清华阻尼受迫振动实验报告

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2 2 2 ������ + 4������ ������ 0 2
������ ������0 ������ = arctan ������ 1− ������0 2������
2
它们随频率比变化的曲线称为幅频、相频特性曲线。
[3]
(5) 描述阻尼振动的常用参量 转动惯量������、 劲度系数������、 阻尼力矩系数������、 固有角频率������0 = 外激励角频率������。 常用的还有: 1. 阻尼系数������ = ������/2������ 2. 阻尼比������ =
������������ ������2 0 2������ ������2 0 −������
2
,系统发生共振。
(4) 幅频、相频特性曲线 引入参数������ =
������ ������ 0
=
������ 2 ������������
,称为阻尼比,它无量纲。则振幅������������和
相位差������分别是支座振幅������������、阻尼比������ 和频率比������/������0 的函数 ������������ = ������������ ������ 1 − ������ 0
2
+1
1 − 2
, ������0 =
2������ ������������ 1−������
2
, 求出������������和������ 后便可求出阻尼系数������
和固有频率������0。
实验中直接测量������������ 和10������������ , 取自然对数后通过逐差法计 算������,进而计算������ ,������������ 则由10������������ 求得。将开关臵于“摆轮” , 拨动摆轮使偏离平衡位臵150° ~180° 后摆动,由大到小依次 读取显示窗中的振幅值������������ 。周期臵于“10”的位臵,按复位 钮启动周期测量,停止时读取数据(10������������ ) ,并立即再次按 复位钮启动周期测量,记录50组振幅值������������ 和5组周期值10������������ 。
[6]
六、 数据处理 (1) 最小阻尼时的阻尼比������ , 阻尼系数������和固有角频率������0 1 ������ −������ ������ = 2 ln ������+25 = −������. ������������ × ������������ 25 ������=1 ������������ 1 −3 −4 ������25������ = 6.219 × 10 , ∆������= ������25������ = 2.5 × 10 25 由实验原理可知 ������ = ∆������ =
2 ������
1. 用此法测定的������0与已有结果的比较 2. 逐点求实测相位差������与理论计算值的相对偏差。
四、 注意事项 (1) 为避免剩磁影响, 不要随便拨动阻尼开关, 并且在同一阻尼 状态需测量完阻尼振动和受迫振动再拨动到另一个阻尼状 态。 (2) 相频特性和幅频特性要在振动稳定后测量 (3) 共振点附近随时调节������,避免振幅过大损坏仪器
2 + 4������ ������2 ������2 0 − ������ 2 2
������ = arctan
2������������ 2 ������0 − ������ 2
2 ������0 − 2������2 时,������������ 取得极大
则可求得������������ 在外激励角频率������ = 值
2.11 阻尼振动与受迫振动
一、 实验目的: (1) 观测阻尼振动,学习测量振动系统基本参数的方法; (2) 研究受迫振动的幅频特性和相频特性,观测共振现象; (3) 观测不同阻尼对受迫振动的影响。
二、 实验原理 (1) 有粘滞阻尼的阻尼振动 弹簧摆轮振动系统中,摆轮转动惯量为������,粘滞阻尼的阻尼力 矩大小定义为������
2 ������0 − ������ 2 ������ + ������������ + ������������ cos ������������ − ������
由微分方程理论可知, 此通解是一个阻尼振动与一个频率和激 励源相同的简谐振动的合成。当������ ≫ ������之后(������定义为阻尼振动 振幅衰减到������−1 所需的时间)就有稳态解 ������ ������ = ������������ cos ������������ − ������ 稳态解的振幅和相位差分别为 ������������ = ������/������
循环振幅比的自然对数。
三、 实验任务和步骤 (1) 调整波耳共振仪处于工作状态: 打开电源开关, 关断电机和 闪光灯开关,阻尼开关臵于0档,微调光电门使之不与摆轮 和相位差测量盘接触。 手动调整电机偏心轮使有机玻璃转盘 上的0位标志线指示0度,即通过连杆和摇杆使摆轮处于平 衡位臵。波动摆轮使之偏离平衡位臵150° ~200° ,释放后检 查摆轮的自由摆动情况,振动衰减应该很慢。
(3) 测量阻尼状态“3”和“4”的振幅,仿照(2)的方法求������ ,周 期的不确定度取其10 倍加上其显示值末位变化“1”所对 应的量值。
−5
实验中需测量每次振动的周期,周期选择臵于“1”的
[5]来自百度文库
位臵,只需要记录10组������������ 的值,取自然对数后用逐差法算出 ������, 进而算出������ 和它的不确定度, ������ = 测量10组������������值,由������ = −������������������ 得������ =
������������ ������������
,������ 为阻尼力矩系数。弹簧的劲度系数为������ ,
忽略弹簧的等效转动惯量,得摆轮转角������的运动方程为 ������ 2 ������ ������������ ������ 2 + ������ + ������������ = 0 ������������ ������������ 记������0 = ������/������为无阻尼时自由振动的固有角频率,定义阻尼系 数������ = ������/(2������),则运动方程化为 ������ ������ ������������ + 2������ + ������2 0 ������ = 0 2 ������������ ������������
(2) 测量最小阻尼时的阻尼比������ 和固有角频率������0,阻尼系数������。
[4]
由 阻 尼 振 动 的 解 ������ ������ = ������������ exp −������������ cos
2 ������0 − ������ 2 ������ + ������������
2������ ������2 0 −������
2

