(天津大学)现代设计方法习题及答案(可打印修改)

4）论述梯度法的原理，并用梯度法求解
min F ( X ) 2x12 x22 5 ，初始点 X(0)=[1，1]
（一维优化用解析法），迭代 2 次。 梯度法的原理： 基于沿负梯度方向，目标函数在当前位置下降最快这一事实，将 n 维优化问题 求解转化为沿负梯度方向的一维搜索，迭代求优过程。
天天向上 厚积爆发
f( 0.764+1.528 )=f(1.146) 0.0213 f( 0.472+1.236 )=f(0.854) 0.0213
2
2
f (x1(2) ) f (0.236) 0.0557
f (x1(2) ) f (0.236) 0.0557
min f (x) 0.0213，x* 1.146 min f (x) 0.0213，x* 0.854
0，则有
1
1 3
〉0，1
2 3
〉0
即，X*
2 1满足K
T条件。
9. 论述有限元分析的过程。 1) 结构几何建模； 2) 设定材料常数，弹性模量、泊松比。。。； 3) 载荷、位移边界条件 ； 4) 划分单元，对单元编号 e = 1,2,3,…,n; 5) 对节点编号 k =1,2,3,…,N，列出单元与节点的对应关系表； 6) 计算等效节点力； 7) 形成单元刚度矩阵； 8) 组装整体刚度矩阵； 9) 引入位移边界条件； 10) 求解刚度方程，得节点位移； 11) 计算应力、应变及其分布。
(x1(2)
)
0.0213
淘汰区间[；2.2新91区8,间3]为，
[1.146 2.2918]
天天向上 厚积爆发
f(1.146）=0.7293 f (2.2918) 0.0851 f( 1.146+2.2918 )=0.0790
2 f (x1(2) ) f (1.854) 0.0213 min f (x) 0.0213，x* 1.854
min f (x) (x - 2)2 ，初始区间为 [ 0, 3 ]，迭代 2 次。（10）
第一轮迭代：
a=0，b= 3
x (1) 1
a
0.382(b
a)
1.146
f
(
x (1) 1
)
0.7293
x (1) 2
a
0.618(b
a)
1.854
f
(
x
(1) 2
)
0.0213
Q
f
(x1(1)
)
0.7293>f
(x
(1) 2
)
0.0213
淘汰区间[；0,1新.1区46间] 为， [1.146 3]
第二轮迭代：
a=1.146，b= 3
x (2) 1
x
(1) 2
=1.854
f
(
x (2) 1
)
0.0213
x (2) 2
a
0.618(b
a)
2.2918
f
(
x
(2) 2
)
0.0851
Q
f
(x
(2) 2
)
0.0851>f
(
x (1) 1
)
f
(x
(1) 2
)
淘汰区间[；0,新0.7区64间] 为2 或淘[0汰.76区4,间]；新( 区间为
第二轮迭代：
[1.236, 2]
[0, 1.236])
a=0.764，b= 2
(a=0, b=1.236)
x (2) 1
1.236,
(x
(2) 2
0.764)
f (x1(2) ) 0.0557
F
(
X
)
4x1
2x2
第一次迭代：
S(0)
F ( X
(0) )
-4
-2
确定最优步长：
min F (X(0) S(0) ) 2(1 4)2 (1 2)2 5
dF 2 2 (1 4) (4) 2 (1 2) (2) 0 d
5 =0.2778 18
X(1) =X(0)
S(0)
混合罚函数法：
1）初始点可任选；
2）可以处理等式和不等式约束；
3）对已经满足的不等式约束用内点法构造惩罚项，对等式约束和未被满足
的不等式约束用外点法构造惩罚项；
4）采用外推法提高收敛速度。
8）何谓 K-T(Kuhn-Tuker)条件？用 Kuhn-Tucker 验证约束优化问题
min F ( X ) (x1 3)2 (x2 2)2
-3 -3
确定最优步长：
min F (X(0) F ( X (0) )) 3(1 3)2
dF d
2 3 (1 3) (3)
0
1 3
X(1)
=X(0)
F (
X
(0)
)
1 1
3 3
0 0
F (X(1) ) 0， F (X(1) ) 0，满足收敛条件 0
