2020年河南省实验中学八年级(上)第一次月考数学试卷

月考数学试卷
题号一二三总分
得分
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1.在数0、1、、中，最小的数是（）
A. 0
B. 1
C. -
D. -
2.若二次根式有意义，则x应满足（）
A. x≥3
B. x≥-3
C. x＞3
D. x＞-3
3.下列说法不正确的是（）
A. 实数包括正实数、零、负实数
B. 正整数和负整数统称为整数
C. 无理数一定是无限小数
D. 2是4的平方根
4.下列各组数，不是勾股数的是（）
A. 3，4，5
B. 6，8，10
C. 12，16，20
D. 32，42，52
5.做课间操时，小明、小刚和小红三人的相对位置（如图），
如果用（3，4）表示小明的位置，（1，3）表示小刚的位
置，则小红的位置可表示为（）
A. （0，0）
B. （0，1）
C. （1，0）
D. （1，2）
6.如图点A，B，C在正方形网格中的格点上，每个小正方形的边
长为1，则下列关于△ABC边长的说法，正确的是（）
A. AB，BC长均为有理数，AC长为无理数
B. AC长是有理数，AB，BC长均为无理数
C. AB长是有理数，AC，BC长均为无理数
D. 三边长均为无理数
7.若a2=16，=-2，则a+b的值是（）
A. 12
B. 12或4
C. 12或±4
D. -12或4
8.如图：一个长、宽、高分别为4cm、3cm、12cm的长方体盒子能容
下的最长木棒长为（）
A. 11cm
B. 12cm
C. 13cm
D. 14cm
9.如图，在2×2的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A、
B、C均为格点，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交格线于
点D，则以B、C、D为顶点的三角形面积为（）
A. B. C. D.
10.在我国古代数学著作《九章算术》的第九章《勾股》
中记载了这样的一个问题：“今天有开门去阔一尺，
不合二寸，问门广几何？”意思是：如图，推开两扇
门（AD和BC），门边缘D，C两点到门槛AB的距
离是1尺（1尺=10寸），两扇门的间隙CD为2寸，则门宽AB长是（）．
A. 101寸
B. 100寸
C. 52寸
D. 96寸
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11.+=______．
12.比较大小：-3______-2（填“＜”或“＞”）．
13.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=2BC=2，在AC
上截取CD=CB．在AB上截取AP=AD，则=______．
14.如图，ABCD是长方形地面，长AB=10m，宽AD=5m，中间竖有一堵砖墙高MN=1m．一
只蚂蚱从点A爬到点C，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走______m．
15.如图，长方形ABCD中，AB=8，BC=12，点E是边BC
上一点，BE=5，点F是射线BA上一动点，连接EF，
将△BEF沿着EF折叠，使B点的对应点P落在长方形
边的垂直平分线上，连接BP，则BP的长是______．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分）
16.计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
17.实数与数轴上的点成一一对应，无理数也可以在数轴上表示出来．
（1）如图，A点表示的数是______；
（2）请你借助刻度尺、三角板、圆规等作图工具，运用合理的方法，在数轴上作出表示的点（保留作图痕迹，标清数据，不写作法，不另下结论）
18.如图，用两个边长为10的小正方形拼成一个大的正方形．
（1）大正方形的边长长度是______；
（2）若沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，使长方形的边与大正大方形的边重合或平行，能否使剪出的长方形的长宽之比为3：2，且面积为400cm2？说明理由．
19.某地气象资料表明：当地雷雨持续的时间t（h）可以用下面的公式来估计：t2=，
其中d（km）是雷雨区域的直径．
（1）如果雷雨区域的直径为6km，那么这场雷雨大约能持续多长时间？（结果如有根号，请保留根号）
（2）如果一场雷雨持续了0.9h，那么这场雷雨区域的直径大约是多少？
20.如图，一块铁皮（图中阴影部分），测得AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，∠B=90°．求
阴影部分的面积．
21.在一棵树的10米高的B处有两只猴子．一只猴子爬下树走
到离树20米的池塘的A处．另一只爬到树顶D后直按跃到A
处．距离以直线计算．如果两只猴子所经过的距离相等．则
这棵树高多少米？
22.数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它
