高中数学基本初等函数涉及定义域值域、性质、零点问题
(完整版)六大基本初等函数图像及其性质
六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数）y =C（其中C 为常数）；α1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。
且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称；2）当α为负整数时。
函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数nm时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）；4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m<n,图形于y 轴相切，且m 为偶数时，还跟y 轴对称；m ，n 均为奇数时，跟原点对称；5）当α为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数。
三、指数函数xa y =(x 是自变量,a 是常数且0>a ，1≠a )，定义域是R ；[无界函数]1.指数函数的图象：2.1）当1>a 时函数为单调增,当10<<a 时函数为单调减； 2）不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方； 3）当0=x 时,1=y ,所以它的图形通过(0,1)点。
1(3.（选，补充）指数函数值的大小比较*N ∈a ；a.底数互为倒数的两个指数函数x a x f =)(，xa x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1)(的函数图像关于y 轴对称。
b.1.当1>a 时，a 值越大，xa y =的图像越靠近y 轴；b.2.当10<<a 时，a 值越大，x a y =的图像越远离y 轴。
4.指数的运算法则（公式）；a.整数指数幂的运算性质),,0(Q n m a ∈≥；(1) n m n m a a a +=⋅(2)nm n m aa a -=÷(3)()()mn nm n m aa a ==(4) ()nnnba ab =b.根式的性质； (1)()a a nn= ； (2)当n 为奇数时，a a nn =当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)0(0)(a a a a a a nnc.分数指数幂；(1))1,,,0(*>∈>=n Z n m a a a n m nm(2))1,,,0(11*>∈>==-n Z n m a a aanmnm nm yxf x xxx g ⎪⎫⎛=1)(四、对数函数x y a log =(a 是常数且1,0≠>a a )，定义域),0(+∞∈x [无界]1.对数的概念：如果a(a ＞0，a ≠1)的b 次幂等于N ，就是 N a b=，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作b N a =log ,其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数，式子N a log 叫做对数式。
高中数学函数知识点(详细)
第二章 函数一．函数1、函数的概念：（1）定义：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作：y =)(x f ，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{)(x f | x ∈A }叫做函数的值域． （2）函数的三要素：定义域、值域、对应法则（3）相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致 (两点必须同时具备)2、定义域：（1）定义域定义：函数)(x f 的自变量x 的取值范围。
（2）确定函数定义域的原则：使这个函数有意义的实数的全体构成的集合。
（3）确定函数定义域的常见方法：①若)(x f 是整式，则定义域为全体实数②若)(x f 是分式，则定义域为使分母不为零的全体实数 例:求函数xy 111+=的定义域。
③若)(x f 是偶次根式，则定义域为使被开方数不小于零的全体实数例1． 求函数 ()2143432-+--=x x xy 的定义域。
例2． 求函数()02112++-=x x y 的定义域。
④对数函数的真数必须大于零⑤指数、对数式的底必须大于零且不等于1⑥若)(x f 为复合函数，则定义域由其中各基本函数的定义域组成的不等式组来确定⑦指数为零底不可以等于零，如)0(10≠=x x⑧实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. （4）求抽象函数（复合函数）的定义域已知函数)(x f 的定义域为[0,1]求)(2x f 的定义域 已知函数)12(-x f 的定义域为[0,1）求)31(x f -的定义域3、值域 :（1）值域的定义：与x 相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。
（2）确定值域的原则：先求定义域 （3）常见基本初等函数值域：一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数（正余弦、正切）（4）确定函数值域的常见方法：①直接法：从自变量x 的范围出发，推出()y f x =的取值范围。
(2020-1-8)高中数学必修1第二章-基本初等函数告知知识点小结
下列函数中不是幂函数的是（ ）
A． y 3x
B． y x
C． y 3 x
D． y x0
幂函数的图像过点
2,
1 4
，则它的单调递增区间是（
）
A． (0, )
B．[0, )
C． (, 0)
D． (, )
B
在 y 2 x , y log 2 x, y x 2 , 这三个函数中，
方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号 n a 表示.
(2)当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反
数，这时，正数的正的n次方根用符号 n a 表示，负的n次 方根用符号 n a表示.正负两个n次方根可以合写为 n a
(a＞0)
(3) n a n a (4)当n为奇数时，n a n a ；当n为偶数时，
1
y=x3 y x 2
y=x-1
R [0,+∞) {x|x≠0}
R [0,+∞) {y|y≠Leabharlann }奇 非奇非偶 奇增
(0,+∞)减
增
(-∞，0)减
(1,1)
图 2.3-1 是幂函数 y x 在第一象限的图像，
已知 取 2, 1 四个值， 则相应于曲线 2
C1, C2 , C3, C4 的 的值依次是_______________．
2.二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质
二次函数 y ax2 bx c
1、定义域 2、值域 3、单调性
4、图象
a>0
a<0
R
4ac b2
[
, )
三大基本初等函数
第一讲：三大基本初等函数一、一元二次函数：()()0442222≠-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++==a a b ac a b x a c bx ax x f y 01性质：以0>a 为例：（1）开口向上；（2）对称轴：ab x 2-=； （3)单调性：在⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-a b 2,↓；在⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,2a b ↑ （4）定义域：R ；值域：⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,442a b ac ； （5）()x f 零点个数：∆。
02最值：()()02≠++==a c bx ax x f y 在[]n m ,上的最值：（三点一轴） ()()()⎪⎩⎪⎨⎧+>-+≤-=22,22,max n m a b m f n m a b n f x f ， 注：比较对称轴与区间的中点的大小，两种情况；()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-≤-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-<-=n a b n f n a b m a b f m a b m f x f 2,2,22,min 注：比较对称轴与区间两个端点的大小关系，三种情况。
典型例题：例1：已知函数()122--=x x x f ，求()x f 在区间[]1,+t t 上的最大值()t M 与最小值()t N 。
答案：()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤--=21,221,1222t t t t t t M ； ()⎪⎩⎪⎨⎧>--≤≤-<-=1,1210,20,222t t t t t t t N 变式：求()()t N t M -？例2：已知函数()4212a ax x x f -++-=在区间[]1,0上最大值为2，求a 的值。
解析：法一：分类讨论求最值；法二：利用最大值只可能在两端点或对称轴处取得，求出a ，再检验。
答案：6310-=或a 练习：已知函数()()32log 221+-=ax x x f （1）已知()x f 定义域为R ，求a 的取值范围；（2）已知()x f 值域为R ，求a 的取值范围；（3）()x f 在[)+∞-∈,1x 上有意义，求a 的取值范围；（4）()x f 的值域为(]1,-∞-，求a 的值。
高中数学函数初等函数性质分析
高中数学函数初等函数性质分析一、引言函数是数学中的重要概念，它描述了一种变量之间的关系。
在高中数学中，我们学习了许多不同类型的函数，其中包括初等函数。
初等函数是指可以通过有限次的四则运算、指数函数、对数函数和三角函数来表示的函数。
本文将对初等函数的性质进行分析，并通过具体题目进行举例，帮助读者理解和掌握这些性质。
二、初等函数的性质1. 定义域和值域初等函数的定义域是指使函数有意义的输入值的集合，而值域则是函数所有可能的输出值的集合。
例如，对于函数f(x) = √(x+2)，它的定义域是x≥-2，值域是y≥0。
在解题时，我们需要注意确定函数的定义域和值域，以保证问题的解在函数的范围内。
2. 奇偶性初等函数的奇偶性是指函数关于坐标轴的对称性。
如果对于任意x，有f(-x) =f(x)，则函数为偶函数；如果对于任意x，有f(-x) = -f(x)，则函数为奇函数。
例如，函数f(x) = x^2是一个偶函数，而函数f(x) = x^3是一个奇函数。
在解题时，可以利用函数的奇偶性简化计算，例如，对于奇函数的积分，可以简化为对称区间的一半。
3. 单调性初等函数的单调性是指函数在定义域上的增减性。
如果对于任意x1 < x2，有f(x1) < f(x2)，则函数为增函数；如果对于任意x1 < x2，有f(x1) > f(x2)，则函数为减函数。
