第五章 相似矩阵及二次型
第五章 相似矩阵及二次型
第五章 相似矩阵及二次型本章主要内容是讨论方阵的特征值和特征向量；方阵的相似对角化；二次型的标准形及正定二次型.在讨论这些主要内容之前,先介绍与向量的正交性有关的一些知识.§1. 向量的内积、长度及正交性在三维向量空间3R 中，两个向量α=),,(321a a a 及β=),,(321b b b 的数量积（又称点乘积）为βα∙=θβαcos =332211b a b a b a ++其中θ为α与β的夹角，α与β是α与β的长度.数量积有以下不等式βαβα≤∙利用数量积可以表示向量的长度和夹角.α=232221a a a ++=)(αα∙， θcos =βαβα∙（设0,0≠≠βα） 0=∙⇔⊥βαβα以上这些在三维空间中已经成立的性质，可以推广到n 维向量空间nR 中去.关键是将三维空间中的数量积βα∙推广成n 维空间中的内积],[βα.定义1. 设有两个n 维向量α=),,,(21n a a a ，β=),,,(21n b b b定义α与β的内积为],[βα=n n b a b a b a ,2211 ++=T αβ=Tβα容易验证内积有以下性质（其中γβα,,为n 维向量，k 为数）： (i) ],[βα=],[αβ； (ii) ],[βαk =],[βαk ；(iii) ],[γβα+=],[],[γβγα+；(iv) 当0=α时，],[αα=0；当0≠α时，],[αα>0由(i)(ii)(iii)，可得],[βαk =],[βαk ，],[γβα+=],[],[γαβα+ 可以证明许瓦兹（Schwarz ）不等式（这里不证）：≤2],[βα),)(,(ββαα或),(),(|],[|ββααβα≤定义2. 设α=),,,(21n a a a ，定义α的长度（或称范数）为||||α=),(αα=22221,n a a a +++当长度||||α=1时，称α为单位向量.利用长度概念，许瓦兹不等式可以写成≤],[βα||||||||βα.向量的长度具有下列性质(βα,为向量，k 为数)：(1)非负性：0||||≥α，当且仅当α=0时，||||α=0； (2)齐次性：||||αk =k ||||α； (3)三角不等式≤+βα ||||α +β.[证] （1）（2）容易验证.下面证明（3）.2βα+=],[βαβα++=],][,[βαββαα++=],[],[],[],[ββαββααα+++ =22],[2ββαα++ 222)(2βαββαα+=++≤故有βαβα+≤+.（证毕）当0≠α，0≠β时，由许瓦兹不等式，有[]1,≤βαβα.因此，由下面的等式θcos =[]βαβα,可以定义两向量α与β的夹角θ.特别地，有θ=],[2βαπ⇔=0定义3. 若],[βα=0，则称向量α与β正交. 因为],0[α=0，所以零向量与任何向量α都正交.例1． 在5R 中，设α=(2,1,0,4,-2)，β=(3,4,2,-1,3)，则有],[βα=4132⨯+⨯20⨯+ 3)2()1(4⨯-+-⨯+=6+4+0-4-6=0.故α与β正交. 又有 2α=],[αα=4+1+0+16+4=25, 故α的长度为α=25=5.对任意0≠α，有11==αααα，故αα为单位向量. 定义4. 若向量组m a a a ,,,21 两两正交，则称其为正交向量组.若向量m a a a ,,,21 两两正交且都是单位向量时，则称其为规范正交组.显然有: m a a a ,,,21 为规范正交组⎩⎨⎧=≠=⇔j i ji j i ,1,0],[αα例2．在nR 中，以下n 个单位向量是规范正交组：)1,,0,0(,),0,,1,0(),0,,0,1(21 ===n εεε因为这个向量组又是nR 中的基，因此又称为nR 中的规范正交基.在3R 中，通常记i =(1,0,0),j =(0,1,0)，k =(0,0,1)，它们是三坐标轴上的单位向量，它们构成3R 中一个规范正交基.以下的向量组1α=(1,0,0)，2α=(0,21,21)，3α=(0,21,21-) 容易验证是规范正交组，也是3R 的规范正交基.定理1. 若m a a a ,,,21 是由非零向量组成的正交组，则它们必定线性无关. [证] 设数m k k k ,,,21 使m m a k a k a k +++ 2211=0，则有],[2211i m m a k a k a k α+++ =],0[i α=0，),,2,1(m i =.根据内积性质，有],[],[],[11i m m i i i i k k k αααααα++++ =0因为i j ≠时，],[i j αα=0，上式成为],[i i i k αα=0，因为0≠i α，所以 0],[>i i αα，故有0=i k (i =1,2,…,m ). 因此，m a a a ,,,21 线性无关.（证毕）由此可知，规范正交组必是线性无关组，但反之不成立. 有时需要由一个线性无关向量组m a a a ,,,21构造出一个与之等价的规范正交组m e e e ,,,21 .这个问题称为将向量组m a a a ,,,21 规范正交化.斯密特（Schimidt ）规范正交化的方法如下：取11αβ=，1111222],[],[ββββααβ-=，222231111333],[],[],[],[ββββαββββααβ--=，…………………………………………11111111],[],[],[],[-------=m m m m m m m m ββββαββββααβ容易验证m ββ,,1 两两正交，且与向量组m αα,,1 等价.再把它们单位化，即取mm m e e e ββββββ===,,,222111 . 则m e e e ,,,21 为规范正交组，并且与m a a a ,,,21 等价.例2． 在3R 中，设T T T )2,1,1(,)1,0,1(,)0,1,1(321===ααα.试用斯密特方法，将其规范正交化.[解] 取T)0,1,1(11==αβT T T )2,1,1(21)0,1,1(21)1,0,1(],[],[1111222-=-=-=ββββααβ，222231111333],[],[],[],[ββββαββββααβ=-==T T TT)1,1,1(32)2,1,1(32)0,1,1()2,1,1(-=--- 计算得21=β，6212=β，3323=β，将321,,βββ单位化， 得1e =11ββ=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡02121，2e =22ββ=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-626161，3e =33ββ=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-313131 321,,e e e 即为所求的规范正交组.定义5. 若n 阶实矩阵A 满足T A A =-1 （或E AA T =或E A A T =）则称A 为正交矩阵，简称正交阵.设A 的行向量组为n βββ,,,21 ，则A 为正交阵⇔E AA T =⇔],,,[2121Tn T T n ββββββ ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=E ⇔⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡T n n T n T n T nT T TnT T ββββββββββββββββββ 212221212111=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡100010001⇔],[j i ββ=T i jββ=⎩⎨⎧=≠ji j i ,1,0，（n j i ,,2,1, =） ⇔A 的行向量组为规范正交组.由E A A T=，同理可证A 为正交阵⇔A 的列向量组为规范正交组.例4．设A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-θθθθcos sin sin cos ，B =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-2102101021021，E =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100010001 容易验证E B A ,,都是正交矩阵.正交矩阵有下列性质：（1）若A 为正交矩阵，则A =1或－1.（2）若B A ,为正交阵，则AB 及1-A 也是正交阵. [证]（1）A 的正交阵，则E AA T=，两边取行列式，得T A A =E =1，即12=A ，故1=A 或－1（2）T AB AB ))((=))((T T A B AB =))((11--A B AB =11)(--A BB A =1-AEA =1-AA =E T A A ))((11--=11))((--T A A =1)(-A A T =1-E =E 故AB 及1-A 都是正交阵.（证毕）定义6. 设P 为n 阶正交矩阵，y x ,为n 维列向量，则Px y =称为正交变换 （3）若Px y =为正交变换，则x y = [证] 22)()(x x x Ex x Px P x Px Px y y yT T T T T T ======, 故有x y =.这个性质说明正交变换保持向量的长度不变.§2. 方阵的特征值和特征向量定义1. 设A 为n 阶矩阵，如果有数λ及n 维列向量0≠α，使得关系式λαα=A （1）成立，则称λ为A 为特征值，α称为A 的对应于特征值λ的特征向量. （1）式可写成0)(=-αλE A ，这表明齐次线性方程组0)(=-x E A λ （2）有非零解α=x ，方程组（2）是n 个方程n 个未知数的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是其系数行列式等于0，即0=-E A λ （3）设A =n n ij a ⨯)(，则（3）式成为λλλ---nn n n n n a a a a a a a a a212222111211=0(3)式是未知数为λ的一元n 次方程，称为方阵A 的特征方程，方程左边E A λ-是λ的n 次多项式，称为方阵A 的特征多项式.特征值λ是特征方程(3)的根，在复数范围内，n 次方程有n 个根（重根按重数计算）.因此，n 阶矩阵在复数范围内有n 个特征值.由以上讨论，得到求n 阶方阵A 的特征值和特征向量的方法如下：(i)解特征方程E A λ-=0，得到A 的n 个特征值n λλλ,,,21 (k 重根重复k 次). (ii)对每个特征值i λ，解齐次线性方程组0)(=-x E A i λ，其非零解就是相应于i λ的A 的特征向量.例1．求下列矩阵的特征值和特征向量（1）A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--314020112，（2）B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡300130213[解] （1）E A λ-=λλλ-----314020112 =λλλ-----3412)2(=)2)(2(2---λλλ=2)2)(1(-+-λλ=0，λ=－1，2（二重根）.矩阵A 的特征值为11-=λ，232==λλ.对于11-=λ，解方程组0))1((=--x E A ，即0)(=+x E A .E A +=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--000010101030010111414030111行行 )(E A R +=2，基础解系含3－2=1个向量，同解方程组为⎩⎨⎧==-00231x x x ，取131==x x ，得基础解系为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1011p故对应于11-=λ的全部特征向量为)0(1≠k kp对232==λλ，解方程组0)2(=-x E A ，E A 2-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--000000114114000114行)2(E A R -=1，基础解系含3－1=2个向量，同解方程组为04321=++-x x x取0,121==x x 及1,021==x x ，得到基础解系为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=4012p ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1103p故相应于232==λλ的所有特征向量为3322p k p k +.