静电场中的导体14

感应电荷
导体达到静电平衡
E 感
E内 E外 E感 0
ห้องสมุดไป่ตู้
+ + + + +
+ E外
+ + + +
感应电荷
静电平衡条件： （1）导体内部任何一点处的电场强度为零； （2）导体表面处电场强度的方向，都与导 体表面垂直.
E
推论：导体为等势体
导体内各点电势相等
E0
U AB
E dl
AB
0
导体表面为等势面
（1）封闭导体壳（不论接地与否）内部不受外 电场的影响；
E
被保护设备
E
（2）接地封闭导体壳（或金属丝网）外部不受壳 内带电体的影响＋。
被
保
＋
护
设
备
导体B的电势是升高还是降低？
－
＋
＋
－－
＋＋
A
B
导体N的正电荷还是负电荷入地？
M
N
－
＋ ＋＋
－ －－
例题、将一点电荷q放置于一不带电的导体球附近，点电荷距 离球心为d，球体的半径为R，求球心O处的电场强度和电势。
电荷分布在表面
内表面？ 外表面？
高斯 面
S
E dS
qi 0
S
ε0
若内表面带电，必等量异号
U AB AB E dl 0
与导体是等势体矛盾
高斯
面
++
+
+
＋
A
+
+
+
－
B
+
S+
+
结论：空腔内无电荷时，电荷分布在外表面, 内表面无电荷.
空腔内有电荷时
SE dS 0
qi 0
高斯 q面
+q -q
2q
q
q
E3 0
(R1 r R2 )
E4
2q
4π
0r
2
(R1 r)
VO 0 E dl
R3
R2 R1
R3 0
E1
dl
R2 R3
E2
dl
R1 R2
E3
dl
R1 E4 dl
VO
q
4π 0
1 ( R3
1 R2
2 )
R1
2.31103 V
例、 在内外半径分别为R1和R2的导体球壳内，有一个半 径为r 的导体小球，小球与球壳同心，让小球与球壳分别
静电场中的导体
一、导体
1、导体：具有大量能够自由移动的带电粒子（载流 子），能够很好地传导电流的物质。
根据载流子的不同，可将常见导体分为两类： （1）依靠自由电子导电，如金属等； （2）依靠自由离子导电，如酸、碱、盐溶液等。
我们主要讨论金属导体。
金属是由带正电的离子点阵和带负电的自由电 子组成，其自由电子的浓度约为1022/cm3，因而 电阻率是很低的。
R
＋
－ －q
q
＋q ＋＋
O
－－ d
例 如图所示,导体球附近有一点电荷q 。 求 接地后导体球上感应电荷的电量 解 设感应电荷的电量为Q
l
0
接地 即
R
o
q
由导体是个等势体
O点的电势为0 则
例 两球半径分别为R1、R2，带电量q1、q2，设两球相距很远， 当用导线将彼此连接时，电荷将如何 分布？
解 设用导线连接后，两球带
R1
R2
电量为
q1
q2
思考 如果两球相距较近，结果怎样？
例题、内外半径分别为R1和R2的导体球壳带电Q，在 偏离其中心为b处放置一点电荷q，求其中心处O的电 势。
Ob q
R1 R2
例 有一外半径 R1 10cm 和内半径 R2 7cm 的金属球壳，在球壳内放一半径 R3 5cm 的同心金 属球，若使球壳和金属球均带有 q 108 C 的正电荷，
带上电荷量q和Q。试求：
（1）
小球的电势Vr，球壳内、外表面的电势； 小球与球壳之间的电势差；
（2）
（3） 若将小球与球壳用导线连接起来，求球壳的电势。
（4） 若球壳接地，求小球与球壳的电势差。
Q q R2
r R1
解：（1）由对称性可以肯定，小球表面上和球壳 内外表面上的电荷分布是均匀的。小球上的电荷q 将在球壳的内外表面上感应出-q和＋q的电荷，而 Q只能分布在球壳的外表面上，故球壳外表面上的 总电荷量为q+Q。
小球和球壳内外表面的电势分别为
1 q q qQ
Vr
4 0
r
R1
R2
1 q q qQ qQ
VR1
4 0
R1
R1
R2
40R2
VR2
1
40
q R2
q R2
q
Q R2
qQ
4 0 R2
球壳内外表面的电势相等。
（2）两球的电势差为
Vr
VR
q
40
1 r
1 R1
（3）若外球壳接地，则球壳外表面上的电荷消
失。两球的电势分别为
Vr
q
40
1 r
1 R1
VR1 VR2 0
两球的电势差仍为
Vr
VR
q
40
1 r
1 R1
R2
r R1
由结果可以看出，不管外球壳接地与否，两球的电势差恒
保持不变。当q为正值时，小球的电势高于球壳；当q为负值时， 小球的电势低于球壳, 与小球在壳内的位置无关，如果两球用 导线相连或小球与球壳相接触，则不论q是正是负，也不管球 壳是否带电，电荷q总是全部迁移到球壳的外边面上，直到VrVR=0为止。
E dl
U AB
E dl
AB
0
en
+
E dl
+A +
+
B
eτ
+
+
三 静电平衡时导体上电荷的分布
1 实心导体
E0
E dS 0
q
S
ε0
q 0
高斯
面
++ + +
+ +
S+
+
++
结论：导体内部无净电荷， 电荷只分布在导体表面.
2 空腔导体 空腔内无电荷时
SE dS 0 qi 0 i
问 两球体上的电荷如何分布？各区域的电场强度为
多少？球心处的电势为多少？
解 根据静电平衡的条件求电荷分布
作球形高斯面 S1
q
E1 0 (r R3 )
R3
作球形高斯面 S 2 r R2 , S2 E2
dS
q
0
q
E2 4π 0r 2
rS2 q R3 S1 R2 R1
E1 0 (r R3)
S
结论: 空腔内有电荷+q时，空腔内表面有感 应电荷-q，外表面有感应电荷+q．
3 导体表面附近场强与电荷面密度的关系
作扁圆柱形高斯面
SE dS ES
σS / ε0
E σ ε0
S
+ + ++
+ + E0
+
4、导体表面上的电荷分布情况，不仅与导体表面 形状有关，还和它周围存在的其他带电体有关。
对于静电场中的孤立导体，导体表面的电荷面 密度的大小与该处表面的曲率有关。
电荷面密度大
电荷面密度较小
电荷面密度更小
A B C
B
孤立
A
导体
C
尖端放电 尖端场强特别强，足以使周围空气分子电离
而使空气被击穿，导致“尖端放电”。
——形成“电风”
电荷面密度大
＋＋
＋
＋
＋
＋
＋＋ ＋
＋ ＋＋
E 0
5、静电屏蔽
E2
4π
q
0r2
(R3 r R2 )
根据静电平衡条件
E3
0(
R1
r
R2
)
S3
E3
dS
i
qi 0 0
2q
S4
S3
q
q
r
r R3
R2 R1
r
E4
R1
, S4 E4 2q
4π 0r 2
dS (R1
i
qi r)
0 2q 0
E1 0
(r R3 )
E2
4π
q
0r2
(R3 r R2 )