MATLAB在数字信号处理中的应用：连续信号的采样与重建

MATLAB 在数字信号处理中的应用：连续信号的采样与重建
一、 设计目的和意义
随着通信技术的迅速发展以及计算机的广泛应用，利用数字系统处理模拟信号的情况变得更加普遍。

数字电子计算机所处理和传送的都是不连续的数字信号，而实际中遇到的大都是连续变化的模拟量，现代应用中经常要求对模拟信号采样，将其转换为数字信号，然后对其进行计算处理，最好在重建为模拟信号。

采样在连续时间信号与离散时间信号之间其桥梁作用，是模拟信号数字化的第一个步骤，研究的重点是确定合适的采样频率，使得既要能够从采样信号（采样序列）中五失真地恢复原模拟信号，同时由要尽量降低采样频率，减少编码数据速率，有利于数据的存储、处理和传输。

本次设计中，通过使用用MATLAB 对信号f （t ）=A1sin(2πft)+A2sin(4πft)+A3sin(5πft)在300Hz 的频率点上进行采样，并进行仿真，进一步了解MA TLAB 在数字信号处理上的应用，更加深入的了解MA TLAB 的功能。

二、 设计原理
1、 时域抽样定理
令连续信号 xa(t)的傅立叶变换为Xa （j Ω），抽样脉冲序列p(t)傅立叶变换为P （j Ω），抽样后的信号x^(t)的傅立叶变换为X^(j Ω)若采用均匀抽样，抽样周期Ts ，抽样频率为Ωs= 2πfs ，有前面分析可知：抽样过程可以通过抽样脉冲序列p （t ）与连续信号xa （t ）相乘来完成，即满足：x^(t)p(t),又周期信号f （t ）傅立叶变换为：
F[f(t)]=2[(]n s n F j n π
δ∞
=-∞Ω-Ω∑ 故可以推得p(t)的傅立叶变换为：
P （j Ω）=2[(]n s n P j n π
δ∞
=-∞Ω-Ω∑ 其中：
根据卷积定理可知：
X （j Ω）=12π
Xa （j Ω）*P(j Ω) 得到抽样信号x （t ）的傅立叶变换为：
X （j Ω）=
[()]n n s n P X j n ∞=-∞Ω-Ω∑
其表明：信号在时域被抽样后，他的频率X （j Ω）是连续信号频率X （j Ω）的形状以抽样频率Ωs 为间隔周期重复而得到，在重复过程中幅度被p （t ）的傅立叶级数Pn 加权。

因为只是n 的函数，所以X （j Ω）在重复过程中不会使其形状发生变化。

假定信号x （t ）的频谱限制在-Ωm~+Ωm 的范围内，若以间隔Ts 对xa （t ）进行抽样信号X^（j Ω）是以Ωs 为周期重复。

显然，若早抽样过程中Ωs<Ωm ，则 X^ (j Ω)将会发生频谱混叠的现象，只有在抽样的过程中满足Ωs>2Ωm 条件，X^(j Ω)才不会产生混频的混叠，在接收端完全可以有x^（t ）恢复原连续信号xa （t ），这就是低通信号的抽样定理的核心内容。

2、 信号的重建
从频域看，设信号最高频率不超过折叠频率：
X （j Ω）=Xa(j Ω) Ω<Ωs/2
Xa(j Ω)=0 Ω>Ωs/2
则理想取样后的频谱就不会产生混叠，故有：
X （j Ω）=1()a s n X j jm T ∞
=-∞
Ω-Ω∑ X （j Ω）= 1()a X j T
Ω 让取样信号x^（t ）通过这一带宽等于折叠频率的理想低通滤波器：
H(j Ω)=T Ω<Ωs/2
H(j Ω)=0 Ω>Ωs/2
滤波器只允许通过基带频谱，即原信号频谱，故：
Y(j Ω)=X^(j Ω)H(j Ω)=Xa(j Ω)
因此在滤波器的输出得到了恢复的原模拟信号；
y(t)=xa(t)
从时域上看，上述理想低通滤波器的脉冲响应为：
根据卷积公式可求得理想低通滤波器的输出为：
y （t ）=
()()a a n x nT h t nT ∞
=-∞-∑ 有上式显然可得：
a h （t-nT ）= sin(π/T)(t-nT)/( π/T)(t-nT) 则：sin ()()()()()
a a n t nT T y t x nT x t t nT T ππ
∞
=-∞-=
=-∑ 上式表明只要满足取样频率高于两倍最高频率，连续时间函数xa （t ）就可用他的取样值xa （nT ）来表达而不损失任何信息，这时只要把每个取样瞬时值与内插函数式相乘求和即可得出xa （t ），在每一取样点上，由于只要该取样值所对应的内插函数式不为零，所以各个取样点上的信号值不变。

