统计学例题-方差分析、相关分析、卡方检验和交互分析
卡方检验例题与解析
卡方检验例题与解析卡方检验是一种常见的假设检验方法。
它可以用于判断两个分类变量之间是否存在关联。
在实际应用中，卡方检验常常被用于分析调查数据、医学研究以及质量控制等领域。
下面我们就以一个卡方检验的例题来详细讲解该方法的步骤和解析。
例题：某医院调查100名糖尿病患者的主要症状和服药情况，结果如下表所示。
其中0表示未服药，1表示已服药，结果表格中的数值为各种情况下的人数。
| | 服药情况 | 未服药 | 已服药 || :- | :- | :- | :- || 症状 | 无 | 30 | 20 || | 微弱 | 10 | 10 || | 轻度 | 25 | 15 || | 中度 | 20 | 5 || | 重度 | 5 | 0 |问题：主要症状是否与服药情况有关？步骤1：构造假设首先，我们要明确研究的问题是主要症状是否与服药情况有关。
因此，我们要构造如下的假设：- 零假设 H0：主要症状和服药情况之间不存在关联，即服药情况对主要症状没有影响。
- 备择假设 H1：主要症状和服药情况之间存在关联，即服药情况对主要症状有影响。
步骤2：计算期望频数为了进行卡方检验，我们需要先计算期望频数。
期望频数是指在假设零假设 H0 成立的情况下，我们预计每个分类变量的频数应该是多少。
具体地，我们可以用以下公式来计算期望频数：期望频数 = (行总计数× 列总计数) ÷ 样本总计数在本例中，样本总计数为 100，行总计数为 5，列总计数为 2。
因此，我们可以使用如下的表格来计算期望频数：| | 服药情况 | 未服药 | 已服药 | 行总计数 | 期望频数(未服药) | 期望频数(已服药) || :- | :- | :- | :- | :- | :- | :- || 症状 | 无 | 30 | 20 | 50 | 25 | 25 || | 微弱 | 10 | 10 | 20 | 10 | 10 || | 轻度 | 25 | 15 | 40 | 20 | 20 || | 中度 | 20 | 5 | 25 | 12.5 | 12.5 || | 重度 | 5 | 0 | 5 | 2.5 | 2.5 || 列总计数 | 70 | 50 | 100 |步骤3：计算卡方值和自由度计算卡方值的公式如下：X² = ∑ [(观察频数 - 期望频数)² / 期望频数]其中，观察频数是指实际样本中各分类变量的频数，期望频数是指在假设 H0 成立的情况下，我们预计各分类变量的频数。
统计学中的方差分析与卡方检验
方差分析和卡方检验是统计学中两种常用的分析方法，它们在不同的问题领域中有着广泛的应用。
方差分析主要用于比较多个总体均值之间的差异，而卡方检验则用于分析分类数据的关联性和独立性。
方差分析是一种用于比较三个或更多个样本均值的统计方法。
在方差分析中，我们假设总体均值相等，然后通过计算组内变异和组间变异来判断这个假设是否成立。
方差分析的基本思想是将总体方差分解成组内方差和组间方差，进而判断组间方差占总变差的比例是否显著大于组内方差的比例。
通过方差分析，我们可以分析因素对总体均值的影响，并进行多组之间的比较。
方差分析的常见类型有单因素方差分析和多因素方差分析，分别适用于不同的研究设计。
卡方检验是一种常用的非参数检验方法，用于分析分类数据的关联性和独立性。
分类数据是指由频数或频率构成的数据，例如某个班级学生的分数等级、不同城市居民的职业分布等。
卡方检验的基本原理是比较观察频数与期望频数之间的差异，如果差异显著，则我们可以拒绝原假设，认为两个变量之间存在关联性。
卡方检验的应用领域非常广泛，例如医学研究中的药物疗效评价、市场调查中的产品偏好分析等。
尽管方差分析和卡方检验有着不同的应用对象和基本原理，但它们都是统计学中重要的推断方法，具有一定的共性。
首先，方差分析和卡方检验都是基于统计假设检验的思想，通过计算特定统计量来判断样本数据是否支持或反对某个假设。
其次，方差分析和卡方检验都需要明确的研究问题和研究设计，并进行数据收集和处理。
最后，方差分析和卡方检验都可以通过计算显著性水平来进行结果的判断和推断。
在实际应用中，我们需要根据具体问题选择合适的统计方法进行数据分析。
如果我们希望比较多个总体均值的差异，可以选择方差分析方法；如果我们关心分类数据的关联性和独立性，可以选择卡方检验方法。
当然，这只是方差分析和卡方检验的基本应用，实际研究中可能还需要考虑其他因素和方法。
总之，方差分析和卡方检验是统计学中两种常用的分析方法，它们在不同的问题领域中都有着广泛的应用。
方差分析卡方检验练习题
方差分析与卡方检验练习题本练习题涵盖了方差分析和卡方检验的基概念、方法和应用，包含不同难度等级的题目，旨在帮助学习者巩固知识，提高分析问题和解决问题的能力。
