必修一函数的单调性1(含答案)
人教版数学必修一函数的单调性与最大值
人教版数学必修一函数的单调性与最大值-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN一、函数的单调性1.增函数和减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1< x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1< x2时，都有f(x1) >f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数2.函数的单调性与单调区间如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间（1）在某个区间具有单调性：①这个区间可以是整个定义域.如：y=x在整个定义域R上是增函数，②这个区间也可以是定义域的真子集，如：y=x²在定义域（-∞，+∞）上不具有单调性，但在（-∞，0 ] 上是减函数，在 [ 0，+∞）上是增函数（2）单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的x1，x2有以下几个特征：一是任意性，，即“任意取x1，x2”，“任意”两字不能丢；二是有大小，通常规定x1<x2；三是属于同一单调区间（3）单调性能使自变量取值之间的不等关系和函数值得不等关系正逆互推，即由f(x)是增函数且f（x1）<f（x2）↔x1<x2（4）有的函数不具有单调性，如函数y={1，x为有理数0，x为无理数，它的定义域为R，但不具有单调性，函数y=x+1,x∈Z它的定义域不是区间，也不能说它在其定义域上具有单调性（5）如果函数f(x)在其定义域内的两个区间A，B 上都是增（减）函数，一般不能认为f（x）在A∪B上是增（减）函数，例如f(x)=1x在（-∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是减函数，但是不能说其在（-∞，0）∪（0，+∞）上是减函数，在这里，正确的写法应为：“（-∞，0），（0，+∞）”或“（-∞，0）和（0，+∞）”（6）图像特征：在某区间上，单调递增的函数f(x)，从左向右看，其图像时上升的，单调递减的函数f(x)，从左向右看，其图像时下降的（7）函数在某一点处的单调性无意义例1：如图，是定义在[-5,5]上的函数y=f(x)的图像，根据图像写出单调区间，以及在每一个区间上函数y=f(x)的单调性3.判断函数单调性的方法定义法：①取值：在指定区间内任取x1，x2，且令x1<x2②做差变形：将f(x1)-f(x2)进行化简变形，变形后判断f(x1)-f(x2)的正负③定号：确定f(x1)-f(x2)的符号，若不能直接确定差值的符号，可以考虑分类讨论④判断：根据增减函数的定义做出结论例2：用单调性的定义求函数f(x)=2x²+4x在[-1,+∞）上的单调性例3：利用函数单调性的定义证明函数f(x)=1x2在（-∞，0）上是增函数4.函数的最大（小）值（1）函数最大值的概念一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0) =M那么我们称M是函数y=f(x)的最大值（2）最值的求法①做出函数图象，尤其是分段函数或解析式含有军队之的函数，从图像中直接观察可得最值②求函数的值域，其边界即为最值，此时要注意边界值是否能取到（即最值是否存在）③利用函数单调性求最值：若函数在[a,b]上是减函数，则f(x)在[a,b]上的最大值为f(a).最小值为f(b)若函数在[a,b]上是增函数，则f(x)在[a,b]上的最大值为f(b).最小值为f(a)例4：如图为函数y=f(x)，x∈[-4,7]的图像，指出它的最大值、最小值例5：已知2x²-3x≤0，则函数f(x)=x²+x+1的最小值为________最大值为________5.复合函数单调性以复合函数y=f(g(x))为例，其单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单调性相同时递增，相异时递减求复合函数单调区间的步骤：①确定函数的定义域②将符合函数分解成基本初等函数：y=f(u),u=g(x)③分别确定这两个函数的单调区间④若这两个函数同增或同减，则y=f(g(x)) 为增函数，若一增一减，则y=f(g(x)) 为减函数例6：已知函数f(x)=2x∈[2,6],试判断函数f(x)在x∈[2,6]上的单调性，x−1并求出函数f(x)在x∈[2,6]上的最大值和最小值的单调性例7：讨论函数f(x)=1x²−x−20练习：1.判断函数f(x)=1x²−1在区间（1，+∞）上的单调性，并用单调性的定义证明2.已知二次函数f(x)=ax ²+2ax+1在区间[-2,3]上的最大值为6，则a 的值为________1.若函数y=f(x)的图像如图所示，则其函数解析式为__________2.已知f(x)= {求函数f(x)的定义域和值域3.设函数f(x)={x +2,x >01,x =0−x ,x <0,则满足f(x)≥1的取值范围是_________4.已知函数f(x)={3x +5，x ≤0x +5，0＜x ≤1−2x +8，x >1（1）求f(32),f(1π)，f(-1)的值（2）求f(x)的最大值5.已知f(x)是一次函数，2f(2)-3f(1)=5,2f(0)-f(-1)=1,则f(x)=__________6.已知函数f(x)=x²-2（a-1）x+2，x∈[-5.5]（1）求实数a的取值范围，是函数f(x)在区间[-5,5]上是单调函数（2）求f(x)的最小值。
数学必修一单调性
目录
• 单调性的定义 • 单调性的判定 • 单调性的应用 • 单调性的性质 • 单调性的扩展知识
01
单调性的定义
函数单调性的定义
函数单调性是指函数在某个区间内的增减性。如果函数在某个区间内单调递增，那么对于该区间内的任意两个数$x_1$和$x_2$， 当$x_1 < x_2$时，都有$f(x_1) leq f(x_2)$；反之，如果函数在某个区间内单调递减，那么对于该区间内的任意两个数$x_1$和 $x_2$，当$x_1 < x_2$时，都有$f(x_1) geq f(x_2)$。
导数法
利用导数与函数单调性的关系，通过判断导数的正负来判断函数的单调 性。
03
图像法
通过观察函数的图像来判断函数的单调性。如果图像在某区间内从左到
右逐渐上升，则函数在该区间内单调递增；如果图像在某区间内从左到
右逐渐下降，则函数在该区间内单调递减。
单调性判定例题解析
0102Βιβλιοθήκη 0304例题1
判断函数f(x) = x^3在区间(-∞, +∞)上的单调性。
例子
对于函数 (f(x) = x^3)，在 (x = 0) 处函数由递减变为递增，因此 (x = 0) 是该函数的极小值点。
单调性在实际问题中的应用
总结词
单调性在实际问题中有着广泛的应用，通过单调性可以分析各种实际问题的变化趋势，从而做出合理的决策。
详细描述
单调性可以用于分析各种实际问题，如经济问题、物理问题等。例如，在经济学中，通过分析需求函数和供给函数的 单调性，可以预测市场的价格变化趋势；在物理学中，通过分析受力函数的单调性，可以判断物体的运动状态。
单调函数在定义域内是单调的
必修一-人教版-函数的单调性
[
)
2
(
=
-
x
x
t
f
x
f
∈
）上是增函数，
，
（
在
6
2
)
(
t
t
f
∈
如何判断函数
证明：
如何应用函数
解：
己知a,b,c∈R,且a<0,6a+b<0.设f(x)=ax2+bx+c,试比较f(3)、与f(π)的大小.
即抛物线顶点横坐标<3，又开口向下，所以二次函数f（x）在 上递增.
而x≥3，∴f(x+1)－f(x)＞0，
可知f(x)（x≥3）是递增函数，∵f(3)=23－2×3=2＞1，
故有2n＞2n＋1.
例4：求函数 的值域；
解：易知函数是单调递增函数，又因为函数的定义域是x∈( -∞,5]； 所以当x=5时，y最大=10， 故函数的值域为( -∞,10]；
例2
解：设
此时f（x）为减函数.
当a>0时， f(x1)<f(x2)，此时f(x)为增函数.
题型二：图象法
例3：指出下列函数的单调区间：
(
)
1
1
2
-
=
x
y
例4：指出下列函数的单调区间：
(
)
3
2
2
2
+
+
-
=
x
x
y
题型三：利用已知函数单调性判断
例3：判断函数
在(1,+∞)上的单调性。
结论1：y＝f(x)(f(x) 恒不为0），与 的单调性相反。
另解：若令 ，易知
高中数学必修一：函数的单调性与最值
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2 6．函数 f(x)＝ 在[－2,0]上的最大值与最小值之差为_____． x－ 1
解析：易知 f(x)在[－2,0]上是减函数， 2 4 ∴f(x)max－f(x)min＝f(－2)－f(0)＝－ －(－2)＝ . 3 3
4 答案： 3
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课 堂 考 点突破
练透基点，研通难点，备考不留死角
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3．谨防 3 种失误 (1)单调区间是定义域的子集，故求单调区间应以“定义 域优先”为原则．(如冲关演练第 1 题) (2)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示． (3)图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，” 连接，不能用“∪”连接．
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[冲关演练] 1．(2017· 全国卷Ⅱ)函数 f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是 ( A．(－∞，－2) C．(1，＋∞) B．(－∞，1) D．(4，＋∞) )
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考点一
确定函数的单调性区间
[考什么·怎么考]
确定函数的单调性是函数单调性问题的基础，是 高考的必考内容，多以选择题、填空题的形式出现， 但有时也出现在解答题的某一问中，属于低档题目.
[典题领悟]
ax 1．试讨论函数 f(x)＝ (a≠0)在(－1,1)上的单调性． x－1
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x－1＋1 1 1 ＋ 解：法一：设－1<x1<x2<1，f(x)＝a ＝ a ， x － 1 x－1
为减函数， 为增函数；
3 x∈2，＋∞时，f(x)＝x2－3x
1 当 x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－ 为增函数； x＋1 当 x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－|x|为减函数．
答案：C
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3．函数 f(x)＝|x－2|x 的单调减区间是 A．[1,2] C．[0,2] B．[－1,0] D．[2，＋∞)
高一数学 必修一 第一章 1.3 1.3.1 第一课时 函数的单调性
3．已知函数y＝f(x)的图象，如图所示．
试写出函数y＝f(x)的单调区间．
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解：观察图象可知，函数y＝f(x)的图象在区间[－2,1] 和[4,6]上均是上升的，在区间[1,4]上是下降的，所以 函数y＝f(x)的单调递增区间是[－2,1]，[4,6]，单调递 减区间是[1,4]．
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4．求下列函数的单调区间． (1)y＝5x； (2)y＝x2－2x－3； (3)y＝3|x|.
