2021届成都市高一下期末复习题数学试题

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成都市新都区2020_2021学年高一数学下学期期末考试试题(含答案)

四川省成都市新都区2020-2021学年高一数学下学期期末考试试题本试卷分选择题和非选择题两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1.答题前，务必将姓名、考场号、座位号填写在答题卡规定的位置上，并将考生条形码粘贴在规定的位置上。

2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

5.考试结束后，将试题卷带走，仅将答题卡交回。

第I 卷(选择题，满分60分)一、选择题(每小题5分，共60分)1.求值：cos45°cos15°－sin45°sin15°＝A.12－12D.2.已知A ＝{x|2x x ≤0}，B ＝{x|x 2＋4x ＋3>0}，则A ∪B ＝ A.(－1，0] B.(－1，0) C.(－∞，－3)∪(－1，＋∞) D.(－∞，－3)∪(－2，＋∞)3.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2b ，sinA ＝25，则sinB 的值为 A.12 B.13 C.15 D.454.已知a ，b 为不共线向量，且AB ＝2a ＋b ，BC ＝－a ＋4b ，CD ＝3(a －b)，则 A.A 、B 、C 三点共线 B.A 、B 、D 三点共线 C.B 、C 、D 三点共线 D.A 、C 、D 三点共线5.若直线l 与平面α相交于点P ，则下列说法不．正确的是 A.平面α内存在与l 垂直的直线 B.平面α内存在与l 平行的直线 C.平面α内存在与l 相交的直线 D.平面α内存在与l 异面的直线6.数列{a n }中，a n ＝nsin2n，则a 2021的值为 A.－2021 B.2021 C.－1010 D.10107.某几何体的三视图如图所示，已知网格纸上的小正方形边长为1，则该几何体的表面积为A.(16＋2)πB.(12＋2)πC.(16＋2)πD.22π8.在等差数列{a n }中，首项a 1＝1，且a 2是a 1与a 4的等比中项，S n 为{a n }的前n 项和，则S 10的值为A.10B.55C.10或55D.10或609.数列{a n }中的前n 项和S n ＝2n＋2，数列{log 2a n }的前n 项和为T n ，则T 100＝ A.5050 B.5052 C.4950 D.495210.已知向量a ，b 满足|a －b|＝3，则a ·b 的最小值为 A.94 B.－94 C.9 D.－9211.设锐角△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c(l ＋cosA)3asinC ，b ＝2，则△ABC 的面积的取值范围是 A.(1，＋∞333) D.(1，312.如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，Q 分别为AB ，C 1D 1，CD 的中点，E ，F 分别在BC ，A 1D 1上，且CE ＝13CB ，D 1F ＝13D 1A 1，点P 为A 1M 上的动点，则下列结论中，正确的个数是(1)AC 1与EF 所成的角为90° (2)D 1P//平面NEC (3)F ，B 1，E ，Q 四点共面(4)当B 1P ⊥A 1M 时，三棱锥D 1－A 1B 1P 的外接球表面积为8π A.1个 B.2个 C.3个 D.4个第II 卷(非选择题，满分90分)二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分) 13.若关于x 的不等式－12x 2－2>mx 的解集为{x|1<x<4}，则m 的值为。

2020-2021学年四川省成都市龙泉驿区高一(下)期末数学试卷(理科)

2020-2021学年四川省成都市龙泉驿区高一（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。

1．（5分）若a＞b＞0，c＜0，则下列结论正确的是（）A．a+c＜b+c B．C．a2＜ab D．2．（5分）cos37°cos23°﹣sin37°sin23°＝（）A．B．C．﹣D．﹣3．（5分）已知向量＝（2，4），＝（﹣1，m），若+与共线，则m＝（）A．2B．﹣1C．﹣2D．﹣44．（5分）一个几何体的三视图如图，则这个几何体的体积是（）A．B．4C．2D．5．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和，若S3＝9，a1＝2，则a5＝（）A．3B．4C．5D．66．（5分）设不同的直线a，b和不同的平面α，β，γ，那么（）A．a∥α，b⊂α，则a∥b B．a⊂α，b⊂β，a∥b，则α∥βC．a⊂α，b⊂β，α∥β，则a∥b D．α∥β，β∥γ，则α∥γ7．（5分）△ABC的三内角ABC的对边分别为a，b，c，且满足a cos B+b cos A＝2c cos C，且sin A＝sin B，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形8．（5分）若，则sin2θ＝（）A．B．C．D．9．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和，且a1＝22，S7＝S16，则S n的最大值为（）A．132.25B．132C．132.5D．13110．（5分）平面内有三个向量，，，其中与为单位向量且夹角为60°，⊥，||＝，若＝λ+μ（λ，μ∈R），则λ+μ＝（）A．﹣1B．﹣2C．1或﹣2D．1或﹣111．（5分）区间（a，b）是关于x的一元二次不等式mx2﹣x+1＜0的解集，则2a+b的最小值为（）A．3+2B．2+2C．6D．3﹣212．（5分）疫情期间，为保障市民安全，要对所有街道进行消毒处理．某消毒装备的设计如图所示，PQ为街道路面，AB为消毒设备的高，BC为喷杆，AB⊥PQ，∠ABC＝，C处是喷洒消毒水的喷头，其喷洒范围为路面AQ，喷射角∠DCE＝．若AB＝3，BC＝6，则消毒水喷洒在路面上的宽度DE的最小值为（）A．B．2C．4D．5二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）等比数列{a n}中，a1＝1，q＝﹣2，则s5＝．14．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝，a＝，则b2+c2﹣bc＝．15．（5分）已知非零向量，满足||＝2||，且（﹣）⊥，则与﹣3的夹角的余弦值为．16．（5分）《九章算术》中记载：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱剖开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均为直角三角形的四面体）在如图所示的堑堵ABC﹣A1B1C1中，BB1＝BC＝AB＝2且有鳖臑C1﹣ABB1和鳖臑C1﹣ABC，现将鳖臑C1﹣ABC沿BC1翻折，使点C与点B1重合，则鳖臑C1﹣ABC经翻折后与鳖臑C1﹣ABB1拼接成的几何体的外接球的表面积是．三、解答题：共70分。

四川省成都市2021年高一下学期数学期末考试试卷 B卷

四川省成都市2021年高一下学期数学期末考试试卷 B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）若集合，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2020高三上·天津月考) 下列函数既是奇函数，又在区间上单调递减的是（）A .B .C .D .3. （2分） (2019高二上·太原月考) 若直线与直线互相垂直，则的值为（）A . -3B .C . 0或D . 1或-34. （2分） (2019高二上·中山月考) 已知中，则等于（）A . 60°或120°B . 30°C . 60°D . 30°或150°5. （2分）等差数列的前n项和为Sn ，已知，,则m= （）A . 38B . 20C . 10D . 96. （2分）(2017·沈阳模拟) 平面内的动点（x，y）满足约束条件，则z=2x+y的取值范围是（）A . （﹣∞，+∞）B . （﹣∞，4]C . [4，+∞）D . [﹣2，2]7. （2分） (2020高一下·太和期末) 已知是不相等的正数,且 ,则的取值范围是（）A .B .C .D .8. （2分） (2020高三上·安徽月考) 已知非零向量，满足，则是的（）.A . 充分不必要条件B . 充要条件C . 必要不充分条件D . 既不充分也不必要条件9. （2分）(2017·漳州模拟) 若函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（）A .B .C .D . [1，+∞）10. （2分）设函数f（x）=sin（2x+），则下列结论正确的是（）A . f（x）的图象关于直线x=对称B . f（x）的图象关于点（， 0）对称C . f（x）的最小正周期为π，且在[0，]上为增函数D . 把f（x）的图象向右平移个单位，得到一个偶函数的图象11. （2分） (2017高三下·河北开学考) 已知不等式组表示区域D，过区域D中任意一点P作圆x2+y2=1的两条切线且切点分别为A、B，当∠APB最大时，cos∠APB=（）A .B .C .D .12. （2分） (2019高二上·金水月考) 已知在数列中，，，则（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高一下·泰州期中) 两条平行线l1：3x+4y=2与l2：ax+4y=7的距离为________．14. （1分） (2020高一下·天津期中) 平面上三个力F1 ， F2 ， F3作用于一点且处于平衡状态，已知|F1|＝1 N，|F2|＝ N，F1与F2的夹角为45°，则F3的大小为________ N．15. （1分）(2017·北京) 若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=﹣1，a4=b4=8，则 =________．16. （1分）(2017·成都模拟) 如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得 M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°．已知山高BC=100m，则山高MN=________m．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2019高三上·扬州月考) 在中，、、分别为角、、所对的边，且， .（1）求的值；（2）若，求的面积．18. （10分） (2020高一下·启东期末) 已知与的夹角为 .求：（1）；（2） .19. （10分） (2019高三上·大庆期中) 在数列中,设 ,且满足,且．（1）设 ,证明数列为等差数列；（2）求数列的前n项和．20. （10分）(2019·绵阳模拟) △ABC的内角A．B．C的对边分别为a，b，c，己知＝b（c－asinC）。

2021-2022学年四川省成都市金牛区高一下学期期末考试数学试题(理科)(解析版)

四川省成都市金牛区2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）1．已知sin cos αα+=，则sin 2α的值为( )A ．12B ．12- C D ．〖解析〗因为sin cos αα+=，所以22(sin cos )(αα+=，所以223sin cos 2sin cos 2αααα++=，则1sin 22α=．〖答案〗A2．若a ，b ，c ，d R ∈，则下列说法正确的是( ) A ．若a b >，c d >，则ac bd > B ．若a b >，则22ac bc > C ．若a b >，则a c b c ->-D ．若0a b <<，则11a b< 〖解析〗A ．若a b >，c d >，取2a =，1b =-，0c =，1d =-，则ac bd >不成立，故A 错误；B ．a b >，当0c =时，22ac bc >不成立，故B 错误；C ．a b >，则由不等式的性质知，a c b c ->-，故C 正确；D ．0a b <<，取2a =-，1b =-，则11a b<，不成立，故D 错误．〖答案〗C3．如图，正方形O A B C ''''是水平放置的四边形OABC 的斜二测直观图，3A B ''=，则四边形OABC 的面积是( )A ．B ．C ．18D ．9〖解析〗S =原图直观图，339S =⨯=直观图，9S ∴==原图〖答案〗A4．已知向量(,1)a λ=，(4,)b λ=共线且方向相反，则λ的值等于( ) A ．2±B ．2C ．2-D ．12-〖解析〗向量(,1)a λ=，(4,)b λ=共线且方向相反， 214λ∴=⨯且0λ<，解得2λ=-．〖答案〗C5．在正项等比数列中，35566829a a a a a a ++=，则47(a a += ) A ．1B ．2C ．3D ．4〖解析〗正项等比数列中35566829a a a a a a ++=，∴22447729a a a a ++=，即247()9a a +=，解得473a a +=或473a a +=-（舍去），故473a a +=．〖答案〗C6．在ABC ∆中，::4:1:1A B C =，则::(a b c = )A ．4:1:1B ．2:1:1C ．3:1:1D〖解析〗::4:1:1A B C =，A B C π++=， ∴解得：23A π=，6B C π==，∴由正弦定理可得：11::sin :sin :sin :22a b c A B C ===．〖答案〗D7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．2123π-B ．12π-C ．122π-D ．123π-〖解析〗由三视图还原原几何体如图，该几何体为长方体挖去一个圆锥，长方体的长、宽均为2，高为3，圆锥的底面半径为1，高为3，则几何体的体积为2122313123V ππ=⨯⨯-⨯⨯=-．〖答案〗B8．已知数列{}n a 中，*12321()n n a a a a n N +++⋯+=-∈，则2222123n a a a a +++⋯+等于()A ．1(41)3n -B ．1(21)3n -C ．41n -D ．2(21)n -〖解析〗数列{}n a 中，*12321()n n a a a a n N +++⋯+=-∈，可得1211a =-=，2n 时，112121n n a a a --++⋯+=-，又*12321()n n a a a a n N +++⋯+=-∈，两式相减可得12n n a -=，对1n =也成立，则2222112314164n n a a a a -+++⋯+=+++⋯+141(41)143n n -==--．〖答案〗A9．已知a ，b 是不共线的向量，OA a b λμ=+，32OB a b =-，23OC a b =+，若A ，B ，C 三点共线，则实数λ，μ满足( )A ．1λμ=-B ．5λμ=+C ．5λμ=-D ．135μλ=-〖解析〗OA a b λμ=+，32OB a b =-，23OC a b =+，∴(3)(2)AB OB OA a b λμ=-=--+，23(32)5BC OC OB a b a b a b =-=+--=-+，A ，B ，C 三点共线，∴AB BC =，即3(2)15λμ--+=-，化简可得，135μλ=-．〖答案〗D 10．2sin801(sin 51︒+=︒- )A ．BC ．2-D ．2 〖解析〗2222222sin801sin801cos1012511252sin 515555cos cos cos cos cos cos ︒+︒+︒+︒-+︒=====-︒--︒-︒-︒-︒．〖答案〗C11．如图，在平行四边形ABCD 中，已知8AB =，5AD =，3CP PD =，2AP BP =，则AB AD 的值是( )A ．8B ．12C ．22D ．24〖解析〗如图所示，平行四边形ABCD 中，8AB =，5AD =，3CP PD =，∴14AP AD DP AD AB =+=+，34BP BC CP AD AB =+=-， ∴13()()44AP BP AD AB AD AB =+-2213216AD AB AD AB =-- 2213582216AB AD =--⨯=， ∴22AB AD =．〖答案〗C12．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若ABC ∆为锐角三角形，且满足22b a ac -=，则11tan tan A B-的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．(1,)+∞〖解析〗22b a ac -=，∴由正弦定理得，22sin sin sin sin B A A C -=，可得：1cos21cos2sin sin 22B AA C ---=，可得：cos2cos2sin sin 2A BA C -=，∴由和差化积公式得cos2cos22sin()sin()A B A B A B -=-+-，代入上式得，sin()sin()sin sin A B A B A C -+-=，sin()sin 0A B C +=≠，sin()sin A B A ∴--=，即sin()sin B A A -=，∴在ABC ∆中，B A A -=，得2B A =，则3C A π=-，ABC ∆为锐角三角形，∴022032A A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，∴解得：64A ππ<<，则：32B ππ<<， ∴11cos cos cos sin sin cos sin()1tan tan sin sin sin sin sin sin sin A B A B A B B A A B A B A B A B B---=-===，由32B ππ<<得，sin B ∈1)，则1sin B ∈， ∴11tan tan A B-取值范围是．〖答案〗A二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．不等式201xx ->+的解集是．〖解析〗201xx ->+，(1)(2)0x x ∴+-<，12x ∴-<<．〖答案〗(1,2)-14．已知1sin()63πα+=，则2cos(2)3πα-= ．〖解析〗因为1cos()sin()363ππαα-=+=，2217cos(2)2cos ()1213399a ππα∴-=--=⨯-=-．〖答案〗79-． 15．为了测量某塔的高度，检测员在地面A 处测得塔顶T 处的仰角为30︒，从A 处向正东方向走210米到地面B 处，测得塔顶T 处的仰角为60︒，若60AOB ∠=︒，则铁塔OT 的高度为米．〖解析〗设铁塔OT的高为h，则可得,AO BO=，在AOB∆中，则222cos2AO BO ABAOBAO BO+-∠=⋅，即222))(210)12+-=，解得h=．〖答案〗16．高斯函数[]y x=也称为取整函数，其中[]x表示不超过x的最大整数，例如[3.4]3=．已知数列{}na满足11a=，21n n na a a+=+，设数列1nnaa⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n项和为nS，则2022[]S=．〖解析〗21n n na a a+=+，∴211111111111111nn n n n n n n n naa a a a a a a a a+==-⋅=-=+-+++++，∴2022213220232022120232023111111111 2022()20222021 Sa a a a a a a a a=+-+-+⋅⋅⋅+-=-+=+．又11a=，∴21n n n na a a a+=+>，∴数列{}na为单调递增数列，202311a a∴>=，∴20231202120212022a<+<，2022[]2021S∴=．〖答案〗2021三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（10分）（1）已知1cos7α=，13cos()14αβ-=，且02πβα<<<，求β；（2）若1cos()5αβ+=，3cos()5αβ-=，求tan tanαβ的值．解：（1）由题意可知，1cos7α=，02πα<<，所以sinα=又13cos()14αβ-=，02πβα<<<，所以02παβ<-<，所以sin()αβ-，所以1131 cos cos[()]cos cos()sin sin()7142βααβααβααβ=--=-+-=⨯=，因为02πβ<<，所以3πβ=．（2）1cos()cos cos sin sin 5αβαβαβ+=-=，3cos()cos cos sin sin 5αβαβαβ-=+=，解得1sin sin 5αβ=，2cos cos 5αβ=，所以1sin sin 15tan tan 2cos cos 25αβαβαβ===． 18．（12分）已知正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，39S =，若11a +，21a +，33a +构成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}2n a 的前n 项和n T ．解：（1）由{}n a 为等差数列，39S =，得239a =，则23a =，又11a +，21a +，33a +构成等比数列，所以2132(1)(3)(1)a a a ++=+，即(4)(6)16d d -+=，解得2d =或4d =-（舍)，所以21n a n =-；（2）由（1）知21n a n =-，所以2122n a n -=，又因为11212212224,2222n n a n a a n ++-====，所以{}2n a 是以2为首项，4为公比的等比数列，∴212(14)22143n n n T +--==-． 19．（12分）如图，四边形ABCD 为长方形，2PD AB ==，4AD =，点E 、F 分别为AD 、PC 的中点．设平面PDC ⋂平面PBE l =．（1）证明：//DF 平面PBE ；（2）证明：//DF l ．证明：（1）取PB 中点G ，连接FG ，EG ，因为点E 、F 分别为AD 、PC 的中点所以//FG CB ，12FG BC =，因为四边形ABCD 为长方形，所以//BC AD ，且BC AD =，所以//DE FG ，DE FG =，所以四边形DEGF 为平行四边形，所以//DF GE ，因为DF ⊂/平面PBE ，EG ⊂平面PBE ，//DF 平面PBE ，（2）由（1）知//DF 平面PBE ，又DF ⊂平面PDC ，平面PDC ⋂平面PBE l =，所以//DF l ．20．（12分）在①222()sin a c b B +-=且4B π>；②sin 1cos b AB-；③sin sin sin sin B C aA C b c+=--这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．问题：在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且____．（1）求B ；（2）若D 为边AC 的中点，且3a =，4c =，求中线BD 长．解：（1）若选①：222()sin a c b B +-=，且2222cos a c b ac B +-=，2cos sin ac B B ∴=，sin 2B ∴=，又4B ππ>>； ∴222b ππ<<，223B π∴=，3B π∴=．若选②：由正弦定理得sin sin 1cos B AA B-，sin 0A ≠，sin B B ∴，即sin()3B π+，由0B π<<，4333B πππ<+<，故233B ππ+=，3B π∴=．若选③：由正弦定理得b c aa cb c+=--，即222a c b ac +-=，由余弦定理得2221cos 22a c b B ac +-==，0B π<<，3B π∴=．（2）在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos 9161213b c a ac B =+==+-=，b ∴=又22()()4AC BA BC BD DA BD DC BD ⋅=+⋅+=-，所以21334cos 34BD π⋅⋅=-，BD ∴=． 21．（12分）等比数列{}n a 中，首项11a =，前n 项和为n S ，且满足1344()a a S +=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若31(1)log n n b n a +=+⋅，求数列242n n b ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．解：（1）设数列{}n a 公比为q ，由11a =，1344()a a S +=，32330q q q ∴-+-=，2(1)(3)0q q ∴+-=，解得3q =，∴13n n a -=．（2）由（1）可得3(1)log 3(1)n n b n n n =+=+，所以222224242112[](1)(1)n n n b n n n n ++==-++，所以22222111112(1)2()2[]223(1)n T n n =-+-++-+ 2222221111122[1]2223(1)(1)n n n =-+-++-=-++． 22．（12分）如图，正方体1111ABCD A B C D -，棱长为a ，E ，F 分别为AB 、BC 上的点，且AE BF x ==．（1）当x a =时，求异面直线1A E 与1B F 所成的角的大小；（2）当x 为何值时，三棱锥1A BEF -的体积最大？（3）当23x a =时，平面1A EF 与棱11C D ，1C C 分别相交于点M ，N ，求线段MN 的长度．解：（1）当x a =时，异面直线1A E 与1B F 所成的角，即为异面直线1A B 与1B C 所成的角，因为11//B C A D ，所以1BA D ∠是异面直线1A E 与1B F 所成的角，因为△1BA D 是等边三角形，所以异面直线1A E 与1B F 所成的角的大小为160BA D ∠=︒．（2）因为三棱锥的体积为：13221111()()()3266224A BEF a a V x a x a a ax x a x -=⨯⨯⨯-⨯=-=--+，所以当2ax =时，三棱锥1A BEF -的体积取最大值324a ．（3）当23x a =时，取11C D 的中点M ，连接1A M 并延长，与11B C 的延长线交于点H ，连接FH 与1CC 交于点N ．因为面11//AC 面AC ，且111tan tan 2D A M FEB ∠=∠=，由图可知1//A M EF ，且H ∈面1BC ，易知11313C H C N a CF CN a ===，所以134C N a =，12a C M =，所以线段MN=．。

