离散数学第十三章 覆盖集,独立集等
集合的划分与覆盖-集合与关系-离散数学
种不同的划分;
1
3
2 4
1
2 4
1
2 3
2 4
1
4 2
1
2 4
1
2 4
第8 页
3
4
3
3
3
4个=1个+1个+2个对应
C 6 种不同的划分;
二、最小划分与最大划分
最小划分：划分块最少的划分。即只有一个划分 块的划分，这个划分块就是X本身。 最大划分：划分块最多的划分。即每个划分块里 只有一个元素的划分。 例： A={1,2,3}， S1={{1,2,3}}，S2={{1},{2},{3}}，S3={{1,2},{3}}， S4={{1,2},{2,3}}, S5={{1},{3}} S1,S2,S3是一种划分，其中S1是最小划分，S2是最 大划分。
河南男生 河南女生 非河南男生 非河南女生
称C是X的交叉划分。
第10页
定义3-9.2：若A={A1, A2,... ,Am}与 B={B1,B2,...,Bn}都是集合X的划分，则其中所有 的AiBj，组成的集合C，称为C是A与B两种 划分的交叉划分。 即{ A1,A2,... ,Am}与{B1,B2,...,Bn}的交叉划分是 C={A1B1,A1B2,...,A1Bn, A2B1,A2B2,...,A2Bn ,..., AmB1,AmB2,...,AmBn}
故4个元素的集合总共有 种不同的划分。 1+1+4+3+6=15
第7 页
例、4个元素的集合共有多 少个划分?
1 1 3 2 4 1 3
4个=1个+3个对应
有限覆盖定理通俗理解-概述说明以及解释
有限覆盖定理通俗理解-概述说明以及解释1.引言1.1 概述有限覆盖定理是一种在离散数学和计算机科学领域中广泛运用的重要定理。
这个定理是关于集合的覆盖问题的，它提供了一种有效的方法来找到最小的集合子集，使得这些子集能够完全覆盖原始集合。
这种覆盖问题在实际应用中非常常见，比如在旅行销售员问题、传感器网络覆盖等领域中都有广泛的应用。
在实际生活中，我们经常会面临类似的覆盖问题，比如在进行商品配送时，希望用最少的车辆将商品送到指定的地址；或者在电信网络规划中，想要在一个区域内布置最少的信号塔来覆盖所有的用户。
这时，有限覆盖定理就能够帮助我们解决这些问题。
有限覆盖定理的应用非常广泛，涉及到众多领域。
在计算机科学领域，有限覆盖定理被广泛运用在算法设计、图论、优化问题等方面。
它的应用不仅仅局限在理论研究中，而且在实际应用中也发挥着重要的作用。
本文将对有限覆盖定理进行深入的讲解和探讨。
首先，我们将介绍有限覆盖定理的定义，包括其基本概念和相关术语。
然后，我们将讨论有限覆盖定理在实际问题中的应用，以及它的意义和优势。
最后，我们将总结有限覆盖定理的要点，并对其进行进一步的思考和未来应用的展望。
通过阅读本文，读者将能够对有限覆盖定理有一个全面的理解，并且能够应用它来解决实际问题。
希望本文能为读者提供有关有限覆盖定理的通俗理解，同时也能够激发读者对这一定理的兴趣和思考。
1.2文章结构1.2 文章结构本文将按照以下结构进行讲述有限覆盖定理的通俗理解：第一部分是引言，主要对整篇文章进行概述，介绍有限覆盖定理的背景和重要性等内容，帮助读者对本文的内容有个整体的把握。
第二部分是正文，将详细阐述有限覆盖定理的定义、应用和意义。
2.1节将对有限覆盖定理的定义进行解释和探讨，帮助读者理解有限覆盖定理的基本概念。
2.2节将介绍有限覆盖定理在实际应用中的具体例子，说明该定理在解决实际问题中的重要性和有效性。
2.3节将深入探讨有限覆盖定理的意义，包括其在数学领域中的应用前景以及对其他领域的启示和影响等内容。
图论及其应用(28)
18
拉姆齐数的计算很难，所以研究拉姆齐数的上下界是 该问题的主题。下面综述一些结果。 (1) Erdos教授在1935年提出如下结论： 定理1 对于任意两个正整数m和n, 且m, n≥2,有：
r (m, n) r (m, n 1) r (m 1, n)
并且，如果r (m, n-1)和r (m-1, n)都是偶数，则上面严 格不等式成立。
26
n r (m, n) c ln n
m 1 2
罗瓦斯由此获得1999年度的Wolf奖。这也是图论领域 的重大事件。 1980年，Komlos等得到： 定理7 r (m, n) (5000) m
n m 1
ln n
m2
24
后来，Bollbas教授作了改进： 定理7 r (m, n) c(20) m
15
求(m, n)拉姆齐数是一个非常困难的问题，以至于到目 前为止，求出来的拉姆齐数还屈指可数。 Erdos教授曾经开玩笑：外星人对地球人说：我们要毁 灭你们，除非你们算出了r (5, 5)。地球人讨论后决定， 还是和外星人决以死战算了。 如果用定义直接求r(m, n),一般是先恰当找出一个k阶图 G1,说明它既不含Km，也不含n点独立集，得到r (m, n)>k;然 后再找到一个k+1阶图G2,说明它或者包含Km或者含有n点独 立集，得到r(m, n)≦k+1.
