点集拓扑学(第一章1.1)
2024年河北师大点集拓扑课件 1[1]0
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2024年河北师大点集拓扑课件 1[1]0一、教学内容本节课我们将学习《点集拓扑》教材的第一章“集合与映射”，具体内容包括集合的基本概念、集合的运算、映射的定义与性质、特殊类型的映射等。
重点在于让学生理解集合与映射的基本理论，为后续的点集拓扑学打下坚实基础。
二、教学目标1. 理解并掌握集合的基本概念，能够运用集合的运算解决实际问题。
2. 理解映射的定义及其相关性质，能够判断不同类型的映射。
3. 培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力，为学习点集拓扑学奠定基础。
三、教学难点与重点教学难点：映射的性质及其判断，特殊类型的映射。
教学重点：集合的基本概念，集合的运算，映射的定义与性质。
四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体设备。
2. 学具：教材、笔记本、文具。
五、教学过程1. 导入：通过实际生活中的例子，引导学生理解集合的概念。
举例：一个班级的学生、所有的偶数、所有的三角形等。
2. 新课讲解：（1）集合的基本概念：集合的定义、元素、集合的表示方法。
（2）集合的运算：交集、并集、补集、幂集。
（3）映射的定义：映射的概念、映射的表示方法。
（4）映射的性质：单射、满射、双射。
（5）特殊类型的映射：恒等映射、投影映射、线性映射。
3. 例题讲解：（1）求集合A和B的交集、并集、补集。
（2）判断给定的映射是否为单射、满射、双射。
4. 随堂练习：（1）已知集合A，求A的幂集。
（2）判断给定映射的类型。
六、板书设计1. 集合的基本概念、运算及表示方法。
2. 映射的定义、性质及特殊类型的映射。
3. 例题及解答。
七、作业设计1. 作业题目：（1）设A为集合，求A的幂集。
（2）已知映射f：A→B，判断f是否为单射、满射、双射。
2. 答案：（1）幂集的求解方法：列举法、公式法。
（2）判断映射类型的依据：映射的定义及性质。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对集合与映射的基本概念掌握程度，对例题的解答情况。
2. 拓展延伸：（1）研究集合的势（cardinality）。
第一章、拓扑学基础
第一章、拓扑学基础1.1拓扑空间概念拓扑空间是一个二元组(S, O)，这里S是给定集合，O是由S的一些子集构成的集类，其元素称为开集，并满足如下开集公理：T1 ∅, S∈O（即，∅, S是开集）；T2 若U1，U2∈O，则U1⋂U2∈O（即，O对有限交封闭）；T3 开集的任意并集还是开集（即，O对任意并封闭）。
註记满足上述开集公理的O，也称为集合S上的拓扑，（S, O）为相应的拓扑空间，也记为S。
例子实数集合ℝ上的标准拓扑：开集定义为若干个开区间的并集。
不难验证：这里定义的开集满足开集公理。
只需说明：两个开区间的交集为空集或开区间。
例子离散拓扑与平凡拓扑对给定的集合S，定义下列两个拓扑：(S,O1): O1由S的所有子集构成，它是S上的拓扑（最大拓扑）。
(S,O2): O2={∅，S}，它是S上的拓扑（最小拓扑）。
练习给出实数集合ℝ上三种不同的拓扑空间结构。
练习设S是一个集合，O由∅，S及S的某个固定子集A的所有子集构成。
验证O是S上的拓扑。
从而，(S，O)是一个拓扑空间。
概念设(S, O)是拓扑空间，称A⊂S是闭集，如果S\A是开集。
拓扑空间S的所有闭集构成集合，记为C。
命题拓扑空间S中的闭集满足闭集公理C1 ∅, S∈C；C2 若A1，A2∈C，则A1⋃A2∈C（即，C对有限并封闭）；C3 闭集的任意交集还是闭集（即，C对任意交封闭）。
证明：利用下列等式可证。
S\(A1⋃A2)=(S\A1)⋂(S\A2)，S\(B ii。
i)=(S\B i)註记开集公理与闭集公理是等价的：若S中的某些子集指定为闭集，并满足闭集公理。
则S是拓扑空间，其开集由闭集的余集所构成。
概念对拓扑空间S，点u∈S的开邻域是指包含u的开集U；子集A⊂S的开邻域是指包含A的开子集；一个点（或子集）的邻域是一个子集，它包含该点（或该子集）的一个开邻域。
例子对拓扑空间ℝ，U=(-1，1)是0的开邻域；W=[-1，1]是0的邻域。
拓扑空间、开集、闭集、闭包、聚点、邻域
拓扑空间、开集、闭集、闭包、聚点、邻域吉首大学数理统计学院点集拓扑学教学计划第一章拓扑空间和拓扑不变量数学分析中连续函数的定义和和域是欧几里德空间(直线、平面或空间)或其一部分。
本章将首先抽象连续函数的定义域和值域的主要特征来定义度量空间，然后抽象连续函数的主要特征来定义度量空间的连续映射。
然后将两者再次抽象，给出了拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射。
然后是拓扑空间的一些基本问题，如邻域、开集、闭集、闭包、聚集点、导集、内部、边界、序列、极限等。
都是一步步提出来的。
此外，还介绍了重要的拓扑不变性，如紧性、连通性、可数性和可分性1.1拓扑空间，开集，闭集，聚集点，闭包，邻域一、问题介绍在数学分析中，我们知道在连续函数的定义中只涉及距离的概念。
