2019-2020学年天津市塘沽一中高二(下)第一次月考数学试卷(含答案解析)

2019-2020学年天津市塘沽一中高二（下）第一次月考数
学试卷
一、选择题（本大题共5小题，共40.0分）
1.，若，则等于
A. B. 1 C. ln2 D. e
2.已知函数的图象在点处切线方程是，则
的值是
A. 2
B. 1
C.
D. 3
3.由0，1，2，3，5这5个数字可以组成三位没有重复数字的奇数个数为
A. 27
B. 36
C. 48
D. 21
4.若函数在区间上单调递增，则k的取值范围是
A. B. C. D.
5.已知函数，，若对任意，
存在，使，则实数b的取值范围是
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共5小题，共40.0分）
6.当时，函数的最大值是______．
7.从3名男生和3名女生中选出3人分别担任三个不同学科课代表，若这3人中必须
既有男生又有女生，则不同的选法种数共有______用数字作答
8.函数的单调递减区间是______
9.函数在时有极值为10，则的值为______．
10.已知函数，，若关于x的方程在区间内有
两个实数解，则实数k的取值范围是______．
三、解答题（本大题共2小题，共40.0分）
11.已知函数．
Ⅰ当时，求函数的极值；
Ⅱ讨论函数的单调性；
Ⅲ令，若对任意的，，恒有成立，求实数k的最大整数．
12.设a，，已知函数，．
Ⅰ求的单调区间；
Ⅱ已知函数和的图象在公共点处有相同的切线，
求证：在处的导数等于0；
若关于x的不等式在区间上恒成立，求b的取值范围．
-------- 答案与解析 --------
1.答案：B
解析：解：，
则，
，
，
故选：B．
可求出导函数，从而根据即可得出的值．
本题考查了基本初等函数的求导公式，积的导数的计算公式，已知函数求值的方法，考查了计算能力，属于基础题．
2.答案：A
解析：解：函数的图象在点处的切线方程是，
可得；，
即有，
故选：A．
由已知切线的方程，结合导数的几何意义，可得，，即可得到所求和．
本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义，正确运用切线的方程是解题的关键，属于基础题．
3.答案：A
解析：解：根据题意，要求是三位没有重复数字的奇数，
则个位数字必须为1、3、5中的一个，则个位数字为3种情况，
剩下4个数字中，0不能在百位，则百位数字有3种情况，
在剩下的3个数字中任选1个，安排在十位，有3种情况，
则可以组成三位没有重复数字的奇数有个；
故选：A．
根据题意，依次分析个位、百位、十位数字的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
4.答案：C
解析：解：，
函数在区间单调递增，
在区间上恒成立．
，
而在区间上单调递减，
．
的取值范围是：．
故选：C．
求出导函数，由于函数在区间单调递增，可得
在区间上恒成立．解出即可．
本题考查了利用导数研究函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法，属于中档题．5.答案：C
解析：解：函数，
，
若，，为增函数；若，或，为减函数；
在上有极值，
在处取极小值也是最小值；
，对称轴，，
当时，在处取最小值；
当时，在处取最小值；
当时，在上是减函数，；
对任意，存在，使，
只要的最小值大于等于的最小值即可，
当时，，解得，故b无解；当时，易知无解当
时，，解得，
综上：，
故选：C．
首先对进行求导，利用导数研究函数的最值问题，根据题意对任意，存在，使，只要的最小值大于等于的最小值即可，对的图象进行讨论根据对称轴研究的最值问题，从而进行求解；
本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值，求函数在闭区间上的最大值与最小
值是通过比较函数在内所有极值与端点函数，比较而得到的，此题还涉及函数的恒成立问题，注意问题最终转化为求函数的最值问题上；
6.答案：e
解析：解：由可得，，
，，
当时，，函数单调单调递减，当时，
，函数单调单调递增，
又，，
故当时，函数取得最大值e．
故答案为：e
先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系可求函数的单调区间，进而可求最值．
本题考查了函数的导数的应用，同时考查了函数在闭区间上最值，属于基础题．
