八校联考数学试卷
2024年江苏省海安市八校联考数学九上开学联考试题【含答案】
2024年江苏省海安市八校联考数学九上开学联考试题题号一二三四五总分得分批阅人A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）下列命题中正确的是（）A ．有一组邻边相等的四边形是菱形B ．有一个角是直角的平行四边形是矩形C ．对角线垂直的平行四边形是正方形D ．一组对边平行的四边形是平行四边形2、（4分）已知：ABC ∆中，AB AC =，求证：90O B ∠<，下面写出可运用反证法证明这个命题的四个步骤：①∴180O A B C ∠+∠+∠>，这与三角形内角和为180O 矛盾,②因此假设不成立．∴90O B ∠<,③假设在ABC ∆中，90O B ∠≥,④由AB AC =，得90O B C ∠=∠≥，即180O B C ∠+∠≥．这四个步骤正确的顺序应是（）A ．③④②①B ．③④①②C ．①②③④D ．④③①②3、（4分）已知下列图形中的三角形顶点都在正方形网格的格点上，图中的三角形是直角三角形的是（）A ．B ．C ．D ．4、（4分）一元二次方程4x 2+1=3x 的根的情况是（）A ．没有实数根B ．只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根5、（4分）若腰三角形的周长是10cm ，则能反映这个等腰三角形的腰长y （单位：cm ）与底边长x （单位：cm ）之间的函数关系式的图象是（）A ．B ．C ．D ．6、（4分）下图是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子．观察图形的变化规律，第6个小房子用的石子数量为()A ．87B ．77C ．70D ．607、（4分）将两个全等的直角三角形纸片构成如图的四个图形，其中属于中心对称图形的是（）A．B．C．D．学校________________班级____________姓名____________考场____________准考证号…………………………密…………封…………线…………内…………不…………要…………答…………题…………………………8、（4分）如图，ABC ∆中，D 、E 分别是BC 、AC 的中点，BF 平分ABC ∠，交DE 于点F ，若6BC =，则DF 的长是()A ．3B ．2C ．52D ．4二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”的逆命题是________10、（4分）如图，设四边形ABCD 是边长为1的正方形，以对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以对角线AE 为边作第三个正方形AEGH ，如此下去.则第2016个正方形的边长为_____11、（4分）某种细菌病毒的直径为0.00005米，0.00005米用科学记数法表示为______米．12、（4分）如图，▱ABCD 的周长为20，对角线AC 与BD 交于点O ，△AOB 的周长比△BOC 的周长多2，则AB=________．13、（4分）如图在菱形ABCD 中，∠A=60°，3P 是对角线AC 上的一个动点，过点P 作EF ⊥AC 交AD 于点E ，交AB 于点F ，将△AEF 沿EF 折叠点A 落在G 处，当△CGB 为等腰三角形时，则AP 的长为__________.三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）为积极响应“弘扬传统文化”的号召，某学校倡导全校1200名学生进行经典诗词诵背活动，并在活动之后举办经典诗词大赛，为了解本次系列活动的持续效果，学校团委在活动启动之初，随机抽取部分学生调查“一周诗词诵背数量”，根调查结果绘制成的统计图（部分）如图所示．大赛结束后一个月，再次抽查这部分学生“一周诗词诵背数量”，绘制成统计表一周诗词诵背数量3首4首5首6首7首8首人数101015402520请根据调查的信息分析：（1）活动启动之初学生“一周诗词诵背数量”的中位数为；（2）估计大赛后一个月该校学生一周诗词诵背6首（含6首）以上的人数；（3）选择适当的统计量，从两个不同的角度分析两次调查的相关数据，评价该校经典诗词诵背系列活动的效果．15、（8分）下图是某大桥的斜拉索部分效果图，为了测得斜拉索顶端A 距离海平面的高度，先测出斜拉索底端C 到桥塔的距离(CD 的长)约为100米，又在C 点测得A 点的仰角为45︒，测得B 点的俯角为27︒，求斜拉索顶端A 点到海平面B 点的距离(AB 的长)．( 270.51tan ︒≈)16、（8分）若a ＞0，M =12a a ++，N =23a a ++．（1）当a =3时，计算M 与N 的值；（2）猜想M 与N 的大小关系，并证明你的猜想．17、（10分）如图（1）是超市的儿童玩具购物车，图（2）为其侧面简化示意图，测得支架AC=24cm ，CB=18cm ，两轮中心的距离AB=30cm ，求点C 到AB 的距离.（结果保留整数）18、（10分）如图①，在四边形ABCD 中，AB DC ，5AD BC cm ==，12AB cm =，6CD cm =，点P 从点A 开始沿AB 边向终点B 以每秒3cm 的速度移动，点Q 从点C 开始沿CD 边向终点D 以每秒1cm 的速度移动，当其中一点到达终点时运动停止，设运动时间为t 秒.（1）求证：当32t =时，四边形APQD 是平行四边形；（2）当t 为何值时，线段PQ 平分对角线BD ？并求出此时四边形BQDP 的周长；（3）当t 为何值时，点P 恰好在DQ 的垂直平分线上？B 卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）当2a =-时，二次根式的值是_________．20、（4分）用反证法证明“如果a a >，那么0a <．”是真命题时，第一步应先假设________．21、（4分）如图，在△ABC 中，AB=BC=4，AO=BO ，P 是射线CO 上的一个动点，∠AOC=60°，则当△PAB 为直角三角形时，AP 的长为．22、（4分）如图，AB ∥CD ，E 、F 分别是AC 、BD 的中点，若AB ＝5，CD ＝3，则EF 的长为______________.23、（4分）已知：如图，AD 、BE 分别是ABC ∆的中线和角平分线，AD BE ⊥，2AD BE ==，则AC 的长等于__．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）如图，在一次数学课外活动中，小明同学在点P 处测得教学楼A 位于北偏东60°方向，办公楼B 位于南偏东45°方向．小明沿正东方向前进60米到达C 处，此时测得教学楼A 恰好位于正北方向，办公楼B 正好位于正南方向．求教学楼A 与办公楼B 之间的距离（结果精确到0.1米）．25、（10分）某移动通信公司推出了如下两种移动电话计费方式．月使用费/元主叫限定时间/分钟主叫超时费（元/分钟）方式一303000.20方式二506000.25说明：月使用费固定收取，主叫不超过限定时间不再收费，超过部分加收超时费．例如，方式一每月固定交费30元，当主叫计时不超过300分钟不再额外收费，超过300分钟时，超过部分每分钟加收0.20元（不足1分钟按1分钟计算）．（1）请根据题意完成如表的填空：月主叫时间500分钟月主叫时间800分钟方式一收费/元______________130方式二收费/元50_______________（2）设某月主叫时间为t (分钟)，方式一、方式二两种计费方式的费用分别为1y (元)，2y (元)，分别写出两种计费方式中主叫时间t (分钟)与费用为1y (元)，2y (元)的函数关系式；（3）请计算说明选择哪种计费方式更省钱．26、（12分）如图，△ABC 中，AB=AC ，点E ，F 在边BC 上，BE=CF ，点D 在AF 的延长线上，AD=AC ，（1）求证：△ABE ≌△ACF ；（2）若∠BAE=30°，则∠ADC=°．一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、B【解析】试题分析：利用特殊四边形的判定定理对个选项逐一判断后即可得到正确的选项．A、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项错误；B、正确；C、对角线垂直的平行四边形是菱形，故选项错误；D、两组对边平行的四边形才是平行四边形，故选项错误．考点：命题与定理．2、B【解析】根据反证法的证明步骤“假设、合情推理、导出矛盾、结论”进行分析判断即可.【详解】题目中“已知：△ABC中，AB=AC，求证：∠B＜90°”，用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤：应该为：(1)假设∠B≥90°，(2)那么，由AB=AC，得∠B=∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°，(3)所以∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾，(4)因此假设不成立．∴∠B＜90°，原题正确顺序为：③④①②，故选B．本题考查反证法的证明步骤，弄清反证法的证明环节是解题的关键.3、D【解析】根据勾股定理求出三角形的三边，然后根据勾股定理的逆定理即可判断．【详解】由勾股定理可得：A、三角形三边分别为，2；B ，2；C 、三角形三边分别为、，3；D 、三角形三边分别为；∵D 图中（2）2+）2）2，其他三角形不符合勾股定理逆定理，∴图中的三角形是直角三角形的是D ，故选：D ．此题考查了勾股定理和勾股定理逆定理的运用，本题中根据勾股定理计算三角形的三边长是解题的关键．4、A 【解析】先求出△的值，再判断出其符号即可．【详解】解：原方程可化为：4x 2﹣3x+1=0，∵△=32﹣4×4×1=-7＜0，∴方程没有实数根．故选A ．5、D 【解析】根据三角形的周长列式并整理得到y 与x 的函数关系式，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之和大于第三边列式求出x 的取值范围，即可得解．【详解】解：根据题意，x+2y=10，所以，152y x =-+，根据三角形的三边关系，x ＞y-y=0，x ＜y+y=2y ，所以，x+x ＜10，解得x ＜5，所以，y与x的函数关系式为152y x=-+（0＜x＜5），纵观各选项，只有D选项符合．故选D．本题主要考查的是三角形的三边关系，等腰三角形的性质，求出y与x的函数关系式是解答本题的关键.6、D【解析】分析：要找这个小房子的规律，可以分为两部分来看：第一个屋顶是3，第二个屋顶是3．第三个屋顶是2．以此类推，第n个屋顶是2n-3．第一个下边是4．第二个下边是5．第三个下边是36．以此类推，第n个下边是（n+3）2个．两部分相加即可得出第n个小房子用的石子数是（n+3）2+2n-3=n2+4n，将n=7代入求值即可．详解：该小房子用的石子数可以分两部分找规律：屋顶：第一个是3，第二个是3，第三个是2，…，以此类推，第n个是2n-3；下边：第一个是4，第二个是5，第三个是36，…，以此类推，第n个是（n+3）2个．所以共有（n+3）2+2n-3=n2+4n．当n=6时，n2+4n=60，故选：D．点睛：本题考查了图形的变化类，分清楚每一个小房子所用的石子个数，主要培养学生的观察能力和空间想象能力．7、C．【解析】试题分析：A、不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是中心对称图形，故此选项错误；C、是中心对称图形，故此选项正确；D、不是中心对称图形，故此选项错误．故选C．考点：中心对称图形．8、A【解析】利用中位线定理，得到DE ∥AB ，根据平行线的性质，可得∠EDC=∠ABC ，再利用角平分线的性质和三角形内角外角的关系，得到DF=DB ，进而求出DF 的长．【详解】在ABC ∆中，D 、E 分别是BC 、AC 的中点，//DE AB ∴，EDC ABC DFB ABF ∴∠=∠∠=∠，，BF 平分ABC ∠，ABF FBD ∴∠=∠．DBF BFD ∴∠=∠．2EDC FBD ∴∠=∠．在BDF ∆中，EDC FBD BFD ∠=∠+∠，DBF DFB ∴∠=∠，116322FD BD BC ∴===⨯=．故选A ．本题考查了三角形中位线定理和等腰三角形的判定于性质．三角形的中位线平行于第三边，当出现角平分线，平行线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、平行四边形的对角线互相平分【解析】题设：四边形的对角线互相平分，结论：四边形是平行四边形．把题设和结论互换即得其逆命题．【详解】逆命题是：平行四边形的对角线互相平分．故答案为：平行四边形的对角线互相平分．命题的逆命题是把原命题的题设和结论互换．原命题正确但逆命题不一定正确，所以并不是所有的定理都有逆定理．10、）1．【解析】首先求出AC 、AE 、HE 的长度，然后猜测命题中隐含的数学规律，即可解决问题．【详解】∵四边形ABCD 为正方形，∴AB=BC=1，∠B=90°，∴AC 2=12+12，；同理可求：AE=）2，HE=）3…，∴第n 个正方形的边长a n =（）n-1，∴第2016）1，）1．本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了学生找规律的能力，本题中找到a n 的规律是解题的关键．11、1×10-1【解析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】解：0.00005=1×10-1．故答案为：1×10-1．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n ，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．12、1．【解析】根据已知易得AB-BC=2，AB+BC=3，解方程组即可．【详解】解：∵△AOB 的周长比△BOC 的周长多2，∴AB-BC=2．又平行四边形ABCD 周长为20，∴AB+BC=3．∴AB=1．故答案为1．本题考查平行四边形的性质，解决平行四边形的周长问题一般转化为两邻边和处理．13、1或【解析】分两种情形①CG=CB ，②GC=GB ，分别求解即可解决问题.【详解】在菱形ABCD 中，∵∠A=60°，，∴AC=3，①当∴AP=12AG=②当GC=GB 时，易知GC=1，AG=2，∴AP=12AG=1，故答案为1或32-．本题考查翻折变换、等腰三角形的性质、勾股定理、菱形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（1）4.5首；（2）大赛后一个月该校学生一周诗词诵背6首（含6首）以上的有850人；（3）见解析.【解析】分析：（1）根据统计图中的数据可以求得这组数据的中位数；（2）根基表格中的数据可以解答本题；（3）根据统计图和表格中的数据可以分别计算出比赛前后的众数和中位数，从而可以解答本题．解：（1）本次调查的学生有：20÷=120（名），背诵4首的有：120﹣15﹣20﹣16﹣13﹣11=45（人），∵15+45=60，∴这组数据的中位数是：（4+5）÷2=4.5（首），故答案为4.5首；（2）大赛后一个月该校学生一周诗词诵背6首（含6首）以上的有：1200×402520120++=850（人），答：大赛后一个月该校学生一周诗词诵背6首（含6首）以上的有850人；（3）活动启动之初的中位数是4.5首，众数是4首，大赛比赛后一个月时的中位数是6首，众数是6首，由比赛前后的中位数和众数看，比赛后学生背诵诗词的积极性明显提高，这次举办后的效果比较理想．点睛：本题考查扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体、统计量的选择，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．15、151米【解析】先解直角三角形ADC 得出AD 的长，然后在直角三角形BDC 中求得BD 的长，两者相加即可求得AB 的长．【详解】在Rt ADC ∆中，45,100ACD CD ︒∠==，100AD CD ∴==．在Rt BDC ∆中，tan 27,100BDCD CD ︒==tan 271000.5151BD CD ︒∴=≈⨯=10051151AB ∴=+=米．本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，难度适中，通过直角三角形，利用三角函数求解是解题的关键．16、（1）M ＝45，N ＝56；（2）M ＜N ；证明见解析.【解析】（1）直接将a =3代入原式求出M ，N 的值即可；（2）直接利用分式的加减以及乘除运算法则，进而合并求出即可．【详解】（1）当a =3时，M 314325+==+，N 325336+==+；（2）方法一：猜想：M ＜N ．理由如下：M ﹣N 1223a a a a ++=-++2(1)(3)2(2)(3)a a a a a ++-+=++（）123a a -=++（）（）．∵a ＞0，∴a +2＞0，a +3＞0，∴1023a a -++＜（）（），∴M ﹣N ＜0，∴M ＜N ；方法二：猜想：M ＜N ．理由如下：2213432244M a a a a N a a a a ++++=⋅=++++．∵a ＞0，∴M ＞0，N ＞0，a 2+4a +3＞0，∴2243144a a a a ++++＜，∴1M N ＜，∴M ＜N ．本题考查了分式的加减以及乘除运算，正确通分得出是解题的关键．17、点C 到AB 的距离约为14cm .【解析】通过勾股定理的逆定理来判断三角形ABC 的形状，从而再利用三角形ABC 的面积反求点C 到AB 的距离即可.【详解】解：过点C 作CE ⊥AB 于点E,则CE 的长即点C 到AB 的距离.在△ABC 中，∵24AC =，CB 18=，30AB =，∴2222AC CB 2418900+=+=，2230900AB ==，∴222AC CB AB +=，∴△ABC 为直角三角形，即∠ACB=90°.……∵1122ABC S AC BC CE AB ∆=⨯=⨯，∴AC BC CE AB ⨯=⨯，即241830CE ⨯=⨯，∴CE=14.4≈14.答：点C 到AB 的距离约为14cm .本题的解题关键是掌握勾股定理的逆定理，能通过三角形面积反求对应的边长.18、(1)见解析;(2)t=3,6+;(3)127s .【解析】（1）根据32t =，求出DQ,AP 的长，再根据平行四边形的判定定理即可求解；（2）根据题意得到DE=BE,根据矩形的性质得到DEQ BEP ∆≅∆，根据全等三角形的性质得到6123t t -=-，即可求出t 的值，再根据勾股定理即可求解；（3）分别过点C 、D 作CN AB ⊥，DM AB ⊥，根据矩形的性质可得Rt DAM Rt CBN ∆≅∆，求出AM 的长，再根据垂直平分线的性质得到PD=PQ ，故DE=PM ，代入即可求出t 的值.【详解】（1）证明：∵12631<，∴当4t =秒时，两点停止运动，在运动过程中3AP t =，CQ t =，∴6DQ t =-，当32t =时，39622DQ =-=，39322AP =⨯=，∴AP DQ =，又∵AB DC ，∴AP DQ ，∴四边形APQD 为平行四边形.（2）如图①，设BD 交PQ 于点E ，若PQ 平分对角线BD ，则DE BE =，∵CD AB ，∴QDE PBE ∠=∠，DQE BPE ∠=∠，在DEQ ∆和BEP ∆中，QDE PBE DQE BPE DE BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()DEQ BEP AAS ∆≅∆，∴DQ BP =，EQ EP =，∴6123t t -=-，解得3t =，符合题意，∴当3t =秒时，PQ 平分对角线BD ，此时39AP t==，3CQ =，∵DE BE =，EQ EP =，∴四边形BQDP 是平行四边形，过点D 作DF AB ⊥于点F ，∵5ADBC ==，12AB =，6CD =，∴3AF =，4DF =，∴936PF =-=，由勾股定理，得PD ==，∴四边形BQDP 的周长()222636DQ DP =+=-++（3）如图②，分别过点C 、D 作CN AB ⊥，DM AB ⊥，分别交AB 于点N 、M ，连接PD 、PQ ，可得四边形DMNC 是矩形，90AMD CNB ∠=∠=︒，AD BC =，DM CN =，在Rt DAM ∆和Rt CBN ∆中，∵AD BCDM CN =⎧⎨=⎩，∴()Rt DAM Rt CBN HL ∆≅∆，∴12632AM BN -===，∵点P 在DQ 的垂直平分线EP 上，∴PD PQ =，12DE DQ =，四边形DEPM 是矩形，∴DE PM =，即6332t t -=-，解得127t =，则当t 为127s 时，点P 恰好在DQ 的垂直平分线上.此题主要考查矩形动点问题，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质.一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、3【解析】根据题意将2a =-之中，然后进一步化简即可.【详解】将2a =-可得：，故答案为：3.本题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握相关方法是解题关键.20、a ≥0【解析】用反正法证明命题应先假设结论的反面成立，本题结论0a <的反面应是0a ≥.【详解】解：“如果a a >，那么0a <．”是真命题时,用反证法证明第一步应假设0a ≥.故答案为：0a ≥本题考查了反证法，熟练掌握反证法的证明步骤是解题的关键.21、1或【解析】本题根据题意分三种情况进行分类求解，结合三角函数，等边三角形的性质即可解题.【详解】试题分析：当∠APB=90°时（如图1），∵AO=BO，∴PO=BO ，∵∠AOC=60°，∴∠BOP=60°，∴△BOP 为等边三角形，∵AB=BC=4，∴sin 6042AP AB ︒==⨯=；当∠ABP=90°时（如图1），∵∠AOC=∠BOP=60°，∴∠BPO=30°，∴tan30OB BP ︒===，在直角三角形ABP 中，AP ==，如图3，∵AO=BO ，∠APB=90°，∴PO=AO ，∵∠AOC=60°，∴△AOP 为等边三角形，∴AP=AO=1，故答案为或1．考点：勾股定理．22、1【解析】分析：连接DE 并延长交AB 于H ，证明△DCE ≌△HAE ，根据全等三角形的性质可得DE=HE ，DC=AH ，则EF 是△DHB 的中位线，再根据中位线的性质可得答案．详解：连接DE 并延长交AB 于H ．∵CD ∥AB ，∴∠C=∠A ，∵E 是AC 中点，∴DE=EH ，在△DCE 和△HAE 中，∠C ＝∠A ，CE ＝AE ，∠CED ＝∠AEH ，∴△DCE ≌△HAE （ASA ），∴DE=HE ，DC=AH ，∵F 是BD 中点，∴EF 是△DHB 的中位线，∴EF=12BH ，∴BH=AB-AH=AB-DC=2，∴EF=1．点睛：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及三角形中位线性质，关键是正确画出辅助线，证明△DCE ≌△HAE ．23、352【解析】过D 点作DF ∥BE ，则DF=12BE=1，F 为EC 中点，在Rt △ADF 中求出AF 的长度，根据已知条件易知G 为AD 中点，因此E 为AF 中点，则AC=32AF ．【详解】过D 点作//DF BE ，AD 是ABC ∆的中线，AD BE ⊥，F ∴为EC 中点，AD DF ⊥，2AD BE ==，则1DF =，AF ==，BE 是ABC ∆的角平分线，AD BE ⊥，ABG DBG ∴∆≅∆，G ∴为AD 中点，E ∴为AF 中点，AE EF CF ∴==，322AC AF ∴==．故答案为：2．本题考查了三角形中线、三角形中位线定理和角平分线的性质以及勾股定理的应用，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、教学楼A 与办公楼B 之间的距离大约为94.6米．【解析】由已知可得△ABP 中∠A=60°∠B=45°且PC=60m ，要求AB 的长，可以先求出AC 和BC 的长就可转化为运用三角函数解直角三角形．【详解】由题意可知∠ACP=∠BCP=90°，∠APC=30°，∠BPC=45°在Rt △BPC 中，∵∠BCP=90°，∠BPC ＝45°，∴60BC PC ==在Rt △ACP 中，∵∠ACP=90°，∠APC ＝30°，∴•303060AC PC tan tan =︒=︒⨯=∴60AB AC BC =+=+≈60+20×1.732=94.64≈94.6（米）答：教学楼A 与办公楼B 之间的距离大约为94.6米．本题考查了解直角三角形的应用--方向角问题．解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．25、（1）70，100；（2）()()()1300300300.203000.230300t y t t t ⎧≤≤⎪=⎨+-=->⎪⎩，()()25006000.25100600t y t t ⎧≤≤⎪=⎨->⎪⎩；（3）当0400t ≤≤时方式一省钱；当400 1400t <≤时，方式二省钱，当1400t >时；方式一省钱，当为400分钟、1400分钟时，两种方式费用相同【解析】（1）按照表格中的收费方式计算即可；（2）根据表格中的收费方式，对t 进行分段列出函数关系式；（3）根据t 的取值范围，列出不等式解答即可．【详解】解：（1）由题意可得：月主叫时间500分钟时，方式一收费为70元；月主叫时间800分钟时，方式二收费为100元；故答案为：70；100．（2）由题意可得：1y (元)的函数关系式为：()()()1300300300.203000.230300t y t t t ⎧≤≤⎪=⎨+-=->⎪⎩2y (元)的函数关系式为：()()()2500600500.256000.25100600t y t t t ⎧≤≤⎪=⎨+-=->⎪⎩（3）①当0300t ≤≤时方式一更省钱；②当300 600t <≤时，若两种方式费用相同，则当0.23050t -=．解得:400t =即当400t =,两种方式费用相同，当300 400t <≤时方式一省钱当400 600t <≤时，方式二省钱；③当600t >时，若两种方式费用相同，则当0.2300.25100t t -=-，解得:1400 t =即当1400 t =，两种方式费用相同，当600 1400t <≤时方式二省钱，当 1400t >时，方式一省钱；综上所述，当0400t ≤≤时方式一省钱；当400 1400t <≤时，方式二省钱，当1400t >时，方式一省钱，当为400分钟、1400分钟时，两种方式费用相同．本题考查了一次函数中方案选择问题，解题的关键是表达出不同收费方式的函数关系式，再利用不等式的知识对不同时间内进行讨论．26、（1）证明见解析；（2）1．【解析】（1）根据等边对等角可得∠B=∠ACF ，然后利用SAS 证明△ABE ≌△ACF 即可；（2）根据△ABE ≌△ACF ，可得∠CAF=∠BAE=30°，再根据AD=AC ，利用等腰三角形的性质即可求得∠ADC 的度数.【详解】（1）∵AB=AC ，∴∠B=∠ACF ，在△ABE 和△ACF 中，AB AC B ACF BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△ACF （SAS ）；（2）∵△ABE ≌△ACF ，∠BAE=30°，∴∠CAF=∠BAE=30°，∵AD=AC ，∴∠ADC=∠ACD ，∴∠ADC=280013︒-︒=1°，故答案为1．本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握相关性质与定理是解题的关键.。