X(1) 0，F为(问X(题1) )的 0最优解。 0
天天向上 厚积爆发
说明极小点在 x1 的左侧，需改变探索方向，即将步长符号改为负，得点 x3 =x1 – h。 若 f(x3)< f(x2)，则将步长再加大一倍，x4 =x3+4h ，或 x4 =x3 -2h。即每跨一 步的步长为前一次步长的 2 倍，直至函数值增加为止。
（2）
h 0.5 x0 0 f (x0 ) 1 x1 x0 h 0.5 f (x1 ) 2 x2 x1 2h 1.5 f (x2 ) 2 f (x0 ) f (x1 ) f (x2 ) 单峰区间为[x0 , x2 ],即[0, 1.5]
(x
(2) 2
)
0.0557)
淘汰区间[；1.5新28区,2间] 为
[0.764，1. 528] (淘汰区间[；0,0新.4区72间] 为，1. 236[0.472
])
天天向上 厚积爆发
f(0.764）=0.0557
f(0.472）=0.2788
f (1.528) 0.2788
f (1.236) 0.0557
3)论述传统或经典优化方法与现代优化方法的特点。
经典优化方法： 1．基于经典的线性、非线性数学规划理论； 2．一般需要解析形式的优化模型，只能处理模型简单的优化问题； 3．得到的结果一般为局部最优解。 现代优化方法 1．基于遗传、模拟退火等现代优化算法，并结合实验设计方法； 2．不需要解析形式的优化模型，可以处理模型复杂、多目标优化问题； 3．可以得到全局最优解。
1 1
4
2
4199
=
0.1111
0.4444
第二次迭代：
S(1)
=-F
(X(1)
)
4 9
0.4444
89 -0.8889
min
F
(X(1)
S(1)
)
2(
1 9
4
9
)2
(4
9
8 9
)2
5
dF d
2 2(
1 9
49 ) 49 2(49
89 )( 89)
0
5 0.4167 12
搜索方向： 最优步长： 迭代公式：
S (k) F ( X (k) ) min F ( X (k) S (k) ) (k) X (k 1) X (k ) (k ) S (k )
F ( X (k) )
收敛判据：
解：
天天向上 厚积爆发
F
(
X
)
22xx12
x2 x1
S(0)
F ( X
(0) )
2)用黄金分割法求解 min f (x) (x 1)2 ，初始区间为 [ 0, 2 ]，迭代 2 次。（10）
第一轮迭代：
a=0，b=2
x (1) 1
a
0.382(b
a)
0.764
f (x1(1) ) 0.0557
x (1) 2
a
0.618(b
a)
1.236
f
(x
(1) 2
)
0.0557
Q
f
习题二
1)论述确定单峰区间的进退步法，并确定函数 f (x) 4x2 4x 1的一个搜索区间 （单峰区间）。设初始点 x0 = 0，初始步长 h0 = 0.5。
（1）进退法是一种通过比较函数值大小来确定单峰区间的方法。 对于给定的初始点 x1 和步长 h，计算 f(x1)和 x2 =x1+h 点函数值 f(x2)。若 f(x1)> f(x2)，说明极小点在 x1 的右侧，将步长增加一倍，取 x3 =x2+2h。若 f(x1)< f(x2)，
习题一
1)论述产品设计过程中系统设计、参数设计及公差设计的目的与作用。
系统设计 根据产品的功能要求，进行产品的系统功能和原理设计，即将功能需求映射为 物理原理，从而得到产品的初始设计方案。通过对不同方案分析比较，得到合 理的初始设计方案。 参数设计 基于初始设计方案，建立产品的系统模型，以性能、质量、成本等为优化目标， 对产品的系统参数优化设计，通过系统参数的合理化，实现性能、质量、成本 的综合最优。 公差设计 在参数设计基础上，进一步以性能、质量、成本综合最优为目标，对参数的公 差（如需波动的范围）进行优化。 2.)用黄金分割法求解
7)论述内点法、外点法和混合罚函数法的特点和适用性。 内点法：
天天向上 厚积爆发
1）初始点为严格内点；
2）仅能处理不等式约束；
3) 可能存在一维搜索超界问题；
3）可以得到多个可行方案。
外点法：
1）初始点可任选；
2）可以处理等式和不等式约束；
3) 不存在内点法中的一维搜索超界问题；