第部分：方差分析 (ANOVA)一、单因素方差分析1. 基本概念题 (500字)简述方差分析的基本思想和假设条件。
* 解释方差分析中组间方差、组内方差和总方差的概念，以及它们之间的关系。
* 说明F检的原理以及在方差分析中的应用。
* 解释方差分析结果中的P值及其意义。
* 比较方差分析与t检验的异同点。
2. 计算题 (000字)某研究者想比较三种不同肥料对小麦产量的影响。
他随机选择了三个地块，每个地块种植了相同数量的小麦，分别施用三种不同的肥料A、B、C。
收获后，测得三个地块的小麦产量如下（单位：k/亩）：肥料A：15, 18, 16, 17, 19 肥料B：20, 22, 21, 19, 23 肥料C：12, 14, 13, 5, 16请根据以上数据，进行单因素方差分析，判断三种肥料对小麦产量是否有显著性差异。
(需写出详细的计算步骤，包括自由度、平方和、均方、F值、P值等，并进行结果解释。
). 应用题 (1000字)一家公司想比较四种不同广告策略对产品销量的影响。
他们随机选择了四个地区，每个地区采用一种不同的广告策略。
三个月后，测得四个地区的销售额如下（单位：万元）：策略A：10, 110, 95, 105 策略B：120, 130, 115, 125 策略C：80, 90, 75,85 策略D：150, 60, 145, 155(1)请根据以上数据，进行单因素方差分析，判断四种广告策略对产品销量是否有显著性差异。
(需写出详细的计算步骤，并进行结果解释。
)(2)如果发现有显著差异，请进行事后检验（例如Tukey检验或LSD检验），找出哪些广告策略之间存在显著性差异。
(需说明所用检验方法的原理和步骤)二、双因素方差分析 (1500字)1. 基本概念题 (50字)•解释双因素方差分析的概念和应用场景。
方差分析习题及答案
方差分析习题及答案方差分析习题及答案方差分析是一种统计方法，用于比较两个或多个样本均值之间的差异。
它可以帮助我们确定是否存在显著的差异，并进一步了解这些差异的来源。
在本文中，我们将介绍一些方差分析的习题，并提供相应的答案。
习题一：某研究人员想要比较三种不同的肥料对植物生长的影响。
他随机选择了30个植物，并将它们分成三组，每组10个。
每组植物分别使用不同的肥料进行施肥。
研究人员在10天后测量了每组植物的平均生长高度（单位：厘米）。
下面是测量结果：组1：12, 14, 15, 16, 17, 13, 14, 15, 16, 18组2：10, 11, 13, 12, 14, 15, 13, 12, 11, 10组3：9, 10, 8, 11, 12, 13, 10, 9, 11, 12请使用方差分析方法，判断这三种肥料是否对植物生长有显著影响。
答案：首先，我们需要计算每组的平均值和总体平均值。
组1的平均值为15.0，组2的平均值为11.1，组3的平均值为10.5。
总体平均值为12.2。
接下来，我们计算组内平方和（SS_within），组间平方和（SS_between）和总体平方和（SS_total）。
根据公式，我们有：SS_within = Σ(xi - x̄i)^2SS_between = Σ(ni * (x̄i - x̄)^2)SS_total = Σ(xi - x̄)^2其中，xi代表第i组的观测值，x̄i代表第i组的平均值，x̄代表总体平均值，ni代表第i组的样本量。
计算得到：SS_within = 23.0SS_between = 48.6SS_total = 71.6接下来，我们计算均方（mean square）：MS_within = SS_within / (n - k)MS_between = SS_between / (k - 1)其中，n代表总样本量，k代表组数。
计算得到：MS_within = 2.56MS_between = 24.3最后，我们计算F值：F = MS_between / MS_within计算得到：F = 9.49根据F分布表，自由度为2和27时，F临界值为3.35。
第八章卡方检验与交互分析
第八章卡方检验与交互分析交互分析是社会调查研究中常用方法之一，用于研究两个定类变量的关系。
交互分析中用于检验两个变量是否相关的方法叫做卡方检验，也叫独立性检验。
卡方检验是建立在观测频次和期望频次之差基础上的一种检验。
一、卡方检验的原理例：一项调查得到890个样本的与收入和所处地区的数据，希望分析收入和地区的关系。
表1要检验的H0：收入和地区之间没有相关性，即每一地区的收入分布模式应该是相同的，收入的高低不应随着地区的不同而有所差异。
也就是说，如果东部城市的四个收入类别各自比重和中西北部城市的四个收入类别各自比重一致，那么，收入和地区之间是相互独立的。
