理论力学第八章课件资料
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理论力学 第八章
x o ' = x o ' (t ) 牵连运动方程 y o ' = y o ' ( t ) = ( t )
动系与定系之间的坐标变换关系
x = xO′ + x′ cos y′sin y = yO′ + x′ sin + y′ cos
沿半径为r的圆 例8-1 点M相对于动系 Ox′y′ 沿半径为 的圆 相对于动系 周以速度v作匀速圆周运动 圆心为O 作匀速圆周运动(圆心为 周以速度 作匀速圆周运动 圆心为 1 ） ，动系x′y′ O Oxy 以匀角速度ω绕点 作定轴转动， 相对于定系 以匀角速度 绕点O作定轴转动， 绕点 作定轴转动 如图所示。 重合， 重合。 如图所示。初始时x′y′ 与 与 重合 O Oxy 重合，点M与O重合。 的绝对运动方程。 求：点M的绝对运动方程。 的绝对运动方程
. 已知: 已知 ω, OA, = r, OO1 = l, OA水平 求: ω1 = ?
解:
1．动点：滑块A ． 动系：摇杆AB 2. 运动分析 绝对运动:绕O点的圆周运动
相对运动:沿O1B的直线运动 牵连运动:绕O1轴定轴转动
√ √ √
3.
ve = va sin = ωr
r
2 2
l +r ve r2ω ∴ω1 = = 2 2 O A l +r 1
4. 绝对运动方程 vt vt x = x′ cos y′ sin = r1 cos r cosωt r sin r sin ωt y = x′ sin + y′ cos = r1 cos vt sin ωt + r sin vt co-3 用车刀切削工件的直径端面，车刀刀尖 M沿水平轴 作往复运动，如图所示。设oxy为定坐 沿水平轴x作往复运动 沿水平轴 作往复运动，如图所示。 为定坐 标系，刀尖的运动方程为 x = bsin (ωt ) 。工件以 标系， 逆时针转向转动。 等角速度 ω逆时针转向转动。 求：车刀在工件圆端面上切出的痕迹。 车刀在工件圆端面上切出的痕迹。
08-理论力学-第二部分运动学第八章刚体的平面运动
形S在该瞬时的位置也就确定了。
88
运动学/刚体的平面运动
四、平面运动的分解 ——平移和转动
当图形Ｓ上Ａ点不动时，则
刚体作定轴转动 。
当图形Ｓ上 角不变时，
则刚体作平移。
故刚体平面运动可以看成是 平移和转动的合成运动。
例如：车轮的平面运动可以看成: 车轮随同车厢的平移 和相对车厢的转动的合成。
99
2121
如图示平面图形，某瞬时速度瞬心为P点， 该瞬时平面图形内任一点B速度大小
vB vP vBP vBP
B
大小：vB BP
方向：BP，指向与 转向相一致。
vB
S
vA
C
vC
同理:vA=ω·AP, vC=ω·CP
由此可见，只要已知图形在某一瞬时的速度瞬心 位置和角速度 ，就可求出该瞬时图形上各点的速度。
的平面Ⅱ内的运动。
66
运动学/刚体的平面运动
二、平面运动的简化 刚体的平面运动可以简化为
平面图形S在其自身平面内的运动。 即在研究平面运动时，不需考虑 刚体的形状和尺寸，只需研究平 面图形的运动，确定平面图形上 各点的速度和加速度。
三、平面运动方程 为了确定代表平面运动刚体的
平面图形的位置，我们只需确定平 面图形内任意一条线段的位置。
vBA
s
B
vB vA
A
vA
方向： AB, 指向与 转向一致。
即：平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点随
平面图形绕基点转动的速度的矢量和。 ——基点法
基点法是求解平面图形内一点速度的基本方法。 1414
运动学/刚体的平面运动
二、速度投影法
由于A, B点是任意的，因此
《理论力学》第八章 刚体平面运动
平面运动刚体绕基点转动的角速 度和角加速度与基点的选择无关！
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以蓝点为基点
以红点为基点
平移的速度与加速度与基点选择有关不同，而绕 基点转动的角速度与角加速度与基点的选择无关
例1: 已知曲柄－滑块机构中OA=r , AB=l;曲柄OA 以匀角速度绕O轴转动。求连杆AB的运动方程。 解： 建立图示参考坐标系，
已知图形上两点的速度平行，但两点 连线与速度方位不垂直 可以认为速度
0
瞬心在无穷远
平面 运动
平动图形上各点 的速度和加速度 是相同的，但瞬 时平动其上各点 的速度相同而各 点的加速度一般 不同
作平面运动的刚体上求各点速度的方法的适 用范围 1、基点法：已知基点速度和作平面运动刚体
的角速度。是基本方法，可求平面图形的速度 和角加速度，图形上一点的速度。
例2：曲柄滑块机构如图所示，曲柄OA以匀角速度 ω转动。已知曲柄OA长为R，连杆AB长为l。当曲柄 在任意位置 = ωt时，求滑块B的速度。
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解： 一、基点法
因为A点速度 vA已知，故选A为基点
vA
AB
v B v A v BA
平动方程 y
称O为基点
y
P
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f3 ( t )
讨论：
1. 为常数
刚体平 面运动 方程
y0 转动方程 O1 x 0
O
S x
x 刚体随基点平移 (随同动系平移)
