函数性质综合运用(讲义)

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第2讲一次函数的图像及性质(讲义)解析版

（2）由图像可得： x ³ 6 ．【总结】本题考察了一次函数与一元一次不等式的关系．例 9.已知一次函数解析式是 y = 1 x - 3 ．
2
（1）当 x 取何值时， y = 2 ? （2）当 x 取何值时， y > 2 ? （3）当 x 取何值时， y < 2 ? （4）当 x 取何值时， 0 < y < 2 ?
2 （4）令 0 < 1 x - 3 < 2 ，解得： 6 < x < 10 ．
2 【总结】本题考察了一次函数与不等式的关系，本题也可以通过函数图像求解．例 10.已知函数 f (x) = -3x + 1 ．
（1）当 x 取何值时， f (x) = -2 ? （2）当 x 取何值时， 4 > f (x) > -2 ? （3）在平面直角坐标系中，在直线 f (x) = -3x + 1 上且位于 x 轴下方所有点，它们的横坐标的取值范围是什么?
A． x < 0
B． x > 0
C． x < 2
D． x > 2 ．
【答案】A
【分析】根据题意在函数图像中寻找 y > 3 时函数图像所在的位置，发现此时函数图像对
应的 x 范围是小于零，从而得出答案
【详解】解：∵由函数图象可知，当 x＜0 时函数图象在 3 的上方，
∴当 y＞3 时，x＜0．
故选：A．
【总结】本题考察了一次函数与一元一次不等式的关系．例 8.已知 y = kx + b(k ¹ 0) 的函数图像如图所示：
（1）求在这个函数图像上且位于 x 轴上方所有点的横坐标的取值范围；（2）求不等式 kx + b £ 0 的解集．

总复习专题二：函数及其性质(第二部分：函数的单调性与奇函数偶函数)

镇（乡）学校班级考号姓名 ……○……题……○……不……○……得……○……超……○……过……○……此……○……密……○……封……○……总复习专题二：函数及其性质(含抽象函数的性质）编辑，整理：冉春第一部分：讲义部分：第一节、函数的单调性与奇偶性1、函数的单调性函数的单调性①定义及判定方法函数的性质定义图象判定方法函数的单调性如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x ．1．< x ．．2．时，都有f(x ．．．1．)<f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．．（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象上升为增）（4）利用复合函数的单调性（同增异减）如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< x ．．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．．（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象下降为减）（4）利用复合函数例1：函数12+=x y 在区间），（∞∞+-是增函数；函数 22+-=x y 在区间），（∞∞+-是减函数。

例：证明函数12)(-=x x f 在区间），（∞∞+-是增函数。

证明：设2121),,(,x x x x <+∞-∞∈且，那么12)(,12)(2211-=-=x x f x x f )12()12()()(2121---=-x x x f x f ·)(221x x -=· 21x x <∵，021<-∴x x0)(2)()(2121<-=-∴x x x f x f ，即)()(21x f x f < ∴函数12)(-=x x f 在区间），（∞∞+-是增函数。

函数的性质专题讲义

函数四大性质综合讲义1．函数的单调性(1)单调函数的定义自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值3.（一）对称轴1.概念：如果一个函数的图像沿着一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称函数具备对称性中的轴对称，该直线称为函数的对称轴。

2.常见函数的对称轴①常数函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴②一次函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴③二次函数：是轴对称，不是中心对称，其对称轴方程为x=-b/(2a)④反比例函数：既是轴对称又是中心对称，其中原点为它的对称中心，y=x与y=-x均为它的对称轴⑤指数函数：既不是轴对称，也不是中心对称⑥对数函数：既不是轴对称，也不是中心对称⑦幂函数：显然幂函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点；幂函数中的偶函数是轴对称，对称轴是y轴；而其他的幂函数不具备对称性⑧正弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中（kπ，0）是它的对称中心，x=kπ+π/2是它的对称轴⑨正弦型函数：正弦型函数y=Asin(ωx+φ)既是轴对称又是中心对称，只需从ωx+φ=kπ中解出x，就是它的对称中心的横坐标，纵坐标当然为零；只需从ωx+φ=kπ+π/2中解出x，就是它的对称轴；需要注意的是如果图像向上向下平移，对称轴不会改变，但对称中心的纵坐标会跟着变化⑩余弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中x=kπ是它的对称轴，（kπ+π/2，0）是它的对称中心⑾正切函数：不是轴对称，但是是中心对称，其中（kπ/2，0）是它的对称中心，容易犯错误的是可能有的同学会误以为对称中心只是（kπ,0）⑿对号函数：对号函数y=x+a/x(其中a>0)因为是奇函数所以是中心对称，原点是它的对称中心。

题型七函数的基本性质(复习讲义)(原卷版)

题型七函数的基本性质（复习讲义）【考点总结|典例分析】考点01一次函数一、正比例函数的概念一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做正比例系数．二、一次函数1.一次函数的定义一般地，形如y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)的函数叫做x的一次函数.特别地，当一次函数y=kx+b中的b=0时，y=kx（k是常数，k≠0）．这时， y叫做x的正比例函数．2.一次函数的一般形式一次函数的一般形式为y=kx+b，其中k，b为常数，k≠0．一次函数的一般形式的结构特征：（1）k≠0，（2）x的次数是1；（3）常数b可以为任意实数.3.注意（1）正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数.（2）一般情况下，一次函数的自变量的取值范围是全体实数.（3）判断一个函数是不是一次函数，就是判断它是否能化成y=kx+b（k≠0）的形式.三、一次函数的图象及性质1．正比例函数的图象特征与性质正比例函数y=kx（k≠0）的图象是经过原点（0，0）的一条直线．2.一次函数的图象特征与性质（1）一次函数的图象≠0）的关系在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x=bk，即直线y=kx+b与x轴交于（–bk，0）．①当–bk>0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴．②当–bk=0，即b=0时，直线经过原点．③当–bk<0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴．4.两直线y=k1x+b1（k1≠0）与y=k2x+b2（k2≠0）的位置关系：①当k1=k2，b1≠b2，两直线平行；②当k1=k2，b1=b2，两直线重合；③当k1≠k2，b1=b2，两直线交于y轴上一点；④当k1·k2=–1时，两直线垂直．四、待定系数法1．定义：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而得出函数解析式的方法叫做待定系数法．2．待定系数法求正比例函数解析式的一般步骤（1）设含有待定系数的函数解析式为y=kx（k≠0）．（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k的一元一次方程．（3）解方程，求出待定系数k．（4）将求得的待定系数k的值代入解析式．3．待定系数法求一次函数解析式的一般步骤（1）设出含有待定系数k、b的函数解析式y=kx+b．（2）把两个已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k，b的二元一次方程组．（3）解二元一次方程组，求出k，b．（4）将求得的k，b的值代入解析式．1.已知在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+2和直线y＝23x+2分别交x轴于点A和点B．则下列直线中，与x轴的交点不在线段AB上的直线是（）A．y＝x+2 B．y x+2 C．y＝4x+2 D．y＝3x+22.如图，在平面直角坐标系中，直线l 1：y=与x 轴，y 轴分别交于点A 和点B ，直线l 2：y=kx （k ≠0）与直线l 1在第一象限交于点C ．若∠BOC=∠BCO ，则k 的值为（）A B C D ．3.如图，在平面直角坐标系中，点A ，C 分别在x 轴、y 轴上，四边形ABCO 是边长为4的正方形，点D 为AB 的中点，点P 为OB 上的一个动点，连接DP ，AP ，当点P 满足DP+AP 的值最小时，直线AP 的解析式为_____．4.如图，在平面直角坐标系中，直线3y x =-+过点(5,)A m 且与y 轴交于点B ，把点A 向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到点C .过点C 且与2y x =平行的直线交y 轴于点D .（1）求直线CD 的解析式；（2）直线AB 与CD 交于点E ，将直线CD 沿EB 方向平移，平移到经过点B 的位置结束，求直线CD 在平移过程中与x 轴交点的横坐标的取值范围.考点02反比例函数一、反比例函数的概念1．反比例函数的概念：一般地，函数ky x=（k 是常数，k ≠0）叫做反比例函数．反比例函数的解析式也可以写成1y kx -=的形式．自变量x 的取值范围是x ≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数． 2．反比例函数ky x=（k 是常数，k ≠0）中x ，y 的取值范围自变量x 和函数值y 的取值范围都是不等于0的任意实数．二、反比例函数的图象和性质 1．反比例函数的图象与性质（1）图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限．由于反比例函数中自变量x ≠0，函数y ≠0，所以，它的图象与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴．（2）性质：当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y 随x 的增大而减小．当k<0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y 随x 的增大而增大．2．反比例函数图象的对称性反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=x和y=x，对称中心为原点．3．注意（1）画反比例函数图象应多取一些点，描点越多，图象越准确，连线时，要注意用平滑的曲线连接各点．（2）随着|x|的增大，双曲线逐渐向坐标轴靠近，但永不与坐标轴相交，因为反比例函数kyx=中x≠0且y≠0．（3）反比例函数的图象不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，都是在各自象限内的增减情况．当k>0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k>0时，y随x的增大而减小．同样，当k<0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大．三、反比例函数解析式的确定1．待定系数法：确定解析式的方法仍是待定系数法，由于在反比例函数kyx=中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式．2．待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤（1）设反比例函数解析式为kyx=（k≠0）；（2）把已知一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程；（3）解这个方程求出待定系数k；（4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式．四、反比例函数中|k|的几何意义1．反比例函数图象中有关图形的面积2．涉及三角形的面积型当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解．（1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S △ABC =2S △ACO =|k|；（2）如图②，已知一次函数与反比例函数ky x=交于A 、B 两点，且一次函数与x 轴交于点C ，则S △AOB =S △AOC +S △BOC =1||2A OC y ⋅+1||2B OC y ⋅=1(||||)2A B OC y y ⋅+；（3）如图③，已知反比例函数ky x=的图象上的两点，其坐标分别为()A A x y ，，()B B x y ，，C 为AB 延长线与x 轴的交点，则S △AOB =S △AOC –S △BOC =1||2A OC y ⋅–1||2B OC y ⋅=1(||||)2A B OC y y ⋅-．1.反比例函数经过点，则下列说法错误．．的是（） A ．B ．函数图象分布在第一、三象限C ．当时，随的增大而增大D ．当时，随的增大而减小2.一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图象可能是（）ky x=(2,1)2k =0x >y x 0x >y x y ax a =-(0)ay a x=≠A ．B ．C ．D ．3.如图，平行四边形的顶点在轴的正半轴上，点在对角线上，反比例函数的图像经过、两点．已知平行四边形的面积是，则点的坐标为（）A ．B ．C ．D ． 4.如图，点，点都在反比例函数的图象上，过点分别向轴、轴作垂线，垂足分别为点，．连接，，．若四边形的面积记作，的面积记作，则（）A ．B ．C ．D ．5.如图，直线与反比例函数的图象交于A ，B 两点，已知点A 的坐标为，的面积为8．（1）填空：反比例函数的关系式为_________________；（2）求直线的函数关系式；（3）动点P 在y 轴上运动，当线段与之差最大时，求点P 的坐标．OABC A x ()3,2D OB ()0,0k y k x x =>>C D OABC 152B 84,3⎛⎫ ⎪⎝⎭9,32⎛⎫ ⎪⎝⎭105,3⎛⎫⎪⎝⎭2416,55⎛⎫⎪⎝⎭(,1)P m (-2,)Q n 4y x=P x y M N OP OQ PQ OMPN 1S POQ △2S 12:2:3S S =12:1:1S S =12:4:3S S =12:5:3S S =AB (0)k y x x =>()6,1AOB AB PA PB6.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）直线交轴于点，点是轴上的点，若的面积是，求点的坐标．考点03二次函数一、二次函数的概念：一般地，形如y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数．二、二次函数解析式的三种形式（1）一般式：y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）．（2）顶点式：y=a （x –h ）2+k （a ，h ，k 为常数，a ≠0），顶点坐标是（h ，k ）．（3）交点式：y=a （x –x 1）（x –x 2），其中x 1，x 2是二次函数与x 轴的交点的横坐标，a ≠0．三、二次函数的图象及性质 1．二次函数的图象与性质y kx b =+my x=()1,2A (),1B n -AB x C P x ACP △4P开口向上开口向下四、抛物线的平移1．将抛物线解析式化成顶点式y=a（x–h） 2+k，顶点坐标为（h，k）．2．保持y=ax2的形状不变，将其顶点平移到（h，k）处，具体平移方法如下：3．注意二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式．五、二次函数与一元二次方程的关系1．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）2．ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标．（1）b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点；（2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点；（3）b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点．1.如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为直线x＝﹣1，下列结论：①abc＜0；②3a＜﹣c；③若m为任意实数，则有a﹣bm≤am2+b；④若图象经过点（﹣3，﹣2），方程ax2+bx+c+2＝0的两根为x1，x2（|x1|＜|x2|），则2x1﹣x2＝5．其中正确的结论的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个2.如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与y轴交于点B（0，﹣2），点A（﹣1，m）在抛物线上，则下列结论中错误的是（）A．ab＜0 B．一元二次方程ax2+bx+c＝0的正实数根在2和3之间C ．a ＝23m + D ．点P 1（t ，y 1），P 2（t+1，y 2）在抛物线上，当实数t ＞13时，y 1＜y 2 3.二次函数y=x 2的图象平移后经过点（2，0），则下列平移方法正确的是（）A ．向左平移2个单位，向下平移2个单位B ．向左平移1个单位，向上平移2个单位C ．向右平移1个单位，向下平移1个单位D ．向右平移2个单位，向上平移1个单位4.下列关于二次函数22()1y x m m =--++（m 为常数）的结论，①该函数的图象与函数2y x =-的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点(0,1)；③当0x >时，y 随x 的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数21y x =+的图像上，其中所有正确的结论序号是__________．5.二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象如图所示，下列结论：①ab ＞0；②a+b ﹣1＝0；③a ＞1；④关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c ＝0的一个根为1，另一个根为﹣1a．其中正确结论的序号是_____．6.已知抛物线22232(0)y ax ax a a =--+≠．（1）求这条抛物线的对称轴；（2）若该抛物线的顶点在x 轴上，求其解析式；7.已知抛物线与轴有两个不同的交点.(1)求的取值范围；(2)若抛物线224y x x c =-+x c经过点和点，试比较与的大小，并说明理由.224y x x c =-+()2,A m ()3,B n m n。

第四讲函数常考知识复习讲义(学生版)

