二元一次方程组的解法—消元法
二元一次方程组的解法
二元一次方程组的解法在数学学科中，解方程是一个非常重要的内容。
而二元一次方程组是解方程的一种特殊形式，它由两个二元一次方程组成。
解决二元一次方程组的问题可以帮助我们更好地理解和应用代数知识。
下面，我将为大家详细介绍二元一次方程组的解法。
一、代入法代入法是解决二元一次方程组的最常用方法之一。
它的基本思想是将一个方程的其中一个未知数表示为另一个方程中的未知数，然后代入另一个方程进行求解。
例如，我们有以下二元一次方程组：方程1：2x + y = 5方程2：3x - y = 1我们可以先将方程1中的y表示为方程2中的未知数：y = 3x - 1然后将y的值代入方程1，得到：2x + (3x - 1) = 5化简后，我们可以得到一个一元一次方程：5x - 1 = 5解这个方程，我们可以得到x的值为2。
将x的值代入方程1，我们可以求得y 的值为1。
因此，这个二元一次方程组的解为x=2，y=1。
二、消元法消元法是解决二元一次方程组的另一种常用方法。
它的基本思想是通过对方程组进行加减运算，消去其中一个未知数，然后求解另一个未知数。
例如，我们有以下二元一次方程组：方程1：2x + y = 5方程2：3x - y = 1我们可以将方程1乘以3，方程2乘以2，得到：方程1：6x + 3y = 15方程2：6x - 2y = 2然后将方程2的两倍加到方程1上，得到：9y = 17解这个一元一次方程，我们可以得到y的值为17/9。
将y的值代入方程1，我们可以求得x的值为5/3。
因此，这个二元一次方程组的解为x=5/3，y=17/9。
三、图像法图像法是解决二元一次方程组的另一种可视化方法。
它的基本思想是将方程组转化为直线的图像，通过观察直线的交点来求解方程组的解。
例如，我们有以下二元一次方程组：方程1：2x + y = 5方程2：3x - y = 1我们可以将这两个方程转化为直线的形式：方程1对应的直线为：y = -2x + 5方程2对应的直线为：y = 3x - 1我们可以在坐标系中画出这两条直线，并观察它们的交点。
二元一次方程组的解法代入消元法
2、用这个一次式代替另一个 方程中相应的未知数，得到一 个一元一次方程，求得一个未
知数的值（代入求解）
3、把这个未知数的值再代入 一次式，求得另一个未知数的
值（再代求解）
4、写出方程组的解（写解）
例3：
❖已知钢笔每支5元，圆珠笔每支 2元，小明用16元钱买了这两 种笔共5支，试问小明买钢笔和 圆珠笔各多少支？
b2
=﹣4
{x3
4.如果
是关于x、y的二元一次方程组
y 2
{ax by 1
a 2b 的解，求
2007
+
2008 的值。
ax by 5
{ { { 解：把
x3
代入方程组
y 2
axby 1
得
ax by 5
3 a 2 b 1 3a2b5
{a 1
解这个关于a、b的二元一次方程组得
b 1
a 2b 1 1 2007
由②得： y = 1 – 2x ③
把③代入①得：
3x – 2（1 – 2x）= 19 3x – 2 + 4x = 19 3x + 4x = 19 + 2 7x = 21 x=3
把x = 3代入③，得 y = 1 – 2x = 1 - 2×3= - 5
∴ x=3 y = -5
用代入法解二元一次 方程组的一般步骤
{4 a 2 b 11
解关于a、b的二元一次方程组
a 2 b 11
{a 2
得
5 b 4
5
，所以b+2a=-
4 5
+2×
2 5
“消元——二元一次方程组的解法”教学设计
一
关键词 ：二元一次方程组的解法；消元思想 ；转化思想 内容和内容解析
需要学生 自身的感受和理解 ． 如果认识 了消元思想 ，那么学生对 于代入法 、加减法 的具体步骤就不 会仅是死记硬背 ，而能够顺 势 自然地理解 ，并能够灵活运用． 而确立方程 、不等式 、函数 从
这一结构体 系中重要的一环．这种思想 的逐步形成也恰恰体现了
历 “ 察 一 发 现 问题 、 类 比 一 解 决 问题 、 归 纳一 形 成 方 法 ” 这 想 方法 是通 过数学知识 的载体来体现 的 ，对 于它们的认识需要 观 过 程 ，思 维 发 而 不散 ，从 而 更好 地 感 悟 数 学 ． 个较长 的过程 ，既需要教材 的渗透 ，也需要教 师的点拨 ，还
程组来进行计算． 在近代数学数值计算和工程应用 中，求解线性
序化仍然是研究的重点内容．
方 程 组 是 重 要 的 课 题 ， 以 Ｇ ｕｓ消元 法 为 首 的 各 种 消 元 法 的 程 二元 一次方程组解法 的探 究 ，也还 只能停 留在解给定具体 系数 ａｓ 的 方 程 组 ，还 不 能 探 究 公 式 化 的解 法 ，对 同 解 方 程 的 理 解 也 只