们在一定条件下可以相互转化，数形结合就是把抽象的数学
语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通
过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思
维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而
起到优化解题途径的目的．
（1）【思想应用】已知m，n均为正实数，且m+n=2，求
的最小值．通过分析，爱思考的小明想到
了利用下面的构造解决此问题：如图，AB=2，AC=1，BD=2，AC⊥AB，BD⊥AB，点E是线段AB上的动点，且不与端点重合，连接CE，DE，设AE=m，BE=n，
①用含m的代数式表示CE=______，用含n的代数式表示DE=______；
②据此求的最小值；
（2）【类比应用】根据上述的方法，代数式的最小值是______．
23.我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角
形．例如：某三角形三边长分别是5，6和8，因为62+82=4×52=100，所以这个三角形是常态三角形．
（1）若△ABC三边长分别是2，和4，则此三角形______常态三角形（填“是”
或“不是”）；
（2）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，点D为AB的中点，连接CD，CD=AB，
若△ACD是常态三角形，求△ABC的面积；
（3）若Rt△ABC是常态三角形，斜边是2，则此三角形的两直角边的和=______．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：根据有理数比较大小的方法，可得
-＜-＜0＜1，
∴四个有理数0，1，-，-中，最小的数是-．
故选：D．
有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．
2.【答案】B
【解析】解：由题意知，x+3≥0．
解得x≥-3．
故选：B．
根据二次根式有意义的条件得到：x+3≥0．
考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
3.【答案】B
【解析】解：A、实数包括正实数、零、负实数，正确；
B、正整数、0和负整数统称为整数，错误；
C、无理数一定是无限小数，正确；
D、2是4的平方根，正确；
故选：B．
根据实数的相关概念解答即可．
此题考查实数的定义的相关概念，关键是根据实数的相关概念解答．
4.【答案】D
【解析】解：A、32+42=52，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数；
B、62+82=102，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数；
C、122+162=202，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数；
D、92+162≠252，不能构成直角三角形，故不是勾股数；
故选：D．
欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
此题主要考查了勾股定理逆定理以及勾股数，解答
此题掌握勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已
知△ABC的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三
角形．
5.【答案】B
【解析】解：如图所示：小红的位置可表示为（0，
1）．
故选：B．
直接利用已知坐标得出原点位置进而得出答案．
此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．
6.【答案】B
【解析】解：由勾股定理得：AC==5，是有理数，不是无理数；
BC==，是无理数；
AB==，是无理数，
即网格上的△ABC三边中，AC长是有理数，AB，BC长均为无理数，
故选：B．
根据勾股定理求出三边的长度，再判断即可．
本题考查了无理数和勾股定理，能正确根据勾股定理求出三边的长度是解此题的关键．7.【答案】B
【解析】解：∵a2=16，=-2，
∴a=±=±4，-b=（-2）3=-8，
∴a=±4，b=8，
∴a+b=4+8=12或a+b=-4+8=4．
故选：B．
根据a2=16，=-2，可得：a=±，-b=（-2）3，据此分别求出a、b的值各是多少，再把它们相加，求出a+b的值是多少即可．
此题主要考查了立方根和平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
8.【答案】C
【解析】解：∵侧面对角线BC2=32+42=52，
∴CB=5m，
∵AC=12m，
∴AB==13（m），
∴空木箱能放的最大长度为13m，
故选：C．
