极化恒等式(学生版)

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平面向量中的极化恒等式及有关最值(范围)问题(1)

2(a·b－a·c－b·c＋1)＝48＋2(a＋b)·c＝48＋2|a＋b|cos θ(其中θ为 a＋b
与 c 的夹角)，因为|a－b|＝|a＋b|，所以|a－b|2＝48＋2|a－b|cos θ，则由
cos θ∈[－1，1]，得 48－2|a－b|≤|a－b|2≤48＋2|a－b|，解得 6≤|a－
1x 2
2－1x2＝1.
4
4
(2)如图，由已知|OF|＝1，取 FO 中点 E，连接 PE，由极化恒等式得
O→P·F→P＝|PE|2－1|OF|2＝|PE|2－1，
4
4
∵|PE|2max＝245，∴O→P·F→P的最大值为 6.
答案 (1)1 (2)C
题型二平面向量中的最值(范围)问题
类型 1 利用函数型
则A→P·B→P的取值范围是________；若向量A→C＝λD→E＋μA→P，则λ＋μ的最
小值为________.
解析 (1)由题意，不妨设 b＝(2，0)，a＝(cos θ，sin θ)(θ∈[0，2π))，
则 a＋b＝(2＋cos θ，sin θ)，a－b＝(cos θ－2，sin θ).
令 y＝|a＋b|＋|a－b|
＝（2＋cos θ）2＋sin2θ＋（cos θ－2）2＋sin2θ
＝ 5＋4cos θ＋ 5－4cos θ，
则 y2＝10＋2 25－16cos2θ∈[16，20].
由此可得(|a＋b|＋|a－b|)max＝ 20＝2 5，
(|a＋b|＋|a－b|)min＝ 16＝4，
即|a＋b|＋|a－b|的最小值是 4，最大值是 2 5.
4a2
4a2
θ）2＝1，化简得
b2(1－cos2θ)＝

极化恒等式课件-2025届高三数学一轮复习

极化恒等式
磨尖点一求向量数量积的定值
磨尖点二求向量数量积的最值（范围）
磨尖点三求参数及其他问题
磨尖课04 极化恒等式
1
4
1. 极化恒等式： ⋅ = [ +
2
2
− − 2 ].
（1）公式推导：
+
2
+ ሻ2 −
=
2
+ 2 ⋅ +
2 ,
−
2
=
2
− 2 ⋅
（3）记忆规律：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边边长的一半的平方差.
磨尖课04 极化恒等式
4
磨尖点一求向量数量积的定值
磨尖课04 极化恒等式
6
典例1 （2023 ·全国乙卷）正方形的边长是2，是的中点，则 ⋅ =
( B ) .
A. 5
B.3
C.2 5
解析设的中点为，由极化恒等式可得 ⋅ =
为△ 所在平面内的动点，且 = 1，则 ⋅ 的取值范围是( D ) .
A.[−5,3]
B.[−3,5]
C.[−6,4]
D.[−4,6]
磨尖课04 极化恒等式
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解析（法一）依题意建立如图所示的平面直角坐标系，则 0,0 ， 3,0 ， 0,4 ，
磨尖课04 极化恒等式
4sin +
sin2
= 1 − 3cos − 4sin = 1 − 5sin + ，其中tan =
因为−1 ≤ sin + ≤ 1，所以−4 ≤ 1 − 5sin + ≤ 6，
3
，
4
磨尖课04 极化恒等式
13

极化恒等式学生版

极化恒等式(学生版) 极化恒等式是线性代数中的一个重要恒等式，它反映了矩阵和向量之间的内在关系。

这个恒等式可以表示为：A⋅(β+γ)=Aβ+Aγ，其中A是一个矩阵，β和γ是向量，A⋅表示矩阵A和向量的乘积。

在证明极化恒等式之前，我们需要先了解一下矩阵和向量的乘法。

矩阵和向量的乘法是通过将矩阵的每一行与向量相乘，然后将这些乘积相加得到的。

例如，如果A是一个3×2的矩阵，β是一个2×1的向量，那么A⋅β可以通过以下步骤计算：1.将第一行a11a12与向量β相乘得到第一个乘积a11β1+a12β2，将第二行a21a22与向量β相乘得到第二个乘积a21β1+a22β2，将第三行a31a32与向量β相乘得到第三个乘积a31β1+a32β2。

2.将上述三个乘积相加得到A⋅β=(a11β1+a12β2)+(a21β1+a22β2)+(a31β1+a32β2)=a11β1+a12β2 +a21β1+a22β2+a31β1+a32β2=∑i=13∑j=12Aijβj。

现在我们可以证明极化恒等式。

首先，我们需要将矩阵A拆分成两个部分，即A=A−+A+，其中A−=(A−1)ij=−∑k=1nAkij(i=1,m;j=1,n)是一个(m×n)矩阵，A+=εijk(i=1,m;j=1,n;k=−m−(+j)=i)也是一个(m×n)矩阵。

其中εijk是一个排列符号，当i、j、k三个指标循环排列时，其值为1或−1。

根据矩阵拆分的定义，我们可以将极化恒等式表示为：(A−+A+)⋅(β+γ)=A−⋅β+A−⋅γ+A+⋅β+A+⋅γ对于右侧第一项A−⋅β，根据矩阵和向量的乘法计算规则可得：A−⋅β=(−∑k=1nAkij)⋅β=(−Akij)⋅βk=(−∑k=1n(Aiuj)⋅Bvkaj)⋅ɛvka)=(−∑k= 1n(Aui)⋅Bk)(ɛik⋅ɛivk)=(−∑k=1n(Aui⋅Bk))⋅ɛik=(−Aui⋅B)⋅eivi=(−Aui⋅B)⋅βi= tika⋅Mk耿 ltiZMn耿 wnow瓣towZMn耿 +yla"owe看来及。