本节主要 内容为二元一次方程组 的解法 ，“ 消元”是解二元 它在科学技术和社会发展 中起着越来越重要的作用． 学习算法的
一
次方程组 的基本思路 ，代入 消元和加减消元是 “ 消元”的最 基本思想 和初步知识 ，也成为高中必修课程 中的内容． 算法一方 象性 、概括性和精 确性 ． 算法学 习能够发展学生 的运算能力 ，还 本节课 在对二元一次方程 组解法 的探究 过程 中 ，很好地体
突 出 的数 学 思 想 ．
一
、
内容
解二元一次方程的方法
解二元一次方程的方法
解二元一次方程的方法有两种：代入法和消元法。
代入法是指将一个变量的值用另一个变量的值来表示，然后将其代入另一个方程中求解。
具体步骤如下：
1. 选取其中一个方程，将其变量的表达式用另一个方程中的变量表示。
2. 将代入后的表达式代入另一个方程中，得到只含有一个变量的方程。
3. 解这个只含有一个变量的方程，得到该变量的值。
4. 将该变量的值代入任意一个原始方程中，求解得到另一个变量的值。
消元法是指通过加减法，将两个方程中某一变量的系数消去，从而得到只含有另一变量的方程。
具体步骤如下：
1. 根据需要，选择两个方程中某一变量的系数使其相等或相差1。
2. 将两个方程进行加减法运算，得到一个只含有另一个变量的方程。
3. 解这个只含有一个变量的方程，得到该变量的值。
4. 将该变量的值代入任意一个原始方程中，求解得到另一个变量的值。
通过以上两种方法，我们可以求解二元一次方程的解。
二元一次方程的解法
二元一次方程的解法二元一次方程的解：使二元一次方程左、右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。
1.消元解法“消元”是解二元一次方程组的基本思路。
所谓“消元”就是减少未知数的个数，使多元方程最终转化为一元多次方程再解出未知数。
这种将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决的解法，叫做消元解法。
代入消元法（1）概念：将方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程，最后求得方程组的解.。
这种解方程组的方法叫做代入消元法，简称代入法。
（2）代入法解二元一次方程组的步骤①选取一个系数较简单的二元一次方程变形，用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数；②将变形后的方程代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程（在代入时，要注意不能代入原方程，只能代入另一个没有变形的方程中，以达到消元的目的）；③解这个一元一次方程，求出未知数的值；④将求得的未知数的值代入①中变形后的方程中，求出另一个未知数的值；⑤用“{”联立两个未知数的值，就是方程组的解；⑥最后检验（代入原方程组中进行检验，方程是否满足左边=右边）。
2．加减消元法（1）概念：当方程中两个方程的某一未知数的系数相等或互为相反数时，把这两个方程的两边相加或相减来消去这个未知数，从而将二元一次方程化为一元一次方程，最后求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法.（2）加减法解二元一次方程组的步骤①利用等式的基本性质，将原方程组中某个未知数的系数化成相等或相反数的形式；②再利用等式的基本性质将变形后的两个方程相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程（一定要将方程的两边都乘以同一个数，切忌只乘以一边，然后若未知数系数相等则用减法，若未知数系数互为相反数，则用加法）；③解这个一元一次方程，求出未知数的值；④将求得的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程中，求出另一个未知数的值；⑤用“{”联立两个未知数的值，就是方程组的解；⑥最后检验求得的结果是否正确（代入原方程组中进行检验，方程是否满足左边=右边）。
二元一次方程组的解法之加减消元法
3x 45 8
解得 y 3 写解 解得 x 4
x 1
因此原方程组的解是
y
3
x 4
因此原方程组的解是
y
5樂见
牛刀小试
解下列方程组：
3x 2 y 8 ① （1）6x 5y 47 ②
2x 3y 12 ① （2） 3x 4 y 1Βιβλιοθήκη ②樂 见巩固练习
用加减法解下列方程时，你认为先消哪个未知数 比较简单，填写消元的过程.
