(天津大学)现代设计方法习题及答案(可打印修改)

4）论述梯度法的原理，并用梯度法求解
min F ( X ) 2x12 x22 5 ，初始点 X(0)=[1，1]
（一维优化用解析法），迭代 2 次。 梯度法的原理： 基于沿负梯度方向，目标函数在当前位置下降最快这一事实，将 n 维优化问题 求解转化为沿负梯度方向的一维搜索，迭代求优过程。
天天向上 厚积爆发
3)写出优化模型的标准式。
min F (X)
XD Rn
D : g j (X) 0, j 1,2,..., m; h j (X) 0, j m 1, m 2,..., p
或
min F (X)
s.t. g j (X) 0, j 1,2,..., m; h j (X) 0, j m 1, m 2,..., p
(x
(1) 2
)
0.0213
淘汰区间[；0,1新.1区46间] 为， [1.146 3]
第二轮迭代：
a=1.146，b= 3
x (2) 1
x
(1) 2
=1.854
f
(
x (2) 1
)
0.0213
x (2) 2
a
0.618(b
a)
2.2918
f
(
x
(2) 2
)
0.0851
Q
f
(x
(2) 2
)
0.0851>f
F
(
X
)
4x1
2x2
第一次迭代：
S(0)
F ( X
(0) )
-4
-2
确定最优步长：
min F (X(0) S(0) ) 2(1 4)2 (1 2)2 5
dF 2 2 (1 4) (4) 2 (1 2) (2) 0 d
5 =0.2778 18
X(1) =X(0)
S(0)
X (n) X (n1) 1 F( X (n) ) F( X (n1) ) 2
6）论述坐标轮换法的原理和局限性 原理： 将 n 维问题转化为依次沿 n 个坐标方向轮回进行一维搜索。
局限性： 1）计算效率低，适合变量 n<10 的情况； 2）若目标函数具有脊线，算法将出现病态：沿两个坐标方向均不能使函数数值 下降，误认为最优点。
2)用黄金分割法求解 min f (x) (x 1)2 ，初始区间为 [ 0, 2 ]，迭代 2 次。（10）
第一轮迭代：
a=0，b=2
x (1) 1
a
0.382(b
a)
0.764
f (x1(1) ) 0.0557
x (1) 2
a
0.618(b
a)
1.236
f
(x
(1) 2
)
0.0557
Q
f
搜索方向： 最优步长： 迭代公式：
S (k) F ( X (k) ) min F ( X (k) S (k) ) (k) X (k 1) X (k ) (k ) S (k )
F ( X (k) )
收敛判据：
解：
天天向上 厚积爆发
F
(
X
)
22xx12
x2 x1
S(0)
F ( X
(0) )
(x1(2)
)
0.0213
淘汰区间[；2.2新91区8,间3]为，
[1.146 2.2918]
天天向上 厚积爆发
f(1.146）=0.7293 f (2.2918) 0.0851 f( 1.146+2.2918 )=0.0790
2 f (x1(2) ) f (1.854) 0.0213 min f (x) 0.0213，x* 1.854
1 1
4
2
4199
=
0.1111
0.4444
第二次迭代：
S(1)
=-F
(X(1)
)
4 9
0.4444
89 -0.8889
min
F
(X(1)
S(1)
)
2(
1 9
4
9
)2
(4
9
8 9
)2
Hale Waihona Puke Baidu
5
dF d
2 2(
1 9
49 ) 49 2(49
89 )( 89)
0
5 0.4167 12
(f
(
x
(2) 2
)
0.0557)
x (2) 2
a
0.618(b
a)
1.528
(x1(2) a 0.618(b a) 0.472 )
f
(x
(2) 2
)
0.2788
(f
(
x (2) 1
)
0.2788)
Q
f
(
x
(2) 2
)
0.2788>f
(x1(2)
)
0.0557
(Q
f
(
x (2) 1
)
0.2788>f
