空间角-课件
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高中数学精品课件：空间角
图7-46-8
与平面ABCD所成的角,由已知得∠MBA=45°,则MA=MB,此时O为AB的中点.
连接OC,由∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=2DC,得四边形AOCD为矩形,所以
OC⊥AB,所以CO⊥平面MAB,又MA⊂平面MAB,所以OC⊥MA.
图7-46-8
[总结反思] (1)求解二面角的大小问题,关键是要合理作出它的平面角,当找到 二面角棱的一个垂面时,即可确定平面角,作二面角的平面角最常用的方法是 利用三垂线定理(或三垂线定理的逆定理). (2)对于建立空间直角坐标系比较简便的几何体,我们可以直接利用向量求出 两个平面的法向量,并转化为求两个法向量的夹角来完成.
.
题组二 常错题 ◆索引:二面角取值范围出错;线面角范围出错;不能正确构建线面垂直及斜线 段在底面上的射影.
6.在一个二面角的两个半平面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为
(0,-1,3),(2,2,4),则这个二面角的余弦值为
.
7.正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1,则侧棱与底面所成的角为 45° .
图7-46-8
图7-46-8
方法二:二面角D-MA-C的大小即为二面角B-MA-D的大小与二面角B-MA-C大
小的差,由(1)可知二面角B-MA-D的大小为90°,
所以二面角D-MA-C的正弦值即为二面角B-MA-C的余弦值.
过M作MO⊥AB于O(图略),因为平面MAB⊥平面ABCD,平面 MAB∩平面ABCD=AB,所以MO⊥平面ABCD,∠MBO即为MB
A
证明:连接AC(图略),由题知△ACD为等边三角形,因为M为AD的中点,所以 CM⊥AD,又AD∥BC,所以CM⊥BC,因为平面ABCD⊥平面PBC,且平面 ABCD∩平面PBC=BC,CM⊂平面ABCD,所以CM⊥平面PBC,故CM⊥PB.
用空间向量求空间角课件(共22张PPT)
向量的加法与数乘
向量的加法满足平行四边形法则或三 角形法则，即$vec{a} + vec{b} = vec{b} + vec{a}$。
数乘是指实数与向量的乘积，满足分 配律，即$k(vec{a} + vec{b}) = kvec{a} + kvec{b}$。
向量的数量积
向量的数量积定义为$vec{a} cdot vec{b} = left| vec{a} right| times left| vec{b} right| times cos theta$，其中$theta$为两 向量的夹角。
数量积满足交换律和分配律，即$vec{a} cdot vec{b} = vec{b} cdot vec{a}$和$(lambdavec{a}) cdot vec{b} = lambda(vec{a} cdot vec{b})$。
03 向量的向量积与混合积
向量的向量积
定义
两个向量a和b的向量积是一个向量，记作a×b，其模长为 |a×b|=|a||b|sinθ，其中θ为a与b之间的夹角。
适用范围
适用于直线与平面不垂直的情况。
利用向量的混合积求二面角
1 2 3
定义
二面角是指两个平面之间的夹角。
计算公式
cosθ=∣∣a×b×c∣∣∣∣a∣∣∣∣b∣∣∣∣c∣∣，其中a、 b和c分别是三个平面的法向量，θ是两个平面之 间的夹角。
适用范围
适用于两个平面不平行的情况。
06 案例分析
案例一：利用空间向量求线线角
定义
线线角是指两条直线之间的夹角。
计算公式
cosθ=∣∣a⋅b∣∣∣∣a∣∣∣∣b∣∣∣， 其中a和b是两条直线的方向向量，
空间角的计算课件
H A E1B 1 7
E1
B1
.G
A
B
1 5
可得直线AH与BE1所成角的余弦值
1 7
1
2
3
5
例1：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
1
4
D1F1= D1C 1,
角的余弦值。
1
B1E1= 4
A1B1，求直线DF1与BE1所成
D1 F1
A1
H
C1
E1 B1
D
A
C
B
例1：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
综合法：作——证——求。
G
解析：延长AH,BE1 交于点G, 所以∠AGGH= 1 7
在三角形HE1G中，由余弦定理得
A1
H
E1
B1
GE12 GH 2 HE12
cos =
2GE1 • GH
17 17 4 15
2 17 17 17
1
点, 且D1E1= 4 D1C1求直线E1F与平面D1AC所成角的正弦值.
D1(0,0,4)
(0,4,4) C1
E1
(4,2,4) B1 (4,4,4)
(4,0,4)
A1
(0,4,0)
C
D
(4,0,0)
A
B
F
(4,4,0)
解：以
{DA,DC,DD}
正交基底，建立如图所示的
1 为
空间直角坐标系D-xyz，则各点的坐标为
D1 A 2, CE 1 (t 2)2 t 2 4t 5
D1 A • CE=1
D1 A • CE
1
所以cos60 =
【高考】数学空间角线线角与线面角复习ppt课件
1.直线的方向向量与平面的法向量
(1) 两直线的方向向量的夹角就是两条直线所成的角．( ) (2) 已知A→B＝(2,2,1)，A→C＝(4,5,3)，则平面 ABC 的单位法向量是
n0＝±13，－23，23.( )
(3)已知 a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)，则 a∥c，a⊥b.( )
法二 如图 2，建立空间直角坐标系，
z
则 B(2,0,0)，C(2,2 2，0)，E(1， 2，1)，
A→E＝(1, 2，1)，B→C＝(0,2 2，0)．
设A→E与B→C的夹角为 θ，则
y
→→
cosθ＝|AA→EE|·|BB→CC|＝2×42
＝ 2
22，
x
所以 θ＝π4.
由此可知，异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小是π4.
