空间两点间的距离公式
4.3.2空间两点间的距离公式
S1
O
Q1
R1
x
y
|P1Q1|=|x1-x2|； |Q1R1|=|y1-y2|；|R1P2|=|z1-z2| |P1P2|2=|P1Q1||2+|Q1R1|2+|R1P2|2 | P1P2 | (x1 x2 )2 (y1 y2 )2 (z1 z2 )2
平面内两点 P1(x1, y1, z1 ), P2(x2 , y2 , z2的) 距离公式是：
| P1P2 | (x1 x2 )2 (y1 y2 )2 (z1 z2 )2
z
P1(x1 , y1, z1 )
O
P2 (x2 , y2 , z2 )
x
y
4.3.2空间两点间的距离公式
例三 已知A（1，-2，11），B（4，2，3），C（6，1，4），求证其连线组成的三角形为直角三角形。 利用两点间距离公式，由
C．（-3，1，5）
D．（5，13，-3）
平面内两点P1(x1,y1), P2(x2,y2) 的距离公式 | P1P2 | (x2 x1 )2 (y2 y1 )2
y
P
1
o
x
P
2
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空间任一点P(x,y,z)到原点O的距离。 z
| AB | 89,| AC | 75,| BC | 14
从而，| AC |2 | BC |2 | AB |2
根据勾股定理，结论得证。
随堂练习
1．若已知A（1，1，1），B（-3，-3，-3），则 线段AB的长为（ A）
A.4 3
B.2 3
C.4 2
D.3 2
空间两点间距离公式含详解
一、选择题
1．点 P 22， 33，－ 66到原点的距离是
()
30 A. 6
B．1
33 C. 6
35 D. 6
[答案] B
2．点P(a，b，c)到坐标平面xOy的距离是
()
A．|a|
二、填空题 4．已知点A在x轴上，点B(1,2,0)，且d(A，B)＝，则点 A的坐标是____________． [答案] (0,0,0)或(2,0,0) [解析] 设点A坐标为(x,0,0)，
解得x＝0或x＝2. ∴点A的坐标为(0,0,0)或(2,0,0)．
5．已知点P在z轴上，且d(P，O)＝1(O是坐标原点)， 则点P到点A(1,1,1)的距离是________．
[例3] 求到两点A(2,3,0)、B(5,1,0)距离相等的点P的坐 标满足的条件．
[解析] 设 P(x，y，z)， 则 PA＝ (x－2)2＋(y－3)2＋z2， PB＝ (x－5)2＋(y－1)2＋z2. ∵PA＝PB， ∴ (x－2)2＋(y－3)2＋z2＝ (x－5)2＋(y－1)2＋z2. 化简得 6x－4y－13＝0. ∴点 P 的坐标满足的条件为 6x－4y－13＝0.
[解析] 以塔底C为坐标原点建立如下图所示的坐标 系．
则D(0,0,5)，A(3，－4,0)，
已知空间三点A(1,2,4)、B(2,4,8)、C(3,6,12)，求证A、 B、C三点在同一条直线上．
[解析] d(A，B)＝ (2－1)2＋(4－2)2＋(8－4)2＝ 21， d(B，C)＝ (3－2)2＋(6－4)2＋(12－8)2＝ 21， d(A，C)＝ (3－1)2＋(6－2)2＋(12－4)2＝2 21， ∴AB＋BC＝AC，故 A、B、C 三点共线．
空间直角坐标系点面距离公式(一)
空间直角坐标系点面距离公式(一)空间直角坐标系点面距离公式一、点到点的距离公式两点之间的距离可以用勾股定理来计算，即两点间直线的欧氏距离公式。
公式如下：d = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²]其中，(x1, y1, z1)、(x2, y2, z2) 分别为两个点的坐标。
示例：假设有两个点 A(1, 2, 3) 和 B(4, 5, 6)，要计算它们之间的距离。
根据公式计算可得：d = √[(4 - 1)² + (5 - 2)² + (6 - 3)²]= √[3² + 3² + 3²]= √[9 + 9 + 9]= √27≈所以点 A 到点 B 的距离约为。
二、点到直线的距离公式点到直线的距离可以利用点到点的距离公式来计算。