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6．若 y＝(2k－1)x＋b 是 R 上的减函数，则有 ( )
A．k>12
B．k>－12
C．k<12
D．k<－12
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解析：若 y＝(2k－1)x＋b 是 R 上的减函数，则必有 2k－1<0，∴k<12. 答案：C
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7．函数 y＝f(x)在[0，＋∞)上是减函数，则 f(34)与
f(a2－a＋1)的大小关系为 f(34)______f(a2－a＋1)．
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观察下列函数图象：
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问题1：该函数f(x)的定义域是什么？ 提示：[－3,5]． 问题2：该函数f(x)的最高点和最低点的纵坐标分别 是多少？ 提示：2，－1.5. 问题3：函数y＝f(x)的值域是什么？ 提示：f(x)∈[－1.5,2]．
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函数的最大值与最小值
条件
结论
(1)对于任意的x∈I，都有 设函数y＝
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解：(1)函数的单调减区间是(－∞，0)，(0，＋∞). (2)函数 y＝x2－2x－3 的对称轴方程是 x＝1，并且图像开口向 上，所以其单调减区间是(－∞，1]，单调增区间是[1，＋∞)． (3)f(x)＝3|x|＝3－x，3x，x≥x0<，0. 由一次函数的单调性可得：f(x)的单调减区间是(－∞，0)，单 调增区间是[0，＋∞)．
数学必修一《函数的单调性》精选练习(含答案解析)
数学必修一《函数的单调性》精选练习（含答案解析）一、选择题1.对于函数y=f(x),在给定区间上有两个数x1,x2,且x1<x2,使f(x1)<f(x2)成立,则y=f(x) ( )A.一定是增函数B.一定是减函数C.可能是常数函数D.单调性不能确定2.下列函数中,在区间(0,1)上是增函数的是( )A.y=|x|B.y=3-xC.y=D.y=-x2+43下列函数中,在区间(0,2)上为增函数的是( )①y=-x+1;②y=-;③y=x2-4x+5;④y=.A.①B.②C.③D.④4.函数f(x)在区间(-2,3)上是增函数,则y=f(x+4)的递增区间是( )A.(2,7)B.(-2,3)C.(-6,-1)D.(0,5)5.如果函数f(x)在[a,b]上是增函数,对于任意的x1,x2∈[a,b](x1≠x2),则下列结论中不正确的是( )A.>0B.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0C.f(a)<f(x1)<f(x2)<f(b)D.>06.函数f(x)=x2-2(a-1)x+1在区间[5,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围是( )A.[6,+∞)B.(6,+∞)C.(-∞,6]D.(-∞,6).7.函数f(x)=2x2-mx+3,当x∈(-∞,-2]时是减函数,x∈[-2,+∞)时是增函数,则f(1)等于( )A.-3B.13C.7D.由m而定的常数8.设函数f(x)在(-∞,+∞)上为减函数,则( )A.f(a)>f(2a)B.f(a2)<f(a)C.f(a2+a)<f(a)D.f(a2+1)<f(a)二、填空题9.函数f(x)=的减区间是.10.设函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈R都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,则f(-3)与f(-π)的大小关系是.11.已知函数f(x)在R上是减函数,A(0,-2),B(-3,2)是其图象上的两点,那么不等式-2<f(x)<2的解集为.12.函数y=在(-2,+∞)上为增函数,则a的取值范围是.13.f(x)是定义在[0,+∞)上的减函数,则不等式f(x)<f(-2x+8)的解集是.三、解答题14.如图分别为函数y=f(x)和y=g(x)的图象,试写出函数y=f(x)和y=g(x)的单调增区间.15.已知函数f(x)=.(1)求f(x)的定义域.(2)判断函数f(x)在(1,+∞)上的单调性,并用单调性的定义加以证明.16.设函数f(x)是R上的单调增函数,F(x)=f(x)-f(2-x).求证:函数F(x)在R上是单调增函数.17.定义在R上的函数f(x)满足:f(m+n)=f(m)+f(n)-2对任意m,n∈R恒成立.当x>0时,f(x)>2.(1)证明f(x)在R上是增函数.(2)已知f(1)=5,解关于t的不等式f(t-1)≤8.参考答案与解析1【解析】选D.由单调性定义可知,不能用特殊值代替一般值.【误区警示】本题易错选A,原因是对增函数概念理解不到位,用特殊值代替一般值,因而是错误的.2【解析】选A.B在R上为减函数;C在(-∞,0)和(0,+∞)上为减函数;D在(-∞,0)上为增函数,在(0,+∞)上为减函数.3【解析】选B.结合函数的图象可知②在区间(0,2)上为增函数,而①③④在区间(0,2)上均为减函数.4【解析】选C.函数y=f(x+4)是函数f(x)向左平移4个单位得到,因为函数f(x)在区间(-2,3)上是增函数,所以y=f(x+4)的增区间为(-2,3)向左平移4个单位,即增区间为(-6,-1).5【解析】选C.由函数单调性的定义可知,若函数y=f(x)在给定的区间上是增函数,则x1-x2与f(x1)-f(x2)同号,由此可知,选项A,B,D正确;对于C,若x1<x2时,可能有x1=a或x2=b,即f(x1)=f(a)或f(x2)=f(b),故C不成立.6【解析】选C.函数f(x)的对称轴x=a-1,因为函数f(x)在[5,+∞)上是增函数,所以a-1≤5,所以a≤67【解析】选B.由题意知=-2,所以m=-8,所以f(x)=2x2+8x+3,f(1)=2+8+3=13. 8【解析】选D.因为a2+1-a=+>0,所以a2+1>a,又因为函数f(x)在(-∞,+∞)上为减函数,所以f(a2+1)<f(a).9【解题指南】本题可先作出函数图象,由图象观察减区间.【解析】函数f(x)的图象如图所示.则减区间是(0,1].答案:(0,1]10【解析】由(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,可知函数f(x)为增函数,又因为-3>-π,所以f(-3)>f(-π).答案:f(-3)>f(-π)11【解析】因为A(0,-2),B(-3,2)在函数y=f(x)的图象上,所以f(0)=-2,f(-3)=2,故-2<f(x)<2可化为f(0)<f(x)<f(-3),又f(x)在R上是减函数,因此-3<x<0. 答案:(-3,0)【解析】因为y==1-,所以函数的单调增区间为(-∞,-a),(-a,+∞),要使函数在(-2,+∞)上为增函数,只要-2≥-a,即a≥2.答案:a≥213【解析】依题意,得不等式组解得<x≤4.答案:【误区警示】解答本题时易忽视函数定义域而出错.14【解题指南】根据函数的图象写出函数的单调区间,主要是观察图象,找到最高点或最低点的横坐标,便可得到一个单调区间,由图象的上升或下降的趋势确定是递增还是递减的区间.【解析】由题意,确定函数y=f(x)和y=g(x)的单调增区间,即寻找图象中呈上升趋势的一段图象.由图(1)可知,在[1,4)和[4,6)内,y=f(x)是单调递增的.由图(2)可知,在和内,y=g(x)是单调递增的.15【解析】(1)由x2-1≠0,得x≠±1,所以函数f(x)=的定义域为{x∈R|x≠±1}.(2)函数f(x)=在(1,+∞)上是减函数.证明:任取x1,x2∈(1,+∞),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=-=.因为x2>x1>1,所以-1>0,-1>0,x2-x1>0,x2+x1>0,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以函数f(x)=在(1,+∞)上是减函数.16【证明】任取x1,x2∈R,且x1<x2,因为函数f(x)是R上的单调增函数,所以f(x1)<f(x2),f(2-x1)>f(2-x2),即f(x1)-f(x2)<0,f(2-x1)-f(2-x2)>0,所以F(x1)-F(x2)=[f(x1)-f(2-x1)]-[f(x2)-f(2-x2)]=[f(x1)-f(x2)]+[f(2-x2)-f(2-x1)]<0,即F(x1)-F(x2)<0,所以F(x1)<F(x2).所以函数F(x)在R上是单调增函数.17【解析】(1)对任意x1,x2∈R,且x1<x2,所以x2-x1>0,所以f(x2-x1)>2,f(x1)-f(x2)=f(x1)-f(x2-x1+x1)=f(x1)-f(x2-x1)-f(x1)+2=2-f(x2-x1)<0,所以f(x1)<f(x2),所以f(x)在R上是增函数.(2)因为f(1)=5,所以f(2)=f(1)+f(1)-2=8,由f(t-1)≤8得f(t-1)≤f(2).因为f(x)在R上为增函数,所以t-1≤2,即t≤3, 故不等式的解集为{t|t≤3}.。
人教A版必修一第一章1.3.1 第1课时单调性与最大(小)值
k≠0)与一次函数(y＝ kx＋b，k≠0)
k＜0
无
R
反比例函数 (y＝kx，k≠0)
k＞0
无
k＜0 (－∞，0)和 (0，＋∞)
(－∞，0)和 (0，＋∞)
无
二次函数 (y＝ax2＋bx＋c，
a≠0)
a＞0 a＜0
[－2ba，＋∞) (－∞，－2ba]
(－∞，－2ba] [－2ba，＋∞)
• 1．函数y＝f(x)在区间(a，b)上是减函数，x1，x2∈(a，b)，
• 『规律方法』 利用函数的单调性解函数值的不等式就是 利用函数在某个区间内的单调性，去掉对应关系“f”，转
化为自变量的不等式，此时一定要注意自变量的限制条件， 以防出错．
• 〔跟踪练习3〕 • 已知函数g(x)是定义在R上为增函数，且g(t)>g(1－2t)，求
实数t的取值范围．
[解析] ∵g(x)在R上为增函数，且g(t)>g(1－2t)， ∴t>1－2t，∴t>13，即所求t的取值范围为(13，＋∞)．
