(完整版)等差数列的前n项和练习含答案
必修5《等差数列的前n项和》习题精选含答案
第1课时等差数列的前n项和课后篇巩固探究A组1.设S n是等差数列{a n}的前n项和,已知a2=3,a6=11,则S7等于()A.13B.35C.49D.63解析:S7==49.答案:C2.设S n是等差数列{a n}的前n项和,S5=10,则a3的值为()A. B.1 C.2 D.3解析:∵S5==5a3,∴a3=S5=×10=2.答案:C3.已知数列{a n}的通项公式为a n=2n-37,则S n取最小值时n的值为()A.17B.18C.19D.20解析:由≤n≤.∵n∈N+,∴n=18.∴S18最小,此时n=18.答案:B4.等差数列{a n}的前n项和为S n(n=1,2,3,…),若当首项a1和公差d变化时,a5+a8+a11是一个定值,则下列选项中为定值的是()A.S17B.S18C.S15D.S14解析:由a5+a8+a11=3a8是定值,可知a8是定值,所以S15==15a8是定值.答案:C5.若两个等差数列{a n},{b n}的前n项和分别为A n与B n,且满足(n∈N+),则的值是()A. B. C. D.解析:因为,所以.答案:C6.已知{a n}是等差数列,S n为其前n项和,n∈N+.若a3=16,S20=20,则S10的值为.解析:设等差数列{a n}的首项为a1,公差为d.∵a3=a1+2d=16,S20=20a1+d=20,∴解得d=-2,a1=20,∴S10=10a1+d=200-90=110.答案:1107.在等差数列{a n}中,前n项和为S n,若a9=3a5,则=.解析:S17=17a9,S9=9a5,于是×3=.答案:8.已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差等于.解析:设公差为d,则有5d=S偶-S奇=30-15=15,于是d=3.答案:39.若等差数列{a n}的公差d<0,且a2·a4=12,a2+a4=8.(1)求数列{a n}的首项a1和公差d;(2)求数列{a n}的前10项和S10的值.解(1)由题意知(a1+d)(a1+3d)=12,(a1+d)+(a1+3d)=8,且d<0,解得a1=8,d=-2.(2)S10=10×a1+d=-10.10.导学号33194010已知数列{a n}是首项为23,公差为整数的等差数列,且前6项均为正,从第7项开始变为负.求:(1)此等差数列的公差d;(2)设前n项和为S n,求S n的最大值;(3)当S n是正数时,求n的最大值.解(1)∵数列{a n}首项为23,前6项均为正,从第7项开始变为负,∴a6=a1+5d=23+5d>0,a7=a1+6d=23+6d<0,解得-<d<-,又d∈Z,∴d=-4.(2)∵d<0,∴{a n}是递减数列.又a6>0,a7<0,∴当n=6时,S n取得最大值,即S6=6×23+×(-4)=78.(3)S n=23n+×(-4)>0,整理得n(25-2n)>0,∴0<n<,又n∈N+,∴n的最大值为12.B组1.设数列{a n}为等差数列,公差d=-2,S n为其前n项和,若S10=S11,则a1=()A.18B.20C.22D.24解析:因为S11-S10=a11=0,a11=a1+10d=a1+10×(-2)=0,所以a1=20.答案:B2.(2017全国1高考)记S n为等差数列{a n}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{a n}的公差为()A.1B.2C.4D.8解析:设首项为a1,公差为d,则a4+a5=a1+3d+a1+4d=24,S6=6a1+d=48,联立可得①×3-②,得(21-15)d=24,即6d=24,所以d=4.答案:C3.等差数列{a n}的前n项和记为S n,若a2+a4+a15的值为一个确定的常数,则下列各数中也是常数的是()A.S7B.S8C.S13D.S15解析:∵a2+a4+a15=3a1+18d=3(a1+6d)=3a7为常数,∴S13==13a7为常数.答案:C4.导学号33194011若等差数列{a n}的通项公式是a n=1-2n,其前n项和为S n,则数列的前11项和为() A.-45 B.-50 C.-55 D.-66解析:∵S n=,∴=-n,∴的前11项和为-(1+2+3+…+11)=-66.故选D.答案:D5.已知等差数列{a n}前9项的和等于前4项的和.若a1=1,a k+a4=0,则k=.解析:设等差数列{a n}的公差为d,则a n=1+(n-1)d,∵S4=S9,∴a5+a6+a7+a8+a9=0.∴a7=0,∴1+6d=0,d=-.又a4=1+3×,a k=1+(k-1)d,由a k+a4=0,得+1+(k-1)d=0,将d=-代入,可得k=10.答案:106.已知数列{a n}为等差数列,其前n项和为S n,且1+<0.若S n存在最大值,则满足S n>0的n的最大值为.解析:因为S n有最大值,所以数列{a n}单调递减,又<-1,所以a10>0,a11<0,且a10+a11<0.所以S19=19×=19a10>0,S20=20×=10(a10+a11)<0,故满足S n>0的n的最大值为19.答案:197.导学号33194012在等差数列{a n}中,a1=-60,a17=-12,求数列{|a n|}的前n项和.解数列{a n}的公差d==3,∴a n=a1+(n-1)d=-60+(n-1)×3=3n-63.由a n<0得3n-63<0,解得n<21.∴数列{a n}的前20项是负数,第20项以后的项都为非负数.设S n,S n'分别表示数列{a n}和{|a n|}的前n项和,当n≤20时,S n'=-S n=-=-n2+n;当n>20时,S n'=-S20+(S n-S20)=S n-2S20=-60n+×3-2×n2-n+1260.∴数列{|a n|}的前n项和S n'=8.导学号33194013设等差数列{a n}的前n项和为S n,且a5+a13=34,S3=9.(1)求数列{a n}的通项公式及前n项和公式;(2)设数列{b n}的通项公式为b n=,问:是否存在正整数t,使得b1,b2,b m(m≥3,m∈N)成等差数列?若存在,求出t和m的值;若不存在,请说明理由.解(1)设等差数列{a n}的公差为d,因为a5+a13=34,S3=9,所以整理得解得所以a n=1+(n-1)×2=2n-1,S n=n×1+×2=n2.(2)由(1)知b n=,所以b1=,b2=,b m=.若b1,b2,b m(m≥3,m∈N)成等差数列,则2b2=b1+b m,所以,即6(1+t)(2m-1+t)=(3+t)(2m-1+t)+(2m-1)(1+t)(3+t),整理得(m-3)t2-(m+1)t=0,因为t是正整数,所以(m-3)t-(m+1)=0,m=3时显然不成立,所以t==1+.又因为m≥3,m∈N,所以m=4或5或7,当m=4时,t=5;当m=5时,t=3;当m=7时,t=2.所以存在正整数t,使得b1,b2,b m(m≥3,m∈N)成等差数列.。
等差数列的前n项和公式同步练习(含解析)
《第二节等差数列》同步练习（等差数列的前n项和公式）一、选择题1.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,且S2=10,S5=55,则过点P(n,S nn ),Q(n+2,S n+2n+2)(n∈N*)的直线的斜率为( )A.4B.3C.2D.12.[2022辽宁名校高三上联考]已知数列{a n}是等差数列,前n项和为S n,若a1+a2+a3+a4=3,a17+a18+a19+a20=5,则S20=( )A.10B.15C.20D.403.[2022四川成都七中高一下期中]已知等差数列{a n}的公差d<0,a5a7=35,a4+a8=12,前n 项和为S n,则S n的最大值为( )A.66B.72C.132D.1984.(多选)[2022湖南高三上联考]两个等差数列{a n}与{b n}的前n项和分别为S n与T n,且S2n T n =8n3n+5,则( )A.a3+a8=2b3B.当S n=2n2时,b n=6n+2C.a4+a11b4<2D.∀n∈N*,使得T n>05.(多选)[2022安徽临泉一中高二期末]已知等差数列{a n}的前n项和为S n,若S2 021>0,S2 022<0,则( )A.数列{a n}是递增数列B.|a1 012|>|a1 011|C.当S n取得最大值时,n=1 011D.S1 012<S1 0096.[2022山东潍坊高二调研]在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述:今有良马与驽马发长安至齐,齐去长安四百二十里,良马初日行九十七里,日增一十五里;驽马初日行九十二里,日减一里;良马先至齐,复还迎驽马,二马相逢.问:几日相逢?( )A.4日B.3日C.5日D.6日7.如果有穷数列a1,a2,…,a n(n∈N*)满足a i=a n-i+1(i=1,2,3,…,n),那么称该数列为“对称数列”.设{a n}是项数为2k-1(k∈N,k≥2)的“对称数列”,其中a k,a k+1,…,a2k-1是首项为50,公差为-4的等差数列,记{a n }的各项之和为S 2k -1,则S 2k -1的最大值为( ) A.622B.624C.626D.6288.(多选)[2022江苏南京高三月考]如图的形状出现在中国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中,后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球,第二层有3个球,第三层有6个球,第四层有10个球,…….设第n 层有a n 个球,从上往下n 层球的总数为S n ,则( )A.S 5=35B.a n +1-a n =nC.S n -S n -1=n(n+1)2,n ≥2 D.1a 1+1a 2+1a 3+…+1a 100=200101二、非选择题9.如图所示,八个边长为1的小正方形拼成一个长为4,宽为2的矩形,A ,B ,D ,E 均为小正方形的顶点,在线段DE 上有 2 020个不同的点P 1,P 2,…,P 2 020,且它们等分DE.记M i =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (i =1,2,…,2 020).则M 1+M 2+…+M 2 020的值为 .10.已知数列{a n }满足2a n +1=a n +a n +2(n ∈N *),它的前n 项和为S n ,且a 3=10,S 6=72,则{a n }的通项公式a n = ;若数列{b n }满足b n =12a n -30,其前n 项和为T n ,则T n 的最小值为 .11.[2022辽宁阜新高二上期末]在等差数列{a n }中,S n 是数列{a n }的前n 项和,已知a 2=4,S 4=20.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)若b n =(-1)n·a n ,求数列{b n }的前n 项和T n .12.[2022河北唐山一中高二上月考]记S n是等差数列{a n}的前n项和,若S5=-35,S7=-21.(1)求数列{a n}的通项公式,并求S n的最小值;(2)设b n=|a n|,求数列{b n}的前n项和T n.参考答案一、选择题1.C设d为数列{a n}的公差,则{S nn }是公差为d2的等差数列.2.C由题易知S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12,S20-S16成等差数列,又S4=3,S20-S16=5,则S20=(S20-S16)+(S16-S12)+(S12-S8)+(S8-S4)+S4=(5+3)×52=20.3.A因为d<0,a5a7=35,a4+a8=a5+a7=12,所以a5=7,a7=5,则d=-1,所以a n=a7+(n-7)d=-n+12,所以a12=0,所以当n=11或12时,S n取得最大值,最大值为S11=S12=12(a1+a12)2= 12×(11+0)2=66.4.AB由S2nT n =8n3n+5,知S10T5=10(a1+a10)25(b1+b5)2=a1+a10b3=a3+a8b3=4020=2,即a3+a8=2b3,故A正确;同理可得a4+a11b4=S14T7=2813>2,故C错误;当S n=2n2时,有S2n=8n2,则T n=n(3n+5),易得b n=6n+2,故B正确;当S n=-2n2时,有S2n=-8n2,则T n=-n(3n+5)<0,则不存在n∈N*,使得T n>0,故D错误.5.BC因为S2 021=2021(a1+a2021)2=2 021a1 011>0,S2 022=2022(a1+a2022)2=1 011(a1 011+a1 012)<0,所以a1 011>0,a1 011+a1 012<0,所以a1 012<0,且|a1 012|>|a1 011|,所以数列{a n}是递减数列,且当n=1 011时,S n取得最大值,故B,C正确,A错误.又S1 012-S1 009=a1 010+a1 011+a1 012=3a1 011>0,所以S1 012>S1 009,故D错误.故选BC.6.A记良马第n日行程为a n,驽马第n日行程为b n,则由题意知数列{a n}是首项为97,公差为15的等差数列,数列{b n}是首项为92,公差为-1的等差数列,则a n=97+15(n-1)=15n+82,b n=92-(n-1)=93-n.因为数列{a n}的前n项和为n(97+15n+82)2=n(179+15n)2,数列{b n}的前n项和为n(92+93−n)2=n(185−n)2,所以n(179+15n)2+n(185−n)2=420×2,整理得n2+26n-120=0,解得n=4或n=-30(舍去),即4日相逢.7.C易知a k+a k+1+…+a2k-1=50k+k(k−1)×(−4)2=-2k2+52k,S2k-1=a1+…+a k+a k+1+…+a2k-1=2(a k+a k+1+…+a2k-1)-a k=-4k2+104k-50=-4(k-13)2+626,当k=13时,S2k-1取到最大值,且最大值为626.故选C.8.ACD因为a1=1,a2-a1=2,a3-a2=3,……,a n-a n-1=n,以上n个式子相加可得a n=1+2+3+…+n=n(n+1)2,所以S5=a1+a2+a3+a4+a5=1+3+6+10+15=35,故A正确;由递推关系可知a n+1-a n=n+1,故B 不正确;当n ≥2时,S n -S n -1=a n =n(n+1)2,故C 正确;因为1a n =2n(n+1)=2(1n−1n+1),所以1a 1+1a 2+…+1a 100=2[(1-12)+(12−13)+…+(1100−1101)]=2(1-1101)=200101,故D 正确.故选ACD.二、非选择题9.14 140 解析如图,设C 为DE 的中点,则AC =72.因为P 1,P 2,…,P 2 020等分DE ,所以AP i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AP 2 021−i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ .又M 1+M 2+…+M 2 020=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +…+AP 2 020⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ),令S =M 1+M 2+…+M 2 020,则2S =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +…+AP 2 020⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AP 2 020⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AP 2 019⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +…+AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·[(AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AP 2 020⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+(AP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AP 2 019⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+…+(AP 2 020⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )]=(2×2 020)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =4 040×√5×72×√5=28 280,所以S =14 140.10.4n -2 -225 解析因为2a n +1=a n +a n +2,所以a n +1-a n =a n +2-a n +1,故数列{a n }为等差数列.设数列{a n }的公差为d.由a 3=10,S 6=72,得{a 1+2d =10,6a 1+15d =72,解得{a 1=2,d =4,所以a n =4n -2,所以b n =12a n -30=2n -31.令{b n ≤0,b n+1≥0,即{2n −31≤0,2(n +1)−31≥0,解得292≤n ≤312.因为n ∈N *,所以数列{b n }的前15项均为负值且第16项为正值,所以T 15最小.因为数列{b n }的首项为-29,公差为2,所以T 15=15(−29+2×15−31)2=-225,所以数列{b n }的前n 项和T n 的最小值为-225.11.(1)设首项为a 1,公差为d ,由题意知 {a 1+d =4,4a 1+4×32d =20,解得{a 1=2,d =2,故a n =2n. (2)由(1)得b n =(-1)n·a n =(-1)n·2n.当n 为偶数时,T n =(-2+4)+(-6+8)+…+[-2(n -1)+2n ]=n2·2=n ;当n 为奇数时,T n =(-2+4)+(-6+8)+…+[-2(n -2)+2(n -1)]-2n =(n -1)-2n =-n -1, 所以T n ={n,n 为偶数,−n −1,n 为奇数.12.(1)设{a n }的公差为d ,则{5a 1+5×42d =−35,7a 1+7×62d =−21,解得{a 1=−15,d =4, 所以a n =-15+4(n -1)=4n -19.由a n=4n-19≥0,得n≥194,所以当n=1,2,3,4时,a n<0,当n≥5时,a n>0,所以S n的最小值为S4=4a1+4×32d=-36.(2)由(1)知,当n≤4时,b n=|a n|=-a n;当n≥5时,b n=|a n|=a n.又S n=na1+n(n−1)2d=2n2-17n,所以当n≤4时,T n=-S n=17n-2n2,当n≥5时,T n=S n-2S4=2n2-17n-2×(-36)=2n2-17n+72,即T n={17n−2n2,n≤4, 2n2−17n+72,n≥5.。
等差等比数列前N项和练习答案
