静电场中的导体14
大学物理 静电场中的导体
物理学
中册
〈2〉作高斯面如图
E2
由高斯定理：
s
E
dS
E2S
1
0
S
S
导体内 E0
地面
E 8.85 1012 100 02 8.85 1010(C m2 )
32
而 E 0 仍然成立。
12
物理学 〈2〉无限大带电平面： E 20 中册
带电导体表面附近： E 0
2 1
E
E
E
dS
2ES
S
s
0
是否矛盾？
S
几何面
2
导体内 E0
1
E
S
如果计及带电面的厚度
式中 1 2 21
E
dS
ES
S
s
0
这里的E不单是一个带电
平面产生的。
式中 1 ，不产生矛盾。
13
物理学 3. 孤立导体 与表面曲率有关 .
中册
尖端放电现象及其应用
注意: 此结论只适用
于孤立凸导体。 三. 有导体存在时的 E, U 分布
求解思路：
静电平衡条件 导体上的
计算 E, U 分布
电荷守恒定律
电荷分布 （ 方法同前 ）
14
物理学
中册
原 则
三、有导体存在时静电场的计算
1.静电平衡 的条件
E dS
ES
1
S
s
S
S' E内 0
S侧 cos 0
0
11
物理学
中册
思考：
SP E
E
S ' S
0
E 0
E n
0
〈1〉设带电导体表面某点电荷密度为 ，外侧附近场 强 E 0 ，现将另一带电体移近，该点场强是否
静电场中的导体
R2
− q′ + q′
R 1
Q + q′
R2
R3
附录: 附录:证明
1 σ∝ Rl >> R1 导线
R2
Q2
R2
证明: 证明: 用导线连接两导体球
则 VR1 = VR2
Q2 = 即 4πε0R 4πε0R2 1
Q σ3 = − Q 联立求解： 联立求解： σ1 = 0 σ2 = S S EA = EC = 0 EB = Q εoS
若第二块板原来带有电荷Q’，现让其接地，结果如何？ 现让其接地，结果如何？
半径为R的金属球与地相连接 在与球心相距d=2R 的金属球与地相连接,在与球心相距 例2 半径为 的金属球与地相连接 在与球心相距 处有一点电荷q(>0),问球上的感应电荷 q'=? 处有一点电荷 问球上的感应电荷 解： 利用金属球是等势 球体上处处电势: 球体上处处电势 U= 0 球心处： 球心处：
r r r r ∫ E ⋅ ds = ∫ E内 ⋅ ds = 0 体内无净电荷！ ∴ ∑ q内 = 0 即：体内无净电荷！
2 空腔导体 ,空腔内无电荷时
A B
内表面？ 内表面？ 外表面？ 外表面？
v v ∫ E⋅dS = 0
S
∑q = 0
i
若内表面带电, 若内表面带电,必等量异号
UAB = ∫
AB
3. 导体表面附近的场强
σ∆S
在导体表面上任取面元∆ 在导体表面上任取面元∆S, 如图作底面积为∆ 的高斯柱面,轴线垂直∆ 如图作底面积为∆S的高斯柱面,轴线垂直∆S 则有： 则有：r r r r r r0 r 0 r
静电场中的导体
电风实验
++ ++
+ +
+ +
32
小结： 静电平衡导体的电荷分布 1、实心导体内部无电荷。
Q 1 4 2S Q 2 3 2S
场强分布：
A 板左侧
A
B
1 Q E 0 2 0 S
2 3 Q E 0 0 2 0 S
1 2 3 4 E E E
两板之间
B 板右侧
4 Q E 0 2 0 S
应用：精密测量上的仪器屏蔽罩、屏蔽室、高压 带电作业人员的屏蔽服（均压服）等。
正误题：
1、导体放入电场中，自由电荷要重新分布。两端感应 出的正负电荷一定相等。此时，导体两端的电势相等， 但符号相反。 E 2、带电导体表面附近的电场强度 方向总是与表面 0 垂直，与外部是否存在其它带电体无关； 3、将带+Q的导体A移近不带电的孤立导体B时，B的电势将 升高；如果B是接地的，则B的电势就保持不变，且UB=0 4、导体静电平衡时，内部场强必为零。
静电场中的导体和电介质
主要内容： 导体静电平衡条件和性质
▲
电场中导体和电介质的电学性质 有电介质时的高斯定理 电容器的性质和计算 静电场的能量
▲ ▲
▲
静电场中的导体
Effects of Conductor in Electrostatic Field
一、静电感应
大学物理-静电场中的导体
E内= 0 等势体
静电平衡时的导体
接地 ：取得与无限远相同的电势 通常取为零）。 （通常取为零）。
6
半径为R的金属球与地相连接 的金属球与地相连接， 例1. 半径为 的金属球与地相连接，在与球心 相距d=2R处有一点电荷 处有一点电荷q(>0)，问球上的 相距 处有一点电荷 ， 感应电荷 q'=? q'？q =