2.空间角
(4)两异面直线夹角的范围是0，π2，直线与平面所成角的范围是0，π2，
二面角的范围是[0，π]．( ) (5)已知向量 m，n 分别是直线 l 和平面 α 的方向向量、法向量，若 cos〈m，n〉＝－12，则 l 与 α 所成的角为 150°.( ) (6)在如图所示的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，异面直线 A1B 与 B1C 所成角的大小为 60°.( )
(思1)想本与题方求程解思时想关．键是结合题设条件设进行A空B间＝联想t，，抓则住垂相直关条件各有目点的的 推理坐论证标，为 在第(A2)问(0中,0，,运0用)，空间B向(t量,0，,将0线)，面角B转1(化t,为0直,3线)的，方C向(向t,量1与,0平)， 面的法向量的夹角，考查化归
利利用用空 空间间向向量量求求直直线线与与平平面面所所成成的的C角角1(t,1,3)，D(0,3,0)，D1(0,3,3)．
2025届高中数学一轮复习课件《空间角、距离以及综合问题》ppt
第27页
高考一轮总复习•数学
第28页
题型 探究性问题 典例 3(2024·湖北襄阳四中模拟)如图所示，在三棱锥 P-ABC 中， 已知 PA⊥BC，PB⊥AC，点 P 在底面 ABC 上的射影为点 H. (1)证明：PC⊥AB. 概括来讲，在三棱锥中，若两组对棱互相垂直，则第三组对棱也 互相垂直． (2)设 PH＝HA＝HB＝HC＝2，对于动点 M，是否存在 λ，使得C→M 这组数量关系说明此三棱锥是正三棱锥． ＝λC→P，且 BM 与平面 PAB 所成角的余弦值为45？若存在，求出 λ 的值；若不存在，请说明 理由．
高考一轮总复习•数学
第7页
(2)设平面 ABN 的一个法向量为 n＝(x，y，z)，则由 n⊥A→B，n⊥A→N， 得n·A→B＝2 3x＋2y＝0，
n·A→N＝4y＋2z＝0，
令 z＝2，则 y＝－1，x＝ 3 3，即 n＝ 3 3，－1，2. 易知C→1N＝(0,0，－2)，
高考一轮总复习•数学
第14页
高考一轮总复习•数学
第15页
题型 翻折问题 典例 2 如图 1，在梯形 ABCD 中，AB∥CD，AE⊥CD，垂足为 E，AB＝AE＝12CE＝1，
DE＝ 2.将△ADE 沿 AE 翻折到△APE，如图 2 所示．M 为线段 PB 的中点，且 ME⊥PC. 最后这个条件，暗示△ADE 翻折到怎样的位置？
由 ME∩BE＝E，ME，BE⊂平面 BEM， 得 BC⊥平面 BEM，PE⊂平面 BEM，于是 PE⊥BC. 由题意，知 PE⊥AE，AE 与 BC 相交， 则 PE⊥平面 ABCE，又 EC⊂平面 ABCE， 所以 PE⊥EC.
高考一轮总复习•数学
第19页
(2)解：连接 BN，MN，设 EN＝t，由(1)知 PE，EA， 平面 BMN 和平面 PCE 无公共边，这样引入参数 t，使 t 参与二面角余弦值的计算，用 函数法求最小值． EC 两两垂直，故以 E 为坐标原点，E→A，E→C，E→P的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正方 向建立空间直角坐标系，如图所示，
高考数学一轮复习第六讲空间角课件人教
③如图(3)，在棱a上任取一点O，过O点作平面γ⊥a，
设平面γ分别与α、β相交于OA、OB，则∠AOB为所求
能正确地作出二面角的平面角的是
()
A．①②③ B．只有② C．①和③ D．②和③
解析：①正确，这是用定义法作二面角的平面角；
②错误，这是用三垂线定理或逆定理作二面角的平面
角的重要方法，但要注意，上述作法，只对二面角小于
●回归教材
1．(2009·湖北黄冈一模)设直线与平面所成角的大小
范围为集合P，二面角的平面角大小范围为集合Q，异面
直线所成角的大小范围为集合R，则P、Q、R的关系为
()
A．R＝P⊆Q
B．R⊆P⊆Q
C．P⊆R⊆Q
D．R⊆P＝Q
解析：因为P＝[0， ]，Q＝[0，π]，R＝(0， ]，所以
R⊆P⊆Q.故选B.
●基础知识 一、空间角 空间中的角包括两条异面直线所成的角、直线与平面 所成的角、二面角等．这些角都是通过两条射线所成的角 来定义的，因而这些角都可以看成是角的概念在空间的拓 广，三种角的计算方法，都是转化为平面内线与线所成的 角来计算的．确切地说，是“化归”到一个三角形中，通 过解三角形求其大小．由于引入了空间向量，三种角的计 算除以上方法外，还可考虑采用向量方法进行处理．
答案：B
2．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线
BC1和B1D1所成的角为
()
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
解析：连接AD1、AB1， ∵AB綊A1B1綊C1D1， ∴四边形ABC1D1为平行四边形， ∴AD1∥BC1，∴∠AD1B1就是BC1和B1D1所成的角或 其补角．
③垂面法：过二面角的棱上一点作平面与棱垂直，分 别与两个面的交线，构成二面角的平面角．
空间角PPT教学课件
法一：在内a l，在内b l，其方向如左下图， 则二面角 l 的平面角 arccos a b ；
| a || b |
其方向如右上图，则二面角 l 的平面角 arccos a b .
| a || b |
法二：设n1，n2是二面角 l 的两个半平
面的法向量，其方向一个指向内侧，另一个
则PAF为异面直线AP与BC所成的角．
由1可知AB BC，所以CF AF.
又PC 平面ABCF， 所以PF AF. 则AF CF AC sin45 2，
PF PC2 CF 2 6.
在RtPFA中，tanPAF PF 6 3， AF 2
所以异面直线AP与BC所成的角为 .
3
方法2：1同方法1. 2由1知AB 平面PCB，因为PC AC 2.
由1知，A1D是B1D在平面A1 ADD1上的射影，
根据三垂线定理得B1D AE.
3设A1D AE F，连结CF.
因为CD 平面A1 ADD1，且AE DF， 根据三垂线定理得AE CF， 所以DFC是二面角C AE D的平面角． 在RtADE中，由AD DE AE DF，
得DF AD DE 3 . AE 3
故直线DE与平面ABCD所成角的正切值是 5 . 5
【思维启迪】根据条件中E为BC1的中点易想 到BC的中点就是E在平面ABCD上的射影， 这是解答本题的突破口．
变式题：已知S是正三角形ABC所在平面外 一点，且SA SB SC，D是AB的中点，且 SD与BC成45角，则SD与底面ABC所成角 的正弦值为( )
专题四
立体几何
1．两条异面直线所成的角
1定义：直线a、b是异面直线，经过空间一点O，
分别作a//a，b//b，相交直线a，b所成的锐角(或 直角)叫做异面直线a，b所成的角．
| a || b |
其方向如右上图，则二面角 l 的平面角 arccos a b .
| a || b |
法二：设n1，n2是二面角 l 的两个半平
面的法向量，其方向一个指向内侧，另一个
则PAF为异面直线AP与BC所成的角．
由1可知AB BC，所以CF AF.
又PC 平面ABCF， 所以PF AF. 则AF CF AC sin45 2，
PF PC2 CF 2 6.
在RtPFA中，tanPAF PF 6 3， AF 2
所以异面直线AP与BC所成的角为 .
3
方法2：1同方法1. 2由1知AB 平面PCB，因为PC AC 2.
由1知，A1D是B1D在平面A1 ADD1上的射影，
根据三垂线定理得B1D AE.
3设A1D AE F，连结CF.