例如，函数f(x) = x^2是一个增函数，而函数f(x) = -x^2是一个减函数。
在解题时，可以通过函数的单调性来确定函数的最值和解方程。
4. 对称轴和极值点对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a≠0，它的对称轴可以通过公式x = -b/2a来求得。
对称轴是函数图像的对称轴，对称轴上的点称为顶点，顶点的纵坐标即为函数的极值。
例如，对于函数f(x) = x^2 + 2x + 1，它的对称轴是x = -1，顶点为(-1, 0)，即函数的最小值为0。
(完整版)六大基本初等函数图像与性质
六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数） y =C（其中C 为常数）；α1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。
且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称；2）当α为负整数时。
函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数nm时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）；4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m<n,图形于y 轴相切，且m 为偶数时，还跟y 轴对称；m ，n 均为奇数时，跟原点对称；5）当α为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数。
三、指数函数xa y =(x 是自变量,a 是常数且0>a ，1≠a )，定义域是R ；[无界函数]1.指数函数的图象：2.1）当1>a 时函数为单调增,当10<<a 时函数为单调减； 2）不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方； 3）当0=x 时,1=y ,所以它的图形通过(0,1)点。
1(3.（选，补充）指数函数值的大小比较*N ∈a ；a.底数互为倒数的两个指数函数x a x f =)(，xa x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1)(的函数图像关于y 轴对称。
b.1.当1>a 时，a 值越大，xa y =的图像越靠近y 轴；b.2.当10<<a 时，a 值越大，x a y =的图像越远离y 轴。
4.指数的运算法则（公式）；a.整数指数幂的运算性质),,0(Q n m a ∈≥；(1) n m n m a a a +=⋅(2)nm n m aa a -=÷(3)()()mn nm n m aa a ==(4) ()nnnba ab =b.根式的性质； (1)()a a nn= ； (2)当n 为奇数时，a a nn =当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)0(0)(a a a a a a nnc.分数指数幂；(1))1,,,0(*>∈>=n Z n m a a a n m nm(2))1,,,0(11*>∈>==-n Z n m a a aanmnm nm yxf x xxx g ⎪⎫⎛=1)(四、对数函数x y a log =(a 是常数且1,0≠>a a )，定义域),0(+∞∈x [无界]1.对数的概念：如果a(a ＞0，a ≠1)的b 次幂等于N ，就是 N a b=，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作b N a =log ,其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数，式子N a log 叫做对数式。
高一上册数学函数知识点归纳总结
高一上册数学函数知识点归纳总结1. 函数的定义和性质函数是一种具有特定关系的映射关系，包括定义域、值域、对应关系等。
函数可以表示为数学表达式、图像或者数据集合。
函数的性质包括单调性、奇偶性、周期性等。
2. 基本初等函数常见的基本初等函数包括线性函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
它们各自具有不同的特性和性质，在数学中有广泛的应用。
3. 函数的图像与性质函数的图像是通过绘制函数的各个点而形成的曲线。
通过观察函数的图像，可以了解函数的特点、性质和变化趋势。
常见的图像包括直线、抛物线、指数增长曲线等。
4. 函数的运算与复合函数函数之间可以进行加减乘除等运算，得到新的函数。
函数的复合指的是将一个函数的输出作为另一个函数的输入，从而得到一个新的函数。
函数的运算和复合可以通过代数运算和函数图像来进行研究。
5. 函数的零点和极限函数的零点是函数取值为零的点，也就是方程 f(x)=0 的解。
函数的极限是指当自变量趋向于某个值时，函数取值的趋势和趋向。
寻找函数的零点和研究函数的极限是解决各种数学问题的基础。
6. 反函数与反比例函数如果函数 f(x) 和函数 g(x) 互为反函数，那么对于 f(g(x))=x 和g(f(x))=x 成立。
反比例函数指的是函数的值和自变量成反比例的关系，可以表示为 y=k/x，其中 k 是常数。
7. 函数的导数与微分导数是函数在某一点的变化率，表示为 f'(x)，可以用来解决函数的最值、曲线的切线和函数的变化趋势等问题。
微分是刻画函数局部变化的工具，通过求取函数在某一点的微分来研究函数的性质。
8. 函数的应用函数在实际问题中有广泛的应用，如模拟、建模、最优化、曲线拟合等。
通过函数的定义和性质，可以将实际问题转化为数学模型，并用函数来解决相关的数学和实际问题。
通过以上对高一上册数学函数知识点的归纳总结，我们可以更好地理解函数的基本概念、性质和运用，进而提升数学解题能力和问题解决能力。
基本初等函数定义域、值域、4大性质、零点问题等考法梳理
基本初等函数题型梳理(一)单调性与值域问题 （1）一次函数型例题1 若函数()2f x a x b =-+在[)0,+∞上为增函数，则实数a b 、的范围是【解析】2,()22,ax ab x bf x a x b ax ab x b-+≥⎧=-+=⎨-++⎩＜ ∵函数()2f x a x b =-+在[)0,+∞上为增函数，∴00a b ≤且＞（2）二次函数型例题2 函数()23f x x x m x =-+-在R 上单调递增，求实数m 的取值范围【解析】22(2)3,()23(2)3,x m x x mf x x x m x x m x x m⎧+--≥⎪=-+-=⎨-++-⎪⎩＜∵函数()23f x x x m x =-+-在R 上单调递增∴222222mm m m m -⎧-≤⎪⎪⇒-≤≤⎨+⎪≥⎪⎩ 变式1 函数()y f x =在[2,)+∞上单调递增，且()(4)f x f x =-恒成立，则关于x 的不等式2(3)(22)f x f x +>+的解集为________ 【解析】()(4)f x f x =-恒成立，∴函数关于2x =对称，函数()y f x =在[2,)+∞上单调递增，∴函数在(],2-∞单调递减， 关于x 的不等式2(3)(22)f x f x +>+，∴232222x x +->+-，解得212x x +>，即22110x x x ⎧<+⎨+≥⎩或()22110x x x ⎧<-+⎨+<⎩，解得112x -<<，解集为1(,1)2-（3）分式函数型例题3 函数1()2ax f x x +=+在(2)--∞，上为增函数，求实数a 的取值范围【解析】1(2)1212()222ax a x a af x a x x x +++--===++++在(2)--∞，上为增函数 易知120a -＜，得12a ＞ 变式2 设函数)(1)(R x xxx f ∈+-=，区间M=[a ，b ](a <b )，集合N ={M x x f y y ∈=),(}，则使M =N 成立的实数对(a ，b )有几个？【解析】函数f （x ）= (0)11(0)1x x x x xx x x ⎧-≥⎪⎪+-=⎨+⎪-<⎪-⎩，图象如图所示 由图象可知，y =f （x ）在Ｒ上是连续单调递减函数。
高三数学二轮复习讲义专题一函数性质与图象
专题一 集合，常用逻辑用语，不等式，函数与导数（讲案）第二讲 函数的基本性质与图象【最新考纲透析】预计时间：3.13---3.18函数与基本初等函数的主要考点是：函数的表示方法、分段函数、函数的定义域和值域、函数的单调性、函数的奇偶性、指数函数与对数函数的图象与性质、幂函数的图象与性质。
本部分一般以选择题或填空题的形式出现，考查的重点是函数的性质和图象的应用，重在检测对该部分的基础知识和基本方法的掌握程度。
复习该部分以基础知识为主，注意培养函数性质和函数图象分析问题和解决问题的能力。
【考点精析】题型一 函数的概念与表示例1 (1)函数21sin()(10)()0x x x f x e x π-⎧-<<=⎨≥⎩，若(1)()2f f a +=，则的所有可能值为( ) A ．1，2- B．2- C ．1，2- D ．1，2（2）根据统计，一名工作组装第x 件某产品所用的时间（单位：分钟）为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<=Ax A c A x x c x f ,,,)(（A ，C 为常数）。
已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么C 和A 的值分别是A ．75，25B ．75，16C ．60，25D ．60，16（3）已知集合A 到集合{}0,1,2,3B =的映射1:1f x x →-，则集合A 中的元素最多有 个。
解析：1:1f x x →-是集合A 到集合B 的映射，∴A 中的每一个元素在集合B 中都应该有象。
令101x =-，该方程无解，所以0无原象，分别令11,2,3,1x =-解得：342,,23x x x =±=±=±。
故集合A 中的元素最多为6个。
（4）如图，已知底角为450的等腰梯形ABCD ，底边BC 长为7cm，腰长为cm ，当一条垂直于底边BC （垂足为F ）的直线l 从左至右移动（与梯形ABCD 有公共点）时，直线l 把梯形分成两部分，令BF x =，试写出左边部分的面积y 与x 的函数解析式。
高中数学函数零点问题必考点梳理+真题精练(附答案)
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由图可知：当
0
m
1 2
时，两图象有两个不同的交点，
在区间 1,1 上方程 f x mx m 0 有两个不同的实根，故选：B
例 5．（2020·江苏宝应中学高三三模）已知函数 f x 2ln x2 3x 3 ，其中x 表示不大于 x 的
最大整数（如1.6 1，2.1 3），则函数 f x 的零点个数是（ ）
对函数
y
ln x
1, x
0 求导得
y
1 x 1
，
设切点为
x0, ln x0 1
，则
ln x0 1
x0 1
2 3
1 x0 1
m ，解得
x0
1
1
e3
，m
1
e3
，
数形结合可知，当
m
2 3
1
,e 3
时，直线
y
mx
m
2 3
与函数
f
x
的图象有四个交点，即函数
g
x
有四个零点.故选：B.