第四讲函数常考知识复习讲义I本章知识思维导图 2 II典型例题 3题型一：求具体函数与抽象函数的定义域 3题型二：求函数的解析式 4题型三：求函数的值域 5题型四：函数的单调性 6题型五：函数的奇偶性 8题型六：函数性质的综合应用 10题型七：幂函数 12题型八：函数的实际应用 14 III数学思想方法 19①分类讨论思想 19②转化与化归思想 19③数形结合思想 20I本章知识思维导图II典型例题题型一：求具体函数与抽象函数的定义域【例1】(2024·广东深圳·高一校考期中)函数y=9-x2x的定义域是.【例2】(2024·上海松江·高一校考期末)函数y=xx2-1的定义域为(用区间表示).【例3】(2024·河南新乡·高一校联考期末)函数f x =8x2-x2-1的定义域为．【例4】(2024·新疆乌鲁木齐·高一校考期中)若函数f x 的定义域为-1,2，则函数f3+2x的定义域是．【例5】(2024·高一课时练习)已知函数f(x+1)的定义域是[-2,2]，则函数f(x)的定义域是．【例6】(2024·吉林长春·高一长春市解放大路学校校考阶段练习)已知函数f x 的定义域为0,+∞，则函数F x =f x+2+3-x的定义域为.【例7】(2024·全国·高一专题练习)已知函数f x+1的定义域为1,2，则f2x的定义域为.【例8】(2024·全国·高一专题练习)已知函数f x 的定义域为-1,1则y=f x+1x2-2x-3的定义域为【例9】(2024·全国·高一专题练习)已知函数f2x的定义域为12,2，则函数f x2的定义域为.【例10】(2024·全国·高一专题练习)函数f3x+1的定义域为1,7，则函数f x 的定义域是.【例11】(2024·河南郑州·高一校考阶段练习)已知函数f(x)是一次函数且f(f(x))+2f(x)=-x-2，则函数f(x)的解析式为．【例12】(2024·全国·高一专题练习)已知f x 是二次函数．且f x+1+f x-1=2x2-4x．则f x =．【例13】(2024·四川眉山·高一校考阶段练习)已知f x+1=2x2+3，则f x =．【例14】(2024·高一课时练习)已知函数f x+1=x，则函数f x 的解析式是.【例15】(2024·全国·高一专题练习)已知f1x=x1-x2，则f x =.【例16】(2024·江苏盐城·高一统考期中)已知函数f(x)满足f3-2x=x2-x，则f(x)=.【例17】(2024·全国·高一专题练习)已知f1+1 x=1x-1，则f x =．【例18】(2024·上海·高一专题练习)已知函数f x 满足2fx-1x+f x+1x=1+x，其中x∈R且x≠0，则函数f x 的解析式为【例19】(2024·高一课时练习)已知函数y=f(x)满足f(x)=2f1x+x，则f(x)的解析式为.【例20】(2024·全国·高一专题练习)求下列函数的值域.(1)f x =2x+41-x;(2)f x =5x+4x-2;(3)f x =x2-2x-3，x∈-1,4(4)y=x2+x+1x【例21】(2024·高一课时练习)求下列函数的值域．(1)y=5x+4x-1；(2)y=x-1-2x；(3)y=2--x2+4x.【例22】(2024·高一课时练习)求下列函数的值域．(1)y=16-x2；(2)y=x2-4x+61≤x≤5；(3)y=xx+1；(4)y=2x+41-x.【例23】(2024·全国·高一课堂例题)求下列函数的值域：(1)y=x+1，x∈1,2,3,4,5；(2)y=x2-2x+3，x∈0,3；(3)y=2x+1x-3x>4；(4)y=2x-x-1；(5)y=x2-2x+4x-2x>2；(6)y=2xx2+3x+4x<0；(7)y=2x2+2x+5x2+x+1．【例24】(2024·高一校考课时练习)求下列函数的值域:(1)y =2x +1x -3，(2)y =x +4xx >0 ，(3)y =-2x 2+x +3，(4)y =x +41-x题型四：函数的单调性【例25】(2024·高一课时练习)定义域为(-2,0)∪(0,2)的函数f (x )在区间(-2,0)上是增函数，在区间(0,2)上是减函数，则：(1)函数y =-f (x )的单调递增区间是；单调递减区间是；(2)函数y =-f (x +1)的单调递增区间是；单调递减区间是．【例26】(2024·山东·高一山东省实验中学校考阶段练习)函数y =7+6x -x 2的单调递增区间为.【例27】(2024·全国·高一专题练习)已知函数f x =x +1x -52x >0 ，则f x 的递减区间是.【例28】(2024·黑龙江齐齐哈尔·高一校联考期中)函数f x =xx -1,x ≤0-x 2-a +1 x +2a ,x >0在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是.【例29】(2024·全国·高一课堂例题)已知函数f x 在0,+∞ 上单调递减，对任意x ∈0,+∞ ，均有f x ⋅f f x +2x =13，记g x =f x +4x 2，x ∈0,+∞ ，则函数g x 的最小值为．【例30】(2024·安徽安庆·高一安庆市第七中学校考期中)若f x =x 2-ax +2a 在区间1,+∞ 上是增函数，则实数a 的取值范围是.【例31】(2024·全国·高一专题练习)设函数f x =x +1,x <a a x -2 2,x ≥a，若f x 存在最大值，则实数a 的取值范围为．【例32】(2024·全国·高一专题练习)函数f (x )=x +1x-a +a 在区间[1,2]上的最大值为5，则a =．【例33】(2024·湖北武汉·高一校联考期中)函数f x 是定义在0,+∞ 上的增函数，若对于任意正实数x ,y ，恒有f xy =f x +f y ，且f 3 =1，则不等式f x +f x -8 <2的解集是.【例34】(2024·全国·高一专题练习)已知函数y =f x 的定义域为R ，对任意的x 1、x 2，且x 1≠x 2都有f x 1 -f x 2 x 1-x 2 >0成立，若f x 2+1 >f t 2-t -1 对任意x ∈R 恒成立，则实数t 的取值范围是．【例35】(2024·全国·高一假期作业)定义在R 上的函数f (x )的图象关于直线x =2对称，且f (x )在(-∞，2)上是增函数，则f (-1)与f (3)的大小关系是．【例36】(2024·全国·高一课堂例题)证明函数f x =x +1xx >0 在区间0,1 上递减，在区间1,+∞ 上递增，并指出函数在区间0,+∞ 上的最值点和最值．【例37】(2024·全国·高一专题练习)已知函数f (x )对任意的实数x 、y 都有f (x +y )=f (x )+f (y )-1，且当x>0时，f (x )>1.求证：函数f (x )在R 上是增函数.【例38】(2024·河北邯郸·高一校考期末)已知定义在(0,+∞)上的函数f (x )满足：①对任意的x ,y ∈(0,+∞)，都有f (xy )=f (x )+f (y )；②当且仅当x >1时，f (x )<0成立．(1)求f (1)；(2)用定义证明f (x )的单调性；【例39】(2024·天津·高一统考期中)已知函数f(x)=x2+a2ax+b是奇函数，且f1 =2.(1)求f x 的解析式；(2)判断f x 在区间0,1上的单调性并说明理由.题型五：函数的奇偶性【例40】(2024·新疆巴音郭楞·高一八一中学校考期中)已知f x =11+x(x∈R，且x≠-1)，g x =x2+2x∈R．(1)求f g2的值；(2)判断函数g x =x2+2x∈R的奇偶性；(3)证明函数g x =x2+2在0,+∞上是增函数．【例41】(2024·湖南株洲·高一株洲二中校考阶段练习)已知定义在-1,1上的奇函数f x =ax-bx2+1，且f-12=-25.(1)求函数f x 的解析式;(2)判断f x 的单调性(并用单调性定义证明);(3)解不等式f(3t)+f(2t-1)<0.【例42】(2024·全国·高一随堂练习)判断下列函数是否具有奇偶性：(1)f(x)=5x+3；(2)f(x)=5x；(3)f(x)=2x2+1；(4)f(x)=x2+6x+9；(5)f(x)=1x2+2x4；(6)f(x)=x+1x3.【例43】(2024·全国·高一期中)已知函数f(x)=2x-ax，且f(2)=92.(1)求实数a的值；(2)判断该函数的奇偶性；(3)判断函数f(x)在(1,+∞)上的单调性，并证明.【例44】(2024·甘肃白银·高一校考期中)已知函数f x =x2-ax+4，g x =x+b ax2+2.(1)若f x+1在b-1,b+1上为偶函数，求a，b的值；(2)设g x 的定义域为-1,1，在(1)的条件下：①判断函数g x 在定义域上的单调性并证明；②若g t-1+g2t<0，求实数t的取值范围.【例45】(2024·全国·高一期中)已知定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函数f(x)满足：①∀x，y∈(-∞,0)∪(0, +∞)，f(x⋅y)=f(x)+f(y)；②当x>1时，f(x)>0，且f2 =1．(1)试判断函数f x 的奇偶性；(2)判断函数f x 在0,+∞上的单调性；(3)求函数f x 在区间[-4,0)∪(0,4]上的最大值；(4)求不等式f(3x-2)+f(x)≥4的解集．【例46】(2024·江西南昌·高一南昌市八一中学校考阶段练习)已知函数y=f x 是定义在R上的奇函数，当x>0时，f x =x2-ax，其中a∈R(1)求函数y=f x 的解析式；(2)若函数y=f x 在区间0,+∞不单调，求出实数a的取值范围.【例47】(2024·黑龙江牡丹江·高一牡丹江市第二高级中学校考期末)设函数f x 是增函数，对于任意x，y∈R都有f x+y=f x +f y ．(1)写一个满足条件的f x 并证明；(2)证明f x 是奇函数；(3)解不等式12f x2-f x >12f3x．题型六：函数性质的综合应用【例48】(多选题)(2024·黑龙江齐齐哈尔·高一校联考期中)函数f(x)=x+1，g(x)=(x+1)2，用M(x)表示f(x)，g(x)中的较大者，记为M(x)=max{f(x),g(x)}，则下列说法正确的是()A.M(2)=3B.∀x≥1，M(x)≥4C.M(x)有最大值D.M(x)最小值为0【例49】(多选题)(2024·江苏南通·高一统考期末)奇函数f x 与偶函数g x 的定义域均为R，在区间a,ba<b上都是增函数，则()A.0∉a,bB.f x 在区间-b,-a上是增函数，g x 在区间-b,-a上是减函数C.f x g x 是奇函数，且在区间a,b上是增函数D.f x -g x 不具有奇偶性，且在区间a,b上的单调性不确定【例50】(多选题)(2024·福建福州·高一校联考期中)已知连续函数f x 对任意实数x恒有f(x+y)=f(x)+ f(y)-1，当x>0时，f x >1，f1 =2，则()A.f0 =1B.f x 在-4,4上的最大值是4C.f x 图像关于-1,0中心对称D.不等式f3x2-2f x <f3x-2的解集为0,5 3【例51】(多选题)(2024·江西赣州·高一统考期中)世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、高斯，其中享有“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数y=x ，x 表示不超过x的最大整数，例如1,1=1，-1,1=-2．已知函数f x =x-x ，则()A.f x 在R上是增函数B.f-3 2=12C.f x 为奇函数D.f x 的值域为0,1【例52】(多选题)(2024·全国·高一专题练习)已知定义域为R的函数f x 满足：∀x,y∈R，f x+y+f x-y=f x f y ，且f1 =1，则下列结论成立的是()A.f0 =2B.f x 为偶函数C.f x 为奇函数D.f2 =-1【例53】(多选题)(2024·全国·高一专题练习)设函数f x 是定义在0,+∞上的函数，并且满足下面三个条件：①对正数x，y都有f xy=f x +f y ；②当x>1时，f x >0；③f8 =3.则下列说法不正确的是()A.f1 =1B.f14=-2C.不等式f x +f x-3<2的解集为x|-1<x<4D.若关于x的不等式f kx+f3-x≤2恒成立，则k的取值范围是0,16 9【例54】(多选题)(2024·重庆长寿·高一统考期末)若函数f x 在定义域内D内的某区间M是增函数，且f xx在M上是减函数，则称f x 在M上是“弱增函数”，则下列说法正确的是()A.若f x =x4则不存在区间M使f x 为“弱增函数”B.若f x =x+x-1则存在区间M使f x 为“弱增函数”C.若f x =x5+x3+x则f x 为R上的“弱增函数”D.若f x =x2+4-ax+a在区间0,2上是“弱增函数”，则a=4【例55】(2024·福建漳州·高一校考期中)已知定义在区间0,+∞上的函数f x =t x+4 x-5(t>0)．(1)若函数f x 分别在区间0,2,2,+∞上单调，试求t的取值范围；(直接写出答案)(2)当t=1时，在区间1,4上是否存在实数a,b，使得函数f x 在区间a,b上单调，且f x 的取值范围为ma,mb，若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．【例56】(2024·全国·高一期中)已知函数f x =ax2-x+2a-1a>0(1)设f x 在区间1,2的最小值为g a ，求g a 的表达式；(2)设h x =f xx，若函数h x 在区间1,2上是增函数，求实数a的取值范围．【例57】(2024·高一单元测试)已知偶函数f(x)的定义域是{x|x≠0}的一切实数，对定义域内的任意x1,x2都有f(x1⋅x2)=f(x1)+f(x2)，且当x>1时，f(x)>0，f(2)=1.(1)证明：f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数；(2)解不等式f(2x-1)<2.