因为CD 平面A1 ADD1，且AE DF， 根据三垂线定理得AE CF， 所以DFC是二面角C AE D的平面角． 在RtADE中，由AD DE AE DF，
得DF AD DE 3 . AE 3
故直线DE与平面ABCD所成角的正切值是 5 . 5
【思维启迪】根据条件中E为BC1的中点易想 到BC的中点就是E在平面ABCD上的射影， 这是解答本题的突破口．
变式题：已知S是正三角形ABC所在平面外 一点，且SA SB SC，D是AB的中点，且 SD与BC成45角，则SD与底面ABC所成角 的正弦值为( )
专题四
立体几何
1．两条异面直线所成的角
1定义：直线a、b是异面直线，经过空间一点O，
分别作a//a，b//b，相交直线a，b所成的锐角(或 直角)叫做异面直线a，b所成的角．
《立体几何中的向量方法--空间角的计算》课件5(新人教A版选修2-1)
则可设 a =1，b
作 CE BC1于E, DF BC 于 1 F，
C1E CC1 b2 1 2 在 RtCC1 B 中， 2 EB BC a 2
1 即E分有向线段 C1 B的比为 2
2
2 3 1 C1 (0,0, ) D( , ,0) 4 4 2
2
，则B(0,1,0)
E F B D A
三、面面角： 二面角的范围： [0, ]
①方向向量法：
将二面角转化为二面角的两个面的方向向量 （在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的 夹角。如图，设二面角 l 的大小为 ， 其中 AB l , AB , CD l , CD
B A
D
C l
cos cos AB, CD
二、线面角：
[0, ] 直线与平面所成角的范围：
A
2
思考：
O
B
A
设平面的法向量为n，则 n, BA 与的关系？
2
A
n
B
n， BA
n， BA
2
B
n
结论：sin
| cos n, AB |
例二：在长方体 ABCD A B C D 中， AB= 5，AD 8, 1 1 1 1
空间向量的引入为代数方法处理立体 几何问题提供了一种重要的工具和方法， 解题时，可用定量的计算代替定性的分析， 从而避免了一些繁琐的推理论证。求空间 角与距离是立体几何的一类重要的问题， 也是高考的热点之一。我们主要研究怎么 样用向量的办法解决空间角的问题。
空间的角：
空间的角常见的有：线线角、线面角、面面角。 空间两条异面直线所成的角可转化为两条相 交直线所成的锐角或直角。故我们研究线线角 时，就主要求[0, ]范围内 的角； 2 斜线与平面所成的角是指斜线与它在面内 的射影所成锐角，再结合与面垂直、平行或在 面内这些特殊情况，线面角的范围也是 [0, ] ；
高考数学大一轮复习 第二节 第一课时 空间角的求法课件 理 苏教版
解析：如图所示，以点A为坐标原点，建 立空间直角坐标系A-xyz，则A(0,0,0)， P(0,0,2)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)．∵ AM⊥PD，PA＝AD，
第十页，共40页。
∴M为PD的中点，∴M的坐标为(0,1,1)．
∴ AC ＝(1,2,0)， AM ＝(0,1,1)，CD＝(－1,0,0)． 设平面ACM的一个法向量为n＝(x，y，z)，
第二十一页，共40页。
(2)由(1)知， AD1 ＝(0,3,3)， AC ＝( 3，1,0)， B1C1 ＝(0,1,0)． 设 n＝(x，y，z)是平面 ACD1 的一个法向量，则
n·AC ＝0，
n·AD1 ＝0，
即 3y3＋x＋3zy＝＝00. ，
令 x＝1，则 n＝(1，－ 3， 3)．
设直线 B1C1 与平面 ACD1 所成角为 θ，则
连结 AB1，易知△AB1D 是直角三角形，且 B1D2＝BB12＋ BD2＝BB21＋AB2＋AD2＝21，即 B1D＝ 21.
在 Rt△AB1D 中，cos∠ADB1＝BA1DD＝
3＝ 21
721，即 cos(90°
－θ)＝
721.从而 sin θ＝
21 7.
即直线 B1C1 与平面 ACD1 所成角的正弦值为
第三页，共40页。
1．求异面直线所成角时，易求出余弦值为负值而盲目得出答案而
忽视了夹角为0，π2. 2．求直线与平面所成角时，注意求出夹角的余弦值的绝对值应为
线面角的正弦值． 3．利用平面的法向量求二面角的大小时，二面角是锐角或钝角由
图形决定．由图形知二面角是锐角时cos
θ＝
|n1·n2| |n1||n2|
∴cos〈
第十页，共40页。
∴M为PD的中点，∴M的坐标为(0,1,1)．
∴ AC ＝(1,2,0)， AM ＝(0,1,1)，CD＝(－1,0,0)． 设平面ACM的一个法向量为n＝(x，y，z)，
第二十一页，共40页。
(2)由(1)知， AD1 ＝(0,3,3)， AC ＝( 3，1,0)， B1C1 ＝(0,1,0)． 设 n＝(x，y，z)是平面 ACD1 的一个法向量，则
n·AC ＝0，
n·AD1 ＝0，
即 3y3＋x＋3zy＝＝00. ，
令 x＝1，则 n＝(1，－ 3， 3)．
设直线 B1C1 与平面 ACD1 所成角为 θ，则
连结 AB1，易知△AB1D 是直角三角形，且 B1D2＝BB12＋ BD2＝BB21＋AB2＋AD2＝21，即 B1D＝ 21.
在 Rt△AB1D 中，cos∠ADB1＝BA1DD＝
3＝ 21
721，即 cos(90°
－θ)＝
721.从而 sin θ＝
21 7.
即直线 B1C1 与平面 ACD1 所成角的正弦值为
第三页，共40页。
1．求异面直线所成角时，易求出余弦值为负值而盲目得出答案而
忽视了夹角为0，π2. 2．求直线与平面所成角时，注意求出夹角的余弦值的绝对值应为
线面角的正弦值． 3．利用平面的法向量求二面角的大小时，二面角是锐角或钝角由
图形决定．由图形知二面角是锐角时cos
θ＝
|n1·n2| |n1||n2|
∴cos〈
《空间角的复习》课件
空间角在几何图形中有着广泛的应用，如多面体、球体、旋 转体等，通过空间角的分析可以深入理解图形的结构和性质 。
几何图形的度量
空间角是度量几何图形的重要工具，如平面角、二面角、线 面角等，通过空间角的度量可以确定图形的形状、大小和位 置关系。
在解决实际问题中的应用
建筑结构分析
在建筑领域中，空间角的应用十分广 泛，如梁、柱、墙等结构的空间角度 分析，有助于确保建筑结构的稳定性 和安全性。
注意事项
在计算过程中，需要注意向量 的方向和夹角的范围，以避免
出现错误的结果。
利用几何意义计算空间角
总结词
详细描述
几何法是通过空间几何图形的性质和定理 来计算空间角的方法，适用于解决与几何 图形相关的问题。
利用空间几何图形的性质和定理，如平行 线性质、等腰三角形性质等，可以计算出 空间中的线线角、线面角和二面角。
《空间角的复习》ppt 课件
目录
• 空间角的基本概念 • 空间角的计算方法 • 空间角的应用 • 空间角的综合题解析 • 空间角的易错点解析
CHAPTER 01
空间角的基本概念
定义与分类
