[数学]第三章 MATLAB有限元分析与应用
matlab有限元常用函数
matlab有限元常用函数Matlab是一种功能强大的数值计算软件，广泛应用于工程、科学和数学领域。
它提供了丰富的数学函数和工具箱，使得有限元分析成为可能。
在本文中，我们将介绍一些常用于有限元分析的Matlab函数，并逐步解释它们的用法和作用。
有限元分析（Finite Element Analysis，简称FEA）是一种工程设计和分析方法，通过对实际结构的离散化，将其划分为许多小的单元，然后利用数值方法求解它们的行为。
下面是一些常用的有限元分析函数和工具箱。
1. finemesh函数finemesh函数是Matlab的一个内置函数，用于生成网格。
它可以根据给定的节点坐标和连接关系生成一个三角或四边形网格。
finemesh函数的语法如下：mesh = finemesh(node, elem);其中，node是一个N×2的矩阵，表示节点的坐标；elem是一个M×3或M×4的矩阵，表示节点之间的连接关系。
2. assempde函数assempde函数是Matlab Partial Differential Equation Toolbox的一部分，用于组装有限元方程。
它将已知的系数和边界条件应用于有限元方程，并返回一个描述矩阵和向量的数据结构。
assempde函数的语法如下：[stiff,force] = assempde(pde,geometry,temperature,flux);其中，pde是一个描述方程系数的结构体；geometry是一个描述几何形状的结构体；temperature和flux是分别描述温度和通量边界条件的结构体。
3. assemble函数assemble函数是一个用于组装有限元方程的通用函数。
它可以使用用户提供的形状函数和积分点来计算单元刚度矩阵和力矢量。
assemble函数的语法如下：[K,F] = assemble(p,t,c,b,v);其中，p是一个N×2的矩阵，表示节点坐标；t是一个M×3的矩阵，表示节点之间的连接关系；c是一个描述系数的函数句柄；b是描述边界条件的函数句柄；v是描述体积力的函数句柄。
MATLAB在线性四面体有限元分析中的应用
Matlab在线性立体有限元分析中的应用摘要：Matlab具有强大的运算功能，本文以线性四面体元为例，详细介绍MATLAB在刚度矩阵推导，静力结构等有限元分析中的具体应用，编写了刚度矩阵，引用边界条件以及后处理各步骤的程序，该方法可以进一步推广到其他单元甚至更复杂的结构分析中。
关键词：Matlab 有限元刚度矩阵0 引言Matlab是美国MathWork公司开发的用于数值计算，算法研究，建模仿真，实时实现的理想集成环境，因其完整的专业体系和强大的运算功能已广泛应用于工业、电子、信号处理、控制、建筑、教学等各个领域。
有限元是近代数值计算最有效方法之一．有限元法的基础是单元划分以及刚度矩阵的推导，目前，有限元分析已有一个相对固定的模式，而烦琐、复杂的矩阵运算、微分、积分是分析过程中的主要内容．通常，这种矩阵运算是由手工来完成的，工作量大，而且极易出错．利用MatLab丰富的符号运算功能，构建有限单元模型，完成刚度矩阵推导及后处理过程中的运算，不但速度快，而且准确性高。
利用Matlab编写函数M文件并在运算过程中调用，能够依据具体问题对模型进行分析运算，并能在类似问题中得到推广应用。
1 线性四面体有限元分析中的基本方程线性四面体（立体）元（liner tetrahedral(solid)element）是既有局部坐标又有总体坐标的三维有限元，用线性函数描述。
线性四面体元的系数有弹性模量E 和泊松比ν，每个线性四面体与元有四个节点并且每个节点有三个自由度，如图1所示。
这四个节点的总体坐标用111x （,y ,z ）、222x （,y ,z ）、333x （,y ,z ）、444x （,y ,z ）表示。
单元刚度矩阵给定如下：[][][][]T k V B D B = （1.1）式中V 是单元的体积，由下式给出：11122233344411611x y z x y z V x y z x y z =（1.2）图1 线性四面体（立体）元 矩阵[]B 由下式（1.3）确定：[]312431243124331122443311224431122000000000000000000000000000000000x x x x y y y y z z z z y x y x y x y x z y z y z y z y zxzxN N N N N N N N N N N N B N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂3440zxzx N N N ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎣⎦在方程（1.3）中，形函数由下式给出：111111()6N x y z V αβγδ=+++222221()6N x y z V αβγδ=+++333331()6N x y z Vαβγδ=+++444441()6N x y z Vαβγδ=+++ （1.4）在方程（1.1）中，矩阵[]D 由下式（1.5）确定：[]10001000100012000002(1)(12)120000021200002E D νννννννννννννν-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥+-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦2 建立的Matlab 函数TetrahedronElementV olume(x1,y1,z1,x2,y2,z2,x3,y3,z3,x4,y4,z4),该函数根据给出的第一个节点坐标111(,,)x y z ，第二个节点坐标222(,,)x y z ，第三个节点坐标333(,,)x y z 和第四个节点坐标444(,,)x y z 返回单元的体积。
MATLAB有限元分析与应用精选全文完整版
%SpringElementForces This function returns the element nodal force
%
vector given the element stiffness matrix k
%
and the element nodal displacement vector u.
