高中理科数学解题方法篇(概率与数据)
解决高中数学中的概率问题的技巧与方法
解决高中数学中的概率问题的技巧与方法概率是数学中非常重要的一个分支，它涉及到随机事件的可能性和可能的结果。
在高中数学中，概率问题是一个常见的难点，需要我们掌握一些技巧和方法来解决。
本文将介绍一些解决高中数学中概率问题的技巧与方法。
一、确定样本空间与事件在解决概率问题之前，首先需要确定样本空间和事件。
样本空间是指一个随机试验可能出现的所有结果的集合，而事件则是样本空间中的一个子集。
通过确定样本空间和事件，我们可以更好地理解问题，并为后续的计算提供便利。
二、利用基本概率公式计算概率基本概率公式是计算概率问题的基础，它是指在有限样本空间中，事件A发生的概率等于事件A中所包含的有利结果数目与样本空间中所有结果数目之比。
根据这个公式，可以更准确地计算概率。
三、利用加法法则计算复合事件概率当我们需要计算两个或多个事件同时发生的概率时，可以利用加法法则来计算。
加法法则指出，两个事件A和B同时发生的概率等于事件A发生的概率加上事件B发生的概率减去事件A和事件B同时发生的概率。
四、利用乘法法则计算独立事件概率当我们需要计算多个事件同时发生的概率时，可以利用乘法法则来计算。
乘法法则指出，两个事件A和B同时发生的概率等于事件A发生的概率乘以事件B在事件A发生的条件下发生的概率。
五、计算互斥事件概率互斥事件指的是两个事件不能同时发生的情况。
当我们需要计算互斥事件的概率时，可以利用互斥事件的性质来计算。
互斥事件的概率等于事件A发生的概率加上事件B发生的概率。
六、利用条件概率计算事件概率条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
当我们需要计算条件概率时，可以利用条件概率公式来计算。
条件概率公式是指事件A在事件B发生的条件下发生的概率等于事件A和事件B同时发生的概率除以事件B发生的概率。
七、利用贝叶斯定理计算事件概率贝叶斯定理是一种计算条件概率的方法，它可以将条件概率转化为逆条件概率。
当我们需要计算事件A在已知事件B发生的条件下发生的概率时，可以利用贝叶斯定理来计算。
高中数学中的概率与统计解题技巧
高中数学中的概率与统计解题技巧概率与统计是高中数学中的一个重要分支，涉及到对事件发生的可能性进行分析和对数据进行整理与分析的技巧。
在解题过程中，掌握一些概率与统计解题的方法和技巧能够帮助我们更加准确地解答问题。
本文将为大家介绍一些常用的高中数学概率与统计解题技巧。
一、概率解题技巧1. 根据题目中的条件确定事件的样本空间：在解概率问题时，首先要明确样本空间，即实验所有可能的结果组成的集合。
通过仔细阅读题目中所给的条件，将问题抽象成一个随机试验，确定样本空间，有助于问题的解答。
2. 利用基本概率公式求解：在许多概率问题中，我们常使用基本概率公式来求解。
基本概率公式是指 P(A) = n(A) / n(S)，其中 P(A) 表示事件 A 发生的概率，n(A) 表示事件 A 中有利的结果的个数，n(S) 表示样本空间的大小。
3. 考虑联合事件、互斥事件和补事件的概率计算：在复杂的概率问题中，我们需要考虑联合事件、互斥事件和补事件的概率计算。
联合事件是指两个或多个事件同时发生的情况，互斥事件是指两个或多个事件不可能同时发生的情况，而补事件是指某个事件不发生的情况。
通过对这些事件的概率进行计算，可以解答一些复杂的概率问题。
4. 运用条件概率与独立性概念：条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
独立事件是指两个或多个事件之间互不影响的情况。
在解答有关条件概率和独立性相关的问题时，我们需要运用条件概率和独立性概念。
二、统计解题技巧1. 数据收集与整理：在解决统计问题时，第一步要进行数据的收集与整理。
通过分析题目给出的条件，确定所需收集的数据，并将其整理成表格、图表等形式，有助于更好地理解问题。
2. 求解频率分布表与频率直方图：频率分布表和频率直方图是统计中常用的两个工具。
通过记录数据出现的频次，我们可以制作频率分布表和频率直方图，从而更直观地分析数据的分布情况。
3. 求解均值、中位数与众数：统计中常用的三个中心趋势指标是均值、中位数和众数。
如何解决高中数学中的概率与统计难题
如何解决高中数学中的概率与统计难题高中数学中的概率与统计难题是让许多学生头疼的问题之一。
概率与统计是数学的重要分支，也是日常生活中经常会遇到的概念。
解决高中数学中的概率与统计难题需要一定的策略和技巧，本文将介绍几种解决高中数学中的概率与统计难题的方法。
以下是一些建议。
1. 理解基本概念首先，要解决高中数学中的概率与统计难题，必须对基本概念有清晰的理解。
例如，了解事件、样本空间、随机变量、概率、期望值等基本概念是非常重要的。
只有掌握了这些基本概念，才能更好地理解与解决难题。
2. 掌握计算方法在解决概率与统计难题时，掌握相关的计算方法是很关键的。
例如，计算置信区间、计算概率、计算期望值等。
要做到这一点，就需要掌握一些公式和计算技巧。
此外，要熟悉使用计算器或电脑软件进行计算。
3. 勤练习概率与统计是一门需要大量练习才能掌握的学科。
通过大量的练习，可以巩固基本概念、学会灵活运用各种计算方法，提高解题能力。
可以寻找一些相关的练习题，根据难度逐渐增加，逐步提高自己的解题水平。
4. 学会归类与总结归类和总结是解决概率与统计难题的重要方法。
通过对一类题目进行归纳整理，找出问题的共性和规律，可以更好地解决类似的难题。
在解题过程中，可以总结一些常用的方法和技巧，以备将来效仿。
5. 多角度思考解决概率与统计难题时，多角度思考是非常有帮助的。
有时候，一个问题可以从多个角度进行思考和解决。
尝试从不同的角度入手，换个思路来解决问题，可能会找到一个更简单或更直接的解决办法。