2m 3n 1 ① 选择消 n
（1） 5m 3n 4 ② 将方程 ②－① 进行消元
5m 3n 2 ① 选择消 m
（2） 5m 3n 4 ② 将方程 ①+② 进行消元
樂 见
5x 4 y 23 ① 选择消 y
（3） 3x 2 y 15 ② 将方程②×2－① 进行消元
7m 3n 1 ① 选择消 n
（1）6x 5y 9
②
3x 4y 8 ① （2）4x 3y 1 ②
方程①×4 方程②×3
归纳
6x 9y 33 ③
6x 5y 9
②
12x 16y 32 ③ 12x 9y 3 ④
当程的方的方程两程组边的的都系两乘数（能x（个以相或不方一 同或互能程个或y为）使不适互相的两能当为反直的相系个接数反数数方用（数）相程加不，呢等中减为那？消零么元）就时， 可，使以可变用将形加方后减
七年级下册
二元一次方程组的解 法
——加减消元法
樂 见
回顾思考
代入法解二元一次方程组一般步骤：
<1>变 ——用含有一个未知数的代数式表示另 一个未知数,写成y=ax+b或x=ay+b；
<2>代——把变形后的方程代入到另一个方程
消元-解二元一次方程组
消元法的注意事项
03
二元一次方程组的解法
方程组的解的定义
定义：二元一次方程组的解是指满足方程组中所有方程的一组未知数的值。
求解二元一次方程组的目标是找到这组解，使得每个方程都成立。
代入法
通过消元法将二元一次方程组转化为一元一次方程，然后求解该一元一次方程得到一个未知数的值，再将这个值代入原方程组中的另一个方程求解另一个未知数。
01
02
03
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诀 the the安静 better
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总结与反思
总结与反思
ur, sp1\irst.magic of散asiestial斯特质生气
总结与反思
01
02
03
斯特
乃至 howsoever
大概是
的确, 4得更的确 ...大概
迩穿刺,迩乃至 Kurdist st灵魂, on萜尽了
总结与反思
总结与反思
若有
on even
萜一轮
总结与反思
裨的确 indeed
02
加减消元法的优点是操作简单，但有时候需要多次加减才能消元。
03
03
在解出未知数后，需要检验解的合理性，确保解符合实际情况和题目的要求。
01
消元法适用于解二元一次方程组，但对于一些特殊情况（如系数相等或方程无解等）需要特别注意。
02
在使用消元法时，需要注意运算的准确性和规范性，避免出现计算错误或遗漏。
二元一次方程组的解法—消元法 ppt课件
上面的解法，是由二元一次方程组中一个方程, 将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来， 再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二 元一次方程组的解，这种方法叫代入消元法，简 称代入法
Bi shan qu long jiang xiao xue 璧 山 区 龙 江 小学
用代入法解方程的主要步骤：
2、初步体会解二元一次方程组的基本思 “消元”。
想——
3、通过对方程中未知数特点的观察和分析，明确解二元 一次方程组的主要思路是“消元”，从而促成未知向已 知的转化，培养观察能力和体会化归的思想。
精品资料
• 你怎么称呼老师？ • 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你
是否会认为老师的教学方法需要改进？ • 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭 • “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我
变形
代入 求解 写解
用一个未知数的代数式 表示另一个未知数 消去一个元 分别求出两个未知数的值 写出方程组的解
Bi shan qu long jiang xiao xue 璧 山 区 龙 江 小学
练一练
用代入法解方程组
x－y=3 3x－8y=14
解:将方程⑴变形,得
y=x－3
将方程(3)代入(2)得 3x－8(x－3)=14
变形
一
次 方 程
x y 13
y 6x 7
代入 消y
6 用
7
x 代替y，
y=6
x=7
解得x 一元一次方程
x 6 x 13 7
消去未知数y
今天你学会了什么？
Bi shan qu long jiang xiao xue
璧 山 区 龙 江 小学
二元一次方程组的解法加减消元法
二元一次方程组的解法加减消元法
二元一次方程组是指由两个含有两个未知数的线性方程组成的方程组。