微专题6 极化恒等式、投影向量

微专题6 极化恒等式、投影向量极化恒等式：a ·b ＝14[(a ＋b )2－(a －b )2].(1)几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14.(2)在平行四边形PMQN 中，O 是对角线交点，则： ①PM→·PN →＝14[|PQ →|2－|NM →|2](平行四边形模式)； ②PM→·PN →＝|PO →|2－14|NM →|2(三角形模式).类型一投影向量的应用由投影与投影所在的向量共线，问题转化为求向量间的投影数量与投影所在向量方向上单位向量的积.例1 已知|a |＝4，e 为单位向量，它们的夹角为2π3，则向量a 在向量e 上的投影向量是________；向量e 在向量a 上的投影向量是________. 答案－2e －18a解析由|a |＝4，e 为单位向量，它们的夹角为2π3，向量a 在向量e 上的投影数量：|a |cos 23π＝－2，向量e 在向量a 上的投影数量：|e |cos 23π＝－12，故向量a 在向量e 上的投影向量：－2e ，向量e 在向量a 上的投影向量：－12×a |a |＝－18a .训练1 (1)已知向量a 与b 的夹角为34π，且|a |＝2，|b |＝3，则a 在b 方向上的投影向量与投影向量的长度分别是( ) A.23b ，2 B.23b ，－2 C.－23b ， 2D.－23b ，－2(2)已知向量a ＝(1，2)，A (6，4)，B (4，3)，b 为向量AB →在向量a 上的投影向量，则|b |＝________. 答案 (1)D (2)455解析 (1)设a 在b 方向上的投影向量为λb (λ∈R )，则a ·b ＝λb ·b ，故λ＝a ·b b 2＝|a |cos 34π|b |＝－23.故a 在b 方向上的投影向量为－23b ，a 在b 方向上的投影向量的长度为|a | cos 34π＝－ 2. (2)AB→＝(－2，－1)，由投影公式可知|b |＝|AB→·a ||a |＝|－2×1＋（－1）×2|5＝455.类型二利用极化恒等式求向量的数量积利用极化恒等式求平面向量数量积的步骤： (1)取第三边的中点，连接向量的起点与中点；(2)利用极化恒等式将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差； (3)求中线及第三边的长度，从而求出数量积的值.注：对于不共起点或不共终点的向量需通过平移转化为共起点(终点)的向量，再利用极化恒等式.例2 (1)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点.BA →·CA →＝4，BF→·CF →＝－1，则BE →·CE →的值为________.(2)如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，点E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，AD 边上的中点，则EF →·FG →＋GH →·HE →＝________.答案 (1)78 (2)32解析 (1)设BD ＝DC ＝m ， AE ＝EF ＝FD ＝n ，则AD ＝3n .根据向量的极化恒等式，有AB →·AC →＝AD →2－DB →2＝9n 2－m 2＝4，FB →·FC →＝FD →2－DB →2＝n 2－m 2＝－1，联立解得n 2＝58，m 2＝138.因此EB →·EC →＝ED →2－DB →2＝4n 2－m 2＝78. 即BE→·CE →＝78. (2)连接EG ，FH 交于点O (图略)，则EF→·FG →＝EO →2－OH →2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝34，GH→·HE →＝GO →2－OH →2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝34，因此EF→·FG →＋GH →·HE →＝32. 训练2 (1)在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB→·AC →＝________.(2)如图，在△ABC 中，已知AB ＝4，AC ＝6，∠BAC ＝60°，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且AB →＝2AD →，AC →＝3AE →，若F 为DE 的中点，则BF →·DE →的值为________.答案 (1)－16 (2)4解析 (1)因为M 是BC 的中点，由极化恒等式得AB→·AC → ＝|AM →|2－14|BC →|2＝9－14×100＝－16. (2)取BD 的中点N ，连接NF ，EB ，因AB ＝4，AE ＝2，∠BAC ＝60°，故BE ⊥AE ，所以BE ＝2 3.在△DEB 中，FN 綊12BE ，所以FN ＝3，故BF→·DE →＝2FB →·FD →＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫FN →2－14DB →2＝2(3－1)＝4. 类型三利用极化恒等式求数量积的最值(范围)(1)利用极化恒等式求数量积的最值(范围)时，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式.(2)难点在于求中线长的最值(范围)，可通过观察图形或用点到直线的距离等求解.例3 (1)如图，在同一平面内，点A 位于两平行直线m ，n 的同侧，且A 到m ，n 的距离分别为1，3，点B ，C 分别在m ，n 上，|AB →＋AC →|＝5，则AB →·AC →的最大值是________.(2)(2022·济南调研)在△ABC 中，点E ，F 分别是线段AB ，AC 的中点，点P 在直线EF 上，若△ABC 的面积为2，则PB →·PC →＋BC →2的最小值为________. 答案 (1)214 (2)23 解析 (1)法一(极化恒等式法)连接BC ，取BC 的中点D ，AB →·AC →＝AD →2－BD →2，又AD ＝12|AB →＋AC →|＝52，故AB→·AC →＝254－BD →2＝254－14BC →2，又因为BC min ＝3－1＝2，所以(AB →·AC →)max ＝214. 法二(坐标法)以直线n 为x 轴，过点A 且垂直于n 的直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，如图，则A (0，3)，C (c ，0)，B (b ，2)，则AB→＝(b ，－1)，AC →＝(c ，－3) 从而(b ＋c )2＋(－4)2＝52，即(b ＋c )2＝9，又AC →·AB →＝bc ＋3≤（b ＋c ）24＋3＝214，当且仅当b ＝c 时，等号成立. (2)取BC 中点O ，PB→·PC →＝PO →2－14BC →2⇒PB →·PC →＋BC →2＝PO →2＋34BC →2≥2PO→2·34BC →2＝3|PO→||BC →|，当且仅当PO ＝32BC 时等号成立. ∵PO ≥12h ，∴3|PO →||BC →|≥32h |BC →|＝3S △ABC ＝23，∴PB →·PC →＋BC →2的最小值为2 3.训练3 (1)如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，MN 是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，P 为正方体表面上的动点，当弦MN 的长度最大时，PM→·PN →的取值范围是________.(2)如图所示，正方形ABCD 的边长为1，A ，D 分别在x 轴，y 轴的正半轴(含原点)上滑动，则OC→·OB →的最大值是________.答案 (1)[0，2] (2)2解析 (1)由正方体的棱长为2，得内切球的半径为1，正方体的体对角线长为2 3.当弦MN 的长度最大时，MN 为球的直径. 设内切球的球心为O ，则PM→·PN →＝PO →2－ON →2＝|PO →2|－1. 由于P 为正方体表面上的动点，故|OP |∈[1，3]，所以PM→·PN →∈[0，2]. (2)如图，取BC 的中点M ，AD 的中点N ，连接MN ，ON ，则OC→·OB →＝OM →2－14＝|OM →|2－14. 因为OM ≤ON ＋NM ＝12AD ＋AB ＝32，当且仅当O ，N ，M 三点共线时取等号. 所以OC→·OB →的最大值为2.一、基本技能练1.设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b 等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4答案 A解析由极化恒等式得a ·b ＝14[(a ＋b )2－(a －b )2]＝14×(10－6)＝1.2.如图，在平面四边形ABCD 中，O 为BD 的中点，且OA ＝3，OC ＝5，若AB →·AD →＝－7，则BC→·DC →＝( )A.－9B.21C.－21D.9答案 D解析 AB→·AD →＝|AO →|2－14|BD →|2＝－7，∴14|BD →|2＝16，BC →·DC →＝|CO →|2－14|BD →|2＝25－16＝9.3.如图，BC ，DE 是半径为1的圆O 的两条直径，BF→＝2FO →，则FD →·FE →＝( )A.－34B.－89C.－14D.－49答案 B解析 ∵BF →＝2FO →，圆O 的半径为1，∴|FO→|＝13. 法一 FD →·FE →＝(FO →＋OD →)·(FO →＋OE →)＝FO →2＋FO →·(OE →＋OD →)＋OD →·OE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋0－1＝－89.法二由极化恒等式得FD→·FE →＝FO →2－14DE →2＝19－1＝－89. 4.已知正方形ABCD 的面积为2，点P 在边AB 上，则PD →·PC →的最大值是( )A.92B.2C.32D.34答案 B解析如图所示，取CD 的中点E ，连接PE ，由极化恒等式可得PD →·PC →＝PE →2－EC →2＝|PE →|2－12，所以当P 与A (B )重合时，|PE→|＝52最大，从而(PD →·PC →)max ＝2. 5.已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是( ) A.1 B.2 C.2 D.22答案 C解析由极化恒等式(a －c )·(b －c ) ＝14[(a ＋b －2c )2－(a －b )2]， ∵(a －c )·(b －c )＝0，所以(a ＋b －2c )2＝(a －b )2，故c 2＝(a ＋b )·c ，又因为|a |＝|b |＝1，a ⊥b ， ∴|a ＋b |＝2，于是|c |2≤|a ＋b ||c |＝2|c |， ∴|c |≤ 2.6.已知AB 为圆x 2＋y 2＝1的一条直径，点P 为直线x －y ＋2＝0上任意一点，则P A →·PB →的最小值为( ) A.1 B.2 C.2 D.22 答案 A解析如图所示，由极化恒等式易知，当OP 与直线x －y ＋2＝0垂直时，P A →·PB →有最小值，即P A →·PB →＝PO →2－OB →2＝(2)2－12＝1. 故选A.7.已知AB 是圆O 的直径，AB 长为2，C 是圆O 上异于A ，B 的一点，P 是圆O 所在平面上任意一点，则(P A →＋PB →)·PC →的最小值为( ) A.－14 B.－13 C.－12 D.－1答案 C解析 ∵P A →＋PB →＝2PO →，∴(P A →＋PB→)·PC →＝2PO →·PC →，取OC 中点D (图略)，由极化恒等式得，PO→·PC →＝|PD →|2－14|OC →|2＝|PD →|2－14，又|PD →|2min＝0，∴(P A →＋PB→)·PC →的最小值为－12. 8.已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则P A →·(PB →＋PC →)的最小值为( ) A.－2 B.－32 C.－43 D.－1 答案 B解析取BC 的中点D ，连接AD ，PD ，取AD 的中点E ，连接PE .由△ABC 是边长为2的等边三角形，E 为中线AD 的中点得AE ＝12AD ＝32，则P A →·(PB→＋PC →) ＝2P A →·PD →＝2(|PE →|2－|EA →|2) ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤|PE →|2－⎝ ⎛⎭⎪⎫322≥2×⎝ ⎛⎭⎪⎫0－34＝－32，当且仅当|PE→|＝0时，取等号，∴P A →·(PB→＋PC →)的最小值为－32. 9.已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·DA →的值为________.答案 1解析取AE 中点O ，设AE ＝x (0≤x ≤1)，则AO ＝12x ，∴DE→·DA →＝|DO →|2－14|AE |2＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－14x 2＝1.10.在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝5，A ＝120°，动点P 在以C 为圆心，2为半径的圆上，则P A →·PB →的最小值为________.答案 16解析设AB 的中点为M ，则P A →·PB →＝PM →2－MA →2＝|PM →|2－9，所以要求P A →·PB→的最小值，只需求|PM →|的最小值，显然当点P 为线段MC 与圆的交点时，|PM→|取得最小值，最小值为|MC |－2. 在△AMC 中，由余弦定理得|MC |2＝32＋52－2×3×5×cos 120°＝49，所以|MC |＝7，所以|PM →|的最小值为5，则P A →·PB→的最小值为16. 11.在Rt △ABC 中，CA ＝CB ＝2，M ，N 是斜边AB 上的两个动点，且MN ＝2，则CM →·CN →的取值范围是________. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，2解析取MN 的中点为P ，由极化恒等式得CM→·CN →＝|CP →|2－14|MN |2＝|CP →|2－12. 当P 为AB 的中点时，|CP →|取最小值为2，则CM→·CN →的最小值为32；当M 与A (或N 与B )重合时，|CP→|取最大值为102，则CM →·CN →的最大值为2，所以CM→·CN →的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，2. 12.已知AB 为圆O 的直径，M 为圆O 的弦CD 上一动点，AB ＝8，CD ＝6，则MA →·MB →的取值范围是________. 答案 [－9，0]解析如图，取CD 的中点G ，连接OG ，MO ，CO ，得OG ⊥CD ，MA→·MB →＝|MO →|2－14|BA →|2＝|MO →|2－16， ∵|OC→|≥|OM →|≥|OG →|， ∴7≤|OM→|≤4，∴MA→·MB →∈[－9，0]. 二、创新拓展练13.若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A.2B.3C.6D.8答案 C解析如图，由已知OF ＝1，取FO 中点E ，连接PE ，由极化恒等式得：OP →·FP →＝|PE→|2－14|OF →|2＝|PE →|2－14，∵当P 在椭圆右顶点时，|PE →|2有最大值，|PE →|2max＝254， ∴OP→·FP →的最大值为6. 14.(多选)已知在△ABC 中，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B ＝14AB ，且对于边AB 上任一点P ，恒有PB →·PC →≥P 0B →·P 0C →，则( ) A.PB→·PC →＝PD →2－DB →2 B.存在点P ，使|PD →|<|P 0D →| C.P 0C →·AB →＝0 D.AC ＝BC 答案 AD解析如图所示，取BC 的中点D ，连接PD ，根据向量的极化恒等式，有PB →·PC →＝PD →2－DB →2，P 0B →·P 0C →＝P 0D →2－DB →2. 又PB →·PC →≥P 0B →·P 0C →，所以|PD →|≥|P 0D →|，A 正确；B 错误；故由点P 为边AB 上任意一点知：点D 到边AB 上点的距离的最小值为|DP 0→|，从而DP 0⊥AB ，∴P 0C →·AB →≠0，C 错误；取AB 的中点E ，则由P 0B ＝14AB 知，CE ∥DP 0，故CE ⊥AB ，于是AC ＝BC ，D 正确.15.在半径为1的扇形中，∠AOB ＝60°，C 为弧上的动点，AB 与OC 交于P ，则OP →·BP →的最小值为________. 答案－116解析取OB 的中点D ，作DE ⊥AB 于点E ，连接PD ，则OP→·BP →＝|PD →|2－|OD →|2＝|PD →|2－14，易知|PD →|∈⎣⎡⎦⎤|DE →|，|AD →|＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，32，则OP→·BP →＝PD →2－14∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－116，12，故所求最小值为－116. 16.如图，在平面四边形ABCD 中，AC ＝AD ＝2，∠DAC ＝120°，∠ABC ＝90°，则BD→·BC →的最大值为________.答案1解析取CD的中点E，连接EA，EB，∵AC＝AD＝2，∠DAC＝120°，∴AE⊥CD，DE＝AD sin 60°＝3，由∠ABC＝∠AEC＝90°，∴A，B，C，E四点共圆，且AC为直径，则BD→·BC→＝|BE→|2－|ED→|2＝|BE→|2－(3)2≤|AC→|2－3＝22－3＝1，所以BD→·BC→的最大值为1.。