q3
q2 q1
B
R1 R2
A
R3
22
解: （1）当球体和球壳为一般带电体时 ） 用高斯定理可求得场强分布为
r −R E3 = (q1 + 3 Q) ( R2 ≤ r ≤ R3 ) 2 4πε0r R3 − R 1
3 3 2 3 2
4πε0 R q1 E2 = 2 4πε0r
E1 =
q1
3 1
r
(r ≤ R1 )
E = σ / εo
1 3.面电荷密度正比于表面曲率 σ ∝ R 面电荷密度正比于表面曲率
31
例4-2 （3）如果外壳接地，情况如何？ ）如果外壳接地，情况如何？ （4）如果内球接地，情况又如何？ ）如果内球接地，情况又如何？ （3）如果外壳接地 ） 则： 外壳电势= 外壳电势= 无穷远处电势 =0 外壳带电量= 外壳带电量=Q’
S
ε0 V
S 是任意的。 是任意的。 令S→ 0，则必有ρ 内 = 0。 。
8
必为零。 2.导体壳： 外可不为零，但σ内 和 E内必为零。 导体壳： 可不为零， 导体壳 σ
σ内 = 0
E内 = 0
S内
σ外
理由： 理由： 在导体中包围空腔选取 高斯面S 高斯面 ， 则：
S
r r ∫ E导内 ⋅ d s = 0
静电场中的导体
分布在导体的表面上。
4、导体以外，靠近导体表面附近处的场强大小与导 体表面在该处的面电荷密度 的关系
E 0
二
静电平衡时导体上电荷的分布
1、 实心导体
+
+ + + +
E 0
+
S
+ + +
+
q E dS 0
S
0
q 0
结论： 导体内部无电荷，电荷只能分布
q
+
q
+
+
q
+
实验验证
外表面所带感应电荷全部入地
总结： 空腔导体（无论接地与否）将使腔内不
受外场影响。
接地空腔导体将使外部空间不受腔内电
场的影响。
四 有导体存在时场强和电势的计算
电荷守恒定律 电荷分布
静电平衡条件
E U
例1、有一外半径R1，内半径为R2的金属球壳。在球壳 中放一半径为R3的金属球，球壳和球均带有电量10-8C的 正电荷。问：（1）两球电荷分布。（2）球心的电势。 （3）球壳电势。 + + + 解：(1)、电荷+q分布在内球表面。 + - + 球壳内表面带电-q。
S A+ +
A
+
+
B+ B +
+ +
+
b、空腔内有带电体
E dS 0
S1
q
i
0
电荷分布在表面上
思考： 内表面上有电荷吗？
E dS 0 qi 0
静电场中的导体
一、导体的静电平衡条件
+
++++ + + + +
感应电荷
静电平衡条件
导体 内部 的场
E0
E E0 E'
E'
静电平衡时
E E' E0
E E0 E' 0
外场
E0
•静电平衡条件： 导 感应场 E '
体内部场强为0。
导体内部的场 E
二、处于静电平衡的导体的性质
1.静电平衡时导体为等势体，导体表面 为等势面。
R2 R3
(1)球壳B内、外表面上的电量及球A和球壳B的电势
(2)将球壳B接地然后断开，再把金属球A接地，求金 属球A和球壳B内、外表面上各带有的电量以及球A 和球壳B的电势
• 例:有一块大金属平板,面 积为S,带有总电量Q,在 其近旁平等放置第二块 大金属板,此板原来不带 电.求静电平衡时,金属板 上的电荷 分布及其空间
如尖端放电
三、静电空腔内表面无电荷,全部电 荷分布于外表面。
证明：在导体内作高斯面
S
E
dS
q
0
导体内 E 0, q 0
面内电荷是否会等量异号？
如在内表面存在等量异号 电荷，则腔内有电力线， 电势沿电力线降落，所以 导体不是等势体，与静电 平衡条件矛盾。
所以内表面无电荷，所有电荷分布于外表 面。
• 不管外电场如何变化，由于导体表面电 荷的重新分布，总要使内部场强为 0。
• 空腔导体具有静电屏蔽作用。例如：高 压带电作业人员穿的导电纤维编织的工 作服。
2.腔内有电荷
空腔原带有电荷 Q ，将 q 电荷放入空腔内。 结论：
静电场中的导体
导体上的电荷分布
V 1 Q 1 q
4 0 R 4 0 r
Q R
q
r
可见大球所带电量Q比小球所带电量q多。
两球的电荷密度分别为
R
Q
4R2
,
r
q
4r 2
可见电荷面密度和半径成反比，即曲率半径 愈小（或曲率愈大），电荷面密度愈大。
导体上的电荷分布
例1. 证明两无限大平行金属板达到静电平衡时，其相对 两面带等量异号电荷，相背两面带等量同号电荷。
§9-1 静电场中的导体
1.导体的静电平衡
静电感应： 在静电场力作用下，导体中自由电子在电场力的作 用下作宏观定向运动，使电荷产生重新分布的现象。
导体的静电平衡
导体的静电感应过程
