立体几何 直线与平面平行的判定与性质

立体几何直线与平面平行的判定与性质一、知识梳理

1．直线与平面平行的判定与性质

判定

性质

定义定理

图形

条件a∩α＝∅a⊂α，b⊄α，a∥b a∥αa∥α，a⊂β，α∩β

＝b

结论a∥αb∥αa∩α＝∅a∥b

注意：

1．证明线面平行是高考中常见的问题，常用的方法就是证明这条线与平面内的某条直线平行．但一定要说明一条直线在平面外，一条直线在平面内．

2．在判定和证明直线与平面的位置关系时，除熟练运用判定定理和性质定理外，切不可丢弃定义，因为定义既可作判定定理使用，亦可作性质定理使用．

3．辅助线(面)是解(证)线面平行的关键．为了能利用线面平行的判定定理及性质定理，往往需要作辅助线

二、例题分析

1．已知不重合的直线a，b和平面α，

①若a∥α，b⊂α，则a∥b；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b⊂α，则a∥α；

④若a∥b，a∥α，则b∥α或b⊂α. 上面命题中正确的是________(填序号)．

2．若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则() A．α内的所有直线与l异面B．α内不存在与l平行的直线

C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内的直线与l都相交

3.正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各有一点P、Q，且

AP＝DQ.求证：PQ∥平面BCE.

提示：判断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的

判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)；(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；(4)利用面面

平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．

4. 已知：直线a ∥平面α，直线a ∥平面β，α∩β＝b .

求证：a ∥b . 三、课堂练习

1．下列命题正确的是 （ ） A 一直线与平面平行，则它与平面内任一直线平行

B 一直线与平面平行，则平面内有且只有一个直线与已知直线平行

C 一直线与平面平行，则平面内有无数直线与已知直线平行，它们在平面内彼此平行

D 一直线与平面平行，则平面内任意直线都与已知直线异面

2．若直线l 与平面α的一条平行线平行，则l 和α的位置关系是 ( ) A α⊂l B α//l C αα//l l 或⊂ D 相交和αl

3．若直线a 在平面α内，直线a,b 是异面直线，则直线b 和α平面的位置关系是 ( ) A ．相交 B 。平行 C 。相交或平行 D 。相交且垂直 4．下列各命题：

（1） 经过两条平行直线中一条直线的平面必平行于另一条直线； （2） 若一条直线平行于两相交平面，则这条直线和交线平行；

（3） 空间四边形中三条边的中点所确定平面和这个空间四边形的两条对角线都平行。 其中假命题的个数为 ( ) A 0 B 1 C 2 D 3

5．若直线上有两点P 、Q 到平面α的距离相等，则直线l 与平面α的位置关系是 ( ) A 平行 B 相交 C 平行或相交 D 或平行、或相交、或在内 6．a,b 为两异面直线，下列结论正确的是 ( ) A 过不在a,b 上的任何一点，可作一个平面与a,b 都平行 B 过不在a,b 上的任一点，可作一直线与a,b 都相交 C 过不在a,b 上任一点，可作一直线与a,b 都平行 D 过a 可以并且只可以作一个平面与b 平行 7．判断下列命题是否正确：

(1)过平面外一点可作无数条直线与这个平面平行 ( ) (2)若直线α⊄l ，则l 不可能与α内无数条直线相交 ( ) (3)若直线l 与平面α不平行，则l 与α内任一直线都不平行 ( ) (4)经过两条平行线中一条直线的平面平行于另一条直线 ( )

(5)若平面α内有一条直线和直线l 异面，则α⊄l ( ) 8．过直线外一点和这条直线平行的平面有 个。

9．直线a//b ，a//平面α，则b 与平面α的位置关系是 。 10．A 、B 两点到平面α的距离分别是3、5，M 是的AB 中点，则M 到平面α的距离是 。

11. 三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若D 为BB 1上一点， M 为AB 的中点，N 为BC 的中点.

求证：MN ∥平面A 1C 1D ；

A 1

B

B 1 A

C 1

C

D

12、如图，在底面为平行四边形的四棱锥 P —ABCD 中，点 E 是 PD 的中点.

求证：PB//平面 AEC ；

13．四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，M 、N 分别是AB 、PC 的中点， 求证：MN ∥平面PAD ；

14.

四、课后练习

1．在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，M ，N 分别是AB ，PC 的中点．

求证：MN ∥平面PAD ；

A

B

C

D

E

P P

A

D

M

N

11111//.

ABC A B C D AC AB DBC 已知－是底面是正三角形的棱柱，

是的中点，求证：平面

A

B

C

D

E

F

P

2、如图，在三棱柱ABC —A1B1C1中， D 是 AC 的中点。

求证：AB1//平面DBC1

3．正四棱锥S ABCD -中，E 是侧棱SC 的中点.求证：直线SA //平面BDE

4. 已知四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是矩形，E 、F 分别是AB 、PD 的中点． 求证：AF//平面PEC

5.在三棱柱111ABC A B C -中， D 为BC 中点.求证：1//A B 平面1ADC ；

A

S

D

C

B

E

C 1 A 1

B 1