第2讲极化恒等式

第2讲极化恒等式结论：设a b、是两个平面向量，则有恒等式()()2214a b a b a b ⎡⎤=+--⎢⎥⎣⎦ ，在三角形中，也可以用三角形的中线来表示，22AB AC AM MB =- 。

极化恒等式的作用主要在于，它可以将两个向量的数量积转化为这两个向量之和或之差，因此，当两个向量之和或之差为定值时，常常可以考虑利用极化恒等式进行转化求解。

典型例题1．（2012浙江15）在ABC ∆中，M 是BC 的中点，3AM =，10BC =，则AB AC =．法1解：设AMB θ∠=，则AMC πθ∠=-．又AB MB MA =- ，AC MC MA =- ，∴(AB AC = )(MB MA - 2)MC MA MB MC MB MA MA MC MA -=--+，2553cos 35cos()916θπθ=--⨯-⨯-+=-，故答案为16-．法2：极化恒等式22223516AB AC AM MB =-=-=-2．如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，4BA CA =，1BF CF =- ，则BE CE的值是．法1解：D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，∴BF BD DF =+ ，CF BD DF =-+ ，3BA BD DF =+ ，3CA BD DF =-+ ，∴221BF CF DF BD =-=- ，2294BA CA DF BD =-= ，∴258DF = ，2138BD = ，又 2BE BD DF =+ ，2CE BD DF =-+，∴22748BE CE DF BD =-= ，故答案为：78法2：极化恒等式FDAD BD FD CF BF BD AD CA BA 3142222=-=-=∙=-=∙分别解出FD ²和BD ²的值，即可求解CMDG O3．已知AB 为圆O 的直径，M 为圆O 的弦CD 上一动点，8AB =，6CD =，则MA MB的取值范围是．法1解：以AB 所在的直线为x 轴，以线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示；且圆O 的直径为AB ，设(,)M x y ，则(4,0)A ，(4,0)B -，(4,)MA x y =-- ，(4,)MB x y =--- ，222(4)(4)()16MA MB x x y x y =---+-=+-，又M 是圆O 的弦CD 上一动点，且6CD =，所以2216916x y -+ ，即22716x y + ，其中最小值在CD 的中点时取得，所以MA MB的取值范围是[9-，0]．故答案为：[9-，0]．法2直接使用极化恒等式22MA MB MO OA=-4MO ≤≤ ，4OA =[]9,0MA MB ∴∈-一课一练1．（2013•浙江二模）如图放置的边长为1的正方形ABCD 的顶点A 、D 分别在x 轴、y 轴正半轴上（含原点）上滑动，则OB OC的最大值是．2.（2018•天津）如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，1AB AD ==．若点E 为边CD 上的动点，则AE BE的最小值为()A ．2116B ．32C ．2516D ．33、（2017•新课标Ⅱ）已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC +的最小值是()A ．2-B ．32-C ．43-D ．1-参考答案1）法1解：如图令OAD θ∠=，由于1AD =故0cos A θ=，sin OD θ=，如图2BAX πθ∠=-，1AB =，故cos cos()cos sin 2Bx πθθθθ=+-=+，sin()cos 2B y πθθ=-=故(cos sin ,cos )OB θθθ=+同理可求得(sin ,cos sin )C θθθ+，即(sin ,cos sin )OC θθθ=+，∴(cos sin OB OC θθ=+，cos )(sin θθ ，cos sin )1sin 2θθθ+=+，OB OC的最大值是2故答案是2法2：极化恒等式如图，取BC ，AD 中点E ，F ,22214OB OC OE EB OE =-=-根据极化恒等式13122OE OF EF ≤+=+=所以有最大值22）法1解：如图所示，以D 为原点，以DA 所在的直线为x 轴，以DC 所在的直线为y 轴，过点B 做BN x ⊥轴，过点B 做BM y ⊥轴，AB BC ⊥ ，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，1AB AD ==，1cos602AN AB ∴=︒=，3sin 602BN AB =︒=，13122DN ∴=+=，32BM ∴=，3tan 302CM MB ∴=︒=，3DC DM MC ∴=+=，(1,0)A ∴，3(2B ，32，C ，设(0,)E m ，∴(1,)AE m =- ，3(2BE =- ，32m -，0m ，∴22233321(()224216416AE BE m m m =+-=-+-=-+ ，当m =2116．故选：A ．法2：极化恒等式22214EA EB EF FA EF =-=-当EF CD ⊥时，15144EF EK KF =+=+=251214416EA EB ⎛⎫=-=⎪⎝⎭最小3）法1解：建立如图所示的坐标系，以BC 中点为坐标原点，则A ，(1,0)B -，(1,0)C ，设(,)P x y ，则()PA x y =-- ，(1,)PB x y =--- ，(1,)PC x y =--，则22223()222[(]4PA PB PC x y x y +=-+=+--∴当0x =，y =时，取得最小值332(42⨯-=-，故选：B ．法2：极化恒等式222222()()()2PA PB PC PE EA PF FA PE PF +=-+-=+- 当P 位于EF 中点时，有最小值。

极化恒等式

极化恒等式
1极化恒等式的推导：
(如图，有向量OA与向量OB,两向量之和为OD,其中E为AB,OD的中点) 2使用条件：共起点内积
3适用于：平面向量，空间向量
3使用方法：找斜边中点，再使用公式代入
4
例1：
解析：取BC的中点E，AD的中点为F
=
−→
−
⋅
−→
−
OC
OB
2
2−→
−
-
−→
−
EC
OE
=2
−→
−
OE
-
2
2
1
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
由三角形两边和大于第三边可以得到：
OE ≤OF+EF
OF 为直角三角形OAD 的中线，所以OF=2
1 EF=1
所以：−→−⋅−→−OC OB 的最大值为2
例2：
我们在此题的基础上增加一点难度：求−→−⋅−→−PD
PC 的最小值和最大值解答：根据“极化恒等式”的方法，我们找到斜边CD 的中点O 点，则 −→−⋅−→−PD PC =22−→−-−→−OD
PO 其中OD=1
故我们只需要判断PO 的最大值与最小值
根据三角形两边和大于第三边，我们得到：
1）PO ≤AP+AO 2）PO+AO ≥AO
(其中AP=1,AO=5)
所以PO 的最大值为（5+1），最小值为（5-1）
故：−→−⋅−→−PD
PC 的最大值为（5+25），最小值为（5+25）。