其中，每个方程都可以写成以下形式：ax + by = c。
加减消元法是一种解二元一次方程组的常用方法。
它的基本思想是通过加减方程来消去一个未知数，从而得到一个只含有一个未知数的方程，然后通过解这个方程来求解出另一个未知数。
具体步骤如下：
1. 将方程组写成标准形式。
确保每个方程都按照ax + by = c 的形式排列。
2. 选取合适的方程，通过加减操作消去其中一个未知数。
这通常需要使得其中一个系数相加或相减后为零。
3. 解得一元一次方程，求解出已经消去的未知数的值。
4. 将求得的未知数的值代入消去后的方程中，解得另一个未知数。
5. 检验解的正确性，将求得的未知数代入原方程组中，验证等号两边是否相等。
通过反复使用加减消元法，直到得到最终的解。
需要注意的是，加减消元法在解决二元一次方程组时可能会遇到以下情况：无解、唯一解和无穷解。
无解表示方程组无解；唯一解表示方程组存在且只有一个解；无穷解表示方程组存在且有无限个解。
使用加减消元法可以有效地解决二元一次方程组，但要注意运算的准确性和规范性，以确保得到正确的解答。
《消元——二元一次方程组的解法》教学设计
2、问：上例能不能用加法，如何才能用？（想+讲+听）
3、按整理出的思路①×2+②解题，具体操方法作同第1点。
4、引导学生小结加减法与各元系数关系及加减法解题步骤，然后出示答案及检测。（想+讲+听+看，五防）
1、气泡图出示解方程组的7种不同思路（其中4种为代入法，2种为减法，1种为加法）。学生选择自己喜欢的思路或另想思路在小卡上完成解题，完成后6人单元组进行交互、修正，查看不同思路的解法，然后在大卡上呈现单元组内不同的解法，抽查个别组组员对大卡内容的了解情况。
3、安排填空、选择、改错、计算等有梯度、多向度的拓展性流程性检测。
1/2、培养学生概括归纳和数学表达能力，使知识更具系统化，并具有延续性
教学
环节
复习导入
（3分钟）
探究新知
（10分钟）
应用新知
（12分钟）
巩固拓展
（18分钟）
小结作业
（2分钟）
教
学
流
程
1、出示学习目标。
（看+听+想）
2、复习导入：
（1）解二元一次方程组的基本思想是什么？
（2）由②得直接代入①；
（3）①+②消去y；
学生思考还有哪些思路，哪一种思路的解答计算量少？
……………………（下载后可见完整教案）
1、参照上例用计算量最少的思路（加减消元法）解方程组，师问生答整理思路后指导学生用减法消去x的方法解，
……………………（下载后可见完整教案）
。
（想+讲+听+做+看+动静，五防）
消元──二元一次方程组的解法
消元法的应用
பைடு நூலகம்
解二元一次方程组
定义方程组
转化方程组
执行消元
求解未知数
验证解的正确性
首先需要定义二元一次 方程组的表达式，例如 `ax + by = e` 和 `cx + dy = f`。
将方程组中的每个方程 转化为等式，例如 `a1x + b1y = e1` 和 `c1x + d1y = f1`。
通过数学运算，消去其 中一个未知数，例如将 第一个等式乘以某个系 数后与第二个等式相减 ，从而消去 `y`。
反复检查每一步的计算是否正确。
03
未能正确转化二元为一元
有些学生在消元过程中未能正确地将二元一次方程组转化为一元一次方
程，导致无法得到正确的解。因此，需要加强对于消元法步骤和技巧的
掌握，确保在消元过程中不会出现错误。
解决难题的方法
加强基础知识掌握
熟练掌握二元一次方程组的概念和性质，以及消元法的步骤和技巧，是解决难题的基础。因此，学生需要加强对 基础知识的掌握和理解。
步骤三
将得到的未知数的值代入原方程组中，求 得另一个未知数的值。
步骤二
解一元一次方程，得到一个未知数的值。
步骤四
得到方程组的解。
02
具体消元法
代入消元法
总结词
通过将一个方程中的某个未知数用另一个未知数表示，并将其带入另一个方程 ，从而简化方程组。
详细描述
代入消元法是一种基本的消元方法，它通过将一个方程中的某个未知数用另一 个未知数表示，并将其带入另一个方程，以简化方程组的求解过程。这种方法 通常适用于具有线性方程的情况。
在数学和其他领域的应用
在数学领域的应用
消元法解二元一次方程组
消元法解方程组的应用实例
x + y = 30
使用加减消元法解得：x = 16, y = 14
x - y = (3 - 2) times (x/3 + y/2)
因此，甲比乙多走了16 14 = 2公里。
05 消元法的优缺点
优点
简单易行
消元法是一种基础的解二元一次方程组的方 法，其步骤简单明了，易于理解和操作。
结合其他方法
对于一些特殊形式的二元一次方程组，可以考虑结合其他方法如代 入法、参数法等来求解，以提高求解效率和准确性。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