2. (xO,yO)为常数
理论力学课件第八章
第八章 点的合成运动教学要求1、掌握运动合成与分解的基本概念和方法；2、能应用点的速度合成定理和加速度合成定理求解平面问题。
前两章分析的点或刚体相对一个定参考系的运动，可称为简单运动。
物体相对不同参考系的运动是不相同的。
研究物体相对于不同参考系的运动，分析物体相对于不同参考系运动之间的关系，可称为复杂运动或合成运动。
§8-1 相对运动·牵连运动·绝对运动例沿直线轨道滚动的车轮，其轮缘上点M 的运相对地面其轨迹是旋轮线。
通过观察可以发现，物体对一个参考系的运动可以由几个运动组合而成。
一、运动的合成与分解 点M 相对地面的旋轮线运动(分解)→ ←(合成)点M 相对车厢的圆周运动+车厢相对地面的平移 二、基本概念 两个参考系：定参考系oxy —一般固连于地面动参考系o’x’y’—固连在相对地球运动的参考体上三种运动：绝对运动—动点相对定系的运动相对运动—动点相对动系的运动牵连运动—动系相对定系的运动三种速度、加速度：绝对：速度v a ；加速度a a ，相对：速度v r ；加速度a r ，牵连：速度 v e ；加速度a e 牵连速度和牵连加速度是指动系上与动点重合的那一点的速度和加速度。
例8.1 已知AB 杆的ω、α，试分析点M 的三种运动、速度、加速度。
解：1、动点—小圆环M 定系—固连于地面 动系—固连于AB 杆 2、运动分析 绝对运动—M 沿大圆环的圆周运动相对运动—M 沿AB 杆的直线运动牵连运动—杆AB 绕A 点的转动3、速度：v a 、v r 、v e 如图4、加速度a a =a a τ+a a n ；a r ；a e =a e τ+a e n 如图三、运动方程和轨迹动点—M ，定系—oxy ，动系—o ’x’y’绝对运动方程：x =x (t)，y =y (t )，消去t 得绝对运动轨迹 相对运动方程： x’=x’(t)，y’=y’(t )，消去t 得相对运动轨迹 牵连运动方程(动系相对定系)： x o'= x o'(t )，y o'= y o'(t )，ϕ=ϕ (t ) 三者间的关系： x = x o'+x’cos ϕ- y’sin ϕ τo' yy = y o'+ x’sin ϕ+ y’cos ϕ例8.2车削工件端面，oxy 为定系，工件以等角速度ω转动，刀尖M 沿x 轴往复运动，运动方程为x =b sin ωt 。
《理论力学》第八章刚体的平面运动
刚体的平面运动特点
刚体的平面运动具有 连续性，即刚体上任 意一点的运动轨迹都 是连续的。
刚体的平面运动具有 周期性，即刚体的运 动轨迹可以是周期性 的。
刚体的平面运动具有 对称性，即刚体的运 动轨迹可以是对称的。
02
刚体的平面运动分析
刚体的平动分析
平动定义
刚体在平面内沿着某一确定方向作等速直线运动。
详细描述
通过综合分析动能和势能的变化，可以深入理解刚体在平面运动中的能量转换过程。例 如，当刚体克服重力做功时，重力势能转化为动能；当刚体克服摩擦力做功时，机械能 转化为内能。这种能量转换过程遵循能量守恒定律，即系统总能量的变化等于外界对系
统所做的功与系统内能变化之和。
06
刚体的平面运动的实例分析
刚体的平面运动通常可以分为两种类型：纯滚动和滑动。在 纯滚动中，刚体只滚不滑，刚体上任意一点在任意时刻都位 于一个固定的圆周上。在滑动中，刚体既滚又滑，刚体上任 意一点在任意时刻都位于一个变化的圆周上。
刚体的平面运动分类
纯滚动
刚体只滚不滑，刚体上任意一点 在任意时刻都位于一个固定的圆 周上。
滑动
刚体既滚又滑，刚体上任意一点 在任意时刻都位于一个变化的圆 周上。
势能定理
总结词
势能定理描述了势能与其他形式的能量转换的关系。
详细描述
势能定理指出，在刚体的平面运动过程中，非保守力（如摩擦力、空气阻力等）对刚体所做的功等于系统势能的 减少量。非保守力做正功时，系统势能减少；非保守力做负功时，系统势能增加。
动能和势能的综合分析
总结词
在刚体的平面运动中，动能和势能的综合分析有助于理解运动过程中能量的转换和守恒。
做平动，这种运动也是复合运动。
理论力学8
摇杆绕固定轴O1来回摆动。设曲柄长OA=r，两轴间距离OO1 l
求曲柄在水平位置瞬时，摇杆O1B绕O1轴的角速度1及滑块A相
对摇杆O1B的相对速度。
运动学/点的合成运动
解：
选取动点： OA 上的A点 动系： O1B 定系： 基座
运 绝对运动：圆周运动 动 分 相对运动：直线运动 析 牵连运动：定轴转动 ：
运动学/点的合成运动
另一方面，在实际问题中，不仅要在固联在地面上
的参考系上还要在相对于地面运动着的参考系上观察和
研究物体的运动。下面先看几个例子。
沿直线轨道纯滚动 的圆轮，研究轮缘上A 点的运动，对于地面上 的观察者，是旋轮线轨 迹，对站在轮心上的观 察者是圆。
A点的运动可看成随轮心的平移与绕轮心转动的合成。
运动学/点的合成运动
MM MM1 M1M 将上式两边同时除以t并取 t0得
lim MM lim MM1 t 0 t t 0 t
lim
M1M
t 0 t
va ve vr
即：在任一瞬时动点的绝对速度等于牵连速度与相对速
度的矢量和，这就是点的速度合成定理。
点的速度合成定理是瞬时矢量式，共包括大小‚方向 六个元素，已知任意四个元素，就能求出其它两个。
运动学/点的合成运动
例如，直管OB以匀角速度绕定轴O转动，小球M
以速度u在直管OB中作相对的匀速直线运动，如图示。 将动坐标系固结在OB管上，以小球M为动点。随着动 点M的运动，牵连点在动坐标系中的位置在相应改变。 设小球在t1、t2瞬时分别到达M1、M2位置，则动点的 牵连速度分别为