导体的静电平衡
导体达到静电平衡
E 感
E外 E感 0
+
+
+ E外
+ +
导体的静电平衡
静电平衡： 导体中电荷的宏观定向运动终止，电 荷分布不随时间改变。
证明：从左至右一共有四个带电平
面，设其所带电荷的面密度依次 为1、2、3、4。
以向右作为电场正向。
1 2
左边导体中任意一点的场强：
E 1 2 3 4 0 20 20 20 20
3 4
导体上的电荷分布
在右边导体中任取一点，则该点
E 1 2 3 4 0 20 20 20 20
2 3
2.2 空腔导体
（1）腔内无带电体： 电荷分布在导体表面，导体
内部及腔体的内表面处处无净电 荷。
+ + + ++ + +
+ +
第14章-大学物理静电场中的导体
***物质分类***9导体•导体内存在大量的自由电子（在晶格离子的正电背景下）•导体的电中性与带电状态；自由电子的热运动9绝缘体•与导体相对，绝缘体内没有可自由移动的电子半导体•导体、电介质（绝缘体和半导体）与静电场作用的物理机制各不相同半导体内有少量的可自由移动的电荷用的物理机制各不相同。
14静电场中的导体体第14 章静电场中的导1414--1 导体的静电平衡性质1414--2 静电平衡的导体上的电荷分布1414--3 有导体存在时静电场的分析与计算1414--4 静电屏蔽§（实心）导体的静电平衡性质静电感应一、导体的静电平衡状态静电感应：在外电场作用下，导体内自电有宏体表由电子有宏观移动，导体表面出现宏观电荷分布的现象。
+-静电平衡：-F -+++--0'0E E E =+=当导体内部和表面都没有宏观的电荷移动时，导体处于静电此时感应电荷产生的E+-平衡。
此时，感应电荷产生的附加电场与外加电场在导体内部相抵消部相抵消。
二、导体的静电平衡条件（1）导体内部，场强处处为零。
否则，自由电子将继续有宏观移动。
0'E E E =+ 0=（2）导体表面外的场强垂直于导体的表面。
否则，自由电子将继续沿表面宏观移动。
E-F在导体内任意两点间的电势差为三、导体的电势在导体内任意两点间的电势差为：a•∫⋅−=−)()(d b a a b lE V V=b•a bV V = ,0 )1(=E•处于静电平衡时，导体中各点导体内部；电势相等；•导体成为等势体，导体表面为(2) d 0,E l ⋅= 导体表面等势面。
导体表面。
四、导体上电荷的分布1. 电荷只分布在导体表面上，导体内部处处不带电在导体内任取高斯面由高斯定在导体内任取一高斯面S ，由高斯定理：++++++d 0SE S ⋅=∫0=E S+++++0=E 0d ==∫∑V q Vρ内+++++++++内S 内∵高斯面为任意形状0=ρ（导体内部）导体内部没有净电荷，电荷只能分布在导体表面。
静电场中的导体
静电场中的导体2.1 填空题2.1.1 一带正电小球移近不带电导体时，小球将受到（ ）力作用；一带负电小球移近不带电导体时，小球将受到（ ）力作用；一带正电小球靠近不带电的接地导体时，小球将受到（ ）力作用。
2.1.2 在一个带正电的大导体附近P 点放置一个点电荷q(电荷q 不是足够小)，实际测得它的受力为F ，如果q>0, 则F/q 与P 点场强E 0关系为（ ），如果q<0, 则F/q 与P 点场强关系为( )2.1.3 导体在静电场中达到静电平衡的条件是（ ）和（ ）。
2.1.4 导体处于静电平衡状态时，导体内部电荷体密度（ ），电荷只能分布在（ ）。
2.1.5 导体处于静电平衡状态时，导体是（ ）体，表面是（ ）面。
2.1.6 接地导体的电势等于（ ），地球与（ ）等电势。
2.1.7 一导体球壳，内外半径分别为R 1和R 2，带电q ，球壳内还有一点电荷q ，则导体球壳的电势是（ ）。
2.1.8 一点电荷q 放在一接地的无限大导电平面附近，则导电平面上的总电量为（ ）。
2.1.9 将一个点电荷+q 移近一个不带电的导体B 时，则导体B 的电势将（ ）。
2.1.10 一封闭导体壳C 内有一些分别带q 1、q 2…的带电体，导体壳C 外也有一些分别带Q 1、Q 2…的带电体，则q 1、q 2…的大小对导体壳C 外的电场强度（ ）影响，对C 外的电势（ ）影响；Q 1、Q 2…的大小对导体壳C 内的电场强度（ ）影响，对C 内的电势（ ）影响。
2.1.11 两个同心导体球壳A 、B ，若内球B 上带电q ，则电荷在其表面上的分布呈（ ）分布；当从外边把另一带电体移近这两个同心球时，则内球B 上的分布呈（ ）分布。