等差数列前N 项和（第一课时）一、选择题1．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 8＝4a 3，a 7＝－2，则a 9＝( ) A ．－6 B ．－4 C ．－2 D ．2[答案] A[解析] 本题考查数列的基础知识和运算能力．⎩⎪⎨⎪⎧ S 3＝4a 3a 7＝－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 1＋3d ＝4a 1＋8d a 1＋6d ＝－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝10d ＝－2. ∴a 9＝a 1＋8d ＝－6.2．四个数成等差数列，S 4＝32，a 2a 3＝13，则公差d 等于( )A ．8B ．16C ．4D ．0[答案] A [解析] ∵a 2a 3＝13，∴a 1＋d a 1＋2d ＝13，∴d ＝－2a 1. 又S 4＝4a 1＋4×32d ＝－8a 1＝32，∴a 1＝－4，∴d ＝8.3．等差数列{a n }中，a 3＋a 7－a 10＝8，a 11－a 4＝14.记S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，则S 13＝( )A ．168B ．156C ．152D ．286[答案] D[解析] ∵⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＋a 7－a 10＝8a 11－a 4＝14，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1－d ＝87d ＝14，∴⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2a 1＝10，∴S 13＝13a 1＋13×122d ＝286.4．在等差数列{a n }和{b n }中，a 1＝25，b 1＝15，a 100＋b 100＝139，则数列{a n ＋b n }的前100项的和为( )A ．0B ．4475C ．8950D ．10 000[答案] C[解析] 设c n ＝a n ＋b n ，则c 1＝a 1＋b 1＝40，c 100＝a 100＋b 100＝139，{c n }是等差数列，∴前100项和S 100＝100(c 1＋c 100)2＝100×(40＋139)2＝8950.5．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2[答案] C[解析] 设等差数列为{a n }，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＝15a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝30， ∴5d ＝15，∴d ＝3.6．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 7a 5＝913，则S 13S 9＝( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D ．12[答案] A [解析]S 13S 9＝13a 79a 5＝139×913＝1，故选A ． 二、填空题7．已知数列{a n }的通项公式a n ＝－5n ＋2，则其前n 项和S n ＝________. [答案] －5n 2＋n2[解析] ∵a n ＝－5n ＋2， ∴a n －1＝－5n ＋7(n ≥2)，∴a n －a n －1＝－5n ＋2－(－5n ＋7)＝－5(n ≥2)． ∴数列{a n }是首项为－3，公差为－5的等差数列． ∴S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (－5n －1)2＝－5n 2＋n 2.8．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9＝72，则a 2＋a 4＋a 9＝________. [答案] 24[解析] ∵S 9＝9·(a 1＋a 9)2＝72，∴a 1＋a 9＝16，即a 1＋a 1＋8d ＝16， ∴a 1＋4d ＝8，又a 2＋a 4＋a 9＝a 1＋d ＋a 1＋3d ＋a 1＋8d＝3(a 1＋4d )＝3×8＝24. 三、解答题9．已知等差数列{a n }．(1)a 1＝56，a 15＝－32，S n ＝－5，求n 和d ；(2)a 1＝4，S 8＝172，求a 8和d ． [解析] (1)∵a 15＝56＋(15－1)d ＝－32，∴d ＝－16.又S n ＝na 1＋n (n －1)2·d ＝－5，解得n ＝15，n ＝－4(舍)．(2)由已知，得S 8＝8(a 1＋a 8)2＝8(4＋a 8)2，解得a 8＝39，又∵a 8＝4＋(8－1)d ＝39，∴d ＝5.等差数列前N 项和（第二课时） 一、选择题1．记等差数列{a n }的前n 项和为S n .若d ＝3，S 4＝20，则S 6＝( ) A ．16 B ．24 C ．36 D ．48[答案] D[解析] 由S 4＝20,4a 1＋6d ＝20，解得a 1＝12⇒S 6＝6a 1＋6×52×3＝48.2．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，S n 是等差数列{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是( )A ．21B ．20C ．19D ．18 [答案] B[解析] 由题设求得：a 3＝35，a 4＝33，∴d ＝－2，a 1＝39，∴a n ＝41－2n ，a 20＝1，a 21＝－1，所以当n ＝20时S n 最大．故选B ．3.13×5＋15×7＋17×9＋…＋113×15＝( )A ．415B ．215C ．1415D ．715[答案] B[解析] 原式＝12(13－15)＋12(15－17)＋…＋12(113－115)＝12(13－115)＝215，故选B ．4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列{1a n a n ＋1}的前100项和为( )A ．100101B ．99101C ．99100D ．101100[答案] A[解析] 本小题主要考查等差数列的通项公式和前n 项和公式的运用，以及裂项求和的综合应用．∵a 5＝5，S 5＝15 ∴5(a 1＋5)2＝15，∴a 1＝1. ∴d ＝a 5－a 15－1＝1，∴a n ＝n .∴1a n a n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1. 则数列{1a n a n ＋1}的前100项的和为：T 100＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(1100－1101)＝1－1101＝100101. 故选A ．5．设等差数列{a n }的前n 项的和为S n ，若a 1>0，S 4＝S 8，则当S n 取得最大值时，n 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8[答案] B[解析] 解法一：∵a 1>0，S 4＝S 8，∴d <0，且a 1＝112d ，∴a n ＝－112d ＋(n －1)d ＝nd －132d ，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0a n ＋1<0，得⎩⎨⎧nd －132d ≥0(n ＋1)d －132d <0，∴512<n ≤612，∴n ＝6，解法二：∵a 1>0，S 4＝S 8， ∴d <0且a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝0， ∴a 6＋a 7＝0，∴a 6>0，a 7<0， ∴前六项之和S 6取最大值．6．设{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，且S 5<S 6，S 6＝S 7>S 8，则下列结论错误的是( ) A ．d <0 B ．a 7＝0C ．S 9>S 5D ．S 6与S 7均为S n 的最大值[答案] C[解析] 由S 5<S 6知a 6>0，由S 6＝S 7知a 7＝0，由S 7>S 8知a 8<0，C 选项S 9>S 5即a 6＋a 7＋a 8＋a 9>0，∴a 7＋a 8>0，显然错误． 二、填空题7．设S n 是等差数列{a n }(n ∈N *)的前n 项和，且a 1＝1，a 4＝7，则S 5＝________. [答案] 25[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1a 4＝7得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1d ＝2，∴S 5＝5a 1＋5×42×d ＝25.8．(2014·北京理，12)若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大．[答案] 8[解析] 本题考查了等差数列的性质与前n 项和．由等差数列的性质，a 7＋a 8＋a 9＝3a 8，a 7＋a 10＝a 8＋a 9，于是有a 8>0，a 8＋a 9<0，故a 9<0，故S 8>S 7，S 9<S 8，S 8为{a n }的前n 项和S n 中的最大值，等差数列{a n }中首项a 1>0公差d <0，{a n }是一个递减的等差数列，前n 项和有最大值，a 1<0，公差d >0，{a n }是一个递增的等差数列，前n 项和有最小值．三、解答题9．设等差数列{a n }满足a 3＝5，a 10＝－9. (1)求{a n }的通项公式；(2)求{a n }的前n 项和S n 及使得S n 取最大值的n 的值．[解析] (1)设公差为d ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝5a 1＋9d ＝－9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9d ＝－2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－2n ＋11.(2)由(1)知S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝10n －n 2＝－(n －5)2＋25，∴当n ＝5时，S n 取得最大值．等比数列前N 项和综合练习1．(2013·新课标全国Ⅰ)设首项为1，公比为23的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则( )A ．S n ＝2a n －1B ．S n ＝3a n －2C ．S n ＝4－3a nD ．S n ＝3－2a n答案 D解析 S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q＝1－23a n1－23＝3－2a n ，故选D 项． 2．等比数列{a n }各项都是正数，若a 1＝81，a 5＝16，则它的前5项和是( )A ．179B ．211C ．248D ．275答案 B解析 ∵a 5＝a 1q 4，∴16＝81q 4.∴q ＝±23.又数列{a n }的各项都是正数，∴q ＝23. ∴S 5＝a 1(1－q 5)1－q＝81[1－(23)5]1－23＝211. 3．在等比数列{a n }中，S n 表示前n 项和，若a 3＝2S 2＋1，a 4＝2S 3＋1，则公比q 等于( )A ．3B ．－3C ．－1D ．1答案 A解析 思路一：列方程求出首项和公比，过程略； 思路二：两等式相减得a 4－a 3＝2a 3，从而求得a 4a 3＝3＝q .4．在公比为正数的等比数列中，a 1＋a 2＝2，a 3＋a 4＝8，则S 8等于( )A ．21B ．42C ．135D ．170答案 D 解析5．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝( )A.152B.314C.334D.172答案 B解析 显然公比q ≠1，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ·a 1q 3＝1，a 1(1－q 3)1－q ＝7，解得⎩⎨⎧a 1＝4，q ＝12，∴S 5＝a 1(1－q 5)1－q＝4(1－125)1－12＝314. 6．在14与78之间插入n 个数组成等比数列，若各项总和为778，则此数列的项数( )A ．4B ．5C ．6D ．7答案 B解析 ∵q ≠1(14≠78)，∴Sn ＝a 1－anq 1－q.∴778＝14－78q 1－q ，解得q ＝－12，78＝14×(－12)n ＋2－1.∴n ＝3，故该数列共5项．7．等比数列{an }的首项为1，公比为q ，前n 项和为S ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为( ) A.1S B ．S C ．Sq 1－n D ．S －1q 1－n答案 C解析 q ≠1时，S ＝1－q n 1－q ，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为1(1－1q n )1－1q ＝q 1－n ·1－q n 1－q＝q 1－n ·S .当q ＝1时，q 1－n ·S ＝S .8．在等比数列{a n }中，公比q ＝－2，S 5＝44，则a 1的值为( )A ．4B ．－4C ．－2D ．2答案 A 解析9．数列{a n }的前n 项和为S n ＝4n ＋b (b 是常数，n ∈N *)，若这个数列是等比数列，则b 等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．4答案 A 解析10．(2013·北京)若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝________；前n 项和S n ＝________.答案 2 2n ＋1－2解析 由题意知q ＝a 3＋a 5a 2＋a 4＝2.由a 2＋a 4＝a 2(1＋q 2)＝a 1q (1＋q 2)＝20，∴a 1＝2，∴S n ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2.11．(2012·新课标全国)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋3S 2＝0，则公比q ＝________.答案 －2解析 由S 3＝－2S 2，可得a 1＋a 2＋a 3＝－3(a 1＋a 2)， 即a 1(1＋q ＋q 2)＝－3a 1(1＋q )，化简整理得q 2＋4q ＋4＝0，解得q ＝－2.12．若等比数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝－512，前n 项和为S n ＝－341，则n 的值是________．答案 1013．(2012·浙江)设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则q ＝________.答案 32解析 由已知S 4－S 2＝3a 4－3a 2，即a 4＋a 3＝3a 4－3a 2，即2a 4－a 3－3a 2＝0，两边同除以a 2，得2q 2－q －3＝0，即q ＝32或q ＝－1(舍)．答案 3n －1，或(－3)n－14解析答案24解析16．等比数列{a n}的公比q>0，已知a2＝1，a n＋2＋a n＋1＝6a n，则{a n}的前4项和S4＝________.答案 152解析 由条件a n ＋2＋a n ＋1＝a n q 2＋a n q ＝6a n ，q >0，得q ＝2，又a 2＝1，所以a 1＝12，S 4＝152.17．一个等比数列的首项为1，项数为偶数，其中奇数项的和为85，偶数项的和为170，求该数列的公比和项数．答案 该数列的公比为2，项数为8解析18．设等比数列{a n }的公比q <1，前n 项和为S n ，已知a 3＝2，S 4＝5S 2，求{a n }的通项公式．解析 由题设知a 1≠0，S n ＝a 1(1－q n )1－q，则 ⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q 2＝2，a 1(1－q 4)1－q ＝5×a 1(1－q 2)1－q ， ①②由②得1－q 4＝5(1－q 2)，(q 2－4)(q 2－1)＝0.(q －2)(q ＋2)(q －1)(q ＋1)＝0， 因为q <1，解得q ＝－1或q ＝－2. 当q ＝－1时，代入①得a 1＝2，a n ＝2×(－1)n －1；当q ＝－2时，代入①得a 1＝12，a n ＝12×(－2)n －1.综上，当q ＝－1时，a n ＝2×(－1)n －1； 当q ＝－2时，a n ＝12×(－2)n －1.。
等差数列的前n项和(作业带答案)
等差数列的前n 项和一、选择题（5*6=30）1．已知等差数列{a n }满足a 2＋a 4＝4，a 3＋a 5＝10，则它的前10项的和S 10＝( )A ．138B ．135C ．95D ．232．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 12＝a 7＋6，则S 11＝( )A ．99B ．33C ．198D ．663．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( )A ．765B ．665C ．763D ．6634．现有200根相同的钢管，把它们堆成三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为( )A ．9B ．10C ．19D ．295．《张丘建算经》卷上第22题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，第1天织了5尺布，现在一月(按30天计算)共织390尺布．记该女子一月中的第n 天所织布的尺数为a n ，则a 14＋a 15＋a 16＋a 17的值为( )A ．55B ．52C ．39D ．266．(多选题)设等差数列{a n }的前n 项和为S n 且满足S 2 019＞0，S 2 020＜0，对任意正整数n ，都有|a n |≥|a k |，则下列判断正确的是( )A ．a 1 010＞0B ．a 1 011＞0C ．|a 1 010|＞|a 1 011|D ．k 的值为1 010二、填空题（2*5=10）7．已知在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，则数列{a n }的前9项和等于________．8．若数列{}a n 的前n 项和为S n ＝n 2－3n ＋1()n ∈N *，则该数列的通项公式为a n ＝________．三、解答题（20*3=60）9．已知等差数列{a n }中，a 10＝30，a 20＝50．(1)求数列的通项公式；(2)若S n ＝242，求n ．10．已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，且满足a 1＝12，a n ＝－2S n S n －1(n ≥2)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列； (2)求S n 和a n ．11．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{a n }为等差数列，a 1＝12，d ＝－2．(1)求S n ，并画出{S n }(1≤n ≤13)的图象；(2)分别求{S n }单调递增、单调递减的n 的取值范围，并求{S n }的最大(或最小)的项；(3){S n }有多少项大于零？等差数列的前n 项和（答案）一、选择题1．已知等差数列{a n }满足a 2＋a 4＝4，a 3＋a 5＝10，则它的前10项的和S 10＝( )A ．138B ．135C ．95D ．23C [∵⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋a 4＝4，a 3＋a 5＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝2，a 1＋3d ＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝3，∴S 10＝10a 1＋10×92×d ＝－40＋135＝95．]2．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 12＝a 7＋6，则S 11＝( )A ．99B ．33C ．198D ．66D [因为a 1＋a 12＝a 7＋6，所以a 6＝6，则S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11a 6＝11×6＝66，故选D ．] 3．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( )A ．765B ．665C ．763D ．663B [由题意得，所有被7除余2的数构成以2为首项，公差为7的等差数列，∴2＋(n －1)×7<100，∴n <15，∴n ＝14，S 14＝14×2＋12×14×13×7＝665．]4．现有200根相同的钢管，把它们堆成三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为( )A ．9B ．10C ．19D ．29B [钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．∴钢管总数为：1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2．当n ＝19时，S 19＝190．当n ＝20时，S 20＝210>200．∴n ＝19时，剩余钢管根数最少， 为10根．]5．《张丘建算经》卷上第22题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，第1天织了5尺布，现在一月(按30天计算)共织390尺布．记该女子一月中的第n 天所织布的尺数为a n ，则a 14＋a 15＋a 16＋a 17的值为( )A ．55B ．52C ．39D ．26B [由题意可得{a n }为等差数列，a 1＝5，∴S 30＝30×5＋30×292d ＝390，解得d ＝1629，∴a 14＋a 15＋a 16＋a 17＝a 1＋13d ＋a 1＋14d ＋a 1＋15d ＋a 1＋16d ＝4a 1＋58d ＝4×5＋58×1629＝52．]6．(多选题)设等差数列{a n }的前n 项和为S n 且满足S 2 019＞0，S 2 020＜0，对任意正整数n ，都有|a n |≥|a k |，则下列判断正确的是( )A ．a 1 010＞0B ．a 1 011＞0C ．|a 1 010|＞|a 1 011|D ．k 的值为1 010AD [由等差数列{a n }，可得S 2 019＝2 019(a 1＋a 2 019)2＞0，S 2 020＝2 020(a 1＋a 2 020)2＜0， 即：a 1＋a 2 019＞0，a 1＋a 2 020＜0，可得：2a 1 010＞0，a 1 010＋a 1 011＜0，∴a 1 010＞0，a 1 011＜0，∴A 正确B 错误．又等差数列{a n }为递减数列， 且a 1 010＋a 1 011＜0，∴|a 1 010|＜|a 1 011|，∴C 错误．而对任意正整数n ，都有|a n |≥|a k |，则k 的值为1 010．故D 正确．故选AD ．]二、填空题7．已知在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，则数列{a n }的前9项和等于________．27 [由a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，可知数列{a n }是首项为1，公差为12的等差数列，故S 9＝9a 1＋9×(9－1)2×12＝9＋18＝27．] 8．若数列{}a n 的前n 项和为S n ＝n 2－3n ＋1()n ∈N *，则该数列的通项公式为a n ＝________．⎩⎪⎨⎪⎧ －1 ()n ＝12n －4()n ≥2 [由题意可知，当n ＝1时，a 1＝S 1＝12－3×1＋1＝－1； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝()n 2－3n ＋1－⎣⎡⎦⎤()n －12－3()n －1＋1＝2n －4． 又a 1＝－1不满足a n ＝2n －4．