设点 P(x, y, z) 到直线 L 的距离为 d，直线 L 上一点为 A(x1, y1, z1)，则有：d = |(Ax - Px) * i + (Ay - Py) * j + (Az - Pz) * k|/ √(i² + j² + k²)其中，(x, y, z) 为点 P 的坐标，(x1, y1, z1) 为直线上一点的坐标，(i, j, k) 为直线的方向向量。
示例：考虑一条直线 L 过点 A(1, 2, 3)，且方向向量为 (2, 2, 1)。
现有一点 P(-1, 0, 1)，要计算 P 到直线 L 的距离。
根据公式计算可得：d = |(2(-1 - 1) + 2(0 - 2) + 1(1 - 3))| / √(2² + 2²+ 1²)= |-4 - 8 - 2| / √(4 + 4 + 1)= |-14| / √9= 14 / 3≈所以点 P 到直线 L 的距离约为。
三、点到平面的距离公式点到平面的距离可以类比点到直线的距离公式，利用点到点的距离公式来计算。
空间两点间距离公式
d x y02 z02 y d y x02 z02
d z x02 y02
两点间距离公式
平面：| P1P2 | (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
类比
猜想
空间：| P1P2 | (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (z1 z2 )2
例4:已知 A( 3,3,3 2), B( 3,1, 2) ，在平面 Oyz上是否存在一点C，使ABC为等边三角 形，如果存在求C坐标，不存在说明理由。
解:假设存在一点C(0,y,z)，满足条件：
AB AC BC
3
3 2 3 12 3 2
2
2
y
3
0 2
C 0,4, 2 或 0,0,3 2
所以存在一点C，满足条件.
课堂小结
一、空间两点间的距离公式：
d ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 (z2 z1 )2
二、空间中点坐标公式：
x
y
ห้องสมุดไป่ตู้
z
x1 y1 z1
x2
2 y2
2 z2
2
AC 1 32 5 12 2 52 29
例1:已知三角形的三个顶点A(1,5,2)， B(2,3,4)，C(3,1,5)，求: (2)BC边上中线AM的长。
AM ?
例2:求证以 M1(4,3,1), M2(7,1,2), M3(5,2,3), 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解: M1M2 2 (7 4)2 (1 3)2 (2 1)2 14,
4.3.2 空间两点间的距离公式
两点之前距离公式
两点之前距离公式
距离公式是指在空间中两点之间的距离，也称为直线距离。
它是
在空间中两点间沿着最短路径的长度。
它的计算根据不同的情况有多
种公式。
首先，在二维平面上，距离公式可以用欧几里得距离公式来表示。
其距离公式为：d = √（（x_1-x_2）^2+(y_1-y_2）^2）。
其中，x_1
和y_1代表第一个点的横纵坐标，x_2和y_2代表第二个点的横纵坐标，d代表两点之间的距离。
其次，在三维空间中，距离公式也可以用欧氏距离公式来表示。
其距离公式为：d=√（（x_1-x_2）^2+(y_1-y_2）^2+(z_1-z_2）^2）
的根号内。
其中，x_1，y_1，z_1等代表第一个点的横纵深坐标，x_2，y_2，z_2等分别代表第二个点的横纵深坐标，d代表两点之间的距离。
同样，在多维空间中，此距离公式可以简化成d = √（（x_1-
x_2）^2+（y_1- y_2）^2+……+(n_1-n_2）^2）的根号内。
其中x_1，
y_1，z_1，n_1等分别代表第一个点的各维度坐标，x_2，y_2，z_2油，n_2等分别代表第二个点的各维度坐标，d代表两点之间的距离。
从以上可以看出，距离公式基本上可以用来表示任意多维空间中
两点之间的距离。
它是一种非常有用的数学公式，在工���运算、
航空、地质勘探、通信等领域中都有广泛的应用。
距离公式的深入了
解和学习，可以帮助我们更好地理解和处理实际问题。
两点之间的距离计算公式