6. 查找资料与请教他人当遇到较难的概率与统计难题时，可以查找相关的学习资料，寻求问题的解答和解释。
可以向老师、同学或其他专业人士请教，听取他们的经验和建议。
他们可能会提供一些有用的思路和方法，帮助解决难题。
总结起来，解决高中数学中的概率与统计难题需要掌握基本概念、计算方法，勤加练习，学会归类与总结，多角度思考，并及时查找资料与请教他人。
通过这些方法和策略，相信能够有效地解决高中数学中的概率与统计难题，提高数学学习的水平。
高考数学概率题解题技巧
高考数学概率题解题技巧高考数学中，概率题是比较常见的题目，也是相对较难的一类题目。
因为概率题通常需要考虑多种情况，计算方法也比较复杂。
所以，本文将介绍一些概率题解题技巧，帮助大家更好地解决高考数学概率题。
一、理解题意在解决概率题之前，最重要的事情是要理解题意。
很多概率题目看似简单却很容易被细节问题绊住。
因此，理解题意非常重要，可以避免做错题。
二、列出样本空间样本空间是指所有可能的结果集合。
在解决概率题时，一定要先列出样本空间。
例如，假设一只碗里有6颗红色和4颗蓝色的球，那么样本空间可以表示为{红，红，红，红，红，红，蓝，蓝，蓝，蓝}。
三、计算概率计算概率是解决概率题的重要步骤。
概率的计算方法有很多种，下面介绍几种常见的计算概率的方法。
（一）频率法频率法是指在大量实验中某一事件发生的次数除以总次数。
例如，掷骰子的概率可以用冠以想象矩形的比例计算。
（二）理论概率理论概率是指在理论上计算某一事件出现的可能性。
例如，某一事件在样本空间中所占的比例即为理论概率。
（三）条件概率条件概率是指在已知某一事件发生的情况下，另一事件发生的概率。
例如，在抽出一张红牌的前提下，抽到一张黑牌的概率。
（四）全概率公式全概率公式是指在考虑多种情况时，计算出每种情况的概率再加和。
例如，某一班级有30%的学生喜欢篮球，20%的学生喜欢足球，50%的学生不喜欢任何一项运动。
如果随机选择一位学生，则他或她喜欢篮球的概率为30%，喜欢足球的概率为20%。
四、应用概率公式在理解题意、列出样本空间、计算概率后，接下来就是应用概率公式，计算出最终答案。
在此过程中，考虑到题目的复杂性和应用理论的不同，还需要区分概率的加法原理和乘法原理的使用情况。
（一）概率的加法原理概率的加法原理指的是在互斥的事件中，多种事件的概率可以相加。
例如，较大模型或方案仅可由多个相互独立的模块或方案合并得到，而每个模块或方案的概率可相加。
（二）概率的乘法原理概率的乘法原理指的是在两个或多个独立事件中，两个或多个事件同时发生的概率可以相乘。
掌握高中数学中的概率问题的解题技巧
掌握高中数学中的概率问题的解题技巧在高中数学中，概率问题是一个常见且重要的考点。
概率问题涉及到随机事件的发生与可能性的计算，是数学中的一门重要分支。
掌握概率问题的解题技巧对于高中数学的学习至关重要。
下面将介绍一些在解决高中数学中的概率问题时可以采用的解题技巧。
一、确定概率问题的基本信息在解决概率问题之前，我们首先要明确问题中所涉及的基本信息。
一般来说，我们需要知道事件的样本空间、随机试验和随机事件等基本概念。
样本空间是指随机试验的所有可能结果的集合，而随机试验则是指在一定条件下，结果是随机的实验。
随机事件是指样本空间的一个子集，即在随机试验中某一特定事件的发生。
通过了解问题的基本信息，我们可以更好地进行概率问题的求解。
二、确定事件的概率在解答概率问题时，我们需要确定事件的概率。
概率是指某个事件在随机试验中发生的可能性。
确定概率的方法有多种，常见的有频率法、古典概型法和几何概型法等。
频率法是通过实验的统计数据来估计事件发生的概率。
在实际操作中，我们可以进行若干次试验，然后统计某一事件发生的次数，以此来估计该事件的概率。
古典概型法是指通过样本空间的基本元素计算事件发生的概率。
在使用古典概型法时，我们需要保证每一个基本元素发生的概率相等。
几何概型法是指通过几何图形的面积来计算事件的概率。
这种方法常用于涉及面积的问题，例如求解某个区域的面积占整个几何图形的比例。
三、利用概率的性质解题在解答概率问题时，我们可以利用概率的性质来简化问题，从而更好地进行计算。
常见的概率性质包括加法原理、乘法原理以及补事件的概率等。
加法原理是指若事件A、B互斥（即事件A和事件B不能同时发生），则事件A或事件B发生的概率等于事件A发生的概率加上事件B发生的概率。
乘法原理是指若事件A发生的同时，事件B也发生，则事件A和事件B同时发生的概率等于事件A发生的概率乘以事件B发生的概率。
补事件的概率是指事件A不发生的概率，它等于1减去事件A发生的概率。
高中理科数学解题方法篇(概率)
如上题的另一中解法，就利用用树状图法来解：
总共9种情况，每种情况发生的可能性相同，而两张牌的牌面数字和等于4的情况出现得最多，共3次，因此牌面数字和等于4的概率最大，概率为等于 ，即 ．
例3．求：连续掷一枚均匀的硬币，出现一正一反的概率．
解：本题采用树状图分析法：
由树状图知共有4种可能，出现“一正一反”的有两种，概率为 ，即 ．
解：一组体育彩票等分成100万份，其中特等奖1份，一等奖是10份，二等奖是10份，三等奖100份，四等奖是1000份，五等奖是10万份，因此对于小王来说，有
．
； ； ；
； ； ．
二、列表法
例2．如果每组3张牌，它们的牌面数字分别是1，2，3，那么从每组牌中各摸出一张牌，两张牌的牌面数字和为几的概率最大？两张牌的牌面数字和等于4的概率是多少？
（1）甲抽到听力题，乙抽到判断题；（2）甲乙两名学生至少有一人抽到听力题。
解析甲、乙依次抽一题的结果有 （个）
（1）甲抽到听力题、乙抽到判断结果有 （个），故所求概率为 ；
（2）（用间接法）甲、乙两名学生都抽不到听力题的结果有 ，其概率为 ，从而甲乙两名学生至少有一人抽到听力题的概率为 。
二、互斥事件概率的求解策略
注意对立事件必然互斥，但是互斥事件不一定对立.
