最新数学分析(2)期末试题

合集下载

数学分析II期末考试题

∑ 2、讨论级数 ∞ cos nx (0 < x < π ) 的绝对和条件收敛性。 np n=1
四、证明题：（每小题 10 分，共 30 分）
∫x
tf (t)dt
1、 f（x）在[0，+∞）上连续且恒有 f（x）>0，证明 g(x) = 0
在[0，+∞）上单调增
∫x f (t)dt
0
加
∞
∑ { } 2、设正项级数 xn 收敛， n=1
=
x2
∫ 3、 I n =
+∞ e−x x n dx (n 是非负整数）
0
4、设 u = f (x 2 + y 2 + z 2 , xyz), f 具有二阶连续偏导数，求 ∂ 2u ∂z∂x
5、求 f (x) = e x 的幂级数展开式
三、讨论与验证题：（每小题 10 分，共 20 分）
1、讨论二元函数连续、偏可导、可微之间的关系。对肯定的结论任选一进行证明；对否定的结论，给出反例
2、证明： ∀m, n
>
m ，有 (n − m)
<
xm+1
+ " xn
<
xm 由此得 nxn
<
n n−m
xm ，（4
分）由
级数收敛，故 ∀ε
> 0 可取定 m0 使得 xm0
< ε ，又 lim n n→∞ n − m0
= 1 ，故 ∃n0 使得 n > n0 时，
有
n
n −m
<
2
，（4
分）于是当 n
∑ ∑ ∫ 二、1、由于 lim ln n n! = lim 1 (( n

西华师范大学数学分析大二期末试题(含答案)

西华师范大学数学分析（2）期末试题课程名称数学分析（Ⅱ）适用时间试卷类别1适用专业、年级、班应用、信息专业一、单项选择题（每小题3分，3×6＝18分）1、下列级数中条件收敛的是（）．A ．1(1)nn ∞=−∑B ．nn ∞=C ．21(1)nn n∞=−∑D ．11(1)nn n ∞=+∑2、若f 是(,)−∞+∞内以2π为周期的按段光滑的函数,则f 的傅里叶（Fourier ）级数在它的间断点x 处（）．A ．收敛于()f xB ．收敛于1((0)(0))2f x f x −++C ．发散D ．可能收敛也可能发散3、函数)(x f 在],[b a 上可积的必要条件是（）．A ．有界B ．连续C ．单调D ．存在原函数4、设()f x 的一个原函数为ln x ，则()f x ′=（）A ．1xB ．ln x xC ．21x −D ．xe5、已知反常积分20 (0)1dxk kx +∞>+∫收敛于1，则k =（）A ．2πB ．22πC ．2D ．24π6、231ln (ln )(ln )(1)(ln )n nx x x x −−+−+−+⋯⋯收敛，则（）A ．x e<B ．x e>C ．x 为任意实数D ．1e x e−<<二、填空题（每小题3分，3×6＝18分）1、已知幂级数1nn n a x∞=∑在2x =处条件收敛，则它的收敛半径为．2、若数项级数1n n u ∞=∑的第n 个部分和21n nS n =+，则其通项n u =，和S =．3、曲线1y x=与直线1x =，2x =及x 轴所围成的曲边梯形面积为．4、已知由定积分的换元积分法可得，10()()bxxaef e dx f x dx =∫∫，则a =，b =．5、数集(1)1, 2 , 3, 1nn n n ⎧⎫−=⎨⎬+⎩⎭⋯的聚点为．6、函数2()x f x e =的麦克劳林（Maclaurin ）展开式为．65三、计算题（每小题6分，6×5＝30分）1、(1)dxx x +∫．2、2ln x x dx ∫．3、 0(0)dx a >∫．4、 2 0cos limsin xx t dt x→∫．5、dx ∫．四、解答题（第1小题6分，第2、3小题各8分，共22分）1、讨论函数项级数21sin n nxn ∞=∑在区间(,)−∞+∞上的一致收敛性．2、求幂级数1nn x n ∞=∑的收敛域以及收敛区间内的和函数．3、设()f x x =,将f 在(,)ππ−上展为傅里叶（Fourier ）级数．五、证明题（每小题6分，6×2＝12分）1、已知级数1nn a∞=∑与1nn c∞=∑都收敛，且, 1, 2, 3 n n n a b c n ≤≤=⋯，证明：级数1nn b∞=∑也收敛．2、证明：22 00sin cos nn x dx x dx ππ=∫∫．66试题参考答案与评分标准课程名称数学分析(Ⅱ)适用时间试卷类别1适用专业、年级、班应用、信息专业一、单项选择题（每小题3分，3×6＝18分）⒈B⒉B⒊A⒋C⒌D⒍D二、填空题（每小题3分，3×6＝18分）⒈2⒉2, =2(1)n u S n n =+⒊ln 2⒋1, a b e ==⒌1±⒍201, (,)!nn x x n ∞=∈−∞+∞∑三、计算题（每小题6分，6×5＝30分）1.解111(1)1x x x x=−++∵1(1)dxx x ∴+∫（3分）11(1dxx x=−+∫ ln ln 1.x x C =−++（3分）2.解由分部积分公式得231ln ln 3x xdx xdx =∫∫3311ln ln 33x x x d x =−∫（3分）33111ln 33x x x dx x =−⋅∫3211ln 33x x x dx =−∫3311ln 39x x x C =−+（3分）3.解令sin , [0, ]2x a t t π=∈由定积分的换元积分公式，得0∫2220cos atdtπ=∫（3分）6768220(1cos 2)2a t dtπ=+∫221(sin 2)22a t t π=+2.4a π=（3分）4.解由洛必达(L ＇Hospital)法则得200cos limsin xx tdtx →∫20cos x x →=4分）lim cos x x→=1=（2分）5.解=（2分）20 sin cos x x dxπ=−∫4204(cos sin ) (sin cos )x x dx x x dx πππ=−+−∫∫（2分）244(sin cos )(sin cos )x x x x πππ=+−+2.=−（2分）四、解答题（第1小题6分，第2、3小题各8分，共22分）1.解(, ), x n ∀∈−∞∞∀+（正整数）22sin nx n n ≤（3分）而级数211n n ∞=∑收敛，故由M 判别法知，21sin n nxn ∞=∑在区间(,)−∞+∞上一致收敛．（3分）2.解幂级数1nn x n∞=∑的收敛半径111lim nn R n→∞==，收敛区间为(1,1)−．（2分）易知1nn x n ∞=∑在1x =−处收敛，而在1x =发散，故1nn x n∞=∑的收敛域为[1,1)−．（2分）01, (1, 1)1n n x x x ∞==∈−−∑（2分）逐项求积分可得0001, (1,1)1xx nn dt t dt x t ∞==∈−−∑∫∫．即101ln(1), (1,1).1n nn n x x x x n n+∞∞==−−==∈−+∑∑（2分）3.解函数f 及其周期延拓后的图形如下函数f 显然是按段光滑的，故由收敛性定理知它可以展开为Fourier 级数。