题型七：幂函数【例58】(2024·全国·高一专题练习)已知幂函数f x =x-m2-2m+3-2<m<2,m∈Z满足：①f x 在0,+∞上为增函数，②对∀x∈R，都有f-x-f x =0，求同时满足①②的幂函数f x 的解析式，并求出x∈1,4时，f x 的值域.【例59】(2024·浙江金华·高一校考期中)已知点2,2在幂函数f(x)的图像上.(1)求f(x)的解析式；(2)若函数g(x)=f(x)+ax+3，x∈1,+∞是否存在实数a，使得g(x)最小值为5？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由【例60】(2024·全国·高一假期作业)已知幂函数f x =m2-6m+10x-n2+4n n>1,n∈Z,m∈R的图象关于y轴对称，且在0,+∞上单调递增.(1)求m和n的值；(2)求满足不等式2a+3-m3<a-1-n2的a的取值范围.【例61】(2024·江苏南通·高一海安高级中学校考期中)已知幂函数f x =m 2-5m +7 x m -1为奇函数.(1)求实数m 的值；(2)求函数g x =14f x +1+12-f x -14<x <2 的最小值.【例62】(2024·黑龙江七台河·高一勃利县高级中学校考期中)已知幂函数y =x m 2-2m -3(m ∈N ∗)关于y 轴对称，且在0,+∞ 上单调减函数．(1)求m 的值；(2)解关于a 的不等式a +1 2m3<3-2a 2m3．【例63】(2024·广西柳州·高一柳铁一中校联考阶段练习)已知幂函数f x =k 2+k -1 x 2-k 1+k ，且f 2 <f 3 .(1)求函数f x 的解析式；(2)试判断是否存在正数m ，使得函数g x =1-f x +2mx 在区间0,1 上的最大值为5，若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由.【例64】(2024·广东佛山·高一佛山市顺德区乐从中学校考期中)已知幂函数f x =m 2-2m -2 x m 在0,+∞ 上单调递增.(1)求f x 的解析式；(2)若f x >3x 2+k -1 x 在1,3 上恒成立，求实数k 的取值范围．【例65】(2024·浙江杭州·高一校联考期中)已知幂函数f (x )=x -3n 2+9(n ∈N )为偶函数，且在区间(0,+∞)上单调递增(1)求函数y =f (x )的解析式;(2)设函数g (x )=3f (x )+2tx +3，求函数y =g (x )在区间[2,6]上的最小值G (t ).【例66】(2024·福建漳州·高一福建省华安县第一中学校考阶段练习)已知幂函数f x =2m2-5m+3x m是定义在R上的偶函数.(1)求f x 的解析式；(2)在区间-1,1上，f x 的图象总在函数y=kx-2图象的上方，求实数k的取值范围.【例67】(2024·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期中)已知幂函数f x =m2-5m+7x m-1，且f x =f-x.(1)求函数f x 的解析式；(2)若g x =f xf x +1,a,b均为正数且g a +g b =1，求f a +f b 的最小值.题型八：函数的实际应用【例68】(2024·全国·高一专题练习)党的十九大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产A、B两种产品，根据市场调查与市场预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图①；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②(注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元).(1)分别求出A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？【例69】(2024·全国·高一专题练习)某企业为进一步增加市场竞争力，计划在2024年利用新技术生产某款新手机，通过市场调研发现，生产该产品全年需要投入研发成本250万元，每生产x(千部)手机，需另外投入成本R x 万元，其中R x =10x2+100x+800,0<x<50504x+10000x-2-6450,x≥50，已知每部手机的售价为5000元，且生产的手机当年全部销售完.(1)求2024年该款手机的利润y关于年产量x的函数关系式；(2)当年产量x为多少时，企业所获得的利润最大？最大利润是多少？【例70】(2024·全国·高一专题练习)党的二十大报告提出“积极稳妥推进碳达峰碳中和”，降低能源消耗，建设资源节约型社会．日常生活中我们使用的LED灯具就具有节能环保的作用，它环保不含汞，可回收再利用，功率小，高光效，长寿命，有效降低资源消耗．经过市场调查，可知生产某种LED灯需投入的年固定成本为3万元，每生产x万件该产品，需另投入变动成本W(x)万元，在年产量不足6万件时，W x =12x2+x，在年产量不小于6万件时，W x =7x+81x-37．每件产品售价为6元．假设该产品每年的销量等于当年的产量．(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式．(注：年利润=年销售收入-固定成本-变动成本)(2)年产量为多少万件时，年利润最大？最大年利润是多少？【例71】(2024·全国·高一专题练习)某学校为了支持生物课程基地研究植物的生长规律，计划利用学校空地建造一间室内面积为900m 2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1m ，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3m 宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x (单位：m )，三块种植植物的矩形区域的总面积为S (单位：m 2)．(1)求S 关于x 的函数关系式；(2)求S 的最大值，并求出此时x 的值．【例72】(2024·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考开学考试)党中央、国务院对节能减排高度重视，各地区、各部门认真贯彻党中央、国务院关于“十三五”节能减排的决策部署，把节能减排作为转换发展方式，经济提质增效，建设生态文明的重要抓手，取得重要进展.新能源汽车环保、节能、以电代油，减少排放，既符合我国国情，也代表了汽车产业发展的方向.为了响应国家节能减排的号召，2020年常州某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析：全年需投入固定成本2500万元.每生产x (百辆)新能源汽车，需另投入成本C x 万元，且C x =10x 2+500x ,0<x <40901x +10000x-4300,x ≥40.由市场调研知，每辆车售价9万元，且生产的车辆当年能全部销售完.(1)请写出2020年的利润L x (万元)关于年产量x (百辆)的函数关系式；(利润=销售-成本)(2)当2020年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.【例73】(2024·浙江衢州·高一校考阶段练习)2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响.为降低疫情影响，某厂家拟尽快加大力度促进生产.已知该厂家生产某种产品的年固定成本为200万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)，当年产量不足80千件时，C(x)=12x2+20x(万元).当年产量不小于80千件时，C(x)=51x+10000x-600(万元).每件商品售价为0.05万元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？【例74】(2024·高一课时练习)新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供x0≤x≤10(万元)的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服.A公司在收到政府x(万元)补贴后，防护服产量将增加到t=k⋅6-12 x+4(万件)，其中k为工厂工人的复工率(0.5≤k≤1).A公司生产t万件防护服还需投入成本20+9x+50t(万元).(1)将A公司生产防护服的利润y(万元)表示为补贴x(万元)的函数(政府补贴x万元计入公司收入)；(2)对任意的x∈0,10(万元)，当复工率k达到多少时，A公司才能不产生亏损？(精确到0.01).【例75】(2024·山西晋城·高一晋城市第一中学校校考阶段练习)新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供x(x∈[0,10])(万元)的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服．A公司在收到政府x(万元)补贴后，防护服产量将增加到t=k⋅ (万件)，其中k为工厂工人的复工率(k∈[0.5,1])．A公司生产t万件防护服还需投入成本6-12x+4(20+9x+50t)(万元)．(1)将A公司生产防护服的利润y(万元)表示为补贴x(万元)的函数(政府补贴x万元计入公司收入)；(2)在复工率为k时，政府补贴多少万元才能使A公司的防护服利润达到最大？III 数学思想方法①分类讨论思想【例76】设函数f (x )=x +2，g (x )=x 2-x -1.用M (x )表示f (x )，g (x )中的较大者，记为M (x )=max{f (x ),g (x )}，则M (x )的最小值是()A.1B.3C.0D.-54【例77】已知幂函数f (x )=(m 2-2m -2)x 2-m 满足f (2)<f (3)，则函数g (x )=2x +m -x -m 的值域为()A.-258,+∞ B.[-3,+∞)C.[-1,+∞)D.[1,+∞)【例78】若定义在R 的奇函数f (x )在0,+∞ 单调递增，且f (-3)=0，则满足xf (x +1)≤0的x 的取值范围是()A.[-2,0]∪[1,4]B.[-4,-1)∪[0,2]C.[-4,-1]∪[0,2]D.[-4,-1]∪[3,+∞)【例79】已知函数f x =x 2-2ax +2,x ≤1x +9x-3a ,x >1的最小值为f 1 ，则a 的取值范围是()A.[1,3]B.3,+∞C.0,3D.-∞,1 ∪3,+∞【例80】已知函数f (x )=|x 2+bx |(b ∈R )，当x ∈[0,1]时，f (x )的最大值为M b ，则M b 的取值范围是()A.[1,+∞)B.[3-22,+∞)C.[4-23,+∞)D.[5-25,+∞)②转化与化归思想【例81】定义在R 上的奇函数f (x )在[0,+∞)上单调递减，且f (-2)=1，则满足-1≤f (x -1)≤1的x 的取值范围是()A.[-2,2]B.[-2,1]C.[-1,3]D.[0,2]【例82】已知函数f x =3x+1,x≤1x2-1,x>1，若n>m，且f(n)=f(m)，设t=n-m，则t的最大值为()A. 1B.5-1C.1712 D.43【例83】若定义在R的奇函数f(x)在-∞,0单调递减，且f2 =0，则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是()A.[-1,1]∪[3,+∞)B.[-3,-1]∪[0,1]C.[-1,0]∪[1,+∞)D.[-1,0]∪[1,3]【例84】设a=0.40.6，b=0.60.8，c=0.80.4，则()A.a>b>cB.c>b>aC.c>a>bD.b>a>c【例85】已知函数f(x)=4x2-kx-8在区间(5,20)上既没有最大值也没有最小值，则实数k的取值范围是()A.[160,+∞)B.(-∞,40]C.(-∞,40]∪[160,+∞)D.(-∞,20]∪[80,+∞)【例86】函数f(x)=3+2x-x2的单调递增区间是()A.(-∞,1]B.[1,+∞)C.[1,3]D.[-1,1]③数形结合思想【例87】已知函数f(x)为奇函数，x>0时为增函数且f2 =0，则{x|f(x-2)>0}=.()A.{x|0<x<2或x>4}B.{x|x<0或x>4}C.{x|x<0或x>6}D.{x|x<-2或x>2}【例88】已知定义在R上的偶函数f(x)满足：①对任意的x 1,x2∈0,+∞，且x1≠x2，都有f(x1)-f(x2)x1-x2>0成立；②f(-2)=0.则不等式f(x)x>0的解集为()A.(-2,0)∪(2,+∞)B.(-∞,-2)∪(0,2)C.(-2,0)∪(0,2)D.(-∞,-2)∪(2,+∞)21数学是打开科学大门的钥匙//邦达数学高一讲义宝剑锋从磨砺出【例89】已知函数f (x )=-x 2+4x ,x ∈[m ,5]的值域是[-5,4]，则实数m 的取值范围是()A.(-∞,-1)B.(-1,2]C.[-1,2]D.[2,5]【例90】奇函数f (x )在-∞,0 上单调递减，且f 2 =0，则不等式f (x )>0的解集是．()A.(-∞,-2)∪(0,2)B.(-∞,0)∪(2,+∞)C.(-2,0)∪(0,2)D.(-2,0)∪(2,+∞)【例91】如图，直线l 和圆C ，当l 从l 0开始在平面上绕点O 按逆时针方向匀速转到(转到角不超过90{^°})时，它扫过的圆内阴影部分的面积S 是时间t 的函数，这个函数的图像大致是()A.B.C.D.【例92】已知函数y =f (x )是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数，且当x <0时，函数的图像如图所示，则不等式xf (x )>0的解集为()22越努力越幸运//邦达数学高一讲义梅花香自苦寒来A.(-2,-1)∪(1,2)B.(-2,-1)∪(0,1)∪(2,+∞)C.(-∞,-2)∪(-1,0)∪(1,2)D.(-∞,-2)∪(-1,0)∪(0,1)∪(2,+∞)。

