概率论习题及答案()
大学概率论习题及答案
《经济应用数学三（概率论）》综合测试题（二）一、单项选择题1．设A，B为两随机事件，且，则下列式子正确的是（）。
A.B.C.D.2．从装有2只红球，2只白球的袋中任取两球，记：A=“取到2只白球”则=（）。
A.取到2只红球B.取到1只红球C.没有取到白球D.至少取到1只红球3．事件A，B相互独立，且（）。
A.0.46B.0.42C.0.56D.0.144．下列函数为正态分布密度的是（）。
A.B.C.D.5．设随机变量服从, 其分布密度函数为, 则（）。
A.0B.1C.D.6．设随机变量的密度函数为，则。
A.0B.C.1D.7．设随机变量X的可能取值为, 随机变量Y的可能取值为,如果, 则随机变量X 与Y （）。
A.一定不相关B.一定独立C.一定不独立D.不一定独立8．若二维随机变量的联合概率密度为，则系数（）。
A.B.C.1D.9．对随机变量来说，如果，则可断定不服从（）。
A.二项分布B.指数分布C.泊松分布D.正态分布10．设服从参数为的指数分布，则（）。
A.B.C.D.二、填空题1．若事件A与B互斥，P(A)=0.6,P(A∪B)=0.8,则2．随机变量X服从区间 [1，4]上的均匀分布，则P { 0＜X＜3} = __________。
3．设随机变量的概率分布为，则__________。
4．设二维随机变量（X,Y）的联合分布律为：则a=________,b=________。
5．设服从正态分布，则D(-2X+1)= ________三、计算题1．设某产品的合格率为80% 。
检验员在检验时合格品被认为合格的概率为97%，次品被认为合格的概率为2%。
（1）求任取一产品被检验员检验合格的概率；（2）若一产品通过了检验，求该产品确为合格品的概率。
2．设打一次电话所用时间X（分钟）服从参数为的指数分布，如果某人刚好在你前面走进公用电话亭，求你等待时间在10分钟到20分钟之间的概率。
3．已知随机向量的联合概率分布为（1）求的边缘分布；（2）判断与是否独立；4．设系统由100个相互独立的部件组成, 运行期间每个部件损坏的概率为0.1, 至少有85个部件是完好时系统才能正常工作。
(完整版)概率论与数理统计习题集及答案
《概率论与数理统计》作业集及答案第1章 概率论的基本概念§1 .1 随机试验及随机事件1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ；(2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ；B ：两次出现同一面，则= ；C ：至少有一次出现正面，则C= .§1 .2 随机事件的运算1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件：(1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则（1）=⋃B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ⋃= ，（5）B A = 。
§1 .3 概率的定义和性质1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===⋃B P A P B A P ，则(1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ⋃= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = .§1 .4 古典概型1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率,(2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率.2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.§1 .5 条件概率与乘法公式1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。
概率论期末考试复习题及答案
第一章1.设P （A ）=31，P （A ∪B ）=21，且A 与B 互不相容,则P (B ）=____61_______。
2。
设P (A )=31，P （A ∪B ）=21，且A 与B 相互独立,则P （B ）=______41_____.3．设事件A 与B 互不相容，P （A ）=0.2,P （B)=0。
3，则P(B A ）=___0.5_____。
4．已知P （A ）=1/2，P （B ）=1/3，且A,B 相互独立，则P （A B ）=________1/3________。
A 与B 相互独立5．设P(A ）=0。
5，P （A B ）=0.4，则P （B ｜A ）=___0。
2________。
6．设A ，B 为随机事件，且P （A)=0.8,P(B)=0。
4，P(B|A ）=0。
25，则P （A ｜B ）=____ 0。
5______．7．一口袋装有3只红球，2只黑球，今从中任意取出2只球，则这两只恰为一红一黑的概率是________ 0。
6________．8．设袋中装有6只红球、4只白球，每次从袋中取一球观其颜色后放回，并再放入1只同颜色的球，若连取两次,则第一次取得红球且第二次取得白球的概率等于____12/55____。
9．一袋中有7个红球和3个白球,从袋中有放回地取两次球,每次取一个，则第一次取得红球且第二次取得白球的概率p=___0。
21_____。
10．设工厂甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，产量依次占全厂产量的45％，35％，20％，且各车间的次品率分别为4％,2％,5%.求:（1）从该厂生产的产品中任取1件,它是次品的概率; 3.5% （2)该件次品是由甲车间生产的概率. 3518第二章1。
设随机变量X~N （2，22），则P ｛X ≤0｝=___0。
1587____。
（附：Φ（1)=0。
8413) 设随机变量X~N （2，22），则P ｛X ≤0｝=(P ｛(X-2）/2≤-1} =Φ（-1)=1—Φ(1）=0。
高等数学(概率论)习题及解答
高等数学(概率论)习题及解答高等数学（概率论）题及解答
1. 题一
1.1. 题目
已知事件A和B的概率分别为P(A) = 0.2，P(B) = 0.3，且P(A∪B) = 0.4，求P(A∩B)。
1.2. 解答
根据概率的加法定理，有：
P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
代入已知数据得：
0.4 = 0.2 + 0.3 - P(A∩B)
P(A∩B) = 0.1
所以，P(A∩B)的概率为0.1。
2. 题二
2.1. 题目
已知某城市一天中的天气分为晴天、阴天和雨天三种情况，其中晴天的概率为0.4，阴天的概率为0.3。
现已知，当下为晴天时，随后一天也是晴天的概率为0.7；当下为阴天时，随后一天为晴天的概率为0.5。
求当下为晴天时，随后一天为阴天的概率。
2.2. 解答
设事件A为当下为晴天，事件B为随后一天为阴天。
根据条件概率的定义，有：
P(B|A) = P(A∩B) / P(A)
已知 P(A) = 0.4，P(B|A) = 0.5，代入并整理得：
0.5 = P(A∩B) / 0.4
P(A∩B) = 0.5 * 0.4
P(A∩B) = 0.2
所以，当下为晴天时，随后一天为阴天的概率为0.2。
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(完整)概率复习题及答案
〈概率论〉试题一、填空题1．设A、B、C是三个随机事件。
试用A、B、C分别表示事件1）A、B、C 至少有一个发生2）A、B、C 中恰有一个发生3）A、B、C不多于一个发生2．设A、B为随机事件，，，.则＝3．若事件A和事件B相互独立, ，则4。
将C，C,E,E,I，N，S等7个字母随机的排成一行,那末恰好排成英文单词SCIENCE的概率为5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0。
5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为6.设离散型随机变量分布律为则A=______________7。
已知随机变量X的密度为,且，则________________8。
设～，且,则_________9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为，则该射手的命中率为_________ 10。
若随机变量在(1，6）上服从均匀分布，则方程x2+x+1=0有实根的概率是11.设，，则12。
用（)的联合分布函数F（x,y）表示13。
用（）的联合分布函数F（x，y）表示14.设平面区域D由y = x , y = 0 和x = 2 所围成，二维随机变量(x,y）在区域D上服从均匀分布，则（x，y）关于X的边缘概率密度在x = 1 处的值为。
15。
已知，则＝16.设，且与相互独立,则17。
设的概率密度为，则＝18。
设随机变量X1，X2，X3相互独立，其中X1在［0，6]上服从均匀分布，X2服从正态分布N(0，22），X3服从参数为=3的泊松分布,记Y=X1－2X2+3X3，则D（Y）=19。
设，则20.设是独立同分布的随机变量序列,且均值为,方差为,那么当充分大时，近似有~ 或～。
特别是，当同为正态分布时，对于任意的，都精确有~ 或～.21.设是独立同分布的随机变量序列，且,那么依概率收敛于。
22.设是来自正态总体的样本，令则当时～。
23。
设容量n = 10 的样本的观察值为(8，7，6,9，8，7，5，9，6），则样本均值= ，样本方差=24。
概率论与数理统计总习题及答案
试题一、填空1、设P(A)=0.4,P(AUB)=0.7,A与B不相容，则P(B)=0.3 解：由公式,P(AUB)= P(A)+ P(B)所以P(B)= 0.7-0.4=0.32、若X~B(n,p),则X的数学期望E(X)= n*p解：定义：二项分布E(X)= n*p D(X)=n*p(1-p)3、甲盒中有红球4个，黑球2个，白球2个；乙盒中有红球5个，黑球3个；丙盒中有黑球2个，白球2个。
从这3个盒子中任取1个盒子，再从中任取1球，他是红球的概率0.375解：设甲为A1,乙为A2，丙为A3，红球为B则P(B)=P(A1)P(B| A1)+P(A2)P(B| A2)+P(A3)P(B| A3)=1/3*1/2+1/3*5/8+1/3*0=0.3754、若随机变量X的分布函数为f(x)={0,x<0√x,0≤x<1 1, x≥1则P{0.25<X≤1}=0.5解：分布函数求其区间概率即右端点函数值减去左端点函数值F (1)-F (0.25) = 1-0.5=0.55、设（X1,X2,…X n）为取自正态分布，总体X~N(μ,σ2),的样本，则X的分布为N(μ,σ2n )解：定义6、设ABC表示三个随机变量事件，ABC至少有一个发生，可表示为AUBUC解：至少；如果是一切发生为A∩B∩C7、设X为连续随机变量，C是一个常数，则P{X=C}=0 解：取常数，取一个点时，恒定为08、一射手对同一目标独立地进行4次射击，若至少命中1次的概率为80/81，则该射击的命中率为2/3解:射击，即伯努利试验。
求P(X=0)=Cn0p0(1−p)4=1−80/81(1−p)4=181,1−p=13,p=239、设X~N(−1，2)，Y~N(1,3)且X与Y相互独立，则X+ 2Y~N(1,14)解：因为X与Y相互独立，再由正态分布得E(X)=-1,D(X)=2;E(Y)=1,D（Y）=3;所以E(X+2Y)=E(X)+2E(Y)=-1+2*1=1D(x+2Y)=D(X)+4D(Y)=2+4*3=14所以X+2Y~N(1,14)10、设随机变量X的方差为2.5，利用切比雪夫不等式估计概率得P{|X−E(X)|≥7.5}≤ 2.57.52解：由切比雪夫不等式P{|X−μ|≥ε}≤σ2ε2≤ 2.57.52二、 计算1、 从0，1，2，…9中任意取出3个不同的数字，求下列的概率。
《概率论与数理统计》练习题(含答案)