两点之间的距离计算公式在数学中，两点之间的距离可以通过使用坐标系的方法来计算。
坐标系是一个图形化的方法，用于定位和测量点之间的距离。
假设我们有两个点A和B，它们分别具有(x1,y1)和(x2,y2)的坐标。
我们可以使用直角三角形的定理来计算两个点之间的距离。
直角三角形的定理是基于勾股定理。
根据这个定理，两个直角三角形的直角边的平方和等于斜边的平方。
在我们的例子中，斜边就是点A到点B的距离，而直角边就是每个点的x坐标和y坐标之间的差值。
因此，两点之间的距离d可以用以下公式计算：d=√[(x2-x1)²+(y2-y1)²]这个公式适用于任何两个二维坐标系中的点。
让我们通过一个简单的例子来解释：假设我们有两个点A(2,3)和B(5,7)。
我们可以使用上述公式计算它们之间的距离。
首先，我们计算x坐标之间的差值：5-2=3然后，我们计算y坐标之间的差值：7-3=4接下来，我们将这些差值的平方相加：3²+4²=9+16=25最后，我们将这个和开根号所以，点A和点B之间的距离为5个单位。
这个公式也可以扩展到三维坐标系中。
在三维中，我们有三个坐标轴（x，y，z），因此两个点之间的距离公式变为：d=√[(x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)²]这个公式适用于在空间中计算两个点之间的距离。
总结：两点之间的距离可以通过使用直角三角形的定理来计算，在二维坐标系中使用d=√[(x2-x1)²+(y2-y1)²]的公式，在三维坐标系中使用d=√[(x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)²]的公式。
这些公式是计算两点之间的距离的基础。
通过了解这些公式，我们可以在数学和物理中应用它们，计算点之间的距离。
两点之间的距离计算
两点之间的距离计算在几何学中，计算两点之间的距离是一项基本任务。
无论是在数学领域还是在实际应用中，我们经常需要计算两个点之间的距离。
本文将介绍几种常见的方法和公式，帮助读者准确计算两点之间的距离。
方法一：直线距离公式最常用的计算两点之间距离的方法是直线距离公式，也被称为欧几里得距离公式。
这个公式基于平面上的直角三角形的勾股定理，可以应用于二维和三维空间。
对于平面上的两点A（x1，y1）和B（x2，y2），直线距离公式可以表示为：d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)其中，d表示两点之间的距离。
例如，假设点A坐标为（2，3），点B坐标为（5，7），我们可以使用直线距离公式计算两点之间的距离：d = √((5 - 2)^2 + (7 - 3)^2)= √(3^2 + 4^2)= √(9 + 16)= √25= 5因此，点A和点B之间的距离为5个单位。
方法二：曼哈顿距离公式曼哈顿距离是另一种常见的计算两点之间距离的方法。
该方法基于在平面上的直角路径，而不是直线路径。
曼哈顿距离常用于城市规划和计算机图形学等领域。
对于平面上的两点A（x1，y1）和B（x2，y2），曼哈顿距离公式可以表示为：d = |x2 - x1| + |y2 - y1|例如，假设点A坐标为（2，3），点B坐标为（5，7），我们可以使用曼哈顿距离公式计算两点之间的距离：d = |5 - 2| + |7 - 3|= 3 + 4= 7因此，点A和点B之间的曼哈顿距离为7个单位。
方法三：球面距离公式当我们需要在三维空间或地理球面上计算两点之间的距离时，直线距离公式和曼哈顿距离公式都不再适用。
此时，我们可以使用球面距离公式来计算。
球面距离公式基于球面三角形的余弦定理，可以应用于球体上的两点。
对于球面上的两点A（lat1，lon1）和B（lat2，lon2），球面距离公式可以表示为：d = R * arccos(sin(lat1) * sin(lat2) + cos(lat1) * cos(lat2) * cos(lon2 -lon1))其中，d表示两点之间的距离，R表示球体的半径。
4.3.2 空间两点间的距离公式
1 (y 1) 2 .
由OB2=OA2+AB2,得y2=2+1+(y-1)2,解得y=2, 所以存在这样的点B,当点B为(0,2,0)时,PA⊥AB成立.