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f |
(x) x|
有
2
个不同交点，不满足题意；
当 k 0 时，如图 2，此时 y | kx 2 |与 h(x)
f |
(x) x|
恒有
3
个不同交点，满足题意；
当 k 0 时，如图 3，当 y kx 2 与 y = x2 相切时，联立方程得 x2 kx 2 0 ，
令 0 得 k2 8 0 ，解得 k 2 2 （负值舍去），所以 k 2 2 ． 综上， k 的取值范围为 (,0) (2 2, ) ，故选 D．
图形特征，是数形结合的体现.通过图象可清楚的数出交点的个数（即零点，根的个数）或者
六大基本初等函数图像及其性质
六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数） y =C （其中C 为常数）；二、幂函数 αy =1.幂函数的图像：3y2.幂函数的性质；1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。
且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称；2）当α为负整数时。
函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数nm时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）；4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m<n,图形于y 轴相切，且m 为偶数时，还跟y 轴对称；m ，n 均为奇数时，跟原点对称；5）当α为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数。
三、指数函数xa y =(x 是自变量,a 是常数且0>a ，1≠a )，定义域是R ；[无界函数]1.指数函数的图象：2.指数函数的性质；1）当1>a 时函数为单调增,当10<<a 时函数为单调减； 2）不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方； 3）当0=x 时,1=y ,所以它的图形通过(0,1)点。
3.（选，补充）指数函数值的大小比较*N ∈a ；a.底数互为倒数的两个指数函数yxx a x f =)(，xa x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1)(的函数图像关于y 轴对称。
b.1.当1>a 时，a 值越大，x a y =的图像越靠近y 轴；b.2.当10<<a 时，a 值越大，xay =的图像越远离y 轴。
4.指数的运算法则（公式）；a.整数指数幂的运算性质),,0(Q n m a ∈≥；(1) nm n m a a a +=⋅ (2) n m n m a a a -=÷(3)()()mn nmnm aaa ==(4)()n n n b a ab =b.根式的性质；f xxxx g ⎪⎫ ⎛=1)(四、对数函数x y a log =(a 是常数且1,0≠>a a )，定义域),0(+∞∈x [无界]1.对数的概念：如果a(a ＞0，a ≠1)的b 次幂等于N ，就是 N a b=，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作b N a =log ,其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数，式子N a log 叫做对数式。
高中数学必修一——函数基本性质
高中数学必修一——函数基本性质引言：函数是高中数学中的重要知识点之一，它不仅在高考中占有一定比重，而且在大学数学、物理等学科中也应用广泛。
因此，学好函数是中学数学的重要任务之一。
本文将介绍函数的基本性质，包括定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等，同时提供20道以上的练习题，供读者参考。
一、函数的定义函数是一种特殊的映射关系，它把一个集合中的每个元素都对应到另一个集合中的唯一元素。
函数通常用符号f(x)表示，其中x是自变量，f(x)是因变量。
函数可以表示为f:A\rightarrow B，其中A是定义域，B是值域。
二、函数的基本性质1.定义域：函数的定义域是指所有可以输入函数的自变量的值的集合。
函数的定义域可以是实数集、有理数集、整数集等。
在定义函数时，需要指定函数的定义域。
2.值域：函数的值域是指所有函数可能的输出值的集合。
它是由定义域和函数的性质决定的。
3.单调性：函数的单调性指函数在定义域上的单调变化性质，包括单调递增和单调递减。
如果函数的自变量增大，函数值也增大，则称函数在这个区间内是单调递增的；如果函数的自变量增大，函数值减小，则称函数在这个区间内是单调递减的。
4.奇偶性：函数的奇偶性指函数的性质，可以分为偶函数和奇函数。
如果函数在定义域内满足f(-x)=f(x)，则称函数为偶函数；如果函数在定义域内满足f(-x)=-f(x)，则称函数为奇函数。
5.周期性：函数的周期性指函数在定义域上存在一个最小正周期T，即f(x+T)=f(x)，其中T是正实数。
三、练习题1.设函数f(x)=ax+b，其中a,b是实数，且f(2)=3,f(3)=4，求a,b。
2.求函数f(x)=2x^2-3x+1的定义域和值域。
3.若函数f(x)在区间[a,b]上是单调递增的，且f(a)=f(b)=0，证明f(x)=0在区间[a,b]上有且只有一个实根。
4.设函数f(x)=\sin(x+\alpha)，其中0<\alpha<\dfrac{\pi}{2}，证明f(x)是奇函数。
高中各基本初等函数性质
y=ax2
向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位
y=ax 2+k
向右(h>0)【或左(h<0)】 平移|k|个单位
y=a(x-h)2
向右(h>0)【或左(h<0)】 平移 |k|个单位
时，二次函数的图像和 x
轴有两个交点
M
1
x 1
,
0，M
2
x2
,
0
，
6 / 24
线段 M M
x x
12
1
2
a
b2 4ac ．
a
当
b2
4ac
0 时，二次函数的图像和 x
轴有两个重合的交点 M
b
,
0
．
2a
特别地，当且仅当 b 0 时，二次函数 f x a x 2 b x c a 0 为偶函数．
以为零．二次函数的定义域是全体实数．
2. 二次函数 y a x 2 b x c 的结构特征：
⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量 x 的二次式， x 的最高次数是 2． ⑵ a ，b ，c 是常数， a 是二次项系数， b 是一次项系数， c 是常数项．
5 / 24
二、二次函数的基本形式 ① 一般式： f x a x 2 b x c a 0
,
2a
4a
4ac b2
,
4a
4ac b2
基本初等函数图像及性质
基本初等函数图像及性质六大基本初等函数图像及其性质一、常数函数（也称常值函数）y=C（其中C为常数）；常数函数（y=C）是平行于x轴的直线，定义域为R，值域为{C}，非奇非偶，单调性为不变，公共点为(0,C)。
二、幂函数y=x^α，x是自变量，α是常数；1.幂函数的图像：当α为正整数时，函数的图像都经过原点，并且在原点处与x轴相切。
当α为奇数时，图像关于原点对称；当α为偶数时，图像关于y轴对称。
2.幂函数的性质：函数。
定义域。
值域。
奇偶性。
单调性。
公共点y=x^2.R。
[0,+∞)。
偶。
增。
(0,0)y=x。
R。
R。
非奇非偶。
增。
(0,0)y=x^3.R。
R。
奇。
增。
(0,0)y=x^-1.{x|x≠0}。
{y|y≠0}。
奇。
(-∞,0)减。
(-1,0)∪(0,1)三、指数函数y=a^x（a>1且a≠1），定义域为R，为无界函数。
1.指数函数的图像：当a>1时，图像是单调增的曲线，经过点(0,1)；当0<a<1时，图像是单调减的曲线，也经过点(0,1)。
2.指数函数的性质：函数。
定义域。
值域。
奇偶性。
单调性。
公共点y=a^x(a>1)。
R。
(0,+∞)。
非奇非偶。
增。
(0,1)y=a^x(0<a<1)。
R。
(0,1)。
非奇非偶。
减。
(0,1)本文介绍了指数函数和对数函数的基本概念和性质。
首先，介绍了指数函数的图像和比较大小的方法。
当底数互为倒数时，两个指数函数的图像关于y轴对称。
当底数大于1时，指数函数的值随着底数的增大而增大；当底数小于1时，指数函数的值随着底数的增大而减小。
其次，介绍了指数的运算法则，包括整数指数幂的运算性质和分数指数幂的运算性质。
其中，整数指数幂的运算性质包括指数相加、相减和相乘的规律；分数指数幂的运算性质包括分数指数幂的乘方和除法的规律。
接着，介绍了对数函数的概念和性质。
对数函数是指底数为常数且大于1的指数函数的反函数。
常用对数是以10为底的对数，自然对数是以无理数e为底的对数。
（完整）六大基本初等函数图像及其性质
标准实用文案大全六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数） y =C （其中C 为常数）；常数函数（C y =）≠C 0=C 平行于x 轴的直线y 轴本身定义域R 定义域R二、幂函数αx y=，x 是自变量，α是常数；1.幂函数的图像：2.幂函数的性质；性质函数xy =2xy =3xy =21x y =1-=xy 定义域R R R [0,+[0,+∞∞) {x|x {x|x≠≠0} 值域R [0,+[0,+∞∞) R [0,+[0,+∞∞) {y|y {y|y≠≠0} 奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增[0,+[0,+∞∞) ) 增增增增(0,+(0,+∞∞) ) 减减(-(-∞∞,0] ,0] 减减(-(-∞∞,0) ,0) 减减公共点（1,11,1））xyOxy =2x y =3x y =1-=x y 21x y =O=y xCy =Oxyy1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α，他们的图形都经过原点，并当α>1>1时在原点处与x 轴相切。