极化恒等式(学生版)

课题：极化恒等式在向量问题中的应用学习目标目标1：通过自主学习掌握极化恒等式两种模式，理解其几何意义；目标2-1：通过对例1的自主学习掌握用极化恒等式求数量积的值；目标2-2：通过对例2的自主学习掌握用极化恒等式求数量积的最值、范围；目标2-3：通过小组合作学习掌握极化恒等式解决与数量积有关的综合问题。

重点掌握极化恒等式，利用它解决一类与数量积有关的向量问题难点根据具体的问题情境，灵活运用极化恒等式目标达成途径学习自我评价阅读以下材料： .两倍等于两条邻边平方和的平方和平行四边形的对角线的你能用向量方法证明：何模型。

那么基于上面的引例，你觉得极化恒等式的几何意义是什么？几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的41. 即：[]2241DB AC b a -=⋅（平行四边形模式）目标1：阅读材料，了解极化恒等式的由来过程，掌握极化恒等式的两种模式，并理解其几何意义 M图1思考：在图1的三角形ABD 中（M 为BD 的中点），此恒等式如何表示呢？因为AM AC 2=，所以2241DB AMb a -=⋅（三角形模式）例1.(2012年浙江文15)在ABC ∆中，M 是BC 的中点，3,10AM BC ==，则AB AC ⋅=____ .解：因为M 是BC 的中点，由极化恒等式得： 2241BC AM AC AB -=⋅=9-10041⨯= -16 【小结】在运用极化恒等式的三角形模式时，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式。

培优点向量极化恒等式

培优点向量极化恒等式平面向量基本定理及数量积是高考考查的重点，很多时候需要用基底代换，运算量大且复杂，用向量极化恒等式、等和(高)线求解，能简化向量代换，减少运算量，使题目更加清晰简单．考点一向量极化恒等式极化恒等式：a ·b ＝⎝⎛⎭⎫a ＋b 22－⎝⎛⎭⎫a －b 22.变式：(1)a ·b ＝(a ＋b )24－(a －b )24，a ·b ＝|a ＋b |24－|a －b |24.(2)如图，在△ABC 中，设M 为BC 的中点，则AB →·AC →＝AM →2－14CB →2＝AM →2－MB →2.考向1 利用向量极化恒等式求值例1 (1)如图所示，在长方形ABCD 中，AB ＝45，AD ＝8，E ，O ，F 为线段BD 的四等分点，则AE →·AF →＝________.答案 27解析 BD ＝AB 2＋AD 2＝12， ∴AO ＝6，OE ＝3， ∴由极化恒等式知AE →·AF →＝AO →2－OE →2＝36－9＝27.(2)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点．BA →·CA →＝4，BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值为________．答案 78解析设BD ＝DC ＝m ，AE ＝EF ＝FD ＝n ，则AD ＝3n .根据向量的极化恒等式，得AB →·AC →＝AD →2－DB →2＝9n 2－m 2＝4，① FB →·FC →＝FD →2－DB →2＝n 2－m 2＝－1.② 联立①②，解得n 2＝58，m 2＝138.因此EB →·EC →＝ED →2－DB →2＝4n 2－m 2＝78.即BE →·CE →＝78.考向2 利用向量极化恒等式求最值、范围例2 (1)已知AB 是圆O 的直径，AB 长为2，C 是圆O 上异于A ，B 的一点，P 是圆O 所在平面上任意一点，则(P A →＋PB →)·PC →的最小值是________．答案－12解析如图所示，取OC 的中点D ，连接PD ，因为O 为AB 中点，所以(P A →＋PB →)·PC → ＝2PO →·PC →，由极化恒等式得PO →·PC →＝PD →2－DO →2＝PD →2－14，因此当P 为OC 的中点，即|PD →|＝0时， (P A →＋PB →)·PC →取得最小值－12.(2)平面向量a ，b 满足|2a －b |≤3，则a ·b 的最小值为________．答案－98解析由向量极化恒等式知a ·b ＝(2a ＋b )2－(2a －b )28＝|2a ＋b |2－|2a －b |28≥02－328＝－98，当且仅当|2a ＋b |＝0，|2a －b |＝3，即|a |＝34，|b |＝32，〈a ，b 〉＝π时，a ·b 取最小值．规律方法利用向量的极化恒等式可以快速对数量积进行转化，体现了向量的几何属性，特别适合于以三角形为载体，含有线段中点的向量问题．跟踪演练1 (1)如图，在四边形ABCD 中，B ＝60°，AB ＝3，BC ＝6，且AD →＝λBC →，AD →·AB →＝－32，则实数λ的值为________；若M ，N 是线段BC 上的动点，且|MN →|＝1，则DM →·DN →的最小值为________．答案 16 132解析依题意得AD ∥BC ，∠BAD ＝120°，由AD →·AB →＝|AD →|·|AB →|·cos ∠BAD ＝－32|AD →|＝－32，得|AD →|＝1，因此λ＝AD →BC→＝16.取MN 的中点E ，连接DE (图略)，则DM →＋DN →＝2DE →，DM →·DN →＝14[(DM →＋DN →)2－(DM →－DN →)2]＝DE →2－14NM →2＝DE →2－14.当点M ，N 在线段BC 上运动时，DE 的最小值等于点D 到直线BC 的距离，即AB ·sin B ＝332，因此DE →2－14的最小值为⎝⎛⎭⎫3322－14＝132，即DM →·DN →的最小值为132.(2)如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，MN 是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，P 为正方体表面上的动点，当弦MN 的长度最大时， PM →·PN →的取值范围是________．答案 [0,2]解析由正方体的棱长为2，得内切球的半径为1，正方体的体对角线长为2 3.当弦MN 的长度最大时，MN 为内切球的直径．设内切球的球心为O ，则PM →·PN →＝PO →2－ON →2＝PO →2－1.由于P 为正方体表面上的动点，故OP ∈[1，3]，所以PM →·PN →∈[0,2]．考点二等和(高)线解基底系数和(差)问题等和(高)线平面内一组基底OA →，OB →及任一向量OP ′--→，OP ′--→＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，若点P ′在直线AB 上或在平行于AB 的直线上，则λ＋μ＝k (定值)；反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线称为等和(高)线． (1)当等和线恰为直线AB 时，k ＝1；(2)当等和线在O 点和直线AB 之间时，k ∈(0,1)； (3)当直线AB 在O 点和等和线之间时，k ∈(1，＋∞)； (4)当等和线过O 点时，k ＝0；(5)若两等和线关于O 点对称，则定值k 1，k 2互为相反数； (6)定值k 的变化与等和线到O 点的距离成正比．例3 (1)在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，AN →＝λAB →＋μAC →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为( ) A.12 B.13 C.14 D ．1 答案 A解析方法一设BM →＝tBC →(0≤t ≤1)，则AN →＝12AM →＝12(AB →＋BM →)＝12AB →＋12BM →＝12AB →＋t 2BC →＝12AB →＋t 2(AC →－AB →) ＝⎝⎛⎭⎫12－t 2AB →＋t 2AC →，所以λ＝12－t 2，μ＝t 2，所以λ＋μ＝12.方法二如图，过N 作BC 的平行线，设λ＋μ＝k ，则k ＝|AN →||AM →|.由图易知，|AN →||AM →|＝12.(2)如图，圆O 是边长为23的等边△ABC 的内切圆，其与BC 边相切于点D ，点M 为圆上任意一点，BM →＝xBA →＋yBD →(x ，y ∈R )，则2x ＋y 的最大值为( )A. 2B. 3 C ．2 D ．2 2答案 C解析如图，作出定值k 为1的等和线DE ，AC 是过圆上的点最远的等和线，则BM →＝xBA →＋yBD →＝2x ·12BA →·＋yBD →＝2xBE →＋yBD →，当M 在N 点所在的位置时，2x ＋y 最大，设2x ＋y ＝k ，则k ＝|NB →||PB →|＝2，所以2x ＋y 取得最大值2.易错提醒要注意等和(高)线定理的形式，解题时一般要先找到k ＝1时的等和(高)线，以此来求其他的等和(高)线．跟踪演练2 给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为2π3，如图所示，点C 在以O 为圆心的AB ︵上运动，若OC →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，则x ＋y 的最大值是________．答案 2解析方法一以O 为坐标原点，OA →所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，如图(1)所示，则A (1,0)，B ⎝⎛⎭⎫－12，32，设∠AOC ＝α⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤0，2π3，则C (cos α，sin α)．由OC →＝xOA →＋yOB →，得⎩⎨⎧cos α＝x －12y ，sin α＝32y ，所以x ＝cos α＋33sin α，y ＝233sin α，所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6，又α∈⎣⎡⎦⎤0，2π3，所以当α＝π3时，x ＋y 取得最大值2.图(1) 图(2)方法二令x ＋y ＝k ，在所有与直线AB 平行的直线中，切线离圆心最远，如图(2)，即此时k 取得最大值，结合角度，不难得到k ＝|OD →||OE →|＝2.专题强化练1．已知正方形ABCD 的面积为2，点P 在边AB 上，则PD →·PC →的最大值是( ) A.92 B ．2 C.32 D.34 答案 B解析如图所示，取CD 的中点E ，连接PE ，由极化恒等式可得PD →·PC →＝PE →2－EC →2＝PE →2－12，所以当P 与A (B )重合时，|PE |＝102最大，从而(PD →·PC →)max ＝2. 2.如图，在四边形MNPQ 中，若NO →＝OQ →，|OM →|＝6，|OP →|＝10，MN →·MQ →＝－28，则NP →·QP →等于( )A ．64B ．42C ．36D ．28 答案 C解析由MN →·MQ →＝MO →2－ON →2 ＝36－ON →2＝－28，解得ON →2＝64，所以OQ →2＝64，所以NP →·QP →＝PQ →·PN →＝PO →2－OQ →2＝100－64＝36.3．若A ，B 为双曲线x 216－y 24＝1上经过原点的一条动弦，M 为圆C ：x 2＋(y －2)2＝1上的一个动点，则MA →·MB →的最大值为( ) A.154 B ．7 C ．－7 D ．－16答案 C解析如图，O 为AB 的中点，MA →·MB →＝MO →2－14BA →2，|MO |max ＝|OC |＋1＝3， |AB |min ＝2a ＝8，所以()MA →·MB→max ＝9－14×64＝－7. 4.如图，△BCD 与△ABC 的面积之比为2，点P 是区域ABDC 内任意一点(含边界)，且AP →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的取值范围为( )A ．[0,1]B ．[0,2]C ．[0,3]D ．[0,4]答案 C解析如图，当P 位于点A 时，(λ＋μ)min ＝0，当P 位于点D 时，(λ＋μ)max ＝3.5．已知在△ABC 中，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B ＝14AB ，且对于边AB 上任一点P ，恒有PB →·PC →≥P 0B --→·P 0C --→，则( ) A ．∠ABC ＝90° B ．∠BAC ＝90° C ．AB ＝AC D ．AC ＝BC答案 D解析如图所示，取AB 的中点E ，因为P 0B ＝14AB ，所以P 0为EB 的中点，取BC 的中点D ，连接DP 0，DP ，则DP 0为△CEB 的中位线，DP 0∥CE . 根据向量的极化恒等式，有PB →·PC →＝PD →2－DB →2， P 0B --→·P 0C --→＝P 0D --→2－DB →2. 又PB →·PC →≥P 0B --→·P 0C --→，则|PD →|≥|P 0D --→|恒成立，必有DP 0⊥AB .因此CE ⊥AB ，又E 为AB 的中点，所以AC ＝BC .6．已知等边△ABC 内接于半径为2的圆O ，点P 是圆O 上的一个动点，则P A →·PB →的取值范围是______．答案 [－2,6]解析如图所示，取AB 的中点D ，连接CD ，因为△ABC 为等边三角形，所以O 为△ABC 的重心，O 在CD 上，且OC ＝2OD ＝2，所以CD ＝3，AB ＝2 3.又由极化恒等式得P A →·PB →＝ PD →2－14BA →2＝PD →2－3，因为P 在圆O 上，所以当P 在点C 处时，|PD |max ＝3，当P 在CO 的延长线与圆O 的交点处时，|PD |min ＝1，所以P A →·PB →∈[－2,6]．7.如图所示，正方形ABCD 的边长为1，A ，D 分别在x 轴、y 轴的正半轴(含原点)上滑动，则OC →·OB →的最大值是______．答案 2解析如图，取BC 的中点M ，AD 的中点N ，连接MN ，ON ，则OC →·OB →＝OM →2－14.因为OM ≤ON ＋NM ＝12AD ＋AB ＝32，当且仅当O ，N ，M 三点共线时取等号．所以OC →·OB →的最大值为2.8.如图，已知点P 为等边△ABC 外接圆上一点，点Q 是该三角形内切圆上的一点，若AP →＝x 1AB →＋y 1AC →，AQ →＝x 2AB →＋y 2AC →，则|(2x 1－x 2)＋(2y 1－y 2)|的最大值为________．答案 73解析由等和线定理知当点P ，Q 分别在如图所示的位置时，x 1＋y 1取最大值，x 2＋y 2取最小值，且x 1＋y 1的最大值为AP AM ＝43，x 2＋y 2的最小值为AQ AM ＝13.故|(2x 1－x 2)＋(2y 1－y 2)|＝|2(x 1＋y 1)－(x 2＋y 2)|≤83－13＝73.。