2020-2021成都市高一数学下期末试卷含答案

2020-2021成都市高一数学下期末试卷含答案一、选择题1．已知向量()cos ,sin a θθ=，()1,2b =，若a 与b 的夹角为6π，则a b +=（） A ．2B ．7C ．2D ．12．ABC 中，已知sin cos cos a b cA B C==，则ABC 为（） A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．有一个内角为30°的直角三角形D ．有一个内角为30°的等腰三角形3．若，则（）A ．B ．C ．D ．4．已知集合{}22(,)1A x y x y =+=，{}(,)B x y y x ==，则A B 中元素的个数为（） A ．3B ．2C ．1D ．05．已知01a b <<<，则下列不等式不成立．．．的是 A ．11()()22ab>B ．ln ln a b >C ．11a b> D ．11ln ln a b> 6．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为20，则输出T 的值为A ．1B ．2C ．3D ．47．设函数f (x )=cos (x +3π)，则下列结论错误的是 A ．f(x)的一个周期为−2π B ．y=f(x)的图像关于直线x=83π对称 C ．f(x+π)的一个零点为x=6π D ．f(x)在(2π,π)单调递减 8．已知()201911,02log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，若存在三个不同实数a ，b ，c 使得()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是（） A ．(0,1)B ．[-2,0)C ．(]2,0-D ．（0,1）9．函数()lg ||f x x x =的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．10．（2018年天津卷文）设变量x ，y 满足约束条件5,24,1,0,x y x y x y y +≤⎧⎪-≤⎪⎨-+≤⎪⎪≥⎩ 则目标函数35z x y =+的最大值为 A ．6B ．19C ．21D ．4511．将直线2x －y ＋λ＝0沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相切，则实数λ的值为( ) A ．－3或7 B ．－2或8 C ．0或10D ．1或1112．在正三棱柱111ABC A B C -中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，则1BC 与侧面1ACC A 所成角的大小为（）A ．30B ．45C ．60D ．90二、填空题13．已知数列{}n a 前n 项和为n S ，若22nn n S a =-，则n S =__________．14．设a ＞0，b ＞03a 与3b 的等比中项，则11a b+的最小值是__． 15．奇函数()f x 对任意实数x 都有(2)()f x f x +=-成立，且01x 时，()21x f x =-，则()2log 11f =______.16．若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，且,,2a b -这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于________． 17．若函数()6,23log ,2a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩（0a >且1a ≠）的值域是[)4,+∞，则实数a 的取值范围是__________．18．△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则△ABC 的面积为________．19．已知点()M a b ，在直线3415x y +＝_______． 20．设0x >，0y >，24x y +=，则(1)(21)x y xy++的最小值为__________.三、解答题21．解关于x 的不等式2(1)10()ax a x a R -++>∈.22．已知圆O ：x 2+y 2=2，直线．l ：y=kx-2．（1）若直线l 与圆O 相切，求k 的值；（2）若直线l 与圆O 交于不同的两点A ，B ，当∠AOB 为锐角时，求k 的取值范围；（3）若1k 2=，P 是直线l 上的动点，过P 作圆O 的两条切线PC ，PD ，切点为C ，D ，探究：直线CD 是否过定点．23．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[)13,14，第二组[)14,15，⋅⋅⋅，第五组[]17,18.下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.按上述分组方法得到的频率分布直方图.（1）若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的人数；（2）设m,n 表示该班某两位同学的百米测试成绩，且已知[)[],13,1417,18.m n ∈⋃求事件“1m n ->”发生的概率.24．已知圆22:8120C x y y +-+=，直线:20l ax y a ++=. （1）当a 为何值时，直线与圆C 相切.（2）当直线与圆C 相交于A 、B 两点，且22AB =时，求直线的方程.25．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且23n s n n =+；（1）求它的通项n a .（2）若12n n n b a -=，求数列{}n b 的前n 项和n T .26．我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x （吨）、一位居民的月用水量不超过x 的部分按平价收费，超出x 的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[)[)0,0.5,0.5,1,...,[)4,4.5分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.（1）求直方图中a 的值；（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；（3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x （吨），估计x 的值，并说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】【分析】先计算a 与b 的模，再根据向量数量积的性质22()a b a b +=+即可计算求值. 【详解】因为()cos ,sin a θθ=，()1,2b =，所以||1a =，||3b =.又222222()2||2||||cos||6a b a b a a b b a a b b +=+=+⋅+=+π+137=++=，所以7a b +=，故选B. 【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，向量的数量积，向量的模的计算，属于中档题.2．B解析：B 【解析】【分析】【详解】因为sin cos cos a b c A B C==，所以sin sin sin sin cos cos 4A B C B C A B C π==∴== , 即ABC 为等腰直角三角形.故选：B .3．D解析：D 【解析】试题分析：，且，故选D.【考点】三角恒等变换【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示：（1）已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．（2）已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系．4．B解析：B 【解析】试题分析：集合中的元素为点集，由题意，可知集合A 表示以()0,0为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B 表示直线y x =上所有的点组成的集合，又圆221x y +=与直线y x =相交于两点22,22⎛ ⎝⎭，2222⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，则A B 中有2个元素.故选B.【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.5．B解析：B 【解析】【分析】根据指数函数、对数函数的单调性，以及不等式的性质，对选项逐一分析，由此得出不等式不成立的选项. 【详解】依题意01a b <<<，由于12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为定义域上的减函数，故11()()22a b >，故A 选项不等式成立.由于ln y x =为定义域上的增函数，故ln ln 0a b <<，则11ln ln a b>，所以B 选项不等式不成立，D 选项不等式成立.由于01a b <<<，故11a b>，所以C 选项不等式成立.综上所述，本小题选B. 【点睛】本小题主要考查指数函数和对数函数的单调性，考查不等式的性质，属于基础题.6．B解析：B【解析】分析：由题意结合流程图运行程序即可求得输出的数值. 详解：结合流程图运行程序如下：首先初始化数据：20,2,0N i T ===，20102N i ==，结果为整数，执行11T T =+=，13i i =+=，此时不满足5i ≥； 203N i =，结果不为整数，执行14i i =+=，此时不满足5i ≥； 2054N i ==，结果为整数，执行12T T =+=，15i i =+=，此时满足5i ≥；跳出循环，输出2T =. 本题选择B 选项.点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路： (1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构． (2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题． (3)按照题目的要求完成解答并验证．7．D解析：D 【解析】f (x )的最小正周期为2π，易知A 正确； f 8π3⎛⎫⎪⎝⎭＝cos 8ππ33⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cos3π＝－1，为f (x )的最小值，故B 正确； ∵f (x ＋π)＝cos ππ3x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭＝－cos π3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴f ππ6⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－cos ππ63⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－cos 2π＝0，故C 正确；由于f 2π3⎛⎫⎪⎝⎭＝cos 2ππ33⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cosπ＝－1，为f (x )的最小值，故f (x )在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，故D 错误．故选D.8．C解析：C 【解析】【分析】画出函数图像，根据图像得到20a -<≤，1bc =，得到答案. 【详解】()201911,02log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，画出函数图像，如图所示：根据图像知：20a -<≤，20192019log log b c -=，故1bc =，故20abc -<≤. 故选：C .【点睛】本题考查了分段函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键.9．D解析：D 【解析】【分析】分析函数()y f x =的定义域、奇偶性及其在()0,1上的函数值符号，可得出结论. 【详解】函数()lg f x x x =的定义域为{}0x x ≠，定义域关于原点对称，()()lg lg f x x x x x f x -=--=-=-，函数()y f x =为奇函数，排除A 、C 选项；当01x <<时，lg 0x <，此时()lg 0f x x x =<，排除B 选项. 故选：D. 【点睛】本题考查由函数的解析式选择函数图象，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号，考查推理能力，属于中等题.10．C解析：C 【解析】分析：首先画出可行域，然后结合目标目标函数的几何意义确定函数取得最大值的点，最后求解最大值即可.详解：绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最大值，联立直线方程：51x y x y +=⎧⎨-+=⎩，可得点A 的坐标为：()2,3A ，据此可知目标函数的最大值为：max 35325321z x y =+=⨯+⨯=.本题选择C 选项.点睛：求线性目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，当b ＞0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当b ＜0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大.11．A解析：A 【解析】试题分析：根据直线平移的规律，由直线2x ﹣y+λ=0沿x 轴向左平移1个单位得到平移后直线的方程，然后因为此直线与圆相切得到圆心到直线的距离等于半径，利用点到直线的距离公式列出关于λ的方程，求出方程的解即可得到λ的值．解：把圆的方程化为标准式方程得（x+1）2+（y ﹣2）2=5，圆心坐标为（﹣1，2），半径为，直线2x ﹣y+λ=0沿x 轴向左平移1个单位后所得的直线方程为2（x+1）﹣y+λ=0，因为该直线与圆相切，则圆心（﹣1，2）到直线的距离d==r=，化简得|λ﹣2|=5，即λ﹣2=5或λ﹣2=﹣5，解得λ=﹣3或7 故选A考点：直线与圆的位置关系．12．A解析：A 【解析】【分析】由题意，取AC 的中点O ，连结1,BO C O ，求得1BC O ∠是1BC 与侧面11ACC A 所成的角，在1BC O ∆中，即可求解．【详解】由题意，取AC 的中点O ，连结1,BO C O ,因为正三棱柱111ABC A B C -中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，所以1,BO AC BO AA ⊥⊥，因为1AC AA A ⋂=，所以BO ⊥平面11ACC A ，所以1BC O ∠是1BC 与侧面11ACC A 所成的角，因为222113131(),(2)()2222BO C O =-==+=，所以11332tan 332BO BC O OC ∠===，所以0130BC O ∠=，1BC 与侧面11ACC A 所成的角030．【点睛】本题主要考查了直线与平面所成的角的求解，其中解答中空间几何体的线面位置关系，得到1BC O ∠是1BC 与侧面11ACC A 所成的角是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，以及转化与化归思想，属于中档试题．二、填空题13．【解析】分析：令得当时由此推导出数列是首项为1公差为的等差数列从而得到从而得到详解：令得解得当时由）得两式相减得整理得且∴数列是首项为1公差为的等差数列可得所以点睛：本题考查数列的通项公式的求法是中解析：*2()n n S n n N =∈【解析】分析：令1n =，得12a =，当2n ≥ 时，11122n n n S a ---=-，由此推导出数列{}2n na 是首项为1公差为12的等差数列，从而得到()112n n a n -+＝，从而得到n S . 详解：令1n =，得11122a a =-，解得12a = ，当2n ≥ 时，由22n n n S a =-），得11122n n n S a ---=-，两式相减得()()1112222,nn n n n n n a S S a a---=-=--- 整理得111222n n n n a a ---=，且111,2a = ∴数列{}2n n a是首项为1公差为12的等差数列， ()111,22n n a n ∴=+- 可得()112,n n a n -=+ 所以()12221222.nn n nn n S a n n -⎡⎤=-=+-=⋅⎣⎦点睛：本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．14．【解析】由已知是与的等比中项则则当且仅当时等号成立故答案为2【点睛】本题考查基本不等式的性质等比数列的性质其中熟练应用乘1法是解题的关键解析：【解析】由已知0,0a b >>33a 与b 的等比中项，则233,1a b ab =⋅∴=则111111122ab a b ab a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=+⨯=+⨯=+≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当1a b ==时等号成立故答案为2【点睛】本题考查基本不等式的性质、等比数列的性质，其中熟练应用“乘1法”是解题的关键．15．【解析】【分析】易得函数周期为4则结合函数为奇函数可得再由时即可求解【详解】则又则故答案为：【点睛】本题考查函数奇偶性与周期性的综合应用具体函数值的求法属于中档题解析：511-【解析】【分析】易得函数周期为4，则()()22211log 11log 114log 16f f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，结合函数为奇函数可得222111616log log log 161111f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，再由01x 时，()21xf x =-即可求解【详解】()()(2)()4(2)4f x f x f x f x f x T +=-⇒+=-+=⇒=，则()()22211log 11log 114log 16f f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，又222111616log log log 161111f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，[]216log 0,111∈，则216log 112165log 211111f ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：511- 【点睛】本题考查函数奇偶性与周期性的综合应用，具体函数值的求法，属于中档题16．9【解析】【分析】由一元二次方程根与系数的关系得到a+b=pab=q 再由ab ﹣2这三个数可适当排序后成等差数列也可适当排序后成等比数列列关于ab 的方程组求得ab 后得答案【详解】由题意可得：a+b=p解析：9 【解析】【分析】由一元二次方程根与系数的关系得到a+b=p ，ab=q ，再由a ，b ，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于a ，b 的方程组，求得a ，b 后得答案．【详解】由题意可得：a+b=p ，ab=q ， ∵p＞0，q ＞0，可得a ＞0，b ＞0，又a ，b ，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，可得①或②．解①得：；解②得：．∴p=a+b=5，q=1×4=4，则p+q=9．故答案为9．点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系，考查了等差数列和等比数列的性质，是基础题．【思路点睛】解本题首先要能根据韦达定理判断出a ，b 均为正值，当他们与-2成等差数列时，共有6种可能，当-2为等差中项时，因为，所以不可取，则-2只能作为首项或者末项，这两种数列的公差互为相反数；又a,b 与-2可排序成等比数列，由等比中项公式可知-2必为等比中项，两数列搞清楚以后，便可列方程组求解p ，q ．17．【解析】试题分析：由于函数的值域是故当时满足当时由所以所以所以实数的取值范围考点：对数函数的性质及函数的值域【方法点晴】本题以分段为背景主要考查了对数的图象与性质及函数的值域问题解答时要牢记对数函数解析：(]1,2【解析】试题分析：由于函数()()6,2{0,13log ,2a x x f x a a x x -+≤=>≠+>的值域是[)4,+∞，故当2x ≤时，满足()64f x x =-≥，当2x >时，由()3log 4a f x x =+≥，所以log 1a x ≥，所以log 2112a a ≥⇒<<，所以实数a 的取值范围12a <≤. 考点：对数函数的性质及函数的值域.【方法点晴】本题以分段为背景主要考查了对数的图象与性质及函数的值域问题，解答时要牢记对数函数的单调性及对数函数的特殊点的应用是解答的关键，属于基础题，着重考查了分类讨论的思想方法的应用，本题的解答中，当2x >时，由()4f x ≥，得log 1a x ≥，即log 21a ≥，即可求解实数a 的取值范围.18．【解析】【分析】首先利用正弦定理将题中的式子化为化简求得利用余弦定理结合题中的条件可以得到可以断定为锐角从而求得进一步求得利用三角形面积公式求得结果【详解】因为结合正弦定理可得可得因为结合余弦定理可解析：3. 【解析】【分析】首先利用正弦定理将题中的式子化为sin sin sin sin 4sin sin sin B C C B A B C +=，化简求得1sin 2A =，利用余弦定理，结合题中的条件，可以得到2cos 8bc A =，可以断定A 为锐角，从而求得cos A =，进一步求得bc =，利用三角形面积公式求得结果. 【详解】因为sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，结合正弦定理可得sin sin sin sin 4sin sin sin B C C B A B C +=，可得1sin 2A =，因为2228b c a +-=，结合余弦定理2222a b c bccosA =+-，可得2cos 8bc A =，所以A为锐角，且cos 2A =，从而求得3bc =，所以ABC ∆的面积为111sin 222S bc A ===.【点睛】本题主要考查余弦定理及正弦定理的应用，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30、45、60等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.19．3【解析】【分析】由题意可知表示点到点的距离再由点到直线距离公式即可得出结果【详解】可以理解为点到点的距离又∵点在直线上∴的最小值等于点到直线的距离且【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式的应用属于解析：3 【解析】【分析】()0,0到点(),a b 的距离，再由点到直线距离公式即可得出结果. 【详解】()0,0到点(),a b 的距离，又∵点(),M a b 在直线:3425l x y +=()0,0到直线34150x y +-=的距离，且3d ==.【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式的应用，属于基础题型.20．【解析】【分析】把分子展开化为再利用基本不等式求最值【详解】由得得等号当且仅当即时成立故所求的最小值为【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立解析：92. 【解析】【分析】把分子展开化为(1)(21)2212552x y xy x y xy xy xy xy xy++++++===+，再利用基本不等式求最值．【详解】由24x y +=，得24x y +=≥，得2xy ≤(1)(21)221255592222x y xy x y xy xy xy xy xy ++++++===+≥+=，等号当且仅当2x y =，即2,1x y ==时成立．故所求的最小值为92．【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立．三、解答题21．a ＜0时，不等式的解集是（1a，1）； a ＝0时，不等式的解集是（﹣∞，1）； 1a =时，不等式的解集为{|1}x x ≠.01a <<时，不等式的解集是（﹣∞，1）∪（1a，+∞）；a ＞1时，不等式的解集是（﹣∞，1a）∪（1，+∞）．【解析】【分析】讨论a 与0的大小，将不等式进行因式分解，然后讨论两根的大小，即可求出不等式的解集．【详解】当0a =时，原不等式可化为10x -+>，所以原不等式的解集为{|1}x x <. 当0a ≠时，判别式()()22141a a a ∆=+-=-.（1）当1a =时，判别式0∆=，原不等式可化为2210x x -+>，即()210x ->，所以原不等式的解集为{|1}x x ≠. （2）当0a <时，原不等式可化为()110x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，此时11a<，所以原不等式的解集为1{|1}x x a <<.（3）当01a <<时，原不等式可化为()110x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，此时11a >，所以原不等式的解集为1{|1}x x x a或. （4）当1a >时，原不等式可化为()110x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，此时11a<，所以原不等式的解集为1{|1}x xx a或. 综上，a ＜0时，不等式的解集是（1a，1）； a ＝0时，不等式的解集是（﹣∞，1）； 1a =时，不等式的解集为{|1}x x ≠.01a <<时，不等式的解集是（﹣∞，1）∪（1a，+∞）；a ＞1时，不等式的解集是（﹣∞，1a）∪（1，+∞）．【点睛】本题主要考查了含有字母系数的不等式求解问题，解题的关键是确定讨论的标准，属于中档题．22．（1）k=±1；（2）（1-）∪（13）直线CD 过定点（112-，）．【解析】【分析】（1）由直线l 与圆O 相切，得圆心O （0，0）到直线l 的距离等于半径，由此能求出k ．（2）设A ，B 的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），将直线l ：y=kx-2代入x 2+y 2=2，得（1+k 2）x 2-4kx+2=0，由此利用根的判断式、向量的数量积公式能求出k 的取值范围．（3）由题意知O ，P ，C ，D 四点共圆且在以OP 为直径的圆上，设P （t ，122t -），其方程为221202x tx y t y ⎛⎫-+--= ⎪⎝⎭，C ，D 在圆O ：x 2+y 2=2上，求出直线CD ：（x+y 2）t-2y-2=0，联立方程组能求出直线CD 过定点（1,12-）．【详解】解：（1）∵圆O ：x 2+y 2=2，直线l ：y=kx-2．直线l 与圆O 相切， ∴圆心O （0，0）到直线l 的距离等于半径，即=，解得k=±1．（2）设A ，B 的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），将直线l ：y=kx-2代入x 2+y 2=2，整理，得（1+k 2）x 2-4kx+2=0， ∴1224k x x 1k +=+，1222x x 1k =+， △=（-4k ）2-8（1+k 2）＞0，即k 2＞1，当∠AOB 为锐角时，OA OB ⋅=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+（kx 1-2）（kx 2-2）=()()212121kx x2k x x 4+-++=2262k 1k-+＞0，解得k 2＜3，又k 2＞1，∴k 1-＜或1＜k．故k 的取值范围为（1-）∪（1（3）由题意知O ，P ，C ，D 四点共圆且在以OP 为直径的圆上，设P （t ，1t 22-），其方程为x （x-t ）+y （y 1t 22-+）=0， ∴221x tx y t 2y 02⎛⎫-+--=⎪⎝⎭，又C ，D 在圆O ：x 2+y 2=2上，两圆作差得l CD ：tx+1t 2y 202⎛⎫--=⎪⎝⎭，即（x+y 2）t-2y-2=0，由y 0{?2220x y +=+=，得1{?21x y ==-，∴直线CD 过定点（112-，）．【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，考查直线是否过定点的判断与求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题． 23．（1）29人；（2）35．【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图，良好即第二三两组，计算出第二三两组的频率即可算出人数；（2）结合频率分布直方图，计算出[)[]13,1417,18，两组的人数，1m n ->即两位同学来自不同的两组，利用古典概型求解概率即可. 【详解】（1）由直方图知，成绩在[14,16)内的人数为：500.20500.3829⨯+⨯=（人），所以该班成绩良好的人数为29人；（2）由直方图知，成绩在[13,14)的人数为500.063⨯=人；成绩在[17,18]的人数为500.042⨯=人；.事件“1m n ->”发生即这两位同学来自不同的两组，此题相当于从这五人中任取2人，求这两人来自不同组的概率其概率为11232563105C C P C ===. 3(1)5P m n ->=【点睛】此题考查用样本的频率分布估计总体分布；利用频率直方图求相关数据；古典概型及其概率的计算． 24．（1）34a =-；（2）20x y -+=或7140x y -+=. 【解析】【分析】（1）将圆C 的方程化为标准形式，得出圆C 的圆心坐标和半径长，利用圆心到直线的距离等于半径，可计算出实数a 的值；（2）利用弦长的一半、半径长和弦心距满足勾股定理可求得弦心距，利用点到直线的距离公式可求得实数a 的值，进而可得出直线l 的方程. 【详解】（1）圆C 的标准方程为()2244x y +-=，圆心C 的坐标为()0,4，半径长为2，当直线l 与圆C2=，解得34a =-；（2）由题意知，圆心C 到直线l的距离为d ==由点到直线的距离公式可得d ==2870a a ++=，解得1a =-或7-.因此，直线l 的方程为20x y -+=或7140x y -+=. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查利用直线与圆相切求参数以及根据弦长求直线方程，解答的核心就是圆心到直线的距离的计算，考查计算能力，属于中等题.25．（1）22n a n =+（2）12n n T n +=•【解析】【分析】（1）由2S 3n n n =+，利用n a 与n S 的关系式，即可求得数列的通项公式；（2）由（1）可得2(1)nn b n =+，利用乘公比错位相减法，即可求得数列{}n b 的前n 项和.【详解】（1）由2S 3n n n =+，当1n =时，11S 4a ==；当1n >时，2213(1)3(1)n n n a S S n n n n -=-=+----22n =+，当1n =也成立，所以则通项22n a n =+；（2）由（1）可得2(1)nn b n =+，-123223242(1)2n n T n =•+•+•+++•，231222322(1)2n n n T n n +=•+•++•++•，两式相减得2314(222)(1)2n n n T n +-=++++-+21112(12)4(1)2212n n n n n -++-=+-+=--所以数列{}n b 的前n 项和为12n n T n +=•.【点睛】本题主要考查了数列n a 和n S 的关系、以及“错位相减法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，着重考查了的逻辑思维能力及基本计算能力等. 26．（1）0.3；（2）3.6万；（3）2.9. 【解析】【分析】【详解】试题分析：本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算等基础知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力. 第（1）问，由高×组距=频率，计算每组的频率，根据所有频率之和为1，计算出a 的值；第（2）问，利用高×组距=频率，先计算出每人月均用水量不低于3吨的频率，再利用频率×样本容量=频数，计算所求人数；第（3）问，将前6组的频率之和与前5组的频率之和进行比较，得出2.5≤x<3，再估计x 的值.试题解析：（1）由频率分布直方图知，月均用水量在[0,0.5)中的频率为0.08×0.5=0.04，同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5)中的频率分别为0.08，0.20，0.26，0.06，0.04，0.02．由0.04+0.08+0.5×a+0.20+0.26+0.5×a+0.06+0.04+0.02=1，解得a=0.30．（2）由（1），100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12．由以上样本的频率分布，可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为 300 000×0.12="36" 000．（3）因为前6组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.88>0.85，而前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73<0.85，所以2.5≤x<3．由0.3×(x –2.5)=0.85–0.73，解得x=2.9．所以，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准．【考点】频率分布直方图【名师点睛】本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算公式等基础知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力.在频率分布直方图中，第n个小矩形的面积就是相应组的频率，所有小矩形的面积之和为1，这是解题的关键，也是识图的基础．。