首先利用勾股定理计算出BC的长，再利用勾股定理计算出AB的长即可．
此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
9.【答案】D
【解析】解：连接AD，
由勾股定理得，DE==，
∴CD=EC-ED=2-，
∴△BCD的面积=×（2-）×1=，
故选：D．
连接AD，根据勾股定理求出DE，得到CD的长，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
10.【答案】A
【解析】解：过点D作DE⊥AB，垂足为E，
设单门的宽度AO是x寸，则AE=x-1，DE=10寸，
根据勾股定理，得：AD2=DE2+AE2，
则x2=102+（x-1）2，
解得：x=50.5，
故AB=101寸，
故选：A．
画出直角三角形，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
11.【答案】1
【解析】解：原式=4-3=1，
故答案为：1
原式利用算术平方根，及立方根定义计算即可求出值．
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12.【答案】＞
【解析】解：∵3=，2=，
∴-3＞-2，
故答案为：＞．
先把根号外的因式移入根号内，再判断即可．
本题考查了算术平方根和实数的大小比较，能选择适当的方法比较两个数的大小是解此题的关键，注意：两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．
13.【答案】
【解析】解：如图所示：
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
，
∵AB=2BC=2，
∴AC=，
又∵BC=DC，AC=AD+CD，
∴AD=，
又∵AP=AD，
∴AP=，
，
故答案为：．
由勾股定理，线段的和差，圆的半径相等求出的值为．
本题综合考查了的勾股定理，圆的半径相等，线段的和差等知识点，重点掌握勾股定理的应用．
14.【答案】13
【解析】解：如图所示，
将图展开，图形长度增加2MN，
原图长度增加2米，则AB=10+2=12m，
连接AC，
∵四边形ABCD是长方形，AB=12m，宽AD=5m，
∴AC=m，
∴蚂蚱从A点爬到C点，它至少要走13m的路程．
故答案为：13．
连接AC，利用勾股定理求出AC的长，再把中间的墙平面展开，使原来的矩形长度增加而宽度不变，求出新矩形的对角线长即可．
本题考查的是平面展开最短路线问题及勾股定理，根据题意画出图形是解答此题的关键．
15.【答案】4或2或2
【解析】解：分两种情况：
①当P落在AB边的垂直平分线上，且F在BA延长线上时，
如图1所示：
作PM⊥BC于M，
则PM=AB=4，∠PMB=90°，
由折叠的性质得：PE=BE=5，
∴EM==3，
∴BM=BE+EM=8，
∴BP===4；
当P落在AB边的垂直平分线上，且F在线段BA上时，
如图2所示：
作PN⊥BC于N，
则PN=AB=4，∠PNB=90°，
由折叠的性质得：PE=BE=5，
∴EN==3，
∴BN=BE-EN=2，
∴BP===2；
②当P落在BC边的垂直平分线上时，如图3所示：
则BN=BC=6，∠PNB=90°，
由折叠的性质得：PE=BE=5，
∴EN=BN-BE=1，PN===2，
∴BP===2；
综上所述，BP的长是4或2；
故答案为：4或2或2．
分两种情况①当P落在AB边的垂直平分线上时；②当P落在BC边的垂直平分线上时；由折叠的性质和勾股定理即可得出答案．
本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质等知识；熟练掌握翻折变换的性质和勾股定理是解题的关键．
16.【答案】解：（1）原式=×2+2
=10+2；
（2）原式=÷
=
=；
（3）原式=+12-（4-）
=+12-3
=12-2；
（4）原式=（11-4）（11+4）-（6+6-6-）
=25-5．
【解析】（1）直接利用二次根式的性质计算得出答案；
（2）直接利用二次根式的性质计算得出答案；
（3）直接利用二次根式的性质计算得出答案；
（4）直接利用二次根式的性质计算得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
17.【答案】
【解析】解：（1）由勾股定
理得：==，
∴A点表示的数是：，
故答案为：；
（2）设点A表示的数为1，点O为原点，以OB=2为直角边作直角三角形AOB，
则AB==，
以A为圆心，AB长为半径画弧，交数轴负半轴于P，
则P表示的数为1-．
（1）由勾股定理和圆的性质即可得出答案；
（2）由勾股定理求出AB的长为，再以A为圆心，AB长为半径画弧，交数轴负半轴于P，点P即为所求．
本题考查了实数与数轴的关系、勾股定理以及圆的知识；熟练掌握勾股定理是解题的关键．
18.【答案】10
【解析】解：（1）大正方形的边长是；
故答案为：10
（2）设长方形纸片的长为3xcm，宽为2xcm，
则3x•2x=400，
解得：x=，
因为＜10，