ve1 OM1
运动学/点的合成运动
第八章
点的合成运动
在前两章中研究点和刚体的运动时，认为地球（ 参考体）固定不动,将坐标系（参考系）固连于地面。 因此，点和刚体的运动是相对固定参考系而言的。
求曲柄在水平位置瞬时，摇杆O1B绕O1轴的角速度1及滑块A相
对摇杆O1B的相对速度。
运动学/点的合成运动
解：
选取动点： OA 上的A点 动系： O1B 定系： 基座
运 绝对运动：圆周运动 动 分 相对运动：直线运动 析 牵连运动：定轴转动 ：
运动学/点的合成运动
另一方面，在实际问题中，不仅要在固联在地面上
的参考系上还要在相对于地面运动着的参考系上观察和
研究物体的运动。下面先看几个例子。
沿直线轨道纯滚动 的圆轮，研究轮缘上A 点的运动，对于地面上 的观察者，是旋轮线轨 迹，对站在轮心上的观 察者是圆。
A点的运动可看成随轮心的平移与绕轮心转动的合成。
运动学/点的合成运动
MM MM1 M1M 将上式两边同时除以t并取 t0得
lim MM lim MM1 t 0 t t 0 t
lim
M1M
t 0 t
va ve vr
即：在任一瞬时动点的绝对速度等于牵连速度与相对速
度的矢量和，这就是点的速度合成定理。
点的速度合成定理是瞬时矢量式，共包括大小‚方向 六个元素，已知任意四个元素，就能求出其它两个。
运动学/点的合成运动
例如，直管OB以匀角速度绕定轴O转动，小球M
以速度u在直管OB中作相对的匀速直线运动，如图示。 将动坐标系固结在OB管上，以小球M为动点。随着动 点M的运动，牵连点在动坐标系中的位置在相应改变。 设小球在t1、t2瞬时分别到达M1、M2位置，则动点的 牵连速度分别为
ve1 OM1
运动学/点的合成运动
第八章
点的合成运动
在前两章中研究点和刚体的运动时，认为地球（ 参考体）固定不动,将坐标系（参考系）固连于地面。 因此，点和刚体的运动是相对固定参考系而言的。
理论力学第八章
？
几个有意义的实际问题
偏心转子 为什么要 固定，如 果不固定 会怎样
几个有意义的实际问题
偏心转子 电动机工作 时为什么会 左右运动；
这种运动有 什么规律； 会不会上 下跳动； 利弊得失。
？
几个有意义的实际问题
偏心转子 没有跳起 时，质心 运动情况
几个有意义的实际问题
偏心转子 有跳起时， 质心运动 情况
工程实际中的动力学问题
v1
F
v2
棒球在被球棒 击打后，其速度 的大小和方向发 生了变化。如果 已知这种变化即 可确定球与棒的 相互作用力。
工程实际中的动力学问题
载人飞船的交会与对接
v2 v1
B A
工程实际中的动力学问题
航空航天器 的姿态控制
工程实际中的动力学问题
高速列车的振动问题
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
工程实际中的动力学问题
1. 直角坐标系投影式
z
ma F
O x
M
r z y
a
y
x
v
F
d r m 2 dt
2
F
直角坐标形式
d2x m 2 Fx ma x m x dt d2y m 2 Fy ma y m y dt d 2z m 2 Fz ma z m z dt
牛顿及其在力学发展中的贡献
牛顿出生于林肯郡伍尔索朴城的一个中等农户家中。 在他出生之前父亲即去世，他不到三岁时母亲改嫁了， 他不得不靠他的外祖母养大。
1661年牛顿进入了剑桥大学的三一学院，1665年获文 学学士学位。在大学期间他全面掌握了当时的数学和光 学。1665-1666的两年期间，剑桥流行黑热病，学校暂 时停办，他回到老家。这段时间中他发现了二项式定律， 开始了光学中的颜色实验，即白光由7种色光构成的实 验，而且由于一次躺在树下看到苹果落地开始思索地心 引力问题。在30岁时，牛顿被选为皇家学会的会员，这 是当时英国最高科学荣誉。
理论力学(1)哈工大版第八章
vBA与vA垂直且相等，点B的速度
vB vA2 vB2A 2vA 2(r1 r2 )O
以A为基点，分析点C的速度。
vC vA vCA
vCA CAII (r1 r2 )O vA
vCA与vA方向一致且相等，点C的速度
vC vC vA 2(r1 r2 )O
四个可以运动的构件。其中 Ⅰ作定轴转动，Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ
①
均作平面运动。
C
设Ⅰ顺时钟转动，则运动如 O
A
B
图示。注意Ⅲ速度投影定理
可知B的速度方位铅直。
C1为Ⅱ的瞬心vD
E
D
Ⅱ
Ⅰ
vE vB Ⅳ
C
O
Ⅲ
A
C2为 B
C为Ⅳ的瞬心
vA Ⅲ的瞬心
理论力学
中南大学土木建筑学院
31
C
A
①
O
B
理论力学
C1为瞬心
vC
C
C2为瞬心
x
是平行移动和转动的合成运动。
三种运动都
例如 车轮的运动
是刚体运动
车轮对于定系的平面运动
（绝对运动）
动系Ax y 相对定系的平行移动 （牵连运动）
车轮相对动系Ax y 的定轴转动 （相对运动）
理论力学
中南大学土木建筑学院
9
刚体平面运动合成：车轮对定系的平面运动可由 相对于动系的转动和动系对定系的平移组合而成。
二、速度投影法（对任意一个刚体均成立）
由于A, B点是任意的，因此 vB vA vBA 表示了图形上任
意两点速度间的关系。由于恒有 vBA AB ，因此将上式在
AB上投影，有
vB
vB vA2 vB2A 2vA 2(r1 r2 )O
以A为基点，分析点C的速度。