极化恒等式(学生版)

课题：极化恒等式正在背量问题中的应用之阳早格格创做教习目标目标1：通过自决教习掌握极化恒等式二种模式，明白其几许意思；目标2-1：通过对付例1的自决教习掌握用极化恒等式供数量积的值；目标2-2：通过对付例2的自决教习掌握用极化恒等式供数量积的最值、范畴；目标2-3：通过小拉拢做教习掌握极化恒等式办理与数量积有闭的概括问题. 沉面掌握极化恒等式，利用它办理一类与数量积有闭的背量问题易面根据简直的问题情境，机动使用极化恒等式目标完毕道路教习自尔评介阅读以下资料： .两倍等于两条邻边平方和的平方和平行四边形的对角线的你能用向量方法证明：何模型。

示向量加法和减法的几引例：平行四边形是表,,b AD a AB ==证明：不妨设，，则b a DB b a A -=+=C ()222222C C b b a a b a A A +⋅+=+== （1）()222222b b a a b a DB DB +⋅-=-== （2）（1）（2）二式相加得：⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+22222222C AD AB b a DB A 论断：仄止四边形对付角线的仄圆战等于二条邻边仄圆战的二倍.思索1：如果将上头（1）（2）二式相减，能得到什么论断呢？b a ⋅＝()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+2241b a b a ————极化恒等式对付于上述恒等式，用背量运算隐然简单说明.那么鉴于上头的引例，您感触极化恒等式的几许意思是什么？几许意思：背量的数量积不妨表示为以那组背量为邻边的仄止四边形的“战对付角线”与“好对付角线”仄圆好的41. 即：[]2241DB AC b a -=⋅（仄止四边形模式）思索：正在图1的三角形ABD 中（M 为BD 的中面），此恒等式怎么样表示呢？果为AM AC 2=，所以2241DB AM b a -=⋅（三角形模式）目标1：阅读资料，相识极化恒等式的由去历程，掌握极化恒等式的二种模式，并明白其几许意思 M图1例1.(2012年浙江文15)正在ABC ∆中，M 是BC 的中面，3,10AM BC ==，则AB AC ⋅=____.解：果为M 是BC 的中面，由极化恒等式得： 2241BC AM AC AB -=⋅=9-10041⨯= -16 【小结】正在使用极化恒等式的三角形模式时，闭键正在于与第三边的中面，找到三角形的中线，再写出极化恒等式.目标检测.______1)132012(的值为边上的动点，则是点，的边长为已知正方形改编北京文DA DE AB E ABCD ⋅.________O O 2.2的取值范围是则上的一个动点，是圆，点的圆内接于半径为（自编）已知正三角形例PB PA P ABC ⋅解：与AB 的中面D ，连结CD,果为三角形ABC 为正三角形，所以O 为三角形ABC 的沉心，O 正在CD 上，且22==OD OC ，所以3=CD ，32=AB（也可用正弦定理供AB ）又由极化恒等式得：341222-=-=⋅PD AB PD PB PA 果为P 正在圆O 上，所以当P 正在面C 处时，3||max =PD当P 正在CO 的延少线与圆O 的接面处时，1||min =PD所以]6,2[-∈⋅PB PA【小结】波及数量积的范畴或者最值时，不妨利用极化恒等式将多变量转化成单变量，再用数形分离等要领供出单变量的范畴、最值即可.目标检测8.6.3.2.)(134)112010(22D C B A FP OP P y x F O 的最大值为则为椭圆上的任意一点，的中心和左焦点，点分别为椭圆和点若点福建文⋅=+问题、疑惑、错解搜集本领提高目标2-1：掌握用极化恒等式供数量积的值AB CM 目标2-2：掌握用极化恒等式供数量积的最值、范畴例3.（2013浙江理7）正在ABC ∆中,0P 是边AB 上一定面，谦脚014P B AB =，且对付于边AB 上任一面P ，恒有00PB PC P B PC ⋅≥⋅.则( )A. 90ABC ∠=B. 90BAC ∠=C. AB AC =D.AC BC =目标检测22.2.2.1.)(,0)()(2,)92008(D C B A c c b c a c b a 的最大值是则满足，若向量个互相垂直的单位向量是平面内已知浙江理=-⋅- 问题、疑惑搜集知识、要领归纳原课的主要教习实质是什么？极化恒等式：仄止四边形模型：三角形模型：极化恒等式正在处理与_________________有闭问题时，隐得较有劣良性.课后检测ABC ∆中，60BAC ∠=若2AB =，3BC =，D 正在线段AC 上疏通，DA DB ⋅的最小值为AB 是圆O 的直径,AB 少为2,C 是圆O 上同于,A B 的一面,P 是圆O 地圆仄里上任性一面,则()PA PB PC +⋅的最小值为（）A. 14-B. 13-C. 12- D.1- 3．正在ABC ∆中，3AB =，4AC =，60BAC ∠=，假如P ABC ∆地圆仄里内一面，且2AP =，目标2-3：会用极化恒等式办理与数量积有闭的概括问题AC。