该域是一维欧几里德空间，即实空间。
距离d(x，y)=|x-y|，即两个实数之差的绝对值。
该域是n维欧几里德空间。
两点x=(x1，x2，？，xn)，Y=(y1，y2，？，yn) d(x，y)= 1(x1？y1)2？…+(xn？yn)2 .无论它是多维空间，它的距离都有以下属性:1.d(x，y)≥0，？x，y∈R；2.d(x，y) = 0？x = y。
3.d(x，y) = d(y，x)？x，y∈R；4.d(x，z) ≤ d(x，y) + d(y，z)，？x，y，z∈R；这些属性反映了距离的特征。
通过将R推广到一般集合，我们可以从距离中抽象出度量和度量空间的定义。
Nnnn (1)度量空间1.定义定义1设X是一个集合，ρ: x x x → r，如果对于任何X，y，z∈X，有①(正定性)ρ(x，y)≥0且ρ (x，y) = 0？x = y。
(2)(对称性)ρ (x，y) = ρ (y，x)；(3)(三角形不等式)ρ (x，z) ≤ρ (x，y)+ρ (y，z)在集合x中称为ρ a测度。
1吉首大学数理统计学院点集拓扑学教学计划如果ρ是集合x中的度量，那么偶对(x，ρ)是度量空间，或者直径x 是度量空间。
熊金城点集拓扑讲义
熊金城点集拓扑讲义一、引言点集拓扑学是现代数学的一个重要分支。
它的研究对象是一般的拓扑空间，即是由不同类型的点及其之间的关系组成的空间。
它是抽象代数学的一部分。
它探索的是空间的本质结构，不仅仅考虑空间的代数性质，而是将空间中多样的几何性质整合起来，从而揭示空间的整体性质。
点集拓扑可由简单形式的集合拓扑展开，进而发展为更为深奥和复杂的分支，如流形、纤维丛等。
点集拓扑学具有广泛的应用，如在物理、化学、计算机科学、天文学等领域均有涉及。
二、定义与基本概念点集拓扑学的基本对象是拓扑空间，其定义如下：定义1.1 拓扑空间设X是一个集合，T是X的一个子集族，若其满足以下三个条件：1. X及空集∅∈T；2. T的任意（包括可数无穷）并集仍属于T；3. T的有限交仍属于T，则称X配以集合族T为一拓扑空间，简称拓扑空间（topological space）。
通常我们将配以不同拓扑的同一集合视为不同的拓扑空间，即称(X,T1)和(X,T2)为不同的拓扑空间。
给定拓扑空间(X,T)，若S⊆X，则S处在S所在空间的拓扑子集上，此时称(X,yS,T|S)为子拓扑。
定义1.3 闭集、开集给定拓扑空间(X,T)，S是X的一个子集，如果S的补集S′∈T，那么称S是X的一个闭集；如果S∈T，那么称S是开集。
由于0和整个集合X本身总是开集，因而称它们是平凡开集；空集是闭集，其余闭集就是其余集合的开集的补集。
设A是拓扑空间X的一个子集，x是X的一个点，若对于任何包含x的开集U，有U∩A≠∅，那么称x是A的极限点（accumulation point）。
若A的闭包为X，那么称A在X中是稠密的（dense），也就是说，任何不属于A的X 的点，它都是A的极限点。
三、连通性和紧性连通性和紧性是点集拓扑的两个最为基本的概念。
连通性考虑了空间内元素之间的连通情况，紧性则关注空间的内部有多少信息。
定义2.1 连通性设X是拓扑空间，若对于任意的开集A∈T，它的对立集X-A也是连通的，那么称X是连通的（connected）。
《点集拓扑学教案》
《点集拓扑学教案》word版教案章节一：引言1.1 课程介绍本课程旨在帮助学生理解点集拓扑学的基本概念和性质，掌握基本的拓扑空间及其性质，了解拓扑学在数学和物理学中的应用。
1.2 知识点1.2.1 拓扑空间的定义与性质1.2.2 开集、闭集和边界1.2.3 拓扑关系的传递性1.3 教学目标通过本章的学习，使学生了解拓扑空间的基本概念，掌握开集、闭集和边界的定义及其性质，理解拓扑关系的传递性。
教案章节二：拓扑空间2.1 基本概念2.1.1 拓扑空间的定义2.1.2 拓扑空间的性质2.1.3 常见的拓扑空间2.2 拓扑关系2.2.1 拓扑关系的定义2.2.2 拓扑关系的性质2.2.3 拓扑关系的传递性2.3 教学目标通过本章的学习，使学生掌握拓扑空间的基本概念和性质，理解拓扑关系的定义及其性质，掌握拓扑关系的传递性。
教案章节三：开集与闭集3.1 开集与闭集的定义3.1.1 开集的定义3.1.2 闭集的定义3.2 开集与闭集的性质3.2.1 开集与闭集的举例3.2.2 开集与闭集的关系3.2.3 开集与闭集的运算3.3 教学目标通过本章的学习，使学生理解开集与闭集的定义及其性质，掌握开集与闭集的举例和运算。
教案章节四：边界4.1 边界概念4.1.1 边界的定义4.1.2 边界的性质4.2 边界定理4.2.1 边界定理的定义4.2.2 边界定理的证明4.3 教学目标通过本章的学习，使学生了解边界的定义及其性质，掌握边界定理及其证明。
教案章节五：拓扑关系与边界关系5.1 拓扑关系与边界关系的联系5.1.1 拓扑关系与边界关系的定义5.1.2 拓扑关系与边界关系的性质5.2 拓扑关系与边界关系的应用5.2.1 拓扑关系与边界关系在几何学中的应用5.2.2 拓扑关系与边界关系在物理学中的应用5.3 教学目标通过本章的学习，使学生理解拓扑关系与边界关系的联系及其性质，掌握拓扑关系与边界关系在数学和物理学中的应用。
点集拓扑讲义知识点总结