2.1.12 两导体球半径分别为r A 和r B ，A 球带电q ，B 球不带电，现用一细导线连接，则分布在两球上的电荷之比Q A ∶Q B （ ）。
2.1.13 在带等量异号电荷的二平行板间的均匀电场中，一个电子由静止自负极板释放，经t 时间抵达相隔d 的正极板，则两极板间的电场为（ ），电子撞击正极板的动能为（ ）。
静电场中的导体
R1 r R2
E3
1
4
0
Q q/ r2
U
R1
E.dr
R2 R1
E2.dr
R2 E3.dr 0
r R2
q/
4 0
1 R1
1 R2
1
4 0
Q q/ R2
0,
解得
q
R 1
Q
R
2
故外球壳外表面荷电 Q q/ Q R1 Q
R2
17
10
例8－１4 如图所示，一带正电Q的点电荷离半径为R的金属球壳 外的距离为d，求金属球壳上的感应电荷在球心O处的场强。
q/
R
r
E0 0 E/ d
Q
解 以球心为坐标原点，球心指向点电荷的方向为矢径方向，则
点电荷在球心处的场强
Q
E0 4 0 (R d )2 r0
又
E E/ E 0
内
0
q
总之，导体壳内部电场不受壳外电荷的影响，接地导体使 得外部电场不受壳内电荷的影响。这种现象称为静电屏蔽。
12
２、尖端放电
在带电尖端附近，电离的分子与周围分子碰撞，使周围的 分子处于激发态发光而产生电晕现象。
+ +
++ +++
+ +
+++
+
尖端效应在大多数情况下是有害的：如高压电线上的电晕， 故此，高压设备中的金属柄都做成光滑的球形。
△s面上σ均匀， E1=常矢 ，且垂直于导体表面，又E内＝０
e
E表
E s1 1
0
ds
s
静电场中导体
q
S内
i
0
由于高斯面 S 可取得任意小，所以导 体内无净电荷分布。
2. 静电平衡导体， 其表面附近场强的大 ---- - - E S P 小与该处表面的电荷 面密度成正比。 + +S ' + +
+ + ++ + + ++ + +
S '
dS E dS E dS E dS E S S ' 侧面
1. 孤立带电导体接地时，为什么所有 电荷会流向地球？
2. 地球的电势为何视为零？
Q R q r
1 Q VR 40 R
尖端放电现象：
+ + + + +
避害：避雷针的使用等。
趋利：电焊，静电喷漆， 电子点火等。
§13-4 空腔导体内外的静电场 静电屏蔽
一、空腔导体内外的静电场 1. 空腔内没有电荷 空腔内没有电荷时，电荷只能分布 在导体外表面。空腔内没有电场分布。
P
σ
3. 孤立导体静电平衡时,表面曲率越 大的地方,电荷面密度越大。
+ + + + + + + + + + + +
以下例定性说明。
例: 设有两个相距很远的带电导体球， 半径分别为 R 和 r (R >r)，用一导线将两 球相连, 哪个球带电量大？哪个球的面电 荷密度大？
R
Q
r q
R 解：设系统达到静电平衡时，两球的 带电量分别为Q 和 q , 两球的电势
大学物理 第四章静电场中的导体
R3
∞
ϕr = ∫r E2dr + ∫R E3dr + ∫R E4dr ( R1 ≤ r ≤ R2 )
2 3
R2
R3
∞
ϕr = ∫r E3dr + ∫R E4dr
3
R3
∞
( R2 ≤ r ≤ R3 )
ϕr = ∫ E4dr r
∞
(r ≥ R3 )
16
（2）如果球体和球 ） 壳均为导体， 壳均为导体， 再求电场分布 和电势分布。 和电势分布。 球体内
− − −
+ + +
E
① 所带电荷在带电体上可以自由移动 ② 电荷体密度 ρ = 0 ，电荷只能分布在表面 2 （ 静 电 平 衡 状 态 时）
一、静电感应(Electrostatic Induction) 静电感应
当导体受到外电场作用时， 当导体受到外电场作用时，不论导体原来 是否带电，导体中的运动电荷， 是否带电，导体中的运动电荷，在外电场力 的作用下，将相对于晶体点阵作宏观运动， 的作用下，将相对于晶体点阵作宏观运动， 引起导体上电荷重新分布的现象，称为静电 引起导体上电荷重新分布的现象， 感应现象。 感应现象。
0
∞
= ∫ E2dr + ∫ E4dr
r R3
20
R2
∞
球壳中
( R2 ≤ r ≤ R3 )
R3
ϕr = ∫ E3dr + ∫ E4dr = ∫ E4dr r R
3
0
∞
∞
R3
球壳外
(r ≥ R3 ) ϕr = ∫r E4dr
∞
21
导体接地
接地点的电势等于零。 接地点的电势等于零。
静电场中的导体
静电：静电是一种处于静止状态的电荷。