2019/11/28
§2-1 弹簧元
u1=U(1:2); f1=SpringElementForces(k1,u1);
f1 = -15.0000 15.0000
u2=U(2:3); f2=SpringElementForces(k2,u2);
f2 = -15.0000 15.0000
12
§3-1 弹簧元
%
modulus of elasticity E, cross-sectional
%
area A, and length L. The size of the
%
element stiffness matrix is 2 x 2.
y = [E*A/L -E*A/L ; -E*A/L E*A/L];
2019/11/28
3.1 单元刚度矩阵的形成
function y = SpringElementStiffness(k)
%SpringElementStiffness This function returns the element stiffness %matrix for a spring with stiffness k. %The size of the element stiffness matrix is 2 x 2.
第三章MATLAB有限元分析与应用
第三章MATLAB有限元分析与应用有限元分析（Finite Element Analysis, FEA）是一种工程计算方法，用于解决结构力学和流体力学等问题。
它将一个复杂的结构分割成多个简单的离散单元，通过建立数学模型和求解方程组，得到结构的力学、热力学和流体力学等性能参数。
MATLAB是一种功能强大的数学计算软件，具有直观的用户界面和丰富的工具箱，可以方便地进行有限元分析。
本章将介绍在MATLAB中进行有限元分析的基本步骤和方法，以及一些常见的应用例子。
首先，进行有限元分析需要将结构进行离散化。
常用的离散化方法有节点法和单元法。
节点法是将结构的几何形状划分为小的节点，并在节点上进行计算。
单元法是将结构划分为多个小的单元，并在每个单元内进行计算。
在MATLAB中，可以通过创建节点和单元的矩阵来描述结构和单元的关系。
例如，创建一个2D结构形式的节点矩阵：nodes = [0 0; 1 0; 0 1; 1 1];然后，通过创建描述节点连接关系的矩阵，来定义结构的单元：elements = [1 2 3; 2 4 3];这里的每一行代表一个单元，数字表示节点的编号。
接下来，需要定义材料的力学参数和边界条件。
材料的力学参数包括弹性模量、泊松比等。
边界条件包括支座约束和加载条件。
在MATLAB中，可以通过定义力学参数和边界条件的向量来描述。
例如，定义弹性模量和泊松比的向量：E=[200e9200e9];%弹性模量nu = [0.3 0.3]; % 泊松比定义支座约束的向量（1表示固定，0表示自由）：constraints = [1 1; 0 0; 0 1; 0 1];定义加载条件的向量（包括点力和面力）：最后，通过求解方程组得到结构的应力和位移等结果。
在MATLAB中，可以利用有限元分析工具箱中的函数进行计算。
例如，可以使用“assem”函数将节点和单元的信息组装成方程组，并使用“solveq”函数求解方程组。
最新MATLAB在有限元分析方法中的应用PPT
PlaneFrameElementStiffness：
PlaneFrameAssemble：
PlaneFrameElementForces：
PlaneFrameElementAxialDiagram：
PlaneFrameElementShearDiagram PlaneFrameElementMomentDiagram PlaneFrameInclinedSupport——（T） ............
2、可视化及强大的图形功能。
（1）绘图 （2）界面编制
3、含有多种学科的工具箱[ToolBox]以及 程序代码的公开性。
4、程序可移植性好。
二、有限元方法的步骤：
一、离散化域 二、形成单元刚度矩阵 三、集成整体刚度矩阵 四、引入边界条件 五、求解方程 六、后处理
2020/11/11
8
简例： ——平面刚架元
实例：如图所示刚架, 已知各杆EI及A均相同, 且 A=2*10-2m2, I=5*10-5m4,E=210GPa.
PlaneFrameElementStiffness：
PlaneFrameAssemble：
整体刚度矩阵：
引入边界条件：
KUF
后处理：
四、结论和展望
Simple,Powerful and free
结束语
谢谢大家聆听！！！
39
MATLAB在有限元分析方法 中的应用PPT
一、“MATLAB”
1、前置处理 2、求解器 3、后置处理
Simple,Powerful and free
有限元软件的基本模块： 1、前置处理 2、求解器 3、后置处理
C、C++、Fortran等/MATLAB
有限元数值解法在MATLAB中的实现及可视化
有限元数值解法在MATLAB中的实现及可视化摘要：偏微分方程的数值解法在数值分析中占有很重要的地位，很多科学技术问题的数值计算包括了偏微分方程的数值解问题。
在学习初等函数时，总是先画出它们的图形，因为图形能帮助我们了解函数的性质。
而对于偏微分方程，画出它们的图形并不容易，尤其是没有解析解的偏微分方程，画图就显得更加不容易了。
为了从偏微分方程的数学表达式中看出其所表达的图形、函数值与自变量之间的关系，通过MATLAB编程，用有限元数值解法求解了偏微分方程，并将其结果可视化。
关键词：偏微分方程；MATLAB；有限元法；可视化1 引言（Introduction）偏微分方程的数值解法在数值分析中占有很重要的地位，很多科学技术问题的数值计算包括了偏微分方程的数值解问题。