第01讲函数性质综合应用

第01讲函数性质综合应用函数是数学中一个重要的概念，亦在物理学、经济学以及工程学中广泛应用。

在数学中，函数性质的综合应用主要是指利用函数的性质解决具体问题，比如求函数的最值、最值点的坐标、方程的解等等。

本文将通过具体的例子来展示函数性质的综合应用。

首先，我们来看一个求函数最值的例子。

假设有一个函数f(x)=2x^2-3x+1，我们要求它的最小值。

首先，我们可以通过求导的方法来找到函数的驻点。

对函数进行求导得到f'(x)=4x-3、然后将f'(x)=0带入，解得驻点x=3/4、接下来，我们可以通过求二阶导数的方法来判断驻点的性质。

对函数f(x)进行二次求导得到f''(x)=4、因为f''(x)大于0，所以x=3/4是函数f(x)的最小值点。

除了求函数最值，函数性质的综合应用还包括求函数的单调区间。

假设有一个函数g(x)=x^3-3x^2-9x+5，我们要求它的单调区间。

首先，我们可以通过求导的方法来找到函数的关键点。

对函数进行求导得到g'(x)=3x^2-6x-9、然后将g'(x)=0带入，解得关键点x=-1和x=3、接下来，我们可以通过关键点将数轴划分为三个区间，即(-∞,-1)，(-1,3)，(3,+∞)。

然后我们可以在每个区间内任取一个数进行代入，并根据函数的正负情况来判断函数在该区间内的单调性。

通过计算可得，函数g(x)在区间(-∞,-1)和(3,+∞)内是递增的，在区间(-1,3)内是递减的。

此外，函数的性质还可以应用于求解方程的解。

假设有一个方程h(x)=3x^2-2x-8=0，我们要求它的解。

首先，我们可以通过计算判别式D 来判断方程的解的情况。

对方程进行计算得到D=(-2)^2-4*3*(-8)=196、因为D大于0，所以方程有两个实数解。

接下来，我们可以通过求解方程h'(x)=0来找到函数h(x)在解的附近的驻点。

高一数学正切函数的图像与性质综合同步讲义

课题正切函数的性质与图象知识梳理：正切函数的图象和性质（1）图象：如下图所示．（2）性质：如下表所示自主探究：仔细观察正切函数的图象，完成下列问题．（1）正切函数的图象有________条渐近线，它们的方程为x ＝__________（k ∈Z ）．相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增．（2）正切函数的图象是中心对称图形，对称中心有________个，它们的坐标是__________（k ∈Z ）；正切函数的图象不是轴对称图形，不存在对称轴．（3）函数y ＝A tan （ωx ＋φ）（ω≠0）的周期是T ＝________．基础训练：1．讨论函数⎪⎭⎫⎝⎛+=4tan πx y 的性质变式训练1．求函数y ＝tan2x 的定义域．值域和周期2．求函数y ＝2tan x 1－的定义域变式训练2． y3．比较tan 27π与tan 107π的大小变式训练3． tan 65π与tan （－135π）例题分类精讲知识点一：与正切函数有关的定义域问题例1、求函数y ＝tan x ＋1＋lg （1－tan x ）的定义域。

回顾归纳求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时要充分利用三角函数的图象或三角函数线．变式训练1．求下列函数的定义域．（1）y ＝11＋tan x ；（2）y ＝lg （3－tan x ）。

知识点二：正切函数的单调性及周期性例2、求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4的单调区间及周期．回顾归纳 y ＝tan （ωx ＋φ）（ω>0）的单调区间的求法即是把ωx ＋φ看成一个整体，解－π2＋k π<ωx ＋φ<π2＋k π，k ∈Z 即可．当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间．变式训练2．求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调区间及周期．例3、利用正切函数的单调性比较下列两个函数值的大小．（1）tan ⎝⎛⎭⎫－6π5与tan ⎝⎛⎭⎫－13π7；（2）tan 2与tan 9．回顾归纳比较两个函数值的大小，只需将所涉及的两个角通过诱导公式转化到同一个单调区间内，再借助单调性即可．正切函数的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π，k ∈Z ．故在⎝⎛⎭⎫－π2，π2和⎝⎛⎭⎫π2，3π2上都是增函数．变式训练3．比较下列两组函数值的大小．（1）tan （－1 280°）与tan 1 680°；（2）tan 1，tan 2，tan 3．课堂总结：1．正切函数y ＝tan x 在每段区间⎝⎛⎭⎫kπ－π2，kπ＋π2 （k ∈Z ）上是单调递增函数，但不能说正切函数在其定义域内是单调递增函数．并且每个单调区间均为开区间，而不能写成闭区间⎣⎡⎦⎤－π2＋kπ，π2＋kπ（k ∈Z ）．正切函数无单调减区间． 2．正切函数是奇函数，图象关于原点对称，并且有无穷多个对称中心，对称中心坐标是⎝⎛⎭⎫kπ2，0（k ∈Z ）．正切函数的图象无对称轴，但图象以直线x ＝kπ＋π2（k ∈Z ）为渐近线．巩固训练一．选择题1．函数y ＝2tan （34x π+）的最小正周期是（） A ．π6B ．π3C ．π2D ．2π32．函数y ＝tan （123x π-）在一个周期内的图象是（）3．下列函数的最小正周期为2π3的函数是（）A ．y ＝tan 3xB ．y ＝tan ⎝⎛⎭⎫6x －π7C ．y ＝2tan ⎝⎛⎭⎫23x －1D ．y ＝tan ⎝⎛⎭⎫32x ＋π34．下列函数中，在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增，且以π为周期的偶函数是（）A ．y ＝tan|x | B ．y ＝|tan x | C ．y ＝|sin 2x | D ．y ＝cos 2x5．函数f （x ）＝tan ωx （ω>0）的图象的相邻两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值是（）A ．0B ．1C ．－1D ．π4二．填空题6．不等式tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4≥－1的解集是____________。

第三章函数的概念与性质单元复习讲义高一上学期数学(2020)

第三章单元《函数的概念与性质》作业设计课标要求本单元的学习，可以帮助学生建立完整的函数概念，不仅把函数理解为刻画变量之间依赖关系的数学语言和工具，也把函数理解为实数集合之间的对应关系；能用代数运算和函数图象揭示函数的主要性质；在现实问题中，能利用函数构建模型，解决问题.内容包括：函数概念、函数性质、*[1]函数的形成与发展.（1）函数概念①在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念（参见案例2），体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用。

了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域。

②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数，理解函数图象的作用。

③通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。

（2）函数性质①借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义。

②结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义。

③结合三角函数，了解周期性的概念和几何意义。

内容分析本节课位于人教A版高中数学教材必修一的第三章的第二节本节是这一章重要环节。

是函数这一主线之下的重要内容，具有承上启下的重要作用。

本章我们用集合的语言与对应关系进一步描述了函数概念，与初中的函数定义相比较，突出了函数概念的本质:两个数集之间的一种确定的对应关系;明确了函数的三个构成要素:定义域、对应关系和值域;引入了函数符号:y=f(x).与初中基于变量关系的函数定义相比，本章基于两个实数集之间对应关系的函数定义，抽象层次显然提高了。