• 『规律方法』 1.函数单调性的证明方法——定义法 • 利用定义法证明或判断函数单调性的步骤是：
• 2．用定义证明函数单调性时，作差f(x1)－f(x2)后，若f(x)为 多项式函数，则“合并同类项”，再因式分解；若f(x)是 分式函数，则“先通分”，再因式分解；若f(x)解析式是 根式，则先“分子有理化”再分解因式．
(2)设x1>x2>－1， 则x1－x2>0，x1＋1>0， x2＋1>0， y1－y2＝x12＋x11－x22＋x21 ＝x12＋x11－xx2＋2 1>0， ∴y1>y2， ∴函数y＝x＋2x1在(－1，＋∞)上为增函数．
高中 必修一 函数单调性 知识点+例题 全面
学科教师辅导教案―函数单调性教学内容1、概念： 单调增函数：一般地，设函数y=f(x)的定义域为A ，区间I ⊆ A.如果对于区间I 内的任意两个值x 1, x 2，当x 1< x 2时，都有f(x 1) < f(x 2)，那么就说y=f(x)在区间I 上是单调增函数，I 称为y=f(x)的单调增区间.单调减函数：一般地，设函数y=f(x)的定义域为A ，区间I ⊆ A.如果对于区间I 内的任意两个值x 1, x 2，当x 1< x 2时，都有f(x 1) > f(x 2)，那么就说y=f(x)在区间I 上是单调减函数，I 称为y=f(x)的单调减区间.2、函数单调性的几何意义：函数的单调性在图像上的反映是：若f(x)在区间I 上是单调增函数，则它的图像在I 上的部分从左到右是上升的；若f(x)在区间I 上是单调减函数，则它的图像在I 上的部分从左到右是下降的；3、单调区间：如果函数y=f(x)在区间I 上是单调增函数或者单调减函数，那么就说函数y=f(x)在区间I 上具有单调性.单调增区间 和单调减区间统称为单调区间.【注意点】1、在函数的单调性定义中，x 1,x 2有三个特征：一是任意：即区间内任意取两个值x 1,x 2；二是有大小：一般设x 1< x 2；三是同属于一个单调区间：任意x 1,x 2∈I.2、理解函数单调区间应注意的问题：①函数的单调区间是函数定义域的子集，求函数的单调区间必须先求函数的定义域；②单调区间可以是开区间，也可以是闭区间.但对于某些点无意义时，单调区间就不包括这些点，要用开区间；③一个函数出现两个或两个以上单调区间时，不能用“∪”，而应用“，”或“和”连接；如xy 1=在（-∞，0）和（0，+∞）上为减函数，而不能说在（-∞，0）∪（0，+∞）上是减函数； ④函数的单调性是一个局部性质，介绍函数单调性时，一定要指出在哪一个区间上，而不能笼统说函数是单调的；⑤单调性与单调函数的区别：单调性是指在函数定义域的子区间上具有单调性，但在整个定义域上不一定具有单调性，如xy 1=在（-∞，0）和（0，+∞）上分别具有单调性，但是它不是单调函数；函数y=3x+1在整个定义域上是单调递增的，具有单调性，是单调函数.域上是单调递增的，具有单调性，是单调函数.知识模块1函数单调性的概念y 2y 1 x y =x 2 x 2 0 x 2 x 1 x y y =x 2 0 y 1 x y y 2x 1[例1]根据下图说出函数在每个单调区间上是增函数还是减函数？[巩固1]下图是定义在（-5，5）上的函数y=f(x)的图像，根据图像说出函数y=f(x)的单调区间以及在每一个区间上y=f(x)是单调增函数还是单调减函数.[例2] 说出下列函数的单调区间及在各个单调区间上的单调性.（1）xy1=（2）11-=xy（3）32+=xy（4）322-+=xxy[巩固2]下列说法不正确的是____________①若x1,x2∈I，当x1<x2时，f(x1) < f(x2)，则y=f(x)在I上是单调增函数②函数y=x2在R上是单调增函数③函数xy1-=在定义域上是单调增函数④函数xy1=的单调减区间是（-∞，0）∪（0，+∞）思考：一次函数、二次函数、反比例函数的单调性是怎样的？1、定义法：（1）取值：在区间内任取x1，x2，且x1< x2；（2）比较大小：比较f(x1) 和f(x2)的大小（作差或作商），并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形；（3）根据定义，得出结论.当符号不确定时，可以进行分类讨论，在确定差的符号.[例1] 证明函数322-+=xxy在（-1，+∞）上的单调性.知识模块2函数单调性的判定与证明精典例题透析。
高中数学必修一-函数的单调性
函数的单调性知识集结知识元利用定义判断函数单调性知识讲解1.定义一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．2.单调区间若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间.单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“和”或“，”连结．3.定义变式设任意x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，那么①⇔f（x）在[a，b]上是增函数；⇔f（x）在[a，b]上是减函数．②（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0⇔f（x）在[a，b]上是增函数；（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0⇔f（x）在[a，b]上是减函数．例题精讲利用定义判断函数单调性例1.如果函数f（x）＝（12﹣a）x在实数集R上是减函数，那么实数a的取值范围是（）A．（0，12）B．（12，＋∞）C．（﹣∞，12）D．（﹣12，12）例2.函数f（x）＝（k＋1）x＋b在实数集上是增函数，则有（）A．k＞1B．k＞﹣1C．b＞0D．b＜0例3.函数①y＝|x|；②y＝；③y＝；④y＝x＋在（﹣∞，0）上为增函数的有（填序号）．例4.下列四个命题：（1）f（x）＝1是偶函数；（2）g（x）＝x3，x∈（﹣1，1]是奇函数；（3）若f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则H（x）＝f（x）•g（x）一定是奇函数；（4）函数y＝f（|x|）的图象关于y轴对称，其中正确的命题个数是（）A．1B．2C．3D．4例5.已知y＝f（x）（x∈R）为奇函数，则在f（x）上的点是（）A．（a，f（﹣a））B．（﹣a，f（a））C．（﹣a，﹣f（a））D．（a，﹣f（a）例6.如果f（x）是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是（）A．y＝x＋f（x）B．y＝xf（x）C．y＝x2＋f（x）D．y＝x2f（x）通过图象平移得到新函数图象得到单调区间知识讲解1.图象的平移：左加右减（x的变化），上加下减（函数值y的变化）2.图象的对称性：奇偶性3.图象的翻折：含有绝对值的函数图象的画法例题精讲通过图象平移得到新函数图象得到单调区间例1.函数f（x）=x2﹣|x|的单调递减区间是．例2.函数y＝|x|的单调递增区间为．例3.函数y＝|x|﹣1的减区间为（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，﹣1）C．（0，＋∞）D．（﹣1，＋∞）例4.函数y＝|x﹣1|的递增区间是．备选题库知识讲解本题库作为知识点“函数单调性的定义”的题目补充.例题精讲备选题库例1.下列函数中，既是奇函数，又在（0，+∞）上是增函数的是（）A．f（x）=sin x B．f（x）=e x+e-xC．f（x）=x3+x D．f（x）=xlnx例2.函数y=（2m-1）x+b在R上是减函数．则（）A．m>B．m<C．m>-D．m<-例3.函数f（x）=-x2+x-1的单调递增区间为（）A．B．C．D．例4.已知函数f（x）=-3x+2sin x，若a=f（3），b=-f（-2），c=f（log27），则a，b，c的大小关系为（）A．a<b<c B．a<c<bC．c<a<b D．b<c<a例5.定义在R的函数f（x）=-x3+m与函数g（x）=f（x）+x3+x2-kx在[-1，1]上具有相同的单调性，则k的取值范围是（）A．（-∞，-2]B．[2，+∞）C．[-2，2]D．（-∞，-2]∪[2，+∞）例6.下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A．y=B．y=lnxC．y=sin x D．y=2-x例7.下列函数中，值域为R且在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y=x2+2x B．y=2x+1C．y=x3+1D．y=（x-1）|x|例8.函数f（x）=x|x-2|的递减区间为（）A．（-∞，1）B．（0，1）C．（1，2）D．（0，2）利用定义法证明单调性知识讲解1.利用定义证明单调性的步骤（1）取值：设，是所研究的区间内的任意两个值，且（2）作差：（3）变形：将通过因式分解、配方、通分、有理化等方法变形为有利于判断它的符号的形式.（4）判断符号（5）结论2函数单调性的常见结论（1）函数y＝－f(x)与函数y＝f(x)的单调性相反；（2）函数f(x)与函数f（x）＋c（c为常数）具有相同的单调性；（3）当c＞0时，函数y＝cf(x)与函数y＝f(x)的单调性相同；当c＜0时，函数y＝cf(x)与函数y＝f(x)的单调性相反；（4）若f(x)≠0，则函数f(x)与具有相反的单调性；（5）若，函数与具有相同的单调性；（6）若,具有相同的单调性，则与,具有相同的单调性；（7）若,具有相反的单调性，则与具有相同（与具有相反）的单调性。
高中数学必修一第二章 §3 第1课时 函数的单调性