总结词
详细描述空间角的定义，以及按照不 同标准分类的种类。
详细描述
空间角是指两个非平行直线或平面在 三维空间中形成的角。根据不同的分 类标准，空间角可以分为不同的类型 ，如平面角和立体角等。
CHAPTER 04
空间角的综合题解析
综合题一：求异面直线所成的角
总结词
掌握异面直线所成角的定义和性质，利用平移法或向量法求解。
详细描述
异面直线所成的角是指两条异面直线所夹的锐角或直角，其取值范围为$0^{circ}$到$90^{circ}$。求解时，可以 通过平移将两条异面直线变为相交直线，再利用平面几何知识求解；或者利用向量法，通过向量的夹角来求解。
几何图形的度量
空间角是度量几何图形的重要工具，如平面角、二面角、线 面角等，通过空间角的度量可以确定图形的形状、大小和位 置关系。
在解决实际问题中的应用
建筑结构分析
在建筑领域中，空间角的应用十分广 泛，如梁、柱、墙等结构的空间角度 分析，有助于确保建筑结构的稳定性 和安全性。
注意事项
在计算过程中，需要注意向量 的方向和夹角的范围，以避免
出现错误的结果。
利用几何意义计算空间角
总结词
详细描述
几何法是通过空间几何图形的性质和定理 来计算空间角的方法，适用于解决与几何 图形相关的问题。
利用空间几何图形的性质和定理，如平行 线性质、等腰三角形性质等，可以计算出 空间中的线线角、线面角和二面角。
《空间角的复习》ppt 课件
目录
• 空间角的基本概念 • 空间角的计算方法 • 空间角的应用 • 空间角的综合题解析 • 空间角的易错点解析
CHAPTER 01
空间角的基本概念
定义与分类
总结词
详细描述空间角的定义，以及按照不 同标准分类的种类。
详细描述
空间角是指两个非平行直线或平面在 三维空间中形成的角。根据不同的分 类标准，空间角可以分为不同的类型 ，如平面角和立体角等。
CHAPTER 04
空间角的综合题解析
综合题一：求异面直线所成的角
总结词
掌握异面直线所成角的定义和性质，利用平移法或向量法求解。
详细描述
异面直线所成的角是指两条异面直线所夹的锐角或直角，其取值范围为$0^{circ}$到$90^{circ}$。求解时，可以 通过平移将两条异面直线变为相交直线，再利用平面几何知识求解；或者利用向量法，通过向量的夹角来求解。
数学：《空间角》课件(人教a版必修二)
在直角三角形AFE中，得tan∠AFE=2 故∠AFE=arctan2
过点B作BE⊥AD于E，过点E作EF⊥CD于F 点，连接BF。 ∵平面ABC⊥平面DBC DB⊥BC F ∴BD⊥平面ABC，BD⊥AC ∵ AC⊥AB E C ∴AC⊥平面DBA
D
B
平面ACD⊥平面DBA
∵ BE⊥AD ∴BE⊥平面ACD 而EF⊥CD ∴BF⊥CD (依解法1可得∠BFE=arctan2)
训练3:
自点P出发的三条射线PA,PB,PC两两成 600 角,则
直线PC与平面PAB所成的角的余弦值为
C
3 3
A P
O B
3、二面角
• 从一条直线出发的两个半平面所组成 的图形叫做二面角。
A
• 二面角的大小用它的平面角来度量；
求二面角常用方法有：
B
（1）定义法： 根据定义作出二面角的平面角；
0
3、直线B1D与EF所成角的大小
A1
E
C1
B1
F
90
0
例1.
正三棱锥A-BCD中,E,F分别在棱AB,CD上,
且
AE CF .) 设α为异面直线EF与AC所成的 ( 0 EB FD
角,β为异面直线EF与BD所成的角,则α+ β=
A.
6
A
B.
3
C.
2
D.是 一 个 与 有 关 的 变 量
A B D C
M
H
cos S DBC S ABC
用这个关系式求可锐二面角的平面角。
例3、将一副三角板拼接,公共边为BC,且两个三角板 0 所在平面互相垂直,若∠BAC= ∠CBD=90 , 0 ∠BCD=60 ， AB=AC,求二面角A-CD-B的大小.
过点B作BE⊥AD于E，过点E作EF⊥CD于F 点，连接BF。 ∵平面ABC⊥平面DBC DB⊥BC F ∴BD⊥平面ABC，BD⊥AC ∵ AC⊥AB E C ∴AC⊥平面DBA
D
B
平面ACD⊥平面DBA
∵ BE⊥AD ∴BE⊥平面ACD 而EF⊥CD ∴BF⊥CD (依解法1可得∠BFE=arctan2)
训练3:
自点P出发的三条射线PA,PB,PC两两成 600 角,则
直线PC与平面PAB所成的角的余弦值为
C
3 3
A P
O B
3、二面角
• 从一条直线出发的两个半平面所组成 的图形叫做二面角。
A
• 二面角的大小用它的平面角来度量；
求二面角常用方法有：
B
（1）定义法： 根据定义作出二面角的平面角；
0
3、直线B1D与EF所成角的大小
A1
E
C1
B1
F
90
0
例1.
正三棱锥A-BCD中,E,F分别在棱AB,CD上,
且
AE CF .) 设α为异面直线EF与AC所成的 ( 0 EB FD
角,β为异面直线EF与BD所成的角,则α+ β=
A.
6
A
B.
3
C.
2
D.是 一 个 与 有 关 的 变 量
A B D C
M
H
cos S DBC S ABC
用这个关系式求可锐二面角的平面角。
例3、将一副三角板拼接,公共边为BC,且两个三角板 0 所在平面互相垂直,若∠BAC= ∠CBD=90 , 0 ∠BCD=60 ， AB=AC,求二面角A-CD-B的大小.
《空间角的求法》课件1 (北师大版必修2)
B1
当 F 为线段为 AC 的中点时
C
B
练习 3.二面角 ─l ─ 中, A B , A 、 在 B 棱 l 上的射影分别为 C 、 ,如果 AC 4, BD 2, D
AB 6, CD 2 6 ,那么二面角 ─l ─ 的平面角 的余弦值等于______.
D1
D
C1
y
(2) 求直线 CE 与平面 C1 DE 所成
的角的正弦值.
A1
A
B1
C
E B
x
分析:坐标系易建立,选用坐标法求解好!
1答案
2答案
3答案
解： (I)以 A 为原点， 、 、 1 分别为 x 轴, y 轴, z 轴 AB AD AA 的正向建立空间直角坐标系 A─xyz ， 则有 D(0, 3,0) , E(3,0,0) C1 (4, 3, 2) , C (4, 3,0) , ∴ DE (3, 3,0) , EC1 (1, 3, 2) 设平面 C1 DE 的一个法向量 n ( x, y, z ) ， n DE 3 x 3 y 0 y x 则 n EC1 x 3 y 2z 0 z 2 x ∴令 x 1 ,则 n (1,1, 2) .
A D B
l C
2 15 ∴直线 CE 与平面 C1 DE 所成的角的正弦值为 . 15
练习 2(全品 P95例3) 如图,直三棱柱 ABC ─A1 B1C1 中, A1 CC1 CB CA 2 , AC CB , B D 、 分别是棱 C1C 、 1C1 的中点. E 6 求二面角 B─A1 D─A 的余弦值; C1 (1) E 6 (2) 在线段 AC 上是否存在一点 F , 使得 EF 平面A1 BD ?若存在, D A 确定其位置并证明结论,若不存在, F 说明理由.