一般地，记A的对立事件为 .由于A与 具有互补性，所以 .这是简化概率计算的基本公式.
【例4】8个篮球队中有2个强队，先任意将这8个队分成两个组(每组4个队)进行比赛，这两个强队被分在一个组内的概率是多少?
【解析】我们用a、b分别记八个队中的两个强队.
令C=“a队与b队分在同一组”，
（2）若一名飞行员击中，敌机坠毁的概率是0.2，若两名飞行员击中，敌机坠毁的概率是0.6，若三名飞行员击中，则敌机必然坠毁，求敌机坠毁的概率。
掌握概率的技巧高中数学概率问题的解题技巧
掌握概率的技巧高中数学概率问题的解题技巧掌握概率的技巧——高中数学概率问题的解题技巧概率是高中数学中的一个重要知识点，也是实际生活中常见的数学应用之一。
掌握概率的解题技巧不仅能够帮助我们更好地理解相关概念，还能提升解题效率。
本文将介绍几种常见的高中数学概率问题解题技巧。
第一、理解基本概念在解题前，首先要理解基本概念。
概率是指某一事件在试验中发生的可能性大小，通常用一个介于0和1之间的数表示。
事件的概率越接近1，说明事件发生的可能性越大；概率越接近0，说明事件发生的可能性越小。
第二、计算概率的方法1. 等可能概型等可能概型是指试验中每个可能结果发生的概率相等。
在等可能概型中，计算某事件发生的概率只需将该事件包含的有利结果数量除以总的可能结果的数量。
举个例子，假设有一枚均匀的硬币，抛掷一次，求出现正面的概率。
这是一个等可能概型，因为硬币的两个面（正面和反面）出现的概率相等，都是0.5。
所以，出现正面的概率为1/2。
2. 排列组合排列组合是概率计算中常用的技巧之一。
在解决有关排列组合的概率问题时，首先需要确定有多少种可能的结果，然后计算所关心事件的可能结果数量。
举个例子，假设有六个不同的球，其中两个红球，两个蓝球和两个绿球。
从中随机取出四个球，求恰好有两个红球的概率。
首先确定总的可能结果数量，即从六个球中选取四个球的方案数，可以用组合数公式C(6,4) = 15表示。
然后确定有利结果的数量，即从两个红球中选择两个球的方案数，可以用组合数公式C(2,2) = 1表示。
所以，概率为1/15。
第三、事件的互斥与独立互斥事件是指两个事件不能同时发生；独立事件是指两个事件的发生与否彼此不相关。
在解决概率问题时，需要注意事件之间的互斥与独立性。
对于互斥事件，其概率相加等于各个事件概率的和。
对于独立事件，其概率相乘等于各个事件概率的乘积。
举个例子，假设有一副扑克牌，从中任取一张牌，求取到黑桃和取到红色牌的概率。
黑桃和红色牌是互斥事件，因为一张牌不能同时是黑桃和红色。
高中数学学习中的概率与统计解题技巧
高中数学学习中的概率与统计解题技巧在高中数学学习中，概率与统计是一个重要的知识点，也是一门非常实用的数学学科。
掌握概率与统计的解题技巧对于高中学生来说至关重要。
本文将介绍一些在概率与统计解题过程中常用的技巧和方法。
一、概率解题技巧概率是研究随机事件发生可能性的数学方法。
在解决概率问题时，我们可以采用以下技巧：1. 熟悉概率基本术语：在解题之前，我们需要先熟悉一些概率的基本术语，例如事件、样本空间、样本点、试验等。
只有对这些基本概念有清晰的认识，我们才能更好地理解问题，并进行正确的计算。
2. 利用树状图或表格列出所有可能性：当问题中涉及多个事件时，使用树状图或表格可以帮助我们更清晰地列出所有可能的情况。
这样有助于我们确定事件发生的概率，并找到解题的路径。
3. 了解常用的概率模型和公式：在解决概率问题时，有一些常用的概率模型和公式可以帮助我们快速计算。
例如，乘法原理、加法原理和条件概率公式等，都是解决概率问题时常用的工具。
4. 理性判断和合理估计：在某些情况下，我们可能无法得到准确的数据。
这时，我们需要根据已有的信息和经验合理估计，并做出理性判断。
二、统计解题技巧统计是指收集、整理、分析和解释数据的过程。
在解决统计问题时，可以采用以下技巧：1. 认识统计数据的特征：在处理统计问题之前，我们需要了解统计数据的特点，例如，平均数、中位数、众数和标准差等。
只有对统计数据的特征有清晰的认识，我们才能更好地分析问题，并得出准确的结论。
2. 图表分析和解读：图表是展示数据的直观工具，我们需要学会阅读和解读各种图表，例如条形图、折线图、饼图和散点图等。
通过图表的分析，我们可以更清楚地看到数据的趋势和分布规律，从而得出结论。
3. 利用统计方法进行推断：在某些情况下，我们无法获得完整的数据，但是可以通过采样等方法获得部分数据。
这时，我们可以利用统计方法进行推断，并推广到整个群体，得出相应的结论。
4. 理性思考和判断：在解决统计问题时，我们需要理性思考，不要被数据表面的关联性所迷惑。
高中数学概率与统计的解题技巧
高中数学概率与统计的解题技巧概率与统计是高中数学中的一门重要的内容，它涉及到我们日常生活中的各种概率事件以及对数据的处理和分析。
在考试中，概率与统计题型常常出现，因此我们有必要掌握一些解题技巧，以提高我们的解题效率和准确性。
一、概率题型1. 确定概率事件的样本空间和事件集合在解概率题时，首先要明确概率事件的样本空间和事件集合。
样本空间是指所有可能结果的集合，事件集合则是样本空间中我们感兴趣的一部分。
例如，某次抛掷一枚骰子，样本空间为{1, 2, 3, 4, 5, 6}，事件集合可以是“出现奇数点数的情况”。
2. 利用排列组合计算概率在一些概率题中，需要计算某个事件发生的概率。
这时，我们可以利用排列组合的知识来计算。
例如，从一副扑克牌中随机抽取5张，求其中有2张红心的概率。