培优专题：极化恒等式专题习题含答案(图片版)

向量之极化恒等式专题一、极化恒等式原理：(ab)2(a b)2(a b)2(a b)2代数原理：ab 向量原理：a b44ABDC 中有如下向量关系：2 2( ABAC)2( AB AC)2AD CBAB AC44即：平行四边形临边对应的向量的数量积等于和对角线平方与差对角线平方之差的四分之一在ABC 中有如下向量关系：2 2222 1( ABAC) 2( ABAC)2AD CB4 AE CB 2AB AC= AE CB4444 21 2 AB AC AECB 4即：在三角形中相邻两边所在向量的数量积等于相应中线的平方与四分之一对边平方之差。

极化恒等式构建了向量的数量积和几何图形之间的关系，对高考中向量的一类问题可以起到“秒杀”的作用。

备注：ABDC 中还有一组关系 AD2CB22(AB2AC 2),同学们可以自行推导。

二、极化恒等式秒杀一类向量题赏析：例1.已知Rt ABC 的斜边AB 的长为 4，设P 是以C 为圆心，1 为半径的圆上的任意一点，则 PAPB 的取值范围是例2.如图，圆O 为Rt ABC 的内切圆，已知AC3,BC4,C900，过圆心O 的直线l 交圆于 P, Q 两点，则 BP CQ 的取值范围是例 3.已知点A,B分别在直线x1,x3上，OA OB4 ,当OA OB取得最小值时，OA OB 的值为例 4.在Rt ABC中，ACB900,AC3,AB4,若点A,B分别在直角坐标系的两坐标轴上运动时， OA OC 的最大值是例5.已知 A, B 为椭圆x2 y21的一条动弦，且经过原点， M 为直线3x 4 y 15 0上4的一个动点，则 MA MB 的最小值为例6.在锐角ABC中，已知B3，AB AC2，则AB AC的最值范围是例7.在平面上， AB1 AB2, OB1 OB21, AP AB1 AB2若 OP 12，则 OA 的取值范围是例 8.已知向量a,b,c满足a b2,c1,a c b c0，则a b的取值范围是78.. 7 -1，,71，22三、牛刀小试1.在ABC中，M是BC的中点，AM3,BC10,则AB AC2.设ABC，P0 是边 AB 上一定点，满足 P0 B 1 AB ，且对于边 AB 上任意一点 P ，4恒有 PB PC P0B P0C ，则（）A. ABC900B. BAC90C. AB ACD. AC BC3.如图，已知直线AB与抛物线y24x交于点A,B.M为AB的中点，C为抛物线上一个动点，若C 0满足 C 0 A C 0 B minCA CB，则下列一定成立的是（）A. C 0M ABB. C 0Ml ,其中l 为抛物线过点C 0的切线C. C 0AC 0BD. C 0M1 AB 24.在正ABC 中，D 是BC 上的点，AB3,BD1，则AB AD5.已知a,b 是平面内 2 个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(ac) (b c) 0 ，则c 的最大值是6.设正方形ABCD 的边长为 4，动点P 在以AB 为直径的圆弧APB 上（如图所示），则 PC PD 的取值范围是7.（2012 苏模拟）在ABC 中，点 E, F 分别是线段 AB, AC 的中点，点 P 在直线 EF上，若ABC的面积为2，则PCPB BC2的最小值是8.如图，在半径为 1 的扇形AOB 中，AOB600，C 为弧上的动点，AB 与OC 交于点 P ，则OP BP 的最小值为9.如图放置的边长为1 的正方形ABCD 顶点分别在x 轴，y 轴的正半轴（含原点）滑动，则OB OC 的最大值为10.正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的棱长为 2，MN 是它内切球的一条弦（把球面上任意2 个点之间的线段称为球的弦），P 为正方体表面上的动点，当弦MN 最长时，PM PN 的最大值为11.点P 是棱长为 1 的正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的底面A 1B 1C 1D 1上一点，则PA PC 的取值范围是12.若平面向量a,b 满足2ab 3，则a b 的最小值是13.已知A,B 是单位圆上的两点，O 为圆心，且AOB23，MN 是圆O 的一条直径，点O 在圆内，且满足 OC OA 1OB(01)，则 CM CN 的取值范围是14.已知 AB 是圆 O 的直径, AB 长为2,C 是圆 O 上异于 A, B 的一点, P 是圆 O 所在平面上任意一点,则PA PB PC 的最小值为156.0,167.21Ans ：1.165.3 2. D3. B4.228.161931,1,09. 2 10. 2212.4414.211.13.。

高中数学课件-向量极化恒等式

以·的最大值为 2.
答案:(2)2
→
→
→
→
(3)如图,在△ABC 中,D 是 BC 的中点,E,F 是 AD 上的两个三等分点.·=4,·=-1,
→
→
则·的值为
.
→
→
→
解析:(3)设 BD=DC=m,AE=EF=FD=n,则 AD=3n.根据向量的极化恒等式,有·=||2→

→
答案:(1)C
C.
(2)如图所示,正方形 ABCD 的边长为 1,A,D 分别在 x 轴、y 轴的正半轴(含原点)上滑
→
→
动,则·的最大值是
.
解析:(2)如图,取 BC 的中点 M,AD 的中点 N,连接 MN,ON,
→
→
→
→
→
2

则·=|| -.因为 OM≤ON+NM=AD+AB=,当且仅当 O,N,M 三点共线时取等号,所
2
2
2
→
→
→

→

|| =9n -m =4,·=|| -|| =n2-m2=-1.联立解得 n2= ,m2= ,
→
→
→

→

2
2

→
→

因此·=|| -|| =4n -m =,即·=.

答案:(3)

→
→
→
cos ∠BAD=-||=-,得||=1,因此λ=
→
→
依题意得 AD∥BC,∠BAD=120°,由 · =| || |·
→

→
→
→
→

2025数学大一轮复习讲义苏教版第五章培优点7 极化恒等式

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6.已知半径为 2 的圆 O 上有三点 A，B，C，满足O→A＋A→B＋A→C＝0，点 P
是圆 O 内一点，则P→A·P→O＋P→B·P→C的取值范围是
√A.[－4,14)
B.(－4,14]
C.[－4,4)
D.(－4,4]
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如图所示，在 Rt△ABC 上，不妨取 AB 的中点 M，则P→A·P→B＝P→M2－A→M2＝P→M2－4.
设圆C的半径为r，则r＝1，而(PM)max＝CM＋r＝2＋1＝3，则(P→A·P→B)max＝32－ 4＝5； (PM)min＝CM－r＝2－1＝1， (P→A·P→B)min＝12－4＝－3. 因此P→A·P→B的取值范围是[－3,5].
(2)三角形模型：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差，即A→B·A→C＝A→M2－M→B2(M 为 BC 的中点)(如图).
极化恒等式表明，向量的数量积可以由向量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系.
题型一利用极化恒等式求值
例 1 (1)设向量 a，b 满足|a＋b|＝ 10，|a－b|＝ 6，则 a·b 等于
方法一(基底法) 圆心 O 到直线 ax＋by＋c＝0 的距离 d＝ a2|c＋| b2＝1，如图②，
设MN的中点为A，连接OA，
则 OA⊥MN，cos∠MOA＝OdM＝14，则P→M·P→N＝(O→M－O→P)·(O→N－O→P) ＝O→M·O→N－O→P·(O→M＋O→N)＋|O→P|2
＝4×4×cos 2∠MOA－2O→P·O→A＋16 ＝16×(2cos2∠MOA－1)－2×4×1×cos〈O→P，
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极化恒等式与等和(高)线定理【四大题型】(学生版)-高中数学