2020-2021成都市高一数学下期末试卷(附答案)

2020-2021成都市高一数学下期末试卷(附答案)一、选择题1．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S =A ．5B ．7C ．9D ．112．已知向量()cos ,sin a θθ=，()1,2b =，若a 与b 的夹角为6π，则a b +=（） A ．2B ．7C ．2D ．13．如图，在ABC ∆中，已知5AB =，6AC =，12BD DC =，4AD AC ⋅=，则AB BC ⋅=A ．-45B ．13C ．-13D ．-374．设m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则（） A ．若//m α，//n α，则//m n B ．若//m α，//m β，则//αβ C ．若//m n ，n α⊥，则m α⊥D ．若//m α，αβ⊥，则m β⊥5．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小的一份为（） A ．53B ．103C ．56D ．1166．设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（） A ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ B ．若l α⊥，//l m ，则m α⊥ C ．若//l α，m α⊂，则//l mD ．若//l α，//m α，则//l m7．若函数()sin cos f x x x ωω=-(0)>ω在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，则ω的取值不可能为（） A ．14B ．15C ．12D ．348．设函数，则()sin 2cos 244f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（） A ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，其图象关于直线4x π=对称B ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，其图象关于直线2x π=对称C ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线4x π=对称 D ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线2x π=对称9．已知0,0a b >>，并且111,,2a b 成等差数列，则4a b +的最小值为（） A ．2B ．4C ．5D ．910．已知二项式12(*)nx n N x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，则3x 的系数为（） A ．14 B ．14-C ．240D ．240-11．若tan()24πα+=，则sin cos sin cos αααα-=+（）A ．12B ．2C ．2-D ．12-12．在ABC ∆中，2cos (,b,22A b c a c c+=分别为角,,A B C 的对边)，则ABC ∆的形状是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形或直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．正三角形二、填空题13．在区间[﹣2，4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x|≤m 的概率为，则m= _________ ．14．在200m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°,60°，则塔高为15．从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是______16．设a ，b 是非零实数，且满足sincos1077tan 21cos sin 77a b a b πππππ+=-，则b a ＝_______．17．已知函数42,0()log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，若1[()]2f f a =-，则a 的值是________.18．函数2cos 1y x =+的定义域是 _________.19．函数sin 3y x x =-的图像可由函数2sin y x =的图像至少向右平移________个单位长度得到．20．在ABC ∆中，120B =，1BC =，且ABC ∆的面积为32，则AC =__________．三、解答题21．某校200名学生的数学期中考试成绩频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是[)70,80,[)80,90,[)90,100,[)90,100，[)100,110，[)110,120.()1求图中m 的值；()2根据频率分布直方图,估计这200名学生的平均分；()3若这200名学生的数学成绩中,某些分数段的人数x 与英语成绩相应分数段的人数y 之比如表所示,求英语成绩在[)90,120的人数.分数段[)90,100[)100,110[)110,120:x y6:51:21:122．已知不等式的解集为或.（1）求；（2）解关于的不等式23．从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：（1）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；（2）求频率分布直方图中的a ，b 的值；24．已知数列{}n a 是等比数列，24a =，32a +是2a 和4a 的等差中项. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设22log 1n n b a =-，求数列{}n n a b 的前n 项和n T .25．等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9a a a a a +==.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设 31323log log ......log n n b a a a =+++，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .26．ABC ∆中，三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若(cos ,cos )m B C =，(2,)n a c b =+，且m n ⊥.（1）求角B 的大小；（2）若7b =，8a c +=，求ABC ∆的面积.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】1353333,1a a a a a ++===，5153355()25522S a a a a =+=⨯==，选A. 2．B【解析】【分析】先计算a 与b 的模，再根据向量数量积的性质22()a b a b +=+即可计算求值. 【详解】因为()cos ,sin a θθ=，()1,2b =，所以||1a =，||3b =.又222222()2||2||||cos||6a b a b a a b b a a b b +=+=+⋅+=+π+137=++=，所以7a b +=，故选B. 【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，向量的数量积，向量的模的计算，属于中档题.3．D解析：D 【解析】【分析】先用AB 和AC 表示出2A AB BC AB C AB ⋅=⋅-，再根据，12BD DC =用用AB 和AC 表示出AD ，再根据4AD AC ⋅=求出A AB C ⋅的值，最后将A AB C ⋅的值代入2A AB BC AB C AB ⋅=⋅-，，从而得出答案．【详解】()2A =A AB BC AB C AB AB C AB ⋅=⋅-⋅-，∵12BD DC =， ∴111B C ?C B 222AD A A AD AD A AD A -=-=-+（），整理可得：12AB 33AD AC +＝， 221A A 433AD AC AB C C ∴⋅⋅+=＝∴ A =-12AB C ⋅，∴2=A =122537AB BC AB C AB ⋅⋅---=-．，故选：D ．本题考查了平面向量数量积的运算，注意运用平面向量的基本定理，以及向量的数量积的性质，考查了运算能力，属于中档题．4．C解析：C 【解析】【分析】根据空间线面关系、面面关系及其平行、垂直的性质定理进行判断．【详解】对于A 选项，若//m α，//n α，则m 与n 平行、相交、异面都可以，位置关系不确定；对于B 选项，若l αβ=，且//m l ，m α⊄，m β⊄，根据直线与平面平行的判定定理知，//m α，//m β，但α与β不平行；对于C 选项，若//m n ，n α⊥，在平面α内可找到两条相交直线a 、b 使得n a ⊥，n b ⊥，于是可得出m a ⊥，m b ⊥，根据直线与平面垂直的判定定理可得m α⊥；对于D 选项，若αβ⊥，在平面α内可找到一条直线a 与两平面的交线垂直，根据平面与平面垂直的性质定理得知a β⊥，只有当//m a 时，m 才与平面β垂直．故选C ．【点睛】本题考查空间线面关系以及面面关系有关命题的判断，判断时要根据空间线面、面面平行与垂直的判定与性质定理来进行，考查逻辑推理能力，属于中等题．5．A解析：A 【解析】【分析】设5人分到的面包数量从小到大记为{}n a ，设公差为d ，可得345127()a a a a a ++=+，5100S =，求出3a ，根据等差数列的通项公式，得到关于d 关系式，即可求出结论.【详解】设5人分到的面包数量从小到大记为{}n a ，设公差为d ，依题意可得，15535()51002a a S a +===， 33451220,7()a a a a a a ∴=++=+， 6037(403)d d ∴+=-，解得556d =， 1355522033a a d ∴=-=-=. 故选:A. 【点睛】本题以数学文化为背景，考查等差数列的前n 项和、通项公式基本量的计算，等差数列的性质应用是解题的关键，属于中档题.6．B解析：B 【解析】【分析】利用,l α可能平行判断A ，利用线面平行的性质判断B ，利用//l m 或l 与m 异面判断C ，l 与m 可能平行、相交、异面，判断D . 【详解】l m ⊥，m α⊂，则,l α可能平行，A 错；l α⊥，//l m ，由线面平行的性质可得m α⊥，B 正确； //l α，m α⊂，则//l m ， l 与m 异面；C 错，//l α，//m α，l 与m 可能平行、相交、异面，D 错，.故选B. 【点睛】本题主要考查线面平行的判定与性质、线面面垂直的性质，属于中档题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，除了利用定理、公理、推理判断外，还常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.7．D解析：D 【解析】∵()sin cos (0)4f x x x x πωωωω⎛⎫=-=-> ⎪⎝⎭∴令22,242k x k k Z ππππωπ-+≤-≤+∈，即232,44k k x k Z ππππωωωω-+≤≤+∈ ∵()sin cos (0)f x x x ωωω=->在,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增 ∴42ππω-≤-且342ππω≥ ∴102ω<≤故选D. 8．D 解析：D 【解析】()sin(2)cos(2))2442f x x x x x πππ=+++=+=,由02,x π<<得02x π<<，再由2,x k k Z ππ=+∈,所以,22k x k Z ππ=+∈. 所以y=f(x)在()y f x =在(0,)2π单调递减,其图象关于直线2x π=对称,故选D.9．D解析：D 【解析】 ∵111,,2a b成等差数列， ()111141445529a b a a b a b a b a b b a b ⎛⎫∴+=∴+=++=+++⋅= ⎪⎝⎭，，当且仅当a =2b 即33,2a b ==时“=“成立，本题选择D 选项.点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．10．C解析：C 【解析】【分析】由二项展开式的通项公式为()12rn rr r nT C x -+⎛= ⎝及展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5可得：6n =，令展开式通项中x 的指数为3，即可求得2r ，问题得解．【详解】二项展开式的第1r +项的通项公式为()12rn rrr n T C x -+⎛= ⎝由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，可得：12:2:5n n C C =. 解得：6n =. 所以()()366216221rr n rr rr r r nT C x C x---+⎛==- ⎝ 令3632r -=，解得：2r ，所以3x 的系数为()2262621240C --=故选C 【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式，考查了方程思想及计算能力，还考查了分析能力，属于中档题．11．D解析：D 【解析】由tan()24πα+=有tan 112,tan 1tan 3ααα+==-，所以11sin cos tan 1131sin cos tan 1213αααααα---===-+++，选D.点睛：本题主要考查两角和的正切公式以及同角三角函数的基本关系式，属于中档题。