数学分析期末考试试题2

数学分析期末考试试题2### 数学分析期末考试试题2一、选择题（每题3分，共15分）1. 函数\( f(x) = \sin x \)在区间[0, \( \pi \)]上的最大值是： - A. 1- B. \( \frac{\pi}{2} \)- C. \( \sqrt{2} \)- D. \( \sqrt{3} \)2. 极限\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \)的值是：- A. 0- B. 1- C. \( \frac{1}{2} \)- D. \( \frac{\pi}{2} \)3. 如果\( \int_{0}^{1} f(x) \, dx = 2 \)，那么\( \int_{0}^{1} x f(x) \, dx \)的值是：- A. 0- B. 1- C. 2- D. 无法确定4. 函数\( g(x) = x^2 + 3x + 2 \)的导数是：- A. \( 2x + 3 \)- B. \( x^2 + 3 \)- C. \( 2 + 3x \)- D. \( 3x + 2 \)5. 以下哪个序列是收敛的？- A. \( \{ \frac{1}{n} \} \)- B. \( \{ (-1)^n \} \)- C. \( \{ n^2 \} \)- D. \( \{ \frac{1}{n^2} \} \)二、填空题（每题2分，共10分）1. 函数\( f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \)的极值点是______。

2. 如果\( \lim_{n \to \infty} a_n = L \)，则\( \lim_{n \to \infty} \frac{a_1 + a_2 + \ldots + a_n}{n} = \)______。

3. 函数\( h(x) = e^x \)的泰勒展开式在\( x = 0 \)处的前三项是______。

数学分析(2)期末试题集(填空题)

一、不定积分问题1．设x x ln 为()x f 的一个原函数,则积分()='⎰2e e dx x f x 1212--ee .解: 由原函数概念可得()2ln 1ln x x x x x f -='⎪⎭⎫ ⎝⎛=,因此()()221,0e e f e f -==,于是积分()()()121ln 122222--=--=-='⎰⎰e e xxdx x f x xf dx x f x e ee eee e e. 2. 已知()x f 的一个原函数为x x sin ,设0≠a ,则=⎪⎭⎫⎝⎛⎰dx a x f C a x x a +⎪⎭⎫ ⎝⎛sin 2 .解C a x x a C a x a x a a x d a x f a dx a x f +⎪⎭⎫⎝⎛=+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰sin sin 2.3. 已知21x x f =⎪⎭⎫⎝⎛',则()=x f C x+-1. 4. 已知()x f '的一个原函数为2sin x ,常数0≠a ,则()=+'⎰dx b ax f ()()C b ax ab ax +++2cos 2. 5. 设()0,1ln >+='x x x f ,则()=x f C e x x++ .6.⎰=dx x arctan()C x x x +-+arctan 1(注:用分部积分法⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛+--=x d x x x dx x 111arctan arctan ) 7.⎰=+-+dx x x x 13652()C x x x +-++-23arctan 4136ln 212(注: ()()⎰⎰⎰+-++-+-=+-+43826262113652222x dxx x x x d dx x x x ) 8.()=+⎰dx x e x 221tan C x e x+tan 2 (注: 原式()⎰+=dx x x e x tan 2sec 22) 9.=+⎰dx x x xln ln 1C x x x +++-+++1ln 11ln 1lnln 12 (注: 令t x =+ln 1,原式C t t t dt t t ++-=-=⎰11ln 21222)10.()=-⎰dx x x21ln C x xx x +-+-1ln 1ln (注: 原式()⎰---=x x dx x x 11ln ) 11.()=+⎰--dx e xe x x21()C e ex xx++-+-1ln 1 (注: 原式()()⎰⎰⎰++-+=+-+=+=-----x xx x x x ee d e x e dx e x exd 1111111) 12. =⎰dx x x2sin sin ln C x x x x +---cot sin ln cot (注: 原式()⎰-=x xd cot sin ln )13.()=-⎰dx x x xln 1ln 1C x +ln arcsin 214. ()=++⎰dx xe x x x11C xe xe x x ++1ln(注: 原式()()()()()⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=+=++=du u u u u du xe x e xe d dx xe x e x e x x x x x x 1111111) 15*()=+⎰dx xx 1ln ()C x x x x +-++arctan 41ln 2(注: 原式()⎰⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--+=+-+=+-+=+=x x d dx x x x x xd x x dx x x x x x d x 141ln 21221ln 2121ln 21ln 2 16. ()=+⎰46x x dxC x x ++4ln 24166 (注: 原式⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=dx x x x 414165) 17.=⎰dx xx cos tan C x+-cos 218.=+⎰dx x csc 1C x +sin arcsin 219. =-⎰xdx x x arcsin 12()C x x x x +⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---3arcsin 131323220. 设()34f x dx xx C '=-+⎰,则()f x = 22x x C -+ .21.32sin cos x xdx =⎰4611sin sin 46x x C -+ . 22. 设()ln 1f x x '=+,则()f x xx e C ++ .23. 设()31xf x e '-=,则()f x ()1133x eC ++ .24. 若()21x f x dx x C =+++⎰,则()f x 2l n 21x + .25. 设()()()()()()11,F x f x g x f x f x f x =-=+,若()()2F x g x '=⎡⎤⎣⎦,且14f π⎛⎫= ⎪⎝⎭,则()f x tan x . 26.214dx x =+⎰ 1a r c t a n 22xC + . 27. 设0a ≠,则()100ax b dx +=⎰()1011101ax b C a++ . 28. 设()ln 1f x x '=+,则()f x xe x C ++ . 29. 设0b ≠,则2xdx a bx =+⎰ 21ln 2a bx C b++ . 30.2xxde -=⎰ 2212x x xe e C --++ . 31. ()f x 的一个原函数为1x ,则()f x '= 32x.32.(211x dx -=⎰8 .33. 若函数()f x 是(),-∞+∞上的连续函数,且()()210x x f t dt x +=⎰,则()2f =15. （注：()()210x x f t dt x +=⎰两边对x 求导，得()()221231f x x x x ⎡⎤+⋅+=⎣⎦，令1x =，得()251f ⋅=,所以()125f =）34．若()x f 的原函数为x ln ，则()='⎰dx x f x ln x C -+ 。