且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称；2）当α为负整数时。
函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数nm 时，时，n n 为偶数时函数的定义域为（为偶数时函数的定义域为（0, +0, +0, +∞），∞），∞），n n 为奇数时函数的定义域为（为奇数时函数的定义域为（--∞,+,+∞），函数的图形均经过原点和（∞），函数的图形均经过原点和（∞），函数的图形均经过原点和（1 ,11 ,11 ,1）；）；4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m<n,m<n,图形于图形于y 轴相切，且m 为偶数时，还跟y 轴对称；轴对称；m m ，n 均为奇数时，跟原点对称；5）当α为负有理数时，）当α为负有理数时，n n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n n 为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数。
高中数学各章节详解及题目类型
高中数学各章节详解及题目类型高中数学是我们学习数学的重要一步，这一阶段是我们接触高等数学的跳板。
在高中数学学习过程当中，我们需要学习的知识点非常的繁多，包括了函数、三角函数、数列、概率论等等知识。
本文将详细探究高中数学各章节的教学内容，以及常见的题目类型和解题技巧，帮助读者更加深入地了解这门学科。
第一章函数与映射在这一章节中，学生需要掌握函数的概念、性质及其图像的绘制方法。
同时，需要学会求解函数的零点、单调性、最大值最小值等相关问题。
其中离散型函数和连续型函数区别及特点也需要学生了解。
题目类型：1、函数绘制：给定函数的表达式，绘制出其对应的函数图像。
2、函数性质：针对给定的函数，判断其是否是奇函数、偶函数、周期函数，求函数的定义域和值域。
3、函数的零点及单调性：求函数的零点和单调区间。
4、函数最值问题：求解函数的最大值和最小值。
解题技巧：1、绘制函数图像时，首先掌握函数的基本性质，如对称性，奇偶性，周期性等。
2、对于离散型函数和连续型函数的题目，要有明确的区分。
3、函数最值问题在求导学习后可以通过求导的方法解决。
第二章三角函数在这一章中，学生需要了解角度的概念，以及sin、cos、tan三角函数的定义、性质、图像及其基本变换。
此外还需要学习到三角函数的值域、周期、减角公式、倍角公式等知识点。
题目类型：1、三角函数图像：给定三角函数的基本式或变形式，绘制其对应的函数图像。
2、三角函数的周期、性质等：求出三角函数的周期、奇偶性、定义域和值域等。
3、减角公式、倍角公式：用减角公式和倍角公式来求解各种三角函数值。
解题技巧：1、掌握三角函数值的特点及其基本变换方法。
2、熟悉三角函数的周期及其减角公式、倍角公式。
3、注意处理复合函数的方式。
第三章数列与数学归纳法在这一章节中，学生需要学习数列的定义、等差数列、等比数列、递推数列等内容，并能正确掌握这些数列的性质及解法。
同时，学生还需要学会运用数学归纳法来证明各种数列中的等式成立。
高三数学函数的概念与基本初等函数多选题(讲义及答案)及答案
高三数学函数的概念与基本初等函数多选题(讲义及答案)及答案一、函数的概念与基本初等函数多选题1．一般地，若函数()f x 的定义域为[],a b ，值域为[],ka kb ，则称为的“k 倍跟随区间”；若函数的定义域为[],a b ，值域也为[],a b ，则称[],a b 为()f x 的“跟随区间”.下列结论正确的是（ ）A ．若[]1,b 为()222f x x x =-+的跟随区间，则2b =B ．函数()11f x x=+存在跟随区间 C ．若函数()f x m =1,04m ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦D ．二次函数()212f x x x =-+存在“3倍跟随区间” 【答案】ABCD 【分析】根据“k 倍跟随区间”的定义,分析函数在区间内的最值与取值范围逐个判断即可. 【详解】对A, 若[]1,b 为()222f x x x =-+的跟随区间,因为()222f x x x =-+在区间[]1,b 为增函数,故其值域为21,22b b ⎡⎤-+⎣⎦,根据题意有222b b b -+=,解得1b =或2b =,因为1b >故2b =.故A 正确； 对B,因为函数()11f x x =+在区间(),0-∞与()0,+∞上均为减函数,故若()11f x x=+存在跟随区间[],a b 则有11+11+a b b a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,解得：1212a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 故存在, B 正确.对C, 若函数()f x m =[],a b ,因为()f x m =,故由跟随区间的定义可知b m a b a m ⎧=-⎪⇒-=⎨=⎪⎩a b < 即()()()11a b a b a b -=+-+=-,因为a b <,1=.易得01≤<.所以(1a m m =-=--,令t =20t t m --=,同理t =20t t m --=,即20t t m --=在区间[]0,1上有两根不相等的实数根.故1400m m +>⎧⎨-≥⎩,解得1,04m ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦,故C 正确.对D,若()212f x x x =-+存在“3倍跟随区间”,则可设定义域为[],a b ,值域为[]3,3a b .当1a b <≤时,易得()212f x x x =-+在区间上单调递增,此时易得,a b 为方程2132x x x -+=的两根,求解得0x =或4x =-.故存在定义域[]4,0-,使得值域为[]12,0-. 故D 正确. 故选：ABCD. 【点睛】本题主要考查了函数新定义的问题,需要根据题意结合函数的性质分析函数的单调性与取最大值时的自变量值,并根据函数的解析式列式求解.属于难题.2．已知函数ln ,0()1,0x x f x x x ⎧>=⎨+≤⎩，若函数(())y f f x a =+有6个不同零点，则实数a的可能取值是（ ） A ．0 B ．12-C ．1-D ．13-【答案】BD 【分析】分别代入各个选项中a 的值，选解出(())0f f x a +=中的()f x ，然后再根据数形结合可得出答案. 【详解】画出函数,0,()1,0lnx x f x x x ⎧>=⎨+⎩的图象：函数(())y f f x a =+有零点，即方程(())0f f x a +=有根的问题． 对于A ：当0a =时，(())0f f x =，故()1f x =-，()1f x =，故0x =，2x =-，1=x e，x e =， 故方程(())0f f x a +=有4个不等实根； 对于B ：当12a =-时，1(())2f f x =，故1()2f x =-，()f x =()f x =，当1()2f x =-时，由图象可知，有1个根，当()f x =2个根， 当()f x=时，由图象可知，有3个根，故方程(())0f f x a +=有6个不等实根； 对于C ：当1a =-时，(())1f f x =， 故()0f x =，()f x e =，1()f x e=， 当()0f x =时，由图象可知，有2个根， 当()f x e =时，由图象可知，有2个根， 当1()f x e=时，由图象可知，有3个根， 故方程(())0f f x a +=有7个不等实根； 对于D ：当13a =-时，1(())3f f x =，故2()3f x =-，()f x =()f x ，当2()3f x =-时，由图象可知，有1个根，当()f x =2个根， 当()f x =时，由图象可知，有3个根，故方程(())0f f x a +=有6个不等实根； 故选：BD ． 【点睛】关键点睛：本题的关键一是将问题转化为方程问题，二是先解出()f x 的值，三是根据数形结合得到每一个新的方程的根.3．已知函数2ln(1),0()21,0x x f x x ax x +≥⎧=⎨-+<⎩，其中实数 a ∈R ，则下列关于 x 的方程f 2 (x ) − (1+a )⋅ f (x ) + a = 0的实数根的情况，说法正确的有（ ） A ．a 取任意实数时，方程最多有5个根 B ．当151522a --+<<时，方程有2个根 C ．当 15a --=时，方程有3个根 D ．当 a ≤ −4时，方程有4个根 【答案】CD 【分析】先化简方程为()1f x =或()f x a =，再对a 进行分类讨论，结合图象来确定()1f x =或()f x a =分别有几个根，根据结果逐一判断选项正误即可.【详解】解：关于x 的方程f 2 (x ) − (1+ a )⋅ f (x ) + a = 0，即[][]()1()0f x f x a --=，故()1f x =或()f x a =.函数2ln(1),0()21,0x x f x x ax x +≥⎧=⎨-+<⎩中，()0,()ln 1x f x x ≥=+单调递增，()2220,(2)11x a x f x a x x a -+=-<=+-，对称轴为x a =，判别式()()411a a ∆=+-.