2021届成都市高一下期末数学试题模拟试题(一)

2021届成都市高一下期末模拟试题（一）1．已知集合A={x ∈R |2x ﹣3≥0}，集合B={x ∈R |（x ﹣2）（x ﹣1）＜0}，则A ∩B=（） A ．{x |x ≥} B ．{x |≤x ＜2} C ．{x |1＜x ＜2} D ．{x |＜x ＜2} 2．若0m n <<，则下列不等式中正确的是（） A.11n m > B. n m > C. 2n mm n +> D. m n mn +>3.已知θ是直线2210x y +-=的倾斜角，则sin θ的值是（）A．2-B．2C ．1D ．1- 4，…的一个通项公式是（） A．n a = B．n a =C．n a =D．n a =5.sin 15°的值为( ) ABCD6.若数列}{n a 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤-<≤=+)121( ,12)210( ,21n n n n n a a a a a ；若761=a ，则2015a 的值为（）． A ．76 B ．75 C ．73 D ．717．已知),2(,51cos sin ππααα∈=+，则tan α的值为（）A ．－43B ．－34C ．43或34D ．－43或－348．在ABC ∆中，若20sin A sin BcosC -=，则ABC ∆必定是（） A.钝角三角形 B .等腰三角形 C.直角三角形 D .锐角三角形 9．已知直线l 1：ax +2y +1=0与直线l 2：（3﹣a ）x ﹣y +a=0，若l 1⊥l 2，则实数a 的值（） A ．1B ．2C ．6D ．1或210.已知nn an222+=，则=6SA. 5669 B. 87 C. 2869 D. 16711．直线x +y +﹣1=0截圆x 2+y 2﹣2x ﹣2y ﹣2=0所得的劣弧所对的圆心角为（）A ．B ．C ．D ．12. 若点P 在平面区域20,250,20x y x y y --⎧⎪+-⎨⎪-⎩≤≥≤上，则u =y x -2的取值范围为．13.函数1(0,1)xy aa a -=>≠的图像恒过定点A , 若点A 在直线10(,0)mx ny m n +-=> 上, 则11m n+的最小值是 .14.已知等比数列}{n a 中，各项都是正数，且2312,21,a a a 成等差数列，则87109a a a a ++的值为 . 15．函数y=3cos 2x-4Sinx+1的最大值为，最小值为。

2021年四川省成都市实验中学高一数学文下学期期末试题含解析

2020-2021学年四川省成都市实验中学高一数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若对任意实数,都有，且，则实数的值等于A．B．－3或1 C．D．－1或3参考答案：B2. 设集合A和B都是坐标平面上的点集{（x，y）|x∈R，y∈R}，映射f：A→B把集合A中的元素（x，y}映射成集合B中的元素（x+y，x﹣y），则在映射f下，象（2，1）的原象是( )A．（3，1）B．（，）C．（，﹣）D．（1，3）参考答案：B【考点】映射．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据映射的定义结合题意可得 x+y=2，x﹣y=1，解得x，y的值，即可求出原像（x，y）【解答】解：由映射的定义结合题意可得 x+y=2，x﹣y=1，解得 x=，y=，故像（2，1）的原像是（，），故选B．【点评】本题主要考查映射的定义，在映射f下，像和原像的定义，属于基础题．3. 设有4个函数，第一个函数是y = f ( x )，第二个函数是它的反函数，将第二个函数的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到第三个函数的图象，第四个函数的图象与第三个函数的图象关于直线x + y = 0对称，那么第四个函数是（）（A）y = –f ( –x– 1 ) – 2 （B）y = –f ( –x + 1 ) – 2 （C）y = –f ( –x– 1 ) + 2 （D）y = –f ( –x + 1 ) + 2参考答案：C4. 若，那么下列不等式中正确的是（）A. B. C. D.参考答案：D【分析】根据不等式的性质分别进行判断即可．【详解】若，则，故A错，，故B错，，故选D.【点睛】本题主要考查不等式性质的应用，要求熟练掌握不等式的性质．注意不等式成立的条件．5. 已知均为非零实数，不等式与不等式的解集分别为集合M和集合N，那么“”是“”的（）A．充分非必要条件B．既非充分又非必要条件C．充要条件D．必要非充分条件参考答案：D略6. 若数列{a n}满足：a1=2，a n+1=，则a7等于（）A．2 B．C．﹣1 D．2018参考答案：A【分析】利用数列的递推关系式，逐步求解即可．【解答】解：数列{a n}满足：a1=2，a n+1=，则a2==，a3==﹣1a4==2a5==，a6==﹣1．a7==2．故选：A．7. 已知在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝3∶5∶7，那么这个三角形的最大角是（）A．135° B．90° C．120° D．150°参考答案：C8. 若A，B，C是直线l上不同的三个点，若O不在l上，存在实数x使得=，实数x为（）A．﹣2 B．0 C．D．参考答案：A【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】利用向量的运算法则将等式中的向量都用以O为起点的向量表示，利用三点共线的条件列出方程求x的值．【解答】解：∵x2+2x+=，∴x2+2x+﹣=，∴=﹣x2﹣（2x﹣1）；又A、B、C三点共线，∴﹣x2﹣（2x﹣1）=1，解得x=0或x=﹣2；当x=0时， =不满足题意，∴实数x为﹣2．故选：A．9.（）A. B. C. D.参考答案：D略10. （5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°参考答案：C考点：异面直线及其所成的角．专题：常规题型．分析：延长CA到D，根据异面直线所成角的定义可知∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，而三角形A1DB为等边三角形，可求得此角．解答：延长CA到D，使得AD=AC，则ADA1C1为平行四边形，∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，又A1D=A1B=DB=AB，则三角形A1DB为等边三角形，∴∠DA1B=60°故选C．点评：本小题主要考查直三棱柱ABC﹣A1B1C1的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法，考查转化思想，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知y=f(x)是定义在R上的奇函数，当时，,则在时的解析式是_______________参考答案：12. 给定集合，若对于任意，都有且，则称集合为完美集合，给出下列四个论断：①集合是完美集合；②完美集合不能为单元素集；③集合为完美集合；④若集合为完美集合，则集合为完美集合．其中正确论断的序号是________________．参考答案：③略13. 在等比数列{a n}中，、是关于的方程的两个实根，则____________________.参考答案：－8【分析】根据韦达定理，结合等比数列特点可判断出等比数列的偶数项均为负数；利用求得，则，代入求得结果.【详解】由韦达定理可得：，，可知，即等比数列的偶数项均为负数，可得：又本题正确结果：【点睛】本题考查等比数列性质的应用，关键是明确等比数列的所有奇数项符号一致；所有偶数项符号一致的特点.14. 已知正数数列{a n}的前n项和为S n，，设c为实数，对任意的三个成等差数列的不等的正整数m，k，n，不等式S m+S n＞cS k恒成立，则实数c的取值范围是．参考答案：（﹣∞，2]【考点】8H：数列递推式．【分析】，可得n≥2时，S n﹣S n﹣1=﹣1，化为：﹣=1．利用等差数列的通项公式可得S n=n2．设c为实数，对任意的三个成等差数列的不等的正整数m，k，n，不等式S m+S n＞cS k恒成立，则2k=m+n，（m+1）2+（n+1）2＞c（k+1）2，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵，∴n≥2时，S n﹣S n﹣1=﹣1，化为： =S n﹣1＞0，解得﹣=1．n=1时，﹣1，解得a1=1=S1．∴数列是等差数列，公差为1．∴=1+（n﹣1）=n．∴S n=n2．设c为实数，对任意的三个成等差数列的不等的正整数m，k，n，不等式S m+S n＞cS k恒成立，则2k=m+n，（m+1）2+（n+1）2＞c（k+1）2，∵2≥（m+1+n+1）2=（2k+2）2=4（k+1）2．∴（m+1）2+（n+1）2≥2（k+1）2，则实数c的取值范围是c≤2．故答案为：（﹣∞，2]．15. （5分）已知f（x）为定义在上的偶函数，当时，f（x）=2cosx﹣3sinx，设a=f（cos1），b=f（cos2），c=f（cos3），则a，b，c 的大小关系为．参考答案：b＞a ＞c考点：正弦函数的单调性；两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的图像与性质．分析：由题意可得，当时，f （x ）=2cosx ﹣3sinx 是减函数，函数f（x ）在[﹣ 0]上是增函数，再由1＞|cos3|＞|cos1|＞|cos2|＞0，利用函数的单调性可得a，b，c的大小关系．解答：∵已知f（x）为定义在上的偶函数，当时，f（x）=2cosx﹣3sinx 是减函数，∴函数f（x）在[﹣ 0]上是增函数．由于|cos1|＞cos＞，|cos2|=|﹣cos（π﹣2）|=cos（π﹣2）＜cos1，|cos3|=|﹣cos（π﹣3）|=cos（π﹣3）＞cos1，即 1＞|cos3|＞|cos1|＞|cos2|＞0，∴f（cos2）＞f（cos1）＞f（cos3），即 b＞a＞c，故答案为 b＞a＞c．点评：本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用，诱导公式，属于中档题．16. S n=++…+= ．参考答案：【考点】数列的求和．【分析】根据=（﹣），用裂项法进行数列求和．【解答】解：∵ ==（﹣），∴S n=++…+= [（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=（1﹣）=，故答案为：．【点评】本题主要考查利用裂项法进行数列求和，属于中档题．17. 用秦九韶算法计算多项式在时的值时,的值为参考答案：-57略三、解答题：本大题共5小题，共72分。

高一数学下学期期末考试试题理四川省成都市郫都区高一数学下学期期末考试试题理

郫都区2021—2021学年度下期期末考试制卷人：打自企；成别使；而都那。

审核人：众闪壹；春壹阑；各厅…… 日期：2022年二月八日。

高一理科数学说明：1.本卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部，满分是150分，时间是120分钟.2.所有试题均在答题卡相应的区域内答题.第I 卷〔选择题一共60分〕一. 选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项最符合题目要求的〕 1．化简22ππcossin 88-的值是 A ．12 B．2CD2．等比数列{}n a 中，31174a a a =，数列{}n b 是等差数列，且77b a =，那么59b b +=A ．2B ．4C ．16D ．83．假设0<<b a ，那么以下不等式中不成立的是A ．11a b> B ．33a b < C ．11a b a>- D ．22a b > 4．各项均不相等的等比数列{}2343,2,n a a a a ，若成等差数列，设n S 为数列{}n a 的前n 项和，那么33S a 等于A ．139B ．79C ．3D ．1 5．△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，45B =︒，c b ==，那么C = A ．60 B ．30 C ．120D ．60或者1206．假设sin cos 1sin cos 2αααα+=-，那么tan2α等于A ．34-B ．34 C ．43- D ．437．△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，假设cos cos a A b B =，那么△ABC 的形状为A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或者直角三角形 8．3cos 45x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，那么sin2x =A ．725-B ．725C ．2425-D ．24259．()4cos 5αβ+=，()1cos 5αβ-=，那么tan tan αβ⋅的值是A ．21 B ．103-C ．53-D ．5310．正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱11A B 的中点，那么1A B 与1D E 所成角的余弦值为A ．510 B ．1010 C ．55D ．10511．假设不等式02>++c bx ax 的解为）（其中n m n x m <<<<0，那么不等式02>+-a bx cx 的解为A ．n x m x -<->或B ．m x n -<<-C ．n x m x 11-<->或 D ．nx m 11-<<- 12．某几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积为A ．2B ．4C ．42D ．12正视图侧视图俯视图第II 卷〔非选择题一共90分〕考前须知：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指定的答题区域内答题,作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效.二.填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分〕 13．当1>x 时，11-+x x 的最小值为 . 14．=-10cos 310sin 1 . 15．如图，为了测量山坡上CD 的高度，某人从高为40米的楼AB 的底部A 处和楼顶B 处分别测得仰角60β=︒，30α=︒，假设山坡高为32米，那么高度是米.16．设1250a a a ，，，是从1,0,1-这三个整数中取值的数列，假设95021=+++a a a ，且 107)1()1()1(2502221=++++++a a a ，那么1250a a a ，，，中为0的项的个数是 .三、解答题〔本大题一一共6小题一共70分，解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤〕 17.〔本小题满分是10分〕在等比数列{}n a 中，12236,12a a a a +=+=. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设{}n b 是等差数列，且2244,b a b a ==，求数列{}n b 的公差，并计算12b b -3b + 4100b b -+-的值.18．〔本小题满分是12分〕αβ、为锐角，34tan =α，()5cos 5αβ+=-. 〔1〕求α2cos 的值；〔2〕求()tan αβ-的值.19．〔本小题满分是12分〕数列{}n a 的前n 项和为n S ，点()()n n S n ∈*Ν，均在二次函数()232f x x x =-的图像上．〔1〕求数列{}n a 的通项公式；〔2〕设13n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n Τ．20．〔本小题满分是12分〕如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D 为AC 中点，AB BC =，11A D AC ⊥．求证：〔1〕1//B C 平面1A BD ；〔2〕平面1A BD ⊥平面11AB C ．21.〔本小题满分是12分〕△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，假设5cos 5A =，sin 5cosBC =．〔1〕求tan C 的值；〔2〕假设22a =，求△ABC 的面积．22. 〔本小题满分是12分〕边长为1的正方形的边上有一点，边上有一点．满足的周长为2．〔1〕求的大小；〔2〕求面积的最小值．制卷人：打自企；成别使；而都那。