近三十多年来，它的理论和方法都有了很大的发展，而且在各个科学技术的领域中应用也愈来愈广泛。
例如，核武器的研制要有理论设计和核试验。
但核反应和核爆炸的过程是在高温高压的条件下进行的，而且巨大的能量在极短的时间内释放出来，核装置内部的细致反应过程及各个物理量的变化是根本不能用仪器测量出来的，核试验只是提供综合的数据。
而描述核反应和爆炸物理过程的数学模型是一个很复杂的非线性偏微分方程组，也根本没有办法得到这个方程组理论上的精确解。
所以发展核武器的国家都在计算机上对核反应过程进行数值模拟，这也称为“数值核实验”，它可以大大减少核试验的次数，节约大量的经费，缩短研制的周期[1]。
在学习初等函数时，总是先画出它们的图形，因为图形能帮助我们了解函数的性质。
而对于偏微分方程，画出它们的图形并不容易，尤其是没有解析解的偏微分方程，画图就显得更加不容易了。
所以本文主要研究如何用MATLAB数值求解偏微分方程，并将其数值解绘制成三维图形的形式，从而可以从复杂的数学表达式中看出其所表达的图像、函数值与自变量之间的关系[2]。
2 有限元法（Finite element method）2.1 有限元法概述有限元法的基本思想是将结构离散化，用有限个容易分析的单元来表示复杂的对象，单元之间通过有限个节点相互连接，然后根据变形协调条件综合求解。
Matlab在有限元中的应用
基于MATLAB的有限元结构分析王剑(重庆交通大学土木建筑学院,重庆400074)摘要: MATLAB 是当今国际科学界最具影响力和活力的软件。
文章介绍了MATLAB 语言的特点，详细介绍了用MATLAB语言编写结构内力的有限元方法，并通过实例对平面钢架结构进行了内力分析。
关键词：MATLAB 有限元结构0引言MATLAB是Mathworks公司推出的，集算法开发、数值运算、符号运算以及图形处理等强大功能于一体的高级技术计算语言和交互式环境。
MATLAB意为矩阵实验室，它将数值分析、矩阵计算、科学数据可视化以及非线性动态系统的建模和仿真等诸多强大功能集成在一个易于使用的视窗环境中，为科学研究、工程设计以及必须进行有效数值计算的众多科学领域提供了一种全面的解决方案，并在很大程度上摆脱了传统非交互式程序设计语言的编辑模式，代表了当今国际科学计算软件的先进水平。
有限元法的基本思想是将物体（即连续求解域）离散成有限个且按一定方式相互连接在一起的单元组合，来模拟和逼近原来的物体，从而将一个连续的无限自由度问题简化为离散的有限自由度问题求解的数值分析法。
有限元法还有一个特点是，它的理论采用矩阵形式表达。
这并不利于一般的计算机语言编制计算机程序，因为传统的计算机语言处理的对象是标量，使用矩阵形式的有限元理论时，必须把矩阵形式的公式转换成标量表示的公式。
而如果采用MATLAB，这个特点就变成了有限元法的优点，运算更便捷。
1运用MATLAB编写有限元程序的操作步骤1.1建立有限元模型建立有限元模型就是为求解有限元模型做铺垫。
需要对节点、单元以及材料的定义。
同时对约束条件、集中力、分布力进行定义。
然后在M函数文件中以矩阵或向量的形式输入单元号、节点数、材料的性质、约束条件、集中力、分布力。
1.2求解有限元模型用MATLAB写出每个单元的单元刚度矩阵。
按照刚度集成法，把各个单元的刚度矩阵分别放到整体刚度矩阵中的相应位置上，然后根据边界条件进行修正得到整体刚度矩阵。
Matlab程序在有限元热分析中的应用
第35卷第3期2019年6月湖北理工学院学报JOURNAL OF HUBEI POLYTECHNIC UNIVERSITYVol.35No.3Jun.2019doi:10.3969/j.issn.2095-4565.2019.03.001Matlab程序在有限元热分析中的应用徐庆华夏冈『(1.湖北理工学院机电工程学院，湖北黄石435003；2.广州鑫照智控精密制造有限公司，广东广州511442)摘要:在工业生产及科学研究中,热分析具有十分重要的作用，被广泛应用于各个方面。
在采用有限元法分析热传导问题时，需要得到分析单元的特征矩阵。
借助Matlab的符号运算功能,编写了Mat-lab符号运算程序以获取平面三角形单元的导热矩阵，解决了手工运算过程复杂、计算冗长的问题，并且运算结果与推导结果完全一致。
该方法简单实用,可有效提高热分析的准确率和求解效率。
关键词:热分析;有限元;Matlab;符号运算;导热矩阵中图分类号:TG659文献标志码:A文章编号：2095-4565(2019)03-0001-04 Matlab Procedures in Thermal Analysis by Finite Element MethodXU Qinghua,XIA Gang1(1.School of Mechanical and Electronic Engineering,Hubei Polytechnic University,Huangshi Hubei435003;2.Guangzhou Xinzhao Intelligent Control and Precision Manufacturing Co.,Ltd.,Guangzhou Guangdong511442)Abstract:Thermal analysis is of great importance and has been widely conducted in a variety of industrial manufacturing and scientific research.The characteristic matrix of element will be needed when