第六章 fx定积分
定积分知识点总结数学
定积分知识点总结数学一、定积分的定义1. 定积分的概念定积分是微积分中的一个重要概念，它是对函数在一个区间上的积分进行定义的一种方法。
定积分可以表示函数在一个区间上的“累积效果”，即函数在该区间上的总体积或总面积。
2. 定积分的符号表示定积分可以用符号∫ 来表示，即∫f(x)dx，其中f(x)是要积分的函数，dx表示自变量x的微元。
3. 定积分的定义设函数f(x)在区间[a, b]上连续，将区间[a, b]等分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx，取每个小区间上任意一点ξi，计算出函数在每个小区间上的面积，然后将所有小区间上的面积相加，得到一个近似值。
当n趋于无穷大时，这个近似值趋于一个确定的值，称为定积分，记作∫a到b f(x)dx。
4. 定积分的几何意义定积分的几何意义是函数f(x)在区间[a, b]上的图像和坐标轴之间的面积，当函数为正值时，定积分表示曲线下面积；当函数为负值时，定积分表示曲线上面积减去曲线下面积。
二、定积分的性质1. 定积分的存在性定积分的存在性是指对于一个函数在一个区间上的定积分是否存在，存在的充分必要条件是函数在该区间上连续。
2. 定积分的线性性定积分具有线性性质，即若f(x)和g(x)在区间[a, b]上可积，c和d为常数，则有∫a到b(c*f(x)+d*g(x))dx=c*∫a到b f(x)dx+d*∫a到b g(x)dx。
3. 定积分的区间可加性若函数f(x)在区间[a, b]、[b, c]上都可积，则有∫a到c f(x)dx=∫a到b f(x)dx+∫b到c f(x)dx。
4. 定积分的不变性对于函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，若将区间[a, b]内的点重新排列，定积分的结果不会受到影响。
5. 定积分的估值通过使用上下和左右长方形法、梯形法等方法，可以对定积分进行估值，获得定积分的近似值。
三、定积分的计算1. 定积分的基本计算方法定积分的基本计算方法是使用定积分的定义进行计算，即按照定义对函数在区间内每个小区间上的面积进行求和，并计算出极限值。
微积分的基本公式_2022年学习资料
2.微积分基本公式-如果f∈C[a,b],则ftdt为fx在[a,b]上-的一个原函数-若已知Fx为fx的 函数，则有-∫fdt=Fx+Co.-令x=a,则0=∫fdt=Fa+C,故C。=-Fa-取x=b,则得到fodufodx=ro-ra
定理-牛顿一莱布尼茨公式-若fx∈C[a,b],Fx为fx在[a,b]上的-一个原函数，则-["fxdx= x"=Fb-Fa.-将定积分的计算与求原数的计算联系起来了
定理2-若fx∈C[a,b,则Fx=∫fdt在[a,b]-上可导，且-F'=-fadr-fo-a≤x≤b.
定理3-若fx∈R[a,b],且在点x,∈[a,b]处连续-则Fx=ftdt在点x处可导，且F'xo=fx .-在端点处是指的左右导数
例1-easrdry-dIcosdr-cosx-Fx-cosxdx'=？-/-定积分与积分变量的记号无关. cosxdx'=cosx.
定积分的计算-问题转化为已-知函数的导函-数，求原来函数-的问题.
例5-sin x'=cosx,-π -[2cosxdx=sinx2=-sin 0=1.-问题的关键是如何求一 -函数的原函数，
例6-cnantn-unslan--兀-2-●-sinO=
例7-计算∫1+cos2xdx.-去绝对-值符号如果-是分段函数-解-o+cos2xdx=f2cosdx利用积分-的性质将积-分分成几个-怎么办？方201cos1dx-部分的和的-形式--cd+cd.x-=v2 inx-2sinx=2v2.
积分上限函数的几何意义-y-y-a-xx-b-X-曲边梯形的面积的代数和随x的位置而变化.
由积分的性质：fxdx=-∫公fxdx,有-∫fodr=-∫fodt.-所以，我们只需讨论积分上限函数.fdr称为积分下限函数
定积分知识点总结
定积分知识点总结什么是定积分？定积分是微积分中的重要概念之一，用于求解曲线下面的面积或曲线与坐标轴所围成的图形的面积。
定积分的基本思想是将区间划分成无限小的小区间，然后对每个小区间内的函数值进行求和，最终得到曲线下的面积或图形的面积。
定积分的符号表示定积分的符号表示为∫f(x)dx，其中∫ 表示积分符号，f(x)表示被积函数，dx表示积分变量。
∫ f(x)dx的结果是一个数值，表示积分区间上的面积。
定积分的计算步骤计算定积分的一般步骤如下：1.确定积分区间：确定被积函数的积分区间，一般用[a, b] 表示。
其中，a 表示下限，b 表示上限。
2.对被积函数进行积分：根据被积函数的形式，进行积分运算。
如果被积函数是简单函数，可以直接对其进行积分。
如果被积函数比较复杂，可以利用积分的基本公式或积分的性质来进行换元、分部积分等操作。
3.计算积分结果：对积分结果进行计算，得到最终的数值结果。
定积分的性质定积分具有以下几个重要的性质：1.线性性质：定积分具有线性性质，即对于任意的常数 a 和 b，有∫(af(x) + bf(y))dx = a∫f(x)dx+ b∫f(y)dy。
2.区间可加性：如果有一个函数在区间 [a, b] 上可积分，而在 [b, c] 上也可积分，则在整个区间 [a, c] 上也可积分，并且有∫[a,c]f(x)dx = ∫[a,b]f(x)dx + ∫[b,c]f(x)dx。
3.积分与求导的关系：定积分与原函数之间存在着积分与求导的关系。
如果函数 F(x) 在区间 [a, b] 上可导，并且导函数 f(x) 连续，则有∫[a,b]f(x)dx = F(b) - F(a)。
定积分的应用定积分在科学和工程领域有着广泛的应用，下面介绍一些常见的应用场景：1.几何应用：定积分可以用于计算平面图形的面积和曲线的弧长。
例如，可以通过计算曲线所围成的面积来求解不规则图形的面积。
2.物理学应用：定积分在物理学中的应用非常广泛。
同济大学高等数学上册第六章定积分的应用
同济大学高等数学上册第六章定积分的应用定积分作为高等数学中的一个重要概念，广泛应用于各个领域，其在实际生活中的应用也是非常广泛的。
本文将以同济大学高等数学上册第六章定积分的应用为题，从不同的角度来探讨定积分在实际问题中的应用。
第一节：定积分在物理学中的应用在物理学中，定积分的应用是非常广泛的。
比如，在力学中，我们可以通过定积分来求解物体的质心、转动惯量等问题；在热力学中，可以通过定积分来计算热力学过程中的功和热量等；在电磁学中，可以通过定积分来计算电荷分布下的电场强度等。
定积分在物理学中的应用，不仅帮助我们更好地理解物理定律，还帮助我们解决实际问题。
第二节：定积分在经济学中的应用经济学是一个与人们日常生活息息相关的学科，而定积分在经济学中的应用也是非常显著的。
比如，在计算人均收入时，可以通过定积分来计算人均消费的总和；在计算流动性时，可以通过定积分来计算资产的变化量。
通过使用定积分的方法，经济学家可以更加精确地分析经济问题，并作出合理的决策。
第三节：定积分在生物学中的应用生物学是一个研究生命现象和生命规律的学科，而定积分在生物学中的应用也是非常广泛的。
比如，在遗传学中，可以通过定积分来计算染色体的长度；在生态学中，可以通过定积分来计算种群的增长率。
通过使用定积分的方法，生物学家可以更加准确地研究生物现象，并深入理解生命的奥秘。
第四节：定积分在工程学中的应用工程学是一个应用数学知识解决实际问题的学科，而定积分在工程学中的应用也是非常重要的。
比如，在土木工程中，可以通过定积分来计算曲线的长度、曲面的面积等；在电气工程中，可以通过定积分来计算电路中的功率、电量等。
通过使用定积分的方法，工程师可以更好地设计和分析工程问题。
总结：通过对同济大学高等数学上册第六章定积分的应用进行探讨，我们发现定积分在物理学、经济学、生物学和工程学等领域中的应用非常广泛。
定积分作为数学中的一个重要概念，不仅可以帮助我们更好地理解各个学科，还能够解决实际问题。
高等数学讲义第六章定积分及其应用
oa
x x i1 i i
b
x
编辑ppt
2
定义:设函数f (x)在[a,b]上有界，如果不任[a对 ,b]怎样
划分成n个小区间，也不任在 小各 区间[xi1, xi ](i 1,2,,n)
上点i 怎样取法，只要当0时( maxxi)和式
i
n
f (i )xi 趋于一个确定的极限I，值那么称此极限值为
a
编辑b ppt
a
4
3 abk(fx)dxkabf(x)d x k 为（ 常数） 4 a b (f(x) g (x)d ) x a bf(x)d x a bg (x)dx
5设acb则
b
c
b
a f(x)dxa f(x)dxc f(x)dx
6 如果x[a,b]有 f (x) g(x)
则
b
存在一 ,使 点得 abf(x)dxf()(ba) (ab)
定积分中值定理的几何意义： 在[a,b]内至少有一点，使得以[a,b]为底，f ()为高的 矩形面积，等于以[a,b]为底的曲边梯形的面积。
y
o
a
b
x
编辑ppt
6
例1. 用定义计算定积分 12 xdx
例2.设f (x),g(x)在[a,b]连续,g(x)保号,证明：
在[a,b]上至少存在一 ，点 使得
b
a
f
(x)g(x)d
x
f
()abg(x)d
x
成立。
编辑ppt
7
§2. 微积分基本公式
由定积分的定义来计算定积分的值是很困难的， 是否存在更为简便的方法呢？
先引入变上限函数及其求导定理
设 f(x)在 [a,b]上连续 f(x)在 ， [a,x]那 (x [a 么 ,b]上 )
第六章定积分182页PPT
可积的充分条件：
定理2. 函数 f (x) 在 [a,b]上连续 f (x)在 [a,b]上可积 .