极化恒等式与等和(高)线定理【四大题型】【题型1利用极化恒等式求值】【题型2利用极化恒等式求最值(范围)】【题型3利用等和线求基底系数和的值】【题型4利用等和线求基底系数和的最值(范围)】1.极化恒等式与等和(高)线定理极化恒等式是平面向量中的重要等式，是解决平面向量的数量积问题的重要工具，有平行四边形模型和三角形模型两大重要模型，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系；等和(高)线定理是平面向量中的重要定理，由三点共线结论推导得出，在求基底系数和的值、最值(范围)中有着重要作用.【知识点1极化恒等式】1.极化恒等式的证明过程与几何意义(1)平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：|a +b |2+|a -b |2=2(|a |2+|b |2).证明：不妨设AB =a ,AD =b ，则AC =a +b ，DB =a -b，AC 2=AC 2=a +b 2=a 2+2a ⋅b +b 2①，DB 2=DB 2=a -b 2=a 2-2a ⋅b +b 2②，①②两式相加得：AC 2+DB 2=2a 2+b 2=2AB 2+AD 2.(2)极化恒等式：上面两式相减，得：14a +b2-a -b 2 ----极化恒等式平行四边形模式：a ⋅b =14AC 2-DB 2 .2.几何解释：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14．(1)平行四边形模型：向量的数量积等于以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线长”与“差对角线长”平方差的14，即14a +b2-a -b 2 (如图).(2)三角形模型：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差，即(M 为BC 的中点)(如图).极化恒等式表明，向量的数量积可以由向量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系.【知识点2等和(高)线定理】1.等和(高)线定理(1)由三点共线结论推导等和(高)线定理：如图，由三点共线结论可知，若(λ,μ∈R )，则λ+μ=1，由△OAB 与△OA 'B '相似，必存在一个常数k ,k ∈R ，使得，则，又(x ,y ∈R )，∴x +y =kλ+kμ=k ；反之也成立.(2)平面内一个基底及任一向量，(λ,μ∈R )，若点P '在直线AB 上或在平行于AB 的直线上，则λ+μ=k (定值)；反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线称为等和(高)线.①当等和线恰为直线AB 时，k =1；②当等和线在O 点和直线AB 之间时，k ∈(0,1)；③当直线AB 在O 点和等和线之间时，k ∈(1,+∞)；④当等和线过O 点时，k =0；⑤若两等和线关于O 点对称，则定值k 1，k 2互为相反数；⑥定值k 的变化与等和线到O 点的距离成正比.【题型1利用极化恒等式求值】1.(2024·贵州毕节·三模)如图，在△ABC 中，D 是BC 边的中点，E ，F 是线段AD 的两个三等分点，若BA⋅CA =7，BE ⋅CE =2，则BF ⋅CF =()A.-2B.-1C.1D.22.(23-24高三上·福建厦门·期末)如图，BC 、DE 是半径为1的圆O 的两条直径，BF =2FO ，则FD ⋅FE =()A.-34B.-89C.-14D.-493.(2024高三·江苏·专题练习)如图，在平面四边形ABCD 中，O 为BD 的中点，且OA =3，OC =5.若AB⋅AD =-7，则BC ⋅DC 的值是．4.(23-24高二下·湖南长沙·开学考试)如图，在平行四边形ABCD 中，AB =1，AD =2，点E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，AD 边上的中点，则EF ⋅FG +GH ⋅HE等于．【题型2利用极化恒等式求最值(范围)】5.(2024高三·全国·专题练习)半径为2的圆O 上有三点A 、B 、C 满足OA +AB +AC =0，点P 是圆内一点，则P A ⋅PO +PB ⋅PC 的取值范围为()A.[-4，14)B.[0，4)C.[4，14]D.[4，16]6.(23-24高一下·江苏南通·期中)正三角形ABC 的边长为3，点D 在边AB 上，且BD =2DA ，三角形ABC 的外接圆的一条弦MN 过点D ，点P 为边BC 上的动点，当弦MN 的长度最短时，PM ⋅PN的取值范围是()A.[-1,5]B.[-1,7]C.[0,2]D.[1,5]7.(2024·重庆·模拟预测)已知△OAB 的面积为1,AB =2，动点P ,Q 在线段AB 上滑动，且PQ =1，则OP⋅OQ的最小值为.8.(23-24高三上·上海浦东新·阶段练习)在面积为2的平行四边形中ABCD 中，∠DAB =π6，点P 是AD 所在直线上的一个动点，则PB 2+PC 2-PB ⋅PC 的最小值为．【题型3利用等和线求基底系数和的值】9.(2024·四川成都·模拟预测)如图，在平行四边形ABCD 中，BE =23BC ，DF =34DE ，若AF =λAB +μAD，则λ+μ=()A.32B.-112C.112D.010.(2023·河北沧州·模拟预测)在△ABC 中，BE =12EC ,BF =12BA +BC，点P 为AE 与BF 的交点，AP =λAB +μAC ，则λ+μ=()A.0B.14C.12D.3411.(23-24高一上·江苏常州·期末)在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 在线段DC 上，且CF =2DF ．若AC =λAE +μAF，λ,μ均为实数，则λ+μ的值为．12.(23-24高一上·江苏苏州·期末)如图，在矩形ABCD 中，M ，N 分别为线段BC ，CD 的中点，若MN =λ1AM +λ2BN ，λ1,λ2∈R ，则λ1+λ2的值为.【题型4利用等和线求基底系数和的最值(范围)】13.(2024·山东烟台·三模)如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O ，P 为圆O 上任一点，若AP =xAB+yAC ，则2x +2y 的最大值为()A.83B.2C.43D.114.(23-24高三上·河北沧州·期中)如图，△BCD 与△ABC 的面积之比为2，点P 是区域ABCD 内任意一点(含边界)，且AP =λAB +μACλ,μ∈R ，则λ+μ的取值范围是()A.0,1B.0,2C.0,3D.0,415.(23-24高一下·福建泉州·阶段练习)在△ABC 中，M 为BC 边上任意一点，N 为线段AM 上任意一点，若AN =λAB +μAC (λ，μ∈R )，则λ+μ的取值范围是.16.(23-24高一下·广西桂林·期末)已知O 为△ABC 内一点，且4OA +8OB +5OC =0 ，点M 在△OBC 内(不含边界)，若AM =λAB +μAC，则λ+μ的取值范围是．一、单选题1.(2024·四川绵阳·三模)如图，在△ABC 中，AF =BF =6,EF =5，则EA ⋅EB =()A.-11B.-13C.-15D.152.(2024·陕西西安·一模)在△ABC 中，点D 是线段AC 上一点，点P 是线段BD 上一点，且CD =DA ，AP=23AB+λAC ，则λ=()A.16B.13C.23D.563.(2024高三·全国·专题练习)在△ABC 中，D 是BC 边上的中点，且AE =13AD ，AF =2AE ，AB ⋅AC=6，FB ⋅FC =-2，则EB ⋅EC =()A.-1B.2C.-12D.14.(2024·陕西榆林·三模)在△ABC 中，E 在边BC 上，且EC =3BE ,D 是边AB 上任意一点，AE 与CD 交于点P ，若CP =xCA +yCB，则3x +4y =()A.34B.-34C.3D.-35.(23-24高三下·湖南长沙·阶段练习)向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示，a ⋅b =14AD 2-BC 2，我们称为极化恒等式.已知在△ABC 中，M 是BC 中点，AM =3，BC =10，则AB ⋅AC=()A.-16B.16C.-8D.86.(2024·全国·模拟预测)如图，在△ABC 中，AN =tNC (t >0)，BP =λPN (λ>0)，若AP =34AC -14BC ，则λ+t 的值为()A.7B.6C.5D.47.(23-24高三上·山东潍坊·期末)已知正方形ABCD 的边长为2，MN 是它的内切圆的一条弦，点P 为正方形四条边上的动点，当弦MN 的长度最大时，PM ⋅PN的取值范围是()A.[0，1]B.0,2C.[1，2]D.-1,18.(2024·河北沧州·三模)对称美是数学美的重要组成部分，他普遍存在于初等数学和高等数学的各个分支中，在数学史上，数学美是数学发展的动力.如图，在等边△ABC 中，AB =2，以三条边为直径向外作三个半圆，M 是三个半圆弧上的一动点，若BM =λAB +μAC，则λ+μ的最大值为()A.12B.33C.1D.32二、多选题9.(23-24高一下·江苏南京·期中)在△ABC 中，点D 是线段BC 上任意一点，点M 是线段AD 的中点，若存在λ,μ∈R 使BM =λAB +μAC，则λ,μ的取值可能是()A.λ=-35,μ=110B.λ=1,μ=-32C.λ=-910,μ=25D.λ=-710,μ=3510.(23-24高一下·四川成都·阶段练习)如图，正方形ABCD 中，E 为AB 中点，M 为线段AD 上的动点，若BM =λBE +μBD ，则λ+μ的值可以是()A.32B.12C.1D.211.(23-24高一下·陕西西安·阶段练习)(多选)如图，在四边形ABCD 中，∠B =60°，AB =3，BC =6，且AD =λBC λ∈R ，AD ⋅AB =-32，则()A.AB ·BC =9B.实数λ的值为16C.四边形ABCD 是梯形D.若M ，N 是线段BC 上的动点，且MN =1，则DM ⋅DN 的最小值为132三、填空题12.(2024·新疆·二模)在等腰梯形ABCD 中，AB =2DC ，点E 是线段BC 的中点，若AE =λAB +μAD ，则λ+μ=.13.(23-24高一下·黑龙江大庆·期末)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点BA ⋅CA =5，BF ⋅CF =-2，则BE ⋅CE 的值是.14.(23-24高三·广东阳江·阶段练习)在面积为2的平行四边形ABCD 中，点P 为直线AD 上的动点，则PB ⋅PC +BC 2的最小值是．四、解答题15.(23-24高一下·甘肃白银·阶段练习)如图，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ．E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．(1)用AB ，AD 方表示AE ；(2)若AF =λAB +μAD ，求λ+μ的值．16.(23-24高一下·江苏苏州·期中)阅读一下一段文字：a +b 2=a 2+2a ⋅b +b 2，a -b 2=a 2-2a ⋅b +b 2，两式相减得(a +b )2-(a -b )2=4a ·b ⇒a ·b =14[(a +b )2-(a -b)2]我们把这个等式称作“极化恒等式”，它实现了在没有夹角的参与下将两个向量的数量积运算化为“模”的运算．试根据上面的内容解决以下问题：如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点．(1)若AD =6，BC =4，求AB ⋅AC 的值；(2)若AB ⋅AC =4，FB ⋅FC =-1，求EB ⋅EC 的值．17.(23-24高一上·辽宁大连·期末)在三角形ABC 中，AB =a ，AC =b ，BE =2EC，D 为线段AC 上任意一点，BD 交AE 于O .(1)若CD =2DA .①用a ，b表示AE ；②若AO =λAE ，求λ的值；(2)若BO =xBA +yBC ，求12x +13y +1的最小值.18.(23-24高一下·湖南邵阳·期末)如图，已知四边形ABDE 为平行四边形，点C 在AB 延长线上，点M 在线段AD 上，且AB =12BC ,AM =13AD ，设AB =a ,AE =b .(1)用向量a ，b表示CD ；(2)若线段CM 上存在一动点P ，且AP =ma +nb m ,n ∈R ，求n 2+mn 的最大值.1119.(23-24高一下·广东潮州·阶段练习)阅读以下材料，解决本题：我们知道①(a +b )2=a 2+2a ⋅b +b 2；②(a -b)2=a 2-2a ⋅b +b 2.由①-②得(a +b )2-(a -b )2=4a ⋅b ⇔a ⋅b =(a +b )2-(a -b )24，我们把最后推出的式子称为“极化恒等式”，它实现了没有夹角参与的情况下将两个向量的数量积化为“模”的运算.如图所示的四边形ABCD 中，BD =8,AB ⋅AD =48，E 为BD 中点.(1)若cos ∠BAD =1213，求△ABD 的面积；(2)若2AE =EC ，求CB ⋅CD 的值；(3)若P 为平面ABCD 内一点，求P A ⋅PB +PD 的最小值.。

