函数性质综合运用(讲义)

函数性质综合运用（讲义）

➢课前预习

1.填空：

①如果我们将方程组中的两个方程看作是两个函数，则方程组的解恰好对应

两个函数图象的__________________；方程x2+3x-1=2x+1的根对应两个函数图象交点的__________．

特别地，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根是二次函数______________的图象与______交点的横坐标．当∆＞0时，二次函数图象与x轴有_____个交点；当∆=0时，与x轴有_____个交点；当∆＜0时，与x轴______交点．

②y=2x+1与y=x2+3x+1的交点个数为__________．

2.借助二次函数图象，数形结合回答下列问题：

①当a＞0时，抛物线开口_____，图象以对称轴为界，当x_____时，y随x

的增大而增大；该二次函数有最____值，是_______；

②当a＜0时，抛物线开口____，图象以对称轴为界，当x_____时，y随x的

增大而增大；该二次函数有最___值，是______．

③已知二次函数y=x2+2x-3．当-5＜x＜3时，y的取值范围为__________；当

1＜x≤5时，y的取值范围为__________．

注：二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标为

2

4

()

24

b a

c b

a a

--，．

➢知识点睛

a b c k ⎧⎧⎪⎨

⎩⎪

⎪⎧⎪⎪⎪

⎨⎨⎪⎪⎩⎪

⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩①坐标代入表达式，得方程或不等式表达式与坐标②借助表达式设坐标①判断，，，等字母符号函数图象与性质②借助图象比大小、找范围

③图象平移：左加右减，上加下减

将方程、不等式转化为函数，函数与方程、不等式数形结合，借助图象分析

⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪

⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪

⎪⎩

第一步：设坐标

利用所在函数表达式或坐标间关系横平竖直第二步：坐标相减竖直线段：纵坐标相减，上减下水平线段：横坐标相减，右减左表达线段长①倾斜程度不变借助相似，利用竖直线段长表达斜放置②倾斜程度变化 ➢ 精讲精练

1. 抛物线y =ax 2+bx +c 上部分点的横坐标x 、纵坐标y 的对应值如表所示．

y 轴的右侧；③抛物线一定经过点(3，0)；

④在对称轴左侧，y 随x 增大而减小；⑤一元二次方程ax 2+bx +c =4的解为x =-1或x =2．由表可知，正确的说法有______个．

2. 已知二次函数y =(x -h )2+1（h 为常数），在自变量x 的值满足1≤x ≤3的情况

下，与其对应的函数值y 的最小值为5，则h 的值为（ ） A ．5或1

B ．-1或5

C ．1或-3

D ．1或3

3. 已知二次函数y =ax 2-bx -2（a ≠0）的图象的顶点在第四象限，且过点(-1，0)，

当a -b 为整数时，ab 的值为（ ）

A ．34或1

B ．14或1

C ．34或12

D ．

14或34

4. 二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象如图所示，图象过点(-1，0)，对称

轴为直线x =2．给出下列结论：①4a +b =0；②9a +c ＞3b ；③8a +7b +2c ＞0；④

若点A(-3，y1)，B(

1

2

-，y2)，C(

7

2

，y3)在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；⑤若

方程a(x+1)(x-5)=-3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜-1＜5＜x2．

其中正确的结论有_______（填写序号）．

5.若m，n（n＜m）是关于x的一元二次方程1-(x-a)(x-b)=0的两个根，且b＜

a，则m，n，b，a的大小关系为__________．

6.设关于x的方程ax2+(a+2)x+9a=0有两个不相等的实数根x1，x2，且x1＜1＜

x2，那么a的取值范围是（）

A．

22

75

a

-<

2

5

a>

C．

2

7

a<-D．

2

11

a

-<<

7.若关于x的方程x2+2kx+3k=0的两根都在-1和3之间（不含-1，3），则k的

取值范围是_______________．

8.已知二次函数y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，且图象过A(m+1，n)，B(m-9，

n)两点，则n的值为（）

A．16 B．18 C．20 D．25

9.如图，在平面直角坐标系中，双曲线

2

y

x

=与直线y=x交于A，B两点，点C

是x轴上一动点，过点C作x轴垂线，交双曲线于点P，交直线y=x于点Q，当PQ长为1时，点Q的坐标为__________________．

第9题图第10题图

10. 如图，在平面直角坐标系中，直线112y x =

+与抛物线211

322

y x x =--交于A ，B 两点，点A 在x 轴上，点B 的纵坐标为3．点P 是直线AB 下方的抛物

线上一动点（不与点A ，B 重合），过点P 作x 轴的垂线交直线AB 于点C ，作PD ⊥AB 于点D ．设点P 的横坐标为m ．

（1）设线段PC 的长为n ，则n 与m 之间的函数关系式为______________； （2）线段PD 长的最大值为______________．

11. 如图，抛物线224

233

y x x =--与x 轴正半轴交于点A ，交y 轴于点B ．点P

为抛物线上一个动点，过点P 作x 轴的垂线PC ，过点B 作BC ⊥PC 于点C ，

连接PB ．当△BCP 为等腰直角三角形时，线段PC 的长为__________．

12. 如图，边长为8的正方形C

经过点A ，点P 是抛物线上点A ，C 间的一个动点（含端点），于点E ，点D 的坐标为(0，6)，连接PD ．在变化过程中，PD 值，则PD -PE =___________．

13. 某班“数学兴趣小组”对函数y =x 2-2|x |如下，请补充完整．

（1）自变量x 的取值范围是全体实数，x 与y （2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分． （3）观察函数图象，写出两条函数的性质． （4）进一步探究函数图象发现：

①函数图象与x 轴有_____个交点，所以对应方程x 2-2|x |=0有_____个实数根；

②方程x 2-2|x |=2有______个实数根；