定理3. 函数 f (x) 在[a,b]上有界 , 且只有有限个间断点
f (x) 在 [a,b]上可积 .
例1. 利用定义计算定积分 1 x2 dx .
0
解:
将
[0,1]
n
等分,
分点为
xi
i n
(2) 定积分与积分变量的记号无关：
b
f (x)d x
b
f (y)d y
b f (t) d t .
a
a
a
b
a
(3) a f (x) d x b f (x) d x
可积的必要条件:
定理1. 函数f (x)在区间[a,b]上可积 f (x)在[a,b]上有界.
31
b
n
a
f (x) d x lim ||x||0 i1
f (i )xi
( || x || m1iaxn {xi}) .
定积分符号：
b
n
a
f (x)d x
lim ||x||0
i1
f (i )xi .
b —定积分号； a —积分下限； b —积分上限； a
n
i [xi1, xi ], 作和Sn f (i )xi
n
i 1
若 lim ||x|| 0 i1
f (i )xi
存在,
且该极限值与对区间 [a,b] 的
分法 T 及点i 的选择无关, 则称函数 f (x) 在[a,b] 上可积,
记为 b f (x) d x , 极限值称为 f (x) 在 [a, b] 上的定积分： a
高等数学第六章定积分的应用
3）以所求量U 的元素 f ( x)dx 为被积表达式，在
区间[a, b]上作定积分，得U
b
a
f
( x)dx
，
即为所求量U 的积分表达式.
这个方法通常叫做元素法．
应用方向：
平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长； 功；水压力；引力和平均值等．
第二节 平面图形的面积
一、直角坐标系情形
y y f (x)
弧长元素 ds 1 y2dx 弧长 s b 1 y2dx. a
例1
计算曲线 y
2
x
3 2
上相应于
x
从a
到b
的一段
3
弧的长度.
解
y
1
x2,
ds
1
(
x
1 2
)2
dx
1 xdx,
所求弧长为
a
b
s
b
2
3
3
1 xdx [(1 b)2 (1 a)2 ].
a
3
x
例 2 计算曲线 y n n sin d 的弧长(0 x n) . 0
a
提示 若用A 表示任一小区间 [ x, x x]上的窄曲边梯形的面积，y
则 A A，并取A f ( x)dx ，
面 积 元 素
dA
y f (x)
于是A f ( x)dx
b
o a x x dxb x
A lim f ( x)dx a f ( x)dx.
当所求量U 符合下列条件：
（1）U 是与一个变量x 的变化区间a,b 有关
x y2 y x2
面积元素 dA ( x x2 )dx
A
1
0
(
绝对值fx的定积分
绝对值fx的定积分绝对值函数是一种非常有趣的函数，它的图像由两个部分组成，一个部分是原点下方的一段直线，斜率为-1，另一个部分是原点上方的一段直线，斜率为1。
这个函数的数学表达式为：f(x) = |x|。
要计算绝对值函数fx的定积分，我们可以使用分段函数的定义。
在定义域内，当x大于等于0时，函数的定义为f(x) = x，当x小于0时，函数的定义为f(x) = -x。
所以对于x大于等于0的区间，我们可以直接进行积分：∫[0, a] x dx = [x^2/2] [0, a] = a^2/2。
对于x小于0的区间，我们可以使用反向积分的方式来计算。
我们可以把这个积分的区间[-a, 0]进行变换，令u = -x，这样当x等于-a时，u等于a，当x等于0时，u等于0。
所以积分变为∫[a, 0] -u du = [u^2/2] [a, 0] = -a^2/2。
综上所述，绝对值函数fx的定积分可以表示为以下形式：∫[-a, a] |x| dx = ∫[0, a] x dx + ∫[a, 0] -x dx = a^2/2 - a^2/2 = 0。
我们可以看到，绝对值函数fx的定积分在函数的对称轴x=0处等于0。
这意味着正值部分和负值部分的面积相等，所以整个函数的定积分为0。
但需要注意的是，这个结果只适用于整个定义域[-a, a]内的定积分，而不是对于其他任意区间的定积分。
对于其他区间的定积分，我们需要根据具体的区间来进行分段计算。
比如对于区间[1, 3]内的定积分，我们可以先计算绝对值函数在该区间内的正值部分的面积，再计算负值部分的面积，然后两者相加得到最终的定积分结果。
具体计算过程如下：∫[1, 3] |x| dx = ∫[1, 3] x dx = [x^2/2] [1, 3] = (3^2/2 - 1^2/2) = (9/2 - 1/2) = 4。
所以在区间[1, 3]内，绝对值函数fx的定积分结果为4。
综上所述，绝对值函数fx的定积分在整个定义域[-a, a]内等于0，在其他区间内的定积分结果需要根据具体的区间进行分段计算。
定积分及其应用概要精品PPT课件
若当 0 时, Sn 有确定的极限值 I, 且 I 与区间[a, b]的
分法和 i 的取法无关, 则称函数ƒ(x)在区间[a, b]上可积,
并称此极限值I为ƒ(x)在区间[a, b]上的定积分, 记为
b
f (x)dx
b
a
n
即
a
f (x)dx I
lim 0 i1
f (i )xi
其中ƒ(x)为被积函数, ƒ(x)d x称为被积表达式, x 称为积分
则该窄矩形的面积 f (i )xi
近似等于 Si , 即
f (i )xi Si
III.求和、取极限
为了从近似过度到精确, 将所有的窄矩形的面积相加,
n
n
就得曲边梯形的面积的近似值, 即 S Si f (i )xi
i 1
i 1
记各小区间的最大长度为 max{x1, x2 , , xn}
当分点数n无限增大且各小区间的最大长度 m1iaxn {xi } 0
从而可用下述方法和步骤来求曲边梯形的面积:
I.化整为零(或分割)——任意划分
(如右图)用分点
y
y=ƒ(x)
a x0 x1 x2 xn1 xn b
将区间[a,b]任意地划分为n个小区间
[x0 , x1 ],[x1, x2 ], ,[xn1, xn ],
x2
o a x0 x1
xi1 xi xi
来说是一个变量, 其最大值与最小值之差较大; 但从区间
[a, b]的一个局部(小区间)来看, 它也是一个变量;
但因ƒ(x)连续, 从而当Δ x →0时, Δy→0, y
故可将此区间的高近似看为一个常量,
y=ƒ(x)
A
C
B
第六章 定积分 《经济数学》PPT课件
【例 6-2】求 d x et2 dt dx 0
解： d x et2 dt ex2 dx 0
【例 6-3】若 f (x) 是连续函数，求 d
b
f (t)dt ．
dx x
解： d dx
b
f (t)dt
证：因为函数 f (x) 在闭区间[a,b] 上连续，
所以在[a,b] 上必有最大值 M 和最小值 m .
根据性质 6 有 m(b a)
b
f (x)dx M (b a)
a
即 m 1
b
f (x)dx M
ba a
由闭区间上连续函数的性质可知，在[a,b] 上至少存
在一点 ，使 1
b
f (x)dx f ( ) 成立．
关，而与积分变量用什么字母表示无关．
b
b
即 a
f (x)dx a
f (u)du
（2）定义中假定 a b，如果 b a ，我们规定
b f (x)dx a f (x)dx .