十二、极化恒等式

十二、极化恒等式.两倍等于两条邻边平方和的平方和平行四边形的对角线的你能用向量方法证明：何模型。

示向量加法和减法的几引例：平行四边形是表,,b AD a AB ==证明：不妨设，，则b a DB b a A -=+=C ()222222C C b b a a b a A A +⋅+=+== （1）()222222b b a a b a DB DB +⋅-=-== （2）（1）（2）两式相加得：⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+22222222C AD AB b a DB A 结论：平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.如果将上面（1）（2）两式相减，能得到什么结论呢？b a ⋅＝()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+2241b a b a ————极化恒等式几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的41. 即：[]2241DB AC b a -=⋅（平行四边形模式）思考：在图1的三角形ABD 中（M 为BD 的中点），此恒等式如何表示呢？因为AM AC 2=，所以2241DB AM b a -=⋅（三角形模式） 1. 在ABC ∆中，M 是BC 的中点，3,10AM BC ==，则AB AC ⋅=____ ..______1.2的值为则边上的动点，是，点的边长为已知正方形DA DE AB E ABCD ⋅ .________O O 2.3的取值范围是一个动点，则上的是圆，点的圆内接于半径为已知正三角形PB PA P ABC ⋅ 22.2.2.1.)(,0)()(2,.4D C B A c c b c a c b a 的最大值是则满足，若向量个互相垂直的单位向量是平面内已知=-⋅-M图1 AB CM5.在ABC ∆中,0P 是边AB 上一定点，满足014P B AB =，且对于边AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B PC ⋅≥⋅。

极化恒等式口诀

极化恒等式口诀以下是五个符合要求的口诀：
《极化恒等式口诀一》
极化恒等式，听我来细讲。

一要记清楚，向量很重要。

二要明公式，平方相减妙。

遇到题不慌，按步去思考。

理解加记忆，数学变简单。

就像走楼梯，一阶一阶上。

小朋友们呀，快来记心上。

《极化恒等式口诀二》
极化恒等式呀，真的很神奇。

一先找向量，它们是关键。

二看运算式，规则要牢记。

如同搭积木，一块一块积。

平方相减时，细心别大意。

知识一点点，累积出奇迹。

小朋友们听，努力去学习。

《极化恒等式口诀三》
小朋友们快来看，极化恒等式来啦。

一要知道向量呀，就像好朋友相伴。

二得熟悉公式哟，平方相减不能忘。

它就像把钥匙呀，能开数学的大门。

一步步来别着急，理解透彻才最棒。

学会这个好口诀，数学难题不再怕。

《极化恒等式口诀四》
极化恒等式，学习有妙招。

一讲向量起，方向要明了。

二谈公式妙，计算不能糙。

好像建房子，基础要打牢。

先把底层建，再往高处造。

小朋友们呀，用心去记好。

数学之路畅，成绩节节高。

《极化恒等式口诀五》
快来听我言，极化恒等式口诀现。

一呀向量要认准，长短方向细分辨。

二呀公式记心间，平方相减仔细算。

就像走路有方向，一步一步向前赶。

不要慌张不要乱，沉着冷静才好办。

小朋友们加油干，数学海洋任你玩。

高中数学向量——极化恒等式

极化恒等式阅读以下材料：.引例：平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型。

你能用向量方法证明：平行四边形的对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍引例:平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型。

你能用向量方法证明:平行四边形的对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.,,b AD a AB ==证明：不妨设C A a b =+则，DB a b=- ()222222C C b b a a ba A A +⋅+=+==（1）()222222bb a a ba DB DB +⋅-=-==（2）（1）（2）两式相加得：⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+22222222C AD AB b a DB A 结论：定理：平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.思考1：如果将上面（1）（2）两式相减，能得到什么结论呢？()()2214a b a b a b ⎡⎤⋅=+--⎢⎥⎣⎦ ————极化恒等式即：2214a b AC DB ⎡⎤⋅=-⎣⎦ （平行四边形模式）思考2：在三角形ABC 中（M 为BC 的中点），此恒等式如何表示呢？因为2BC BM =，所以22AB AC AMBM ⋅=-（三角形模式）AB CM2016﹒江苏填空倒2[例1]如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点,E,F 是AD 上的两个三等分点4BA CA ⋅=，1BF CF ⋅=- ，则BE CE ⋅的值是________．【答案】78【解析】法一：极化恒等式224BA CA AB AC AD BD ⋅=⋅=-= ，2222119BF CF FD BD AD BD ⋅=-=-=- 解得22451388AD BD == ，，故22224798BE CE EB EC ED CD AD BD ⋅=⋅=-=-= .法二：分点恒等式（拆分，基向量）21113333BF BD BA BC BA =+=+ ，21113333CF CD CA CB CA=+=+12123363BE BD BA BC BA =+=+ ，12123363CE CD CA CB CA=+=+ 211111111133339999BF CF BC BA CB CA BC BC CA BA CB BA CA ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=-+⋅+⋅+⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵()21111==9999BC CA BA CB BC CA AB BC ⋅+⋅⋅+-，化简得2221131=992BC BA CA BC -+⋅=-⇒()212121147=636336998BE CE BC BA CB CA BC BC CA AB BA CA ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=-+⋅++⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【方法二点评】：选取的基向量计算有点复杂，可以考虑将B D 和DF作为基向量.[例2]如图，已知等边△ABC 内接于半径为2的⊙O,点P 是⊙O 上的一个动点,则PA PB ⋅取值范围______________.【答案】【解析】2221PA PB PD AD PD ⋅=-=- ,∵3r 33r OD PD OD PD ⎡⎤-≤≤+⇒∈⎢⎥⎣⎦ ，∴2,23PA PB ⎡⎤⋅∈-⎢⎥⎣⎦[练习]2012北京高考改编1.已知正方形ABCD 的边长为1,点E 是AB 边上的动点，则DE DA ⋅的值为_______.【答案】1【解析】①投影；②极化恒等式；③拆分；④建系[变式]——等和线复习（参考）如图正方形ABCD 的边长为1,点E 是AB 边上的动点，若=ED xEA yEC +，则x y +的最小值为_______.【答案】2广东省“百越名校联盟”12月联考第5题2.已知菱形ABCD 的边长为2，60A ∠=︒，点P 满足()12AP AB AC =+ ，则PA PD ⋅=_______.【答案】3【解析】①极化恒等式；②拆分；③建系3.在锐角ABC △中，已知3B π=，2AB AC -= ，则AB AC ⋅ 的取值范围是．【答案】()0,12【解析】222==1AB AC AM BM AM ⋅-- ,而要使△ABC 为锐角三角形，则A 在线段MN 上，则()113AM ∈ ，，∴()0,12AB AC ⋅∈4.正ABC △边长等于3，点P 在其外接圆上运动，则PB AP ⋅的取值范围是（）A.⎦⎤⎢⎣⎡-23,23 B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,23 C.⎦⎤⎢⎣⎡-23,21 D.⎦⎤⎢⎣⎡-21,21【答案】B。

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