analyzing heat conduction with finite element method(FEM).The symbolic operation program for calculating heat transmission of planar triangle unit has been wriHen with symbolic operation function of MATLAB in this paper,by which complicated and long computation caused by manual deduction can be avoided and the computation result is highly consistent with the deduction result.This method is simple and useful,which can improve efficiency and accuracy when performing various thermal analyses.Key words：thermal analysis;FEM；Matlab;symbolic computation；heat transmission matrixo引言在工业生产及科学研究过程中，热分析广泛应用于各个方面，如计算某个系统或部件的温度分布、热量交换、热梯度、热流密度、热应力、相变等，所涉及的领域包括：能源、化工、冶金、建筑、电子、航空航天、制冷、农业、船舶等[1-3]0在机床精密加工过程中，动力源发热、运动副摩擦热与加工切削热导致温度场分布不均而产生热变形，因此需要得到工件的温度场分布，并对机床进行热特性、热模态、“热-结构”耦合等分析与求解[4-5]o对于重型模锻压力机⑷，其温度场分析对保障装备安全可收稿日期=2019-03-21基金项目：湖北省发改委项目（项目编号：2018ZYYD040）。
第三章+matlab有限元分析与应用
在满足一定约束条件下，寻找使某个或多个设 计指标达到最优的设计方案的过程。
目标函数
用于衡量设计方案优劣的数学表达式，通常是 最小化或最大化的某个性能指标。
约束条件
限制设计方案选择的条件，包括设计变量的上下界、设计变量的关系等。
基于Matlab的有限元优化设计方法
MATLAB优化工具箱
提供了一系列用于求解各种优化问题的函数和算法，包括线性规划、非线性规划、混合 整数规划等。
有限元模型
由一组离散化的元素组成，每个 元素代表系统的一部分，并具有 特定的属性和行为。
节点
元素之间的连接点，用于传递力 和位移。
有限元分析的基本步骤
前处理
01
建立有限元模型，包括定义元素类型、几何形状、材料属性、
边界条件和载荷等。
Байду номын сангаас求解
02
应用数学方程求解有限元模型的节点位移和应力分布。
后处理
03
对于一些复杂模型，如具有非线性、大变形、多 材料等特性，建模难度大，需要发展更高级的建 模方法和技术。
数据安全与隐私保护
在进行有限元分析时，需要处理大量的数据，如 何保证数据的安全和隐私保护是一个重要的问题 。需要采取有效的数据加密和保护措施来确保数 据的安全性和隐私性。
未来发展方向与展望
跨学科融合
结果后处理
显示结果
使用Matlab的图形功能，如`plot`、`mesh`等，绘制 结果的可视化图像。
分析结果
对结果进行详细的分析，如查看位移分布、应力分布 等。
结果优化
根据分析结果，对模型进行优化设计，以提高性能或 降低成本。
03
有限元分析实例
Chapter
MATLAB在有限元分析中的应用
第 ６卷 第 １ 期
２００６ 年 ３月
南通纺 织职 业技 术学 院学报 （ 合版 ） 综
Ｊｕｒａ ｆＮａ ｏ ｇＴ ｘｉ ｏ ａｉｎ ｌＴｅ ｈ ｏｏ ｙＣｏｌｇ ｏ ｎ ｌｏ ｎｔｎ ｅ ｔｅ Ｖ ｃ ｔ ａ ｃ ｎ ｌｇ ｌｅ ｅ ｌ ｏ
用 ＭＡ Ｌ Ｂ程序 运 算的 一些技 巧． ＴＡ
【 关键词】 Ａ Ｌ Ｂ 有限元； 矩阵运算 Ｍ ＴＡ ； ［ 中图分类号］ Ｂ １ 【 Ｔ １５ 文献标识码】 【 Ａ 文章编号】１７－ １ １２０ ） １ ０ １— ３ ６ １６９ （０ ６０ － ０ ３ ０
０ 引 言
ＭＡ Ｌ Ｂ（ Ｔｉ Ｌ Ｂ ｒｔｒ， 阵 实验 室 ） 集数 值运算 、 号运 算及 图形处 理 等功 能于 一 体 的交 互 Ｔ Ａ ＭＡ ｒ Ａ ｏａ ｙ矩 ｘ ｏ 是 符 式 科学 计算 语 言 ， 称科 学 计算软 件环境 ．作 为强 大 的科学 计 算平 台 ， 几 乎能 满 足所 有 的 计算需 求 ．同 或 它 时 ， 这种 交互 的 高效 的矩 阵 计算 环境 下 ， 在 问题 和解 答 的表达 形 式几 乎和 它 们 的数学 表 达式 完 全一 样 ， 因
收 稿 日期 ： ０ ６ ０ 一 ４ ２ ０ — ｌ０
图 １ 节 点 应 力 与 位 移 示 意 图
作 者 简 介 ：庞 晓琛 （９ １ ）江 阴 职 业 技 术 学 院 机 电 系讲 师 １７ 一 ，
维普资讯
南通 纺织 职 业技 术 学 院学 报 （ 合版 ） 综
因此matlab可以使这些原本复杂的程序在保持相当精度的基础上得到简化极大地提高了编程的效率质量和可靠性并且程序可读性强调试简单易于维护若将其引入到有限元编程领域必定会大大加快有限元软件的开发应用笔者采用matlab编写了弹性力学问题中平面应力问题的三节点三角形单元的程序该程序通过读入问题的单元划分材料载荷和边界条件等信息形成总刚度和总载荷矩阵最后求解出单元应力
MATLAB有限元分析与应用
MATLAB有限元分析与应用有限元分析是一种基于数值方法的结构分析技术，广泛应用于工程领域中各种结构的设计与优化。