高等数学,数学分析（2）期末考试题库

高等数学,数学分析（2）期末考试题库高等数学②期末考试题库目录高等数学②期末考试题（一） (2)高等数学②期末考试题（二） (8)高等数学②期末考试题（三） (16)高等数学②期末考试题（四） (23)高等数学②期末考试题（五） (30)高等数学②期末考试题（六） (36)高等数学②期末考试题（七） (42)高等数学②期末考试题（八） (48)高等数学②期末考试题（九） (55)高等数学②期末考试题（十） (61)高等数学期末考试题（一）一. 解下列各题（每小题6分） 1. .设)ln(),,(22z y x z y x u y ++=, 求zuy u x u ,,及全微分)2,1,(e du . 2. 求曲线32,,t z t y t x =-==的与平面0193=-++z y x 平行的切线方程. 3. 将?+=x x dy yx dx I 222101化为极坐标系下的累次积分, 并计算I 的值.4. 判断级数∑∞=12tan1n nn和∑∞=-+-1)1()1(n n n n 的敛散性.二. 解下列各题（每小题7分）1. 设函数)(u f 具有二阶连续导数, 且)sin (y e f z x =满足方程z e yz x z x22222=??+??, 求)(u f 的表达式. 2. 计算第一类曲面积分??∑=zdS I , 其中∑为锥面22y x z +=在柱体x y x 222≤+内的部分.3. 设)(x S 函数≤<≤<-=ππx xx x f 002)(2的以π2为周期的傅里叶级数展开式的和函数, 求)3(),2(),6(),6(ππS S S S -的值.4. 计算曲线积分?-+=Ldz z xdy dx y I 222, 其中L 是平面2=+z x 与柱面122=+y x 的交线, 若从z 轴正向往负向看去, L 取逆时针方向. 三. (8分）把函数)3(1)(-=x x x f 展成1-x 的幂级数, 并指出收敛域.四. （8分）设V 是由曲面z z y x 2222=++围成的立体, 其上任一点处的密度与该点到原点的距离成正比(比例系数为)k , (1)求V 的质量; (2) 求V 的质心坐标.五.（8分）证明曲面m xyz = 0(≠m 为常数)上任一点的切平面在各坐标轴上的截距之积为常数.六. （8分）求幂级数∑∞=---121)12()1(n nn x n n 的收敛区间及和函数.七. (8分)计算曲面积分,)]([])([333??∑-+++=dxdy yz zf z dzdx y yz yf dydz x I 其中函数f 有连续的导函数, ∑为上半球面221y x z --=的上侧.八. (8分) 设函数)(y f 在+∞<<∞-y 内有连续的导函数, 且y ?,0)(≥y f ,1)1(=f , 已知对右半平面}0,),{(>+∞<<∞-x y y x 内任意一条封闭曲线Γ,都有0)(2=+-?Γy f x xdyydx , 求)(y f 的表达式.答案一. 1.1-=??y yx x u 222ln z y y x x y u y ++=?? 222z y z z u +=?? …………(3分) 1)2,1,(=??e xu52)2,1,(+=??e yu e54)2,1,(=e z u ………….(5分) dz dy e dx du 54)52(+++= ………………(6分)2. }3,1,2{2t t T -=………………..(1分) 由题设03962=+-t t , 即0322=-+t t …………………(2分) 解得1=t , 3-=t .…………………(3分) 切点为 )1,1,1(- 或 )27,3,9(-}3,1,2{=T 或}27,1,6{--=T切线为 311121-=-+=-z y x 或 27271369+=--=--z y x …………….(6分)3. ?=θθπρθ2cos sin 04d d I …………………..(2分`)θθθθπc o s 1c o s s i n 402==?d 4π)12(-= ……………………(6分)4.n n 2tan1~n2……………………….(2分) ∑∞=12n n 发散∑∞=∴12a r c t a n 1n n n 发散……………….(3分)∑∞=-+-1)1()1(n nn n ∑∞=++-=11)1(n nnn ……………………….(4分)n n ++11单调减少且趋于零, ∑∞=-+-∴1)1()1(n n n n 收敛……..(6分)二. 1.y e f x z x sin ?'=?? y e f yzx c o s ?'=?? ……………………….(2分) y e f y e f xz x x s i n s i n2222?'+?''=?? y e f y e f y zx x s i n c o s 2222?'-?''=?? ………………………..(4分)代入已知方程得 0=-''f f …………………………(5分) 012=-r 1±=ru u e C e C u f -+=21)( .………………(7分) 2.. ??+=xyD dxdy y x I 222 ……………………(3分)=θπρρθc o s 2022022d d ………………….(5分)=203c o s 3216πθθd 9232= .………………(7分)3.±=+=<<<<-=ππππx x x x x x S 2101002)(22 ………………(3分) 2)26()6(=-=πS S 2)62()62()6(-=-=-ππS S 1)0()2(==S S π 21)()3(2πππ+==S S ………..(7分)4. 解1 t z t y t x L cos 2,sin ,cos :-=== …………….(2分) dt t t t tI ]sin )cos 2(cos 2sin [(2203--+-=?π ………..………(5分)π2= …………………(7分) 解2 利用斯托克斯公式, 设S 是L 所围平面+-=Sdxdy y I )22( ………………...(3分)-=xyD dxdy y )22(π22==??xyD dxdy …………………….(7分)三.)311(31)(-+-=x x x f …………………..(2分)]211121)1(11[31----+-=x x ……………………..(4分)∑∑∞=∞=-----=00])21(21)1()1([31n n n nn x x ……………(6分) ∑∞=+----=011)1](21)1[(31n n n n x ……………….(7分)由 11<-x 及121<-x 得收敛域)2,0(∈x …………(8分)四. (1) ++=VdV z y x k m 222 ……………..(1分)=?ππ??θcos 2032020sin dr kr d d ……………(3分)58cos sin 8204πππk d k ==? …………….(4分) (2) 0=x 0=y ………………….(5分) ++= VdV z y x zk m z 2221 . ……………(6分) =?ππθc o s 2042020c o s s i n dr rd d m k .………… (7分) 783564cos sin 564206===m k d mk πππ.……………(8分) V 的质心为 )78,0,0(五. 曲面上任一点),,(000z y x P 处的切平面法向量为},,{000000y x z x z y n =…………………….(2分) 切平面 0)()()(00000000=-+-+-z z y x y y z x x x z y ……….(4分) 即 0000000003z y x z y x y z x x z y =++ 在三坐标轴上截距分别为0003,3,3z y x .………………(6分) m z y x z y x 2727333000000==?? ………………..(8分)六. 1)12)(1()12(lim lim1=++-=∞→+∞→n n n n a a n nn n …………………(1分)1=R , 收敛区间 11<<-x ………………….(2分)设∑∞=---=121)12()1()(n nn x n n x S∑∞=----='1121)12()1(2)(n n n xn x S …………………..(3分) . ∑∞=---=''1221)1(2)(n n n x x S …………………..(4分)∑∞=--=112)(2n n x 212x+=………..………(6分) x x S a r c t a n 2)(=' …………………(7分) )1l n(a r c t a n 2)(2x x x x S +-= …………………(8分)七. 设0,1:22=≤+z y x S , 利用高斯公式-+++-=+dxdy yz zf z dzdx y yz yf dydz x I S)]([])([333∑ …….….(2分)0)(3222-++=VdV z y x ……………………..(4分)=1042020s i n 3dr r d d ??θππ ……………………(6分)=1420s i n6dr r d ππ56π= ……………………(8分)八. 222)]([)(y f x y f x x Y +-=?? 222)]([)()(y f x y f y y f x y X +'-+=………..(4分) 由y X x Y ??=?? 得 222)]([)(y f x y f x +-222)]([)()(y f x y f y y f x +'-+=即)(2)(y f y f y =' ……………………(5分)ydyy f y df 2)()(=……………………(6分) 1ln 2)(ln C y y f += 2)(Cy y f = ………………….(7分) 由 1)1(=f 得1=C 2)(y y f =∴ …………………..(8分)高等数学期末考试题（二）一、求解下列各题（每小题6分）1. 已知直线3221:+==-z m y x L 与平面02:=++-D z y x π平行，且L 到π的距离为6, 求m 与D 的值.3. 计算第二类曲线积分dy y xdx y x I L ?+= 2 ，其中L 是曲线x y =上从点)1 , 1(A 到点)2 , 4(B 的弧段. 4. 设有级数)11ln(1)1(11n nn pn +-∑∞=-, 指出p 在什么范围内取值时级数绝对收敛, 在什么范围内取值时级数条件收敛, 在什么范围内取值时级数发散(要说明理由).二、解下列各题（每小题7分）1. 已知n是曲面1222=+-z y x 在点)1 , 2 , 2(处指向z 增大方向的单位法向量, z z xy u ln 2-=, 求)1 , 2 , 2(nu.2. 将函数231)(2++=x x x f 展开成)1(-x 的幂级数, 并求收敛区间及)1()5(f 的值.3. 计算三重积分Ω=zdV x I 2, 其中Ω是由柱面2x y =与平面1=y , 0=z ，2=z所围成的立体.4．求二元函数y x y x x y x f z 293),(223+---==的极值点与极值.三、(8分) 设1)(2+=x x f ，ππ≤≤-x , 将)(x f 展开成以π2为周期的傅里叶级数.四、（8分）设V 是由曲面222y x z --=与22y x z +=围成的立体, 求V 的表面积.五、(8分) 计算第二类曲面积分??++=Sdxdy dzdx y dydz x I 33, 其中S 是曲面22y x z += )10(≤≤z 的下侧.六、（8分）求幂级数∑∞=+12)(n n x n n 的收敛域与和函数.七、(8分) 已知在半平面0>x 内dy y x y x dx y x y x λλ))(())((2222++++-为二元函数),(y x f 的全微分. (1) 求λ的值； (2) 求 )0 , 2()3 , 1(f f -的值.八、（8分）设}|),,{()(2222t z y x z y x t ≤++=Ω，其中0>t . 已知)(x f 在), 0[∞+。