《概率论与数理统计》练习题（含答案）一、单项选择题1．设,,A B C 为三个事件，且,A B 相互独立，则以下结论中不正确的是（ ） （A ）若()1P C =，则AC 与BC 也独立. （B ）若()1P C =，则A C 与B 也独立. （C ）若()0P C =，则A C 与B 也独立. （D ）若C B ⊂，则A 与C 也独立.答案：（D ）.解答：因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立，所以（A ），（B ），（C ）都是正确的，只能选（D ）.事实上由图 可见A 与C 不独立.2．设随机变量~(0,1),X N X 的分布函数为()x Φ，则(||2)P X >的值为（ ） （A ）2[1(2)]-Φ. （B ）2(2)1Φ-. （C ）2(2)-Φ. （D ）12(2)-Φ.答案：（A ）解答： ~(0,1)X N 所以(||2)1(||2)1(22)P X P X P X >=-≤=--<≤ 1(2)(2)1[2(2)1]2[1(2)]=-Φ+Φ-=-Φ-=-Φ 应选（A ）.3．设随机变量X 和Y 不相关，则下列结论中正确的是（ ） （A ）X 与Y 独立. （B ）()D X Y DX DY -=+. （C ）()D X Y DX DY -=-. （D ）()D XY DXDY =.SABC答案：（B ）解答：由不相关的等价条件知，0y x cov 0xy =⇒=），（ρ ()+2cov x y D X Y DX DY -=+（，） 应选（B ）.4．设离散型随机变量X 和Y 的联合概率分布为(,)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)111169183X Y P αβ若,X Y 独立，则,αβ的值为（ ）（A ）21,99αβ==. （A ）12,99αβ==.（C ） 11,66αβ== （D ）51,1818αβ==.答案：（A ）解答： 若,X Y 独立则有(2,2)(2)(2)P X Y P X P Y α======1121()()()3939αβαα=+++=+∴29α=， 19β=故应选（A ）.5．设总体X 的数学期望为12,,,,n X X X μ为来自X 的样本，则下列结论中正确的是（ ）（A ）1X 是μ的无偏估计量. （B ）1X 是μ的极大似然估计量. （C ）1X 是μ的相合（一致）估计量. （D ）1X 不是μ的估计量. 答案：（A ） 解答：1EX μ=，所以1X 是μ的无偏估计，应选（A ）.6. 设A 、B 、C 为三个事件，()0P AB >且(|)1P C AB =，则有（ ）Y X（A ）()()() 1.P C P A P B ≤+- （B ）()().P C P A B ≤ （C ）()()() 1.P C P A P B ≥+- （D ）()().P C P A B ≥答案：C 解答：由(|)1P C AB =知()()P ABC P AB =，故()()P C P AB ≥ ()()()()()()()1P C P AB P A P B P A B P A P B ≥=+-≥+- 应选C.7. 设随机变量X 的概率密度为2(2)4(),x f x x +-=-∞<<∞, 且~(0,1)Y aX b N =+，则在下列各组数中应取（ ） （A ）1/2, 1.a b == （B）2,a b ==（C ）1/2,1a b ==-. （D）2,a b == 答案：B 解答：22(2)4()x f x +-==即~(2,)X N - 故当a b ===时 ~(0,1)Y aX b N =+ 应选B.8. 设随机变量X 与Y 相互独立，其概率分布分别为010.40.6X P010.40.6Y P则有（ ）（A ）()0.P X Y == （B ）()0.5.P X Y ==（C ）()0.52.P X Y == （D ）() 1.P X Y == 答案：C解答：()(0,0)(1,1)P X Y P X Y P X Y ====+== 0.40.40.60.60.52=⨯+⨯= 应选C.9. 对任意随机变量X ，若EX 存在，则[()]E E EX 等于（ ）（A ）0. （B ）.X （C ）.EX （D ）3().EX 答案：C 解答：[()]E E EX EX = 应选C.10. 设12,,,n x x x 为正态总体(,4)N μ的一个样本，x 表示样本均值，则μ的置信度为1α-的置信区间为（ ） （A ）/2/2(x u x u αα-+ （B ）1/2/2(x u x u αα--+ （C ）(x u x uαα-+ （D ）/2/2(x u x u αα-+ 答案：D 解答：因为方差已知，所以μ的置信区间为/2/2(X u X u αα-+应选D. 11、设为总体的一个样本，为样本均值，则下),,,(21n X X X )2,1(2N X列结论中正确的是（ D ）。
(完整版)概率论高等数学习题解答
1(A )三、解答题1•一颗骰子抛两次，以 X表示两次中所得的最小点数(1) 试求X 的分布律； (2)写出X 的分布函数.解：(1)分析：这里的概率均为古典概型下的概率，所有可能性结果共 36种，如果X=1，则表明两次中至少有一点数为1,其余一个1至6点均可，共有C 2 6-1 (这里C 2指任选某次点 数为1, 6为另一次有6种结果均可取，减1即减去两次均为1的情形，因为C ； 6多1 1算了一次)或C 2 5 1种，故P X 1 C 26-1C25 1耳，其他结果类似36 3636可得•0, X1P{X 1} ,1X 2P{X 1} P{X 2} ,2X3F(x)P{X 1} P{X 2} P{X 3}， 3 x 4P{X 1} P{X 2} P{X3}P{X 4}, 4 x 5 P{X1} P{X2} P{X 3} P{X4} P{X5}, 5 x 61 ,x 622 •某种抽奖活动规则是这样的：袋中放红色球及白色球各 5只，抽奖者交纳一元钱后得到一次抽奖的机会，然后从袋中一次取出 5只球，若5只球同色，则获奖100元，否则无奖,以X 表示某抽奖者在一次抽取中净赢钱数，求X 的分布律.解:注意，这里 X 指的是赢钱数，X 取0-1或100-1，显然P X 99k3.设随机变量 X 的分布律为P{X k} a ,k 0,1,2, k!k解：因为 a ae 1，所以a e k 0 k!4.设随机变量X 的分布律为X -1 2 3 p1/41/21/4(1)求X 的分布函数;1 3 512627，3 翌,4 3635,5 36x 2 x 3x 4 x 5x 6 62 1 C ；0 1260为常数，试求常数 a .3⑵求P{X 丄}，P{- X 5}，P{2 x 3}.2 2 2解:40, x -1布，而与时间间隔的起点无关(时间以小时计)(1) 求某一天中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率. (2) 求某一天中午12时至下午5时至少收到一次紧急呼救的概率. 解：(1) X ~ P 0.5t P 1.5 P X 0 e 1.5. (2) 0.5t2.50, x -1P{X 1}， 1 x2(1) F (x)P{X 1} P{X 2}1, x 3⑵P 1XX1 124P 2 X 3 P X 2X 3 5.设随机变量X 的分布律为 P{X k}(1) P{X =偶数｝(2) P{ X 5}(3) P{ X=3的倍数｝2 x 33 ， ,2x341, x 33 51 P — X P X2 —222P X2 3 P X 3.4扌,k 1,2, 求：解：(1) P X 偶数丄1丄 22 221 lim i1(2) P X 51 P X 4115 1 16 16⑶P X 3的倍数23236.某公安局在长度为i123ilim123t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为0.5t 的泊松分2.5丄，1x2 45 7.某人进行射击，每次射击的命中率为0.02，独立射击400次，试求至少击中2次的概6解：设射击的次数为 X ，由题意知X ~ B 400,0.2i k k 400 kP X 2 1 P X 11 C 4000.02 0.98k 0查表泊松分布函数表得:P{X 2} 1 0.28 0.99728.设事件A 在每一次试验中发生的概率为 0.3,当A 发生不少于3次时，指示灯发出信(1)系数a ;(2) X 落在区间(0,[)内的概率.号•现进行5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率.解：设X 为事件A 在5次独立重复实验中出现的次数,则指示灯发出信号的概率 X ~ B 5,0.3 p P X 3 1 P X 3 1 (C 00.3°0.75 C 50.310.74 C ；0.320.73) 1 0.8369 0.1631. 9.设顾客在某银行窗口等待服务的时间 X (以分钟计) 在窗口等待服务，若超过 务而离开窗口的次数.写出 服从参数为 5 10分钟，他就离开.他一个月要到银行 5次，以 Y 的分布律，并求P{Y 1}.指数分布•某顾客 Y 表示他未等到服 x 解：因为X 服从参数为5的指数分布，则F(x) 1 e T , P X 10 Y~ B5, e 2 , 1 F(10) e 2 ,则 P{Y k} C5 (e 2)k (1 e 2)5k,k 0,1, 5 P{Y 1} 1- P{Y 0} 1 (1 e 2)5 0.5167 a cosx. 10.设随机变量 X 的概率密度为 f(x)0,|x|~2，试求:|x |2解：(1)由归一性知：1 f (x)dx2a cosxdx 2a ，所以 a2由于上面二项分布的概率计算比较麻烦, 所以而且X 近似服P{X 2}18k ek 0k!7⑵-11.2.P{0 X —} ； cosxdx sin x |(424 .0,x011 . 设连续随机变量X的分布函数为F(x)Ax,0x 11,x1⑶X的概率密度.试求:(1) 解系数(1)A；由⑵X落在区间(0.3, 0.7)内的概率；的连续性可得lim F(x)F(x )在x=1 lim F(x) F(1)，即A=1.x 1(2) 0.3 X 0.7 F(0.7) F(0.3) 0.4.(3) X的概率密度 f (x) F (x)2x,00,12.设随机变量X服从(0, 5)上的均匀分布，求的概率.x的方程4x2 4Xx X 0有实根解：因为X服从(0, 5)上的均匀分布，所以1f(x) 50x5其他2 2方程4x 4Xx X(x 2)( X2(4X) 16X1，所以有实根的概率为0有实根，则32 51dx2510dxX〜N(3, 4)13.设求P{2 X 5}, P{(1) X 10}, P{ X 2}, P{X解: 确定c使得P{X c}设d满足P{X d} 0.9，问d至多为多少？(1)因为X ~ N(3,4)所以P{X c};2 3P{2 X 5} P{〒穿}P{1}(1) (0.5) (1) (0.5) 1 0.8413 0.6915 0.5328P 4 X 108F(2)(2.5)经查表得1 (0)，即2专)故斗214.设随机变量1.29，解：P XF(所以(k)15.设随机变量如何变化的？(3.5)2 0.999810 3 4 3(^)2 2(3.5) 2 (3.5)1 0.99962) 1(0.5)0.1，解：X ~ N(,(0.5)0.3023F(3)，则P X2X2(2.5)0.6977(0)得c 3 ；由概率密度关于即(-d 3)20.42.X服从正态分布2 2 (k)0.95 , p XN(0,1 0.5 0.5.c 3 1F(c)(〒)-，x=3对称也容易看出。
概率论课后习题答案
概率论课后习题答案概率论与数理统计习题及答案习题⼀4.设A ，B 为随机事件，且P （A ）=0.7,P (A -B )=0.3，求P （AB ）. 【解】 P （AB ）=1-P （AB ）=1-[P (A )-P (A -B )] =1-[0.7-0.3]=0.66.设A ，B ，C 为三事件，且P （A ）=P （B ）=1/4，P （C ）=1/3且P （AB ）=P （BC ）=0，P （AC ）=1/12，求A ，B ，C ⾄少有⼀事件发⽣的概率.【解】 P （A ∪B ∪C ）=P (A )+P (B )+P (C )-P (AB )-P (BC )-P (AC )+P (ABC )=14+14+13-112=3413. ⼀个袋内装有⼤⼩相同的7个球，其中4个是⽩球，3个是⿊球，从中⼀次抽取3个，计算⾄少有两个是⽩球的概率. 【解】设A i ={恰有i 个⽩球}（i =2,3），显然A 2与A 3互斥.213434233377C C C 184(),()C 35C 35P A P A ====故 232322()()()35P A A P A P A =+=23. 设P （A ）=0.3,P (B )=0.4,P (A B )=0.5，求P （B ｜A ∪B ）【解】 ()()()()()()()()P AB P A P AB P B A B P A B P A P B P AB -==+- 0.70.510.70.60.54-==+-33. 三⼈独⽴地破译⼀个密码，他们能破译的概率分别为15，13，14，求将此密码破译出的概率.【解】设A i ={第i ⼈能破译}（i =1,2,3），则310.6534=-= 34. 甲、⼄、丙三⼈独⽴地向同⼀飞机射击，设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7，若只有⼀⼈击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两⼈击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三⼈都击中，则飞机⼀定被击落，求：飞机被击落的概率. 