因为，阶数为k，边数为n-k的森林包含k个连通分支。 而F的边数为n - (n- β‵(G)) ，所以F有n- β‵(G)个分支。
8
从F的每个分支中选取一条边，可作成G的一个匹配， 所以α‵(G) ≥ n- β‵(G)。 由上面两个不等式，得到： α‵(G)+ β‵(G)= n。 例1 确定下图G的 α(G)， β(G)， α‵(G) ， β‵(G)。
离散数学覆盖关系
在离散数学中，覆盖关系是一种二元关系，用于描述集合之间的包含关系。
具体而言，给定两个集合A和B，如果每个元素在A中至少与B中的一个元素有关联，那么称B覆盖A，表示为A⊆B。
覆盖关系可以用于研究集合的包含和相互关系。
覆盖关系具有以下性质：
自反性：每个集合都覆盖自身，即A⊆A。
反对称性：如果A覆盖B，且B覆盖A，则A和B是相同的集合，即A=B。
传递性：如果A覆盖B，B覆盖C，则A覆盖C。
在离散数学中，覆盖关系还经常用于讨论集合的最小覆盖和最大覆盖。
最小覆盖是指覆盖关系中包含最少元素的覆盖集合，而最大覆盖则是指包含最多元素的覆盖集合。
覆盖关系在实际应用中有广泛的应用，例如在图论中，覆盖关系可以用来描述图的顶点覆盖和边覆盖问题。
此外，在计算机科学中，覆盖问题也经常出现，如集合覆盖问题、任务调度问题等。
离散数学中的覆盖关系是一种用于描述集合之间包含关系的二元关系，它涉及集合的包含、相等、最小覆盖和最大覆盖等概念，并在各个领域中有广泛的应用。
离散数学sec13 匹配
Hall定理
定理13.11 （Hall定理）设二部图G=<V1,V2,E>中， |V1||V2|. G中存在从V1到V2的完备匹配当且仅当V1中任 意k(k=1,2,…,|V1|)个顶点至少与V2中的k个顶点相邻. 本定理中的条件常称为“相异性条件”. 由Hall定理立刻可 知，上图中(2)为什么没有完备匹配. m个男孩的结婚问题有解 iff 对每个正整数k(1≤k≤m), 任意k个男孩所认识的女孩的总数至少是k个。
证明线索：必要性. 若含可增广交错路径，可生成比M更 大的匹配. 充匹可论分配增为性，广真只 交.. 设 否要 错M则证 路和H明 径M.1|M设分，|=H别此|M=为时1G|不，即[M含H可1中可. M的由增]交必，广错要若路圈性H径=(知的若，匹，存M配M在1=和也)M，最不1其，大含上结 M数与也M相1等的边 （数 因相 为等M与，M且1所均有无交可错增路广径路上径，）M. 与M1中的边
证明见教材.
15
最大匹配与最小边覆盖之间关系(续)
(1)
(2)
图中，红边为匹配M中的边. (1)中匹配是最大匹配. (2)中红 边与绿边组成最小边覆盖W. 反之，由(2)的最小边覆盖W产生(1)中的最大匹配M.
推论 设G是n阶无孤立顶点的图. M为G中的匹配， W是G中的边覆盖，则 |M| |W|，等号成立时，M为 G中完美匹配，W为G中最小边覆盖.
4
点独立集与点独立数
(1)
(2)
在图中，点独立数依次为2, 2
Hale Waihona Puke 5极大独立集与极小支配集
定理13.2 设G=<V,E>中无孤立点，则G的极大顶点 独立集都是极小支配集. 证明线索： (1) 设V*为G的极大顶点独立集，证明它也是支配集.