第二章函数§3函数的单调性和最值第1课时函数的单调性课后篇巩固提升基础达标练1.(多选题)下列函数在区间(0,+∞)上单调递增的是()A.y=2x+1B.y=x2+1C.y=3-xD.y=x2+2x+1y=3-x在区间(0,+∞)上单调递减.2.函数f(x)=-x2+2x+3的单调递减区间是()A.(-∞,1)B.(1,+∞)C.(-∞,2)D.(2,+∞)f(x)=-x2+2x+3是图象开口向下的二次函数,其对称轴为x=1,所以其单调递减区间是(1,+∞).>0成立,则()3.若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a,b,总有f(a)-f(b)a-bA.f(x)在R上是增函数B.f(x)在R上是减函数C.函数f(x)是先增后减D.函数f(x)是先减后增>0知f(a)-f(b)与a-b同号,即当a<b时,f(a)<f(b),或当a>b时,f(a)>f(b),所以f(x)在R上由f(a)-f(b)a-b是增函数.4.已知函数f(x)在区间(-∞,+∞)上是减函数,若a∈R,则()A.f(a)>f(2a)B.f(a2)<f(a)C.f(a2+a)<f(a)D.f(a2+1)<f(a)D中,因为a2+1>a,f(x)在区间(-∞,+∞)上是减函数,所以f(a2+1)<f(a).而在其他选项中,当a=0时,自变量均是0,应取等号.故选D.5.若函数f (x )=x 2-2(a-1)x+1在区间(2,3)上为单调函数,则实数a 的取值范围是( )A.(-∞,3]∪[4,+∞)B.(-∞,3)∪(4,+∞)C.(-∞,3]D.[4,+∞)f (x )图象开口向上,对称轴为直线x=a-1,因为函数在区间(2,3)上为单调函数,所以a-1≤2,或a-1≥3,相应解得a ≤3,或a ≥4,故选A .6.函数f (x )=|x|与g (x )=x (2-x )的单调递增区间分别为( )A.(-∞,0],[1,+∞)B.(-∞,0],(-∞,1]C.[0,+∞),[1,+∞)D.[0,+∞),(-∞,1](图略)可知选D .7.(多选题)下列命题是假命题的有( )A.定义在区间(a ,b )上的函数f (x ),如果有无数个x 1,x 2∈(a ,b ),当x 1<x 2时,有f (x 1)<f (x 2),那么f (x )在区间(a ,b )上为增函数B.如果函数f (x )在区间I 1上为减函数,在区间I 2上也为减函数,那么f (x )在区间I 1∪I 2上就一定是减函数C.任取x 1,x 2∈(a ,b ),且x 1≠x 2,当f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2<0时,f (x )在区间(a ,b )上单调递减 D.任取x 1,x 2∈(a ,b ),且x 1≠x 2,当(x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]>0时,f (x )在区间(a ,b )上单调递增是假命题,“无数个”不能代表“所有”“任意”; 以f (x )=1x为例,知B 是假命题; ∵f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2<0(x 1≠x 2)等价于[f (x 1)-f (x 2)]·(x 1-x 2)<0,而此式又等价于{f (x 1)-f (x 2)>0,x 1-x 2<0或{f (x 1)-f (x 2)<0,x 1-x 2>0,即{f (x 1)>f (x 2),x 1<x 2或{f (x 1)<f (x 2),x 1>x 2,∴f (x )在区间(a ,b )上是减函数,C 是真命题,同理可得D 也是真命题.8.若函数y=ax 与y=-b x 在区间(0,+∞)上都是单调递减,则函数y=ax 2+bx 在区间(0,+∞)上是( ) A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.先减后增y=ax 与y=-b x 在区间(0,+∞)上都是单调递减,所以a<0,-b>0,即a<0,b<0.因为抛物线y=ax 2+bx 的对称轴为x=-b2a <0,且抛物线开口向下,所以函数y=ax 2+bx 在区间(0,+∞)上单调递减.9.已知函数f(x)=2x2-mx+3,当x∈[-2,+∞)时,f(x)单调递增,当x∈(-∞,-2]时,f(x)单调递减,则m=,f(1)=.函数f(x)在区间(-∞,-2]上单调递减,在区间[-2,+∞)上单调递增,∴x=-b2a =m4=-2,∴m=-8,即f(x)=2x2+8x+3.∴f(1)=13.81310.证明函数f(x)=-√x在定义域上为减函数.f(x)=-√x的定义域为[0,+∞).任取x1,x2∈[0,+∞),且x1<x2,则x2-x1>0,f(x2)-f(x1)=(-√x2)-(-√x1)=√x1−√x2=√x1-√x2)(√x1+√x2)√x+√x=12√x+√x.∵x1-x2<0,√x1+√x2>0,∴f(x2)-f(x1)<0,即f(x2)<f(x1).∴函数f(x)=-√x在定义域[0,+∞)上单调递减.能力提升练1.若f(x)=-x2+2ax与g(x)=ax+1在区间[1,2]上都是单调递减,则a的取值范围是()A.(-1,0)∪(0,1)B.(-1,0)∪(0,1]C.(0,1)D.(0,1](x)=-x2+2ax=-(x-a)2+a2,∵f(x)在区间[1,2]上单调递减,∴a≤1.∵g(x)=ax+1在区间[1,2]上单调递减,∴a>0,∴0<a≤1.2.若定义在R上的一元二次函数f(x)=ax2-4ax+b在区间[0,2]上单调递增,且f(m)≥f(0),则实数m的取值范围是()A.0≤m≤4B.0≤m≤2C.m≤0D.m≤0或m≥4f(x)在区间[0,2]上单调递增,所以f(2)>f(0),解得a<0.又因为f(x)的图象的对称轴为x=--4a2a=2,所以f(x)在区间[0,2]上的值域与在区间[2,4]上的值域相同.所以满足f(m)≥f(0)的m的取值范围是0≤m≤4.3.给出下列三个结论:①若函数y=f (x )的定义域为(0,+∞),且满足f (1)<f (2)<f (3),则函数y=f (x )在区间(0,+∞)上是增函数; ②若函数y=f (x )在区间(-∞,+∞)上是减函数,则f (a 2+1)<f (a 2);③函数f (x )=1x 在其定义域上是减函数.其中正确的结论有( )A.0个B.1个C.2个D.3个在函数单调性的定义中,x 1,x 2具有任意性,不能仅凭区间内有限个函数值的大小关系判断函数单调性,①错误; ②∵a 2+1>a 2,又y=f (x )在区间(-∞,+∞)上是减函数,∴f (a 2+1)<f (a 2),②正确;③取x 1=-1,x 2=1,∵f (-1)=-1,f (1)=1,∴f (-1)<f (1),故f (x )=1x 不是其定义域上的减函数,③错误.4.设函数f (x )在(-∞,+∞)上是减函数,a ,b ∈R 且a+b ≤0,则下列选项正确的是( )A.f (a )+f (b )≤-[f (a )+f (b )]B.f (a )+f (b )≤f (-a )+f (-b )C.f (a )+f (b )≥-[f (a )+f (b )]D.f (a )+f (b )≥f (-a )+f (-b )a+b ≤0,所以a ≤-b ,b ≤-a ,又函数f (x )在区间(-∞,+∞)上是减函数,所以f (a )≥f (-b ),f (b )≥f (-a ),所以f (a )+f (b )≥f (-a )+f (-b ).5.若函数f (x )={x 2+2ax +3,x ≤1,ax +1,x >1是定义域上的减函数,则实数a 的取值范围为 .{-a ≥1,a <0,12+2a ×1+3≥a ×1+1,解得-3≤a ≤-1,则实数a 的取值范围是[-3,-1].-3,-1]6.已知函数f (x )=ax+1x+2,若x 1>x 2>-2,则f (x 1)>f (x 2),则实数a 的取值范围是 .(用区间来表示)“若x 1>x 2>-2,则f (x 1)>f (x 2)”可知函数f (x )在区间(-2,+∞)上单调递增.而f (x )=ax+1x+2=a+1-2a x+2,故有1-2a<0,解得a>12,即a 的取值范围为(12,+∞).(12,+∞)7.(2020浙江金华高一检测)函数f (x )=√(x -1)(x -2)的定义域为 ;单调递减区间为 .f (x )=√(x -1)(x -2), ∴(x-1)(x-2)>0,解得x<1或x>2,函数f (x )的定义域为(-∞,1)∪(2,+∞);又t=(x-1)(x-2)在区间(-∞,1)上单调递减,在区间(2,+∞)上单调递增,∴函数f (x )在区间(-∞,1)上单调递增,在区间(2,+∞)上单调递减,∴函数f (x )的单调递减区间为(2,+∞).-∞,1)∪(2,+∞) (2,+∞)8.已知函数f (x )=mx+1nx +12(m ,n 是常数),且f (1)=2,f (2)=114. (1)求m ,n 的值;(2)当x ∈[1,+∞)时,判断f (x )的单调性并证明;(3)若不等式f (1+2x 2)>f (x 2-2x+4)成立,求实数x 的取值范围.f (1)=m+1n +12=2,f (2)=2m+12n +12=114,∴{m =1,n =2.1≤x 1<x 2,则f (x 1)-f (x 2)=x 1+12x 1+12−(x 2+12x 2+12)=(x 1-x 2)·(1-12x 1x 2)=(x 1-x 2)(2x 1x 2-12x 1x 2). ∵1≤x 1<x 2,∴x 1-x 2<0,x 1x 2>1.∴2x 1x 2-1>1.∴f (x 1)-f (x 2)<0,即f (x 1)<f (x 2).∴f (x )在区间[1,+∞)上单调递增.1+2x 2≥1,x 2-2x+4=(x-1)2+3≥3,∴只需1+2x 2>x 2-2x+4.∴x 2+2x-3>0.∴x<-3或x>1.素养培优练1.(2019江苏南通期中)已知函数f (x )=x 2+a x (x ≠0,a ∈R ),若函数f (x )在区间[2,+∞)上单调递增,则a 的取值范围为 .x 1,x 2∈[2,+∞),且x 1<x 2,则x 2-x 1>0,f (x 2)-f (x 1)=x 22+a x 2−x 12−a x 1=x 2-x1x 1x 2[x 1x 2(x 1+x 2)-a ]. 要使函数f (x )在区间[2,+∞)上单调递增,需满足f (x 2)-f (x 1)>0在[2,+∞)上恒成立.∵x 2-x 1>0,x 1x 2>4>0,∴a<x1x2(x1+x2)恒成立.又x1+x2>4,∴x1x2(x1+x2)>16,∴a≤16,即a的取值范围是(-∞,16].-∞,16]2.设f(x)是定义在R上的函数,对m,n∈R,恒有f(m+n)=f(m)·f(n)(f(m)≠0,f(n)≠0),且当x>0时,0<f(x)<1.(1)求证:f(0)=1;(2)求证:当x∈R时,恒有f(x)>0;(3)求证:f(x)在R上是减函数.根据题意,令m=0,可得f(0+n)=f(0)·f(n),∵f(n)≠0,∴f(0)=1.(2)由题意知,当x>0时,0<f(x)<1;当x=0时,f(0)=1>0;当x<0时,-x>0,∴0<f(-x)<1.∵f(x+(-x))=f(x)·f(-x),∴f(x)·f(-x)=1.∴f(x)=1>0.f(-x)故x∈R时,恒有f(x)>0.(3)设任意的x1,x2∈R,且x1>x2,则f(x1)=f(x2+(x1-x2)).∴f(x1)-f(x2)=f(x2+(x1-x2))-f(x2)=f(x2)·f(x1-x2)-f(x2)=f(x2)[f(x1-x2)-1].由(2)知,f(x2)>0.∵x1-x2>0,∴0<f(x1-x2)<1,∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),故f(x)在R上是减函数.。