vC vA vCA
vCA CAII (r1 r2 )O vA
vCA与vA方向一致且相等，点C的速度
vC vC vA 2(r1 r2 )O
四个可以运动的构件。其中 Ⅰ作定轴转动，Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ
①
均作平面运动。
C
设Ⅰ顺时钟转动，则运动如 O
A
B
图示。注意Ⅲ速度投影定理
可知B的速度方位铅直。
C1为Ⅱ的瞬心vD
E
D
Ⅱ
Ⅰ
vE vB Ⅳ
C
O
Ⅲ
A
C2为 B
C为Ⅳ的瞬心
vA Ⅲ的瞬心
理论力学
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31
C
A
①
O
B
理论力学
C1为瞬心
vC
C
C2为瞬心
x
是平行移动和转动的合成运动。
三种运动都
例如 车轮的运动
是刚体运动
车轮对于定系的平面运动
（绝对运动）
动系Ax y 相对定系的平行移动 （牵连运动）
车轮相对动系Ax y 的定轴转动 （相对运动）
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9
刚体平面运动合成：车轮对定系的平面运动可由 相对于动系的转动和动系对定系的平移组合而成。
二、速度投影法（对任意一个刚体均成立）
由于A, B点是任意的，因此 vB vA vBA 表示了图形上任
意两点速度间的关系。由于恒有 vBA AB ，因此将上式在
AB上投影，有
vB
理论力学课件 第8章
设动点在刚体上沿轨道AB运动，而轨道对于地面 坐标又发生平移运动。 动点M的绝对位移是M1M’2，相对位移是M1M2， 或M’1M’2 。牵连位移是M1M’1 。
动点的绝对速度：
' ' M 1M 2 M 1M 1' M 1' M 2 t t t v a ve v r
v a ve vr x: y: 0 v vr sin va vr cos va v cot
v vr , sin
加速度分析：
v a ae a rt a rn OA向投影 :
n r
aa sin ae cos ar
vr2 v2 ae a , a R R sin 2 v2 aa a cot R sin 2 水平向投影 :
在运动刚体上，与动点重合的那一点（称 为牵连点）的速度和加速度称为牵连速度 与牵连加速度。记作ve，ae 。
§8-2 点的速度合成定理
1. 点的速度合成的矢量法 动点沿曲线轨道AB运动，轨道对于固定坐 标Oxy发生运动。 动点沿AB的运动为相对运动。 在静坐标上观察到的动点运动为绝对运动。
1. 动坐标矢的时间变化率 动系x’y’z’绕某轴转动时， 固结在动坐标上的坐标矢 量的大小虽然不变，但方 向不断变化。现求动坐标 矢量i’、 j’ 、k’对时间的 变化率。 设动坐标系绕定坐标的z 轴转动。则动坐标矢k’ 端 点的轨迹是圆周。
设坐标矢k’在t和t+△t时刻的位置为k’(t)和 k’(t+△t)，则有
d ( x' i ' ) d ( y ' j ' ) d ( z ' k ' ) dt dt dt di ' dj ' dk ' dx' dy' dx' x' y ' z ' i ' j ' k' d d d dt dt dt
动点的绝对速度：
' ' M 1M 2 M 1M 1' M 1' M 2 t t t v a ve v r
v a ve vr x: y: 0 v vr sin va vr cos va v cot
v vr , sin
加速度分析：
v a ae a rt a rn OA向投影 :
n r
aa sin ae cos ar
vr2 v2 ae a , a R R sin 2 v2 aa a cot R sin 2 水平向投影 :
在运动刚体上，与动点重合的那一点（称 为牵连点）的速度和加速度称为牵连速度 与牵连加速度。记作ve，ae 。
§8-2 点的速度合成定理
1. 点的速度合成的矢量法 动点沿曲线轨道AB运动，轨道对于固定坐 标Oxy发生运动。 动点沿AB的运动为相对运动。 在静坐标上观察到的动点运动为绝对运动。
1. 动坐标矢的时间变化率 动系x’y’z’绕某轴转动时， 固结在动坐标上的坐标矢 量的大小虽然不变，但方 向不断变化。现求动坐标 矢量i’、 j’ 、k’对时间的 变化率。 设动坐标系绕定坐标的z 轴转动。则动坐标矢k’ 端 点的轨迹是圆周。
设坐标矢k’在t和t+△t时刻的位置为k’(t)和 k’(t+△t)，则有
d ( x' i ' ) d ( y ' j ' ) d ( z ' k ' ) dt dt dt di ' dj ' dk ' dx' dy' dx' x' y ' z ' i ' j ' k' d d d dt dt dt
理论力学课件第8章2
w
A
vA
Part C 速度瞬心
定义
点 I :瞬心 点 M : 刚体上的任意一点
M
v M MI w
注意：
I
vM
1 不同瞬时，瞬心的位置是不同的。
2 虽然速度瞬心的速度等于零，但并 不代表速度瞬心的加速度也等于零。
w
一般情况下,在每一瞬时,平面图形上都唯一地存在一 个速度为零的点，称为瞬时速度中心，简称速度瞬心。
Part A 平面运动概述和分解
1. 平面运动的概述 在工程问题中，经常可以遇到这样一类问题，运动刚体上的 每一个点距离一个固定平面保持恒定的距离。 这类问题，刚体上每个点的运动轨迹和这个固定平面都保持 平行，这样的刚体的运动被称为”平面运动”.