因此，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －1()n ＝1，2n －4()n ≥2.] 三、解答题9．已知等差数列{a n }中，a 10＝30，a 20＝50．(1)求数列的通项公式；(2)若S n ＝242，求n ．[解] (1)设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ． 则⎩⎪⎨⎪⎧ a 10＝a 1＋9d ＝30，a 20＝a 1＋19d ＝50，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，d ＝2，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝12＋(n －1)×2＝10＋2n ．(2)由S n ＝na 1＋n (n －1)2d 以及a 1＝12，d ＝2，S n ＝242，得方程242＝12n ＋n (n －1)2×2，即n 2＋11n －242＝0，解得n ＝11或n ＝－22(舍去)．故n ＝11．10．已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，且满足a 1＝12，a n ＝－2S n S n －1(n ≥2)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列； (2)求S n 和a n ．[解] (1)证明：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－2S n S n －1，①∵S 1＝a 1≠0，由递推关系知S n ≠0(n ∈N *)，由①式得1S n －1S n －1＝2(n ≥2)． ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列，其中首项为1S 1＝1a 1＝2，公差为2． (2)由(1)知，1S n＝2＋2(n －1)＝2n ，∴S n ＝12n ． 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－12n (n －1)， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝12不适合上式．所以，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 12，n ＝1，－12n (n －1)，n ≥2.11．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{a n }为等差数列，a 1＝12，d ＝－2．(1)求S n ，并画出{S n }(1≤n ≤13)的图象；(2)分别求{S n }单调递增、单调递减的n 的取值范围，并求{S n }的最大(或最小)的项；(3){S n }有多少项大于零？[解] (1)S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝12n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋13n ．图象如图．(2)S n ＝－n 2＋13n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1322＋1694，n ∈N *， ∴当n ＝6或7时，S n 最大；当1≤n ≤6时，{S n }单调递增；当n ≥7时，{S n }单调递减．{S n }有最大值，最大项是S 6，S 7，S 6＝S 7＝42．(3)由图象得{S n }中有12项大于零．。
(完整版)等差数列练习题有答案
数列A 、等差数列知识点及例题一、数列由与的关系求n a n S na 由求时，要分n=1和n≥2两种情况讨论，然后验证两种情况可否用统一的解析式表示，若不能，则用分段函数的n S n a 形式表示为。
11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩〖例〗根据下列条件，确定数列的通项公式。
{}na 分析：（1）可用构造等比数列法求解；（2）可转化后利用累乘法求解；（3）将无理问题有理化，而后利用与的关系求解。
n a n S 解答：（1）（2）……累乘可得，故（3）二、等差数列及其前n 项和（一）等差数列的判定1、等差数列的判定通常有两种方法：第一种是利用定义，，第二种是利用等差中项，即。
1()(2)n n a a d n --=≥常数112(2)n n n a a a n +-=+≥2、解选择题、填空题时，亦可用通项或前n 项和直接判断。
（1）通项法：若数列{}的通项公式为n 的一次函数，即=An+B,则{}是等差数列；n a n a n a （2）前n 项和法：若数列{}的前n 项和是的形式（A ，B 是常数），则{}是等差数列。
n a n S 2n S An Bn =+n a 注：若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。
〖例〗已知数列{}的前n 项和为，且满足n a n S 111120(2),2n n n n S S S S n a ---+=≥=A （1）求证：{}是等差数列；1nS （2）求的表达式。
n a 分析：（1）与的关系结论；1120n n n n S S S S ---+=A →1n S 11n S -→（2）由的关系式的关系式1nS →n S →n a 解答：（1）等式两边同除以得-+2=0，即-=2（n≥2）.∴{}是以==2为首1n n S S -A 11n S -1n S 1n S 11n S -1n S 11S 11a 项，以2为公差的等差数列。
等差数列的前n项和(精练)(解析版)
4.2.2 等差数列的前n 项和1．（2020·宜宾市叙州区第一中学校高三三模（文））已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，9445,31n S a -==，若198n S =，则n =（ ） A ．10 B ．11C ．12D ．13【答案】B【解析】945S =1955945()952a a a a ⇒=+=⇒= ,所以154()()198(531)11222n n n n n nS a a a a n -=+=+∴=+∴= ,选B.2．（2020·东北育才学校高二月考（文））已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若74328a a =+，则25S =（ ） A ．50 B ．100C ．150D ．200【答案】D【解析】设等差数列{a n }首项为1a ，公差为d,∵74328a a =+，∴3(()116)238a d a d +=++,∴1a +12d=8，即138a = 故S 25=()125252a a +=132522a ⨯=25a 13=200故选：D ． 3．（2020·四川省泸县第二中学开学考试（文））等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，23a =，且936S S =，则{}n a 的公差d =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】由等差数列性质知()()1319329353939,?654922a a a a S a S S a ++=======，则56a =.所以5213a a d -==.故选A. 4．（2020·云南高一期末）《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则小满日影长为（ ） A ．1.5尺B ．2.5尺C ．3.5尺D ．4.5尺题组一 等差数列的基本量【答案】C【解析】从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列{}n a ,冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺,前九个节气日影长之和为85.5尺,∴()()111913631.598985.52a a d a d S a d ⎧++++=⎪⎨⨯=+=⎪⎩,解得113.5a =,1d =-,∴小满日影长为1113.510(1) 3.5a =+⨯-=（尺）.故选C .5．（2020·陕西省洛南中学高二月考）在等差数列{}n a 中，已知12232,10a a a a +=+=，求通项公式n a 及前n 项和n S .【答案】45n a n =-，223n S n n =- *(1,)n n N ≥∈【解析】令等差数列{}n a 的公差为d ，则由12232,10a a a a +=+=，知：11222310a d a d +=⎧⎨+=⎩，解之得11{4a d =-=； ∴根据等差数列的通项公式及前n 项和公式，有：()()1114145n a a n d n n =+-=-+-=-，21232nn a a S n n n +=⋅=- *(1,)n n N ≥∈；1．（2020·湖北黄州·黄冈中学其他（理））已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，6353a a a +-=，则7S =（ ） A ．42 B ．21C ．7D ．3【答案】B【解析】由等差数列的性质可得6354553a a a a a a +-=+-=，()1747772732122a a a S +⨯∴===⨯=.故选：B.2．（2019·贵州六盘水·高二期末（理））在等差数列{}n a 中，358a a +=，则7S =（ ）题组二 前n 项和S n 与等差中项A ．12B ．28C ．24D ．35【答案】B【解析】等差数列{}n a 中，358a a +=，故17358a a a a +=+=，所以()7717782822S a a +⨯===.故选：B. 3．（2020·湖北荆州·高二期末）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若57942a a a ++=，则13S =（ ） A ．36 B ．72C ．91D ．182【答案】D【解析】数列{}n a 为等差数列，则5797342a a a a ++==，解得714a = 则()113137131313141822a a S a+=⨯==⨯=故选：D4．（2019·黄梅国际育才高级中学月考）若两个等差数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为A n 、B n ，且满足4255n n A n B n +=-，则513513a a b b ++的值为（ ）A ．78B ．79C ．87D ．1920【答案】A【解析】等差数列{}n a 、{}n b 前n 项和分别为n A ，n B ，由4255n n A n B n +=-， 得1131171131751717511177)2)217(4172717(51758a a a a a a Ab b b b b b B +++⨯+=====+++⨯-．故选：A . 5．（2020·赣州市赣县第三中学期中）设等差数列{}n a 前n 项和为n S ，等差数列{}n b 前n 项和为n T ，若20121n n S n T n -=-．则33a b =（ ） A ．595B ．11C ．12D ．13【答案】B【解析】因为等差数列{}n a 前n 项和为n S ，所以1()2n n n a a S +=， 当n 是奇数时，112()2n n n n a a S na ++==，所以33533555a a Sb b T ==,故选：B6．（2020·广西田阳高中高二月考（理））已知等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且521n n S n T n +=-，则76a b =（ ） A ．67B ．1211C ．1825D ．1621【答案】A【解析】因为等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且521n n S n T n +=-， 所以可设(5)n S kn n =+，(21)n T kn n =-， 所以77618a S S k =-=，66521b T T k =-=，所以7667a b =.故选：A 7．（2020·商丘市第一高级中学高一期末）等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，且7453n n S n T n +=-，则使得nna b 为整数的正整数n 的个数是( ) A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】∵等差数列{a n }、{b n }，∴121121,22n n n n a a b ba b --++== ， ∴()()121211212122n n n n n n n n n a a a na S n b b b nb T ----+===+ ,又7453n n S n T n +=- ， ∴()()7214566721324n n n a b n n -+==+--- ， 经验证,当n=1,3,5,13,35时,n n a b 为整数，则使得nna b 为整数的正整数的n 的个数是5.本题选择C 选项.1．（2020·榆林市第二中学高二月考）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若488,20S S ==,则题组三 前n 项和S n 的性质13141516a a a a +++= ( )A ．12B ．8C ．20D ．16【答案】C【解析】∵等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，488,20S S ==， 由等差数列的性质得：4841281612,,,S S S S S S S ---成等比数列 又4848,20812,S S S =-=-=∴128122012416,S S S -=-=+=16121314151616420S S a a a a -=+++=+=．故选：C ．2．（2020·重庆其他（文））等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知312S =，651S =，则9S 的值等于（ ） A ．66 B ．90C ．117D ．127【答案】C【解析】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,由题意可得63963,,S S S S S --成等差数列，故()()363962S S S S S -=+-，代入数据可得()()9251121125S -=+-，解得9117S =故选C3．（2020·江苏徐州·高二期中）已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项之和，且315S =，648S =，则9S 的值为（ ）. A ．63 B ．81C ．99D ．108【答案】C【解析】由n S 为等差数列{}n a 的前n 项之和，则3S ,639633(1),,......m m S S S S S S ---- 也成等差数列， 则3S ，6396,S S S S --成等差数列，所以633962()()S S S S S -=+-，由315S =，648S =， 得999S =，故选：C.4．（2020·昆明市官渡区第一中学高二期末（理））等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1020S =，2015S =，则30S =( ) A ．10 B ．20C ．30-D ．15-【答案】D【解析】由等差数列{}n a 的前n 项和的性质可得：10S ，1200S S -，3020S S -也成等差数列，20101030202()()S S S S S ∴-=+-，302(1520)2015S ∴⨯-=+-，解得3015S =-．故选D ．5．（2020·朔州市朔城区第一中学校期末（文））设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++=（ ） A ．63 B ．45 C ．36 D ．27【答案】B【解析】由等差数列性质知S 3、S 6﹣S 3、S 9﹣S 6成等差数列，即9，27，S 9﹣S 6成等差，∴S 9﹣S 6=45 ∴a 7+a 8+a 9=45故选B ．6．（2020·新疆二模（文））在等差数列{}n a 中，12018a =-，其前n 项和为n S ，若101221210S S -=，则2020S =（ ） A ．-4040 B ．-2020 C ．2020 D ．4040【答案】C【解析】设等差数列{}n a 的前n 项和为2+n S An Bn =，则+nS An B n=， 所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列．因为101221210S S -=，所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的公差为1，又11201811S a ==-，所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2018-为首项，1为公差的等差数列， 所以202020182019112020S =-+⨯=，所以20202020S =故选：C 8．（2020·河北路南·唐山一中）已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若12017a =-， 20142008620142008S S -=，则2017S =__________． 【答案】2017- 【解析】n S 是等差数列{}n a 的前n 项和， n S n ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭是等差数列，设其公差为d ，201420086,66,120142008S S d d -=∴==， 112017,20171S a =-∴=-，()()20172017112018,2018201720172017nS n n S n∴=-+-⨯=-+∴=-+⨯=-， 故答案为2017-．9．（2020·湖南怀化·高二期末）已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若12a =-，20202018220202018S S -=，则20192019S =________. 【答案】2016 【解析】n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，n S n ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭是等差数列，设其公差为d .20202018 220202018S S -=，22d ∴=，1d =.12a =-，1S21∴=-. 2(1)13n S n n n ∴=-+-⨯=-.2019S20162019∴=.故答案为：2016.1．（2020·安徽铜陵·）设n S 是公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，且10a >，若59S S =，则当n S 最大时，n=（ ） A ．6 B ．7C ．10D ．9【答案】B【解析】由等差数列中，59S S =，可得，故，其中，可知当时，最大．2．（2020·河北运河·沧州市一中月考）等差数列{}n a 中，10a >，201520160a a +>，201520160a a <，则使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是（ ） A ．2015 B ．2016C ．4030D ．4031【答案】C【解析】由题意知201520160,0a a ><，所以14030201520160a a a a +=+>，而14031201620a a a +=<，则有()140304*********a a S ⨯+=>，而()140314031403102a a S ⨯+=<，所以使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是4030，故选C ．3．（2020·河北路南·唐山一中期末）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且856a a -=-，9475S S -=，题组四 前n 项和S n 的最值则n S 取得最大值时n =（ ） A ．14 B ．15C ．16D ．17【答案】A【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则11369364675d a d a d =-⎧⎨+--=⎩，解得1227d a =-⎧⎨=⎩，故292n a n =-，故当114n ≤≤时，0n a >；当15n ≥时，0n a <， 所以当14n =时，n S 取最大值.故选：A.4．（2020·广西南宁三中开学考试）已知等差数列{}n a 的通项公式为29n a n =-，则使得前n 项和n S 最小的n 的值为（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】由290n a n =-≤，解得92n ≤，14n ∴≤≤时，0n a <；5n ≥时，0n a > 则使得前n 项和n S 最小的n 的值为4故选：B5．（2020·四川青羊·石室中学高一期末）在等差数列{}n a 中，其前n 项和是n S ，若90S >，100S <，则在912129,,,S S S a a a ⋯中最大的是（ ） A ．11S aB ．88S aC ．55S aD ．99S a【答案】C 【解析】由于191109510569()10()9050222a a a a S a S a a ++====+＞，（）＜ ，所以可得5600a a ＞，＜． 