Vy = ∫ π x dy = ∫ πϕ2 ( y)dy
[ ∫ f ( t )dt 2 xf ( x 2 ). ]′ = 3. a
x2
]′ = 4. [ ∫ 0 x f ( t )dt [ x
2
x
2
∫
x 0
f ( t )dt ]′
2
= 2 x ∫ f ( t )dt + x f ( x ).
2 0
x
第六章 定积分 5.
x
பைடு நூலகம்
连续， 设 f ( x ) 连续， f (0) = 2，求 lim
第六章 定积分 1. 2. 3.
b b a a
10-12学时 学时
= ∫ f ( x)dx = F( x) F(b) − F(a) b β ∫a f ( x)dx = ∫α f [ϕ(t)]ϕ′(t)dt
∫
b a
udv = ( uv ) a − ∫ vdu
b a
b
4. [ ∫ a
x
f ( t )dt = f ( x ), [ ]′