MATLAB作为一种强大的计算软件，提供了丰富的数值计算、数据可视化和编程功能，成为了进行有限元分析与应用的首选工具之一MATLAB的有限元分析工具箱（FEA）提供了一系列函数和工具，用于构建、求解和分析有限元模型。
用户可以根据实际问题构建有限元模型，包括定义几何形状、材料属性、边界条件和加载情况等。
利用有限元分析工具箱提供的函数，用户可以生成刚度矩阵和负载向量，并求解有限元方程组，得到结构的位移、应力和应变等信息。
此外，MATLAB还提供了可视化工具，可以将计算结果以图形的形式展示出来，方便用户进行结果的分析和评估。
1.结构力学：有限元分析可用于评估结构的强度和刚度，进行结构的静力和动力响应分析。
例如，在设计建筑物和桥梁时，可以通过有限元分析评估结构的变形、应力和疲劳寿命，确保结构的安全性和稳定性。
2.流体力学：有限元分析可用于求解流体介质中的运动方程和温度分布，分析流体流动的特性。
例如，在航空航天领域中，可以使用有限元分析来计算飞机机翼的气动性能，并优化机翼的设计。
3.电磁场：有限元分析可用于求解电磁场的分布和场强，以及电磁场对物体的影响。
例如，在电力系统中，可以使用有限元分析来评估导线和电力设备的电磁场分布，预测设备的电磁辐射水平，以及优化电磁屏蔽设计。
4.热传导：有限元分析可用于求解热传导方程，分析物体的温度分布和热流量分布。
例如，在热管理领域中，可以使用有限元分析来优化散热器的设计，提高散热效率。
5.多物理场耦合：有限元分析可用于求解多个物理场的耦合问题，分析各个物理场之间的相互影响。
例如，在电动汽车的电池设计中，可以使用有限元分析来研究电池的温升、电动力学响应和热耦合效应。
总之，MATLAB的有限元分析与应用广泛应用于工程领域中各种结构的设计与优化。
它提供了方便的数值计算、数据可视化和编程功能，可用于求解各种结构的力学、热力学、电磁学等问题。
matlab有限元分析实例
matlab有限元分析实例问题描述：考虑一平面有界区域，设其边界为[。
我们求解泊松方程之狄利克雷边值问题。
问题的强形式为一椭圆型偏微分方程当之几何形状稍复杂时，一般无法求得其解析解。
我们可应用有限元法来求其数值解。
通常我们先写出该问题的抽象弱形式：求使得其中为检验函数为一适当索伯列夫空间（在本例中也是一希尔伯特空间）为一双线性型为一线性型。
其具体表达式为有限元空间离散我们采用最简单的二维单元离散单元即三节点线性三角形单元，其插值基函数（即形函数为一次多项式。
有限元之核心思想为：使用离散的函数空间来分片逼近连续的函数空间。
于是所求之近似解可写成基函数之线性组合其中为待求系数，常称为自由度。
将此近似解之表达式代入前述问题之弱形式，并取检验函数，可得写成矩阵形式，便成为常见之有限元方程由于历史原因，通常采用固体力学中的习惯命名：[公式] 为刚度矩阵，[公式] 为自由度向量，[公式] 为载荷向量。
由于空间已分片离散，上面的有限元方程只在各单元内部成立。
为了求解方便，通常我们将所有单元的有限元方程连立起来求解，于是需要将各单元之刚度矩阵组装成总体刚度矩阵。
求解器MATLAB 代码及简释本求解器之十行代码如下：function u=fem(nds,els,bcs)nnd=size(nds,1); u=zeros(nnd,1); K=zeros(nnd,nnd); f=zeros(nnd,1);for j=1:size(els,1)K(els(j,:),els(j,:))=K(els(j,:),els(j,:))+stima(nds(els(j,:),:));f(els(j,:))=f(els(j,:))+ones(3,1)*det([1,1,1;nds(els(j,:),:)'])/ 6;endfreends=setdiff(1:nnd,bcs);u(freends)=K(freends,freends)\f(freends);function stima=stima(vertices)ndim=size(vertices,2);J=[ones(1,ndim+1);vertices'];B=J\[zeros(1,ndim);eye(ndim)];stima=det(J).*B*B'/prod(1:ndim);输入数据格式：唯一的一个函数stima 用来计算各单元刚度矩阵。
有限元课程设计matlab
有限元课程设计matlab一、课程目标知识目标：1. 学生能理解有限元分析的基本原理，掌握运用MATLAB进行有限元建模和求解的基本步骤。
2. 学生能够运用MATLAB软件进行简单物理场的有限元模拟，并解释模拟结果。
3. 学生掌握如何将实际问题抽象为有限元模型，并能够运用MATLAB进行模型参数的设定和调整。
技能目标：1. 学生能够独立操作MATLAB软件，进行有限元模型的构建和求解。
2. 学生能够通过MATLAB编程实现有限元模型的自动化处理，包括前处理、求解和后处理。
3. 学生通过解决实际问题，提高数值分析能力和计算机应用能力。
情感态度价值观目标：1. 学生培养对科学研究的兴趣，特别是在工程计算和仿真领域。
2. 学生通过解决实际问题，体会数学和工程结合的美，增强对工程问题的探究欲望。
3. 学生通过团队合作解决问题，培养协作精神和解决问题的能力。
本课程针对高年级本科生或研究生，他们具备一定的数学基础和编程能力。
课程性质偏重实践，旨在通过MATLAB这一工具将有限元理论应用于具体问题的求解。
课程目标旨在使学生不仅掌握理论知识，而且能够实际操作，将理论知识转化为解决实际问题的技能。
通过课程学习，学生应能够将所学知识应用于未来的学术研究或工程实践中。