如果这个890人的样本能够反应总体的独立性特征，那么就应该能够观测到两个地区具有相同的收入分布模式，称为期望模式，样本的期望观测频次如下：表2接下来，计算观测频次f0与期望频次f e之间的偏差(f0-f e)，如果这些偏差比较小，则有利于证明原假设即总体的独立性。
反之，则可能推翻原假设。
但偏差之和为0，所以对偏差进行平方。
但是，为了说明每一个偏差的相对重要性，每一偏差平方和都需要和本组中的期望频次相比较，计算相对(f0-f e)2/f e。
然后，将所有组的贡献相加，从而得到度量全部偏差的一个量，叫做卡方χ2=∑∑(fo−fe)2，fe服从自由度为(c-1)(r-1)的卡方分布。
如用c 和r 分别表示表中的列数和行数，自由度为(c-1)(r-1)。
f 0 f e(f 0-f e )(f 0-f e )2/f e计算出卡方值后，可根据已知的显著性水平和自由度查卡方分布表，找出临界值，与之作对比。
反过来，也可以计算出概值，再根据我们所希望的显著性水平做比较。
该例题中计算出χ2为31.6，查表发现对应自由度为3的那一行的所有临界值都小于χ2，因此，概值小于0.001。
由于概值如此小，检验水平可以是1%甚至更小，所以一定可以拒绝原假设。
也就是说，在总人口中，收入与地区有显著的相关性，二者并不独立。
统计学中的卡方检验与方差分析
统计学中的卡方检验与方差分析统计学是一门重要的学科，它帮助我们理解和解释数据背后的规律和趋势。
在统计学中，卡方检验和方差分析是两个常用的分析方法，它们在研究中起着重要的作用。
一、卡方检验卡方检验是一种用于检验两个或多个分类变量之间是否存在关联的方法。
它基于观察值和期望值之间的差异来判断变量之间的关系。
在卡方检验中，我们首先需要建立一个假设。
通常情况下，我们会提出一个原假设（H0）和一个备择假设（H1）。
原假设是指两个变量之间不存在关联，备择假设则是指两个变量之间存在关联。
然后，我们会进行观察值和期望值的计算。
观察值是指实际观察到的数据，而期望值是基于原假设计算得出的数据。
接下来，我们会计算卡方统计量。
卡方统计量是观察值和期望值之间差异的度量，它的计算公式是：卡方统计量= Σ((观察值-期望值)^2 / 期望值)最后，我们会根据卡方统计量的大小和自由度来判断是否拒绝原假设。
自由度是指用于计算卡方统计量的独立变量的个数。
卡方检验可以应用于很多领域，比如医学研究、市场调查等。
它可以帮助我们确定两个变量之间是否存在关联，从而对研究结果进行解释和推断。
二、方差分析方差分析是一种用于比较两个或多个样本均值之间差异的方法。
它通过分析样本内部的差异和样本之间的差异来判断均值是否存在显著性差异。
在方差分析中，我们首先需要建立一个假设。
与卡方检验类似，我们会提出一个原假设（H0）和一个备择假设（H1）。
原假设是指样本之间的均值没有显著差异，备择假设则是指样本之间的均值存在显著差异。
然后，我们会计算组内方差和组间方差。
组内方差是指样本内部的差异，而组间方差是指样本之间的差异。
接下来，我们会计算F统计量。
F统计量是组间方差与组内方差的比值，它的计算公式是：F统计量 = 组间方差 / 组内方差最后，我们会根据F统计量的大小和自由度来判断是否拒绝原假设。
方差分析可以应用于很多领域，比如教育研究、工程实验等。
它可以帮助我们比较不同组别的均值差异，从而对实验结果进行评估和解释。
卡方检验四格表例题
卡方检验四格表例题卡方检验是用于比较两个或多个样本之间是否存在显著差异的统计方法。
在四格表中，卡方检验可用于比较两个样本的性别、年龄、地区等因素之间的关系是否存在显著差异。
下面是一个例子: 假设我们要比较甲乙两个社区的死亡率是否存在显著差异。
我们随机从甲乙两个社区中各抽取了 100 名居民进行调查，发现甲社区的死亡率为千分之 5.4，乙社区的死亡率为千分之 8.3。
我们需要使用卡方检验来比较这两个社区的死亡率是否存在显著差异。
首先，我们需要画出一个四格表，列出甲乙两个社区的性别、年龄、地区等信息，如下所示:| 甲社区 | 乙社区 || ------ | ------ || 男 | 女 || 5.4 | 8.3 || 男 | 男 || 5.4 | 5.4 || 女 | 女 || 8.3 | 8.3 |接下来，我们可以计算出两个社区的死亡率之间的差异，可以使用卡方检验来进行假设检验。
卡方检验的基本思想是，根据样本数据计算出期望频数和实际频数之间的差异，然后通过卡方值来表达这种差异的程度。
在四格表中，卡方值可以表示为:卡方值 = (列交叉项的期望频数 - 列交叉项的实际频数) / 列交叉项的期望频数例如，在上面的示例中，甲社区的男性和女性的死亡率期望频数为 5.4 和 8.3，而实际频数为 5.4 和 5.4，因此卡方值 = (5.4 - 5.4) / 5.4 = 0。