【解】设A ={飞机被击落}，B i ={恰有i ⼈击中飞机}，i =0,1,2,3由全概率公式，得3()(|)()i i i P A P A B P B ==∑=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+(0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4×0.5×0.7 =0.458习题⼆1.⼀袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X 表⽰取出的3只球中的最⼤号码，写出随机变量X 的分布律. 【解】353524353,4,51(3)0.1C 3(4)0.3C C (5)0.6C X P X P X P X ========== 故所求分布律为4.（1）设随机变量X 的分布律为P {X =k }=!k akλ，其中k =0，1，2，…，λ＞0为常数，试确定常数a . （2）设随机变量X 的分布律为P {X =k }=a/N ， k =1，2，…，N ，试确定常数a . 【解】（1）由分布律的性质知1()e !ka λ-=(2) 由分布律的性质知111()N Nk k aP X k a N======∑∑即 1a =.8.已知在五重贝努⾥试验中成功的次数X 满⾜P {X =1}=P {X =2}，求概率P {X =4}. 【解】设在每次试验中成功的概率为p ，则1422355C (1)C (1)p p p p -=-故 13p =所以 4451210(4)C ()33243P X ===. 21.设X ~N （3，22），（1）求P {222X P X P ---??<≤=<≤11(1)(1)1220.841310.69150.5328ΦΦΦΦ=--=-+ ? ?=-+=433103(410)222X P X P ----??(||2)(2)(2)P X P X P X >=>+<-323323222215151122220.691510.99380.6977X X P P ΦΦΦΦ-----=>+< ? ?=--+-=+- ? ? ? ?????????=+-=333(3)()1(0)0.522X P X P Φ->=>=-=- (2) c=322.由某机器⽣产的螺栓长度（cm ）X ~N （10.05,0.062）,规定长度在10.05±0.12内为合格品,求⼀螺栓为不合格品的概率.【解】10.050.12(|10.05|0.12)0.060.06X P X P ?-?->=>1(2)(2)2[1(2)]0.0456ΦΦΦ=-+-=-=24.设随机变量X 分布函数为F （x ）=e ,0,(0),00.xt A B x ,x λ-?+≥>?（1）求常数A ，B ；（2）求P {X ≤2}，P {X ＞3}；（3）求分布密度f （x ）.【解】（1）由00lim ()1lim ()lim ()x x x F x F x F x →+∞→+→-==??得11A B =??=-?（2） 2(2)(2)1e P X F λ-≤==-33(3)1(3)1(1e )e P X F λλ-->=-=--=(3) e ,0()()0,0x x f x F x x λλ-?≥'==?44.若随机变量X 在（1，6）上服从均匀分布，则⽅程y 2+Xy +1=0有实根的概率是多少？0,x f x ?<24(40)(2)(2)(2)5P X P X P X P X -≥=≥+≤-=≥=习题三（1）求关于X 和关于Y 的边缘分布；（2） X 与Y 是否相互独⽴？【解】（1）X 和Y 的边缘分布如下表(2) 因{2}{0.4}0.20.8P X P Y ===? 0.160.15(2,0.4),P X Y =≠=== 故X 与Y 不独⽴.习题四1.设随机变量X 的分布律为求【解】(1) 11111()(1)012;82842E X =-?+?+?+?= (2) 2222211115()(1)012;82844E X =-?+?+?+?=(3) 1(23)2()32342E X E X +=+=?+=5.设随机变量X 的概率密度为f （x ）=??≤≤-<≤.,0,21,2,10,其他x x x x求E （X ），D （X ）. 【解】12201()()d d (2)d E X xf x x x x x x x +∞-∞=332011 1.33x x x ??=+-=?122232017()()d d (2)d 6E X x f x x x x x x x +∞-∞==+-=故 221()()[()].6D XE X E X =-=7.设随机变量X ，Y 相互独⽴，且E （X ）=E （Y ）=3，D （X ）=12，D （Y ）=16，求E （3X -2Y ），D （2X -3Y ）. 【解】(1) (32)3()2()3323 3.E X Y E X E Y -=-=?-?=(2) 22(23)2()(3)412916192.D X Y D X DY -=+-=?+?=习题七2.设总体X 的密度函数f （x ,θ）=22(),0,0,.x x θθθ?-<X 1，X 2，…，X n 为其样本，试求参数θ的矩法估计. 【解】23022()()d ,233x x E X x x x θθθθθθθ??=-=-=令E (X )=A 1=X ,因此3θ=X 所以θ的矩估计量为 ^3.X θ=3.设总体X 的密度函数为f （x ，θ），X 1，X 2，…，X n 为其样本，求θ的极⼤似然估计.（1） f （x ，θ）=,0,0,0.e x x x θθ-?≥?（2） f （x ，θ）=1,01,0,.x x θθ-?<【解】（1）似然函数111(,)ee eniii n nx x nn ii i L f x θθθθθθ=---==∑===∏∏1ln ln ni i g L n x θθ===-∑i i g L n x θθθ===-=∑知 1 nii nxθ==∑所以θ的极⼤似然估计量为1 Xθ=. (2) 似然函数11,01nni i i L x x θθ-==<<∏,i =1,2,…,n.1ln ln (1)ln ni i L n x θθ==+-∏由1d ln ln 0d ni i L n x θθ==+=∏知11?ln ln nniii i n nxx θ===-=-∑∏ii nxθ==-∑10.设某种砖头的抗压强度X ~N （µ，σ2），今随机抽取20块砖头，测得数据如下（kg ·cm -2）：64 69 49 92 55 97 41 84 88 99 84 66 100 98 72 74 87 84 48 81 （1）求µ的置信概率为0.95的置信区间. （2）求σ2的置信概率为0.95的置信区间. 【解】76.6,18.14,10.950.05,20,x s n α===-==/20.025222/20.0250.975(1)(19)2.093,(1)(19)32.852,(19)8.907t n t n ααχχχ-==-===(1) µ的置信度为0.95的置信区间/2(1)76.6 2.093(68.11,85.089)a x n-== ? ?????(2)2σ的置信度为0.95的置信区间222222/21/2(1)(1)1919,18.14,18.14(190.33,702.01)(1)(1)32.8528.907n s n s n n ααχχ-??--??=??= ?--其中θ(0<θ<2)是未知参数，利⽤总体的如下样本值3，1，3，0，3，1，2，3，求θ的矩估计值和极⼤似然估计值. 【解】8i x E X E X x x x θθ=-=-====∑令得⼜所以θ的矩估计值31 .44x θ-== （2）似然函数86241(,)4(1)(12).ii L P x θθθθ===--∏2ln ln 46ln 2ln(1)4ln(1),d ln 628628240,d 112(1)(12)L L θθθθθθθθθθθθ=++-+--+=--==----解2628240θθ-+=得 1,2θ=.由于71,122+>所以θ的极⼤似然估计值为 7?2θ=。
概率论自测练习题(含答案)
学院 班级 姓名 学号期末自测练习题一一、选择题（本大题4小题，每小题3分，共12分）. 1．对于任意事件A 和B ，若()0P AB =，则（ ）.(A) AB =∅ (B)AB =∅(C) ()()0P A P B =(D)(()0P AB P A -=2．设随机变量()2~,X N μσ，则随着σ的增大，概率()P X μσ-<（ ）.(A) 单调增加 (B)单调减少 (C) 保持不变(D)增减性不能确定3．对于任意两个随机变量X 和Y ，若()()()E XY E X E Y =，则（ ）.(A) ()()()D XY D X D Y = (B)()()()D X Y D X D Y +=+ (C) X 和Y 相互独立(D)X 和Y 不相互独立4．随机变量X 的方差存在，并且有不等式()2()39P X E X -≥≤，则一定有（ ）.(A) ()2D X = (B)()2D X ≠ (C) ()7()39P X E X -<<(D)()7()39P X E X -<≥二、填空题（本大题4小题，每小题3分，共12分）.1．设随机变量~(0,1)X N ，2~()Y n χ，且X 与Y 相互独立，则随机变量~T= .2．随机变量X 和Y 的相关系数为0.9，若0.4Z X =-，则Y 和Z 的相关系数YZ ρ= .3．设随机变量X 与Y 相互独立，X 服从12p =的01-分布，Y 服从13p =的01-分布，则方程220t Xt Y ++=中t 有相同实根的概率为 .4．设随机变量X 的密度函数为,10;(),01;0,c x x f x c x x +-<<⎧⎪=-<<⎨⎪⎩其他.则常数c = .三、计算题（本大题8分）.两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为0.03，第二台出现废品的概率为0.02，加工出来的零件放在一起，并且已知第一台机床加工的零件数量是第二台机床加工的零件数量的两倍，求（1）任意取出一个零件，这个零件是合格品的概率；（2）如果取出的这个零件是废品，求它是第二台机床加工的概率.设在15只同类型的零件中有2只是次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X 表示取出的次品只数. （1）求X 的分布律；（2）求()E X ；（3）求()D X .五、计算题（本大题8分）.随机变量X 的概率密度为()22,0;1()0,0.X x x f x x π⎧>⎪+=⎨⎪≤⎩ 求随机变量ln Y X =的概率密度.设二维连续型随机变量(,)X Y 的联合密度为sin(),0,0;(,)220,A x y x y f x y ππ⎧+≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其他.求（1）常数A ；（2）4P X Y π⎛⎫+< ⎪⎝⎭；（3）边缘密度函数()X f x ，()Y f y ；（4）判别随机变量X 与Y 的独立性.设随机变量X 的分布函数为330,;()1,x a F x a x a x <⎧⎪=⎨-≥⎪⎩，求()E X ，()D X ，23E X a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，23D X a ⎛⎫- ⎪⎝⎭.八、计算题（本大题10分）.将一枚硬币连续投掷三次，X 表示在三次中出现正面的次数，Y 表示三次中出现正面次数与反面次数之差的绝对值. （1）写出X 和Y 的联合分布律；（2）求()P X Y =.已知总体X 的概率密度1e ,0;(;)0,0.xx f x x θθθ-⎧>⎪=⎨⎪≤⎩（参数0θ>），12,,,nX X X 为X 的一容量为n 的样本，求θ的极大似然估计量.十、计算题（本大题8分）.某厂生产的一批滚珠的直径()2~,2.6X N μ，现抽样100个，测得样本平均值11.2x =cm ，问这批滚珠的平均直径能否认为是12cm ？（0.05α=，21.96Z α=）学院 班级 姓名 学号期末自测练习题二一、选择题（本大题4小题，每小题3分，共12分）.1．设,A B 是两个互不相容的事件，()0P A >，()0P B >，则一定有（ ）.(A) ()1()P A P B =- (B)(|)0P A B = (C) ()|1P A B =(D)()0P AB =2．若函数()y f x =是随机变量X 的概率密度函数，则一定有（ ）.(A) ()f x 的定义域为[0,1] (B)()f x 的值域为[0,1] (C) ()0f x ≥(D)()f x 在(,)-∞+∞上连续3．设随机变量X 与Y 相互独立，其概率分布为则下列式子正确的是（ ）.(A) X Y = (B)()0P X Y ==(C) 1()2P X Y ==(D)()1P X Y ==4．样本1234,,,X X X X 取自正态分布总体X ，()E X μ=为已知，2()D X σ=未知，则下列随机变量中不能作为统计量的是（ ）.