7.答案：108
解析：解：根据题意，分2步进行分析：
，从3名男生和3名女生中选出3人，要求这3人中必须既有男生又有女生，
则有种情况，
，将选出的3人全排列，安排担任三个不同学科课代表，有种情况，
则有种选法；
故答案为：108．
根据题意，分2步进行分析：，从3名男生和3名女生中选出3人，要求这3人中必须既有男生又有女生，，将选出的3人全排列，安排担任三个不同学科课代表，由分步计数原理计算可得答案．
本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．
8.答案：，【写成也正确】．
解析：解：函数的定义域为；
函数的导数，令，
由得，解得，所以
即函数的单调递减区间为，
故答案为：，【写成也正确】．
求函数的导数，根据函数单调性和导数之间的关系求出即可得到结论．
本题主要考查函数单调区间的求解，根据条件求出函数的导数，解导数不等式是解决本题的关键．
9.答案：
解析：解：对函数求导得，
又在时有极值10，
，
解得或，
验证知，当，时，在无极值，
故的值．
故答案为：
首先对求导，然后由题设在时有极值10可得，解方程得出a，
b的值，最后求它们的即可．
掌握函数极值存在的条件，考查利用函数的极值存在的条件求参数的能力．
10.答案：
解析：解：关于x的方程在区间内有两个实数解，等价于函数
与函数在区间内有两个交点，
，，
，
当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，
，且当时，；当时，，
函数的大致图象，如图所示：
，
当时，函数与函数在区间内至多有一个交点，不满足
题意，
当时，
当经过点时，，此时函数与函数在区间
内有两个交点，满足题意，
当函数与函数在区间内相切时，设切点坐标为，，解得，，此时函数与函数在
区间内有一个交点，
结合图形可知满足要求的k只能介于这两种临界情况之间，
，
实数k的取值范围为，
故答案为：
先求出导数得到函数的单调性和最值，画出的大致图象，关于x的方程在区间内有两个实数解，等价于函数与函数在区间内有两个交点，利用数形结合法分析直线的斜率的范围，使得满足题意
即可．
本题主要考查了利用导数研究函数的极值，考查了函数与方程的关系，是中档题．11.答案：解：Ⅰ当时，，，
当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
则有极小值为为1，无极大值；
Ⅱ函数的定义域为，．
当时，，在上单调递增；
当时，若，，单调递减，
若，，单调递增．
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
Ⅲ由Ⅰ知，，
恒成立，则只需恒成立，
则，
令，则只需．
，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
，
即，．
即k的最大整数为7．
解析：Ⅰ把代入函数解析式，求其导函数，得到导函数的零点，分析单调性，然后求极值；
Ⅱ，对a分类分析可得原函数的单调性；
Ⅲ由Ⅰ知，，则恒成立只需
恒成立，即恒成立，令，利用导数求其最小值，再由最
小值大于等于求解实数k的最大整数．
本题考查导数知识的运用，训练了利用导数研究函数的单调性与最值的求法，考查数学转化思想方法，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属难题．
12.答案：Ⅰ解：由，可得
，
令，解得，或由，得．
x
x
的单调递增区间为，，单调递减区间为；
Ⅱ证明：，由题意知，
，解得．
在处的导数等于0；
解：，，由，可得．
又，，
故为的极大值点，由知．
另一方面，由于，故，
由Ⅰ知在内单调递增，在内单调递减，
故当时，在上恒成立，从而在
上恒成立．
由，得，．
令，，
，
令，解得舍去，或．
，，，故的值域为．
的取值范围是．
解析：Ⅰ求出函数的导函数，得到导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，列表后可得的单调区间；
Ⅱ求出的导函数，由题意知，求解可得得到
在处的导数等于0；
由知且在内单调递增，在内单调递减，故当时，在上恒成立，从而在
上恒成立．由，得，
构造函数，，利用导数求其值域可得b的范围．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了利用研究过曲线上某点处的切线方程，训练了恒成立问题的求解方法，体现了数学转化思想方法，是压轴题．。