5)论述优化问题的收敛准则。 数值搜索寻优过程的搜索结果构成一序列 [ X (0) , F( X (0) )],[ X (1) , F( X (1) )],[ X (2) , F( X (2) )],......,[ X (n) , F( X (n) )]，当n 时
，该序列收敛于优化问题的解。根据序列理论，序列收敛的条件为：相邻两轮 搜索得到的近似极值点“相对距离”小于给定精度，即：
天天向上 厚积爆发
说明极小点在 x1 的左侧，需改变探索方向，即将步长符号改为负，得点 x3 =x1 – h。 若 f(x3)< f(x2)，则将步长再加大一倍，x4 =x3+4h ，或 x4 =x3 -2h。即每跨一 步的步长为前一次步长的 2 倍，直至函数值增加为止。
（2）
h 0.5 x0 0 f (x0 ) 1 x1 x0 h 0.5 f (x1 ) 2 x2 x1 2h 1.5 f (x2 ) 2 f (x0 ) f (x1 ) f (x2 ) 单峰区间为[x0 , x2 ],即[0, 1.5]
习题二
1)论述确定单峰区间的进退步法，并确定函数 f (x) 4x2 4x 1的一个搜索区间 （单峰区间）。设初始点 x0 = 0，初始步长 h0 = 0.5。
（1）进退法是一种通过比较函数值大小来确定单峰区间的方法。 对于给定的初始点 x1 和步长 h，计算 f(x1)和 x2 =x1+h 点函数值 f(x2)。若 f(x1)> f(x2)，说明极小点在 x1 的右侧，将步长增加一倍，取 x3 =x2+2h。若 f(x1)< f(x2)，
min f (x) (x - 2)2 ，初始区间为 [ 0, 3 ]，迭代 2 次。（10）
第一轮迭代：
a=0，b= 3
x (1) 1
a
0.382(b
a)
1.146
f
(
x (1) 1
)
0.7293
x (1) 2
a
0.618(b
a)
1.854
f
(
x
(1) 2
)
0.0213
Q
f
(x1(1)
)
0.7293>f
3)论述传统或经典优化方法与现代优化方法的特点。
经典优化方法： 1．基于经典的线性、非线性数学规划理论； 2．一般需要解析形式的优化模型，只能处理模型简单的优化问题； 3．得到的结果一般为局部最优解。 现代优化方法 1．基于遗传、模拟退火等现代优化算法，并结合实验设计方法； 2．不需要解析形式的优化模型，可以处理模型复杂、多目标优化问题； 3．可以得到全局最优解。
T
为非线性规划问题
min F (X) X En
s.t. g j (X) 0 j 1,2,L , m
h j (X) 0 j m 1, m 2,L , p
的约束极值点，且在全部等式约束及不等式约束条件中共有 q 个约束条件为起
作用的约束，即 gi (X* ) 0 , hJ ( X * ) 0 (i≠j，i+j = 1,2,…,q < p)。如果在 X*处诸起
X(2)
X(1)
S(1)
4199
5 12
4899
=
0.0741 0.0741，
F (X(2) ) 5.033。
5）论述搜索法求解一维和多维优化问题的收敛准则 (1) 一维优化的基本思路是通过数值迭代逐步缩减极值点所在的单峰区间，当 区间长度达到给定精度，即可认为优化过程收敛，则收敛准则为
(x
(2) 2
)
0.0557)
淘汰区间[；1.5新28区,2间] 为
[0.764，1. 528] (淘汰区间[；0,0新.4区72间] 为，1. 236[0.472
])
天天向上 厚积爆发
f(0.764）=0.0557
f(0.472）=0.2788
f (1.528) 0.2788
f (1.236) 0.0557
4) 论述梯度法的原理，并用梯度法求解 min F (X ) x12 x22 x1x 2 ，初始点 X(0)
=[1，1]（一维优化用解析法），迭代 2 次。 梯度法的原理： 基于沿负梯度方向，目标函数在当前位置下降最快这一事实，将 n 维优化问题 求解转化为沿负梯度方向的一维搜索，迭代求优过程。
作用约束的梯度向量 gi ( X * ) 、 hJ ( X * ) (i+j = 1,2,…,q < p)线性无关，则存在向
量 λ 使下述条件成立
q
F ( X * ) igi ( X * ) jh j ( X * ) 0