2023-2024学年河北省邯郸市八校联考高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年河北省邯郸市八校联考高一（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合M ＝{x |2x ﹣1＞5}，N ＝{x ∈N *|﹣1＜x ＜5}，则（∁R M ）∩N ＝（ ） A ．{0，1，2，3}B ．{1，2，3}C ．{0，1，2}D ．{1，2}2．设x ∈R ，则“|x ﹣3|＜2”是“x 2+x ﹣2＞0”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．若b ﹣6a ＝1，则8a212b =（ ）A ．1B ．12C ．√22D ．√24．已知函数f(x)={2x +1，x ＜23x 2−ax ，x ≥2，若f(f(12))=6，则a ＝（ ）A ．2B ．3C ．4D ．55．已知函数f （x ）＝ax 3+bx +2在[2，3]上的值域为[2，3]，则g （x ）＝ax 3+bx ﹣1在[﹣3，﹣2]上的值域为（ ） A ．[﹣5，﹣4]B ．[﹣4，﹣3]C ．[﹣3，﹣2]D ．[﹣2，﹣1]6．已知关于x 的不等式mx ﹣n ＞0的解集为{x |x ＜﹣2}，函数f （x ）＝（b 2+1）a x （a ＞0且a ≠0）为指数函数，则f （n ）•[f （m ）]2＝（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在[0，+∞）上单调递增，又f （4）＝0，则（3x ﹣1）f （2x ）＜0的解集是（ ） A ．(−2，13)B ．(13，2)C ．(−2，13)∪(2，+∞)D ．(−∞，−2)∪(13，2)8．若a ＞b ，且ab ＝2，则(a−1)2+(b+1)2a−b的最小值为（ ）A ．2√5−2B ．2√6−4C ．2√5−4D ．2√6−2二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．下列命题为真命题的是（ ）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若﹣3＜a＜2，1＜b＜4，则﹣7＜a﹣b＜1C．若b＜a＜0，m＜0，则ma＞mbD．若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd10．下列各组函数中，两个函数相同的是（）A．f（x）＝|x|，g(x)=√x2B．f(x)=√x33，g（x）＝|x|C．f(x)=x 2−9x−3，g（x）＝x+3D．f(x)=3x2+2x，g(t)=3t2+2t11．若函数y＝a x﹣2b﹣1（a＞0且a≠0）的图象过第一、三、四象限，则（）A．0＜a＜1B．a＞1C．b＞0D．b＜012．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y ＝[x]称为高斯函数，如[3.24]＝3，[﹣1.5]＝﹣2．若f（x）＝x﹣[x]，则下列说法正确的是（）A．当2023≤x＜2024时，f（x）＝x﹣2023 B．f（x+1）﹣f（x）＝1C．函数f（x）是增函数D．函数f（x）的值域为[0，1）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．函数f（x）＝（13）√−x2+2x+3的单调递减区间是．14．已知函数f（x）的定义域为[﹣2013，2013]，则函数g(x)=f(x−1)x+1的定义域为．15．已知命题p：∃x∈[0，4]，使得2x2﹣x﹣a＜0，若p是真命题，则a的取值范围是．16．若函数f（x）与g（x）对于任意x1，x2∈[c，d]，都有f（x1）•g（x2）≥m，则称函数f（x）与g（x）是区间[c，d]上的“m阶依附函数”，已知函数f(x)=x+7x+1与g（x）＝x6﹣2x3+a是区间[1，2]上的“3阶依附函数”，则a的取值范围是．四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17．（10分）已知集合A={x|7x+2＞1}，B＝{x|x2+ax﹣12＜0}．（1）若a＝﹣11，求A∪B；（2）若A∩B＝{x|﹣2＜x＜2}，求a的值．18．（12分）已知幂函数f（x）＝（3a2+2a﹣7）x a（a∈R）在（0，+∞）上单调递增．（1）求f（x）的解析式；（2）判断f（x）的奇偶性，并证明．19．（12分）已知一次函数y＝f（x）满足f（x﹣1）＝ax﹣1，且f(−a2)=−1．（1）求y＝f（x）的函数关系式；（2）求关于x的不等式xf（x）﹣2b2﹣b≤0的解集．20．（12分）已知函数f（x）＝4x﹣a•2x﹣a+5（a∈R）．（1）若a＝2，求f（x）在区间[﹣1，1]上的最大值和最小值；（2）若f（x）+3≥0在（﹣∞，+∞）上恒成立，求a的取值范围．21．（12分）如图，某物业需要在一块矩形空地（记为矩形ABCD）上修建两个绿化带，矩形ABCD的面积为800m2，这两个绿化带是两个形状、大小完全相同的直角梯形，这两个梯形上下对齐，且中心对称放置，梯形与空地的顶部、底部和两边都留有宽度为5m的人行道，且这两个梯形之间也留有5m的人行道．设AB＝xm．（1）用x表示绿化带的面积；（2）求绿化带面积的最大值．22．（12分）已知函数f(x)=a√1−x2+√1+x+√1−x(a∈R)．（1）若a＝0，求f（x）的值域；（2）求f（x）的最大值．2023-2024学年河北省邯郸市八校联考高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合M ＝{x |2x ﹣1＞5}，N ＝{x ∈N *|﹣1＜x ＜5}，则（∁R M ）∩N ＝（ ） A ．{0，1，2，3}B ．{1，2，3}C ．{0，1，2}D ．{1，2}解：由题意知M ＝{x |2x ﹣1＞5}＝{x |x ＞3}，N ＝{x ∈N *|﹣1＜x ＜5}＝{1，2，3，4}， 所以∁R M ＝{x |x ≤3}，（∁R M ）∩N ＝{1，2，3}． 故选：B ．2．设x ∈R ，则“|x ﹣3|＜2”是“x 2+x ﹣2＞0”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：∵|x ﹣3|＜2，∴1＜x ＜5， ∵x 2+x ﹣2＞0，∴x ＞1或x ＜﹣2，设集合A ＝{x |1＜x ＜5}，集合B ＝{x |x ＞1或x ＜﹣2}，∵集合A 是集合B 的真子集，∴“|x ﹣3|＜2”是“x 2+x ﹣2＞0”的充分不必要条件． 故选：A ．3．若b ﹣6a ＝1，则8a212b =（ ）A ．1B ．12C ．√22D ．√2解：8a 212b=23a−12b=26a−b 2=2−12=√2=√22． 故选：C ．4．已知函数f(x)={2x +1，x ＜23x 2−ax ，x ≥2，若f(f(12))=6，则a ＝（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5解：f(12)=2×12+1=2，f(f(12))=f(2)=3×22−2a =6，解得a ＝3．故选：B ．5．已知函数f （x ）＝ax 3+bx +2在[2，3]上的值域为[2，3]，则g （x ）＝ax 3+bx ﹣1在[﹣3，﹣2]上的值域为（）A．[﹣5，﹣4]B．[﹣4，﹣3]C．[﹣3，﹣2]D．[﹣2，﹣1]解：令h（x）＝ax3+bx，则h（x）＝f（x）﹣2，因为函数f（x）＝ax3+bx+2在[2，3]上的值域为[2，3]，所以h（x）在[2，3]上的值域为[0，1]，又h（x）＝ax3+bx为奇函数，所以h（x）在[﹣3，﹣2]上的值域为[﹣1，0]，又g（x）＝ax3+bx﹣1＝h（x）﹣1，则g（x）＝ax3+bx﹣1在[﹣3，﹣2]上的值域为[﹣2，﹣1]．故选：D．6．已知关于x的不等式mx﹣n＞0的解集为{x|x＜﹣2}，函数f（x）＝（b2+1）a x（a＞0且a≠0）为指数函数，则f（n）•[f（m）]2＝（）A．1B．2C．3D．4解：∵不等式mx﹣n＞0的解集为{x|x＜﹣2}，∴﹣2m﹣n＝0，即n+2m＝0，又f（x）为指数函数，∴b2+1＝1，∴f（x）＝a x，a＞0，且a≠1，∴f（n）•[f（m）]2＝a n•（a m）2＝a n+2m＝a0＝1．故选：A．7．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞）上单调递增，又f（4）＝0，则（3x﹣1）f（2x）＜0的解集是（）A．(−2，13)B．(13，2)C．(−2，13)∪(2，+∞)D．(−∞，−2)∪(13，2)解：由题意可得当﹣4＜x＜4时，有f（x）＜0，当x＜﹣4或x＞4时，有f（x）＞0，所以当f（2x）＞0时，有2x＜﹣4或2x＞4，即x＜﹣2或x＞2，当f（2x）＜0时，有﹣4＜2x＜4，即﹣2＜x＜2，由（3x﹣1）f（2x）＜0，可得{3x−1＜0f(2x)＞0，或{3x−1＞0f(2x)＜0，所以x＜﹣2或13＜x＜2，所以（3x﹣1）f（2x）＜0的解集是(−∞，−2)∪(13，2)．故选：D．8．若a ＞b ，且ab ＝2，则(a−1)2+(b+1)2a−b的最小值为（ ）A ．2√5−2B ．2√6−4C ．2√5−4D ．2√6−2解：因为ab ＝2， 所以由题意(a−1)2+(b+1)2a−b=a 2+b 2+2−2a+2ba−b=a 2+b 2+aba−b−2=(a−b)2+3aba−b−2=(a −b)+6a−b−2，因为a ＞b ，所以a ﹣b ＞0，所以由基本不等式可得(a−1)2+(b+1)2a−b =(a −b)+6a−b −2≥2√6−2，当且仅当{ab =2a −b =√6a ＞b 时等号成立，即当且仅当{a =√6−√142b =−√6−√142或{a =√6+√142b =−√6+√142时等号成立， 综上所述，(a−1)2+(b+1)2a−b 的最小值为2√6−2．故选：D ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．下列命题为真命题的是（ ） A ．若a ＞b ，则ac 2＞bc 2 B ．若﹣3＜a ＜2，1＜b ＜4，则﹣7＜a ﹣b ＜1C ．若b ＜a ＜0，m ＜0，则m a＞m bD ．若a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，则ac ＞bd解：对于A ，当c ＝0时，ac 2＝bc 2＝0，A 错误；对于B ，∵1＜b ＜4，∴﹣4＜﹣b ＜﹣1，又﹣3＜a ＜2，∴﹣7＜a ﹣b ＜1，B 正确； 对于C ，∵b ＜a ＜0，∴1a ＜1b ，又m ＜0，∴m a ＞mb，C 正确；对于D ，∵a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，∴ac ＞bc ＞bd ，D 正确． 故选：BCD ．10．下列各组函数中，两个函数相同的是（ ） A ．f （x ）＝|x |，g(x)=√x 2B ．f(x)=√x 33，g （x ）＝|x | C ．f(x)=x 2−9x−3，g （x ）＝x +3D ．f(x)=3x 2+2x ，g(t)=3t 2+2t解：对于A ，f （x ）＝|x |，g(x)=√x 2=|x|的定义域均为R ，且对应关系相同，故两个函数相同，A 正确，对于B ，f(x)=√x 33=x ，g （x ）＝|x |，两个函数的对应关系不相同，故两个函数不相同，B 错误， 对于C ，f(x)=x 2−9x−3的定义域为{x |x ≠3}，而g （x ）＝x +3的定义域为R ，两个函数的定义域不相同，故不是相同的函数，C错误，对于D，f(x)=3x2+2x，g(t)=3t2+2t的定义域均为（﹣∞，0）∪（0，+∞），且对应关系相同，故两个函数相同，D正确．故选：AD．11．若函数y＝a x﹣2b﹣1（a＞0且a≠0）的图象过第一、三、四象限，则（）A．0＜a＜1B．a＞1C．b＞0D．b＜0解：若函数y＝a x﹣2b﹣1（a＞0且a≠0）的图象过第一、三、四象限，则{a＞11−2b−1＜0，解得a＞1，b＞0．故选：BC．12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y ＝[x]称为高斯函数，如[3.24]＝3，[﹣1.5]＝﹣2．若f（x）＝x﹣[x]，则下列说法正确的是（）A．当2023≤x＜2024时，f（x）＝x﹣2023 B．f（x+1）﹣f（x）＝1C．函数f（x）是增函数D．函数f（x）的值域为[0，1）解：对于A，当2023≤x＜2024时，f（x）＝x﹣[x]＝x﹣2023，故A正确；对于B，因为∀x∈R，∃k∈Z，使得k≤x＜k+1，此时k+1≤x+1＜k+2，从而f（x+1）﹣f（x）＝x+1﹣（k+1）﹣（x﹣k）＝0，故B选项错误；对于C，由B可知对于x＜x+1，有f（x+1）＝f（x），故C选项错误；对于D，由B选项分析可知，函数f（x）是以1为周期的周期函数，故只需讨论f（x）在[0，1）上的值域即可，当x∈[0，1）时，f（x）＝x﹣[x]＝x﹣0＝x∈[0，1），即函数f（x）的值域为[0，1），故D正确．故选：AD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．函数f（x）＝（13）√−x2+2x+3的单调递减区间是[﹣1，1]．解：记u（x）=√−x2+2x+3，要使该函数式有意义，则﹣x2+2x+3≥0，解得x∈[﹣1，3]，即原函数的定义域为[﹣1，3]，又∵二次函数y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴该函数图象的对称轴为x＝1，开口向下，根据复合函数单调性判断规则，讨论如下：①当x∈[﹣1，1]时，u（x）单调递增，f（x）=(13)u(x)单调递减；②当x∈[1，3]时，u（x）单调递减，f（x）=(13)u(x)单调递增；故填：[﹣1，1]14．已知函数f（x）的定义域为[﹣2013，2013]，则函数g(x)=f(x−1)x+1的定义域为[﹣2012，﹣1）∪（﹣1，2014]．解：因为f（x）的定义域为[﹣2013，2013]，所以f（x﹣1）的定义域满足﹣2013≤x﹣1≤2013，解得：﹣2012≤x≤2014，即f（x﹣1）的定义域为[﹣2012，2014]，所以函数g(x)=f(x−1)x+1的定义域满足{−2012≤x≤2014x+1≠0，解得﹣2012≤x＜﹣1或﹣1＜x≤2014，所以函数g(x)=f(x−1)x+1的定义域为[﹣2012，﹣1）∪（﹣1，2014]．故答案为：[﹣2012，﹣1）∪（﹣1，2014]．15．已知命题p：∃x∈[0，4]，使得2x2﹣x﹣a＜0，若p是真命题，则a的取值范围是(−18，+∞)．解：由2x2﹣x﹣a＜0得：a＞2x2﹣x，∵∃x∈[0，4]，使得2x2﹣x﹣a＜0，∴a＞（2x2﹣x）min，∵y＝2x2﹣x为开口方向向上，对称轴为x=14的抛物线，∴当x∈[0，4]时，(2x2−x)min=2×(14)2−14=−18，∴a的取值范围为(−18，+∞)．故答案为：(−18，+∞)．16．若函数f（x）与g（x）对于任意x1，x2∈[c，d]，都有f（x1）•g（x2）≥m，则称函数f（x）与g（x）是区间[c，d]上的“m阶依附函数”，已知函数f(x)=x+7x+1与g（x）＝x6﹣2x3+a是区间[1，2]上的“3阶依附函数”，则a的取值范围是[2，+∞）．解：∵f(x)=x+7x+1=1+6x+1，∴f（x）在[1，2]上单调递减，∴当x∈[1，2]时，f（x）∈[3，4]；令t＝x3，则当x∈[1，2]时，t∈[1，8]，∵h （t ）＝t 2﹣2t +a ＝（t ﹣1）2+a ﹣1，∴当t ∈[1，8]时，h （t ）∈[a ﹣1，a +48]， 即当x ∈[1，2]时，g （x ）∈[a ﹣1，a +48]；由“3阶依附函数”定义可知：f （x 1）•g （x 2）≥3对于任意x 1，x 2∈[1，2]恒成立， ∵f （x 1）∈[3，4]，∴g(x 2)≥3f(x 1)恒成立，即g(x 2)min ≥[3f(x 1)]max =3[f(x 1)]min=1， ∴a ﹣1≥1，即a ≥2，∴a 的取值范围为[2，+∞）． 故答案为：[2，+∞）．四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 17．（10分）已知集合A ={x|7x+2＞1}，B ＝{x |x 2+ax ﹣12＜0}． （1）若a ＝﹣11，求A ∪B ；（2）若A ∩B ＝{x |﹣2＜x ＜2}，求a 的值． 解：（1）由A ={x|7x+2＞1}，可得A ={x|7−x−2x+2＞0}={x|x−5x+2＜0}={x|−2＜x ＜5}， 当a ＝﹣11时，B ＝{x |x 2﹣11x ﹣12＜0}＝{x |（x ﹣12）（x +1）＜0}＝{x |﹣1＜x ＜12}， 所以A ∪B ＝{x |﹣2＜x ＜12}；（2）A ∩B ＝{x |﹣2＜x ＜2}，A ＝{x |﹣2＜x ＜5}， 所以x ＝2是方程x 2+ax ﹣12＝0的一个根， 故22+2a ﹣12＝0，故a ＝4．18．（12分）已知幂函数f （x ）＝（3a 2+2a ﹣7）x a （a ∈R ）在（0，+∞）上单调递增． （1）求f （x ）的解析式；（2）判断f （x ）的奇偶性，并证明．解：（1）由幂函数的概念可知3a 2+2a ﹣7＝1，解得a ＝﹣2或43，又因为幂函数在（0，+∞）单调递增，故a =43，即f(x)=x 43；（2）f （x ）为偶函数，证明：f(x)=x 43定义域为R ，f(−x)=(−x)43=x 43=f(x)，故f(x)=x 43为偶函数． 19．（12分）已知一次函数y ＝f （x ）满足f （x ﹣1）＝ax ﹣1，且f(−a2)=−1．（1）求y ＝f （x ）的函数关系式；（2）求关于x 的不等式xf （x ）﹣2b 2﹣b ≤0的解集． 解：（1）∵f （x ﹣1）＝ax ﹣1＝a （x ﹣1）+a ﹣1，∴f （x ）＝ax +a ﹣1，∴f(−a 2)=−a 22+a −1=−1，解得：a ＝0或a ＝2，又y ＝f （x ）为一次函数，∴a ≠0，则a ＝2，∴f （x ）＝2x +1．（2）由（1）知：xf （x ）﹣2b 2﹣b ＝2x 2+x ﹣b （2b +1）＝（2x +2b +1）（x ﹣b ）≤0； 令（2x +2b +1）（x ﹣b ）＝0，解得：x =−2b+12或x ＝b ； 当b =−2b+12，即b =−14时，（2x +2b +1）（x ﹣b ）≤0的解集为{−14}； 当b ＞−2b+12，即b ＞−14时，（2x +2b +1）（x ﹣b ）≤0的解集为[−2b+12，b]； 当b ＜−2b+12，即b ＜−14时，（2x +2b +1）（x ﹣b ）≤0的解集为[b ，−2b+12]； 综上所述：当b =−14时，不等式解集为{−14}；当b ＞−14时，不等式解集为[−2b+12，b]；当b ＜−14时，不等式解集为[b ，−2b+12]．20．（12分）已知函数f （x ）＝4x ﹣a •2x ﹣a +5（a ∈R ）．（1）若a ＝2，求f （x ）在区间[﹣1，1]上的最大值和最小值； （2）若f （x ）+3≥0在（﹣∞，+∞）上恒成立，求a 的取值范围． 解：（1）当a ＝2时，f （x ）＝4x ﹣2•2x +3，x ∈[﹣1，1]，令t ＝2x ，则f （x ）＝g （t ）＝t 2﹣2t +3，t ∈[12，2]，开口向上，对称轴为x ＝1，∴g （t ）在[12，1]上单调递减，在（1，2]上单调递增，∴当t ＝1，即x ＝0时，函数g （t ）也就是f （x ）取得最小值，f （x ）min ＝f （0）＝2， 当t ＝2，即x ＝1时，函数f （x ）取得最大值，f （x ）max ＝f （1）＝3．（2）f （x ）+3≥0在（﹣∞，+∞）上恒成立，即4x ﹣a •2x +8﹣a ≥0，令t ＝2x ，原不等式可化为t 2﹣at +8﹣a ≥0对任意的t ＞0成立，转化为a ≤t 2+8t+1对任意的t ＞0成立，∵t 2+8t+1=(t+1)2−2(t+1)+9t+1=(t +1)+9t+1−2≥2√9−2=4，当且仅当t +1=9t+1，即t ＝2时等号成立， ∴a ≤4．∴实数a 的取值范围为（﹣∞，4]．21．（12分）如图，某物业需要在一块矩形空地（记为矩形ABCD ）上修建两个绿化带，矩形ABCD 的面积为800m 2，这两个绿化带是两个形状、大小完全相同的直角梯形，这两个梯形上下对齐，且中心对称放置，梯形与空地的顶部、底部和两边都留有宽度为5m 的人行道，且这两个梯形之间也留有5m 的人行道．设AB ＝xm ．（1）用x 表示绿化带的面积；（2）求绿化带面积的最大值．解：（1）已知AB ＝xm ．则梯形的高为（800x −10）m ，设梯形的上底为a （m ），下底为b （m ），由题意可得：a +b ＝x ﹣15，则绿化带的面积为S =(a +b)×(800x −10)=(x −15)(800x−10)（m 2）， 其中{800x −10＞0x −15＞0，即15＜x ＜80；（2）由（1）可得S =(x −15)(800x −10)=950−(10x +12000x )≤950−2√10x ×12000x =950−200√3，当且仅当10x =12000x，即x =20√3（m ）时取等号， 即绿化带面积的最大值为950−200√3（m 2）．22．（12分）已知函数f(x)=a√1−x 2+√1+x +√1−x(a ∈R)．（1）若a ＝0，求f （x ）的值域；（2）求f （x ）的最大值．解：（1）当a ＝0时，由题意可得：{1+x ≥01−x ≥0，解得﹣1≤x ≤1， 令t =√1+x +√1−x ，则t 2=2+2√1−x 2，t 2∈[2，4]，即t ∈[√2，2]，当a ＝0时，原函数可化为y ＝t ，故函数的值域为[√2，2]．（2）由题意可得：{1−x 2≥01+x ≥01−x ≥0，解得﹣1≤x ≤1，由（1）可知函数f(x)=a√1−x 2+√1+x +√1−x(a ∈R)可转化为函数ℎ(t)=12at 2+t −a ，t ∈[√2，2]，当a＞0时，−1a＜0，函数ℎ(t)=12at2+t−a开口向上，所以ℎ(t)=12at2+t−a在t∈[√2，2]上单调递增，设f（x）最大值为g（a），因此g（a）＝h（2）＝a+2；当a＝0时，ℎ(t)=12at2+t−a在t∈[√2，2]上单调递增，此时g（a）＝h（2）＝2；当a＜0时，−1a＞0，函数ℎ(t)=12at2+t−a开口向下，若0＜−1a≤√2，即a≤−√22时，函数ℎ(t)=12at2+t−a在t∈[√2，2]上单调递减，因此g(a)=ℎ(√2)=√2；若√2＜−1a＜2，即−√22≤a≤−12时，ℎ(t)=12at2+t−a在t∈[√2，−1a]上单调递增，在t∈[−1a，2]上单调递减，因此g(a)=ℎ(−1a)=−a−12a；若−1a≥2，即−12≤a＜0时，ℎ(t)=12at2+t−a在t∈[√2，2]上单调递增，因此g（a）＝h（2）＝a+2；综上所述f(x)max={√2，a≤−√22−12a−a，−√22＜a＜−12 a+2，a≥−12．。
八校联考高三数学试卷答案
一、选择题1. 下列各式中，正确的是（）A. $x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$B. $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$C. $\sqrt{9} = 3$D. $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$答案：A解析：选项A是一个完全平方公式，选项B是平方差公式，选项C是算术平方根，选项D是比例的性质。
只有选项A是正确的。
2. 函数$f(x) = ax^2 + bx + c$的图象开口向上，且与x轴有两个交点，则下列结论正确的是（）A. $a > 0, b^2 - 4ac > 0$B. $a > 0, b^2 - 4ac < 0$C. $a < 0, b^2 - 4ac > 0$D. $a < 0, b^2 - 4ac < 0$答案：A解析：函数$f(x) = ax^2 + bx + c$的图象开口向上，说明$a > 0$；与x轴有两个交点，说明判别式$b^2 - 4ac > 0$。
3. 已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$S_5 = 50$，$S_9 = 90$，则$a_6 + a_7 + a_8 = $（）A. 20B. 30C. 40D. 50答案：B解析：由等差数列的性质，$S_5, S_9 - S_5, S_{13} - S_9$构成等差数列，因此$S_9 - S_5 = S_5 + S_{13} - S_9$，即$90 - 50 = 50 + S_{13} - 90$，解得$S_{13} = 180$。
由于$S_{13} = 13a_7$，所以$a_7 = \frac{180}{13}$，$a_6 + a_7 + a_8 = a_7 + (a_7 + d) + (a_7 + 2d) = 3a_7 + 3d = 3 \times\frac{180}{13} = 30$。
2024年八校联考数学试卷
2024年天津市八所重点学校高三毕业班联考数学试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,共150分,考试时间120分钟.考试结束后，上交答题卡.第I 卷（选择题，共45分）一．选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填涂到答题卡上．（1）已知全集{}5,4,3,2,1=U ，集合{}5,3=A ，{}5,2,1=B ，则=⋂)(A C B u ()A ．{}2B ．{}21，C ．{}42，D ．{}421，，（4）函数)(x f 的部分图象如下图所示，则)(x f 的解析式可能为（）（5）已知某公路上经过的货车与客车的数量之比为3:1，货车和客车中途停车修理的概率分别为0.03和0.01，则一辆汽车中途停车修理的概率为()A ．1100B ．150C ．401D ．130（7）清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”，其可由相同的两个正交的正四面体组合而成（如图1），也可由正方体切割而成（如图2）.在“蒺藜形多面体”中，若正四面体的棱长为2，则该几何体的体积为（）第Ⅱ卷(非选择题，共105分)二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．请将正确的答案填写到答题纸上．（10）若复数z 满足z ＝1＋3i1－i (其中i 是虚数单位)，则z 的虚部为________．（11）在5)2(xx -的展开式中，3x 项的系数为__________.(用数字填写答案)（12）已知直线02=+-my x 与⊙4:22=+y x C 交于B A ,两点，写出满足“ABC ∆面积为3”参考数据：4=x ，19=y ，140712=∑=i i x ，2695712=∑=i i y ，60071=∑=ii i yx ，6≈2.45，相关系数∑∑∑∑∑∑======-⋅-⋅-=-⋅---=ni i ni i ni i i ni i ni i ni i iyn y x n x yx n yx y y x x y y x xr 122122112121)()()((.若点P 、Q 分别在边DA 、EA 上,DA DP λ=，EA EQ μ=,若252=μ+λ,则FQ FP ⋅的最小值为_________，)(41R t FE F A t FE F A t ∈-+-的最小值为.（15）函数⎩⎨⎧-≤+++++->+=2,3)2)(3()2(2),2ln()(2x a x a x x x x f ，函数2)(-=x a x g ，若函数2)2()2()(-+--=x g x f x h 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是．三．解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（16）(本小题满分14分)在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,,c b a 已知0cos 22=+-C a b c .（1）求角A 的大小；（2）若3a =，26=c ，（ⅰ）求)2sin(A C +的值；（ⅱ）求ABC ∆的面积.（17）（本小题满分15分）如图，正方形ADEF 与梯形ABCD 所在平面互相垂直，已知AB ∥CD ，CD AD ⊥，121===CD AD AB .点P 为线段EC 的中点．（1）求证：BF ∥平面CDE ；（2）求直线DP 与平面BDF 所成角的正弦值；（3）求平面BDF 与平面CDE 夹角的余弦值．P已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C ,21,F F 分别是椭圆C 的左、右焦点，点A 为左顶点，椭圆上的点到左焦点距离的最小值是焦距的41.（1）求椭圆C 的离心率；（2）直线l 过椭圆C 的右焦点2F ，与椭圆C 交于Q P ,两点（点P 在第一象限）．且APQ ∆面积的最大值为325.（ⅰ）求椭圆C 的方程；（ⅱ）若直线AQ AP ，分别与直线43=x 交于N M ,两点，求证：以MN 为直径的圆恒过右焦点2F .（19）（本小题满分15分）（3）设⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⋅+⋅-=++为偶数为奇数n b a n b b a b b c n n n n n nn n ,,24221，数列{}n c 的前n 2项和为n S 2，求证：1249232(1825+-+<n n n S .。
2025届湖北新八校协作体高三10月联考数学试卷答案
2024年湖北省新八校协作体高三10月联考高三数学试卷参考答案1-4ADBD9.B 5-8 CBCC D 10.BCD 11.AD 12.513.-414.),[+∞-e 14.【详解】32()f x x px x q =+++，2()321f x x px +'=+，()62f x x p =+''，因为()f x 图象的对称中心点为(1,2)-，所以(1)620f p -=-+'='，所以3p =，由(1)1312f q -=-+-+=，所以1q =，f(x)=1323+++x x x 原不等式为ee x x e x x mx e ]1[)1(ln ++≤+-，因为(1,)x ∈+∞，所以≥m 设()e 1t g t t =--，则()e 1t g t '=-，当0t <时，()0g t '<，当0t >时，()0g t '>，所以当0t <时，()g t 单调递减，当0t >时，()g t 单调递增，所以()(0)0g t g ≥=，即e 1≥+t t ，因为eln e eln 1x x x x -≥-+，当且仅当eln 0x x -=，即e x =时等号成立，所以eln e (1e)eln 1(1e)e ln 1ln 1x x x x x x x x --++-+-++≥=-++，所以其最小值为e -，故m e -≥．15.解：（1）由x x f x f 21)1(2)(+-'='，取1x =得到21)1(2)1(+-'='f f ，解得1)1(-='f . 2分代入可得xx x x f ln 2)(2+--= 5分（2）2,2+='+=x x e y x e y 对于曲线1331)1,0(2+==-+=x y x y x e y x ，即处的切线方程为：在点曲线 8分13)ln ,)(ln )(00+=++=x y a x x x g a x x g 的切线为在点（，设 分，且1113ln 31000+=+=∴x a x x3ln 2+=a 则 13分16.解：（1）分523132sin(2sin 2122cos 3312cos 212sin 2122cos 1)31()cos (sin 212sin 2122cos 1)31(4sin()4sin(cos sin cos 31()(222 -+-=+--=-++-=-+++-=-+++-=πππx x x x x x x x x x x x x x x x f ()f x ∴的最小正周期为22ππ=. 7分分的单调增区间为故解得故分上单调递增在）（15],1211[],125,0[)(],1211[],125,0[]35,23[],2,3[3211]35,23[],2,3[sin ]35,3[,322 ππππππππππππππππππx f x x t t y t x t ∈-∈--∈=-∈-=17.解析（I）由cos sin 0b C C a c +--=及正弦定理得sin cos sin sin sin 0B C B C A C --=.因为()()sin sin sin sin cos cos sin A B C B C B C B C π=--=+=+，sin cos sin sin 0B C B C C --=. 5分由于sin 0C ≠，cos 10B B --=所以1sin 62B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭.又0B π<<，故3B π=.7分（II ）[方法一]：余弦定理基本不等式因为3B π=，并利用余弦定理整理得222b a c ac =+-，即223()ac a c b =+-.结合22a c ac +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，得2a c b +≤.由临界状态（不妨取2A π=）可知a c b+= 10分而ABC V为锐角三角形，所以a c b+>由余弦定理得2222221cos cos cos 222b c a a b c A B C bc ab+-+-++=++，222b a c ac =+-，代入化简得1cos cos cos 12a c A B C b +⎛⎫++= ⎪⎝⎭故cos cos cos A B C ++的取值范围是13,22⎛⎤ ⎥ ⎝⎦. 15分[方法二]【最优解】：恒等变换三角函数性质结合(1)的结论有：12cos cos cos cos cos 23A B C A A π⎛⎫++=++- ⎪⎝⎭11cos cos 22A A A =-+11cos 22A A =++ 10分1sin 62A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.由203202A A πππ⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩可得：62A ππ<<， 12分2363A πππ<+<，则sin 6A π⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦，113sin ,6222A π⎤+⎛⎫++∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦.即cos cos cos A B C ++的取值范围是13,22⎛⎤ ⎥ ⎝⎦. 15分18.【详解】(1)由题意,x x V 2)23(-=,230<<x2分)230)(63)(23()(<<--='x x x x V 由210)(=⇒='x x V ，当210<<x 时函数递增，当2321<<x 时函数递减，所以当21=x 时，盒的容积V 最大. 6分（2）212249)63)(23()(x x x x x V +-=--=' ∴)ln()(m x e x f x +-= 8分当2(,),m x m -∈≤+∞时,ln()ln(2)x m x ++≤,故只需证明当2m =时,()ln(2)0x f x e x =-+>, 10分当2m =时，函数 x y e =与函数12y x =-+在(2, )-+∞上单调递增,所以函数()12x f x e x '=-+在(2, )-+∞上单调递增,又(1)0,(0)0f f ''-<>,故()0f x '=在(2, )-+∞有唯一实数根，记为0x x =，且0(1,0)x ∈-,分12 当0(2,)x x ∈-时，()0,()f x f x '<单调递减;当0(,)x x ∈+∞时，()0,()f x f x '>单调递增,从而当0x x =时，()f x 取得最小值,由0()0f x '=得0012x ex =+即00ln(2)-x x +=，分14 故的最小值)(x f >0综上，当m ≤2时，()0f x >. 17分19.解：（1）10,sin 2y x x π⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭2cos -sin x y x '∴=，分2 24sin (1cos )0,sin 2x x y x x π+⎛⎫''∴=∈ ⎪⎝⎭>0，，函数10,sin 2y x x π⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭在为凹函数.分4 （2）由（1）可知函数()10,sin 2f x x x π⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭在为凹函数.所以由琴生不等式()()()312123(33f x f x f x x x x f ++++≥分6 2223111sin sin sin 12,222sin()3C A B A B C ++≥=++可得分8 1116sin sin sin 222A B C ∴++≥，得证 .当且仅当C B A ==时等号成立.分9 （3）构造函数()ln g x x x =，()1+ln g x x '=，()1g x x''=>0，()ln g x x x ∴=为凹函数.)()(11∑∑==≥∴n i i ni i nx g n x g 1ln 111ln ,n i i i x x g n n n n =⎛⎫∴≥=⋅ ⎪⎝⎭∑11ln ln ,n i i i x x n =≥∑12121n x x x n x x x n⋅≥ 即得证.分17。