在今后的学习中我们会逐渐体会到这种函数定义的必要性，例如，在这种定义下，不同的函数可以进行加、减、乘、除等运算，从而使函数研究的内容和应用的范围得到扩展。

函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型。

函数的表示方法主要有解析法、图象法、列表法等.在解决问题时，面对不同的需要，选择恰当的方法表示函数是很重要的。

对数函数及其性质(讲义)含答案

对数函数及其性质（讲义）➢ 知识点睛一、对数函数的定义一般地，函数__________（）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，+∞)．二、对数函数的图象和性质1. 对数函数log a y x =（a >0，且a ≠1）的图象和性质：①log a y x =，②log b y x =，③log c y x =，④log d y x =，则有0<b <a <1<d <c ，即：x ∈(1，+∞)时，log log log log a b c d x x x x <<<； x ∈(0，1)时，log log log log a b c d x x x x >>>． 3. 反函数log a y x =与x y a =互为反函数，其中a >0，且a ≠1；互为反函数的两个函数的图象关于直线y =x 对称．➢ 精讲精练1. 直接写出下列函数的定义域：（1）3log (2)y x =- __________________；（2）y =__________________；（3）y __________________；（4）1ln(1)y x =+__________________．2. （1）已知()f x 的定义域为[0，1]，则函数12(log (3))y f x =-的定义域是_____________；（2）已知函数122()log (2log )f x x =-的值域是(-∞，0)，则它的定义域是_____________；（3）函数212()log (613)f x x x =++的值域是_____________．3. 已知a >0，且a ≠1，则函数x y a =与log ()a y x =-的图象只可能是（）A ．B ．C ．D ．4. 函数f (x )=1+2log x 与g (x )=12x -在同一直角坐标系中的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．5. 若点(a ，b )在函数y =lg x 的图象上，则下列点也在此图象上的是（）A ．1()b a ， B ．(10a ，1-b )C ．10(1)b a+，D ．(a 2，2b )6. 若log 21a <，则实数a 的取值范围是（）A ．(1，2)B ．(0，1)∪(2，+∞)C ．(0，1)∪(1，2)D ．(0，12)7. 若函数log a y x =在区间[2，π]上的最大值比最小值大1，则a =__________．8. 已知函数2log 0()20x x x f x x >⎧=⎨⎩≤，，，若1()2f a =，则a =________．9. （1）已知函数x y a )1(log -=在(0，+∞)上为增函数，则a 的取值范围是_____________；（2）已知函数log (2)a y ax =-在(-1，1)上是x 的减函数，则a 的取值范围是_____________；（3）若函数22log ()y x ax a =---在区间(1-∞-，上是增函数，则a 的取值范围是_____________．10. （1）函数()|log |01a f x x a a =>≠（）且的单调递增区间是_____________；（2）函数212()log (2)f x x x =+的单调递增区间是__________，单调递减区间是_____________；（3）已知2()2f x x x =+，12()log g x x =，则函数(())y f g x =的单调递增区间是___________，单调递减区间是_________．11. 比较下列各组数的大小：（1）112246log log 57，；（2）35log 2log 2，；（3）0.32log 2log 3，；（4）0.450.450.4log 5，，．12.设32log πlog log a b c ===，）A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >a >cD ．b >c >a13. 设a ，b ，c 均为正数，且112212log ()log 2a b a b ==，，21()log 2c c =，则（） A ．a <b <c B ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c【参考答案】➢ 知识点睛一、对数函数的定义log 01a y x a a =>≠（，且） ➢ 精讲精练1. （1）(2)+∞，；（2）(0)+∞，；（3）2(1]3，；（4）(10)(02]-，， 2. （1）5[2]2，；（2）(02)，；（3）(2]-∞-， 3. B 4. C 5. D 6. B7.22ππ或 8.或-19. （1）(2)+∞，；（2）(1，2)；（3）[22]- 10. （1）(1)+∞，（2）(2)(0)-∞-+∞，，，（3）(2)(02)+∞，，，13. A。

函数的性质综合讲义

函数的性质综合讲义一、函数的单调性 1.定义一般地，设函数f （x ）的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有f （x 1）＜f （x 2），那么就说函数f （x ）在区间D 上是增函数；当x 1＜x 2时，都有f （x 1）＞f （x 2），那么就说函数f （x ）在区间D 上是减函数．2.单调区间若函数f （x ）在区间D 上是增函数或减函数，则称函数f （x ）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y ＝f （x ）的单调区间.单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“和”或“，”连结． 3.定义变式设任意x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1≠x 2，那么 ①⇔f （x ）在[a ，b ]上是增函数；⇔f （x ）在[a ，b ]上是减函数．②（x 1﹣x 2）[f （x 1）﹣f （x 2）]＞0⇔f （x ）在[a ，b ]上是增函数；（x 1﹣x 2）[f （x 1）﹣f （x 2）]＜0⇔f （x ）在[a ，b ]上是减函数． 4.函数单调性的证明步骤（1）取值：设1x ，2x 是所研究的区间内的任意两个值，且12.x x < （2）作差：()()12f x f x -（3）变形：将()()12f x f x -通过因式分解、配方、通分、有理化等方法变形为有利于判断它的符号的形式.（4）判断符号（5）结论5.函数单调性的常见结论（1）函数y ＝－f (x )与函数y ＝f (x )的单调性相反；（2）函数f (x )与函数f （x ）＋c （c 为常数）具有相同的单调性；（3）当c ＞0时，函数y ＝cf (x )与函数y ＝f (x )的单调性相同；当c ＜0时，函数y ＝cf (x )与函数y ＝f (x )的单调性相反；（4）若f (x )≠0，则函数f (x )与()1f x 具有相反的单调性；（5）若()0f x ≥，函数()f x 具有相同的单调性；（6）若()f x ,()g x 具有相同的单调性，则()()f x g x +与()f x ,()g x 具有相同的单调性；（7）若()f x ,()g x 具有相反的单调性，则()()f x g x -与()f x 具有相同（与()g x 具有相反）的单调性；考点一、函数单调性的判断例1、下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．f (x )＝3－xB ．f (x )＝x 2－3xC ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x |解析：选C 当x >0时，f (x )＝3－x 为减函数；当x ∈），（230时，f (x )＝x 2－3x 为减函数，当x ∈），（∞+23时，f (x )＝x 2－3x 为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数．例2、试讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性．解：法一(定义法)：设－1<x 1<x 2<1，f (x )＝a）（111-+-x x ＝a ）（111-+x ，f (x 1)－f (x 2)＝a ）（1111-+x －a ）（1112-+x ＝a (x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1)，由于－1<x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0，故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，函数f (x )在(－1,1)上递减；当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，函数f (x )在(－1,1)上递增．法二(导数法)：f ′(x )＝(ax )′(x －1)－ax (x －1)′(x －1)2＝a (x －1)－ax (x －1)2＝－a(x －1)2.当a >0时，f ′(x )<0，函数f (x )在(－1,1)上递减；当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－1,1)上递增．例3、判断函数y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上的单调性．解：法一：任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，且x 1<x 2，则y 1－y 2＝x 1＋2x 1＋1－x 2＋2x 2＋1＝x 2－x 1(x 1＋1)(x 2＋1).∵x 1>－1，x 2>－1，∴x 1＋1>0，x 2＋1>0，又x 1<x 2，∴x 2－x 1>0，∴x 2－x 1(x 1＋1)(x 2＋1)>0，即y 1－y 2>0.∴y 1>y 2，∴函数y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上单调递减．法二：y ＝x ＋2x ＋1＝1＋1x ＋1.∵y ＝x ＋1在(－1，＋∞)上是增函数，∴y ＝1x ＋1在(－1，＋∞)上是减函数，∴y ＝1＋1x ＋1在(－1，＋∞)上是减函数．即函数y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上单调递减．考点二、求函数的单调区间例4、求下列函数的单调区间：(1)y ＝－x 2＋2|x |＋1； (2)y ＝log 12(x 2－3x ＋2)．解：(1)由于y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x ＜0，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －1)2＋2，x ≥0，－(x ＋1)2＋2，x ＜0. 画出函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．(2)令u ＝x 2－3x ＋2，则原函数可以看作y ＝log 12u 与u ＝x 2－3x ＋2的复合函数．令u ＝x 2－3x ＋2＞0，则x ＜1或x ＞2.∴函数y ＝log 12(x 2－3x ＋2)的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)．又u ＝x 2－3x ＋2的对称轴x ＝32，且开口向上．∴u ＝x 2－3x ＋2在(－∞，1)上是单调减函数，在(2，＋∞)上是单调增函数．而y ＝log 12u 在(0，＋∞)上是单调减函数，∴y ＝log 12(x 2－3x ＋2)的单调递减区间为(2，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)．考点三、函数单调性的应用常见的命题角度有： (1)求函数的值域或最值；(2)比较两个函数值或两个自变量的大小； (3)解函数不等式；(4)利用单调性求参数的取值范围或值．角度一：求函数的值域或最值例4、函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，－x 2＋2，x <1的最大值为________．解析：当x ≥1时，函数f (x )＝1x 为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x <1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2.故函数f (x )的最大值为2. 角度二：比较两个函数值或两个自变量的大小例5、已知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝)21-(f ，b ＝f (2)，c ＝f (e)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c >a >b B ．c >b >a C ．a >c >bD ．b >a >c解析：选D 因f (x )的图象关于直线x ＝1对称．由此可得)21-(f ＝)25(f .由x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，知f (x )在(1，＋∞)上单调递减．∵1<2<52<e ，∴f (2)>)25(f >f (e)，∴b >a >c .角度三：解函数不等式例6、已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足)1(xf <f (1)的实数x 的取值范围是( ) A ．(－1,1) B ．(0,1) C ．(－1,0)∪(0,1) D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 解析：选C 由f (x )为R 上的减函数且)1(x f <f (1)，得⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪1x >1，x ≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧|x |<1，x ≠0.∴－1<x <0或0<x <1.故选C.角度四：利用单调性求参数的取值范围或值例7、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(a －2)x －1，x ≤1，log ax ，x >1，若f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________．解析：要使函数f (x )在R 上单调递增，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a －2>0，f (1)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a >2，a －2－1≤0，解得2<a ≤3，即实数a 的取值范围是(2,3]．二、函数的最值1.最大值：一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x ∈I ,都有f (x )≤M ；（2）存在0x I ∈,使得()0f x M =.那么，我们称M 是函数y ＝f (x )的最大值. 2.最小值：一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x ∈I ,都有f (x )≥M ；（2）存在0x I ∈,使得()0f x M =.那么，我们称M 是函数y ＝f (x )的最小值.例1、若函数f (x )＝1x 在区间[2，a ]上的最大值与最小值的和为34，则a ＝________.解析：由f (x )＝1x 的图象知，f (x )＝1x 在(0，＋∞)上是减函数，∵[2，a ]⊆(0，＋∞)，∴f (x )＝1x 在[2，a ]上也是减函数，∴f (x )m ax ＝f (2)＝12，f (x )min ＝f (a )＝1a ，∴12＋1a ＝34，∴a ＝4.例2、函数f (x )＝2x －1在[－2,0]上的最大值与最小值之差为________．解析：易知f (x )在[－2,0]上是减函数，∴f (x )m ax －f (x )min ＝f (－2)－f (0)＝－23－(－2)＝43.例3、函数y ＝x －x (x ≥0)的最大值为________．解析：令t ＝x ，则t ≥0，所以y ＝t －t 2＝－221-t ）（＋14，结合图象知，当t ＝12，即x ＝14时，y m ax ＝14.三、函数的奇偶性 1.奇函数定义如果函数f （x ）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x ，都有f （﹣x ）＝﹣f（x ），那么函数f （x ）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称． 2.偶函数定义如果函数f （x ）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x ，都有f （﹣x ）＝f （x ），那么函数f （x ）就叫做偶函数，其图象特点是关于y 轴对称 3.判断奇偶性的方法（1）定义法首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求()f x -；最后比较()f x -和()f x 的关系，如果有()()f x f x -=，则函数是偶函数，如果有()()f x f x -=-，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数. (2)图象法(3)性质法①设f (x )，g (x )的定义域分别是 D 1，D 2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．②复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇，一偶则偶”． 4.函数奇偶性的函数特征 (1)奇函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，其特点是f （x ）＝m 时，f （﹣x ）＝﹣m . (2)偶函数的图象特征偶函数的图象关于y 轴对称，它的特点是当f （x ）＝n 时，f （﹣x ）＝n ．(3)由函数图象的对称性可知：奇函数的定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．考点一、函数奇偶性的判断例1、判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝1－x 2＋x 2－1； (2)f (x )＝3－2x ＋2x －3；(3)f (x )＝3x－3－x； (4)f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3； (5)(易错题)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x >0，x 2－x ，x <0.解：(1)∵由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1≥0，1－x 2≥0，得x ＝±1，∴f (x )的定义域为{－1,1}．又f (1)＋f (－1)＝0，f (1)－f (－1)＝0，即f (x )＝±f (－x )．∴f (x )既是奇函数又是偶函数．(2)∵函数f (x )＝3－2x ＋2x －3的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫32，不关于坐标原点对称，∴函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．(3)∵f (x )的定义域为R ，∴f (－x )＝3－x －3x ＝－(3x －3－x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．(4)∵由⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，|x ＋3|－3≠0，得－2≤x ≤2且x ≠0.∴f (x )的定义域为[－2,0)∪(0,2]，∴f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3＝4－x 2(x ＋3)－3＝4－x 2x ，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．(5)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x >0时，f (x )＝x 2＋x ，则当x <0时，－x >0，故f (－x )＝x 2－x ＝f (x )；当x <0时，f (x )＝x 2－x ，则当x >0时，－x <0，故f (－x )＝x 2＋x ＝f (x )，故原函数是偶函数．例2、如果f （x ）是定义在R 上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是（）A ．y ＝x ＋f （x ）B ．y ＝xf （x ）C ．y ＝x 2＋f （x ）D ．y ＝x 2f （x ）解析：∵f （x ）是奇函数，∴f （﹣x ）＝﹣f （x ）．对于A ，g （﹣x ）＝﹣x ＋f （﹣x ）＝﹣x ﹣f （x ）＝﹣g （x ），∴y ＝x ＋f （x ）是奇函数．对于B ，g （﹣x ）＝﹣xf （﹣x ）＝xf （x ）＝g （x ），∴y ＝xf （x ）是偶函数．对于C ，g （﹣x ）＝（﹣x ）2＋f （﹣x ）＝x 2﹣f （x ）， ∴y ＝x 2＋f （x ）为非奇非偶函数，对于D ，g （﹣x ）＝（﹣x ）2f （﹣x ）＝﹣x 2f （x ）＝﹣g （x ），∴y ＝x 2f （x ）是奇函数．故选B ．考点二、函数奇偶性的应用例3、已知f （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为[a ﹣1，2a ]，则a ＝，b ＝．解析：∵定义域应关于原点对称，故有a ﹣1＝﹣2a ，得a ＝．又∵f （﹣x ）＝f （x ）恒成立，即：ax2＋bx＋3a＋b＝ax2﹣bx＋3a＋b∴b＝0．故答案为：，0例4、已知函数f（x）＝ax3＋bx＋1，若f（a）＝8，则f（﹣a）＝．解析：∵函数f（x）＝ax3＋bx＋1，∴f（﹣x）＝a（﹣x）3＋b（﹣x）＋1＝﹣ax3﹣bx＋1，∴f（﹣x）＋f（x）＝2，∴f（﹣a）＋f（a）＝2．∵f（a）＝8，∴f（a）＝﹣6．故答案为﹣6．例5、定义在（﹣1，1）上的奇函数f（x）＝，则常数m＝，n＝．解析：因为函数f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，所以必定有f（0）＝⇒m＝0，此时f（x）＝，函数f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数得到f（﹣x）＝﹣f （x），即＝⇒n＝0．故答案为：m＝0，n＝0．例6、已知函数f（x）＝＋a是奇函数，则实数a＝．解析：因为已知函数的定义域为R，并且是奇函数，所以f（0）＝0，即，即＋a＝0，解得a＝﹣；故答案为：．例7、设f（x）是R上的奇函数，且当x∈（0，＋∞）时，f（x）＝x（1＋）＋1，则f （x）表达式为．解析：设x＜0，则﹣x＞0，∴＝﹣f（x），f（x）＝x（1﹣）﹣1，又∵f（x）是R上的奇函数∴当x＝0时，f（0）＝0．故答案为：．例8、已知函数y＝f（x）为R上的奇函数，当x＞0时，，求f（x）在R上的解析式．解析：当x＜0时，﹣x＞0，∵f（x）为奇函数∴f（﹣x）＝﹣f（x）∴∴当x＝0时∵f（﹣x）＝﹣f（x）∴f（﹣0）＝﹣f（0）∴f（0）＝0∴例9、已知f（x）是R上的奇函数，且当x∈（0，＋∞）时，，则f（x）的解析式为．解析：设x∈（﹣∞，0），则﹣x∈（0，＋∞）∴f（﹣x）＝﹣x（1＋）＝﹣x（1﹣）∵f（x）是R上的奇函数，∴f（﹣x）＝﹣f（x）＝﹣x（1﹣）即f（x）＝x（1﹣）而f（0）＝0综上所述f（x）的解析式为故答案为例10、设f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，并且f（x）﹣g（x）＝x2﹣x，求f（x），g（x）．解析：f（x）为奇函数，∴f（﹣x）＝﹣f（x）；g（x）为偶函数，∴g（﹣x）＝g（x）．f（x）﹣g（x）＝x2﹣x∴f（﹣x）﹣g（﹣x）＝x2＋x从而﹣f（x）﹣g（x）＝x2＋x，即f（x）＋g（x）＝﹣x2﹣x，⇒例11、、定义在R上的函数y＝f（x），对任意x1，x2都有f（x1＋x2）＝f（x1）＋f（x2），判断函数y＝f（x）的奇偶性并证明．解析：f（x）为奇函数∵定义在R上的函数y＝f（x），对任意x1，x2都有f（x1＋x2）＝f（x1）＋f（x2），∴令x1＝x2＝0，有f（0＋0）＝f（0）＋f（0）．解得f（0）＝0．令x1＝﹣x，x2＝x，有f（﹣x＋x）＝f（﹣x）＋f（x）＝0，∴f（﹣x）＝﹣f（x）．∴f（x）为奇函数．例12、已知函数f（x）满足f（x＋y）＋f（x﹣y）＝2f（x）•f（y）（x∈R，y∈R），且f （0）≠0，试证明f（x）是偶函数．解析：证明：令x＝y＝0∵f（x＋y）＋f（x﹣y）＝2f（x）•f（y）∴f（0）＋f（0）＝2f（0）•f（0）∵f（0）≠0，∴f（0）＝1令x＝0∵f（x＋y）＋f（x﹣y）＝2f（x）•f（y）∴f（y）＋f（﹣y）＝2f（0）•f（y）∴f（﹣y）＝f（y）即f（x）是偶函数四、函数的周期性1.周期函数对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．2.最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期．3.周期性3个常用结论(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a，(2)若f(x＋a)＝1f x，则T＝2a，(3)若f(x＋a)＝－1f x，则T＝2a(a>0)．例1、设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 018)．解：(1)证明：∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )．∴f (x )是周期为4的周期函数． (2)∵f (0)＝0，f (1)＝1，f (2)＝0，f (3)＝－f (1)＝－1.又f (x )是周期为4的周期函数，∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝f (4)＋f (5)＋f (6)＋f (7)＝…＝f (2 012)＋f (2 013)＋f (2 014)＋f (2 015)＝0.∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 018)＝f (2 016)＋f (2 017)＋f (2 018)＝f (0)＋f (1)＋f (2)＝1.例2、已知定义在R 上的函数满足f (x ＋2)＝－1f (x )，x ∈(0,2]时，f (x )＝2x －1.则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 017)的值为________．解析：∵f (x ＋2)＝－1f (x )，∴f (x ＋4)＝－1f (x ＋2)＝f (x )，∴函数y ＝f (x )的周期T ＝4.又x ∈(0,2]时，f (x )＝2x －1，∴f (1)＝1，f (2)＝3，f (3)＝－1f (1)＝－1，f (4)＝－1f (2)＝－13.∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 017)＝504[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (504×4＋1)＝504）（31-1-31+＋1＝1 345.五、性质的综合常见的命题角度有：(1)奇偶性的应用； (2)单调性与奇偶性结合；(3)周期性与奇偶性结合； (4)单调性、奇偶性与周期性结合．角度一：奇偶性的应用例1.函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝2x ，则当x >0时，f (x )＝( ) A ．－2x B ．2－xC ．－2－x D ．2x解析：选C x >0时，－x <0，∵x <0时，f (x )＝2x ，∴当x >0时，f (－x )＝2－x .∵f (x )是R 上的奇函数，∴当x >0时，f (x )＝－f (－x )＝－2－x .故选C.角度二：单调性与奇偶性结合例2．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a－1|)＞f (－2)，则a 的取值范围是( )A.），（21-∞ B.），（），（∞+⋃∞2321- C.），（2321 D.），（∞+23解析：选C 因为f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，所以f (－x )＝f (x )，且f (x )在(0，＋∞)上单调递减．由f (2|a －1|)＞f (－2)，f (－2)＝f (2)，可得2|a －1|＜2，即|a －1|＜12，所以12＜a ＜32.角度三：周期性与奇偶性结合例3．已知f (x )是定义在R 上以3为周期的偶函数，若f (1)<1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,4)B ．(－2,1)C ．(－1,2)D ．(－1,0)解析：选A 因为函数f (x )是定义在R 上以3为周期的偶函数，所以f (5)＝f (－1)＝f (1)，即2a －3a ＋1<1，化简得(a －4)(a ＋1)<0，解得－1<a <4，故选A.角度四：单调性、奇偶性与周期性结合例4．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)解析：选D 因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数f (x )是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x －4)＝－f (x )，得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)．因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，f (x )在R 上是奇函数，所以f (x )在区间[－2,2]上是增函数，所以f (－1)<f (0)<f (1)，即f (－25)<f (80)<f (11)．例5．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)＝( ) A ．2 B ．－2 C ．－98 D ．98解析：选B 因为f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )的周期T ＝4，又f (x )在R 上是奇函数，所以f (7)＝f (－1)＝－f (1)＝－2.例6．已知偶函数f (x )对于任意x ∈R 都有f (x ＋1)＝－f (x )，且f (x )在区间[0,1]上是递增的，则f (－6.5)，f (－1)，f (0)的大小关系是( )A ．f (0)<f (－6.5)<f (－1)B ．f (－6.5)<f (0)<f (－1)C ．f (－1)<f (－6.5)<f (0)D ．f (－1)<f (0)<f (－6.5)解析：选A 由f (x ＋1)＝－f (x )，得f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，∴函数f (x )的周期是2.∵函数f (x )为偶函数，∴f (－6.5)＝f (－0.5)＝f (0.5)，f (－1)＝f (1)．∵f (x )在区间[0,1]上是单调递增的，∴f (0)<f (0.5)<f (1)，即f (0)<f (－6.5)<f (－1)．例7．设f (x )是定义在R 上周期为4的奇函数，若在区间[－2,0)∪(0,2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，－2≤x <0，ax －1，0<x ≤2，则f (2 018)＝________.解析：设0<x ≤2，则－2≤－x <0，f (－x )＝－ax ＋b .f (x )是定义在R 上周期为4的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )＝－ax ＋1＝－ax ＋b ，所以b ＝1.而f (－2)＝f (－2＋4)＝f (2)，所以－2a ＋1＝2a －1，解得a ＝12，所以f (2 018)＝f (2)＝2×12－1＝0.。