（1）当0a ≥时，函数()f x 图象如下：由图象可知，方程()1f x =有1个根，1a >时方程()f x a =有2个根，01a ≤≤时，方程()f x a =有1个根，故1a >时已知方程有3个根，01a ≤<时，已知方程有2个根，1a =时已知方程有1个根；（2）1a =-时，函数()f x 图象如下：10a -<<时，函数()f x 图象如下：由两个图象可知，10a -≤<时，方程()1f x =有2个根，方程()f x a =没有根，故已知方程有2个根；（3）1a <-时，函数()f x 图象如下：方程()1f x =有两个根.下面讨论最小值21a -与a 的关系，由21a a -<解得152a -<， 故当15a --<时，21a a -<，直线y a =如图①，方程()f x a =有2个根，故已知方程有4个根； 当15a --=21a a -=，直线y a =如图②，方程有()f x a =有1 个根，故已知方程有3个根；1a <<-时，21a a ->，直线y a =如图③，方程()f x a =没有根，故已知方程有2个根.综上可知，a 取任意实数时，方程最多有4个根，选项A1a <<时方程有2个根，1a =时已知方程有1个根，1a >时方程有3个根，故选项B 错误；当a =3个根，C 正确；当4a ≤-<时，方程有4个根，故D 正确. 故选：CD. 【点睛】 关键点点睛：本题的解题关键在于分类讨论确定二次函数的图象，以及其最低点处21a -与a 的关系，以确定方程()f x a =的根的情况，才能突破难点.4．对于函数()()13cos ,,22132,,22x x f x f x x π⎧⎡⎤∈-⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎛⎫⎪-∈+∞ ⎪⎪⎝⎭⎩，下面结论正确的是（ ）A ．任取121,,2x x ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭，都有()()122f x f x -≤恒成立 B ．对于一切1,2x ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭，都有()()()*22N k f x f x k k =+∈ C ．函数()1ln 2y f x x ⎛⎫=--⎪⎝⎭有3个零点 D ．对任意0x >，不等式()k f x x ≤恒成立，则实数k 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】ABC 【分析】先在坐标轴中画出()y f x =的图象,根据图象可判断A 选项,结合解析式可判断B 选项,再画出1ln()2y x =-与k y x=的图象,数形结合可判断C,D 选项.【详解】在坐标轴上作出函数()f x 的图象如下图所示:由图象可知()f x 的最大值为1,最小值为1-,故选项A 正确; 由题可知()()()1312,(,)(2),(,)22221f x f x x f x f x x =-∈+∞⇒+=∈-+∞, 所以*1(2)()()()2k f x k f x k N +=∈即()2(2)k f x f x k =+,故选项B 正确;作出1ln()2y x =-的图象，因为11ln(2)ln 2232-=<，由图象可知()y f x =与1ln()2y x =-有3个交点,故选项C 正确;结合图象可知,若对任意0x >,不等式()kf x x恒成立, 即2x n =时,不等式(2)2kf n n恒成立, 又11(2)()(0)()22nnf n f ==, 所以1()22n k n ,即22n nk 在*n N ∈时恒成立, 设2()2x x g x =,则2ln 4()2xxg x -⋅'=, 故[)2,x ∈+∞时,()0g x '<,函数()g x 在[)2,+∞上单调递减, 所以[)2,x ∈+∞时,max ()(2)1g x g ==,又(1)1g =,所以max 212n n ⎛⎫= ⎪⎝⎭,即1k ,故选项D 错误.故选:ABC. 【点睛】本题主要考查分段函数的周期性及数形结合法在处理函数问题中的应用,有一定难度.5．设函数cos2cos2()22x x f x -=-，则（ ） A ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增B ．()f x 的值域为33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．()f x 的一个周期为πD ．4f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图像关于点,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称【答案】BC 【分析】根据余弦函数及指数函数的单调性，分析复合函数的单调区间及值域，根据周期定义检验所给周期，利用函数的对称性判断对称中心即可求解. 【详解】令cos2t x =，则12222ttt t y -=-=-，显然函数12222t t tty -=-=-为增函数， 当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos2t x =为减函数， 根据复合函数单调性可知，()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减， 因为cos2[1,1]t x =∈-， 所以增函数12222ttt t y -=-=-在cos2[1,1]t x =∈-时，3322y -≤≤， 即()f x 的值域为33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； 因为cos2()cos2(cos2c )os222)(2()2x x x x x x f f πππ+-+-=-=+-=，所以()f x 的一个周期为π，因为sin 2sin 2224x x f x π-⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，令sin 2sin 22(2)xx h x --=， 设(,)P x y 为sin 2sin 22(2)xx h x --=上任意一点，则(,)2P x y π'--为(,)P x y 关于,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称的点， 而sin 2(sin 2())22sin 2sin 2()22222x x x x h y x y πππ-----=-==≠--，知点(,)2P x y π'--不在函数图象上，故()h x 的图象不关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称，即4f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图像不关于点,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称.故选：BC 【点睛】本题主要考查了余弦函数的性质，指数函数的性质，复合函数的单调性，考查了函数的周期性，值域，对称中心，属于难题.6．已知21,1, ()ln,1,x xf xx x⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，则关于x的方程2[()]()210f x f x k-+-=，下列正确的是（）A．存在实数k，使得方程恰有1个不同的实数解；B．存在实数k，使得方程恰有2个不同的实数解；C．存在实数k，使得方程恰有3个不同的实数解；D．存在实数k，使得方程恰有6个不同的实数解；【答案】ACD【分析】令()0f x t=≥，根据判别式确定方程2210t t k-+-=根的个数，作出()f x的大致图象，根据根的取值，数形结合即可求解.【详解】令()0f x t=≥，则关于x的方程2[()]()210f x f x k-+-=，可得2210t t k-+-=，当58k=时，()14210k∆=--=，此时方程仅有一个根12t=；当58k<时，()14210k∆=-->，此时方程有两个根12,t t，且121t t+=，此时至少有一个正根；当58k>时，()14210k∆=--<，此时方程无根；作出()f x的大致图象，如下：当58k=时，此时12t=，由图可知()f x t=，有3个不同的交点，C正确；当58k <时，此时方程有两个根12,t t ，且121t t +=，此时至少有一个正根， 当()10,1t ∈、()20,1∈t ，且12t t ≠时，()f x t =，有6个不同的交点，D 正确； 当方程有两个根12,t t ，一个大于1，另一个小于0， 此时()f x t =，仅有1个交点，故A 正确；当方程有两个根12,t t ，一个等于1，另一个等于0，()f x t =，有3个不同的交点，当58k >时，()14210k ∆=--<，此时方程无根. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题考查了根的个数求参数的取值范围，解题的关键是利用换元法将方程化为2210t t k -+-=，根据方程根的分布求解，考查了数形结合的思想，分类讨论的思想.7．已知正数,,x y z ，满足3412x y z ==，则（ ） A ．634z x y << B ．121x y z+= C ．4x y z +> D ．24xy z <【答案】AC 【分析】令34121x y z m ===>，根据指对互化和换底公式得：111log 3log 4log 12m m m x y z===，，，再依次讨论各选项即可. 