i j1
天天向上 厚积爆发
λ 1 2 L q T ，其元素 i 为非零、非负的乘子, j 为非零的乘子。
7)论述内点法、外点法和混合罚函数法的特点和适用性。 内点法：
天天向上 厚积爆发
1）初始点为严格内点；
2）仅能处理不等式约束；
3) 可能存在一维搜索超界问题；
3）可以得到多个可行方案。
外点法：
1）初始点可任选；
2）可以处理等式和不等式约束；
3) 不存在内点法中的一维搜索超界问题；
4）一般仅能得到一个最终方案。
f( 0.764+1.528 )=f(1.146) 0.0213 f( 0.472+1.236 )=f(0.854) 0.0213
2
2
f (x1(2) ) f (0.236) 0.0557
f (x1(2) ) f (0.236) 0.0557
min f (x) 0.0213，x* 1.146 min f (x) 0.0213，x* 0.854
混合罚函数法：
1）初始点可任选；
2）可以处理等式和不等式约束；
3）对已经满足的不等式约束用内点法构造惩罚项，对等式约束和未被满足
的不等式约束用外点法构造惩罚项；
4）采用外推法提高收敛速度。
8）何谓 K-T(Kuhn-Tuker)条件？用 Kuhn-Tucker 验证约束优化问题
min F ( X ) (x1 3)2 (x2 2)2
-3 -3
确定最优步长：
min F (X(0) F ( X (0) )) 3(1 3)2
dF d
2 3 (1 3) (3)
0
1 3
X(1)
=X(0)
F (
X
(0)
)
1 1
3 3
0 0
F (X(1) ) 0， F (X(1) ) 0，满足收敛条件 0
X(1) 0，F为(问X(题1) )的 0最优解。 0
解：
g1 (X* ) g 2 (X* ) 0； g 3 (X* ) p 0，g 4 (X* ) p 0
起作用的约束为g1 (X)，g 2 (X)
F
22((xx21
3) 2)
2 2
g1
2x 2x
1 2
4 2
g 2
1 2
根据K T条件，应有
F 1g1
2g 2
2
2
1
4 2
2
1 2
习题一
1)论述产品设计过程中系统设计、参数设计及公差设计的目的与作用。
系统设计 根据产品的功能要求，进行产品的系统功能和原理设计，即将功能需求映射为 物理原理，从而得到产品的初始设计方案。通过对不同方案分析比较，得到合 理的初始设计方案。 参数设计 基于初始设计方案，建立产品的系统模型，以性能、质量、成本等为优化目标， 对产品的系统参数优化设计，通过系统参数的合理化，实现性能、质量、成本 的综合最优。 公差设计 在参数设计基础上，进一步以性能、质量、成本综合最优为目标，对参数的公 差（如需波动的范围）进行优化。 2.)用黄金分割法求解
0，则有
1
1 3
〉0，1
2 3
〉0
即，X*
2 1满足K
T条件。
9. 论述有限元分析的过程。 1) 结构几何建模； 2) 设定材料常数，弹性模量、泊松比。。。； 3) 载荷、位移边界条件 ； 4) 划分单元，对单元编号 e = 1,2,3,…,n; 5) 对节点编号 k =1,2,3,…,N，列出单元与节点的对应关系表； 6) 计算等效节点力； 7) 形成单元刚度矩阵； 8) 组装整体刚度矩阵； 9) 引入位移边界条件； 10) 求解刚度方程，得节点位移； 11) 计算应力、应变及其分布。
s.t. g1 ( X ) x12 x22 5 0 g2 ( X ) x1 2x2 4 0 g3 ( X ) x1 0
在点 X*
2 1
Kuhn-Tucker 条件成立。（15）
g4 (X ) x2 0
K-T 条件：
约束极值点存在的条件。
设 X* x1* x2* L
x
* n
(
x (1) 1
)
f
(x
(1) 2
)
淘汰区间[；0,新0.7区64间] 为2 或淘[0汰.76区4,间]；新( 区间为
第二轮迭代：
[1.236, 2]
[0, 1.236])
a=0.764，b= 2
(a=0, b=1.236)
x (2) 1
1.236,
(x
(2) 2
0.764)
f (x1(2) ) 0.0557