代入消元法
通过将一个方程中的一个未知数 用另一个未知数表示，代入另一 个方程中，将二元一次方程组转 化为一元一次方程。
二元一次方程组的解的性质
解的唯一性
对于给定的二元一次方程组，其解是唯一的。
解的稳定性
当方程组的系数发生变化时，解不会发生改变。
03 消元法的步骤
代入消元法
1
代入消元法是通过将一个方程中的一个未知数用 另一个方程表示，然后将其代入另一个方程中求 解的方法。
在此添加您的文本16字
y = 2x - 1
在此添加您的文本16字
将第二个方程代入第一个方程中，得到
在此添加您的文本16字
2x + 3(2x - 1) = 7
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解得：x = 2, y = 1
加减消元法实例
加减消元法是通过两个方程相加或相 减来消除一个未知数的方法。例如，
对于方程组
在解二元一次方程组时，可以先尝试代入消元法，如果不行再考虑加减消 元法。
04 消元法解二元一次方程组 实例
二元一次方程组的解法-加减消元法
在解决二元一次方程组时，加减消元法是常用的方法之一。本演示将介绍加 减消元法的基本原理、步骤，以及它的优点和缺点。
何为二元一次方程组
二元一次方程组是由两个未知数（变量）和两个一次项组成的方程组。
加减消元法的基本原理
加减消元法利用两个方程之间的加减运算，消去其中一个未知数的系数，从而简化方程组，使求解更容易。
加减消元法的步骤
1
按照系数选定一个未知数相加减
2
消元
选择两个方程中一个未知数的系数相加
或相减，使其系数成为零。
3
检验解的可行性
4
将求得的解代入原方程组中，检验是否 成立。
列方程组
将二元一次方程组的两个方程写成标准 形式。
消去选择的未知数并求解另一个 未知数
消去已选定的未知数，并通过解方程的 方法求解另一个未知数。
在方程组中，可能会出现特殊符号作为系数的情况，例如pi（π）、无穷大 （∞）、负数等。需要根据具体情况进行处数学和实际问题中，如线性方程组、经济学模型等。
课堂练习
通过加减消元法解以下方程组： 1) 3x + 5y = 11 x + 3y = 5 2) 2x + 7y = 19 4x + 14y = 38 3) 5x + 7y = 17 5x + 9y = 19
加减消元法的优点
1 简单高效
相比其他解法，加减消元 法步骤简单，容易理解和 实施。
2 直观
加减消元法通过消元过程 直观展现方程组的变换， 使解题更加形象具体。
3 适应性强
加减消元法对于较简单和 复杂的二元一次方程组都 适用，广泛应用于数学和 实际问题中。
加减消元法的缺点
二元一次方程的解法消元法
“消元──二元一次方程组的解法”（第1课时）教学设计一、内容和内容解析内容解析本课是在认识二元一次方程组的基本概念之后，进一步研究其解法．本课教学的核心是“消元”，在围绕“消元”展开的解法教学中，要关注化归思想的渗透以及方程解法的程序化问题．1．化归的基本思想是化未知为已知，化复杂为简单，化陌生为熟悉，化困难为容易．化归思想广泛的适用于数学问题的解决过程，就初中学段而言，这一思想在解方程的过程中体现得尤为明显．在初中学段，学生依次认识一元一次方程、二元（或多元）一次方程组、分式方程、一元二次方程，这是一个由简单到复杂的过程，也是一个应用化归思想逐步解决更复杂问题的过程．其中通过对一元一次方程解法的学习，学生认识到解一元一次方程的核心思想就是将其向着“x=a”的形式去转化，转化的手段有“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”等．后续对于二元一次方程组、分式方程和一元二次方程的学习，又使学生认识到解方程的关键是将其通过“消元、整式化、降次”等手段向着一元一次方程去转化，这是解所有方程的通性通法．就本课而言，二元方程组的解法教学承载着多元一次方程组的解法渗透，具有代表性，通过本课的学习，学生对化归思想的领悟及对“消元”方法的掌握程度决定着这种渗透的效果．化归是重要的数学思想，思想的形成不能通过教师的灌输和学生的模仿来实现，而需要学生在适当的数学情境中去体会，并自我感悟．学生在一元一次方程的解法中初次体验化归思想，意识还比较模糊，而本课的学习是学生对这一思想的再次体验，通过情境的创设、过程的引领及适当的小结归纳，应力图使学生对化归思想具有更清晰的认识，并在之后的学习中初步具备应用化归思想解决问题的意识．2．解方程属于中学数学的基本技能，学生能否快速准确的求出方程的解对后续学习的诸多问题都有很关键的影响．解方程是“自动化的程序性知识”，自动化的程序性知识有以下特征：第一，运作速度快，启用时人几乎毫无意识；第二，有惊人的准确性，几乎总能产生正确的预期行为；第三，人对这类知识一般不能施加有意的影响；第四，人们一般不能对这类知识进行描述．