2010-7-22离散数学模型分析覆盖问题 清晰版
离散数学模型分析——覆盖问题ylyang@youlongy@Email 2010年7月22日时间杨有龙教授报告人2008年国家一等奖西安电子科技大学理学院数学系杨有龙2009年国家二等奖西安电子科技大学理学院数学系杨有龙2009年国家二等奖西安电子科技大学理学院数学系杨有龙2008年陕西省一等奖西安电子科技大学理学院数学系杨有龙2008年陕西省一等奖西安电子科技大学理学院数学系杨有龙2009年陕西省一等奖西安电子科技大学理学院数学系杨有龙2009年陕西省一等奖西安电子科技大学理学院数学系杨有龙2009年国际数模ICM 一等奖西安电子科技大学理学院数学系杨有龙2009年国际数模ICM 二等奖西安电子科技大学理学院数学系杨有龙西安电子科技大学理学院数学系杨有龙近年赛事成绩33(1)2010年321717(2)5(2)13(1)42009年220812(2)33(1)532008年国家三等奖国家二等奖国家一等奖陕西省二等奖陕西省一等奖国家二等奖国家一等奖国际二等奖国际一等奖奖项全国研究生数学建模竞赛全国大学生数学建模竞赛国际大学生数学建模竞赛赛事内容提要背景问题覆盖问题覆盖问题的求解西安电子科技大学理学院数学系杨有龙内容提要背景问题覆盖问题覆盖问题的求解西安电子科技大学理学院数学系杨有龙问题1某城市的城建部门计划在每条街的拐角处或另一个尽头装一个消防水龙头，需要水龙头的个数是多少？请建立模型并给出解决的方案。
西安电子科技大学理学院数学系杨有龙问题2根据菜单和对应的营养表，怎么点菜使得营养全、费用少？西安电子科技大学理学院数学系杨有龙问题2A西班牙煎蛋B炒鸡丁C色拉D牛排E土豆F 洋葱炒肝菜单101516261224欢迎用餐西安电子科技大学理学院数学系杨有龙西安电子科技大学理学院数学系杨有龙1001F 0110E 0001D 1100C 0011B 1101A 矿物质维生素碳水化合物蛋白质营养成分列表内容提要背景问题覆盖问题覆盖问题的求解西安电子科技大学理学院数学系杨有龙2 /30西安电子科技大学理学院数学系杨有龙背景知识——图的表示一个图是由“顶点”集合和“边”集合所构成，边被看成图的不同顶点的无序对.v 5v 1v 4v 2v 3e 2e 7e 3e 4e 6e 5e 1(,)G V E =(,)v w E ∈V E西安电子科技大学理学院数学系杨有龙12345{,,,,}V v v v v v =五个顶点1234567{,,,,,,}E e e e e e e e =七条边西安电子科技大学理学院数学系杨有龙V 1 V 2V 3V 4 V 501001*0110**011***01****0⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠V 1V 2V 3V 4V 5图的表示矩阵用一个上三角形矩阵表示图的顶点之间是否有边相连，若有边则矩阵元素为1，否则为0，此矩阵称为图的表示矩阵。
离散数学 匹配与点独立集
2012-2-3 离散数学 21
让我们去克服新的困难
• • • • • • • • • • 归纳基础 已经建立， 归纳证明也清晰可见。 啊！四分之三的路走完了， 成功的喜悦涌动在我们的心田。 可是第⑷点：能否使得ui和vi配对？ 却又拦在了我们的前面。 这个问题似乎有点麻烦？ 同学们，不要畏惧艰险。 展开那年青活跃的思维翅膀， 勇敢地翱翔在科学技术的辽阔蓝天！
都是杆(即两端点不重合)、且任意两条边均不 邻接(即无公共端点)，则称M为G的一个匹配。
v1 • G的边数最多的匹配称最大匹配。 G v2 v3 • 右图中用粗线表示的边的集合 v6 就是一个匹配，且是最大匹配。 v4 v5 • 最大匹配所含的边数称为最大 v7 v8 匹配数，记为α’(G)。 • 显然对一个图G(p，q)， α’(G) ≤p/2。 • 易知一个图G的匹配可能不唯一。
2012-2-3 离散数学 18
存在S使得O(G–S)=|S|
• 我们先证明⑶： ∃S ：S只含有v1, … ,vn。 • 引理9.1.2：若图G满足条件(9.4)，则∃S⊂V(G)， 使得O(G–S)=|S|。 • 证明：若图G满足条件(9.4)，则图G具有偶数个 G (9.4) G 顶点。任取v∈V(G)，令S={v}，则G–S是奇数 顶点。从而有O(G–S) ≥ 1 = |S|，而由条件(9.4) O(G–S) ≤ | S |可知，O(G–S) = | S |。
2012-2-3 离散数学 16
再考虑完美匹配的必要条件