a
b
特别地，当 a b 时，规定 b f (x)dx 0 . a
（3）若函数 f (x) 在[a,b] 上连续，或 f (x)
0
0
由复合函数的求导法则，得
d x2
d(u) du
dx 0 sin tdt
du
dx
sin u 2x
2xsin x
（二）牛顿——莱布尼兹公式
定理（微积分基本定理） 设 f (x) 在闭区间[a,b] 上连续， F(x) 是 f (x) 的一个原函数，则有
b
f (x)dx F (b) F (a) ． a
高等数学 第六章 第1、2节 定积分的概念(中央财经大学)
，杂平面图形面积的方法该过程告诉了我们求复. 形面积的定义同时，也告知了平面图想方法是：解决曲边梯形面积的思. 取极限—求和—代替—分划 处理的问题的结果，即通常人们把这类方法所. ],[ )( 上的定积分在区间这种极限值，称为函数b a x f定积分符号：. )(lim d )(10∑∫=→∆=n i i i b a x f x x f ξλ 定积分号；—∫b a 积分下限；—a积分上限；—b d )(被积表达式；—x x f )(被积函数；—x f d 积分变量；—中的x x. ],[积分区间—b a ) ( 积分变量的取值范围关于定积分定义的几点说明. ] ,[ )( , T ),( d )( )1(有关区间及只与的选择无关及点它与分法具体的数是一个极限值定积分b a x f x x f i ba ξ∫ . d )(d )(d )()2(⋯===∫∫∫ba b a b a t t f y y f x x f 号无关：定积分与积分变量的记喂!下面是几个关于函数可积性的定理.运用定积分的概念及定积分的几何意义, 由函数的极限运算性质容易证明它们, 所以我们在这里不进行证明.定理 1. ]),([)( ]),,([)( b a R x f b a C x f ∈∈则若, ],[ )( 上单调、有界在若b a x f. ]),([)( b a R x f ∈则)( , ],[ )(第一类且仅有有限个上有界在b a x f. ]),([)( ,b a R x f ∈则间断点定理 2O xya b c �. ]),([|)(| ]),,([)( b a R x f b a R x f ∈∈则若. 3 的逆不真定理⎩⎨⎧−= . 1, , 1 )( ,为无理数，为有理数例如x x x f 定理 3, ],[ ],[ ]),,([)( b a d c b a R x f ⊂∀∈则若. ]),([)(d c R x f ∈O xya b c d 定理 4]),,([)(),( 则若b a R x g x f ∈ . ]),([)()( ),()( ),(b a R x g x f x g x f x kf ∈⋅±定理 5为常数）k (三. 定积分的性质由于定积分是一种和式的极限, 所以极限的某些性质在定积分中将有所反映.在以下的叙述中, 假设所出现的函数均可积, 所出现的定积分均存在.: ,定积分反号交换积分上、下限. d )(d )(∫∫−=abbax x f x x f 1 性质)( 2 线性性质性质, d )(d )(d )]()([∫∫∫±=±ba b a b a x x g x x f x x g x f βαβα. ,为常数、式中βα)( 3 保号性性质. 0d )( ],,[ ,0)( ≥∈≥∫ba x x fb a x x f 则若(小于零的情形类似. )1 3 的推论性质. d )(d )( ,],[ )()( ∫∫≥∈≥babax x g x x f b a x x g x f 则若2 3 的推论性质∫∫≤babaxx f x x f d |)(| |d )(|证(f)( 4 对区间的可加性性质∫∫∫+=bcc abaxx f x x f x x f d )(d )(d )(. ,b c a <<其中注意：不论a, b, c 大小关系如何，上式仍然成立！)( 5 估值定理性质,, ],[ )( , 则最小值上的最大在分别为设b a x f m M. )(d )()(a b M x x f a b m ba −≤≤−∫. 0d )(=∫bax x f 时当补充规定：b a =证)( 6 积分中值定理性质使得则上保持符号不变在 , ],[ , ],[ b a b a ∈∃ξ. d )()(d )()(∫∫=babax x g f x x g x f ξ )( ]),,([)( ]),,([)( x g b a R x g b a C x f 且若∈∈解f t3。
高等数学电子教材 第六章 定积分及其应用
x
1 0
=
2
4
∫2
|
0
1
−
x
|
dx
0≤x≤2
|
1
−
x
|=
1 − x , x −1,
0≤ 1<
x≤ x≤
1 2
-
∫2
|
0
1
−
x
|
dx
=
∫1
|
0
1
−
x
|
dx
+
∫2
|
1
1−
x
|
dx
=
∫1
(1
0
−
x)dx
+
∫2 1
(x
−
1)dx
=
(x
−
1 2
x2)
1 0
+
(12
x2
−
x)
2 1
=
1
−
1 2
+
(1
−
12)
[ xi−1 xi] i = 1 2 … n
6-1
xi = xi − xi−1 i = 1 2 … n x
6-2
x = m1≤ia≤xn{∆xi}
x
n
i
Ai i = 1 2 … n
(2 )
[ xi−1 xi] i = 1 2 … n
i
f ( i)
f ( i) xi
( 6 - 2)
Ai f ( i) xi i = 1 2 … n
x −1 x
dx
t2
t +
1
⋅
2tdt
=
t
2t2 2+
定积分知识点
定积分知识点定积分是微积分中非常重要的概念之一。
它在实际问题的建模和求解中起着至关重要的作用。
本文将介绍定积分的基本定义、性质以及一些常见的应用。
1. 定积分的基本定义定积分是函数积分学的重要概念，它可以将函数的定义域上的函数值从一个点到另一个点的累加。
设函数f(x)在闭区间[a, b]上有定义，将[a, b]分成n个小区间，其中第i个小区间的长度为Δx_i，选择每个小区间中任意一点ξ_i，称为取样点。
则定义Δx_i乘以f(ξ_i)的和对应的极限值，当区间的个数趋向于无穷大时，即Δx_i趋于0，就得到了函数f(x)在闭区间[a, b]上的定积分。
定积分的数值即为积分的结果。
2. 定积分的性质定积分具有一些重要的性质，下面我们简要介绍其中的几个。
2.1 可加性设函数f(x)在区间[a, b]上可积，如果将该区间分成两个子区间[a, c]和[c, b]，则有定积分的可加性质，即∫[a, c]f(x)dx + ∫[c, b]f(x)dx = ∫[a, b]f(x)dx。
这个性质可以推广到多个子区间的情况。
2.2 线性性质定积分还具有线性性质。
即对于任意的实数k、l，函数f(x)和g(x)在区间[a, b]上可积，则有∫[a, b](k*f(x) + l*g(x))dx = k * ∫[a,b]f(x)dx + l * ∫[a, b]g(x)dx。
2.3 积分中值定理如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，则存在一个点ξ∈[a, b]，使得∫[a, b]f(x)dx = f(ξ) * (b - a)。
这个定理说明了定积分与函数在区间上的平均值的关系。
3. 定积分的应用定积分在各个领域都有广泛的应用。
下面我们介绍一些常见的应用。
3.1 几何应用通过定积分可以计算曲线与坐标轴所围的区域面积。
例如，如果给定函数f(x)，在区间[a, b]上，可以通过定积分∫[a, b]f(x)dx来计算曲线y=f(x)与x轴之间的面积。
绝对值fx的定积分
绝对值fx的定积分绝对值函数$f(x)$的定积分是数学中的一个重要概念，通过对函数图像下方的面积和上方的面积进行求和，我们可以得到函数图像在某个区间上的积分结果。
在本文中，我们将深入探讨绝对值函数定积分的性质和应用。
首先，我们来回顾一下绝对值函数的定义。
绝对值函数$f(x)$可以表示为：\[f(x) = |x|\]这个函数在数学中经常出现，它表示的是一个数与零之间的距离。
当$x$为正数时，$f(x)$的值等于$x$本身；当$x$为负数时，$f(x)$的值等于$x$的相反数。
因此，绝对值函数的图像是以原点为对称中心的一条折线。
接下来，我们将研究绝对值函数$f(x)$的定积分。
定积分的意义是对函数图像在一个区间上的面积进行计算。
对于绝对值函数来说，它在不同的区间上具有不同的性质。
首先，考虑$f(x)$在一个闭区间$[a,b]$上的定积分$\int_{a}^{b} |f(x)| dx$。
由于绝对值函数在$x=0$处有一个尖点，因此我们可以把积分区间$[a,b]$分成两个子区间$[a,0]$和$[0,b]$，在每个子区间上分别计算积分，然后把结果求和。
对于子区间$[a,0]$，绝对值函数的值是$-f(x)$。
因此，积分$\int_{a}^{0} |f(x)| dx$等于$\int_{a}^{0} (-f(x)) dx$。
由于$f(x)$是一个非负函数，所以它的积分是负数。
这意味着在子区间$[a,0]$上，绝对值函数的定积分为负值。
类似地，对于子区间$[0,b]$，绝对值函数的值是$f(x)$。
因此，积分$\int_{0}^{b} |f(x)| dx$等于$\int_{0}^{b} f(x) dx$。
在这个子区间上，绝对值函数的定积分是非负的。
将两个子区间的积分结果相加，我们可以得到整个区间$[a,b]$上绝对值函数的定积分。
由于子区间$[a,0]$上的积分为负值，我们可以得到以下等式：\[\int_{a}^{b} |f(x)| dx = \int_{a}^{0} (-f(x)) dx + \int_{0}^{b} f(x) dx\]这个等式表示，绝对值函数的定积分等于在$[a,0]$和$[0,b]$上分别计算函数值的积分，然后将结果相加。
定积分讲义-