点集拓扑讲义知识点总结一、拓扑空间基本概念1.1 集合和拓扑空间在点集拓扑学中，最基本的两个概念就是集合和拓扑空间。
集合是元素的无序集合，而拓扑空间是一个集合，其中定义了一种称为拓扑结构的特定结构。
这个结构用来描述集合中元素的“接近”或“相邻”的概念。
1.2 拓扑结构拓扑结构定义了哪些子集被认为是开集，从而为集合赋予了拓扑性质。
具体来说，给定一个集合X，如果满足以下条件：（1）空集和X本身是开集；（2）任意开集的任意并集仍然是开集；（3）有限个开集的任意交集仍然是开集。
那么这个集合X连同其定义的拓扑结构称为一个拓扑空间。
1.3 开集和闭集在拓扑空间中，开集和闭集是两个非常重要的概念。
开集是指每个点都包含在集合内部的集合，闭集则是指包含了其边界的集合。
开集和闭集的性质和运算是拓扑学中的基础。
1.4 拓扑空间的连通性拓扑空间的连通性描述了空间内部的连通性质，一个拓扑空间如果不是两个不相交开集的并，则称为连通的。
连通性质是描述空间整体结构的一种重要方式。
二、拓扑空间的结构和性质2.1 度量空间和拓扑空间度量空间是一种拥有度量的拓扑空间，度量是一种满足一系列性质的函数，用来度量空间中两点之间的距离。
度量空间可以定义一种称为度量拓扑的拓扑结构，这种拓扑结构给出了空间中点的“接近”概念。
2.2 Hausdorff空间Hausdorff空间是指任意两个不同的点都存在不相交的邻域的拓扑空间。
这种空间具有较强的分离性质，能够更好地描述空间中点的位置关系。
2.3 紧空间在拓扑学中，紧空间是指任何开覆盖都存在有限子覆盖的空间。
紧空间具有重要的性质，例如有限覆盖性质和闭性性质，这些性质在分析和拓扑学的研究中有着重要的应用。
2.4 连通空间连通空间是指空间中不存在非空且既开又闭的子集的空间。
换句话说，连通空间是指空间中的点在拓扑上是连续的，没有间断。
这是拓扑空间中另一个极为重要的性质。
2.5 分离性和局部性在拓扑学中，还存在一些描述拓扑空间性质的分离性和局部性定理，包括T0空间、T1空间、T2空间等概念。
点集拓扑学第1章朴素集合论
p : X X R such that p ( x ) [ x ]R
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定义：设 X X和 和Y Y 是两个集合， 是两个集合，A A是 是X X 定义：设 定义：设 X 和 Y 是两个集合，A 是 X g :: A A Y Y f : X Y , g 的一个子集， f : X Y , 的一个子集， 的一个子集，f : X Y , g : A Y f ( a ) g ( a ) a A 若对于 有 ，则 f ( a ) g ( a ) 若对于 有 ，则 若对于 a A 有 f (a) g (a) ，则 称g g是 是f f 的限制，也称 的限制，也称 f f是 是g g 的一个 的一个 称 称 g 是 f 的限制，也称 f 是 g 的一个 g f | 扩张，记作 g f | A 扩张，记作 A 扩张，记作 g f | A :X X X X 在 恒同映射 iiX 在X X的子集 的子集A A上的 上的 X: 恒同映射 恒同映射 iX : X X 在X的子集A上的 :A A X X 称为内射 限制 iiX 称为内射.. X ||A A: 限制 限制 i | : A X 称为内射.
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X { a , b } X { {a a,,b b} } X
记为 P ( X )
集合的基本运算
幂 等 律
A A A , A A A
交 换律
A B B A , A B B A
分 配 律
( A B) C ( A C ) ( B C ) ( A B) C ( A C ) ( B C )
如果 A, B Y 则
(1) f ( A B) f ( A) f ( B) (2) f ( A B) f ( A) f ( B) (3) f ( A B) f ( A) f ( B)
点集拓扑学教学大纲
《点集拓扑学》教学大纲课程名称：《点集拓扑学》Point Set Topology课程性质：数学与应用数学专业必修课学时数：36教材:《点集拓扑讲义》熊金城编著.高等教育出版社, 2011年12月第4版.主要参考书：《点集拓扑学》徐森林编著，高等教育出版社，2007年7月第1版.《基础拓扑学》胡适耕编著，华中科技大学出版社，2007年8月第1版.《基础拓扑学讲义》尤承业编著，北京大学出版社，1997年11月第1版.《拓扑学》 [美] 芒克里斯编著，熊金城等翻译，机械工业出版社，2006年4月第1版. 授课方式：课堂讲授为主所属院系：数学学院数学与应用数学系课程基础：《数学分析》、《实变函数论》一、课程简介拓扑学是近代数学的三大基础之一，是研究抽象空间的理论的一门学科，它具有高度的概括性和抽象性.点集拓扑学产生于19世纪.G.康托尔建立了集合论，定义了欧几里得空间中的开集、闭集、导集等概念，获得了欧几里得空间拓扑结构的重要结果.1906年M.-R.弗雷歇把康托尔的集合论与函数空间的研究统一起来，建立了广义分析，可看为拓扑空间理论建立的开始.泛函分析的兴起，希尔伯特空间和巴拿赫空间的建立，促进了把点集当作空间来研究.数学分析研究的中心问题是极限，而收敛与连续又是极限的基本问题.