若使学生的解方程达到“自动化”的程度，首先要关注方程解法的程序化，即明确解题程序中的每一个步骤以及在各个步骤中的具体任务，使学生有法可循．其次要安排学生依照已经明确的解题程序进行一定量的练习，在练习中进一步熟悉和掌握解题程序，从而逐步达到自动化的解题水平．强调解法的程序化，有利于提升学习的有效性、积极性，但同时也应关注两个问题：第一，程序化的解题不能是盲目的，在强化解题步骤的同时，要重视让学生理解每一步骤背后的理论依据，使学生“知其然亦知其所以然”，从而提高学生应用程序化解题的自觉性；第二，程序化解题不应成为一种机械的操作，应提倡在相应的思想方法指导下简约而灵活的解决问题，所以对解题程序的制定、描述不应过于具体．综合以上分析，确定本课的教学重点是：化归思想的渗透，消元解二元一次方程组的解题程序．二、目标和目标解析教学目标（1）会用代入消元法解二元一次方程组，初步体会解方程组过程中的程序化思想．（2）经历化归过程，体会化归思想，完善方程求解的认知体系．目标解析（1）会利用代入消元的方法求简单的二元一次方程组的解，明确“变形—代入—求解—回代—结论”的解题步骤，理解每一步骤背后的理论依据，知晓在每一步骤中应注意的问题．（2）通过二元一次方程组与一元一次方程的对比分析，产生和理解消元思想，体验“化归—消元—代入—恒等变换”等不同层次的数学思想方法，体会解决新问题的化归过程，继而对多元、高次等方程的求解策略产生自然联想．三、教学问题诊断分析（1）学生已经历了一元一次方程的学习过程，对于方程学习的一般过程有了初步的体验，对于解方程过程中的化归思想也具备了初步的认识，但这种认识还不深刻．学生能够意识到它的存在，尚不能主动运用这种思想解决问题，同时对这种思想方法的认识还比较片面．（2）对于求解类的问题，学生更关注的的是问题的结果，以及可以求得结果的解题步骤，而容易忽略解题过程中所蕴含的数学原理，这种态度容易使解题过程变为机械化的操作，使学生形成思维定势，妨碍学生思维的简约性和灵活性．因此，本课的教学难点是：对解方程组过程中的思想方法的理解，包括以消元为核心的化归思想以及解方程组过程中每一步骤背后的数学思想．本课在突破难点方面重点关注两个问题：第一，创设适当的数学情境激发学生的思维，通过问题引领，深化学生的思考；第二，做好阶段性的总结，帮助学生明晰知识结构，完善知识体系，将感性认识上升到理性思考．四、教学支持条件分析根据本节课教材内容的特点，可以借助信息技术工具，更直观形象的呈现问题情境，以利于学生对问题的分析和解决．五、教学过程设计（一）创设情境，引入新知这节课我们学习解方程，我们学过什么方程？大家会解吗？我们先来看一个例子．教师给出方程①，问题1 这是方程吗？是什么方程？它的解是什么？师生活动：教师引领学生回答．教师给出方程②，追问1：方程②和方程①有何区别？我们是如何处理的？教师给出方程③，追问2：方程③和方程②有何区别？我们是如何处理的？……教师给出方程⑥，追问5：方程⑥和方程⑤有何区别？我们是如何处理的？师生活动：教师依次引领学生回答问题．设计意图：引领学生再次体验通过“转化”解方程的过程，使学生形成“确定解题方向—发现关键区别—寻求解决策略”的思维感知．问题2 解一元一次方程的基本思路是什么？每遇到一种新的形式的方程，我们都是如何处理的？师生活动：学生思考回答，教师引领归纳得出：解一元一次方程的基本思路是将其向着“x= a”的形式去转化，每遇到一种新的形式的方程，我们都要通过和已有的解方程体系进行对比，并通过转化将之纳入到已有的解方程体系中来．设计意图：通过问题引领，将学生在问题1中的感知明确化，归纳得出解方程的一般思路，为本课新知提供先行组织者．问题3 你会解方程组吗？师生活动：教师提出问题，板书标题，学生思考．（二）分析探究，认识新知问题3 你会解方程组吗？师生活动：教师提问，学生思考．追问 1 这个方程组与之前我们研究的方程有什么区别？你能将它转化为我们熟悉的方程吗？师生活动：教师启发学生思考，得出结论：本题与之前所解的方程区别在于有两个未知数，欲将其转化为一元一次方程解决，关键在于如何消掉一个未知数，即消元．追问2 这一方程组是之前的篮球比赛问题中列出的，这一问题我们也可以列一元一次方程解决，通过两种方法的对比，对你解二元一次方程组有何启发？情境回顾：篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分．某队为争取较好名次，想在全部22场比赛中得到40分，那么这个队胜负场数应分别为多少？师生活动：教师引领学生对比两种方法，发现在方法2中隐含的消元过程，并将之迁移到二元一次方程组的解法中．追问3 现在你会解方程组了吗？解：由①，得y = 22- x．③把③代入②，得2x+（22- x）= 40．（教师提问：为什么可以代入，代入①行不行？）