y'
y
刚体的平面运动可以通过刚 体向固定平面投影得到的平 面图形的运动来加以描述。
O y
B
x 绕 B点的定轴转动
B
j1
A
平移
2
Part A 平面运动概述和分解
2. 平面运动的分解
y'
y'
y
B
B
B
j1
A A
x'
j
xA yA O x A
x'
点 A:基点
固连在基点上的动参考系的平移 + 绕基点的定轴转动
平面运动
Part A 平面运动概述和分解
2. 平面运动的分解
速度瞬心的位置
6)若轮子沿着固定的轨道只滚 不滑，那么轮子和轨道接触 点在瞬时处于静止，因此该 点即为此瞬时的速度瞬心。
w
vA
A
vB
B
I
Part C 速度瞬心
哈工大理论力学 第八章课件
各点的速度方向分别为各点 与A1点连线的垂线方向，转向与 相同，由此可见车轮顶点的速 度最快，最下面点的速度为零。
vA1 0
vA3
A2
A4
vA4
O
vO
vA2
A1
vA2 vA4 2r 2v
vA3 2r 2v
理论力学
中南大学土木建筑学院
22
[例2] 已知：曲柄连杆机构OA=AB=l， 取柄OA以匀 转动。求：当 =45º 时, 滑块B的速度及AB杆的角速度。
理论力学
）
23
中南大学土木建筑学院
速度投影法 研究AB, v A ,l 方向OA, v B方向沿BO直线 根据速度投影定理 vB AB v A AB v A v B cos v B v A /cos
l /cos45 2l () 不能求出 AB 速度瞬心法 研究AB，已知 v A , vB 的方向，因此 可确定出P点为速度瞬心
。
轮A作纯滚动，轮O不动。
求 vM 1 , vM 2 。 解：OA定轴转动; 轮A作平面运动, 瞬心P点
v A ( R r ) o r Rr o r
(
）
v M 1 PM 1 2r v M 2 PM 2 2r
Rr 2 ( R r )o , r o
理论力学
中南大学土木建筑学院
2
例如: 曲柄连杆机构中连杆AB的运动， A点作圆周运动，B点作直线运动，因此， AB 杆的运动既不是平移也不是定轴转动， 而是平面运动。
理论力学
中南大学土木建筑学院
3
理论力学
中南大学土木建筑学院
4
二、平面运动的简化 刚体的平面运动 到固定平面 Ⅰ的距离不变
vA1 0
vA3
A2
A4
vA4
O
vO
vA2
A1
vA2 vA4 2r 2v
vA3 2r 2v
理论力学
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22
[例2] 已知：曲柄连杆机构OA=AB=l， 取柄OA以匀 转动。求：当 =45º 时, 滑块B的速度及AB杆的角速度。
理论力学
）
23
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速度投影法 研究AB, v A ,l 方向OA, v B方向沿BO直线 根据速度投影定理 vB AB v A AB v A v B cos v B v A /cos
l /cos45 2l () 不能求出 AB 速度瞬心法 研究AB，已知 v A , vB 的方向，因此 可确定出P点为速度瞬心
。
轮A作纯滚动，轮O不动。
求 vM 1 , vM 2 。 解：OA定轴转动; 轮A作平面运动, 瞬心P点
v A ( R r ) o r Rr o r
(
）
v M 1 PM 1 2r v M 2 PM 2 2r
Rr 2 ( R r )o , r o
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2
例如: 曲柄连杆机构中连杆AB的运动， A点作圆周运动，B点作直线运动，因此， AB 杆的运动既不是平移也不是定轴转动， 而是平面运动。
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3
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4
二、平面运动的简化 刚体的平面运动 到固定平面 Ⅰ的距离不变
理论力学课件-第八章
已知： 常数,O, A, B共线,OA l, A A, CAO 。
求：vAB , aAB。
解：1、动点（AB杆上A点） 动系 ：凸轮O
绝对运动 ：直线运动（AB） 相对运动 ：曲线运动（凸轮外边缘） 牵连运动 ：定轴转动（O轴）
2、 速度
大小 方向
va ve vr
? l ?
√√ √
理论力学课件-第八章
aa
2l1
A clo理s论3力学课c件o-第s22八章
例8-11 圆盘半径R=50mm，以匀角速度ω1绕 水平轴CD转动。同时框架和CD轴一起以匀角速 度ω2绕通过圆盘中心O的铅直轴AB转动，如图所 示。如ω1=5rad/s, ω2=3rad/s。
。
BD
解：1、动点：滑块A 动系：BC杆
绝对运动：圆周运动（O点） 相对运动：直线运动（BC） 牵连运动：平移
2、速度
va ve vr
大小 rO ? ?