为把收敛与连续的研究推广到一般集合上，需要在一般集合上描述与点或与集合“邻近”的概念.如何描述“邻近”，可以用“距离”，但“距离”与“邻近”并无必然的联系.1914年F.豪斯道夫开始考虑用“开集”来定义拓扑.对一个非空集合X，规定X的每点有一个包含此点的子集作成的子集族，满足一组开集公理（即仿照欧几里得空间邻域所具特性给出的一组性质）.该子集族中的每个集合称为这点的一个邻域，这就给出了X的一个拓扑结构，X连同此拓扑结构称为一个拓扑空间.X的每点有邻域，故可研究一点的邻近，由此可仿照微积分的方法定义两个拓扑空间之间的连续映射的概念.若一个映射连续，且存在逆映射，逆映射也连续，则称此映射为同胚映射.具有同胚映射的两个拓扑空间称为同胚的（直观地说即两个空间相应的图形从一个可连续地形变为另一个）.要证明两个空间同胚，只要找到它们之间的同胚映射即可.在欧几里得直线上，作为子空间，两个任意的闭区间同胚；任意两开区间同胚；半开半闭的区间[c,d)与[a,b)同胚；二维球面挖去一个点S2－p与欧几里得平面K2同胚.要证明两个拓扑空间不同胚，需证明它们之间不存在同胚映射.方法是找同胚不变量或拓扑不变性（即在同胚映射下保持不变的性质）；第一个空间具有某同胚不变量，另一个空间不具有，则此二空间不同胚.一般拓扑学中常见的拓扑不变性有连通性、道路连通性、紧性、列紧性、分离性等.在历史上F.豪斯多夫提出了分离空间；弗雷歇看出了紧性与列紧性有密切关系；帕维尔·萨穆伊洛维奇·乌雷松对紧空间进行了系统研究，且在拓扑空间可否变量化的问题上作出了贡献；1937年H.嘉当引进了“滤子”的概念，能进一步刻画一致收敛，使收敛的更本质的属性揭示了出来；维数的问题是E.嘉当在研究皮亚诺曲线（一种可填满整个正方形的“曲线”）时提出的，1912年H.庞加莱给出定义，由乌雷松等人加以改进.二、教学目的点集拓扑近代数学的三大基础之一，是研究抽象空间的理论的一门学科.该课程从点集拓扑学的发展简史出发，深入浅出地阐述了点集拓扑学的基本理论、基本问题和基本方法.内容包括：点集拓扑基础、拓扑空间与连续映射、子空间、积空间、商空间及有关可数性的公理等.其中各部分主题鲜明，逻辑性强，通过对各部分内容由浅入深的讲解，使学生透彻地理解基本概念，努力将每个知识点与中学数学的知识及已经学过的大学其它数学课程(例如实变函数论)联系起来，便于学生比较理解，增加对知识背景的认识.三、教学要求本课程研究点集拓扑学的基本理论和基本方法。
点集拓扑学(1)(10)(7)(1)
《点集拓扑》～畅想系列本文作者：鲍祥平注明：（拓扑学的语言表达准确性很重要），这篇文章是一篇读后感，绝大部分是引用别人的观点，其中有本人不同的观点，写出来是和大家共同研究与学习交流。
本文灵感来源主要有这些作者或老师：张德学，张祖景，熊金城。
由于篇幅比较长，本人也正在学习中，只能一部分一部分续写。
点集拓扑学是几何学的分支，研究的是更一般的几何图形，即拓扑空间中的集合，是研究拓扑不变性与不变量的学科，主要表现在图形的弹性变形后研究的那些不变性和不变量，比如连通性，可数性，分离性等。
其中有几个代表性的例子：1，一笔画问题，2，哥尼斯堡七桥问题，3，四色问题。
这些都和弹性变形下的拓扑不变性有关，这种弹性变形指的是拓扑学中的同柸关系，相近点变相近点的连续概念。
拓扑学包括点集拓扑学，代数拓扑学，几何拓扑学，微分拓扑学，其中点集拓扑学是基础，称为一般拓扑学。
由于点集拓扑学发展较晚，里面很多理论，观点都不是很成熟，本文遵循客观规律，对点集拓扑学做部分更改，水平有限。
第一章：关系与映射第一节集合及其运算集合论的发展历程：集合论的最早创立是由德国数学家康托尔创立的朴素集合论，运用于纯数学中，然后经过进一步的规范公理化使其理论更加严谨规范化。
朴素集合论对集合没有做出严格的定义，只是表示对元素或者对象的搜集，没有形式化的理解，而公理集合论只使用明确定义的公理列表，是对集合这门学科的进一步认识和总结，在数学理论中得到了广泛的运用。
集合的定义：① 公认定义：具有共同归属的对象的全体称为集合，对象又可以理解为个体或者集合中的元素。
（集合的归属性指的是元素满足该集合的要求），我把该定义中的属性改成了归属，一个定义必须文字表达要准确，属性和归属性是两个完全不同的概念，这里用归属性比较恰当。
例如：三个没有共同属性的正交向量,,组成的集合{},,，很显然只能用归属性定义集合，否者就会有矛盾，产生悖论。
② 个人（本人）定义：我们在各种或者所有对象中按照某种要求进行抽样，把抽出的对象集中起来作为一个群体来研究，因此把所有符合或者满足要求的具有相同归属性的个体称为集合。
点集拓扑学(1)
点集拓扑学~非同凡响畅想系列注明：（拓扑学的语言表达准确性很重要），这篇文章是一篇读后感，绝大部分是引用别人的观点，其中有本人不同的观点，写出来是和大家共同研究与学习交流。
本文灵感来源主要有这些作者或老师：张德学，张景祖，熊金城。
由于篇幅比较长，本人也正在学习中，只能一部分一部分续写。
点集拓扑学是几何学的分支，研究的是更一般的几何图形，即拓扑空间中的集合，是研究拓扑不变性与不变量的学科，主要表现在图形的弹性变形后研究的那些不变性和不变量，比如连通性，可数性，分离性等。
其中有几个代表性的例子：1，一笔画问题，2，哥尼斯堡七桥问题，3，四色问题。
