(完整版)等差数列的前n项和练习含答案

课时作业8 等差数列的前n 项和
时间：45分钟 满分：100分
课堂训练
1．已知{a n }为等差数列，a 1＝35，d ＝－2，S n ＝0，则n 等于( ) A ．33 B ．34 C ．35 D ．36
【答案】 D
【解析】 本题考查等差数列的前n 项和公式．由S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝35n ＋n (n －1)
2×(－2)＝0，可以求出n ＝36.
2．等差数列{a n }中，3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24，则数列前13项的和是( )
A ．13
B ．26
C ．52
D ．156 【答案】 B
【解析】 3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24⇒6a 4＋6a 10＝24⇒a 4＋a 10＝4⇒S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13(a 4＋a 10)2
＝13×4
2＝26. 3．等差数列的前n 项和为S n ，S 10＝20，S 20＝50.则S 30＝________. 【答案】 90
【解析】 等差数列的片断数列和依次成等差数列． ∴S 10，S 20－S 10，S 30－S 20也成等差数列． ∴2(S 20－S 10)＝(S 30－S 20)＋S 10，解得S 30＝90.
4．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 12＝84，S 20＝460，求S 28. 【分析】 (1)应用基本量法列出关于a 1和d 的方程组，解出a 1
和d ，进而求得S 28；
(2)因为数列不是常数列，因此S n 是关于n 的一元二次函数且常数项为零．设S n ＝an 2＋bn ，代入条件S 12＝84，S 20＝460，可得a 、b ，则可求S 28；
(3)由S n ＝d 2n 2＋n (a 1－d 2)得S n n ＝d 2n ＋(a 1－d
2)，故⎩⎨⎧⎭
⎬⎫S n n 是一个等差数
列，又2×20＝12＋28，∴2×S 2020＝S 1212＋S 28
28，可求得S 28.
【解析】 方法一：设{a n }的公差为d ， 则S n ＝na 1＋n (n －1)
2d .
由已知条件得：⎩⎨⎧
12a 1＋12×11
2d ＝84，
20a 1
＋20×19
2d ＝460，
整理得⎩⎨
⎧
2a 1＋11d ＝14，2a 1＋19d ＝46，
解得⎩⎨
⎧
a 1＝－15，d ＝4.
所以S n ＝－15n ＋n (n －1)
2×4＝2n 2－17n ， 所以S 28＝2×282－17×28＝1 092.
方法二：设数列的前n 项和为S n ，则S n ＝an 2＋bn . 因为S 12＝84，S 20＝460，
所以⎩⎨
⎧
122a ＋12b ＝84，202a ＋20b ＝460，
整理得⎩⎨
⎧
12a ＋b ＝7，20a ＋b ＝23.
解之得a ＝2，b ＝－17， 所以S n ＝2n 2－17n ，S 28＝1 092. 方法三：∵{a n }为等差数列， 所以S n ＝na 1＋n (n －1)
2d ，
所以S n n ＝a 1－d 2＋d
2n ，所以⎩⎨⎧⎭
⎬⎫S n n 是等差数列．
因为12,20,28成等差数列， 所以S 1212，S 2020，S 28
28成等差数列， 所以2×S 2020＝S 1212＋S 28
28，解得S 28＝1 092.
【规律方法】 基本量法求出a 1和d 是解决此类问题的基本方法，应熟练掌握．根据等差数列的性质探寻其他解法，可以开阔思路，有时可以简化计算．
课后作业
一、选择题(每小题5分，共40分)
1．已知等差数列{a n }中，a 2＝7，a 4＝15，则前10项的和S 10等于( )
A ．100
B ．210
C ．380
D ．400
【答案】 B
【解析】 d ＝a 4－a 24－2＝15－7
2＝4，则a 1＝3，所以S 10＝210.
2．在等差数列{a n }中，a 2＋a 5＝19，S 5＝40，则a 10＝( ) A ．27 B ．24 C ．29 D ．48
【答案】 C 【解析】
由已知⎩⎨
⎧
2a 1＋5d ＝19，5a 1＋10d ＝40.
解得⎩⎨
⎧
a 1＝2，d ＝3.
∴a 10＝2＋9×3＝29.
3．数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋2n －1，则这个数列一定是( ) A ．等差数列 B ．非等差数列 C ．常数列 D ．等差数列或常数列 【答案】 B
【解析】 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋2n －1－[(n －1)2＋2(n －1)－1]＝2n ＋1，当n ＝1时a 1＝S 1＝2.
∴a n ＝⎩⎨
⎧
2，n ＝1，2n ＋1，n ≥2，
这不是等差数列．
4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )
C ．8
D ．9
【答案】 A 【解析】
⎩⎨
⎧
a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，
∴⎩⎨
⎧
a 1＝－11，d ＝2，
∴S n ＝na 1＋n (n －1)
2d ＝－11n ＋n 2－n ＝n 2－12n . ＝(n －6)2－36. 即n ＝6时，S n 最小．
5．一个只有有限项的等差数列，它的前5项的和为34，最后5项的和为146，所有项的和为234，则它的第7项等于( )
A ．22
B ．21
C ．19
D ．18
【答案】 D
【解析】 ∵a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34， a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＋a n －4＝146， ∴5(a 1＋a n )＝180，a 1＋a n ＝36， S n ＝n (a 1＋a n )2＝n ×362＝234. ∴n ＝13，S 13＝13a 7＝234.∴a 7＝18.