在干燥和多风的秋天，在日常生活中，人们常常会碰到这种现象：晚上脱衣服睡觉时，黑暗中常听到噼啪的声响，而且伴有蓝光；见面握手时，手指刚一接触到对方，会突然感到指尖针刺般刺痛，令人大惊失色；早上起来梳头时，头发会经常“飘”起来，越理越乱；拉门把手、开水龙头时都会“触电”，时常发出“啪”的声响，这就是发生在人体的静电。
静电场：静电场，指的是观察者与电荷量不随时间发生变化的电荷相对静止时所观察到的电场。
它是电荷周围空间存在的一种特殊形态的物质，其基本特征是对置于其中的静止电荷有力的作用。
库仑定律描述了这个力。
定义：由静止电荷(相对于观察者静止的电荷)激发的电场。
性质：根据静电场的高斯定理：静电场的电场线起于正电荷或无穷远,终止于负电荷或无穷远，故静电场是有源场．从安培环路定理来说它是一个无旋场．根据环量定理，静电场中环量恒等于零,表明静电场中沿任意闭合路径移动电荷，电场力所做的功都为零，因此静电场是保守场．根据库仑定律，两个点电荷之间的作用力跟它们的电荷量的乘积成正比，和它们距离的平方成反比，作用力的方向在它们的连线上，即F=（k·q1q2）/r2;,其中q1、q2为两电荷的电荷量（不计正负性）、k为静电力常量，约为9.0e+09（牛顿·米2）/（库伦2;），r为两电荷中心点连线的距离。
注意，点电荷是不考虑其尺寸、形状和电荷分布情况的带电体。
是实际带电体的理想化模型。
当带电体的距离比它们的大小大得多时，带电体的形状和大小可以忽略不计的点电荷。
静电感应：一个带电的物体靠近另一个导体时，两个导体的电荷分布发生明显的变化，物理学中把这种现象叫做静电感应。
如果电场中存在导体，在电场力的作用下出现静电感应现象,使原来中和的正、负电荷分离,出现在导体表面上。
这些电荷称为感应电荷。
总的电场是感应电荷与自由电荷共同作用结果。
达到平衡时，导体内部的场强处处为零,导体是一个等势体，导体表面是等势面，感应电荷都分布在导体外表面，导体表面的电场方向处处与导体表面垂直。
静电场中的导体习题
《静电场中的导体》习题一、判断题1、在带正电的导体A附近，有一不接地的中性导体B，则A离B越近时，A的电位越低。
[]2、接地导体，其表面必处处无电荷。
[]3、静电平衡时，电力线不能由导体一端的正电荷发出而终止于该导体另一端的负电荷。
[]4、静电感应达到平衡时，凡是接地导体必不带电。
[]5、由于静电感应，在导体表面的不同区域出现异号电荷，因而导体不再是等位体。
[]6、由于中性导体壳B对带电体A的屏蔽作用，带电体A的电场将对验电器C无影响。
[]7、由于静电屏蔽作用，空腔导体内的带电体在腔外产生的场强为零。
[]8、静电平衡时，导体表面是等位面，所以导体表面附近的场强大小处处相等。
[]二、选择题：1、在串联电容电路中，若电压逐渐升高，对耐压值相同的电容器来说，先击穿的将是[ ]A、电容值小的B、电容值大的C、同时击穿D、无法确定2、在一个带正电荷，电量为Q的大导体附近P点放一个带电量也为Q的点电荷，若此时点电荷受到的斥力大小为F，则F/Q与未放置此点电荷时场强E相比( )A、大于B、相等C、小于3、在一带电为Q的导体壳A内有一接地的导体球B，A与B不接触，静电平衡时导体球B上所带电量q,则q为( )A、零；q<;B、符号与Q相反，且Qq<C、符号与Q相同，且Q4、两个同心得均匀带电球面，半径分别为R1和R2，且R2=2R1，内球面带正电荷q1，要使内球面的电位为正值，则外球面的电量q2必须满足[ ]A 、q 2>-q 1B 、q 2>-2q 1C 、q 2=-2q 1D 、q 2<-2q 15、平行板电容器充电后与电源断开，然后使极板间距增大，则[ ]A 、C ↑U ↓E ↓B 、C ↓U ↑E ↑C 、C ↓U ↑E 不变D 、C ↑U ↓E 不变 6、如图所示，三个无限大均匀带电平面，面电荷密度均为σ，相互平行放置，E 沿x 正方向为正，则P 点的E 为[ ]A 、εσ-23B 、023εσ C 、02εσ- D 、02εσ 6、如图所示，已知C 1=6μF ，C 2=3μF ，R 1=6Ω，R 2=3Ω，若U de =18V ，则a 、b 两点间的电压为[ ]A 、0B 、-6VC 、6VD 、12V7、中性金属球壳A 内有一带电体B ，如图所示各个电场线图中，哪一个图正确地表示出球壳内外的场强分布[ ]8、如图 所示，导体空腔腔内有一电荷q 和测量仪器A ，腔外有一电荷Q 和测量仪器B ，则测量仪器测得的结果是[ ]A 、只测到q 的场，B 只测到Q 的场B 、A 只测到q 的场，B 能测到q 和Q 的场C 、A 能测到q 和Q 的场，B 只能测到Q 的场D 、A 能测到q 和Q 的场，B 也能测到q 和Q 的场9、在一金属壳的内部放一点电荷(不在导体壳中心)，则金属壳内外电场分布( )(1)内、外场强分布均匀(2)内场强不均匀，外场强均匀 (3)内外场强分布都不均匀(4)内场强均匀，外场强不均匀10、如右图所示，将一个带正电的金属小球移近一个绝缘的不带电的导体时，则( )(1)A 端电势高 (2)B 端电势高 (3)电势相等 (4)电势相等11、有两个半径均为R ，分别带电+Q 和-Q 的金属球，球心相距为d ，(d>R)，它们的相互作用力大小为F 1。