高中数学第三章函数的概念与性质函数的概念讲义新人教A版必修一第一册

3.1.1 函数的概念最新课程标准：在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用。

了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域．知识点一函数的概念1．函数的概念一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数(function)，记作y＝f(x)，x∈A.2．函数的定义域和值域函数y＝f(x)中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域(domain)；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域(range)．显然，值域是集合B的子集．状元随笔对函数概念的3点说明(1)当A , B为非空实数集时，符号“ f ：A→B ”表示A到B的一个函数．(2)集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性．(3)符号“f ”表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样．知识点二区间的概念1．区间的几何表示定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间[a，b]{x|a<x<b}开区间(a，b){x|a≤x<b}半开半闭区间[a，b){x|a<x≤b}半开半闭区间(a，b]2.实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”；“－∞”读作“负无穷大”；“＋∞”读作“正无穷大”．3．无穷大的几何表示定义符号数轴表示{x |x ≥a } [a ，＋∞) {x |x >a } (a ，＋∞) {x |x ≤b } (－∞，b ] {x |x <b }(－∞，b )状元随笔关于无穷大的2点说明 (1)“∞”是一个符号，而不是一个数．(2)以“－∞”或“＋∞”为端点时，区间这一端必须是小括号．知识点三同一函数如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数． [教材解难]1．教材P 60思考根据问题1的条件，我们不能判断列车以350 km/h 运行半小时后的情况，所以上述说法不正确．显然，其原因是没有关注到t 的变化范围．2．教材P 63思考反比例函数y ＝kx(k ≠0)的定义域为{x |x ≠0}，对应关系为“倒数的k 倍”，值域为{y |y ≠0}．反比例函数用函数定义叙述为：对于非空数集A ＝{x |x ≠0}中的任意一个x 值，按照对应关系f “倒数的k (k ≠0)倍”，在集合B ＝{y |y ≠0}中都有唯一确定的数k x和它对应，那么此时f ：A →B 就是集合A 到集合B 的一个函数，记作f (x )＝k x(k ≠0)，x ∈A .3．教材P 66思考初中所学习的函数传统定义与高中的近代定义之间的异同点如下：不同点：传统定义从变量变化的角度，刻画两个变量之间的对应关系；而近代定义，则从集合间的对应关系来刻画两个非空数集间的对应关系．相同点：两种对应关系满足的条件是相同的，“变量x 的每一个值”以及“集合A 中的每一个数”，都有唯一一个“y 值”与之对应．[基础自测]1．下列从集合A 到集合B 的对应关系f 是函数的是( ) A ．A ＝{－1,0,1}，B ＝{0,1}，f ：A 中的数平方 B ．A ＝{0,1}，B ＝{－1,0,1}，f ：A 中的数开方 C ．A ＝Z ，B ＝Q ，f ：A 中的数取倒数D ．A ＝{平行四边形}，B ＝R ，f ：求A 中平行四边形的面积解析：对B ，集合A 中的元素1对应集合B 中的元素±1，不符合函数的定义；对C ，集合A 中的元素0取倒数没有意义，在集合B 中没有元素与之对应，不符合函数的定义；对D ，A 集合不是数集，故不符合函数的定义．综上，选A.答案：A 2．函数f (x )＝x －1x －2的定义域为( ) A ．(1，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．[1,2) D ．[1,2)∪(2，＋∞) 解析：使函数f (x )＝x －1x －2有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －2≠0，即x ≥1，且x ≠2.所以函数的定义域为{x |x ≥1且x ≠2}．故选D. 答案：D3．下列各组函数表示同一函数的是( )A ．y ＝x 2－9x －3与y ＝x ＋3B ．y ＝x 2－1与y ＝x －1 C ．y ＝x 0(x ≠0)与y ＝1(x ≠0) D ．y ＝x ＋1，x ∈Z 与y ＝x －1，x ∈Z解析：A 中两函数定义域不同；B 中两函数值域不同；D 中两函数对应法则不同．答案：C4．用区间表示下列集合：(1)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12≤x <5＝________； (2){x |x <1或2<x ≤3}＝________.解析：(1)注意到包括不包括区间的端点与不等式含不含等号对应，则{x |－12≤x <5}＝[－12，5)． (2)注意到集合中的“或”对应区间中的“∪”，则{x |x <1或2<x ≤3}＝(－∞，1)∪(2,3]．答案：(1)⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，5 (2)(－∞，1)∪(2,3]题型一函数的定义[经典例题]例1 根据函数的定义判断下列对应关系是否为从集合A 到集合B 的函数： (1)A ＝{1,2,3}，B ＝{7,8,9}，f (1)＝f (2)＝7，f (3)＝8； (2)A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5,6}，对应关系如图所示；(3)A ＝R ，B ＝{y |y >0}，f ：x →y ＝|x |；(4)A ＝Z ，B ＝{－1,1}，n 为奇数时，f (n )＝－1，n 为偶数时，f (n )＝1. 【解析】对于集合A 中的任意一个值，在集合B 中都有唯一的值与之对应，因此(1)(4)中对应关系f 是从集合A 到集合B 的一个函数．(2)集合A 中的元素3在集合B 中没有对应元素，且集合A 中的元素2在集合B 中有两个元素(5和6)与之对应，故所给对应关系不是集合A 到集合B 的函数．(3)A 中的元素0在B 中没有对应元素，故所给对应关系不是集合A 到集合B 的函数. 1.从本题(1)可以看出函数f(x)的定义域是非空数集A ，但值域不一定是非空数集B ，也可以是集合B 的子集．2．判断从集合A 到集合B 的对应是否为函数，一定要以函数的概念为准则，另外也要看A 中的元素是否有意义，同时，一定要注意对特殊值的分析．方法归纳(1)判断一个集合A 到集合B 的对应关系是不是函数关系的方法：①A ，B 必须都是非空数集；②A 中任意一个数在B 中必须有并且是唯一的实数和它对应．[注意] A 中元素无剩余，B 中元素允许有剩余．(2)函数的定义中“任意一个x ”与“有唯一确定的y ”说明函数中两变量x ，y 的对应关系是“一对一”或者是“多对一”，而不能是“一对多”．跟踪训练1 (1)设M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 (2)下列对应是否是函数？ ①x →3x，x ≠0，x ∈R ；②x →y ，其中y 2＝x ，x ∈R ，y ∈R . 解析：(1)图号正误原因① × x ＝2时，在N 中无元素与之对应，不满足任意性② √ 同时满足任意性与唯一性③ × x ＝2时，对应元素y ＝3∉N ，不满足任意性 ④ ×x ＝1时，在N 中有两个元素与之对应，不满足唯一性(1)①x∈[0，1]取不到[1，2]. ③y∈[0，3]超出了N∈[0，2]范围.④可取一个x 值，y 有2个对应，不符合题意.(2)①是函数．因为任取一个非零实数x ，都有唯一确定的3x与之对应，符合函数定义．②不是函数．当x ＝1时，y ＝±1，即一个非零自然数x ，对应两个y 的值，不符合函数的概念．答案：(2)①是函数②不是函数 (2)关键是否符合函数定义．题型二求函数的定义域 [经典例题] 例2 (1)函数f (x )＝x ＋1x －1的定义域是( ) A.[－1,1)B ．[－1,1)∪(1，＋∞)C ．[－1，＋∞)D ．(1，＋∞)(2)求下列函数的定义域． ①y ＝x ＋2＋1x 2－x －6；②y ＝(x －1)0|x |＋x.【解析】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，x －1≠0，解得x ≥－1，且x ≠1.所以所求函数的定义域为[－1,1)∪(1，＋∞)．【答案】 (1)B(1)依据分式的分母不为0，二次根式的被开方数大于等于0，列不等式组求定义域．【解析】(2)①要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，x 2－x －6≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－2，x ≠－2且x ≠3，得x >－2且x ≠3.所以所求函数的定义域为(－2,3)∪(3，＋∞)． ②要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠0，|x |＋x ≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≠1，x >0，所以x >0且x ≠1，所以所求函数的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)．【答案】(2)见解析(2)依据分式的分母不为0，二次根式的被开方数大于等于0,0的0次幂没有意义，列不等式组求定义域．方法归纳求函数的定义域(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y ＝x 0要求x ≠0.(2)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．跟踪训练2 求下列函数的定义域： (1)f (x )＝6x 2－3x ＋2；(2)f (x )＝(x ＋1)|x |－x；(3)f (x )＝2x ＋3－12－x＋1x.解析：(1)要使函数有意义，只需x 2－3x ＋2≠0，即x ≠1且x ≠2，故函数的定义域为{x |x ≠1且x ≠2}．(2)要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，|x |－x >0，解得x <0且x ≠－1.所以定义域为(－∞，－1)∪(－1,0)． (3)要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3≥0，2－x >0，x ≠0，解得－32≤x <2，且x ≠0.故定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，0∪(0,2)． (1)分母不为0(2)⎩⎪⎨⎪⎧偶次根式被开方数≥0(x ＋1)0底数不为0(3)⎩⎪⎨⎪⎧偶次根式被开方数≥0分母不为0题型三同一函数[教材P 66例3]例3 下列函数中哪个与函数y ＝x 是同一个函数？ (1)y ＝(x )2;(2)u ＝3v 3；(3)y ＝x 2； (4)m ＝n 2n.【解析】 (1)y ＝(x )2＝x (x ∈{x |x ≥0})，它与函数y ＝x (x ∈R )虽然对应关系相同，但是定义域不相同，所以这个函数与函数y ＝x (x ∈R )不是同一个函数．(2)u ＝3v 3＝v (v ∈R )，它与函数y ＝x (x ∈R )不仅对应关系相同，而且定义域也相同，所以这个函数与函数y ＝x (x ∈R )是同一个函数．(3)y ＝x2＝|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x <0，x ，x ≥0，它与函数y ＝x (x ∈R )的定义域都是实数集R ，但是当x <0时，它的对应关系与函数y ＝x (x ∈R )不相同．所以这个函数与函数y ＝x (x ∈R )不是同一个函数．(4)m ＝n 2n＝n (n ∈{n |n ≠0})，它与函数y ＝x (x ∈R )的对应关系相同但定义域不相同．所以这个函数与函数y ＝x (x ∈R )不是同一个函数．教材反思判断同一函数的三个步骤和两个注意点(1)判断同一函数的三个步骤(2)两个注意点：①在化简解析式时，必须是等价变形； ②与用哪个字母表示无关．跟踪训练3 试判断下列函数是否为同一函数．(1)f (x )＝x 2－xx，g (x )＝x －1；(2)f (x )＝x x ，g (x )＝x x； (3)f (x )＝x 2，g (x )＝(x ＋1)2； (4)f (x )＝|x |，g (x )＝x 2. 解析：应关系来确定，因而只要判断定义域和对应关系是否对应相同即可．题型四求函数的值域[经典例题] 例4 求下列函数的值域． (1)y ＝3－4x ，x ∈(－1,3]． (2)y ＝2xx ＋1. (3)y ＝x 2－4x ＋5，x ∈{1,2,3}． (4)y ＝x 2－4x ＋5.【解析】 (1)因为－1<x ≤3，所以－12≤－4x <4，所以－9≤3－4x <7，所以函数y ＝3－4x ，x ∈(－1,3]的值域是[－9,7)． (2)因为y ＝2x x ＋1＝2(x ＋1)－2x ＋1＝2－2x ＋1≠2，所以函数y ＝2xx ＋1的值域为{y |y ∈R 且y ≠2}． (3)函数的定义域为{1,2,3}，当x ＝1时，y ＝12－4×1＋5＝2，当x ＝2时，y ＝22－4×2＋5＝1，当x ＝3时，y ＝32－4×3＋5＝2，所以这个函数的值域为{1,2}，(4)因为y ＝x 2－4x ＋5＝(x －2)2＋1，x ∈R 时，(x －2)2＋1≥1，所以这个函数的值域为[1，＋∞)．状元随笔 (1)用不等式的性质先由x∈(－1,3]求－4x 的取值范围，再求3－4x 的取值范围即为所求．(2)先分离常数将函数解析式变形，再求值域． (3)将自变量x ＝1,2,3代入解析式求值，即可得值域． (4)先配方，然后根据任意实数的平方都是非负数求值域.方法归纳求函数值域的常用方法(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察法得到． (2)配方法：是求“二次函数”类值域的基本方法．(3)换元法：运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f (x )＝ax ＋b ＋cx ＋d (其中a ，b ，c ，d 为常数，且ac ≠0)型的函数常用换元法．(4)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．跟踪训练4 求下列函数的值域： (1)y ＝2x ＋1，x ∈{1,2,3,4,5}； (2)y ＝x ＋1； (3)y ＝1－x21＋x2；(4)y ＝－x 2－2x ＋3(－5≤x ≤－2)．解析：(1)将x ＝1,2,3,4,5分别代入y ＝2x ＋1，计算得函数的值域为{3,5,7,9,11}． (2)因为x ≥0，所以x ＋1≥1，即所求函数的值域为[1，＋∞)． (3)因为y ＝1－x 21＋x 2＝－1＋21＋x 2，所以函数的定义域为R ，因为x 2＋1≥1，所以0<21＋x 2≤2.所以y ∈(－1,1]．所以所求函数的值域为(－1,1]． (4)y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4. 因为－5≤x ≤－2，所以－4≤x ＋1≤－1. 所以1≤(x ＋1)2≤16. 所以－12≤4－(x ＋1)2≤3. 所以所求函数的值域为[－12,3]． (3)先分离再求值域 (4)配方法求值域一、选择题1．下列各个图形中，不可能是函数y ＝f (x )的图象的是( )解析：对于1个x 有无数个y 与其对应，故不是y 的函数．答案：A2．函数f (x )＝x ＋3＋(2x ＋3)3－2x 的定义域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，32B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，32D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，－32解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3≥0，3－2x >0，2x ＋3≠0，解得－3≤x <32且x ≠－32，故选B.答案：B3．已知函数f (x )＝－1，则f (2)的值为( )A ．－2B ．－1C ．0D ．不确定解析：因为函数f (x )＝－1，所以不论x 取何值其函数值都等于－1，故f (2)＝－1.故选B.答案：B4．下列各组函数中，表示同一函数的是( )A ．y ＝x ＋1和y ＝x 2－1x －1B ．y ＝x 2和y ＝(x )2C ．f (x )＝x 2和g (x )＝(x ＋1)2D ．f (x )＝(x )2x 和g (x )＝x(x )2解析：只有D是相同的函数，A与B中定义域不同，C是对应法则不同．答案：D二、填空题5. 用区间表示下列数集．(1){x|x≥2}＝________；(2){x|3<x≤4}＝________；(3){x|x>1且x≠2}＝________.解析：由区间表示法知：(1)[2，＋∞)；(2)(3,4]；(3)(1,2)∪(2，＋∞)．答案：(1)[2，＋∞)(2)(3,4] (3)(1,2)∪(2，＋∞)6．函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的定义域为________，值域为________．解析：由f(x)的图象可知－5≤x≤5，－2≤y≤3.答案：[－5,5] [－2,3]7．若A＝{x|y＝x＋1}，B＝{y|y＝x2＋1}，则A∩B＝________.解析：由A＝{x|y＝x＋1}，B＝{y|y＝x2＋1}，得A＝[－1，＋∞)，B＝[1，＋∞)，∴A∩B＝[1，＋∞)．答案：[1，＋∞)三、解答题8．(1)求下列函数的定义域：①y＝4－x；②y＝1|x|－x；③y＝5－x＋x－1－1x2－9；(2)将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的解析式，并写出此函数的定义域．解析：(1)①4－x≥0，即x≤4，故函数的定义域为{x|x≤4}．②分母|x|－x≠0, 即|x|≠x，所以x<0.故函数的定义域为{x|x<0}．③解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 5－x ≥0，x －1≥0，x 2－9≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤5，x ≥1，x ≠±3.故函数的定义域是{x |1≤x ≤5，且x ≠3}．(2)设矩形一边长为x ，则另一边长为12(a －2x )，所以y ＝x ·12(a －2x )＝－x 2＋12ax ，函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧ x >012(a －2x )>0⇒0<x <a 2，定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2. 9．求下列各函数的值域：(1)y ＝x ＋1，x ∈{2,3,4,5,6}；(2)y ＝x 2－4x ＋6；(3)y ＝x ＋2x －1. 解析：(1)因为当x 分别取2,3,4,5,6时，y ＝x ＋1分别取3,4,5,6,7，所以函数的值域为{3,4,5,6,7}．(2)函数的定义域为R .因为y ＝x 2－4x ＋6＝(x －2)2＋2≥2，所以该函数的值域为[2，＋∞)．(3)设t ＝2x －1，则x ＝t 2＋12，且t ≥0. 问题转化为求y ＝1＋t 22＋t (t ≥0)的值域．因为y ＝1＋t 22＋t ＝12(t ＋1)2(t ≥0)，所以y 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 故该函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. [尖子生题库]10．(1)已知函数f (x )的定义域为[－1,5]，求函数f (x －5)的定义域；(2)已知函数f (x －1)的定义域是[0,3]，求函数f (x )的定义域．解析：(1)由－1≤x －5≤5，得4≤x ≤10，所以函数f (x －5)的定义域是[4,10]．(2)由0≤x≤3，得－1≤x－1≤2，所以函数f(x)的定义域是[－1,2]．。

函数性质的综合运用PPT教学课件

x2时取等号)
凹函数 :
f
( x1
x2 2
)
1( 2
f
(x1)
f
(x2 ))(仅当x1
x2时取等号)
例3.已知定义域为[1,1]的函数f ( x)为奇函数,
当x [0,1]时, f ( x) 2x 2 x, 求f ( x)的最大值与最小值
变式1、若f（x）是R上的减函数，且f（x）的图象经过点A （0，3）和B（3，－1），则不等式|f（x+1）－1|＜2的解集是__________________
• 午餐：既要补充上午的能量消耗，又要为下午的消耗储备能量。如蛋白质、脂肪及一定量的蔬菜。
• 晚餐：要做到吃得适量、吃得好。保证足够的热量和适量的蛋白质、脂肪及一定量的蔬菜。
• 学以致用中学生每日吃食物的合适量（营养食谱）
• 主食：（米、面、杂粮）400—500克肉类：（包括鱼、虾）50—75克蛋类：（1—2个）50—100克豆制品：50—100克新鲜蔬菜：400—500克植物油：10克食盐：4—8克除以上食物外酌情增加下列食物：牛奶：150—200克水果：400—500克芝麻、花生、大蒜不多于50克甜食（糕点、糖果）不多于15克
• 1.下列元素在人体内最终代谢产物错误的是（B）
•
A. 碳→碳酸
B. 氮→硝酸
•
C. 硫→硫酸
D. 磷→磷酸
• 2.下列食物属碱性食物的是（B ）
• A.面包 B.海带 C.大米 D. 鸡蛋
1、膳食结构？ 2、要求：种类齐全，数量充足，比例适当且
与人体的需要保持平衡。
3、平衡膳食宝塔？
1. 平衡膳食要求各种营养素搭配合理，在可能的情况下，要吃得品种多些、杂些、

高中数学讲义：利用函数性质与图像解不等式

利⽤函数性质与图像解不等式高中阶段解不等式大体上分为两类，一类是利用不等式性质直接解出解集（如二次不等式，分式不等式，指对数不等式等）；一类是利用函数的性质，尤其是函数的单调性进行运算。

相比而言后者往往需要构造函数，利用函数单调性求解，考验学生的观察能力和运用条件能力，难度较大。

本章节以一些典型例题来说明处理这类问题的常规思路。

一、基础知识：（一）构造函数解不等式1、函数单调性的作用：()f x 在[],a b 单调递增，则[]()()121212,,,x x a b x x f x f x "Î<Û<(在单调区间内，单调性是自变量大小关系与函数值大小关系的桥梁）2、假设()f x 在[],a b 上连续且单调递增，()()00,,0x a b f x $Î=，则()0,x a x Î时，()0f x <;()0,x x b Î时，()0f x > (单调性与零点配合可确定零点左右点的函数值的符号）3、导数运算法则：（1）()()()()()()()'''f x g x fx g x f x g x =+（2）()()()()()()()'''2f x f x g x f x g x g x g x æö-=ç÷èø4、构造函数解不等式的技巧：（1）此类问题往往条件比较零散，不易寻找入手点。

所以处理这类问题要将条件与结论结合着分析。

在草稿纸上列出条件能够提供什么，也列出要得出结论需要什么。

两者对接通常可以确定入手点（2）在构造函数时要根据条件的特点进行猜想，例如出现轮流求导便猜有可能是具备乘除关系的函数。

在构造时多进行试验与项的调整（3）此类问题处理的核心要素是单调性与零点，对称性与图像只是辅助手段。

所以如果能够确定构造函数的单调性，猜出函数的零点。

人教版八年级数学下册第19章《一次函数》讲义第22讲一次函数的综合应用-word

第22讲一次函数的综合应用（1）定义型（2）点斜型（3）两点型（4）图像型（5）斜截型（6）平移型（7）实际应用型（8）面积型（9）比例型（10）对称型知识归纳：若直线l 与直线y kx b =+关于（1）x 轴对称，则直线l 的解析式为y kx b =--（2）y 轴对称，则直线l 的解析式为y kx b =-+（3）直线y ＝x 对称，则直线l 的解析式为y k x b k=-1 （4）直线y x =-对称，则直线l 的解析式为y k x b k =+1 （5）原点对称，则直线l 的解析式为y kx b =-公式中的直线方程为Ax+By+C=0，点P 的坐标为(x 0,y 0) 在实际生活中，应用函数知识解决实际问题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，再利用方程（组）或不等式（组）或函数性质进行求解.直线y=k 1x+b 1与y=k 2x+b 2的位置关系（1）两直线平行：k 1=k 2且b 1 ≠b 2 （2）两直线相交：k 1≠k 2（3）两直线重合：k 1=k 2且b 1=b 2 （4）两直线垂直：即k1﹒k2=-1（5）两直线交于y 轴上同一点: b 1=b 2函数的思想、数形结合的思想，分类讨论的思想。