八校联考试卷高三数学
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 1，若f(1) = 0，则f(x)的图像大致是（）A. 单调递增B. 单调递减C. 先增后减D. 先减后增2. 在三角形ABC中，AB=AC，角BAC的度数为（）A. 45°B. 60°C. 90°D. 120°3. 已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，若a1=3，d=2，则第10项a10的值为（）A. 21B. 22C. 23D. 244. 若复数z = a + bi（a，b∈R）满足|z+2i| = 3，则实数a的取值范围是（）A. [-3，3]B. [-4，4]C. [-5，5]D. [-6，6]5. 已知函数y = ax^2 + bx + c的图像与x轴有两个交点，且a > 0，b^2 - 4ac < 0，则该函数的图像（）A. 开口向上，顶点在x轴上方B. 开口向上，顶点在x轴下方C. 开口向下，顶点在x轴上方D. 开口向下，顶点在x轴下方6. 在直角坐标系中，点P(2，3)关于直线y=x的对称点为（）A. (3，2)B. (2，3)C. (-3，-2)D. (-2，-3)7. 已知数列{an}满足an+1 = an + 2n + 1，且a1 = 1，则数列{an}的前n项和S_n为（）A. n^2 + nB. n^2 + 2nC. n^2 + 3nD. n^2 + 4n8. 已知函数f(x) = log2(x+1)，则f(-1)的值为（）A. 0B. 1C. -1D. 无解9. 在△ABC中，若a^2 + b^2 = 4，c^2 = 3，则角A的余弦值为（）A. 1/2B. √2/2C. 1/√2D. √2/210. 已知数列{an}满足an = 2an-1 + 1，且a1 = 1，则数列{an}的通项公式为（）A. an = 2^n - 1B. an = 2^n + 1C. an = 2^nD. an = 2^n - 2二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 已知函数f(x) = (x-1)^2 + 2，则f(2)的值为______。
江苏省南通市八校联考2024届中考数学模试卷含解析
江苏省南通市八校联考2024届中考数学模试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．某经销商销售一批电话手表，第一个月以550元/块的价格售出60块，第二个月起降价，以500元/块的价格将这批电话手表全部售出，销售总额超过了5.5万元．这批电话手表至少有（）A．103块B．104块C．105块D．106块2．下列命题中，真命题是（）A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形B．等腰梯形既是轴对称图形又是中心对称图形C．圆的切线垂直于经过切点的半径D．垂直于同一直线的两条直线互相垂直3．下列哪一个是假命题（）A．五边形外角和为360°B．切线垂直于经过切点的半径C．（3，﹣2）关于y轴的对称点为（﹣3，2）D．抛物线y=x2﹣4x+2017对称轴为直线x=24．如图，在矩形ABCD中，P、R分别是BC和DC上的点，E、F分别是AP和RP的中点，当点P在BC上从点B 向点C移动，而点R不动时，下列结论正确的是（）A．线段EF的长逐渐增长B．线段EF的长逐渐减小C．线段EF的长始终不变D．线段EF的长与点P的位置有关52的相反数是（）D．2A2B2C26．如图是一个由4个相同的长方体组成的立体图形，它的主视图是（）A．B．C．D．7．若a与﹣3互为倒数，则a=（）A．3 B．﹣3 C．D．-8．广西2017年参加高考的学生约有365000人，将365000这个数用科学记数法表示为（）A．3.65×103B．3.65×104C．3.65×105D．3.65×1069．估算30的值在( )A．3和4之间B．4和5之间C．5和6之间D．6和7之间10．a、b互为相反数，则下列成立的是（）A．ab=1 B．a+b=0 C．a=b D．ab=-1二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．如图，边长一定的正方形ABCD，Q是CD上一动点，AQ交BD于点M，过M作MN⊥AQ交BC于N点，作NP⊥BD于点P，连接NQ，下列结论：①AM=MN；②MP=12BD；③BN+DQ=NQ；④AB BNBM为定值。
广东省八校2024-2025学年高三上学期8月联合检测数学试题(含解析)
广东省八校2024-2025学年高三上学期8月联合检测数学注意事项：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置。
3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效。
4．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
5．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．若，则（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知向量，若，则（ ）A ．1B ．2C ．3D ．64．已知，则（ ）A ．B ．C ．D ．15．已知一个圆柱的轴截面是正方形，一个圆锥与该圆柱的底面半径及侧面积均相等，则圆柱与圆锥的体积之比为（）A ．B ．C ．D ．6．已知函数在上单调递增，则的取值范围是（）A ．B ．C ．D．7．已知函数与，则下列说法错误的是（ ）{128,3,2,8x M xN ⎧⎫=<<=---⎨⎬⎩⎭M N =∩{}1,0,1-{}2,1,0,1--{2,--{2,--22i z z+=-z =1i +1i -1i-+1i--()()1,2,3,a b m == ()a b a -∥m =()1tan sin ,24tan x x y y-==()sin x y +=1412349:6:4:3:()2sin ,023,0ax x x f x x ax a x -≤⎧=⎨+-+>⎩R a [)1,3(]1,3[]1,3()1,3()πsin 3f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭()πsin 26g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭A ．与存在相同的对称轴B ．与存在相同的对称中心C ．与的值域相同D ．与在上有相同的单调性8．已知函数满足，则下列结论中正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
安徽省皖南八校2024届高三第一次大联考数学试题
试卷第 4页，共 4页
B．0
C．1
2．“ a 5 ”是“ x 3, 2, x2 3 a 0 ”成立的（ ）
D．-1 或 0
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．已知函数 f x 1为偶函数，且函数 f x 在 ,1 上单调递增，则关于 x 的不等式
f 2x f 8 的解集为（ ）
x 0,
7π 12
时，
f
x
最小值与最大值之和为
．
16．已知 x 1, , kx 2ln x 1 0 恒成立，则 k 的最小整数值为
．
四、解答题
17．已知集合
A
x
|
xa x 3a
ห้องสมุดไป่ตู้
0
a
0
，不等式
x2
5x
6
0
的解集为
B
．
(1)当 a 1 时，求 A B ；
试卷第 3页，共 4页
(2)若 x A 是 x B 的必要不充分条件，求实数 a 的取值范围．
18．已知关于 x 的不等式 ax2 2 2x ax a R ．
(1)若不等式的解集为x∣ 2 x b ，求实数 b 的值；
(2)若 a<0 ，解不等式 ax2 2 2x ax ．
19．在 ABC 中，内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, ABC 的面积为 SABC ．已知
上的奇函数．
(1)试判断函数 f x 的单调性；
(2)已知
g
x
1 1
f f
x x
，若对任意
xR
且
x
0
，不等式
浙江省杭州市八校联考2024届九年级上学期期中学情调研数学试卷(含答案)
2023学年第一学期九年级期中学情调研数学调研卷一．选择题：（共10小题，3×10＝30分）1.下列事件中是不可能事件的是（）A.守株待兔B.瓮中捉鳖C.水中捞月D.百步穿杨2.已知点A 在直径为8cm 的⊙O 内，则OA 的长可能是（）A.8cmB.6cmC.4cmD.2cm3.二次函数2x y =的图象平移后经过点），（02，则下列平移方法正确的是（）A.向右平移2个单位，向上平移1个单位B.向右平移1个单位，向下平移1个单位C.向左平移1个单位，向上平移2个单位D.向左平移2个单位，向下平移2个单位4.从－1，2，3，6这四个数中任取不同的两数，分别记为m ，n ，那么点（m ，n ）在函数xy 6=图象上的概率是（）A.61 B.41 C.31 D.215.已知圆中两条平行的弦之间距离为1，其中一弦长为8，若半径为5，则另一弦长为（）A ．6或64B ．6或7C ．6或212D ．7或96.下列命题正确的是（）A.相等的弦所对的弧相等.B.平分弦的直径平分弦所对的两条弧.C.过三点能作一个圆.D.在同心圆中，同一圆心角所对的两条弧的度数相等.7.已知二次函数mx x y 22+=－，对于其图象和性质，下列说法错误的是（）A ．图象开口向下B ．图象经过原点C ．当2>x 时，y 随x 的增大而减小，则2<m D ．函数一定存在最大值8.如图，将半径为6的⊙O 沿AB 折叠，使得折痕AB 垂直半径OC ，当恰好经过CO 的三等分点D （靠近端点O ）时，折痕AB 长为（）A.28 B.154 C.8D.549.如图，已知°=60∠BAC ，AB=4，AC=6，点P 在ABC ∆内，将APC ∆绕着点A 逆时针方向旋转60°得到AEF ∆.则AE+PB+PC 的最小值为（）A.10B.192 C.35 D.13210.已知二次函数c bx ax y ++=2满足以下三个条件：①c ab 42>，②0<c b a ＋－，③c b <，则它的图象可能是（）A. B.C.D.二．填空题：（共6小题，4×6＝24分）11.掷一枚质地均匀的硬币，前9次都是反面朝上，则掷第10次时反面朝上的概率是.12.已知二次函数162－＋－x x y =，其顶点坐标为.13.如图，在⊙O 中，BA=BC ，的度数为80°，则CO ∠B =.14.如图，已知一次函数221－x y =，二次函数)(22为常数，－c b c bx x y ++=，两函数图象交于点（3，m ），（n ，－6），当21y y <时，x 的取值范围为.15.如图，一条形状一定的抛物线与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），其顶点P 在线段MN 上移动.若点M 、N 的坐标分别为（-1，-2）、（1，-2），点A 的横坐标的最小值为－3，则点B 横坐标的最大值为.16.如图，抛物线8212－x y =与x 轴交于A 、B 两点，P 是以点C （0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q 是线段PA 的中点，连结OQ.则线段OQ 的最大值是.三．解答题：（共8小题，6＋6＋6＋8＋8＋10＋10＋12＝66分）17.（本小题6分）已知二次函数c bx x y ++=221－的图象经过点（1，0），（0，23）.（1）求该二次函数的表达式；（2）求出二次函数的图象与x 轴的另一个交点坐标.18.（本小题6分）如图，每个小方格都是边长为1个单位长度，ΔABC 在坐标系中的位置如图所示.（1）作出ΔABC 绕原点O 逆时针方向旋转90°后的111ΔA C B ；（2）作出ΔABC 的点B 绕原点O 逆时针方向旋转90°后经过的路线.第14题第13题第15题第16题（3）请直接写出ΔABC 的外接圆圆心坐标为.19.（本小题6分）在一个不透明的口袋中装有若干个相同的红球，为估计袋中红球的数量，九（1）班学生分组进行摸球试验：每组先将10个与红球形状大小完全相同的白球装入袋中，搅匀后随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复.以下是这次活动统计汇总各小组数据后获得的全班数据统计表：（1）按表格数据格式，表中的a =；b =；（2）请估计：当次数s 很大时，摸到白球的频率将会接近（精确到0.1）；（3）请推算：摸到红球的概率是（精确到0.1）；（4）试估算：这一个不透明的口袋中红球有个.20.（本小题8分）已知：如图，在⊙O 中，=，AB 与CD 相交于点M.求证:（1）AB=CD ；（2）AM=DM.21.（本小题8分）已知一座圆弧形拱桥，圆心为点O ，桥下水面宽度AB 为18m ，过O 作OC ⊥AB 于点D ，CD=3m.（1）求该圆弧形拱桥的半径；（2）现有一艘宽6m ，船舱顶部高出水面2m 的货船要经过这座拱桥（船舱截面为长方形），请问，该货船能顺利通过吗？22.（本小题10分）已知二次函数22)12++=k kx x k y －－（的图象与x 轴有交点.（1）求k 的取值范围；（2）若函数图象与x 轴有两个交点，且满足022=－－k k .①求k 的值；②当2+≤≤k x k 时，求y 的取值范围.摸球的次数s 15030060090012001500摸到白球的频数n63a 247365484606摸到白球的频率sn0.4200.4100.4120.4060.403b23.（本小题10分）如图，已知⊙O 的半径长为1，AB 、AC 是⊙O 的两条弦，且AB=AC ，BO 的延长线交AC 于点D ，连结OA ，OC.（1）求证：AOB Δ≌AOC Δ.（2）当BA=BD 时，求的度数.（3）当OCD Δ是直角三角形时，求B 、C 两点之间的距离.24.（本小题12分）如图,已知排球场的长度OD 为18米,位于球场中线处的球网AB的高度2.43米，一队员站在点O 处发球，排球从点O 的正上方1.8米的C 点向正前方飞去，排球的飞行路线是抛物线的一部分，当排球运行至离点O 的水平距离OE 为7米时，到达最高点G ，以O 为原点建立如图所示的平面直角坐标系.(1)若排球运行的最大高度为3.2米，求排球飞行的高度y(单位：米)与水平距离x(单位：米)之间的函数关系式(不要求写自变量x 的取值范围)；(2)在(1)的条件下，这次所发的球能够过网吗?如果能够过网，是否会出界?请说明理由；(3)若队员发球既要过球网，排球又不会出界(排球压线属于没出界)，求二次函数中二次项系数的范围.备用图2023学年第一学期九年级期中学情调研数学参考答案一、选择题（每题3分，共30分）题号12345678910答案CDBACDCABD二、填空题（每题4分，共24分）11.2112.()83，13.50°14.32<<x －15.316.27三、解答题（共8小题，66分）17.解：（1）二次函数的表达式为()()232131212+=+=x x x x y －－－－········4分（2）另一个交点坐标：（-3，0）···········2分18.解：（1）（2）问如图：（3）ΔABC 外接圆圆心坐标为(0,3).··········2分每题，共6分19.解：（1）a=123，b=0.404；··········1分每空，共2分（2）0.4·········1分（3）0.6·········1分（4）15个·········2分20.解：（1）∵=∴+=+∴=∴AB=CD···········3分（2）如图，连结OM.过点O 作OE ⊥AB 于点E ，OF ⊥CD 于点F.由AB=CD ，得AE=BE=CF=FD.∴OE=OF.又OM=OM ，∴Rt∆OEM ≌Rt∆OFM.∴EM=FM ，∴AE+EM=FD+FM ，即AM=DM.···········5分补充：若有利用圆周角定理知识的，例连AD ，证∆AMB 为等腰三角形或连结AC ，BD 证三角形全等的皆可.21.解：（1）∵OC ⊥AB ，∴AD=21AB=9.连结AO ，设AO=r ，得：()22239－r r +=15=r .∴圆弧形拱桥的半径为15米.···········4分（2）∵ED=2，OD=12∴EO=14.且MN ⊥CO ，∴ME=21MN.连结OM ，OM=15.∴ME=329141522>=－，∴该货船可以顺利通过.···········4分22.解：（1）∵y 为x 的二次函数，∴1≠k .···········1分∵函数图象与x 轴有交点，∴0≥Δ；即：()()0≥2k 1-k 4-4k Δ2+=解得：2≤k .···········2分综上，k 的取值范围为：2≤k 且1≠k .···········1分（2）∵函数图象与x 轴有两个交点，∴2<k 且1≠k .又022=－－k k ，∴()舍21=k ，12－=k ∴1－=k .···········3分（3）即当11≤≤x －时，求1222++=x x y －的范围.对称轴21=x 时，23max =y ；1－=x 时，3in －=m y ；∴y 的取值范围为：23≤≤3y －.···········3分23.解：（1）在∆OAB 和∆OAC 中∵OA=OA ，AB=AC ，OB=OC ，∴∆OAB ≌∆OAC （SSS ）···········2分（2）由（1）得：∠OAB=∠OAC=∠OBA ∴∠BAD=∠OAB+∠OAC=2∠ABD ∵BA=BD∴∠BDA=∠BAD=2∠ABD在∆ABD 中，∵∠BDA+∠BAD+∠ABD=180°，即5∠ABD=180°∴∠ABD=36°∴∠AOB=108°,∴的度数为108°.···········3分（3）①当∠ODC=90°时，如图：∵BD ⊥AC ，OA=OC ，∴AD=DC ，∴BA=BC=AC ，∴∆ABC 是等边三角形，在Rt∆OAD 中，∵OA=1，∠OAD=30°，∴OD=21OA=21，∴AD=2322=OD OA －，∴BC=AC=2AD=3.···········3分②当∠COD=90°时，如图：∆BOC 是等腰直角三角形，∴BC=2.···········2分综上，BC=3或2.24.解：（1）∵排球运行至离开点O 的水平距离OE 为7m 时，到达的最大高度为3.2m ，∴抛物线的顶点坐标为（7，3.2）.设抛物线的解析式为()2.372+=－x a y ,∵抛物线过点C （0，1.8），∴()2.3708.12+=－a ,∴351－=a .∴()2.373512+=－－x y .···········4分（2）当x=9时，()43.23542.32.3793512>=+=－－－y .当x=18时，()0351212.32.37183512<=+=－－－y .∴这次发球可以过网且不出边界.···········3分（3）设抛物线的解析式为()k x a y +=27－,代入点C （0，1.8），得：49a+k=1.8∴k=1.8-49a ，···········1分此时，抛物线得解析式为()a x a y 498.172－－+=,根据题意，不过边界时有：()0498.17182≤+a a －－,解得：0.025≤－a ,···········2分要使排球过界：()43.2498.1792>+a a －－,解得：0.014－<a ,综上，a 的取值范围为0.025≤－a .···········2分。
孝感市八校联谊2025届九年级数学第一学期期末统考试题含解析
孝感市八校联谊2025届九年级数学第一学期期末统考试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题（每题4分，共48分）1．反比例函数y ＝(k≠0)的图象经过点(2，-4)，若点(4，n)在反比例函数的图象上，则n 等于( )A ．﹣8B ．﹣4C ．﹣D ．﹣22．布袋中有红、黄、蓝三种颜色的球各一个，从中摸出一个球之后不放回布袋，再摸第二个球，这时得到的两个球的颜色中有“一红一黄”的概率是（ ）A ．16B ．29C ．13D ．233．一个圆锥的母线长为10，侧面展开图是半圆，则圆锥的侧面积是（）A ．100πB ．50πC ．20πD ．10π4．如图，在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝8，BC ＝9，将△ABC 沿图中的线段剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．为了让江西的山更绿、水更清，2008年省委、省政府提出了确保到2010年实现全省森林覆盖率达到63%的目标，已知2008年我省森林覆盖率为60.05%，设从2008年起我省森林覆盖率的年平均增长率为x ，则可列方程（ ） A ．()60.51263%x +=B ．()60.51263x +=C ．()260.5163%x += D ．()260.5163x +=6．将分别标有“走”“向”“伟”“大”“复”“兴”汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外完全相同，每次摸球前先搅匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“复兴”的概率是（ ）A ．16B ．115C ．18D ．112 7．在半径为6cm 的圆中,长为6cm 的弦所对的圆周角．．．的度数为（ ） A ．30° B ．60° C ．30°或150° D ．60°或120°8．抛物线y=2（x ﹣1）2+3的对称轴为（ ）A ．直线x=1B ．直线y=1C ．直线y=﹣1D ．直线x=﹣19．一个不透明的盒子装有m 个除颜色外完全相同的球，其中有4个白球.每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子，通过如此大量重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.2左右，则m 的值约为（ ） A ．8 B ．10 C ．20 D ．4010．已知点（x 1，y 1）、（x 2，y 2）、（x 3，y 3）在反比例函数y=-5x 的图象上，当x 1＜x 2＜0＜x 3时，y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ）A ．y 1＜y 3＜y 2B ．y 2＜y 1＜y 3C ．y 3＜y 1＜y 2D ．y 3＜y 2＜y 111．某厂2017年产值3500万元，2019年增加到5300万元.设平均每年增长率为x ，则下面所列方程正确的是（ ） A ．()350015300x +=B ．()530013500x +=C ．()2530013500x +=D ．()2350015300x += 12．由几个相同的小正方体搭成的一个几何体如图所示，从正面看这个几何体得到的平面图形是( )A ．B ．C ．D ．二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，在平面直角坐标系中，ABC ∆和'''A B C ∆是以坐标原点O 为位似中心的位似图形，且点B （3，1），'B ,（6，2），若点'A （5，6），则点A 的坐标为________．14．如图，AB 为O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，点F 在圆上，且DF ＝CD ，BE ＝2，CD ＝8，CF 交AB 于点G ，则弦CF 的长度为__________，AG 的长为____________.15．如果关于x 的一元二次方程210ax bx ++=的一个根是1,x =-则a b -=_______________________．16．已知函数22(1)n y n x -=+是反比例函数，则n 的值为__________．17．若24=16x ，则x ＝__．18．若一元二次方程ax 2﹣bx ﹣2020＝0有一根为x ＝﹣1，则a+b ＝_____．三、解答题（共78分）19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数()1y kx b k 0=+≠的图象与反比例函数()2m y m 0x=≠ 的图象相交于第一、三象限内的()()A 3,5,B a,3-两点，与x 轴交于点C .⑴求该反比例函数和一次函数的解析式；⑵在y 轴上找一点P 使PB PC -最大，求PB PC -的最大值及点P 的坐标；⑶直接写出当12y y >时，x 的取值范围.20．（8分）已知：PA=2，PB ＝4，以AB 为一边作正方形ABCD ，使P 、D 两点落在直线AB 的两侧．(1)如图，当∠APB ＝45°时，求AB 及PD 的长；(2)当∠APB 变化，且其它条件不变时，求PD 的最大值，及相应∠APB 的大小．21．（8分）解方程：（1）x 2－8x ＋6＝0（2）(x -1)2 -3(x -1) =022．（10分）如图，AB 是⊙O 的直径，⊙O 过AC 的中点D ，DE 切⊙O 于点D ，交BC 于E ．（1）求证DE ⊥BC ；（2）若⊙O 的半径为5，BE ＝2，求DE 的长度．23．（10分）如图，一次函数y=x +4的图象与反比例函数y=k x （k 为常数且k ≠0）的图象交于A （﹣1，a ），B 两点，与x 轴交于点C（1）求此反比例函数的表达式；（2）若点P 在x 轴上，且S △ACP =32S △BOC ，求点P 的坐标．24．（10分）若一条圆弧所在圆半径为9，弧长为52π，求这条弧所对的圆心角．25．（12分）一个斜抛物体的水平运动距离为x （m ），对应的高度记为h （m ），且满足h ＝ax 1+bx ﹣1a （其中a ≠0）．已知当x ＝0时，h ＝1；当x ＝10时，h ＝1．（1）求h 关于x 的函数表达式；（1）求斜抛物体的最大高度和达到最大高度时的水平距离．26．如图，已知点D 是ABC 的边AC 上的一点，连接BD.ABD C ∠∠=，AB 6=，4AD =． ()1求证：ABD ∽ACB ；()2求线段CD 的长．参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、D【解析】利用反比例函数图象上点的坐标特征得到4n=1×(-4)，然后解关于n的方程即可．【详解】∵点（1，-4）和点（4，n）在反比例函数y=的图象上，∴4n=1×(-4)，∴n=-1．故选D．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．2、C【解析】解：画树状图如下：一共有6种情况，“一红一黄”的情况有2种，∴P（一红一黄）=26=13．故选C．3、B【分析】圆锥的侧面积为半径为10的半圆的面积．【详解】解：圆锥的侧面积=半圆的面积=2110502ππ⨯⨯=， 故选B ．【点睛】 解决本题的关键是把圆锥的侧面积转换为规则图形的面积．4、B【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．【详解】A 、根据两边成比例，夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误；B 、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确；C 、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误．D 、根据两边成比例，夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误；故选：B ．