这样569121256900...0,0,...0S S S S S a a a a a ，，，>>><<，而125125S S S a a a ⋯⋯＜＜＜，＞＞＞>0， ， 所以在912129...S S S a a a ，，，中最大的是55S a ．故选C ．6．（2020·福建宁德·期末）公差为d 的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，110S >，120S <，下列说法正确的有（ ） A ．0d < B ．70a >C ．{}n S 中5S 最大D ．49a a <【答案】AD【解析】根据等差数列前n 项和公式得：()111111102a a S +=>，()112121202a a S +=<所以1110a a +>，1120a a +<， 由于11162a a a +=，11267a a a a +=+，所以60a >，760a a <-<，所以0d <，{}n S 中6S 最大，由于11267490a a a a a a +=+=+<，所以49a a <-，即：49a a <.故AD 正确，BC 错误.故选：AD.7．（2020·黑龙江让胡路·大庆一中高一期末）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若780a a +>，790a a +<则n S 取最大值时n 的值是（ ） A ．4 B ．5C ．6D ．7【答案】D【解析】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且780a a +>，790a a +<，12130a d ∴+>且12140a d +<，10,0,a d ∴><且780,0a a ><，所以当S n 取最大值时7n =.故选：D8．（2020·浙江其他）已知等差数列{}n a 的前n 项和n S ，且34S =，714S =，则23n n S a +-最小时，n 的值为（ ）. A ．2 B ．1或2C ．2或3D ．3或4【答案】C【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为34S =，714S =，所以1132342767142a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=⎪⎩，解得11a =，13d =，所以2223(1)11550[1(2)]23318n n n n n n S an n +----=+⨯-++=， 因为n ∈+N ，所以当2n =或3n =时，其有最小值.选：C1．（2020·山西大同·高三其他（理））若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知129,a a Z =∈，且()5*n S S n N ≤∈，则12n a a a +++=________.【答案】2210,51050,5n n n n n n ⎧-≤⎨-+>⎩【解析】∵等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，129,a a Z =∈，且5n S S ≤，56940,950a d a d ∴=+≥=+<， 2,2a Z d ∈∴=-，2(1)9(2)102n n n S n n n -∴=+⨯-=-， ∴当5n ≤时，212..10n a a a n n ++⋯+=-；当5n >时，()()21212345210n a a a a a a a a n n++⋯⋯+=++++--()222105510n n =⨯-+-21050n n =-+，212210,5..1050,5n n n n a a a n n n ⎧-≤∴++⋯+=⎨-+>⎩.故答案为：2210,51050,5n n n n n n ⎧-≤⎨-+>⎩. 2．（2020·黑龙江香坊·哈尔滨市第六中学校高三三模（理））已知等差数列{}n a 前三项的和为3-，前三项的积为15，（1）求等差数列{}n a 的通项公式；（2）若公差0d >，求数列{}n a 的前n 项和n T .题组五 含有绝对值的求和【答案】（1）49n a n =-或74n a n =-（2）25,1{2712,2n n T n n n ==-+≥【解析】（1）设等差数列的{}n a 的公差为d 由1233a a a ++=-，得233a =-所以21a =- 又12315a a a =得1315a a =-，即1111(2)15a d a a d +=-⎧⎨+=-⎩所以154a d =-⎧⎨=⎩，或134a d =⎧⎨=-⎩即49n a n =-或74n a n =- （2）当公差0d >时，49n a n =-1）当2n ≤时，490n a n =-<，112125,6T a T a a =-==--= 设数列{}n a 的前项和为n S ，则2(549)272n n S n n n -+-=⨯=-2）当3n ≥时，490n a n =->123123n n n T a a a a a a a a =++++=--+++()()123122n a a a a a a =++++-+2222712n S S n n =-=-+当1n =时，15T =也满足212171127T ≠⨯-⨯+=， 当2n =时，26T =也满足222272126T =⨯-⨯+=，所以数列{}n a 的前n 项和25127122n n T n n n =⎧=⎨-+≥⎩ 3．（2020·全国高三（文））在等差数列{}n a 中，28a =，64a =-. （1）求n a 的通项公式； （2）求12||||||n n T a a a =+++的表达式.【答案】（1）314n a n =-+；（2）2232542232552522n n n n T n n n ⎧-+≤⎪⎪=⎨⎪-+≥⎪⎩. 【解析】（1）设公差为d ，则11854a d a d +=⎧⎨+=-⎩，解得111a =，3d =-，所以314n a n =-+.（2）由314n a n =-+0≥可得4n ≤， 所以当4n ≤时，112()(11314)22n n n n a a n n T a a a +-+=+++===232522n n -+， 当5n ≥时，12345()n n T a a a a a a =+++-++1234122()()n a a a a a a a =+++-+++114()4()222n n a a a a ++=⨯-(253)522n n -=-23255222n n =-+. 所以2232542232552522n n n n T n n n ⎧-+≤⎪⎪=⎨⎪-+≥⎪⎩. 4．（2020·石嘴山市第三中学高三其他（理））已知数列{}n a 满足：313a =-，()141,n n a a n n N -=+>∈. （1）求1a 及通项n a ；（2）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，则数列1S ，2S ，3S ，…n S …中哪一项最小？并求出这个最小值. （3）求数列{}n a 的前10项和.【答案】（1）121a =-，425n a n =-；（2）6S 最小，666S =-；（3）前10项和为：102. 【解析】（1）()142n n a a n -=+≥，∴当3n =时，324a a =+，217a =-，214a a =+，121a =-，由14n n a a --=知数列为首项是21-，公差为4的等差数列， 故425n a n =-；（2）425n a n =-，故610a =-<，730a =>，故6S 最小，()6656214662S ⨯=⨯-+⨯=-； （3）当16n ≤≤时，0n a <；当7n ≥时，0n a >，()()10121012678910……T a a a a a a a a a a ∴=+++=-+++++++()()()61061061092102142661022S S S S S ⨯=-+-=-=⨯-+⨯-⨯-=. 5．（2020·湖北武汉）已知数列{}n a 是等差数列，公差为d ，n S 为数列{}n a 的前n 项和，172a a +=-，315S =. （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）求数列{}n a 的前n 项和T n .【答案】（1）()*311n a n n N =-+∈；（2）2(193),3231960,42n n n n T n n n -⎧≤⎪⎪=⎨-+⎪≥⎪⎩. 【解析】（1）∵{}n a 是等差数列，公差为d ，且172a a +=-，315S =，∴11262323152a d a d +=-⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得18a =，3d =-， ∴()()()11813311n a a n d n n =+-=+--=-+， ∴数列{}n a 的通项公式为：()*311n a n n N=-+∈.（2）令0n a ≥，则3110n -+≥，∴311n ≤，∴233n ≤，*n N ∈. ∴3n ≤时，0n a >；4n ≥时，0n a <， ∵18a =，311n a n =-+，∴3n ≤时，12(8311)2n n n n T a a a -+=++⋅⋅⋅+=()1932n n -=， 当4n ≥时，()121234n n n T a a a a a a a a =++⋅⋅⋅+=+++--⋅⋅⋅-()()12312322n n a a a a a a S S =++-++⋅⋅⋅+=-23(199)(193)319602222n n n n ⨯---+=⨯-=.∴2(193),3231960,42n n n n T n n n -⎧≤⎪⎪=⎨-+⎪≥⎪⎩. 6．（2020·任丘市第一中学）在公差是整数的等差数列{}n a 中，17a =-，且前n 项和4n S S ≥． （1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）令n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）29n a n =-；（2）()228,4832,5n n n n T n N n n n *⎧-+≤=∈⎨-+≥⎩. 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则d Z ∈，由题意知，{}n S 的最小值为4S ，则4500a a ≤⎧⎨≥⎩，17a =-，所以370470d d -≤⎧⎨-≥⎩，解得7743d ≤≤，d Z ∈，2d ∴=，因此，()()1172129n a a n d n n =+-=-+-=-； （2）29n n b a n ==-.当4n ≤时，0n a <，则n n n b a a ==-，()272982n n n n T S n n -+-∴=-=-=-+；当5n ≥时，0n a >，则n n n b a a ==，()22428216832n n T S S n n n n ∴=-=--⨯-=-+.综上所述：()228,4832,5n n n n T n N n n n *⎧-+≤=∈⎨-+≥⎩.。
等差数列前N项和测试训练题(含答案)
等差数列前N项和测试题一、单选题（共11题；共22分）1.（2020高一下·太和期末）一个等差数列共有2n+1项，其奇数项的和为512，偶数项的和为480，则中间项的值为（）A. 30B. 31C. 32D. 332.（2020高一下·太和期末）等差数列的前n项和为，且，则（）A. 8B. 9C. 10D. 113.（2020高一下·温州期末）等差数列中，，，是数列的前n项和，则（）A. B. C. D.4.数列中，已知且则（）A. 19B. 21C. 99D. 1015.（2020高一下·七台河期末）等差数列的首项为1，公差不为0，若成等比数列，则的前6项的和为（）A. -24B. 3C. 8D. 116.（2020高一下·七台河期末）已知是公差为1的等差数列，为的前n项和.若，则（）A. 10B. 12C.D.7.（2020高一下·鹤岗期末）设为等差数列的前n项和，若，，则（）A. -12B. -10C. 10D. 128.（2020高一下·鹤岗期末）已知是等差数列的前n项和，，设为数列的前n项和，则（）A. 2014B. -2014C. 2015D. -20159.（2020高一下·哈尔滨期末）若一个等差数列的前3项和为24，最后3项的和为126，所有项的和为275，则这个数列共有（）A. 13项B. 12项C. 11项D. 10项10.（2020高一下·台州期末）已知等差数列的前n项和为，若，，，则（）A. B. C. D.11.（2020高一下·广东月考）等差数列中，若，且，为前n项和，则中最大的是（）A. B. C. D.二、填空题（共8题；共10分）12.（2020高一下·湖州期末）设公差为d的等差数列的前n项和为，若，，则________，取最小值时，n=________．13.（2020高一下·上海期末）已知等差数列满足：，，数列的前n项和为，则的取值范围是________．14.（2020高一下·上海期末）等差数列的前项和为，，则________.15.（2020高一下·上海期末）已知为等差数列, , 前n项和取得最大值时n的值为________.16.（2020高一下·南宁期末）已知为等差数列的前n项和，且，，则________.17.（2020高一下·黑龙江期末）已知为等差数列，其公差为2，且是与的等比中项，为前n项和，则的值为________.18.（2020高一下·金华月考）已知数列满足：，其前n项和为，则________，当取得最小值时，n的值为________.19.（2020高一下·尚义期中）设等差数列的前n项和为．若，，则正整数________．三、解答题（共6题；共55分）20.（2020高一下·六安期末）记为等差数列的前n项和，已知．（1）若，求的通项公式；（2）若，求使得的n的取值范围．21.（2020高一下·徐汇期末）设等差数列的前n项和为，若，，. （1）求常数k的值；（2）求的前n项和.22.在公差为d的等差数列中，已知，且成等比数列，为数列的前n 项和.（1）求；（2）若，求的最大值.23.（2020高一下·台州期末）已知等差数列中，为其前n项和，，.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）记，，求数列的前n项和.24.（2020高一下·尚义期中）已知等差数列的前n项和为，且，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．25.（2020高一下·崇礼期中）已知等差数列的前项和为，，，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.答案解析部分一、单选题1.【答案】C【解析】【解答】中间项为.因为，，所以.故答案为：C.【分析】利用等差数列前n项和公式，对奇数项的和、偶数项的和列式.通过等差数列的性质，都转化为的形式，然后两式相减，可得到的值.2.【答案】B【解析】【解答】∵等差数列的前n项和为，且，解得故答案为：B．【分析】利用已知条件结合等差数列通项公式和前n项和公式，建立关于等差数列首项和公差的方程组，从而求出首项和公差，进而用等差数列通项公式求出等差数列第八项的值。
等差数列的前n项和复习(全面知识点+精选例题+习题附答案)精编材料pdf版
三、等差数列的前n 项和1．等差数列前n 项和公式n a 通项公式得到）★ 21()22n d dS n a n =+-（以n 为变量，体现二次函数） 2n S An Bn =+（简化写法，不含常数项的二次函数）2．和的有关性质等差数列{}n a ，公差为d ，前n 项和为n S ，那么： （1）{}n S n也成等差数列，其首项与{}n a 首项相同，公差是{}n a 公差的12．（2）等差数列{}n b ，前n 项和为n T （21(21)n n S n a -=-）．★ （3）数列232,,,k k k k k S S S S S --是等差数列，公差为2k d ．★（4）S 奇表示奇数项的和，S 偶表示偶数项的和，则有：①当项数为偶数2n 时，S S nd -=偶奇，1nn S a S a +=奇偶； ②当项数为奇数21n -时，n S S a -=奇偶，1S nS n =-奇偶．3．和与函数的关系及和的最值 21()22n d dS n a n =+-简写为2()n S An Bn n =+∈*N ，可以把(,)n n S 看作是二次函数图像上孤立的点，因此可以用二次函数的性质来研究和的性质，比如对称和求最值．练习题：D．9答案解析：11 | 1312 | 1313 | 13当12n <时，n S 很明显都是小于0的 故n S 取到最小正数时的n 为12． 答案：1231解析：由1020S S =知对称轴为15n =，故最大值为前15项之和． 答案：A 32解析：41434442S a d ⨯=+=，81878562S a d ⨯=+=两式联立解得114a =，2d =- 故2(1)14(2)152n n n S n n n -=+⨯-=-+ 对称轴为7.5，故当7n =或8n =时取最大值27715756S =-+⨯=．答案：最大值为7856S S ==33解析：根据对称性，由67S S =可知58S S =，49S S = 由中间到两端以此减小，所以985S S S <=，C 选项错误． 答案：C34解析：由条件可知函数零点在18与19之间，又函数过原点则对称轴应介于182与192之间，即大于9小于9.5 数列的下标只能取正整数，离对称轴最近的正整数为9，故9S 最大． 答案：C数学浪子整理制作，侵权必究。
2.3 等差数列的前n项和 作业 及 答案
等差数列性质及前n 项和 作业1．在等差数列{a n }中，已知a 1＝10，d ＝2，S n ＝580，则n 等于( )A ．10B.15 C ．20 D ．30解析：选C.因为S n ＝na 1＋12n (n －1)d ＝10n ＋12n (n －1)×2＝n 2＋9n ，所以n 2＋9n ＝580，解得n ＝20或n ＝－29(舍)．2．设{a n }为等差数列，公差d ＝－2，S n 为其前n 项和．若S 10＝S 11，则a 1＝( )A ．18B.20 C ．22 D ．24解析：选B.由S 10＝S 11，得a 11＝S 11－S 10＝0，所以a 1＝a 11＋(1－11)d ＝0＋(－10)×(－2)＝20.3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 3＝4，则公差d 为( )A ．1B.53 C ．2 D ．3解析：选C.因为S 3＝（a 1＋a 3）×32＝6，而a 3＝4，所以a 1＝0，所以d ＝a 3－a 12＝2. 4．在等差数列{a n }中，若a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，则前9项的和S 9等于( )A ．66B.99 C ．144 D ．297解析：选B.根据等差数列的性质得(a 1＋a 4＋a 7)＋(a 3＋a 6＋a 9)＝3(a 1＋a 9)＝66，所以S 9＝9（a 1＋a 9）2＝99. 5．已知等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，a 1＝－11，S 1010－S 88＝2，则S 11＝( ) A ．－11B.11 C ．10 D ．－10解析：选A.因为{a n }为等差数列，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列，首项S 11＝a 1＝－11，设⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的公差为d ，则S 1010－S 88＝2d ＝2，所以d ＝1，所以 S 1111＝－11＋10d ＝－1，所以S 11＝－11. 6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝S 3＝12，则{a n }的通项公式a n ＝________．解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝12，3a 1＋3d ＝12⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝2，故a n ＝2n . 答案：2n7．在等差数列{a n }中，a n >0，a 7＝12a 4＋4，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 19＝________． 解析：因为在等差数列{a n }中，a n >0，a 7＝12a 4＋4，所以a 1＋6d ＝12(a 1＋3d )＋4，解得a 1＋9d ＝a 10＝8，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 19＝192(a 1＋a 19)＝19a 10＝152. 答案：1528．在等差数列{a n }中，a 1＞0，a 10·a 11＜0，若此数列前10项和S 10＝36，前18项和S 18＝12，则数列{|a n |}的前18项和T 18＝________．解析：由a 1＞0，a 10·a 11＜0知d ＜0，且a 10＞0，a 11＜0，所以T 18＝a 1＋a 2＋…＋a 10－a 11－a 12－…－a 18＝2S 10－S 18＝60.答案：609．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 10＝30，a 20＝50.(1)求通项公式a n ；(2)若S n ＝242，求n .解：(1)由a 10＝30，a 20＝50，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝30a 1＋19d ＝50，解得a 1＝12，d ＝2. 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ＋10.(2)由S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝242， 得12n ＋n （n －1）2×2＝242， 解得n ＝11或n ＝－22(舍去)．10．