习题8

第八章 整数规划
习题八
1. 某公司生产甲、乙两种产品，甲产品生产线每天可以生产8单位甲产品。

每单位乙产品要3个工时烘干时间，每天有18工时可以用来烘干。

每单位甲产品需要4个工时的抛光，每单位乙需要6个工时抛光，每天有38工时可以用来抛光。

生产每单位甲产品可以获利10元钱，生产每单位乙产品可获利30元钱。

公司想制订一个日生产计划，以便每天生产出整数单位的甲和乙产品来获得最大的利润。

（a ） 写出这个问题的整数规划数学模型；
（b ） 用图解法找出这个问题的松弛问题的最优解； （c ） 用图解法找出这个问题的整数最优解； （d ） 将（b ）中取得的最优解用四舍五入法取整，得到的解是可行解吗？是最优解吗？
2. 一位投资经理准备用30万元从18种股票中进行投资，他知道第i 种股票的期望收益率是i r ，所以假如他将i x 元投入到第i 种股票，他在投资期末将得到()1i i r x +元。

为了平衡风险，他为这次投资设立了两个条件：
（1） 每支股票的投资额不能超过6万元；
（2） 一旦决定购买某支股票，就至少要买1.5万元以上。

这位投资经理要在不违背以上两条原则的基础上在投资期末获得尽可能大的收益。

请建立这个问题的混合整数规划模型。

3. 用分枝定界法解下列整数规划问题
12121212
(1)max 344638
..5639,0Z x x x x s t x x x x =++≤⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩且为整数 解：
12121212
(2)max 32517..3720,0Z x x x x s t x x x x =++≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩且为整数 1221
212(3)max 3422
2319..0,10Z x x x x x s t x x =+≤⎧⎪+≤⎪⎨=⎪⎪≥⎩且为整数
12121
212(4)max 138952611369..00,1
Z x x x x x x s t x x =+-≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪=⎩且为整数 12
121212(5)max 10015080040040001530200..00,1
Z x x x x x x s t x x =++≤⎧⎪+≤⎪⎨
≥⎪⎪=⎩ 12
1212
(6)max 543410
..0,10Z x x x x s t x x =++≤⎧⎪
=⎨⎪≥⎩ 1231231
2132(7)max 53463422313..,00Z x x x x x x x x s t x x x =++++≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩且为整数
12121
212(8)max 511666550225..00Z x x x x x x s t x x =++≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩且为整数
4. 用割平面法求解下列整数规划问题
12121212(1)min 10122320
..36
,0Z x x x x s t x x x x =++≥⎧⎪
+≥⎨⎪≥⎩且为整数 12
24127
71212
(2)max 642..27
,0Z x x x x s t x x x x =++≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩且为整数
121212(3)max 534527..,0Z x x x x s t x x =++≤⎧⎨
≥⎩且为整数
12121212
(4)max 2418
..2639,0Z x x x x s t x x x x =++≤⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩且为整数
5. 中科院某研究所今年考虑从9个研究项目中选择一些项目进行研究，研究总预算是500万元，今年最多有60位科学家可以参与项目的研究工作。

另外，假如要做项目3，那么项目7就必须做（反之则不然）；要研究项目1，项目6也必须得研究（反之亦然）。

下表（表8-13）给出了每个项目所需资金数量、科学家人数和能为国家创造的效益。

表8-13
（a ） 建立这个问题的整数规划模型，目标是总效益最大。

（b ） 用Excel 求解这个问题。

（c ） 假如增加一个约束，项目9的研究是建立在项目5和8的基础上，也就是说项
目9要研究的话，项目5和项目8也必须研究，这个问题的模型是怎么样的？请试着用Excel 求解。

6. 某公司的某个生产线可以生产三种产品A 、B 和C ，相关数据在下面的表中（表8-14
和表8-15）给出。

这个生产线每月可以使用320个小时（包括准备时间和生产时间），在第一个月的开始时和第六个月结束时公司不允许任何产品有库存，本月不能售出的产品转到下月的库存费用是每单位（不论哪个品种）16元。

生产线在每个月末要停产检修，因此每月开始生产时都会有一个生产准备时间，并且在生产准备时间内不能生产任何一种产品，生产线还要求每个月中只能生产一种产品。

请建立一个混合整数规划模型并用Excel 求解，目标是在半年计划期内利润最大。

表8-14
表8-15
7. A 公司是一家大型零售公司，每天都会产生许多的销售数据以及客户数据，为了将来进行市场预测和客户关系管理，这些数据必须保存一段时间，而且随着公司业务的增长更使公司的信息存储需求在不断上升。

公司目前用于存储这些数据的专用硬盘容量是500G ，但是根据预测，公司的存储需求在未来五年内将有较大幅度的提高，为了满足这一需求，公司可以选择购买40G 、80G 和120G 的硬盘来存储这些专用数据，硬盘的价格取决于购买的时间和硬盘容量的大小（这些数据列在表8-16和8-17中）。

当然，以前购买的硬盘可以继续在以后使用。

问题是在什么时间购买哪一种硬盘多少个才能满足数据存储的要求，并且使购买费用最低，请建立一个整数规划模型来求解这个问题。

8. 某百货公司为扩大业务量和知名度，欲将其超市业务覆盖（服务）整个城区，为实现这一目标，首先是要在市内增建一些超级市场。

公司收集了尚未覆盖到的居民区信息（编号为1，2，…，12）和可以建超级市场的商店候选地址（编号为A ，B ，…，H ），和每个超级市场可以覆盖的居民区的数据资料如表8-18
，公司在每个候选地址设立商店的建设成本也估计出来了并列在了表中。

问：应在哪些候选地址建店才能使每个居民区都覆盖到，又能使总的建设成本最低。

用0-1整数规划来建模并求解。

表8-18
表8-16
表8-17
9. 某贵族商场主要经营名牌服装、钟表、珠宝等高档商品，为了降低被盗等风险准备使其每个卖场都处于录像机的监视之下，商场保卫处已联系到了一种摄像头，可以同时监视到它安装之处的两个卖场。

现在商场想先在5楼的8个珠宝各卖场安装来试试效果，图8-25是各卖场的位置（编号为卖场1，卖场2，…，卖场8）以及可以安装摄像头的位置（编号为A，B，…，L）示意图。

保卫处应在哪些地方安装摄像头才能使每个卖场都能得到监视又可以使摄像头的安装数量最少。

试建立0-1整数规划模型并求解。

图8-25
10. 安排5个人做5件不同的工作，不同的人做不同的工作所用的时间不同见下表（表8-19），应如何安排这5个人做这些工作，使得每个人必须做且只能做一件事，且所用的总时间最少。

表8-19
11. 校游泳队准备从六位游泳运动员（编号为1-6号）中选出四位队员参加省高校大学生运动会的200米接力赛（包括仰泳、蛙泳、蝶泳和自由泳各50米），由于队员们速度都很快，教练员一时不知如何安排他们中的哪四位参加哪一个游程才能使全队成绩最好，你能用本章指派问题中学到的知识告诉他吗？（表8-20给出了每个运动员在不同的游程中最近所取得的最好成绩，单位：秒）
表8-20。