学历自考模拟试卷-《数学分析II》期末考查试卷【附答案】

x
3xdx +
y x cos ydy （5 分）
M0M
0
0
＝ 3 x2 + x sin y （6 分）（说明：原函数可以直接观察得出！） 2
五、应用题（7 分）
一页长方形白纸，要求印刷面积占 Acm2 ,并使所留页边空白为：上部与下部宽度之和为： a + b = h cm,左部与右部宽度之和为： c + d = r cm (A,r,h 为已知数)，求页面的长(y)和宽(x)，使它的面积最小.
（3 分）
L = (x − r)(y − h) − A = 0.
于是有
x = r , 1+
y = h , 1+
= − 1+
Ah r
（5
分）
根据问题的实际意义知，此时页面的面积是最小的.（7 分）
x = Ar + r, y = Ah + h. （6 分）
h
r
3
= ar cos , y
= br sin
（3
分），则
D
可表示为： 0
2 , 0 r
1（4
分），所以，
S =
2
d
1abrdr （5 分），所以 S = ab （7 分）.
0
0
4、计算第二型曲面积分： I
=
S
1 dxdy ，其中 S 是椭球面 x2
z
a2
+
y2 b2
+
z2 c2
= 1 的外侧
解：由题意，目标函数与约束条件分别为 S = xy 与 x r, y h, (x − r)(y − h) = A. （1 分）作 Lagrange 函数 L = xy + [(x − r)(y − h) − A], （2 分）则有

数学分析(二)期末试题

《数学分析（二）》期末试题一、选择题（共20分） 1、dxx dxd b a⎰2sin =（） A 、22sin sinab - B 、22cos cos ab - C 、2sinxD 、02、下列积分中不是非正常积分的是( ) A 、 dx x⎰+∞+0211 B 、dxx⎰-1211 C 、dx x⎰-42211 D 、dxx ⎰-22)1(13、若任意的),(b a x ∈，有0)0(,0)(>''>'f x f 则)(x f 在),(b a 内是（） A 、单调增加的凸函数 B 、单调减少的凹函数 C 、单调减少的凸函数 D 、单调增加的凹函数4、cx dx x f x+='⎰2ln2)(ln 1且1)0(=f ，则=)(x f （）A 、122+xB 、x 2ln 2C 、22xD 、c x +2ln 25．下列级数中条件收敛的是（） A 、∑!sin n x B 、1)1(+-∑n n nC 、∑+-]11)1[(nnnD 、nn2sin)1(∑-6、曲线1)1(3--=x y 的拐点是（）A 、)0,2(B 、)1,1(-C 、)2,0(-D 、无拐点 7、若级数∑∞=+0)1(n nu 收敛，则=∞→n n u lim （）。

A 、1B 、-1C 、0D 、不存在。

8、设)(x f 为连续函数，则dtt f dxd xx⎰2)(=（）A 、)()(22x f x xf-B 、)(22x xf C 、)(x f D 、)()21(x f x -9、若1n n μ∞=∑收敛，1nn k k S μ==∑，则下列命题中正确的是（）。

A 、lim 0nn S →∞=B 、lim n n S →∞存在C 、lim n n S →∞不存在 D 、}{n S 单调 10、13n nn xn ∞=⋅∑的收敛半径为（）A 、0B 、1C 、3D 、13二、填空题（共20分） 1、=⎰-xdx x arccos117（）2、23sin limxx t dt x→=⎰（）3、=--⎰dx x x)cos 312(2（）曲线)10(,2≤≤=x x y 绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积是（） 5、dxxx p⎰+∞1sin 条件收敛，那么p 的取值范围为（）6、设13--=ax x y 在1=x 处存在极值，则=a （）7、函数)1()1()(>-+=p x xx f pp在]1,0[上的最大值为（）8、曲线2y x=和2y x=所围城的平面图形的面积为（） 9.级数()111n n n ∞=+∑的和为（）。