已知等差数列{a n }满足a 2＝3，a 3＋a 5＝2.(1)求{a n }的通项公式；(2)求{a n }的前n 项和S n 及S n 的最大值．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，因为等差数列{a n }满足a 2＝3，a 3＋a 5＝2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝3，2a 1＋6d ＝2，解得a 1＝4，d ＝－1，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝4＋(n －1)×(－1)＝5－n .(2)因为等差数列{a n }中，a 1＝4，d ＝－1，a n ＝5－n ，所以S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n （4＋5－n ）2＝－12n 2＋92n ＝－12⎝⎛⎭⎫n －922＋818，因为n ∈N *， 所以n ＝4或n ＝5时，S n 取最大值为10.[B 能力提升]11．(2019·昆明一中期末)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若m >1，且a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m 等于( )A ．38B.20 C ．10 D ．9解析：选C.S 2m －1＝（2m －1）（a 1＋a 2m －1）2＝(2m －1)a m ，a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0⇔2a m ＝a 2m ，由S 2m －1＝38，可知a m >0，所以a m ＝2，(2m －1)×2＝38，解得m ＝10，故选C.12．(2019·河北沧州一中高二(上)期中考试)在等差数列{a n }中，前m (m 为奇数)项和为135，其中偶数项之和为63，且a m －a 1＝14，则a 100的值为________．解析：因为在前m 项中偶数项之和为S 偶＝63，所以奇数项之和为S 奇＝135－63＝72，设等差数列{a n }的公差为d ，则S 奇－S 偶＝2a 1＋（m －1）d 2＝72－63＝9.又a m ＝a 1＋d (m －1)，所以a 1＋a m 2＝9，因为a m －a 1＝14，所以a 1＝2，a m ＝16.因为m （a 1＋a m ）2＝135，所以m ＝15，所以d ＝14m －1＝1，所以a 100＝a 1＋99d ＝101. 答案：10113．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＋a 5＝a 4＋7，S 10＝100.(1)求{a n }的通项公式；(2)求满足不等式S n <3a n －2的n 的值．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，由a 3＋a 5＝a 4＋7，得2a 1＋6d ＝a 1＋3d ＋7，①由S 10＝100得10a 1＋45d ＝100，②解得a 1＝1，d ＝2，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1.(2)因为a 1＝1，a n ＝2n －1，所以S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n 2， 由不等式S n <3a n －2，得n 2<3(2n －1)－2，所以，n 2－6n ＋5<0，解得1<n <5，因为n ∈N *，所以n 的值为2，3，4.14．(选做题)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝100n －n 2(n ∈N *)．(1)判断{a n }是不是等差数列，若是，求其首项、公差；(2)设b n ＝|a n |，求数列{b n }的前n 项和．解：(1)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(100n －n 2)－[100(n －1)－(n －1)2]＝101－2n . 因为a 1＝S 1＝100×1－12＝99符合上式，所以a n ＝101－2n (n ∈N *)．因为a n ＋1－a n ＝－2为常数，所以数列{a n }是首项为99，公差为－2的等差数列．(2)令a n ＝101－2n ≥0，得n ≤50.5，因为n ∈N *，所以n ≤50(n ∈N *)．①当1≤n ≤50(n ∈N *)时，a n >0，此时b n ＝|a n |＝a n ，所以数列{b n }的前n 项和S ′n ＝100n －n 2.②当n ≥51(n ∈N *)时，a n <0，此时b n ＝|a n |＝－a n ，由b 51＋b 52＋…＋b n ＝－(a 51＋a 52＋…＋a n )＝－(S n －S 50)＝S 50－S n ，得数列{b n }的前n 项和S ′n ＝S 50＋(S 50－S n )＝2S 50－S n ＝2×2 500－(100n －n 2)＝5 000－100n ＋n 2.由①②得数列{b n }的前n 项和为S ′n ＝⎩⎪⎨⎪⎧100n －n 2（n ∈N *，1≤n ≤50），5 000－100n ＋n 2（n ∈N *，n ≥51）.数列的概念与简单表示法、等差数列(强化练)一、选择题1．已知数列3，3，15，…，3（2n －1），…，那么9在此数列中的项数是( )A ．12B.13 C ．14D ．15 解析：选C.根据题意，a n ＝3（2n －1）.由a n ＝3（2n －1）＝9，解得n ＝14，即9是此数列的第14项．故选C.2．(2019·湖北荆州检测)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＝3，a 8＝8，则a 12的值是( )A ．15B.30 C ．31 D ．64 解析：选A.设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 3＋a 4＋a 5＝3，所以3a 4＝3，即a 1＋3d＝1.又由a 8＝8得a 1＋7d ＝8，联立解得a 1＝－174，d ＝74，则a 12＝－174＋74×11＝15.故选A. 3．若数列{a n }是公差为1的等差数列，则{a 2n －1＋2a 2n }是( )A ．公差为3的等差数列B ．公差为4的等差数列C ．公差为6的等差数列D ．公差为9的等差数列解析：选C.设数列{a n }的公差为d ，令b n ＝a 2n －1＋2a 2n ，则b n ＋1＝a 2n ＋1＋2a 2n ＋2，所以b n ＋1－b n ＝a 2n ＋1＋2a 2n ＋2－(a 2n －1＋2a 2n )＝(a 2n ＋1－a 2n －1)＋2(a 2n ＋2－a 2n )＝2d ＋4d ＝6d ＝6×1＝6.4．(2019·长春十一中月考)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( )A ．100B.99 C ．98 D ．97解析：选C.设等差数列{a n }的公差为d ，因为{a n }为等差数列，且S 9＝9a 5＝27，所以a 5＝3.又a 10＝8，解得5d ＝a 10－a 5＝5，所以d ＝1，所以a 100＝a 5＋95d ＝98.5．(2019·湖南濮阳月考)已知等差数列{a n }一共有9项，前4项和为3，最后3项和为4，则中间一项的值为( )A.1720B.5960 C ．1 D ．6766解析：选D.设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4，解得⎩⎨⎧a 1＝1322，d ＝766. 所以中间一项为a 5＝a 1＋4d ＝1322＋4×766＝6766.故选D. 6．数列{a n }的通项公式a n ＝n cos n π2，其前n 项和为S n ，则S 2 020等于( ) A ．1 006B.2 020 C ．505 D ．1 010解析：选D.由题意知，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2，a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝2，…，故a 4k ＋1＋a 4k ＋2＋a 4k ＋3＋a 4k ＋4＝2，k ∈N ，故S 2 020＝505×2＝1 010.7．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＝a n ＋1a n ，那么a 31＝( )A ．－358B.－259 C ．－130D ．－261 解析：选B.由已知可得1a n ＋1－1a n＝－1，设b n ＝1a n ，则数列{b n }是以12为首项，公差为－1的等差数列，所以b 31＝12＋(31－1)×(－1)＝－592，故a 31＝－259. 8．《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何．”其意思为：有个女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布( )A ．30尺B.90尺 C ．150尺 D ．180尺解析：选B.由题意知，该女子每天织布的数量组成等差数列{a n }，其中a 1＝5，a 30＝1，所以S 30＝30×（5＋1）2＝90，即共织布90尺． 9．已知数列{a n }满足：a 1＝17，对于任意的n ∈N *都有a n ＋1＝72a n (1－a n )，则a 2 019－a 2 020＝( )A ．－27B.27 C ．－37 D ．37解析：选D.a 1＝17，a 2＝72×17×67＝37，a 3＝72×37×47＝67，a 4＝72×67×17＝37，….归纳可知，当n 为大于1的奇数时，a n ＝67；当n 为正偶数时，a n ＝37.故a 2 019－a 2 020＝37. 10．在等差数列{a n }中，首项a 1>0，公差d ≠0，前n 项和为S n (n ∈N *)．有下列命题： ①若S 3＝S 11，则必有S 14＝0；②若S 3＝S 11，则必有S 7是S n 中最大的项；③若S 7>S 8，则必有S 8>S 9；④若S 7>S 8，则必有S 6>S 9.其中正确命题的个数是( )A ．1B.2 C ．3 D ．4解析：选 D.根据等差数列的性质，若S 11－S 3＝4(a 7＋a 8)＝0，则a 7＋a 8＝0，S 14＝14（a 1＋a 14）2＝7(a 7＋a 8)＝0，根据等差数列S n 的图象，当S 3＝S 11时，对称轴是n ＝3＋112＝7，那么S 7是最大值；若S 7>S 8，则a 8<0，那么d <0，所以a 9<0，所以S 9－S 8<0，即S 8>S 9，S 9－S 6＝a 7＋a 8＋a 9＝3a 8<0，即S 6>S 9.故①②③④正确．二、填空题11．已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝1，a n ＋2＝a n ＋a n ＋1(n ∈N *)，则a 6＝________． 解析：因为a n ＋2＝a n ＋a n ＋1，所以a 3＝a 1＋a 2＝2，a 4＝a 2＋a 3＝3，a 5＝a 3＋a 4＝5，a 6＝a 4＋a 5＝8.答案：812．已知等差数列{a n }中，a 2与a 6的等差中项为5，a 3与a 7的等差中项为7，则a n ＝________．解析：设等差数列{a n }的公差为d ，依题意，a 4＝5，a 5＝7，又a 5＝a 4＋d ，得d ＝2. 所以a 1＝a 4－3d ＝5－3×2＝－1，故a n ＝a 1＋2(n －1)＝2n －3.答案：2n －313．已知等差数列{a n }中，a 2＝2，a 4＝8，若ab n ＝3n －1，则b 2 018＝________．解析：由a 2＝2，a 4＝8，得公差d ＝8－22＝3，所以a n ＝2＋(n －2)×3＝3n －4，所以a n＋1＝3n －1.又由数列{a n }的公差不为0，所以结合ab n ＝3n －1，可得b n ＝n ＋1，故b 2 018＝2 019.答案：2 01914．设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意正整数n 都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4的值为________． 解析：因为{a n }，{b n }为等差数列，所以a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝a 92b 6＋a 32b 6＝a 9＋a 32b 6＝a 6b 6.因为S 11T 11＝a 1＋a 11b 1＋b 11＝2a 62b 6＝2×11－34×11－3＝1941，所以a 6b 6＝1941. 答案：1941三、解答题15．在等差数列{a n }中，(1)已知a 2＝－1，S 15＝75，求a n 与S n ；(2)已知d ＝2，S 100＝10 000，求a 1与a n .解：(1)设{a n }的公差为d .因为{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和，a 2＝－1，S 15＝75，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝a 1＋d ＝－1，S 15＝15a 1＋15×142d ＝75，解得a 1＝－2，d ＝1，所以a n ＝－2＋(n －1)×1＝n －3.S n ＝－2n ＋n （n －1）2×1＝n 2－5n 2. (2)因为S 100＝100a 1＋100×（100－1）2×2＝10 000， 所以a 1＝1，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1.16．设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和，求T n .解：设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋12n (n －1)d .因为S 7＝7，S 15＝75，所以⎩⎪⎨⎪⎧7a 1＋21d ＝7，15a 1＋105d ＝75.所以a 1＝－2，d ＝1. 所以S n ＝n 2－5n 2，所以S n n ＝12n －52， 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，其首项为－2，公差为12. 所以T n ＝－2n ＋n （n －1）2×12＝14n 2－94n . 17．(2019·福建外国语中学调研)已知等差数列{a n }的公差d >0，前n 项和为S n ，且a 2a 3＝45，S 4＝28.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝S n n ＋c(c 为非零常数)，且数列{b n }也是等差数列，求c 的值． 解：(1)因为S 4＝28，所以（a 1＋a 4）×42＝28， 所以a 1＋a 4＝14，则a 2＋a 3＝14，又a 2a 3＝45，公差d >0，所以a 2<a 3，a 2＝5，a 3＝9，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝5，a 1＋2d ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4， 所以a n ＝4n －3.(2)由(1)知S n ＝2n 2－n ，所以b n ＝S nn ＋c ＝2n 2－n n ＋c ， 所以b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c. 又{b n }是等差数列，所以b 1＋b 3＝2b 2，即2×62＋c ＝11＋c ＋153＋c ， 解得c ＝－12(c ＝0舍去)． 18．某工厂用分期付款的方式购买40套机器设备，共需1 150万元，购买当天先付150万元，以后每月这一天都交付50万元，并加付欠款利息，月利率为1%，若交付150万元后的第1个月开始算分期付款的第1个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部按期付清后，买这40套机器设备实际花了多少钱？解：因为购买设备时已付150万元，所以欠款为1 000万元，依据题意，知其后应分20次付款，则每次付款的数额顺次构成数列{a n}，且a1＝50＋1 000×1%＝60，a2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5，a3＝50＋(1 000－50×2)×1%＝59，…，a n＝50＋[1 000－50(n－1)]×1%＝60－0.5(n－1)(1≤n≤20，n∈N*)，所以数列{a n}是以60为首项，－0.5为公差的等差数列，所以a10＝60－9×0.5＝55.5，S20＝20[60＋（60－19×0.5）]2＝1 105.所以全部按期付清后，买这40套机器设备实际共花费了1 105＋150＝1 255(万元)．故分期付款的第10个月应付55.5万元，全部按期付清后，买这40套机器设备实际花了1 255万元．。
等差数列的前n项和习题(含答案)
[A 基础达标]1．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝20，S 2＝4，则公差d 为( )A ．2B ．3C ．6D ．7解析：选B.由⎩⎪⎨⎪⎧S 2＝4，S 4＝20得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝4，4a 1＋6d ＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，d ＝3.2．已知数列{a n }为等差数列，a 10＝10，数列前10项和S 10＝70，则公差d ＝( )A ．－23B ．－13 C.13 D ．23解析：选D.由S 10＝10（a 1＋a 10）2，得70＝5(a 1＋10)，解得a 1＝4，所以d ＝a 10－a 110－1＝10－49＝23，故选D. 3．在等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，则此数列前20项和等于( )A ．160B ．180C ．200D ．220解析：选B.(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 18＋a 19＋a 20)＝(－24)＋78＝54，又a 1＋a 20＝a 2＋a 19＝a 3＋a 18，则3(a 1＋a 20)＝54，所以a 1＋a 20＝18.则S 20＝20（a 1＋a 20）2＝10×18＝180. 4．已知数列{a n }的前n 项和公式是S n ＝2n 2＋3n ，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n ( ) A ．是公差为2的等差数列B ．是公差为3的等差数列C ．是公差为4的等差数列D ．不是等差数列解析：选A.因为S n ＝2n 2＋3n ，所以S n n＝2n ＋3， 当n ≥2时，S n n －S n －1n －1＝2n ＋3－2(n －1)－3＝2， 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为2的等差数列． 5．等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若a n b n ＝2n 3n ＋1，则S 21T 21的值为( ) A.1315B ．2335 C.1117 D ．49解析：选C.S 21T 21＝21（a 1＋a 21）221（b 1＋b 21）2＝a 1＋a 21b 1＋b 21＝a 11b 11＝2×113×11＋1＝1117. 6．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，则该数列的公差为________．解析：数列{a n }的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝An 2＋Bn －A (n －1)2－B (n －1)＝2An ＋B －A ，当n ＝1时满足，所以d ＝2A .答案：2A7．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且6S 5－5S 3＝5，则a 4＝________．解析：设等差数列的首项为a 1，公差为d ，则由6S 5－5S 3＝5知，6×(5a 1＋10d )－5(3a 1＋3d )＝5，得3(a 1＋3d )＝1，所以a 4＝13. 答案：138．若等差数列{a n }满足3a 8＝5a 13，且a 1>0，S n 为其前n 项和，则S n 最大时n ＝________．解析：因为3a 8＝5a 13，所以3(a 1＋7d )＝5(a 1＋12d )，所以d ＝－2a 139，故a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a 1－2a 139(n －1)＝a 139(41－2n )．由a 1>0可得当n ≤20时，a n >0，当n >20时，a n <0，所以S n 最大时n ＝20.答案：209．已知在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d .由a 1＝1，a 3＝－3，可得1＋2d ＝－3，解得d ＝－2.所以a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n .(2)由a 1＝1，d ＝－2，得S n ＝2n －n 2.又S k ＝－35，则2k －k 2＝－35，即k 2－2k －35＝0，解得k ＝7或k ＝－5.又k ∈N ＋，故k ＝7.10.某仓库有同一型号的圆钢600根，堆放成如图所示的形状，从第二层开始，每一层比下面一层少放一根，而第一层至少要比第二层少一根，要使堆垛的占地面积最小(即最下面一层根数最少)，则最下面一层放几根？