（32,k k 不同时为0）（2）E B λ-=λλλ---30130213=0)3(2=-λ，3=λ（三重）.B 的特征值为3321===λλλ. 解方程组0)3(=-x E B .⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-0001000100001002103行E B 2)3(=-E B R ,基础解系含3－2=1个向量，同解方程组为⎩⎨⎧==0032x x 基础解系为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0011p故B 的所有特征向量为)0(1≠k kp由本例可见，对于矩阵A 的二重特征值232==λλ，相应地有两个线性无关的特征向量；对于矩阵B 的三重特征值3321===λλλ，相应地却只有一个线性无关的特征向量，即B 的线性无关的特征向量个数少于特征值的重数.例2．求矩阵A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1111的特征值. [解] E A λ-=λλ---1111=0222=+-λλ，i ±=1λ.)1(-=i矩阵A 的特征值为复数i +=11λ，i -=12λ.（相应的特征向量也是复向量）. 可见实矩阵的特征值不一定是实数.矩阵的特征值有以下性质：（1）A 可逆⇔A 的全部特征值都不等于零. （2）若A 有特征值λ及相应的特征向量α，则(i) kA 有特征值kλ及相应的特征向量α（k 为正整数）；(ii) E a A a A a A a A m m m m ++++=--1110)( ϕ有特征值m m m m a a a a ++++=--λλλλϕ1110)( 及相应的特征向量α.（其中m a a a ,,,10 为数，E 为单位矩阵，可认为0A E =）(iii) 若A 可逆，则1-A 有特征值λλ11=-及相应的特征向量α.（3）设n 阶矩阵)(ij a A =的全部特征值为n λλλ,,,21 （k 重根重复k 次）则有n λλλ+++ 21=nn a a a +++ 2211n λλλ 21=A[证]（1）A 可逆0≠⇔A 即000⇔≠-E A 不是A 的特征值. （2）已知λαα=A ,故有(i)αλαλλααα22)()(====A A A A A αλαλαλαα32223)()(====A A A A A依此类推，可得αλαkkA =，故kA 有特征值kλ及相应的特征向量α.(ii) αϕ)(A =α)(1110E a A a A a A a m m m m ++++-- =ααααm m m m a A a A a A a ++++--1110=αλααλαλm m m m a a a a ++++--1110 =αλλλ)(1110m m m m a a a a ++++--=αλϕ)(，故)(A ϕ有特征值)(λϕ及相应的特征向量α.(iii)若A 可逆，由(1)，0≠λ，故α=αλA 1.于是)1(11αλαA A A --==αλA A 11-=αλ1.故1-A 有特征值11-=λλ及相应的特征向量α.（3）特征方程E A λ-=0所有根为n λλλ,,,21 ，根据多项式理论，特征多项式E A λ-可分解因子为)())((21n a λλλλλλ--- ，即λλλ---nn n n n n a a a a a a a a a212222111211=)())((21n a λλλλλλ---比较等式两边nλ的系数，得na )1(-=，比较两边1-n λ的系数，可得nn a a a +++ 2211=n λλλ+++ 21令0=λ，可得A =n λλλ,,,21 .（证毕）.注：当A 可逆时，由性质2(iii)可知，性质2(i)中的k 为负整数时也成立，性质2(ii)中某些项含有A 的负整数幂时也成立.例3．设3阶矩阵A 的特征值为1,－1,2.求行列式E A A 23-+*.[解] A 的全部特征值为1,－1,2，由性质(3),022)1(1≠-=⨯-⨯=A ，故A 可逆.112||--*-==A A A A ,记)(A ϕ=E A A E A A 232231-+-=-+-*, )(λϕ= 12--λλ3+2-.于是)(A ϕ有特征值:)1(ϕ=－1，)1(-ϕ=－3，)2(ϕ=3.由性质(3)，得E A A 23-+*=)(A ϕ=3)3()1(⨯-⨯-=9.例4．设方阵A 满足2A =A ，求A 的特征值.[解] 2A =A ，2A －A =0.设A 的特征值为λ，则2A －A 有特征值λλ-2，因为2A －A =0，而零方阵的特征值为0，故有λλ-2=0，求得λ=0或1.例5．设 A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---1322123b a 已知A 有一个特征向量为T )3,2,1(-=ξ，求参数b a ,及ξ所对应的特征值.[解] 设ξ所对应的特征值为λ，则有0)(=-ξλE A ，即⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------3211322123λλλba =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000 , 或 ⎪⎩⎪⎨⎧=---=+++=---0332306240343λλλb a 解得6,2,4=-=-=b a λ.定理 设方阵A 有m 个互不相等的特征值m λλλ,,,21 ，则相应于这些特征值的特征向量m p p p ,,,21 必线性无关.[证] 根据已知条件有m m m p Ap p Ap p Ap λλλ===,,,222111 现设有数m x x x ,,,21 使得 02211=+++m m p x p x p x 依次用12,,,-m AA A 左乘上面等式两边,由于=i k p A )1,,1,,,1(-==m k m i p i k i λ，得 0222111=+++m m m p x p x p x λλλ0222221121=+++m m m p x p x p x λλλ……………………………………0122121111=+++---m m m m m m p x p x p x λλλ将上面m 个等式写成矩阵等式，得⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---1212222112112211111],,,[m m m m m m m m p x p x p x λλλλλλλλλ =[0,0, 0等式左边第二个矩阵的行列式是范德蒙行列式，因为m λλλ,,,21 互不相等，所以范德蒙行列式不等于零，该矩阵可逆，以其逆矩阵右乘等式两边，得],,,[2211m m p x p x p x =[0,0, 0即),,2,1(0m i p x i i ==，因为0≠i p ，故0=i x ),,2,1(m i = 所以m p p p ,,,21 线性无关. (证毕)若21,p p 是矩阵A 的相应于相同特征值0λ的特征向量,则21,p p 是齐次方程组x E A )(0λ-=0的解,故21p p +也是此方程组的解,因此,当21p p +≠0时, 21p p +也是A 的相应于特征值0λ的特征向量,但若21,p p 是矩阵A 的相应于不同特征值的特征向量,则21p p +就不再是A的特征向量.下面例6给出证明.例6．设A 有两个不相等的特征值21,λλ，相应的特征向量为21,p p ，试证21p p +不是A 的特征向量.[证] 已知111p Ap λ=，222p Ap λ=，21λλ≠.用反证法：设21p p +是A 的特征向量，相应的特征值为λ，则有)(21p p A +=)(21p p +λ又)(21p p A +=21Ap Ap +=2211p p λλ+，故得2211p p λλ+=)(21p p +λ，移项得0)()(2211=-+-p p λλλλ.根据定理，21,p p 线性无关，应有01=-λλ，02=-λλ，于是λλλ==21，与假设矛盾.故21p p +不是A 的特征向量.§3. 相似矩阵定义. 设B A ,为n 阶矩阵，若存在可逆矩阵P ，使B AP P =-1（1） 则称A 与B 相似，记作A ～B ，(1)式称为由A 到B 的相似变换，P 称为相似变换矩阵.若A 相似于对角矩阵，则称A 可对角化. 性质：(1)相似概念具有性质①反身：A ～A ；②对称：若A ～B ，则B ～A ；③传递：若A ～B ，B ～C ，则A ～C .(2)若A 与B 相似，则A 与B 有相同的特征多项式、特征值、秩及相等的行列式. (3)若B AP P =-1，则mmB P A P =-1.（m 为正整数） [证] (1) ①A AE E =-1；②若B AP P =-1，则A PBP=-1，即A BP P =---111)(.③若B AP P =-1，C BQ Q =-1，则C PQ A PQ =-)()(1.(2) 若B AP P =-1，则P E A P E AP P E B )(11λλλ-=-=---=P E A P λ--1=E A λ-故B 与A 有相同的特征多项式，因而有相同的特征值.又因为P 为可逆矩阵，由矩阵秩的性质可知B 与A 有相同的秩.又A P A P AP P B ===--11（3）若B AP P =-1，则mB =m AP P )(1-=)())((111AP P AP P AP P ---=AP PP PP A PP A P )()()(1111---- =P A P EAP AEAE P m11--= . (证毕)定理. n 阶方阵A 相似于对角矩阵的充分必要条件是A 具有n 个线性无关的特征向量.并且当AP P 1-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n λλλ00000021 时，对角阵的对角元素n λλλ,,,21 就是A 的全部特征值，P 的列向量组n p p p ,,,21 就是与特征值n λλλ,,,21 相应的A 的线性无关特征向量.[证] 存在可逆阵P ，使AP P 1-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⇔⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n n P AP λλλλλλ000000000002121，),,,(21np p p P =可逆.⇔),,,(21n p p p A =),,,(21n p p p ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n λλλ00000021，np p p ,,,21 线性无关⇔),,,(21n Ap Ap Ap =),,,(12111n p p p λλλ ，(n p p p ,,,21 线性无关) ⇔111p Ap λ=，222p Ap λ=，…，n n n p Ap λ=，(n p p p ,,,21 线性无关)⇔m λλλ,,,21 是A 的特征值，n p p p ,,,21 是与其相应的A 的n 个线性无关特征向量.（证毕）推论 若n 阶矩阵A 有n 个互不相等的特征值，则A 相似于对角阵.[证] 由§2的定理，A 的与n 个互不相等的特征值相对应的n 个特征向量线性无关.故A 相似于对角阵.（证毕）定理给出了一般n 阶矩阵A 可对角化的判别条件.要使A 有n 个线性无关的特征向量，关键是对于有重根的特征值，能求出与其重数相同个数的线性无关特征向量.即若特征值0λ是特征方程的k 重根，就要使)(0E A R λ-=k n -，这时方程组0)(0=-x E A λ的基础解系就含有k k n n =--)(个向量，因而得到与0λ相应的k 个线性无关的特征向量.若k n E A R ->-)(0λ，则相应于0λ的线性无关特征向量将小于k 个，A 就不可对角化.例如，§2例1的两个3阶矩阵，矩阵A 的二重特征值232==λλ，相应地有两个线性无关的特征向量，对单根11-=λ，求出1个特征向量，因为相应于不同特征值的特征向量线性无关，因此,A 有3个线性无关特征向量，故A 可对角化.