这些都和弹性变形下的拓扑不变性有关，这种弹性变形指的是拓扑学中的同柸关系，相近点变相近点的连续概念。
拓扑学包括点集拓扑学，代数拓扑学，几何拓扑学，微分拓扑学，其中点集拓扑学是基础，称为一般拓扑学。
第一节：关系与映射集合概念的发展历程：集合论的最早创立是由德国数学家康托尔创立的朴素集合论，运用于纯数学中，然后经过进一步的规范公理化使其理论更加严谨规范化。
朴素集合论对集合没有做出严格的定义，只是表示对元素或者对象的搜集，没有形式化的理解，而公理集合论只使用明确定义的公理列表，是对集合这门学科的进一步认识和总结，在现实中得到了广泛的运用。
集合的定义：① 公认定义：具有共同属性的对象的全体成为集合，对象又可以理解为个体或者集合中的元素。
② 个人（本人）定义：我们把各种对象按照某种要求抽样集中起来作为一个群体来研究，这个群体称为集合，这种对象可能是独立的个体，或一个抽象的概念，或者群体，也可能对象之间本身就有包涵关系的集合但不完全相同，也可能是没有包涵关系的子集，当我们把所有对象集中在一起称为全集或者幂集族。
全集的一部分称为子集，幂集的一部分称为子集族。
集合一般用大写字母代表，其中元素用小写代表。
集合的表示方式:1枚举法一般在大括号里罗列出集合的元素，如下:{}{}{}{}香蕉，大象，人,,3,2,1,3,2,1,,, c b a2文字语言表述法用文字语言来表达构成集合的要求：某个班级的全体男生，一盒象棋，一箱牛奶等。
第一章、拓扑学基础
第一章、拓扑学基础1.1拓扑空间概念拓扑空间是一个二元组(S, O)，这里S是给定集合，O是由S的一些子集构成的集类，其元素称为开集，并满足如下开集公理：T1 ∅, S∈O（即，∅, S是开集）；T2 若U1，U2∈O，则U1⋂U2∈O（即，O对有限交封闭）；T3 开集的任意并集还是开集（即，O对任意并封闭）。
註记满足上述开集公理的O，也称为集合S上的拓扑，（S, O）为相应的拓扑空间，也记为S。
例子实数集合ℝ上的标准拓扑：开集定义为若干个开区间的并集。
不难验证：这里定义的开集满足开集公理。
只需说明：两个开区间的交集为空集或开区间。
例子离散拓扑与平凡拓扑对给定的集合S，定义下列两个拓扑：(S,O1): O1由S的所有子集构成，它是S上的拓扑（最大拓扑）。
(S,O2): O2={∅，S}，它是S上的拓扑（最小拓扑）。
练习给出实数集合ℝ上三种不同的拓扑空间结构。
练习设S是一个集合，O由∅，S及S的某个固定子集A的所有子集构成。
验证O是S上的拓扑。
从而，(S，O)是一个拓扑空间。
概念设(S, O)是拓扑空间，称A⊂S是闭集，如果S\A是开集。
拓扑空间S的所有闭集构成集合，记为C。
命题拓扑空间S中的闭集满足闭集公理C1 ∅, S∈C；C2 若A1，A2∈C，则A1⋃A2∈C（即，C对有限并封闭）；C3 闭集的任意交集还是闭集（即，C对任意交封闭）。
证明：利用下列等式可证。
S\(A1⋃A2)=(S\A1)⋂(S\A2)，S\(B ii。
i)=(S\B i)註记开集公理与闭集公理是等价的：若S中的某些子集指定为闭集，并满足闭集公理。
则S是拓扑空间，其开集由闭集的余集所构成。
概念对拓扑空间S，点u∈S的开邻域是指包含u的开集U；子集A⊂S的开邻域是指包含A的开子集；一个点（或子集）的邻域是一个子集，它包含该点（或该子集）的一个开邻域。
例子对拓扑空间ℝ，U=(-1，1)是0的开邻域；W=[-1，1]是0的邻域。
点集拓扑讲义ppt.1
精选完整ppt课件
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（A-B）×（C-D）
图1.1.3
该集合等式也可用定义证明,其过程读者自己做为练习完成.
精选完整ppt课件
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习题 1.1
1. 试判断下列关系式的正确与错误
A {A}; A {A}; {}; {}; {}; (); 2. 设 A1,A2,,An都是集合，其中 n2,证明：如果 A 1 A 2 A n A 1, 则
而此时可称B为全集，全集在一个问题中是事先 指定的或者是不言自明的.
精选完整ppt课件
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对于集合之间的运算，有时用图象表示更直观一些.在下面的图1.1.1中， 我们用两个圆分别表示集合A,B，而用阴影部分表示两个集合运算的结果.
图1.1.1
精选完整ppt课件
9
观察图1.1.1我们不难得出下面的等式:
精选完整ppt课件
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❖ 集合一词，我们在高中阶段已经接触过，在那里， 集合是指具有某种属性的对象的全体.在这里，我们 仍采用对集合的这种直观的描述性定义，以后我们 还将经常遇到像这样直观的描述性定义或一些直观 的结论.虽然这样做逻辑性差一些，不及公理集合论 的严密性，但这样做却是我们易于理解和接受的， 不致使读者陷入逻辑困惑之中，从而尽快地进入拓 朴学基础的学习程序.
定义1.1.3 给定集合A,B,由A和B的公共元素
.
构成的集合叫做A与B的交集,记作 AB. 用描述法表示就是:A B { x|x A ,而且 x B }.