解这个方程，得x = 18．把x = 18代入③，得y = 4．（教师提问：代入①或②行不行？好不好？）所以原方程组的解为设计意图：通过问题3明确本课的探究主题，并通过后续追问引领学生在自身已有经验的基础上归纳得出代入消元的方法．在解题过程中的提问意在使学生明确每一步变形背后的数学原理．问题4 对于方程组能得到关于y的一元一次方程吗？解：由①，得x = 22- y．③把③代入②，得2（22- y）+ y = 40．（教师再次强调：代入①可以不可以？）解这个方程，得y = 4．把y = 4代入③，得x = 18．（教师再次强调：代入①或②可以不可以？）所以原方程组的解为设计意图：通过两种解法的对比，使学生体会利用代入消元法解二元一次方程组过程中，方法的多样性，进一步认识代入消元的本质，并再次关注解题过程中应注意的问题．问题 5 这种解二元一次方程组的方法，我们称之为代入消元法．在利用代入消元法解二元一次方程组的过程中，主要有哪些步骤？其中的关键步骤是什么？师生活动：教师提出问题，学生思考并回答，师生共同归纳解法的主要步骤有：变形—代入—求解—回代—结论．其中“代入”的步骤最为关键．设计意图：阶段性的总结，将解法中的步骤以命名的方法使其形成操作流程，有利于学生在此基础上通过练习将之落实，并逐步趋于自动化的水平．（三）巩固提高，应用新知练习运用代入消元法解下列方程组：（1）（2）（3）师生活动：教师给出练习，学生独立完成．选学生板演，师生共同评价．设计意图：通过难度由浅入深的练习，使学生进一步熟悉解题步骤，体会解法的多样性，并自觉形成寻求最佳解题途径的习惯．（四）归纳反思，深化新知问题6 教师与学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：（1）这节课我们研究的主要内容是什么？（用代入消元法解二元一次方程组）（2）代入消元法解方程组的基本步骤是什么？有什么需要注意的问题？变形：将其中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的式子表示；代入：将变形后的式子代入另一个方程，消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程；求解：求出一元一次方程的解；回代：将其代入到变形后的方程，求出另一个未知数；结论：写出方程组的解．（以上总结结合知识框图）（3）你觉得解法中的关键步骤是什么？体现了什么思想？（解法中的关键步骤是代入，体现了转化的思想）师生活动：学生思考并回答问题，教师引领概括、归纳，揭示蕴涵的数学思想方法．设计意图：以问题引领，帮助学生形成知识结构、揭示知识的内在联系，总结规律，使学生的感性认识上升到理性思考．（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。
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⑴ ⑵
(3)
x=2 y=－1
Bi shan qu long jiang xiao xue
例2 学以致用
龙江九年制学校七年级13名学生在老师的带领下去看樱 花，其中男、女生的比为7:6，那么男女生人数分别是多少呢？
璧 山 区 龙 江 小学
Bi shan qu long jiang xiao xue 璧 山 区 龙 江 小学
用代入法解方程组
变形 代入
x+y=22 ①
2x+y=40 ②
把③代入① 可 以吗？试试看
解： 由① ，得 y=22 - x ③
把③代入② ，得 2x+(22-x)=40 2x+22-x=40 x= 18
把x=18代入① 或 ②可以吗？
求解
把x=18代入③ ，得
写解
y=4
x=18
y=4
∴原方程组的解是
用代入法解方程的主要步骤：
变形
代入
求解
写解
用一个未知数的代数式 表示另一个未知数 消去一个元 分别求出两个未知数的值 写出方程组的解
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练一练
用代入法解方程组 x－y=3 3x－8y=14
解:将方程⑴变形,得 y=x－3 将方程(3)代入(2)得 3x－8(x－3)=14 解这个方程得:x=2 把x=2代入(3)得:y=－1 所以这个方程组的解为:
龙江九年制学校七年级13名学生在老师的带领下 去看樱花，其中男、女生的比为7:6，那么男女生人数 分别是多少呢？
解：设男女生人数分别是x、y人。 6x 7 y 根据题意可列方 程组： x y 13 6 由 ① 得： y x ③ 7 把 ③ 代入 解得：x=7 得： ②
① ②