定积分讲义--CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1第六章 定积分及其应用积分学的另一个基本概念是定积分．本章我们将阐明定积分的定义，它的基本性质以及它的应用．此外，我们要重点讲述沟通微分法与积分法之间关系的微积分学基本定理，它把过去一直分开研究的微分和积分彼此互逆地联系起来，成为一个有机的整体．最后，我们把定积分的概念加以推广，简要讨论两类广义积分．§ 定积分的概念与性质1. 定积分的定义我们先来研究两个实际问题． 例1 计算曲边梯形的面积设)(x f y =为闭区间],[b a 上的连续函数，且0)(≥x f ．由曲线)(x f y =，直线b x a x == ,及x 轴所围成的平面图形(图6—1)称为)(x f 在],[b a 上的曲边梯形，试求图6—1我们先来分析计算会遇到的困难．由于曲边梯形的高)(x f 是随x 而变化的，所以不能直接按矩形或直角梯形的面积公式去计算它的面积．但我们可以用平行于y 轴的直线将曲边梯形细分为许多小曲边梯形如图6—1所示．在每个小曲边梯形以其底边一点的函数值为高，得到相应的小矩形，把所有这些小矩形的面积加起来，就得到原曲边梯形面积的近似值．容易想象，把曲边梯形分得越细，所得到的近似值就愈接近原曲边梯形的面积，从而运用极限的思想就为曲边梯形面积的计算提供了一种方法．下面我们分三步进行具体讨论：(1) 分割 在],[b a 中任意插入1-n 个分点b x x x x x a n n =<<<<<=-1210把],[b a 分成n 个子区间],[10x x ，],[21x x ，…，],[1n n x x -，每个子区间的长度为1--=∆i i i x x x ),,2,1( n i =．(2) 近似求和 在每个子区间],[1i i x x -),,2,1( n i =上任取一点i ξ，作和式ini ix f ∆∑=1)(ξ(3) 取极限 当上述分割越来越细(即分点越来越多，同时各个子区间的长度越来越小)时，和式的值就越来越接近曲边梯形的面积(记作A )．因此当最长的子区间的长度趋于零时，就有A x f i ni i →∆∑=1)(ξ．例2 求变速直线运动的路程设某物体作直线运动，其速度v 是时间t 的连续函数)(t v v =．试求该物体从时刻a t =到时刻b t =一段时间内所经过的路程s ．因为)(t v v =是变量，我们不能直接用时间乘速度来计算路程．但我们仍可以用类似于计算曲边梯形面积的方法与步骤来解决所述问题．(1) 用分点b t t t t t a n n =<<<<<=-1210把时间区间],[b a 任意分成n 个子区间(图6—2)： ],[10t t ，],[21t t ，…，],[1n n t t -． 每个子区间的长度为1--=∆i i i t t t (n i ,2,1=)．图6—2(2) 在每个子区间],[1i i t t - (n i ,2,1=)上任取一点i τ，作和式i ni i t v ∆∑=1)(τ．(3) 当分点的个数无限地增加，最长的子区间的长度趋于零时就有 s t v i ni i →∆∑=1)(τ．以上两个问题分别来自于几何与物理中，两者的性质截然不同，但是确定它们的量所使用的数学方法是一样的，即归结为对某个量进行“分割、近似求和、取极限”，或者说都转化为具有特定结构的和式的极限问题，在自然科学和工程技术中有很多问题，如变力沿直线作功，物质曲线的质量、平均值、弧长等，都需要用类似的方法去解决，从而促使人们对这种和式的极限问题加以抽象的研究，由此产生了定积分的概念．定义 设函数)(x f 在],[b a 上有定义，在),(b a 内任取1-n 个分点b x x x x x a n n =<<<<<=-1210把],[b a 分成n 个子区间],[10x x ，],[21x x ，…，],[1n n x x -，每个子区间的长度为1--=∆i i i x x x ),,2,1( n i =．在每个子区间],[1i i x x -),,2,1( n i =上任取一点i ξ(称为介点)，作和式i ni i x f ∆∑=1)(ξ，并记{}i ni x ∆=≤≤1max λ．如果不论对],[b a 怎样划分成子区间，也不论在子区间],[1i i x x -上怎样取介点i ξ，只要当0→λ时，和式总趋于确定的值I ，则称这极限值I 为函数)(x f 在区间],[b a 上的定积分，记作⎰ba dx x f )(，即i ni i bax f I dx x f ∆==∑⎰=→1)(lim )(ξλ其中)(x f 称为被积函数，x 称为积分变量，],[b a 称为积分区间，b a ,分别称为积分的下限和上限．关于定积分的定义，再强调说明几点：(1) 区间],[b a 划分的细密程度不能仅由分点个数的多少或n 的大小来确定．因为尽管n 很大，但每一个子区间的长度却不一定都很小．所以在求和式的极限时，必须要求最长的子区间的长度0→λ，这时必然有∞→n ．(2) 定义中的两个“任取”意味着这是一种具有特定结构的极限，它不同于第二章讲述的函数极限．尽管和式随着区间的不同划分及介点的不同选取而不断变化着，但当0→λ时却都以唯一确定的值为极限．只有这时，我们才说定积分存在．(3) 从定义可以推出定积分存在的必要条件是被积函数)(x f 在],[b a 上有界．因为如果不然，当把],[b a 任意划分成n 个子区间后，)(x f 至少在其中某一个子区间上无界．于是适当选取介点i ξ，能使)(i f ξ的绝对值任意地大，也就是能使和式的绝对值任意大，从而不可能趋于某个确定的值．(4) 由定义可知，当)(x f 在区间],[b a 上的定积分存在时，它的值只与被积函数)(x f 以及积分区间],[b a 有关，而与积分变量x 无关，所以定积分的值不会因积分变量的改变而改变，即有⎰⎰⎰===b aba badu u f dt t f dx x f )()()( ．(5) 我们仅对b a <的情形定义了积分⎰b adx x f )(，为了今后使用方便，对b a =与b a >的情况作如下补充规定：当b a =时，规定0)(=⎰ba dx x f ；当b a >时，规定⎰⎰-=abb adx x f dx x f )()(．根据定积分的定义，我们说：例1中)(x f 在],[b a 上的曲边梯形的面积就是曲线的纵坐标)(x f 从a 到b 的定积分⎰=ba dx x f A )(．它就是定积分的几何意义．注意到若0)(≤x f ，则由0)(≤i f ξ及0>∆i x 可知⎰≤badx x f 0)(．这时曲边梯形位于x 轴的下方，我们就认为它的面积是负的．因此当)(x f 在区间],[b a 上的值有正有负时，定积分⎰b adx x f )(的值就是各个曲边梯形面积的代数和，如图6—3图6—3例2中物体从时刻a 到时刻b 所经过的路程就是速度)(t v 在时间区间],[b a 上的定积分⎰=ba dt t v s )(．对应于导数的力学意义，我们也说它是定积分的力学意义．当)(x f 在区间],[b a 上的定积分存在时，就称)(x f 在],[b a 上可积，说明(3)表明：)(x f 在],[b a 上可积的必要条件是)(x f 在],[b a 上有界．下面是函数可积的两个充分条件，证明从略．定理 若)(x f 在],[b a 上连续，则)(x f 在],[b a 上可积．(2) 若)(x f 在],[b a 上有界，且只有有限个间断点，则)(x f 在],[b a 上可积．2. 定积分的基本性质定理 (积分的线性性质)(1) 若)(x f 在],[b a 上可积，k 为常数，则)(x kf 在],[b a 上可积，且 ⎰⎰=babadx x f k dx x kf )()((2) 若)(x f ，)(x g 在],[b a 上可积，则)()(x g x f ±在],[b a 上也可积，且 ⎰⎰⎰±=±bababadx x g dx x f dx x g x f )()()]()([．证 根据定义，有⎰∑∑⎰=∆=∆==→=→bani i i n i i i badx x f k x f k x kf dx x kf )()(lim )(lim )(11ξξλλ．所以式成立．类似可证式成立．定理的更一般的结论是⎰∑⎰∑===baj j nj b a nj j jdx x f k dx x f k)( )(11．其中)(x f j ),,2,1( n j =在],[b a 上可积，)(x k j ),,2,1( n j =为常数．定理 (积分对区间的可加性) 设)(x f 是可积函数，则⎰⎰⎰+=bcc abadx x f dx x f dx x f )()()(对c b a , ,任何顺序都成立．证 先考虑b c a << 的情形．由于)(x f 在],[b a 上可积，所以不论将区间],[b a 如何划分，介点i ξ如何选取，和式的极限总是存在的．因此，我们把c 始终作为一个分点，并将和式分成两部分：i i i i iix f x f x f ∆+∆=∆∑∑∑21)()()(ξξξ，其中∑∑21,分别为区间],[c a 与],[b c 上的和式．令最长的小区间的长度0→λ，上式两边取极限，即得式．对于其它顺序，例如c b a << ，有⎰⎰⎰+=cbb acadx x f dx x f dx x f )()()(，所以⎰⎰⎰-=cbc abadx x f dx x f dx x f )()()(⎰⎰+=bcc adx x f dx x f )()(．式仍成立．定理 (积分的不等式性质) 若)(x f ，)(x g 在],[b a 上可积，且)()(x g x f ≤，则⎰⎰≤babadx x g dx x f )()(．证 ⎰⎰⎰-=-b ababadx x f x g dx x f dx x g )]()([)()( i ni i i x f g ∆-=∑=→10)]()([lim ξξλ．由假设知0)()(≥-i i f g ξξ，且0>∆i x ),,2,1( n i =，所以上式右边的极限值为非负，从而有⎰⎰≥babadx x f dx x g )()(．式成立．从定理立刻推出推论 若)(x f 在],[b a 上可积，且0)(≥x f ，则0)(≥⎰badx x f ．