我们可以先计算红心牌的组合数，再计算剩下的两张牌的组合数，最后将两者相除即可得到概率。
3. 利用条件概率解题条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
在解题时，我们可以利用条件概率来计算某个事件的概率。
例如，某班有40名男生和60名女生，从中随机抽取一人，已知被抽到的是男生，求被抽到的是女生的概率。
我们可以利用条件概率公式P(B|A) = P(A∩B) / P(A) 来计算。
二、统计题型1. 数据的收集与整理在统计题中，首先要进行数据的收集与整理。
收集数据时要注意数据的来源和真实性，整理数据时要将其按照一定的规则进行分类和排序，以便后续的分析和计算。
2. 利用频率表解题频率表是指将数据按照一定的规则进行分类，并统计每个类别的频数。
在解题时，我们可以利用频率表来计算频率、相对频率、累积频率等。
例如，某班级的学生身高数据如下：150-160cm：5人160-170cm：12人170-180cm：8人我们可以根据频率表计算出每个身高区间的频率，以及累积频率。
3. 利用直方图解题直方图是一种用矩形表示数据频数的图形。
在解题时，我们可以利用直方图来分析数据的分布情况、比较不同类别的频数、判断数据的集中趋势等。
高中数学概率与统计题型解答方法
高中数学概率与统计题型解答方法概率与统计是高中数学中的一门重要课程，它涵盖了许多与概率、统计相关的数学题型。
在掌握基础知识的基础上，采用正确的解答方法，可以更好地应对这些题型。
本文将介绍几种常见的概率与统计题型，以及相应的解答方法。
一、事件概率1.求事件的概率求事件的概率是概率与统计中最基础的题型。
对于一个随机试验，事件A发生的概率可以用下列公式表示：P(A) = 事件A的可能性数 / 总的可能性数2.互斥事件的概率互斥事件是指两个事件不可能同时发生的情况。
假设A和B是两个互斥事件，则它们的概率可以用下列公式表示：P(A∪B) = P(A) + P(B)3.独立事件的概率独立事件是指两个事件的发生与否互不影响的情况。
如果A和B是两个独立事件，则它们的概率可以用下列公式表示：P(A∩B) = P(A) × P(B)二、排列与组合1.排列问题排列是指从若干个不同元素中选取若干个元素按照一定的顺序进行排列。
对于从n个元素中选取k个元素进行排列的问题，可以使用下列公式进行计算：A(n,k) = n! / (n-k)!2.组合问题组合是指从若干个不同元素中选取若干个元素进行组合，不考虑其顺序。
对于从n个元素中选取k个元素进行组合的问题，可以使用下列公式进行计算：C(n,k) = n! / (k! × (n-k)!)三、概率分布1.离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布可以通过列出其取值以及相应的概率来表示。
当给定每个取值对应的概率后，可以计算出该随机变量的期望值、方差等。
2.连续型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率分布可以通过概率密度函数来表示。
在解答问题时，常常需要计算某个取值范围内的概率，可以通过计算概率密度函数下的面积来实现。
四、抽样与推断1.简单随机抽样简单随机抽样是指从总体中随机地选取n个样本进行调查或实验。
在进行统计推断时，可以根据样本数据来估计总体参数。
2.抽样分布抽样分布是指统计量的分布。
高中数学概率问题解决技巧与方法详细说明
高中数学概率问题解决技巧与方法详细说明概率是高中数学中的一个重要概念，也是考试中常见的题型。
掌握解决概率问题的技巧和方法，对于高中学生来说至关重要。
本文将详细说明高中数学概率问题的解决技巧和方法，帮助读者更好地应对这类题目。
一、基本概念与公式在解决概率问题之前，我们首先需要了解一些基本概念和公式。
概率是指某一事件发生的可能性，通常用一个介于0和1之间的数表示。
事件的概率可以通过以下公式计算：P(A) = n(A) / n(S)其中，P(A)表示事件A的概率，n(A)表示事件A包含的样本点个数，n(S)表示样本空间中的样本点个数。
二、排列与组合在概率问题中，排列和组合是常见的考点。
排列是指从n个不同元素中取出m 个元素进行排列，计算排列数可以使用以下公式：A(n, m) = n! / (n - m)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 2 * 1。
组合是指从n个不同元素中取出m个元素进行组合，计算组合数可以使用以下公式：C(n, m) = n! / (m! * (n - m)!)三、互斥事件与独立事件在概率问题中，互斥事件和独立事件是另一个重要的概念。
互斥事件指的是两个事件不能同时发生，例如掷骰子出现1和出现6是互斥事件。
计算互斥事件的概率可以使用以下公式：P(A or B) = P(A) + P(B)其中，P(A or B)表示事件A或事件B发生的概率，P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B的概率。
独立事件指的是两个事件的发生不会相互影响，例如连续两次抛硬币出现正面是独立事件。
计算独立事件的概率可以使用以下公式：P(A and B) = P(A) * P(B)其中，P(A and B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B的概率。
四、应用实例下面通过一些具体的题目来说明概率问题的解决技巧和方法。