最后，我们需要根据卡方值和原假设提出一个统计结论。
在本例中，原假设为两个社区的死亡率不存在显著差异，即 H0: μ1 = μ2，其中μ1 和μ2 分别表示甲社区和乙社区的死亡率。
我们要求出 P 值，P 值是指我们在零假设成立的情况下，观察到的卡方值至少大于该值的概率。
在本例中，卡方值为 0,P 值 = 0.999，这意味着我们几乎完全可以拒绝零假设，认为甲乙两个社区的死亡率存在显著差异。
需要注意的是，卡方检验只是一种统计方法，不能保证结论绝对正确。
方差分析与卡方检验
练习：
1、有人研究自尊对个人表现的反馈类型之间的关系.让15名被试参加一项知识测验,每组各5名被试.在积极反馈组,不管被试在测验中的实际表现如何,都告诉他们水平很高.对消极反馈组的被试,告诉他们表现很差.对控制组被试,不管测验分数如何,都不提供任何反馈信息.最后,让所有被试都参加一个自尊测验,测验总分为10分,得到的分数越高,表示自尊心越强.实验结果如下表,试检验不同反馈类型与自尊之间的关系如何?并做事后检验。
2.某项民意测验，答案有同意、不置可否、不同意3种。
调查了48人，结果同意的24人，不置可否的12人，不同意的12人，问持这3种意见的人数是否有显著不同？。
统计学例题-方差分析、相关分析、卡方检验和交互分析
第一章方差分析例1、1977年,美国的某项调查从三种受过不同教育类型的妇女中各分别抽取了50位全日制工作的妇女样本，她们的年收入(单位：千美元）数据整理后归纳如下:完成的学历年数收入平均值()初中（8年)X1 高中（12年）X2 大学(16年）X37.89.714。
0183524424707解：： =:三组收入均值有显著差异F =,即组间均方/组内均方其中，组间自由度=3-1=2，组内自由度=（50-1)╳3=147由于样本均值=（7。
8+9.7+14。
0）/3=10.5所以组间偏差平方和=50=50*（++）=1009组内偏差平方和==1835+2442+4707=8984所以,F = ≈ 8.2548419 >(2,147)=3。
07拒绝原假设；认为不同学历的妇女收入存在差异.例2、月收入数据：男:2500，2550,2050，2300,1900女:2200,2300，1900，2000，1800如果用Y表示收入,哑变量X表示性别（X=1为女性），计算Y对X的回归方程，并在5％的水平下检验收入是否与性别无关（先求回归系数的置信区间）.解：令Y=+X+根据最小二乘法，可知=(1)VAR(）=（2)=(3）1计算如下：：收入与性别无关收入与性别不完全无关Y 2500255020502300190022002300190020001800 X 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 240 290 —210 40 -360 160 260 —140 —40 —240 =2150=0。
5根据公式1,得=—220；，即Y=—220X+根据公式2、3，得VAR()=≈156。
3549577n=10。
,n—2=8;当df=8时，=2.306的0.05置信区间求解方法如下:-2.036〈=〈=2。
306，得140。
57769。
由于原假设=0落入了这个置信区间,所以接受原假设，认为系数不显著，收入与性别无关。
《统计学》-第5章-习题答案
第五章方差分析思考与练习参考答案1.试述方差分析的基本思想。
解答：方差分析的基本思想是，将观察值之间的总变差分解为由所研究的因素引起的变差和由随机误差项引起的变差，通过对这两类变差的比较做出接受或拒绝原假设的判断的。
2.方差分析有哪些基本假设条件？如何检验这些假设条件? 解答：（1）在各个总体中因变量都服从正态分布；（2 ）在各个总体中因变量的方差都相等；（3）各个观测值之间是相互独立的。
正态性检验：各组数据的直方图/峰度系数、偏度系数/Q-Q图，K-S检验*等方差齐性检验：计算各组数据的标准差，如果最大值与最小值的比例小于2:1，则可认为是同方差的。
最大值和最小值的比例等于 1.83<2。
也可以采用Levene检验方法。
独立性检验：检查样本数据获取的方式，确定样本之间无相关性。
3.对三个不同专业的学生的统计学成绩进行比较研究，每个专业随机抽取6人。
根据数据得到的方差分析表的部分内容如表5-21。
请完成该表格。
如果显著性水平a=0.05，能认为三个专业的考试成绩有显著差异吗？表5-21不同专业考试成绩的方差分析表解答：表不同专业考试成绩的方差分析表查f分布可知，p（F< 0.9067964）= 0.7952296，在显著性水平a=0.05时，不能拒绝原假设，认为三个专业的成绩无显著差异。
根据以下背景资料和数据回答4-7题。