二、教学内容1. 有限元方法基本原理回顾：包括有限元离散化、单元划分、形函数、刚度矩阵和载荷向量等概念。
- 教材章节：第二章 有限元方法基础2. MATLAB编程基础：介绍MATLAB的基本操作、数据结构、流程控制、函数编写等。
- 教材章节：第三章 MATLAB编程基础3. MATLAB中的有限元工具箱使用：学习如何使用MATLAB内置的有限元工具箱进行建模和求解。
- 教材章节：第四章 MATLAB有限元工具箱介绍4. 有限元模型构建与求解：结合实际问题，学习如何构建有限元模型，并进行求解。
- 教材章节：第五章 有限元模型构建与求解5. 实例分析与上机操作：通过案例分析，让学生实际操作MATLAB软件，解决具体的有限元问题。
matlab有限元求解微分方程的本征值
一、概述Matlab是一种常用的数学软件，它提供了丰富的工具和函数，可用于解决各种数学问题。
其中，有限元法是一种常用的数值求解方法，它可用于求解微分方程的本征值问题。
本文将探讨如何使用Matlab进行有限元求解微分方程的本征值问题。
二、有限元法简介有限元法是一种数值分析方法，它通过将连续的物理问题离散化为有限数量的单元或网格，然后利用线性代数方法求解离散问题，从而得到原始的连续问题的近似解。
在微分方程的求解中，有限元法可用于求解微分方程的本征值问题，即确定微分方程的本征值和本征函数。
三、使用Matlab进行有限元求解微分方程的本征值问题1. 离散化微分方程需要将微分方程离散化为有限元形式。
这通常涉及将微分方程转化为一个矩阵形式的代数方程组。
对于一维问题，可以将区域离散化为一系列节点，并将微分方程表示为每个节点上的代数方程。
对于二维或三维问题，可以将区域离散化为网格或单元，并在每个单元中求解微分方程。
2. 构建刚度矩阵和质量矩阵一旦微分方程被离散化，就可以构建刚度矩阵和质量矩阵。
刚度矩阵描述了系统的刚度和连接性，质量矩阵描述了系统的质量和惯性。
这两个矩阵可以通过有限元方法和数值积分计算得到。
3. 求解本征值问题一旦刚度矩阵和质量矩阵被构建，就可以通过求解本征值问题来得到微分方程的本征值和本征函数。
这通常涉及求解特征值问题，即寻找一个非零向量，使得矩阵乘以该向量等于特征值乘以该向量。
4. 使用Matlab进行求解Matlab提供了丰富的工具和函数，可用于构建刚度矩阵和质量矩阵，并求解本征值问题。
使用Matlab的有限元工具箱或相关函数，可以方便地进行有限元求解微分方程的本征值问题。
四、案例分析下面通过一个简单的例子来说明如何使用Matlab进行有限元求解微分方程的本征值问题。
考虑一维弦的振动问题，其微分方程为：$$\frac{d^2u}{dx^2} +\omega^2u = 0$$其中$u$为弦的位移，$x$为弦的位置，$\omega$为本征频率。
Matlab在有限元的应用
有限元方法 出现于 ２ 世纪 ５ 年代末 ， ０ ０ 由于它能求解复杂 区域 的偏 微分方程 问题 ， 因此一 出现就受到工程师 ， 尤其是结构力学工程师 的普 遍欢迎 和重视 。根据有 限元方法编制 的程序有 限元软件应 运而生 ， 如 Ａ Ｓ Ｓ 。Ｍ ｔ ｂ 当今国际上科 学界最具影 响力 、 ＮＹ等 ａａ是 ｌ 也是 最有活力 的 软件 ， 已经成为一种具有广泛应用前景 的全新 的计算机 高级编程语 言， 有人称 它为“ 四代 ” 第 计算机语言 。这种语言可 以将使 用者从繁琐 、 无 谓 的底层编程 中解放 出来 ， 把有 限的宝贵 时间更 多地花在解决 问题 中 ， 这样无疑会提高工作效率 。本 文在 阐明有 限元法 与微分方 程关 系的基 础 上 ， 合工程 实例 ， 出了在 Ｍａ ａ 语 言环境 下实 现有 限元 法 的步 结 给 ｄｂ 骤． 供相关 同仁探讨 。 ２有限元法及其应用 ． 有 限元法是将物体划 分成有 限个 元 ， 这些单元 之间通过有 限个 节点相互 连接 ， 看作 是不可变形的刚体 ， 之间的力通过节点传 单元 单元 递， 然后利用能量 原理建立各单元矩 阵 ， 然后组成 总刚矩阵 ， 求解 线性 方 程组 。结构 分析中经典的刚度方法可以在不考虑控制微分方程的情 况 下导 出来 ， 是推导刚度方法 的基本关 系是 以微分方程 的解 为基础 但 的， 也即能量原理与控制微分方程之间是有必然联系的 ， 在使用时原始 含义很 容易被忽略。实际上 ， 微分方程渗透到工程领域的方方面面 ， 常 见的控 制微分方程有弹性问题 、 热传导 、 位势流 、 质量输运 、 电流等。结 构分析 中的刚度矩阵用 以描 述力和位移之 间的矩阵关系 ， 但是 现在提 到刚度矩阵 时可以不考虑其具 体应用 ， 如热 传导问题 中温度 与热通量 之间的矩阵关系 、 渗流问题中水头与流量之间的关系 、 电势与电量之间 的关系等都可称 为刚度矩 阵。 有 限元法 可以由多种方 式推导出来 ， 若忽略推导过程 ， 此方法的结 果 就是微 分方程 的数值解 。有 限元法可 以 由变分 试 函数 法（ 也称 Ｒ ｔ ｉ ｚ 法） 和残值试函数法（ 也称 Ｇａ ｒｉ 法） ｌ ｋｎ 导出 ， ｅ 这两种方法是有限元法的基 础。这两种 方法开 始都要假设试 函数 ， 本原理如 图 １ 基 所示 。从 图 中 可以看 出有 限元 法与微 分方程 的关系 。这两种 方法在数 学上是 等价 的 ， 以证 明 ， ａｅｋｎ 和变分法可导 出相 等的公式 。它们 之间的差 可 Ｇ ｌｒｉ法 异主要在于满 足边界条件 的要求不 同。Ｇ ｌｒｉ 法是一个 比变分法更 ａ ｋｎ ｅ 有用 的工具 ， 几乎所有 的单个 微分方程或 微分方程组 的物 理问题都可 以用此方法模 拟 ， 需要一 定的选择试 函数 的经验 。 但
matlab有限元分析实例