【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理.5、D【解析】试题解析：设从2008年起我省森林覆盖率的年平均增长率为x ，依题意得60.05%（1+x ）2=1%． 即60.05（1+x ）2=1．故选D ．6、B【分析】根据题意列表得出所有等情况数和两次摸出的球上的汉字是“复”“兴”的情况数，再根据概率公式即可得出答案．【详解】解：根据题意画图如下：共有30种等情况数，其中两次摸出的球上的汉字是“复”“兴”的有2种，则随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“复兴”的概率是21 3015；故选：B．【点睛】此题考查了树状图法或列表法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件；列表法适合两步完成的事件，解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率 所求情况数与总情况数之比．7、C【解析】试题解析：如图，弦AB所对的圆周角为∠C，∠D，连接OA、OB，因为AB=OA=OB=6，所以，∠AOB=60°，根据圆周角定理知，∠C=12∠AOB=30°，根据圆内接四边形的性质可知，∠D=180°-∠C=150°，所以，弦AB所对的圆周角的度数30°或150°．故选C．8、A【解析】解：∵y=2（x﹣1）2+3，∴该抛物线的对称轴是直线x=1．故选A．9、C【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．【详解】由题意可得，4m＝0.2，解得，m＝20，经检验m=20是所列方程的根且符合实际意义，故选：C．【点睛】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．10、C【分析】根据反比例函数为y=-5x ，可得函数图象在第二、四象限，在每个象限内，y 随着x 的增大而增大，进而得到y 1，y 2，y 3的大小关系．【详解】解：∵反比例函数为y=-5x， ∴函数图象在第二、四象限，在每个象限内，y 随着x 的增大而增大，又∵x 1＜x 2＜0＜x 3，∴y 1＞0，y 2＞0，y 3＜0，且y 1＜y 2，∴y 3＜y 1＜y 2，故选：C ．【点睛】本题主要考查反比例函数图象上的点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答． 11、D【分析】由题意设每年的增长率为x ，那么第一年的产值为3500（1+x ）万元，第二年的产值3500（1+x ）（1+x ）万元，然后根据今年上升到5300万元即可列出方程．【详解】解：设每年的增长率为x ，依题意得3500（1+x ）（1+x ）=5300，即()2350015300x +=．故选：D ．【点睛】本题考查列出解决问题的方程，解题的关键是正确理解“利润每月平均增长率为x ”的含义以及找到题目中的等量关系．12、A【解析】根据题意，由题目的结构特点，依据题目的已知条件，正视图是有两行，第一行两个，第二行三个且右对齐，从而得出答案.即可得到题目的结论.【详解】从正面看到的平面图形是：，故选A.【点睛】此题主要考查的是简单的组合体的三视图等有关知识，题目比较简单，通过考查，了解学生对简单的组合体的三视图等知识的掌握程度.熟练掌握简单的组合体的三视图是解决本题的关键.二、填空题（每题4分，共24分）13、 (2.5，3)【分析】利用点B(3，1)，B′(6，2)即可得出位似比进而得出A 的坐标．【详解】解：∵点B(3，1)，B′(6，2)，点A′(5，6)，∴A 的坐标为：(2.5，3)．故答案为：(2.5，3)．【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．14、485； 83 【分析】如图（见解析），连接CO 、DO ，并延长DO 交CF 于H ，由垂径定理可知CE ，在Rt COE △中，可以求出半径CO 的长；又由DF ＝CD 和垂径定理得1,2OH CF FH CF ⊥=，根据圆周角定理可得CFD COB ∠=∠，从而可知cos CFD ∠，在Rt DHF ∆中可求出FG ，也就可求得CF 的长度；在Rt DHF ∆中利用勾股定理求出DH ，再求出OH DH OD =-，同样地，在Rt OGH ∆中利用余弦函数求出OG ，从而可求得AG OA OG =-.【详解】2BE =，8CD =，CD AB ⊥4CE DE ∴==，CB BD =（垂径定理）连接CO ，设CO r =，则2OE r =-在Rt COE ∆中，222CE OE CO +=解得=5r5CO ∴=，3OE =连接DO 并延长交CF 于HDF ＝CD ，由垂径定理可知，1,2OH CF FH CF ⊥=CFD ∠是CD 所对圆周角，COB ∠是BC 所对圆心角，且CD =2BCCFD COB ∴∠=∠，3cos cos 5CFD COB ∴∠=∠= 8DF CD ==，24cos 5FH DF CFD ∴=⋅∠= 485CF ∴= 由勾股定理得：325DH = 75OH DH OD ∴=-= HOG BOD COB ∠=∠=∠3cos cos 5HOG COB ∴∠=∠=，7cos 3OH OG HOG ∴==∠ 83AG OA OG ∴=-=.【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理、直角三角形中的余弦三角函数，通过构造辅助线，利用垂径定理和圆周角定理是解题关键.15、1-【分析】把x=﹣1代入一元二次方程ax 2+bx+1=0，即可得到a －b 的值．【详解】解：把x=-1代入一元二次方程ax 2+bx+1=0，得a-b+1=0，所以a-b=﹣1．故答案为：﹣1．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．16、1【分析】根据反比例函数的定义列出方程，然后解一元二次方程即可．【详解】解：根据题意得，n 2﹣2＝﹣1且n +1≠0，整理得，n 2＝1且n +1≠0，解得n ＝1．故答案为：1．【点睛】本题考查了反比例函数的定义，反比例函数解析式的一般形式k y x=（k ≠0），也可转化为y ＝kx ﹣1（k ≠0）的形式，特别注意不要忽略k ≠0这个条件．17、2±【分析】用直接开平方法解方程即可.【详解】24=16x , 2=4x ,2x =±,故答案为：2±.【点睛】此题考查一元二次方程的解法，依据方程的特点选择恰当的方法.18、1【分析】由方程有一根为﹣1，将x ＝﹣1代入方程，整理后即可得到a+b 的值．【详解】解：把x ＝﹣1代入一元二次方程ax 2﹣bx ﹣1＝0得：a+b ﹣1＝0，即a+b ＝1．故答案为：1．【点睛】此题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，关键是把方程的解代入方程．三、解答题（共78分）19、⑴15y x=，2y x =+；⑵PB PC -的最大值为()P 0,2 ；⑶5x 0-<<或3x >. 【分析】（1）利用待定系数法，即可得到反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据一次函数y 1=x+2，求得与y 轴的交点P ，此交点即为所求；（3）根据AB 两点的横坐标及直线与双曲线的位置关系求x 的取值范围．【详解】⑴.∵()A 3,5在反比例函数()2m y m 0x =≠上 ∴m 3515=⨯= ∴反比例函数的解析式为15y x =把()B a,3-代入15y x=可求得()a 1535=÷-=- ∴()B 5,3--. 把()()A 3,5,B 5,3--代入y kx b =+为3553k b k b +=⎧⎨-+=-⎩ 解得12k b =⎧⎨=⎩. ∴一次函数的解析式为2y x =+.⑵PB PC -的最大值就是直线AB 与两坐标轴交点间的距离.设直线2y x =+与y 轴的交点为P .令0y =，则20x +=，解得2x =- ，∴()C 2,0-令0x =，则y 022=+=，，∴()P 0,2 ∴22PB 5552=+=,22PB 2222=+=∴PB PC -的最大值为522232-= .⑶根据图象的位置和图象交点的坐标可知：当12y y >时x 的取值范围为;5x 0-<<或3x >.【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，根据点的坐标求线段长，正确掌握反比例函数的性质是解题的关键．20、（1）10AB ， PD=25；（2）P B '的最大值为1 【分析】（1）作辅助线，过点A 作AE ⊥PB 于点E ，在Rt △PAE 中，已知∠APE ，AP 的值，根据三角函数可将AE ，PE 的值求出，由PB 的值，可求BE 的值，在Rt △ABE 中，根据勾股定理可将AB 的值求出；求PD 的值有两种解法，解法一：可将△PAD 绕点A 顺时针旋转90°得到△P'AB ，可得△PAD ≌△P'AB ，求PD 长即为求P′B 的长，在Rt △AP′P 中，可将PP′的值求出，在Rt △PP′B 中，根据勾股定理可将P′B 的值求出；解法二：过点P 作AB 的平行线，与DA 的延长线交于F ，交PB 于G ，在Rt △AEG 中，可求出AG ，EG 的长，进而可知PG 的值，在Rt △PFG 中，可求出PF ，在Rt △PDF 中，根据勾股定理可将PD 的值求出；（2）将△PAD 绕点A 顺时针旋转90°，得到△P'AB ，PD 的最大值即为P'B 的最大值，故当P'、P 、B 三点共线时，P'B 取得最大值，根据P'B=PP'+PB 可求P'B 的最大值，此时∠APB=180°-∠APP'=135°． 【详解】(1)①如图，作AE ⊥PB 于点E ，∵△APE 中，∠APE ＝45°，PA ＝，∴AE ＝PE ＝×＝1， ∵PB ＝4，∴BE ＝PB ﹣PE ＝3，在Rt △ABE 中，∠AEB ＝90°， ∴AB ＝22AE BE +＝．②解法一：如图，因为四边形ABCD 为正方形，可将△PAD 绕点A 顺时针旋转90°得到△P 'AB ，可得△PAD ≌△P 'AB ，PD ＝P 'B ，PA ＝P 'A ．∴∠PAP '＝90°，∠APP '＝45°，∠P 'PB ＝90°∴PP ′＝PA ＝2，∴PD ＝P ′B ＝2PP 2PB ''+＝2224+＝25；解法二：如图，过点P 作AB 的平行线，与DA 的延长线交于F ，与DA 的延长线交PB 于G ．在Rt △AEG 中，可得AG ＝AE cos EAG ∠＝AE cos ABE ∠＝103，EG ＝13，PG ＝PE ﹣EG ＝23． 在Rt △PFG 中，可得PF ＝PG •cos ∠FPG ＝PG •cos ∠ABE ＝105，FG 10在Rt△PDF中，可得，PD＝22PF(AD AG FG)+++＝22101010105153⎛⎫⎛⎫+++⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝25．(2)如图所示，将△PAD绕点A顺时针旋转90°得到△P'AB，PD的最大值即为P'B的最大值，∵△P'PB中，P'B＜PP'+PB，PP′＝2PA＝2，PB＝4，且P、D两点落在直线AB的两侧，∴当P'、P、B三点共线时，P'B取得最大值（如图）此时P'B＝PP'+PB＝1，即P'B的最大值为1．此时∠APB＝180°﹣∠APP'＝135度．【点睛】考查综合应用解直角三角形、直角三角形性质，进行逻辑推理能力和运算能力，在解题过程中通过添加辅助线，确定P′B取得最大值时点P′的位置．21、（1）x1104，x2104（2）x1=1，x2=1．【分析】（1）根据配方法即可求解；（2）根据因式分解法即可求解．【详解】（1）x2－8x＋6＝0x2－8x＋16＝10（x-1）2＝10x-1=±10 ∴x 1=104+，x 2=-104+（2）(x -1)2 - 3(x -1) =0(x -1)(x -1-3)=0(x -1)(x-1)=0∴x-1=0或x-1=0解得x 1=1,x 2=1．【点睛】此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是熟知其解法的运用．22、（1）证明见解析；（2）DE ＝4【分析】（1）连接OD ，DE 是切线，则OD ⊥DE ，则OD 是△ABC 的中位线，可得OD ∥BC ，据此即可求证； （2）过B 作OD 的垂线，垂足为F ，证明四边形DFBE 为矩形，Rt△OFB 中用勾股定理即可求得DE 的长度.【详解】证明（1）连接OD∵DE 切⊙O 于点D∴OD ⊥DE∴∠ODE ＝90°∵D 是AC 的中点，O 是AB 的中点∴OD 是△ABCD 的中位线∴OD ∥BC∴∠DEC ＝90°∴DE ⊥BC（2）过B 作BF ⊥OD∵BF ⊥OD∴∠DFB ＝90°∴∠DFB ＝∠DEB ＝∠ODE ＝90°∴四边形DFBE 为矩形∴DF ＝BE ＝2∴OF ＝OD －DF ＝5－2＝3∴DE ＝BF ＝4【点睛】本题考查了圆的切线的性质、三角形中位线的判定和性质、矩形的判定和性质、直角三角形的性质，辅助线是关键.23、（1）y=-3x（2）点P （﹣6，0）或（﹣2，0） 【分析】（1）利用点A 在y=﹣x+4上求a ，进而代入反比例函数k y x=求k ． （2）联立方程求出交点，设出点P 坐标表示三角形面积，求出P 点坐标．【详解】（1）把点A （﹣1，a ）代入y=x+4，得a=3，∴A （﹣1，3）把A （﹣1，3）代入反比例函数k y x =∴k=﹣3， ∴反比例函数的表达式为3.y x=-（2）联立两个函数的表达式得 4y x k y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩解得13x y =-⎧⎨=⎩或31x y =-⎧⎨=⎩∴点B 的坐标为B （﹣3，1）当y=x+4=0时，得x=﹣4∴点C （﹣4，0）设点P 的坐标为（x ，0） ∵32ACP BOC S S =△△， ∴()1313441,222x ⨯⨯--=⨯⨯⨯ 解得x 1=﹣6，x 2=﹣2∴点P （﹣6，0）或（﹣2，0）【点睛】本题是一次函数和反比例函数综合题，考查利用方程思想求函数解析式，通过联立方程求交点坐标以及在数形结合基础上的面积表达．24、50n =【分析】根据弧长公式计算即可. 【详解】∵180n r l π=， 5,92l r π==， ∴592180n ππ⨯=， ∴50n =【点睛】此题考查弧长公式，熟记公式并掌握各字母的意义即可正确解答.25、（1）h ＝﹣x 1+10x+1；（1）斜抛物体的最大高度为17，达到最大高度时的水平距离为2．【分析】（1）将当x ＝0时，h ＝1；当x ＝10时，h ＝1，代入解析式，可求解；（1）由h ＝−x 1＋10x ＋1＝−（x−2）1＋17，即可求解．【详解】（1）∵当x ＝0时，h ＝1；当x ＝10时，h ＝1．∴222100102a a b a=-⎧⎨=+-⎩ 解得：110a b =-⎧⎨=⎩∴h 关于x 的函数表达式为：h ＝﹣x 1+10x+1；（1）∵h ＝﹣x 1+10x+1＝﹣（x ﹣2）1+17，∴斜抛物体的最大高度为17，达到最大高度时的水平距离为2．【点睛】本题考查了二次函数的应用，求出二次函数的解析式是本题的关键．26、（1）参见解析；（2）1．【分析】（1）利用两角法证得两个三角形相似；（2）利用相似三角形的对应线段成比例求得CD长．【详解】（1）∵∠ABD＝∠C，∠A＝∠A（公共角），∴△ABD∽△ACB；（2）由（1）知：△ABD∽△ACB，∵相似三角形的对应线段成比例，∴ADAB=ABAC，即46＝64cD，解得：CD＝1．。
山东省菏泽市曹县八校联考2024-2025学年六年级上学期11月期中数学试题
山东省菏泽市曹县八校联考2024-2025学年六年级上学期11月期中数学试题一、单选题1．对于1千克棉花的34和3千克铁的14，以下结论正确的是（）A ．棉花重B ．铁重C ．一样重D ．无法比较2．对于1千克棉花的3/4和3千克铁的1/4，以下结论正确的是（）A ．9倍B ．6倍C ．3倍D ．1倍3．如果1:9A B =，那么()()9:9A B ⨯⨯=（）．A ．1B ．19C ．1:1D ．无法确定4．如图，颜色最重的部分所表示的意义正确的是（）A ．15米的2倍是多少B ．1米的15是多少C ．1米的12是多少D ．15米的12是多少5．一种彩票的中奖率为1%，若小明同学买了100张这种彩票，则下列事件一定发生的是（）A ．会中奖1次B ．中奖次数多于1C ．不中奖D ．以上情况，皆有可能6．关于下列结论：①13的倒数是3；②乘积是1的两个数互为倒数；③0的倒数是0．其中判断全部正确的组合为（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③7．某校六年级一班有学生48人，这个班男、女生人数的比不可能的是（）A ．5:4B ．1:1C ．7:5D ．9:78．对于式子()30a a ÷≠，下列四个变形结果：①3a ；②3a ；③3:a ；④13a ⨯，正确的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个9．用一根24厘米长的铁丝围成一个直角三角形，若使三条边长的比是4:5:3，则这个三角形的面积是（）A．240cm B．224cm C．230cm D．以上都有可能10．从下面A、B、C、D四个袋子中任意摸出一个球，若摸出蓝球就算获奖．那么从四个袋子中摸球获奖的可能性比较大的袋子是（）A．8个黄球，4个蓝球B．6个黄球，6个蓝球C．7个黄球，5个蓝球D．4个黄球，8个蓝球11．若一种彩电降价15后的价格为960元，则这种彩电原价是（）A．19605÷B．196015⎛⎫÷+⎪⎝⎭元C．196015⎛⎫÷-⎪⎝⎭元D．()96051⨯-元12．我国《国旗制法说明》规定，国旗旗面为红色，长方形，其长与高为三与二之比．以下各组尺度：①长288公分，高192公分；②长240公分，高160公分；③长192公分，高128公分：④长144公分，高96公分，符合国旗之通用尺度的组数为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题13．单位换算：13小时=分，58升=毫升．14．比较大小，在○里填上“>”“<”或“=”：9342⨯94，383387÷，分别填、．15．算式互化：84040:÷=()4=⨯()．16．若一个三角形的三个内角度数的比是10:5:3，则这个三角形的形状为三角形，其最小内角的度数是度．17．一个不透明的袋子中装有白球与黑球，现任意摸一个球，若摸出白球比黑球的可能性小，则袋中白球数黑球数（填“>”“<”或“=”）．18．如图，涂色部分与空白部分的面积比是．19．一个饲养场，养鸭1200只，若养的鸡比鸭多35，则养的鸡有只．20．如果图中阴影部分的面积是75平方厘米，那么空白部分的面积是平方厘米．三、解答题21．算理考查(1)分数乘分数的法则是什么？并举例说明．(2)比的基本性质是什么？并举例说明．22．运算考查(1)5365÷；(2)6071416105÷⨯．23．方程求解(1)7493x =；(2)3155x ÷=．24．数形结合(1)请根据图形信息，列式计算这本书还剩多少页未看？(2)请在长方形图中，用左右斜线表示3243⨯的含义．25．实际应用某修路队修一条公路，第一天修了全长的310，第二天修了全长的35，第二天比第一天多修了12千米，问这条公路全长多少千米？（先画线段图分析，再解答）26．实际应用：小山同学在看一本故事书，已看页数比未看页数少36页，已看页数与未看页数的比3:5，那么这本书一共有多少页？。
安徽省皖南八校2024届高三4月第三次联考数学试卷含答案
2024届“皖南八校”高三第三次大联考数学（答案在最后）考生注意：1本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.3.本卷命题范围：高考范围.一､选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知集合(){}3log 2A x y x ==-，集合{}05B y y =∈≤≤Z ，则A B = （）A.∅B.()2,5 C.[]2,5 D.{}3,4,5【答案】D 【解析】【分析】直接根据集合定义求出{}2A x x =>，{}0,1,2,3,4,5B =，再求交集.【详解】由于(){}{}3log 22A x y x x x ==-=>，{}{}050,1,2,3,4,5B y y =∈≤≤=Z .故{}3,4,5A B = .故选：D.2.抛物线214y x =的焦点坐标为（）A.()1,0B.()0,1 C.1,016⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】将抛物线方程化为标准方程，再求焦点坐标即可.【详解】由214y x =可得24x y =，其焦点坐标为()0,1，故选：B3.已知向量)a =，向量(b = ，则向量a在向量b 上的投影向量为（）A.)B.3,0,22⎛⎫⎪⎪⎝⎭C.(D.3,0,22⎛⎫⎪⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】根据数量积以及模的坐标表示，求出数量积以及模，然后根据投影向量的概念，即可得出答案.【详解】向量a在向量b上的投影向量为3,0,2222a b b b bb ⎛⎫⋅⋅=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭.故选：B.4.2024年3月22日国家文物局在北京公布2023年《全国十大考古新发现》，安徽省皖南地区郎溪县磨盘山遗址成功入选并排名第三，经初步确认，该遗址现存马家浜文化区､崧泽文化区､良渚文化区､钱山漾文化区四大区域，总面积约6万平方米.该遗址延续时间长､谱系完整，是长江下游地区少有的连续时间近4000年的中心性聚落.对认识多元化一体中华文明在皖南地区的演进方式具有重要的价值，南京大学历史学院赵东升教授团队现在对该遗址四大区域进行考古发掘，现安排包含甲､乙在内的6名研究生同学到这4个区域做考古志愿者，每人去1个区域，每个区域至少安排1个人，则甲､乙两人安排在相同区域的方法种数为（）A.96B.144C.240D.360【答案】C 【解析】【分析】6名同学分成4组，再把4组人分到4个区域，【详解】先将6名同学分成4组，则4个组的人数为1,1,2,2或1,1,1,3，当甲､乙在2人组，再从另外4人任选2人组成一组，其余的一人一组，有24C 种分组方法；当甲､乙在3人组，甲､乙与另外4人中的1人组成一组，其余的一人一组，有14C 种分组方法，再把4组人分到4个区域，所以安排方法种数为()214444C C A 240+=.故选：C.5.“ππ,4k k ϕ=-+∈Z ”是“函数()tan y x ϕ=+的图象关于π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称”的（）A .充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】若函数()tan y x ϕ=+的图象关于π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称，根据正切函数的对称性可得ππ,42k k ϕ=-+∈Z ，再根据充分、必要条件结合包含关系分析求解.【详解】若函数()tan y x ϕ=+的图象关于π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称，则ππ,42k k ϕ+=∈Z ，解得ππ,42k k ϕ=-+∈Z ，因为π|π,4k k ϕϕ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭Z 是ππ|,42k k ϕϕ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭Z 的真子集，所以“ππ,4k k ϕ=-+∈Z ”是“函数()tan y x ϕ=+的图象关于π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称”的充分不必要条件.故选：A.6.托马斯•贝叶斯在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：()()()()()1i i i nj j j P A P B A P A B P A P BA ==∑∣∣∣，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中()()1njjj P A P BA =∑∣称为B 的全概率.春夏换季是流行性感冒爆发期，已知,,A BC 三个地区分别有3%,6%,5%的人患了流感，且这三个地区的人口数之比是9:8:5，现从这三个地区中任意选取1人，若选取的这人患了流感，则这人来自B 地区的概率是（）A.0.25B.0.27C.0.48D.0.52【答案】C 【解析】【分析】本题利用题目信息给出的贝叶斯公式，结合全概率公式即可求解.【详解】记事件M 表示“这人患了流感”，事件123,,N N N 分别表示“这人来自,,A B C 地区”，由题意可知：()()()123985,,,222222P N P N P N ===()10.03,P M N =∣()20.06P M N =∣，()30.05P M N =∣，()()()()()()()112233P M P N P M N P N P M N P N P M N =++=∣∣∣98510.030.060.0522222222⨯+⨯+⨯=故()()()()22280.06220.48122P N P M N P N M P M ⨯===∣∣.故选：C .7.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，内部有一个底面垂直于1AC 的圆锥，当该圆锥底面积最大时，圆锥体积最大为（）A.B.12πC.π2D.【答案】C 【解析】【分析】取111111,,,,,AB AD DD D C C B B B 的中点，记为,,,,,M N E F P G ，当圆锥底面内切于正六边形MNEFPG 时该圆锥的底面积最大，结合圆锥体积公式计算即可得解.【详解】如图所示，取111111,,,,,AB AD DD D C C B B B 的中点，记为,,,,,M N E F P G ，易知六边形MNEFPG 为正六边形，此时1AC 的中点O 在正六边形的中心，当圆锥底面内切于正六边形MNEFPG 时该圆锥的底面积最大，设此时圆锥底面圆半径为r，因为MN =22r MN ==，圆锥底面积为23ππ2S r ==，圆锥顶点为1A （或C ）处，此时圆锥体积最大，此时11132223ππ33222V S A O =⋅=⨯⨯=.故选：C.8.丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.若12,,,n x x x 为(),a b 上任意n 个实数，满足()()()1212n n f x f x f x x x x f n n ++++++⎛⎫≤⎪⎝⎭，则称函数()f x 在(),a b 上为“凹函数”.也可设可导函数()f x 在();a b 上的导函数为()(),f x f x ''在(),a b 上的导函数为()f x ''，当()0f x ''>时，函数()f x 在(),a b 上为“凹函数”.已知12,,,0,2n x x x n >≥ ，且121n x x x +++= ，令1212111n nx x xW x x x =+++--- 的最小值为n a ，则2024a 为（）A.20232024B.20242023C.20242025D.20252024【答案】B 【解析】【分析】记函数()()11,0,111x f x x x x==-∈--，先判断函数的凹凸性，然后利用琴生不等式得12121111111n n x x x n n x x x n⎛⎫+++≥---⎝⎭- ，即可求解.【详解】记函数()()11,0,111x f x x x x==-∈--，首先证明其凹凸性：()()()224321112,0(1)(1)(1)(1)x f x f x x x x x '''---=-=∴=-=>---- ，()111f x x∴=--在()0,1上为“凹函数”.由琴生不等式，得()()()1212n n f x f x f x x x x f n n ++++++⎛⎫≤⎪⎝⎭，即12121111111n n x x x nn x x x n⎛⎫+++≥⎪---⎝⎭- .所以12121111n n x x x nW x x x n =+++≥---- ，即当121n x x x n ==== 时，W 取最小值1n n a n =-，所以202420242023a =.故选：B.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列关于概率统计的说法中正确的是（）A.某人在10次答题中，答对题数为(),10,0.7X X B ~，则答对7题的概率最大B.设随机变量X 服从正态分布()0,1N ，若()1P X p ≥=，则(10)12P X p-<<=-C.已知回归直线方程为ˆˆ9ybx =+，若样本中心为()3,24-，则ˆ5b =-D.两个变量,x y 的相关系数为r ，则r 越小，x 与y 之间的相关性越弱【答案】AC 【解析】【分析】对于A ，可利用不等式法求解；对于B ，根据正态分布曲线的对称性即可验算；对于C ，将样本中心坐标代入回归方程即可验算；对于D ，由相关系数的意义即可判断.【详解】对于()A,10,0.7X B ~ ，故()1010C 0.70.3kkkP X k -==⋅，令()1011111010101191010C 0.70.3C 0.70.3,Z C 0.70.3C 0.70.3k k k k k kkk k k k kk -----++-⎧⋅≥⋅∈⎨⋅≥⋅⎩，解得6.77.7k ≤≤，故7k =，故A 正确；对于()1B,1,(10)(01)2P X p P X P X p ≥=∴-<<=<<=- ，故B 错误；对于C ，回归直线必过样本中心，可得ˆ2439b=-+，解得ˆ5b =-，故C 正确；对于D ，两个变量,x y 的相关系数为,r r 越小，x 与y 之间的相关性越弱，故D 错误.故选：AC.10.复数i z x y =+（,,i x y ∈R 为虚数单位）在复平面内对应点(),Z x y ，则下列为真命题的是（）A.若11z z +=-，则点Z 在圆上B.若复数z 满足228z z ++-=，则复数z 在复平面内所对应点的轨迹是椭圆C.若复数z 满足2i 2i 2z z +--=，则复数z 在复平面内所对应点的轨迹是双曲线D.若11x z +=-，则点Z 在抛物线上【答案】BD 【解析】【分析】利用复数的模的几何意义，结合垂直平分线的定义，椭圆，双曲线的定义可判断A ，B ，C ，把点(),Z x y 的坐标代入11x z +=-，可得轨迹方程判断D .【详解】1z +=，表示点(),x y 与()1,0-之间的距离，1z -=(),x y 与()1,0之间的距离.