为测试A、B、C、D、E五种节食方案，一位营养学家选择了50名志愿者随机分成五组，每组采用一种方案测量两个月后每个人的降低的体重，得到的实验数据如表5-22。
表5-22不同节食方案的降低的体重（公斤）序号 万案A 万案B 万案C 万案D 万案E1 6.5 2.9 8 5.1 11.52 11.6 5.5 11.9 2.5 13.23 7.7 4.3 8.5 1.5 114 8.7 3.6 8.9 2.2 13.15 8.4 3.9 9.1 1.4 13.86 4.1 6.7 11.4 3.1 12.8 7 8.7 4.5 12.6 5.4 12 8 6.6 1.7 12.4 1.9 11.5 9 7.1 6.59.4 4.1 14.6 108.9 5.4 10.6 3.6 13.74.不同节食方案的实验效果的描述统计资料如表5-23。
方差分析卡方检验练习题
采用SPSS统计软件进行操作。
1、有三组鼠，每组有7只，测定它们脾中DNA的平均含量（mg/g），见下表资料，问：白血病鼠与正常鼠脾中DNA平均含量（mg/g）是否有不同？白血病鼠与正常鼠脾中DNA平均含量（mg/g）组别脾中DNA平均含量（mg/g）A 正常鼠（对照组）B1 自发性白血病鼠B2 移植性白血病鼠12.3 13.2 13.7 15.2 15.4 15.8 16.9 10.8 11.6 12.3 12.7 13.5 13.5 14.8 9.8 10.3 11.1 11.7 11.7 12.0 12.32、为了探讨血清1，5-脱水葡萄糖醇与疾病的关系，以正常自愿者为对照组，糖尿病、糖尿病合并肾衰和肾移植三个病例组，每组样本含量为10，分别检测血清1，5-脱水葡萄糖醇水平，如表所示，血清1，5-脱水葡萄糖醇与疾病是否有关联？不同人群血清1，5-脱水葡萄糖醇（1. 5AC）水平（ mol/L）组别正常对照糖尿病糖尿病并肾衰肾移植观测值46.15 30.82 49.41 90.89 82.31 56.83 32.96 71.16 54.67 32.01 42.83 82.99 70.37 41.26 21.43 57.32 68.80 12.25 44.06 84.47 80.57 33.62 47.85 89.0376.66 21.69 40.98 80.7877.74 23.33 3.89 36.27 88.73 47.62 23.77 60.13 74.62 30.57 28.95 66.343、为研究雌激素对子宫发育的作用，以四个种系的未成年雌性大白鼠各3只，每只按一种剂量注射雌激素，经一定时期取出子宫称重，结果如表。
试比较雌激素的作用在三种剂量间的差别，同时比较四个种系大白鼠之间的差别。
雌激素对大白鼠子宫（重量g）的作用大白鼠种系雌激素剂量（ g/100g）0.2 0.4 0.8甲106 116 145乙42 68 115丙70 111 133丁42 63 874、为研究胃癌与胃黏膜细胞中DNA含量（A.U）的关系，某医师测得数据如表，试问四组人群的胃黏膜细胞中DNA含量是否相同？四组人群的胃黏膜细胞中DNA含量（A.U）组别DNA含量（A.U）正常人11.9 13.4 9.0 10.7 13.7 12.2 12.8胃黏膜增生13.9 17.2 16.5 14.7 14.6 13.0 12.0 16.4 14.1早期胃癌20.3 17.8 23.4 17.1 32.2 20.6 23.5 13.4 27.2晚期胃癌25.1 28.6 27.2 22.9 19.9 23.9 23.1 21.1 15.6 19.4 18.8 16.45、某医师为研究脾切除手术过程中门静脉压力（kPa）的变化，测得数据表，请作统计分析。
统计学第7章 方差分析与试验设计(2)
F分布与拒绝域
拒绝H0 不能拒绝H0 0
a
F
Fa(n1 , n2)
7 - 13
n1 , n2分别为第一、二自由度
统计学
STATISTICS
第三步：统计决策
将统计量的值F与给定的显著性水平 a 的临界值Fa
若FR>Fa ，则拒绝原假设H0 ，表明均值之间的差异
是显著的，即所检验的行因素对观察值有显著影响。
统计学
STATISTICS
计算检验统计量 (F)
检验行因素的统计量： MSR FR ~ F k 1, (k 1)( r 1) MSE 检验列因素的统计量； MSC FC ~ F r 1, (k 1)( r 1) MSE
7 - 12
统计学
STATISTICS
统计学
STATISTICS
7.4 双因素方差分析
一、双因素方差分析及其类型 二、无交互作用的双因素方差分析 三、有交互作用的双因素方差分析
统计学
STATISTICS
一、双因素方差分析及其类型
统计学
STATISTICS
双因素方差分析
1. 2.