matlab有限元分析实例有限元是一种数值求解偏微分方程的方法。
基本过程大致是设置形函数，离散，形成求解矩阵，数值解矩阵，后处理之类的。
MATLAB要把这些过程均自己实现，不过在数值求解矩阵时可以调用已有函数。
可以理解为MATLAB是一个通用的计算器，当然它的功能远不止如此。
而ANSYS之类的叫做通用有限元软件，针对不同行业已经将上述过程封装，前后处理也比较漂亮，甚至不太了解有限元理论的人也能算些简单的东西，当然结果可靠性又另说了。
比较两者，ANSYS之类的用起来容易得多，但灵活性不如MATLAB。
MATLAB用起来很困难，也有人做了一些模块，但大多数只能解决一些相对简单的问题。
对于大多数工程问题，以及某些领域的物理问题，一般都用通用有限元软件，这些软件还能添加一些函数块，用以解决一些需要额外设置的东西。
但是对于非常特殊的问题，以及一般性方程的有限元解，那只能用MATLAB或C，Fortran之类的了。
matlab的优势是提供一个矩阵化的编程语言，matlab采用COO格式存储稀疏矩阵，在组装全局刚度阵的时候，可以由下标直接组装访问元素，处理单个单元的时候，对于二维模型，需要至少二重循环，加上对单元的遍历，至少循环层数较多。
众所周知，matlab在处理循环时速度较慢，特别是循环嵌套，速度更慢。
采用parfor，也不成熟。
优势就是在矩阵求解，雅可比矩阵与行列式求解的时候，有函数，又快又香。
对于C++，一般采用CSR格式存储稀疏阵，矩阵的行列，非零元，都要注意其存储位置。
编程求解比较费劲。
在处理单个单元的的时候行列式，小矩阵运算，都要自己编程，这个时候逻辑一定要清晰，代码相关的注释一定要写好。
否则编着编者，就把自己绕进去。
采用C++的福音是做并行时更容易控制，采用openmpi并行处理灵活。
在线性方程求解时，intel MKL是另外一个福音，intel的处理器还是intel理解，真的超级快，有机会你可以试一下，体会一下CPU 所有线程飙到100%的快感。
matlab有限元分析实例
为了使用matlab进行有限元分析，我们必须首先学习MATLAB 的基本操作以及使用MATLAB进行有限元分析的基本操作。
复习：最后一课分析弹簧系统，得出系统刚度矩阵matlab有限元分析20140226 matlab有限元分析20140226为了使用matlab进行有限元分析，我们首先必须学习MATLAB的基本操作，还要学习使用matlab进行有限元分析的基本操作。
1.回顾：最后一堂课分析了弹簧系统并推导出系统刚度矩阵。
2.为了使用matlab进行有限元分析，我们应该首先学习MATLAB的基本操作，然后再学习使用MATLAB进行有限元分析的基本操作。
Matlab有限元分析20140226为了使用Matlab进行有限元分析，首先必须学习MATLAB的基本操作以及使用MATLAB进行有限元分析的基本操作。
1.回顾：在上一课中对弹簧系统进行了分析，并得出了系统刚度矩阵。
2. MATLAB有限元分析的基本运算单位划分（选择哪个单位和划分多少个元素）分为两部分：单位选择和单位数回顾：最后一课分析了运算的基础MATLAB弹簧系统有限元分析matlab有限元分析20140226为了使用matlab进行有限元分析，我们首先应该学习MATLAB的基本操作，也要学会使用matlab进行有限元分析的基本操作。
1.回顾：最后一堂课分析了弹簧系统并推导出系统刚度矩阵。
2. Matlab导出系统刚度矩阵。
Matlab有限元分析的操作基础Matlab有限元分析20140226为了使用MATLAB进行有限元分析，首先必须学习MATLAB的基本操作，还必须学会使用Matlab 进行有限元分析的基本操作。
有限元的MATLAB解法
有限元的MATLAB解法1.打开MATLAB。
2.输入“pdetool”再回车，会跳出PDE Toolbox的窗口（PDE意为偏微分方程，是partial differential equations的缩写），需要的话可点击Options菜单下Grid命令，打开栅格。
3.完成平面几何模型：在PDE Toolbox的窗口中，点击工具栏下的矩形几何模型进行制作模型，可画矩形R，椭圆E，圆C，然后在Set formula栏进行编辑并（如双脊波导R1+R2+R3改为RI-R2-R3,设定a、b、s/a、d/b的值从而方便下步设定坐标）用算术运算符将图形对象名称连接起来，若还需要，可进行储存，形成M文件。
4.用左键双击矩形进行坐标设置：将大的矩形left和bottom都设为0，width是矩形波导的X轴的长度，height是矩形波导的y轴的长度，以大的矩形左下角点为原点坐标为参考设置其他矩形坐标。
5.进行边界设置：点击“Boundary”中的“Boundary Mode”,再点击“Boundary”中的“Specify Boundary Conditions”,选择符合的边界条件，Neumann为诺曼条件,Dirichlet为狄利克雷条件，边界颜色显示为红色。
6.进入PDE模式：点击"PDE"菜单下“PDE Mode”命令，进入PDE 模式，单击“PDE Specification”,设置方程类型，“Elliptic”为椭圆型，“Parabolic”为抛物型，“Hyperbolic”为双曲型，“Eigenmodes”为特征值问题。
7.对模型进行剖分：点击“Mesh”中“Initialize Mesh”进行初次剖分，若要剖的更细，再点击“Refine Mesh”进行网格加密。
8.进行计算：点击“Solve”中“Solve PDE”,解偏微分方程并显示图形解，u值即为Hz或者Ez。
9.单击“Plot”菜单下“Parameters”选项，打开“Plot Selection”对话框。
