(完整版)等差数列的前n项和练习含答案

课时作业8 等差数列的前n 项和

时间：45分钟 满分：100分

课堂训练

1．已知{a n }为等差数列，a 1＝35，d ＝－2，S n ＝0，则n 等于( ) A ．33 B ．34 C ．35 D ．36

【答案】 D

【解析】 本题考查等差数列的前n 项和公式．由S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝35n ＋n (n －1)

2×(－2)＝0，可以求出n ＝36.

2．等差数列{a n }中，3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24，则数列前13项的和是( )

A ．13

B ．26

C ．52

D ．156 【答案】 B

【解析】 3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24⇒6a 4＋6a 10＝24⇒a 4＋a 10＝4⇒S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13(a 4＋a 10)2

＝13×4

2＝26. 3．等差数列的前n 项和为S n ，S 10＝20，S 20＝50.则S 30＝________. 【答案】 90

【解析】 等差数列的片断数列和依次成等差数列． ∴S 10，S 20－S 10，S 30－S 20也成等差数列． ∴2(S 20－S 10)＝(S 30－S 20)＋S 10，解得S 30＝90.

4．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 12＝84，S 20＝460，求S 28. 【分析】 (1)应用基本量法列出关于a 1和d 的方程组，解出a 1

和d ，进而求得S 28；

(2)因为数列不是常数列，因此S n 是关于n 的一元二次函数且常数项为零．设S n ＝an 2＋bn ，代入条件S 12＝84，S 20＝460，可得a 、b ，则可求S 28；

(3)由S n ＝d 2n 2＋n (a 1－d 2)得S n n ＝d 2n ＋(a 1－d

2)，故⎩⎨⎧⎭

⎬⎫S n n 是一个等差数

列，又2×20＝12＋28，∴2×S 2020＝S 1212＋S 28

28，可求得S 28.

【解析】 方法一：设{a n }的公差为d ， 则S n ＝na 1＋n (n －1)

2d .

由已知条件得：⎩⎨⎧

12a 1＋12×11

2d ＝84，

20a 1

＋20×19

2d ＝460，

整理得⎩⎨

⎧

2a 1＋11d ＝14，2a 1＋19d ＝46，

解得⎩⎨

⎧

a 1＝－15，d ＝4.

所以S n ＝－15n ＋n (n －1)

2×4＝2n 2－17n ， 所以S 28＝2×282－17×28＝1 092.

方法二：设数列的前n 项和为S n ，则S n ＝an 2＋bn . 因为S 12＝84，S 20＝460，

所以⎩⎨

⎧

122a ＋12b ＝84，202a ＋20b ＝460，

整理得⎩⎨

⎧

12a ＋b ＝7，20a ＋b ＝23.

解之得a ＝2，b ＝－17， 所以S n ＝2n 2－17n ，S 28＝1 092. 方法三：∵{a n }为等差数列， 所以S n ＝na 1＋n (n －1)

2d ，

所以S n n ＝a 1－d 2＋d

2n ，所以⎩⎨⎧⎭

⎬⎫S n n 是等差数列．

因为12,20,28成等差数列， 所以S 1212，S 2020，S 28

28成等差数列， 所以2×S 2020＝S 1212＋S 28

28，解得S 28＝1 092.

【规律方法】 基本量法求出a 1和d 是解决此类问题的基本方法，应熟练掌握．根据等差数列的性质探寻其他解法，可以开阔思路，有时可以简化计算．

课后作业

一、选择题(每小题5分，共40分)

1．已知等差数列{a n }中，a 2＝7，a 4＝15，则前10项的和S 10等于( )

A ．100

B ．210

C ．380

D ．400

【答案】 B

【解析】 d ＝a 4－a 24－2＝15－7

2＝4，则a 1＝3，所以S 10＝210.

2．在等差数列{a n }中，a 2＋a 5＝19，S 5＝40，则a 10＝( ) A ．27 B ．24 C ．29 D ．48

【答案】 C 【解析】

由已知⎩⎨

⎧

2a 1＋5d ＝19，5a 1＋10d ＝40.

解得⎩⎨

⎧

a 1＝2，d ＝3.

∴a 10＝2＋9×3＝29.

3．数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋2n －1，则这个数列一定是( ) A ．等差数列 B ．非等差数列 C ．常数列 D ．等差数列或常数列 【答案】 B

【解析】 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋2n －1－[(n －1)2＋2(n －1)－1]＝2n ＋1，当n ＝1时a 1＝S 1＝2.

∴a n ＝⎩⎨

⎧

2，n ＝1，2n ＋1，n ≥2，

这不是等差数列．

4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )

C ．8

D ．9

【答案】 A 【解析】

⎩⎨

⎧

a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，

∴⎩⎨

⎧

a 1＝－11，d ＝2，

∴S n ＝na 1＋n (n －1)

2d ＝－11n ＋n 2－n ＝n 2－12n . ＝(n －6)2－36. 即n ＝6时，S n 最小．

5．一个只有有限项的等差数列，它的前5项的和为34，最后5项的和为146，所有项的和为234，则它的第7项等于( )

A ．22

B ．21

C ．19

D ．18

【答案】 D

【解析】 ∵a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34， a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＋a n －4＝146， ∴5(a 1＋a n )＝180，a 1＋a n ＝36， S n ＝n (a 1＋a n )2＝n ×362＝234. ∴n ＝13，S 13＝13a 7＝234.∴a 7＝18.

6．一个有11项的等差数列，奇数项之和为30，则它的中间项为( )

A ．8

B ．7