【详解】由题意，可令34121x y z m ===>，由指对互化得：111,,log 3log 4log 12m m m x y z ===， 由换底公式得：111log 3,log 4,log 12m m m x y z ===，则有111x y z+=，故选项B 错误； 对于选项A ，124log 12log 9log 03m m m z x -=-=>，所以2x z >，又4381log 81log 64log 064m m m x y -=-=>，所以43y x >，所以436y x z >>，故选项A 正确；对于选项C ､D ，因为111x y z +=，所以xyz x y=+，所以()()()()2222222440x y xy x y xy x y z xy x y x y -+--==-<++，所以24xy z >，则()24z x y z +>，则4x y z +>，所以选项C 正确，选项D 错误；故选：AC. 【点睛】本题考查指对数的运算，换底公式，作差法比较大小等，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于令34121x y z m ===>，进而得111,,log 3log 4log 12m m m x y z ===，再根据题意求解.8．函数()f x 的定义域为D ，若存在区间[],m n D ⊆使()f x 在区间[],m n 上的值域也是[],m n ，则称区间[],m n 为函数()f x 的“和谐区间”，则下列函数存在“和谐区间”的是（ ） A ．()f x =B ．()222f x x x =-+C ．()1f x x x=+D ．()1f x x=【答案】ABD 【分析】根据题意，可知若()f x 在区间[],m n 上的值域也是[],m n ，则()f x 存在“和谐区间”[],m n ，且m n <，则()()f m m f n n ⎧=⎪⎨=⎪⎩或()()f m nf n m ⎧=⎪⎨=⎪⎩，再对各个选项进行运算求解,m n ，即可判断该函数是否存在“和谐区间”.【详解】解：由题得，若()f x 在区间[],m n 上的值域也是[],m n ，则()f x 存在“和谐区间”[],m n ，可知，m n <，则()()f m m f n n ⎧=⎪⎨=⎪⎩或()()f m nf n m ⎧=⎪⎨=⎪⎩，A ：())0f x x =≥，若()()f m mf n n⎧==⎪⎨==⎪⎩，解得：01m n =⎧⎨=⎩，所以()f x =“和谐区间”[]0,1；B ：()()222f x x x x R =-+∈，若 ()()222222f m m m mf n n n n ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩，解得：12m n =⎧⎨=⎩，所以()222f x x x =-+存在“和谐区间” []1,2；C ：()()10f x x x x =+≠，若()()11f m m m mf n n n n ⎧=+=⎪⎪⎨⎪=+=⎪⎩，得1010m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故无解；若()()11f m m nmf n n mn⎧=+=⎪⎪⎨⎪=+=⎪⎩，即 21111m n m m m n n m n ⎧+=⎪⎪⎪=⎨+⎪⎪+=⎪⎩，化简得：2210(1)m m m m ++=+， 即210m m ++=，由于2141130∆=-⨯⨯=-<，故无解； 若()0112,m n f m m <<<∴=∴= 不成立 所以()1f x x x=+不存在“和谐区间”； D ：()()10f x x x =≠，函数在()()0+-0∞∞，，， 单调递减，则 ()()11f m n mf n mn ⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩， 不妨令122m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 所以()1f x x =存在“和谐区间”1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦； 综上得：存在“和谐区间”的是ABD. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题以函数的新定义为载体，考查函数的定义域、值域以及零点等知识，解题的关键是理解“和谐区间”的定义，考查运算能力以及函数与方程的思想.二、导数及其应用多选题9．对于函数2ln ()xf x x=，下列说法正确的有（ ） A ．()f x在x =12eB ．()f x 有两个不同的零点 C．(2)f f f <<D ．若21()f x k x>-在(0,)+∞上有解，则2e k <【答案】ACD 【分析】利用导数求出函数的单调区间，进一步求出函数的极值可判断A ；利用函数的单调性和函数值的范围判断B ；利用函数的单调性比较出函数值的大小关系判断C ；利用不等式有解问题的应用判断D ． 【详解】函数2ln ()x f x x =，所以2431ln 212ln ()(0)x x xx x f x x x x⨯-⨯-'==>， 令()0f x '=，即2ln 1x =，解得x =当0x <<()0f x '>，故()f x在上为单调递增函数．当x >()0f x '<，故()f x在)+∞上为单调递减函数．所以()f x在x =12f e=，故A 正确；当0x <<()0f x '>，()f x在上为单调递增函数，因为()10f =，所以函数()f x在上有唯一零点，当x ≥2ln ()0xf x x=>恒成立，即函数()f x在)+∞上没有零点， 综上，()f x 有唯一零点，故B 错误．由于当x >()0f x '<，()f x在)+∞上为单调递减函数，因为2>>>(2)f f f <<，故C 正确；由于21()f x k x >-在(0,)+∞上有解，故221ln 1()x k f x x x +<+=有解，所以2ln 1()max x k x +<，设2ln 1()x g x x +=，则32ln 1()x g x x --'=，令()0g x '=，解得x =当x >()0f x '<，故()f x在)+∞上为单调递减函数．当0x <<时，()0f x '>，故()f x在上为单调递增函数．所以()22max e eg x g e ==-=． 故2ek <，故D 正确．故选：ACD ． 【点睛】方法点睛：本题通过对多个命题真假的判断，综合考查导数的应用，这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.10．若存在常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”．已知函数()22x f x =（x ∈R ），()12g x x =（0x <），()ln h x e x =，（e 为自然对数的底数），则（ ）A ．()()()m x f x g x =-在0x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递减 B ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为2- C ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是[]2,1-D ．()f x 和()g x 之间存在唯一的“隔离直线”，方程为2ey =-【答案】BD 【分析】对于A ：令()()()m x f x g x =-，利用导数可确定()m x 单调性，进而作出判断； 对于B 和C ：利用二次函数的性质以及不等式恒成立的知识求出b 、k 的范围，进而作出判断；对于选项D ：根据隔离直线过()f x 和()h x 的公共点，可假设隔离直线为2e y kx =-；可得到222x ekx ≥-，再利用恒成立得出k 的值，最后尝试利用导数证明()2eh x ≤-，进而作出判断. 【详解】对于A ，()()()2122x m x f x g x x =-=-， ()322121022x m x x x x+'∴=+=>， 当x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0m x '>，()m x ∴单调递增，故A 错误； 对于B ，C ，设()f x ，()g x 的隔离直线为y kx b =+，22x kx b ≥+对任意x ∈R 恒成立，即2220x kx b --≥对任意x ∈R 恒成立， 所以21480k b ∆=+≤，所以0b ≤，又12kx b x ≤+对任意(),0x ∈-∞恒成立，即22210kx bx +-≤对任意(),0x ∈-∞恒成立，因为0b ≤，所以0k ≤且21480b k ∆=+≤，所以22k b ≤-且22b k ≤-，4248k b b ≤≤-，解得20k -≤≤，同理20b -≤≤， 所以b 的最小值为2-，k 的取值范围是[]2,0-， 故B 正确，C 错误； 对于D ，函数()f x 和()h x的图象在x =∴若存在()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k，则隔离直线方程为(2ey k x -=，即2e y kx =-，则222x ekx ≥-（x ∈R），得2220x kx e -+≥对x ∈R 恒成立，则()24420k e ∆=-≤，解得k =，此时隔离直线方程为：2ey =-，下面证明()2e h x ≤-， 令()()ln 22e e G x h x e x =--=--（0x >），则()x G x x'=，当x =()0G x '=；当0x <<()0G x '<；当x >()0G x '>；∴当x =()G x 取到极小值，也是最小值，即()0min G x G==，()()02e G x h x ∴=--≥在()0,∞+上恒成立，即()2eh x ≤-，∴函数()f x 和()h x存在唯一的隔离直线2ey =-，D 正确. 故选：BD . 【点睛】关键点睛：本题考查导数中的新定义问题的求解；解题关键是能够充分理解“隔离直线”的定义，将问题转化为根据不等式恒成立求解参数范围或参数值、或不等式的证明问题，属于难题.。