静电场中的导体
物理学
势面。
1.2 静电平衡导体上的电荷分布
（1）导体内部各处的净电荷为零， 电荷只分布在导体的表面
如下图所示，由于导体内的电场强度E处处为零，所以通 过导体内任意高斯面的电通量为零，即
S E dS 0
根据高斯定理可知，此时高斯面 所包围的电荷量的代数和必然为零。 因为此高斯面是任意的，因此可得上 述表述是正确的。
若把金属导体放在外电场中，导体内部的自由电子在电 场力的作用下作宏观定向运动，从而使导体内正负电荷重新 分布。这种在外电场作用下，引起导体中电荷重新分布而呈 现出的带电现象，称为静电感应现象。
2．静电平衡条件
如下图所示，在电场强度为E0的匀强电场中放入一块金 属板。在电场力的驱动下，金属内部的电子逆着外电场的方
E dS E dS+ E dS+ E dS
S
上底
ห้องสมุดไป่ตู้
下底
侧面
E S +0 S +E S cos E S 2
此高斯面包围的净电荷为σΔS，根据高斯定理有
所以
ES S 0
E0
由上式可知，在静电平衡时，导体表面上各处的面电荷密 度与该表面外附近处的场强的大小成正比。
（3）孤立的导体处于静电平衡时，它的表面 各处的电荷面密度与各处表面的曲率有关，曲 率越大的地方，电荷面密度越大
对于腔内有带电体的空腔导体，如右图所示，空腔内表面 必定带有与腔内带电体等量异号的电荷，外表面带有与腔内带 电体等量同号的电荷。若导体接地，则空腔内带电体的电荷变 化将不再影响导体外的电场。
如下图所示，对于在腔内带电体的空腔导体外还有一带 电体B，由于静电感应，空腔导体外表面上的电荷及其带电 体B上的电荷将重新分布。静电平衡时，空腔导体有如下特 点：
第十章静电场中的导体与电介质2014版答案
第十章 静电场中的导体和电介质一．选择题［B ］1、（基训2） 一“无限大”均匀带电平面A ，其附近放一与它平行的有一定厚度的“无限大”平面导体板B ，如图所示．已知A 上的电荷面密度为+σ ，则在导体板B 的两个表面1和2上的感生电荷面密度为： (A) σ 1 = - σ， σ 2 = + σ． (B) σ 1 = σ21-， σ 2 =σ21+． (C) σ 1 = σ21-， σ 1 = σ21-． (D) σ 1 = - σ， σ 2 = 0． 【解析】 由静电平衡平面导体板B 内部的场强为零，同时根据原平面导体板B 电量为零可以列出σ 1S+σ 2S=0022202010=-+εσεσεσ[ C ]2、（基训3）在一个原来不带电的外表面为球形的空腔导体A 内，放有一带电量为+Q 的带电导体B ，如图10-5所示，则比较空腔导体A 的电势U A 和导体B 的电势U B 时，可得以下结论：(A) U A = U B ． (B) U A > U B ． (C) U A < U B ． (D) 因空腔形状不是球形，两者无法比较．【解析】由静电感应现象，空腔导体A 内表面带等量负电荷，A 、B 间电场线如图所示，而电场线总是指向电势降低的方向），因此U B >U A 。
［C ］3、（基训6）半径为R 的金属球与地连接。
在与球心O 相距d =2R 处有一电荷为q 的点电荷。
如图16所示，设地的电势为零，则球上的感生电荷q '为：(A) 0． (B) 2q ． (C) -2q． (D) -q ．【解析】利用金属球是等势体，球体上处电势为零。
球心电势也为零。