人教B版高中数学必修一学第二章函数的单调性讲解与例题
2.1.3 函数的单调性1．函数单调性的概念一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为A ，区间M ⊆A . 如果取区间M 中的任意两个值x 1，x 2，改变量Δx ＝x 2－x 1＞0，则当Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＞0时，就称函数y ＝f (x )在区间M 上是增函数，如下图所示．当Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＜0时，就称函数y ＝f (x )在区间M 上是减函数，如下图所示．如果一个函数在某个区间M 上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M 上具有单调性(区间M 称为单调区间)．谈重点 对函数单调性的理解1．函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，即单调区间是定义域的子集．如函数y ＝x 2的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时是增函数，当x ∈(－∞，0)时是减函数．2．函数单调性定义中的x 1，x 2有三个特征：一是任意性，即“任意取x 1，x 2”，“任意”二字决不能丢掉；二是有大小，即x 1＜x 2(x 1＞x 2)；三是同属一个单调区间，三者缺一不可．3．单调性是一个“区间”概念，如果一个函数在定义域的几个区间上都是增(减)函数，但不能说这个函数在其定义域上是增(减)函数．如函数f (x )＝1x在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上也是减函数，但不能说f (x )＝1x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是减函数．因为当x 1＝－1，x 2＝1时有f (x 1)＝－1＜f (x 2)＝1，不满足减函数的定义．4．单调区间端点的写法：对于单独的一个点，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减性变化，所以不存在单调问题，因此在写此单调区间时，包括端点可以，不包括端点也可以，但对于某些无意义的点，单调区间就一定不包括这些点．【例1－1】下列说法不正确的有( )①函数y ＝x 2在(－∞，＋∞)上具有单调性，且在(－∞，0)上是减函数；②函数1=y x的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且在其上是减函数； ③函数y ＝kx ＋b (k ∈R )在(－∞，＋∞)上一定具有单调性；④若x 1，x 2是f (x )的定义域A 上的两个值，当x 1＞x 2时，有f (x 1)＜f (x 2)，则y ＝f (x )在A 上是增函数．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：①函数y ＝x 2在(－∞，0]上是减函数，在[0，＋∞)上是增函数，故其在(－∞，＋∞)上不具有单调性；②(－∞，0)和(0，＋∞)都是函数1=yx的单调区间，在这两个区间上都是减函数，但1=yx在整个定义域上不是减函数；③当k＝0时，y＝b，此时函数是一个常数函数，不具有单调性；④因为x1，x2是定义域上的两个定值，不具有任意性，所以不能由此判定函数的单调性．答案：D【例1－2】若对于任意实数x总有f(－x)＝f(x)，且f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，则( )A．32f⎛⎫-⎪⎝⎭＜f(－1)＜f(2)B．f(－1)＜32f⎛⎫-⎪⎝⎭＜f(2)C．f(2)＜f(－1)＜32 f⎛⎫-⎪⎝⎭D．f(2)＜32f⎛⎫-⎪⎝⎭＜f(－1)解析：∵函数f(x)对于任意实数x总有f(－x)＝f(x)，∴f(－2)＝f(2)．∵f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，且－2＜32-＜－1，∴f(－2)＜32f⎛⎫-⎪⎝⎭＜f(－1)，即f(2)＜32f⎛⎫-⎪⎝⎭＜f(－1)．答案：D【例1－3】定义在R上的函数f(x)是增函数，A(0，－1)，B(3,1)是其图象上的两点，那么不等式|f(x＋1)|＜1的解集为( )A．(－1,2) B．[3，＋∞)C．[2，＋∞) D．(－∞，－1]∪(2，＋∞)解析：∵A(0，－1)，B(3,1)是函数f(x)图象上的两点，∴f(0)＝－1，f(3)＝1.由|f(x＋1)|＜1，得－1＜f(x＋1)＜1，即f(0)＜f(x＋1)＜f(3)．∵f(x)是定义在R上的增函数，∴由单调函数的定义，可知0＜x＋1＜3.∴－1＜x＜2.答案：A2．函数单调性的判断方法(1)图象法对于简单函数或可化为简单函数的函数，由于其图象较容易画出，因此，可利用图象的直观性来判断函数的单调性，写出函数的单调区间．【例2－1】写出下列函数的单调区间： (1)y ＝|2x －1|；(2)y ＝|x 2－3x ＋2|；(3)2=3xy x -+. 分析：本题画出各个函数的图象后，就可以得出相应的单调递增或单调递减区间了．图1解：(1)y ＝|2x －1|＝121,,2121,<.2x x x x ⎧-≥⎪⎪⎨⎪-+⎪⎩ 如图1所示，函数的单调递增区间是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；单调递减区间是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.(2)y ＝|x 2－3x ＋2|＝2232,12321<<2.x x x x x x x ⎧-+≤≥⎨-(-+)⎩或，， 如图2所示，函数的单调递增区间是31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦和[2，＋∞)；单调递减区间是(－∞，1]和3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.图2图3(3)255==1=1333xyx x x-⎛⎫---+⎪+++⎝⎭.如图3所示，函数的单调递减区间是(－∞，－3)和(－3，＋∞)．谈重点由图象得出函数的单调区间对于函数求单调区间，可以根据图象及结合基本函数的单调性来寻找的．对于有些函数，如果能够画出函数的图象，那么寻找单调区间就比较容易了，此类题目通常是与基本函数(如一次函数、二次函数、反比例函数以及后面学的指数函数与对数函数等)有关的函数．【例2－2】已知四个函数的图象如下图所示，其中在定义域内具有单调性的函数是( )解析：已知函数的图象判断其在定义域内的单调性，应从它的图象是上升的还是下降的来考虑．根据函数单调性的定义可知选项B中的函数在定义域内为增函数．答案：B谈重点单调函数的图象特征函数的单调性反映在图象上是在指定的区间(也可以是定义域)从左到右图象越来越高或越来越低(注意一个点也不能例外，如本例C中的函数只有一个点例外，受此点影响，该函数在整个定义域上不具有单调性)，这是函数单调性在函数图象上的直观表现．【例2－3】画出函数f(x)＝－x2＋2|x|＋3的图象，说出函数的单调区间，并指明在该区间上的单调性．分析：含有绝对值符号的函数解析式，可根据绝对值的意义，将其转化为分段函数，画出函数图象后，观察曲线在哪些区间上是上升的，在哪些区间上是下降的，即可确定函数的单调区间及单调性．解：2223,0, ()=23,<0.x x xf xx x x⎧-++≥⎨--+⎩当x≥0时，f(x)＝－(x－1)2＋4，其开口向下，对称轴为x＝1，顶点坐标为(1,4)，且f(3)＝0，f(0)＝3；当x＜0时，f(x)＝－(x＋1)2＋4，其开口向下，对称轴为x＝－1，顶点坐标为(－1,4)，且f(－3)＝0.作出函数的图象(如图)，由图看出，函数在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数，在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数．辨误区写函数的单调区间易忽略的问题1．如果一个函数有多个单调增(减)区间，这些增(减)区间应该用逗号隔开(即“局部”)或用“和”来表示，而不能用并集的符号“∪”连接；2．确定已知函数的单调区间要有整体观念，本着宁大勿小的原则，即求单调区间则应求“极大”区间．如虽然函数y＝x2在区间[2,3]，[5,9]，[1，＋∞)上都是递增的，但在写这个函数的递增区间时应写成[0，＋∞)，而不能写区间[0，＋∞)的任一子区间；3．书写函数的单调区间时，区间端点的开或闭没有严格规定，若函数在区间端点处有定义且图象在该点处连续，则书写函数的单调区间时，既可以写成闭区间，也可以写成开区间；若函数在区间端点处没有定义，则书写函数的单调区间时必须写成开区间．(2)定义法如果要证明一个函数的单调性，目前只能严格按照定义进行，步骤如下：①取值：设x1，x2为给定区间内任意的两个值，且x1＜x2(在证明函数的单调性时，由于x1，x2的取值具有任意性，它代表区间内的每一个数，所以，在证题时不能用特殊值来代替它们)；②作差变形：作差Δy＝f(x2)－f(x1)，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值的符号的方向变形(作差后，尽量把差化成几个简单因式的乘积或几个完全平方式的和的形式，这是值得学习的解题技巧，在判断因式的正负号时，经常采用这种变形方法)；③定号：确定差值Δy的符号，当符号不确定时，可考虑分类讨论(判断符号的依据是自变量的范围、假定的大小关系及符号的运算法则)；④判断：根据定义作出结论(若Δx＝x2－x1与Δy＝f(x2)－f(x1)同号，则给定函数是增函数；异号，就是减函数)．【例2－4】(1)证明函数()=f x在定义域上是减函数；(2)证明函数f(x)＝x3＋x在R上是增函数；(3)证明函数f(x)＝x＋1x在(0,1)上为减函数．