对于矩阵B ，它的三重特征值3321===λλλ，只求出1个线性无关特征向量，故B 不可对角化.若A 可对角化，定理还给出求对角阵及相似变换矩阵P 的方法.即 （1）求出A 的全部特征值n λλλ,,,21 ，得到对角阵的主对角线上的元素. （2）求出A 的与n λλλ,,,21 相应的线性无关特征向量n p p p ,,,21 ，则P =[n p p p ,,,21 ]就是相似变换矩阵.并且有AP P 1-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n λλλ0000021 应当注意：特征值在对角阵中排列的顺序与相应的特征向量在P 中的位置要相对应，即对角阵中第i 行i 列的特征值i λ，相应的特征向量i p 应位于P 中的第i 列.例1．设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----3241223k k （1）k 取何值时，A 可对角化？，k 取何值时，A 不可对角化？ （2）当A 可对角化时，求出相似变换矩阵P 和相应的对角矩阵. [解] 先求A 的特征值.E A λ-=λλλ-------3241223k k31c c +⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-------λλλλ12110221k =λλλ------32110221)1(k =)1(λ-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----λλ10010221k =2)1)(1(λλ+-特征值为,11=λ132-==λλ.（1）相应于二重特征值1-=λ，要由方程组0)(=+x E A 求其相应的特征向量.因为E A +=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---00002242240224k k k k 行若0≠k ，则2)(=+E A R ，0)(=+x E A 的基础解系只含3－2=1个向量，因而A 不存在3个线性无关的特征向量，A 不可对角化.0=k 时，1)(=+E A R ，由0)(=+x E A 可求出两个线性无关的特征向量，因而A 有3个线性无关的特征向量，A 可对角化.（2）0=k 时，A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---324010223已求出A 的特征值为,11=λ132-==λλ.要求的对角矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--100010001 11=λ时，解方程组0)(=-x E A ：E A -=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---000010101020020222424020222行行 同解方程组为⎩⎨⎧==-00231x x x ， 基础解系为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1011P132-==λλ时，解方程组0)(=+x E A ：E A +=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--000000112224000224行同解方程组为02321=-+x x x ，取基础解系为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2012p ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1103p相似变换矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==121100011],,[321p p p P它使得AP P 1-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--100010001例2．设 A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡3421 （1）求P ，使AP P 1-为对角矩阵.（2）求nA[解] （1）求A 的特征值及相应的线性无关特征向量.E A λ-=λλ--3421=)1)(5(542+-=--λλλλA 为二阶矩阵,有两个不同特征值1,521-==λλ，故A 可对角化.51=λ时，解方程组0)5(=-x E A ：E A 5-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-−→−⎥⎦⎤⎢⎣⎡--00122424行 同解方程组为0221=-x x ，取基础解系为T p )2,1(1=.12-=λ时，解方程组0)(=+x E A ：⎥⎦⎤⎢⎣⎡−→−⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+00114422行E A同解方程组为021=+x x ，取基础解系为T p )1,1(2-=.取⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==1211],[21p p P ，则有AP P 1-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1005（2）由(1)得 P A P n1-=n⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1005=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-n n )1(005，=nA 1)1(005-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-P P n n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1211P ，1-P =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡----121131121131故得 =nA ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1211⎥⎦⎤⎢⎣⎡-n n )1(005⎥⎦⎤⎢⎣⎡-121131=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⋅-+⋅-+-+++n n n n n n n n )1(52)1(252)1(5)1(253111§4. 实对称矩阵的对角化本节将证明实对称矩阵总是可以对角化的，且相似变换矩阵可取为正交矩阵. 定理1.实对称矩阵的特征值为实数. [证] 设A 为n 阶实对称矩阵，则A 的共轭矩阵A A =，A 的转置矩阵A A T =.设A 的复特征值为λ，相应的复特征向量为=α0),,(1≠T n a a .则有λαα=A对上面等式两边取共轭，并注意到A A =，得=A ，A α=λα，即A α=λα对上面最后等式两边取转置，注意到A A T=，得A (T )α=λ(T )α，T T A α=λT α, 即 λα=A TTα对上面最后等式两边右乘α，注意到λαα=A ，得ααλααT T A =，即ααλT =ααλT移项得0)(=-αλT因为0),,,(21≠=T n a a a α，故ααT=n n a a a a a a +++ 2211=022221≠+++n a a a于是0=-λλ，即λ=，故λ为实数.（证毕）定理2. 设21,λλ是实对称矩阵的两个特征值,21,p p 是相应的特征向量.若21λλ≠，则1p 与2p 正交.[证] 由题设有111p Ap λ=，222p Ap λ= 对第一等式两边转置，再右乘2p ，得21121)()(p p p Ap T T λ==211p p Tλ上式左端2121)(p A p p Ap T T T ==21Ap p T =221p p T λ=212p p Tλ于是得到211p p T λ=212p p T λ，移项得2121)(p p Tλλ-=0 因为021≠-λλ，故021=p p T，即内积[21,p p ]=0，故1p 与2p 正交.（证毕）定理3.设A 为实对称矩阵，如果0λ是特征方程0=-E A λ的k 重根，则相应于0λ的特征向量中恰有k 个是线性无关的.本定理不证.定理4. 设A 是n 阶实对称矩阵，则存在n 阶正交矩阵P ，使得AP P 1-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n λλλ00000021 其中n λλλ,,,21 是A 的全部特征值（是实数）.=P [n p p p ,,,21 ]的列向量n p p p ,,,21 是相应的规范正交特征向量（也是实的）.[证] 设A 的全部特征值为n λλλ,,,21对于其中单重特征值,有1个特征向量,将其单位化.对于其中的k 重特征值,，由定理3,有k 个线性无关的特征向量，用斯密特方法将其规范正交化,就有k 个相互正交的单位特征向量，又由定理2，对应不同特征值的特征向量相互正交.因此，相应于特征值n λλλ,,,21 ，可以得到n 个规范正交的特征向量n p p p ,,,21 ，因为规范正交组是线性无关的，故A 有n 个线性无关的特征向量.由§3的定理,A 可对角化.令P =[n p p p ,,,21 ]则P 为正交矩阵，且有AP P 1-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n λλλ00000021. （证毕） 由定理4的证明可知，将实对称矩阵A 对角化的步骤如下： （1）求出A 的全部特征值n λλλ,,,21 ，得到对角阵的对角线元素.（2）对于单重特征值，求出相应的1个线性无关特征向量，将其单位化.对于k 重特征值，求其k 个线性无关特征向量，再按斯密特方法，将其规范正交化，得到k 个相互正交的单位特征向量，最后得到n 个规范正交特征向量n p p p ,,,21 .（3）令=P [n p p p ,,,21 ]，它是正交矩阵，并且有AP P 1-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n λλλ0000021 例1．设A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----542452222求正交矩阵P ，使AP P 1-为对角阵.[解] A 为实对称矩阵，由定理4,所求的正交矩阵P 存在.E A λ-=λλλ-------54245222223r r +λλλλ------110452222=)1(λ-110452222----λλ=10492242)1(-----λλλ =)1(λ-λλ--9242=)10()1()1011)(1(22---=+--λλλλλA 的特征值为121==λλ，103=λ.对121==λλ，解方程组0)(=-x E A :=-E A 00000221442442221-−→−----行同解方程组为022321=-+x x x ，基础解系为T )0,1,2(1-=ξ， T )1,0,2(2=ξ按斯密特方法正交化，得T )0,1,2(11-==ξη T )5,4,2(5154],[],[121111222=+=-=ηξηηηηξξη.再单位化，得规范正交特征向量：T p )0,51,52(111-==ηη，Tp )455,454,452(222==ηη. 对103=λ，解方程组0)10(=-x E A ：=-E A 10⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-------−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------99018180452542228452542452228行行 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--−→−000110102000110452行行 同解方程组为 ⎩⎨⎧=+=+0023231x x x x , 基础解系为T )2,2,1(3-=ξ，单位化得T p )32,32,31(3-=.