(A) 114ni i X X ==∑(B)142X X μ+-(C)()2211nii XX σ=-∑(D)()22113ni i S X X ==-∑二、填空题（本大题4小题，每小题3分，共12分）.1．设两个相互独立的随机变量X 和Y 的方差分别为4和2，则随机变量32X Y -的方差为 .2．一颗均匀的骰子重复掷10次，设X 表示出现3点的次数，则X 服从的分布为 .3．设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，用契比雪夫不等式估计有()|2|4P X -≥ .4．假设总体X 服从正态分布()2,N μσ，12,,,n X X X 是来自总体X 的一个样本，则有~n X . 三、计算题（本大题10分）.有两个箱子，第一个箱子有3个白球，2个红球；第二个箱子有4个白球，4个红球. 现从第一个箱子中随机地取1个球放到第二个箱子里，再从第二个箱子中随机地取1个球，求：（1）第二个箱子中取出的球为白球的概率；（2）已知从第二个箱子中取出的是白球，则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为多少？四、计算题（本大题8分）.设连续型随机变量X 的概率密度函数为e ,0;()0,0.x X x f x x -⎧≥=⎨<⎩求Y =的概率密度函数.五、计算题（本大题12分）.设二维随机变量(,)X Y 的联合概率密度为e ,0;(,)0,y a x y f x y -⎧<<=⎨⎩其他.求（1）常数a ；（2）(1)P X Y +≤；（3）,X Y 的边缘概率密度函数()X f x ，()Y f y ；（4）判断,X Y 是否相互独立.六、计算题（本大题12分）.将一枚硬币掷3次，以X 表示前2次中出现正面的次数，以Y 表示3次中出现正面的次数，求,X Y 的联合分布律，并计算()P X Y .设长方形的高~(0,1)X U ，周长为定值2，求长方形面积A 的数学期望与方差.八、计算题（本大题12分）.总体X 分布律为其中θ（01θ<<）为未知参数. 已知取得的样本值为1231,2,1x x x ===，求θ的矩估计值和最大似然估计值.X 1 2 3P2θ 2(1)θθ-2(1)θ-设某种清漆的9个样品，其干燥时间（以小时计）分别为6.0，5.7，5.8，6.5，7.0，6.3，5.6，6.1，5.0. 若干燥时间服从正态分布()2,Nμσ，求μ的置信水平为0.95的置信区间. （0.0251.96Z=，0.025(8) 2.306t=）十、证明题（本大题6分）.设ˆθ是参数θ的无偏估计量，且()ˆ0Dθ>. 证明：2ˆθ不是2θ的无偏估计量.学院 班级 姓名 学号期末自测练习题三一、选择题（本大题4小题，每小题3分，共12分）.1．设A 表示事件“甲种产品滞销或乙种产品畅销”，则其对立事件A 为（ ）.(A) 甲种产品畅销或乙种产品滞销 (B) 甲种产品畅销且乙种产品滞销 (C) 甲种产品畅销 (D) 乙种产品滞销2．设,A B 为任意两个事件，则使()()()P A C P A P C -=-成立的事件C 可以是（ ）.(A) C A = (B)C A B =(C) C A B =-(D)C B A =-3．若随机变量,X Y 满足()()D X Y D X Y +=-，则一定有（ ）.(A) X 与Y 相互独立(B)X 与Y 不相关(C) ()0D Y =(D)()()0D X D Y =4．设总体~(3,16)X N ，1216,,,X X X 是来自总体X 的一个样本，X 为样本均值，则（ ）.(A) 3~(0,1)X N - (B)4(3)~(0,1)X N -(C)3~(0,1)4X N -(D)3~(0,1)16X N - 二、填空题（本大题4小题，每小题3分，共12分）.1．设()P A a =，()P B b =，()P A B c +=，则()P AB = .2．若离散型随机变量X 的概率分布为3()4nP X n a ⎛⎫== ⎪⎝⎭ （0,1,2,n = ），则常数a = .3．随机变量~(1,16)X N -，则(52)P X -<<= .（(0.75)0.7734Φ=，(1)0.8413Φ=）4．若随机变量X 的期望()E X 和方差()D X 都存在，常数0a >，则用切比雪夫不等式估计有()1X E X P a ⎛-⎫>≤ ⎪⎝⎭.三、计算题（本大题10分）.设8支枪中有3支未经试射校正，5支已经试射校正. 一射手用校正过的枪射击时，中靶概率为0.8；而用未校正过的枪射击时，中靶概率为0.3. 今从8支枪中任取一支进行射击，求（1）命中靶的概率；（2）若靶已命中，求所用的枪是已校正过的概率.连续型随机变量X 的分布函数0,;()arcsin ,;1,.x a x F x A B a x a a x a <-⎧⎪⎪=+-≤<⎨⎪≥⎪⎩（常数0a >）. 求（1）A 和B 取何值时，分布函数连续；（2）随机变量X 的概率密度函数；（3）方程22016a t Xt ++=有实根的概率.五、计算题（本大题10分）.随机变量X 的概率密度为22,0;()0,.xx f x ππ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他 求sin Y X =的概率密度.二维随机向量(,)X Y 的联合概率密度为e ,0;(,)0,.y C y x f x y ⎧<<=⎨⎩其他 （1）求常数C ；（2）求(12,11)P X Y -<<-<<；（3）求()X f x ，()Y f y ；（4）判断,X Y 的独立性.设(,)X Y 的联合分布律为（1）求X 的分布律，并计算()E X ，()D X ；（2）求Z XY =的分布律，并计算()E Z .八、计算题（本大题10分）.总体X 的概率密度为36(),0;()0,.x x x f x θθθ-⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他 12,,,n X X X 是取自X 的简单随机样本. （1）求θ的矩估计量ˆθ；（2）求ˆθ的期望()ˆE θ，方差()ˆD θ；（3）讨论ˆθ的无偏性.九、计算题（本大题8分）.129,,,X X X 是来自正态总体()2~,0.9X N μ的简单随机样本，样本均值5x =，求参数μ的置信度为0.95的置信区间.（0.025 1.96Z =，0.025(8) 2.31t =，0.025(9) 2.26t =）.学院 班级 姓名 学号期末自测练习题四一、选择题（本大题4小题，每小题3分，共12分）.1．当事件A 与B 同时发生时，事件C 必发生，则下列结论正确的是（ ）.(A) ()()P C P AB = (B)()()P C P A B = (C) ()()()1P C P A P B ≥+-(D)()()()1P C P A P B ≤+-2．设123,,X X X 是来自总体()2,N μσ的一个样本，其中μ为已知，2σ为未知，则下列不是统计量的为（ ）.(A) 312e X X X +(B)122X X μ+- (C) ()123max ,,X X X(D)()22212321XX X σ++3．设随机变量,X Y 独立同分布,记,U X Y V X Y =-=+，则U 和V （ ）.(A) 不独立 (B)独立 (C) 相关系数不为零 (D) 相关系数为零4．设随机变量,X Y 相互独立，它们的分布律分别为则下列式子正确的是（ ）.(A) X Y = (B)()1P X Y == (C) 5()9P X Y ==(D)()0P X Y ==二、填空题（本大题4小题，每小题3分，共12分）.1．设~(1,16)X N -，则(11)P X ->= .（其中(0.75)0.7734,(0.25)0.5987Φ=Φ=）2．设k 在[2,5]-上服从均匀分布，则关于y 的一元二次方程24420y ky k +++=有实根的概率为 .3．在区间(0,1)中随机地取两数，则两数之和小于0.8的概率为 . 4．若随机变量X 的期望()E X ,方差()D X 都存在，常数0b >，则由切比雪夫不等式有()()P X E X b ->≤ . 三、计算题（本大题10分）.某厂有甲，乙，丙三台机床生产，各自的次品率分别为4﹪，4﹪，2﹪,又知它们分别生产产品总数的20﹪，30﹪，50﹪，将这些产品混在一起,（1）求从中任取一件产品是正品的概率；（2）若取到的一件为正品，问它是甲机床产品的概率有多大？已知随机变量X 的概率密度为0;e ,()0.0,x x f x x ->⎧=⎨≤⎩ 求随机变量e X Y =的概率密度().Y f y五、计算题（本大题10分）.已知随机变量()2~1,3X N ,()2~0,4Y N ，且X 与Y 的相关系数为1.2XY ρ=-设32X YZ =+，求(),()E Z D Z .二维随机向量(,)X Y 的联合概率密度为(1)e ,0,0;(,)0,.x y Cx x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其他（1）求常数C ；（2）求边缘概率密度函数()X f x ，()Y f y ；（3）判断,X Y 的独立性；（4）求(01,01)P X Y <<<<.一整数X随机地在2,3,4三个整数中取一个值，另一个整数Y随机地在2~X X Y的联合分布律.中取一值，试求(,)八、计算题（本大题11分）.设某种电子元件的寿命T服从参数λ的指数分布.今测得10个元件的失效时间为1050,1100,1080,1200,1300,1250,1340,1060,1150,1150. 求λ的极大似然估计值.九、计算题（本大题8分）.设总体X的方差为1，根据来自总体X的容量为100的简单随机样本，测得样本均值5x=，求数学期望的置信度为95%的置信区间.（0.0251.96Z=）学院 班级 姓名 学号期末自测练习题五一、选择题（本大题4小题，每小题3分，共12分）.1．设,A B 为两个事件，则下列事件运算关系中正确的是（ ）.(A) ()()A B A B A = (B)()A B B A -= (C) A B B A -=-(D)A B A B =2．离散型随机变量X 的分布律为()n P X n p ==（1,2,n = ），则常数p =（ ）.(A) 14 (B)13 (C) 12(D)233．连续型随机变量X 服从指数分布()E λ，密度函数为e ,0;()0,0.x x f x x λλ-⎧≥=⎨<⎩ 则X 的数学期望()E X ，方差()D X 分别为（ ）.(A) ,λλ (B)2,λλ (C)11,λλ(D)211,λλ4．设总体分布为()2,N μσ，其中μ为已知，2σ为未知，12,,,n X X X 为从这一总体中抽取的容量为n 的简单随机样本，则下列不是统计量的是（ ）.(A) 211n i i X n =∑(B)2211ni i X σ=∑ (C)21()nii Xμ=-∑(D)1min i i nX ≤≤二、填空题（本大题4小题，每小题3分，共12分）.1．已知()P A B a = ，()P B b =，则()P AB = .2．设K 在[2,5]-上服从均匀分布，则方程24420y Ky K +++=无实根的概率为 .3．若~(1,16)X N -，则()4P X <= .（(1.25)0.8944Φ=，(0.75)0.7734Φ=）4．若随机变量X 的方差为4，则根据契比雪夫不等式有估计()()4P X E X -≥≤ . 三、计算题（本大题10分）.某人下午5:00下班，他所积累的资料表明： 到家时间 5:35~5:395:40~5:445:45~5:495:50~5:54 迟于5:54乘地铁到家的概率0.10 0.25 0.45 0.15 0.05 乘汽车到家的概率0.30 0.35 0.20 0.10 0.05某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车. （1）求他5:45~5:49之间到家的概率；（2）若他是5:45~5:49之间到家的，求他是乘地铁回家的概率.某种产品共5件，其中有2件次品，3件正品，从中任取3件，设X 表示取出的3件产品中次品的个数，求（1）X 的分布律；（2）X 的分布函数()F x ；（3）期望()E X ；（4）方差()D X .某仪器装有三只独立工作的同型号电子元件，其寿命（单位：小时）都服从同一指数分布，密度函数6001e ,0;()6000,0.xx f x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩求在仪器使用的最初200小时内，至少有一只电子元件损坏的概率α.六、计算题（本大题10分）.已知随机变量X 服从[1,3]上的均匀分布，求2Y X =的概率密度.已知(,)X Y 的联合概率密度为,01,01;(,)0,.Axy x y f x y ≤≤≤≤⎧=⎨⎩其他 求（1）常数A ；（2）(1)P X Y +<；（3）()X f x ，()Y f y ；（4）判断,X Y 的独立性.八、计算题（本大题8分）.