空间向量的应用 求空间角与距离 公开课一等奖课件
[点评与警示]
1.在难以建空间直角坐标系的情况下，
可用平移的方法求异面直线所成的角． 2．利用空间向量求两异面直线所成角，是通过两条直 线的方向向量的夹角来求解，而两异面直线所成角范围为 θ π ＝[0，2]，两向量夹角 α 的范围是[0，π]，要注意两者的区 别．cosθ＝|cosα|.
如图所示，在棱长为 2 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 中， O 是底面 ABCD 的中心，E、F 分别是 CC1、AD 的中点，那 么异面直线 OE 和 FD1 所成角的余弦值等于( 10 A. 5 4 C.5 15 B. 5 2 D.3 )
[解析] 所成的角，
连接 A1C1，则∠AC1A1 为 AC1 与平面 A1B1C1D1
AB＝BC＝2⇒A1C1＝AC＝2 2，又 AA1＝1 ∴AC1＝3⇒sin∠AC1A1 AA1 1 ＝AC ＝3，故选 D. 1
[答案] D
2 ．(2009· 江西，9) 如图，正四面体 ABCD 的顶点 A， B ， C
[解析]
如图所示，建立空间直角坐标系，则 D1(0,0,2)，
F(1,0,0)，O(1,1,0)，E(0,2,1)，设 OE 和 FD1 所成的角为 θ， 则 cosθ＝|cos〈OE，FD1〉| OE· FD1 15 ＝ → ＝ . → 5 |FD1| |OE|·
→ → → →
→ →
(2)设n1、n2是二面角α－l－β的两个角α、β的法向量，则向 量n1与n2的夹角(或其补角)就是二面角的平面角的大小(如图 (b)(c)所示)．
4．利用空间向量求空间距离 (1)点面距离的求法 已知 AB 为平面 α 的一条斜线段，n 为平面 a 的法向量， |AB· n| 则 B 到平面 α 的距离为|BO|＝ |AB|· |cos〈AB，n〉|＝ |n| .
空间向量与空间角、距离问题课件-2025届高三数学一轮复习
C
A. B. C. D.
解析 取线段的中点，连接，则，设直三棱柱 的棱长为2， 以点为原点，,,的方向分别为轴、轴、 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，， ， 所以，，, ， 所以 .故选C.
用向量法求异面直线所成的角的一般步骤1. 建立空间直角坐标系；2. 用坐标表示两异面直线的方向向量；3. 利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；4. 注意两异面直线所成角的范围是， ，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量 夹角的余弦值的绝对值.
因为 平面， 平面，所以，又， 平面, 平面,所以 平面，又 平面，所以 .
（2）如图2，以点为原点建立空间直角坐标系，，则, ,，则,, ， 设平面的一个法向量为 ， 则令,则,，所以 ，则,所以与平面所成角的正弦值为 .
利用空间向量求线面角的解题步骤
平面与平面所成的角
二、空间向量与距离
直线外一点 到直线 的距离
如图，直线的单位方向向量为，设，则向量在直线 上的投影向量⑭________，则点到直线 的距离为 ⑮_______________
平面外一点 到平面 的距离
如图，已知平面 的法向量为，为平面 内的定点，是平面 外一点，过点作平面 的垂线，交平面 于点，是直线 的方向向量，则点到平面 的距离⑯______ ⑰_______
B
A. B. C. D.
解析 建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，, ，，，所以，，.设平面 的一个法向量为，则令，得 ，故点到平面的距离 .故选B.
4.（人教A版选修①P43 · T10改编）设，分别是正方体的棱 和的中点，则直线与平面 所成角的正弦值为________.
解析 建立如图所示的空间直角坐标系，设 ，则，，，， ，则，， .设平面的一个法向量为 ，故令，则，，所以 ，所以与平面所成角的正弦值为 .
A. B. C. D.
解析 取线段的中点，连接，则，设直三棱柱 的棱长为2， 以点为原点，,,的方向分别为轴、轴、 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，， ， 所以，，, ， 所以 .故选C.
用向量法求异面直线所成的角的一般步骤1. 建立空间直角坐标系；2. 用坐标表示两异面直线的方向向量；3. 利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；4. 注意两异面直线所成角的范围是， ，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量 夹角的余弦值的绝对值.
因为 平面， 平面，所以，又， 平面, 平面,所以 平面，又 平面，所以 .
（2）如图2，以点为原点建立空间直角坐标系，，则, ,，则,, ， 设平面的一个法向量为 ， 则令,则,，所以 ，则,所以与平面所成角的正弦值为 .
利用空间向量求线面角的解题步骤
平面与平面所成的角
二、空间向量与距离
直线外一点 到直线 的距离
如图，直线的单位方向向量为，设，则向量在直线 上的投影向量⑭________，则点到直线 的距离为 ⑮_______________
平面外一点 到平面 的距离
如图，已知平面 的法向量为，为平面 内的定点，是平面 外一点，过点作平面 的垂线，交平面 于点，是直线 的方向向量，则点到平面 的距离⑯______ ⑰_______
B
A. B. C. D.
解析 建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，, ，，，所以，，.设平面 的一个法向量为，则令，得 ，故点到平面的距离 .故选B.
4.（人教A版选修①P43 · T10改编）设，分别是正方体的棱 和的中点，则直线与平面 所成角的正弦值为________.
解析 建立如图所示的空间直角坐标系，设 ，则，，，， ，则，， .设平面的一个法向量为 ，故令，则，，所以 ，所以与平面所成角的正弦值为 .
用空间向量求空间角课件(共22张PPT)
1
M
2 x 0 z 0 即 取z =2得x=1，y = - 2 2 x 2 y z 0 A
D O B
C
y
所以平面B1MA的一个法向量为 n (1， 2， 2) 1 2 4 6 cos B1O， n 6 6 9
x
由图可知二面角为锐角
6 所以二面角B1 MA C的余弦值为 。 6
即为两直线的夹角；当向量夹角为钝角时，两直线的夹角为向
量夹角的补角．
直线和直线在平面内的射影所成的角， 二、线面角： 叫做这条直线和这个平面所成的角.
[0, ] 直线与平面所成角的范围：
A
2
n
思考：如何用空间向量的夹角 表示线面角呢？
B
O
结论： sin
| cos n, AB |
立体几何中的向量方法 ——空间“角”问题
空间的角常见的有：线线角、线面角、面面角
复习回顾
• 直线的方向向量:两点 • 平面的法向量：三点两线一方程 • 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3) 则(1)a·b＝ a1b1＋a2b2＋a3b3 .
复习回顾
• 设直线l1、l2的方向向量分别为a、b，平面α、β的 法向量分别为n1、n2.