考点1、实际问题的函数解析式例1、某计算器每个定价80元，若购买不超过20个，则按原价付款：若一次购买超过20个，则超过部分按七折付款．设一次购买数量为x （x ＞20）个，付款金额为y 元，则y与x之间的表达式为（）A、y=0.7×80（x-20）+80×20B、y=0.7x+80（x-10）C、y=0.7×80•xD、y=0.7×80（x-10）例2、等腰三角形的周长是40cm，腰长y（cm）是底边长x（cm）的函数解析式正确的是（）A、y=－0.5x+20（0＜x＜20）B、y=－0.5x+20（10＜x＜20）C、y=－2x+40 （10＜x＜20）D、y=－2x+40（0＜x＜20）例3、甲乙两车沿直路同向行驶，车速分别为20m/s和25m/s．现甲车在乙车前500m 处，设xs（0≤x≤100）后两车相距ym．那么y关于x的数解析式为．（写出自变量取值范围）例4、平行四边形相邻的两边长为x、y，周长是30，则y与x的函数关系式是．例5、某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费用y（元）是行李重量x（公斤）的一次函数，如图，求：（1）y与x之间的函数关系式；（2）旅客最多可免费携带行李的公斤数例6、年级（1）班班委发起为玉树灾区捐款义卖活动，决定在“六一节”当天租用摊位卖玩具筹集善款．已知同学们从批发店按每个7.6元买进玩具，并按每个15元卖出，租用摊位一天的租金为20元．（1）求同学们当天所筹集的善款y（元）与销售量x（个）之间的函数关系式（善款=销售额-成本）；（2）若要筹集不少于500元的慰问金，则至少要卖出玩具多少个？1、汽车开始行驶时，油箱内有油40升，如果每小时耗油5升，则油箱内余油量Q（升）与行驶时间t（时）的关系式（）A、Q=5tB、Q=5t+40C、Q=40－5t（0≤t≤8）D、以上答案都不对2、如图中各图分别是由若干盆花组成的形如三角形的图案，每条边(包括两个顶点)有n(n＞1)个花盆，每个图案花盆的总数是s．按此规律推出，s与n的关系式是（）A、S=3nB、S=3（n-1）C、S=3n-1D、S=3n+13、某楼盘共23层，销售价格如下：第八层楼房售价为4000元/米2，从第八层起每上升一层，每平平方米的售价提高50元，售价y（元/米2）与楼层x（8≤x≤23，x取整数）之间的关系式为．4、一位卖报人每天从报社固定购买100分报纸，每份进价0.6元，然后以每份1元的价格出售．如果报纸卖不完退回报社时，退回的报纸报社只按进价的50%退款给他．如果某一天卖报人卖出的报纸为x份，所获得的利润为y元，试写出y与x的表达式．5、一盘蚊香长105cm，点燃时每小时缩短10cm．（1）请写出点燃后蚊香的长y（cm）与蚊香燃烧时间t（h）之间的函数关系式；（2）该蚊香可点燃多长时间？6、水管是圆柱形的物体，在施工中，常常如下图那样堆放，随着的增加，水管的总数是如何变化的？如果假设层数为n，物体总数为y．（1）请你观察图形填写下表，（2）请你写出y与n的函数解析式．7、某工厂加工一批产品，为了提前交货，规定每个工人完成100个以内，每个产品付酬1.5元；超过100个，超过部分每个产品付酬增加0.3元；超过200个，超过部分除按上述规定外，每个产品再增加0.4元．求一个工人：（1）完成100个以内所得报酬y（元）与产品数x（个）之间的函数关系式；（2）完成100个以上，但不超过200个所得报酬y（元）与产品数x（个）之间的函数关系式；（3）完成200个以上所得报酬y（元）与产品数x（个）之间的函数关系式．考点2、一次函数的应用例1、明君社区有一块空地需要绿化，某绿化组承担了此项任务，绿化组工作一段时间后，提高了工作效率．该绿化组完成的绿化面积S（单位：m2）与工作时间t（单位：h）之间的函数关系如图所示，则该绿化组提高工作效率前每小时完成的绿化面积是（）A、300m2B、150m2C、330m2D、450m2例2、如图所示，购买一种苹果，所付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省（）A、1元B、2元C、3元D、4元（例1）（例2）例3、如图，小明购买一种笔记本所付款金额y（元）与购买量x（本）之间的函数图象由线段OB和射线BE组成，则一次购买8个笔记本比分8次购买每次购买1个可节省元．例4、甲、乙两工程队分别同时开挖两条600米长的管道，所挖管道长度y（米）与挖掘时间x（天）之间的关系如图所示，则下列说法中：①甲队每天挖100米；②乙队开挖两天后，每天挖50米；③甲队比乙队提前3天完成任务；④当x=2或6时，甲乙两队所挖管道长度都相差100米．正确的有______．（在横线上填写正确的序号）（例3）（例4）例5、为了节约资源，科学指导居民改善居住条件，小王向房管部门提出了一个购买商品房的政策性方案．根据这个购房方案：（1）若某三口之家欲购买120平方米的商品房，求其应缴纳的房款；（2）设该家庭购买商品房的人均面积为x平方米，缴纳房款y万元，请求出y关于x 的函数关系式；（3）若该家庭购买商品房的人均面积为50平方米，缴纳房款为y万元，且57＜y≤60 时，求m的取值范围．例6、某商店销售A型和B型两种型号的电脑，销售一台A型电脑可获利120元，销售一台B型电脑可获利140元．该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍．设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．（1）求y与x的关系式；（2）该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售利润最大？（3）若限定商店最多购进A型电脑60台，则这100台电脑的销售总利润能否为13600元？若能，请求出此时该商店购进A型电脑的台数；若不能，请求出这100台电脑销售总利润的范围．1、小刚家、公交车站、学校在一条笔直的公路旁（小刚家、学校到这条公路的距离忽略不计）一天，小刚从家出发去上学，沿这条公路步行到公交站恰好乘上一辆公交车，公交车沿这条公路匀速行驶，小刚下车时发现还有4分钟上课，于是他沿着这条公路跑步赶到学校（上、下车时间忽略不计），小刚与学校的距离s（单位：米）与他所用的时间t（单位：分钟）之间的函数关系如图所示．已知小刚从家出发7分钟时与家的距离是1200米，从上公交车到他到达学校公用10分钟．下列说法：①公交车的速度为400米/分钟；②小刚从家出发5分钟时乘上公交车；③小刚下公交车后跑向学校的速度是100米/分钟；④小刚上课迟到了1分钟．其中正确的个数是（）A、4个B、3个C、2个D、1个2、如图1为深50cm的圆柱形容器，底部放入一个长方体的铁块，现在以一定的速度向容器内注水，图2为容器顶部离水面的距离y（cm）随时间t（分钟）的变化图象，则（）B．放人的长方体的高度为30cmC．该容器注满水所用的时间为21分钟3、设甲,乙两车在同一直线公路上匀速行驶,开始甲车在乙车的前面,当乙车追上甲车后,两车停下来,把乙车的货物转给甲车,然后甲车继续前行,乙车向原地返回.设x秒后两车间的距离为y米,y关x于的函数关系如图所示,则甲车的速度是_______米/秒.4、某通讯公司的4G上网套餐每月上网费用y（单位：元）与上网流量x（单位：兆）的函数关系的图象如图所示．若该公司用户月上网流量超过500兆以后，每兆流量的费用为0.29元，则图中a的值为．（3）（4）5、某地为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制，即每月用水量不超过14吨（含14吨）时，每吨按政府补贴优惠价收费；每月超过14吨时，超过部分每吨按市场调节价收费，小英家1月份用水20吨，交水费29元；2月份用水18吨，交水费24元。

高一数学基础知识讲义(2021)——函数及其性质

高一数学基础知识讲义（2021）——函数及其性质第二讲函数及其性质知识要点一：函数及其相关概念⑴映射：设,A B 是两个非空集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素与它对应，这样的对应关系叫做从集合A 到集合B 的映射。

记作：:f A B →。

⑵象与原象：给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈，如果,a b 对应那么元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象。

⑶一一映射：设,A B 是两个非空集合，:f A B →是集合A 到集合B 的映射，并且对于集合B 中的任意一个元素，在集合A 中都有且只有一个原象，把这个映射叫做从集合A 到集合B 的一一映射。

⑷函数：设集合A 是一个非空数集，对A 中的任意数x ，按照确定的法则f ，都有唯一确定的数y 与它对应，则这种对应关系叫做集合A 上的一个函数，记作：(),y f x x A =∈这里x 叫自变量，自变量的取值范围叫做这个函数的定义域，所有函数值构成的集合，叫做这个函数的值域。

这里可以看出一旦一个函数的定义域与对应法则确定，则函数的值域也被确定，所以决定一个函数的两个条件是：定义域和对应法则。

⑸函数的表示方法：解析法、图像法、列表法。

⑹区间：定义名称符号{}x a x b ≤≤闭区间[],a b{}x a x b <<开区间(),a b{}x a x b ≤<半开半闭区间[),a b{}x a x b <≤半开半闭区间(],a b闭区间是包括端点，开区间不包括端点。

实数集R 可以表示为(),-∞+∞，“∞”读作“无穷大”，例如：“3x ≥”可以表示为[)3,+∞，“4x <-”可以表示为(),4-∞-。

高考要求：了解映射的概念，理解函数的有关概念，掌握对应法则图像等性质，能够熟练求解函数的定义域、值域。

例题讲解：夯实基础一、判断下列关系哪些是映射。

高中数学第三章函数的概念与性质3.1.2函数的表示法讲义新人教A版必修第一册

3.1.2 函数的表示法最新课程标准：(1)在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用．(2)通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.知识点一函数的表示法状元随笔 1.解析法是表示函数的一种重要方法，这种表示方法从“数”的方面简明、全面地概括了变量之间的数量关系．2．由列表法和图象法的概念可知：函数也可以说就是一张表或一张图，根据这张表或这张图，由自变量x 的值可查找到和它对应的唯一的函数值y.知识点二分段函数在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．状元随笔 1.分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数．2．分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的．如y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，－2≤x≤0，x ，0<x≤3，其“段”是不等长的．[教材解难]教材P 68思考(1)三种表示方法的优缺点比较优点缺点解析法一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过用解析式求出任意一个自不够形象、直观，而且并不是所有的函数都可以用解析式表示＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ∈Q ，1，x ∈∁R Q .列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段)．[基础自测]1．购买某种饮料x 听，所需钱数为y 元，若每听2元，用解析法将y 表示成x (x ∈{1,2,3,4})的函数为( )A ．y ＝2xB ．y ＝2x (x ∈R )C ．y ＝2x (x ∈{1,2,3，…}) D．y ＝2x (x ∈{1,2,3,4}) 解析：题中已给出自变量的取值范围，x ∈{1,2,3,4}，故选D. 答案：D2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1，x <－1，x －1，x >1，则f (2)等于( )A ．0 B.13C ．1D ．2解析：f (2)＝2－1＝1. 答案：C3．已知函数f (2x ＋1)＝6x ＋5，则f (x )的解析式是( ) A ．3x ＋2 B ．3x ＋1 C ．3x －1 D ．3x ＋4解析：方法一令2x ＋1＝t ，则x ＝t －12.∴f (t )＝6×t －12＋5＝3t ＋2.∴f (x )＝3x ＋2.方法二 ∵f (2x ＋1)＝3(2x ＋1)＋2.∴f(x)＝3x＋2.答案：A4．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出．x 12 3f(x)21 1x 12 3g(x)32 1则f(g(1))的值为________．当g(f(x))＝2时，x＝________.解析：由于函数关系是用表格形式给出的，知g(1)＝3，∴f(g(1))＝f(3)＝1.由于g(2)＝2，∴f(x)＝2，∴x＝1.答案：1 1题型一函数的表示方法[经典例题]例 1 (1)某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程．下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是( )(2)已知函数f(x)按下表给出，满足f(f(x))>f(3)的x的值为________．x 12 3f(x)23 1【解析】(1)所以开始曲线比较陡峭，后来曲线比较平缓，又纵轴表示离校的距离，所以开始时距离最大，最后距离为0.【答案】(1)D由题意找到出发时间与离校距离的关系及变化规律【解析】(2)由表格可知f(3)＝1，故f(f(x))>f(3)即为f(f(x))>1.∴f(x)＝1或f(x)＝2，∴x＝3或1.【答案】(2)3或1观察表格，先求出f(1)、f(2)、f(3)，进而求出f(f(x))的值，再与f(3)比较.方法归纳理解函数的表示法应关注三点(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示方法，无论用哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念．(2)判断所给图象、表格、解析式是否表示函数的关键在于是否满足函数的定义．(3)函数的三种表示方法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主．跟踪训练1 某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x(x为正整数)与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．解析：(1)列表法：x/台12345678910y/元 3 000 6 0009 00012000150001800021000240002700030000(3)解析法：y＝3 000x，x∈{1,2,3，…，10}．状元随笔本题中函数的定义域是不连续的，作图时应注意函数图象是一些点，而不是直线．另外，函数的解析式应注明定义域．题型二求函数的解析式[经典例题]例2 根据下列条件，求函数的解析式：(1)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 1－x 2，求f (x )；(2)f (x )是二次函数，且f (2)＝－3，f (－2)＝－7，f (0)＝－3，求f (x )．【解析】 (1)设t ＝1x ，则x ＝1t (t ≠0)，代入f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 1－x 2，得f (t )＝1t 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2＝t t 2－1，故f (x )＝xx 2－1(x ≠0且x ≠±1)．(2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．因为f (2)＝－3，f (－2)＝－7，f (0)＝－3. 所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－3，4a －2b ＋c ＝－7，c ＝－3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝1，c ＝－3.所以f (x )＝－12x 2＋x －3.(1)换元法：设1x＝t ，注意新元的范围．(2)待定系数法：设二次函数的一般式f(x)＝ax 2＋bx ＋c.跟踪训练2 (1)已知f (x 2＋2)＝x 4＋4x 2，则f (x )的解析式为________； (2)已知f (x )是一次函数，且f (f (x ))＝4x －1，则f (x )＝________. 解析：(1)因为f (x 2＋2)＝x 4＋4x 2＝(x 2＋2)2－4，令t ＝x 2＋2(t ≥2)，则f (t )＝t 2－4(t ≥2)，所以f (x )＝x 2－4(x ≥2)． (2)因为f (x )是一次函数，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则f (f (x ))＝f (ax ＋b )＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b . 又因为f (f (x ))＝4x －1，所以a 2x ＋ab ＋b ＝4x －1.所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，ab ＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－13或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1.所以f (x )＝2x －13或f (x )＝－2x ＋1.答案：(1)f (x )＝x 2－4(x ≥2) (2)2x －13或－2x ＋1(1)换元法设x 2＋2＝t. (2)待定系数法设f(x)＝ax ＋b.题型三求分段函数的函数值 [经典例题] 例3 (1)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x －1|－2(|x |≤1)，11＋x 2(|x |>1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( )A.12B.413 C ．－95 D.2541(2)已知f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n －3，n ≥10，f (f (n ＋5))，n <10，则f (8)＝________.【解析】 (1)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－1－2＝－32， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝11＋94＝413，故选B.判断自变量的取值范围，代入相应的解析式求解． (2)因为8<10，所以代入f (n )＝f (f (n ＋5))中，即f (8)＝f (f (13))．因为13>10，所以代入f (n )＝n －3中，得f (13)＝10，故f (8)＝f (10)＝10－3＝7. 【答案】 (1)B (2)7 方法归纳(1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求得． (2)像本题中含有多层“f ”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层处理． (3)已知函数值求相应的自变量值时，应在各段中分别求解．跟踪训练3 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 (x >0)，π (x ＝0)，0 (x <0)，求f (－1)，f (f (－1))，f (f (f (－1)))．解析：∵－1<0，∴f (－1)＝0，∴f (f (－1))＝f (0)＝π，∴f (f (f (－1)))＝f (π)＝π＋1. 根据不同的取值代入不同的解析式．题型四函数图象[教材P 68例6]例4 给定函数f (x )＝x ＋1，g (x )＝(x ＋1)2，x ∈R ， (1)在同一直角坐标系中画出函数f (x )，g (x )的图象；(2)∀x ∈R ，用M (x )表示f (x )，g (x )中的较大者，记为M (x )＝max{f (x )，g (x )}．例如，当x ＝2时，M (2)＝max{f (2)，g (2)}＝max{3,9}＝9. 请分别用图象法和解析法表示函数M (x )．【解析】 (1)在同一直角坐标系中画出函数f (x )，g (x )的图象(图1)．(2)由图1中函数取值的情况，结合函数M (x )的定义，可得函数M (x )的图象(图2)．由(x ＋1)2＝x ＋1，得x (x ＋1)＝0.解得x ＝－1，或x ＝0. 结合图2，得出函数M (x )的解析式为 M (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2，x ≤－1，x ＋1，－1<x ≤0，(x ＋1)2，x >0.状元随笔 1.先在同一坐标系中画出f(x)、g(x)； 2．结合图象，图象在上方的为较大者； 3．写出M(x). 教材反思(1)画一次函数图象时，只需取两点，两点定直线．(2)画二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象时，先用配方法化成y ＝a (x －h )2＋k 的形式⎝⎛⎭⎪⎫其中h ＝－b 2a ，k ＝4ac －b 24a ，确定抛物线的开口方向(a >0开口向上，a <0开口向下)、对称轴(x ＝h )和顶点坐标(h ，k )，在对称轴两侧分别取点，按列表、描点、连线的步骤画出抛物线．(3)求两个函数较大者，观察图象，图象在上方的为较大者．跟踪训练4 作出下列函数的图象： (1)y ＝－x ＋1，x ∈Z ； (2)y ＝2x 2－4x －3,0≤x <3； (3)y ＝|1－x |.解析：(1)函数y ＝－x ＋1，x ∈Z 的图象是直线y ＝－x ＋1上所有横坐标为整数的点，如图(a)所示．(2)由于0≤x <3，故函数的图象是抛物线y ＝2x 2－4x －3介于0≤x <3之间的部分，如图(b)．(3)因为y ＝|1－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≥1，1－x ，x <1，故其图象是由两条射线组成的折线，如图(c)．(2)先求对称轴及顶点，再注意x 的取值(部分图象)．(3)关键是根据x 的取值去绝对值．解题思想方法数形结合利用图象求分段函数的最值例求函数y ＝|x ＋1|＋|x －1|的最小值．【解析】 y ＝|x ＋1|＋|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－1，2，－1<x ≤1，2x ，x >1.作出函数图象如图所示：由图象可知，x ∈[－1,1]时，y min ＝2.【反思与感悟】 (1)分段函数是一个函数，其定义域是各段“定义域”的并集，其值域是各段“值域”的并集．写定义域时，区间的端点需不重不漏．(2)求分段函数的函数值时，自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式． (3)研究分段函数时，应根据“先分后合”的原则，尤其是作分段函数的图象时，可先将各段的图象分别画出来，从而得到整个函数的图象．一、选择题1．如图是反映某市某一天的温度随时间变化情况的图象．由图象可知，下列说法中错误的是( )A ．这天15时的温度最高B ．这天3时的温度最低C ．这天的最高温度与最低温度相差13 ℃D ．这天21时的温度是30 ℃解析：这天的最高温度与最低温度相差为36－22＝14 ℃，故C 错．答案：C2．已知f (x －1)＝1x ＋1，则f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝11＋x B ．f (x )＝1＋xxC ．f (x )＝1x ＋2D ．f (x )＝1＋x 解析：令x －1＝t ，则x ＝t ＋1，∴f (t )＝1t ＋1＋1＝12＋t，∴f (x )＝1x ＋2. 答案：C3．函数y ＝x 2|x |的图象的大致形状是( )解析：因为y ＝x 2|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0，－x ，x <0，所以函数的图象为选项A.答案：A4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0，且f (a )＋f (1)＝0，则a 等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析：当a >0时，f (a )＋f (1)＝2a ＋2＝0⇒a ＝－1，与a >0矛盾；当a ≤0时，f (a )＋f (1)＝a ＋1＋2＝0⇒a ＝－3，符合题意．答案：A 二、填空题5．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ∈[0，1]2－x ，x ∈(1，2]的定义域为______，值域为______．解析：函数定义域为[0,1]∪(1,2]＝[0,2]．当x ∈(1,2]时，f (x )∈[0,1)，故函数值域为[0,1)∪[0,1]＝[0,1]．答案：[0,2] [0,1]6．已知函数f (2x ＋1)＝3x ＋2，且f (a )＝4，则a ＝________.解析：因为f (2x ＋1)＝32(2x ＋1)＋12，所以f (a )＝32a ＋12.又f (a )＝4，所以32a ＋12＝4，a ＝73.答案：737．若f (x )－12f (－x )＝2x (x ∈R )，则f (2)＝________.解析：∵f (x )－12f (－x )＝2x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (2)－12f (－2)＝4，f (－2)－12f (2)＝－4，得⎩⎪⎨⎪⎧2f (2)－f (－2)＝8，f (－2)－12f (2)＝－4，相加得32f (2)＝4，f (2)＝83.答案：83三、解答题8．某同学购买x (x ∈{1,2,3,4,5})张价格为20元的科技馆门票，需要y 元．试用函数的三种表示方法将y 表示成x 的函数．解析：(1)列表法x /张 1 2 3 4 5y /元 20 40 60 80 100(2)(3)解析法：y ＝20x ，x ∈{1,2,3,4,5}．9．求下列函数解析式：(1)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋9，求f (x )；(2)已知f (x ＋1)＝x 2＋4x ＋1，求f (x )的解析式．解析：(1)由题意，设函数为f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，∵3f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋9，∴3a (x ＋1)＋3b －ax －b ＝2x ＋9，即2ax ＋3a ＋2b ＝2x ＋9，由恒等式性质，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，3a ＋2b ＝9， ∴a ＝1，b ＝3.∴所求函数解析式为f (x )＝x ＋3.(2)设x ＋1＝t ，则x ＝t －1，f (t )＝(t －1)2＋4(t －1)＋1，即f (t )＝t 2＋2t －2.∴所求函数为f (x )＝x 2＋2x －2.[尖子生题库]10．画出下列函数的图象：(1)f (x )＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)；(2)f (x )＝|x ＋2|.解析：(1)f (x )＝[x ]＝⎩⎪⎨⎪⎧ …－2，－2≤x <－1，－1，－1≤x <0，0，0≤x <1，1，1≤x <2，2，2≤x <3，…函数图象如图1所示．图1 图2(2)f (x )＝|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2，x ≥－2，－x －2，x <－2.画出y ＝x ＋2的图象，取[－2，＋∞)上的一段；画出y ＝－x －2的图象，取(－∞，－2)上的一段，如图2所示．。