高频考点之基本初等函数及性质题型归纳
基本初等函数及性质题型归纳一、零点存在性问题解题思想：①.<0；②f(x)在（a,b ）上连续不断。
则f(x)在（a,b ）上有零点。
例1．（2022·安徽·安庆一中高三期末（理））函数2()log f x x x =+的零点所在的区间为（）A．11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭B．12,23⎛⎫⎪⎝⎭C．23,34⎛⎫ ⎪⎝⎭D．3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭练习：1.(2019·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝2sin x －sin 2x 在[0，2π]的零点个数为()A.2 B.3 C.4 D.52.在下列区间中，函数f (x )＝e x ＋3x －4的零点所在的区间为()A.10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D.312⎛⎫ ⎪⎝⎭，二、初等函数例2．（2021·四川省绵阳第一中学一模（文））函数27x y a -=+（0a >，且1a ≠）的图象恒过定点P ，P 在幂函数()f x x α=的图象上，则(3)f =_______；练习：（2021·广东·湛江二十一中高三阶段练习）若函数()25log 212a f x x ax a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭有最大值，则a的取值范围为（）A．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C．21,52⎛⎫ ⎪⎝⎭D．()1,2三、函数性质例3．（2022·北京密云·高三期末）下列函数中，既是偶函数，又在()0,∞+上单调递增的是（）A．cos y x =B．211y x =+C．22x x y -=-D．ln y x=练习：2.（2022·湖北·十堰市教育科学研究院高三期末）已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()21x a x a f x =+++，则()2f -=（）A．﹣2B．2C．﹣6D．62．（2022·河南南乐·高三阶段练习（文））已知函数()2f x +是R 上的偶函数，且()f x 在[)2,+∞上恒有()()()1212120f x f x x x x x -<≠-，则不等式()()ln 1f x f >的解集为（）A．()()3,e e ,∞∞-⋃+B．1,e 2C．()3e,eD．()e,∞+3．（2022·海南·模拟预测）若函数22,,()4,x x m f x x x x m-⎧=⎨+>⎩ 是定义在R 上的增函数，则实数m 的取值范围是（）A．(,2]-∞-B．[1,)-+∞C．(]{},21∞--⋃-D．{}[)21,∞-⋃-+四、函数零点问题解题思路：①分参法；②换元法；③分类讨论法；④初等函数图像交点法例4．（2021·安徽·淮南第一中学高三阶段练习（理））已知函数()()()24,532,3x x f x f x x ⎧+-≤<-⎪=⎨-≥-⎪⎩，若函数()()log a g x f x x =-有9个零点，则实数a 的取值范围为（）A．()5,7B．(]5,7C．(]9,11D．()9,11练习：1．（2022·河南·温县第一高级中学高三开学考试（文））已知函数()22,0lg ,0x x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，则函数()()11g x f x =--的零点个数为（）.A．1B．2C．3D．42.（2022·安徽淮北·一模（文））已知函数()2ln ,12,1x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩，若m n <，且()()f m f n =，则n m -的取值范围是（）A．3242ln2,e 1⎡⎫--⎪⎢⎣⎭B．3242ln2,e 1⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C．323,e 1⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D．323,e 1⎡⎫-⎪⎢⎣⎭五、函数图像问题解题思路：①看定义域；②奇偶性；③赋值法例5．（2022·山东菏泽·高三期末）已知函数()2e e 2x xf x x x --=+-的图象可能为（）A．B．C．D．六、抽象函数的性质例6．（2022·安徽淮北·一模（理））已知函数()f x 的定义域为R ，()2f x +为奇函数，()21f x +为偶函数，则（）A．()20f -=B．()10f -=C．()10f =D．()30f =练习：（2021·安徽·高三阶段练习（理））已知定义域为R 的函数()f x 满足()()13f x f x +=，且当(]0,1x ∈时，()()41f x x x =-，则当[)2,1x ∈--时，()f x 的最小值是（）A．181-B．127-C．19-D．13-七、比较大小解题思想：①指数、对数、幂函数的基本性质；②构造函数；③作出函数图像例8．（2022·辽宁丹东·高三期末）设345log 5,log 9,log 7a b c ===，则（）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．c a b<<练习：1．（2021·安徽·泾县中学高三阶段练习（文））已知11231111,,log 23ea b c π-⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．b c a<<2.（2022·广东茂名·一模）已知,,x y z 均为大于0的实数，且523log x yz ==，则,,x y z 大小关系正确的是（）A ．x y z >>B ．x z y >>C ．z x y >>D ．z y x >>3．（2022·江西赣州·高三期末（理））实数a ，b ，c 满足22,ln e,33+=+=+=a c a b b c ，则（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a<<4.（2022·江西上饶·一模（理））设150a =，ln 7100b =，512ln 50c =，则,,a b c 的大小关系正确的是（）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．b a c <<八、函数综合问题解题思想：数形结合思想；分类讨论思想；函数思想等。
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各类基本初等函数涉及定义域值域、性质、零点问题等梳理(一)单调性与值域问题 （1）一次函数型例题1 若函数()2f x a x b =-+在[)0,+∞上为增函数，则实数a b 、的范围是【解析】2,()22,ax ab x bf x a x b ax ab x b-+≥⎧=-+=⎨-++⎩＜ ∵函数()2f x a x b =-+在[)0,+∞上为增函数，∴00a b ≤且＞【小结】亦可对a 的符号进行分类讨论，一一排除。
（2）二次函数型例题2 函数()23f x x x m x =-+-在R 上单调递增，求实数m 的取值范围【解析】22(2)3,()23(2)3,x m x x mf x x x m x x m x x m⎧+--≥⎪=-+-=⎨-++-⎪⎩＜∵函数()23f x x x m x =-+-在R 上单调递增∴222222mm m m m -⎧-≤⎪⎪⇒-≤≤⎨+⎪≥⎪⎩变式1 函数()y f x =在[2,)+∞上单调递增，且()(4)f x f x =-恒成立，则关于x 的不等式2(3)(22)f x f x +>+的解集为________ 【解析】()(4)f x f x =-恒成立，∴函数关于2x =对称，函数()y f x =在[2,)+∞上单调递增，∴函数在(],2-∞单调递减， 关于x 的不等式2(3)(22)f x f x +>+，∴232222x x +->+-，解得212x x +>，即22110x x x ⎧<+⎨+≥⎩或()22110x x x ⎧<-+⎨+<⎩，解得112x -<<，解集为1(,1)2-例题3 函数1 ()2axf xx+=+在(2)--∞，上为增函数，求实数a的取值范围【解析】1(2)1212()222ax a x a af x ax x x+++--===++++在(2)--∞，上为增函数易知120a-＜，得12a＞变式2设函数)(1)(Rxxxxf∈+-=，区间M=[a，b](a<b)，集合N={Mxxfyy∈=),(}，则使M=N成立的实数对(a，b)有几个？【解析】函数f（x）=(0)11(0)1xxx xxxxx⎧-≥⎪⎪+-=⎨+⎪-<⎪-⎩，图象如图所示由图象可知，y=f（x）在Ｒ上是连续单调递减函数。
而N=｛y|y=f（x），x∈M｝表示函数定义域为Ｍ＝［a，b］时其值域为Ｎ。