• G具有完美匹配的必要条件(9.4)是：∀S⊂V(G)， 有O(G–S) ≤| S |。 它会不会也是充分条件呢？ • 再次考虑上图。 若∃S⊂V (G) ，使G–S有： 奇分支 偶分支 • ⑴每个偶分支有完美匹配； • ⑵每个Gi–{vi} G }有完美匹配。 G1 … Gn … v1 vn • ⑶S只含有u1, … ,un； • ⑷能够使得ui和vi配对。 u1… un ·…· S • 则G就具有了完美匹配。 • 条件(9.4)若能保证以上4点，也就是充分条件。
离散数学课件第十三章格与布尔代数-PPT
定理13、5(2)得证明
(2)若就是双射,则就是格同构映射当且仅当x,y∈L1,有 x≤y (x)≤(y)
必要性。由(1)得结论必有 x≤y (x)≤(y)
反之,若(x)≤(y),由于就是同构映射,则 (x∨y)＝(x)∨(y)＝(y)
又由于就是双射,必有x∨y＝y。 从而证明了 x≤y。
例13、7
格得实例
例13、1 设n就是正整数,Sn就是n得正因子得集合。D为整除关 系,则偏序集<Sn,D>构成格。x,y∈Sn, x∨y就是lcm(x,y),即x与y得最小公倍数。 x∧y就是gcd(x,y),即x与y得最大公约数。 下图给出了格<S8,D>,<S6,D>和<S30,D>。
例13、2
例13、2 判断下列偏序集就是否构成格,并说明理由。 (1) <P(B),>,其中P(B)就是集合B得幂集。 (2) <Z,≤>,其中Z就是整数集,≤为小于或等于关系。 (3) 偏序集得哈斯图分别在下图给出。
格得性质
定理11、4 设L就是格,a,b,c,d∈L,若a≤b且c≤d,则 a∧c≤b∧d, a∨c≤b∨d
证明 a∧c≤a≤b a∧c≤c≤d
因此, a∧c≤b∧d。 同理可证 a∨c≤b∨d。
例13、4
例13、4 设L就是格,证明 a,b,c∈L 有 a∨(b∧c)≤(a∨b)∧(a∨c)
证明 由 a≤a,b∧c≤b 得 a∨(b∧c)≤a∨b
定理13、2
a,b,c∈S 有 aRb且bRc ab＝b 且 bc＝c ac＝a(bc) ac＝(ab)c ac＝bc＝c aRc 这就证明了R在S上就是传递得。 综上所述,R为S上得偏序。 以下把R记作≤。
大学_《离散数学》课后习题答案
《离散数学》课后习题答案《离散数学》简介1、集合论部分：集合及其运算、二元关系与函数、自然数及自然数集、集合的基数2、图论部分：图的基本概念、欧拉图与哈密顿图、树、图的矩阵表示、平面图、图着色、支配集、覆盖集、独立集与匹配、带权图及其应用3、代数结构部分：代数系统的基本概念、半群与独异点、群、环与域、格与布尔代数4、组合数学部分：组合存在性定理、基本的计数公式、组合计数方法、组合计数定理5、数理逻辑部分：命题逻辑、一阶谓词演算、消解原理离散数学被分成三门课程进行教学，即集合论与图论、代数结构与组合数学、数理逻辑。
教学方式以课堂讲授为主，课后有书面作业、通过学校网络教学平台发布课件并进行师生交流。
《离散数学》学科内容随着信息时代的到来，工业革命时代以微积分为代表的连续数学占主流的地位已经发生了变化，离散数学的重要性逐渐被人们认识。
离散数学课程所传授的思想和方法，广泛地体现在计算机科学技术及相关专业的诸领域，从科学计算到信息处理，从理论计算机科学到计算机应用技术，从计算机软件到计算机硬件，从人工智能到认知系统，无不与离散数学密切相关。
由于数字电子计算机是一个离散结构，它只能处理离散的或离散化了的数量关系，因此，无论计算机科学本身，还是与计算机科学及其应用密切相关的现代科学研究领域，都面临着如何对离散结构建立相应的数学模型;又如何将已用连续数量关系建立起来的数学模型离散化，从而可由计算机加以处理。
离散数学是传统的逻辑学，集合论(包括函数)，数论基础，算法设计，组合分析，离散概率，关系理论，图论与树，抽象代数(包括代数系统，群、环、域等)，布尔代数，计算模型(语言与自动机)等汇集起来的一门综合学科。
离散数学的应用遍及现代科学技术的诸多领域。
离散数学也可以说是计算机科学的基础核心学科，在离散数学中的有一个著名的典型例子-四色定理又称四色猜想，这是世界近代三大数学难题之一，它是在1852年，由英国的一名绘图员弗南西斯格思里提出的，他在进行地图着色时，发现了一个现象，“每幅地图都可以仅用四种颜色着色，并且共同边界的国家都可以被着上不同的颜色”。
根据离散数学知识点总结
根据离散数学知识点总结离散数学是数学的一个分支，主要研究离散的结构和对象。
它在计算机科学、信息科学和电子工程等领域中扮演着重要的角色。
本文将根据离散数学的知识点进行总结。
一、集合论集合论是离散数学的基础，主要研究集合之间的关系和运算。
其中常用的概念有：- 并集：将两个或多个集合中的元素合并在一起，形成一个包含所有元素的新集合。
- 交集：取两个或多个集合中共有的元素，形成一个新集合。
- 补集：对于给定集合S，补集是指包含所有不属于S的元素的集合。
- 子集：如果一个集合的所有元素都属于另一个集合，那么这个集合是另一个集合的子集。