数学分析(2)期末试题参考答案

∑ A′
∑ ℓα (
)
µ(Iα) µ Jβxα,γ
≥
ε0 m
>
ε.
α=1 γ=1
α=1
γ=1
另一方面，对于每个 xα，存在一个 Kk，使得 xα ∈ Kk。因为 P 是利用 K1, . . . , Kκ 的边界构造的网格分划，所以相应的 Iα × Jβxα,γ 一定包含在这个
恰好覆盖
Em，于是
∑A′
α=1
µ(Iα)
≥
ε0。对于每个
Iα (1 于是
≤ α ≤ A′)，取一个
∑ℓα
γ=1
µ(Jβxα ,γ
)
≥
1 m
xα ∈ Iα ∩ Em，设，所以我们有
Jβxα,1 , . . . , Jβxα,ℓα
恰好覆盖
Kxα ，
∑ A′ ∑ ℓα ( µ Iα
) × Jβxα,γ
=
i) 求证：
∫
∫
∫
ωi = ωi + ωi, i = 1, 2.
γ3
γ1
γ2
ii) 求证：
∫
lim
ωi = 0, i = 1, 2.
R→+∞ γ2
iii) 计算广义积分：
C = ∫ +∞ cos (x2) dx, S = ∫ +∞ sin (x2) dx
0
0
() 解答： i) 因为 ωi ∈ Ω1 R2 、dωi = 0 (i = 1, 2)，所以由 Green 公式可知结论
解答：（证法一）因为
K
紧且
Lebesgue ∫
零测，所以
Jordan
零测，于是

数学分析2试题B及答案(

fn (x)
x
f (x) ，
fn (x) f (x) n2 (
x2
1
1 n2
x)
1 ，所以 limsup(
n
n
fn (x)
f (x) ) 0 ，即
函数列 fn (x)
x2
1 n2
,
n 1, 2,L 在 R 上一致收敛。
三、1、证明： t R, b ( f (x) tg(x))2dx b f 2 (x)dx 2t b f (x)g(x)dx t2 b g 2 (x)dx 0 ，所以，
2
二、1、解:
lim
n
n2 2n2 1
1 2
0
，所以该级数发散。
2、解： lim n n
n 2n1
1 2
1 ，所以该级数收敛。
3、解： x [0, ),
sgn(sin x) 1 x2
1
1 x
2
1 x2
，因为
1 dx 收敛，所以 1 x2
sgn(sin x) dx 绝对收敛。 1 1 x2
4、解： x R, lim n
n1
n1
n1
n1
级数 bn (bn an an ) (bn an ) an 收敛。
n1
n1
n1
n1
四、解： A 2 1 a2 (1 cos )2 d 3 a2
20
2
五、解：
R
1，收敛域为 (1,1)
，和函数
f
(x)
n1
nxn
x
n1
nxn1
x
n1
xn
x
1
x
5、求极限： lim 0
x0

