第五章 相似矩阵及二次型

第五章：相似矩阵及二次型

本章要求：1. 理解矩阵特征值、特征向量及有关性质，熟练掌握求矩阵特征值和特征向量的方法。

2. 理解相似矩阵的概念和矩阵相似于对角矩阵的条件。

3. 掌握实对称矩阵化为对角阵的方法。

4. 理解二次型的定义，掌握二次型在实数域上化标准形、规范形的方法。

5. 理解正定矩阵与正定二次型、会判定二次型的定性。

§1 向量的内积、长度及正交性

内容：向量的内积；内积的性质；向量的长度（范数）；长度的性质；单位向量；施瓦茨不等式[][][]y y x x y x , ,,2

≤；n

维向量x 与y 的夹角[]

y

x y x ,arccos

=θ

；正交；正交

的向量组一定线性无关；规范正交基；基的规范正交化；施密特正交化过程；正交矩阵；方阵 A 为正交矩阵的充分必要条件是A 的列向量都是单位向量，且两两正交；方阵 A 为正交矩阵的充分必要条件是A 的行向量都是单位向量，且两两正交；正交矩阵A 的n 个列（行）向量构成向量空间 R n 的一个规范正交基；正交变换；正交变换不改变线段的长度。

重点：正交的向量组一定线性无关；施密特正交化法；基的规范正交化；正交阵判定的两种方法。

§2 方阵的特征值与特征向量

内容：矩阵的特征值与特征向量；A 的特征方程；A 的特征值就是特征方程的解；

A 的特征多项式

()λ

λλ

λ---=

nn n n n n a a a a a a a a a f

2

1

2222111211；

若λ是 A 的特征值，则 ()λϕ也是()A ϕ的特征值；特征值互不相等，则对应的特征向量线性无关。

重点：熟练掌握特征值和特征向量的求解方法；特征值的性质；特征值互不相等，则对应的特征向量线性无关。

§3 相 似 矩 阵

内容：相似矩阵；相似变换；相似变换矩阵；若 n 阶矩阵 A 与 B 相似，则 A 与 B 的特征多项式相同，从而 A 与 B 的特征值也相同；

设⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫

⎝

⎛=Λn λλλ

2

1

，则有 1）,2

1⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫

⎝

⎛=Λk

n

k

k

k λλλ

()()()

().21⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛=Λn λϕλϕλϕϕ

2）若n 阶矩阵A 与Λ相似，则n λλλ,,,21 即为A 的n 个特征值。

重点：矩阵可对角化的条件：n 阶矩阵 A 与对角矩阵相似（即 A 能对角化）的充分必要条件为A 有 n 个线性无关的特征向量；若 n 阶矩阵 A 的 n 个特征值互不相等，则A 与对角矩阵相似。

§4 实对称矩阵的对角化

内容：实对称矩阵的特征值和特征向量的性质：实对称矩阵的特征值为实数，对应的特征向量可以取实向量；对称矩阵的特征值若不相等，则对应的特征向量正交；实对称矩阵的对角化：对称矩阵一定能对角化。

重点：实对称阵 A 对角化的步骤：

1）求出A 的全部互不相等的特征根s λλλ,,,21 ，他们的重数依次为

).(,,,2121n k k k k k k s s =+++

2)对每个i k 重特征值i λ，求方程0)(=-x E A i λ的基础解系，得i k 个线性无关的

特征向量。再把它们正交化、单位化，得i k 个两两正交的单位特征向量。因

n k k k s =+++ 21，故总共可得n

个两两正交的单位特征向量。

3）把这n 个两两正交的单位特征向量构成正交阵P ，便有.1Λ=-AP P 注意Λ中对角元的排列次序应与P 中列向量的排列次序相对应。

§5 二次型及其标准形

内容：二次齐次多项式；二次型；实二次型；复二次型；二次型 f 的矩阵；对称矩阵 A 的二次型；二次型的秩；二次型的标准形；二次型的规范型；矩阵A 与B 合同；任给实二次型，总能经过正交变换化为标准形。

重点：熟练掌握用正交变换把实二次型化为标准形的方法步骤。

§6 用配方法化二次型成标准形

基本要求：会用配方法把二次型化为标准形。

§7 正定二次型

内容：惯性定理；正惯性指数；负惯性指数；f 为正定二次型；A 是正定矩阵；f 为负定二次型；A 是负定矩阵；二次型为正定的充要条件是它的正惯性指数为n ,对称矩阵 A 为正定的充分必要条件是：A 的特征值全为正；对称矩阵 A 为正定的充分必要条件是：A 的各阶(顺序)主子式都为正；对称矩阵 A 为负定的充分必要条件是：A 的奇数阶(顺序)

主子式为负，而偶数阶(顺序)主子式为正。

重点：正定二次型的定义及判定方法。

第六章 线性空间与线性变换（1---3节）

内容：线性空间的定义（八条）、性质；子空间；线性空间V 的非空子集L 构成子空间的充要条件是L 对于V 中的线性运算封闭。

线性空间的基与维数；元素在基下的坐标；线性空间的同构。 定义：设n ααα,,,21 及n βββ,,,21 是线性空间n V 中的两个基，若

⎪⎪⎩⎪⎪

⎨

⎧+++=+++=+++=n nn n n n

n

n n n p p p p p p p p p α

ααβαααβαααβ 22112222112212211111 或记

以上两式称为基变换公式，矩阵P 称为由基n ααα,,,21 到基n βββ,,,21 的过渡矩阵。

定理 设n V 中的元素α，在基n ααα,,,21 下的坐标为T n x x x ),,,(21 ，在基

n βββ,,,21 下的坐标为,),,,(21T n y y y 由基n ααα,,,21 到基n βββ,,,21 的过渡矩阵

为P ，则有坐标变换公式

⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛

n n y y y P x x x 2121 ()()() ,,, ,,,,,,2

1

2222111211212121⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫

⎝

⎛

==nn n n n n n n n p p p p p p p p p P

ααααααβββ