08.高一寒假数学讲义：函数的单调性(定义法、图象法、性质法)(应用)【讲师版】

高一寒假数学讲义“函数的单调性（定义法、图象法、性质法）（应用）”学生姓名授课日期教师姓名授课时长这一部分知识一般是综合题中最基本的组成部分，先有正确的判断才会有后面一系列顺利的解题，所以相当重要。

函数的单调性1．函数的单调性我们把自变量在定义域中逐渐增加时，函数值逐渐增加(或减小)的性质叫做函数的单调性．对于某个区间上的自变量的任意两个值21,x x 当21x x <时，都有)()(21x f x f <，则函数)(x f 在这个区间上是增函数。

这个区间叫做函数)(x f 的单调增区间．对于某个区间上的自变量的任意两个值21,x x 当21x x <时，都有)()(21x f x f > 则函数)(x f 在这个区间上是减函数，这个区间叫做函数)(x f 的单调减区间．2．常见函数单调性的判断有关单调函数，我们还可以证明以下一些重要结论：(1)若函数y =f (x )和y =g (x )在公共区间A 内都是增(减)函数，则函数y =f (x )+g (x )在A 内是增(减)函数．(2)若两个正值函数y =f (x )和y =g (x )在公共区间A 内都是增(减)函数，则函数y =f (x )•g (x )在区间A 内也是增(减)函数．(3)若两个负值函数y =f (x )和y =g (x )在公共区间A 内都是增(减)函数，则函数y =f (x )•g (x )在区间A 内是减(增)函数．3．复合函数单调性的判断设有函数y =f (u ),及u =g (x ),则我们称形如y =f [g(x)]的函数是复合函数，例如32)(2-+=x x x f 以看作是由u y =和322-+=x x u 复合而成的复合函数，像这样的函数有很多，其中u =g (x )又称之为内层函数，y =f (u ),称之为外层函数．有关复合函数的单调性，我们很容易证明以下结论(证明留给读者自己完成)(见下表)。

2022届高三寒假精品讲义第1讲函数图象与性质(解析版)

5．（2021·江苏省响水中学高三月考）已知函数 f x log0.5 (x x2 1) ，若 a 0.60.5 , b log0.5 0.6, c log0.6 5 ，
则（）
A． f a f b f c
B． f c f b f a
C． f c f a f b
D． f b f a f c
A． a 1 2
B． f x 的最大值为1
C． f 2021 1
2
D． f x 的图象关于点 2, 0 对称
12．（2021·江苏省如皋中学高三月考）设函数 f (x) min{ x 2 , x2 , x 2 } ，其中 min{x, y, z} 表示 x, y, z 中
的最小者，说法正确的有（） A．函数 f (x) 为偶函数
f
(x)
对任意
xR
，都有
f
(x 3)
f
1 (x)
，且当 x [3, 2]
时， f (x) 2x ，则 f (113.5) 的值是___________.
16．（2021·江苏苏州·高三期中）已知 f (x) 是定义在 R 上的奇函数，且 f (1 x) f (x) ，则 f (x) 的最小正周
范围是（）
A．
0,
4 3
B． 0, 2
C．
4 3
,
0
D． 2, 0
4．（2021·广东·高三月考）已知函数 f (x) x2 cos 2x ，则满足 f 2x 1 f 3x 1 的实数 x 的取值范
围是（） A． (0,1) C． (1, 0)
B． (0, ) D． (, 0)
2022 届高三寒假精品讲义第 1 讲函数图象与性质

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函数性质综合运用（讲义）
➢课前预习
1.填空：
①如果我们将方程组中的两个方程看作是两个函数，则方程组的解恰好对应
两个函数图象的__________________；方程x2+3x-1=2x+1的根对应两个函数图象交点的__________．
特别地，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根是二次函数______________的图象与______交点的横坐标．当∆＞0时，二次函数图象与x轴有_____个交点；当∆=0时，与x轴有_____个交点；当∆＜0时，与x轴______交点．
②y=2x+1与y=x2+3x+1的交点个数为__________．
2.借助二次函数图象，数形结合回答下列问题：
①当a＞0时，抛物线开口_____，图象以对称轴为界，当x_____时，y随x
的增大而增大；该二次函数有最____值，是_______；
②当a＜0时，抛物线开口____，图象以对称轴为界，当x_____时，y随x的
增大而增大；该二次函数有最___值，是______．
③已知二次函数y=x2+2x-3．当-5＜x＜3时，y的取值范围为__________；当
1＜x≤5时，y的取值范围为__________．
注：二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标为
2
4
()
24
b a
c b
a a
--，．
➢知识点睛
a b c k ⎧⎧⎪⎨
⎩⎪
⎪⎧⎪⎪⎪
⎨⎨⎪⎪⎩⎪
⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩①坐标代入表达式，得方程或不等式表达式与坐标②借助表达式设坐标①判断，，，等字母符号函数图象与性质②借助图象比大小、找范围
③图象平移：左加右减，上加下减
将方程、不等式转化为函数，函数与方程、不等式数形结合，借助图象分析
⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪
⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎩
第一步：设坐标
利用所在函数表达式或坐标间关系横平竖直第二步：坐标相减竖直线段：纵坐标相减，上减下水平线段：横坐标相减，右减左表达线段长①倾斜程度不变借助相似，利用竖直线段长表达斜放置②倾斜程度变化 ➢ 精讲精练
1. 抛物线y =ax 2+bx +c 上部分点的横坐标x 、纵坐标y 的对应值如表所示．
y 轴的右侧；③抛物线一定经过点(3，0)；
④在对称轴左侧，y 随x 增大而减小；⑤一元二次方程ax 2+bx +c =4的解为x =-1或x =2．由表可知，正确的说法有______个．
2. 已知二次函数y =(x -h )2+1（h 为常数），在自变量x 的值满足1≤x ≤3的情况
下，与其对应的函数值y 的最小值为5，则h 的值为（） A ．5或1
B ．-1或5
C ．1或-3
D ．1或3
3. 已知二次函数y =ax 2-bx -2（a ≠0）的图象的顶点在第四象限，且过点(-1，0)，
当a -b 为整数时，ab 的值为（）
A ．34或1
B ．14或1
C ．34或12
D ．
14或34
4. 二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象如图所示，图象过点(-1，0)，对称
轴为直线x =2．给出下列结论：①4a +b =0；②9a +c ＞3b ；③8a +7b +2c ＞0；④
若点A(-3，y1)，B(
1
2
-，y2)，C(
7
2
，y3)在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；⑤若
方程a(x+1)(x-5)=-3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜-1＜5＜x2．
其中正确的结论有_______（填写序号）．
5.若m，n（n＜m）是关于x的一元二次方程1-(x-a)(x-b)=0的两个根，且b＜
a，则m，n，b，a的大小关系为__________．
6.设关于x的方程ax2+(a+2)x+9a=0有两个不相等的实数根x1，x2，且x1＜1＜
x2，那么a的取值范围是（）
A．
22
75
a
-<<B．
2
5
a>
C．
2
7
a<-D．
2
11
a
-<<
7.若关于x的方程x2+2kx+3k=0的两根都在-1和3之间（不含-1，3），则k的
取值范围是_______________．
8.已知二次函数y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，且图象过A(m+1，n)，B(m-9，
n)两点，则n的值为（）
A．16 B．18 C．20 D．25
9.如图，在平面直角坐标系中，双曲线
2
y
x
=与直线y=x交于A，B两点，点C
是x轴上一动点，过点C作x轴垂线，交双曲线于点P，交直线y=x于点Q，当PQ长为1时，点Q的坐标为__________________．
第9题图第10题图
10. 如图，在平面直角坐标系中，直线112y x =
+与抛物线211
322
y x x =--交于A ，B 两点，点A 在x 轴上，点B 的纵坐标为3．点P 是直线AB 下方的抛物
线上一动点（不与点A ，B 重合），过点P 作x 轴的垂线交直线AB 于点C ，作PD ⊥AB 于点D ．设点P 的横坐标为m ．
（1）设线段PC 的长为n ，则n 与m 之间的函数关系式为______________；（2）线段PD 长的最大值为______________．
11. 如图，抛物线224
233
y x x =--与x 轴正半轴交于点A ，交y 轴于点B ．点P
为抛物线上一个动点，过点P 作x 轴的垂线PC ，过点B 作BC ⊥PC 于点C ，
连接PB ．当△BCP 为等腰直角三角形时，线段PC 的长为__________．
12. 如图，边长为8的正方形C
经过点A ，点P 是抛物线上点A ，C 间的一个动点（含端点），于点E ，点D 的坐标为(0，6)，连接PD ．在变化过程中，PD 值，则PD -PE =___________．
13. 某班“数学兴趣小组”对函数y =x 2-2|x |如下，请补充完整．
（1）自变量x 的取值范围是全体实数，x 与y （2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．（3）观察函数图象，写出两条函数的性质．（4）进一步探究函数图象发现：
①函数图象与x 轴有_____个交点，所以对应方程x 2-2|x |=0有_____个实数根；
②方程x 2-2|x |=2有______个实数根；
③关于x的方程x2-2|x|=a有4个实数根时，a的取值范围是___________．
【参考答案】 ➢ 课前预习
1. ①交点的坐标；横坐标；y =ax 2+bx +c （a ≠0）；x 轴；2；1；没有；
②2
2. ①向上；2b a
>-；小；244ac b a -；
②向下；2b
a
<-；大；244ac b a -；
③-4≤y ＜12；0＜y ≤32
➢ 精讲精练 1. 4 2. B 3. A
4. ①③⑤
5. n ＜b ＜a ＜m
6. D
7. -1＜k ≤0
8. D
9. (-1，-1)或(1，1)或(-2，-2)或(2，2)
10. （1）2142n m m =-++；（2
11. 1722或
12. 2
13. （1）0；（2）图略；（3）略；
（4）①3；3；②2；③-1＜a ＜0．。