[1]
(2) 周期外力矩作用下的受迫振动 在周期外力矩������ cos ������������激励下的运动方程和方程的通解为 ������ 2 ������ ������������ ������ 2 + ������ + ������������ = ������ cos ������������ ������������ ������������ ������ ������ = ������������ exp −������������ cos
������ ������ 0 ������ 、 ������
=
������ 2 ������������ 2������
2 ������2 0 −������
3. 阻尼振动周期������������ = 4. 时间常数������ = 的时间。 5. 品质因素������ ≡
1 2������ 2������ ������ 1 ������
2 小阻尼(������ 2 − ������0 < 0)时,阻尼振动运动方程的解为 2
������ ������ = ������������ exp −������������ cos
2 ������0 − ������ 2 ������ + ������������ 2
由 上 式 可 知 , 阻 尼 振 动 角 频 率 ������������ = ������2 0 − ������ , 而 周 期 为 ������������ =
[2]
即 ������ 2 ������ ������������ ������ 2 + ������ + ������������ = ������������������ cos ������������ ������������ ������������ 它和弹簧支座固定、摆轮受周期外力矩������������������ cos ������������作用时运动 方程在形式上完全一致,等效外激励力矩的振幅为������������������ ,则对 应的稳态解振幅和相位差分别为 ������������ = ������������ ������2 0
可知,经过一个周期,振幅 ������������ 衰减为 ������������−1 的 ������−������������������ 倍,而 ������������ =
2������
2 ������2 0 −������
,可得−������������������ = −2������ ������ −2 − 1
2 + 4������ ������2 ������2 0 − ������ 2 2
������ = arctan
2 ������0
2������������ − ������ 2
可见摆轮受迫振动总是滞后于激励源支座的振动。 (3) 波耳共振仪的受迫振动运动方程和解 波耳共振仪中,偏心轮的偏心半径为������,偏心轮的电机角速度 为������,则弹簧支座的偏转角一阶近似为 ������ ������ ������ = ������������ cos ������������ = cos ������������ ������ 可见支座是弹簧运动的激励源。则弹簧形变的总转角为 ������ − ������������ cos ������������。而������ 正是摆轮相对于固定坐标系的转角。则对 于摆轮,它的运动方程为 ������ 2 ������ ������������ ������ 2 + ������ + ������ ������ − ������������ cos ������������ = 0 ������������ ������������
1 2������ 1 ������
同样也可求得。 同时, =−
������������ ������

(4) 测定受迫振动的幅频特性和相频特性曲线 开启电机开关, 开关臵于 “强迫力” , 周期选择臵于 “1 ” , 调节强迫激励周期旋钮改变电机运动角频率������,依然选择阻 尼状态“3”和“4” ,测定幅频、相频数据点。每次调节电 机状态后, 摆轮要经过多次摆动后振幅和周期才能稳定, 这 时再记录数据。每条曲线至少12个数据点,包括位移共振 点,即������ = 的点,并求:
,可以推出������0 =
2������ ������������ 1−������
2
= ,是阻尼振动振幅衰减到原来 ������−1 需要
,是系统共振锐度或频率选择性的量度。
������������ ������
6. 对数缩减率Λ =
=
2������������ 1−������ 2
,定义为衰减阻尼振动中相邻两
−0.5
,如果测量一组
������������ 的值,则它们的自然对数 ln ������������ 是等差级数,级差正是 ������ = −������������������ ,此时������ 的表达式为 ������ = 而������ = −
������ ������������
2������ −������
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