令P =[321,,p p p ] = ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--32455032454513145252, 则P 为正交矩阵，使得 AP P 1-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1000010001.例2．设三阶实对称矩阵A 的特征值为11-=λ，132==λλ，对应于1λ的将征向量为T )1,1,0(1=ξ，求A .[解] 设A 相应于特征值132==λλ的特征向量为T x x x x ),,(321=.因为A 是实对称矩阵，相应于不同特征值的特征向量互相正交，故x 与1ξ正交，有01=ξTx，即032=+x x 求得基础解系为T]0,0,1[2=ξ，T]1,1,0[3-=ξ，显见2ξ与3ξ已是互相正交，只要将其单位化，得 2p =2ξ=T )0,0,1(，Tp )21,21,0(333-==ξξ 再将1ξ单位化，得1p =T)21,21,0(11=ξξ.于是我们得到相应于特征值11-=λ，132==λλ的三个规范正交的特征向量1p ,2p ,3p .以它们为列向量，组成正交矩阵P .P =[1p ,2p ,3p ]=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-2102121021010，使得AP P 1-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-100010001，故有A =P ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-1000100011-P =P ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-100010001T P .（因为P 为正交阵，1-P =T P ） =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-2102121021010⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-100010001⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-2121000121210=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--010100001 例3．设B A ,为n 阶实对称矩阵，证明A 与B 相似的充分必要条件为A 与B 有相同的特征值.并举例说明若B A ,不都是实对称矩阵，则充分性不成立.[证] 必要性已在证明相似矩阵的性质时证过.现证充分性.设A 与B 有相同的特征值n λλλ,,,21 ，因为B A ,为实对称矩阵，由定理4，存在正交矩阵Q P ,，使AP P 1-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n λλλ 00000021，=-BQ Q 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n λλλ00000021 由此得AP P 1-=BQ Q 1-，B =11--APQ QP =)()(111---PQ A PQ , 故A 与B 相似.（证毕）若B A ,不都是实对称矩阵，例如A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡0000，B =⎥⎦⎤⎢⎣⎡0010,则B A ,有相同的特征值0,0,但A 与B 不相似.这是因为若相似则应有相同的秩，但0)(=A R ，1)(=B R ，)()(B R A R ≠，故A 与B 不相似..§5. 二次型及其标准形在解析几何中，为了研究二次曲线122=++cy bxy ax所属的类型，选择适当的坐标旋转变换⎩⎨⎧'+'='-'=θθθθcos sin sin cos y x y y x x , (*) 将在旧坐标),(y x 下的方程,化为新坐标),(y x ''下只含平方项的标准方程12221='+'y x λλ从代数上讲，这一问题就是对二次齐次多项式22cy bxy ax ++，选择适当的线性变换(*)，将其化为标准形2221y x '+'λλ的问题.本节将这一问题一般化，讨论将n 个变量的二次齐次多项式化为标准形问题，它在其它许多理论和实际问题中都有其重要应用。
第五章 相似矩阵及二次型 线性代数 含答案
第五章 相似矩阵及二次型5.4.1 基础练习 1. (1223),(3151),(,)αβαβ==∠求.2. 若λ＝２为可逆阵Ａ的特征值，则1213A -⎛⎫⎪⎝⎭的一个特征值为 .3. 试证ｎ阶方阵Ａ的满足2A A =，则Ａ的特征值为0或者1.4.已知三维向量空间中，12(111),(121)TTαα==-正交，试求3123,,αααα，使得是三维向量空间的一个正交基.5. 已知向量1(111)T α=，求3R 的一个标准正交基.6. 已知122224242A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，问A 能否化为对角阵？若能对角化，则求出可逆矩阵P ，使1P AP -为对角阵.7. 将二次型222123121323171414448f x x x x x x x x x =++---，通过正交变换x Py =化成标准型.8. 判别二次型()222123123121323,,55484f x x x x x x x x x x x x =+++--是否正定？5.4.2 提高练习1. 设n 阶实对称矩阵A 满足2A A =，且A 的秩为r ，试求行列式det(2E －A).2. 设460350361A ⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭，问A 能否对角化？若能对角化，则求出可逆矩阵P ，使得-1P AP 为对角阵.3. 已知实对称矩阵220212020A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，分别求出正交矩阵P ，使1P AP -为对角阵. 4. 化二次型()123121323,,f x x x x x x x x x =++为标准形，并求所作的可逆线性变换.5. 设A，B分别为m阶，n阶正定矩阵，试判定分块矩阵ACB⎛⎫= ⎪⎝⎭是否为正定矩阵？6. 判别二次型22256444f x y z xy xz=---++的正定性.7. 判断下列两矩阵A，B是否相似11100111100,111100nA B⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭第五章 参考答案5.4.1 基础练习 1.[,]cos ||||||||4αβπθθαβ===∴=2.34. 3.略.4. 设3123()0Tx x x α=≠，则[][]1223,0,,0αααα==，即 12313312321002001x x x x x x x x x α-⎛⎫++==-⎧⎧ ⎪⇒⇒=⎨⎨ ⎪-+==⎩⎩ ⎪⎝⎭5. 设非零向量23,αα都与2α正交，即满足方程11230,0T x x x x α=++=或者，其基础解 系为： 12100,111ξξ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭， 令 121321101,0,1111ααξαξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭1）正交化令 121122121111[,]1,0,[,]11βαβαβαβαββ⎛⎫⎛⎫⎪⎪===-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭1323233312321122221[,][,][,]12[,][,][,]21βαβαβαβαββαβββββββ-⎛⎫⎪=--=-= ⎪ ⎪-⎝⎭2）标准化令1||||i i i ςββ=，则1231111,0,2111ςςς-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪===⎪⎪⎪⎪⎪⎪--⎭⎭⎭6. 由2122224(2)(7)242A E λλλλλλ---=---=--+--得，1232,7λλλ===-将12λ=λ=2代入()1A-λE x=0，得方程组 12312312322024402440x x x x x x x x x --+=⎧⎪--+=⎨⎪+-=⎩解值得基础解系 12200,111αα⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 同理，对3λ=-7，由()3A-λE x=0，求得基础解系()31,2,2Tα=，由于201120112≠，所以123,,ααα线性无关，即A 有3个线性无关得特征向量，因而A 可对角化，可逆矩阵为：123201(,,)012112P ααα⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭7. 第一步，写出对应得二次型矩阵，并求其特征值 172221442414A --⎛⎫ ⎪=-- ⎪⎪--⎝⎭， ()()2172221441892414A E λλλλλλ---⎛⎫⎪-=---=-- ⎪⎪---⎝⎭，从而A 的全部特征值为1239,18λλλ===。
第五章 相似矩阵及二次型
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向量间的夹角 当x0 y0时
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arccos
[ x, y] || x |||| y ||
称为n维向量x与y的夹角 当[x y]0时 称向量x与y正交 显然 若x0 则x与任何向 量都正交
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正交阵 如果n阶矩阵A满足ATAE(即A1AT) 那么称A为正交矩 阵 简称正交阵
天 津 师 范 大 学 计 算 机 与 信 息 工 程 学 院 郑 陶 然
方阵A为正交阵的充分必要条件是A的列(行)向量都是单 位向量 且两两正交 n阶正交阵A的n个列(行)向量构成向量空间Rn 的一个规 范正交基
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内积的性质 设x y z为n维向量 为实数 则 (1)[x y][y x] (2)[x y][x y] (3)[xy z][x z][y z] 郑 (4)当x0时 [x x]0 当x0时 [x x]0 陶 然 (5)[x y]2[x x][y y] ——施瓦茨不等式
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说明 内积是两个向量之间的一种运算 其结果是一个实数 用 矩阵记号表示 当x与y都是列向量时 有 [x y]xTy
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向量的内积 设有n维向量x(x1 x2 xn)T y(y1 y2 yn)T 令 [x y]x1y1x2y2 xnyn 天 津 师 [x y]称为向量x与y的内积
天 津 师 范 大 学 计 算 机 与 信 1 1 4 5 b2 a2 b1 3 2 1 1 6 1 3 1 [b1, b1] [b1, a2 ] 4 1 1 1 1 5 b3 a3 b1 b2 1 2 1 2 0 0 3 1 3 1 1 [b1, b1] [b2, b2 ] [b1, a3] [b2, a]
线性代数 第五章 相似矩阵及二次型
1 2
也是 R4 的一个规范正交基．
1 1 1 1
e1
0 0
,
e2
1 0
,
e3
1 1
,
e4
1
1
0
0
0
1
是 R4 的一个基，但不是规范正交基．
§1 向量的内积、长度及正交性
设 e1, e2, …, er 是向量空间 V 中的一个正交基，则V 中任意一
个向量可唯一表示为 x = l1e1 + l2e2 + …+ lrer