推论 (积分估值) 若)(x f 在],[b a 上可积，且存在常数m 和M ，使对一切],[b a x ∈有M x f m ≤≤)(，则)()()(a b M dx x f a b m ba -≤≤-⎰．推论 若)(x f 在],[b a 上可积，则 )( x f 在],[b a 上也可积，且dx x f f(x)dx bab a)( ⎰⎰≤．这里 )( x f 在],[b a 上的可积性可由)(x f 的可积性推出，其证明省略．推论 (严格不等式) 设)(x f 是],[b a 上的连续函数，若在],[b a 上0)(≥x f 且0)(≡x f ，则0)(>⎰badx x f ．证 由假设知，存在),(0b a x ∈使0)(0>x f ，根据)(x f 的连续性，必存在0x 的邻域],[),(00b a x x ⊂+-δδ，使在其中2)()(0x f x f >，从而有 ⎰⎰⎰⎰++--++=b x x x x aba dx x f dx x f dx x f dx x f δδδδ0000)()()()(0)( 22)()(0000>=⋅>≥⎰+-x f x f dx x f x x δδδδ， 所以结论成立．定理 (积分中值定理) 若)(x f 在],[b a 上连续，则在],[b a 上至少存在一点ξ，使得 ))(()(a b f dx x f ba -=⎰ξ．证 因为)(x f 在],[b a 上连续，所以)(x f 在],[b a 上可积，且有最小值m 和最大值M ．于是在],[b a 上，)()()(a b M dx x f a b m ba -≤≤-⎰，或M ab dx x f m ba≤-≤⎰)(．根据连续函数的介值定理可知，在],[b a 上至少存在一点ξ，使)()(ξf ab dx x f ba=-⎰所以式成立．若)(x f 在],[b a 上连续且非负，则)(x f 在],[b a 上的曲边梯形面积等于与该曲边梯形同底，以ab dx x f f ba-=⎰)()(ξ为高的矩形面积．通常把)(ξf ，即ab dx x f ba-⎰)(称为函数)(x f 在],[b a 上的积分均值，而这正是算术平均值概念的推广．定理 (推广的积分中值定理) 若)(x f ，)(x g 在],[b a 上连续，且)(x g 在],[b a 上不变号，则在],[b a 上至少存在一点ξ，使得⎰⎰=ba badx x g f dx x g x f )()()()(ξ证 不妨设在],[b a 上有0)(≥x g ，则0)(≥⎰b adx x g ，且在],[b a 上 )()()()(x Mg x g x f x mg ≤≤，其中M m ,分别为)(x f 在],[b a 上的最小值与最大值．由此推出⎰⎰⎰≤≤bababadx x g M dx x g x f dx x g m )()()()(．若⎰=badx x g 0)(，则由上式知0)()(=⎰badx x g x f ．从而在],[b a 上任取一点作为ξ，式都成立．若0)(>⎰b adx x g ，则得M dxx g dxx g x f m baba≤≤⎰⎰)()()(．按连续函数的介值定理推出，在],[b a 上至少存在一点ξ，使)()()()(ξf dxx g dxx g x f baba=⎰⎰所以式也成立．§ 微积分学的基本定理与基本公式若已知)(x f 在] ,[b a 上的定积分存在，怎样计算这个积分值呢如果利用定积分的定义，由于需要计算一个和式的极限，可以想象，即使是很简单的被积函数，那也是十分困难的．本节将通过揭示微分和积分的关系，引出一个简捷的定积分的计算公式．1. 微积分学基本定理设函数)(x f 在区间] ,[b a 上可积，则对] ,[b a 中的每个x ，)(x f 在] ,[x a 上的定积分dx t f xa )(⎰都存在，也就是说有唯一确定的积分值与x 对应，从而在] ,[b a 上定义了一个新的函数，它是上限x 的函数，记作)(x Φ，即dt t f x xa )()(⎰=Φ， ] ,[b a x ∈．这个积分通常称为变上限积分．定理 设)(x f 在] ,[b a 上可积，则dt t f x xa )()(⎰=Φ是] ,[b a 上的连续函数．证 任取] ,[b a x ∈及0≠∆x ，使] ,[b a x x ∈∆+．根据积分对区间的可加性， dt t f dt t f dt t f x x x xx xx axx a)( )( )()()(⎰⎰⎰∆+∆+=-=Φ-∆+Φ=∆Φ．由于)(x f 在] ,[b a 上连续，从而有界，即存在0>M ，使对一切] ,[b a x ∈有M x f ≤ )( ，于是)( )( x M dt t f x x x x∆≤=Φ⎰∆+．故当0→∆x 时有0)(→∆Φx ．所以)(x Φ在x 连续，由] ,[b a x ∈的任意性即知)(x Φ是] ,[b a 上的连续函数．定理 (原函数存在定理) 设)(x f 在] ,[b a 上连续，则dt t f x xa)()(⎰=Φ在] ,[b a 上可导，且)()(x f x =Φ'， ] ,[b a x ∈， 也就是说)(x Φ是)(x f 在] ,[b a 上的一个原函数．证 任取] ,[b a x ∈及0≠∆x ，使] ,[b a x x ∈∆+．应用积分对区间的可加性及积分中值定理，有 x x x f dt t f x x x x x x∆∆+==Φ-∆+Φ=∆Φ⎰∆+) ( )()()(θ，或) (x x f x∆+=∆∆Φθ， )10(≤≤θ． 由于)(x f 在] ,[b a 上连续， )() (lim 0x f x x f x =∆+→∆θ．故在中令0→∆x 取极限，得)(lim0x f x x =∆∆Φ→∆．所以)(x Φ在] ,[b a 上可导，且)()(x f x =Φ'．由] ,[b a x ∈的任意性推知)(x Φ就是)(x f 在] ,[b a 上的一个原函数．本定理回答了我们自第五章以来一直关心的原函数的存在问题．它明确地告诉我们：连续函数必有原函数，并以变上限积分的形式具体地给出了连续函数)(x f 的一个原函数．回顾微分与不定积分先后作用的结果可能相差一个常数．这里若把)()(x f x =Φ'写成)( )(x f dt t f dxd xa =⎰， 或从 dx x f x d )()(=Φ推得)()( )(x dt t f t d xaxaΦ==Φ⎰⎰，就明显看出微分和变上限积分确为一对互逆的运算．从而使得微分和积分这两个看似互不相干的概念彼此互逆地联系起来，组成一个有机的整体．因此定理也被称为微积分学基本定理．推论 设)(x f 为连续函数，且存在复合)]([x f ϕ与)]([x f ψ，其中)(x ϕ，)(x ψ皆为可导函数，则)()]([)()]([ )()()(x x f x x f dt t f dxd x x ψψϕϕϕψ'-'=⎰ 证 令⎰=Φxadt t f x )()(，a 为)(x f 的连续区间内取定的点．根据积分对区间的可加性，有dt t f dt t f dt t f x ax ax x )( )( )()()()()(⎰⎰⎰-=ψϕϕψ)]([)]([x x ψϕΦ-Φ=．由于)(x f 连续，所以)(x Φ为可导函数，而)(x ϕ和)(x ψ皆可导，故按复合函数导数的链式法则，就有)()]([)()]([ )()()(x x x x dt t f dx d x x ψψϕϕϕψ'Φ'-'Φ'=⎰)()]([)()]([x x f x x f ψψϕϕ'-'=．所以式成立．例1. 证明：若)(x f 在),(+∞-∞内连续，且满足dt t f x f x)()(0⎰=，则0)(≡x f ．证 由假设知dt t f x f x)()(0⎰=在),(+∞-∞内可导，且)()(x f x f ='．令x e x f x F -=)()(， ),(+∞-∞∈x ，则0)()()(=-'='--x x e x f e x f x F ．所以c x F ≡)(，),(+∞-∞∈x ．由于0)0()0(==f F ，可得0)(≡x F ．从而有 0)()(≡=x e x F x f ，),(+∞-∞∈x ．例2. 求21cos 02limx dt e xt x ⎰-→．解 应用洛比达法则，原式1cos 0cos 02121sin lim 2)(cos lim22--→-→=⋅='-=e e x x xx e x x x x ． 2. 牛顿——莱布尼兹公式定理 设)(x f 在] ,[b a 上连续，若)(x F 是)(x f 在] ,[b a 上的一个原函数，则)()( )(a F b F dx x f ba-=⎰证 根据微积分学基本定理，dt t f x a)(⎰是)(x f 在] ,[b a 上的一个原函数．因为两个原函数之差是一个常数，所以C x F dt t f xa+=⎰)( )(， ] ,[b a x ∈．上式中令a x =，得)(a F C -=，于是)()( )(a F x F dt t f xa-=⎰．再令b x =，即得式．在使用上，公式也常写作 b a ba x F dx x f )]([ )(=⎰，或b a ba x F dx x f )( )(=⎰．公式就是着名的牛顿——莱布尼兹公式，简称N —L 公式．它进一步揭示了定积分与原函数之间的联系：)(x f 在] ,[b a 上的定积分等于它的任一原函数)(x F 在] ,[b a 上的增量，从而为我们计算定积分开辟了一条新的途径．它把定积分的计算转化为求它的被积函数)(x f 的任意一个原函数，或者说转化为求)(x f 的不定积分．在这之前，我们只会从定积分的定义去求定积分的值，那是十分困难的，甚至是不可能的．因此 N —L 公式也被称为微积分学基本公式．例3 计算下列定积分(1) dx x x 4220-⎰； (2) )0( 3022≠+⎰a x a dxa；(3) dx x 112⎰-； (4) ⎰π20sin dx x ．