MATLAB在数字信号处理中的应用：连续信号的采样与重建

MATLAB 在数字信号处理中的应用：连续信号的采样与重建

一、 设计目的和意义

随着通信技术的迅速发展以及计算机的广泛应用，利用数字系统处理模拟信号的情况变得更加普遍。数字电子计算机所处理和传送的都是不连续的数字信号，而实际中遇到的大都是连续变化的模拟量，现代应用中经常要求对模拟信号采样，将其转换为数字信号，然后对其进行计算处理，最好在重建为模拟信号。

采样在连续时间信号与离散时间信号之间其桥梁作用，是模拟信号数字化的第一个步骤，研究的重点是确定合适的采样频率，使得既要能够从采样信号（采样序列）中五失真地恢复原模拟信号，同时由要尽量降低采样频率，减少编码数据速率，有利于数据的存储、处理和传输。

本次设计中，通过使用用MATLAB 对信号f （t ）=A1sin(2πft)+A2sin(4πft)+A3sin(5πft)在300Hz 的频率点上进行采样，并进行仿真，进一步了解MA TLAB 在数字信号处理上的应用，更加深入的了解MA TLAB 的功能。

二、 设计原理

1、 时域抽样定理

令连续信号 xa(t)的傅立叶变换为Xa （j Ω），抽样脉冲序列p(t)傅立叶变换为P （j Ω），抽样后的信号x^(t)的傅立叶变换为X^(j Ω)若采用均匀抽样，抽样周期Ts ，抽样频率为Ωs= 2πfs ，有前面分析可知：抽样过程可以通过抽样脉冲序列p （t ）与连续信号xa （t ）相乘来完成，即满足：x^(t)p(t),又周期信号f （t ）傅立叶变换为：

F[f(t)]=2[(]n s n F j n π

δ∞

=-∞Ω-Ω∑ 故可以推得p(t)的傅立叶变换为：

P （j Ω）=2[(]n s n P j n π

δ∞

=-∞Ω-Ω∑ 其中：

根据卷积定理可知：

X （j Ω）=12π

Xa （j Ω）*P(j Ω) 得到抽样信号x （t ）的傅立叶变换为：

X （j Ω）=

[()]n n s n P X j n ∞=-∞Ω-Ω∑

其表明：信号在时域被抽样后，他的频率X （j Ω）是连续信号频率X （j Ω）的形状以抽样频率Ωs 为间隔周期重复而得到，在重复过程中幅度被p （t ）的傅立叶级数Pn 加权。因为只是n 的函数，所以X （j Ω）在重复过程中不会使其形状发生变化。

假定信号x （t ）的频谱限制在-Ωm~+Ωm 的范围内，若以间隔Ts 对xa （t ）进行抽样信号X^（j Ω）是以Ωs 为周期重复。显然，若早抽样过程中Ωs<Ωm ，则 X^ (j Ω)将会发生频谱混叠的现象，只有在抽样的过程中满足Ωs>2Ωm 条件，X^(j Ω)才不会产生混频的混叠，在接收端完全可以有x^（t ）恢复原连续信号xa （t ），这就是低通信号的抽样定理的核心内容。

2、 信号的重建

从频域看，设信号最高频率不超过折叠频率：

X （j Ω）=Xa(j Ω) Ω<Ωs/2

Xa(j Ω)=0 Ω>Ωs/2

则理想取样后的频谱就不会产生混叠，故有：

X （j Ω）=1()a s n X j jm T ∞

=-∞

Ω-Ω∑ X （j Ω）= 1()a X j T

Ω 让取样信号x^（t ）通过这一带宽等于折叠频率的理想低通滤波器：

H(j Ω)=T Ω<Ωs/2

H(j Ω)=0 Ω>Ωs/2

滤波器只允许通过基带频谱，即原信号频谱，故：

Y(j Ω)=X^(j Ω)H(j Ω)=Xa(j Ω)

因此在滤波器的输出得到了恢复的原模拟信号；

y(t)=xa(t)