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定义1.1.4 给定集合A,B，把由属于A而不属于B 的元素构成的集合叫做A与B的差集,记作 AB. 用描述法表示是 AB{x|x A , x B }. 如果 AB, 称 BA为A在B中的补集，记作 A.
《点集拓扑学》第一章1解析
R1 {( y, x) Y X | xRy, x X , y Y }
是从集合Y到集合X的一个关系，我们称它为关系R的
1 yR x 当且仅当 xRy. 逆，因此
定义4 设R是从集合X到集合Y的一个关系,S是从
集合Y到集合Z的一个关系,即 R X Y , S Y Z .
定义4 给定集合A、B，把由属于A而不属于B 的元素构成的集合叫做A与B的差集，记作 A B .
如果 A B, 称 B A 为A在B中的补集，记作 A. 而此时可称B为全集，全集在一个问题中是事先 指定的或者是不言自明的.
观察图我们不难得出下面的等式:
A B ( A B) B ( A B) ( A B) ( B A)
A C B D ( A B) D B (C D)
（A-B）×（C-D）
§1.3 1.4 关系,等价关系
• 重点：熟悉关系像，逆关系，复合关系和
等价关系的性质 • 难点：对命题演算知识的欠缺将影响性质 证明的严谨性
定义1 设X,Y是两个集合，如果 R X Y ，即R是X 与Y的笛卡尔积 X Y的一个子集,则称R是从X到Y的 一个关系. 定义2 设R是从集合X到集合Y的一个关系，即
.
定理1 设R是从集合X到集合Y的一个关系，S是
从集合Y到集合Z的一个关系,T是从集合Z到集合U的
一个关系,则 (1)
( R 1 ) 1 R
(2) (S R) 1 R 1 S 1 (3)
T (S R) (T S ) R
定理2 设R是从集合X到集合Y的一个关系，S是从 集合Y到集合Z的一个关系,则对于X中的任意两个子集 A和B，我们有:
点集拓扑学
点集拓扑学合肥工业大学数学学院预备知识1.点集拓扑的定义《点集拓扑学》课程是一门现代数学基础课程，属数学与应用数学专业的理论课。
是数学与应用数学专业的主干课。
点集拓扑学（Point Set Topology），有时也被称为一般拓扑学（General Topology），是数学的拓扑学的一个分支。
它研究拓扑空间以及定义在其上的数学构造的基本性质。
这一分支起源于以下几个领域：对实数轴上点集的细致研究，流形的概念，度量空间的概念，以及早期的泛函分析。
它的表述形式大概在1940年左右就已经成文化了。
通过这种可以为所有数学分支适用的表述形式，点集拓扑学基本上抓住了所有的对连续性的直观认识。
2.点集拓扑的起源点集拓扑学产生于19世纪。
G.康托尔建立了集合论，定义了欧几里得空间中的开集、闭集、导集等概念，获得了欧几里得空间拓扑结构的重要结果。
1906年M.-R.弗雷歇把康托尔的集合论与函数空间的研究统一起来，建立了广义分析，可看为拓扑空间理论建立的开始。
3.一些参考书籍（1）《拓扑空间论》，高国士，科学出版社，2000年7月第一版（2）《基础拓扑讲义》，尤承业，北京大学出版社，1997年11月第一版（3）《一版拓扑学讲义》，彭良雪，科学出版社，2011年2月第一版第一章 集合论初步在这一章中我们介绍有关集合论的一些基本知识．从未经定义的“集合”和“元素”两个概念出发给出集合运算、关系、映射以及集合的基数等方面的知识等。
这里所介绍的集合论通常称为“朴素的集合论”，这对大部分读者已经是足够了．那些对集合的理论有进一步需求的读者，例如打算研究集合论本身或者打算研究数理逻辑的读者，建议他们去研读有关公理集合论的专著。
1.1 集合的基本概念集合这一概念是容易被读者所理解的，它指的是由某些具有某种共同特点的个体构成的集体。
例如我们常说“正在这里听课的全体学生的集合”, “所有整数的集合”等等．集合也常称为集。
集合（即通常所谓的“集体”）是由它的元素（即通常所谓的“个体”）构成的．例如正在这里听课的全体学生的集合以正在听课的每一个学生为它的元素；所有整数的集合以每一个整数为它的元素．元素也常称为元，点或成员．集合也可以没有元素．例如平方等于2 的有理数的集合，既大于1 又小于2 的整数的集合都没有任何元素，这种没有元素的集合我们称之为空集，记作φ。
点集拓扑学课件
点集拓扑学合肥工业大学数学学院预备知识1.点集拓扑的定义《点集拓扑学》课程是一门现代数学基础课程，属数学与应用数学专业的理论课。
是数学与应用数学专业的主干课。
点集拓扑学（Point Set Topology），有时也被称为一般拓扑学（General Topology），是数学的拓扑学的一个分支。
它研究拓扑空间以及定义在其上的数学构造的基本性质。
这一分支起源于以下几个领域：对实数轴上点集的细致研究，流形的概念，度量空间的概念，以及早期的泛函分析。
它的表述形式大概在1940年左右就已经成文化了。
通过这种可以为所有数学分支适用的表述形式，点集拓扑学基本上抓住了所有的对连续性的直观认识。
2.点集拓扑的起源点集拓扑学产生于19世纪。
G.康托尔建立了集合论，定义了欧几里得空间中的开集、闭集、导集等概念，获得了欧几里得空间拓扑结构的重要结果。
1906年M.-R.弗雷歇把康托尔的集合论与函数空间的研究统一起来，建立了广义分析，可看为拓扑空间理论建立的开始。
3.一些参考书籍（1）《拓扑空间论》，高国士，科学出版社，2000年7月第一版（2）《基础拓扑讲义》，尤承业，北京大学出版社，1997年11月第一版（3）《一版拓扑学讲义》，彭良雪，科学出版社，2011年2月第一版第一章 集合论初步在这一章中我们介绍有关集合论的一些基本知识．从未经定义的“集合”和“元素”两个概念出发给出集合运算、关系、映射以及集合的基数等方面的知识等。
这里所介绍的集合论通常称为“朴素的集合论”，这对大部分读者已经是足够了．那些对集合的理论有进一步需求的读者，例如打算研究集合论本身或者打算研究数理逻辑的读者，建议他们去研读有关公理集合论的专著。
1.1 集合的基本概念集合这一概念是容易被读者所理解的，它指的是由某些具有某种共同特点的个体构成的集体。
例如我们常说“正在这里听课的全体学生的集合”, “所有整数的集合”等等．集合也常称为集。
集合（即通常所谓的“集体”）是由它的元素（即通常所谓的“个体”）构成的．例如正在这里听课的全体学生的集合以正在听课的每一个学生为它的元素；所有整数的集合以每一个整数为它的元素．元素也常称为元，点或成员．集合也可以没有元素．例如平方等于2 的有理数的集合，既大于1 又小于2 的整数的集合都没有任何元素，这种没有元素的集合我们称之为空集，记作φ。
点集拓扑讲义-104页
例 3. 设 X 为任一集合, Tα α ∈ ∧ 为 X 上的一族拓扑, 令 T = Tα,
α∈∧
则 T 也为 X 上的一个拓扑.