[x + y, z] = [x, z] + [y, z] 当 x = 0（零向量） 时， [x, x] = 0；
当[xl x≠,0y（] 零(l向x量)T ）y 时l，xT[xy, x]l>( x0T．y) l[x, y] 施瓦兹（Schwarz）不等式 [ x y, z] ( x y)T z[x, (yx]2T ≤[yxT, )x]z[y,(yx]T．z) ( yT z) [ x, z] [ y, z]
y
x
§1 向量的内积、长度及正交性
定义：两两正交的非零向量组成的向量组成为正交向量组．
定理：若 n 维向量a1, a2, …, ar 是一组两两正交的非零向量， 则 a1, a2, …, ar 线性无关． 证明：设 k1a1 + k2a2 + … + kr ar = 0（零向量），那么 0 = [a1, 0] = [a1, k1a1 + k2a2 + … + kr ar]
当 x ≠ 0 且 y ≠ 0 时，
[x, y] 1≠ 0 且 y ≠ 0 时，把
arccos [ x, y]
线性代数第五章答案
l1b1l2b2 lnrbnr0 与b1 b2 bnt线性无关相矛盾
因此 0 是A的也是B的关于0的特征向量 所以A与B有公共的特征值 有 公共的特征向量
8 设A23A2EO 证明A的特征值只能取1或2 证明 设是A的任意一个特征值 x是A的对应于的特征向量 则
(A23A2E)x2x3x2x(232)x0 因为x0 所以2320 即是方程2320的根 也就是说1或2
9 设A为正交阵 且|A|1 证明1是A的特征值 证明 因为A为正交矩阵 所以A的特征值为1或1 （需要说明） 因为|A|等于所有特征值之积 又|A|1 所以必有奇数个特征值为1 即1 是A的特征值
10 设0是m阶矩阵AmnBnm的特征值 证明也是n阶矩阵BA的特征值 证明 设x是AB的对应于0的特征向量 则有
(AB)xx 于是 B(AB)xB(x) 或 BA(B x)(Bx) 从而是BA的特征值 且Bx是BA的对应于的特征向量
11 已知3阶矩阵A的特征值为1 2 3 求|A35A27A| 解 令()3527 则(1)3 (2)2 (3)3是(A)的特征值 故
|A35A27A||(A)|(1)(2)(3)32318
12 已知3阶矩阵A的特征值为1 2 3 求|A*3A2E| 解 因为|A|12(3)60 所以A可逆 故
A*|A|A16A1 A*3A2E6A13A2E 令()6132 则(1)1 (2)5 (3)5是(A)的特征值 故 |A*3A2E||6A13A2E||(A)|
6 设A为n阶矩阵 证明AT与A的特征值相同 证明 因为
线性代数第五章答案
线性代数第五章答案第五章相似矩阵及二次型1. 试用施密特法把下列向量组正交化:(1)=931421111) , ,(321a a a ;解根据施密特正交化方法,==11111a b ,-=-=101],[],[1112122b b b a b a b ,-=--=12131],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b .(2)---=011101110111) , ,(321a a a .解根据施密特正交化方法,-==110111a b ,-=-=123131],[],[1112122b b b a b a b , ?-=--=433151],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b . 2. 下列矩阵是不是正交阵:(1)---121312112131211;解此矩阵的第一个行向量非单位向量, 故不是正交阵.(2)------979494949198949891.解该方阵每一个行向量均是单位向量, 且两两正交, 故为正交阵.3. 设x 为n 维列向量, x T x =1, 令H =E -2xx T , 证明H 是对称的正交阵. 证明因为H T =(E -2xx T )T =E -2(xx T )T =E -2(xx T )T =E -2(x T )T x T =E -2xx T , 所以H 是对称矩阵. 因为H T H =HH =(E -2xx T )(E -2xx T ) =E -2xx T -2xx T +(2xx T )(2xx T ) =E -4xx T +4x (x T x )x T =E -4xx T +4xx T =E , 所以H 是正交矩阵.4. 设A 与B 都是n 阶正交阵, 证明AB 也是正交阵. 证明因为A ,B 是n 阶正交阵, 故A -1=A T , B -1=B T ,(AB )T (AB )=B T A T AB =B -1A -1AB =E ,故AB 也是正交阵.5. 求下列矩阵的特征值和特征向量:(1)----201335212;解 3)1(201335212||+-=-------=-λλλλλE A ,故A 的特征值为λ=-1(三重). 对于特征值λ=-1, 由----=+000110101101325213~E A ,得方程(A +E )x =0的基础解系p 1=(1, 1, -1)T , 向量p 1就是对应于特征值λ=-1的特征值向量.(2)633312321;解 )9)(1(633312321||-+-=---=-λλλλλλλE A ,故A 的特征值为λ1=0, λ2=-1, λ3=9. 对于特征值λ1=0, 由=000110321633312321~A ,得方程A x =0的基础解系p 1=(-1, -1, 1)T , 向量p 1是对应于特征值λ1=0的特征值向量. 对于特征值λ2=-1, 由=+000100322733322322~E A ,得方程(A +E )x =0的基础解系p 2=(-1, 1, 0)T , 向量p 2就是对应于特征值λ2=-1的特征值向量. 对于特征值λ3=9, 由--???? ??---=-00021101113333823289~E A ,得方程(A -9E )x =0的基础解系p 3=(1/2, 1/2, 1)T , 向量p 3就是对应于特征值λ3=9的特征值向量.(3)0001001001001000.（和书后答案不同，以书后为主，但解题步骤可以参考）解22)1()1(001010010100||+-=----=-λλλλλλλE A ,故A 的特征值为λ1=λ2=-1, λ3=λ4=1. 对于特征值λ1=λ2=-1,由=+00000000011010011001011001101001~E A , 得方程(A +E )x =0的基础解系p 1=(1, 0, 0, -1)T , p 2=(0, 1, -1, 0)T , 向量p 1和p 2是对应于特征值λ1=λ2=-1的线性无关特征值向量.对于特征值λ3=λ4=1, 由------=-00000000011010011001011001101001~E A , 得方程(A -E )x =0的基础解系p 3=(1, 0, 0, 1)T , p 4=(0, 1, 1, 0)T , 向量p 3和p 4是对应于特征值λ3=λ4=1的线性无关特征值向量.6. 设A 为n 阶矩阵, 证明A T 与A 的特征值相同. 证明因为|A T -λE |=|(A -λE )T |=|A -λE |T =|A -λE |,所以A T 与A 的特征多项式相同, 从而A T 与A 的特征值相同.7.设n阶矩阵A、B满足R(A)+R(B)<n,证明a与b有公共的特征值,有公共的特征向量.< p="">证明设R(A)=r,R(B)=t,则r+t<n.< p="">若a1,a2,,a n-r是齐次方程组A x=0的基础解系,显然它们是A的对应于特征值λ=0的线性无关的特征向量.类似地,设b1,b2,,b n-t是齐次方程组B x=0的基础解系,则它们是B的对应于特征值λ=0的线性无关的特征向量.由于(n-r)+(n-t)=n+(n-r-t)>n,故a1,a2,,a n-r,b1,b2,,b n-t 必线性相关.于是有不全为0的数k1,k2,,k n-r,l1,l2,,l n-t,使k1a1+k2a2++k n-r a n-r+l1b1+l2b2++l n-r b n-r=0.记γ=k1a1+k2a2++k n-r a n-r=-(l1b1+l2b2++l n-r b n-r),则k1,k2,,k n-r不全为0,否则l1,l2,,l n-t不全为0,而l1b1+l2b2++l n-r b n-r=0,与b1,b2,,b n-t线性无关相矛盾.因此,γ≠0,γ是A的也是B的关于λ=0的特征向量,所以A与B有公共的特征值,有公共的特征向量.8.设A2-3A+2E=O,证明A的特征值只能取1或2.证明设λ是A的任意一个特征值,x是A的对应于λ的特征向量,则(A2-3A+2E)x=λ2x-3λx+2x=(λ2-3λ+2)x=0.因为x≠0,所以λ2-3λ+2=0,即λ是方程λ2-3λ+2=0的根,也就是说λ=1或λ=2.9.设A为正交阵,且|A|=-1,证明λ=-1是A的特征值.证明因为A为正交矩阵,所以A的特征值为-1或1.（需要说明）因为|A|等于所有特征值之积,又|A|=-1,所以必有奇数个特征值为-1,即λ=-1是A的特征值.10.设λ≠0是m阶矩阵A m?n B n?m的特征值,证明λ也是n阶矩阵BA的特征值.证明设x是AB的对应于λ≠0的特征向量,则有(AB)x=λx,于是B(AB)x=B(λx),或BA(B x)=λ(B x),从而λ是BA的特征值,且B x是BA的对应于λ的特征向量.11.已知3阶矩阵A的特征值为1, 2, 3,求|A3-5A2+7A|.解令?(λ)=λ3-5λ2+7λ, 则?(1)=3, ?(2)=2, ?(3)=3是?(A )的特征值, 故 |A 3-5A 2+7A |=|?(A )|=?(1)??(2)??(3)=3?2?3=18.12. 已知3阶矩阵A 的特征值为1, 2, -3, 求|A *+3A +2E |. 解因为|A |=1?2?(-3)=-6≠0, 所以A 可逆, 故 A *=|A |A -1=-6A -1, A *+3A +2E =-6A -1+3A +2E .令?(λ)=-6λ-1+3λ+2, 则?(1)=-1, ?(2)=5, ?(-3)=-5是?(A )的特征值, 故 |A *+3A +2E |=|-6A -1+3A +2E |=|?(A )|=?(1)??(2)??(-3)=-1?5?(-5)=25.13. 设A 、B 都是n 阶矩阵, 且A 可逆, 证明AB 与BA 相似.证明取P =A , 则P -1ABP =A -1ABA =BA ,即AB 与BA 相似.14. 设矩阵=50413102x A 可相似对角化, 求x .解由)6()1(50413102||2---=---=-λλλλλλx E A ,得A 的特征值为λ1=6, λ2=λ3=1.因为A 可相似对角化, 所以对于λ2=λ3=1, 齐次线性方程组(A -E )x =0有两个线性无关的解, 因此R (A -E )=1. 由-???? ??=-00030010140403101)(~x x E A r知当x =3时R (A -E )=1, 即x =3为所求.15. 已知p =(1, 1, -1)T 是矩阵---=2135212b a A 的一个特征向量.(1)求参数a , b 及特征向量p 所对应的特征值;解设λ是特征向量p 所对应的特征值, 则(A -λE )p =0, 即=???? ??-???? ??------0001112135212λλλb a ,解之得λ=-1, a =-3, b =0.(2)问A 能不能相似对角化？并说明理由. 解由3)1(201335212||--=-------=-λλλλλE A ,得A 的特征值为λ1=λ2=λ3=1. 由-???? ??----=-00011010111325211~r b E A知R (A -E )=2, 所以齐次线性方程组(A -E )x =0的基础解系只有一个解向量. 因此A 不能相似对角化.16. 试求一个正交的相似变换矩阵, 将下列对称阵化为对角阵:(1)----020212022;解将所给矩阵记为A . 由λλλλ-------=-20212022E A =(1-λ)(λ-4)(λ+2),得矩阵A 的特征值为λ1=-2, λ2=1, λ3=4. 对于λ1=-2, 解方程(A +2E )x =0, 即0220232024321=----x x x , 得特征向量(1, 2, 2)T , 单位化得T)32 ,32 ,31(1=p .