方向 √ √ √
vrvevarO
BD
ve BD
rO
l 理论力学课件-第八章
已知：OA O 常数,OA r, BC DE, BD CE l。
度为 v1 4ms，方向与铅直线成300角。已知 传送带B水平传动速度 v2 3ms 。
求：矿砂相对于传送带B的速度。
理论力学课件-第八章
已知： v1 4m s , v2 3m s。求：vr。
解：1、动点：矿砂M 动系：传送带B
2、绝对运动：直线运动（v 1）
牵连运动：平移（v 2）
相对运动：未知
va ve vr
r ? ?
√√√
理论力学课件-第八章
已知：OA 常数 , OA r , OO1 l , OA水平。求：1。
理论力学第八章2.ppt
说明:1、对任何运动的刚体,上述结论都适用;
2、C点不是质心,而是刚体上任意一点时,上述结论也成立;
3、计算力系的主矢、主矩时，可以不包含不作功的力。
质点和质点系的动能
1、质点的动能
T 1 m 2
2
单位：J（焦耳）
2、质点系的动能
T
1 2
mii
2
（1）平移刚体的动能
T
1 2
mvC2
2 g st
Fmax k st k st 1
2 g st
mg1
g
k m
16.9kN
弹性力 F k(r l0 )er
弹性力的功为
W12
k 2
(12
2 2
)
式中 1 r1 l0,2 r2 l0
弹性力的功也与路径无关
3. 定轴转动刚物体上作用力的功
从角 1转动到角 2过程中力 F 的功为
若 M z 常量
则 W12 M z (2 1)
（2）定轴转动刚体的动能
T
1 2
J z 2
（3）平面运动刚体的动能
速度瞬心为P
T
1 2
J
p 2
1 2
(JC
md 2 ) 2
得
T
1 2
mvC2
1 2
JC 2
即:平面运动刚体的动能等于随质心平移的动能 与绕质心转动的动能之和.
上面结论也适用于刚体的任意运动.
动能定理
1、质点的动能定理
统称保守系统
理论力学哈工大第七版第8章
动能和守恒
动能
通过动能的概念，我们可以 明确物体在运动中所具有的 能量。
势能
势能是指物体在某一位置上 存储的能量，常用于分析引 力场和弹性力场。
动能守恒定理
动能守恒定理可以方便地分 析物理系统的动态过程，并 预测它的相对变化。
中心力场和二体问题
中心力场
中心力场的研究对于物理学家来 说是一个非常重要的课题。我们 将会讨论它的基本概念和如何计 算。
符号
m L t
量纲
[M] [L] [T]
单位
kg m s
力学题目课与习题
题目课
题目课设定了一部分难度适宜且涵盖了重点难点的例题。可以帮助学生深入理解物理学的核 心知识。
习题
习题是结合教学实际编写的设计，内容齐全，涵盖了力学的基础知识，具有很强的启发性和 实际应用性。
学习力学的知识有助于解 决各种实际问题和工程项 目。
本章的学习深入挖掘了物 理学的知识，使我们进一 步认识和探索这个领域。
维度和量纲
维度
维度是指物理量的基本种类。力学的基本维度是质 量、长度和时间。
量纲
量纲是指物理量所具有的简化属性描述，通常用方 括号来表示。
牛顿万有引力定律的前置知识
物理量
质量 长度 时间
探索理论力学第七版第8 章
在本章中，我们将探讨关于牛顿定律、动能和守恒、二体问题等的基础概念， 深入研究纯理论的力学。
牛顿定律
1
牛顿第一定律
物体将保持静止或匀速直线运动，除非有外力作用于它。
2
牛顿第二定律
物体的加速度与施加在它上面的力成正比，与它的质量成反比。
3
牛顿第三定律
任何两个物体之间都会有相等且反向的反作用力。
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速度投影法: 不能求出图形 ; 速度瞬心法：确定瞬心的位置
是关键．）
例题
图示机构，传送带AB以VA=2m/s 运动，同时半径 r =0.1m的圆柱体又沿传送带作纯滚动 ，在图示位 置具有角速度=15rad/s。求M点速度VM 和 V0。
y VMD VM
M
VD O A
VD B
解：1、基点法求VM
AB： 平移 VA 圆柱体：平面运动
vB 2.72 m/s ()
例题在图示机构中,平衡杆O1A 绕O1轴转动,并借与齿轮Ⅱ固结 的连杆AB带动曲柄OB,而曲柄 OB活动地装置在O 轴上, 在O 轴上装有齿轮Ⅰ.齿轮Ⅱ的轴安 装在连杆AB的B端.已知r1= r2=52cm,O1A=75cm, AB =150cm, O1= 6rad/s , =60 杆OB水平AB 铅垂.求杆OB及 齿轮Ⅰ的角速度.