2021-2022学年数学分析II期末试题参考答案

课程编号：100171019 北京理工大学2021-2022学年第二学期2021级数学分析（II ）期终考试试题A 卷解答1.(23分)求下列函数的偏导数或全微分 (1)设cos xyz e=，求dz .(2)设(,)z z x y =由方程zx y z e ++=所确定的隐函数，求z x ∂∂和22zx∂∂.(3)设1()()z f xy yg x y x=++，其中f 和g 在R 上有连续的二阶导数，求z x ∂∂，z y ∂∂和2zy x∂∂∂ 解：(1)cos (cos )xy dz e d xy =cos (sin )()xy e xy d xy =−cos sin ()xy xye ydx xdy =−+.(2)方程关于x 求导，y 是常数，z 是x 的函数，1z x x z e z +=，11x zz e =−. 23(1)(1)z zx xx z ze z e z e e =−=−−−. 方法二. zzxx x x xx z e z z e z =+，221(1)z zx xx z ze z e z e e =−=−−−. (3)//211()()()z f xy f xy y yg x y x x x∂=−+⋅++∂ //21()()()yf xy f xy yg x y x x =−+++，//1()()()z f xy x g x y yg x y y x∂=⋅++++∂ //()()()f xy g x y yg x y =++++，2/////()()()zf xy yg x y yg x y y x∂=⋅++++∂∂ /////()()()yf xy g x y yg x y =++++.2.(15分)(1)求二重积分22Dy I dxdy x=⎰⎰，其中D 为由1,2,y y y x x ===所围的区域. (2)求三重积分I x dxdydz Ω=⎰⎰⎰，其中Ω由0,0,0,21x y z x y z ===++=所围成.(3)求第一型曲面积分()MI x y z dS =++⎰⎰，其中M为上半球面：z =222x y R +≤(0)R >. 解：(1)2221221y y Dy y I dxdy dy dx x x==⎰⎰⎰⎰22111()yyy dy x =−⎰2223111()()y y dy y y dy y=−=−⎰⎰ 94=. 方法二. 22212221122212x x Dy y y I dxdy dx dy dx dy x xx ==+⎰⎰⎰⎰⎰⎰.(2)设D 为xy −平面上由0,0,21x y x y ==+=所围成区域.I x dxdydz Ω=⎰⎰⎰120x yDdxdy xdz −−=⎰⎰⎰(12)Dx x y dxdy =−−⎰⎰[]11(1)20(1)2x dx x x xy dy −=−−⎰⎰12011(1)448x x dx =−=⎰. 方法二. 对任意的[0,1]x ∈，x D 为yz −平面上由0,0,21y z y z x ==+=−所围成区域.I x dxdydz Ω=⎰⎰⎰1xD dx xdydz =⎰⎰⎰12011(1)448x x dx =−=⎰(3) x z =y z =，()MI x y z dS =++⎰⎰221(x y x y +≤=++⎰⎰221(x y x y +≤=++⎰⎰221x y Rdxdy +≤=⎰⎰3R π=.3.(8分)设(,)z z x y =在2R 有连续偏导数，并且322cos(2)3cos(2)dz axy x y dx x y b x y dy ⎡⎤⎡⎤=+++++⎣⎦⎣⎦其中,a b 是常数，求,a b 的值和(,)z z x y =的表达式. 解：由条件3cos(2)x z axy x y =++，223cos(2)y z x y b x y =++，则232sin(2)xy z axy x y =−+，26sin(2)yx z xy b x y =−+. 因为xy z 和yx z 都连续，所以xy yx z z =, 232sin(2)axy x y −+26sin(2)xy b x y =−+, 取,02x y π==，解得2b =，进而得出2a =.再由32cos(2)x z xy x y =++，23(,)sin(2)()z x y x y x y y ϕ=+++， 22/32cos(2)()y z x y x y y ϕ=+++，于是/()0y ϕ=，()y C ϕ=.故23(,)sin(2)z x y x y x y C =+++.4.(10分)求幂级数211(1)(21)!n n n n x n +∞−=−+∑的收敛域及和函数的表达式.解：记21(1)()(21)!n n n n u x x n −−=+. 对任意的0x ≠，21()0,()2(23)n n u x xn u x n n +=→→+∞+，则211(1)(21)!n n n n x n +∞−=−+∑收敛. 即得211(1)(21)!n n n n x n +∞−=−+∑的收敛域为(,)−∞+∞. 记211(1)()(21)!n n n n S x x n +∞−=−=+∑，定义域为(,)−∞+∞.容易求得(0)0S =. 对任意的0x ≠，利用幂级数的性质，2/11(1)()()2(21)!nn n S x x n +∞=−=+∑/211(1)2(21)!n n n x n +∞=⎛⎫−= ⎪+⎝⎭∑/21111(1)2(21)!n n n x x n +∞+=⎛⎫−= ⎪+⎝⎭∑/11(sin )2x x x⎛⎫=− ⎪⎝⎭ 2cos sin 2x x xx−=.5.(10分)设()f x 是以2π为周期的函数，它在区间(,]ππ−上的表达式为00()20x f x x ππ−<≤⎧=⎨<≤⎩. (1)求()f x 的Fourier 级数；(2)求()f x 的Fourier 级数的和函数在区间[0,2]π上的表达式；(3)求11(1)21n n n −+∞=−−∑.解：(1)先计算()f x 的Fourier 系数， 01()a f x dx πππ−=⎰122dx ππ==⎰，1()cos n a f x nxdx πππ−=⎰12cos 0nxdx ππ==⎰，1,2,n =，1()sin n b f x nxdx πππ−=⎰ ()0122sin 1(1)n nxdx n πππ==−−⎰2421(21)n k n k k π=⎧⎪=⎨=−⎪−⎩，1,2,k =.()f x 的Fourier 级数为()01cos sin 2n n n a a nx b nx +∞=++∑ 14sin(21)121k k xk π+∞=−=+−∑. (2) 12(0,)4sin(21)10(,2)2110,,2k x k x x k x ππππππ+∞=∈⎧−⎪+=∈⎨−⎪=⎩∑. (3)令2x π=，1411sin (21)2212k k k ππ+∞=⎛⎫+−= ⎪−⎝⎭∑，解得11(1)214n n n π−+∞=−=−∑.6.(12分)(1)判别下列广义积分的收敛性，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？(a) 30411dx +∞−⎰ (b) 20sin x dx +∞⎰ (2)设()af x dx +∞⎰收敛，并且lim ()x f x L →+∞=.证明：0L =.解：(1)(a) 0,1x x ==为瑕点，考虑30411dx +∞−⎰1122133330122444411111111dx dx dx dx +∞=+++−−−−⎰⎰⎰⎰.因为330004411lim lim111x x x →+→+==−−，3431141lim 111x x x →→−⋅==−，31342433441lim lim111x x xxx +→+∞→+∞⋅==−−，而其中1351244+=>，所以112213333012244441111,,,1111dx dx dx dx +∞−−−−⎰⎰⎰⎰都收敛，于是30411dx +∞−⎰收敛，又被积函数非负，故是绝对收敛.(b)0x =不是瑕点，20sin x dx +∞⎰与21sin x dx +∞⎰具有相同的收敛性，只讨论21sin x dx +∞⎰即可.令2t x =，则2111sin 2x dx +∞+∞=⎰⎰, 1+∞⎰条件收敛. 那么20sin x dx +∞⎰条件收敛.(2)假设0L ≠，不妨设0L >.由lim ()x f x L →+∞=，根据极限性质，存在0X >，使得当x X >时，()2Lf x >.则A X ∀>，()()()A X AaaXf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰()()2X aLf x dx A X >+−⎰，由此推出lim()A aA f x dx →+∞=+∞⎰，与()af x dx +∞⎰收敛矛盾.假设不成立，即0L =.7.(12分)(1)证明：函数项级数1nx n ne +∞−=∑在[,)(0)δδ+∞>一致收敛，但在(0,)+∞不一致收敛.(2)证明：1()nx n f x ne +∞−==∑在区间(0,)+∞上连续且可导.证：(1)对任意的[,)x δ∈+∞和任意的正整数n ，0nx n ne ne δ−−<<，而1,e n δδ−−=→<→+∞，说明1nn neδ+∞−=∑收敛，根据M 判别法，函数项级数1nx n ne +∞−=∑在[,)(0)δδ+∞>一致收敛.记()nx n u x ne −=，对任意的正整数n ，取1(0,)n x n=∈+∞， 1()0,n n u x ne n −=→+∞，则()nxn u x ne−=在(0,)+∞不一致收敛于0.故函数项级数1nx n ne +∞−=∑在(0,)+∞不一致收敛. (2) (0,)x ∀∈+∞，存在0δ>，使得(,)x δ∈+∞.因为()nxn u x ne−=在(0,)+∞连续(1,2,)n =，利用(1)，函数项级数1nx n ne +∞−=∑在[,)(0)δδ+∞>一致收敛，所以和函数1()nx n f x ne +∞−==∑在[,)δ+∞上连续，于是它在x 连续.由x 的任意性，1()nx n f x ne +∞−==∑在区间(0,)+∞上连续.对任意的0δ>，/22()nx n n u x n e n e δ−−=−≤，[,),1,2,x n δ∀∈+∞=，而1,e n δδ−−=→<→+∞，说明21nn n eδ+∞−=∑收敛，根据M 判别法，函数项级数/1()n n u x +∞=∑在[,)(0)δδ+∞>一致收敛.根据一致收敛的函数项级数的逐项可导性，1()nx n f x ne +∞−==∑在区间[,)(0)δδ+∞>可导. 同理可得，1()nx n f x ne +∞−==∑在区间(0,)+∞上可导.8.(10分)设1α>，10n n a a +<≤，0,1,2,n =.证明：111n n n n n a a a a α+∞−=−−∑收敛. 证：由条件，{}n a 单调递增，则要么{}n a 有上界要么{}n a 趋于+∞. (1)设{}n a 有上界. 则{}n a 收敛，记lim n n A a →+∞=，显然0A >.利用极限性质，存在0N ，当0n N >时， 2n Aa >. 则当01n N >+时，由条件1α>，那么1111120()()()22n n n n n n n n a a a a a a A A a a A ααα+−−−−−−≤<=−. 由于1001(),nk k n k a a a a A a n −=−=−→−→+∞∑，说明11()n n n a a +∞−=−∑收敛. 利用比较判别法，111n n n n n a a a a α+∞−=−−∑收敛.(2) 设{}n a 无上界，即lim n n a →+∞=+∞.利用极限性质，存在0N ，当0n N >时，1n a >. 则当01n N >+时，由条件1α>，那么11111110n n n n n n n n n na a a a a a a a a a α−−−−−−−≤≤=−. 由于 110011111(),nk k k n n a a a a a =−−=−→→+∞∑，说明1111()n n n a a +∞=−−∑收敛. 利用比较判别法，111n n n n n a a a a α+∞−=−−∑收敛.。