设总体X 的概率密度为1,01;(;)0,.x x f x θθθ-⎧<<=⎨⎩其它 其中θ为未知参数，且0θ>. 求θ的矩估计.设有来自正态总体()2~,0.9X N μ的容量为9的简单随机样本，测得样本均值5x =，求未知参数μ的置信度为0.95的置信区间.（0.025 1.96Z =）十、证明题（本大题6分）.设事件A 与B 相互独立，证明：A 与B 相互独立.期末自测练习题一一、1．D 2．C 3．B 4．D 二、1．()t n 2．0.9 3．124．1三、（1）0.973（2）0.25 四、（1）分布律（2）14()35E X =（3）52()175D X = 五、22e ()(e 1)yY yf y π=+ 六、（1）12A =（2）144P X Y ππ⎛⎫⎫+<=- ⎪⎪⎝⎭⎭（3）1(sin cos ),0;()220,X x x x f x π⎧+≤≤⎪=⎨⎪⎩其他1(sin cos ),0;()220,Y y y y f y π⎧+≤≤⎪=⎨⎪⎩其他（4）X 与Y 不独立 七、()E X 32a =，()D X 234a =，23E X a ⎛⎫- ⎪⎝⎭0=，23D X a ⎛⎫- ⎪⎝⎭213a = 八、（1）（2）1()2P X Y ==九、11ˆn i i x n θ==∑十、不能认为这批滚珠的平均直径为12cm期末自测练习题二一、1．B 2．C 3．C 4．C 二、1．44 2．1~10,6X B ⎛⎫⎪⎝⎭3．18≤4．2(,)N μσ三、（1）2345（2）1523四、22e ,0;()0,0.y Y y y f y y -⎧≥⎪=⎨<⎪⎩ 五、 （1）1a = （2）112(1)12ee P X Y --+≤=-+（3）e ,0;()0,0.x X x f x x -⎧>=⎨≤⎩，1e ,0;()0,0.y Y y f y y -⎧->=⎨≤⎩（4）,X Y 不相互独立 六、1()2P X Y <=七、1()6E A =，1()180D A = 八、矩估计值15ˆ(3)26x θ=-=，极大似然估计值5ˆ6θ= 九、(5.558,6.442) 十、略期末自测练习题三一、1．B 2．C 3．B 4．A 二、1．c b -2．143．0.6147 4．2()D X a三、（1）4980（2）4049四、 （1）12A =，1B π=（2）;()()0,.a x a f x F x -<<'==⎩其他（3）23五、01;()0,.Y y f y <<=⎩其他六、解 （1）1C =（2）1(12,11)12e P X Y --<<-<<=-（3）e ,0;()0,0.x X x f x x ⎧<=⎨≥⎩，e ,0;()0,0.y Y y y f y y ⎧-<=⎨≥⎩（4）,X Y ∴不独立 七、（1）5()3E X =，()D X 29=（2）()3E Z =八、（1）矩估计量ˆ2X θ=（2）ˆ()E θθ=，21ˆ()5D nθθ= （3）ˆ2X θ=是参数θ的无偏估计量 九、(4.412,5.588) 期末自测练习题四 一、1．C2．D 3．D 4．C 二、1．0.82532．473．8254．2()D X b三、（1）0.97（2）0.2四、21,1;()0,1.Y y yf y y ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩五、1()3E Z =，()3D Z =六、（1）1C =（2）e ,0;()0,0.x X x f x x -⎧>=⎨≤⎩，21,0;(1)()0,0.Y y y f y y ⎧>⎪+=⎨⎪≤⎩（3）,X Y 不独立（4）211(01,01)e e 12P X Y --<<<<=-+七、八、1ˆ1168λ= 九、(4.804,5.196) 期末自测练习题五一、1． A 2． C 3． D 4． B 二、1．a b -2．373．0.66784．14三、（1）0.325（2）913四、（1）（2）0,0;1,01;10()7,12;101, 2.x x F x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩（3）() 1.2E X =（4）()0.36D X =五、11e --六、19;()0,.Y y f y ≤≤=⎩其他七、（1）4A =（2）(1)P X Y +<16=（3）2,01;()0,.X x x f x ≤≤⎧=⎨⎩其他，2,01;()0,.Y y y f y ≤≤⎧=⎨⎩其他 （4）,X Y 相互独立八、矩估计为ˆ1x x θ=- 九、(4.412,5.588) 十、略。
概率论五套练习题及答案
《概率论与数理统计》同步练习册学号＿＿＿＿＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿＿＿＿专业＿＿＿＿＿＿＿＿班级＿＿＿＿＿＿＿＿广东省电子技术学校继续教育部二O一O年四月练习一一、选择题1．设A，B，C表示三个随机事件，则A B C表示<A）A，B，C中至少有一个发生； <B）A，B，C都同时发生；<C）A，B，C中至少有两个发生； <D）A，B，C都不发生。
2．已知事件A，B相互独立，且P(A>=0.5，P(B>=0.8，则P<A B）＝(A> 0.65 。
(B> 1.3。
(C>0.9。
(D>0.3。
b5E2RGbCAP3．设X～B<n，p），则有<A）E<2X－1）＝2np；<B）E<2X＋1）＝4np＋1；<C）D<2X＋1）＝4np<1－p）＋1；<D）D<2X－1）＝4np<1－p）。
4．X的概率函数表<分布律）是xi －1 0 1pi 1/ 4 a 5/12则a＝< ）<A）1/3；<B）0；<C）5/12；<D）1/4。
5．常见随机变量的分布中，数学期望和方差一定相等的分布是<A）二项分布；<B）标准正态分布；<C）指数分布；<D）泊松分布。
二、填空题6．已知:A={x|x<3} ,B={x|2<x<5}.则A B=__________________, A-B=_____________________。
. 7．已知电路由电池A与两个并联电池B和C串联而成，各电池工作与否相互独立。
设电池A，B，C损坏的概率均为0.2。
则整个电路断电的概率是______________________.p1EanqFDPw三、证明题8.设随机变数具有对称的分布密度函数，即证明：对任意的有<1）；<2）P<；<3）。
概率论课后习题解答()
一、习题详解：1.1 写出下列随机试验的样本空间：(1)某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数;解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故}{ ,7,6,51=Ω；(2)掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和;解：}{12,11,4,3,22 =Ω；(3)观察某医院一天内前来就诊的人数;解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以}{ ,2,1,03=Ω；(4)从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故：(5)检查两件产品是否合格;解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω；(6)观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2);解：用x 表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故：()}{216,T y x T y x ≤≤=Ω ；(7)在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离;解：}{207 x x =Ω；(8)在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度. 解：()}{l y x y x y x =+=Ω,0,0,8 ；1.2 设A ，B ，C 为三事件, 用A;B;C 的运算关系表示下列各事件：(1) A 与B 都发生, 但C 不发生; C AB ；(2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;)(C B A ⋃；(3) A,B,C 中至少有一个发生; C B A ⋃⋃；(4) A,B,C 中恰有一个发生;C B A C B A C B A ⋃⋃；(5) A,B,C 中至少有两个发生; BC AC AB ⋃⋃；(6) A,B,C 中至多有一个发生;C B C A B A ⋃⋃； (7) A;B;C 中至多有两个发生;ABC ；(8) A,B,C 中恰有两个发生.C AB C B A BC A ⋃⋃ ；注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。
概率论习题及答案
概率论习题及答案-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1一．填空题1．已知41)(=A P ,31)(=A B P ,21)(=B A P ,则=)(B A P 31。
2．有零件8件，其中5件为正品，3件为次品。
从中任取4件，取出的零件中有2件正品2件次品的概率为73482325=⋅C C C ； 3．抛掷均匀的硬币，直到出现正面向上为止，则抛掷次数X 的概率分布为 ,2,1,5.05.05.0)(1==⋅==-k k X P k k ，X 服从分布)5.0(G 。
4．设随机变量X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≥=1,01,)(2x x x c x p ，则常数=c 1 ，X 的分布函数=)(x F ⎪⎩⎪⎨⎧>-≤1,111,0x x x 。
5．设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧<<=其他,010,2)(x x x p X ，则随机变量2X Y =的密度函数=)(y p Y ⎩⎨⎧<< 其它,010,1y 。
6．已知),(Y X 的联合分布函数为),(y x F ，且d c b a <<,，则=≤<≤<),(d Y c b X a P),(),(),(),(c a F d a F c b F d b F +--。
7．设)2,1(~N X ，)4,3(~N Y ，且X 和Y 相互独立，则Y X Z +=2的密度函数=)(z p Z +∞<<-∞--z e z ,62124)5(2π。
8．)5.0,9,4,0,1(~),(N Y X ，则~Y )9,0(N ，=-])[(2Y X E 8 。
9．设),(Y X 的联合概率分布为则X 的概率分布为相关系数=XY ρ32-。
10．设随机变量n X X X ,,21 独立同分布, μ=1EX , 81=DX ,记∑==ni i n X n Y 11，则用切比雪夫不等式估计≥<-)2(μn Y P n21-。
概率论课后习题第3章答案