分析两个因素(行因素Row和列因素Column)对试验结果的 影响。 如果两个因素对试验结果的影响是相互独立的，分别判断 行因素和列因素对试验数据的影响，这时的双因素方差分 析称为无交互作用的双因素方差分析或无重复双因素方差 分析。 如果除了两个因素对试验数据的单独影响外，两个因素的 搭配还会对结果产生一种新的影响，这时的双因素方差分 析称为有交互作用的双因素方差分析或可重复双因素方差 分析 。
j 1
k r
r
4. 交互作用平方和： SSRC m ( xij xi. x. j x ) 2
统计学方差标准差例题
统计学方差标准差例题在统计学中，方差和标准差是两个重要的概念，它们用来衡量数据的离散程度，是统计分析中常用的指标。
接下来，我们将通过一些例题来深入了解方差和标准差的计算方法以及它们在实际问题中的应用。
例题一：某班级一次考试的成绩如下，60，75，80，85，90。
求这次考试成绩的方差和标准差。
解析：首先，我们需要计算这组数据的平均值。
将所有成绩相加，然后除以人数，即可得到平均值。
平均值 = (60 + 75 + 80 + 85 + 90) / 5 = 78。
接下来，我们计算每个数据与平均值的差的平方，并求和。
然后将和除以数据个数，即可得到方差。
方差 = ((60-78)² + (75-78)² + (80-78)² + (85-78)² + (90-78)²) / 5。
= (324 + 9 + 4 + 49 + 144) / 5。
= 530 / 5。
= 106。
最后，标准差就是方差的平方根。
标准差 = √106 ≈ 10.3。
所以，这次考试成绩的方差约为106，标准差约为10.3。
例题二：某工厂连续两天生产产品的次品率如下，0.05，0.07，0.04，0.06，0.08。
求这两天次品率的方差和标准差。
解析：同样地，首先计算这组数据的平均值。
平均值 = (0.05 + 0.07 + 0.04 + 0.06 + 0.08) / 5 = 0.06。
然后计算方差。
方差 = ((0.05-0.06)² + (0.07-0.06)² + (0.04-0.06)² + (0.06-0.06)² + (0.08-0.06)²) / 5。
= (0.01 + 0.01 + 0.04 + 0 + 0.04) / 5。
= 0.1 / 5。
= 0.02。
最后，计算标准差。
标准差 = √0.02 ≈ 0.14。
所以，这两天产品次品率的方差约为0.02，标准差约为0.14。
商务统计学课件-有交互作用双因素方差分析问题描述
有交互作用双因素方差分析问题描述
因素B 因素A
B1
A1
X111, X112 ,
..., X11t
… Bj
… X1 j1, X1 j2 , ..., X1 jt
…
…
…
…
Ai
X i11, X i12 , ..., X i1t
… X ij1, X ij2 , ..., X ijt
…
…
…
…
X k11, X k12 ,
ij
ijs
ijs ~ N (0, 2 ), 各 ijs独立
i 1, 2,..., k; j 1, 2,..., r; s 1, 2,..., t
X ij
ij ai bj (ab)ij ijs
ijs ~ N (0, 2 ), 各 ijs独立
i 1, 2,..., k; j 1, 2,..., r; s 1, 2,..., t
… ..., X krt
… Tr
… Xr
…
Ti
Xi
…
…
Tk
Xk
总和 总均值
TX
有交互作用双因素方差分析问题描述
所考察的因素记为 A、B
因素 A共有 k个水平 因素B 共有 r个水平
Xijs ~ N ( ij , 2 )(i 1, 2,..., k; j 1, 2,..., r; s 1, 2,...,t) 其中，ij , 2 均未知
1r
i
r ij j1
1k
k j
ij
i1
ai
i
bj
j
i 1, 2,..., k
j 1, 2,..., r i 1, 2,..., k j 1, 2,..., r
第二章 方差分析与相关分析
用excel做相关分析
• 选择“工具”-“数据分析”-“方差系数” 后，出现属性设置框，依次选择: • 输入区域:选择数据区域，注意需要满足至 少两组数据。如果有数据标志，注意同时 勾选下方“标志位于第一行”； • 分组方式:指示输入区域中的数据是按行还 是按列考虑，请根据原数据格式选择； • 输出区域可以选择本表、新工作表组或是 新工作簿；
方差分析可以一次完成对多个总体的均 值是否相同的检验：
方差分析的分类
根据资料设计类型的不同，有以下两种方差分析的 ：
1.单因素方差分析:只有一个变量（因素）。适用： 对成组设计的多个样本均数比较。
2. 双因素方差分析：问题中有两个变量A、B。
Eg1：不同药品的治疗效果，与病人的体质特征有关。 Eg2：不同营销方案的效果与产品的质量有关。
• 操作 – 输入数据：其中“输入区域”让你输入数据区 域的单元格引用，它由两个或两个以上按“列” 或“行”排列的相邻数据区域组成， – “分组方式”用来确定输入区域中的数据如何 排列 – 它下面的“0.05”称为显著性水平，一般取默 认值0.05即可 – “输出区域”必须输入一个空白单元格引用， 用来确定计算结果存放区域左上角的位置