- 幂集：对于给定集合S，幂集是指包含S的所有子集的集合。
二、逻辑逻辑是研究推理和证明方法的学科。
在离散数学中，逻辑起到了重要的作用。
常见的逻辑概念包括：- 命题逻辑：研究命题之间的关系和运算，例如“与”、“或”、“非”等。
- 谓词逻辑：研究命题中的变量和量词，能够表达更复杂的命题关系。
- 推理规则：用于从已知命题推导出新命题的规则，例如包括假言推理、析取规则等。
三、图论图论是研究图及其性质的学科。
在离散数学中，图论常常用于描述和分析各种关系和网络。
图论的基本概念包括：- 图：由节点和边构成的结构，用于描述事物之间的联系和关系。
- 顶点和边：图中的基本元素，顶点表示节点，边表示节点之间的关系。
- 路径和环：路径是指经过一系列节点和边连接起来的序列，环是指起点和终点相同的路径。
- 连通性：描述图中节点之间连接的特性，如连通图、强连通图等。
四、组合数学组合数学是研究离散结构的组合和排列的学科。
它在离散数学中有广泛的应用。
常见的组合数学概念包括：- 排列：将一组对象按照一定的顺序排列。
- 组合：从一组对象中选择若干对象，不考虑顺序。
- 布尔代数：用于描述逻辑运算和布尔函数的代数系统。
- 生成函数：用多项式表示数列，方便研究其性质和计算。
以上是根据离散数学的知识点进行的简要总结。
离散数学在计算机科学和信息科学中有重要的应用，对于学习和理解这些知识点能够提升对离散结构的认识和应用能力。
离散数学教学大纲精选全文
精选全文完整版可编辑修改离散数学教学大纲一、教学目标本课程的教学目标是：1．学习和掌握离散型关系结构的构成及分析方法，包括：集合论的主要内容：集合的基本概念、二元关系、函数、自然数和基数等；图论的主要内容：图的基本概念、欧拉图与哈密尔顿图、树、图的矩阵表示、平面图、图的着色、支配集、覆盖集、独立集与匹配、带权图及其应用等；2. 学习和掌握离散型代数结构的构成、性质和分析方法，熟悉半群、群、环、域、格、布尔代数等有着重要应用背景的代数模型；3. 学习和掌握组合配置的存在性证明和计数方法，并用于离散结构的性质分析。
4. 学习和掌握命题逻辑、一阶谓词逻辑的基本概念和推理方法。
5. 能够理论联系实际，用上述离散数学的描述工具和分析方法对实践中的离散系统进行建模和分析。
6. 通过严谨证明及正确逻辑推理的训练，进一步培养学生的抽象思维、计算思维能力和专业素质。
二、教学内容1．集合（教材第一章）●引言●预备知识（命题逻辑）●预备知识（一阶谓词逻辑）●集合的概念和集合之间的关系●集合的运算●基本的集合恒等式2．二元关系（教材第二章）●有序对与卡氏积●二元关系●关系的表示和关系的性质●关系的幂运算和闭包●等价关系和划分●序关系3．函数（教材第三章）●函数的基本概念、性质、合成、反函数4．自然数（教材第四章）●自然数的定义●自然数的性质5．基数（教材第五章）●集合的等势、有穷集合与无穷集合●基数和基数的比较与运算6．图（教材第七章）●图的基本概念●通路与回路●无向图和有向图的连通性●无向图的连通度7．欧拉图与哈密顿图（教材第八章）●欧拉图●哈密顿图8．树（教材第九章）●树9．图的矩阵表示（教材第十章）●图的矩阵表示10．平面图（教材第十一章）●平面图的基本概念●欧拉公式与平面图的判断●平面图的对偶图与外平面图●平面图与哈密顿图11．图的着色（教材第十二章）●点着色和色多项式●平面图着色和边着色12．支配集、覆盖集、独立集与匹配（教材第十三章）●支配集、点覆盖集、点独立集●边覆盖数与匹配●二部图中的匹配13．带权图及其应用（教材第十四章）●中国邮递员问题和货郎问题14. 代数系统（教材第十五章）●二元运算及其性质●代数系统、子代数和积代数●代数系统的同态与同构●同余关系与商代数15. 半群与独异点（教材第十六章）●半群与独异点16 . 群（教材第十七章）●群的定义和性质、子群●循环群、变换群与置换群●群的分解、正规子群与商群、群的同态与同构17. 环与域（教材第十八章）●环与域18. 格与布尔代数（教材第十九章）●格的定义和性质、子格、格同态与直积●模格、分配格、有补格与布尔代数19. 组合存在性定理（教材第二十章）●鸽巢原理和Ramsey定理20. 基本的计数公式（教材第二十一章）●两个计数原则、排列组合●二项式定理与组合恒等式●多项式定理21. 组合计数方法（教材第二十二章）●递推方程的公式解法●递推方程的其他求解方法●生成函数的定义和性质●生成函数、指数生成函数及应用●Catalan数与Stirling数22. 组合计数定理（教材第二十三章）●包含排斥原理与对称筛公式●Burnside引理与Polya定理23. 命题逻辑（教材第二十六章）●引言●命题和联结词●命题形式和真值表●联结词的完全集●推理形式●命题演算自然推理形式系统N●命题演算形式系统P●N与P的等价性●赋值与等值演算●命题范式●可靠性、和谐性与完备性24. 一阶谓词逻辑（教材第二十七章）●一阶谓词演算的符号化●一阶语言●一阶谓词演算形式系统NL●一阶谓词演算形式系统KL●NL与KL的等价性●KL的解释与赋值●KL的可靠性与和谐性●KL的和谐公式集三、教学方式以课堂讲授为主，辅以作业和练习，并配备助教对作业进行批改。