【延伸探究】 1.(改变问法)典例1中已知条件不变,问能否在z轴上存在一点P,使得 △ABP是以AB为底边的等腰三角形?
5 5
答案: (0,－ 24 ， 0)
5
【方法技巧】由空间两点间距离求点的坐标的方法 (1)若已知点到定点的距离以及点在特殊位置 ,则可直接设出该点坐标, 利用待定系数法求解点的坐标. (2)若已知一点到两个定点的距离之间的关系,以及其他的一些条件, 则可以列出关于点的坐标的方程进行求解.
【补偿训练】(2015·泸州高一检测)给定的空间直角坐标系,在x轴上 找一点P,使它与点Q(1,2,3)的距离为 17，则P点的坐标为 【解析】设点P的坐标是(x,0,0),由题意得, | PQ | 17， 即 .
2.空间两点间距离的求解 (1)求空间两点间的距离问题就是把点的坐标代入距离公式进行计算, 其中确定点的坐标或合理设出点的坐标是关键. (2)若所给题目中未建立坐标系,需结合已知条件建立适当的坐标系, 再利用空间两点间的距离公式计算.
【拓展延伸】两点间的距离公式的推导与证明 (1)推导思路:求线段长度常常放在三角形中,根据各坐标分量的几何 意义构造三角形来求解,即通过构造辅助平面,将空间问题转化到平面 中处理. (2)证明方法:运用了由特殊到一般的方法,过程中运用到线面垂直、 线线垂直的相互转化.
【解析】假设存在一点P(0,0,z),使得△ABP是以AB为底边的等腰三 角形,即|PA|=|PB|, 得
0－4
2
0－5 z－6
求两点间的距离公式
求两点间的距离公式在数学中，求两点间的距离是一种基本的计算方法。
无论是在平面上还是在空间中，我们都会使用这个公式进行计算。
在本文中，我们将探讨如何求两点间的距离公式，以及其应用。
一、平面上的两点间距离平面上两个点之间的距离，可以通过勾股定理来计算。
在坐标系中，设点A的坐标为(x1,y1)，点B的坐标为(x2,y2)，则这两个点之间的距离公式为：d = √[(x2-x1)² + (y2-y1)²]其中，√ 表示平方根。
例如，若点A的坐标为(2,3)，点B的坐标为(5,7)，则这两个点之间的距离公式为:d = √[(5-2)² + (7-3)²]= √[3² + 4²]= √(9+16)= √25= 5这代表点A和点B之间的距离为5个单位长度。
二、空间中的两点间距离与平面上不同，空间中的两点之间的距离需要使用三维勾股定理来计算。
在三维坐标系中，设点A的坐标为(x1,y1,z1)，点B的坐标为(x2,y2,z2)，则这两个点之间的距离公式为：d = √[(x2-x1)² + (y2-y1)² + (z2-z1)²]例如，若点A的坐标为(2,3,4)，点B的坐标为(5,7,2)，则这两个点之间的距离公式为:d = √[(5-2)² + (7-3)² + (2-4)²]= √[3² + 4² + (-2)²]= √(9+16+4)= √29这代表点A和点B之间的距离为√29个单位长度。
三、应用求两点间距离的公式，可以广泛应用于各个领域。
以下是一些例子：1. 道路建设：在规划道路时，需要计算两个建筑物之间的距离，以确定最佳道路位置。
2. GPS导航：GPS系统利用卫星定位技术来计算用户当前位置和目的地之间的距离。
3. 机器人设计：在设计机器人的路径规划系统时，需要计算机器人当前位置和目标位置之间的距离，以决定机器人的运动路径。
空间两点间距离公式新
z M A H y
B
2、给定空间直角坐标系，在x轴上找一 点P，使它与点P0(4,1,2) 距离为 30 (9,0,0)或(-1,0,0) 3、在xoy平面内的直线x+y=1上确定一 点M，使M到N(6,5,1)的距离最小.