例 4. 设 (X, T ) 为一个拓扑空间, A 为 X 的一个子集, 令
TA = E ∩ A E ∈ T ,
4
第一章 点集拓扑基础
例 5. 令 X = 1, 2, 3, 4, 5 , S = {1}, {2, 3}, {2, 5}, {4, 5} , 则
B1 = {1}, {2}, {5}, {2, 3}, {2, 5}, {4, 5} ,
B2 = {1}, {2}, {5}, {1, 2}, {1, 5}, {2, 3}, {2, 5}, {4, 5}, {1, 2, 3}, {1, 2, 5},
d(P, Q) = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2. 平面上以 P 为中心, r(r > 0) 为半径的开球记为 B(P ; r), 即
B(P ; r) = M (x, y) ∈ R2 d(P, M ) = (x − x1)2 + (y − y1)2 < r .
设 E 为 平 面 上 的 一 个 非 空 子 集, P0(x0, y0) 为 平 面 上 的 一 个 点, 若 存 在 某 个 δ > 0, 使 得 B(P0; δ) ⊆ E, 则 称 P0 为 集 合 E 的 一 个内点. 由 定 义 知, 若 P0 为 E 的内点, 则 p0 必须属于集合 E. 但另一方面, 集合 E 中的点并 不一定都是 E 的内点, 如: 利用有理数及无理数在实数中的稠密性可知, 集 合 E = {M (x, y) x, y ∈ Q} 甚至没有一个内点. 当然也有另一种极端的情形, 即集合 E 中的每个点都是 E 的内点, 我们称这样的集合为开集. 按这样的定义,
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1736年欧拉 解决七桥问题
哥尼斯堡 七桥问题 四色问题 Euler示性数
1976年9月四
Mö bius带
色问题得到解决
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哥尼斯堡七桥问题
哥尼斯堡是东普鲁士的首都，普莱格尔河横贯其中。 十八世纪在这条河上建有七座桥，将河中间的两个岛和河
岸联结起来。人们闲暇时经常在这上边散步
一天有人提出：能不能每座桥 都只走一遍，最后又回到原来的
位置。
这个问题看起来很简单, 有很有趣的问题吸引了大家. 很多人在尝试各种各样的走法，但谁也没有做到。看
来要得到一个明确理想的答案还不那么容易
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1736年，有人带着这个问题找到了当时的大数学家 欧拉，欧拉经过一番思考，很快就用一种独特的方法给出
了解答。
他把两座小岛和河的两岸分别看作四个点， 而把七座桥看 作这四个点之间的连线。那么这个问题就简化成，能不能用一 笔就把这个图形画出来。 经过进一步的分析，欧拉得出结论——不可能每座桥都走一 遍，最后回到原来的位置。并且给出了所有能够一笔画出来的 图形所应具有的条件。这是拓扑学的“先声”。
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和数学知识，能对实际问题进行分析、归纳、
提炼和解决，提高他们的数学素养。
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教学目标
掌握拓扑空间、度量空间和连续映射的定义、例子、
性质。掌握连通性，可数性，分离性，紧性等拓扑性质。 掌握几个重要的拓扑性质的可积性、可商性和遗传性。
教学要点
拓扑空间、度量空间和连续映射的定义、例子、性 质。连通性，可数性，分离性，紧性等拓扑性质。几个重
Gauss-Krivger 投影
在地图上仅用距离和方向参数描述地图上的目标之
间的关系总是不圆满的。
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从上图可以看出，用拓扑关系表示，不论怎
么变化，其邻接、关联、包含等关系都不改变。
拓扑关系能够从质的方面和整体的概念上反映空
间实体的空间结构关系。
研究拓扑关系对于地图数据处理和正确显示将
Mö bius带
数学上流传着这样一个故事： 先用一张长方形的纸条，首尾相粘，做 成一个纸圈，然后只允许用一种颜色，在纸 圈上的一面涂抹，最后把整个纸圈全部抹成 一种颜色，不留下任何空白。 这个纸圈应该怎样粘？如果是纸条的首尾相粘做成的纸 圈有两个面，势必要涂完一个面再重新涂另一个面，不符合 涂抹的要求，能不能做成只有一个面、一条封闭曲线做边界 的纸圈儿呢？
点 集 拓 扑 学
-哈尔滨工程大学-理 学 院 -林 锰 -
课程要求
本课程是一门现代数学基础课程，介绍拓扑 学的比较容易掌握和比较有应用价值的基础概
念和基本方法。
通过这门课程的学习，使学生在掌握拓扑学 基本知识的基础上，掌握拓扑学研究问题的整
体性、抽象性及高度概括性，力求活跃其数学
思想，从而培养Department of Mathematics
拓扑学的发展的促进 黎曼创立黎曼几何以后把拓扑学概念作为分析
函数论的基础，更加促进了拓扑学的进展。
二十世纪以来，集合论被引进了拓扑学，为拓 扑学开拓了新的面貌。拓扑学的研究就变成了 关于任意点集的对应的概念。拓扑学中一些需
要精确化描述的问题都可以应用集合来论述。
宣布了一件震撼全球数学界的消息：美国伊利诺斯大学的
两位教授阿贝尔和哈根，利用电子计算机证明了“四色问 题”这个猜想是完全正确的！他们将普通地图的四色问题
转化为2000个特殊图的四色问题，然后在电子计算机上计
算了足足1200个小时，最后成功地证明了四色问题。
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要的拓扑性质的可积性和遗传性。
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教学安排 第一部分：预备知识(4学时）
拓扑学的起源, 集合的运算等预备知识.