离散数学 3-9 集合的划分和覆盖3-10 等价关系与等价类
离 散 数 学
Discrete Mathematics
山东科技大学 信息科学与工程学院
二、关系的性质与闭包的关系
1、定理3-8.1：设R是X上的二元关系，则 (1)R是自反的，当且仅当r(R)=R (2)R是对称的，当且仅当s(R)=R (3)R是传递的，当且仅当t(R)=R
证明 只证明①
①必要性: 令R为自反. 由于RR, 并取右方R为S,
以及任何包含R的自反关系 T, 有S T, 可见R满足
加细
定义3-9.3：给定X的任意两个划分{A1，A2，· ，Ar}与{B1， · · ，Bs}，若对每一个Aj均有Bk使AjBk，则{A1，A2，· ， B2，· · · · · ，Bs}的加细。 Ar}称为{B1，B2，· · · 定理3-9.2：任何两种划分的交叉划分，都是原来各划分的 一种加细。 证明：设{A1，A2，· ，Ar}与{B1，B2，· ，Bs}的交叉划分 · · · · 为T，对T中任意元素AiBj必有AiBjAi，AiBjBj，故T必 是原划分的加细。
8、定理3-8.6：若RAA，则
①rs(R)=sr(R)
②rt(R)=tr(R)
③st(R)ts(R)
作业
• P127: (1),(2),(7):a,c
3-9 集合的划分和覆盖
在集合的研究中，除了常常把两个集合 相互比较之外，有时也要把一个集合分成若 干子集加以讨论。
一、集合的划分和覆盖
例题1：设集合T={1，2，3，4}，R={<1，1>， <1，4>，<4，1>，<4，4>，<2，2>，<2，3>， <3，2>，<3，3>}。验证R是T上的等价关系。 解：画出R的关系图
离散数学知识点
离散数学知识点摘要：离散数学是计算机科学和数学的一个分支，它专注于非连续结构的研究。
本文旨在概述离散数学的核心知识点，包括集合论、逻辑、关系、函数、图论、组合数学和递归等。
1. 集合论- 集合的基本概念：集合是离散数学的基础，它是一组明确的、无重复的对象的集合。
- 集合运算：包括并集、交集、差集、补集等。
- 幂集：一个集合所有子集的集合。
- 笛卡尔积：两个集合所有可能的有序对的集合。
2. 逻辑- 命题逻辑：研究命题（声明的真值）和它们之间的关系，如合取、析取、否定等。
- 谓词逻辑：使用量词（如全称量词和存在量词）来表达更复杂的逻辑关系。
- 逻辑推理：包括直接证明、间接证明和归谬法等。
3. 关系- 关系的定义：一个集合到另一个集合的有序对的集合。
- 关系的类型：自反性、对称性和传递性等。
- 关系的闭包：在给定关系下，集合的最小闭包。
4. 函数- 函数的定义：一个集合到另一个集合的映射，每个元素有唯一的像。
- 函数的类型：单射、满射和双射。
- 复合函数：两个函数可以组合成一个新的函数。
5. 图论- 图的基本概念：由顶点（节点）和边组成的结构。
- 图的类型：无向图、有向图、连通图、树等。
- 图的算法：如最短路径、最小生成树、图的着色等。
6. 组合数学- 排列和组合：从n个不同元素中取出r个元素的不同排列和组合的数量。
- 二项式定理：描述了二项式的幂展开的系数。
- 生成函数：一种编码序列的方法，用于解决复杂的计数问题。
7. 递归- 递归定义：一个对象通过引用比自己更小的版本来定义。
- 递归函数：在计算机程序中，一个函数调用自身来解决问题。
结论：离散数学为理解和设计计算机系统提供了基础工具和理论。
它的知识点广泛应用于算法设计、数据结构、编程语言理论和数据库等领域。
掌握离散数学对于任何希望在计算机科学领域取得进展的人来说都是至关重要的。
本文提供了一个简洁的离散数学知识点概述，每个部分都直接针对一个主题，避免了不必要的背景信息和解释。
离散数学知识点整理
离散数学知识点整理离散数学是现代数学的一个重要分支，它在计算机科学、信息科学、电子工程等领域都有着广泛的应用。
下面我们来对离散数学的一些重要知识点进行整理。
一、集合论集合是离散数学的基础概念之一。
集合是由一些确定的、不同的对象组成的整体。
集合的表示方法有列举法和描述法。
集合的运算包括并集、交集、差集和补集。
并集是指将两个集合中的所有元素合并在一起组成的新集合。
交集则是指两个集合中共同拥有的元素组成的集合。
差集是从一个集合中去掉另一个集合中的元素得到的集合。
补集是在给定的全集范围内，某个集合之外的元素组成的集合。