解 (1) 原式38)4(3120223=--=x ． (2) 原式aa axa a33arctan 1arctan130π===． (3) 原式1022)]1ln(2112[x x x x ++++= )]21ln(2[21++=． (4) 原式⎰⎰-+=πππ20)sin ( sin dx x dx x4cos cos 20=+-=πππxx．例4 设⎩⎨⎧≤<-≤≤+=31,310 ,1)(2x x x x x f ，求⎰30)(dx x f ．解 ⎰⎰⎰-++=311230)3( )1( )(dx x dx x dx x f313)23()3(312103=+++=x x x x ．§ 定积分的换元积分法与部分积分法有了牛顿——莱布尼兹公式，使人感到有关定积分的计算问题已经完全解决．但是能计算与计算是否简便相比，后者则提出更高的要求．在定积分的计算中，除了应用N —L 公式，我们还可以利用它的一些特有性质，如定积分的值与积分变量无关，积分对区间的可加性等，所以与不定积分相比，使用定积分的换元积分法与分布积分法会更加方便．1. 定积分的换元积分法定理 设函数)(x f 在] ,[b a 上连续，函数)(t x ϕ=在I (] ,[βα=I 或] ,[αβ)上有连续的导数，并且a =)(αϕ，b =)(βϕ，)( )(I t b t a ∈≤≤ϕ，则⎰⎰'=ba dt t t f dx x f βαϕϕ)()]([)(证 由于)(x f 与)()]([t t f ϕϕ'皆为连续函数，所以它们存在原函数，设)(x F 是)(x f 在[]b a ,上的一个原函数，由复合函数导数的链式法则有)()]([)()()()())]([(t t f t x f t x F t F ϕϕϕϕϕ'='=''='，可见)]([t F ϕ是)()]([t t f ϕϕ'的一个原函数．利用N —L 公式，即得⎰⎰=-=-=='badx x f a F b F F F t F t t f )()()()]([)]([)]([ )()]([αϕβϕϕϕϕβαβα．所以式成立．公式称为定积分的换元公式．若从左到右使用公式(代入换元)，换元时应注意同时换积分限．还要求换元)(t x ϕ=应在单调区间上进行．当找到新变量的原函数后不必代回原变量而直接用N —L 公式，这正是定积分换元法的简便之处．若从右到左使用公式(凑微分换元)，则如同不定积分第一换元法，可以不必换元，当然也就不必换积分限．例1 计算下列定积分 (1) ⎰--14311x dx ； (2) dx xx 121022⎰-；(3) dx x x sin cos 25⎰π； (4) dx x x sin sin 053⎰-π．解 (1) 令t x =-1，则21t x -=，dt t dx 2-=，且当t 从0变到21时，x 从1减到43．于是 原式⎰⎰-+=--=021021)111(212dt t t dt t []2ln 21 1 ln 2210-=-+=t t ．(2) 令t x sin =，则dt t dx cos =，且当t 从0变到21时，x 从0增到6π．于是 原式⎰⎰==660202 sin cos cos sin ππdt t dt t tt831242sin 260-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=ππt t ．(3) 原式616cos cos cos 2265=-=-=⎰ππx x d x ． (4) 原式⎰⎰⎰-+==ππππ22322323 )cos (sin cos sin cos sin 0dx x x dx x x dx x x⎰⎰-=πππ223223sin sin sin sin 0x d x x d x54sin 52sin 522252250==πππx x ．例 2 设)(x f 在],[a a -上连续，证明： ⎰⎰=-aaadx x f dx x f 0)(2)(．特别当)(x f 为奇函数时，0)(=⎰-aa dx x f ；当)(x f 为偶函数时，⎰⎰=-aaadx x f dx x f 0)(2)(．证： 因为⎰⎰⎰+=--aaaadx x f dx x f dx x f 00)()()(，在⎰-0)(adx x f 中，令t x -=，得⎰⎰⎰-=--=-aaadx x f dt t f dx x f 000)()()(．所以⎰⎰-+=-aaadx x f x f dx x f 0)]()([)(．当)(x f 为奇函数时，)()(x f x f -=-，故0)()(=-+x f x f ，从而有 0)(=⎰-aadx x f ．当)(x f 为偶函数时，)()(x f x f =-，故)(2)()(x f x f x f =-+，从而有⎰⎰=-aaadx x f dx x f 0)(2)(．例3 设)(x f 为]1 ,0[上的连续函数，证明：(1) dx x f dx x f ⎰⎰=220)(cos )(sin ππ；(2) dx x f dx x f ⎰⎰=20)(sin 2)(sin ππ(3) dx x f dx x xf ⎰⎰=20)(sin )(sin πππ．证： (1) 令t x -=2π，则dt dx -=，且当t 从0 变到2π时，x 从2π减到0．于是 dt t f dt t f dx x f ⎰⎰⎰=--=2220020)(cos ])[(sin )(sin ππππdx x f ⎰=2)(cos π．(2) dx x f dx x f dx x f ⎰⎰⎰+=ππππ22)(sin )(sin )(sin 00，在dx x f ⎰ππ2)(sin 中，令t x -=π，得dt t f dt t f dx x f ⎰⎰⎰=--=222)(sin ])[(sin )(sin πππππdx x f ⎰=20)(sin π．所以dx x f dx x f ⎰⎰=20)(sin 2)(sin ππ．(3) 令t x -=π，则dt t f t dx x xf )][sin()()(sin 00---=⎰⎰ππππdt t f t )(sin )(0⎰-=ππdx x xf dx x f ⎰⎰-=πππ0)(sin )(sin ．所以dx x f dx x xf ⎰⎰=πππ)(sin 2)(sindx x f ⎰=2)(sin ππ (利用(2)的结果)．例2和例3的结果今后经常作为公式使用．例如我们可以直接写出 ⎰-=ππ0cos 3xdx x ，ππππ==⎰⎰dx x dx x x 20sin sin ．2. 定积分的分部积分法定理 若)(x u ，)(x v 在] ,[b a 上有连续的导数，则⎰⎰'-='babab a dx x u x v x v x u dx x v x u )()()()()()(．证 因为)()()()(])()([x v x u x v x u x v x u '+'='， b x a ≤≤．所以)()(x v x u 是)()()()(x v x u x v x u '+'在],[b a 上的一个原函数，应用N —L 公式，得 ⎰='+'ba b a x v x u dx x v x u x v x u )()()]()()()([，利用积分的线性性质并移项即得式．公式称为定积分的分部积分公式，且简单地写作 ⎰⎰-=bababavdu uv udv例4 计算下列定积分：(1) ⎰210arcsin xdx ； (2) ⎰eedx x 1 ln ；(3) ⎰20sin πxdx e x ； (4) ⎰-1dx e x ．解 (1) 原式dx xx x x ⎰--=21210201arcsin12312121arcsin 212102-+=-+=πx (2) 原式⎰⎰+-=e exdx dx x e1ln )ln (1⎰⎰-++-=ee dx x dx x x ee1111ln ln 11)11(2e-=．(3) ⎰⎰⎰-==2222000cos sin sin sin ππππxdx e x e xde xdx e x xx xxdx e x e e de x e x xxsin cos cos 2222200⎰⎰--=-=πππππxdx e e x sin 122⎰-+=ππ．所以 )1(21sin 22+=⎰ππe xdx e x．(4) 令t x =，则 ⎰⎰⎰----=⋅=111022t txtde tdt e dx et d e te tt ⎰--+-=10102 2ee e t422211-=--=--． 例5 (1) 证明 ⎰⎰=220cos sin ππxdx xdx n n(∈x N +)；(2) 求)cos ( sin 220⎰⎰==ππxdx xdx I n nn 的值．解 由例3(1)即知(1)成立． (2) 当3≥n 时dx x x n x x x xd I n n n n ⎰⎰----+-=-=22222011cos sin )1(cos sincos sinπππdx x x n n ⎰--=-2022)sin 1(sin )1(πn n I n I n )1()1(2---=-所以2)1(--=n n I nn I ． 于是当3≥n 为奇数时有13254231I n n n n I n ⋅⋅--⋅-=； 当3≥n 为偶数时有 243231I n n n n I n ⋅--⋅-= ． 容易得出1sin 201==⎰πxdx I ，442sin 2sin 220022πππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==⎰x x xdx I ． 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅--⋅-⋅--⋅-=为正偶数．为正奇数；n n n n n n n n n n I n ,443231 ,3254231π 公式称为沃利斯(Wallis)积分公式，它在定积分的计算中经常被应用．例 6 求⎰=π1010sin xdx x J 的值．解 4436587109sin 201010ππππ⋅⋅⋅⋅⋅==⎰xdx J 22560315π=．§ 广义积分我们在前面讨论定积分时，总假定积分区间是有限的，被积函数是有界的．