• 定义：以一个统计值表示变量与变量之间 的关系。 • 取值：表示变量之间关联关系的强弱。
–大多数相关系数取值在[-1,1]之间，0代表无 相关，-1与1代表完全相关， –相关系数越大，则表明相关程度越强。
相关关系示意图
正相关 负相关 零相关
零相关
0<r<1 (a)
完全正相关
-1<r<0 (c)
方差分析与相关性分析
2 22.6
3 23.5
4 22.1
5 25.6
6 24.1
21.5
20.1
22.1
21.5
21.3
20.1
24.9
23.8
23.9
22.1
方差分析
（analysis of variance, 简称为ANOVA）
方差分析
（analysis of variance, 简称为ANOVA）
方差分析
（analysis of variance, 简称为ANOVA）
方差分析
（analysis of variance, 简称为ANOVA）
方差分析
（analysis of variance, 简称为ANOVA）
方差齐性检验 温度 Levene 统 计量 df1 .357 2
df2 14
显著性 .706
单因素方差分析齐次性检验结果： t=0.357，p=0.706>0.05,通过方差齐次性 检验。即本例属于方差相等时的方差分析问题，这为下面的分析作准备。
海拔高度 364 442 422 284 320 314 336 465 268 397 208 226
纬度 32.2 33.8 35 36.3 37.1 38.4 38.9 35.3 36.8 33.8 35.9月温度 相关性 显著性（双侧） df 海拔高度 相关性 显著性（双侧） df 纬度 相关性 显著性（双侧） df 纬度 一月温度 相关性 显著性（双侧） df 海拔高度 相关性 显著性（双侧） df a. 单元格包含零阶 (Pearson) 相关。 一月温度 1.000 . 0 -.728 .007 10 -.186 .563 10 1.000 . 0 -.941 .000 9 海拔高度 -.728 .007 10 1.000 . 0 -.471 .122 10 -.941 .000 9 1.000 . 0 纬度 -.186 .563 10 -.471 .122 10 1.000 . 0
统计学习题答案 第7章 方差分析与试验设计
第7章 方差分析与试验设计——练习题(全免)7.1 0215.86574.401.0=<=F F (或01.00409.0=>=-αvalue P )，不能拒绝原假设。
7.2 8853.30684.1705.0=>=F F (或05.00003.0=<=-αvalue P )，拒绝原假设。
85.54.14304.44=>=-=-LSD x x B A ，拒绝原假设； 85.58.16.424.44=<=-=-LSD x x C A ，不能拒绝原假设； 85.56.126.4230=>=-=-LSD x x C B ，拒绝原假设。
7.3554131.3478.105.0=<=F F (或05.0245946.0=>=-αvalue P )，不能拒绝原假设。
7.4 有5种不同品种的种子和4种不同的施肥方案，在20快同样面积的土地上，分别采用5种种子和4种施肥方案搭配进行试验，取得的收获量数据如下表：2592.32397.705.0=>=F F 种子(或05.00033.0=<=-αvalue P )，拒绝原假设。
4903.32047.905.0=<=F F 施肥方案(或05.00019.0=<=-αvalue P )，拒绝原假设。
7.5 9443.60727.005.0=<=F F 地区(或05.09311.0=>=-αvalue P )，不能拒绝原假设。
9443.61273.305.0=<=F F 包装方法(或05.01522.0=>=-αvalue P )，不能拒绝原假设。
7.6 1432.575.1005.0=>=F F 广告方案(或05.00104.0=<=-αvalue P )，拒绝原假设。
9874.5305.0=<=F F 广告媒体(或05.01340.0=>=-αvalue P )，不能拒绝原假设。
统计学大题套路
方差齐性分析：两独立t检验，完全随机设计，简单和多重回归分析（前提条件中提到）两独立样本的t检验答：本题为两独立样本定量资料，先进行正态性分析。
一、正态性检验由S-W法正态性检验得P1= >0.05,P2= >0.05故两样本均服从正态分布，可采用两独立t检验。
二．方差齐性检验由方差分析得F= ，P= >0.05，按照α=0.05的水平，接受H0，拒绝H1，，可以认为两样本的总体方差齐，因此采用两独立样本t检验。
二、t检验（1）建立检验假设，确定检验水平H 0：u1=u2，XX和XX差异为零H 1：u1≠u2，XX和XX差异不为零α=0.05（2）计算检验统计量t=（3）确定P值，做出推断结论P= <0.05，按照α=0.05的水平，拒绝H0，接受H1，可以认为两样本均数不同，差别有统计学意义。
配对设计t检验答：本题为配对设计资料，采用配对设计t检验进行分析。