第二部分： 拓扑空间与连续映射(16学时)
拓扑空间, 度量空间, 连续映射, 基, 邻域, 闭包、内
部与边界, 拓扑空间中的序列, 子空间拓扑, 有限积拓扑, 商映射等.
3、王敬庚. 《直观拓扑》,北京师范大学出版社
4、[美]斯蒂芬•巴尔. 《拓扑实验》 上海教育出版社
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考核要求 1. 端正学习态度,保证出勤,不得无故旷课. 2. 认真并按时完成作业. 3. 阅读理解五篇左右本课程相关的论文. (其中包括外文论文一篇). 4. 平时表现以20%记录学期总成绩。 5. 考试: 开卷考试，占学期总成绩80%。
Euler示性数
对于一个多面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，
如果充以气体，那么它就会连续（不破裂）变形，最后可 变为一个球面。那么像这样，表面经过连续变形可变为球 面的多面体，叫做简单多面体。棱柱、棱锥、正多面体等 一切凸多面体都是简单多面体。
欧拉定理告诉我们， 简单多面体的顶点数 V、棱数E及面数F间 有关系：
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“麦比乌斯圈”变成了拓扑学中最有趣的单侧面问题之
一。麦比乌斯圈的概念被广泛地应用到了建筑，艺术，工
业生产中。运用麦比乌斯圈原理我们可以建造立交桥和道 路，避免车辆行人的拥堵。
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拓扑学的形成和发展
拓扑的来源 “ 拓扑（ Topology ）”一次来自希腊文，它的 原意是“形状的研究”。拓扑学时几何学的一个分
支，它研究在拓扑变换下能够保持不变的几何属性
——拓扑属性。 拓扑学是研究图形在保持连续状态下变形时
的那些不变的性质，也成为“橡皮板几何学”。
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例子：
设想一块高质量的橡皮，它的表面是欧几里的平面，这块
橡皮可以任意被拉伸、压缩，但是不能够被扭转或折叠。在 橡皮的表面上有由结点、弧、环、面组成的可能任意图形。 我们对橡皮进行拉伸、压缩，在橡皮进行这些变换的过程 中，图形的一些属性消失，一些属性将继续保持存在。设想 象皮表面有一个多边形，里面有一个点。 当拉伸、压缩橡皮时，点依旧在多边形中，点和多边形的 位置关系不会发生变化，但是多边形的面积会发生变化。所
以：“点的内置”是拓扑属性，而面积不是拓扑属性，拉伸
和压缩就是拓扑变换。
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拓扑还是描述目标间关系需要
因为图上两点之间的距离和方向会随着地图投影的不
同而发生变化，故仅用距离和方向参数还不能够确切地表
示它们之间的空间关系。（如下图）
Longitude/Latitud e投影
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拓扑学发展到今天，在理论上已经分成了两 个分支： 点集拓扑学偏重于用分析的方法来研究，或 者叫做分析拓扑学 代数拓扑是偏重于用代数方法来研究。 这两个分支现在又有统一的趋势 拓扑学在泛函分析、李群论、微分几何、微分 方程和其他许多数学分支中都有广泛的应用。
第三部分：几类重要的拓扑性质(28学时)
连通性, 局部连通性, 道路连通性, 可数性公理, 分离性公理, 紧性, 度量空间的紧性与可数性等内容.
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教 材
熊金城《点集拓扑学讲义》 高等教育出版社
参考资料 1、陈奕培. 《一般拓扑学》,厦门大学出版社 2、梁基华等《拓扑学基础》,高等教育出版社
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的数字。”
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数学史上正式提出“四色问题”的时间是在1852年。当时
伦敦的大学的一名学生法朗西斯向他的老师、著名数学家、
伦敦大学数学教授莫根提出了这个问题，可是莫根无法解答， 求助于其它数学家，也没有得到答案。于是从那时起，这个 问题便成为数学界的一个“悬案”。 一直到二十年前的1976年9月，《美国数学会通告》正式
V+F-E=2。
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四色问题 四色问题又称四色猜想，是世界
近代三大数学难题之一 ,
四色问题的内容是：
“任何一张地图只用四种颜色就能
使具有共同边界的国家着上不同的
颜色。” “将平面任意地细分为不相重迭 的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4这四个数 字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同