但在理论上或实际问题中往往需要讨论积分区间无限或被积函数为无界函数的情形．因此我们有必要把积分概念就这两种情形加以推广，这种推广后的积分称为广义积分．1. 无穷限的广义积分定义 设函数)(x f 在) ,[∞+a 上有定义，且对任何实数a b >，)(x f 在] ,[b a 上可积，则称形式⎰+∞adx x f )(为函数)(x f 在) ,[∞+a 上的广义积分．若极限⎰+∞→bab dx x f )(lim)(a b >存在，则称广义积分收敛，并以这极限值为的值，即⎰⎰+∞→+∞=bab adx x f dx x f )(lim)(．若极限不存在，则称广义积分发散．由定义可知，我们讨论广义积分的敛散性，其含义就是考察变上限积分⎰=ba dx x fb F )()( )(a b >当+∞→b 时的极限是否存在．例1 讨论广义积分⎰∞+π2 1sin 12dx x x 的敛散性．解 任取π2>b ，有⎰⎰-==b bx d x dx x x b F ππ2211sin 1sin 1)(22 b x b1cos 1cos 2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=π，因为11cos lim )(lim ==+∞→+∞→bb F b b ， 所以这广义积分收敛，且1 1sin 122=⎰∞+πdx x x ．若)(x f 在) ,[∞+a 上非负，且广义积分收敛，则积分的值从几何上解释为由曲线)(x f y =与 x 5中阴影部分)．图6—5类似地利用极限⎰-∞→baa dx x f )(lim)(b a <定义广义积分⎰∞-b dx x f )(的敛散性．广义积分⎰+∞∞-dx x f )(定义为⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+=aadx x f dx x f dx x f )( )( )(其中a 为任一有限实数．它当且仅当右边的两个广义积分皆收敛时才收敛，否则是发散的．根据积分对区间的可加性，易知左边的广义积分的敛散性及收敛时积分的值都与实数a 的选取无关．例2 计算广义积分⎰∞+∞-+21x dx的值．解 ⎰⎰⎰⎰⎰+++=+++=++∞→-∞→∞+∞-∞+∞-b b a a x dx x dx x dx x dx x dx 0202020221lim 1lim 111πππ=+--=+-=+∞→-∞→2)2()(arctan lim )arctan (lim b a b a为了书写的统一与简便，以后在广义积分的讨论中，我们也引用定积分(也称常义积分) N —L 公式的记法．如例2可写成πππ=--==+∞+∞-∞+∞-⎰)2(2arctan 12x x dx ． 例3 计算广义积分dt te pt ⎰+∞-0)0(>p解 dt e pe pt tde p dt te ptptpt pt ⎰⎰⎰∞+-∞+-∞+-∞+-+-=-=000011 2211p e p pt==∞+- 例4 证明广义积分⎰∞+1p xdx当1>p 时收敛，当1≤p 时发散． 证 当1=p 时，+∞===⎰⎰∞+∞+∞+111ln x x dx xdx p ． 当1≠p 时，⎩⎨⎧<∞+>=-=-∞+-∞+⎰1 ,1 ,1111111p p x px dx p p p ．所以此广义积分当1>p 时收敛，其值为p-11；当1≤p 时发散． 2. 无界函数的广义积分定理 设)(x f 在] ,(b a 上有定义，而在a 的右邻域内无界．若对任何正数ε，)(x f 在] ,[b a ε+上可积，则称形式⎰badx x f )(．为)(x f 在] ,(b a 上的广义积分．若极限⎰+→+ba dx x f εε )(lim 0，存在，则称广义积分收敛，并以这极限值为它的值，即⎰⎰+→+=ba badx x f dx x f εε )(lim )(0．若极限不存在，则称广义积分发散．与无穷限广义积分一样，记号的含义是指考察变下限积分⎰+=b a dx x f F εε )()(， a b -<<ε0当+→0ε时的极限情形．这里a 称为函数)(x f 的瑕点，因此无界函数的广义积分也称为瑕积分．同样也利用极限⎰-→+εεb adx x f )(lim来定义b 为瑕点的广义积分的敛散性．若)(x f 的瑕点c 在闭区间] ,[b a 的内部，即b c a <<，则广义积分⎰ba dx x f )(定义为⎰⎰⎰+=bcc abadx x f dx x f dx x f )( )( )(，它当且仅当右边两个积分都收敛时才收敛，否则左边的广义积分发散．例5 计算广义积分⎰-axa dx 022)0(>a ．解 a x =为函数221xa -的瑕点．εεεε-→-→++=-=-⎰⎰a a aa x xa dxx a dx 00022022][arcsin lim lim21arcsin arcsinlim 0πεε==-=+→a a ．例6 讨论广义积分⎰-112x dx的敛散性．解 0=x 为函数21x的瑕点．由于+∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+++→→→⎰εεεεεε11lim 1lim lim010120x x dx ， 所以广义积分⎰102x dx发散，从而推出广义积分⎰-112x dx 发散． 注意，如果我们疏忽了0=x 是瑕点，就会得出错误的结果：2111112-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=--⎰x x dx ． 例7 证明广义积分⎰10q xdx当1<q 时收敛，当1≥q 时发散． 证 当1=q 时，⎰⎰+∞===10101ln x xdx x dx q ． 当1≠q 时，⎪⎩⎪⎨⎧>∞+<-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-⎰1 ,1 ,11111011q q qx q x dx q q ． 所以这广义积分当1<q 时收敛，其值为q-11，当1≥q 时发散． 3. 两种广义积分的联系任何无界函数的广义积分都可以化为无穷限广义积分． 设)(x f 在],(b a 内任何闭区间上都可积，a x =是瑕点，则 ⎰⎰+→+=b a ba dx x f dx x f εε)(lim )(0．若令ax u -=1，就有 ⎰⎰⎰=+=-+εεϕε111)()1()(2k ba du u udu u a f dx x f ab ，其中)1(1)(2u a f uu +=ϕ，a b k -=1．于是⎰⎰⎰+∞→==+kk badu u du u dx x f )()(lim )(1ϕϕεε，这时上式右边是无穷限广义积分．同样，对于无穷限广义积分⎰⎰+∞→+∞=bab adx x f dx x f )(lim)(，只要令xau =，就有 ⎰⎰⎰=-=112)())(()(ba ba du u du u au a f dx x f ba ψ，于是⎰⎰⎰==+∞→+∞11)()(lim)(du u du u dx x f bab aψψ．其中)()(2ua f u a u =ψ，0=u 是它的瑕点，即上式右边为无界函数的广义积分．§ 定积分的应用定积分是具有特定结构的和式的极限．如果从实际问题中产生的量(几何量或物理量)在某区间],[b a 上确定，当把],[b a 分成若干个子区间后，在],[b a 上的量Q 等于各个子区间上所对应的部分量Q ∆之和(称量Q 对区间具有可加性)，我们就可以采用“分割、近似求和、取极限”的方法，通过定积分将量Q 求出．现在我们来简化这个过程：在区间],[b a 上任取一点x ，当x 有增量x ∆(等于它的微分dx )时，相应地量)(x Q Q =就有增量Q ∆，它是Q 分布在子区间],[dx x x +上的部分量．若Q ∆的近似表达式为dQ dx x f Q =≈∆)(，则以dx x f )(为被积表达式求从a 到b 的定积分．即得所求量 ⎰=ba dx x f Q )(．这里的dx x f dQ )(=称为量Q 的微元，或元素，这种方法称为微元法．它虽然不够严密，但具有直观、简单、方便等特点，且结论正确．因此在实际问题的讨论中常常被采用．本节我们将讲述微元法在几何与物理两方面的应用．1. 平面图形的面积 1) 直角坐标的面积公式根据定积分的几何意义，若)(x f 是区间],[b a 上的非负连续函数，则)(x f 在],[b a 上的曲边梯形(图6—1)的面积为⎰=ba dx x f A )(．若)(x f 在],[b a 上不都是非负的(图6—3)，则所围面积为 ⎰=ba dx x f A )( ．一般地，若函数)(1x f 和)(2x f 在],[b a 上连续且总有)()(21x f x f ≤，则由两条连续曲线)(1x f y =，)(2x f y =与两条直线a x =，b x =所围的平面图形(图6—6)的面积元素为dx x f x f dA )]()([12-=． 所以⎰-=ba dx x f x f A )]()([12．图6—6如果连续曲线的方程为)0( )(≥=y x ϕ，则由它与直线c y =，d y =(d c <)及y 轴所围成的平面图形(图6—7)的面积元素为dy y dA )(ϕ=． 所以=ddy y A )(ϕ．xo图6—7其它情形也容易写出与公式、相仿的公式．例1 求由两条抛物线x y =2，2x y =所围图形(图6—8)的面积． 解 联立⎪⎩⎪⎨⎧==22xy xy 解得0=x 及1=x ．所围的面积为313132)(10310223=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=⎰x x dx x x A ． 图6—8例2 求由抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围图形(图6—9)的面积． 解 联立⎩⎨⎧-==422x y xy 解得曲线与直线的交点)2,2(-和)4,8(．