对于A ，记()()121,0,1,0,11F F z z -+=-，表示点(),Z x y 到12F F ､距离相等，则点Z 在线段12F F 的中垂线上，故A 错误；对于B ，记()()122,0,2,0F F -，由228z z ++-=，得121284||ZF ZF F F +=>=，这符合椭圆定义，故B 正确；对于C ，记()()120,2,0,2F F -，若12122i 2i 2,2||z z ZF ZF F F +--=-=<，这符合双曲线的一支，故C 错误；对于D ，若11x z +=-，则222(1)(1)x x y +=-+，整理得24y x =，为抛物线，故D 正确.故选：BD.11.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()22024f x f x f ++=，且()21f x +是奇函数，则（）A.()f x 的图象关于点()1,0对称B.()()04f f =C.()21f =D.若1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则202411 02i if i =⎛⎫-= ⎪⎝⎭∑【答案】ABD 【解析】【分析】对A ：由()21f x +是奇函数可得()()110f x f x -+++=，即可得；对B ：由()()()22024f x f x f ++=，借助赋值法计算即可得解；对C ：结合所得可得函数的周期性，结合周期性与赋值法计算即可得；对D ：结合函数周期性，借助赋值法算出一个周期内的值即可得.【详解】对A ：由题意知，()()2121f x f x -+=-+，则()()110f x f x -+++=，所以()f x 图象的对称中心为()1,0，故A 正确；对B ：()()()()()()22024,422024f x f x f f x f x f ++=+++=，两式相减得()()4f x f x +=，所以()()40f f =，故B 正确；对C ：由B 选项可得，()f x 的周期为4，又20244506=⨯，故()()()()220240f x f x f f ++==，令0x =得，()()()200f f f +=，得()2f =0，故C 错误；对D ：因为()()020f f +=，又()20f =，故()()()00,110f f x f x =-+++=中，令12x =得，311222f f ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由()()20f x f x ++=，得511731,222222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又()f x 的周期为4，则()()()()13574144244344442222n f n n f n n f n n f n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()1111414243442222n n n n ⎛⎫⎛⎫=+⨯++⨯-++⨯-++⨯⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()14142434402n n n n ⎡⎤=⨯+-+-+++=⎣⎦，所以20241102i if i =⎛⎫-= ⎪⎝⎭∑，故D 正确.故选：ABD.【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论：（1）关于对称：若函数()f x 关于直线x a =轴对称，则()(2)f x f a x =-，若函数()f x 关于点(),a b 中心对称，则()2(2)f x b f a x =--，反之也成立；（2）关于周期：若()()f x a f x +=-，或1()()f x a f x +=，或1()()f x a f x +=-，可知函数()f x 的周期为2a .三､填空题：共3小题，每小题5分，共15分.12.从安徽省体育局获悉：第四届长三角体育节将于4月至9月在安徽省宣城市举办.据介绍，本届体育节以“绿色､健康､融合､共享”为主题，共设置山水生态类､快乐时尚类､传统体育类共21项赛事.下表是4月8日安徽代表队传统跳绳项目8位选手每分钟跳绳个数：选手选手1选手2选手3选手4选手5选手6选手7选手8个数141171161147145171170172则跳绳个数的第60百分位数是__________.【答案】170【解析】【分析】本题依据百分位数的概念，先把数据从小到大排好，然后计算其位置数860% 4.8i =⨯=，取整数5，即第5位数据即为所求.【详解】先把8位选手跳绳个数的数据按从小到大排列：141,145,147,161,170,171,171,172，然后计算860% 4.8i =⨯=，取整数5，故跳绳个数的第60百分位数是从小到大排列的第5个数，即170.故答案为：170.13.25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为______．【答案】30【解析】【分析】建立组合模型求解【详解】25()x x y ++表示5个因式2x x y ++的乘积，在这5个因式中，有2个因式选y ，其余的3个因式中有一个选x ，剩下的两个因式选2x ，即可得到含52x y 的项，即可算出答案．25()x x y ++表示5个因式2x x y ++的乘积，在这5个因式中，有2个因式选y ，其余的3个因式中有一个选x ，剩下的两个因式选2x ，即可得到含52x y 的项，故含52x y 的项系数是253221C C C 30⋅⋅=.故答案为：3014.椭圆2222:1(0)C bb x a a y +>>=的左､右顶点分别为,A B ，点P 在椭圆上第一象限内，记,PAB PBA αβ∠=∠=，存在圆N 经过点,,P A B ，且0,tan tan 8NA NB αβ⋅=+=，则椭圆C 的离心率为__________.【答案】223##223【解析】【分析】根据给定条件，利用和角的正切求得9PB PA k k ⋅=-，再设出点P ，结合斜率的坐标公式求出22b a即可求出离心率.【详解】显然直线,PA PB 斜率都存在，且tan ,tan PA PB k k αβ==-，由0NA NB ⋅=，得190,452ANB APB ANB ∠∠∠===，则tan tan tan tan tan tan()11tan tan 1PB PAAPB k k αβαβαβαβ++∠=-+=-=-=-⋅+⋅，而tan tan 8αβ+=，于是9PB PAk k ⋅=-，设00(,)P x y ，则222202()b by a x -=，因此220002220009PA PBy y y a k k x b x b x b b ⋅=⋅==-=-+--，解得2219b a =，所以椭圆C 的离心率为222222213a b b e a a -==-=.故答案为：223【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：①定义法：通过已知条件列出方程组，求得,a c 得值，根据离心率的定义求解离心率e ；②齐次式法：由已知条件得出关于,a c 的二元齐次方程，然后转化为关于e 的一元二次方程求解；③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.四､解答题：共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且22cos 0b c a C +-=.（1）求角A ；（2）射线AB 绕A 点旋转90 交线段BC 于点E ，且1AE =，求ABC 的面积的最小值.【答案】（1）2π3A =（2）233【解析】【分析】（1）借助正弦定理将边化角后，利用三角形内角和公式及两角和的正弦公式计算即可得；（2）借助等面积法计算可得122bc c b =+，利用基本不等式可得83bc ≥，利用面积公式计算即可得.【小问1详解】22cos b c a C += ，由正弦定理得2sin sin 2sin cos B C A C +=，则()2sin sin 2sin cos A C C A C ++=，即2sin cos 2cos sin sin 2sin cos A C A C C A C ++=则2cos sin sin 0A C C +=，sin 0C > 且()0,πA ∈，1cos 2A ∴=-，2π3A ∴=；【小问2详解】由2π3BAC ∠=和AB AE ⊥，可知2πππ326CAE ∠=-=，因为ABC AEB AEC S S S =+ ，所以111sin sin sin 222bc BAC c AE BAE AE CAE ∠∠∠=⋅⋅+⋅⋅，又因为1AE =，所以2πππsinsin sin 326bc c b =+，即3122bc c b =+，又122bc c b =+≥，当且仅当12c b =，即,33b c ==时，等号成立，所以83bc ≥，所以118sin 22323ABC S bc BAC ∠=≥⨯⨯=，所以ABC 的面积的最小值为3.16.如图，在四棱锥P ABCD -中，PBC 为等边三角形，底面ABCD 是矩形，平面PBC ⊥平面,,ABCD O E 分别为线段,BC PA 的中点，点F 在线段PB 上（不包括端点）.（1）若23PF PB =，求证：点,,,O D E F 四点共面；（2）若22BC AB ==，是否存在点F ，使得EF 与平面PCD 所成角的正弦值为13，若存在，求出PF BF ，若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在，12PF BF =或2PFBF=【解析】【分析】（1）方法1：利用向量的线性运算结合图形关系得到221333P PO PE P F D =+-，即可证明；方法2：过P 作直线l 与AD 平行，延长DE 与l 交于点G ，连接OG ，再利用平行线段对应成比例得到23PF PB =即可证明；（2）先由面面垂直的性质证明PO ⊥平面ABCD ，再建系，找到平面PCD 的法向量和EF，再利用线面角的公式求出k 值即可.【小问1详解】证明：方法1：()()222121221333333333PF PB PO OB PO DA PO PA PD PO PE PD ==+=+=+-=+-，系数和为1，根据平面向量共线定理可知,,,O D E F 四点共面.方法2：过P 作直线l 与AD 平行，延长DE 与l 交于点G ，连接OG .因为底面ABCD 是矩形，O 是BC 的中点，所以AD BC ，且2AD OB =.所以l BC ，则直线l 与直线PB 相交，记交点为F '.因为E 是PA 的中点，可得PG AD =，则2PG OB =，所以2PF BF '='.因为23PF PB =，所以点F '即点F ，所以,,,O D E F 四点共面.【小问2详解】因为,PB PC O =是BC 的中点，所以PO BC ⊥，又平面PBC⊥平面ABCD ，平面PBC ⋂平面ABCD BC =，PO ⊂平面PBC ，所以PO ⊥平面ABCD .取AD 中点Q ，连接OQ ，易知,,OQ OC OP 两两相互垂直，如图，分别以,,OQ OC OP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()()()()(1,1,0,0,1,0,0,1,0,1,1,0,0,0,A B C D P --，()()(0,2,0,1,0,0,0,1,AD CD CP ===-.设平面PCD 的法向量为(),,a x y z =，则0,0,a CD a CP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即00x y =⎧⎪⎨-=⎪⎩，令1z =，则y =，所以()a = .设(01)PFk k PB=<<，则((11110,1,1,1,,,22222EF PF PE k PB PA k k ⎛⎫=-=-=---=-- ⎪ ⎪⎝⎭.设EF 与平面PCD 所成角为θ，则sin cos ,13EF aEF a EF aθ⋅===⋅，解得13k =或23k =，则12PF BF =或2PFBF=.17.已知函数()2(0,1)xf x ax a a =->≠.（1）若e a =，求()f x 在0x =处的切线方程；（2）若函数()f x 有2个零点，试比较ln a 与12e的大小关系.【答案】（1）10x y -+=（2）1ln 2ea <【解析】【分析】（1）求出原函数的导数，即可求出切线的斜率，再求出切点坐标，根据点斜式方程即可求得切线方程；（2）将函数的零点问题转化为两个函数交点的问题，再通过构造函数并求出其导数来确定极值和最值，结合函数图像分析，得出不等式，从而解决问题.【小问1详解】当()()22e,e,2e 1xx a f x x f x ='==--，所以()01f '=，又()01f =，所以切线方程为1y x -=，即10x y -+=.【小问2详解】函数()f x 有2个零点等价于方程20x a x -=有两个根，即22ln ln ln 2ln ln 2ln xx xax a x x a x a x=⇒=⇒=⇒=有两个根，令()ln x h x x =，则()21ln x h x x -'=，令()21ln 0xh x x'-==e x ⇒=，当()0,e x ∈时，()0h x '>，当()e,x ∞∈+时，()0h x '<，所以()h x 在()0,e 上单调递增，在()e,∞+上单调递减，所以()max 1()e eh x h ==，当0x →时，()h x ∞→-，当x →+∞时，()0h x →，所以要使得ln 2ln x a x =有两个根，则12ln 0,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即12ln e a 0＜＜，所以1ln 2ea <.18.现有甲､乙两个不透明盒子，都装有1个红球和1个白球，这些球的大小､形状､质地完全相同.（1）若从甲､乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中，()*n n ∈N次这样的操作后，记甲盒子中红球的个数为n X .求1X 的分布列与数学期望；（2）现从甲中有放回的抽取()3n n ≥次，每次抽取1球，若抽取次数不超过n 次的情况下，抽取到2次红球，则停止抽取，一直抽取不到2次红球，第n 次抽取完也停止抽取，令抽取停止时，抽取的次数为()2,3,4,,Y Y n = ，求Y 的数学期望()E Y ，并证明：12(1)9()24n kk k k E Y -=--≤∑.【答案】（1）分布列见解析，()11=E X （2）2112(1)(),22n kn k k k n E Y --=-=+∑证明见解析【解析】【分析】（1）由题意可知1X 的所有可能取值为0,1,2，易求得()()()1110,1,2P X P X P X ===，可得分布列，计算可求数学期望.（2）当Y n <时，()()2111111C,2,3,4,,1,32222k k k k P Y k k n n ---⎛⎫==⨯⨯==-≥ ⎪⎝⎭，当Y n =时，()2311221,3222n n P Y n n --⎛⎫==-+++≥ ⎪⎝⎭ ，利用错位相减法可求231122222n n n S --=+++ ，进而211122(1)()()(),22n n kn k k k k n E Y kP Y k nP Y n ---==-==+==+∑∑利用单调性可证明结论.【小问1详解】由题意可知1X 的所有可能取值为0,1,2，且()()()111111111111110,1,222422222224P X P X P X ==⨯===⨯+⨯===⨯=，1X 的概率分布表如下：1X 012P141214()11110121424E X =⨯+⨯+⨯=.【小问2详解】当Y n <时，()()2111111C ,2,3,4,,1,32222k k k k P Y k k n n ---⎛⎫==⨯⨯==-≥ ⎪⎝⎭，当Y n =时，()2311221,3222n n P Y n n --⎛⎫==-+++≥ ⎪⎝⎭ ，记231122222n n n S --=+++ ，则3411222222n n n S -=+++ ，两式相减得2311111112214212222222212n n n n n n n n nS ----=+++-=-=-- ，()1111,11222n n n n n n n S P Y n ---∴=-∴==-+=.所以211122(1)()()(),22n n kn k k k k n E Y kP Y k nP Y n ---==-==+==+∑∑，记2112(1)()(3)22n n kn k k k n a E Y n --=-=-=≥∑，则2221(1)2(1)222n n n nn n n a a ++---+-==，当3n ≥时，2(1)202nn --+<，所以1n n a a +<，且394a =，所以12(1)9()24n kk k k E Y -=--≤∑成立.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用错位相减法求出112n n n S -=-，代入得到21(3)2n n n a n -=≥，再计算1n n a a +-得到其单调性即可.19.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是平面内动点M 与两定点,Q P 的距离的比值(0,1)MQ MPλλλ=>≠是个常数，那么动点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线PQ 上.已知动点M 的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为222x y +=，定点分别为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点F 与右顶点A ，且椭圆C 的离心率为12e =.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，过点F 斜率为(0)k k <的直线l 与椭圆C 相交于,B D （点B 在x 轴上方）两点，点,S T 是椭圆C 上异于,BD 的两点，SF 平分,BSD TF ∠平分BTD ∠.①求BT DT的取值范围；②将点,,S F T 看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若SFT △外接圆的周长为，求直线l 的方程.【答案】（1）22143x y +=（2）①()1,3BT DT∈；②y =【解析】【分析】（1）方法1，利用特殊值法，求得椭圆方程；方法2，利用定义整理得2222222222011c a a c x y x λλλλ--+++=--，再根据条件列式求得椭圆方程；方法3，利用定义进行整理，由MF MAλ=为常数，求得系数，得到椭圆方程；（2）①令直线BD 的方程为：1(0)x my m =+<，与椭圆方程联立，设()()()112212,,,,B x y D x y x x <.则12122269,3434m y y y y m m -+=-=++，再令BF FD λ= ，即12y y λ=-，代入韦达定理得222(1)434m m λλ-=+，可求BT DT 的范围；②由①知，SB TB BF SDTDDF==，由阿波罗尼斯圆定义知，,,S T F 在以,B D 为定点的阿波罗尼斯圆上，设该圆圆心为1C ，半径为r ，与直线l 的另一个交点为N ，则有BF DF r BF DF⋅=-，进而可得r =，利用面积可求m,进而可求直线l 的方程.【小问1详解】方法1：令()M =，且2a c =，解得21c =，22224,3a b a c ∴==-=，椭圆C 的方程为22143x y +=.方法2：设(),M x y，由题意MF MAλ==（常数），整理得：2222222222011c a a c x y x λλλλ--+++=--，故222222220121c a a c λλλλ⎧-=⎪⎪-⎨-⎪=-⎪-⎩，又12c a =，解得：2,1a c ==.2223b a c ∴=-=，椭圆C 的方程为22143x y +=.方法3：设(),M x y ，则222x y +=.由题意MF MA==MFMA 为常数，2222c c a a +∴=+，又12c a =，解得：224,1a c ==，故2223b a c =-=，∴椭圆C 的方程为22143x y +=.【小问2详解】①由角平分线定理知：BT BF DTDF=，以下求BF DF的值，令直线BD 的方程为：1(0)x my m =+<，()2222134690143x my m y my x y =+⎧⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩（该方程的Δ0>恒成立），设()()()112212,,,,B x y D x y x x <.则12122269,3434m y y y y m m -+=-=++，再令BF FD λ=，即12y y λ=-，代入韦达定理得()22122222212222661(1)434349934,,3434m m y y y m m m m y y y m m λλλλ⎧⎧+=--=-⎪⎪-⎪⎪++⇒⇒=⎨⎨--+⎪⎪=-=⎪⎪++⎩⎩，由20m >知，22440,343m m ⎛⎫∈ ⎪+⎝⎭，2(1)410333λλλ-∴<<⇒<<，又0,m BF DF <>，故1λ>，13λ∴<<，即()1,3BT DT ∈.②由①知，SB TB BF SDTDDF==，由阿波罗尼斯圆定义知，,,S T F 在以,B D 为定点的阿波罗尼斯圆上，设该圆圆心为1C ，半径为r ，与直线l 的另一个交点为N ，则有()2*2BT BN r BF BF DF r DTDNr DFBF DF+⋅==⇒=--，而1122BF x ==-，同理2122DF x =-，由①知，()212122268223434m x x m y y m m +=++=-+=++，()()()2212121212241211134m x x my my m y y m y y m -⋅=+⋅+=+⋅++=+，∴由()*式()()121212211211122422411122222x x x x x x r x x x x ⎛⎫⎛⎫---++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⇒==⎛⎫---- ⎪⎝⎭22284121643434mm m--⋅+-++=由圆周长公式：2π2rr=⇒=，2125m=⇒=，0,5m m<∴=-，∴直线l的方程为515x y y=-+⇒=+.【点睛】关键点点睛：本题考查轨迹问题，考查直线与椭圆的位置关系，以及外接圆，新定义的综合应用，属于难题，本题的关键是读懂题意，并根据几何关系进行消参，转化与化归，是本题的关键也是难点.第21页/共21页。
八校数学联考试题及答案
八校数学联考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 若函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1，则f(0)的值为：A. 1B. -1C. 3D. 2答案：A2. 计算以下极限：lim(x→0) (sin(x)/x)的值为：A. 0B. 1C. πD. 2答案：B3. 已知集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∩B的元素个数为：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B4. 若复数z满足|z|=1，则z在复平面上对应的点位于：A. 原点B. 虚轴C. 单位圆上D. 实轴答案：C5. 等差数列{an}的前n项和Sn，若a1=1，d=2，则S5的值为：A. 15B. 10C. 7D. 5答案：A6. 函数y=x^3-3x^2+2的导数为：A. 3x^2-6xB. x^2-3xC. 3x^2-6x+2D. x^3-3x^2+2答案：A7. 计算定积分∫(0到1) x^2 dx的值：A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2答案：B8. 已知双曲线方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，若a=2，b=1，则其渐近线方程为：A. y=±x/2B. y=±xC. y=±2xD. y=±1/2x答案：A9. 计算概率P(A∪B)，若P(A)=0.6，P(B)=0.7，P(A∩B)=0.3，则：A. 0.9B. 0.6C. 0.5D. 0.3答案：A10. 计算二项式系数C(6,3)的值：A. 20B. 15C. 10D. 5答案：A二、填空题（每题4分，共20分）11. 函数f(x)=x^2-4x+3的最小值为________。
答案：012. 已知向量a=(1,2)，b=(3,-1)，则a·b的值为________。
答案：113. 计算tan(45°)的值为________。
答案：114. 已知等比数列{bn}的首项b1=2，公比q=3，则b3的值为________。
内蒙古巴彦淖尔市临河区八校联盟2024届中考联考数学试卷含解析
内蒙古巴彦淖尔市临河区八校联盟2024届中考联考数学试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．天气越来越热，为防止流行病传播，学校决定用420元购买某种牌子的消毒液，经过还价，每瓶便宜0.5元，结果比用原价购买多买了20瓶，求原价每瓶多少元？设原价每瓶x元，则可列出方程为( )A．4200.5x+-420x=20 B．420x-4200.5x+=20C．4200.5x--420x=20 D．420420200.5x x-=-2．下列计算正确的是（）A．a3﹣a2＝a B．a2•a3＝a6C．（a﹣b）2＝a2﹣b2D．（﹣a2）3＝﹣a63．若|a|=﹣a，则a为（）A．a是负数B．a是正数C．a=0 D．负数或零4．如图，在正三角形ABC中，D,E,F分别是BC,AC,AB上的点，DE⊥AC,EF⊥AB,FD⊥BC，则△DEF的面积与△ABC 的面积之比等于（）A．1∶3 B．2∶3 C3∶2 D3 35．某排球队6名场上队员的身高（单位：cm）是：180，184，188，190，192，194.现用一名身高为186cm的队员换下场上身高为192cm的队员，与换人前相比，场上队员的身高（）A．平均数变小，方差变小B．平均数变小，方差变大C．平均数变大，方差变小D．平均数变大，方差变大6．如图，若AB∥CD，则α、β、γ之间的关系为()A．α+β+γ=360°B．α﹣β+γ=180°C．α+β﹣γ=180°D．α+β+γ=180°7．如图所示，点E是正方形ABCD内一点，把△BEC绕点C旋转至△DFC位置，则∠EFC的度数是( )A．90°B．30°C．45°D．60°8．如图是正方体的表面展开图，则与“前”字相对的字是（）A．认B．真C．复D．习9．如图，AD为△ABC的中线，点E为AC边的中点，连接DE，则下列结论中不一定成立的是（）A．DC=DE B．AB=2DE C．S△CDE=14S△ABC D．DE∥AB10．已知x=2﹣，则代数式（7+4）x2+（2+）x+ 的值是（）A．0 B．C．2+D．2﹣11．已知圆心在原点O，半径为5的⊙O，则点P（-3，4）与⊙O的位置关系是（）A．在⊙O内B．在⊙O上C．在⊙O外D．不能确定12．由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图如图所示，其中正方形中的数字表示该位置上的小正方体的个数，那么该几何体的主视图是（）A．B．C．D．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．一次函数y=kx+b（k≠0）的图象如图所示，那么不等式kx+b＜0的解集是_____．14．数学的美无处不在．数学家们研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声音就比较和谐．例如，三根弦长度之比是15：12：10，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声do、mi、so，研究15、12、10这三个数的倒数发现：111112151012-=-．我们称15、12、10这三个数为一组调和数．现有一组调和数：x，5，3（x＞5），则x的值是．15．如图，将直线y＝x向下平移b个单位长度后得到直线l，l与反比例函数y＝5x（x＞0）的图象相交于点A，与x轴相交于点B，则OA2﹣OB2的值为_____．16．如图，在4×4的方格纸中（共有16个小方格），每个小方格都是边长为1的正方形．O、A、B分别是小正方形的顶点，则扇形OAB周长等于_____．（结果保留根号及π）．17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，点D是BC上一动点，连接AD，将△ACD沿AD折叠，点C落在点E处，连接DE交AB于点F，当△DEB是直角三角形时，DF的长为_____．18．图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美．图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=度．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣12x2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），抛物线的对称轴直线x＝32交x轴于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，交x轴于点G，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标；（3）在（2）的条件下，将线段FG绕点G顺时针旋转一个角α（0°＜α＜90°），在旋转过程中，设线段FG与抛物线交于点N，在线段GB上是否存在点P，使得以P、N、G为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在，请直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．20．（6分）如图，已知正方形ABCD，E是AB延长线上一点，F是DC延长线上一点，且满足BF＝EF，将线段EF绕点F顺时针旋转90°得FG，过点B作FG的平行线，交DA的延长线于点N，连接NG．求证：BE＝2CF；试猜想四边形BFGN是什么特殊的四边形，并对你的猜想加以证明．21．（6分）如图，把两个边长相等的等边△ABC和△ACD拼成菱形ABCD，点E、F分别是CB、DC延长上的动点，且始终保持BE=CF，连结AE、AF、EF．求证：AEF是等边三角形．22．（8分）问题探究（1）如图1，△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，且∠BAC=∠CDE=90°，AB=AC=3，DE=CD=1,连接AD、BE,求ADBE的值；（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=4，过点A作AM⊥AB，点P是射线AM上一动点，连接CP，做CQ⊥CP交线段AB于点Q，连接PQ，求PQ的最小值；（3）李师傅准备加工一个四边形零件，如图3，这个零件的示意图为四边形ABCD，要求BC=4cm，∠BAD=135°，∠ADC=90°，AD=CD，请你帮李师傅求出这个零件的对角线BD的最大值．