1. 从一副扑克牌中随机抽取一张牌，求抽到红心的概率。
高考数学中的概率与统计问题解析技巧分享
高考数学中的概率与统计问题解析技巧分享概率与统计作为高考数学的一部分，是考生们备战高考必须掌握的重要知识点之一。
正确理解和掌握概率与统计问题解析技巧，将有助于我们在高考考场上发挥出更好的水平。
本文将分享一些在解析概率与统计问题时常用的技巧和方法。
一、概率问题解析技巧在概率问题中，我们需要计算某个事件发生的可能性。
下面是几个常用的概率问题解析技巧：1. 确定样本空间：在开始解析概率问题时，首先要明确样本空间中的元素是什么。
样本空间是指所有可能结果组成的集合，通过明确样本空间，有助于我们清晰地分析问题。
2. 使用频率公式：当样本空间中的元素概率相等时，我们可以使用频率公式来计算概率。
频率公式是指事件发生的次数除以总次数，即P(A) = n(A) / n(S)，其中 P(A) 表示事件 A 发生的概率，n(A) 表示事件A 发生的次数，n(S) 表示样本空间中元素的总次数。
3. 使用排列组合：在一些复杂的概率问题中，我们可以使用排列组合的知识来解析。
排列组合可以帮助我们计算样本空间的大小，从而计算概率。
比如，在有限个元素中选择若干个元素，可以使用排列或组合的方法来计算概率。
二、统计问题解析技巧统计问题是指通过一定的数据来推断总体的一些特征。
以下是几个常用的统计问题解析技巧：1. 分析数据：在解析统计问题时，首先要分析所给的数据。
通过观察数据的分布、趋势和规律，我们可以得到对总体的一些认识。
2. 计算统计量：统计问题中，我们常常需要计算一些统计量来描述数据的特征。
比如平均数、中位数、众数、方差等。
计算这些统计量有助于我们对数据进行详细分析，并推断总体的特性。
3. 使用统计方法：在一些复杂的统计问题中，我们可以使用统计方法来解析。
比如假设检验、回归分析、方差分析等。
这些统计方法可以帮助我们更准确地进行总体描述和推断。
三、典型问题示例以下是几个典型的概率与统计问题，我们将运用上述解析技巧来解答：1. 问题一：有一袋中有 4 个黑球和 6 个白球，从中无放回地取出 2 个球，求两个球颜色相同的概率。
高中数学概率问题解决技巧与方法详细说明
高中数学概率问题解决技巧与方法详细说明数学概率是高中数学中的一个重要内容，也是学生们经常会遇到的问题。
在处理概率问题时，我们需要运用一些技巧和方法来解决，以确保能够正确地分析和计算概率。
本文将详细介绍一些高中数学概率问题解决的技巧和方法，帮助读者更好地理解和应用概率概念。
一、概率问题的基本概念回顾在解决概率问题之前，我们首先需要回顾一些基本概念。
概率是指某个事件发生的可能性，通常用一个介于0到1之间的数值来表示。
事件的概率可以通过分为有限样本空间的情况下，事件发生的次数与样本空间中的总次数之比来计算。
二、计算概率的常用方法在解决概率问题时，我们可以运用以下几种常见的计算方法：1. 等可能性原则：当事件的样本空间中的每个样本发生的可能性相等时，我们可以采用等可能性原则。
例如，投掷一个均匀的骰子，每个点数（1-6）出现的可能性相等。
2. 频率法：在实际的观察或实验中，通过统计事件发生的频次来估计事件的概率。
这种方法在大量实验中往往更加准确。
3. 几何法：对于几何问题，我们可以通过计算区域面积或长度比来计算概率。
例如，计算一个点落在某个区域内的概率，可以通过计算该区域的面积与总体面积的比值。
4. 利用条件概率：有时，我们需要计算事件在给定其他条件下发生的概率。
这时可以使用条件概率公式：P(A|B) = P(A∩B)/P(B)，其中P(A∩B) 表示事件 A 和 B 同时发生的概率，P(B) 表示事件 B 发生的概率。
5. 利用排列与组合：排列与组合是解决概率问题时常用的技巧。
当事件所涉及的样本空间较大时，我们可以利用排列与组合的原理来简化计算。
例如，在从一副52张的扑克牌中抽取5张牌，我们可以利用组合数来计算不同组合的出现概率。
三、应用概率解决实际问题除了计算概率，概率概念还可以应用于解决一些实际问题，例如：1. 投资理财：概率可以用来估计投资风险和预测投资收益。
投资者可以根据不同资产类别的历史数据和市场趋势，计算出不同事件的概率，并做出相应的投资决策。
高中数学概率问题解决技巧与方法详细解读与举例
高中数学概率问题解决技巧与方法详细解读与举例概率问题在高中数学中占有重要地位，它既是数学的一门重要分支，也是现实生活中常见的实际问题。
掌握概率问题的解决技巧和方法，对于学生来说是非常重要的。
本文将详细解读概率问题的解决技巧，并通过具体的题目举例，说明其考点和应用。
一、概率的基本概念概率是指某个事件发生的可能性大小。
在概率问题中，我们常用“P(A)”表示事件A发生的概率，其取值范围为0到1之间。
当P(A)=0时，表示事件A不可能发生；当P(A)=1时，表示事件A一定会发生。
例如，某班级有30名学生，其中10名男生和20名女生。
现从班级中随机抽取一名学生，求抽到男生的概率。
解析：设事件A为抽到男生，事件B为抽到女生。
由于班级中共有10名男生和20名女生，所以事件A的样本空间为男生的集合，共有10个元素；事件B的样本空间为女生的集合，共有20个元素。
因此，事件A的概率为P(A)=10/30=1/3。
二、概率的加法法则概率的加法法则是指当两个事件A和B互斥（即事件A和事件B不可能同时发生）时，它们的概率之和等于它们的和事件的概率。
例如，某班级有30名学生，其中10名男生和20名女生。