第三章 多维随机向量及其概率分布(一)基本题答案1、设X 和Y 的可能取值分别为.2,1,0;3,2,1,0,==j i j i 则与因盒子里有3种球，在这3种球中任取4个，其中黑球和红球的个数之和必不超过4.另一方面，因白球只有2个，任取的4个球中，黑球和红球个数之和最小为2个，故有j i 与ٛ且,42≤+≤j i ./),(474223C C C C j Y i X p j i j i −−===因而 或0),(===j Y i X P 2).2,1,0;3,2,1,0,4(<+j i ==>+j i j i于是 ,0)0,0(1111======y Y x X P P ,0)0,0(2112======y Y x X P p.35/1/)0,0(472212033113=======C C C C y Y x X P p即 2、X 和. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡04.032.064.0210~X ⎥⎦⎤⎢⎣⎡25.05.025.0210~Y 由独立性知，X 和Y 的联合分布为3、Y 的分布函数为显知有四个可能值：).0(0)(),0(1)(≤=>−=−y y F y e y F y ),(21X X }{{}{}11−=e ,2,10,0).1,1(),0,1(),1,0(),0,0(121−≤=≤≤===Y P Y Y P X X P 易知{}{}{}{}{},221−−−=e e 12<=P ,10,1,02,11,02121≤≤>====>≤===Y Y Y P X X P Y Y P X X P{}{}{},212,10,12121−=≤<=≤>===e e Y P Y Y P X X P {}−− {}{}.22,11,1221−=>=>>===e Y P Y Y P X X P于是，可将X 1和X 24、∑=====nm m n P n X P 0),()(ηζ∑=−−−−=nm mn m n e m n m p p 0)!(!)1(λλ()[]).,2,1,0(!1!)1()!(!!!==−+=−−=−−−=−∑n n e p p n e p p m n m n n e n n n mn m nm n λλλλλλ即X 是服从参数为λ的泊松分布.∑∑∞=−−∞=−−−−−=−−==mn mn m n mn m m mn m n m n p m e p em n m p p m Y P )!()1(!)!(!)1()(λλλλλ).,2,1,0(,!)(!)()1( ==⋅=−−−−m m ep e e m ep pmp mλλλλλλ即Y 是服从参数为λp 的泊松分布.5、由定义F （y x ,）=P {}∫∫∞−∞−=≤≤x y dxdy y x y Y x X .),(,ϕ因为ϕ（y x ,）是分段函数，要正确计算出F （y x ,;1>y ），必须对积分区域进行适当分块：等5个部分.10,10,1;1,1;10,100≤≤≤≤>>>≤≤<x y x y x y y x 或;0<≤≤x （1）对于 有 F （,00<<y x 或y x ,）=P{X ≤,x Y ≤y}=0; （2）对于 有 ;,10,10≤≤≤≤y x 2204),(y x vdudv u y x F x y ==∫∫（3）对于, 有 10,1≤≤>y x {};,1),(2y y Y X P y x F =≤≤= （4）对于, 有 10,1≤≤>x y {}21,),(x Y x X P y x F =≤≤=; （5）对于 有 ,1,1>>y x 1),(=y x F .故X 和Y 的联合分布函数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<≤≤<<≤≤≤≤≤≤<<=.1,1,.1,10,1,,1,10,,10,10,,00,0),(2222y x y x y y x x y x y x y x y x F 或6、（1） ,0,0;0),(,00>>=≤≤y x y x F y x 或),(y x F =∫∫+−x y t s dsdt ze)2())(())((200202yt x s y t x se e dt e ds e−−−−−−==∫∫=)1)(1(2y x e e −−−−即⎩⎨⎧>>−−=−−.,0,0,0),1)(1(),(2其它y x e e y x F y x （2）P ()()220(),22x x y x yxy xY X f x y dxdy dx e dy e e d +∞+∞−−−−<≤===−∫∫∫∫∫x∫∫∞+−−−∞+−−=−−=03220)(2)1(2dx e e dx e e x x x x .312131(2)2131(2023=−−=−=∞+−−x x e e7、（1）时，0>x ,0)(,0;)(=≤==∫∞+−−x f x e dy e x f X Xx y X 时 即 ⎩⎨⎧≤>=−.0,0,0,)(x x e x f x X （2）{}2/111210121),(1−−≤+−−−+===≤+∫∫∫∫e e dy e dxdxdy y x f Y X P y x x xy8、（1）（i ）时,，;),()(计算根据公式∫∞+∞−=dy y x f x f X 0≤x 当10;0)(<<=x x f X 当时()();24.224.2)2(8.4)(202x x x y dy x y x f xx X −=−=−=∫0)(,1=≥x f x X 时当即⎩⎨⎧<<−=.,0;10),2(4.2)(2其它x x x x f X （ii ） 利用公式计算. 当∫∞+∞−=dx y x f y f Y ),()(;0)(,0=≤y f y Y 时,10时当<<y112)22(8.4)2(8.4)(y y Y x x y dx x y y f ∫−=−=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=222128.42y y y );43(4.2)2223(8.422y y y y y y +−=+−=当时，1≥y .0)(=y f Y 即⎩⎨⎧<<+−=.0;10),43(4.2)(2其它y y y y y f Y 121111222211111(2)((1(,1(,)1.22222P X Y P X Y f x y dxdy dx dxdy +∞+∞⎧⎫<<=−≥≥=−=−=⎨⎬⎩⎭∫∫∫∫∪58、47809、本题先求出关于x 的边缘概率密度，再求出其在2=x 之值. 由于平面区域D 的面积为)2(X f ,2121=dx =∫x S e D 故（X,Y ）的联合概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧∈=.,0;),(,21),其它D y x y x (f易知，X 的概率密度为∫∞+∞−⎪⎩⎪⎨⎧<<==,,0,1,21),()(2其它e x xdy y x f x f X 故.41221)2(=×=X f 10、（1）有放回抽取：当第一次抽取到第个数字时，第二次可抽取到该数字仍有十种可能机会，即为 k {}).9, ,1,0(101====i k Y i X P （2）不放回抽取：（i ）当第一次抽取第)90(≤≤k k 个数时，则第二次抽到此（第个）数是不可能的，故 k {}.)9,,1,0,; =k i k (0====i k Y i X P（ii ）当第一次抽取第个数时，而第二次抽到其他数字（非k ）的机会为，知)90(≤≤k k 9/1{}.)9,,1,0,; =k i k (9/1≠===i k Y i X P 11、（1）因∫−=−=12,)1(12)1(24)(yy y ydx x y f η.,0)(;10其它=≤≤y f y n 故在0≤y ≤1时，⎩⎨⎧≤≤−−=;1)1/()1(2)(2其它x y y x y x f ηξ因()∫−=−=x y x ydy x x f 022,)1(12124)(ξ.,0)(;10其它=≤≤x f x ξ故在0≤x ≤1时，⎩⎨⎧≤≤=.0,0/2)(2其它x y x y x y f ξη（2）因;1,121)(2/12∞≤≤==∫x x nxdy y x X f x x ξ;,0)(其它=x f ξ故在1≤x<时，∞⎪⎩⎪⎨⎧<<=.,1121)(其它x y xnxy x y f ξη因 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∞<<=≤<==∫∫∞∞,002121102121)(22/12其它y y dx y x y dx y x y f y y η 故在10≤<y 时,⎪⎩⎪⎨⎧∞<<=;011)(2其它x y y x x y f ξη 而在,1时∞<<y ⎪⎩⎪⎨⎧∞<<=.0)(2其它x y x yx y f ξη（3）在x >0,.0,0)(;0,)(≤=>==∫∞−−x x f x e dy e x f x xy ξξ⎪⎩⎪⎨⎧>=−.0,)(其它x y e x y f y x ξη ;0,)(0>==∫−−y ye dx e y f y yy η .故在y>0时，0,0)(≤=y y f η⎪⎩⎪⎨⎧<<=.0,01)(其它y x y y x f ηξ12、1(1)(2)2(),0(1)(1)X n n n n n f x dy x x y x ∞−−−−==+++∫>，故12(1)(2)0,(/1)0.n nY X n y y f y −⎧−+>=⎨⎩其它 13、X 和Y 是否独立，可用分布函数或概率密度函数验证.方法一：X 的分布函数的分布函数分别为 Y x F X 和)()(y F Y ⎩⎨⎧<≥−=+∞=−,0001),()(5.0x x e x F x F x X ⎩⎨⎧<≥−=+∞=−.0001),()(5.0y y e y F y F yY 由于独立.Y X y F x F y x F Y X 和知),()(),(={}{}{}[][]1.005.005.0)1.0(1)1.0(11.01.01.0,1.0−−−=⋅=−⋅−=>⋅>=>>=e e e F F Y P X P Y X P Y X αY X Y X x f x f y x f Y X 和分别表示和),,()()(),,(方法二：以的概率密度，可知 ⎩⎨⎧≥≥=∂∂∂=+−.00,025.0),(),()(5.02其它y x e y x y x F y x f y x ∫∞+∞−−⎩⎨⎧<≥==,0005.0),()(5.0x x e dy y x f x f x X ∫∞+∞−−⎩⎨⎧<≥==.00,05.0),()(5.0y y e dx y x f y f yY ∫∫∞+∞+−+−==>>==1.01.01.0)(5.0.25.0}1.0,1.0{.),()(),(e dxdy e Y X P a Y X y f x f y x f y x Y X 独立和知由于)()(),(j i j i y Y P x x P y Y x X P =⋅====14、因知X 与Y 相互独立，即有 . )3,2,1,2,1(==j i 首先，根据边缘分布的定义知 .2418161),(11=−===y Y x X P 又根据独立性有),(61)()(},{2411111i x X p y Y p x X p y Y x X p ===⋅===== 解得41)(==i x X P ,从而有 1218124141),(31=−−===y Y x X P 又由 )()(),(2121y Y P x X P y Y x X P =⋅====, 可得 ),(41812y Y P == 即有21)(2==y Y P , 从而 838121),(22=−===y Y x X P .类似地，由),()(),(3131y Y P x X P y Y x X P ===== 有),(411213y Y P ==得31)(3==y Y P ,从而,.111),(31=−===y Y x X P 最后=)(2x X P =1+3+1=3. 将上述数值填入表中有1x1/24 1/8 1/12 1/4 2x1/8 3/8 1/4 3/4 {}j P y X P j ⋅==1/6 1/2 1/3115、本题的关键是由题设P{X 1X 2=0}=1，可推出P{X 1X 2≠0}=0；再利用边缘分布的定义即可列出概率分布表.(1)由P{X 1X 2=0}=1,可见易见,0}1,1{}1,1{2121=====−=X X P X X P 25.0}1{}0,1{121=−===−=X P X X P 5.0}1{}1,0{221=====X P X X P 25.0}1{}0,1{121=====X P X X P 0}0,0{21===X X P121212.16、(1) ⎩⎨⎧<<=,,0,10,1)(其他x x f X ⎪⎩⎪⎨⎧≤>=−.0,0,021)(2y y ey f yY 因为X ，Y 独立，对任何y x ,都有 ).,()()y x f y f x Y =⋅(f X ⎪⎩⎪⎨⎧><<=−.,0,0,10,21),(2其他所以有y x e y x f y（2）二次方程 有实根，△ t Y Xt t 中022=++,04)2(2≥−=Y X ,02≥−Y X 即,2X Y ≤ 故=)(有实根t P dydx e dydx y x f X Y P yx y x 2122221),(}{−≤∫∫∫∫==≤∫−−=1022)(dx ex y=dx edx edx x x x 2101010222221211)21(−−∫∫−=−=−πππ21−=［∫∫∞−∞−−−−1022222121dx edx exx ππ］.1445.08555.01]5.08413.0[21)]0()1([21=−≈−−≈Φ−Φ−=ππ17、（1）因为X ，Y 独立，所以 .⎩⎨⎧>>==+−.,0,0,0,)()(),()(其他y x e y f x f y x f uy x Y X λλμ（2）根据Z 的定义，有 P{z=1}=P{Y ≥X}∫∫∫∫∞+∞−+−≥==)(),(xy x xy dydx e dydx y x f μλλμ∫∫∞+∞+−−=)(dx dy e e xy x μλμλ ),0u dx ee x x +=⋅=∫∞+−−λλλμλ{}{110=−==Z P Z P Z 的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤+<=.1,1,10,,0,0)(z z z z F Z μλμ18、∵X 、Y 分别仅取0，1两个数值，∴Z 亦只取0，1两个数值. 又∵X 与Y 相互独立，∴{}{}{}{}==========00)0,0(0),max(0Y P X P Y X P Y X P Z P 1/2×1/2=1/4， 故{}{}.4/34/110111=−==−===Z P Z P 19、 X 由2×2阶行列式表示，仍是一随机变量，且X=X 1X 4--X 2X 3，根据X 1，X 2，X 3，X 4的地位是等价且相互独立的，X 1X 4与X 2X 3也是独立同分布的，因此可先求出X 1X 4和X 2X 3的分布律，再求X 的分布律. ,则X=Y 1--Y 2.