共堆了多少层？解：设最下面一层放n 根，则最多可堆n 层，则1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2≥600， 所以n 2＋n －1 200≥0，记f (n )＝n 2＋n －1 200，因为当n ∈N ＋时，f (n )单调递增，而f (35)＝60>0，f (34)＝－10<0，所以n ≥35，因此最下面一层最少放35根．因为1＋2＋3＋…＋35＝630，所以最多可堆放630根，必须去掉上面30根，去掉顶上7层，共1＋2＋3＋…＋7＝28根，再去掉顶上第8层的2根，剩下的600根共堆了28层．[B 能力提升]11．等差数列{a n }的前四项之和为124，后四项之和为156，各项和为210，则此数列的项数为( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选B.由题意知a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝124，a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝156，所以4(a 1＋a n )＝280，所以a 1＋a n ＝70.又S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n 2×70＝210，所以n ＝6. 12．若两个等差数列的前n 项和之比是(7n ＋1)∶(4n ＋27)，则它们的第11项之比为____________．解析：设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等差数列{b n }的前n 项和为T n ，则a 11＝a 1＋a 212，b 11＝b 1＋b 212， 所以a 11b 11＝12（a 1＋a 21）12（b 1＋b 21）＝12（a 1＋a 21）·2112（b 1＋b 21）·21＝S 21T 21＝7×21＋14×21＋27＝43. 答案：4∶313．已知数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S 2n ＝a n ⎝⎛⎭⎫S n －12. (1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 为等差数列，并求S n 的表达式； (2)设b n ＝S n 2n ＋1，求{b n }的前n 项和T n . 解：(1)由题意S 2n ＝a n ⎝⎛⎭⎫S n －12，结合a n ＝S n －S n －1(n ≥2)得S 2n ＝(S n －S n －1)⎝⎛⎭⎫S n －12(n ≥2)，化简整理得1S n －1S n －1＝2(n ≥2)，知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 为公差为2的等差数列，所以1S n ＝1S 1＋(n －1)×2＝1＋(n －1)×2＝2n －1，所以S n ＝12n －1. (2)b n ＝S n 2n ＋1＝12×⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1， 所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎝⎛1－13＋13－15＋…＋12n －1－ ⎭⎫12n ＋1＝12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1.14．(选做题)已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 3·a 4＝117，a 2＋a 5＝22.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求S n 的最小值；(3)若数列{b n }是等差数列，且b n ＝S n n ＋c，求非零常数c 的值． 解：(1)因为数列{a n }为等差数列，所以a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22.又a 3·a 4＝117，所以a 3，a 4是方程x 2－22x ＋117＝0的两实根，又公差d >0，所以a 3<a 4，所以a 3＝9，a 4＝13，从而可得a 1＝1，d ＝4，所以a n ＝4n －3.(2)由(1)知a 1＝1，d ＝4，所以S n ＝na 1＋n （n －1）2·d ＝2n 2－n ＝2⎝⎛⎭⎫n －142－18，所以当n ＝1时，S n 最小，最小值为S 1＝a 1＝1.(3)由(2)知S n ＝2n 2－n ，所以b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－n n ＋c ， 所以b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c .因为数列{b n }是等差数列，所以2b 2＝b 1＋b 3，即62＋c ×2＝11＋c ＋153＋c ，得2c 2＋c ＝0，所以c ＝－12或c ＝0(舍去)，所以c ＝－12.。
等差数列前n项和公式基础训练题(含详解)
④ ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.
11．
【解析】
【分析】
根据 得到 ， ，计算得到答案.
【详解】
； ，解得
故答案为：
【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式和前 项和，意在考查学生对于等差数列公式的灵活运用.
12．
【解析】
【分析】
利用 来求 的通项.
A．18B．36C．45D．60
7．设 为等差数列， ， 为其前n项和，若 ，则公差 （）
A． B． C．1D．2
8．等差数列 的前 项和为 ，已知 ， ，则当 取最大值时 的值是（）
A．5B．6C．7D．8
9．已知 是数列 的前 项和，且 ，则 （）．
A．72B．88C．92D．98
10．设 为等差数列 的前 项的和 ， ，则数列 的前2017项和为（ ）
所以 ，所以 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查等差数列公差的计算，难度较易.已知等差数列中的两个等量关系，可通过构造方程组求解等差数列的公差，还可以通过等差数列的下标和性质求解公差.
20．已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+3n+5，则an=______．
参考答案
1．A
【解析】
设 ,根据 是一个首项为a,公差为a的等差数列，各项分别为a,2a,3a,4a. .
2．B
【解析】
【分析】
根据等差数列的性质，求出 ，再由前n项和公式，即可求解.
【详解】
∵ ，
∴ ，∴
∴由 得 ，∴ .
故选:B.
【点睛】
本题考查等差数列性质的灵活应用，以及等差数列的前n项和公式，属于中档题.
高中数学等差数列的前n项和(有答案)
2014年12月27日高中数学等差数列的前n项和一．选择题（共18小题）2．（2014•河南一模）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若，则=（）．3．（2014•吉林三模）等差数列{a n}的前n项和S n（n=1，2，3…）当首项a1和公差d变化时，若a5+a8+a11是一个C7．（2014•太原一模）已知数列{a n}，若点（n，a n）（n∈N*）在经过点（8，4）的定直线l上，则数列{a n}的前152*10．（2014•潍坊模拟）某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产．第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元．设该设备使用了n（n∈N*）年12．（2014•南昌模拟）已知数列{a n}为等比数列，且a4•a6=2a5，设等差数列{b n}的前n项和为S n，若b5=2a5，则14．（2014•太原一模）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a4+a7+a10=9，S14﹣S3=77，则使S n取得最小值时n的值216．（2014•宜昌模拟）在等差数列{a n}中，a2=5，a6=21，记数列{}的前n项和为S n，若S2n+1﹣S n≤，∀n∈N*17．（2014•宣城三模）设S n为公差不为零的等差数列{a n}的前n项和，若S9=3a8，则=（）18．（2014•北京二模）设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n．若a1=d=1，则的最小值为（）C D．+2二．解答题（共12小题）19．（2014•蚌埠二模）已知等差数列{a n}的公差不为零，a1=1，且a1，a2，a5成等比数列．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求a1+a4+a7+…+a3n﹣2．20．（2014•博白县模拟）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，点2a5=a10，且S5=120．求a n和S n．21．（2014•宜宾二模）已知{a n}是公差为d的等差数列，它的前n项和为S n，S4=2S2+4．（Ⅰ）求公差d的值；（Ⅱ）若对任意的n∈N*，都有S n≥S8成立，求a1的取值范围．22．已知3个数成等差数列，和为12，若第3个数加上2后，此3个数成等比数列，若由这三个数构成的等差数列是递增的，求这个数列的前n项之和S n．23．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a2=﹣7，S6=﹣24．（1）求等差数列{a n}的前n项和S n；（2）当n为何值时，数列{}有最小项，并求出最小项的值．24．设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=S12，公差d＜0，求S n的最值．25．已知无穷等差数列{a n}，首项a1=3，公差d=﹣5，依次取出项的序号被4除余3的项组成数列{b n}（1）求b1和b2；（2）求{b n}的通项公式；（3）{b n}中的第110项是{a n}中的第几项？26．设等差数列{a n}的前n项和为S n．已知a3=12，S12＞0，S13＜0．（1）求公差d的取值范围．（2）指出S1，S2，…，S12中哪一个值最大，并说明理由．27．在等差数列{a n}中，a1=1，前n项和S n满足条件，（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记b n=a n p an（p＞0），求数列{b n}的前n项和T n．28．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a2=2，S5=0，求（1）该数列{a n}的通项公式a n（2）当n为何值时，S n取得最大值．29．等差数列{a n}是递增数列，前n项和为S n，且a1，a3，a9成等比数列，S5=a52．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n=，求数列{b n}的前99项的和．30．已知{a n}是等差数列，其中a1=25，a4=16（1）求数列前n项和S n的最大值及相应的n；（2）求|a1|+|a3|+|a5|+…+|a19|的值．参考答案与试题解析一．选择题（共18小题）2．（2014•河南一模）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若，则=（）．=，代入已知可得．==13．（2014•吉林三模）等差数列{a n}的前n项和S n（n=1，2，3…）当首项a1和公差d变化时，若a5+a8+a11是一个又∵C，得：∴7．（2014•太原一模）已知数列{a n}，若点（n，a n）（n∈N*）在经过点（8，4）的定直线l上，则数列{a n}的前15，然后利用等差数列的求和公式∴，知∴∴2*10．（2014•潍坊模拟）某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产．第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元．设该设备使用了n（n∈N*）年=n12．（2014•南昌模拟）已知数列{a n}为等比数列，且a4•a6=2a5，设等差数列{b n}的前n项和为S n，若b5=2a5，则，结合已知可求=9b解：由等比数列的性质可知，∴=9b14．（2014•太原一模）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a4+a7+a10=9，S14﹣S3=77，则使S n取得最小值时n的值．所以=n ∴∴216．（2014•宜昌模拟）在等差数列{a n}中，a2=5，a6=21，记数列{}的前n项和为S n，若S2n+1﹣S n≤，∀n∈N*}=4，∴=）﹣（（=只需≤，变形可得17．（2014•宣城三模）设S n为公差不为零的等差数列{a n}的前n项和，若S9=3a8，则=（）==18．（2014•北京二模）设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n．若a1=d=1，则的最小值为（）C D．+2由已知条件推导出，由此利用均值定理∴++，当且仅当取最小值二．解答题（共12小题）19．（2014•蚌埠二模）已知等差数列{a n}的公差不为零，a1=1，且a1，a2，a5成等比数列．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求a1+a4+a7+…+a3n﹣2．20．（2014•博白县模拟）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，点2a5=a10，且S5=120．求a n和S n．+==4n21．（2014•宜宾二模）已知{a n}是公差为d的等差数列，它的前n项和为S n，S4=2S2+4．（Ⅰ）求公差d的值；（Ⅱ）若对任意的n∈N*，都有S n≥S8成立，求a1的取值范围．得到∴在，∴22．已知3个数成等差数列，和为12，若第3个数加上2后，此3个数成等比数列，若由这三个数构成的等差数列是递增的，求这个数列的前n项之和S n．∴∴∴=2n+23．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a2=﹣7，S6=﹣24．（1）求等差数列{a n}的前n项和S n；（2）当n为何值时，数列{}有最小项，并求出最小项的值．）由，得到，利用均值定理能求出当}∴9n+）∵，∴10+n=，即{24．设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=S12，公差d＜0，求S n的最值．×=025．已知无穷等差数列{a n}，首项a1=3，公差d=﹣5，依次取出项的序号被4除余3的项组成数列{b n} （1）求b1和b2；（2）求{b n}的通项公式；（3）{b n}中的第110项是{a n}中的第几项？26．设等差数列{a n}的前n项和为S n．已知a3=12，S12＞0，S13＜0．（1）求公差d的取值范围．（2）指出S1，S2，…，S12中哪一个值最大，并说明理由．）依题意，有式，得∴27．在等差数列{a n}中，a1=1，前n项和S n满足条件，（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记b n=a n p an（p＞0），求数列{b n}的前n项和T n．得：；28．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a2=2，S5=0，求（1）该数列{a n}的通项公式a n（2）当n为何值时，S n取得最大值．∴29．等差数列{a n}是递增数列，前n项和为S n，且a1，a3，a9成等比数列，S5=a52．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n=，求数列{b n}的前99项的和．+，．×n=）﹣）﹣））．30．已知{a n}是等差数列，其中a1=25，a4=16（1）求数列前n项和S n的最大值及相应的n；（2）求|a1|+|a3|+|a5|+…+|a19|的值．﹣n=+S，从而=25n+++，Sn﹣n+232．。
等差数列的前n项和公式 练习 含答案
2.3.1 等差数列的前n 项和公式一、 选择题1、设数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则8a 的值为（ ）A 、15B 、16C 、49D 、642、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若244,20S S ==，则数列{}n a 的公差d 等于（ ）A 、2B 、3C 、6D 、73、在等差数列{}n a 中，,35,11,2===n n S a d 则1a 等于（ ）A 、5或7B 、3或5C 、7或 1-D 、3或1-4、设{},200100,,7|*<<∈==m N n n m m M 且则集合M 中所有元素的和为（ ）A 、2100B 、2101C 、2105D 、2107 5、若数列{}n a 为等差数列，公差为21，且,145100=S 则10042...a a a +++的值为（ ） A 、60 B 、85 C 、2145 D 、其他值6、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若14611,6a a a =-+=-，则当n S 取最小值时，n 等于（ ）A 、6 B 、7 C 、8 D 、97、已知等差数列{}n a 中22383829a a a a ++=，且0,n a <则10S 为（ ）A 、9-B 、11-C 、13-D 、-158、已知数列{}n a 是公差为d 的等差数列，n S 是前n 项和，且有987S S S <=,则下列说法不正确的是（ ）A 、910S S <B 、0d <C 、7S 与8S 均有n S 的最大值D 、80a =9、已知数列{}n a 的前n 项和29n S n n =-，第k 项满足58k a <<，则k 等于（ ）A 、9 B 、8 C 、7 D 、610、设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11,a =公差22,24k k d S S +=-=，则k 等于（ ）A 、8 B 、7 C 、6 D 、二、填空题11、等差数列{}n a 中，365,1a a =-=，此数列的通项公式为_______________,设n S 是数列{}n a 的前n 和，则8S 等于________________12、设数列{}n a 的首项17a =-，且满足()*12n n a a n N+=+∈，则1217...a a a +++=____________13、已知数列{}n a 的前n 项和()211,2,3,...n S n n =+=，则其通项公式n a =____________14、已知数列{}n a ，其前n 项和21n S n n =++，则89101112a a a a a ++++=_____________15、设n S 是数列{}n a 的前n 和，若363,24S S ==，则9a =_____________16、在项数为21n +的等差数列中，所有的奇数项的和为165，所有的偶数项的和为150，则n 的值为______________三、简答题17、已知等差数列{}n a 中，（1）已知3,20,65,;n n d a S n ===求（2）已知111a =-，求21;S（3）已知113,n a n =-求n S .18、已知等差数列{}n a 中，374616,0a a a a =-+=，求{}n a 的前n 项和n S .19、有一等差数列共有偶数项，它的奇数项之和与偶数项之和分别是24和30，若最后一项与第一项之差为212，试求此数列的首项、公差和项数.四、探究与拓展20、已知公差大于零的等差数列{}n a 的前n 项和n S ，且满足：3425117,22.a a a a =+=（1）求数列{}n a 的通项公式;n a（2）若数列{}n b 是等差数列，且,n n S b n c=+求非零常数c .第五课时 等差数列的前n 项和公式1-5 AADCB 6-10 ADABD 11、211n a n =- 816S =- 12、153 13、2,121,1n n a n n =⎧=⎨->⎩ 14、100 15、15 16、108、（1）11n = （2）2121S =- （3）()()11n n S n n S n n =-=--或9、首项为32，公差为32，项数为8 10、（1）43n a n =- （2）12-。
等差数列的前n项和-练习
A.第6项
B.第7项
C.第12项
D.第13项
解析 由题意S12>0，S13<0及S12＝6(a1＋a12)＝6(a6＋a7)，S13＝13a7，得a6＋ a7>0，a7<0，所以a6>0，a6>|a7|，且公差d<0，所以|a7|最小.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
5.(多选)设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，若a3＝12，S12>0，S13<0，
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
(2)若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围. 解 由(1)得 a1＝－4d，故 an＝(n－5)d，Sn＝n（n－2 9）d. 由 a1>0 知 d<0，故 Sn≥an 等价于 n2－11n＋10≤0， 解得 1≤n≤10. 所以 n 的取值范围是{n|1≤n≤10，n∈N*}.