10 5
所以直线SA与OB所成角余弦值为
课堂小结：
1.异面直线所成角：
C
D
cos sin
|cos CD, AB | | cos n, AB |
A
B
D1
A
O
2.直线与平面所成角： 3.二面角：
n
B
n2
《空间角的计算》课件
计算示例
通过具体的示例来理解空间角的计算方法。例如，在已知两个向量的情况下， 我们可以求解它们之间的夹角；又或者在已知三个点的坐标时，我们可以计 算它们围成的空间角。
总结
通过比较不同的计算方法，我们可以了解空间角的重要性和不同计算方法的优缺点。学习空间角对于提高相关 领域的数学能力具有重要意义。
《空间角的计算》PPT课 件
这是一份关于《空间角的计算》的PPT课件，旨在通过生动的图片和清晰的解 释，向大家介绍空间角的定义、计算方式、关系以及其在物理和工程中的应 用。
什么是空间角
空间角是三维空间中两个向量之间的夹角称为空间角。它可以通过向量的内积或两度和空间角之间存在着密切的关系。角度通常使用度数或弧度来表示，并且可以与空间角进行转换。此外， 定向角度和不定向角度也有着不同的概念和用途。
空间角的应用
空间角在物理学和工程中有着广泛的应用。在物理学中，它可以描述物体的 运动和力的方向。在工程中，它可以用于测量和设计三维结构。
空间角的计算方法
空间角的计算可以使用空间直角坐标系的方法、三点坐标法或两向量夹角法。每种方法都有其适用的场景和计 算方式。
高三数学复习课件：7.6空间角(共20张PPT)
VS
题组一 判断正误⇔概念辨析
1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．( ) (2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．( ) (3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角．( ) (4)两异面直线夹角的范围是0，π2，直线与平面所成角的范围是0，π2，二面角 的范围是[0，π]．( )
考点三 利用向量求二面角
师生 共研
(2017·山东卷)如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形 ABCD(及其内 部)以 AB 边所在直线为旋转轴旋转 120°得到的，G 是D︵F 的中点．
(1)设 P 是C︵E 上的一点，且 AP⊥BE，求∠CBP 的大小； (2)当 AB＝3，AD＝2 时，求二面角 E-AG-C 的大小．
(1)证明：平面 PEF⊥平面 ABFD； (2)求 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值．
利用向量求线面角的方法 (1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量 的夹角(或其补角)． (2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐 角，取其余角就是斜线和平面所成的角．
[训练] (2017·全国卷Ⅰ，节选)如图，在四棱锥 P-ABCD 中，AB∥CD，且∠BAP ＝∠CDP＝90°.
若 PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，求二面角 A-PB-C 的余弦值．
核心素养系列 (四十)逻辑推理——利用向量求解空间角中的核心素养 利用直线的方向向量和平面的法向量求解空间角问题，特别是解决存在型 问题，更凸显了向量法的独特魅力. 这类问题的解决一般是先假设存在，通过 建立空间直角坐标系，将问题转化为向量问题来解决.
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在四边相等的空间四边形，所以必须证B′、E、D、
F四点共面. 第(3)小题应用了课本一道习题的结论， 才证明了AD在平面B′EDF内的射影在B′D上
返回
误解分析
1. 求异面直线所成的角，要注意角的范围是 0，
，π 2
，如能力·思维·方法3，平移后得AB1C，计
算得
cosAB1C
5 ，不能说两异面直线成角 5
(A)θ0θ0
(B)θ40θ50
(C)θ40θ90
(D)θ50θ90
5.如图，ABC-A1B1C1是直三棱柱，∠BCA=90°， 点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA= CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是( A )
(A) 30 10
(B) 1 2
(C) 30 15
(D) 为a的正方体ABCD—A′B′C′D′中，E、 F分别是BC、A′D′
(1)求证：四边形B′EDF是菱形； (2)求直线A′C与DE所成的角； (3)求直线AD与平面B′EDF所成的角.
【解题回顾】对于第(1)小题，若仅由B′E=ED= DF=FB′就断定B′EDF是菱形，那是不对的，因存
设E、F分别为AB、PD的中点.
(1)求证：AF∥平面PEC； (2)求二面角P-BC-A的大小；
【解题回顾】找二面角的平面角时不要盲目去作，而 应首先由题设去分析，题目中是否已有.
3.正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是BC的中点，求平 面B1D1E和平面ABCD所成的二面角的正弦值.
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课前热身
1. 二面角α-AB-β的平面角是锐角，C是平面α内的 点(不在棱AB上)，D是C在平面β上的射影，E是棱 AB上满足∠CEB为锐角的任意一点，则( A )
(A)∠CEB＞∠DEB
(B)∠CEB=∠DEB
(C)∠CEB＜∠DEB
(D)∠CEB与∠DEB的大小关系不能确定
2. 直线AB与直二面角α-l-β的两个半平面分别交于A、
成角为0°
(3)范围： 0
，π 2
(4) 射影定理：从平面α外一点向这个平面所引的 垂线段和斜线段中： ①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线 段也较长； ②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射 影也较长； ③垂线段比任何一条斜线段都短
(5)最小角定理：斜线和平面所成的角，是这条斜 线和平面内过斜足的直线所成的一切角中的最小 的角.
(B) 3 2
6 (C)
3
6 (D)
2
3.如图，正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所 在的平面成60°的二面角，则异面直线AD与BF所
2 成角的余弦值是_____4______.
4.异面直线a、b成80°角，P为a、b外一定点，若 过P有且仅有2条直线与a、b所成角都为θ，则θ的
范围是( B )
2.如图，在正方体AC1中， (1)求BC1与平面ACC1A1所成的角； (2)求A1B1与平面A1C1B所成的角.
【解题回顾】“线线角抓平移，线面角定射影”. 也
就是说要求直线与平面所成的角，关键是找到直 线在此平面上的射影，为此，必须在这条直线上 的某一点处作一条(或找一条)平面的垂线，本题 ①中BO就是平面的垂线，②垂足H的位置也必须 利用图形的性质来确定.
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第３课时 二面角(二)
• 要点·疑点·考点 •课 前 热 身 • 能力·思维·方法 • 延伸·拓展 • 误解分析
要点·疑点·考点
1.熟练掌握求二面角大小的基本方法： (1)先作平面角，再求其大小； (3)直接用公式cosθ=S射/S原
2.掌握下列两类题型的解法： (1)折叠问题——将平面图形翻折成空间图形. (2)“无棱”二面角——在已知图形中未给出二面角 的棱.
4.三棱锥A—BCD中，AB=AC=BC=CD=AD=a ， 要使三
棱锥A—BCD的体积最大，则二面角B-AC-D的大小是
π
2 π
3 2π
3 （D） π
4
（A） （B） （C）
（A）
5. 在二面角α-a-β内，过a作一个半平面γ，使二面角 α-a-γ=45°，二面角γ-a-β=30°，则γ内的任意一
【解题回顾】①先由第(1)小题的结论易知BC⊥AA1， 再利用作出棱AA1的垂面BNC来确定平面角∠BNC.
② 将 题 设 中 “ AA1 与 底 面 ABC 所 成 的 角 为 60°” 改 为
“ BA1⊥AC1 ” 仍可证得三角形AA1C为正三角形，所
求
23
arctan
二面角仍为
3.
③本题的解答也可利用三垂线定理来推理.