现从班级中随机抽取一名学生，求抽到男生或女生的概率。
解析：设事件A为抽到男生，事件B为抽到女生。
由于男生和女生是互斥的，即事件A和事件B不可能同时发生，所以事件A和事件B的和事件为全体学生，样本空间为班级中所有学生的集合，共有30个元素。
因此，事件A或事件B的概率为P(A∪B)=1。
三、概率的乘法法则概率的乘法法则是指当两个事件A和B独立（即事件A的发生与事件B的发生无关）时，它们的概率之积等于它们的交事件的概率。
例如，某班级有30名学生，其中10名男生和20名女生。
现从班级中随机抽取两名学生，求两名学生都是男生的概率。
解析：设事件A为第一名学生是男生，事件B为第二名学生是男生。
由于两名学生的性别是独立的，即第一名学生是男生与第二名学生是男生的发生无关，所以事件A和事件B的交事件为两名学生都是男生的情况。
高中数学概率问题解决技巧与方法详细解读与实例分析与相关讲解
高中数学概率问题解决技巧与方法详细解读与实例分析与相关讲解概率问题在高中数学中占据着重要的位置，是数学中的一大难点。
为了帮助广大高中学生和家长更好地理解和解决概率问题，本文将详细解读概率问题的解题技巧与方法，并通过具体的题目实例进行分析与讲解。
一、概率问题的基本概念和计算方法概率是研究随机事件发生可能性的数学工具。
在解决概率问题时，我们需要了解一些基本概念和计算方法。
首先，我们要明确事件和样本空间的概念。
事件是指我们感兴趣的事情，而样本空间是指所有可能发生的结果的集合。
例如，掷一枚骰子，事件可以是“出现的点数为3”，样本空间可以是{1, 2, 3, 4, 5, 6}。
其次，我们需要计算事件发生的可能性，即概率。
概率的计算公式为：P(A) =n(A) / n(S)，其中P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A发生的可能结果数，n(S)表示样本空间中所有可能结果的数目。
例如，假设有一副扑克牌，从中随机抽取一张牌，求抽到红心的概率。
红心有13张牌，总共有52张牌，因此概率为P(红心) = 13 / 52 = 1 / 4。
二、概率问题的解题技巧与方法1. 利用排列组合计算概率有些概率问题可以通过排列组合的方法来解决。
例如，从10个人中选取3个人，问其中至少有一个男生的概率是多少？首先，我们计算不选男生的情况，即选取3个女生的概率。
根据排列组合的公式，我们有C(7, 3)种选取3个女生的方法。
然后，我们计算总的选取方法，即C(10, 3)。
因此，概率为P(至少有一个男生) = 1 - C(7, 3) / C(10, 3)。
2. 利用条件概率计算概率有些概率问题需要考虑条件概率来解决。
例如，某班级有30个学生，其中20个人会打篮球，15个人会踢足球，10个人既会打篮球又会踢足球。
现在从班级中随机选取一个学生，问这个学生会打篮球的概率是多少？根据条件概率的定义，我们有P(打篮球|选中的学生) = P(打篮球且选中的学生) / P(选中的学生)。
如何解决高考数学中的概率问题
如何解决高考数学中的概率问题概率问题在高考数学中占据着重要的地位，解决这类问题需要一定的方法和技巧。
本文将介绍一些常见的解题思路和策略，帮助考生在高考中顺利应对概率问题。
一、了解基本概率理论在解决高考数学中的概率问题之前，我们首先需要了解一些基本的概率理论。
概率是描述事件发生可能性的数值，常用的计算方法有排列组合、相加法和相乘法等。
熟悉这些基本的概率原理对于解决概率问题至关重要。
二、分析问题并建立数学模型解决概率问题需要准确地理解问题，并能够将其转化为数学模型。
在解决问题时，我们需要确定所求事件、已知条件以及所涉及的概率关系，并建立相应的数学模型。
清晰地分析问题，合理地选择模型，对于解决概率问题至关重要。
三、使用树状图和表格对于复杂的概率问题，我们可以使用树状图和表格的方法来辅助计算。
树状图可以将事件和条件图形化表示，帮助我们更清晰地理解问题，并找到解决问题的路径。
表格可以将相关的概率信息整理出来，并进行归纳总结，使计算更加简便和系统化。
四、注意条件概率和独立事件的区别在解决概率问题时，我们需要注意条件概率和独立事件的区别。
条件概率指的是在已知某一条件下发生某一事件的概率，而独立事件指的是两个事件之间互不影响。
对于条件概率问题，我们可以使用贝叶斯定理等方法进行计算；对于独立事件问题，我们可以使用相乘法计算。
五、灵活运用实际问题高考数学中的概率问题通常涉及到实际生活中的情境，我们可以灵活运用实际问题来解决概率问题。
将抽象的概率问题转化为具体的实际问题，有助于我们更好地理解问题，并能够更准确地应用概率理论进行计算。
六、刻意练习和归纳总结解决概率问题需要一定的经验和技巧，只有通过刻意的练习才能提高解题的能力。
在练习中，我们应该注重归纳总结，总结解题思路、方法和经验，帮助我们更好地掌握解决概率问题的技巧。
总结：解决高考数学中的概率问题需要掌握基本概率理论，合理分析问题并建立数学模型。
我们可以使用树状图和表格的方法辅助计算，注意条件概率和独立事件的区别，并灵活运用实际问题进行解题。
高中数学解概率问题的技巧
高中数学解概率问题的技巧概率问题在高中数学中占据了重要的位置，它不仅是高考数学的必考内容，也是数学思维能力的重要体现。
本文将介绍一些解概率问题的技巧，帮助高中学生更好地应对这类题目。
一、概率基础知识回顾在解概率问题之前，我们需要回顾一些概率的基础知识。
概率是描述随机事件发生可能性的一种数值，通常用一个介于0和1之间的实数表示。