2021学年四川省高一(下)期末数学试卷有答案

2021学年四川省高一（下）期末数学试卷一、选择题（每题5分，共50分）请将选项填涂在答题卡上1. 已知a<b<0，则下列不等式正确的是（）A.a2<b2B.2a<2bC.ab<b2D.1a <1b2. 某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是( )A. B. C. D.3. 等差数列{a n}的前n项和为S n，若S2=2，S4=10，则S6等于（）A.12B.18C.24D.424. 已知圆x2+y2=r2在曲线|x|+|y|=4的内部，则半径r的范围是（）A.0<r<2√2B.0<r<√2C.0<r<2D.0<r<45. 如图，要测出山上石油钻井的井架BC的高，从山脚A测得AC＝60m，塔顶B的仰角α＝45∘，塔底C的仰角15∘，则井架的高BC为（）A.20√2mB.30√2mC.20√3mD.30√3m6. 若实数x，y满足约束条件{x+y≥0x−y+3≥00≤x≤3，则z=2x−y的最大值为（）A.−92B.11C.0D.97. 已知两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为A n和B n，且A nB n =7n+45n+3，则使得a nb n为整数的正整数n的个数是（）A.2B.3C.4D.58. 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝(b+c)cos C，则△ABC的形状是（）A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.锐角三角形9. 已知直线l1:ax−y+1=0与l2:x+ay+1=0，给出如下结论：①不论a为何值时，l1与l2都互相垂直；②当a变化时，l1与l2分别经过定点A(0, 1)和B(−1, 0)；③不论a为何值时，l1与l2都关于直线x+y=0对称；④当a变化时，l1与l2的交点轨迹是以AB为直径的圆（除去原点）．其中正确的结论有（）A.①③B.①②④C.①③④D.①②③④10. 在△ABC中，E，F分别是AC，AB的中点，且3AB＝2AC，若BECF<t恒成立，则t的最小值为（）A.3 4B.78C.1D.54二、填空题（每题5分，共25分）请将答案填在答题卡上不等式x−2x+1≤0的解集是________．已知直线l:ax+(1−2a)y+1−a=0．不通过第四象限，则a的取值范围是________．过直线l:y=2x上一点P作圆C：(x−8)2+(y−1)2=2的切线l1，l2，若l1，l2关于直线l对称，则点P到圆心C的距离为________．若方程|x2−1|x−1=kx有两个实数根，则实数k的取值范围是________．下列命题：①△ABC中，若A<B，则cos2A<cos2B；②若A，B，C为△ABC的三个内角，则4A +1B+C的最小值为9π③已知a n =sinnπ6+162+sinnπ6(n ∈N ∗)，则数列{a n }中的最小项为193；④若函数f(x)=log 2(x +1)，且0<a <b <c ，则f(a)a<f(b)b<f(c)c；⑤函数f(x)=√x 2−2x +5+√x 2−4x +13的最小值为√29．其中所有正确命题的序号是________．三、解答题（16-19题每题12分，20题13分，21题14分，共75分）请在答题卡对应位置规范答题.{a n }是公比大于l 的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和．若S 3=7，且a 1+3，3a 2，a 3+4构成等差数列．（1）求{a n }的通项公式．（2）令b n =log 2a 2n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ，b ，c 成等比数列，cos B =34．（1）求1tan A+1tan C的值；（2）设BA →⋅BC →=32，求a +c 的值．已知定义在R 上的函数f(x)=x 2−(3−a)x +2(1−a)（其中a ∈R ）． (1)解关于x 的不等式f(x)>0；(2)若不等式f(x)≥x −3对任意x >2恒成立，求a 的取值范围．已知直线l:ax −y +√2−a =0(a ∈R)，圆O:x 2+y 2=4．（1）求证：直线l 与圆O 相交；（2）判断直线l 被圆O 截得的弦何时最短？并求出最短弦的长度；（3）如图，已知AC、BD为圆O的两条相互垂直的弦，垂足为M(1, √2)，求四边形ABCD的面积的最大值．a n+1(n≥1,n∈Z)．已知数列{a n}中，a1=1，a1+2a2+3a3+⋯+na n=n+12（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）求数列{n2a n}的前n项和T n；（3）若存在n∈N∗，使关于n的不等式a n≤(n+1)λ成立，求常数λ的最小值．已知定点O(0, 0)，A(3, 0)，动点P到定点O距离与到定点A的距离的比值是1．√λ（I）求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线；（II）当λ=4时，记动点P的轨迹为曲线D．①若M是圆E：(x−2)2+(y−4)2=64上任意一点，过M作曲线D的切线，切点是N，求|MN|的取值范围；②已知F，G是曲线D上不同的两点，对于定点Q(−3, 0)，有|QF|⋅|QG|=4．试问无论F，G两点的位置怎样，直线FG能恒和一个定圆相切吗？若能，求出这个定圆的方程；若不能，请说明理由．参考答案与试题解析2021学年四川省高一（下）期末数学试卷一、选择题（每题5分，共50分）请将选项填涂在答题卡上1.【答案】B【考点】不等式的基本性质【解析】令a=−2，b=−1，可得a2>b2，2a<2b，ab>b2，1a >1b，故A、B、D都不正确，只有B正确，由此得到结论．【解答】解：∵已知a<b<0，不妨令a=−2，b=−1，可得a2>b2，2a<2b，ab>b2，1 a >1b，故A、B、D都不正确，只有B正确，故选B．2.【答案】C【考点】简单空间图形的三视图【解析】由图可知，此几何体为组合体，对照选项分别判断组合体的结构，能吻合的排除，不吻合的为正确选项【解答】解：依题意，此几何体为组合体，若上下两个几何体均为圆柱，则俯视图为A；若上边的几何体为正四棱柱，下边几何体为圆柱，则俯视图为B；若俯视图为C，则正视图中应有虚线，故该几何体的俯视图不可能是C；若上边的几何体为底面为等腰直角三角形的直三棱柱，下面的几何体为正四棱柱时，俯视图为D；故选C.3.【答案】C【考点】等差数列的前n项和【解析】利用等差数列的性质s2，s4−s2，s6−s4成等差数列进行求解．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，∴S2，S4−S2，S6−S4成等差数列，即2，8，S6−10成等差数列，∴2+S6−10=8×2，∴S6=24，【答案】A【考点】圆的标准方程【解析】曲线|x|+|y|=4表示边长为4√2的正方形，x2+y2=r2表示以原点为圆心的圆，要使圆在正方形的内部，即要圆的半径小于等于圆心到正方形边的距离，利用点到直线的距离公式求出此距离，即可得到满足题意的r的范围．【解答】解：根据题意画出图形，如图所示：可得曲线|x|+|y|=4表示边长为4√2的正方形，如图ABCD为正方形，x2+y2=r2表示以原点为圆心的圆，过O作OE⊥AB，∵边AB所在直线的方程为x+y=4，∴|OE|=4√2=2√2，则满足题意的r的范围是0<r<2√2．故选A5.【答案】B【考点】正弦定理任意角的三角函数【解析】由图和测得的仰角求出∠BAC和∠ABC，放在△ABC中利用正弦定理求出BC的长度．【解答】由题意得，∠BAC＝45∘−15∘＝30∘，∠ABC＝α＝45∘，且AC＝60m，在△ABC中，由正弦定理得，BC sin∠BAC =ACsin∠ABC，即BCsin300=60sin450，解得BC＝30√2(m)，6.【考点】简单线性规划【解析】首先作出可行域，再作出直线l0:y=2x，将l0平移与可行域有公共点，直线y=2x−z 在y轴上的截距最小时，z有最大值，求出此时直线y=2x−z经过的可行域内的点的坐标，代入z=2x−y中即可．【解答】解：如图，作出可行域，作出直线l0:y=2x，将l0平移至过点A处时，函数z=2x−y 有最大值9．故选D7.【答案】D【考点】等差数列的前n项和【解析】充分利用等差数列前n项和与某些特殊项之间的关系解题．【解答】解：由等差数列的前n项和及等差中项，可得a nb n =12(a1+a2n−1)12(b1+b2n−1)=12(2n−1)(a1+a2n−1)12(2n−1)(b1+b2n−1)=A2n−1 B2n−1=7(2n−1)+45(2n−1)+3=14n+382n+2=7n+19n+1=7+12n+1(n∈N∗)，故n=1，2，3，5，11时，a nb n为整数．故选D 8.【答案】A【考点】三角形的形状判断【解析】要判断△ABC的形状，根据题意，可利用正弦定理asin A =bsin B=csin C=2R将a＝(b+c)cos C中的边转化为相应角的正弦，然后化简整理即可．【解答】根据正弦定理理asin A =bsin B=csin C=2R得：a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C，∵a＝(b+c)cos C，∴sin A＝(sin B+sin C)cos c，又A+B+C＝π，∴sin A＝sin(B+C)＝sin B cos C+sin C cos B＝sin B cos C+sin C cos C，化简得cos B＝cos C又B，C∈(0, π)，∴B＝C，即△ABC为等腰三角形．9.【答案】B【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系【解析】①l1与l2垂直时，利用两直线垂直的充要条件可判断；②对于直线l1与l2分别令x=0，y=0，即可知直线恒过定点；③在l1上任取点(x, ax+1)，关于直线x+y=0对称的点的坐标为(−ax−1, −x)，代入l2:x+ay+1=0的左边，可得不为0，故可判断；④联立方程，消去参数，由方程可确定l1与l2的交点轨迹．【解答】解：①a×1−1×a=0恒成立，l1与l2垂直恒成立，故①正确；②直线l1:ax−y+1=0，当a变化时，x=0，y=1恒成立，所以l1经过定点A(0, 1)；l2:x+ay+1=0，当a变化时，y=0，x=−1恒成立，所以l2经过定点B(−1, 0)，故②正确③在l1上任取点(x, ax+1)，关于直线x+y=0对称的点的坐标为(−ax−1, −x)，代入l2:x+ay+1=0的左边，显然不为0，故③不正确；④联立直线l1:ax−y+1=0与l2:x+ay+1=0，消去参数a可得：x2+x+y2−y=0(x≠0, y≠0)，∴当a变化时，l1与l2的交点轨迹是以AB为直径的圆（除去原点），故④正确．故选：B．10.【答案】【考点】函数的最值及其几何意义余弦定理【解析】根据题意画出相应的图形，要求t的最小值，即要求BE与CF比值的最大值，方法为：由AB与AC的关系，用AB表示出AC，由E、F分别为AC、AB的中点，在三角形ABE中，由AB，AE及∠A，利用余弦定理表示出BE2，在三角形ACF中，由AF，AC及∠A，利用余弦定理表示出CF2，并表示出BE与CF的平方比，开方并分离出常数，由A为三角形的内角，得到A的范围，观察表示出的比值发现当cos A的值最小时，比值最大，故当A趋于π时，cos A趋于−1，此时比值最大，求出此时的最大值，即可得到t的取值范围．【解答】根据题意画出图形，如图所示：∵3AB＝2AC，∴AC=3AB，2又E、F分别为AC、AB的中点，∴AE=12AC，AF=12AB，∴在△ABE中，由余弦定理得：BE2＝AB2+AE2−2AB⋅AE⋅cos A＝AB2+(34AB)2−2AB⋅34AB⋅cos A=2516AB2−32AB2cos A，在△ACF中，由余弦定理得：CF2＝AF2+AC2−2AF⋅AC⋅cos A＝(12AB)2+(32AB)2−2⋅12AB⋅32AB⋅cos A=52AB2−32AB2cos A，∴BE2CF2=2516AB2−32AB2cos A52AB2−32AB2cos A=2516−32cos A52−32cos A，∴BECF =√2516−32cos A52−32cos A=√1−1540−24cos A，∵当cos A取最小值时，BECF比值最大，∴当A→π时，cos A→−1，此时BECF 达到最大值，最大值为√1−1540+24=78，则BECF <t恒成立，t的最小值为78．故选：B．二、填空题（每题5分，共25分）请将答案填在答题卡上【答案】(−1, 2]【考点】其他不等式的解法【解析】推出不等式的同解不等式，然后解答即可．【解答】解：不等式x−2x+1≤0可化为{x+1≠0(x−2)(x+1)≤0解得−1<x≤2故答案为：(−1, 2]【答案】12<a≤1【考点】直线的一般式方程【解析】求出直线的斜率，根据一次函数的图象可知斜率大于零，直线在y轴上的截距大于零0，列出方程组，即可求出a的范围．【解答】解：当a=12时，直线l的方程为：12x+12=0，即x=−1，此时l通过第四象限；当a≠12，且a≠0时，直线l的方程为：y=−a1−2ax+a−11−2al不通过第四象限，即{−a1−2a>0a−11−2a≥0解得：12<a≤1综上所述，当直线l 不通过第四象限时，a 的取值范围为12<a ≤1故答案为：12<a ≤1 【答案】3√5【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程直线与圆的位置关系两点间的距离公式【解析】由圆的方程找出圆心坐标，经过判定发现，圆心不在已知直线上，由对称性可知，只有直线y =2x 上的特殊点，这个点与圆心连线垂直于直线y =2x ，从这点做切线才能关于直线y =2x 对称．由直线y =2x 的斜率，利用两直线垂直时斜率的乘积为−1求出该点与圆心连线方程的斜率，由圆心坐标和求出的斜率写出此直线的方程，与已知直线方程联立求出该点的坐标，然后利用两点间的距离公式即可求出此时这个点到圆心C 的距离．【解答】解：显然圆心(8, 1)不在直线y =2x 上．由对称性可知，只有直线y =2x 上的特殊点，这个点与圆心连线垂直于直线y =2x ，从这点做切线才能关于直线y =2x 对称．所以该点与圆心连线所在的直线方程为：y −1=−12(x −8)，即x +2y −10=0，与y =2x 联立可求出该点坐标为(2, 4)，所以该点到圆心的距离为： √(8−2)2+(1−4)2=3√5．故答案为：3√5. 【答案】0<k <1或1<k <2 【考点】根的存在性及根的个数判断【解析】先画出函数y =kx ，y =|x 2−1|x−1的图象，利用方程|x 2−1|x−1=kx 有两个实根⇔函数y =kx ，y =|x 2−1|x−1的图象有两个交点，即可求出．【解答】解：画出函数y =kx ，y =|x 2−1|x−1的图象，由图象可以看出：①当0<k <1时，函数y =kx ，y =|x 2−1|x−1的图象有两个交点，即方程|x 2−1|x−1=kx 有两个实根；②当k =1时，函数y =kx ，y =|x 2−1|x−1的图象有1个交点，即方程|x 2−1|x−1=kx 有1个实根；③当1<k <2时，函数y =kx ，y =|x 2−1|x−1的图象有两个交点，即方程|x 2−1|x−1=kx 有两个实根．因此实数k的取值范围是0<k<1或1<k<2．故答案为：0<k<1或1<k<2．【答案】②③【考点】命题的真假判断与应用【解析】①先有正弦定理判断出sin A与sin B的大小关系，然后再利用余弦的倍角公式展开进行化简讨论．②先利用A+B+C=π，进行化简，然后利用基本不等式进行证明．③将数列转化为基本不等式的形式，然后利用基本不等式进行判断．④构造函数f(x)x，转化为斜率的大小进行判断．⑤先配方，将根式转化为两点间距离之和的最小值来求．【解答】解：①①△ABC中，若A<B，则a<b，由正弦定理asin A =bsin B得0<sin A<sin B，又cos⁡2A=1−2si n⁡2A，cos⁡2B=1−2sin⁡2B，所以cos2A>cos2B，所以①错误．②因为A+B+C=π，α=A，β=B+C，α+β=π，所以α+βπ=1，原式等价为4α+1β=(4α+1β)⋅1=(4α+1β)(α+βπ)=1π(5+αβ+4βα)≥1π(5+2√αβ⋅4βα)=9π，当且仅当αβ=4βα，即α=2β时取等号．所以②正确．③因为a n=sin nπ6+162+sin nπ6=2+sin nπ6+162+sin nπ6−2，因为1≤2+sin nπ6≤3，所以设t=2+sin nπ6，则1≤t≤3．因为函数y=t+16t−2在区间(0, 4)上单调递减，所以在[1, 3]上单调递减，所以当t=3时，函数有最小值3+163−2=193，则对应数列{a n}中的最小项为193，所以③正确．④令g(x)=f(x)x，则函数g(x)的几何意义为曲线上点与原点连线斜率的大小．由题意可知f(a)a ，f(b)b，f(c)c分别看作函数f(x)=log2(x+1)图象上的点（a, f(a)），（b, f(b)），（c, f(b)）与原点连线的斜率，由图象可知f(a)a >f(b)b>f(c)c，所以④错误．⑤原式可化简为f(x)=√(x−1)2+4+√(x−2)2+9=√(x−1)2+(0−2)2+√(x−2)2+(0−3)2，设点P(x, 0)，A(1, 2)，B(2, 3)，则原式等价为|PA|+|PB|的最小值，找出点A关于x轴的对称点D(1, −2)．则|PA|+|PB|=|PD|+|PB|≥|BD|，所以最小值为|BP|=√(2−1)2+(−2−3)2=√1+25=√26．所以⑤错误．所有正确命题的序号是②③．故答案为：②③．三、解答题（16-19题每题12分，20题13分，21题14分，共75分）请在答题卡对应位置规范答题.【答案】解：（1）设{a n}的公比为q(q>1)，则{a1+a2+a3=7(a1+3)+(a3+4)2=3a2…2分即{a 1+a 2+a 3=7a 1−6a 2+a 3=−7，也即{a 1(1+q +q 2)=7a 1(1−6q +q 2)=−7，解得{a 1=1q =2 故数列{a n }的通项为a n =2n−1．…6分（2）由（1）得a 2n =22n−1，故b n =log 222n−1=2n −1，…8分故{b n }是以1为首项，以2为公差的等差数列 …10分 ∴ T n =n ×1+n(n−1)2×2=n 2...12分．【考点】等差数列与等比数列的综合数列的求和【解析】（1）利用S 3=7，且a 1+3，3a 2，a 3+4构成等差数列，组成方程组，求出首项与公比，即可求{a n }的通项公式．（2）求得数列{b n }的通项，利用等差数列的求和公式求前n 项和T n ．【解答】解：（1）设{a n }的公比为q(q >1)，则{a 1+a 2+a 3=7(a 1+3)+(a 3+4)2=3a 2…2分即{a 1+a 2+a 3=7a 1−6a 2+a 3=−7，也即{a 1(1+q +q 2)=7a 1(1−6q +q 2)=−7，解得{a 1=1q =2 故数列{a n }的通项为a n =2n−1．…6分（2）由（1）得a 2n =22n−1，故b n =log 222n−1=2n −1，…8分故{b n }是以1为首项，以2为公差的等差数列 …10分 ∴ T n =n ×1+n(n−1)2×2=n 2...12分．【答案】解：（1）由cos B =34，得sin B =√1−(34)2=√74，由b 2=ac 及正弦定理得sin 2B =sin A sin C ．于是1tan A +1tan C =cos Asin A+cos C sin C =sin C cos A+cos C sin Asin A sin C =sin (A+C)sin 2B =sin B sin 2B =1sin B =47√7．（2）由BA →⋅BC →=32得ca ⋅cos B =32，由cos B =34，可得ca =2，即b 2=2．由余弦定理：b 2=a 2+c 2−2ac ⋅cos B ，又b 2=ac =2，cos B =34，得a 2+c 2=b 2+2ac ⋅cos B =2+4×34=5，则(a +c)2=a 2+c 2+2ac =5+4=9，解得：a +c =3．【考点】余弦定理等比数列的性质同角三角函数基本关系的运用正弦定理【解析】（1）由cos B 的值和B 的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sin B 的值，又a ，b ，c 成等比数列，根据等比数列的性质及正弦定理化简得到一个关系式，然后把所求的式子利用同角三角函数间的基本关系及两角和与差的正弦函数公式化简后，将得到的关系式和sin B 的值代入即可求出值；（2）根据平面向量的数量积得运算法则及cos B 的值化简BA →⋅BC →=32，即可得到ac 的值，进而得到b 2的值，然后由余弦定理和完全平方公式，由b 2和ac 及cos B 的值，即可得到a +c 的值．【解答】解：（1）由cos B =34，得sin B =√1−(34)2=√74，由b 2=ac 及正弦定理得sin 2B =sin A sin C ．于是1tan A+1tan C=cos A sin A +cos C sin C=sin C cos A+cos C sin Asin A sin C =sin (A+C)sin 2B =sin B sin 2B=1sin B =47√7．（2）由BA →⋅BC →=32得ca ⋅cos B =32，由cos B =34，可得ca =2，即b 2=2．由余弦定理：b 2=a 2+c 2−2ac ⋅cos B ，又b 2=ac =2，cos B =34，得a 2+c 2=b 2+2ac ⋅cos B =2+4×34=5，则(a +c)2=a 2+c 2+2ac =5+4=9，解得：a +c =3．【答案】解：(1)∵ f(x)=(x −2)[x −(1−a)]， ∴ f(x)>0⇔(x −2)[x −(1−a)]>0，当a <−1时，不等式的解集为(−∞, 2)∪(1−a, +∞)；当a =−1时，不等式的解集为(−∞, 2)∪(2, +∞)；当a >−1时，不等式的解集为(−∞, 1−a)∪(2, +∞)． (2)不等式f(x)≥x −3，即a ≥−x 2−4x+5x−2恒成立，又当x >2时，−x 2−4x +5x −2=−(x −2+1x −2)≤−2当且仅当x =3时取“=”号， ∴ a ≥−2．【考点】二次函数的性质基本不等式在最值问题中的应用【解析】（1）比较函数两零点的大小，利用分类讨论思想解不等式问题即可；（2）利用基本不等式求出函数的最大值，从而求出a 的范围．【解答】解：(1)∵ f(x)=(x −2)[x −(1−a)]，∴f(x)>0⇔(x−2)[x−(1−a)]>0，当a<−1时，不等式的解集为(−∞, 2)∪(1−a, +∞)；当a=−1时，不等式的解集为(−∞, 2)∪(2, +∞)；当a>−1时，不等式的解集为(−∞, 1−a)∪(2, +∞)．(2)不等式f(x)≥x−3，即a≥−x 2−4x+5x−2恒成立，又当x>2时，−x2−4x+5x−2=−(x−2+1x−2)≤−2当且仅当x=3时取“=”号，∴a≥−2．【答案】（1）证明：直线l：y−√2=a(x−1)，所以直线l过定点(1,√2)，∵12+(√2)2<4，∴(1,√2)在圆C内部，∴直线l与圆C相交．…3分（2）解：由（1）可知，直线l过定点M(1,√2)，当l⊥OM时，弦长最短．…4分∴k l=−1k OM =−√22，∴a=−√22此时，l的方程为x+√2y−3=0，圆心到直线的距离d=3√1+2=√3所以最短弦长：2√r2−d2=2√4−3=2...7分（3）解：设圆心O到AC、BD的距离为d1、d2，垂足分别为E、F，则四边形OEMF为矩形，则有d12+d22=3由平面几何知识知：|AC|=2√4−d12，|BD|=2√4−d22∴S四边形ABCD =12|AC|⋅|BD|=2√4−d12√4−d22≤(4−d12)+(4−d22)=8−(d12+d22)=5（当且仅当d1=d2取等号）∴四边形ABCD的面积的最大值为5．…12分．【考点】直线和圆的方程的应用直线与圆相交的性质【解析】（1）判断直线恒过定点，证明点在圆的内部，即可得到结论；（2）由（1）可知，直线l过定点M(1,√2)，当l⊥OM时，弦长最短；（3）设圆心O到AC、BD的距离为d1、d2，垂足分别为E、F，则四边形OEMF为矩形，则有d12+d22=3，表示出AC，BD，可得四边形ABCD的面积，利用基本不等式，即可求得最大值．【解答】（1）证明：直线l：y−√2=a(x−1)，所以直线l过定点(1,√2)，∵12+(√2)2<4，∴(1,√2)在圆C内部，∴直线l与圆C相交．…3分（2）解：由（1）可知，直线l过定点M(1,√2)，当l⊥OM时，弦长最短．…4分∴k l=−1k OM =−√22，∴a=−√22此时，l的方程为x+√2y−3=0，圆心到直线的距离d=3√1+2=√3所以最短弦长：2√r2−d2=2√4−3=2...7分（3）解：设圆心O到AC、BD的距离为d1、d2，垂足分别为E、F，则四边形OEMF为矩形，则有d12+d22=3由平面几何知识知：|AC|=2√4−d12，|BD|=2√4−d22∴S四边形ABCD =12|AC|⋅|BD|=2√4−d12√4−d22≤(4−d12)+(4−d22)=8−(d12+d22)=5（当且仅当d1=d2取等号）∴四边形ABCD的面积的最大值为5．…12分．【答案】解：（1）因为a1+2a2+3a3+⋯+na n=n+12a n+1(n∈N∗)所以a1+2a2+3a3+⋯+(n−1)a n−1=n2a n(n≥2)−−−−−−−两式相减得na n=n+12a n+1−n2a n所以(n+1)a n+1na n=3(n≥2)−−−−−−−−−−−−因此数列{na n}从第二项起，是以2为首项，以3为公比的等比数列所以na n=2⋅3n−2(n≥2)−−−−故a n={1,n=1⋅−−−−−−−−−−−−（2）由（1）可知当n≥2n2a n=2n⋅3n−2当n≥2时，T n=1+4⋅30+6⋅31+⋯+2n⋅3n−2，------------ ∴3T n=3+4⋅31+⋯+2(n−1)⋅3n−2+2n⋅3n−1，------------两式相减得T n=12+(n−12)⋅⋅3n−1(n≥2)−−−−−−−−−−−−又∵T1=a1=1也满足上式，------------所以T n=12+(n−12)⋅⋅3n−1(n∈N∗)−−−−−−−−−−−−（3）a n≤(n+1)λ等价于λ≥a nn+1，------------由（1）可知当n≥2时，a nn+1=2⋅3n−2n(n+1)设f(n)=n(n+1)2⋅3n−2(n≥2,n∈N∗)，则f(n+1)−f(n)=n(n+1)(1−n)2⋅3n−1<0，------------∴1f(n+1)≥1f(n)，又1f(2)=13及a12=12，∴所求实数λ的取值范围为λ≥13，∴λmin=13−−−−−【考点】数列递推式数列的求和【解析】（1）再写一式，两式相减，可得数列{na n}从第二项起，是以2为首项，以3为公比的等比数列，从而可求数列{a n}的通项公式a n；（2）利用错位相减法，可求数列{n2a n}的前n项和T n；（3）分离参数，求出相应的最值，即可求常数λ的最小值．【解答】解：（1）因为a1+2a2+3a3+⋯+na n=n+12a n+1(n∈N∗)所以a1+2a2+3a3+⋯+(n−1)a n−1=n2a n(n≥2)−−−−−−−两式相减得na n=n+12a n+1−n2a n所以(n+1)a n+1na n=3(n≥2)−−−−−−−−−−−−因此数列{na n}从第二项起，是以2为首项，以3为公比的等比数列所以na n=2⋅3n−2(n≥2)−−−−故a n={1,n=1⋅−−−−−−−−−−−−（2）由（1）可知当n≥2n2a n=2n⋅3n−2当n≥2时，T n=1+4⋅30+6⋅31+⋯+2n⋅3n−2，------------ ∴3T n=3+4⋅31+⋯+2(n−1)⋅3n−2+2n⋅3n−1，------------两式相减得T n=12+(n−12)⋅⋅3n−1(n≥2)−−−−−−−−−−−−又∵T1=a1=1也满足上式，------------所以T n=12+(n−12)⋅⋅3n−1(n∈N∗)−−−−−−−−−−−−（3）a n≤(n+1)λ等价于λ≥a nn+1，------------由（1）可知当n≥2时，a nn+1=2⋅3n−2n(n+1)设f(n)=n(n+1)2⋅3n−2(n ≥2,n ∈N ∗)，则f(n +1)−f(n)=n(n+1)(1−n)2⋅3n−1<0，------------∴ 1f(n+1)≥1f(n)，又1f(2)=13及a 12=12，∴ 所求实数λ的取值范围为λ≥13，∴ λmin =13−−−−− 【答案】解：(I)设动点P 的坐标为(x, y)，则由√λ|PO|=|PA|，得λ(x 2+y 2)=(x −3)2+y 2，整理得：(λ−1)x 2+(λ−1)y 2+6x −9=0．∵ λ>0，∴ 当λ=1时，则方程可化为：2x −3=0，故方程表示的曲线是线段OA 的垂直平分线；当λ≠1时，则方程可化为(x +3λ−1)2+y 2=[3√λ(λ−1)]2，即方程表示的曲线是以(−3λ−1，0)为圆心，3√λ|λ−1|为半径的圆．…5分（II ）当λ=4时，曲线D 的方程是x 2+y 2+2x −3=0，故曲线D 表示圆，圆心是D(−1, 0)，半径是2．①由|DE|=√(2+1)2+(4−0)2=5，及5<8−2有：两圆内含，且圆D 在圆E 内部．如图所示，由|MN|2=|MD|2−|DN|2有：|MN|2=|MD|2−4，故求|MN|的取值范围就是求|MD|的取值范围．而D 是定点，M 是圆上的动点，故过D 作圆E 的直径，得|MD|min =8−5=3，|MD|max =8+5=13，故5≤|MN|2≤165，√5≤|MN|≤√165．…9分 ②解法一：设点Q 到直线FG 的距离为d ，∠FQG =θ，则由面积相等得到|QF|⋅|QG|sin θ=d|FG|，且圆的半径r =2．即d =4sin θ|FG|=4sin θ2r sin θ=1．于是顶点Q 到动直线FG 的距离为定值，即动直线FG 与定圆(x +3)2+y 2=1相切．②解法二：设F ，G 两点的坐标分别为F(x 1, y 1)，G(x 2, y 2)，则由|QF|⋅|QG|=4有：√(x 1+3)2+y 12⋅√(x 2+3)2+y 22=4，结合x 12+y 12+2x 1−3=0，x 22+y 22+2x 2−3=0有：√4x 1+12⋅√4x 2+12=4⇒x 1x 2+3(x 1+x 2)+8=0，若经过F 、G 两点的直线的斜率存在，设直线FG 的方程为y =mx +n ，由{y =mx +nx 2+y 2+2x −3=0，消去y 有：(1+m 2)x 2+(2mn +2)x +n 2−3=0，则x 1+x 2=−2mn+21+m 2，x 1x 2=n 21+m 2=1，所以x 1x 2+3(x 1+x 2)+8=n 2−31+m 2+−6mn−61+m 2+1+8m 21+m 2=0，由此可得8m 2−6mn +n 2=1，也即(3m −n)2=1+m 2，√1+m 2=1…(※)．假设存在定圆(x −a)2+(y −b)2=r 2，总与直线FG 相切，则 d =√1+m 2是定值r ，即d 与m ，n 无关，与√1+m 2=1…(※)对比，有{a =−3b =0，此时d =r =√1+m 2=1，故存在定圆(x +3)2+y 2=1，当直线FG 的斜率不存在时，x 1=x 2=−2，直线FG 的方程是x =−2，显然和圆相切．故直线FG 能恒切于一个定圆(x +3)2+y 2=1．…14分．【考点】圆的综合应用【解析】（I ）设动点坐标，利用动点P 到定点O 距离与到定点A 的距离的比值是√λ，建立方程，化简即可得到动点P 的轨迹方程，从而可得方程表示的曲线；（II ）当λ=4时，确定动点P 的轨迹方程．①确定两圆内含，且圆D 在圆E 内部．由|MN|2=|MD|2−|DN|2有：|MN|2=|MD|2−4，故求|MN|的取值范围就是求|MD|的取值范围；②解法一：设点Q 到直线FG 的距离为d ，∠FQG =θ，由面积相等得到顶点Q 到动直线FG 的距离为定值，从而可得结论；解法二：假设存在，设出直线方程，利用直线与圆相切，得出圆心到直线的距离等于半径，即可得到结论．【解答】解：(I)设动点P 的坐标为(x, y)，则由√λ|PO|=|PA|，得λ(x 2+y 2)=(x −3)2+y 2，整理得：(λ−1)x 2+(λ−1)y 2+6x −9=0．∵ λ>0，∴ 当λ=1时，则方程可化为：2x −3=0，故方程表示的曲线是线段OA 的垂直平分线；当λ≠1时，则方程可化为(x +3λ−1)2+y 2=[3√λ(λ−1)]2，即方程表示的曲线是以(−3λ−1，0)为圆心，3√λ|λ−1|为半径的圆．…5分（II ）当λ=4时，曲线D 的方程是x 2+y 2+2x −3=0，故曲线D 表示圆，圆心是D(−1, 0)，半径是2．①由|DE|=√(2+1)2+(4−0)2=5，及5<8−2有：两圆内含，且圆D 在圆E 内部．如图所示，由|MN|2=|MD|2−|DN|2有：|MN|2=|MD|2−4，故求|MN|的取值范围就是求|MD|的取值范围．而D 是定点，M 是圆上的动点，故过D 作圆E 的直径，得|MD|min =8−5=3，|MD|max =8+5=13，故5≤|MN|2≤165，√5≤|MN|≤√165．…9分 ②解法一：设点Q 到直线FG 的距离为d ，∠FQG =θ，则由面积相等得到|QF|⋅|QG|sin θ=d|FG|，且圆的半径r =2．即d =4sin θ|FG|=4sin θ2r sin θ=1．于是顶点Q 到动直线FG 的距离为定值，即动直线FG 与定圆(x +3)2+y 2=1相切．②解法二：设F ，G 两点的坐标分别为F(x 1, y 1)，G(x 2, y 2)，则由|QF|⋅|QG|=4有：√(x 1+3)2+y 12⋅√(x 2+3)2+y 22=4，结合x 12+y 12+2x 1−3=0，x 22+y 22+2x 2−3=0有：√4x 1+12⋅√4x 2+12=4⇒x 1x 2+3(x 1+x 2)+8=0，若经过F 、G 两点的直线的斜率存在，设直线FG 的方程为y =mx +n ，由{y =mx +nx 2+y 2+2x −3=0，消去y 有：(1+m 2)x 2+(2mn +2)x +n 2−3=0，则x 1+x 2=−2mn+21+m 2，x 1x 2=n 21+m 2=1，所以x 1x 2+3(x 1+x 2)+8=n 2−31+m2+−6mn−61+m 2+1+8m 21+m 2=0，由此可得8m 2−6mn +n 2=1，也即(3m −n)2=1+m 2，√1+m 2=1…(※)．假设存在定圆(x −a)2+(y −b)2=r 2，总与直线FG 相切，则 d =√1+m 2是定值r ，即d 与m ，n 无关，与√1+m 2=1…(※)对比，有{a =−3b =0，此时d =r =√1+m 2=1，故存在定圆(x +3)2+y 2=1，当直线FG 的斜率不存在时，x 1=x 2=−2，直线FG 的方程是x =−2，显然和圆相切．故直线FG 能恒切于一个定圆(x +3)2+y 2=1．…14分．。