0442q o o dq qR R πεπε''+=⎰ R qR q d o q oo 244πεπε-='⎰'RqR q 2-=' 2qq -='∴［C ］4、（基训8）两只电容器，C 1 = 8 μF ，C 2 = 2 μF ，分别把它们充电到 1000 V ，然后将它们反接(如图10-8所示)，此时两极板间的电势差为： (A) 0 V ． (B) 200 V ． (C) 600 V ． (D) 1000 V AB+σσ1σ2OR dqC 1C2【解析】 C U C U C Q Q Q 32121106-⨯=-=-=V FC C C Q C Q U 600101106''5321=⨯⨯=+==-- ［B ］5、（自测4）一导体球外充满相对介电常量为r ε的均匀电介质，若测得导体表面附近场强为E ，则导体球面上的自由电荷面密度0σ为(A) E 0ε． (B) E r εε0 ． (C) E r ε． (D) E r )(00εεε- 【解析】导体表面附近场强ro o E εεσεσ0==,E r o εεσ0=. ［ B ］6、（自测7）一个大平行板电容器水平放置，两极板间的一半空间充有各向同性均匀电介质，另一半为空气，如图．当两极板带上恒定的等量异号电荷时，有一个质量为m 、带电荷为+q 的质点，在极板间的空气区域中处于平衡．此后，若把电介质抽去 ，则该质点(A) 保持不动． (B) 向上运动． (C) 向下运动． (D) 是否运动不能确定．【解析】在抽出介质前，相当于左右两半两个“电容器”并联，由于这两个“电容器”电压相等，而右半边的电容又小于左半边的，因此由q=CU 公式可知，右半边极板的带电量小于左半边的。
静电场中的导体
Q
• q 在O点的电势
u1
q
4 0l
• Q 在O点的电势 O点的电势为0
u2
dq
4 0 R
Q
4 0 R
u2 u2 0
QRq l
例 两球半径分别为R1、R2，带电量q1、q2，设两球相距很远， 当用导线将彼此连接时，电荷将如何 分布？
R1
R2
q1 q2
q1
q2
解 设用导线连接后，两球带电量之和守恒 q1 q2 q1 q2
E1
q1
40r 2
u1
Edr
q1
R1
4 0 R1
E2
q2
40r 2
u2
Edr
q2
R2
4 0 R2
1 R2 2 R1
思考 如果两球相距较近，结果怎样？
例 已知导体球壳 A 带电量为Q ，导体球 B 带电量为 q 求 (1) 将A接地后再断开，电荷和电势的分布；
(2) 再将B接地，电荷的分布。
2. 电荷分布在内外表面
+
+ e 0
+
+ S q内 0
+
+
+
+
+
e
++0
-
+
+
-+
+ +
-
q内
0
-
+
E
++ ++
++
3. 表面附近的场强 E 与电荷面密度 的关系
e
E dS
EdS ES S
右底面
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E dl
U AB
E dl
AB
0
en
+
E dl
+A +
+
B
eτ
+
+
三 静电平衡时导体上电荷的分布
1 实心导体
E0
E dS 0
q
S
ε0
q 0
高斯
面
++ + +
+ +
S+
+
++
结论：导体内部无净电荷， 电荷只分布在导体表面.
2 空腔导体 空腔内无电荷时
SE dS 0 qi 0 i
（1）封闭导体壳（不论接地与否）内部不受外 电场的影响；
E
被保护设备
E
（2）接地封闭导体壳（或金属丝网）外部不受壳 内带电体的影响＋。
被
保
＋
护
设
备
导体B的电势是升高还是降低？
－
＋
＋
－－
＋＋
A
B
导体N的正电荷还是负电荷入地？
M
N
－
＋ ＋＋
－ －－
例题、将一点电荷q放置于一不带电的导体球附近，点电荷距 离球心为d，球体的半径为R，求球心O处的电场强度和电势。
对于静电场中的孤立导体，导体表面的电荷面 密度的大小与该处表面的曲率有关。
电荷面密度大
电荷面密度较小
电荷面密度更小
A B C
B
孤立
A
导体
C
尖端放电 尖端场强特别强，足以使周围空气分子电离
而使空气被击穿，导致“尖端放电”。
——形成“电风”
电荷面密度大
＋＋
＋
＋
＋
＋
＋＋ ＋
＋ ＋＋
E 0
5、静电屏蔽
失。两球的电势分别为
Vr
q
40
1 r
1 R1
VR1 VR2 0
两球的电势差仍为
Vr
VR
q
40
1 r
1 R1
R2
r R1
由结果可以看出，不管外球壳接地与否，两球的电势差恒
保持不变。当q为正值时，小球的电势高于球壳；当q为负值时， 小球的电势低于球壳, 与小球在壳内的位置无关，如果两球用 导线相连或小球与球壳相接触，则不论q是正是负，也不管球 壳是否带电，电荷q总是全部迁移到球壳的外边面上，直到VrVR=0为止。
电荷分布在表面
内表面？ 外表面？
高斯 面
S
E dS
qi 0
S
ε0
若内表面带电，必等量异号
U AB AB E dl 0
与导体是等势体矛盾
高斯
面
++
+
+
＋
A
+
+
+
－
B
+
S+
+
结论：空腔内无电荷时，电荷分布在外表面, 内表面无电荷.
