点集拓扑学(第一章1.1)

支，它研究在拓扑变换下能够保持不变的几何属性
——拓扑属性。 拓扑学是研究图形在保持连续状态下变形时
的那些不变的性质，也成为“橡皮板几何学”。
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例子：
设想一块高质量的橡皮，它的表面是欧几里的平面，这块
橡皮可以任意被拉伸、压缩，但是不能够被扭转或折叠。在 橡皮的表面上有由结点、弧、环、面组成的可能任意图形。 我们对橡皮进行拉伸、压缩，在橡皮进行这些变换的过程 中，图形的一些属性消失，一些属性将继续保持存在。设想 象皮表面有一个多边形，里面有一个点。 当拉伸、压缩橡皮时，点依旧在多边形中，点和多边形的 位置关系不会发生变化，但是多边形的面积会发生变化。所
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“麦比乌斯圈”变成了拓扑学中最有趣的单侧面问题之
一。麦比乌斯圈的概念被广泛地应用到了建筑，艺术，工
业生产中。运用麦比乌斯圈原理我们可以建造立交桥和道 路，避免车辆行人的拥堵。
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拓扑学的形成和发展
拓扑的来源 “ 拓扑（ Topology ）”一次来自希腊文，它的 原意是“形状的研究”。拓扑学时几何学的一个分
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和数学知识，能对实际问题进行分析、归纳、
提炼和解决，提高他们的数学素养。
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教学目标
掌握拓扑空间、度量空间和连续映射的定义、例子、
性质。掌握连通性，可数性，分离性，紧性等拓扑性质。 掌握几个重要的拓扑性质的可积性、可商性和遗传性。
教学要点
拓扑空间、度量空间和连续映射的定义、例子、性 质。连通性，可数性，分离性，紧性等拓扑性质。几个重
是十分重要的。
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拓扑学的发展的促进 黎曼创立黎曼几何以后把拓扑学概念作为分析
函数论的基础，更加促进了拓扑学的进展。
二十世纪以来，集合论被引进了拓扑学，为拓 扑学开拓了新的面貌。拓扑学的研究就变成了 关于任意点集的对应的概念。拓扑学中一些需
要精确化描述的问题都可以应用集合来论述。
要的拓扑性质的可积性和遗传性。
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教学安排 第一部分：预备知识(4学时）
拓扑学的起源, 集合的运算等预备知识.
第二部分： 拓扑空间与连续映射(16学时)
拓扑空间, 度量空间, 连续映射, 基, 邻域, 闭包、内
部与边界, 拓扑空间中的序列, 子空间拓扑, 有限积拓扑, 商映射等.
3、王敬庚. 《直观拓扑》,北京师范大学出版社
4、[美]斯蒂芬•巴尔. 《拓扑实验》 上海教育出版社
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考核要求 1. 端正学习态度,保证出勤,不得无故旷课. 2. 认真并按时完成作业. 3. 阅读理解五篇左右本课程相关的论文. (其中包括外文论文一篇). 4. 平时表现以20%记录学期总成绩。 5. 考试: 开卷考试，占学期总成绩80%。
第三部分：几类重要的拓扑性质(28学时)
连通性, 局部连通性, 道路连通性, 可数性公理, 分离性公理, 紧性, 度量空间的紧性与可数性等内容.