2.如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，二面角B1-AA1-C1 的大小为__4_5_°_，二面角B-AA1-D的大小为___9_0_°_，二 面角C1-BD-C的正切值是____2___.
3. 在二面角α-l-β的一个平面α内有一条直线AB，它 与棱 l 所成的角为45°，与平面β所成的角为30°，则 这个二面角的大小是___4_5_°__或__1_3_5_°____.
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能力·思维·方法
1. 如图所示，ABCD是一个正四面体，E、F分别
为BC和AD的中点.求： (1)AE与CF所成的角； (2)CF与平面BCD所成的角.
【解题回顾】本题解法是求异面直线所成角常采
用的“平移转化法”：把异面直线转化为求两相 交
直线所成的角，需要通过引平行直线作出平面图
形，化归为平面几何问题来解决.
4. 在120°的二面角α-l-β的两个面α、β内分别有A、
B两点，这两点到棱的距离分别为2和4，AB =10，求： (1)AB与l 所成的角； (2)AB与平面β所成的角.
【解题回顾】本例是综合题，解题过程常常是作 图(包括添辅助线或辅助面)、论证、计算三个阶 段，这样就综合考查了空间想象能力、逻辑推理 能力和运算能力.
B两点，且A、B l. 如果直线AB与α、β所成的角
分别是θ1、θ2，则θ1+θ2的取值范围是(
)D
(A) 0θ1θ2π
(B)
θ1
θ2
π 2
(C)
θ1
θ2
π 2
(D)0θ1
θ2
π 2
3. 在长、宽、高分别为1、1、2的长方体ABCD－A1B1
C1D1中，截面BA1C1与底面ABCD所成角的余弦值是__
1. 二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫二面 角，其大小通过二面角的平面角来度量.
2. 二面角的平面角： (1)定义：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面 内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角 叫做二面角的平面角. (2)范围：[0，π ]
3.二面角的平面角的作法：
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课前热身
1. 平面α的斜线与α所成的角为30°，则此斜线和α
内所有不过斜足的直线中所成的角的最大值是( )C
(A)30°
(B)60°
(C)90°
(D)150°
2. 相交成90°的两条直线与一个平面所成的角分别 是30°与45°，则这两条直线在该平面内的射影所 成角的正弦值为( C )
(A) 3 3
③△AOC为正三角形；
④过B点作直线l⊥平面BCD，则直线l∥平面AOC其 中正确命题的序号是__①__③__④____
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能力·思维·方法
1.平面四边形ABCD中，AB=BC=CD=a，∠B=90°， ∠DCB=135°，沿对角线AC将四边形折成直二面角. 证：(1)AB⊥面BCD； (2)求面ABD与面ACD所成的角.
【解题回顾】准确画出折叠后的图形，弄清有关点、 线之间的位置关系，便可知这是一个常见空间图形 (四个面都是直角三角形的四面体).
2.在直角梯形P1DCB中，P1D∥CB，CD⊥P1D，P1D= 6，BC=3，DC=3，A是P1D的中点. 沿AB把平面P1AB 折起到平面PAB的位置，使二面角P-CD-B成45°，
(1)定义法 (2)三垂线定理法 (3)作棱的垂面法
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课前热身
1.下列命题中： ①两个相交平面组成的图形叫做二面角；
②异面直线a、b分别和一个二面角的两个面垂直，则a、
b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补； ③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面 内作射线所成角的最小角； ④正四面体相邻两个面所成的二面角的平面角是锐角. 其中，正确命题的序号是____②__、__④______.
(1)定义：设a、b是异面直线，过空间任一点O引 a //a， b//b，则 a，b所成的锐角(或直角)，叫做异
面直线a、b所成的角.
(2)范围：
0 ，π 2
2. 线面角
(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所 成的锐角，叫这条斜线和这个平面所成的角
(2)若直线l ⊥平面α，则 l 与α所成角为直角 若直线l∥平面α，或直线l 平面α，则l与α所
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误解分析
1. 二面角是立体几何的重点、热点、难点，求二面角 的大小方法多，技巧性强．但一般先想定义法，再想 三垂线定理法，如课前热身4，及能力•思维•方法1中， 如果盲目作垂线，则会干扰思维．
2. 实施解题过程仍要注意“作、证、指、求”四环节， 计算一般是放在三角形中，因此，“化归”思想很重 要.
3.如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为a，侧棱
长为
2 2
a
，若经过对角线AB1且与对角线BC1平行的平
面交上底面一边A1C1于点D.
(1)确定点D的位置，并证明
你的结论；
(2)求二面角A1-AB1-D的大小.
【解题回顾】第(2)题中二面角的放置属于非常规位置
的图形(同例(1)的变题)，看起来有些费劲，但是一旦
【解题回顾】本题是1990年全国高考题，(1)的证明关 系较复杂，需仔细分析。(2)的平面角就是∠CDE，很 多考生没有发现，却去人为作角，导致混乱.
F四点共面. 第(3)小题应用了课本一道习题的结论， 才证明了AD在平面B′EDF内的射影在B′D上
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误解分析
1. 求异面直线所成的角，要注意角的范围是 0，
，π 2
，如能力·思维·方法3，平移后得AB1C，计
算得
cosAB1C
5 ，不能说两异面直线成角 5
(A)θ0θ0
(B)θ40θ50
(C)θ40θ90
(D)θ50θ90
5.如图，ABC-A1B1C1是直三棱柱，∠BCA=90°， 点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA= CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是( A )
(A) 30 10
(B) 1 2
(C) 30 15
(D) 为a的正方体ABCD—A′B′C′D′中，E、 F分别是BC、A′D′
(1)求证：四边形B′EDF是菱形； (2)求直线A′C与DE所成的角； (3)求直线AD与平面B′EDF所成的角.
【解题回顾】对于第(1)小题，若仅由B′E=ED= DF=FB′就断定B′EDF是菱形，那是不对的，因存
设E、F分别为AB、PD的中点.
(1)求证：AF∥平面PEC； (2)求二面角P-BC-A的大小；
【解题回顾】找二面角的平面角时不要盲目去作，而 应首先由题设去分析，题目中是否已有.
3.正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是BC的中点，求平 面B1D1E和平面ABCD所成的二面角的正弦值.
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课前热身
1. 二面角α-AB-β的平面角是锐角，C是平面α内的 点(不在棱AB上)，D是C在平面β上的射影，E是棱 AB上满足∠CEB为锐角的任意一点，则( A )
(A)∠CEB＞∠DEB
(B)∠CEB=∠DEB
(C)∠CEB＜∠DEB
(D)∠CEB与∠DEB的大小关系不能确定
2. 直线AB与直二面角α-l-β的两个半平面分别交于A、
成角为0°
(3)范围： 0
，π 2
(4) 射影定理：从平面α外一点向这个平面所引的 垂线段和斜线段中： ①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线 段也较长； ②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射 影也较长； ③垂线段比任何一条斜线段都短
(5)最小角定理：斜线和平面所成的角，是这条斜 线和平面内过斜足的直线所成的一切角中的最小 的角.