篮球联赛中每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得 2分，负一场 得1分.如果某队为了争取较好名次，想在全部22场比赛中得40分， 那么这个队胜、负场数应分别是多少? 解：设胜x场，负y场； ① x y 22 2x y 40 ② 解：设胜x场,则有：
2 x + (22 - x ) = 40
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归 纳：
上面的解法，是由二元一次方程组中一个方程, 将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来， 再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二 元一次方程组的解，这种方法叫代入消元法，简 称代入法
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x 6 x 13 7 x 7 y 6
把x=7代入③ 得：y=6
答：男女生人数分别是7、6人。
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再议代入消元法
6 x 7 y x y 13
上面解方程组的过程可以用下面的框图表示：
二 元 一 次 方 程
6x 7 y x y 13
变形
6 y x 7
代入 消y
6 x 用 7 代替y，
y=6 x=7
解得x 一元一次方程
x
6 x 13 7
消去未知数y
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1、解二元一次方程组的基本思路是什么？ 基本思路:
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1、用含x的代数式表示y： x + y = 22 y=22-x 2、用含y的代数式表示x： 2x - 6y = 8
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回顾与思考
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•1
• 2、什么是二元一次方程组的解？
二元一次方程组的两个方程的公共解
、什么是二元一次方程的解？使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的一 组值
• 3、解一元一次方程的一般步骤是怎样的？
去分母、去括号、移项、合并、系数化1
8.2
二元一次方程组的解法—消元法 第1课时 (数学七年级下册)
合 作 学 习
学习指导者：张宝洪
快 乐 学 习
本节学习目标 ：
1、会用代入法解二元一次方程组。 2、初步体会解二元一次方程组的基本思 “消元”。 想——
3、通过对方程中未知数特点的观察和分析，明确解二元 一次方程组的主要思路是“消元”，从而促成未知向已 知的转化，培养观察能力和体会化归的思想。
③
由①我们可以得到：
y 22 x
比较一下上面的方程组 与方程有什么关系？
22 x 就得到了③ 再将②中的y换为 ③是一元一次方程，相信大家都会解。那么根据上面的提示， 你会解这个方程组吗？
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例1（在实践中学习）
消元: 二元
一元
2、用代入法解方程的步骤是什么？
主要步骤： 变形
代入
求解
写解
用一个未知数的代数式 表示另一个未知数 消去一个元 分别求出两个未知数的值 写出方程组的解
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课堂练习：
用代入消元法解下列方程组
你解对了吗？
x=4 y=8
y=2x ⑴
y-5 x=— 2
⑵
x=5 y=15
x+y=12
x+y=11 ⑶ x-y=7
4x+3y=65
3x-2y=9 x=9 y=2 ⑷ x+2y=3
x=3 y=0
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课后尝试：
课本103页 习题8.2第1、2题
把求出的解代入原 方程组，可以知道 你解得对不对。
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二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其 中一个未知数，将二元一次方程组转化为我们熟悉 的一元一次方程，我们就可以先解出一个未知数， 然后再设法求另一未知数.这种将未知数的个数由 多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想.