2.设an＝2n－9，则当数列{an}的前n项和取得最小值时，n的值为( A )
A.4
B.5
C.4或5
D.5或6
解析 由aann＋≤1≥0，0 解得27≤n≤92，故 n＝4，所以数列{an}的前 4 项为负，以后各 项均为正，故前 4 项和最小.
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3.设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S7＝S12，则( D )
等差数列的前n项和
索引
1.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n，则a2＋a18等于( C )
A.36பைடு நூலகம்
B.35
C.34
D.33
解析 a2＝S2－S1＝(22－2×2)－(12－2×1)＝1，a18＝S18－S17＝(182－2×18)－ (172－2×17)＝33，a2＋a18＝34.
2.3.1等差数列前n项和公式试题含答案
2.3 等差数列的前n 项和第1课时 等差数列的前n 项和公式题型一 等差数列前n 项和公式的基本运算例1 在等差数列{a n }中：(1)已知a 5＋a 10＝58，a 4＋a 9＝50，求S 10；(2)已知S 7＝42，S n ＝510，a n －3＝45，求n .跟踪训练1 在等差数列{a n }中，已知d ＝2，a n ＝11，S n ＝35，求a 1和n .题型二 由数列{a n }的前n 项和S n 求a n例2 已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋12n ，求这个数列的通项公式．这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？引申探究若将本例中前n 项和改为S n ＝n 2＋12n ＋1，求通项公式．跟踪训练2 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ，求a n .题型三 等差数列在实际生活中的应用例3 某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？跟踪训练3 甲、乙两物体分别从相距70m 的两处同时相向运动，甲第1分钟走2m ，以后每分钟比前1分钟多走1m ，乙每分钟走5m.(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1m ，乙继续每分钟走5m ，那么开始运动几分钟后第二次相遇？【课堂练习】1．已知等差数列{a n }满足a 1＝1，a m ＝99，d ＝2，则其前m 项和S m 等于( )A ．2300B ．2400C ．2600D ．25002．记等差数列的前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝20，则该数列的公差d 等于( )A ．2B ．3C ．6D ．73．在一个等差数列中，已知a 10＝10，则S 19＝________.4．已知数列{a n }是等差数列，S n 是它的前n 项和．若S 4＝20，a 4＝8，则S 8＝________.5．已知数列{a n }满足a 1＋2a 2＋…＋na n ＝n (n ＋1)(n ＋2)，则a n ＝________.1．求等差数列前n 项和公式的方法称为倒序相加法，在某些数列求和中也可能用到．2．等差数列的两个求和公式中，一共涉及a 1，a n ，S n ，n ，d 五个量．若已知其中三个量，通过方程思想可求另外两个量．在利用求和公式时，要注意整体思想的应用，注意下面结论的运用：若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (n ，m ，p ，q ∈N ＋)；若m ＋n ＝2p ，则a m ＋a n ＝2a p (m ，n ，p ∈N ＋)．3．由S n 与a n 的关系求a n 主要使用a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2. 【巩固提升】一、选择题1．在等差数列{a n }中，若a 2＋a 8＝8，则该数列的前9项和S 9等于( )A ．18B ．27C ．36D ．452．在－20与40之间插入8个数，使这10个数成等差数列，则这10个数的和为( )A ．200B ．100C ．90D ．703．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n -1＋12(n ≥2，n ∈N ＋)，则数列{a n }的前9项和等于( ) A ．27 B.632C ．45D ．－9 4．在等差数列{a n }和{b n }中，a 1＝25，b 1＝75，a 100＋b 100＝100，则数列{a n ＋b n }的前100项的和为( )A ．10000B ．8000C ．9000D ．110005．在等差数列{a n }中，若S 10＝4S 5，则a 1d等于( ) A.12 B ．2 C.14D ．4 6．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( )A ．765B ．665C ．763D ．6637．在等差数列{a n }中，a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9，且a n <0，则S 10等于( ) A ．－9 B ．－11 C ．－13 D ．－158．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－2n (n ∈N ＋)，则a 2＋a 18等于( )A ．36B ．35C ．34D ．33二、填空题9．在等差数列{a n }中，a n ＝2n ＋3，n ∈N ＋，前n 项和S n ＝an 2＋bn ＋c (a ，b ，c 为常数)，则a －b ＋c ＝________. 10．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若OB →＝a 1OA →＋a 200·OC →，且A ，B ，C 三点共线(该直线不过原点O )，则S 200＝________.11．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，则a 9＝________.12．现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为________．三、解答题13．在等差数列{a n }中，(1)已知a 6＝10，S 5＝5，求a 8；(2)已知a 2＋a 4＝485，求S 5.14．已知数列{a n }的所有项均为正数，其前n 项和为S n ，且S n ＝14a 2n ＋12a n －34(n ∈N ＋)． (1)证明：{a n }是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．15．已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a 3a 4＝117，a 2＋a 5＝22.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若数列{b n }是等差数列，且b n ＝S n n ＋c，求非零常数c .2.3.1答案例1解 (1)方法一 由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧ a 5＋a 10＝2a 1＋13d ＝58，a 4＋a 9＝2a 1＋11d ＝50，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝3，d ＝4.∴S 10＝10a 1＋10×(10－1)2d ＝10×3＋10×92×4＝210. 方法二 由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧ a 5＋a 10＝(a 1＋a 10)＋4d ＝58，a 4＋a 9＝(a 1＋a 10)＋2d ＝50，∴a 1＋a 10＝42，∴S 10＝10(a 1＋a 10)2＝5×42＝210. (2)S 7＝7(a 1＋a 7)2＝7a 4＝42， ∴a 4＝6.∴S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (a 4＋a n －3)2＝n (6＋45)2＝510.∴n ＝20.跟踪训练1 解 由⎩⎪⎨⎪⎧ a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2(n －1)＝11，na 1＋n (n －1)2×2＝35， 解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧ n ＝5，a 1＝3或⎩⎪⎨⎪⎧ n ＝7，a 1＝－1.例2 解 根据S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n 可知S n －1＝a 1＋a 2＋…＋a n －1(n ≥2，n ∈N ＋)，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋12n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤(n －1)2＋12(n －1) ＝2n －12， ①当n ＝1时，a 1＝S 1＝12＋12×1＝32，也满足①式． ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －12，n ∈N ＋. ∵a n ＋1－a n ＝2(n ＋1)－12－⎝⎛⎭⎪⎫2n －12＝2， 故数列{a n }是以32为首项，2为公差的等差数列． 引申探究若将本例中前n 项和改为S n ＝n 2＋12n ＋1，求通项公式． 解 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋12n ＋1－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(n －1)2＋12(n －1)＋1 ＝2n －12. ①当n ＝1时，a 1＝S 1＝12＋12＋1＝52不符合①式． ∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧52，n ＝1，2n －12，n ≥2，n ∈N ＋. 跟踪训练2 解 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n -1＝3n －3n -1＝2·3n -1.当n ＝1时，代入a n ＝2·3n -1得a 1＝2≠3.∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3，n ＝1，2·3n -1，n ≥2，n ∈N ＋.例3 解 设每次交款数额依次为a 1，a 2，…，a 20，则a 1＝50＋1000×1%＝60，a 2＝50＋(1000－50)×1%＝59.5，…a 10＝50＋(1000－9×50)×1%＝55.5，即第10个月应付款55.5元．由于{a n }是以60为首项，以－0.5为公差的等差数列，所以有S 20＝60＋(60－19×0.5)2×20＝1105， 即全部付清后实际付款1105＋150＝1255(元)．反思感悟 建立等差数列的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数． 跟踪训练3解 (1)设n 分钟后两人第1次相遇，由题意，得2n ＋n (n －1)2＋5n ＝70，整理得n 2＋13n －140＝0. 解得n ＝7，n ＝－20(舍去)．所以第1次相遇是在开始运动后7分钟．(2)设n 分钟后第2次相遇，由题意，得2n ＋n (n －1)2＋5n ＝3×70， 整理得n 2＋13n －420＝0.解得n ＝15，n ＝－28(舍去)．所以第2次相遇是在开始运动后15分钟.课堂练习 DB 190 72 3ｎ＋３ 巩固提升１—８CBAAABDC9.-310.10011.1512.1013. 解 (1)方法一 ∵a 6＝10，S 5＝5， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋5d ＝10，5a 1＋10d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－5，d ＝3.∴a 8＝a 6＋2d ＝16.方法二 ∵S 6＝S 5＋a 6＝15，∴15＝6(a 1＋a 6)2，即3(a 1＋10)＝15. ∴a 1＝－5，d ＝a 6－a 15＝3.∴a 8＝a 6＋2d ＝16.(2)方法一 ∵a 2＋a 4＝a 1＋d ＋a 1＋3d ＝485， ∴a 1＋2d ＝245. ∴S 5＝5a 1＋10d ＝5(a 1＋2d )＝5×245＝24. 方法二 ∵a 2＋a 4＝a 1＋a 5，∴a 1＋a 5＝485， ∴S 5＝5(a 1＋a 5)2＝52×485＝24. 14．(1)证明 当n ＝1时，a 1＝S 1＝14a 21＋12a 1－34， 解得a 1＝3或a 1＝－1(舍去)． 当n ≥2时，a n ＝S n －S n -1＝14(a 2n ＋2a n －3)－14(a 2n －1＋2a n －1－3)． 所以4a n ＝a 2n －a 2n －1＋2a n －2a n -1， 即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0. 因为a n ＋a n -1>0，所以a n －a n -1＝2(n ≥2)． 所以数列{a n }是以3为首项，2为公差的等差数列．(2)解 由(1)知a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，n ∈N ＋. 15．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，且d >0. ∵a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22，又a 3a 4＝117， ∴a 3，a 4是方程x 2－22x ＋117＝0的两个根． 又公差d >0，∴a 3<a 4，∴a 3＝9，a 4＝13.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝9，a 1＋3d ＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝4，∴a n ＝4n －3，n ∈N ＋.(2)由(1)知，S n ＝n ×1＋n (n －1)2×4＝2n 2－n ， ∴b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－n n ＋c. ∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c . ∵{b n }是等差数列，∴2b 2＝b 1＋b 3，∴2c 2＋c ＝0，∴c ＝－12(c ＝0舍去)． 经检验，c ＝－12符合题意，∴c ＝－12.。
等差数列前n项和基础练习题(附答案)
等差数列的前n 项和基础练习题一、选择题1．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( )A ．13B ．35C ．49D ．632．等差数列{a n }中，S 10＝4S 5，则a 1d等于( ) A.12B ．2 C.14 D ．43．已知等差数列{a n }中，a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9，且a n <0，则S 10为( ) A ．－9B ．－11C ．－13D ．－154．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36.则a 7＋a 8＋a 9等于( )A ．63B ．45C ．36D ．275．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( )A ．765B ．665C ．763D ．6636．一个等差数列的项数为2n ，若a 1＋a 3＋…＋a 2n －1＝90，a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝72，且a 1－a 2n ＝33，则该数列的公差是( )A ．3B ．－3C ．－2D ．－17．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a n 等于( )A ．nB ．n 2C ．2n ＋1D ．2n －18．数列{a n }为等差数列，它的前n 项和为S n ，若S n ＝(n ＋1)2＋λ，则λ的值是( )A ．－2B ．－1C ．0D ．19．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5<a k <8，则k 为( )A ．9B ．8C ．7D ．610．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12等于( ) 311111．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5等于( ) A ．1B ．－1C ．2 D.1212．设{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和，且S 5<S 6，S 6＝S 7>S 8，则下列结论错误的是( )A ．d <0B ．a 7＝0C ．S 9>S 5D ．S 6与S 7均为S n 的最大值二、填空题13．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，则a 9＝________.14．两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，已知S n T n ＝7n ＋2n ＋3，则a 5b 5的值是________．15．在项数为2n ＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n 的值为________．16．等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则数列{a n }的前3m 项的和S 3m 的值是________．三、解答题17．在等差数列{a n }中，已知d ＝2，a n ＝11，S n ＝35，求a 1和n .18．设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和，求T n .19．已知两个等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a n b n为整数的正整数n 的个数为？20．设等差数列{a n }满足a 3＝5，a 10＝－9.(1)求{a n }的通项公式；(2)求{a n }的前n 项和S n 及使得S n 最大的序号n 的值．21．已知等差数列{a n}中，记S n是它的前n项和，若S2＝16，S4＝24，求数列{|a n|}的前n项和T n. 22．设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a3＝12，且S12>0，S13<0.(1)求公差d的范围；(2)问前几项的和最大，并说明理由．参考答案与解析一、选择题1．C解析 S 7＝7(a 1＋a 7)2＝7(a 2＋a 6)2＝49. 2．A解析 由题意得：10a 1＋12×10×9d ＝4(5a 1＋12×5×4d )， ∴10a 1＋45d ＝20a 1＋40d ，∴10a 1＝5d ，∴a 1d ＝12. 3．D解析 由a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9得(a 3＋a 8)2＝9，∵a n <0，∴a 3＋a 8＝－3，∴S 10＝10(a 1＋a 10)2＝10(a 3＋a 8)2＝10×(－3)2＝－15. 4．B解析 数列{a n }为等差数列，则S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列，即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)， ∵S 3＝9，S 6－S 3＝27，则S 9－S 6＝45.