vB PB 2 72 34 2118.3 m/s ( PB)
在图示机构中，曲柄OA的长为r，绕O轴以匀角速度
ωO转动，AB=6r， BC 3 3r, 求图示位置时，滑块C
的速度和加速度。
C vCB
解：㈠ 速度分析（基点法）
由 vB v A vBA
vB
vC
vA or vB vA tan60 3or, vBA vA / sin 30 2or, vA B
7.16
rad/s（
）
vB BP1AB ABcos60 7.160.760.57.162.72 m/s
⒊ 研究BD;
速度分析，用速度瞬心法求vD 和 BD ：
P2为其速度瞬心, BDP2为等边三角形DP2=BP2=BD
BD
vB BP2
2.72 0.53
5.13 rad/s （
）
vD DP2 BD BP2 BD
VD DI
VO VD OI DI r
x
VO VD r 3.5m s
I
带AB不动时，点O、M的速度如何? VO r 1.5m s VM MD 2.12 m s
[例] 平面机构中, 楔块M: =30º, v=12cm/s ; 盘: r = 4cm , 与 楔块间无滑动．求圆盘的
ωBC
90°
vA
A
AB
vBA
/
AB
1 3
o
由 vC vB vCB
vB
得
vC
vB
coAB O
60°
vBA
vCB vB sin 30
3 2
ro
BC
vCB BC
1 6
o
(9r)
C
P2
ωBC
(6 3r)
vC
(3 3r)
㈠ 速度分析（瞬心法）
AB杆的速度瞬心在P1，
VA VMD 2.12m S
方法一： x VMy 0 VMD sin 45 1.5m s VMx VD VMDCOS 45 3.5 m s
VM VM2x VM2y 3.8 m s
tan VMy 0.4285
VMx
23.2
y VMD VM M VD O
A
D
VD B
矢量和 VM VD VMD 大小 ? √ √ 方向 ? √ √
解：1、基点法求VM
VD= VA= 2m/s
VA VMD 2.12m S
方法二：
x
VM VD2 VM2D 2VDVMD cos135
3.8m s
VMD VM
sin
sin135
sin 0.3945 23.2
y
VMD VM
M
VO
VD O
A
VD B
D
解：2、瞬心法求VO
VO OI
VA
要求：
了解刚体平面运动的特性，及平面运动的简化，能熟练地判 别刚体的运动是否是平面运动。 能熟练地选用速度基点法，速度投影法、速度瞬心法来正确 的解平面图形内点的速度。 会用基点法求解平面图形内点的加速度。
解题步骤和要点 1. 根据题意和刚体各种运动的定义，判断机构中各刚体 的运动形式．注意每一次的研究对象只是一个刚体． 2. 对作平面运动的刚体，根据已知条件和待求量，选择求 解速度(图形角速度)问题的方法, 用基点法求加速度(图形角加 速度) 3. 作速度分析和加速度分析，求出待求量． (基点法: 恰当选取基点，作速度平行四边形，加速度矢量图；
求该位置时的 BD，AB及 vD
解：⒈ 运动分析： OA,BC作定 轴 转动, AB,BD均作平面运动
⒉ 研究AB;
速度分析，用速度瞬心法求vB和AB ：
n
30
300
30
10rad/s
vA OA 0.1510 1.5 m/s
P１为AB 杆速度瞬心
AB
vA AP1
1.5
ABsin 60
1.5 2
0.76 3
vA or
AB
vA AP1
1 3
o
vB AB BP1 3ro
90°
vA
B
(6r)
A
60°
ω0 60°
vB
(3 3r) O
ωAB P1
BC
vB BP2
1 6
o
BC杆的速度瞬心在P2，
vC
BC
CP2
3 2
ro
已求得
AB
1 3
o
BC
1 6
o
aC
aB
㈡ 加速度分析
由 aB a A anBA atBA
及轴O的速度和B点速度．
解： 杆OC, 楔块M均作平移, 圆盘作平面运动，P为速度瞬心
vA v12 cm/s ,
vA/PA12/rcos 12/4cos30 2 3 rad/s ( ）
vo POrsin4sin30 2 34 3 m/s()
PB PO2 OB2 2 PO OB cos120 22 42 2 2 4 1 2 7m 2
aA aBt A
向BC轴投影得
aC aB sin 60 aCnB
aC
3 12
r O 2
O
[例] 曲柄肘杆压床机构 已知：OA=0.15m , n=300 rpm ,AB=0.76m,
BC=BD=0.53m. 图示位置时, AB水平
求该位置时的 BD 、AB 及 vD
[例] 曲柄肘杆压床机构 已知:OA=0.15m,n=300 rpm,AB=0.76m, BC=BD=0.53m. 图示位置时, AB水平.
D
矢量和 VM VD VMD
x 基点：D点 VD= VA= 2m/s
大小 ? √ √
方向
VMD MD 2r 2.12m S
?√ √
y VMD VM M VD O
A
D
VD B
矢量和 VM VD VMD 大小 ? √ √ 方向 ? √ √
解：1、基点法求VM
VD= VA= 2m/s
C
aCnB aCt B
大小 ？
O2OA
2 AB
AB
？
方向 √ A→O B→A ⊥AB
向BA轴投影得
B
aB
aBnA
A
aB cos 60 aA cos 60 aBnA
60°
aA 60°
aB
1 3
rO
2
由 aC aB aCn B aCt B
大小 方向
？ 铅直
1 3
r
2 O
2 BC
BC
√
C→B
？
⊥BC
是关键．）
例题
图示机构，传送带AB以VA=2m/s 运动，同时半径 r =0.1m的圆柱体又沿传送带作纯滚动 ，在图示位 置具有角速度=15rad/s。求M点速度VM 和 V0。
y VMD VM
M
VD O A
VD B
解：1、基点法求VM
AB： 平移 VA 圆柱体：平面运动
vB 2.72 m/s ()
例题在图示机构中,平衡杆O1A 绕O1轴转动,并借与齿轮Ⅱ固结 的连杆AB带动曲柄OB,而曲柄 OB活动地装置在O 轴上, 在O 轴上装有齿轮Ⅰ.齿轮Ⅱ的轴安 装在连杆AB的B端.已知r1= r2=52cm,O1A=75cm, AB =150cm, O1= 6rad/s , =60 杆OB水平AB 铅垂.求杆OB及 齿轮Ⅰ的角速度.