大一第二学期数学分析期末试题

数学分析-2样题(一)1.(4分) 级数1n n u ∞=∑收敛的必要条件是 lim 0;n n u →∞=2. (4分) 级数13121(1)n n n∞-=-∑为（ A ）.A.绝对收敛;B. 条件收敛;C.发散;D. 收敛性不确定. 3. (4分)幂级数1(1)n nn n ∞-=-∑( D ). A. 2;R = B.1;2R = C.3;R = D.1.3R =一.(各5分,共20分)求下列不定积分与定积分: 1. arctan x x dx ⎰ 2. x e dx -⎰3. ln 0⎰4. 20sin 1cos x xdx xπ+⎰二.(10分)设()f x 是上的非负连续函数, ()0baf x dx =⎰.证明()0f x = ([,])x a b ∈.三. (10分)证明20sin 0xdx xπ>⎰. 四. (15分)证明函数级数0(1)n n x x ∞=-∑在不一致收敛, 在[0,]δ(其中)一致收敛.五. (10分)将函数,0(),0x x f x x x ππππ+ ≤≤⎧=⎨- <≤⎩展成傅立叶级数.六. (10分)设22220(,)0,0xy x y f x y x y ⎧ +≠⎪=⎨⎪ +=⎩证明: (1) (0,0)x f ', (0,0)y f '存在; (2) (,)x f x y ',(,)y f x y '在(0,0)不连续;(3) (,)f x y 在(0,0)可微.七. (10分)用钢板制造容积为V 的无盖长方形水箱,怎样选择水箱的长、宽、高才最省钢板?八. (15分)设01σ<<, 证明111(1)n n n σσ∞=<+∑. 数学分析-2样题(二)一. (各5分,共20分)求下列不定积分与定积分:1.(0)a >2. 1172815714x x dx x x++⎰3. 10arcsin x dx ⎰4. 1000π⎰二. (各5分,共10分)求下列数列与函数极限: 1. 221lim nn k nn k→∞=+∑2. 20lim1xt xx x e dt e →-⎰三.(10分)设函数在[,]a b 连续,对任意[,]a b 上的连续函数()g x , ()()0g a g b ==,有()()0baf xg x dx =⎰.证明()0f x = ([,])x a b ∈.四. (15分)定义[0,1]上的函数列2212,211()22211n n x x n f x n n x x n n x n ⎧ , 0≤≤⎪⎪⎪=- , <≤⎨⎪⎪0 , <≤⎪⎩证明{()}n f x 在[0,1]不一致收敛. 五. (10分)求幂级数0(1)n n n x ∞=+∑的和函数.六. (10分)用εδ-定义证明2(,)(2,1)lim (43)19x y x y →+=.七. (12分)求函数22(2)(2)(0)u ax x by y ab =-- ≠的极值.八. (13分)设正项级数1n n a ∞=∑收敛,且1()n n a a n N ++≥ ∈.证明lim 0n n na →∞=.B 4． 4．若1(1)n n n a x ∞=-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（）．A ．条件收敛B ．绝对收敛C ．发散D ．敛散性不能确定4. 已知0!n xn x e n ∞==∑，则求xxe -= 10(1)!n n n x n +∞=-∑5．(7分) 求幂级数1(1)(1)nn n x n ∞=--∑的收敛域.6．(7分) 将21()2f x x x=--展开为麦克劳林级数. 21111231212x x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+---⎛⎫⎢⎥+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2分 ()11316(1)2x x =+-+ 3分 0011(1)362nn n n n x x ∞∞==⎛⎫=+- ⎪⎝⎭∑∑5分 10111(1)32n n n n x ∞+=⎛⎫=+- ⎪⎝⎭∑6分 -1<X<14. （本小题满分7分）将xx f 1)(=展开成3-x 的幂级数，并求收敛域。

《数学分析(二)》题库及答案

《数学分析（二）》题库及答案一、填空1、⎰=+11- 251dx xx ____________。

2、⎰∞+-= 02dx xe x ____________。

3、=++++⋅+⋅ )1(1321211n n ___________。

4、⎰∞+∞=+ - 2______1xdx。

5、_______)15)(45(11161611=++-++⋅+⋅ n n 。

6、幂级数∑∞=--11)1(n nn nx 的收敛域为______ 。

二、单项选择题1、设)(x f 是),(b a 上的连续函数，则在),(b a 上)(x f 必有___________。

A ．导函数 B ．原函数 C ．最大值 D ．最小值2、设)(x f 在),(+∞-∞上有连续的的导数)(x f '，则___________。

A ．⎰+='c x f dx x f )2(21)2( B ．⎰+='c x f dx x f )2()2( C ．⎰+='c x f dx x f )()2( D ． ⎰=')2(2))2((x f dx x f3、设)(x f 是),(+∞-∞上非零的连续奇函数，则⎰=xdt t f x F 0)()(是___________。

A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．可能是奇，也可能是偶函数 4、设函数)(x f 在],[b a 上可积，则)(x f 在],[b a 上______ 。

A ．存在原函数B ．有界C ．连续D ．可导 5、若0lim =∞→n n a ，则数项级数∑∞=1n na______ 。

A ．收敛B ．发散C ．收敛且和为零D ．可能收敛，也可能发散 6、若反常积分⎰∞+ 12)(dx x f 收敛，则⎰∞+ 1)(dx x f ______ 。

A ．发散B ．条件收敛C ．绝对收敛D ．可能收敛，也可能发散。

三．判断对错1．若)(x f 在（a 、b ）内可微，则⎰+=c x f x df )()(。

2021-2022学年数学分析第二学期期末考试(含答案)

2021-2022学年第二学期期末《数学分析》一.填空题 ( 每题5分,共30分 )1. 已知势函数 2u x yz =，则其梯度 grad u = ，其梯度的散度 ()div grad u = 。

2. 曲面:ln x z y y ⎛⎫∑=+ ⎪⎝⎭在点0(1,1,1)P 处的单位法向量为 ,在该点处的切平面方程为 .3. 设22()d ,x x u x f x e u -=⎰ 则'()f x = .4. 设Γ是以(0,0),(1,0),(0,1)O A B 为顶点的三角形的边界,则曲线积分()x y ds Γ+⎰ = .5. 设Ω是由锥面z =和上半球面 z = 围成的空间区域，则三重积分222()d f xy z V Ω++⎰⎰⎰ 在球坐标系下的累次积分为.6. 利用Γ函数和B 函数的性质，可知 2560sin cos d x x x π⎰ = .二. 计算题 (10分) 计算二重积分D，其中 D 是由22221x y a b += 所围的平面区域。

设Γ是任意一条包围着原点（不经过原点）的分段光滑、逆时针定向曲线，试计算曲线积分22.2xdy ydxx y Γ-+⎰四. 计算题 (10分)设∑为曲面 )20(222≤≤+=z y x z 的下侧．计算曲面积分33()d d ()d d 2()d d x y y z y z z x x y z x y ∑++-++-⎰⎰．计算曲线积分22I y dx xdy z dz Γ=-++⎰，其中Γ是平面2y z +=与柱面221x y +=的交线，从Oz 轴正向往下看为逆时针方向.六.计算题 (10分)计算双曲面z xy = 被围在圆柱面222x y a +=内部的面积．设()f x 是[,]a b 上的连续函数，利用二重积分性质证明不等式22()d ()()d b b a a f x x b a f x x ⎡⎤≤-⎢⎥⎣⎦⎰⎰八. 证明题 (10分)设(,)f x u 在[,][,]a b αβ⨯上连续，证明对任意 0[,]u αβ∈，总有0lim (,)d (,)d b baau u f x u x f x u x →=⎰⎰设Ω为闭区域，∂Ω是Ω的边界外侧，n是∂Ω的单位外法向量。