图323．（8分）如图，正方形ABCD中，BD为对角线．（1）尺规作图：作CD边的垂直平分线EF，交CD于点E，交BD于点F（保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）的条件下，若AB=4，求△DEF的周长．24．（10分）九（1）班同学分成甲、乙两组，开展“四个城市建设”知识竞赛，满分得5分，得分均为整数．小马虎根据竞赛成绩，绘制了如图所示的统计图．经确认，扇形统计图是正确的，条形统计图也只有乙组成绩统计有一处错误．（1）指出条形统计图中存在的错误，并求出正确值；（2）若成绩达到3分及以上为合格，该校九年级有800名学生，请估计成绩未达到合格的有多少名？（3）九（1）班张明、李刚两位成绩优秀的同学被选中参加市里组织的“四个城市建设”知识竞赛．预赛分为A、B、C、D四组进行，选手由抽签确定．张明、李刚两名同学恰好分在同一组的概率是多少？25．（10分）如图，以AB边为直径的⊙O经过点P，C是⊙O上一点，连结PC交AB于点E，且∠ACP=60°，PA=PD．试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由；若点C是弧AB的中点，已知AB=4，求CE•CP的值．26．（12分）某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少元？(3)若该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装多少件？27．（12分）如图，以AD为直径的⊙O交AB于C点，BD的延长线交⊙O于E点，连CE交AD于F点，若AC＝BC．（1）求证：AC CE=；（2）若32DEDF=，求tan∠CED的值．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、C【解题分析】关键描述语是：“结果比用原价多买了1瓶”；等量关系为：原价买的瓶数-实际价格买的瓶数=1．【题目详解】原价买可买420x瓶，经过还价，可买4200.5x-瓶．方程可表示为：4200.5x-﹣420x=1．故选C．【题目点拨】考查了由实际问题抽象出分式方程．列方程解应用题的关键步骤在于找相等关系．本题要注意讨价前后商品的单价的变化．2、D【解题分析】各项计算得到结果，即可作出判断．解：A、原式不能合并，不符合题意；B、原式=a5，不符合题意；C、原式=a2﹣2ab+b2，不符合题意；D、原式=﹣a6，符合题意，故选D3、D【解题分析】根据绝对值的性质解答.【题目详解】解：当a≤0时，|a|=-a，∴|a|=-a时，a为负数或零，故选D.【题目点拨】本题考查的是绝对值的性质，①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数-a；③当a是零时，a的绝对值是零．4、A【解题分析】∵DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，∴∠C+∠EDC=90°，∠FDE+∠EDC=90°，∴∠C=∠FDE，同理可得：∠B=∠DFE，∠A=DEF，∴△DEF∽△CAB，∴△DEF与△ABC的面积之比=2 DEAC⎛⎫⎪⎝⎭，又∵△ABC为正三角形，∴∠B=∠C=∠A=60°∴△EFD是等边三角形，∴EF=DE=DF，又∵DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，∴△AEF≌△CDE≌△BFD，∴BF=AE=CD，AF=BD=EC，在Rt△DEC中，DE =DC ×sin ∠C，EC =cos ∠C ×DC =12DC ， 又∵DC +BD =BC =AC =32DC ，∴2332DE AC DC ==， ∴△DEF 与△ABC的面积之比等于：221:33DE AC ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选A ．点晴：本题主要通过证出两个三角形是相似三角形，再利用相似三角形的性质：相似三角形的面积之比等于对应边之比的平方，进而将求面积比的问题转化为求边之比的问题，并通过含30度角的直角三角形三边间的关系（锐角三角形函数）即可得出对应边DE AC 之比，进而得到面积比． 5、A【解题分析】分析：根据平均数的计算公式进行计算即可,根据方差公式先分别计算出甲和乙的方差，再根据方差的意义即可得出答案.详解：换人前6名队员身高的平均数为x =1801841881901921946+++++=188， 方差为S 2=()()()()()()22222211801881841881881881901881921881941886⎡⎤-+-+-+-+-+-⎣⎦=683； 换人后6名队员身高的平均数为x =1801841881901861946+++++=187， 方差为S 2=()()()()()()22222211801871841871881871901871861871941876⎡⎤-+-+-+-+-+-⎣⎦=593 ∵188＞187，683＞593， ∴平均数变小，方差变小，故选：A.点睛：本题考查了平均数与方差的定义：一般地设n 个数据，x 1，x 2，…x n 的平均数为x ，则方差S 2=1n[（x 1-x ）2+（x 2-x ）2+…+（x n -x ）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立.6、C【解题分析】过点E作EF∥AB，如图，易得CD∥EF，然后根据平行线的性质可得∠BAE+∠FEA=180°，∠C=∠FEC=γ，进一步即得结论．【题目详解】解：过点E作EF∥AB，如图，∵AB∥CD，AB∥EF，∴CD∥EF，∴∠BAE+∠FEA=180°，∠C=∠FEC=γ，∴∠FEA=β﹣γ，∴α+(β﹣γ)=180°，即α+β﹣γ=180°．故选：C．【题目点拨】本题考查了平行公理的推论和平行线的性质，属于常考题型，作EF∥AB、熟练掌握平行线的性质是解题的关键．7、C【解题分析】根据正方形的每一个角都是直角可得∠BCD=90°，再根据旋转的性质求出∠ECF=∠BCD=90°，CE=CF，然后求出△CEF是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质解答．【题目详解】∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°，∵△BEC绕点C旋转至△DFC的位置，∴∠ECF=∠BCD=90°，CE=CF，∴△CEF是等腰直角三角形，∴∠EFC=45°.故选：C.【题目点拨】本题目是一道考查旋转的性质问题——每对对应点到旋转中心的连线的夹角都等于旋转角度，每对对应边相等，故 为等腰直角三角形.CEF8、B【解题分析】分析：由平面图形的折叠以及正方体的展开图解题，罪域正方体的平面展开图中相对的面一定相隔一个小正方形.详解：由图形可知，与“前”字相对的字是“真”．故选B．点睛：本题考查了正方体的平面展开图，注意正方体的空间图形，从相对面入手分析及解答问题.9、A【解题分析】根据三角形中位线定理判断即可．【题目详解】∵AD为△ABC的中线，点E为AC边的中点，∴DC=12BC，DE=12AB，∵BC不一定等于AB，∴DC不一定等于DE，A不一定成立；∴AB=2DE，B一定成立；S△CDE=14S△ABC，C一定成立；DE∥AB，D一定成立；故选A．【题目点拨】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．10、C【解题分析】把x的值代入代数式，运用完全平方公式和平方差公式计算即可【题目详解】解：当x=2﹣时，（7+4）x2+（2+）x+＝（7+4）（2﹣）2+（2+）（2﹣）+＝（7+4）（7-4）+1+＝49-48+1+＝2+故选：C.【题目点拨】此题考查二次根式的化简求值，关键是代入后利用完全平方公式和平方差公式进行计算．11、B.【解题分析】试题解析：∵，∴根据点到圆心的距离等于半径，则知点在圆上．故选B．考点：1.点与圆的位置关系；2.坐标与图形性质．12、A【解题分析】由三视图的俯视图,从左到右依次找到最高层数,再由主视图和俯视图之间的关系可知,最高层高度即为主视图高度. 【题目详解】解：几何体从左到右的最高层数依次为1,2,3,所以主视图从左到右的层数应该为1,2,3,故选A.【题目点拨】本题考查了三视图的简单性质,属于简单题,熟悉三视图的概念,主视图和俯视图之间的关系是解题关键.二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13、x＞﹣1．【解题分析】一次函数y=kx+b的图象在x轴下方时，y＜0，再根据图象写出解集即可．【题目详解】当不等式kx+b＜0时，一次函数y=kx+b的图象在x轴下方，因此x＞﹣1．故答案为：x＞﹣1．【题目点拨】本题考查了一次函数与一元一次不等式:从函数的角度看,就是寻求使一次函数y=kx+b（k≠0）的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围;从函数图象的角度看,就是确定直线y=kx+b（k≠0）在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合.14、1．【解题分析】依据调和数的意义，有15－1x＝13－15，解得x＝1.15、1．【解题分析】解：∵平移后解析式是y =x ﹣b ，代入y =5x 得：x ﹣b=5x， 即x 2﹣bx =5，y =x ﹣b 与x 轴交点B 的坐标是（b ，0），设A 的坐标是（x ，y ），∴OA 2﹣OB 2=x 2+y 2﹣b 2=x 2+（x ﹣b ）2﹣b 2=2x 2﹣2xb=2（x 2﹣xb ）=2×5=1，故答案为1．点睛：本题是反比例函数综合题，用到的知识点有：一次函数的平移规律，一次函数与反比例函数的交点坐标，利用了转化及方程的思想，其中利用平移的规律表示出y =x 平移后的解析式是解答本题的关键.16【解题分析】根据正方形的性质，得扇形所在的圆心角是90°，扇形的半径是．解：根据图形中正方形的性质，得∠AOB=90°，．∴扇形OAB 的弧长等于90180π⨯=． 17、32或34【解题分析】试题分析：如图4所示；点E 与点C′重合时．在Rt △ABC 中，．由翻折的性质可知；AE=AC=3、DC=DE ．则EB=2．设DC=ED=x ，则BD=4﹣x ．在Rt △DBE 中，DE 2+BE 2=DB 2，即x 2+22=（4﹣x ）2．解得：x=32．∴DE=32．如图2所示：∠EDB=90时．由翻折的性质可知：AC=AC′，∠C=∠C′=90°．∵∠C=∠C′=∠CDC′=90°，∴四边形ACDC′为矩形．又∵AC=AC′，∴四边形ACDC′为正方形．∴CD=AC=3．∴DB=BC ﹣DC=4﹣3=4．∵DE ∥AC ，∴△BDE ∽△BCA ．∴14DE DB AC CB ==，即134ED =．解得：DE=34．点D 在CB 上运动，∠DBC′＜90°，故∠DBC′不可能为直角．考点：翻折变换（折叠问题）．18、360°．【解题分析】根据多边形的外角和等于360°解答即可．【题目详解】由多边形的外角和等于360°可知， ∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，故答案为360°．【题目点拨】本题考查的是多边形的内角和外角，掌握多边形的外角和等于360°是解题的关键．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19、（1）213222y x x =-++ ；（1）132 ，E （1，1）；（3）存在，P 点坐标可以为（7，5）或（3，5）． 【解题分析】（1）设B （x 1，5），由已知条件得21322x -+= ，进而得到B （2，5）．又由对称轴2b a -⨯求得b ．最终得到抛物线解析式.（1）先求出直线BC 的解析式，再设E （m ，＝﹣12m+1．），F （m ，﹣12m 1+32m+1．） 求得FE 的值，得到S △CBF ﹣m 1+2m ．又由S 四边形CDBF ＝S △CBF +S △CDB ，得S 四边形CDBF 最大值， 最终得到E 点坐标． （3）设N 点为（n ，﹣12n 1+32n+1），1＜n ＜2．过N 作NO ⊥x 轴于点P ，得PG ＝n ﹣1． 又由直角三角形的判定，得△ABC 为直角三角形，由△ABC ∽△GNP ， 得n ＝7或n ＝17（舍去），求得P点坐标．又由△ABC ∽△GNP ，且OC PG OB NP =时， 得n ＝3或n ＝﹣2（舍去）．求得P 点坐标．【题目详解】解：（1）设B （x 1，5）．由A （﹣1，5），对称轴直线x ＝32． ∴21322x -+=解得，x 1＝2．∴B （2，5）． 又∵3122()2b -=⨯-∴b ＝32． ∴抛物线解析式为y ＝213222x x -++ ，（1）如图1，∵B （2，5），C （5，1）． ∴直线BC 的解析式为y ＝﹣12x+1．由E 在直线BC 上，则设E （m ，＝﹣12m+1．），F （m ，﹣12m 1+32m+1．）∴FE ＝﹣12m 1+32m+1﹣（﹣12n+1）＝﹣12m 1+1m ．由S △CBF ＝12EF•OB ，∴S △CBF ＝12（﹣12m 1+1m ）×2＝﹣m 1+2m ．又∵S △CDB ＝12BD•OC ＝12×（2﹣32）×1＝52∴S四边形CDBF＝S△CBF+S△CDB═﹣m1+2m+52．化为顶点式得，S四边形CDBF＝﹣（m﹣1）1+132．当m＝1时，S四边形CDBF最大，为132．此时，E点坐标为（1，1）．（3）存在．如图1，由线段FG绕点G顺时针旋转一个角α（5°＜α＜95°），设N（n，﹣12n1+32n+1），1＜n＜2．过N作NO⊥x轴于点P（n，5）．∴NP＝﹣12n1+32n+1，PG＝n﹣1．又∵在Rt△AOC中，AC1＝OA1+OC1＝1+2＝5，在Rt△BOC中，BC1＝OB1+OC1＝16+2＝15．AB1＝51＝15．∴AC1+BC1＝AB1．∴△ABC为直角三角形．当△ABC∽△GNP，且OC NPOB PG=时，即，2132 22242n nn-++ =-整理得，n1﹣1n﹣6＝5．解得，n＝7或n＝17（舍去）．此时P点坐标为（7，5）．当△ABC ∽△GNP ，且OC PG OB NP =时， 即，222134222n n n -=-++ 整理得，n 1+n ﹣11＝5．解得，n ＝3或n ＝﹣2（舍去）．此时P 点坐标为（3，5）．综上所述，满足题意的P 点坐标可以为，（1+7，5），（3，5）．【题目点拨】本题考查求抛物线，三角形的性质和面积的求法，直角三角形的判定，以及三角形相似的性质，属于较难题.20、（1）见解析；（2）四边形BFGN 是菱形，理由见解析.【解题分析】（1）过F 作FH ⊥BE 于点H ，可证明四边形BCFH 为矩形，可得到BH ＝CF ，且H 为BE 中点，可得BE ＝2CF ； （2）由条件可证明△ABN ≌△HFE ，可得BN ＝EF ，可得到BN ＝GF ，且BN ∥FG ，可证得四边形BFGN 为菱形．【题目详解】（1）证明：过F 作FH ⊥BE 于H 点，在四边形BHFC 中，∠BHF ＝∠CBH ＝∠BCF ＝90°，所以四边形BHFC 为矩形，∴CF ＝BH ，∵BF ＝EF ，FH ⊥BE ，∴H 为BE 中点，∴BE ＝2BH ，∴BE ＝2CF ；（2）四边形BFGN 是菱形．证明：∵将线段EF绕点F顺时针旋转90°得FG，∴EF＝GF，∠GFE＝90°，∴∠EFH＋∠BFH＋∠GFB＝90°∵BN∥FG，∴∠NBF＋∠GFB＝180°，∴∠NBA＋∠ABC＋∠CBF＋∠GFB＝180°，∵∠ABC＝90°，∴∠NBA＋∠CBF＋∠GFB＝180°−90°＝90°，由BHFC是矩形可得BC∥HF，∴∠BFH＝∠CBF，∴∠EFH＝90°−∠GFB−∠BFH＝90°−∠GFB−∠CBF＝∠NBA，由BHFC是矩形可得HF＝BC，∵BC＝AB，∴HF＝AB，在△ABN和△HFE中，NAB EHF90AB HFNBA EFH∠∠︒⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝＝，∴△ABN≌△HFE，∴NB＝EF，∵EF＝GF，∴NB＝GF，又∵NB∥GF，∴NBFG是平行四边形，∵EF＝BF，∴NB＝BF，∴平行四边NBFG是菱形．点睛：本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质，矩形的判定与性质，菱形的判定等，作出辅助线是解决（1）的关键．在（2）中证得△ABN≌△HFE是解题的关键．21、见解析【解题分析】分析：由等边三角形的性质即可得出∠ABE=∠ACF，由全等三角形的性质即可得出结论.详解：证明：∵△ABC和△ACD均为等边三角形∴AB=AC，∠ABC=∠ACD=60°，∴∠ABE=∠ACF=120°，∵BE=CF ，∴△ABE ≌△ACF ，∴AE=AF ，∴∠EAB=∠FAC ，∴∠EAF=∠BAC=60°，∴△AEF 是等边三角形．点睛：此题是四边形综合题，主要考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解题关键是判断出△ABE ≌△ACF.22、（1;（2;（3. 【解题分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得，，∠ACB=∠DCE=45°，可证△ACD ∽△BCE ，可得AD CD BE CE =（2）由题意可证点A ，点Q ，点C ，点P 四点共圆，可得∠QAC=∠QPC ，可证△ABC ∽△PQC ，可得PQ QC AB BC=，可得当QC ⊥AB 时，PQ 的值最小，即可求PQ 的最小值； （3）作∠DCE=∠ACB ，交射线DA 于点E ，取CE 中点F ，连接AC ，BE ，DF ，BF ，由题意可证△ABC ∽△DEC ，可得BC CE AC CD=，且∠BCE=∠ACD ，可证△BCE ∽△ACD ，可得∠BEC=∠ADC=90°，由勾股定理可求CE ，DF ，BF 的长，由三角形三边关系可求BD 的最大值．【题目详解】（1）∵∠BAC=∠CDE=90°，AB=AC=3，DE=CD=1，∴，ACB=∠DCE=45°，∴∠BCE=∠ACD ，∵BC AC CE CD∴BC CE AC CD=，∠BCE=∠ACD ， ∴△ACD ∽△BCE ，∴AD CDBE CE=＝22；（2）∵∠ACB=90°，∠B=30°，BC=4，∴AC=433，AB=2AC=833，∵∠QAP=∠QCP=90°，∴点A，点Q，点C，点P四点共圆，∴∠QAC=∠QPC，且∠ACB=∠QCP=90°，∴△ABC∽△PQC，∴PQ QC AB BC=，∴PQ=ABBC×QC=233QC，∴当QC的长度最小时，PQ的长度最小，即当QC⊥AB时，PQ的值最小，此时QC=2，PQ的最小值为433；（3）如图，作∠DCE=∠ACB，交射线DA于点E，取CE中点F，连接AC，BE，DF，BF，，∵∠ADC=90°，AD=CD，∴∠CAD=45°，∠BAC=∠BAD-∠CAD=90°，∴△ABC∽△DEC，∴BC CE AC CD=，∵∠DCE=∠ACB，∴∠BCE=∠ACD，∴△BCE∽△ACD，∴∠BEC=∠ADC=90°，∴CE=222，∵点F是EC中点，∴DF=EF=12CE=2，∴BF=22BE EF=10，∴BD≤DF+B F=10+2【题目点拨】本题是相似综合题，考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键．23、（1）见解析；（2）22+1．【解题分析】分析：(1)、根据中垂线的做法作出图形，得出答案；(2)、根据中垂线和正方形的性质得出DF、DE和EF的长度，从而得出答案．详解：（1）如图，EF为所作；（2）解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BDC=15°，CD=BC=1，又∵EF垂直平分CD，∴∠DEF=90°，∠EDF=∠EFD=15°，DE=EF=12CD=2，∴22∴△DEF的周长2．点睛：本题主要考查的是中垂线的性质，属于基础题型．理解中垂线的性质是解题的关键．24、（1）见解析；（2）140人；（1）1 4 .【解题分析】（1）分别利用条形统计图和扇形统计图得出总人数，进而得出错误的哪组；（2）求出1分以下所占的百分比即可估计成绩未达到合格的有多少名学生；（1）根据题意可以画出相应的树状图，从而可以求得张明、李刚两名同恰好分在同一组的概率．【题目详解】（1）由统计图可得：（1分）（2分）（4分）（5分）甲（人）0 1 7 6 4乙（人） 2 2 5 8 4全体（%） 5 12.5 10 15 17.5 乙组得分的人数统计有误，理由：由条形统计图和扇形统计图的对应可得，2÷5%=40，（1+2）÷12.5%=40，（7+5）÷10%=40，（6+8）÷15%=40，（4+4）÷17.5%≠40，故乙组得5分的人数统计有误，正确人数应为：40×17.5%﹣4=1．（2）800×（5%+12.5%）=140（人）；（1）如图得：∵共有16种等可能的结果，所选两人正好分在一组的有4种情况，∴所选两人正好分在一组的概率是：41= 164．【题目点拨】本题考查列表法与树状图法、用样本估计总体、条形统计图、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．25、（1）PD是⊙O的切线．证明见解析.（2）1.【解题分析】试题分析：（1）连结OP，根据圆周角定理可得∠AOP=2∠ACP=120°，然后计算出∠PAD和∠D的度数，进而可得∠OPD=90°，从而证明PD是⊙O的切线；（2）连结BC，首先求出∠CAB=∠ABC=∠APC=45°，然后可得AC长，再证明△CAE∽△CPA，进而可得，然后可得CE•CP的值．试题解析：（1）如图，PD是⊙O的切线．证明如下：连结OP，∵∠ACP=60°，∴∠AOP=120°，∵OA=OP，∴∠OAP=∠OPA=30°，∵PA=PD，∴∠PAO=∠D=30°，∴∠OPD=90°，∴PD是⊙O的切线．（2）连结BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，又∵C为弧AB的中点，∴∠CAB=∠ABC=∠APC=45°，∵AB=4，AC=Absin45°=．∵∠C=∠C，∠CAB=∠APC，∴△CAE∽△CPA，∴，∴CP•CE=CA2=（）2=1．考点：相似三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；直线与圆的位置关系；探究型．26、（1）y=﹣30x+1；（2）每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润2元；（3）该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装360件．【解题分析】(1) 每星期的销售量等于原来的销售量加上因降价而多销售的销售量, 代入即可求解函数关系式;(2) 根据利润=销售量 (销售单价-成本) , 建立二次函数, 用配方法求得最大值.(3) 根据题意可列不等式, 再取等将其转化为一元二次方程并求解, 根据每星期的销售利润所在抛物线开口向下求出满足条件的x的取值范围, 再根据(1) 中一元一次方程求得满足条件的x的取值范围内y的最小值即可.【题目详解】（1）y＝300+30（60﹣x）＝﹣30x+1．（2）设每星期利润为W元，W＝（x﹣40）（﹣30x+1）＝﹣30（x﹣55）2+2．∴x＝55时，W最大值＝2．∴每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润2元．（3）由题意（x﹣40）（﹣30x+1）≥6480，解得52≤x≤58，当x＝52时，销售300+30×8＝540，当x＝58时，销售300+30×2＝360，∴该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装360件．【题目点拨】本题主要考查一次函数的应用和二次函数的应用,注意综合运用所学知识解题.1527、（1）见解析；（2）tan∠CED【解题分析】（1）欲证明AC CE =，只要证明EAC AEC ∠∠＝即可；（2）由EDF COF ∆∆∽，可得32ED OC DF OF ==，设FO ＝2a ，OC ＝3a ，则DF ＝a ，DE ＝1.5a ，AD ＝DB ＝6a ，由BAD BEC ∆∆∽，可得BD •BE ＝BC •BA ，设AC ＝BC ＝x ，则有2267.5x a a ⨯＝，由此求出AC 、CD 即可解决问题.【题目详解】（1）证明：如下图，连接AE ，∵AD 是直径，∴90ACD ∠︒＝，∴DC ⊥AB ，∵AC ＝CB ，∴DA ＝DB ，∴∠CDA ＝∠CDB ，∵180EAC EDC ∠+∠︒＝，180EDC CDB ∠+∠︒＝，∴∠BDC ＝∠EAC ，∵∠AEC ＝∠ADC ，∴∠EAC ＝∠AEC ，∴AC CE =；（2）解：如下图，连接OC ，∵AO ＝OD ，AC ＝CB ，∴OC ∥BD ，∴EDF COF ∆∆∽， ∴32ED OC DF OF ==， 设FO ＝2a ，OC ＝3a ，则DF ＝a ，DE ＝1.5a ，AD ＝DB ＝6a ，∵∠BAD ＝∠BEC ，∠B ＝∠B ，∴BAD BEC ∆∆∽，∴BD •BE ＝BC •BA ，设AC ＝BC ＝x ，则有2267.5x a a ⨯＝，∴x =，∴3102AC a=，∴2236 2CD AD AC a =-=，∴36152tan tan53102aDCEDC DACAC∠=∠===.【题目点拨】本题属于圆的综合题，涉及到三角形的相似，解直角三角形等相关考点，熟练掌握三角形相似的判定及解直角三角形等相关内容是解决本题的关键.。
浙江省嘉兴八校联盟2024-2025学年高二上学期期中联考数学试卷含答案
2024学年第一学期嘉兴八校联盟期中联考高二年级数学学科试题（答案在最后）考生须知：1．本卷共6页满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．4．考试结束后，只需上交答题纸．选择题部分一、选择题Ⅰ：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知直线过()0,1A -、()10B ,两点，则该直线的斜率为（）A.1-B.0C.1D.2【答案】C 【解析】【分析】利用两点连线的斜率公式可求得该直线的斜率.【详解】由题意可知，直线AB 的斜率为10101AB k --==-.故选：C.2.已知直线1l ：10x my +-=与2l ：310mx y +-=，若12l l //，则m 为（）A. B.0C.D.【答案】D 【解析】【分析】由12l l //计算可得m =m =或m =时两直线是否重合即可得.【详解】由12l l //，则有2130m ⨯-=，解得m =，当m =时，1l ：10x +-=与2l 310y +-=，两直线不重合；当m =时，1l ：10x -=与2l ：310y +-=，两直线不重合；故m =.故选：D.3.已知1F ，2F 分别为椭圆22193x y+=的左右焦点，P 为椭圆上一点，若12=PF ，则2PF 为（）A.1B.4C.6D.7【答案】B 【解析】【分析】由椭圆定义计算即可得.【详解】由椭圆定义可得126PF PF +==，故216624PF PF =-=-=.故选：B.4.已知()2,,5m t =- ，()3,2,n t =-分别是平面α，β的法向量，且αβ⊥，则t 的值为（）A.1B.2C.1- D.2-【答案】B 【解析】【分析】由空间向量的知识可知，两平面垂直等价于两法向量垂直，从而利用两法向量数量积为0求值.【详解】因为()2,,5m t =- ，()3,2,n t =-分别是平面α，β的法向量，且αβ⊥，所以m n ⊥ ，即()()2,,53,2,625630m n t t t t t ⋅=-⋅-=--+=-+=，解得2t =，故选：B.5.经过点()1,2M 作圆225x y +=的切线，则切线方程为（）A.250x y +-=B.250x y --= C.250x y +-= D.250x y --=【答案】C 【解析】【分析】设出直线方程后，结合切线定义与点到直线的距离公式计算即可得.【详解】易知切线斜率存在，设该切线方程为()12y k x =-+，即20kx y k --+=，则有d ==，化简得()2210k +=，故12k =-，故该切线方程为()1122y x =--+，即250x y +-=.故选：C.6.如图，在三棱锥O ABC -中，已知E 是BC 上靠近C 的三等分点，F 是AE 的中点，则OF =（）A.111234OA OB OC -+B.111263OA OB OC -+C.111234OA OB OC ++D.111263OA OB OC ++【答案】D 【解析】【分析】根据空间向量加法，减法和数乘运算法则进行求解.【详解】E 是BC 上靠近C 的三等分点，F 是AE 的中点，故111222OF OA AF OA AE OA AC CE=+=+=++1111111111122232266263OA OC OA CB OA OC OB OC OA OB OC =+-+⨯=++-=++ .故选：D7.已知圆1O ：()()2214x a y -++=与圆2O ：()2229x a y ++=有两条公切线，则实数a 的取值范围（）A.,00,33⎛⎫⎛- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭B.,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C.2626,33⎛⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.260,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】利用公切线问题转化为两圆相交问题，再转化为圆心距范围问题，即可求解.【详解】由圆1O ：()()2214x a y -++=与圆2O ：()2229x a y ++=有两条公切线，可知两圆位置关系是相交，即圆心距小于半径之和且大于半径之差，()1,5=，解得：,00,33a ⎛⎫⎛∈- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，故选：A.8.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的两个焦点为1F ，2F ，过2F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若24AB F B =uu u r uuu r，122F A F B =，则椭圆C 的离心率为（）A.15B.5C.5D.5【答案】C 【解析】【分析】设2F B m = ，结合题目所给条件及椭圆定义可得25m a =，即可表示出2AF 、1AF 、2BF 、1BF ，再借助余弦定理及2121cos cos 0BF F AF F ∠+∠=计算即可得解.