对于一个随机事件A，其概率记作P(A)，满足0 ≤ P(A) ≤ 1。
当P(A) = 0时，表示事件A不可能发生；当P(A) = 1时，表示事件A一定会发生。
二、计算概率的方法1. 等可能性原则当一个随机试验的所有结果是等可能发生时，可以通过计算事件A的有利结果个数与总结果个数之比来求解概率。
例如，掷一枚均匀的骰子，求得点数为3的概率。
由于骰子的六个面都是等可能的，点数为3的有利结果只有一个，总结果个数为6，因此P(点数为3) = 1/6。
2. 排列组合当随机试验的结果不是等可能发生时，可以通过排列组合的方法来计算概率。
例如，从1至10中随机选择一个数，求得选出的数是偶数的概率。
由于1至10中共有5个偶数，总数为10，因此P(选出的数是偶数) = 5/10 = 1/2。
三、概率问题的常见考点1. 条件概率条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
计算条件概率时，可以利用条件概率的定义公式P(A|B) = P(A∩B)/P(B)。
例如，某班级有30名男生和20名女生，从中随机选取一名学生，求得选中的学生是男生的概率。
由于男生和女生的人数不同，所以选中男生和选中女生的概率不同。
设事件A为选中男生，事件B为选中女生，则P(A) = 30/50，P(B) = 20/50，P(A∩B) = 0，因此P(A|B) = 0。
2. 互斥事件互斥事件是指两个事件不能同时发生的情况。
计算互斥事件的概率时，可以利用互斥事件的概率公式P(A∪B) = P(A) + P(B)。
例如，某班级有30名男生和20名女生，从中随机选取一名学生，求得选中的学生是男生或者女生的概率。
高考数学技巧如何有效地解决概率题
高考数学技巧如何有效地解决概率题在高考数学考试中，概率题是一道难点，也是许多考生头疼的问题。
有效地解决概率题需要一些技巧和方法。
本文将介绍一些高考数学概率题的解决技巧，帮助考生更加高效地完成题目。
1. 熟悉概率的基本概念在解决概率题之前，首先要对概率的基本概念有所了解和掌握。
概率是指某个事件发生的可能性的大小。
掌握基本概念可以帮助我们更好地理解和解决概率题。
2. 分清条件概率和乘法原理条件概率和乘法原理是概率题中常用到的两个重要概念。
条件概率指在已知一些条件的前提下，某一事件发生的概率。
乘法原理指两个或多个事件同时发生的概率等于各个事件发生的概率的乘积。
分清这两个概念可以帮助我们正确地理解问题和运用相应的公式。
3. 利用树形图解题树形图是解决概率问题常用的图解方法。
通过树形图可以清晰地展示事件发生的不同情况和各个事件之间的关系。
将问题转化为树形图可以帮助我们更好地理解和解决概率题。
4. 运用排列组合的知识排列组合是解决概率问题的重要工具。
在某些题目中，我们需要计算某几个事件同时发生的概率，这时可以运用排列组合的知识，求出符合条件的排列或组合的数量，并将其与总的可能性进行比较，从而得出概率的解答。
5. 注意计算器使用的准确性在解决概率题时，我们常常需要进行一些复杂的计算，这时使用计算器可以提高计算的准确性和效率。
然而，在使用计算器计算的过程中，我们应该保证输入的数据准确，并检查计算结果是否符合常识和题意，避免因为计算器使用不当而影响解题结果。
6. 多做概率题，总结归纳概率题是需要多做才能掌握的，通过多做概率题可以熟悉题目的解题思路和方法。
对于做过的概率题，我们可以总结归纳其中的解题技巧和思路，构建起自己的解题思维模式，从而更加有针对性地解决概率题。
以上是解决高考数学概率题的一些有效技巧和方法。
希望考生们能够认真学习和掌握这些技巧，在考试中能够圆满解答概率题目，取得理想的成绩。
祝愿所有参加高考的考生都能取得优异的成绩！。
高考数学 解题方法攻略 概率与数据 理
概率与数据概率湖南省常德市安乡县第五中学龚光勇收集整理１．随机事件的概率，其中当时称为必然事件；当时称为不可能事件P(A)=0；2.等可能事件的概率（古典概率）： P(A)=。
理解这里m、ｎ的意义。
比如：（1）将数字1、2、3、4填入编号为1、2、3、4的四个方格中，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填数字均不相同的概率是______（答：）；（2）设10件产品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率：①从中任取2件都是次品；②从中任取5件恰有2件次品；③从中有放回地任取3件至少有2件次品；④从中依次取5件恰有2件次品。
（答：①；②；③；④）3、互斥事件：（A、B互斥，即事件A、B不可能同时发生）。
计算公式：P(A+B)＝P(A)+P(B)。
比如：（1）有A、B两个口袋，A袋中有4个白球和2个黑球，B袋中有3个白球和4个黑球，从A、B袋中各取两个球交换后，求A袋中仍装有4个白球的概率。
（答：）；（2）甲、乙两个人轮流射击，先命中者为胜，最多各打5发，已知他们的命中率分别为0.3和0.4，甲先射，则甲获胜的概率是（0.425=0.013，结果保留两位小数）______（答：0.51）；（3）有一个公用电话亭，在观察使用这个电话的人的流量时，设在某一时刻，有n个人正在使用电话或等待使用的概率为P（n），且P（n）与时刻t无关，统计得到，那么在某一时刻，这个公用电话亭里一个人也没有的概率P（0）的值是（答：）4、对立事件：（A、B对立，即事件A、B不可能同时发生，但A、B中必然有一个发生）。