以x 为积分变量，则所求面积为[][]dx x x dx x x A )4(2 )2(28220⎰⎰--+--= 图6—91842322322282222323=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+⋅=x x x x ．若以y 为积分变量，则18642)24(4232422=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=-+=--⎰y y y dy y y A ．从例2看出，适当选取积分变量，会给计算带来方便．例3 求椭圆12222=+by a x 的面积 (图6—10)．解 由于椭圆关于x 轴与y 轴都是对称的，故它的面积是位于第一象限内的面积的4倍．⎰⎰-==a adx x a abydx A 022044 ab a x a x a x a b aπ=⎤⎢⎣⎡+-=222arcsin 224． 在例3中，若写出椭圆的参数方程⎩⎨⎧==t b y t a x sin cos )20(π≤≤t ， 应用换元公式得⎰⎰=-=2220sin 4)sin (sin 4ππtdt ab dt t a t b Aab ab ππ=⋅=44． 图6—10一般地，若曲线由参数方程)( ),(t y t x ψϕ== )(βα≤≤t给出，其中)(),(t t ψϕ及)(t ϕ'在],[βα上连续，记b a ==)(,)(βϕαϕ，则由此曲线与两直线b x a x ==,及x 轴所围图形的面积为dt t t A )( )( ψψβα'=⎰．例4 求由摆线)cos 1( ),sin (t a y t t a x -=-=的一拱)20(π≤≤t 与横轴所围图形(图6—11)的面积．解 dt t a t a A )cos 1()cos 1(20⎰-⋅-=π22022)2sin 2(⎰=πt a(令θ=2t)⎰⎰==24242sin 16 sin 8πθθθθπd ad a图6—112) 极坐标的面积公式设围成平面图形的一条曲边由极坐标方程 )(θr r = )(βθα≤≤给出，其中)(θr 在],[βα上连续，παβ2≤-．由曲线)(θr r =与两条射线βθαθ==,所围成的图形称为曲边扇形(图6—12)．试求这曲边扇形的面积．图6—12应用微元法．取极角θ为积分变量，其变化区间为],[βα．相应于任一子区间],[θθθd +的小曲边扇形面积近似于半径为)(θr ，中心角为θd 的圆扇形面积．从而得曲边扇形的面积元素θθd r dA )(212=． 所求面积为⎰=βαθθd r A )(212． 例5 求心形线)cos 1(θ-=a r 所围图形(图6—13)的面积． 解 利用对称性，所求面积为 θθπd a A 22)cos 1(⎰-=θθπd a ⎰=0422sin 4 (令t =2θ)22042234438sin 82a a dt t a πππ=⋅⋅==⎰．例6 求由两曲线θsin 2=r ，θ2cos 2=r 图 6—13 所围图形(图6—14)的面积．解 联立⎪⎩⎪⎨⎧==θθ2cos sin 22r r )0(πθ≤≤ 解得 61πθ=，652πθ=．利用对称性，所求面积为图 6—14⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰⎰4662cos21)sin2(2122πππθθθθddA4662sin2142sin22πππθθθ+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2316-+=π．2.立体体积1) 已知平行截面面积的立体体积设空间某立体夹在垂直于x轴的两平面ax=，bx=)(ba<之间(图6—15)图 6—15以)(xA表示过)(bxax<<，且垂直于x轴的截面面积．若)(xA为已知的连续函数，则相应于],[ba的任一子区间],[dxxx+上的薄片的体积近似于底面积为)(xA，高为dx 的柱体体积．从而得这立体的体积元素dxxAdV)(=所求体积为⎰=b a dxxAV)(．例7 设有一截锥体，其高为h，上下底均为椭圆，椭圆的轴长分别为a2，b2和A2，B2，求这截锥体的体积．解取截锥体的中心线为t轴(图6—16)，即取t为积分变量，其变化区间为],0[h．在],0[h上任取一点t，过t且垂直于t轴的截面面积记为xy π．容易算出 图6—16t h a A a x -+=， t hbB b y -+=． 所以这截锥体的体积为⎰-+-+=h dt t hb B b t h a A a V 0 ))((π)](2[6AB ab Ab aB h+++=π．2) 旋转体的体积旋转体是一类特殊的已知平行截面面积的立体，容易导出它的计算公式．例如 由连续曲线)(x f y =，] ,[b a x ∈绕x 轴旋转一周所得的旋转体(图6—17)．由于过)( b x a x ≤≤,且垂直于x 轴的截面是半径等于)(x f 的圆，截面面积为)()(2x f x A π=． 所以这旋转体的体积为⎰=ba dx x f V )(2π．类似地，由连续曲线],[ ),(d c y y x ∈=ϕ绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积为 ⎰=dc dy y V )(2ϕπ．例8 求底面半径为r ，高为h 的正圆锥体的体积．解 这圆锥体可看作由直线x hry =，] ,0[h x ∈绕x 轴旋转一周而成(图6—18)，所以体积V =y图6—18例9 求由椭圆12222=+by a x 绕x 轴旋转而产生的旋转体的体积．解 这个旋转椭球体可看作由半个椭圆 22x a aby -=绕x 轴旋转一周而成．所以它的体积20222222234 )(2)(ab dx x a a b dx x a a b V a aa πππ=-=-=⎰⎰-．特别当r b a ==时得半径为r 的球体体积 334r V π=球．3. 平面曲线的弧长设有一曲线弧段AB ，它的方程是 )(x f y =， ] ,[b a x ∈．如果)(x f 在] ,[b a 上有连续的导数，则称弧段AB 是光滑的，试求这段光滑曲线的长度．应用定积分，即采用“分割、近似求和、取极限”的方法，可以证明：光滑曲线弧段是可求长的．从而保证我们能用简化的方法，即微元法，来导出计算弧长的公式．如图6—19所示，取x 为积分变量，其变化区间为] ,[b a ．相应于] ,[b a 上任一子区间],[dx x x +的一段弧的长度，可以用曲线在点))(,(x f x 处切线上相应的一直线段的长度来近似代替，这直线段的长度为dx y dy dx 2221)()('+=+，于是得弧长元素(也称弧微分) dx y ds 21'+=， 因此所求的弧长为 ⎰'+=b adx y s 21．图6—19若弧段由参数方程⎩⎨⎧==)()(t y y t x x ],[βα∈t给出，其中)(),(t y t x 在],[βα上有连续的导数，且0)]([)]([22≠'+'t y t x ．则弧长元素，即微弧分为dt t y t x ds 22)]([)](['+'=，所以dt t y t x s ⎰'+'=βα22)]([)]([．若弧段由极坐标方程 )(θr r =， ],[21θθθ∈给出，其中)(θr 在],[21θθ上有连续的导数，则应用极坐标θθsin ,cos r y r x ==，可得θθsin cos r r x -'='， θθcos sin r r y +'='，利用公式推出θβαd r r s ⎰'+=22．例10 求悬链线2xx e e y -+=从0=x 到a x =那一段的弧长(图6—20)．解 2xx e e y --='代入公式，得dx y s a ⎰'+=021⎰---=+=aaaxxe e dx e e 022． 图6—20例11 在摆线)sin (t t a x -=，)cos 1(t a y -=上求分摆线第一拱(图6—11)成1:3的点的坐标．解 设τ=t 时，点的坐标))(),((ττy x 分摆线第一拱成1:3．由于弧微分。
fx的定积分的导数
fx的定积分的导数在微积分中，定积分是一个重要的概念，它可以用来计算曲线下的面积或者求解一些实际问题。
而定积分的导数则是对定积分进行微分运算，它在数学和物理学中都有广泛的应用。
首先，我们来回顾一下定积分的定义。
对于一个函数f(x)，在区间[a, b]上的定积分可以表示为∫[a, b] f(x) dx。
这个定积分表示了函数f(x)在区间[a, b]上的曲线下的面积。
现在，我们来考虑定积分的导数。
假设函数f(x)在区间[a, b]上是连续的，并且在[a, b]上的每个点都有定义。
那么，我们可以定义一个新的函数F(x)，它表示了在区间[a, x]上的定积分。
即F(x) = ∫[a, x] f(t) dt。
现在，我们来思考一下F(x)的导数。
根据微积分的基本原理，我们可以使用极限的概念来定义F(x)的导数。
即F'(x) = lim(h→0) [F(x+h) -F(x)] / h。
根据定义，我们可以将F(x+h) - F(x)展开为∫[a, x+h] f(t) dt - ∫[a, x] f(t) dt。
然后，我们可以利用定积分的性质进行简化。
根据定积分的加法性质，我们可以将这个式子变为∫[x, x+h] f(t) dt。
接下来，我们可以将这个定积分进行近似。
根据微积分的基本原理，我们可以使用泰勒展开来近似函数f(t)。
即f(t) ≈ f(x) + f'(x)(t-x) + O((t-x)^2)。
将这个近似代入定积分中，我们可以得到∫[x, x+h] [f(x) + f'(x)(t-x) + O((t-x)^2)] dt。
然后，我们可以对这个定积分进行计算。
根据定积分的线性性质，我们可以将这个定积分分解为三个部分：∫[x, x+h] f(x) dt + ∫[x, x+h]f'(x)(t-x) dt + ∫[x, x+h] O((t-x)^2) dt。
根据定积分的性质，第一个定积分∫[x, x+h] f(x) dt可以简化为f(x) * h。