分析：证明函数的单调性，关键是对函数在某一区间上任意两个函数值f(x1)，f(x2)的差Δy＝f(x2)－f(x1)进行合理的变形，尽量变为几个最简单的因式的乘积或几个完全平方式的和的形式．证明：(1)()=f x的定义域为[0，＋∞)，任取x1，x2∈[0，＋∞)，且x1＜x2，则Δx＝x2－x1＞0，Δy＝f(x2)－f(x1)＝((--＝<0，由单调函数的定义可知，函数()=f x在定义域[0，＋∞)上是减函数．(2)设x1，x2∈R，且x1＜x2，则Δx＝x2－x1＞0，Δy＝f(x2)－f(x1)＝(x23＋x2)－(x13＋x1)＝(x23－x13)＋(x2－x1)＝(x 2－x 1)(x 22＋x 1x 2＋x 12)＋(x 2－x 1)＝(x 2－x 1)(x 22＋x 1x 2＋x 12＋1)＝222121113()1024x x x x x ⎡⎤⎛⎫-+++>⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，由单调函数的定义可知，函数f (x )＝x 3＋x 在R 上是增函数．(3)设x 1，x 2∈(0,1)，且x 1＜x 2，则Δx ＝x 2－x 1＞0，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝212111x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ＝(x 2－x 1)＋1212x x x x -＝(x 2－x 1)1211x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝2112121x x x x x x (-)(-).∵0＜x 1＜x 2＜1，∴x 1x 2－1＜0，x 1x 2＞0.∴Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＜0.∴由单调函数的定义可知，函数1()=f x x x+在(0,1)上为减函数．辨误区 利用定义证明函数的单调性需谨慎在第(1)题中，有的同学认为由0≤x 1＜x 2，可得0≤x 1＜x 2，这种证明实际上利用了函数y ＝x 的单调性，而y ＝x 的单调性我们没作证明，因此不能使用；在第(1)题中还使用了“分子有理化”的变形技巧，要注意观察这类题目的结构特点．3．利用函数的单调性比较两个函数值的大小若函数y ＝f (x )在给定的区间A 上是增函数，设x 1，x 2∈A ，且x 1＜x 2，则有f (x 1)＜f (x 2)；若函数y ＝f (x )在给定的区间A 上是减函数，设x 1，x 2∈A ，且x 1＜x 2，则有f (x 1)＞f (x 2)．所以，当给定的两个自变量在同一单调区间上时，可直接比较相应的两个函数值的大小．否则，可以先把它们转化到同一单调区间上，再利用单调性比较大小．【例3】设函数f (x )是区间(0，＋∞)上的减函数，那么f (a 2－a ＋1)与34f ⎛⎫⎪⎝⎭的大小关系为________．解析：∵a 2－a ＋1＝2133244a ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭＞0，又∵f (x )在(0，＋∞)上是减函数，∴当12a ≠时，a 2－a ＋1＞34，有f (a 2－a ＋1)＜34f ⎛⎫ ⎪⎝⎭；当1=2a 时，a 2－a ＋1＝34，有f (a 2－a ＋1)＝34f ⎛⎫ ⎪⎝⎭.综上可知，f (a 2－a ＋1)≤34f ⎛⎫ ⎪⎝⎭.答案：f (a 2－a ＋1)≤34f ⎛⎫ ⎪⎝⎭4．利用函数的单调性确定参数范围已知函数的单调性，求函数解析式中参数的取值范围时，要注意利用数形结合的思想，运用函数单调性的逆向思维思考问题．这类问题能够加深对概念、性质的理解．例如：已知函数f (x )＝x 2－2(1－a )x ＋2在(－∞，4]上是减函数，求实数a 的取值范围．由于二次函数是我们最熟悉的函数，遇到二次函数就画图象，会给我们研究问题带来很大方便．要使f (x )在(－∞，4]上是减函数，由二次函数的图象可知，只要对称轴x ＝1－a ≥4即可，解得a ≤－3.谈重点 对分段函数的单调性的理解求分段函数在定义域上的单调性问题时，不但要考虑各段上函数的类型及其单调性，而且还要考虑各段图象之间的上下关系．【例4】已知函数(3)4,<1,()=,1a x a x f x a x x-+⎧⎪⎨≥⎪⎩是(－∞，＋∞)上的减函数，求实数a 的取值范围．分析：函数f (x )是一个分段函数，其图象由两部分组成．当x ＜1时，f (x )＝(3－a )x ＋4a ，其图象是一条射线(不包括端点)；当x ≥1时，()=af x x，其图象由a 的取值确定，若a ＝0，则为一条与x 轴重合的射线，若a ≠0，则为反比例函数图象的一部分(曲线)．已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的减函数，则在两段上必须都是递减的，且要保证x ＜1时的图象位于x ≥1时的图象的上方.解：由题意知，函数f (x )＝(3－a )x ＋4a (x ＜1)与()=af x x(x ≥1)都是递减的，且前者图象位于后者图象的上方(如图所示)．∴3<0,>0,34,a a a a a -⎧⎪⎨⎪(-)+≥⎩即>3,>0,3.2a a a ⎧⎪⎪⎨⎪⎪≥-⎩ ∴a ＞3.∴实数a 的取值范围是{a |a ＞3}． 5．利用函数的单调性求函数的最值若函数在给定的区间上是单调函数，可利用函数的单调性求最值．若给定的单调区间是闭区间，函数的最值在区间的两个端点处取得，也就是说，若函数f (x )在某一闭区间[a ，b ]上是增函数，则最大值在右端点b 处取得，最小值在左端点a 处取得；若函数f (x )在某一闭区间[a ，b ]上是减函数，则最大值在左端点a 处取得，最小值在右端点b 处取得．解题时也可结合函数的图象，得出问题的答案．【例5－1】求()=f x x +的最小值．分析：求函数()=f x x +的最小值，可先利用单调函数的定义判断其在定义域上的单调性，再利用单调性求出最值．解：()=f x x +的定义域为[1，＋∞)，任取x 1，x 2∈[1，＋∞)，且x 1＜x 2，Δx ＝x 2－x 1＞0，则Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝(x 2)－(x 1＝(x 2－x 1)＋(－＝(x 2－x 1)＝(x 2－x 1)·1⎛ ⎝.∵Δx ＝x 2－x 1＞0,1＞0，∴f (x 2)－f (x 1)＞0.∴f (x )在[1，＋∞)上为增函数，∴f (x )min ＝f (1)＝1.【例5－2】已知函数2=1xy x +(x ∈[－3，－2])，求函数的最大值和最小值． 解：设－3≤x 1＜x 2≤－2，则f (x 1)－f (x 2)＝12122211x x x x -++＝122112212111x x x x x x (+)-(+)(+)(+)＝1212211x x x x (-)(+)(+).由于－3≤x 1＜x 2≤－2，则x 1－x 2＜0，x 1＋1＜0，x 2＋1＜0. 所以f (x 1)＜f (x 2)． 所以函数2=1xy x +在[－3，－2]上是增函数． 又因为f (－2)＝4，f (－3)＝3，所以函数的最大值是4，最小值是3. 6．利用函数的单调性解不等式函数的单调性具有可逆性，即f (x )在区间D 上是递增的，则当x 1，x 2∈D 且f (x 1)＞f (x 2)时，有x 1＞x 2〔事实上，若x 1≤x 2，则f (x 1)≤f (x 2)，这与f (x 1)＞f (x 2)矛盾〕．类似地，若f (x )在区间D 上是递减的，则当x 1，x 2∈D 且f (x 1)＞f (x 2)时，有x 1＜x 2.利用函数单调性的可逆性，可以脱去某些函数符号，把抽象的不等式化为具体的不等式．此时要特别注意处在自变量位置的代数式必须满足定义域要求，最后取几个不等式的解的交集即可．利用函数的单调性可以比较函数值或自变量值的大小，在解决比较函数值的大小问题时，要注意将对应的自变量放在同一个单调区间上．【例6】已知y ＝f (x )在定义域(－1,1)上是减函数，且f (1－a )＜f (a 2－1)，求a 的取值范围．分析：由于函数y ＝f (x )在定义域(－1,1)上是减函数，且f (1－a )＜f (a 2－1)，所以由单调函数的定义可知1－a ∈(－1,1)，a 2－1∈(－1,1)，且1－a ＞a 2－1，解此关于a 的不等式组，即可求出a 的取值范围．解：由题意可得221<1<1,1<1<1,1>1,a a a a --⎧⎪--⎨⎪--⎩①②③由①得0＜a ＜2，由②得0＜a 2＜2，∴0＜|a |，∴a ，且a ≠0.由③得a 2＋a －2＜0，即(a －1)(a ＋2)＜0， ∴1>0,2<0a a -⎧⎨+⎩或1<0,2>0,a a -⎧⎨+⎩∴－2＜a ＜1.综上可知0＜a ＜1， ∴a 的取值范围是0＜a ＜1.7．复合函数单调性的判断方法一般地，如果f(x)，g (x)在给定区间上具有单调性，则可以得到如下结论：(1)f(x)，g(x)的单调性相同时，f(x)＋g(x)的单调性与f(x)，g(x)的单调性相同．(2)f(x)，g(x)的单调性相反时，f(x)－g(x)的单调性与f(x)的单调性相同．(3)y＝f(x)在区间I上是递增(减)的，c，d都是常数，则y＝cf(x)＋d在I上是单调函数．若c＞0，y＝cf(x)＋d在I上是递增(减)的；若c＜0，y＝cf(x)＋d在I上是递减(增)的．(4)f(x)恒为正或恒为负时，y＝1f x与y＝f(x)单调性相反．(5)若f(x)＞0，则函数y＝f(x)与y＝f x具有相同的单调性．(6)复合函数y＝f[g(x)]的单调区间求解步骤：①将复合函数分解成基本初等函数y＝f(u)，u＝g(x)；②分别确定各个函数的定义域；③分别确定分解成的两个函数的单调区间；④若两个函数在对应区间上的单调性相同，则y＝f[g(x)]为增函数；若不同，则y＝f[g(x)]为减函数．该法可简记为“同增异减”．值得注意的是：在解选择题、填空题时我们可直接运用此法，但在解答题中不能利用它作为论证的依据，必须利用定义证明．【例7】求y的单调区间，并指明在该区间上的单调性．分析：这是一个复合函数，应先求出函数的定义域，再利用复合函数单调性的判断法则确定其单调性．解：要使函数y需满足x2＋2x－3≥0，即(x－1)(x＋3)≥0.∴10,30xx-≥⎧⎨+≥⎩或10,30.xx-≤⎧⎨+≤⎩∴x≥1，或x≤－3.