6．一个有11项的等差数列，奇数项之和为30，则它的中间项为( )
A ．8
B ．7
【答案】 D
【解析】 S 奇＝6a 1＋6×52×2d ＝30，a 1＋5d ＝5，S 偶＝5a 2＋5×4
2×2d ＝5(a 1＋5d )＝25，a 中＝S 奇－S 偶＝30－25＝5.
7．若两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别是S n ，T n ，已知S n T n
＝
7n n ＋3，则a 5
b 5
等于( ) A ．7 B.23 C.27
8 D.214
【答案】 D
【解析】 a 5b 5＝2a 52b 5＝a 1＋a 9b 1＋b 9＝9
2(a 1＋a 9)
92
(b 1＋b 9)
＝S 9T 9＝21
4.
8．已知数列{a n }中，a 1＝－60，a n ＋1＝a n ＋3，则|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 30|等于( )
A ．445
B ．765
C ．1 080
D ．1 305 【答案】 B
【解析】 a n ＋1－a n ＝3，∴{a n }为等差数列． ∴a n ＝－60＋(n －1)×3，即a n ＝3n －63.
∴a n ＝0时，n ＝21，a n >0时，n >21，a n <0时，n <21. S ′30＝|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 30|
＝－a 1－a 2－a 3－…－a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 30 ＝－2(a 1＋a 2＋…＋a 21)＋S 30 ＝－2S 21＋S 30 ＝765.
二、填空题(每小题10分，共20分)
9．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝S 3＝12，则数列的通项公式a n ＝________.
【答案】 2n
【解析】 设等差数列{a n }的公差d ，则
⎩⎨
⎧
a 1＋5d ＝12a 1＋d ＝4
，∴⎩⎨⎧
a 1＝2d ＝2
，∴a n ＝2n .
10．等差数列共有2n ＋1项，所有奇数项之和为132，所有偶数项之和为120，则n 等于________．
【答案】 10
【解析】 ∵等差数列共有2n ＋1项，∴S 奇－S 偶＝a n ＋1＝S 2n ＋1
2n ＋1.
即132－120＝132＋120
2n ＋1
，求得n ＝10.
【规律方法】 利用了等差数列前n 项和的性质，比较简捷． 三、解答题(每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
11．在等差数列{a n }中，
(1)已知a 6＝10，S 5＝5，求a 8和S 8； (2)若a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，求d .
【分析】 在等差数列中，五个重要的量，只要已知三个量，就可求出其他两个量，其中a 1和d 是两个最基本量，利用通项公式和前n 项和公式，先求出a 1和d ，然后再求前n 项和或特别的项．
【解析】 (1)∵a 6＝10，S 5＝5，
∴⎩⎨
⎧
a 1＋5d ＝10，5a 1＋10d ＝5.
解方程组，得a 1＝－5，d ＝3， ∴a 8＝a 6＋2d ＝10＋2×3＝16， S 8＝8(a 1＋a 8)2
＝44. (2)由S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (－512＋1)2＝－1 022， 解得n ＝4.
又由a n ＝a 1＋(n －1)d ， 即－512＝1＋(4－1)d ， 解得d ＝－171.
【规律方法】 一般地，等差数列的五个基本量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知道其中任意三个量可建立方程组，求出另外两个量，即“知三求二”．我们求解这类问题的通性通法，是先列方程组求出基本量a 1和d ，然后再用公式求出其他的量．
12．已知等差数列{a n }，且满足a n ＝40－4n ，求前多少项的和最大，最大值为多少？
【解析】 方法一：(二次函数法)∵a n ＝40－4n ，∴a 1＝40－4＝36， ∴S n ＝(a 1＋a n )n 2＝36＋40－4n
2
·n ＝－2n 2
＋38n ＝－2[n 2－19n ＋(192)2]＋19
2
2
＝－2(n －192)2＋192
2.
令n －192＝0，则n ＝19
2＝9.5，且n ∈N ＋， ∴当n ＝9或n ＝10时，S n 最大，
∴S n 的最大值为S 9＝S 10＝－2(10－192)2＋192
2＝180. 方法二：(图象法)∵a n ＝40－4n ，∴a 1＝40－4＝36， a 2＝40－4×2＝32，∴d ＝32－36＝－4，
S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝36n ＋n (n －1)
2·(－4)＝－2n 2＋38n ， 点(n ，S n )在二次函数y ＝－2x 2＋38x 的图象上，S n 有最大值，其对称轴为x ＝－382×(－2)
＝192＝9.5，
∴当n ＝10或9时，S n 最大．
∴S n 的最大值为S 9＝S 10＝－2×102＋38×10＝180. 方法三：(通项法)∵a n ＝40－4n ，∴a 1＝40－4＝36，
a 2＝40－4×2＝32，
∴d ＝32－36＝－4<0，数列{a n }为递减数列．
令⎩⎨
⎧
a n ≥0，a n ＋1≤0，有⎩⎨
⎧
40－4n ≥0，40－4(n ＋1)≤0，
∴⎩⎨
⎧
n ≤10，n ≥9，
即9≤n ≤10.
当n ＝9或n ＝10时，S n 最大．
∴S n 的最大值为S 9＝S 10＝a 1＋a 102×10＝36＋0
2×10＝180. 【规律方法】 对于方法一，一定要强调n ∈N ＋，也就是说用函数式求最值，不能忽略定义域，另外，三种方法中都得出n ＝9或n ＝10，需注意a m ＝0时，S m －1＝S m 同为S n 的最值．。