集合之间的关系也非常重要，比如包含关系、相等关系等。
子集是指一个集合中的所有元素都属于另一个集合。
如果两个集合相互包含，那么它们就是相等的。
二、关系关系是集合中元素之间的某种联系。
关系可以用矩阵和图形来表示。
关系的性质包括自反性、反自反性、对称性、反对称性和传递性。
自反性是指集合中的每个元素都与自身有关系；反自反性则是集合中的每个元素都与自身没有关系。
对称性是指如果一个元素与另一个元素有关系，那么反过来另一个元素也与这个元素有关系；反对称性则是如果一个元素与另一个元素有关系，且另一个元素也与这个元素有关系，那么这两个元素必须相等。
传递性是指如果一个元素与另一个元素有关系，另一个元素与第三个元素有关系，那么第一个元素与第三个元素也有关系。
关系的合成是将两个关系结合起来得到一个新的关系。
三、函数函数是一种特殊的关系，它对于定义域中的每个元素，都有唯一的对应值在值域中。
函数的类型有单射、满射和双射。
单射是指定义域中的不同元素对应值域中的不同元素；满射是指值域中的每个元素都有定义域中的元素与之对应；双射则是既是单射又是满射。
四、代数系统代数系统由集合、运算和运算所满足的公理组成。
常见的代数系统有群、环、域等。
群是一种具有封闭性、结合律、单位元和逆元的代数系统。
环是在群的基础上增加了两个运算，并且满足一定的运算规则。
离散数学(第2版)
成书过程
修订过程
出版工作
《离散数学（第2版）》由屈婉玲、耿素云、张立昂担任主编。具体编写分工如下：第1章~第5章、第14章~ 第18由耿素云完成，第6章~第13章由屈婉玲完成，第19章由张立昂完成 。
离散数学（第2版）
高等教育出版社出版的图书
01 成书过程
03 教材目录 05 教材特色
目录
02 内容简介 04 教学资源 06 作者简介
《离散数学（第2版）》是由屈婉玲、耿素云、张立昂主编，2015年由高等教育出版社出版的普通高等教育 “十一五”国家级规划教材。该教材可作为普通高等学校计算机科学与技术、软件工程、信息与计算科学等专业 本科生离散数学课程教材，也可以供其他专业学生和科技人员参考。
2015年3月24日，该教材由高等教育出版社出版 。
内容简介
《离散数学（第2版）》分为6大部分共19个章节的内容。此外，在每一章节下还设有习题。 第1部分数理逻辑：主要包括命题逻辑的基本概念、命题逻辑等值演算、命题逻辑的推理理论、一阶逻辑基本 概念、一阶逻辑等值演算与推理。 第2部分集合论：主要包括集合代数、二元关系、函数。 第3部分代数结构：主要包括代数系统、群与环、格与布尔代数。 第4部分组合数学：主要包括基本的组合计数公式、递推方程与生成函数 第5部分图论：主要包括图的基本概念，欧拉图与哈密顿图，树，平面图，支配集、覆盖集、独立集、匹配与 着色。 第6部分初等数论：主要包括初等数论 。
作者简介
屈婉玲：女，博士生导师，北京大学信息科学技术学院、软件与微电子学院教授，主要从事算法设计与分析、 软件形式化方法方面的研究。获得2004年度北京市优秀教师奖 。
离散数学 匹配与点独立集
M’Mຫໍສະໝຸດ 12求最大匹配的方法v1 v2 • 定理9.1.1实际上给出了一种求 v3 最大匹配的方法： v4 v5 v6 • ①任取G的一个匹配M； v7 v8 • ②在G中找一条M–可增广路µ； M={v1v4， v5v8} 令M’为µ上的所有边的集合； µ= v2v1v4v3 • ③M:=M ⊕ M’; M={v1v2, v3v4, v5v8} • ④重复第②步和第③步，直到 µ= v6v5v8v7 在G中找不到M–可增广路。 M={v1v2, v3v4, v5v6, 7v8}
2012-2-3 离散数学 20
奇分支减一点满足条件(9.4)
• 引理9.1.4：设图G满足条件(9.4)且使O(G–S)=|S| 的S中顶点数最多的为S0， 则 G–S0 的每个奇分 因为，一方面有 支减去其任意一个顶点后满足条件(9.4)。 O(G–(S0∪{v}∪S))=O(G–S0)–1+O(Gi–v–S) • 证明：设G|1– …, GS是G–S0|的所有奇分支。 ≥| S0 , 1 + | m | + 2 = S0 | + 1 + | S | •(∵v∈Gi,G-S0有m个奇分支， Gi是其中之一，但 假设∃Gi和∃v∈V(Gi)，使得Gi–v不满足条 Gi-v已不是奇分支，故G-S0的奇分支数要少1。) 件(9.4)，则∃S∈V(Gi –v)，使得O(Gi–v–S)＞|S|。 这里，已有O(G–S0 O(G |和O(Gi–v–S)≥| S |+2。 • ∵V(Gi–v)是偶数 ∴)=| S0i–vi–S)与|S|同奇偶性。 ？ 而另一方面由G满足条件(9.4)又有 则O(Gi–vi–S) ≥ |S| + 2。于是 O(G–(S0∪{v}∪S)) ≤| S=∪{v}∪S| • O(G–(S0∪{v}∪S)) 0 |S0∪{v}∪S| = | S0 | + 1 + | S | •所以有O(G–(S ∪{v}∪S)) = |S ∪{v}∪S|。 这与S0的最大性矛盾，所以Gi–v满足(9.4)。