(B) 3 2
6 (C)
3
6 (D)
2
3.如图，正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所 在的平面成60°的二面角，则异面直线AD与BF所
2 成角的余弦值是_____4______.
4.异面直线a、b成80°角，P为a、b外一定点，若 过P有且仅有2条直线与a、b所成角都为θ，则θ的
范围是( B )
2.如图，在正方体AC1中， (1)求BC1与平面ACC1A1所成的角； (2)求A1B1与平面A1C1B所成的角.
【解题回顾】“线线角抓平移，线面角定射影”. 也
就是说要求直线与平面所成的角，关键是找到直 线在此平面上的射影，为此，必须在这条直线上 的某一点处作一条(或找一条)平面的垂线，本题 ①中BO就是平面的垂线，②垂足H的位置也必须 利用图形的性质来确定.
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第３课时 二面角(二)
• 要点·疑点·考点 •课 前 热 身 • 能力·思维·方法 • 延伸·拓展 • 误解分析
要点·疑点·考点
1.熟练掌握求二面角大小的基本方法： (1)先作平面角，再求其大小； (3)直接用公式cosθ=S射/S原
2.掌握下列两类题型的解法： (1)折叠问题——将平面图形翻折成空间图形. (2)“无棱”二面角——在已知图形中未给出二面角 的棱.
4.三棱锥A—BCD中，AB=AC=BC=CD=AD=a ， 要使三
棱锥A—BCD的体积最大，则二面角B-AC-D的大小是
π
2 π
3 2π
3 （D） π
4
（A） （B） （C）
（A）
5. 在二面角α-a-β内，过a作一个半平面γ，使二面角 α-a-γ=45°，二面角γ-a-β=30°，则γ内的任意一
【解题回顾】①先由第(1)小题的结论易知BC⊥AA1， 再利用作出棱AA1的垂面BNC来确定平面角∠BNC.
② 将 题 设 中 “ AA1 与 底 面 ABC 所 成 的 角 为 60°” 改 为
“ BA1⊥AC1 ” 仍可证得三角形AA1C为正三角形，所
求
23
arctan
二面角仍为
3.
③本题的解答也可利用三垂线定理来推理.
2.如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，二面角B1-AA1-C1 的大小为__4_5_°_，二面角B-AA1-D的大小为___9_0_°_，二 面角C1-BD-C的正切值是____2___.
3. 在二面角α-l-β的一个平面α内有一条直线AB，它 与棱 l 所成的角为45°，与平面β所成的角为30°，则 这个二面角的大小是___4_5_°__或__1_3_5_°____.
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能力·思维·方法
1. 如图所示，ABCD是一个正四面体，E、F分别
为BC和AD的中点.求： (1)AE与CF所成的角； (2)CF与平面BCD所成的角.
【解题回顾】本题解法是求异面直线所成角常采
用的“平移转化法”：把异面直线转化为求两相 交
直线所成的角，需要通过引平行直线作出平面图
形，化归为平面几何问题来解决.
4. 在120°的二面角α-l-β的两个面α、β内分别有A、
B两点，这两点到棱的距离分别为2和4，AB =10，求： (1)AB与l 所成的角； (2)AB与平面β所成的角.
【解题回顾】本例是综合题，解题过程常常是作 图(包括添辅助线或辅助面)、论证、计算三个阶 段，这样就综合考查了空间想象能力、逻辑推理 能力和运算能力.
B两点，且A、B l. 如果直线AB与α、β所成的角
分别是θ1、θ2，则θ1+θ2的取值范围是(
)D
(A) 0θ1θ2π
(B)
θ1
θ2
π 2
(C)
θ1
θ2
π 2
(D)0θ1
θ2
π 2
3. 在长、宽、高分别为1、1、2的长方体ABCD－A1B1
C1D1中，截面BA1C1与底面ABCD所成角的余弦值是__
1. 二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫二面 角，其大小通过二面角的平面角来度量.
2. 二面角的平面角： (1)定义：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面 内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角 叫做二面角的平面角. (2)范围：[0，π ]
3.二面角的平面角的作法：
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课前热身
1. 平面α的斜线与α所成的角为30°，则此斜线和α
内所有不过斜足的直线中所成的角的最大值是( )C
(A)30°
(B)60°
(C)90°
(D)150°
2. 相交成90°的两条直线与一个平面所成的角分别 是30°与45°，则这两条直线在该平面内的射影所 成角的正弦值为( C )
(A) 3 3
③△AOC为正三角形；
④过B点作直线l⊥平面BCD，则直线l∥平面AOC其 中正确命题的序号是__①__③__④____
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能力·思维·方法
1.平面四边形ABCD中，AB=BC=CD=a，∠B=90°， ∠DCB=135°，沿对角线AC将四边形折成直二面角. 证：(1)AB⊥面BCD； (2)求面ABD与面ACD所成的角.
【解题回顾】准确画出折叠后的图形，弄清有关点、 线之间的位置关系，便可知这是一个常见空间图形 (四个面都是直角三角形的四面体).
2.在直角梯形P1DCB中，P1D∥CB，CD⊥P1D，P1D= 6，BC=3，DC=3，A是P1D的中点. 沿AB把平面P1AB 折起到平面PAB的位置，使二面角P-CD-B成45°，
(1)定义法 (2)三垂线定理法 (3)作棱的垂面法
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课前热身
1.下列命题中： ①两个相交平面组成的图形叫做二面角；
②异面直线a、b分别和一个二面角的两个面垂直，则a、
b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补； ③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面 内作射线所成角的最小角； ④正四面体相邻两个面所成的二面角的平面角是锐角. 其中，正确命题的序号是____②__、__④______.
(1)定义：设a、b是异面直线，过空间任一点O引 a //a， b//b，则 a，b所成的锐角(或直角)，叫做异
面直线a、b所成的角.
(2)范围：
0 ，π 2
2. 线面角
(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所 成的锐角，叫这条斜线和这个平面所成的角
(2)若直线l ⊥平面α，则 l 与α所成角为直角 若直线l∥平面α，或直线l 平面α，则l与α所
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误解分析
1. 二面角是立体几何的重点、热点、难点，求二面角 的大小方法多，技巧性强．但一般先想定义法，再想 三垂线定理法，如课前热身4，及能力•思维•方法1中， 如果盲目作垂线，则会干扰思维．
2. 实施解题过程仍要注意“作、证、指、求”四环节， 计算一般是放在三角形中，因此，“化归”思想很重 要.
3.如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为a，侧棱
长为
2 2
a
，若经过对角线AB1且与对角线BC1平行的平
面交上底面一边A1C1于点D.
(1)确定点D的位置，并证明
你的结论；
(2)求二面角A1-AB1-D的大小.
【解题回顾】第(2)题中二面角的放置属于非常规位置
的图形(同例(1)的变题)，看起来有些费劲，但是一旦
【解题回顾】本题是1990年全国高考题，(1)的证明关 系较复杂，需仔细分析。(2)的平面角就是∠CDE，很 多考生没有发现，却去人为作角，导致混乱.