对于λ2=1, 解方程(A -E )x =0, 即0120202021321=-----x x x , 得特征向量(2, 1, -2)T , 单位化得T )32 ,31 ,32(2-=p . 对于λ3=4, 解方程(A -4E )x =0, 即0420232022321=-------x x x , 得特征向量(2, -2, 1)T , 单位化得T )31 ,32 ,32(3-=p . 于是有正交阵P =(p 1, p 2, p 3), 使P -1AP =diag(-2, 1, 4).(2)----542452222. （和书后答案不同，以书后答案为准，解题步骤可以参考）解将所给矩阵记为A . 由λλλλ-------=-542452222E A =-(λ-1)2(λ-10),得矩阵A 的特征值为λ1=λ2=1, λ3=10. 对于λ1=λ2=1, 解方程(A -E )x =0, 即=???? ?????? ??----000442442221321x x x , 得线性无关特征向量(-2, 1, 0)T 和(2, 0, 1)T , 将它们正交化、单位化得T 0) 1, ,2(511-=p , T 5) ,4 ,2(5312=p .对于λ3=10, 解方程(A -10E )x =0, 即=???? ?????? ??-------000542452228321x x x ,得特征向量(-1, -2, 2)T , 单位化得T )2 ,2 ,1(313--=p . 于是有正交阵P =(p 1, p 2, p 3), 使P -1AP =diag(1, 1, 10).17. 设矩阵------=12422421x A 与-=Λy 45相似, 求x , y ; 并求一个正交阵P , 使P -1AP =Λ.解已知相似矩阵有相同的特征值, 显然λ=5, λ=-4, λ=y 是Λ的特征值, 故它们也是A 的特征值. 因为λ=-4是A 的特征值, 所以0)4(9524242425|4|=-=---+---=+x x E A ,解之得x =4.已知相似矩阵的行列式相同, 因为100124242421||-=-------=A , y y2045||-=-=Λ,所以-20y =-100, y =5.对于λ=5, 解方程(A -5E )x =0, 得两个线性无关的特征向量(1, 0, -1)T , (1, -2, 0)T . 将它们正交化、单位化得T )1 ,0 ,1(211-=p , T )1 ,4 ,1(2312-=p .对于λ=-4, 解方程(A +4E )x =0, 得特征向量(2, 1, 2)T , 单位化得T )2 ,1 ,2(313=p .于是有正交矩阵?--=23132212343102313221P , 使P -1AP =Λ. 18. 设3阶方阵A 的特征值为λ1=2, λ2=-2, λ3=1; 对应的特征向量依次为p 1=(0, 1, 1)T , p 2=(1, 1, 1)T , p 3=(1,1, 0)T , 求A .解令P =(p 1, p 2, p 3), 则P -1AP =diag(2, -2, 1)=Λ, A =P ΛP -1.因为---=???? ??=--11011101101111111011P ,所以---???? ??-???? ??=Λ=-1101110111000200020111111101P P A------=244354332. 19. 设3阶对称阵A 的特征值为λ1=1, λ2=-1, λ3=0; 对应λ1、λ2的特征向量依次为p 1=(1, 2, 2)T , p 2=(2, 1, -2)T , 求A .解设=653542321x x x x x x x x x A , 则A p 1=2p 1, A p 2=-2p 2, 即 =++=++=++222222122653542321x x x x x x x x x , ---① =-+-=-+-=-+222122222653542321x x x x x x x x x . ---② 再由特征值的性质, 有x 1+x 4+x 6=λ1+λ2+λ3=0. ---③由①②③解得612131x x --=, 6221x x =, 634132x x -=,642131x x -=, 654132x x +=. 令x 6=0, 得311-=x , x 2=0, 323=x ,314=x , 325=x . 因此-=022********A . 20. 设3阶对称矩阵A 的特征值λ1=6, λ2=3, λ3=3, 与特征值λ1=6对应的特征向量为p 1=(1, 1, 1)T , 求A .解设=653542321x x x x x x x x x A .因为λ1=6对应的特征向量为p 1=(1, 1, 1)T , 所以有=???? ??1116111A , 即?=++=++=++666653542321x x x x x x x x x ---①. λ2=λ3=3是A 的二重特征值, 根据实对称矩阵的性质定理知R (A -3E )=1. 利用①可推出--???? ??---=-331113333653542653542321~x x x x x x x x x x x x x x x E A .因为R (A -3E )=1, 所以x 2=x 4-3=x 5且x 3=x 5=x 6-3, 解之得x 2=x 3=x 5=1, x 1=x 4=x 6=4.因此=411141114A .21. 设a =(a 1, a 2, , a n )T , a 1≠0, A =aa T . (1)证明λ=0是A 的n -1重特征值;证明设λ是A 的任意一个特征值, x 是A 的对应于λ的特征向量, 则有A x =λx ,λ2x =A 2x =aa T aa T x =a T a A x =λa T ax , 于是可得λ2=λa T a , 从而λ=0或λ=a T a .设λ1, λ2, ? ? ?, λn 是A 的所有特征值, 因为A =aa T 的主对角线性上的元素为a 12, a 22, ? ? ?, a n 2, 所以a 12+a 22+ ? ? ? +a n 2=a T a =λ1+λ2+ ? ? ? +λn ,这说明在λ1, λ2, ? ? ?, λn 中有且只有一个等于a T a , 而其余n -1个全为0, 即λ=0是A 的n -1重特征值.(2)求A 的非零特征值及n 个线性无关的特征向量. 解设λ1=a Ta , λ2= ? ? ? =λn =0.因为A a =aa T a =(a T a )a =λ1a , 所以p 1=a 是对应于λ1=a T a 的特征向量.对于λ2= ? ? ? =λn =0, 解方程A x =0, 即aa T x =0. 因为a ≠0, 所以a T x =0, 即a 1x 1+a 2x 2+ ? ? ? +a n x n =0, 其线性无关解为p 2=(-a 2, a 1, 0, , 0)T ,p 3=(-a 3, 0, a 1, , 0)T , ? ? ?,p n =(-a n , 0, 0, , a 1)T .因此n 个线性无关特征向量构成的矩阵为--=112212100), , ,(a a a aa a a nn n p p p . 22. 设-=340430241A , 求A 100. 解由)5)(5)(1(340430241||+---=----=-λλλλλλλE A ,得A 的特征值为λ1=1, λ2=5, λ3=-5.对于λ1=1, 解方程(A -E )x =0, 得特征向量p 1=(1, 0, 0)T . 对于λ1=5, 解方程(A -5E )x =0, 得特征向量p 2=(2, 1, 2)T . 对于λ1=-5, 解方程(A +5E )x =0, 得特征向量p 3=(1, -2, 1)T . 令P =(p 1, p 2, p 3), 则P -1AP =diag(1, 5, -5)=Λ, A =P ΛP -1, A 100=P Λ100P -1. 因为Λ100=diag(1, 5100, 5100),--=???? ??-=--1202105055112021012111P ,所以--???? ?????? ??-=12021050555112021012151100100100A-=1001001005000501501.23. 在某国, 每年有比例为p 的农村居民移居城镇, 有比例为q 的城镇居民移居农村, 假设该国总人口数不变, 且上述人口迁移的规律也不变. 把n 年后农村人口和城镇人口占总人口的比例依次记为x n 和y n (x n +y n =1).(1)求关系式??=??++n n n n y x A y x 11中的矩阵A ;解由题意知x n +1=x n +qy n -px n =(1-p )x n +qy n , y n +1=y n +px n -qy n = px n +(1-q )y n , 可用矩阵表示为--=??? ??++n n n n y x q p q p y x 1111,因此--=q p q p A 11.(2)设目前农村人口与城镇人口相等, 即??? ??=??? ??5.05.000y x , 求?n n y x .解由??=??++n n n n y x A y x 11可知??=??00y x A y x n n n . 由)1)(1(11||q p q p qp E A ++--=----=-λλλλλ,得A 的特征值为λ1=1, λ2=r , 其中r =1-p -q .对于λ1=1, 解方程(A -E )x =0, 得特征向量p 1=(q , p )T . 对于λ1=r ,解方程(A -rE )x =0, 得特征向量p 2=(-1, 1)T . 令??-==11) ,(21p q P p p , 则 P -1AP =diag(1, r )=Λ, A =P ΛP -1, A n =P Λn P -1.于是 11100111-??-??? ????? ??-=p q r p q A n n-??? ????? ??-+=q p r p q q p n 11001111+--++=n n n n qr p pr p qr q pr q q p 1,+--++=??? ??5.05.01n n n n n n qr p pr p qr q pr q q p y x ??-+-++=n n r p q p r q p q q p )(2)(2)(21.24. (1)设??--=3223A , 求?(A )=A 10-5A 9; 解由)5)(1(3223||--=----=-λλλλλE A ,得A 的特征值为λ1=1, λ2=5.对于λ1=1, 解方程(A -E )x =0, 得单位特征向量T )1 ,1(21. 对于λ1=5, 解方程(A -5E )x =0, 得单位特征向量T )1 ,1(21-.于是有正交矩阵?-=111121P , 使得P -1AP =diag(1, 5)=Λ,从而A =P ΛP -1, A k =P Λk P -1. 因此?(A )=P ?(Λ)P -1=P (Λ10-5Λ9)P -1 =P [diag(1, 510)-5diag(1, 59)]P -1 =P diag(-4, 0)P -1-??? ??-??? ??-=1111210004111121-=??? ??----=111122222.(2)设=122221212A , 求?(A )=A 10-6A 9+5A 8.解求得正交矩阵为---=20223123161P , 使得P -1AP =diag(-1, 1, 5)=Λ, A =P ΛP -1. 于是?(A )=P ?(Λ)P -1=P (Λ10-6Λ9+5Λ8)P -1 =P [Λ8(Λ-E )(Λ-5E )]P -1=P diag(1, 1, 58)diag(-2, 0, 4)diag(-6, -4, 0)P -1 =P diag(12, 0,0)P -1---???? ?---=222033*********223123161----=4222112112. 25. 用矩阵记号表示下列二次型: (1) f =x 2+4xy +4y 2+2xz +z 2+4yz ; 解=z y x z y x f 121242121) , ,(.(2) f =x 2+y 2-7z 2-2xy -4xz -4yz ; 解-------=z y x z y x f 722211211) , ,(.(3) f =x 12+x 22+x 32+x 42-2x 1x 2+4x 1x 3-2x 1x 4+6x 2x 3-4x 2x 4.解------=432143211021013223111211) , , ,(x x x x x x x x f .26. 