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弹簧元
调用 function y = SpringElementStiffness(k)函数
k1=SpringElementStiffness(100);
k1 =
100 -100 -100 100
k2=SpringElementStiffness(200)；
k2 = 200 -200 2018/10/4 -200 200
y = k * u;
2018/10/4
6
§3-1 4、实例计算分析应用
弹簧元
如图所示二弹簧元结构，假定k1=100kN/m，k2=200kN/m，P=15kN。 求：系统的整体刚度矩阵； 节点2、3的位移； 节点1的支反力； 每个弹簧的内力
解：
步骤1：离散化域
2018/10/4
7
§3-1 4、实例计算分析应用
function y = SpringElementForces(k,u)
%SpringElementForces This function returns the element nodal force % vector given the element stiffness matrix k % and the element nodal displacement vector u.
u2=U(2:3); f2=SpringElementForces(k2,u2); f2 = -15.0000 15.0000
12
§3k k];
2018/10/4
4
§3-1 3、MATLAB函数编写
3.2 整体刚度矩阵的形成
弹簧元
function y = SpringAssemble(K,k,i,j)
%SpringAssemble This function assembles the element stiffness % matrix k of the spring with nodes i and j into the % global stiffness matrix K. % This function returns the global stiffness matrix K % after the element stiffness matrix k is assembled.
K(i,i) = K(i,i) + k(1,1); K(i,j) = K(i,j) + k(1,2); K(j,i) = K(j,i) + k(2,1); K(j,j) = K(j,j) + k(2,2); y = K;
2018/10/4 5
§3-1 3、MATLAB函数编写
3.3 节点载荷计算
弹簧元
弹簧元
弹簧元是总体和局部坐标一致的一维有限单元 每个弹簧元有两个节点（node） 单刚矩阵为：
k k k
k k
2 2
总刚矩阵： 结构方程：
n n
K U F
单元节点力： f k u
2018/10/4 3
§3-1 3、MATLAB函数编写
步骤5：解方程
弹簧元
U=zeros(2,1); F=[0;15]; K = K(2:3,2:3);
K(1,:)=[]; K(:,1)=[];
300 200 U 2 0 200 200 U 15 3
U=K\F
2018/10/4
U=inv(K)*F
已知边界条件：
U1 0, F2 0, F3 15
0 0 F1 100 100 100 300 200 U 0 2 U 15 200 200 3 0
2018/10/4
10
§3-1 5、实例计算分析应用
3.1 单元刚度矩阵的形成
弹簧元
function y = SpringElementStiffness(k)
%SpringElementStiffness This function returns the element stiffness %matrix for a spring with stiffness k. %The size of the element stiffness matrix is 2 x 2.
第三章 MATLAB有限元分析与应用
§3-1
§3-2 §3-3 §3-4 §3-5 §3-6
弹簧元
线性杆元 二次杆元 平面桁架元 空间桁架元 梁元
2018/10/4
1
§3-1 1、有限元方法的步骤：
弹簧元
离散化域
形成单刚矩阵 集成整体刚度矩阵 引入边界条件
求解方程
后处理
2018/10/4 2
§3-1 2、基本方程
U= 0.1500 0.2250
11
§2-1 5、实例计算分析应用
步骤6：后处理
U=[0;U] U=
0 0.1500 0.2250 F=K*U F= -15.0000 0.0000 15.0000
2018/10/4
弹簧元
u1=U(1:2); f1=SpringElementForces(k1,u1); f1 = -15.0000 15.0000
-100 100 0
K = SpringAssemble(K,k2,2,3)
2018/10/4
-100 300 -200
0 -200 200
9
§3-1 4、实例计算分析应用
步骤4：引入边界条件
弹簧元
0 U1 F1 100 100 100 300 200 U F 2 2 U F 200 200 3 0 3
8
§3-1 4、实例计算分析应用
步骤3：集成整体刚度矩阵
弹簧元
调用 function y = SpringAssemble(K,k,i,j)函数
n=3; K = zeros(n,n);
K= 0 0 0
K= 100 -100 0 K= 100 -100 0
0 0 0
0 0 0 0 0 0
K = SpringAssemble(K,k1,1,2)