支配集、覆盖集、独立集与匹配
二分图
• 二分图又称作二部图，是图 论中的一种特殊模型。 设 G=(V,E)是一个无向图，如果 顶点V可分割为两个互不相 交的子集(A,B)，并且图中的 每条边（i，j）所关联的两 个顶点i和j分别属于这两个 不同的顶点集(i in A,j in B)， 则称图G为一个二分图。
• 增广路的定义
二、边独立集（匹配） 1.边独立集，边独立数
1）边独立集（匹配）：设无向图为G<V , E>，E*为E的一个 子集，若E*中的任何两条边均不相邻（即没有公共点），则 称E*为G的边独立集，也可称为匹配 2）极大匹配：若在E*中加入任意一条边所得到的集合都不 匹配，则称E*为极大匹配 3）最大匹配：边数最多的匹配称为最大匹配 4）边独立数：最大匹配的边数称为边独立数或匹配数 5）盖点与未盖点：设无向图为G<V, E> 给定它的一个匹配M， 设v是G中的一个顶点，若v不与任意一条属于匹配M的边相关 联，则称v是匹配的未盖点，反之则称为盖点 6）对于一个图G与给定的一个匹配M，若G中不存在M的未 盖点，则称匹配M为图G的完美匹配
若P是图G中一条连通两个未匹配顶点的路 径，并且属M的边和不属M的边(即已匹配和 待匹配的边)在P上交替出现，则称P为相对于 M的一条增广路径。
观察图示得增广路径性质
① 有奇数条边。 ② 路径上的点一定是一个在左半边，一个在右半边，交替出现。 （其实二分图的性质就决定了这一点，因为二分图同一边的点 之间没有边相连，不要忘记。） ③ 整条路径上没有重复的点。 ④ 起点和终点不属于匹配，而其它所有点属于匹配。（6,2,5,2在 图1中是两对已经配好对的点；而起点3和终点4目前还没有与其 它点配对。） ⑤ 增广路径是交错路径。既路径上的所有第奇数条边都不在原匹 配中，所有第偶数条边都出现在原匹配中。（原有的匹配是(1,5) 和(2,6)，这两条配匹都没有出现在图1给出的 匹配中。）
离散数学公式大全总结
离散数学公式大全总结离散数学是数学中的一个分支，涵盖了许多概念和公式。
以下是一些离散数学中常见的公式和概念的总结：1. 集合理论：集合并：$A \cup B = {x | x \in A \text{或} x \in B}$集合交：$A \cap B = {x | x \in A \text{且} x \in B}$集合补：$A' = {x | x \notin A}$集合差：$A - B = {x | x \in A \text{且} x \notin B}$幂集：如果$A$有$n$个元素，$P(A)$有$2^n$个子集。
容斥原理：$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$2. 排列和组合：排列数：$P(n, k) = \frac{n!}{(n - k)!}$组合数：$C(n, k) = \frac{n!}{k!(n - k)!}$二项定理：$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n}C(n, k)a^{n-k}b^k$3. 图论：手握定理：$2 \cdot \text{边数} = \sum \text{度数}$欧拉图：一个连通图是欧拉图，当且仅当每个顶点的度数都是偶数。
哈密顿图：包含图中每个顶点的圈。
图着色：给定图中的顶点，用尽量少的颜色对它们进行着色，使得相邻的顶点颜色不相同。
图的最短路径：Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法用于找到图中的最短路径。
4. 布尔代数：布尔变量：$0$表示假，$1$表示真。
逻辑与：$A \land B$逻辑或：$A \lor B$逻辑非：$\lnot A$逻辑与门：$AND$逻辑或门：$OR$逻辑非门：$NOT$布尔恒等定律：$A \land 1 = A$，$A \lor 0 = A$德·摩根定律：$\lnot (A \land B) = \lnot A \lor \lnot B$，$\lnot (A \lor B) = \lnot A \land \lnot B$5. 树和图：树的顶点数与边数关系：$V = E + 1$二叉树的性质：最多有$2^k$个叶子节点，高度为$h$的二叉树最多有$2^{h+1} - 1$个节点。
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