随机变量Y 1和Y 2独立同分布：322411,X X Y X X Y ==记}{}{}{{}.84.016.01}0{0112121=−========Y P Y Y P Y P 16.01,132===P X X P 显见, 随机变量X=Y 1--Y 2有三个可能值--1,0,1.易见 P{X=--1}=P{Y 1=0,Y 2=1}=0.84×0.16= 0.1344， P{X=1}=P{Y 1=1,Y 2=0}=0.16×0.84=0.1344, P{X=0}=1--2×0.1344=0.7312. 于是，行列式的概率分布为 4321X X X X X =~ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−1344.07312.01344.010120、因为{Z=i }={X+Y=i }={X=0,Y=i }}.0,{}1,1{==−==Y i X i Y X ∪ ∪∪ 由于上述各事件互不相容，且注意到X 与Y 相与独立，则有 ∑∑==−===−====i k ik k i Y P k X P k i Y k X P i Z P 00}{}{},{}{∑=+−−−−−=−−=iik ki n ki k i nkn kk n P p pC P p c 022111()1()1∑=−−+ik k i n k n in n C Cp 02121)(,,1,0,)1(212121n n i p p C i n n i i n n+=−=−++).,(~21p n n B Y X Z ++=故注：在上述计算过程中，已约定：当r>n 时，用到了公式 并,0=rnC .12121∑=+−=ik i n n k i n k n C C C21、X 和Y 的概率分布密度为},2)(exp{21)(22σσπy x x f X −−=);(+∞<<−∞x ⎩⎨⎧≤≤−=.,0,),2/(1)(其它πππy y f Y 因X 和Y 独立，考虑到 )仅在[)(y f Y ππ,−]上才有非零值，故由卷积公式知Z 的概率密度为.221)()()(222)(dy edy y f y z f z f a y z Y X Z ∫∫−−−−∞+∞−=−=ππμσππ令σμ−−=y z t ,则上式右端等于.(2122122⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−Φ−−+Φ=∫−+−−−σμπσμππππσμπσμπz z dt e z z t 22、（1）由题设知 {}y X X P y M P y F n M ≤=≤=),,max()()(1),,(1y X y X P n ≤≤= )()()()()(121y F y F y X P y X P y X P Xn X n =≤≤≤=.∵),1(],0[~:,,1n i U X X X i n ≤≤θ独立且同分布 ∴⎪⎩⎪⎨⎧><<≤=,0,1,0,,0,0)(x x x x x F i X θθ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<≤=.,1,0,,0,0)(θθθy y y y y F n n M 故⎪⎩⎪⎨⎧<<=−.,0,0,)(1其它θθy ny y f n n M（2）{}y X X P y N P y N P y F n N >−=>−=≤=),,min(1)(1)()(1()y X P y X P y X P y X y X y X P n n >>>−=>>>−= )()(1,,,12121()[])(11)(11y F y X P i X i ni −−=>Π−==故 ⎪⎩⎪⎨⎧<<−=⎪⎩⎪⎨⎧<<−−−=−−其它其它,0,00,)(,001(1()(11y y n y y n y f n n n N θθθθθ 23、由题设容易得出随机变量（X ，Y ）的概率密度，本题相当于求随机变量X 、Y 的函数S=XY 的概率密度，可用分布函数微分法求之.依题设，知二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为()()()⎩⎨⎧∉∈=G y x Gy x y x f ,,0,2/1,若若 设为S 的分布函数,则 当{s S P s F ≤=)(}0≤s 时,()0=s F ； 当时, .2≥s ()1=s F 现设0<s<2. 曲线s xy =与矩形G 的上边交于点(s,1);位于曲线s xy =上方的点满足s xy >,位于下方的点满足s xy <. 故(){}{}{}).ln 2ln 1(2211211121s sdy dx dxdy S XY P s XY P s S P s F s x s sxy −+=−=−=>−=≤=≤=∫∫∫∫>于是,⎩⎨⎧≥≤<<−=.20,0,20,2/)ln 2(ln )(s s s s s f 或若若（二）、补充题答案1.由于即{},0)(),,min(,,max =<==Y X P Y X 故知ηξηξ{}{}{}03,23,12,1=========Y X P Y X P Y X P ；又易知{}{}{}{},9/1111,11,1==⋅=======ηξηξP P P Y X P{}{},9/12,22,2======ηξP Y X P {}{},9/13,33,3======ηξP Y X P {}{}{},9/29/19/11,22,11,2=+===+=====ηξηξP P Y X P{}{}{},9/22,33,22,3===+=====ηξηξP P Y X P {}.9/29/711,3=−===Y X P 所以2.（1）x{}.,2,1,0,0,)1( =≤≤−===n n m P P C n X m Y P m n {}（2）{}{}n X P n X m Y P m Y n X P ======,.,2,1,0,0,!)1( =≤≤⋅⋅−=−−n n m e P P C n m n mm n λλ3.22)1()1()1()0()0()1(p p Y P X P Y P X P z P +−===+====)1(2)0()1()1()0()0(p p Y P X P Y P X P z P −===+====而，由2)1,1()1,1(p Y X P Z X P ======),1()1()1,1(=====Z P X P Z X P 得. 2/1=p 5.:设随机变量ξ和η相互独立，都服从分 )1,0(N 布.则⎭⎬⎫⎩⎨⎧+−⋅=)(21exp 21),(22y x y x p π.显然， ,),(),(∫∫∫∫<SGdxdy y x p dxdy y x p,其中 G 和S 分别是如图所示的矩形ABCD 和圆.22/)21(),(2∫∫∫−−=a ax Gdx e dxdy y x p π，令,sin ,cos ϕγϕγ==y x 则 ∫∫∫∫=ππ20221),(a aSdxdy y x p 所以221212/a aaxe dx e −−−−<∫π.6.设这类电子管的寿命为ξ，则（1）三个管子均不要替换的概率为；（2）三个管子均要替换的概率为 .∫∞+==>1502.3/2)/(100)150(dx x P ξ21(−27/8)3/2(3=27/1)3/3=7.假设总体X 的密度函数为，分布函数为，第次的观察值为，独立同分布，其联合密度函数)(x f ,(1x f )(x F )()2x f i (n x )1(n i X i ≤≤i X )(),1n f x f x =.依题意，所求的概率为{}∫∫∫∫∫∫∞+∞−∞−∞−∞−−−−=−==>>><n n n nx i x x x x n n nn nn n i n n n n dx x f dx x f dx x f dx x f dx dx xx f X X X X X X P 112211111,...,2,1121)(...)()()(),,(.,...,,∫∫∞+∞−∞+∞−−−==)()()()(11n n n n n n n x dF x F dx x f x F.1)(1n x F nn n=∞−∞+=8.)(),()(21211211n P n k P n k P =+=+===+=ξξξξξξξξ)()()(2121n P k n P k P =+−===ξξξξ.由普哇松分布的可加性，知服从参数为的普哇松分布，所以 21ξξ+21λλ+)(21212112121!)()!(!)(λλλλλλλλξξξ+−−−−+−⋅==+=e n e k n ek n k P n k n k.1211211kn kk n −⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=λλλλλλ9.当，0≤z (),0)(=≤=z Z P z F z ,0>z 当()z Z P z F z ≤=)(∫∫−+−=20)2(02xz y x z dy e dx∫∫−−−−−−−==202012x z z z y z x ze e dy e dxe ，所以 Y X z 2+=的分布函数为 ⎩⎨⎧>+−≤=−.0,)1(1,0,0),(z e z z y x F z10.由条件知X 和Y 的联合密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=其他若,0,31,31,41),(y x y x p以表示随机{})()(∞<<−∞≤=u u U P u F 变量U 的分布函数.显然，当0≤u 时， 0)(=u F ；当时，； 2≥u 1)(=u F 当，则20<<u []∫∫∫∫≤−uy x y x p ||,(≤−−−=−−===uy x u u dxdy dxdy u F ||2)2(411)2(44141))(2u−于是，随机变量的密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<−=其他,0;20),2(21)(u u u p .11.记为这3个元件无故障工作的时间，则的分布函数321,,X X X ),,min(321X X X T ={}[][].)(1),,min(1(31321t X P t X X X P t F T −=>−(11)13X P t ≤−−=>)()t T P =≤=⎩⎨⎧≤>−=∴⎩⎨⎧=≤>−=−−,0,0,0,1)()3,2,1(,0,0,0,1)(~3t t e t F i t t e t F X t T t i λλ∵ 故 ⎪⎩⎪⎨⎧≤>==−.0,0,0,3)(')(3t t e t F t f t T T λλ。
概率论基础复习题答案
填空题（含答案）1．设随机变量ξ的密度函数为p(x), 则 p(x) ≥0;⎰∞∞-dx x p )(= 1 ；Eξ=⎰∞∞-dx x xp )(。
考查第三章2．设A,B,C 为三个事件，则A,B,C 至少有一个发生可表示为：C B A ；A,C 发生而B 不发生可表示 C B A ；A,B,C 恰有一个发生可表示为：C B A C B A C B A ++。
考查第一章3．设随机变量)1,0(~N ξ，其概率密度函数为)(0x ϕ，分布函数为)(0x Φ，则)0(0ϕ等于π21，)0(0Φ等于 0.5 。
考查第三章 4．设随机变量ξ具有分布P{ξ=k}=51，k=1,2,3,4,5，则Eξ= 3 ，Dξ= 2 。
考查第五章5．已知随机变量X ，Y 的相关系数为XY r ,若U=aX+b,V=cY+d, 其中ac>0. 则U ，V 的相关系数等于 XY r 。
考查第五章6．设),(~2σμN X ，用车贝晓夫不等式估计：≥<-)|(|σμk X P 211k - 考查第五章7．设随机变量ξ的概率函数为P{ξ=i x }=i p ,...,2,1=i 则 i p ≥ 0 ；∑∞=1i ip=1 ；Eξ=∑∞=1i ii px 。
考查第一章8．设A,B,C 为三个事件，则A,B,C 都发生可表示为：ABC ；A 发生而B,C 不发生可表示为：C B A ；A,B,C 恰有一个发生可表示为：C B A C B A C B A ++。
考查第一章9．)4,5(~N X ，)()(c X P c X P <=>，则=c 5 。
考查第三章10．设随机变量ξ在[1，6]上服从均匀分布，则方程012=++x x ξ有实根的概率为45。
考查第三章 较难 11．若随机变量X ，Y 的相关系数为XY r ,U=2X+1,V=5Y+10 则U ，V 的相关系数=XY r 。
考查第三章12．若 θ服从[,]22ππ-的均匀分布， 2ϕθ=，则 ϕ的密度函数 ()g y ＝ 1()2g y y πππ=-<<。
概率论第二章习题(答案)
A．1 e1
. 设随机变量 X 的方差为 2，则根据切比雪夫不等式有（C）
A． P X EX 2 1
4
C. P X EX 2 1
2
B. P X EX 2 3
4
D． P X EX 2 1
2
二．填空与计算题
1. 设随机变量 X 服从参数为 1 的泊松分布,则 P X EX 2 .