vB PB 2 72 34 2118.3 m/s ( PB)
在图示机构中，曲柄OA的长为r，绕O轴以匀角速度
ωO转动，AB=6r， BC 3 3r, 求图示位置时，滑块C
的速度和加速度。
C vCB
解：㈠ 速度分析（基点法）
由 vB v A vBA
vB
vC
vA or vB vA tan60 3or, vBA vA / sin 30 2or, vA B
7.16
rad/s（
）
vB BP1AB ABcos60 7.160.760.57.162.72 m/s
⒊ 研究BD;
速度分析，用速度瞬心法求vD 和 BD ：
P2为其速度瞬心, BDP2为等边三角形DP2=BP2=BD
BD
vB BP2
2.72 0.53
5.13 rad/s （
）
vD DP2 BD BP2 BD
VD DI
VO VD OI DI r
x
VO VD r 3.5m s
I
带AB不动时，点O、M的速度如何? VO r 1.5m s VM MD 2.12 m s
[例] 平面机构中, 楔块M: =30º, v=12cm/s ; 盘: r = 4cm , 与 楔块间无滑动．求圆盘的
ωBC
90°
vA
A
AB
vBA
/
AB
1 3
o
由 vC vB vCB
vB
得
vC
vB
coAB O
60°
vBA
vCB vB sin 30
3 2
ro
BC
vCB BC
1 6
o
(9r)
C
P2
ωBC
(6 3r)
vC
(3 3r)
㈠ 速度分析（瞬心法）
AB杆的速度瞬心在P1，
VA VMD 2.12m S
方法一： x VMy 0 VMD sin 45 1.5m s VMx VD VMDCOS 45 3.5 m s
VM VM2x VM2y 3.8 m s
tan VMy 0.4285
VMx
23.2
y VMD VM M VD O
A
D
VD B
矢量和 VM VD VMD 大小 ? √ √ 方向 ? √ √
解：1、基点法求VM
VD= VA= 2m/s
VA VMD 2.12m S
方法二：
x
VM VD2 VM2D 2VDVMD cos135
3.8m s
VMD VM
sin
sin135
sin 0.3945 23.2
y
VMD VM
M
VO
VD O
A
VD B
D
解：2、瞬心法求VO
VO OI
VA
要求：
了解刚体平面运动的特性，及平面运动的简化，能熟练地判 别刚体的运动是否是平面运动。 能熟练地选用速度基点法，速度投影法、速度瞬心法来正确 的解平面图形内点的速度。 会用基点法求解平面图形内点的加速度。
解题步骤和要点 1. 根据题意和刚体各种运动的定义，判断机构中各刚体 的运动形式．注意每一次的研究对象只是一个刚体． 2. 对作平面运动的刚体，根据已知条件和待求量，选择求 解速度(图形角速度)问题的方法, 用基点法求加速度(图形角加 速度) 3. 作速度分析和加速度分析，求出待求量． (基点法: 恰当选取基点，作速度平行四边形，加速度矢量图；
求该位置时的 BD，AB及 vD
解：⒈ 运动分析： OA,BC作定 轴 转动, AB,BD均作平面运动
⒉ 研究AB;
速度分析，用速度瞬心法求vB和AB ：
n
30
300
30
10rad/s
vA OA 0.1510 1.5 m/s
P１为AB 杆速度瞬心
AB
vA AP1
1.5
ABsin 60
1.5 2
0.76 3
vA or
AB
vA AP1
1 3
o
vB AB BP1 3ro
90°
vA
B
(6r)
A
60°
ω0 60°
vB
(3 3r) O
ωAB P1
BC
vB BP2
1 6
o
BC杆的速度瞬心在P2，
vC
BC
CP2
3 2
ro
已求得
AB
1 3
o
BC
1 6
o
aC
aB
㈡ 加速度分析
由 aB a A anBA atBA
及轴O的速度和B点速度．
解： 杆OC, 楔块M均作平移, 圆盘作平面运动，P为速度瞬心
vA v12 cm/s ,
vA/PA12/rcos 12/4cos30 2 3 rad/s ( ）
vo POrsin4sin30 2 34 3 m/s()
PB PO2 OB2 2 PO OB cos120 22 42 2 2 4 1 2 7m 2
aA aBt A
向BC轴投影得
aC aB sin 60 aCnB
aC
3 12
r O 2
O
[例] 曲柄肘杆压床机构 已知：OA=0.15m , n=300 rpm ,AB=0.76m,
BC=BD=0.53m. 图示位置时, AB水平
求该位置时的 BD 、AB 及 vD
[例] 曲柄肘杆压床机构 已知:OA=0.15m,n=300 rpm,AB=0.76m, BC=BD=0.53m. 图示位置时, AB水平.
D
矢量和 VM VD VMD
x 基点：D点 VD= VA= 2m/s
大小 ? √ √
方向
VMD MD 2r 2.12m S
?√ √
y VMD VM M VD O
A
D
VD B
矢量和 VM VD VMD 大小 ? √ √ 方向 ? √ √
解：1、基点法求VM
VD= VA= 2m/s
C
aCnB aCt B
大小 ？
O2OA
2 AB
AB
？
方向 √ A→O B→A ⊥AB
向BA轴投影得
B
aB
aBnA
A
aB cos 60 aA cos 60 aBnA
60°
aA 60°
aB
1 3
rO
2
由 aC aB aCn B aCt B
大小 方向
？ 铅直
1 3
r
2 O
2 BC
BC
√
C→B
？
⊥BC