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教 材
熊金城《点集拓扑学讲义》 高等教育出版社
参考资料 1、陈奕培. 《一般拓扑学》,厦门大学出版社 2、梁基华等《拓扑学基础》,高等教育出版社
点 集 拓 扑 学
-哈尔滨工程大学-理 学 院 -林 锰 -
课程要求
本课程是一门现代数学基础课程，介绍拓扑 学的比较容易掌握和比较有应用价值的基础概
念和基本方法。
通过这门课程的学习，使学生在掌握拓扑学 基本知识的基础上，掌握拓扑学研究问题的整
体性、抽象性及高度概括性，力求活跃其数学
思想，从而培养学生运用较高层次的数学观点
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1736年欧拉 解决七桥问题
哥尼斯堡 七桥问题 四色问题 Euler示性数
19ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ6年9月四
Mö bius带
色问题得到解决
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哥尼斯堡七桥问题
哥尼斯堡是东普鲁士的首都，普莱格尔河横贯其中。 十八世纪在这条河上建有七座桥，将河中间的两个岛和河
的数字。”
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数学史上正式提出“四色问题”的时间是在1852年。当时
伦敦的大学的一名学生法朗西斯向他的老师、著名数学家、
伦敦大学数学教授莫根提出了这个问题，可是莫根无法解答， 求助于其它数学家，也没有得到答案。于是从那时起，这个 问题便成为数学界的一个“悬案”。 一直到二十年前的1976年9月，《美国数学会通告》正式
岸联结起来。人们闲暇时经常在这上边散步
一天有人提出：能不能每座桥 都只走一遍，最后又回到原来的
位置。
这个问题看起来很简单, 有很有趣的问题吸引了大家. 很多人在尝试各种各样的走法，但谁也没有做到。看
来要得到一个明确理想的答案还不那么容易
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1736年，有人带着这个问题找到了当时的大数学家 欧拉，欧拉经过一番思考，很快就用一种独特的方法给出
Gauss-Krivger 投影
在地图上仅用距离和方向参数描述地图上的目标之
间的关系总是不圆满的。
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从上图可以看出，用拓扑关系表示，不论怎
么变化，其邻接、关联、包含等关系都不改变。
拓扑关系能够从质的方面和整体的概念上反映空
间实体的空间结构关系。
研究拓扑关系对于地图数据处理和正确显示将
V+F-E=2。
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四色问题 四色问题又称四色猜想，是世界
近代三大数学难题之一 ,
四色问题的内容是：
“任何一张地图只用四种颜色就能
使具有共同边界的国家着上不同的
颜色。” “将平面任意地细分为不相重迭 的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4这四个数 字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同
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拓扑学发展到今天，在理论上已经分成了两 个分支： 点集拓扑学偏重于用分析的方法来研究，或 者叫做分析拓扑学 代数拓扑是偏重于用代数方法来研究。 这两个分支现在又有统一的趋势 拓扑学在泛函分析、李群论、微分几何、微分 方程和其他许多数学分支中都有广泛的应用。
Euler示性数
对于一个多面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，
如果充以气体，那么它就会连续（不破裂）变形，最后可 变为一个球面。那么像这样，表面经过连续变形可变为球 面的多面体，叫做简单多面体。棱柱、棱锥、正多面体等 一切凸多面体都是简单多面体。
欧拉定理告诉我们， 简单多面体的顶点数 V、棱数E及面数F间 有关系：
以：“点的内置”是拓扑属性，而面积不是拓扑属性，拉伸
和压缩就是拓扑变换。
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拓扑还是描述目标间关系需要
因为图上两点之间的距离和方向会随着地图投影的不
同而发生变化，故仅用距离和方向参数还不能够确切地表
示它们之间的空间关系。（如下图）
Longitude/Latitud e投影
宣布了一件震撼全球数学界的消息：美国伊利诺斯大学的
两位教授阿贝尔和哈根，利用电子计算机证明了“四色问 题”这个猜想是完全正确的！他们将普通地图的四色问题
转化为2000个特殊图的四色问题，然后在电子计算机上计
算了足足1200个小时，最后成功地证明了四色问题。
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了解答。
他把两座小岛和河的两岸分别看作四个点， 而把七座桥看 作这四个点之间的连线。那么这个问题就简化成，能不能用一 笔就把这个图形画出来。 经过进一步的分析，欧拉得出结论——不可能每座桥都走一 遍，最后回到原来的位置。并且给出了所有能够一笔画出来的 图形所应具有的条件。这是拓扑学的“先声”。
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Mö bius带
数学上流传着这样一个故事： 先用一张长方形的纸条，首尾相粘，做 成一个纸圈，然后只允许用一种颜色，在纸 圈上的一面涂抹，最后把整个纸圈全部抹成 一种颜色，不留下任何空白。 这个纸圈应该怎样粘？如果是纸条的首尾相粘做成的纸 圈有两个面，势必要涂完一个面再重新涂另一个面，不符合 涂抹的要求，能不能做成只有一个面、一条封闭曲线做边界 的纸圈儿呢？