写出下列二次型的矩阵: (1)x x x ?=1312)(T f ;解二次型的矩阵为=1222A .(2)x x x=987654321)(T f .解二次型的矩阵为=975753531A .27. 求一个正交变换将下列二次型化成标准形: (1) f =2x 12+3x 22+3x 33+4x 2x 3;解二次型的矩阵为=320230002A . 由)1)(5)(2(320230002λλλλλλλ---=---=-E A ,得A 的特征值为λ1=2, λ2=5, λ3=1. 当λ1=2时, 解方程(A -2E )x =0, 由=-0001002101202100002~E A ,得特征向量(1, 0, 0)T . 取p 1=(1, 0, 0)T . 当λ2=5时, 解方程(A -5E )x =0, 由-???? ??---=-0001100012202200035~E A ,得特征向量(0, 1, 1)T . 取T )21 ,21,0(2=p .当λ3=1时, 解方程(A -E )x =0, 由=-000110001220220001~E A ,得特征向量(0, -1, 1)T . 取T )21 ,21 ,0(3-=p .于是有正交矩阵T =(p 1, p 2, p 3)和正交变换x =T y , 使f =2y 12+5y 22+y 32.(2) f =x 12+x 22+x 32+x 42+2x 1x 2-2x 1x 4-2x 2x 3+2x 3x 4.解二次型矩阵为----=1101111001111011A . 由2)1)(3)(1(1101111001111011--+=--------=-λλλλλλλλE A ,得A 的特征值为λ1=-1, λ2=3, λ3=λ4=1.当λ1=-1时, 可得单位特征向量T )21 ,21 ,21 ,21(1--=p .当λ2=3时, 可得单位特征向量T )21 ,21 ,21 ,21(2--=p . 当λ3=λ4=1时, 可得线性无关的单位特征向量T )0 ,21 ,0 ,21(3=p , T )21 ,0 ,21 ,0(4=p .于是有正交矩阵T =( p 1, p 2, p 3, p 4)和正交变换x =T y , 使f =-y 12+3y 22+y 32+y 42.28. 求一个正交变换把二次曲面的方程3x 2+5y 2+5z 2+4xy -4xz -10yz =1化成标准方程.解二次型的矩阵为----=552552223A .由)11)(2(552552223||---=-------=-λλλλλλλE A , 得A 的特征值为λ1=2,λ2=11, λ3=0, .对于λ1=2, 解方程(A -2E )x =0, 得特征向量(4, -1, 1)T , 单位化得)231 ,231 ,234(1-=p .对于λ2=11, 解方程(A -11E )x =0, 得特征向量(1, 2, -2)T , 单位化得)32 ,32 ,31(2-=p . 对于λ3=0, 解方程A x =0, 得特征向量(0, 1, 1)T , 单位化得)21 ,21,0(3=p .于是有正交矩阵P =(p 1, p 2, p 3), 使P -1AP =diag(2, 11, 0), 从而有正交变换--=???? ??w v u z y x 21322312132231031234,使原二次方程变为标准方程2u 2+11v 2=1.29. 明: 二次型f =x T A x 在||x ||=1时的最大值为矩阵A 的最大特征值. 证明 A 为实对称矩阵, 则有一正交矩阵T , 使得TAT -1=diag(λ1, λ2, ? ? ?, λn )=Λ成立, 其中λ1, λ2, ? ? ?, λn 为A 的特征值, 不妨设λ1最大. 作正交变换y =T x , 即x =T T y , 注意到T -1=T T , 有 f =x T A x =y T TAT T y =y T Λy =λ1y 12+λ2y 22+ ? ? ? +λn y n 2. 因为y =T x 正交变换, 所以当||x ||=1时, 有||y ||=||x ||=1, 即y 12+y 22+ ? ? ? +y n 2=1.因此f =λ1y 12+λ2y 22+ ? ? ? +λn y n 2≤λ1,又当y 1=1, y 2=y 3=? ? ?=y n =0时f =λ1, 所以f max =λ1.30. 用配方法化下列二次形成规范形, 并写出所用变换的矩阵. (1) f (x 1, x 2, x 3)=x 12+3x 22+5x 32+2x 1x 2-4x 1x 3;解 f (x 1, x 2, x 3)=x 12+3x 22+5x 32+2x 1x 2-4x 1x 3 =(x 1+x 2-2x 3)2+4x 2x 3+2x 22+x 32 =(x 1+x 2-2x 3)2-2x 22+(2x 2+x 3)2.令 ??+==-+=323223211222x x y x y x x x y , 即+-==+-=323223211221225y y x y x y y y x , 二次型化为规范形f =y 12-y 22+y 32,所用的变换矩阵为--=12002102251C .(2) f (x 1, x 2, x 3)=x 12+2x 32+2x 1x 3+2x 2x 3; 解 f (x 1, x 2, x 3)=x 12+2x 32+2x 1x 3+2x 2x 3 =(x 1+x 3)2+x 32+2x 2x 3; =(x 1+x 3)2-x 22+(x 2+x 3)2.令 +==+=32322311x x y x y x x y , 即+-==-+=3 23223211y y x y x y y y x ,二次型化为规范形f =y 12-y 22+y 32,所用的变换矩阵为--=110010111C .(3) f (x 1, x 2, x 3)=2x 12+x 22+4x 32+2x 1x 2-2x 2x 3. 解 f (x 1, x 2, x 3)=2x 12+x 22+4x 32+2x 1x 2-2x 2x 3.</n.<></n,证明a与b有公共的特征值,有公共的特征向量.<>。
《线性代数》第五章相似矩阵及二次型精选习题及解答
故， β 3 = ( −
1 3
1 3
1 3
1) T ⇒ γ 3 =
β3 3 = (− 6 β3
3 6
3 3
3 T ) 2
⎛ 3 2 4⎞ ⎜ ⎟ 例 5.3 计算 3 阶矩阵 A＝ 2 0 2 的全部特征值和特征向量. ⎜ ⎟ ⎜ 4 2 3⎟ ⎝ ⎠
n n
f ( x) = xT Ax ，其中 A T = A .
6．熟悉矩阵 A 合同（或相合）于 B 的定义，理解合同关系是等价关系. 7．熟练掌握化二次型 xT Ax 为平方和（标准形）或求实对称矩阵 A 的相合标准形的 3 种方法：正交变换法；配方法；和同型初等行、列变换法. 8．了解惯性定理，会求矩阵 A 的正、负惯性指数和符号差，会求二次型的规范形. 9．熟练掌握正定二次型（正定矩阵）的定义和判别方法. 10．熟悉实对称矩阵 A 正定（二次型正定）的各种等价命题（正定的充要条件）. 11．理解 A 正定的必要条件： a ii > 0( i = 1, 2, L , n ); det( A ) > 0 . 12． 会利用正交变换化二次型为标准型和极坐标平移方法判别一般二次曲线和曲面的类 型.
故 A 是正交矩阵. 例 5.2 已知向量 α 1 = (1,1, 0, 0 ) , α 2 = (1, 01, 0 ) , α 3 = ( − 1, 0, 0,1) 是线性无关向
T T T
量组，求与之等价的正交单位向量组. 解法一 先正交化，再单位化 (1) 取 β 1 =
α1
(2) 令 β 2 = k β 1 + α 2 ，使得 β2 与 β 1 正交
T −1 ∗
5.3 例题分析
例 5.1 设 a 是 n 阶列向量， E 是 n 阶单位矩阵，证明 A = E −
《线性代数》第五章相似矩阵与二次型第6节
正交变换在相似矩阵中应用
正交变换在相似矩阵中的应用主要体 现在通过正交变换将一个矩阵对角化， 从而简化矩阵的运算和分析。
具体应用包括：利用正交变换化二次 型为标准型、利用正交变换求矩阵的 特征值和特征向量等。
典型例题分析与解答
例题1
设A是n阶实对称矩阵，证明存在正交矩阵P，使得 P^(-1)AP为对角矩阵。
二次型标准形求解步骤
配方法
通过配方将二次型化为标准形，即平方和的形 式。
正交变换法
通过正交变换将二次型化为标准形，其中变换 矩阵是正交矩阵。
特征值法
通过求解对称矩阵的特征值和特征向量，将二次型化为标准形。
二次型与对称矩阵关系
二次型与对称矩阵一一对应
每个二次型都唯一对应一个对称矩阵，反之亦然。
二次型的性质与对称矩阵的性质密切相关
《线性代数》第五章相似矩阵与二 次型第6节
目录
• 相似矩阵基本概念与性质 • 二次型及其标准形 • 惯性定理与规范形 • 正交变换与正交矩阵 • 相似矩阵对角化与实对称矩阵对角化 • 课程总结与拓展延伸
01 相似矩阵基本概念与性质
相似矩阵定义及表示方法
定义
设A、B都是n阶矩阵，若有可逆矩阵P，使$P^{-1}AP=B$，则称B是A的相似 矩阵，或说A和B相似。
正定性。
解答
通过配方或正交变换法，可以求得该二次 型的标准形为 $y_1^2 + y_2^2 + 5y_3^2$。
解答
通过求解对应的对称矩阵的特征值，可以 判断该二次型不是正定的，因为存在负特 征值。
03 惯性定理与规范形
惯性定理内容及其证明
惯性定理内容
设A,B为n阶实对称矩阵，若A与B合同， 则A与B的正惯性指数相等，负惯性指 数也相等。
第五章 相似矩阵及二次型
1 1 1 1 , 2 2 1 1
正交,试求一个非零向量α3 ,使 α1，α2，α3 两两正交。
解 设所求的向量α3 ＝（x1 , x2 , x3) ,依题意得:
x1 x2 x3 0 x1 2 x2 x3 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 ～ 由于 A ～ 1 2 1 0 3 0 0 1 0
二.向量的范数与夹角
1.向量的范数(长度)
定义2 令
x
x , x
x1 x2 xn
2
2
2
称‖x‖为n维向量x的范数。 2.范数的性质：
1）非负性 当x≠ 0 时, ‖x‖=︱λ︱‖x‖； 3）三角不等式‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖。
证 设有 1 , 2 , , r ,使 λ1α1+ λ2α2 + … + λrαr = 0,
取αi ( i = 1, 2 ,…, r )在上式的两端作内积。 [ λ1α1+ λ2α2 + … + λrαr ，αi] =[0, αi] [ λiαi,αi ] = 0
亦即
λi[αi,αi ] = 0
得
[α1,α3] = 0 , [α2,α3] = 0， 即
1 1 从而有基础解系 0 , 取 3 0 , 即为所求. 1 1
x1 x3 x2 0
第五章 相似矩阵及二次型
§1.向量的内积
一、向量的内积 1.内积的概念 定义1 设有n维向量
令
x1 y1 y2 x2 x , y x y n n [x,y]= x1 y1 x2 y2 xn yn ,
相似矩阵及二次型
0
T 1
1
1
2
0,
从而有1
0.
同理可得2 r 0. 故1,2 ,,r线性无关.
４ 向量空间旳正交基
若
1
,
2
,
,
是向量空间
r
V的一个基
,
且
1
,
2
,
, r是两两正交的非零向量 组,则称1, 2 ,, r是
向量空间V的正交基.
例1 已知三维向量空间中两个向量
1
1 1,
1
1
2 2
为A的特征方程 .
记 f A E ,它是的n次多项式, 称其
为方阵A的 特征多项式 .
4. 设 n阶方阵 A aij 的特征值为1, 2 ,,
n ,则有 (1) 1 2 n a11 a22 ann; (2) 12 n A .
例5 求A 3 1的特征值和特征向量 . 1 3
] ]
b2
[br 1 [br1 ,
,ar ] br1 ]
br
1
那么b1 ,,br两两正交,且b1 ,,br与a1 ,ar等价.
（2）单位化，取
e1
b1 b1
,
e2
b2 b2
,
,er
br br
,
那么 e1 ,e2 ,,er为V的一个规范正交基 .
上述由线性无关向量组 a1 ,,ar构造出正交 向量组b1 ,,br的过程,称为 施密特正交化过程 .
2. 齐次性 x x ;
3. 三角不等式 x y x y .
单位向量及n维向量间的夹角
1 当 x 1时,称 x为单位向量 .