2021-2022学年四川省成都市中学高一数学理期末试题含解析

2021-2022学年四川省成都市中学高一数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 经过直线：x－3y＋4=0和：2x+y＋5=0的交点，并且经过原点的直线方程是（）A．19x-9y=0 B．9x+19y=0 C．3x+19y=0 D．19x-3y=0参考答案：C2. 如图1，在正六边形ABCDEF中，（）A. B. C. D.参考答案：【知识点】向量的加法及其几何意义．D 解：根据正六边形的性质，我们易得=.故选D 【思路点拨】根据相等向量的概念与向量加法的多边形法则，进行向量加法运算即可．3. 设，，且，则（）A. B. C. D.参考答案：C，则，即，，，即故选.4. 已知五数成等比数列，四数成等差数列，则（）A、 B、 C、 D、参考答案：C略5. 定义域为R的偶函数f（x）满足对?x∈R，有f（x+2）=f（x）+f（1），且当x∈[2，3]时，f （x）=﹣2x2+12x﹣18，若函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在R上恰有六个零点，则a的取值范围是（）A．（0，）B．C．D．参考答案：C【考点】函数奇偶性的性质；抽象函数及其应用．【分析】根据定义域为R的偶函数f（x）满足对?x∈R，有f（x+2）=f（x）+f（1），可以令x=﹣1，求出f（1），再求出函数f（x）的周期为2，当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，画出图形，根据函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上恰有六个零点，利用数形结合的方法进行求解；【解答】解：因为 f（x+2）=f（x）+f（1），且f（x）是定义域为R的偶函数令x=﹣1 所以 f（﹣1+2）=f（﹣1）+f（1），f（﹣1）=f（1）即 f（1）=0 则有，f（x+2）=f（x）f（x）是周期为2的偶函数，当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18=﹣2（x﹣3）2图象为开口向下，顶点为（3，0）的抛物线∵函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上有六个零点，令g（x）=log a（|x|+1），∵f（x）≤0，∴g（x）≤0，可得a＜1，要使函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上有六个零点，如上图所示，只需要满足，解得，故选：C．6. 若cos，是第三象限的角，则＝ ()A． B. C．2 D．参考答案：A略7. 已知为奇函数，则的一个取值为（）A．0 B．πC．D．参考答案：D8. 设函数，（，，）的图象关于直线对称，它的周期是，则下列正确的是A．的图象过点（） B．在区间［］上是减函数C．图象的一个对称中心是（） D．的最大值是参考答案：C略9. 函数在实数集上是减函数，则（）A、 B、C、D、参考答案：B10. 函数图象的一个对称中心为（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】余弦函数的对称性．【分析】由题意，令x+=kπ+，k∈Z，可得对称中心为（2kπ+，0），k∈Z，即可得出结论．【解答】解：令x+=kπ+，k∈Z，可得对称中心为（2kπ+，0），k∈Z，k=0，对称中心为（，0），故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知正项等比数列{a n}中，a1=1，其前n项和为S n（n∈N*），且，则S4= ．参考答案：15【考点】89：等比数列的前n 项和．【分析】由题意先求出公比，再根据前n 项和公式计算即可．【解答】解：正项等比数列{a n }中，a 1=1，且，∴1﹣=，即q 2﹣q﹣2=0，解得q=2或q=﹣1（舍去），∴S4==15，故答案为：15．12. 圆锥的底面半径是1，它的侧面展开图是一个半圆，则它的母线长为。