例２：在xoy平面内的直线x+y=1上确定 一点M，使M到N(6,5,1)的距离最小. 略解：设M(x,1-x,0),利用距离公式构造 出一个二次函数后求最值
2.3.2空间两点间的距离公式
在空间直角坐标系中，点P（x1，y1，z1） 和点Q（x2，y2，z2）之间的距离为：
d ( x 2 x1 ) ( y2 y1 ) ( z 2 z1 )
2 2
2
练习：1、若点B是点（1,2,3）在坐标平 面yOz内的射影，则OB等于（ ） 13
x y z 1
2 2 2
轨迹是球面
练习：已知点 P( x, y, z) 的坐标满足 x2 y2 z 2 4 ，且点 A(2,3, 2 3) ，则PA的 最小值是（ ）
3
练3:设A(3,3,1),B(1,-1,5),C(0,1,0),则AB 的中点M到C的距离为_________ 13 分析：介绍空间直角坐标系中的中点坐标 公式；
MN ( x 6) (1 x 5) (1 0)
2 2
2
2( x 1) 512 Nhomakorabea当x 1时， MN min 51
例３.平面上到坐标原点的距离为１的点 的轨迹是单位圆，其方程 2 2 为 x y 1 ． 在空间中，到坐标原点的距离为１ 的点的轨迹是什么？试写出它的方程．
已知点A(x1,y1,z1),点B(x2,y2,z2) 则线段AB中点C的坐标是
两点之间距离公式及中点坐标公式
一、概述在数学几何中，两点之间的距离以及中点的坐标是非常重要的概念。
这些公式不仅在数学中有着广泛的应用，也在物理学、工程学等领域中被广泛使用。
本文将就两点之间距离公式以及中点坐标公式进行详细的讲解，以帮助读者更好地理解和运用这些重要的数学概念。
二、两点之间的距离公式1. 欧几里得距离公式在数学中，两点之间的距离通常使用欧几里得距离公式来计算。
欧几里得距离是指在n维空间中，两点之间的直线距离。
在二维空间中，两点P1(x1, y1)和P2(x2, y2)之间的欧几里得距离公式为：D = √((x2−x1)² + (y2−y1)²)其中D表示两点之间的距离。
2. 三维空间中的距离公式在三维空间中，计算两点之间的距离公式稍有不同。
设两点P1(x1, y1, z1)和P2(x2, y2, z2)，它们之间的距离可以用以下公式计算：D = √((x2−x1)² + (y2−y1)² + (z2−z1)²)这就是三维空间中两点之间距离的公式，它是欧几里得距离公式的推广。
3. 数轴上的距离在一维空间，即数轴上，两点之间的距离可以简化为：D = |x2 - x1|其中| |表示绝对值符号。
这个公式表明了在数轴上两点之间的距离就是它们的坐标差的绝对值。
三、中点坐标公式1. 二维空间中的中点坐标在二维空间中，两点P1(x1, y1)和P2(x2, y2)之间的中点坐标可以用以下公式计算：M = ((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2)其中M表示中点的坐标。
2. 三维空间中的中点坐标在三维空间中，两点P1(x1, y1, z1)和P2(x2, y2, z2)之间的中点坐标可以用以下公式计算：M = ((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2, (z1 + z2)/2)这个公式表示了三维空间中两点的中点坐标。
3. 数轴上的中点坐标在数轴上，两点之间的中点坐标可以简化为：M = (x1 + x2)/2这就是一维空间中两点的中点坐标公式，很简单但却非常有用。
两点间的距离公式和中点公式
两点间的距离公式和中点公式一、两点间的距离公式：设平面上有两点A(x1,y1)和B(x2,y2)，其中(x1,y1)和(x2,y2)分别是点A和点B的坐标。
则两点之间的距离可以通过以下公式计算：d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)其中，d表示两点之间的距离。
这个公式可以通过勾股定理来推导得到。
我们可以把两点连线分解成一个直角三角形，然后利用勾股定理求得斜边的长度。