所以沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能使剪出的长方形纸片的长宽之比为2：3，且面积为400cm2
（1）根据已知正方形的面积求出大正方形的边长即可；
（2）先求出长方形的长和宽，再判断即可．
本题考查了矩形的性质和算术平方根，能根据题意列出算式是解此题的关键．
19.【答案】解：（1）根据：t2=，其中d=6（km），
t==（h），
答：这场雷雨大约能持续h；
（2）根据：t2=，其中t=0.9h，
d=9（km），
答：这场雷雨区域的直径大约是9km．
【解析】（1）根据：t2=，其中d=6（km）是雷雨区域的直径，开平方的意义，可得答案；
（2）根据：t2=，其中t=0.9h是雷雨区域的直径，开平方的意义，可得答案．
本题考查了算术平方根，注意一个正数的算术平方根只有一个．
20.【答案】解：如图，连接AC．
∵△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，
∴AC==5．
∵CD=12，AD=13，AC=5，
∴AC2+CD2=AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴S阴影
=S△ACD-S△ABC=×5×12-×3×4=30-6=24．
【解析】先根据勾股定理求出AC的长，再由勾股定理的逆定理判断出△ACD是直角三角形，进而可得出结论．
本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理，三角形的面积等知识，先根据题意判断出△ACD是直角三角形是解答此题的关键．
21.【答案】解：
设树高为xm，则BD=x-10，
则题意可知CD+AC=x+20=30，
∴AB=30-BD=30-（x-10）=40-x，
∵△ABC为直角三角形，
∴AB2=AC2+BC2，即（40-x）2=202+x2，
解得x=15，即树高为15m，
【解析】设树高为xm，则可用x分别表示出AB，利用勾股定理可得到关于x的方程，可求得x的值．
本题主要考查勾股定理的应用，用树的高度表示出AC，利用勾股定理得到方程是解题的关键．
22.【答案】20
【解析】解：（1）①在Rt△ACE中，CE=，
在Rt△BDE中，DE==；
②=CE+DE，
而CE+DE≥CD（当且仅当C、E、D共线时取等号），
作DH⊥CA交CA的延长线于H，如图，易得四边形ABDH为矩
形，
∴AH=BD=2，DH=AB=2，
在Rt△CHD中，CD==，
∴CE+DE的最小值为，
即的最小值为；
（2）如图，设AB=16，CA=5，BD=7，AE=x，则BE=16-x，
在Rt△ACE中，CE==，
在Rt△BDE中，DE==；
=CE+DE，
而CE+DE≥CD（当且仅当C、E、D共线时取等号），
作DH⊥CA交CA的延长线于H，如图，易得四边形ABDH为矩形，
∴AH=BD=7，DH=AB=16，
在Rt△CHD中，CD==20，
∴CE+DE的最小值为20，
即的最小值为20．
故答案为，+；20．
（1）利用勾股定理得到CE=，DE==；则
=CE+DE，利用三角形三边的关系得到CE+DE≥CD（当且仅当C、E、D共线时取等号），作DH⊥CA交CA的延长线于H，如图，易得四边形ABDH为矩形，利用勾股定理计算出CD=，从而得到的最小值；
（2）如图，设AB=16，CA=5，BD=7，AE=x，则BE=16-x，利用勾股定理得到，CE=，DE=；根据三角形三边的关系得到而CE+DE≥CD（当且仅当C、E、D
共线时取等号），作DH⊥CA交CA的延长线于H，如图，易得四边形ABDH为矩形，利用勾股定理计算出CD即可得到的最小值．
本题考查了轴对称-最短路线问题：灵活运用两点之间线段最短或垂线段最短解决此类问题．也考查了勾股定理和类比的方法．
23.【答案】是2+4
【解析】解：（1）∵22+42=4×（）2=20，
∴△ABC三边长分别是2，和4，则此三角形是常态三角形．
故答案为：是；
（2）∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，点D为AB的中点，
∴CD=AD=BD=AB
设CD=AD=BD=AB=x，则AB=2x
由勾股定理得：AC2+62=（2x）2
∴AC2=4x2-36
∵△ACD是常态三角形
∴CD2+AD2=4AC2
∴x2+x2=4（4x2-36）
∴x2=
∴AC2=4×-36=
∴AC=
∴△ABC的面积为：
×AC×BC
=××6
=
∴△ABC的面积为．
（3）∵Rt△ABC是常态三角形
设其两直角边分别为：a，b，斜边为c
则由勾股定理和常态三角形的定义得：
a2+b2=c2，a2+c2=4b2
∴2a2=3b2
∴a：b=：
设a=x，b=x
则c=x
∵斜边是2，即c=2
∴=2
∴x=2
∴a+b=×2+×2=2+4
故答案为：2+4．
（1）直接利用常态三角形的定义判断即可；
（2）直接利用直角三角形的性质结合常态三角形的定义得出AC的长，进而求出答案；（3）利用勾股定理及结合常态三角形的定义得出两直角边的关系，进而得出答案；
本题考查了勾股定理在新定义中的应用，读懂定义的实质，结合勾股定理，是解题的关键．。