《数学分析II》期末试卷+参考答案

《数学分析（II ）》试题2004.6一．计算下列各题：1．求定积分∫+e x x dx 12)ln 2(；2．求定积分； ∫−222),1max(dx x3．求反常积分dx x x ∫∞++021ln ；4．求幂级数()∑∞=−+1221n n n x n n 的收敛域；5．设，求du 。

yz x u =二．设变量代换可把方程⎩⎨⎧+=−=ay x v y x u ,20622222=∂∂−∂∂∂+∂∂y z y x z x z 简化为02=∂∂∂v u z ，求常数。

a三．平面点集(){}⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎟⎠⎞⎜⎝⎛L U ,2,11sin ,10,0n n n是否为紧集？请说明理由。

四．函数项级数n nn n x x n +⋅−∑∞=−1)1(11在上是否一致收敛？请说明理由。

]1,0[五．设函数在上连续，且满足)(x f ),(∞+−∞1)1(=f 和)arctan(21)2(20x dt t x tf x =−∫。

求。

∫21)(dx x f六．设函数在上具有连续导数，且满足)(x f ),1[∞+1)1(=f 和22)]([1)(x f x x f +=′，+∞<≤x 1。

证明：存在且小于)(lim x f x +∞→41π+。

七．设如下定义函数：dt t t x f x x t1sin 21)(2∫⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=，。

1>x 判别级数∑∞=2)(1n n f 的敛散性。

八．设∫=40cos sin πxdx x I n n （L ,2,1,0=n ）。

求级数的和。

∑∞=0n n I《数学分析（II ）》试题（答案）2004.6一．1．421π⋅； 2．320； 3．； 4． 0)2/1,2/1(−； 5．⎟⎠⎞⎜⎝⎛++=xdz y xdy z dx x yz x dz yz ln ln 。

二．。

3=a 三．是紧集。

四．一致收敛。

五．43。

六．因为，所以单调增加，因此0)(>′x f )(x f 1)1()(=>f x f 。

第二学期数学分析II试题与答案

一. 判断题（每小题3分，共21分）(正确者后面括号内打对勾，否则打叉) 1.若()x f 在[]b a ,连续，则()x f 在[]b a ,上的不定积分()⎰dx x f 可表为()C dt t f xa+⎰（）.2.若()()x g x f ,为连续函数，则()()()[]()[]⎰⎰⎰⋅=dx x g dx x f dx x g x f （）.3. 若()⎰+∞adx x f 绝对收敛，()⎰+∞adx x g 条件收敛，则()()⎰+∞-adx x g x f ][必然条件收敛（）. 4. 若()⎰+∞1dx x f 收敛，则必有级数()∑∞=1n n f 收敛（）5. 若{}n f 与{}n g 均在区间I 上内闭一致收敛，则{}n n g f +也在区间I 上内闭一致收敛（）.6. 若数项级数∑∞=1n n a 条件收敛，则一定可以经过适当的重排使其发散于正无穷大（）.7. 任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数，并且逐项求导后得到的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同（）. 二. 单项选择题（每小题3分，共15分）1.若()x f 在[]b a ,上可积，则下限函数()⎰ax dx x f 在[]b a ,上（）A.不连续B. 连续C.可微D.不能确定2. 若()x g 在[]b a ,上可积，而()x f 在[]b a ,上仅有有限个点处与()x g 不相等，则（）A. ()x f 在[]b a ,上一定不可积；B. ()x f 在[]b a ,上一定可积,但是()()⎰⎰≠babadx x g dx x f ；C. ()x f 在[]b a ,上一定可积，并且()()⎰⎰=bab adx x g dx x f ；D. ()x f 在[]b a ,上的可积性不能确定.3.级数()∑∞=--+12111n n n nA.发散B.绝对收敛C.条件收敛D. 不确定4.设∑n u 为任一项级数，则下列说法正确的是（） A.若0lim =∞→n n u ，则级数∑nu 一定收敛；B. 若1lim1<=+∞→ρnn n u u ，则级数∑n u 一定收敛；C. 若1,1<>∃+n n u uN n N ，时有当，则级数∑n u 一定收敛；D. 若1,1>>∃+n n u uN n N ，时有当，则级数∑n u 一定发散；5.关于幂级数∑n n x a 的说法正确的是（） A. ∑nnxa 在收敛区间上各点是绝对收敛的； B. ∑nnxa 在收敛域上各点是绝对收敛的；C. ∑nn xa 的和函数在收敛域上各点存在各阶导数； D.∑nnxa 在收敛域上是绝对并且一致收敛的；三.计算与求值（每小题5分，共10分）1. ()()()n n n n n n n +++∞→Λ211lim2. ()⎰dx x x 2cos sin ln四. 判断敛散性（每小题5分，共15分）1.dx xx x ⎰∞+++-021132.∑∞=1!n nnn3.()nnn nn21211+-∑∞=五. 判别在数集D 上的一致收敛性（每小题5分，共10分）1.()()+∞∞-===,,2,1,sin D n nnxx f n Λ2. (][)∞+⋃-∞-=∑,22,2D xn n六．已知一圆柱体的的半径为R，经过圆柱下底圆直径线并保持与底圆面030角向斜上方切割，求从圆柱体上切下的这块立体的体积。

数学分析2复习题

数学分析2复习题一、填空题1. 若C x dx x f +=⎰2)(，则⎰=-dx x xf )4(2 .2. 已知20()ln(1)x f x t dt ，则()f x = .3. 2222111lim 122n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪++⎝⎭= . 4. 211tan 1cos x x dx x-+⎰= . 5. 已知 02kx e dx +∞-=⎰，则_______________=k .6. 无穷积分31arctan 1x x dx x+∞+⎰是 . (填“发散”或“收敛”) 7. 椭圆22149x y +=的周长为 . 8. 幂级数13(2)n nn n x n ∞=+-∑的收敛域为 . 二、计算题1、计算3cos 1sin x dx x -⎰2、计算221sin cos dx x x⎰计算3．计算34．计算2ln(1)x x dx+⎰5．计算20x⎰ 6．计算51⎰7.设440()sin (2)f x xf x dx .求20()f x dx .8. 计算10()xf x dx ⎰，其中21cos ()x t f x dt t =⎰.9、判断下列级数的敛散性（1）12!n n n n n ∞=∑ （2）13sin 5n n n π∞=∑10、将函数21()32+f x x x =-展开成1x -的幂级数,并求可展区间..三、证明题1.证明:00(sin )(sin )2xf x dx f x dx πππ=⎰⎰.四、应用题1、求曲线22=与直线4y x=-所围成的平面图形的面积，及该平面图形y x绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积.2. 求心形线()2(1cos)=+绕极轴旋转所得旋转曲面的面积.rθθ。