【详解】设2F B m = ，则244AB F B m == ，1222F A F B m ==，则23AF m =，由椭圆定义可得1252AF AF m a +== ，故25m a =，即有265AF a = ，145AF a = ，225BF a = ，则128255BF a a a =-= ，则有()()22222221212864225555cos cos 026222255a c a a c a BF F AF F a c a c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∠+∠=+⨯⨯⨯⨯，整理得2252c a =，即5c e a ===.故选：C.二、选择题Ⅱ：本大题共3小题，每小题6分，共18分．每题全部选对得6分，有选错得0分，部分选对得部分分．9.已知直线l 0y +=，则下列说法正确的是（）A.点()1,0到直线lB.直线l 的截距式方程为11x +=C.直线l 的一个方向向量为(1,D.若直线l 与圆()2220x y r r +=>相切，则32r =【答案】BCD 【解析】【分析】对于A 选项，根据点到直线距离公式进行求解即可；对于B 选项，根据直线的截距式进行求解即可；对于C 选项，根据直线方向向量的概念进行求解即可；对于D 选项，根据直线与圆相切的关系，根据圆心到直线的距离等于半径进行求解即可.【详解】对于A 选项，已知直线0l y +-，则点()1,0到直线的距离0d ==，故A 选项错误；对于B 选项，已知直线0l y +=，则直线l 的截距式方程为11x +=，故B 选项正确；对于C 选项，已知直线0l y +=，则直线l 的一个方向向量为(1,，故C 选项正确；对于D 选项，已知圆222x y r +=，其圆心()0,0到直线l 2=，由于直线l 与圆相切，可得：32r =，故D 选项正确.故选：BCD10.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，12AB BC AA ===，90ABC ∠=︒，E ，F 分别为棱AC 和1CC 的中点，D 为棱11A B 上的动点，则下列说法正确的是（）A.BF DE ⊥B.该三棱柱的体积为4C.直线DE 与平面11ABB A 所成角的正切值的最大值为12D.过1A ，1B ，E 5【答案】ABC 【解析】【分析】利用题设建系，对于A ，通过空间向量证明BF ⊥平面11A EB ，即得BF DE ⊥；对于B ，利用直棱柱体积公式计算即得；对于C ，设点(),0,2D t ，利用空间向量的夹角公式计算得出关于t 的函数式，通过求函数的最大值得到所成角正切值的最大值；对于D ，先利用线面平行的性质作出截面，再计算其面积即可排除D.【详解】如图建立空间直角坐标系，则()0,0,0B ，()0,2,1F ，()1,1,0E ，()12,0,2A ，()10,0,2B ，对于A ，()0,2,1BF = ，()11,1,2EB =-- ，()11,1,2EA =-，因1220BF EA ⋅=-+= ，1220BF EB ⋅=-+=，可得1BF EA ⊥，1BF EB ⊥，因11EA EB E ⋂=，且两直线在平面11A EB 内，则有BF ⊥平面11A EB ，又D 为棱11A B 上的动点，故BF DE ⊥，即A 正确；对于B ，由题意，该三棱柱的体积为122242V =⨯⨯⨯=，故B 正确；对于C ，如图，因1AA ⊥平面ABC ，⊂BC 平面ABC ，则1AA BC ⊥，又BC AB ⊥，1AB AA A ⋂=，且两直线在平面内，故得⊥BC 平面11ABB A ，故可取平面11ABB A 的法向量为 =0,1,0，又D 为棱11A B 上的动点，可设(),0,2D t ，[]0,2t ∈，则()1,1,2DE t =--，设直线DE 与平面11ABB A 所成角为θ，则sin cos ,DE n θ==，因[]0,2t ∈，故当且仅当1t =时，()215t -+取得最小值为5，此时sin θ取得最大值为5，因π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，而正弦函数和正切函数在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上均为增函数，故此时tan θ5152=，故C 正确.对于D ，如图，设经过1A ，1B ，E 三点的截面α交BC 于点G ，连接1,EG B G ，因11∥A B AB ，11A B ⊂平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，则11//A B 平面ABC ，又11A B α⊂，α 平面ABC EG =，故得11A B EG ∥，即截面为梯形11EGB A ，因1A E=，1B G ==，设梯形11EGB A 的高为h 1+=，解得h =则()1112122EGB A S =⨯+=，故D 错误；故选：ABC.【点睛】本题主要考查空间向量在立体几何中的应用，属于难题.解题思路在于，化“动”为“静”，将线线垂直的判断转化成线面垂直的证明;利用线面平行的性质作出截面求解；通过建系，将线面所成角的问题进行量化，借助于函数的最值求解.11.数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．例如，可以转化为点(),A x y 与点(),B a b 之间的距离的几何问题．结合上述观点，对于函数()f x =，下列结论正确的是（）A.方程()5f x =无解B.方程()6f x =有两个解C.()f x 的最小值为D.()f x 的最大值为【答案】BC 【解析】【分析】根据两点间距离公式，结合题意可得()f x PA PB =+，取()2,2C 计算可得A 、C 、D ；结合椭圆定义计算可得B.【详解】()f x ==+，设(),1P x ，−2,0，()2,0B ，则()f x PA PB =+，如图，取()2,2C ，则()f x PA PB PA PC AC =+=+≥==，当且仅当A 、P 、C 三点共线时，等号成立，又当2x ≥时，()f x 随x 增大而增大，故()f x 无最大值，故C 正确、D 错误；由5>，故()5f x =有解，故A 错误；()6f x =，则64PA PB AB +=>=，则P 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，此时26a =，2c =，即3a =，2945b =-=，即椭圆方程为22195x y +=，当1y =时，得2141955x =-=，得2365x =，即5x =±，即方程()6f x =有两个解，故B 正确.故选：BC .非选择题部分三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.直线2230x y +-=的倾斜角为______．【答案】34π【解析】【分析】先求得直线的斜率，进而求得直线的倾斜角.【详解】由于直线的斜率为1-，故倾斜角为3π4.【点睛】本小题主要考查由直线一般式方程求斜率，考查斜率和倾斜角的对应关系，属于基础题.13.点N 在椭圆2212510x y +=上，F 是椭圆的一个焦点，M 为NF 的中点，若4OM =，则NF =_________．【答案】2【解析】【分析】由椭圆的定义结合中位线性质即可求解.【详解】如图，设椭圆的另一焦点为1F ，则1210NF NF a +==，由中位线可知：112OM NF =，所以18NF =，所以2NF =，故答案为：214.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别为棱1,AD BB 的中点.点P 为正方体表面上的动点，满足1A P EF ⊥.给出下列四个结论：①线段1A P 长度的最大值为；②存在点P ，使得//DP EF ；③存在点P ，使得1B P DP =；④EPF 是等腰三角形.其中，所有正确结论的序号是________．【答案】①③④【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标验证垂直判断①，找出平行直线再由坐标判断是否垂直可判断B ，设点的坐标根据条件列出方程组②，探求是否存在符合条件的解判断③④【详解】如图，建立空间直角坐标系，则()()()()()()112,0,2,1,0,0,2,2,1,0,2,0,0,0,0,2,2,2A E F C D B ，对①，由正方体性质知当P 在C 时，线段1A P 长度的最大值为此时()()12,2,2,1,2,1A P EF =--= ，12420A P EF ⋅=-+-=，所以1A P EF ⊥，即满足1A P EF ⊥，故①正确；对②，取正方形11BB C C 的中心M ，连接,DM MF ，易知//,MF DE MF DE =，所以四边形DMFE 为平行四边形，所以//DM EF ，故P 运动到M 处时，//DP EF ，此时()1,2,1P ，()11,2,1A P =-- ，114120A P EF ⋅=-+-=≠，即不满足1A P EF ⊥，综上不存在点P ，使得//DP EF ，故②错误；对③，设(),,P x y z ，则()12,,2A P x y z =-- ，()1,2,1EF =，若存在，由1B P DP =，1A P EF ⊥可得方程组2220x y z -++-=⎧=化简可得243x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩，解得2,1x z y +==，显然当0,2,1x z y ===时满足题意，即存在点P ，使得1B P DP =，故③正确；对④，设(),,P x y z ，若PE PF =，=24x y z ++=，由③知1A P EF ⊥时可得24x y z ++=，所以不妨取0,1,2x y z ===，此时()0,1,2P 在正方体表面上，满足题意，故④正确.故答案为：①③④【点睛】关键点点睛：本题的关键之处在于建立空间直角坐标系，利用坐标运算建立方程，探求是否存在满足条件的点，运算比较复杂，属于难题.四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知空间三点()2,0,1A -，()1,0,1B -，()3,1,2C -，设a AB = ，b AC = .（1）求2a b +的值；（2）若向量()a kb + 与()a kb -互相垂直，求实数k 的值.【答案】（1）23a b +=；（2）3k =±.【解析】【分析】（1）先由题意求出,a b，再结合向量坐标形式的加法运算和模长公式即可计算求解；（2）由向量垂直的表示结合a， b 即可计算求解.【小问1详解】由题得()1,0,0a AB ==，()1,1,1b AC ==- ，所以()21,2,2a b +=- ，所以23a b +=.【小问2详解】因为()()a kb a kb +⊥- ，所以()()2220a kb a kb a k b +⋅-=-= ，又21a = ，2223b === ，所以2130k-=，解得3k =±.16.已知直线1l ：350x y ++=，2l 经过点()3,1M ．（1）若12l l ∥，求直线2l 的方程；（2）在（1）的条件下，求1l 与2l 之间的距离；（3）若2l 与x 轴、y 轴的正半轴交于A ，B 两点，求MA MB ⋅的最小值．【答案】（1）360x y +-=（2）10（3）6【解析】【分析】（1）由平行确定斜率，再由点斜式即可求解；（2）直接由平行线间距离公式即可求解；（3）求得直线在两坐标轴上交点，再由两点间距离公式及基本不等式即可求解.【小问1详解】直线350x y ++=的斜率为13-，所以过点()3,1M 且与直线350x y ++=平行的直线方程为()1133y x -=--，即360x y +-=．【小问2详解】因为10d ==，所以两直线间的距离为10．【小问3详解】设直线方程为()13y k x -=-，0k <．当0x =时，13=-y k ；当0y =时，13=-x k．则()13,0,0,13A B k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则6MA MB ⋅=，当且仅当221kk =，即1k =-时，等号成立．所以MA MB ⋅的最小值为6．17.已知点32,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，圆C ：226210x y x y +--+=．（1）求圆C 过点P 的最短弦所在的直线方程；（2）若圆C 与直线0x y a -+=相交于A ，B 两点，O 为原点，且OA OB ⊥，求a 的值．【答案】（1）4250x y --=（2）1a =-【解析】【分析】（1）过点P 的最短弦就是圆心与P 连线垂直的直线，借助垂直得到斜率，再用点斜式即可；（2）直线与圆的方程联立，借助韦达定理得到124x x a +=-+，()21212a x x -=.再由OA OB ⊥转化为向量数量积，综合韦达定理构造方程计算即可.【小问1详解】过点P 的最短弦就是圆心与P 连线垂直的直线，圆226210x y x y +--+=的圆心()3,1C ，则1322312PCk k -=-=-=-，所以过点P 的最短弦所在的直线方程为()3222y x -=-，即4250x y --=．【小问2详解】()()220,319,x y a x y -+=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩消去y 得()()22319x x a -++-=，化简后为()()2222810x a x a +-+-=．因为圆C 与直线0x y a -+=交于A ，B 两点，所以()()22Δ28810a a =--->，即24140a a +-<，解得22a --<<-+设1,1，2,2，则124x x a +=-+，()21212a x x -=．因为OA OB ⊥，所以0OA OB ⋅=，即12120x x y y +=．由1122,,y x a y x a =+⎧⎨=+⎩得()()()()2222212121212161422a a a y y x a x a x x a x x a a a a -++=++=+++=++=．从而()()2221611022a a a a -+++=+=，解得1a =-．18.如图，直三棱柱111ABC A B C-中，12BC AB AA AC ===，M 是11BC 中点，N 是AC 中点．（1）证明：直线//MN 平面11ABB A ；（2）证明：直线MN BC ⊥；（3）求平面MNA 与平面11BB C C 所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）23【解析】【分析】（1）构造中位线判定四边形EMNA 为平行四边形，利用线线平行判定线面平行即可；（2）根据线段关系判定 ABC 为直角三角形，结合棱柱的特征判定11B N C N =，得出11MN B C ⊥即可证明；（3）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算面面夹角即可.【小问1详解】取11A B 中点E ，连接AE ，EM ，E ，M 分别为11A B ，11B C 的中点，11EM A C ∴//，且1112EM A C =，111ABC A B C - 为直三棱柱，N 为AC 中点，//EM AN ∴，且EM AN =，∴四边形EMNA 为平行四边形，AE MN ∴//，AE ⊂ 平面11ABB A ，MN ⊄平面11ABB A ，//MN ∴平面11ABB A ；【小问2详解】连接BN ，1B N ，1C N ，2AB BC AC ==，ABC ∴ 为直角三角形，BN NC ∴=111ABC A B C - 为直三棱柱，易得11B BN C CN ≅ ，11B N C N ∴=，M 为11B C 中点，11MN B C ∴⊥，MN BC ∴⊥；【小问3详解】易知1BB ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，分别以AB ，BC ，1BB 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系B xyz -，如图所示，设12AB BC AA ===，则2,0,0，()0,1,2M ，()1,1,0N ，()2,1,2AM =- ，()1,1,0AN =-，设平面AMN 的一个法向量为 =s s ，则220m AM x y z m AN x y ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，取()2,2,1m = ，易得平面11BB C C 的一个法向量为()1,0,0n =，设平面11BB C C 与平面AMN 所成角为θ，则2cos cos ,3m n θ===.19.已知椭圆C ：()222210+=>>x y a b a b 过点()3,1H，离心率为3，斜率为13-的直线l 与椭圆C 相交于异于点H 的M ，N 两点，且HM ，HN 均不与x 轴垂直．（1）求椭圆C 的方程；（2）若MN =P 为椭圆的上顶点，求PMN 的面积；（3）记直线HM ，HN 的斜率分别为1k ，2k ，证明：12k k 为定值．【答案】（1）221124x y +=（2）6（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意可得22222911a b caa b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩，解出即可得；（2）借助弦长公式计算可得2m =或2m =-，再利用点到直线的距离公式计算点()0,2P 到直线l 的距离后结合面积公式计算即可得；（3）设出直线的方程，与椭圆联立后可得与交点横坐标有关一元二次方程，结合韦达定理表示出12k k 并计算即可得.【小问1详解】根据题意得到22222911a b ca abc ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩，解得2a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，故椭圆C 的方程为221124x y +=；【小问2详解】因为MN ==，解得2m =或2m =-，当2m =时，直线l 的方程123y x =-+经过点()3,1H ，不符合题意，舍去；当2m =-时，123y x =--，点()0,2P 到直线l的距离6105d ==，故PMN的面积116225S MN d =⋅==；【小问3详解】设1,1，2,2，直线l 的方程为13y x m =-+，联立方程22131124y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得22469360x mx m -+-=，由()()22Δ614440m m =-->，得33m -<<，则1232m x x +=，2129364m x x -=，因为直线HM ，HN 均不与x 轴垂直，所以13x ≠，23x ≠，则0m ≠且2m ≠，所以()()1212121212111111333333x m x m y y k k x x x x ⎛⎫⎛⎫-+--+- ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭=⋅=----()()()()22121221212111136193399183x x m x x m m m x x x x m m --++--===-++-，故12k k 为定值.【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．。
2023-2024学年江苏省苏州市工业园区八校联考九年级(上)期中数学试卷(含解析)
2023-2024学年江苏省苏州市工业园区八校联考九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每题3分，共24分） 1．（3分）cos60°的值等于（ ） A ．√3B ．√2C ．√22D ．122．（3分）关于一元二次方程x 2+4x +4＝0根的情况，下列说法中正确的是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根 D ．无法确定3．（3分）关于抛物线y ＝﹣x 2+x +2，下列结论正确的是（ ） A ．抛物线开口向上B ．当x ＜1时，y 随x 的增大而减小C ．抛物线的对称轴是直线x =12 D ．函数y ＝﹣x 2+x +2的最大值为24．（3分）为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为64元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x ，可列方程得（ ） A ．100（1﹣x ）2＝64 B ．100（1+x ）2＝64C ．100（1﹣2x ）＝64D ．100（1+2x ）＝645．（3分）若A （﹣4，y 1），B （﹣3，y 2），C （1，y 3）为二次函数y ＝ax 2+4ax +a （a ＞0）的图象上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ） A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 2＜y 1＜y 3C ．y 3＜y 1＜y 2D ．y 1＜y 3＜y 26．（3分）函数y ＝ax 2﹣a 与y ＝ax ﹣a （a ≠0）在同一坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．7．（3分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 边上的高，CE 是AB 边上的中线，AD ＝3，CE ＝5，则tan ∠BCE 的值为（ ）A ．12B ．√217C ．√55D ．√30108．（3分）如图，O 为坐标原点，边长为1的正方形OABC 的顶点A 在x 轴的正半轴上，将正方形OABC 绕顶点O 顺时针旋转75°，使点B 落在某抛物线上，则该抛物线的解析式为（ ）A ．y =√23x 2B ．y =−√23x 2C ．y =−12x 2D ．y ＝﹣3x 2二、填空题（本大题共8小题每小题3分，共24分）9．（3分）二次函数y ＝x 2﹣2x +5图象的顶点坐标为 ．10．（3分）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sinA =35，BC ＝12，则AC ＝ ．11．（3分）若关于x 的一元二次方程x 2+3x +m ＝0有一个根为x 1＝﹣4，则另一根为x 2＝ ． 12．（3分）若m 是方程x 2+x ﹣1＝0的一个根，则代数式﹣2m +2025﹣2m 2的值为 ． 13．（3分）如图，在4×4网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若△ABC 的顶点均是格点，则sin ∠BAC 的值为 ．14．（3分）为了使居住环境更加美观，某小区建造了一个小型喷泉，水流从地面上的点O 喷出，在各个方向上沿形状相同的抛物线落到地面，某方向上抛物线的形状如图所示，落点A 到点O 的距离为4，水流喷出的高度y （m ）与水平距离x （m ）之间近似满足函数关系式y =ax 2+245x ，则水流喷出的最大高度为 ．15．（3分）已知二次函数y ＝ax 2+2ax +b ，当﹣5≤x ≤﹣3时，y ≥0；当﹣1≤x ≤1时，y ≤0，则b 与a 满足的关系式是 ．16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点A 、C 分别是直线y =−83x +4与坐标轴的交点，点B （﹣2，0），点D 是边AC 上的一点，DE ⊥BC ，垂足为E ，点F 在AB 边上，且D 、F 两点关于y 轴上某点成中心对称，连接DF 、EF ．线段EF 长度的最小值为 ．三、解答题（本大题共10小题，共82分） 17．（8分）解方程： （1）2x 2﹣7x +3＝0； （2）9x 2﹣（x ﹣1）2＝0．18．（6分）计算：4sin30°+|1﹣tan60°|−√2cos45°．19．（6分）已知二次函数y＝x2+3mx+2m2﹣1（m为常数）．（1）若点（0，1）在该函数图象上，求m的值；（2）求证：不论m为何值，该二次函数图象与x轴总有2个公共点．20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，BC＝18，AD＝6．（1）求sin B的值；（2）点E在AB上，且BE＝2AE，过E作EF⊥BC，垂足为点F，求DE的长．21．（8分）在一元二次方程x2﹣2ax+b＝0中，若a2﹣b＞0，则称a是该方程的中点值．（1）方程x2﹣8x+3＝0的中点值是．（2）已知x2﹣mx+n＝0的中点值是3，其中一个根恰好等于n，求n的值．22．（8分）已知二次函数y＝ax2+4ax+3a（a为常数）．（1）若二次函数的图象经过点（2，3），求函数y的表达式．（2）在（1）的条件下，当﹣1≤x≤2时，求函数y的最大值和最小值．（3）若二次函数在﹣3≤x≤1时有最大值8，求a的值．23．（8分）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）．如图①：在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA=底边腰=BCAB，容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：（1）sad60°＝．（2）对于0°＜A≤90°，∠A的正对值sadA的取值范围是．（3）如图②，已知cos A=1213，其中∠A为锐角，试求sadA的值．24．（10分）如图，抛物线y ＝﹣x 2+2x +3交y 轴于点A ，点B 是x 轴正半轴上一动点，点P 为抛物线在第一象限的点，其纵坐标为74，OC ∥BP 交x 轴上方的抛物线于点C ，经过C ，P 的直线交y 轴于点E ，交x 轴于点F ．（1）点P 的坐标为 ； （2）当点C 与点A 重合时，求OF 的长；（3）当OB ＝BF ，且∠CEO ＝∠COE 时，设△BFP ，四边形OBPC ，△OEC 的面积分别为S 1，S 2，S 3，则S 1：S 2：S 3＝ ．25．（10分）根据以下素材，完成探索任务． 问题的提出根据以下提供的素材，在总费用（新墙的建筑费用与门的价格和）不高于6400元的情况下，如何设计最大饲养室面积的方案？素材1：图1是某农场拟建两间矩形饲养室，饲养室的一面靠现有墙，中间用一道墙隔开，计划中建筑材料可建围墙的总长为20m ，开2个门，且门宽均为1m ． 素材2：2个门要求同一型号，有关门的采购信息如表． 如表素材3：与现有墙平行方向的墙建筑费用为400元/米，与现有墙垂直方向的墙建筑费用为200元/米． 问题解决26．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（0，3），B（1，0），其对称轴为直线l：x＝2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，动点P在直线BC下方的抛物线上，连接PO，PC，当m为何值时，四边形OPCE面积最大，并求出其最大值；（3）如图2，F是抛物线的对称轴l上的一点，连接PO，PF，OF，在抛物线x轴下方的图象上是否存在点P使△POF满足：①∠OPF＝90°；②tan∠POF=12？若存在，求点P的坐标，若不存在，请说明理由．2023-2024学年江苏省苏州市工业园区八校联考九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每题3分，共24分） 1．（3分）cos60°的值等于（ ） A ．√3B ．√2C ．√22D ．12【分析】根据特殊角的三角函数值，即可解答． 【解答】解：cos60°=12， 故选：D ．2．（3分）关于一元二次方程x 2+4x +4＝0根的情况，下列说法中正确的是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根 D ．无法确定【分析】求出方程判别式Δ的值，判断其与0的大小关系，再判断每个选项的说法正确与否即可． 【解答】解：根据题意有， Δ＝42﹣4×1×4＝0， ∴方程有两个相等的实数根． 故选：B ．3．（3分）关于抛物线y ＝﹣x 2+x +2，下列结论正确的是（ ） A ．抛物线开口向上B ．当x ＜1时，y 随x 的增大而减小C ．抛物线的对称轴是直线x =12 D ．函数y ＝﹣x 2+x +2的最大值为2【分析】把函数配方为顶点式，运用性质逐一判断即可． 【解答】解：抛物线y ＝﹣x 2+x +2＝﹣（x −12）2+94， 由于a ＝﹣1＜0，开口向下，选项A 不正确；抛物线的对称轴是直线x=−12×(−1)=12，故选项C正确；所以当x＜12时，y随x的增大而减小，故选项B不正确；函数y＝﹣x2+x+2的最大值为94，选项D不正确．故选：C．4．（3分）为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为64元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x，可列方程得（）A．100（1﹣x）2＝64B．100（1+x）2＝64C．100（1﹣2x）＝64D．100（1+2x）＝64【分析】设该药品平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格＝降价前的价格×（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是100（1﹣x），第二次降价后的价格是100（1﹣x）2，据此即可列方程求解．【解答】解：根据题意得：100（1﹣x）2＝64，故选：A．5．（3分）若A（﹣4，y1），B（﹣3，y2），C（1，y3）为二次函数y＝ax2+4ax+a（a＞0）的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y2【分析】先求出抛物线对称轴解析式，再根据点A、B、C到对称轴的距离的大小与抛物线的增减性解答．【解答】解：二次函数y＝ax2+4ax+a（a＞0）的对称轴为直线x=−4a2a=−2，∵a＞0，∴抛物线开口向上，∵点A、B、C到对称轴的距离分别为2、1、3，∴y2＜y1＜y3．故选：B．6．（3分）函数y＝ax2﹣a与y＝ax﹣a（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【分析】分a ＞0与a ＜0两种情况考虑两函数图象的特点，再对照四个选项中图形即可得出结论． 【解答】解：①当a ＞0时，二次函数y ＝ax 2﹣a 的图象开口向上、对称轴为y 轴、顶点在y 轴负半轴，一次函数y ＝ax ﹣a （a ≠0）的图象经过第一、三、四象限，且两个函数的图象交于y 轴同一点； ②当a ＜0时，二次函数y ＝ax 2﹣a 的图象开口向下、对称轴为y 轴、顶点在y 轴正半轴，一次函数y ＝ax ﹣a （a ≠0）的图象经过第一、二、四象限，且两个函数的图象交于y 轴同一点． 