从时域上看，上述理想低通滤波器的脉冲响应为：

根据卷积公式可求得理想低通滤波器的输出为：

y （t ）=

()()a a n x nT h t nT ∞

=-∞-∑ 有上式显然可得：

a h （t-nT ）= sin(π/T)(t-nT)/( π/T)(t-nT) 则：sin ()()()()()

a a n t nT T y t x nT x t t nT T ππ

∞

=-∞-=

=-∑ 上式表明只要满足取样频率高于两倍最高频率，连续时间函数xa （t ）就可用他的取样值xa （nT ）来表达而不损失任何信息，这时只要把每个取样瞬时值与内插函数式相乘求和即可得出xa （t ），在每一取样点上，由于只要该取样值所对应的内插函数式不为零，所以各个取样点上的信号值不变。

1、用300Hz 对信号进行采样

源信号为f （t ）=5*sin(2*pi*40*t1)+1.8*sin(4*pi*40*t1)+0.8*sin(5*pi*40*t1)，用300Hz 的频率对f （t ）进行采样，其采样图如图1所示,程序如下

fs1=300

t1=-0.1:1/fs1:0.1

fa=5*sin(2*pi*40*t1)+1.8*sin(4*pi*40*t1)+0.8*sin(5*pi*40*t1)

figure(1);plot(t1,fa),xlabel('fs1=300Hz时,fa采样时域图')

图1 300Hz采样频率对信号的采样图

2、对信号进行快速离散傅立叶变换

将采样信号进行快速离散傅立叶变换（FFT），用300Hz的频率对f（t）进行采样，其采样后快速傅立叶变换频谱图如图4所示，程序如下：

f=40;fs=300

N=300;k=0:N-1

t=-0.1:1/fs:0.1

w1=300*k/N

fa=5*sin(2*pi*f*t)+1.8*sin(4*pi*f*t)+0.8*sin(5*pi*f*t)

xfa=fft(fa,N);xf1=(xfa);

figure(1);plot(w1,xf1),xlabel('fs=300Hz时,fa 经过fft后频谱图.单位:Hz')

图2 300Hz采样后经FFT后的频谱图

3.信号的重建

我们可以通过利用内插法把原信号从采样信号中恢复出来，观察信号在满足怎样的采样条件下能够恢复原信号，下图为恢复后的信号。程序如下：

Wm=180*pi;Wc=Wm;

fs=300;Ws=2*pi*fs;

n=-800:800;nTs=n/fs;

fa=5.1*sin(2*pi*40*nTs)+1.8*sin(4*pi*40*nTs)+0.8*sin(5*pi*40*nTs)

Dt=1/fs;t1=-0.1:Dt:0.1

fa1=fa/fs*Wc/pi*sinc((Wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t1-nTs'*ones(1,length(t1))));

figure(1);plot(t1,fa1);

axis([-0.1 0.1 -8 8])

xlabel('fs=300Hz,fa利用内插由样本重建原信号图');

图3 采样后的信号重建信号图

四、设计结果及分析

图1与图3是300Hz采样频率对信号采样图以及300Hz采样后对信号的重建。比较两张图可以看出，当fs=300Hz时，满足采样定理。可以很好的通过利用内插法把原信号从采样信号中恢复出来。

五、体会与总结

从信号处理的角度来看，采样定理描述了两个过程：其一是采样，这一过程将连续时间信号转换为离散时间信号；其二是信号的重建，这一过程是离散信号还原成连续信号，采样定理建立了模拟信号与数字信号之间的联系，是信号处理中非常重要的一个定理。如果已知信号的最高频率fH，采样定理给出了保证完全重建信号的最低采样频率。相反，如果已知采样频率，采样定理则给出了保证完全重建信号所允许的最高信号频率。这次设计增强了我利用MATLAB解决问题的能力，也锻炼了自己查找和利用资料的能力。

经过一个学期的MATLAB软件的学习，让我对MATLAB的功能和应用有了一定的了解。也掌握了使用MATLAB的一些基本知识。学会了利用MATLAB处理一些简单的问题。也了解到MATLAB做为一种仿真软件，在处理科学问题时的强大功能，激发了我们学习