例如，如果A(1,2)和B(4,6)是平面上的两点，我们可以使用距离公式来计算它们之间的距离：d=√((4-1)²+(6-2)²)=√(3²+4²)=√(9+16)=√25=5所以，点A和点B之间的距离为5这个公式也适用于三维坐标系和更高维度的坐标系，只需将平面上的坐标(x1,y1)和(x2,y2)扩展为空间中的坐标(x1,y1,z1)和(x2,y2,z2)，距离公式的计算方式保持不变。
二、中点公式：设平面上有两点A(x1,y1)和B(x2,y2)，其中(x1,y1)和(x2,y2)分别是点A和点B的坐标。
则这两点连线的中点的坐标可以通过以下公式计算：M(xm, ym) = ((x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2)其中，M表示两点连线的中点，xm和ym分别表示中点的x坐标和y坐标。
例如，如果A(1,2)和B(4,6)是平面上的两点，我们可以使用中点公式来计算它们连线的中点坐标：M=((1+4)/2,(2+6)/2)=(5/2,8/2)=(2.5,4)所以，连线AB的中点坐标是(2.5,4)。
同样地，中点公式也适用于三维坐标系和更高维度的坐标系，只需将平面上的坐标(x1,y1)和(x2,y2)扩展为空间中的坐标(x1,y1,z1)和(x2,y2,z2)，中点公式的计算方式保持不变。
总结起来，两点间的距离公式和中点公式是平面二维坐标系中常用的数学公式。
通过这两个公式，我们可以准确地计算出两点之间的距离以及连线的中点坐标。
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z
P2 P1
o
M
H
y
x
p
N
PP = ( x1 − x2 )2 + ( y1 − y2 )2 + (z1 − z2 )2 1 2
应用举例
例1、在空间直角坐标系中，求出它们之间的距 在空间直角坐标系中， 离： (1)A(2,3,5) (1)A(2,3,5) B(3,1,4) (2)A(6,0,1) B(3,5,7) 例2、在Z轴上求一点M，使点M到点A(1,0,2)与 轴上求一点M 使点M到点A(1,0,2) A(1,0,2)与 B(1,-3,1)的距离相等 的距离相等。 点B(1,-3,1)的距离相等。
x
思考？ 思考？
在空间直角坐标系中,点 在空间直角坐标系中 点P(x0，y0，z0)到 到 坐标轴的距离，怎么求？ 坐标轴的距离，怎么求？ z
d y0 P z0 x0
dx =
y
y +z
2 0
2 0 2 0 2 0
O
dy = dz =
x +z
2 0 2 0x来自x +y思考？ 思考？
如图，正方体OABC-D1A1B1C1的棱长为a， OABC的棱长为a 如图，正方体OABC |AN|=2|CN|， MN的长 的长. |AN|=2|CN|，|BM|=2|MC1|，求MN的长.
4.3.2空间两点间的距离公式 4.3.2空间两点间的距离公式
复习引入
在 长 方 体 OABC − D ′A′ B ′C ′中 ， OA = 3， OC = 4， ′ = 2, 写 出 其 中 所 有 点 的 坐 标 . OD
z D' A' O x A B B' C y C'
探究： 探究：空间两点间的距离 1. 殊两点间的距离：P( x, y, z)，O(0, 0, 0) 特
思考：到点A(-1,-1,-1), B(1,1,1)的距离相等的点 C(x,y,z)的坐标满足（ ）
思考？ 思考？
在空间直角坐标系中,点 ， ， 到 在空间直角坐标系中 点P(x，y，z)到 xOy平面的距离，怎么求？ 平面的距离， 平面的距离 怎么求？
z
d xOy = z
P z y x y
O
d yOz = x d xOz = y
z
P ( x, y, z )
o
A
y
B( x , y , 0)
x
OP = x2 + y2 + z2
在空间直角坐标系中方 程 x2+y2+z2=r2 为常数） （r>0为常数）表示 为常数 的图形是什么？ 的图形是什么？
z
P
O y
x
2 （x-1) + (y - 2)2 + (z - 1)2 = 4
2.空间两点间的距离：P1 ( x1 , y1 , z1 )、P2 ( x2 , y2 , z2 )
D1 A1 O A
C1 B1 M C
N
B