∴函数y的定义域为{x|x≥1，或x≤－3}．令u＝x2＋2x－3，则=y u＝(x＋1)2－4，其开口向上，对称轴为x＝－1.∴当x≥1时，u是x的增函数，y是u的增函数，从而y是x的增函数；当x≤－3时，u是x的减函数，y是u的增函数，从而y是x的减函数．∴y的递增区间是[1，＋∞)，递减区间是(－∞，－3]．辨误区求函数的单调区间易忽略的问题由于函数的单调区间一定是函数定义域的子集，所以我们在求函数的单调区间时，一定要先求函数的定义域，在函数的定义域内讨论函数的单调区间；在处理函数的相关问题时，往往会把函数问题转化成方程问题或简单不等式问题来处理，但要注意转化时应确保转化前后式子的等价性．8．抽象函数的单调性问题没有具体的函数解析式的函数，我们称为抽象函数，关于抽象函数的单调性，常见的有以下题型：(1)抽象函数单调性的证明．证明抽象函数的单调性，必须用单调函数的定义作出严格证明，而不能用几个特殊值的大小来检验，证明时要同时注意特殊值的应用．(2)抽象函数单调性的应用．如，利用抽象函数的单调性求函数的最值、解不等式等．解决抽象函数的有关问题，常采用赋值法．在解不等式时关键是将已知不等式转化为f(x1)≥f(x2)的形式，然后利用单调性结合定义域求解．【例8】已知函数f(x)对任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x＞0时，f(x)＜0，2 (1)=3f .求证：f(x)在R上是减函数；证明：令x＝y＝0，得f(0)＋f(0)＝f(0)，∴f(0)＝0. 令y＝－x，得f(x)＋f(－x)＝f(0)，∴f(－x)＝－f(x)．任取x1，x2∈R，且x1＜x2，Δx＝x2－x1＞0，则Δy＝f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)．∵x1＜x2，∴x2－x1＞0.又∵当x＞0时，f(x)＜0，∴f(x2－x1)＜0，即Δy＜0.∴f(x)在R上是减函数．。
(完整版)必修一函数的单调性专题讲解(经典)
高一升高二个辅资料第三课时第二次课、基本知识1定义：对于函数 y f (x)，对于定义域内的自变量的任意两个值 x-\, x 2，当 x-\ x 2时，都有f(xj f (X 2)(或f(xj f (X 2))，那么就说函数 y f (x)在这个区间上是增(或减)函数。
重点2 .证明方法和步骤：(1) 取值: 设X i ,X 2是给定区间上任意两个值，且 X i X 2 ；(2) 作差:f (X i )f (X 2)；(3) 变形: (如因式分解、配方等)； (4) 宀口定号：即 f (X i ) f (X 2)或 f (X i )f (X 2)；(5) 根据定义下结论。
3•常见函数的单调性■ ■-1 -'.时，订述在R 上是增函数；k<0时m 在R 上是减函数(2)代直)(k > 00寸)，『仗)在(一a, 0), (0, +8)上是增函数,4•复合函数的单调性：复合函数y f(g(x))在区间(a,b)具有单调性的规律见下表:以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”在函数f(x)、g(x)公共定义域内,5. 函数的单调性的应用:判断函数y f(x)的单调性；比较大小；解不等式；求最值(值域) 例题分析第一章 函数的基本性质之单调性(k<0时)，總述在(一汽0), ( 0, +8)上是减函数,(3)二次函数的单调性：对函数2f (x) ax bx c (a 0),当a 0时函数f(x)在对称轴x 当a 0时函数f (x)在对称轴x b 2a 的左侧单调减小，右侧单调增加; b 2a的左侧单调增加，右侧单调减小;增函数f(x)增函数g(x)是增函数; 减函数f (x)减函数g (x)是减函数; 增函数f(x)减函数g(x)是增函数;减函数f(x)增函数g(x)是减函数.例1:证明函数f(x)二一在(0 , +8 )上是减函数。
例2 :证明1上- L :在定义域上是增函数。
【高一数学】人教版高中数学必修一教科书课后答案1(共17页)
2．3函数的单调性学法导引1．熟练掌握增减性的概念．要注意定义中对区间内，的任意性，而不是某两个特殊值，．2．掌握好证明函数单调性的方法(用定义)：取值——作差——定号——判断．3．熟悉几种基本函数的单调性．4．掌握好利用函数的单调性来比较数的大小的方法．知识要点精讲1．增函数、减函数、单调性、单调区间的概念(1)函数的单调性是函数在定义域内某一区间内的局部性质，而不是整体性质．一是同属于一个单调区间，二是任意性，切不可用两个特殊值代替，三是规定了大小关系．要证明函数f(x)在区间[a，b]上是单调递增(递减)的，而要证f(x)在区间[a，b]上不是递增(递减)的，则只需举出反例即可．2．判断函数单调性的方法最基本的方法是依据函数单调性的定义来证明，其步骤如下：并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变化；第三步：定号，即确定差的符号，当符号不确定时，可进行分区间讨论；第四步：判断，即根据定义确定是增函数还是减函数．也可根据函数简单的运算性质和复合函数的性质来确定函数的单调性．3．函数单调性的应用单调性是函数的重要性质，它在研究函数时具有重要的作用．具体表现在：(1)利用函数的单调性，可以把比较函数值的大小问题，转化为比较自变量的大小问题，也是我们解不等式的依据．(2)确定函数的值域或求函数的最值．对于函数f(x)，如果它在区间[a，b]上是增函数，那么它的值域是[f(a)，f(b)]，如果它在区间[a，b]上是减函数，那么它的值域是[f(b)，f(a)]，如果它在区间[a，c]上是增(减)函数，在[c，b]上是减(增)函数，那么它的最大(小)值是f(c)．4．常用函数的单调性(1)一次函数y＝kx＋b，当k＞0时，函数在R上为单调递增函数；当k＜0时，函数在R 上为单调递减函数．思维整合【重点】本节重点是函数单调性的概念以及函数单调性的判定、函数单调性的应用．【难点】利用函数单调性的概念来证明或判断函数的单调性．【易错点】1．复合函数的单调性只注意复合关系，不注意范围；精典例题再现【解析重点】例求下列函数的单调区间．［解析］求函数单调区间有多种方法，可以利用定义法，可以利用基本的初等函数的单调性，也可以用图象的直观性．作出函数的图象，如图2－3－1所示：在(－∞，－1]和[0，1]上，函数f(x)是增函数，在[－1，0]和[1，＋∞)上，函数是减函数．故其单调递增区间为(－∞，－1]和[0，1]；其单调递减区间为[－1，0]和[1，＋∞)．点拨对于(2)中求复合函数单调区间的问题，一般有以下结论：设y＝f(u)，u＝g(x)，x∈[a，b]，u∈[m，n]，若f(u)是[m，n]上的增函数，则f[g(x)]的增减性与g(x)的增减性相同；如果f(u)是[m，n]上的减函数，则f[g(x)]的增减性与g(x)的增减性相反，此种问题特别要注意考虑函数的定义域．。
高一数学必修一中的函数单调性与最值问题
高一数学必修一中的函数单调性与最值问题在高一数学必修一的学习中，函数的单调性与最值问题是非常重要的一部分内容。
它不仅是后续数学学习的基础，也在实际生活和其他学科中有着广泛的应用。
首先，我们来理解一下什么是函数的单调性。
简单来说，单调性就是函数值随着自变量的增大或减小而呈现出的一种变化规律。
如果函数值随着自变量的增大而增大，我们就说这个函数在某个区间上是单调递增的；反之，如果函数值随着自变量的增大而减小，那么这个函数在这个区间上就是单调递减的。
为了判断函数的单调性，我们通常会采用定义法。
假设给定函数$f(x)＄，定义域为$I$，对于定义域$I$内某个区间$D$上的任意两个自变量的值$x_1$，＄x_2$，当$x_1<x_2$时，如果都有$f(x_1)＜f(x_2)＄，那么就称函数$f(x)＄在区间$D$上是单调递增的；如果都有$f(x_1)＞f(x_2)＄，则称函数$f(x)＄在区间$D$上是单调递减的。
比如说，对于一次函数$y ＝ 2x ＋ 1$，我们可以任取两个自变量的值$x_1$和$x_2$，且$x_1 ＜ x_2$。
那么$f(x_1) ＝ 2x_1 ＋ 1$，＄f(x_2) ＝ 2x_2 ＋ 1$。
因为$x_1 ＜ x_2$，所以$2x_1 ＜ 2x_2$，从而$f(x_1)＜ f(x_2)＄，所以这个一次函数在其定义域内是单调递增的。
再比如，二次函数$y ＝ x^2$。
当$x ＜ 0$时，随着$x$的增大，＄y$的值逐渐减小，函数是单调递减的；当$x ＞ 0$时，随着$x$的增大，＄y$的值逐渐增大，函数是单调递增的。
除了定义法，我们还可以通过函数的导数来判断单调性。
这对于一些复杂的函数会更加方便和高效，但这是后续学习的内容，在高一阶段，我们主要还是掌握定义法。
接下来，我们谈谈函数的最值问题。
函数的最大值和最小值，简单理解就是函数在定义域内所能取到的最大和最小的函数值。
如果函数在某个区间上是单调递增的，那么在区间的左端点处取得最小值，在右端点处取得最大值；如果函数在某个区间上是单调递减的，那么在区间的右端点处取得最小值，在左端点处取得最大值。
必修一函数的单调性与最值(含答案)
∴函数f(x)在［1,2］上具有“DK”性质.
(2)f(x)=x2-ax+2,x∈［a,a+1］，
其对称轴为x= .
①当 ≤ a，即a≥0时，函数f(x)min=f(a)=a2-a2+2=2.
若函数f(x)具有“DK”性质，则有2≤a总成立，即a≥2.
②当a< <a+1，即-2<a<0时，f(x)min=f( )=- +2.
由已知条件得 ≤ ,则a≤2,f(2)=11-2a≥7.
答案：［7,+∞)
8.【解析】∵5x-2≥0,∴x≥ ,∴y≥0.
又y= (当且仅当x= 时取等号).
答案：
9.【解析】由已知x1≠x2,都有 <0，知f(x)在R上为减函数，则需
解得0<a≤ .
答案：(0, ］
10.【解析】(1)当x>0时，f(x)= .
当a>1时，f(x)在［0，1］上为增函数，由已知有 ,得a=2,综上知a=2.
4.【解析】选 . 由函数解析式知f(x)在(-∞,4)和（4，+∞）都是减函数，又 ∴减区间有两个(-∞,4)和（4，+∞）.
5.【解析】选A.因为f(x+2)的图象关于x=0对称，所以f(x)的图象关于x=2对称，又f(x)在区间(-∞,2)上是增函数，则其在(2，+∞)上为减函数，作出其图象大致形状如图所示.
三、解答题(每小题15分，共30分)
10.(2012·青岛模拟)已知函数f(x)= ,
(1)判断函数f(x)在区间(0,+∞)上的单调性并加以证明;
(2)求函数f(x)的值域.
11.（2012·南平模拟）已知函数f(x)=ax2-2x+1.