空腔内有电荷时
SE dS 0
qi 0
高斯 q面
+q -q
静电场中的导体
一、导体
1、导体：具有大量能够自由移动的带电粒子（载流 子），能够很好地传导电流的物质。
根据载流子的不同，可将常见导体分为两类： （1）依靠自由电子导电，如金属等； （2）依靠自由离子导电，如酸、碱、盐溶液等。
我们主要讨论金属导体。
金属是由带正电的离子点阵和带负电的自由电 子组成，其自由电子的浓度约为1022/cm3，因而 电阻率是很低的。
2q
q
q
E3 0
(R1 r R2 )
E4
2q
4π
0r
2
(R1 r)
VO 0 E dl
R3
R2 R1
R3 0
E1
dl
R2 R3
E2
dl
R1 R2
E3
dl
R1 E4 dl
VO
q
4π 0
1 ( R3
1 R2
2 )
R1
2.31103 V
例、 在内外半径分别为R1和R2的导体球壳内，有一个半 径为r 的导体小球，小球与球壳同心，让小球与球壳分别
感应电荷
导体达到静电平衡
E 感
E内 E外 E感 0
+ + + + +
+ E外
+ + + +
感应电荷
静电平衡条件： （1）导体内部任何一点处的电场强度为零； （2）导体表面处电场强度的方向，都与导 体表面垂直.
E
推论：导体为等势体
导体内各点电势相等
E0
U AB
E dl
AB
0
导体表面为等势面
S
结论: 空腔内有电荷+q时，空腔内表面有感 应电荷-q，外表面有感应电荷+q．
3 导体表面附近场强与电荷面密度的关系
作扁圆柱形高斯面
SE dS ES
σS / ε0
E σ ε0
S
+ + ++
+ + E0
+
4、导体表面上的电荷分布情况，不仅与导体表面 形状有关，还和它周围存在的其他带电体有关。
带上电荷量q和Q。试求：
（1）
小球的电势Vr，球壳内、外表面的电势； 小球与球壳之间的电势差；
（2）
（3） 若将小球与球壳用导线连接起来，求球壳的电势。
（4） 若球壳接地，求小球与球壳的电势差。
Q q R2
r R1
解：（1）由对称性可以肯定，小球表面上和球壳 内外表面上的电荷分布是均匀的。小球上的电荷q 将在球壳的内外表面上感应出-q和＋q的电荷，而 Q只能分布在球壳的外表面上，故球壳外表面上的 总电荷量为q+Q。
R1
R2
电量为
q1
q2
思考 如果两球相距较近，结果怎样？
例题、内外半径分别为R1和R2的导体球壳带电Q，在 偏离其中心为b处放置一点电荷q，求其中心处O的电 势。
Ob q
R1 R2
例 有一外半径 R1 10cm 和内半径 R2 7cm 的金属球壳，在球壳内放一半径 R3 5cm 的同心金 属球，若使球壳和金属球均带有 q 108 C 的正电荷，
R
＋
－ －q
q
＋q ＋＋
O
－－ d
例 如图所示,导体球附近有一点电荷q 。 求 接地后导体球上感应电荷的电量 解 设感应电荷的电量为Q
l
0
接地 即
R
o
q
由导体是个等势体
O点的电势为0 则
例 两球半径分别为R1、R2，带电量q1、q2，设两球相距很远， 当用导线将彼此连接时，电荷将如何 分布？
解 设用导线连接后，两球带
问 两球体上的电荷如何分布？各区域的电场强度为
多少？球心处的电势为多少？
解 根据静电平衡的条件求电荷分布
作球形高斯面 S1
q
E1 0 (r R3 )
R3
作球形高斯面 S 2 r R2 , S2 E2
dS
q
0
q
E2 4π 0r 2
rS2 q R3 S1 R2 R1
E1 0 (r R3)
小球和球壳内外表面的电势分别为
1 q q qQ
Vr
4 0
r
R1
R2
1 q q qQ qQ
VR1
4 0
R1
R1
R2
40R2
VR2
1
40
q R2
q R2
q
Q R2
4 0 R2
球壳内外表面的电势相等。
（2）两球的电势差为
VrBiblioteka VRq40
1 r
1 R1
（3）若外球壳接地，则球壳外表面上的电荷消
E2
4π
q
0r2
(R3 r R2 )
根据静电平衡条件
E3
0(
R1
r
R2
)
S3
E3
dS
i
qi 0 0
2q
S4
S3
q
q
r
r R3
R2 R1
r
E4
R1
, S4 E4 2q
4π 0r 2
dS (R1
i
qi r)
0 2q 0
E1 0
(r R3 )
E2
4π
q
0r2
(R3 r R2 )