由Ｍ＝Ｎ得解得a=b=0，这与a<b矛盾，所以0个变式3若函数2+-=xbxy在区间()4,+ba()2-<b上的值域为()+∞,2，则=ba______________．【解析】+2+2+2==1+222x b x b byx x x---=+++（）（）2+20b b∵＜-，∴＜∴2+-=xbxy()2-<b在区间()4,+ba是减函数，∴462a byb a-++＜＜又∵值域为()+∞,2，∴4=226ab=-+，，即24,a b=-=-，∴116ba=例题4 已知幂函数93*()()m f x x m N -=∈的图象关于原点对称，且在R 上单调递增． （1）求()f x 表达式；（2）求满足(1)(34)0f a f a ++-<的a 的取值范围．【分析】（1）由题意可得9﹣3m ＞0，解不等式可得m 的整数解，结合题意可得m ，即有函数的解析式；（2）由（1）可得奇函数f （x ）在R 上单调递增，原不等式可化为a +1＜4﹣3a ，解不等式即可得到所求范围．【解析】（1）幂函数f （x ）＝x 9﹣3m（m ∈N *）的图象关于原点对称，且在R 上单调递增，可得9﹣3m ＞0，解得m ＜3，m ∈N *，可得m ＝1，2， 若m ＝1，则f （x ）＝x 6的图象不关于原点对称，舍去；若m ＝2，则f （x ）＝x 3的图象关于原点对称，且在R 上单调递增，成立．则f （x ）＝x 3； （2）由（1）可得奇函数f （x ）在R 上单调递增，f （a +1）+f （3a ﹣4）＜0， 可得f （a +1）＜﹣f （3a ﹣4）＝f （4﹣3a ），即为a +1＜4﹣3a ，解得a ＜．【小结】本题考查幂函数的解析式的求法，以及函数的奇偶性和单调性的判断和运用：解不等式，考查运算能力，属于中档题．例题5 设幂函数),()1()(Q k R a x a x f k∈∈-=的图像过点)2,2(． （1）求a k ,的值；（2）若函数()()2()1h x f x b f x b =-+-在]2,0[上的最大值为3，求实数b 的值．【解析】（1）211=⇒=-a a ；kx x f =)(过点)2,2(，则22)2(=⇒=k k（2）由（1）知2)(x x f =，则1)(12)(222+-+--=-++-=b b b x b bx x x h 当0<b 时，)(x h 在]2,0[单调递减，231)0()(max -=⇒=-==b b h x h ；当20≤≤b 时，（舍）或1-231)()(2max =⇒=+-==b b b b h x h当2>b 时，)(x h 在]2,0[单调递增，)(2333)2()(max 舍=⇒=-==b b h x h 综上，b 的值为2±．变式4 （I ）若33-m m （+1）＜（32），试求实数m 的取值范围 （II ）若1122-m m （+1）＜（32），试求实数m 的取值范围 （III ）若3355-m m --（+1）＜（32），试求实数m 的取值范围（IV ）若44-m m （+1）＜（32），试求实数m 的取值范围 【解析】（I ）易知幂函数3y x =在R 上单调递增 ∴13-2m m +＜，解得23m ＜（II ）易知幂函数12y x=在定义域[)0,+∞上单调递增∴103-2013-2m m m m +≥⎧⎪≥⎨⎪+⎩＜，解得213m -<≤． （III ）（i ）当图象位于第一象限时，10320132m m m m +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩，，，解得2332m ＜＜（ii ）当图象位于第三象限时，10320132m m m m +<⎧⎪-<⎨⎪+>-⎩，，，此时无解（iii ）当图象位于第一和第三象限时，10320m m +<⎧⎨->⎩，，，解得1m <-综上可得23(1)32m ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，，∞ （IV ）根据幂函数4y x =图象易知，距离y 轴越远，y 值越大∴13-2m m +＜，两边平方后转化为一元二次不等式，解得23m m ＜或＞4（5）指数函数型例题6 已知函数2251()3x x y ++=，求其单调区间及值域．【分析】要求复合函数的单调递增（减)区间的即求内函数的单调递减区间，根据二次函数的性质，求出内函数的单调递减（增)区间和值域后，即可得到答案． 【解析】设22()25(1)44t x x x x =++=++则()t x 的单调递减区间为(-∞，1]-，递增区间为[1-，)+∞ 函数1()3t y =为减函数，故函数2251()3x x y ++=的单调递增区间为(-∞，1]-，递减区间为[1-，)+∞∴1081y< ∴值域为(0，1]81【小结】本题考查的知识点是复合函数的单调性，函数的值域，指数函数的性质及二次函数的性质，其中根据复合函数单调性“同增异减”的法则，将问题转化为求二次函数的单调递减区间问题是解答本题的关键．例题7 已知函数1()423x x f x +=-+． （1）当()11f x =时，求x 的值；（2）当[2x ∈-，1]时，求()f x 的最大值和最小值． 【解析】（1）当()11f x =，即142311x x +-+=时，2(2)2280x x --=，(24)(22)0x x ∴-+= 20222x x >+>，240x ∴-=，24x =，故2x =（2）2()(2)223x x f x =-+，令2()(21)2x f x ∴=-+ 当21x =，即0x =时，函数的最小值()2min f x = 当22x =，即1x =时，函数的最大值()3max f x =【小结】本题考查了指数型复合函数的性质和应用，属于基础题．抓住题中的基本量与单位元，灵活地运用二次函数的图象与性质解题，是本题的关键．变式5 已知定义域为R 的函数2()2xxa f xb -=+是奇函数 （1）求a ，b 的值．（2）判断()f x 的单调性，并用定义证明（3）若存在t R ∈，使22()(42)0f k t f t t ++-<成立，求k 的取值范围． 【分析】（1）根据函数奇偶性的性质建立方程关系进行求解． （2）利用函数单调性的定义进行证明即可．（3）根据函数单调性和奇偶性的性质将不等式进行转化求解即可． 【解析】（1）()f x 是R 上的奇函数，(0)0f ∴=，即1011a ab -=∴=+ (1)f f -=-（1）∴122122a ab b --=-++，即1122121122b b b b b =∴+=+∴=++ 经验证符合题意．1a ∴=，1b =（2）12(21)22()1121212x x x x xf x --++===-++++ ()f x 在R 上是减函数，证明如下：任取1x ，2x R ∈，且12x x <，121212*********(22)()()1212(12)(12)x x x x x x x x f x f x ----=-=++++， 12x x <∴1222x x <，12()()0f x f x ∴->即12()()f x f x >()f x ∴在R 上是减函数．（3）22()(42)0f k t f t t ++-<，()f x 是奇函数，22()(24)f k t f t t ∴+<-又()f x 是减函数，222244k t t t k t t ∴+>-∴>-设g 2()4t t t =-，∴问题转化为()min k g t >()min g t g =（2）4=-，4k ∴>-【小结】本题主要考查函数奇偶性的应用，以及函数单调性的判断和应用，利用定义法，结合函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化是解决本题的关键．变式6 已知定义在R 上的奇函数()33x x f x a -=⨯+，a 为常数． （1）求a 的值；（2）用单调性定义证明()f x 在[0，)+∞上是减函数； （3）解不等式(1)(23)0f x f x -++<． 【分析】（1）根据(0)0f =解出a ；（2）设120x x >，计算12()()f x f x -并化简，只需证明12()()0f x f x -<即可； （3）利用单调性和奇偶性得出(23)(1)f x f x +<-，等价于231x x +>-，解出x ． 【解析】（1）()f x 是定义在R 上的奇函数，(0)0f ∴=，即10a +=，解得1a =-．（2）()33x x f x -=-+，设120x x >，则211212()()3333x x x x f x f x ---=-+-， 120x x >，12x x ∴-<-，∴2133x x <，1233x x --<，即21330x x -<，12330x x ---<211212()()33330x x x x f x f x --∴-=-+-<，()f x ∴在[0，)+∞上是减函数． （3）()f x 是奇函数且在[0，)+∞上单调递减，()f x ∴在R 上是减函数．(1)(23)0f x f x -++<．(23)(1)(1)f x f x f x ∴+<--=-，231x x ∴+>-，解得23x>-． 【小结】本题考查了函数单调性与奇偶性综合应用，属于基础题．变式7 设()31,()()()xf x c b a f c f a f b =-<<>>，，则下列成立的是（ ）.33.33.3A B .332C D 32c b b ac a c a >>+>+<【解析】由题，31,0()13,0xxx f x x <⎧-≥⎪=⎨-⎪⎩，作出()y f x =的图像，如图所示，由 ()()()c b a f c f a f b <<>>，可知三点位置如图所示，即0c b a <<<， 又3xy =为增函数，故333c b a <<，,A B 错误；又 ()()f c f a >，即1331332c a a c ->-⇒+<，故选D 。