2当 x 0, y 0时, arccos x, y
第五章相似矩阵及二次型
第五章相似矩阵及二次型部门： xxx时间： xxx整理范文，仅供参考，可下载自行编辑设有令，称为向量与内积是两个向量之间的一种运算，其结果是一个实数，用矩阵记号表示表示，当与都是列向量时，有为维向量，当时，；当时，、向量的单位化定义：令称为维向量当时，称向量长度的性质：非负性当，；当；齐次性三角不等式定义：当时，称为维向量与的夹角。
三、向量的正交性、定义：，则称和、定义：如果个维向量，则称向量组证明略）四、向量的正交规范化公式：设再将五、正交矩阵阶矩阵满足，那么称阵，简称正交阵。
若为阶正交阵若为阶正交阵与若为阶正交阵与、正交矩阵的判定用定义，书上的例子说明是阶矩阵，如果数和维非零列向量成立，那么称数称为矩阵量称为的对应于特征值注意：特征向量为非零向量！是方程组的非零解满足的数方程组的非零解为特征向量：求矩阵的特征值与特征向量对，求方程组于这个特征值的线性无关的特征向量。
、特征值的求法公式：设为为为的特征值；为的特征值；为的特征值<为 <为的特征值；。
5、特征值与矩阵的关系公式：--------------在求行列式时使用。
例题：设三阶方阵的特征值为1.2，求及的特征值。
例题：设三阶方阵，求、特征值与特征向量的性质：量线性无关证：用数学归纳法。
）, |A|=|B|.设由此可得什么结论？与相似可逆定理1阶矩阵与对角阵相似的充要条件为为则就有个线性无关的特征向量。
综上，有：定理：设的相异特征根为则与相似二、矩阵相似对角化的方法：例：判断能否与对角阵相似，并在相似时求可逆阵，使为对角阵。
互异，则与对角阵相似；若中互异的为每个一定与对角阵相似；否则不与对角阵相似。
当与对角阵相似时，求出的量则有；1得属于特征值的特征向量。
）求可逆阵，使）求正角阵，使为对角阵三、用正交阵将实对称矩阵求出的所有相异的特征值对每一个重特征值，求出各线性无关的特征向量由性质知线性无关的特征向量先正交化再单将上面求得的正交单位向量作为劣向量，排成，则对角阵。
线性代数之相似矩阵及二次型
λ − a22 ⋯
⋯ λ − ann
= λn − c1λn − 1 + c 2 λn − 2 + ⋯ + ( −1) n − 1 c n − 1λ + ( −1) n c n
特征多项式， 特征方程。 称为 A 的特征多项式，而 f (λ ) = λE − A = 0 称为 A 的特征方程。
-18-
性质
对特征值 i , 解(λi E − A) X = 0, 得基础解系 1 ,⋯,αr λ α
λi所对应的特征向量为 k1α1 +⋯+ krαr , k1 ,⋯, kr不全为零
-20-
−1 1 0 例： 求矩阵 A = −4 3 0 的特征值和全部特征向量 的特征值和全部特征向量. 1 0 2
1 b3 1 1 = ξ3 = b3 6 − 2 0
-13-
六、正交矩阵 定义 若 n 阶方阵 A 满足 AT A = E , 则称 A 为正交矩阵 正交矩阵. 例4 验证(1)旋转矩阵是正交矩阵 验证 旋转矩阵是正交矩阵
cos ϕ A= sin ϕ − sin ϕ cos ϕ
T 0 ⇒ α1 α1
= α1
2
≠ 0, 从而有 λ1 = 0 .
同理可得 λ2 = ⋯ = λr = 0. 故α1 ,α 2 ,⋯,α r 线性无关 .
-8-
例1
(P115 例3)
1 1 α1 = 1 , α 2 = − 2 1 1
(2)镜像矩阵是正交矩阵 (P40 例8) 镜像矩阵是正交矩阵
H = E − 2αα (α ∈ R , α α = 1)
T n T
线性代数习题册(第五章 相似矩阵及二次型参考答案)
二、计算题
7. 用施密特（Schimidt）正交化过程将向量= 组α1
1 = 1 ,α2 1
1 = 2 ,α3 3
1
4
规范正交化.
9
解：根据施密特正交化方法,
1
b=1
a=1
1
,
1
−1
b2
= a2 − [[bb11,,ab12
−1
=
1 2
0 1
,
b3
=
= b3 | b3 |
1
1 6
−2 1
。
三、证明题
8. 设α 是一个 n 维非零列向量，试证 A=
E
−
α
2 Tα
αα
T
是一个正交矩阵.
解：
AT
A
= E − α2Tα αα
T
T
E
−
2 αTα
αα
T
( A) λ −1 A n
(B) λ −1 A
(C ) λ A
( D) λ −1 A n−1
分析：设 Aξ = λξ ，又 A 可逆，所以 A−1ξ = 1 ξ ， | A | A−1ξ =| A | 1 ξ
λ
λ
⇒ A*ξ = | A | ξ ， λ
5. 设 3 阶矩阵 A 的特征值为1, 3, 5 ，则 A 的行列式 A 等于（ D ）.
第五章 相似矩阵及二次型
单元 12 向量的内积与正交性
一、选择题
1. 设 x, y ∈ Rn , [ x, y] 表示向量 x 与 y 的内积，则下列不正确的是（ D ）.
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第五章：相似矩阵及二次型
本章要求：1. 理解矩阵特征值、特征向量及有关性质，熟练掌握求矩阵特征值和特征向量的方法。
2. 理解相似矩阵的概念和矩阵相似于对角矩阵的条件。
3. 掌握实对称矩阵化为对角阵的方法。
4. 理解二次型的定义，掌握二次型在实数域上化标准形、规范形的方法。
5. 理解正定矩阵与正定二次型、会判定二次型的定性。
§1 向量的内积、长度及正交性
内容：向量的内积；内积的性质；向量的长度（范数）；长度的性质；单位向量；施瓦茨不等式[][][]y y x x y x , ,,2
≤；n
维向量x 与y 的夹角[]
y
x y x ,arccos
=θ
；正交；正交
的向量组一定线性无关；规范正交基；基的规范正交化；施密特正交化过程；正交矩阵；方阵 A 为正交矩阵的充分必要条件是A 的列向量都是单位向量，且两两正交；方阵 A 为正交矩阵的充分必要条件是A 的行向量都是单位向量，且两两正交；正交矩阵A 的n 个列（行）向量构成向量空间 R n 的一个规范正交基；正交变换；正交变换不改变线段的长度。
重点：正交的向量组一定线性无关；施密特正交化法；基的规范正交化；正交阵判定的两种方法。
§2 方阵的特征值与特征向量
内容：矩阵的特征值与特征向量；A 的特征方程；A 的特征值就是特征方程的解；
A 的特征多项式
()λ
λλ
λ---=
nn n n n n a a a a a a a a a f
2
1
2222111211；
若λ是 A 的特征值，则 ()λϕ也是()A ϕ的特征值；特征值互不相等，则对应的特征向量线性无关。
重点：熟练掌握特征值和特征向量的求解方法；特征值的性质；特征值互不相等，则对应的特征向量线性无关。
§3 相 似 矩 阵
内容：相似矩阵；相似变换；相似变换矩阵；若 n 阶矩阵 A 与 B 相似，则 A 与 B 的特征多项式相同，从而 A 与 B 的特征值也相同；
设⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛=Λn λλλ
2
1
，则有 1）,2
1⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛=Λk
n
k
k
k λλλ
()()()
().21⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛=Λn λϕλϕλϕϕ
2）若n 阶矩阵A 与Λ相似，则n λλλ,,,21 即为A 的n 个特征值。
重点：矩阵可对角化的条件：n 阶矩阵 A 与对角矩阵相似（即 A 能对角化）的充分必要条件为A 有 n 个线性无关的特征向量；若 n 阶矩阵 A 的 n 个特征值互不相等，则A 与对角矩阵相似。
§4 实对称矩阵的对角化
内容：实对称矩阵的特征值和特征向量的性质：实对称矩阵的特征值为实数，对应的特征向量可以取实向量；对称矩阵的特征值若不相等，则对应的特征向量正交；实对称矩阵的对角化：对称矩阵一定能对角化。
重点：实对称阵 A 对角化的步骤：
1）求出A 的全部互不相等的特征根s λλλ,,,21 ，他们的重数依次为
).(,,,2121n k k k k k k s s =+++
2)对每个i k 重特征值i λ，求方程0)(=-x E A i λ的基础解系，得i k 个线性无关的
特征向量。
再把它们正交化、单位化，得i k 个两两正交的单位特征向量。
因
n k k k s =+++ 21，故总共可得n
个两两正交的单位特征向量。
3）把这n 个两两正交的单位特征向量构成正交阵P ，便有.1Λ=-AP P 注意Λ中对角元的排列次序应与P 中列向量的排列次序相对应。
§5 二次型及其标准形
内容：二次齐次多项式；二次型；实二次型；复二次型；二次型 f 的矩阵；对称矩阵 A 的二次型；二次型的秩；二次型的标准形；二次型的规范型；矩阵A 与B 合同；任给实二次型，总能经过正交变换化为标准形。
重点：熟练掌握用正交变换把实二次型化为标准形的方法步骤。
§6 用配方法化二次型成标准形
基本要求：会用配方法把二次型化为标准形。
§7 正定二次型
内容：惯性定理；正惯性指数；负惯性指数；f 为正定二次型；A 是正定矩阵；f 为负定二次型；A 是负定矩阵；二次型为正定的充要条件是它的正惯性指数为n ,对称矩阵 A 为正定的充分必要条件是：A 的特征值全为正；对称矩阵 A 为正定的充分必要条件是：A 的各阶(顺序)主子式都为正；对称矩阵 A 为负定的充分必要条件是：A 的奇数阶(顺序)
主子式为负，而偶数阶(顺序)主子式为正。
重点：正定二次型的定义及判定方法。
第六章 线性空间与线性变换（1---3节）
内容：线性空间的定义（八条）、性质；子空间；线性空间V 的非空子集L 构成子空间的充要条件是L 对于V 中的线性运算封闭。
线性空间的基与维数；元素在基下的坐标；线性空间的同构。
定义：设n ααα,,,21 及n βββ,,,21 是线性空间n V 中的两个基，若
⎪⎪⎩⎪⎪
⎨
⎧+++=+++=+++=n nn n n n
n
n n n p p p p p p p p p α
ααβαααβαααβ 22112222112212211111 或记
以上两式称为基变换公式，矩阵P 称为由基n ααα,,,21 到基n βββ,,,21 的过渡矩阵。
定理 设n V 中的元素α，在基n ααα,,,21 下的坐标为T n x x x ),,,(21 ，在基
n βββ,,,21 下的坐标为,),,,(21T n y y y 由基n ααα,,,21 到基n βββ,,,21 的过渡矩阵
为P ，则有坐标变换公式
⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛
n n y y y P x x x 2121 ()()() ,,, ,,,,,,2
1
2222111211212121⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛
==nn n n n n n n n p p p p p p p p p P
ααααααβββ。