人教版高中数学必修一《函数的单调性》精选习题(含答案解析)
人教版高中数学必修一《函数的单调性》精选习题（含答案解析）一、选择题1．定义在R上的函数y＝f(x＋1)的图象如右图所示．给出如下命题：①f(0)＝1；②f(－1)＝1；③若x>0，则f(x)<0；④若x<0，则f(x)>0，其中正确的是()A．②③B．①④C．②④D．①③2．若(a，b)是函数y＝f(x)的单调增区间，x1，x2∈(a，b)，且x1<x2，则有()A．f(x1)<f(x2) B．f(x1)＝f(x2)C．f(x1)>f(x2) D．以上都可能3．f(x)在区间[a，b]上单调，且f(a)·f(b)<0，则方程f(x)＝0在区间[a，b]上()A．至少有一个根B．至多有一个根C．无实根D．必有唯一的实根4．函数y＝x2－6x＋10在区间(2,4)上是()A．递减函数B．递增函数C．先递减再递增D．先递增再递减5．如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，则下列结论中不正确的是()A.f(x1)－f(x2)x1－x2>0B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0 C．f(a)<f(x1)<f(x2)<f(b)D.x1－x2f(x1)－f(x2)>06．函数y＝x2＋2x－3的单调递减区间为()A．(－∞，－3] B．(－∞，－1]C．[1，＋∞) D．[－3，－1]二、填空题7．设函数f(x)是R上的减函数，若f(m－1)>f(2m－1)，则实数m的取值范围是______________．8．函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[2，＋∞)时是增函数，当x∈(－∞，2]时是减函数，则f(1)＝________.三、解答题9．画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象，并指出函数的单调区间．10．已知f(x)，g(x)在(a，b)上是增函数，且a<g(x)<b，求证：f(g(x))在(a，b)上也是增函数．11．已知f(x)＝x2－1，试判断f(x)在[1，＋∞)上的单调性，并证明．能力提升12．定义在R上的函数f(x)满足：对任意实数m，n总有f(m＋n)＝f(m)·f(n)，且当x>0时，0<f(x)<1.(1)试求f(0)的值；(2)判断f(x)的单调性并证明你的结论．13．函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，对任意的x，y∈(0，＋∞)，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且f(4)＝5.(1)求f(2)的值；(2)解不等式f(m－2)≤3.参考答案与解析1．B2．A [由题意知y ＝f (x )在区间(a ，b )上是增函数，因为x 2>x 1，对应的f (x 2)>f (x 1)．]3．D [∵f (x )在[a ，b ]上单调，且f (a )·f (b )<0，∴①当f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )<0，f (b )>0，②当f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )>0，f (b )<0，由①②知f (x )在区间[a ，b ]上必有x 0使f (x 0)＝0且x 0是唯一的．]4．C [如图所示，该函数的对称轴为x ＝3，根据图象可知函数在(2,4)上是先递减再递增的．]5．C [由函数单调性的定义可知，若函数y ＝f (x )在给定的区间上是增函数，则x 1－x 2与f (x 1)－f (x 2)同号，由此可知，选项A 、B 、D 正确；对于C ，若x 1<x 2时，可能有x 1＝a 或x 2＝b ，即f (x 1)＝f (a )或f (x 2)＝f (b )，故C 不成立．]6．A [该函数的定义域为(－∞，－3]∪[1，＋∞)，函数f (x )＝x 2＋2x －3的对称轴为x ＝－1，由函数的单调性可知该函数在区间(－∞，－3]上是减函数．]7．m >0解析 由f (m －1)>f (2m －1)且f (x )是R 上的减函数得m －1<2m －1，∴m >0.8．－3解析 f (x )＝2(x －m 4)2＋3－m 28，由题意m 4＝2，∴m ＝8.∴f (1)＝2×12－8×1＋3＝－3.9．解 y ＝－x 2＋2|x |＋3＝⎩⎨⎧ －x 2＋2x ＋3 (x ≥0)－x 2－2x ＋3(x <0)＝⎩⎨⎧－(x －1)2＋4 (x ≥0)－(x ＋1)2＋4(x <0). 函数图象如图所示．函数在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数，函数在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数．∴函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调增区间是(－∞，－1]和[0,1]，单调减区间是[－1,0]和[1，＋∞)．10．证明设a<x1<x2<b，∵g(x)在(a，b)上是增函数，∴g(x1)<g(x2)，且a<g(x1)<g(x2)<b，又∵f(x)在(a，b)上是增函数，∴f(g(x1))<f(g(x2))，∴f(g(x))在(a，b)上是增函数．11．解函数f(x)＝x2－1在[1，＋∞)上是增函数．证明如下：任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1<x2，则f(x2)－f(x1)＝x22－1－x21－1＝x22－x21x22－1＋x21－1＝(x2－x1)(x2＋x1)x22－1＋x21－1.∵1≤x1<x2，∴x2＋x1>0，x2－x1>0，x22－1＋x21－1>0. ∴f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)，故函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数．12．解(1)在f(m＋n)＝f(m)·f(n)中，令m＝1，n＝0，得f(1)＝f(1)·f(0)．因为f(1)≠0，所以f(0)＝1.(2)函数f(x)在R上单调递减．任取x1，x2∈R，且设x1<x2.在已知条件f(m＋n)＝f(m)·f(n)中，若取m＋n＝x2，m＝x1，则已知条件可化为f(x2)＝f(x1)·f(x2－x1)，由于x2－x1>0，所以0<f(x2－x1)<1.在f(m＋n)＝f(m)·f(n)中，令m＝x，n＝－x，则得f(x)·f(－x)＝1.当x>0时，0<f(x)<1，所以f(－x)＝1f(x)>1>0，又f(0)＝1，所以对于任意的x1∈R均有f(x1)>0. 所以f(x2)－f(x1)＝f(x1)[f(x2－x1)－1]<0，即f(x2)<f(x1)．所以函数f(x)在R上单调递减．13．解 (1)∵f (4)＝f (2＋2)＝2f (2)－1＝5， ∴f (2)＝3.(2)由f (m －2)≤3，得f (m －2)≤f (2)． ∵f (x )是(0，＋∞)上的减函数， ∴⎩⎨⎧ m －2≥2m －2>0，解得m ≥4.∴不等式的解集为{m |m ≥4}．。
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函数（一）
单调性
一、 基础知识
1、 增函数：设函数()f x 的定义域为I,如果对于I 内某个区间D 的任意两个自变量12,x x ，当12
x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数，区间D 叫做函数的增区间。
2、 减函数：设函数()f x 的定义域为I,如果对于I 内某个区间D 的任意两个自变量12,x x ，当12
x x <时，都有12()()f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数，区间D 叫做函数的减区间。
3、 单调性：如果函数()f x 在区间D 上式增函数或者减函数，那么就是函数()f x 在这一区间上具有
单调性，区间D 叫做函数的单调区间。
4、 单调区间：指的是函数具有单调性的最大取值区间。
5、证明单调性的步骤：做差→变形→判号→得结论。
6、单调函数的组合：某两个单调函数在同一区间内的加减后所得函数单调性
增函数+ 增函数=增函数，减函数+减函数=减函数，
增函数—减函数=增函数，减函数—增函数=减函数
奇函数⨯奇函数=偶函数，偶函数⨯偶函数=偶函数
奇函数⨯偶函数=奇函数
二、习题精练
1、（1）证明函数2()f x x x =+在)+∞上递增 （2）证明函数2()f x x x
=-在()0,+∞上递增。
2、（1）找出函数223y x x =-++的增区间 （2）找出223y x x =-++的减区间
3、（1）函数[)2()485,f x x kx =--+∞在区间上单调递增，求实数k 的取值范围。
（2）函数[)2()485,f x x kx =--+∞的增区间为，求实数k 的取值范围。
4、（1）已知函数{22,12,1
()x ax x ax x f x -+<+≥=是R 上的增函数，求a 的范围 （2）已知函数
{2(4),2416,2()x a x x ax x f x -<+-≥=是R 上的增函数，求a 的范围
5、求函数21y x =-
6、 已知函数()y f x =在区间(0,)+∞单调递减，请填空。
(1).(1)___(3)f f (2).(5)___(3)f f (3).(5)___(10)f f
7、（1）函数()y f x =是定义在区间(0,)+∞上的单调增函数，且2
(2)(15)f m f m >-，求m 的取值范围。
（2）已知函数()y f x =是定义在(2,2)-上的减函数，若(1)(21)f m f m ->-，实数m 的取值范
8、设()f x 是定义在(0,)+∞上的增函数， (2)1f =，且 ()()()f xy f x f y =+，求满足不等式 (3)(3)2f f x +-≤的x 的取值范围.
9、已知函数(),f x x y R ∈对任意，都有()()()f x f y f x y +=+且当0x >时，2()0,(1)3
f x f <=-
(1)求证：()f x 在R 上是减函数 （2）求()f x 在[]3,3-上的最值
10、已知函数()f x 定义在区间(0,)+∞上，满足对1122
()()()x f f x f x x =-且1,()0x f x ><时 (1) 求(1)f 的值 (2) 判断()f x 的单调性
(3)若[](3)1,()2,9f f x =-求函数在区间上的最小值
课后练习
1、已知函数()f x 对任意的,,m n R ∈都有()()()1f m n f m f n +=+-，且0,()1x f x >>恒有
(1)求证：()f x 在R 上递增 （2）若(3)4f =，解不等式2
(5)2f a a +-<
2、已知
{(21)72,(1),(1)
()x a x a x a x f x -+-<≥=在R 上递减，求a 的取值范围
参考答案
1、 略
2、 （1） (][],1,0,1-∞- （2） (][],1,1,3-∞-
3、 （1）40k ≤ （2）40k =
4、 （1）[]1,3 （2）3
,35⎡⎫-⎪⎢⎣⎭
5、 11
2
6、 (1),(2),(3)><>
7、 （1）5
(,3)(,15)2-∞-⋃
（2）3(0,)2 8、 133,3⎛
⎤
⎥⎝⎦
9、 （2）[]2,2-
10、（1）(1)0f = （2）单减
（3）—2 课后练习
1、（2）(3,2)-
2、3
1,82⎡⎫
⎪⎢⎣⎭。