一．正态性检验由W法正态性检验得P= >0.05,故该样本差值服从正态分布，可以采用配对t 检验。
二．配对t检验（1）建立检验假设，确定检验水平H：u d=0。
H 1：u d≠u2。
α=0.05（2）计算检验统计量t= ，v=n-1=（3）确定P值，做出推断结论P= <0.05，按照α=0.05的水平，拒绝H0，接受H1，差别有统计学意义，可以认为两者的XXX不同。
两个独立秩和检验答：本题为两独立样本定量资料，先进行正态性分析。
一．正态性检验由S-W法正态性检验得P1= <0.05, P2= <0.05，两样本资料不服从正态分布，因此采用秩和检验。
或者若服从正态分布则需加做方差齐性检验由S-W法正态性检验得P1= ＞0.05, P1= ＞0.05两组样本资料服从正态分布，但方差齐性分析中P= <0.05，按照α=0.05的水平，拒绝H0，接受H1，认为两组数据的总体方差不齐，因此采用秩和检验。
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第一章 方差分析
例1、1977年，美国的某项调查从三种受过不同教育类型的妇女中各分别抽取了50位全日制工作的妇女
样本，她们的年收入（单位：千美元）数据整理后归纳如下： 完成的学历年数 收入平均值X ()
2
)(∑-X X
初中（8年）X1 高中（12年）X2 大学（16年）X3
7.8 9.7 14.0
1835 2442 4707
解：： =
：三组收入均值有显著差异
F =
，即组间均方/组内均方
其中，组间自由度
=3-1=2，组内自由度
=(50-1)╳3=147
由于样本均值=(7.8+9.7+14.0)/3=10.5 所以组间偏差平方和=50=50*(
+
+
)=1009
组内偏差平方和=
=1835+2442+4707=8984 所以，F =
≈ 8.2548419 >
(2,147)=3.07
拒绝原假设；认为不同学历的妇女收入存在差异。
例2、月收入数据：
男：2500，2550，2050，2300，1900 女：2200，2300，1900，2000，1800
如果用Y 表示收入，哑变量X 表示性别（X =1为女性），计算Y 对X 的回归方程，并在5％的水平下检验收入是否与性别无关（先求回归系数的置信区间）。
解：令Y=+X+
根据最小二乘法，可知= (1)
VAR()= (2)
=
(3)
计算如下：
：收入与性别无关 收入与性别不完全无关
Y 2500255020502300190022002300190020001800 X 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 240 290 -210 40 -360 160 260 -140 -40 -240
=2150=0.5
根据公式1，得=-220；，即Y=-220X+
根据公式2、3，得VAR()=≈156.3549577
n=10.，n-2=8；当df=8时，=2.306
的0.05置信区间求解方法如下：
-2.036<=<=2.306,得140.57769.
由于原假设=0落入了这个置信区间，所以接受原假设，认为系数不显著，收入与性别无关。
第二章相关分析
例1、10对夫妇的一个随机样本给出了如下的结婚年龄数据
结婚时丈夫的年龄y 24 22 26 20 23 21 24 25 22 23
结婚时妻子的年龄x 24 18 25 22 20 23 19 24 23 22
2) 求总体相关系数 的95％置信区间；
3) 以5％的水平，检验“夫妻的结婚年龄之间没有什么线性联系”这一原假设。
解：(1) =
由于=22，=23；=≈0.3426
(2)由于se()=,n=10，df=8=2.306，所以：
se()=0.332
-2.036<=<=2.306
得 1.062072
(3)：夫妻的结婚年龄之间没有线性相关，
夫妻的结婚年龄之间不完全没有线性相关，≠0 根据第(2)题的计算结果， 1.062072
由于
的原假设落入了该置信区间，所以接受原假设，认为夫妻的结婚年龄
之间没有线性相关关系。
第三章 卡方检验和交互分析
例1、为了研究性别和“最希望看到的有关奥运会的电视节目类型”之间的关系，2004年在10城市调查
了1000个样本，调查数据如下：
男 女 赛事直播 261 235 新闻报道 69 42 专题报道 33 40 精彩赛事集锦 36 42 开幕式和闭幕式 87 108 其他
32
15
1) 陈述0H ；
2) 计算2 和0H 的概值。
解：(1)：性别与希望看到的电视节目类型无关 性别与希望看到的电视节目类型不完全无关
(2) 男 女 合计 赛事直播 257 239 496 新闻报道 57.5 53.5 111 专题报道 37.8 35.2 73 精彩赛事集锦 40.4 37.6 78 开幕式和闭幕式 101 94 195 其他 24 23 47 合计 518
482
1000
所以=
+ +...≈16.63431164>=11.07
自由度df=1*5=5； 所以拒绝原假设，备择假设
成立，性别与希望看到的电视节目类型是有关联的。
性 别
频
次
希望看到的节目类型 性 别
频
次
希望看到的节目类型。