C. E( X C)2 E( X )2 D. E( X C)2 E( X )2
16. 设随机变量 X 的分布函数为 F (x) ，则随机变量Y 2 X 1的分布函数为（D）
A．
F
y 2
1
B.
2F(y) 1
C. 1 F ( y) 1
2
2
D．
F
y 2
1 2
17. 设随机变量 X 的密度函数为 f (x) ，则随机变量Y 3 2 X 的密度函数为（B）
度，
f (x) af1(x), bf2 (x),
x 0, (a 0,b 0)
x0
为概率密度，则 a,b 应满足（A）．
A ．2a 3b 4 ； B ．3a 2b 4 ； C ．a b 1； D ．a b 2 .
11.
设随机变量 X
服从正态分布
N
(1
,
2 1
)
，随机变量 Y
服从正态分布
解: 由 EX 2 2 ， P X EX 2 P X 2 e1 . 2
2. 设 随 机 变 量 X 概 率 分 布 为 P X k C (k 0,1, 2,) ， 则
A. a 3 5,b 2 5 ; B. a 2 3, b 2 3 ;
C. a 1 2 , b 3 2 ; D. a 1 2 ,b 3 2 .
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概率论习题一、填空题1、掷21n +次硬币，则出现正面次数多于反面次数的概率是 .2、把10本书任意的放到书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率.3、一批产品分一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品是二级品的一半，从这批产品中随机的抽取一件，试求取到二级品的概率 .4、已知()0.7,()0.3,P A P A B =-= 则().P AB =5、已知()0.3,()0.4,()0.5,P A P B P AB === 则(|).P B A B ⋃=6、掷两枚硬币，至少出现一个正面的概率为..7、设()0.4,()0.7,P A P A B =⋃= 若,A B 独立，则().P B =8、设,A B 为两事件，11()(),(|),36P A P B P A B === 则(|).P A B = 9、设123,,A A A 相互独立，且2(),1,2,3,3i P A i == 则123,,A A A 最多出现一个的概率是.10、某人射击三次，其命中率为0.8，则三次中至多命中一次的概率为 .11、一枚硬币独立的投3次，记事件A =“第一次掷出正面”，事件B =“第二次掷出反面”，事件C =“正面最多掷出一次”。
那么(|)P C AB = 。
12、已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者.今从男女人数相等的人群中随机地表示为互不相容事件的和是 。
15、,,A B C 中不多于两个发生可表示为 。
二、选择题1、下面四个结论成立的是（ ）2、设()0,P AB =则下列说法正确的是（ ）3、掷21n +次硬币，正面次数多于反面次数的概率为（ ）4、设,A B 为随机事件，()0,(|)1,P B P A B >= 则必有（ ）5、设A 、B 相互独立，且P (A )>0，P (B )>0，则下列等式成立的是（ ）.A P (AB )=0 .B P (A -B )=P (A )P (B ).C P (A )+P (B )=1 .D P (A |B )=06、设事件A 与B 互不相容，且P (A )>0，P (B ) >0，则有（ ）.A P (AB )=l .B P (A )=1-P (B ).C P (AB )=P (A )P (B ) .D P (A ∪B )=17、已知()0.5P A =，()0.4P B =，()0.6P A B +=，则(|)P A B =（ ）.A 0.2 .B 0.45 .C 0.6 .D 0.758、同时抛掷3枚均匀的硬币，则恰好有两枚正面朝上的概率为（ ）.A 0.125 .B 0.25.C 0.375 .D 0.509、设事件,A B 互不相容，已知()0.4P A =，()0.5P B =，则()P AB =（ ）.A 0.1 .B 0.4 .C 0.9 .D 110、已知事件A ，B 相互独立，且()0P A >，()0P B >，则下列等式成立的是（ ）11、设1)(0<<A P ，1)(0<<B P ，1)|()|(=+B A P B A P ，则（ ）．.A 事件A 与B 互不相容.B 事件A 与B 相互独立 .C 事件A 与B 相互对立 .D 事件A 与B 互不独立12、对于任意两事件A 和B ，)(B A P -=（ ）．13、设A 、B 是两事件，且P （A ）=0.6,P(B)=0.7则P （AB ）取到最大值时是（ ）.A 0.6 .B 0.7 .C 1 .D 0.4214、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号。
求他拨号不超过三次而接通所需电话的概率（ ）。
.A 0.5 .B 0.3 .C 13.D 0.8 15、设每次试验成功的概率为)10(<<p p ，重复进行试验直到第n 次才取得成功的概率为（ ）.A 1(1)n p p --； .B 1(1)n np p --；.C 1(1)(1)n n p p ---； .D 1(1)n p --.三、 计算题1. 一宿舍内住有6位同学，求他们之中至少有2个人的生日在同一个月份概率。
2. 设猎人在猎物100米处对猎物打第一枪，命中猎物的概率为0.5，若第一枪未命中，则猎人继续打第二枪，此时猎人与猎物已相距150米，若第二枪仍未命中，则猎人继续打第三枪，此时猎人与猎物已相距200米，若第三枪还未命中，则猎物逃逸。
假如该猎人命中猎物的概率与距离成反比，试求该猎物被击中的概率。
.3. 一个人的血型为,,,A B AB O 型的概率分别为0.37, 0.21, 0.08, 0.34，现在任意挑选4个人，试求：(1) 此4个人的血型全不相同的概率；(2) 此4个人的血型全部相同的概率。
4.一赌徒认为掷一颗骰子4次至少出现一次6点与掷两棵骰子24至少出现一次双6点的机会是相等的，你认为如何？5 .考虑一元二次方程02=++C Bx x ，其中C B ,分别是将一颗骰子接连掷两次先后出现的点数，求该方程有实根的概率p 和有重根的概率q 。
6. 甲、乙、丙3位同学同时独立参加《数理统计》考试，不及格的概率分别为0.4,0.3,0.5，（1）求恰有两位同学不及格的概率；（2）如果已经知道这3位同学中有2位不及格，求其中一位是同学乙的概率.7. 设n 件产品中有m 件不合格品，从中任取两件，已知两件中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率。
8. 设事件,A B 独立，两个事件仅A 发生的概率或仅B 发生的概率都是14，求()P A 及()P B . 9. 将12个球随意放入3个盒子中，试求第一个盒子中有三个球的概率10、每次射击命中率为0.2，试求：射击多少次才能使至少击中一次的概率不小于0.9？11、在一个盒中装有15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛中任意取出3个球，比赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出3个球，求第二次取出的3个球均为新球的概率？12、某工厂生产的产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.02，一个次品被误认为是合格品的概率为0.05，求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率？13、甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7，若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求飞机被击落的概率？14、甲乙丙三人向靶子各射击一次,结果有2发子弹击中靶子.已知甲乙丙击中靶子的概率分别为4/5,3/4,2/3,求丙脱靶的概率.15、如图,1,2,3,4,5表示继电器接点.假设每一继电器接点闭合的概率为p,且设各继电器接点闭合与否相互独立,求L 至R 是通路的概率.概率论习题答案一、填空题1、0.52、1153、274、则()0.6.P AB =5、则(|)0.8.P B A B ⋃=6、34.7、则()0.5.P B =8、则7(|).12P A B = 9、7.27 10、 0.104 11、0.5 12、0.9513、16943131423=C C C 14、()()()ABC CA C BC B AB A ⋃-⋃-⋃- （ 答案不唯一）15、C B A ABC =二、选择题1.B2.D3.C4.A5.B6.A7.D8.C9.B 10.B 11.B 12.C 13.A14.C 15.A三、 计算题1、解：设设事件A 为“至少有2个人的生日在同一个月份” ， 事件A 为“6个人生日全不同月”，6126()1()10.777212P P A P A =-=-=。
2、解：记X 为猎人与猎物的距离，因为该猎人命中猎物的概率与距离成反比，所以有()x P X x k==，又因为在100米处命中猎物的概率为0.5， 所以0.5(100),100k P X === 从而50.k = 记事件,,A B C 分别为“猎人在100米，150米，200米处击中猎物”， 事件D 表示“猎人击中猎物”，则1111213()()()()2232344P D P A P AB P ABC =++=+⨯+⨯⨯=. 3、解：(1)四个人血型全不相同的概率为：1114320.370.210.080.340.0507.C C C ⨯⨯⨯⨯⨯⨯= (2)四个人血型全部相同的概率为：44440.370.210.080.340.0341+++=4、解：设事件A 为“一颗骰子掷4次，至少出现一次6点” ，则A 为“一颗骰子掷4次，不出现一次6点” ，于是45()1()10.5177.6P A P A ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭设事件B 为“两颗骰子掷24次，至少出现一次双6点” ，则B 为“两颗骰子掷24次，不出现双6点”，于是2435()1()10.4914.36P B P B ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭从结果可以看出，赌徒的感觉是不对的，因为两者的概率相差0.0263，而概率相差0.0263的两个事件，在实际中仅凭感觉很难发现它们的细小差别，只有从理论上才能认识到。
5、解：按题意知：}6,5,4,3,2,1,:),{(==ΩC B C B ，它含有36个等可能的样本点，所求的概率为：而2(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1)(3,2),(4,2),(5,2),(6,2)(4,3){4}(5,3)(6,3)(4,4)(5,4)(6,4)(5,5)(6,5)(5,6)(6,6)B C ⎛⎫ ⎪ ⎪≥= ⎪ ⎪⎝⎭含有19个样本点，所以 19.36p = 同理 2(4)q P B C ==，而2{4}{(2,1),(4,1)}B C ==含有两个样本点，所以 21.3618q == 6、解: 设321,,A A A 分别表示 “甲不及格”、“乙不及格”、“丙不及格”三事件, 由题意知321,,A A A 相互独立, 令A 表示“恰有2位不及格”, 则(1) 29.05.03.06.05.07.04.05.03.04.0)()()()(321321321=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=A A A P A A A P A A A P A P (2)29/15)()()()|(321321321321=+=A P A A A P A A A P A A A A A A A P 7、解：记事件A 为“有一件事不合格品”，B 为“另一件也是不合格品”， 则于是所求概率为：(1)()1(1)(|).2()(1)()21(1)m m P AB m n n P B A m n m m m P A n m n n ---===-+---- 8、解：由题设知()()1/4.P AB P AB ==又因为,A B 独立，所有由解得()()0.5P A P B ==.9、解：将12个球随意放入3个盒子中，所有的结果共有123个。