对照四个选项可知D 正确． 故选：D ．7．（3分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 边上的高，CE 是AB 边上的中线，AD ＝3，CE ＝5，则tan ∠BCE 的值为（ ）A ．12B ．√217C ．√55D ．√3010【分析】由直角三角形斜边中线等于斜边的一半得AE ＝BE ＝CE ，由BE ＝CE 得∠BCE ＝∠BEC ，通过勾股定理求出CD 长，然后求解．【解答】解：∵CE 是AB 边上的中线，CE ＝5， ∴AE ＝BE ＝5，AB ＝10， ∴∠BCE ＝∠EBC ， ∵AD ＝3，∴BD ＝AB ﹣AD ＝7，DE ＝AE ﹣AD ＝2，在Rt △CDE 中，由勾股定理得： CD =√CE 2−DE 2=√52−22=√21， ∴tan ∠BCE ＝tan ∠EBC =CD BD =√217． 故选：B ．8．（3分）如图，O 为坐标原点，边长为1的正方形OABC 的顶点A 在x 轴的正半轴上，将正方形OABC 绕顶点O 顺时针旋转75°，使点B 落在某抛物线上，则该抛物线的解析式为（ ）A ．y =√23x 2B ．y =−√23x 2C ．y =−12x 2D ．y ＝﹣3x 2【分析】过点B 向x 轴引垂线，连接OB ，可得OB 的长度，进而得到点B 的坐标，代入二次函数解析式即可求解．【解答】解：如图，作BE ⊥x 轴于点E ，连接OB ， ∵正方形OABC 绕顶点O 顺时针旋转75°， ∴∠AOE ＝75°， ∵∠AOB ＝45°， ∴∠BOE ＝30°， ∵OA ＝1， ∴OB =√2， ∵∠OEB ＝90°， ∴BE =12OB =√22，∴OE =√62， ∴点B 坐标为（√62，−√22）， 设抛物线的解析式为y ＝ax 2（a ＜0），代入y＝ax2（a＜0）得a=−√23，∴y=−√23x2．故选：B．二、填空题（本大题共8小题每小题3分，共24分）9．（3分）二次函数y＝x2﹣2x+5图象的顶点坐标为（1，4）．【分析】把二次函数解析式化为顶点式可求得答案．【解答】解：∵y＝x2﹣2x+5＝（x﹣1）2+4，∴二次函数图象的顶点坐标为（1，4），故答案为：（1，4）．10．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA=35，BC＝12，则AC＝16．【分析】先利用三角函数求出AB的长，在根据勾股定理可以求解．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴sinA=BCAB=35，即12AB=35，∴AB＝20，由勾股定理得：AC=√AB2−BC2=√202−122=16，故答案为：16．11．（3分）若关于x的一元二次方程x2+3x+m＝0有一个根为x1＝﹣4，则另一根为x2＝1．【分析】由方程的另一个根为x2，结合根与系数的关系可得出﹣4+x2＝﹣3，从而可得答案．【解答】解：∵x1＝﹣4，方程的另一个根为x2，∴﹣4+x2＝﹣3，∴x2＝1．故答案为：1．12．（3分）若m是方程x2+x﹣1＝0的一个根，则代数式﹣2m+2025﹣2m2的值为2023．【分析】利用一元二次方程根的定义得到m2+m﹣1＝0，然后把m2+m＝1代入﹣2m+2025﹣2m2中进行整式的运算即可．【解答】解：∵m是方程x2+x﹣1＝0的一个根，∴m2+m﹣1＝0，∴m2+m＝1，∴﹣2m+2025﹣2m2＝2025﹣2（m2+m）＝2025﹣2＝2023．故答案为：2023．13．（3分）如图，在4×4网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若△ABC的顶点均是格点，则sin∠BAC的值为√55．【分析】连接BD，CD，由tan∠ACK＝tan∠DCM=12，得到∠ACK＝∠DCM，由∠DCM+∠DCK＝180°，得到∠ACK+∠DCK＝180°，推出A、C、D共线，由勾股定理的逆定理推出∠BDC＝90°，由勾股定理求出BD=√5，AB=√32+42=5，即可求出sin∠BAC=BDAB=√55．【解答】解：连接BD，CD，∵tan∠ACK＝tan∠DCM=1 2，∴∠ACK＝∠DCM，∵∠DCM+∠DCK＝180°，∴∠ACK+∠DCK＝180°，∴A 、C 、D 共线，∵CD 2＝BD 2＝22+12，BC 2＝32+12，∴BC 2＝BD 2+CD 2，∴∠BDC ＝90°，∵BD =√5，AB =√32+42=5，∴sin ∠BAC =BD AB =√55． 故答案为：√55．14．（3分）为了使居住环境更加美观，某小区建造了一个小型喷泉，水流从地面上的点O 喷出，在各个方向上沿形状相同的抛物线落到地面，某方向上抛物线的形状如图所示，落点A 到点O 的距离为4，水流喷出的高度y （m ）与水平距离x （m ）之间近似满足函数关系式y =ax 2+245x ，则水流喷出的最大高度为 245m ．【分析】先确定点A 的坐标，进而可求出a 的值，得到函数关系式，利用配方法或顶点公式可求出水流喷出的最大高度．【解答】解：由题意，得点A 的坐标为（4，0），将A （4，0）代入y =ax 2+245x 得0＝16a +245×4，解得a =−65，∴函数关系式为y =−65x 2+245x ，∵y =−65x 2+245x =−65(x −2)2+245， ∴水流喷出的最大高度为245m ． 故答案为：245m ．15．（3分）已知二次函数y ＝ax 2+2ax +b ，当﹣5≤x ≤﹣3时，y ≥0；当﹣1≤x ≤1时，y ≤0，则b 与a 满足的关系式是 b ＝﹣3a ．【分析】先求出抛物线的对称轴为直线x ＝﹣1．利用抛物线的对称性得到x ＝﹣3和x ＝1时，函数值相等，从而可判断抛物线经过点（1，0），然后把（1，0）代入y ＝ax 2+2ax +b 得a 、b 的关系．【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x =−2a 2a=−1， ∴x ＝﹣3和x ＝1时，函数值相等，而当﹣5≤x ≤﹣3时，y ≥0；当﹣1≤x ≤1时，y ≤0，∴x ＝﹣3时，y ＝0；x ＝1时，y ＝0，即抛物线经过点（1，0），把（1，0）代入y ＝ax 2+2ax +b 得a +2a +b ＝0，∴b ＝﹣3a ．故答案为：b ＝﹣3a ．16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点A 、C 分别是直线y =−83x +4与坐标轴的交点，点B （﹣2，0），点D 是边AC 上的一点，DE ⊥BC ，垂足为E ，点F 在AB 边上，且D 、F 两点关于y 轴上某点成中心对称，连接DF 、EF ．线段EF 长度的最小值为 2√2 ．【分析】过点F ，D 分别作FG ，DH 垂直于y 轴，垂足分别为G ，H ，证明Rt △FGK ≌Rt △DHK ，由全等三角形的性质得出FG ＝DH ，可求出F （﹣m ，﹣2m +4），根据勾股定理得出L ＝EF 2＝8m 2﹣16m +16＝8（m ﹣1）2+8，由二次函数的性质可得出答案．【解答】解：过点F ，D 分别作FG ，DH 垂直于y 轴，垂足分别为G ，H ，则∠FGK ＝∠DHK ＝90°，记FD 交y 轴于点K ，∵D 点与F 点关于y 轴上的K 点成中心对称，∴KF ＝KD ，∵∠FKG ＝∠DKH ，∴Rt △FGK ≌Rt △DHK ，∴FG ＝DH ，∵直线AC 的解析式为y =−83x +4，∴x ＝0时，y ＝4，∴A （0，4），又∵B （﹣2，0），设直线AB 的解析式为y ＝kx +b ，∴{−2k +b =0b =4， 解得{k =2b =4， ∴直线AB 的解析式为y ＝2x +4，过点F 作FR ⊥x 轴于点R ，∵D 点的横坐标为m ，∴F （﹣m ，﹣2m +4），∴ER ＝2m ，FR ＝﹣2m +4，∵EF 2＝FR 2+ER 2，∴l ＝EF 2＝8m 2﹣16m +16＝8（m ﹣1）2+8，令−83x +4=0，得x =32，∴0≤m ≤32．∴当m ＝1时，l 的最小值为8，∴EF 的最小值为2√2．三、解答题（本大题共10小题，共82分）17．（8分）解方程：（1）2x2﹣7x+3＝0；（2）9x2﹣（x﹣1）2＝0．【分析】（1）（2）利用因式分解法解方程．【解答】解：（1）2x2﹣7x+3＝0，因式分解得：（x﹣3）（2x﹣1）＝0，∴x﹣3＝0或2x﹣1＝0，∴x1＝3，x2=1 2；（2）∵9x2﹣（x﹣1）2＝0，因式分解得：（3x+x﹣1）（3x﹣x+1）＝0，∴4x﹣1＝0或2x+1＝0，∴x1=14，x2=−12．18．（6分）计算：4sin30°+|1﹣tan60°|−√2cos45°．【分析】将sin30°=12，tan60°=√3，cos45°=√22代入求解即可得出答案．【解答】解：∵sin30°=12，tan60°=√3，cos45°=√22，∴原式＝2+√3−1﹣1=√3．19．（6分）已知二次函数y＝x2+3mx+2m2﹣1（m为常数）．（1）若点（0，1）在该函数图象上，求m的值；（2）求证：不论m为何值，该二次函数图象与x轴总有2个公共点．【分析】（1）将（0，1）代入函数表达式，即可求解；（2）由Δ＞0，即可求解．【解答】（1）解：将（0，1）代入函数表达式得：2m 2﹣1＝1，解得：m ＝±1；（2）证明：Δ＝b 2﹣4ac ＝9m 2﹣4（2m 2﹣1）＝m 2+4＞0，故不论m 为何值，该二次函数图象与x 轴总有2个公共点．20．（8分）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，垂足为点D ，BC ＝18，AD ＝6．（1）求sin B 的值；（2）点E 在AB 上，且BE ＝2AE ，过E 作EF ⊥BC ，垂足为点F ，求DE 的长．【分析】（1）先利用等腰三角形三线合一的性质求出BD ，然后在Rt △ABD 中，利用勾股定理求出AB ，再根据sin B =AD AB 计算即可；（2）由EF ∥AD ，BE ＝2AE ，可得BE AB =EF AD =BF BD =23，求出EF 、DF ，再利用勾股定理解决问题． 【解答】解：（1）∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，BC ＝18，∴BD ＝DC =12BC ＝9，∴AB =√AD 2+BD 2=√62+92=3√13，∴sin B =AD AB =6313=2√1313；（2）∵AD ⊥BC ，EF ⊥BC ，∴EF ∥AD ，∴BE AB =EF AD =BF BD =23， ∴EF =23AD =23×6＝4，BF =23BD =23×9＝6，∴DF ＝BD ﹣BF ＝9﹣6＝3，在Rt △DEF 中，DE =√EF 2+DF 2=√42+32=5．21．（8分）在一元二次方程x 2﹣2ax +b ＝0中，若a 2﹣b ＞0，则称a 是该方程的中点值．（1）方程x 2﹣8x +3＝0的中点值是 4 ．（2）已知x 2﹣mx +n ＝0的中点值是3，其中一个根恰好等于n ，求n 的值．【分析】（1）利用方程的中点值求解，即可解答；（2）先根据方程的中点值的定义可得−m −2=3，从而可得：m ＝6，进而可得x 2﹣6x +n ＝0，然后把x ＝n代入方程x 2﹣6x +n ＝0中得：n 2﹣6n +n ＝0，从而进行计算即可解答．【解答】解：（1）∵（−8−2）2﹣3＝42﹣3＝16﹣3＝13＞0，∴方程x 2﹣8x +3＝0的中点值是4，故答案为：4；（2）由题意得：−m −2=3，解得：m ＝6，∴方程可化为：x 2﹣6x +n ＝0，把x ＝n 代入方程x 2﹣6x +n ＝0中得：n 2﹣6n +n ＝0，即n 2﹣5n ＝0，n （n ﹣5）＝0，解得：n ＝0或n ＝5．22．（8分）已知二次函数y ＝ax 2+4ax +3a （a 为常数）．（1）若二次函数的图象经过点（2，3），求函数y 的表达式．（2）在（1）的条件下，当﹣1≤x ≤2时，求函数y 的最大值和最小值．（3）若二次函数在﹣3≤x ≤1时有最大值8，求a 的值．【分析】（1）利用待定系数法即可求得；（2）抛物线开口向上，顶点为最低点，x ＝﹣1时y 取最小值0，x ＝2时y 取最大值3．（3）求得抛物线的对称轴为直线x ＝﹣2，即可根据题意得到x ＝1时，y ＝8或﹣a ＝8，即可得到a ＝1或a ＝﹣8．【解答】解：（1）∵二次函数的图象经过点（2，3），∴3＝4a +8a +3a ，∴a =15，∴函数y 的表达式为y =15x 2+45x +35．（2）∵y =15x 2+45x +35=15（x +2）2−15，∴抛物线开口向上，顶点为（﹣2，−15），∴x＝﹣1时，y=15（﹣1+2）2−15=0，当x＝2时，y=15（2+2）2−15=3，∴当﹣1≤x≤2时，函数y的最大值是3，最小值0．（3）∵y＝ax2+4ax+3a＝a（x+2）2﹣a，∴抛物线对称轴为直线x＝﹣2，∵二次函数在﹣3≤x≤1时有最大值8，∴x＝1时，y＝8或﹣a＝8，∴a+4a+3a＝8，∴a＝1或a＝﹣8．∴a的值是1或﹣8．23．（8分）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）．如图①：在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA=底边腰=BCAB，容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：（1）sad60°＝1．（2）对于0°＜A≤90°，∠A的正对值sadA的取值范围是0＜sadA≤√2．（3）如图②，已知cos A=1213，其中∠A为锐角，试求sadA的值．【分析】（1）当顶角为60°时，可求出等腰三角形底角度数，进而得到该三角形为等边三角形，从而得出sad60°的值；（2）可分别根据当∠A接近0°时和当∠A＝90°时，分别讨论，就可得出sadA的取值范围；（3）设AB＝13a，AC＝12a，则BC＝5a，要求sadA的值，就要构造等腰三角形，即在AB上取点D，使AD＝AC＝12a，连接CD，作DH⊥AC于点H，用a表示出DH和AH的长，从而得出CH的长，再根据勾股定理就可得出CD的长，再利用sadA的定义就可得出答案．【解答】解：（1）根据正对定义，当顶角为60°时，等腰三角形底角为60°，则三角形为等边三角形， 则sad 60°=底边腰长=1． 故答案为：1；（2）当∠A 接近0°时，sadA 接近0，当∠A ＝90°时，等腰三角形的底等于腰的√2倍，故sadA =√2，∴sadA 的取值范围是0＜sadA ≤√2．故答案为：0＜sadA ≤√2；（3）如图△ACB 为直角三角形．设AB ＝13a ，AC ＝12a ，则BC ＝5a ，∴sin A =513，在AB 上取点D ，使AD ＝AC ＝12a ，连接CD ，作DH ⊥AC 于点H ，则DH ＝AD •sin A ＝12a ×513=6013a ，AH ＝AD •cos A ＝12a ×1213=14413a ， ∴CH ＝12a −14413a =1213a∴CD =√CH 2+DH 2=√(1213a)2+(6013a)2=12√2613a ， 由正对的定义可得：sadA =CD AD =√2613．24．（10分）如图，抛物线y ＝﹣x 2+2x +3交y 轴于点A ，点B 是x 轴正半轴上一动点，点P 为抛物线在第一象限的点，其纵坐标为74，OC ∥BP 交x 轴上方的抛物线于点C ，经过C ，P 的直线交y 轴于点E ，交x 轴于点F ．（1）点P 的坐标为 （2.5，74） ； （2）当点C 与点A 重合时，求OF 的长；（3）当OB ＝BF ，且∠CEO ＝∠COE 时，设△BFP ，四边形OBPC ，△OEC 的面积分别为S 1，S 2，S 3，则S 1：S 2：S 3＝ 1：3：4 ．【分析】（1）把y =74代入解析式y ＝﹣x 2+2x +3中，利用点P 为抛物线在第一象限的点，进而得出点P 的坐标即可；（2）当点C 与点A 重合时，画出图形，利用利用A ，P 坐标得出直线AP 的解析式，令y ＝0得出点F 的坐标，进而解答即可；（3）利用相似三角形的性质解答即可．【解答】解：（1）∵点P 为抛物线在第一象限的点，其纵坐标为74，把y =74代入解析式y ＝﹣x 2+2x +3中， 可得：x ＝﹣0.5（舍去），x ＝2.5， ∴点P 的坐标为（2.5，74）；故答案为：（2.5，74）；（2）当点C 与点A 重合时，如备用图：∵OC ∥BP ，∴直线CP 即为直线AP ， 设直线AP 的解析式为：y ＝kx +b ，把（0，3），（2.5，74）代入y ＝kx +b 中，可得：{b =32.5k +b =74， 解得：{k =−0.5b =3，∴直线AP 的解析式为：y ＝﹣0.5x +3， 令y ＝0，可得：x ＝6 ∴OF ＝6． （3）∵OC ∥BP ， ∴△BPF ∽△OCF ， ∵OB ＝BF ， ∴S △BPF S △OCF=14，∴S 1：S 2＝1：3， ∵∠CEO ＝∠COE ， ∴CE ＝OC ，∵OB ＝BF ，OC ∥BP ， ∴CP ＝PF ， ∴EC ＝CF ，∴12S△OECS △OEF=14，∴S 2：S 3＝1：1， ∴S 1：S 2：S 3＝1：3：4， 故答案为：1：3：4．25．（10分）根据以下素材，完成探索任务． 问题的提出根据以下提供的素材，在总费用（新墙的建筑费用与门的价格和）不高于6400元的情况下，如何设计最大饲养室面积的方案？素材1：图1是某农场拟建两间矩形饲养室，饲养室的一面靠现有墙，中间用一道墙隔开，计划中建筑材料可建围墙的总长为20m ，开2个门，且门宽均为1m ．素材2：2个门要求同一型号，有关门的采购信息如表．如表素材3：与现有墙平行方向的墙建筑费用为400元/米，与现有墙垂直方向的墙建筑费用为200元/米．问题解决【分析】任务一：先根据题中条件写BC的长，即可求出S关于x的函数表达式；任务二：先根据1＜BC≤16，解出2≤x＜7，写出新墙建筑费用的代数式，然后分选用型号A门和型号C门两种情况，利用总费用不高于6400元，分别求出x的取值范围即可；任务三：先把函数表达式配成顶点式，然后根据x的取值范围和图象开口方向即可求出面积的最大值．【解答】解：任务1：根据题意可得BC＝20+2﹣3x＝（22﹣3x）m，∴S＝AB•BC＝x（22﹣3x）＝﹣3x2+22x；任务2：由题意知1＜BC≤16，即1＜22﹣3x≤16，解得：2≤x＜7，根据题意可得：新墙建筑费用＝200（3x﹣1）+400（21﹣3x）＝（8200﹣600x）元，若选型号A 门，则总费用＝8200﹣600x +500＝（8700﹣600x ）元， ∵总费用不高于6400元，∴8700﹣600x ≤6400，解得：x ≥236， ∴236≤x ＜7；若选型号C 门，则总费用＝8200﹣600x +600＝（8800﹣600x ）元， ∵总费用不高于6400元，∴8800﹣600x ≤6400，解得：x ≥4， ∴4≤x ＜7；综上所述：当选型号A 门时，自变量x 的取值范围为：236≤x ＜7，当选型号C 门时，自变量x 的取值范围为：4≤x ＜7；任务3：由任务1知S ＝﹣3x 2+22x ＝﹣3（x −113）2+1213， ∵﹣3＜0，图象开口向下，且113＜236＜4，∴当x =236时，面积S 有最大值，最大值为1614， 此时BC ＝22﹣3×236=212（m ）， ∴我的设计方案是选型号A 门，AB =236m ，BC =212m ，S 的最大值为1614m 2；故答案为：A ，236，212，1614．26．（10分）如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过点A （0，3），B （1，0），其对称轴为直线l ：x ＝2，过点A 作AC ∥x 轴交抛物线于点C ，∠AOB 的平分线交线段AC 于点E ，点P 是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m ． （1）求抛物线的解析式；（2）如图1，动点P 在直线BC 下方的抛物线上，连接PO ，PC ，当m 为何值时，四边形OPCE 面积最大，并求出其最大值；（3）如图2，F 是抛物线的对称轴l 上的一点，连接PO ，PF ，OF ，在抛物线x 轴下方的图象上是否存在点P 使△POF 满足：①∠OPF ＝90°；②tan∠POF =12？若存在，求点P 的坐标，若不存在，请说明理由．【分析】（1）由题意得：{c =3a +b +c =0−b2a =2，解之即可求解；（2）四边形OPCE 面积S ＝S △OCE +S △OCP =12×EF ×AC +12PH ×AC ，即可求解；（3）证明△PMO ∽△FNP ，而tan∠POF =12，则△PMO 和△FNP 的相似比为2：1，即OM ＝2PN ，即可求解．【解答】解：（1）由题意得：{c =3a +b +c =0−b2a =2，解得{a =1b =−4c =3， 故抛物线的表达式为：y ＝x 2﹣4x +3；（2）点A （0，3），函数的对称轴为直线x ＝2，则点C （4，3），∵OE 是∠AOB 的平分线，故∠AOE ＝45°，则△AOE 为等腰直角三角形，故AE ＝OA ＝3，故点E （3，3）；连接OC ，过点E 、P 分别作y 轴的平行线分别交OC 于点F 、H ，由点O 、C 的坐标得，直线OC 的表达式为：y =34x ，当x ＝3时，y =94，故F （3，94），则EF ＝3−94=34，设点P （m ，m 2﹣4m +3），则点H （m ，34m ），则四边形OPCE面积S＝S△OCE+S△OCP=12×EF×AC+12PH×AC=12×4×（34+34m﹣m2+4m﹣3）＝﹣2m2+192m−92，∵﹣2＜0，故S有最大值，当m=198时，S的最大值为21732；（3）存在，理由：过点P作x轴的平行线交y轴于点M，交直线l于点N，设点P（m，m2﹣4m+3），∵∠OPF＝90°，则∠MOP+∠MPO＝90°，∠OPM+∠FPN＝90°，∵∠FPN＝∠POM，∴△PMO∽△FNP，∵tan∠POF=12，即△PMO和△FNP的相似比为2：1，则OM＝2PN，即﹣（m2﹣4m+3）＝2|2﹣m|，解得：m＝3−√2或1+√2，故点P的坐标为（3−√2，2﹣2√2）或（1+√2，2﹣2√2）．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
八校联考数学试卷
说明：本卷共有六个大题，25个小题；全卷满分120分；考试时间120分钟． 题目 一 二 三 四 五 六 总分 分数
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个正确选项，请把正确选项的代号填在题后的括号内．） 1.－4的相反数等于（ ）
A. 4
B. -4
C. 41
D. 4
1
-
2.下列运算中，正确的是（ ）
A ． 422x x x =+
B ． 22x x x =÷
C ． 4224)2(x x -=-
D ． 32x x x =⋅
3.2008年11月26日,“中国红歌会”在人民大会堂成功举行. “中国红歌会”
自2006年以来连续举办三届,报名人数达到138000余人，用科学计数法表示为（ ）
A.人4108.13⨯
B.人5108.13⨯
C.人510381
⨯． D ．人610381⨯． 4. 下面有4个汽车标志图案，其中是轴对称图形的是：（ ）
① ② ③ ④
A.②③④
B.①③④
C.①②④
D.①②③ 5.抛物线542
+-=x x y 的顶点坐标是( )
A.( 2, 1 )
B.( -2, 1 )
C.( 2, 5 )
D.( -2，5） 6. 将一张等腰梯形纸片沿中位线剪开，拼成一个新的图形， 这个新的图形可以是下列图形中的（ ）。
A. 三角形
B. 平行四边形
C. 矩形
D. 正方形 7.如果小明将镖随意投中如图所示的正方形木框中， 那么投中阴影部分的概率为 （ ）
A ．16
B ． 18
C ． 19
D ． 112
8.如图,矩形ABCD 内接于⊙O ,且AB =3,BC =1.则图
中阴影部分所表示的扇形AOD 的面积为( )
A. 3π
B. 4π
C. 6π
D.8
π
9.如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴 影部分）与△ABC
相似的是（ ）
10.在平面直角坐标系中,已知点A (-4,0),点B (2,0),若点C 在一次函数
1
22
y x =-+的图象上，且△ABC 为等腰三角形，则满足条件的点C 有
（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11.函数2y x =- 中，自变量x 的取值范围是 . 12.一组数据4、-2、5、7,、-3的中位数为 . 13.选做题(从下面两题中只选做一题．．．．．．．．．．．,．如果做了两题的．．．．．．．,．只按第．．．(．Ⅰ．)．题评分．．．) (Ⅰ)分解因式:2
2
22x y -= .
(Ⅱ)用计算器计算：157•= (保留三位有效数字).
14.如图, AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠BAC =30°，
点P 在线段OB 上运动.设∠ACP =x ，则x 的取值范围是 .
15.不等式组369
240x x ->⎧⎨-<⎩
的解集是 .
16.如图,在正方形纸片ABCD 中,对角线AC 、BD 交于 点O ，折叠正方形纸片ABCD ，使AD 落在BD 上，点
A 恰好与BD 上的点F 重合，展开后，折痕DE 分别交
AB 、AC 于点E 、G ，连接GF .下列结论: ①∠AGD =112.5°;②S △AGD =S △OGD ;③四边形AEFG
是菱形;④BE =2OG .则其中正确结论的序号是 .
三、（本大题共3小题，第17小题6分，第18、19小题各7分，共20分）
A
D
C
B
E
F O
G
第（16）题第(14)题
A B
O C x P
学校 班级 考场号 学号 姓名
………密……………封……………线………………内………………不…………………准…………………答……………题………
A
B
C
D O
第（8）题
第7
第（6）题
17.计算
:101()3(2(1)2
-+-+-+-
18.我国在2009年准备进行燃油税费改革：取消养路费，增加汽油消费税. (1)2008年全国的汽油总销量为2600亿升,全国的养路费总额是1300亿元.税费改革前90号汽油价格为每升6元,税费改革后汽油应定价多少时才能使2008年收取的养路费与增加汽油消费税金额相当?( 税费改革后汽油应定价=汽油价格+汽油消费税)
(2)据小明统计:他家的轿车百公里耗油10升,每年需交养路费1440元,在(1)的条件下,请你计算小明家的汽车一年行驶多少公里时税费改革后交纳的汽油消费税不超过需交纳的养路费？
19.一个不透明的袋中装有五个大小、形状、质地完全相同的小球，小球上分别标有数字分别是 (1)小明随机从袋中取出一个小球，取到的小球上标有负数的概率是多少？
（2）小明先从袋中取出一个小球，把它的数字计为a ，再从剩下．．的小球中又取出一个小球，把它的数字计为b 。
试用画树形图或列表的方法求出二次函数
23y ax bx =+-的对称轴在y 轴右侧的概率。
（说明： 2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为2b x a
=-）.
四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
20. 如图,在平面直角坐标系中,△ABC 与△A 1B 1C 1关于点E 成中心对称. (1)画出对称中心E ,点E 的坐标是( ).
(2)P （a ,b )是边上的一点，△ABC 经过平移后点P 的对应点为P 2（a +6,b +2），请画出上述平移后的△A 2B 2C 2.
(3)直接判断并写出△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的位置关系为_______ ___.
21.下表（或直方图）是25届到29届奥运会金牌总数与我国奥运健儿获得的金牌
-34-5
……题………
(1) 请根据图形的有关信息补全直方图,并把表格中的数据填写完整. (2) 1992至2008年中国获金牌数的极差是________________.
(3) 2008年第29届奥运会我国奥运健儿还获得银牌21枚、铜牌28枚的骄人成绩,.体育总局提出到2016年第31届奥运会要获得奖牌总数达到121枚,假设后两届运动会奖牌数的增长率相同,求后两届奖牌数的增长率.
五、（本大题共2小题，每22小题8分，第23小题9分，共17分）
22.如图，已知直线AB 与x 轴、y 轴分别交于A 和B ，OA ＝4，且OA 、OB 长
是关于x 的方程x 2－mx ＋12＝0的两实根，以OB 为直径的⊙M 与AB 交于C ，连结CM . （1）求⊙M 的半径.
（2）若D 为OA 的中点，
求证：CD 是⊙M 的切线.
23．东海体育用品商场为了推销某一运动服，先做了市场调查，得到数据如下表：
（1）以x 作为点的横坐标，p 作为纵坐标，把表中的数据，在图中的直角坐标系中描
出相应的点，观察连结各点所得的图形，求p 与x 的函数关系式；
（2）如果这种运动服的买入时为每件40元，试求销售利润y （元）与卖出
价格x （元/件）的函数关系式（销售利润=销售收入－买入支出）； （3）在（2）的条件下，当卖出价为多少时，能获得最大利润？
六、（本大题共2小题，第24小题9分，第25小题10分，共19分）
24. 如图①，在正方形ABCD 中，E 是AB 上的一点，F 是AD 延长线上的一
点，且DF =BE . (1)求证:CE =
CF ;
(2)在图①中,若G 在AD 上,且∠GCE =45°,则GE =BE +GD 成立吗?为什么?
x y A B O M N C D ↑
→
(3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识,完成下题:
如图②,在直角梯形ABCG 中,AG ∥BC (BC ＞AG ), ∠B =90°, AB =BC =12,E 是AB 上一点,且∠GCE =45°,BE =4,求GE 的长.
25．如图已知二次函数图象的顶点为原点， 直线42
1
+=
x y 的图象与该二次函数的图象交于A 点(8,8)，直线与x 轴的交点为C ，与y 轴的交点为B ． （1）求这个二次函数的解析式与B 点坐标；
（2）P 为线段AB 上的一个动点（点P 与A B ，不重合），过P 作x 轴的垂线与
这个二次函数的图象交于D 点，与x 轴交于点E ．设线段PD 的长为h ，点
P 的横坐标为t ，求h 与t 之间的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围；
（3）在（2）的条件下，在线段AB 上是否存在点P ，使得以点P 、D 、B 为顶
点的三角形与BOC △相似？若存在，请求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．
(备用图)
A
B
C
D
E F
G A B
C
E
G
图①
图②。