∴a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6＝45.5．B解析 ∵a 1＝2，d ＝7,2＋(n －1)×7<100，∴n <15，∴n ＝14，S 14＝14×2＋12×14×13×7＝665. 6．B解析 由⎩⎨⎧a 1＋a 3＋…＋a 2n －1＝na 1＋n (n －1)2×(2d )＝90，a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝na 2＋n (n －1)2×(2d )＝72，得nd ＝－18.又a 1－a 2n ＝－(2n －1)d ＝33，所以d ＝－3.7． D8． B解析 等差数列前n 项和S n 的形式为：S n ＝an 2＋bn ，∴λ＝－1.解析 由a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1S n －S n －1， n ≥2，∴a n ＝2n －10；由5<2k －10<8，得7.5<k <9，∴k ＝8.10．A解析 方法一S 3S 6＝3a 1＋3d 6a 1＋15d ＝13⇒a 1＝2d ， S 6S 12＝6a 1＋15d 12a 1＋66d ＝12d ＋15d 24d ＋66d ＝310. 方法二 由S 3S 6＝13，得S 6＝3S 3.S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9仍然是等差数列，公差为(S 6－S 3)－S 3＝S 3，从而S 9－S 6＝S 3＋2S 3＝3S 3⇒S 9＝6S 3，S 12－S 9＝S 3＋3S 3＝4S 3⇒S 12＝10S 3，所以S 6S 12＝310.11．A解析 由等差数列的性质，a 5a 3＝2a 52a 3＝a 1＋a 9a 1＋a 5＝59，∴S 9S 5＝92(a 1＋a 9)52(a 1＋a 5)＝95×59＝1. 12．C解析 由S 5<S 6，得a 6＝S 6－S 5>0.又S 6＝S 7⇒a 7＝0，所以d <0.由S 7>S 8⇒a 8<0，因此，S 9－S 5＝a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝2(a 7＋a 8)<0即S 9<S 5. 二、填空题13．15解析 设等差数列的公差为d ，则S 3＝3a 1＋3×22d ＝3a 1＋3d ＝3，即a 1＋d ＝1， S 6＝6a 1＋6×52d ＝6a 1＋15d ＝24，即2a 1＋5d ＝8. 由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝1，2a 1＋5d ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝2.故a 9＝a 1＋8d ＝－1＋8×2＝15.14．6512解析a 5b 5＝9(a 1＋a 9)9(b 1＋b 9)＝S 9T 9＝6512.15．10解析 S 奇＝(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2＝165， S 偶＝n (a 2＋a 2n )2＝150. ∵a 1＋a 2n ＋1＝a 2＋a 2n ，∴n ＋1n ＝165150＝1110，∴n ＝10.解析 方法一 在等差数列中，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列．∴30,70，S 3m －100成等差数列．∴2×70＝30＋(S 3m －100)，∴S 3m ＝210.方法二 在等差数列中，S m m ，S 2m 2m ，S 3m 3m 成等差数列，∴2S 2m 2m ＝S m m ＋S 3m 3m. 即S 3m ＝3(S 2m －S m )＝3×(100－30)＝210.三、解答题17．解 由⎩⎪⎨⎪⎧ a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2(n －1)＝11，na 1＋n (n －1)2×2＝35， 解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧ n ＝5a 1＝3或⎩⎪⎨⎪⎧n ＝7，a 1＝－1.18．解 设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋12n (n －1)d ， ∵S 7＝7，S 15＝75，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 7a 1＋21d ＝715a 1＋105d ＝75， 即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋3d ＝1a 1＋7d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2d ＝1， ∴S n n ＝a 1＋12(n －1)d ＝－2＋12(n －1)， ∵S n ＋1n ＋1－S n n ＝12， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，其首项为－2，公差为12， ∴T n ＝n ×(－2)＋n (n －1)2×12＝14n 2－94n .19．解析a nb n ＝A 2n －1B 2n －1＝14n ＋382n ＋2＝7n ＋19n ＋1 ＝7(n ＋1)＋12n ＋1＝7＋12n ＋1， ∴n ＝1,2,3,5,11.20．解 (1)由a n ＝a 1＋(n －1)d 及a 3＝5，a 10＝－9得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝5，a 1＋9d ＝－9，可解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝－2， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝11－2n .(2)由(1)知，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝10n －n 2. 因为S n ＝－(n －5)2＋25，所以当n ＝5时，S n 取得最大值．21．解 由S 2＝16，S 4＝24，得⎩⎨⎧ 2a 1＋2×12d ＝16，4a 1＋4×32d ＝24.即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋d ＝16，2a 1＋3d ＝12. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝－2. 所以等差数列{a n }的通项公式为a n ＝11－2n (n ∈N *)．(1)当n ≤5时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝S n ＝－n 2＋10n .(2)当n ≥6时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 5－a 6－a 7－…－a n ＝2S 5－S n ＝2×(－52＋10×5)－(－n 2＋10n )＝n 2－10n ＋50，故T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－n 2＋10n (n ≤5)，n 2－10n ＋50 (n ≥6).22．解 (1)根据题意，有：⎩⎨⎧12a 1＋12×112d >0，13a 1＋13×122d <0，a 1＋2d ＝12，整理得：⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋11d >0，a 1＋6d <0，a 1＋2d ＝12.解之得：－247<d <－3. (2)∵d <0，而S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7<0，∴a 7<0. 又S 12＝12(a 1＋a 12)2＝6(a 1＋a 12)＝6(a 6＋a 7)>0， ∴a 6>0.∴数列{a n }的前6项和S 6最大．。
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课时作业8 等差数列的前n 项和时间：45分钟 满分：100分课堂训练1．已知{a n }为等差数列，a 1＝35，d ＝－2，S n ＝0，则n 等于( ) A ．33 B ．34 C ．35 D ．36【答案】 D【解析】 本题考查等差数列的前n 项和公式．由S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝35n ＋n (n －1)2×(－2)＝0，可以求出n ＝36.2．等差数列{a n }中，3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24，则数列前13项的和是( )A ．13B ．26C ．52D ．156 【答案】 B【解析】 3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24⇒6a 4＋6a 10＝24⇒a 4＋a 10＝4⇒S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13(a 4＋a 10)2＝13×42＝26. 3．等差数列的前n 项和为S n ，S 10＝20，S 20＝50.则S 30＝________. 【答案】 90【解析】 等差数列的片断数列和依次成等差数列． ∴S 10，S 20－S 10，S 30－S 20也成等差数列． ∴2(S 20－S 10)＝(S 30－S 20)＋S 10，解得S 30＝90.4．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 12＝84，S 20＝460，求S 28. 【分析】 (1)应用基本量法列出关于a 1和d 的方程组，解出a 1和d ，进而求得S 28；(2)因为数列不是常数列，因此S n 是关于n 的一元二次函数且常数项为零．设S n ＝an 2＋bn ，代入条件S 12＝84，S 20＝460，可得a 、b ，则可求S 28；(3)由S n ＝d 2n 2＋n (a 1－d 2)得S n n ＝d 2n ＋(a 1－d2)，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是一个等差数列，又2×20＝12＋28，∴2×S 2020＝S 1212＋S 2828，可求得S 28.【解析】 方法一：设{a n }的公差为d ， 则S n ＝na 1＋n (n －1)2d .由已知条件得：⎩⎨⎧12a 1＋12×112d ＝84，20a 1＋20×192d ＝460，整理得⎩⎨⎧2a 1＋11d ＝14，2a 1＋19d ＝46，解得⎩⎨⎧a 1＝－15，d ＝4.所以S n ＝－15n ＋n (n －1)2×4＝2n 2－17n ， 所以S 28＝2×282－17×28＝1 092.方法二：设数列的前n 项和为S n ，则S n ＝an 2＋bn . 因为S 12＝84，S 20＝460，所以⎩⎨⎧122a ＋12b ＝84，202a ＋20b ＝460，整理得⎩⎨⎧12a ＋b ＝7，20a ＋b ＝23.解之得a ＝2，b ＝－17， 所以S n ＝2n 2－17n ，S 28＝1 092. 方法三：∵{a n }为等差数列， 所以S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，所以S n n ＝a 1－d 2＋d2n ，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列．因为12,20,28成等差数列， 所以S 1212，S 2020，S 2828成等差数列， 所以2×S 2020＝S 1212＋S 2828，解得S 28＝1 092.【规律方法】 基本量法求出a 1和d 是解决此类问题的基本方法，应熟练掌握．根据等差数列的性质探寻其他解法，可以开阔思路，有时可以简化计算．课后作业一、选择题(每小题5分，共40分)1．已知等差数列{a n }中，a 2＝7，a 4＝15，则前10项的和S 10等于( )A ．100B ．210C ．380D ．400【答案】 B【解析】 d ＝a 4－a 24－2＝15－72＝4，则a 1＝3，所以S 10＝210.2．在等差数列{a n }中，a 2＋a 5＝19，S 5＝40，则a 10＝( ) A ．27 B ．24 C ．29 D ．48【答案】 C 【解析】由已知⎩⎨⎧2a 1＋5d ＝19，5a 1＋10d ＝40.解得⎩⎨⎧a 1＝2，d ＝3.∴a 10＝2＋9×3＝29.3．数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋2n －1，则这个数列一定是( ) A ．等差数列 B ．非等差数列 C ．常数列 D ．等差数列或常数列 【答案】 B【解析】 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋2n －1－[(n －1)2＋2(n －1)－1]＝2n ＋1，当n ＝1时a 1＝S 1＝2.∴a n ＝⎩⎨⎧2，n ＝1，2n ＋1，n ≥2，这不是等差数列．4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )C ．8D ．9【答案】 A 【解析】⎩⎨⎧a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，∴⎩⎨⎧a 1＝－11，d ＝2，∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－11n ＋n 2－n ＝n 2－12n . ＝(n －6)2－36. 即n ＝6时，S n 最小．5．一个只有有限项的等差数列，它的前5项的和为34，最后5项的和为146，所有项的和为234，则它的第7项等于( )A ．22B ．21C ．19D ．18【答案】 D【解析】 ∵a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34， a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＋a n －4＝146， ∴5(a 1＋a n )＝180，a 1＋a n ＝36， S n ＝n (a 1＋a n )2＝n ×362＝234. ∴n ＝13，S 13＝13a 7＝234.∴a 7＝18.6．一个有11项的等差数列，奇数项之和为30，则它的中间项为( )A ．8B ．7【答案】 D【解析】 S 奇＝6a 1＋6×52×2d ＝30，a 1＋5d ＝5，S 偶＝5a 2＋5×42×2d ＝5(a 1＋5d )＝25，a 中＝S 奇－S 偶＝30－25＝5.7．若两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别是S n ，T n ，已知S n T n＝7n n ＋3，则a 5b 5等于( ) A ．7 B.23 C.278 D.214【答案】 D【解析】 a 5b 5＝2a 52b 5＝a 1＋a 9b 1＋b 9＝92(a 1＋a 9)92(b 1＋b 9)＝S 9T 9＝214.8．已知数列{a n }中，a 1＝－60，a n ＋1＝a n ＋3，则|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 30|等于( )A ．445B ．765C ．1 080D ．1 305 【答案】 B【解析】 a n ＋1－a n ＝3，∴{a n }为等差数列． ∴a n ＝－60＋(n －1)×3，即a n ＝3n －63.∴a n ＝0时，n ＝21，a n >0时，n >21，a n <0时，n <21. S ′30＝|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 30|＝－a 1－a 2－a 3－…－a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 30 ＝－2(a 1＋a 2＋…＋a 21)＋S 30 ＝－2S 21＋S 30 ＝765.二、填空题(每小题10分，共20分)9．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝S 3＝12，则数列的通项公式a n ＝________.【答案】 2n【解析】 设等差数列{a n }的公差d ，则⎩⎨⎧a 1＋5d ＝12a 1＋d ＝4，∴⎩⎨⎧a 1＝2d ＝2，∴a n ＝2n .10．等差数列共有2n ＋1项，所有奇数项之和为132，所有偶数项之和为120，则n 等于________．【答案】 10【解析】 ∵等差数列共有2n ＋1项，∴S 奇－S 偶＝a n ＋1＝S 2n ＋12n ＋1.即132－120＝132＋1202n ＋1，求得n ＝10.【规律方法】 利用了等差数列前n 项和的性质，比较简捷． 三、解答题(每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．在等差数列{a n }中，(1)已知a 6＝10，S 5＝5，求a 8和S 8； (2)若a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，求d .【分析】 在等差数列中，五个重要的量，只要已知三个量，就可求出其他两个量，其中a 1和d 是两个最基本量，利用通项公式和前n 项和公式，先求出a 1和d ，然后再求前n 项和或特别的项．【解析】 (1)∵a 6＝10，S 5＝5，∴⎩⎨⎧a 1＋5d ＝10，5a 1＋10d ＝5.解方程组，得a 1＝－5，d ＝3， ∴a 8＝a 6＋2d ＝10＋2×3＝16， S 8＝8(a 1＋a 8)2＝44. (2)由S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (－512＋1)2＝－1 022， 解得n ＝4.又由a n ＝a 1＋(n －1)d ， 即－512＝1＋(4－1)d ， 解得d ＝－171.【规律方法】 一般地，等差数列的五个基本量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知道其中任意三个量可建立方程组，求出另外两个量，即“知三求二”．我们求解这类问题的通性通法，是先列方程组求出基本量a 1和d ，然后再用公式求出其他的量．12．已知等差数列{a n }，且满足a n ＝40－4n ，求前多少项的和最大，最大值为多少？【解析】 方法一：(二次函数法)∵a n ＝40－4n ，∴a 1＝40－4＝36， ∴S n ＝(a 1＋a n )n 2＝36＋40－4n2·n ＝－2n 2＋38n ＝－2[n 2－19n ＋(192)2]＋1922＝－2(n －192)2＋1922.令n －192＝0，则n ＝192＝9.5，且n ∈N ＋， ∴当n ＝9或n ＝10时，S n 最大，∴S n 的最大值为S 9＝S 10＝－2(10－192)2＋1922＝180. 方法二：(图象法)∵a n ＝40－4n ，∴a 1＝40－4＝36， a 2＝40－4×2＝32，∴d ＝32－36＝－4，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝36n ＋n (n －1)2·(－4)＝－2n 2＋38n ， 点(n ，S n )在二次函数y ＝－2x 2＋38x 的图象上，S n 有最大值，其对称轴为x ＝－382×(－2)＝192＝9.5，∴当n ＝10或9时，S n 最大．∴S n 的最大值为S 9＝S 10＝－2×102＋38×10＝180. 方法三：(通项法)∵a n ＝40－4n ，∴a 1＝40－4＝36，a 2＝40－4×2＝32，∴d ＝32－36＝－4<0，数列{a n }为递减数列．令⎩⎨⎧a n ≥0，a n ＋1≤0，有⎩⎨⎧40－4n ≥0，40－4(n ＋1)≤0，∴⎩⎨⎧n ≤10，n ≥9，即9≤n ≤10.当n ＝9或n ＝10时，S n 最大．∴S n 的最大值为S 9＝S 10＝a 1＋a 102×10＝36＋02×10＝180. 【规律方法】 对于方法一，一定要强调n ∈N ＋，也就是说用函数式求最值，不能忽略定义域，另外，三种方法中都得出n ＝9或n ＝10，需注意a m ＝0时，S m －1＝S m 同为S n 的最值．。