四川省成都市建设中学2021年高一数学理下学期期末试题含解析

四川省成都市建设中学2021年高一数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 等于（）A． B． C． D．参考答案：B略2. ||=1，||=，=0，点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设=m+n（m、n∈R），则等于（）A．B．3 C．D．参考答案：B【考点】向量的共线定理；向量的模．【分析】将向量沿与方向利用平行四边形原则进行分解，构造出三角形，由题目已知，可得三角形中三边长及三个角，然后利用正弦定理解三角形即可得到答案．此题如果没有点C在∠AOB内的限制，应该有两种情况，即也可能为OC在OA顺时针方向30°角的位置，请大家注意分类讨论，避免出错．【解答】解：法一：如图所示： =+，设=x，则=． =∴==3．法二：如图所示，建立直角坐标系．则=（1，0），=（0，），∴=m+n=（m， n），∴tan30°==，∴=3．故选B【点评】对一个向量根据平面向量基本定理进行分解，关键是要根据平行四边形法则，找出向量在基底两个向量方向上的分量，再根据已知条件构造三角形，解三角形即可得到分解结果．3. 直线l：y=kx－3k与圆C：x+y－4x=0的位置关系是A. l与C相交B. l与C相切C. l与C相离D. 以上三个选项均有可能参考答案：A4. 把函数的图像向右平移个单位可以得到函数的图像，若为偶函数，则的值为（）A． B． C． D．参考答案：C略5. 以下六个关系式：①0∈{0}，②{0}??，③0.3?Q，④0∈N，⑤{a，b}?{b，a}，⑥{x|x2﹣2=0，x∈Z}是空集，其中错误的个数是（）A．1 B．3 C．2 D．4参考答案：A【考点】元素与集合关系的判断．【分析】依次对六个关系式判断，注意集合符号的应用．【解答】解：①0∈{0}，正确；②{0}??，正确；③Q指有理数集，故0.3?Q不正确；④0∈N，正确；⑤{a，b}?{b，a}，正确；⑥{x|x2﹣2=0，x∈Z}是空集，正确；故选A．【点评】本题考查了元素与集合的关系应用，注意常见数集的记法与应用．属于基础题．6. （5分）在空间直角坐标系中，以点A（4，1，9），B（10，﹣1，6），C（x，4，3）为顶点的△ABC是以BC为底边的等腰三角形，则实数x的值为（）A．﹣2 B． 2 C． 6 D．2或6参考答案：D考点：空间两点间的距离公式．专题：计算题．分析：根据三个点组成一个等腰三角形，写出两条腰相等的关系式，把关系式进行整理得到关于x的一元二次方程，解方程即可．解答：∵以点A（4，1，9），B（10，﹣1，6），C（x，4，3）为顶点的△ABC是以BC为底边的等腰三角形，∴|AB|=|AC|∴=，∴7=，∴x=2或x=6故选D．点评：本题考查空间两点之间的距离公式，解题的关键是构造等量关系，利用方程思想解决几何问题．7. 已知函数，则的值为．参考答案：略8. 函数的零点所在的大致区间是A、（-2，0）B、（0,1）C、（1，2） D、(2,3)参考答案：C9. 将函数y=（sinx+cosx）（sinx﹣cosx）的图象向左平移个单位后，得到函数y=g（x）的图象，则y=g（x）的图象( )A．关于原点对称B．关于y轴对称C．关于点（﹣，0）对称D．关于直线x=对称参考答案：A【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题．【分析】利用平方差公式和二倍角公式对解析式进行化简，根据左加右减求出g （x ）的解析式，由正弦函数的对称性进行判断．【解答】解：y=（sinx+cosx ）（sinx ﹣cosx ）=sin 2x ﹣cos 2x=﹣cos2x ，则由题意知，g （x ）=﹣cos2（x+）=sin2x ，即g （x ）的图象关于原点对称．故选A ．【点评】本题考查了复合三角函数图象的变换，根据平方差公式和二倍角公式对解析式进行化简，由条件和正弦函数的性质进行判断，考查了分析问题和解决问题的能力．10. 把直径分别为6 cm,8 cm,10 cm 的三个铁球熔成一个大铁球，则这个大铁球的半径为( ) A ．3 cm B ．6 cm C ．8 cm D ．12 cm 参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，若实数a 满足f （2|a ﹣1|）＞f （﹣），则a 的取值范围是．参考答案：（，）【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行转化进行求解即可．【解答】解：∵f（x ）是定义在R 上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增， ∴f（x ）在区间（0，+∞）上单调递减，则f （2|a ﹣1|）＞f （﹣），等价为f （2|a ﹣1|）＞f （），即﹣＜2|a ﹣1|＜，则|a ﹣1|＜，即＜a ＜，故答案为：（，）12. 已知集合A ={x ∈N |x 2-2x -4<0}，则A 中所有元素之和为参考答案：613. 函数的单调递减区间为___________________参考答案：略14. （5分）若向量=（2，﹣3）与向量=（x ，6）共线，则实数x 的值为．参考答案：﹣4考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：平面向量及应用．分析：根据两向量平行的坐标表示，列出方程，求出x 的值．解答： ∵向量=（2，﹣3）与向量=（x ，6）共线， ∴2×6﹣（﹣3）x=0；解得x=﹣4， ∴实数x 的值为﹣4．故答案为：﹣4．点评：本题考查了两向量平行的坐标表示的应用问题，是基础题目．15. 若，，则f （x ）?g （x ）= ．参考答案：（x＞0）．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】确定函数的定义域，再求出函数的解析式即可．【解答】解：由题意f（x）的定义域为{x|x≤﹣1或x≥0}，g（x）的定义域为{x|x＞0}，∴f（x）g（x）的定义域为{x|x＞0}，f（x）g（x）=，故答案为（x＞0）．16. 函数的值域是.参考答案：(0，1]令，则．∴．故函数的值域是．答案：17. 1求值：= .参考答案：－1三、解答题：本大题共5小题，共72分。

四川省成都市2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题(文科)(解析版)

四川省成都市2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知向量(2,1)a =-，则||(a = )AB ．1C ．2D ．5〖解析〗(2,1)a =-，||41a ∴=+〖答案〗A 2．22cos sin (88ππ-= )A ．12B ．2C D ．2-〖解析〗22cos sin cos884πππ-==．〖答案〗B3．等差数列{}n a 中，若11a =-，45a =，则公差(d = ) A ．2B ．3C ．4D ．5〖解析〗由等差数列的通项公式可得41241a a d -==-．〖答案〗A4．若||1a =，||3b =，32a b ⋅=，则向量a 与b 的夹角为( ) A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π〖解析〗设向量a 与b 的夹角为θ，[0θ∈，]π，||1a =，||3b =，32a b ⋅=，∴312cos 132||||a b a b θ⋅===⨯，∴3πθ=．〖答案〗C5．已知l ，b ，c 为空间中三条不同的直线，α为空间中一个平面，若b ，c α⊂，l b ⊥，l c ⊥，则l 与α的关系是( )A ．l α⊥B ．//l αC ．l 在α内D ．不确定〖解析〗若b ，c α⊂，l b ⊥，l c ⊥，当b 与c 相交时，l α⊥，故A 正确；若b ，c α⊂，l b ⊥，l c ⊥，当//b c 时，//l α或l 在α内，故BC 正确．〖答案〗D6．tan 45tan1545tan15(︒-︒-︒︒= )AB 2C ． D〖解析〗tan 45tan1545tan15︒-︒︒︒tan(4515)(1tan 45tan15)45tan15=︒-︒+︒︒-︒=．〖答案〗D7．下列说法正确的是( )A ．若0a b ⋅=，则向量a 与b 的夹角一定为直角B ．等比数列前n 项和公式为11n n a a qS q-=-C ．sin15cos15︒>︒D ．圆台（棱台）体积公式为1()3V S S h '=（其中S '，S 分别为上、下底面面积，h为圆台（棱台）高）〖解析〗A ．若0a b ⋅=时，当a 、b 均不为零向量时，a 与b 的夹角一定为直角，但是若a 、b 至少有一个为零向量，根据零向量的方向任意的，则不能得到它们夹角为直角，故A 错． B ．等比数列的前n 项和公式分1q =或1q ≠两种情况，当1q =时，1n S na =，故B 错． C ．跟据正余弦函数在[0︒，90]︒内的单调性并结合sin45cos45︒=︒可知，sin y x =在[0︒，45]︒，cos y x =在[0︒，45]︒由1，故sin15cos15︒<︒，故C 错．D ．圆台（棱台）体积公式为1()3V S S h '=（其中S '，S 分别为上、下底面面积，h为圆台（棱台）高）正确．〖答案〗D8．已知α，β都是锐角，若4cos 5β=，12cos()13βα+=，则cos (α= ) A ．865 B ．6365 C ．3365 D ．3365-〖解析〗α，β都是锐角，4cos 5β=，12cos()13βα+=，3sin 5β∴，5sin()13βα+==，1245363cos cos()cos()cos sin()sin 13513565αβαββαββαβ∴=+-=+++=⨯+⨯=．〖答案〗B9．如图，两个正方形ABCD ，ADEF 不在同一个平面内，点P ，Q 分别为线段EF ，CD 的中点，则直线FQ 与PB 的关系是( )A ．相交B ．平行C ．异面D ．不确定〖解析〗因为//AD BC ，//AD EF ，//CB EF ∴，所以B ，C ，F ，E 四点共面，即BC ，EF 确定平面BCEF ，又P EF ∈，B BC ∈，故直线BP ⊂平面BCEF ，又直线FQ ，F ∈平面BCEF ，Q ∉平面BCEF ，故直线FQ ⊂/平面BCEF ，又F BP ∉，故直线FQ 与PB 的关系是异面．〖答案〗C10．已知在递减等比数列{}n a 中，2518a a +=，2532a a ⋅=，若1n a =，则(n = ) A ．6B ．7C ．8D ．9〖解析〗由2518a a +=，2532a a ⋅=，得25216a a =⎧⎨=⎩或25162a a =⎧⎨=⎩．{}n a 是递减数列，∴25162a a =⎧⎨=⎩．35218a q a ∴==，即12q =．∴2262116()212n n n n a a q ---==⨯==，解得6n =．〖答案〗A11．三棱锥B ACD -的顶点都在同一球面上，其中BA ，BC ，BD 两两垂直，且3BA =，4BC =，5BD =，则该球的表面积为( )A ．100πB ．64πC ．50πD ．36π〖解析〗因为BA ，BC ，BD 两两垂直，则以BA ，BC ，BD 为长方体的三条棱，可得长方体的对角线为外接球的直径，设直径为2R ，3BA =，4BC =，5BD =，则2R == 所以224(2)50S R R πππ===球．〖答案〗C12．如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，56ADC π∠=，3BCD π∠=，3BE EC =，CD =，BE =，若点F 为边AD 上的动点，则EF BF ⋅的最小值为( )A ．1B ．1516C ．3132D ．2〖解析〗以B 为原点，BC 、BA 分别为x 、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，连接DE ，则B (0,0)，E 0)，3BE EC =，BE =，CE ∴=23CD =，3BCD π∠=，DE CE ∴⊥，即2DEC π∠=，得1DE =，6EDC π∠=，过点D 作DG AB ⊥于点G ，则DG BE ==D 1)，56ADC π∠=，6ADG π∴∠=，1AG ∴=，点(0,2)A ，∴直线AD 的方程为2y -=，即2y =+，由于点F 是边AD 上的动点，不妨设点(,2)F t +，[0t ∈，则(EF t =，2)+，(,2)BF t =+，∴22415((2)(316EF BF t t t ⋅=++=-+，[0t ∈，当t =EF BF ⋅取得最小值，为1516．〖答案〗B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知向量(1,2)a =，(,6)b x =，且//a b ，则x = ．〖解析〗向量(1,2)a =，(,6)b x =，且//a b ，162x ∴⨯=，解得3x =．〖答案〗314，底面半径为2，则其体积为．〖解析〗圆锥的底面积224S ππ=⨯=，则圆锥的体积11433V Sh π==⨯=．〖答 15．如图，取一个边长为1的正三角形，在每个边上以中间的13为一边，向外侧凸出作一个正三角形，再把原来边上中间的13擦掉，得到第2个图形，重复上面的步骤，得到第3个图形，这样无限地作下去，得到的图形的轮廓线称为科赫曲线，又名“雪花曲线”．根据图可知，第3个图形的边长为19，第4个图形的周长为．〖解析〗第1个图形的边长为1，第2个图形的边长是第1个图形的边长的13，第3个图形的边长是第2个图形的边长的13，∴第3个图形的边长为：1111339⨯⨯=；以一条边为例，原本的一条也被分成了3份，擦去1份，在擦掉的那条边上又衍出2条，即原本的1条边变成现在的(31)24-+=条，翻了4倍，∴周长之间的关系为1114433n n n b b b --=⋅⋅=， {}n b ∴是公比为43q =的等比数列，首项13b =，∴第4个图形的周长为344643()39b =⨯=．〖答案〗19；64916．在三棱锥A ﹣BCD 中，有AB ⊥AC ，AC ⊥AD ，AB ⊥AD ，且AB ＜AC ＜AD ，分别经过三条棱AB ，AC ，AD 作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为S 1，S 2，S 3，则S 1，S 2，S 3的大小关系是（按从大到小顺序排列，并用“＞”号连接）．〖解析〗如图还原成长方体，连接AE ，CD 与AE 交于点O ，则平面ABO 将三棱锥体积平分，点C 到平面ABO 的距离，有，则，同理，而，∵AB ＜AC ＜AD ， ∴，因此S 3＞S 2＞S 1．〖答案〗S 3＞S 2＞S 1三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知1e ，2e 是夹角为60︒的单位向量，设12a e te =+．（1）求12e e ⋅；（2）求||a 的最小值．解：（1）因为1e ，2e 是夹角为60︒的单位向量，所以121211||||cos601122e e e e ⋅=︒=⨯⨯=；（2）因为12a e te =+，所以22222211221321()24a e te e t e t t t =+⋅+=++=++，当12t =-时，2a 取得最小值34，所以||a= 18．（12分）已知a ，b ，c 分别是ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，且3a =，b =．（1）若4B π=，求角A ；（2）若 _____，求ABC ∆的面积．请从①sin2cos C C =，②c =2）中的条件补充完整，并作答（注意：只需选一个，若两个都选，则按所选的第一个计分）．解：（1）因为a ，b ，c 分别是ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，且3a =，b =，4B π=，由正弦定理，sin sin a b A B=，可得3sin A =3sin A ==，因为(0,)A π∈，所以3A π=或23π；（2）选①：sin2cos C C =，2sin cos cos C C C ∴=，∴1sin 2C =或cos 0C =，∴1sin 2ABC S ab C ∆=选②：222cos 2a b c C ab +-===，sin C ∴，∴11sin 322ABC S ab C ∆==⨯=． 19．（12分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，13(*)n n a a n N +-=∈，且318S =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．解：（1）13n n a a +-=，∴数列{}n a 是以公差为3的等差数列．又318S =，13918a ∴+=，13a =，3n a n ∴=．（2）由（1）知1111()(3)3(1)91n b n n n n ==⨯-⨯++，123n n T b b b b ∴=++++11111111[(1)()()()]9223341n n =-+-+-++-+ 11(1)91n =-+99nn =+．20．（12分）设函数()2cos 2f x x x =+．（1）求()f x 的周期和最值；（2）已知a ，b ，c 分别是ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，f （B ）1=，4a =，b =2BD DA =，求线段CD 的长．解：（1）()2cos22sin(2)6f x x x x π+=+，可得()f x 的周期22T ππ==，可得()2max f x =，()2min f x =-；（2）因为f （B ）2sin(2)16B π=+=，所以1sin(2)62B π+=，因为(0,)B π∈，2(66B ππ+∈，13)6π，所以5266B ππ+=，可得3B π=，又4a =，b =所以由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得22214242c c =+-⨯⨯⨯，整理可得24120c c --=，解得6c =，或2-（舍去），又2BD DA =，6BD DA +=，所以2BD =，在BCD ∆中，由余弦定理可得CD ．21．（12分）在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为矩形，平面ABCD ⊥平面PAB ，点E ，F 分别在线段CB ，AP 上，且CE EB =，AF FP =．（1）求证：//EF 平面PCD ；（2）若2AD AP PB ===，AP PB ⊥，求点D 到平面EFP 的距离．（1）证明：如图，取PD 的中点G ，连接GF ，GC ，在PAD ∆中，点G ，F 分别为PD ，AP 的中点，1//2GF AD ∴且12GF AD =，在矩形ABCD 中，E 为BC 的中点，1//2CE AD ∴且12CE AD =，//GF EC ∴且GF EC =，∴四边形GFEC 是平行四边形，//GC EF ∴，又GC ⊂平面PCD ，EF ⊂/平面PCD ，//EF ∴平面PCD ；（2）解：四边形ABCD 是矩形，AD AB ∴⊥，平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，AD ⊂平面ABCD ，AD ∴⊥平面PAB ，AD BP ∴⊥， AP BP ⊥，ADAP A =，AD ，AP ⊂平面PAD ，BP ∴⊥平面PAD ，即BP 就是点B 到平面PAD 的距离，//BC AD ，即//BC 平面PAD ，∴点E 到平面PAD 的距离等于点B 到平面PAD 的距离，又1112122PDF S PF AD ∆=⨯⨯=⨯⨯=，∴11212333E PDF PDF D EFP V S BP V -∆-=⋅=⨯⨯==，同理可证CB ⊥平面PAB ，即CB AP ⊥，且BP AP ⊥，CBBP B =，CB ，BP ⊂平面PCB ，AP ∴⊥平面PCB ，AP EP ∴⊥，即FP EP ⊥，∴11122EFP S FP EP ∆=⨯⨯=⨯，∴点D 到平面EFP 的距离为2133÷=． 22．（12分）数列在实际生活中有很多应用．例如某县城一位居民为了改善家庭的住房条件，决定重新购房．2022年7月1日，他来到了当地一个房屋交易市场，面对着房地产商林林总总的宣传广告，是应该购买一手商品房还是二手房呢，他一时拿不定主意．经过一番调查，这位居民收集到一些住房信息，然后在下表中列出了他的家庭经济状况和可供选择的方案：购房还需要贷款，这位居民选择了当地一家商业银行申请购房贷款．该银行的贷款评估员根据表格中的信息，向他提供了下列信息和建议：申请商业贷款，贷款期限为15年比较合适，年利率为5.04%，购房的首付款一般为实际购房总额的30%（最低20%)，贷款额一般为实际购房总额的70%，还款方式可选择等额本金还款，一般采用按季还款的方式，每季还款额可以分成本金部分和利息部分，其计算公式分别为：本金部分=贷款本金÷贷款期季数；利息部分=（贷款本金-已归还贷款本金累计额）⨯季利率．请用学过的数列知识帮这位居民算一算需要偿还的贷款总和，根据计算结果，你认为预选方案①、②到底哪个是他的最佳选择？阐述你的建议，并说明理由．参考资料ⅰ．对于家庭经济收入的分配，国内外经济学家提供了下述参考标准：家庭收入的30%用于偿还购房贷款，30%用于投资储蓄，20%用于子女教育，20%用于日常开销．因此，偿还购房贷款的金额占家庭总收入的20%~30%为宜．ⅱ．月利率=年利率12÷，季利率=年利率4÷解：方案①：如果首付3.6万元（住房总价值的30%)，贷款8.4万元，季利率为5.04%4 1.26%÷=，以贷款期为15年为例，每季等额归还本金为84000(154)1400÷⨯=（元)，⨯=（元)，因为第1个季度利息为84000 1.26%1058.4+=（元)．所以第1个季度还款额为14001058.42458.4因为第60个季度的利息为(84000140059) 1.26%17.64-⨯⨯=（元)，+=（元)．所以第60个季度还款额为140017.641417.64根据等差数列求和公式得：前60个季度求和，共还款额为(2458.41417.64)602116281.2+⨯÷=（元)．÷=，方案②：如果首付4万元，贷款10.2万元，季利率为5.04%4 1.26%以贷款期为15年为例，每季等额归还本金为102000(154)1700÷⨯=（元)．⨯=（元)，因为第1个季度利息为102000 1.26%1285.2+=（元)．所以第1个季度还款额为17001285.22985.2因为第60个季度的利息为(102000170059) 1.26%21.42-⨯⨯=（元)，+=（元)．所以第60个季度还款额为170021.421721.42根据等差数列求和公式可得：前60个季度求和，共还款额为(2985.21721.42)602141198.6+⨯÷=（元)．所以建议选方案①，第一，因为家庭每月总收入3000元，所以季总收入为9000元，偿还购房贷款的金额占家庭总收入的20%~30%为宜，即每季度还款为1800~2700比较合适，方案②前十几个季度的还款额都超过了2700，会导致家庭生活压力较大；第二，方案②要比方案①多付利息(141198.6102000116281.284000)->-；第三，方案②中的房产是旧房，有折损，使用年限会缩短．11。