1、用300Hz 对信号进行采样
源信号为f （t ）=5*sin(2*pi*40*t1)+1.8*sin(4*pi*40*t1)+0.8*sin(5*pi*40*t1)，用300Hz 的频率对f （t ）进行采样，其采样图如图1所示,程序如下
fs1=300
t1=-0.1:1/fs1:0.1
fa=5*sin(2*pi*40*t1)+1.8*sin(4*pi*40*t1)+0.8*sin(5*pi*40*t1)
figure(1);plot(t1,fa),xlabel('fs1=300Hz时,fa采样时域图')
图1 300Hz采样频率对信号的采样图
2、对信号进行快速离散傅立叶变换
将采样信号进行快速离散傅立叶变换（FFT），用300Hz的频率对f（t）进行采样，其采样后快速傅立叶变换频谱图如图4所示，程序如下：
f=40;fs=300
N=300;k=0:N-1
t=-0.1:1/fs:0.1
w1=300*k/N
fa=5*sin(2*pi*f*t)+1.8*sin(4*pi*f*t)+0.8*sin(5*pi*f*t)
xfa=fft(fa,N);xf1=(xfa);
figure(1);plot(w1,xf1),xlabel('fs=300Hz时,fa 经过fft后频谱图.单位:Hz')
图2 300Hz采样后经FFT后的频谱图
3.信号的重建
我们可以通过利用内插法把原信号从采样信号中恢复出来，观察信号在满足怎样的采样条件下能够恢复原信号，下图为恢复后的信号。

程序如下：
Wm=180*pi;Wc=Wm;
fs=300;Ws=2*pi*fs;
n=-800:800;nTs=n/fs;
fa=5.1*sin(2*pi*40*nTs)+1.8*sin(4*pi*40*nTs)+0.8*sin(5*pi*40*nTs)
Dt=1/fs;t1=-0.1:Dt:0.1
fa1=fa/fs*Wc/pi*sinc((Wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t1-nTs'*ones(1,length(t1))));
figure(1);plot(t1,fa1);
axis([-0.1 0.1 -8 8])
xlabel('fs=300Hz,fa利用内插由样本重建原信号图');
图3 采样后的信号重建信号图
四、设计结果及分析
图1与图3是300Hz采样频率对信号采样图以及300Hz采样后对信号的重建。

比较两张图可以看出，当fs=300Hz时，满足采样定理。

可以很好的通过利用内插法把原信号从采样信号中恢复出来。

五、体会与总结
从信号处理的角度来看，采样定理描述了两个过程：其一是采样，这一过程将连续时间信号转换为离散时间信号；其二是信号的重建，这一过程是离散信号还原成连续信号，采样定理建立了模拟信号与数字信号之间的联系，是信号处理中非常重要的一个定理。

如果已知信号的最高频率fH，采样定理给出了保证完全重建信号的最低采样频率。

相反，如果已知采样频率，采样定理则给出了保证完全重建信号所允许的最高信号频率。

这次设计增强了我利用MATLAB解决问题的能力，也锻炼了自己查找和利用资料的能力。

经过一个学期的MATLAB软件的学习，让我对MATLAB的功能和应用有了一定的了解。

也掌握了使用MATLAB的一些基本知识。

学会了利用MATLAB处理一些简单的问题。

也了解到MATLAB做为一种仿真软件，在处理科学问题时的强大功能，激发了我们学习
MATLAB的兴趣，希望把MATLAB学扎实了，以便在今后工作学习中能够得心应手的处理我们在这方面所遇到的问题。