2021-2022学年四川省成都市双流区高一下学期期末考试数学试题(解析版)

四川省成都市双流区2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，每小题只有一项是符合题目要求的．） 1．设平面向量(3,6)AB =-，点(1,2)A -，则点B 的坐标为( ) A ．(2,4)-B ．(2,4)-C ．(4,8)-D ．(4,8)-〖解析〗设O 为原点，则：(1,2)(3,6)AB OB OA OB =-=--=-，∴(1,2)(3,6)(2,4)OB =-+-=-，(2,4)B ∴-．〖答案〗B 2．不等式01xx -<-的解集为( ) A ．(1,0)- B ．(0,1)C ．(-∞，1)(0-⋃，)+∞D ．(-∞，0)(1⋃，)+∞〖解析〗不等式01xx -<-等价于(1)0x x ->，解得0x <或1x >，即不等式的解集为(-∞，0)(1⋃，)+∞．〖答案〗D3．cos cos()sin sin()ααβααβ-+-等于( ) A ．cos(2)αβ-B ．cos(2)αβ-C ．cos βD ．cos β-〖解析〗cos cos()sin sin()cos[()]cos ααβααβααββ-+-=--=．〖答案〗C4．若某圆锥的母线长3，底面周长为2π，则该圆锥的体积为( )A B C D 〖解析〗设圆锥的底面半径为r ，则22r ππ=，即1r =．∴圆锥的高为h ==可得圆锥的体积21133V π=⨯⨯=．〖答案〗A5．已知菱形ABCD 的边长为2，120D ∠=︒，则(AC BC ⋅= )A ．6B ．C ．2D ．-〖解析〗由题意知，30ACB ∠=︒，||23AC =所以||||cos 2cos306AC BC AC BC ACB ⋅=⋅∠=⨯︒=．〖答案〗A6．若等比数列{}n a 中6a =11项的乘积为( )A ．32B ．C ．16D ．〖解析〗等比数列{}n a 中6a =∴该数列前11项的乘积111112116a a a a ⋅⋅⋅⋅===〖答案〗B7．若该多面体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( ) A ．92π B ．12π C ．9π D ．36π〖解析〗∴∴球的直径是正方体的对角线，3，∴球的半径是32r =，∴球的表面积为：249r ππ=．〖答案〗C8．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知向量1(n m a +=，)n S ，(1,2)n =，若12a =，且//m n ，则对于任意的*n N ∈，下列结论正确的是( ) A ．1n n a a +=-B ．123n n a a +=C ．1n n S S +=D ．123n n S S +=〖解析〗//m n ，12n n S a +∴=，∴112n n a S +=，∴111322n n n n n n S S a S S S ++=+=+=，123n n S S +∴=．〖答案〗D9．我国古代数学著作《周髀算经》中记载了二十四节气与晷长的关系：每个节气的晷长损益相同．晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度，如图1所示，损益相同，即相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，且周而复始．二十四节气及晷长变化如图2所示．已知谷雨时节晷长为5.5尺，霜降时节晷长为9.5尺，则二十四节气中晷长的最大值为( )A ．14.5B ．13.5C ．12.5D ．11.5〖解析〗设相邻两个节气暑长减少或增加的量为(0)d d >，则谷雨到夏至减少4d ，夏至到霜降增加8d ，则5.5489.5d d -+=，解得1d =，霜降到冬至增加4d ，所以冬至所对的晷长为9.5413.5+=尺，所以二十四节气中晷长的最大值为冬至对应的晷长，是13.5尺．〖答案〗B10．在底面为等边三角形的三棱柱111ABC A B C -中，已知1AA ⊥平面ABC ，2AB =，14AA =，D 是棱1CC 的中点，M 是四边形11ABB A 内的动点．若1//C M 平面ABD ，则线段1C M 长的最小值为( )A ．B ．2CD 〖解析〗取1BB 、1AA 的中点F 、E ，连接1EC ，1FC ，EF ，如图，F 、D 分别为1AA ，1CC 的中点，1//FC AD ∴，1FC ⊂/平面ABD ，AD ⊂/平面ABD ，1//FC ∴平面ABD ，同理可得：1//EC 平面ABD ，111EC FC C =，∴平面1//C EF 平面ABD ，1//C M 平面ABD ，1C M ∴⊂平面1C EF ，即M ∈平面1C EF ，M 是四边形11ABB A 内的动点，M EF ∴∈，过点1C ，作1C M EF ⊥，此时1C M 值最小，1||EC =||1EM =，1||C M === 〖答案〗D11．已知0x >，0y >，0z >，且23x y z ++=，则()xy x y z z +++的最大值为( ) A ．3BC ．32D〖解析〗0x >，0y >，0z >，且23x y z ++=，23x y z ∴=-，0x >，0y >，0z >，∴23000y z y z ⎧->⎪>⎨⎪>⎩，令t y z =+，y ∴，z 所表示的可行域如下所示（不包含阴影部分的边界），由图可知当y z t =-+过A 时t 取最大值，过(0,0)O 时t 取最小值，0t ∴<<0y z <+<()xy x y z z ∴+++23)23)y z y y y z y z z =-++-++22232y zy yz z =--+--2)2()y z y z =+-+232(2y z =-++，∴当y z +=时，()xy x y z z +++取得最大值，最大值为32．〖答案〗C12．设O 为ABC ∆的外心，且满足2340OA OB OC ++=，||1OA =，则下列结论中正确的个数为：( )①78OB OC ⋅=-；②6||2AB =；③2A C ∠=∠．A ．3B ．2C ．1D ．0〖解析〗有题意可知：1OA OB OC ===． ①23402304OA OB OC OA B OC ++=⇒=--．两边同时平方得到：2224||9||16|0|24OA OB C OB OA =++⋅．解得：78OB OC ⋅=-，故①正确．②23402254254OA OB OC OA OB OB OC AB OB OC ++=⇒-=--⇒=+．两边再平方得到：224||25||16||40AB OB OC OB OC =++⋅．结合第一问解得：6||2AB =．所以②正确． ③2340324OA OB OC BO OA OC ++=⇒=+．两边平方得到：222941616||||cos BO OA OC OA OC AOC =++∠．解得：11cos 16AOC ∠=-．同理可得：1cos 4AOB ∠=，7cos 8BOC ∠=-．2AOB C ∠=∠，2COB A ∠=∠．cos 2C ∴∠，7cos28A ∠=-． 2217cos42cos 12()1cos248C C A ∠=∠-=⨯-=-=∠．2A C ∴∠=∠．故③正确．〖答案〗A二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把〖答案〗填在答题卡上．） 13．已知等差数列{}n a 中，12a =-，529a a -=，则该数列前6项的和为．〖解析〗设等差数列{}n a 的公差为d ，因为529a a -=，所以52352a a d -==-，又12a =-，所以616(61)61245332S a d -=+⨯=-+=．〖答案〗3314．测量某建筑AB 的高时，可以选取与其底B 在同一水平面内的两个测量基点C 与D ，如图所示，现测得45CBD ∠=︒，60BDC ∠=︒，30ACB ∠=︒，100CD m =，则建筑物AB 的高为 m ．〖解析〗在BCD ∆中，由正弦定理可得sin sin CB CDCDB CBD=∠∠，100sin sin CD CDBBC CBD⨯∠∴===∠在Rt ABC ∆中，30ACB ∠=︒，tan 50AB BC ACB ∴=∠==．〖答案〗5015．已知3sin22tan αα=，则cos2α的值为．〖解析〗因为3sin22tan αα=，所以2sin 6sin cos cos αααα=，所以sin 0α=，或21cos 3α=，当sin 0α=时，2cos212sin 1αα=-=，当21cos 3α=时，27cos22cos 19αα=-=-．〖答案〗1，79-16．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F 分别为棱BC ，1CC 的中点，G 是棱AB 上一点，且2AG GB =．过G ，E ，F 三点的平面截该正方体所得截面为边形（横线上填多边形的边数），该截面多边形的面积为．〖解析〗延长FE 与1B B 的延长线交于点H ，连接1A H ，延长EF 与11B C 的延长线交于点N ，因为E ，F 分别为棱BC ，1CC 的中点，所以ECF EBH ∆≅∆，ECF ∆≅△1NC F ，所以1BH CF ==，11C N EC ==，因为11113BG HB A B HB ==，所以点1A ，G ，H 三点共线，连接1A N ，设线段1A N 交线段11D C 于点Q ，连接QF ，则过G ，E ，F 三点的平面截该正方体所得截面为五边形1EFQAG ，因为△1~NC Q △11NB A ，所以1111113C Q NC A B NB ==，所以112D Q C Q =，因为11A H A N HN ==1A HN 中边HN=，所以112A HNS=⨯ 因为119HGEFNQ A HN S S S ∆∆==，所以五边形1EFQAG的面积为17799A HNS = 〖答三、解答题（本大题共6小题，共70分．除第17题的满分为10分外，其余每个题的满分均为12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．（10分）已知sin α=，(0,)2πα∈，求tan(2)4πα-的值．解：因为sin α=，(0,)2πα∈，所以cos α=，则1tan 2α=，所以22122tan 42tan 21131()2tan ααα⨯===--，所以41tan 2113tan(2)4471tan 2tan 1143πααπα---===+⋅+⨯． 18．（12分）已知向量||1a =，13a b ⋅=，2a b +与a b -垂直．（Ⅰ）求||b 的值；（Ⅱ）求向量b 与a b +夹角的余弦值．解：（Ⅰ）因为2a b +与a b -垂直，所以(2)()0a b a b +⋅-=，即2220a a b b +⋅-=，又||1a =，13a b ⋅=，所以2112||03b +-=，解得6||3b =．（Ⅱ）2121()333b a b a b b ⋅+=⋅-=-=-，2221||()21233a b a b a a b b +=+=+⋅+=+⨯=，设向量b 与a b +夹角为θ，则1()3cos ||||621b a b b a b θ-⋅+===⋅+⨯．故向量b 与a b +夹角的余弦值为． 19．（12分）设函数()(3)()f x x x a =--，a R ∈．（Ⅰ）解关于x 的不等式()0f x <；（Ⅱ）当(3,)x ∈+∞时，不等式()9f x -恒成立，求a 的取值范围．解：（Ⅰ）令()(3)()0f x x x a =--=，得1x a =，23x =，当3a <时，()0f x <的解集为(,3)a ；当3a =时，()0f x <的解集为∅；当3a >时，()0f x <的解集为(3,)a ；（Ⅱ）由()9f x -可得：2(3)390x a x a -+++，即有239(3)x x x a -+-，所以有239(3)x x x a -+-在(3,)x ∈+∞上恒成立，即22(3)39(3)3(3)9x a x x x x --+=-+-+在(3,)x ∈+∞上恒成立，所以9(3)33a x x -++-，又因为9(3)32(3)393x x x -++-=-，当且仅当933x x -=-，即6x =时，等号成立．所以a 的范围为(-∞，9]．20．（12分）设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．（Ⅰ）在下列三个条件中任选一个作为已知，将序号填在横线上 ① ，求角A ；①2cos 2a C b c =-；②cos sin b a C A =；③sin()sin2B Ca A B c ++=．（注：若选多个条件分别解答，按第一个解答给分．)（Ⅱ）若ABC ∆的面积为a 的值．解：(I)若选①：2cos 2a C b c =-，则由正弦定理，得2sin cos 2sin()sin A C A C C =+-，即2sin cos sin 0C A C -=， sin 0C ≠，0A π<<，1cos 2A ∴=，则3A π=．若选②：cos sin b a C A =，得sin sin cos sin B A C C A ==，sin()sin cos sin A C A C C A ∴+==，cos sin sin A C C A ∴=，tan A ∴0A π<<，3A π∴=．若选③：sin()sin 2B C a A B c ++=．sin sin sin sin()22AA C C π∴=-， 2sincos cos 222A A A ∴=，1sin 22A ∴=，∴26A π=，3A π∴=．(II)ABC ∴∆的面积为∴1()2a b c ++=24a b c ++=，又1sin 2cb A =，32bc ∴=，在ABC ∆中，由余弦定理可得222222cos ()3(24)332a b c bc A b c bc a =+-=+-=--⨯，解得10a =．21．（12分）如图，三棱锥P ABC -中，等边三角形PBC ∆的重心为O ，90BAC ∠=︒，2AB AC ==，PA =E ，F ，M 分别是棱BC ，BP ，AP 的中点，D 是线段AM 的中点．（Ⅰ）求证：//MO 平面DEF ；（Ⅱ）求证：平面DEF ⊥平面PBC ．证明：(I)连接PE ，则O 在PE 上，且2POOE=， M 是AP 的中点，D 是线段AM 的中点．∴2PMDM=， ∴2PO PMOE DM==，//OM DE ∴， OM ⊂/平面DEF ，DE ⊂平面DEF ，//MO ∴平面DEF ；(II)90BAC ∠=︒，2AB AC ==，BC ∴=，AE =，PE ∴=，PO =，在PEA ∆中，cos 3APE ∠===在POM ∆中，由余弦定理可得222812cos 3233OM PM PO PM PO APE =+-⋅⋅∠=+-=，2222133PM PO OM ∴==+=+，90POM ∴∠=︒，OM PE ∴⊥， 2AB AC ==，E 是BC 的中点，AE BC ∴⊥，PE BC ⊥，PEAE E =，BC ∴⊥平面PAE ，又BC ⊂平面PBC ，∴平面PAE ⊥平面PBC ，平面PAE ⋂平面PBC PE =，OM ∴⊥平面PBC ，DE ∴⊥平面PBC ，又DE ⊂平面DEF ，∴平面DEF ⊥平面PBC ．22．（12分）对于数列{}n c ，若从第二项起，每一项与它的前一项之差都大于或等于（小于或等于）同一个常数d ，则{}n c 叫做类等差数列，1c 叫做类等差数列的首项，d 叫做类等差数列的类公差．（Ⅰ）若类等差数列{}n c 满足*1(2,)n n c c d n n N --<∈，请类比等差数列的通项公式，写出数列{}n c 的通项不等式（不必证明）；（Ⅱ）若数列{}n a 中，113a =，212n n n a a a +=-．11 (i)判断数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是否为类等差数列，若是，请证明，若不是，请说明理由；(ii)记数列2{}n a 的前n 项和为n S ，证明：32321n n n S n n <++．解：（Ⅰ）*1(1)(2,)n c c n d n n N <+-∈．（Ⅱ）()i 数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是类等差数列．证明如下：212n n n a a a +=-，∴2111211122()22(22)21212n n n n n n n n n a a a a a a a a a +===+=+----， ∴111212n n na a a +-=-， 2120n n n a a a +=->，1n n a a +∴<，{}n a ∴是递减数列，11()3n max a a ==， 120n a ∴->，1120n a -->，11211(12)(12)(12)(12)(12)0n n n n n n a a a a a a a a +--∴=-=---⋅⋅⋅⋅->，103na ∴<， ∴1114()2201212(12)(12)n n n n n n a a a a a a -----=<----， 2{}12n a ∴-递减，22()6112123max n a ∴==--⨯，22()212120min n a ==--⨯， 11126n n a a +∴<-，∴数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是类等差数列． (ii)证明：212n n n a a a +=-，∴212n n n a a a --=， 2222123n n S a a a a ∴=+++⋅⋅⋅+23341122222n n a a a a a a a a +----=+++⋅⋅⋅+112n a a +-=，由(i)知1{}na 是类等差数列，结合()i 中结论得： 112363n n n a ++<+，且1103n a +<，1112(23)26(21)n a n n +∴-<--++， ∴11113(23)266(21)3(21)n a a n n n n n +-<-=+++， ∴3(23)3(21)n n n S n n <++，∴32321n n n S n n <++．。