计算公式是：P（A）+ P(B)＝１；P()=1－P(A)；5、独立事件：（事件A、B的发生相互独立，互不影响）P(A?B)＝P(A) ? P(B) 。
提醒：（1）如果事件A、B独立，那么事件A与、与及事件与也都是独立事件；（2）如果事件A、B相互独立，那么事件A、B至少有一个不发生的概率是1－P（A B）＝1－P(A)P(B)；（3）如果事件A、B相互独立，那么事件A、B至少有一个发生的概率是1－P（）＝1－P()P()。
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概率与数据概率１．随机事件的概率，其中当时称为必然事件；当时称为不可能事件P(A)=0；2.等可能事件的概率（古典概率）： P(A)=。
理解这里m、ｎ的意义。
比如：（1）将数字1、2、3、4填入编号为1、2、3、4的四个方格中，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填数字均不相同的概率是______（答：）；（2）设10件产品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率：①从中任取2件都是次品；②从中任取5件恰有2件次品；③从中有放回地任取3件至少有2件次品；④从中依次取5件恰有2件次品。
（答：①；②；③；④）3、互斥事件：（A、B互斥，即事件A、B不可能同时发生）。
计算公式：P(A+B)＝P(A)+P(B)。
比如：（1）有A、B两个口袋，A袋中有4个白球和2个黑球，B袋中有3个白球和4个黑球，从A、B袋中各取两个球交换后，求A袋中仍装有4个白球的概率。
（答：）；（2）甲、乙两个人轮流射击，先命中者为胜，最多各打5发，已知他们的命中率分别为0.3和0.4，甲先射，则甲获胜的概率是（0.425=0.013，结果保留两位小数）______（答：0.51）；（3）有一个公用电话亭，在观察使用这个电话的人的流量时，设在某一时刻，有n个人正在使用电话或等待使用的概率为P（n），且P（n）与时刻t无关，统计得到，那么在某一时刻，这个公用电话亭里一个人也没有的概率P（0）的值是（答：）4、对立事件：（A、B对立，即事件A、B不可能同时发生，但A、B中必然有一个发生）。
计算公式是：P（A）+ P(B)＝１；P()=1－P(A)；5、独立事件：（事件A、B的发生相互独立，互不影响）P(A?B)＝P(A) ? P(B) 。
提醒：（1）如果事件A、B独立，那么事件A与、与及事件与也都是独立事件；（2）如果事件A、B相互独立，那么事件A、B至少有一个不发生的概率是1－P（A B）＝1－P(A)P(B)；（3）如果事件A、B相互独立，那么事件A、B至少有一个发生的概率是1－P（）＝1－P()P()。
比如：①设两个独立事件A和B都不发生的概率为,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同,则事件A发生的概率P(A)是______（答：）；②某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错得0分，假设这位同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8、0.7、0.6，且各题答对与否相互之间没有影响，则这名同学得300分的概率为_____________;这名同学至少得300分的概率为_____________（答：0.228；0.564）；③袋中有红、黄、绿色球各一个，每次任取一个，有放回地抽取三次，球的颜色全相同的概率是________（答：）；④一项“过关游戏”规则规定：在第关要抛掷一颗骰子次，如果这次抛掷所出现的点数之和大于，则算过关，那么，连过前二关的概率是________（答：）；⑤有甲、乙两口袋，甲袋中有六张卡片，其中一张写有0，两张写有1，三张写有2；乙袋中有七张卡片，四张写有0，一张写有1，两张写有2，从甲袋中取一张卡片，乙袋中取两张卡片。
设取出的三张卡片的数字乘积的可能值为且，其相应的概率记为，则的值为_____________（答：）；⑥平面上有两个质点A、B分别位于（0，0）、（2，2）点，在某一时刻同时开始每隔1秒钟向上下左右四个方向中的任何一个方向移动1个单位，已知质点A向左、右移动的概率都是，向上、下移动的概率分别是和p，质点B向四个方向中的任何一个方向移动的概率都是q。
①求p和q的值；②试判断最少需要几秒钟，A、B能同时到达D（1，2）点？并求出在最短时间内同时到达的概率. （答：①；②3秒；）6、独立事件重复试验：事件A在n次独立重复试验中恰好发生了次的概率(是二项展开式的第k+1项)，其中为在一次独立重复试验中事件A发生的概率。
比如：（1）小王通过英语听力测试的概率是，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是_______（答：）；（2）冰箱中放有甲、乙两种饮料各5瓶，每次饮用时从中任意取1瓶甲种或乙种饮料，取用甲种或乙种饮料的概率相等，则甲种饮料饮用完毕时乙种饮料还剩下3瓶的概率为__________（答：）提醒：（1）探求一个事件发生的概率，关键是分清事件的性质。
在求解过程中常应用等价转化思想和分解(分类或分步)转化思想处理，把所求的事件：转化为等可能事件的概率(常常采用排列组合的知识)；转化为若干个互斥事件中有一个发生的概率；利用对立事件的概率，转化为相互独立事件同时发生的概率；看作某一事件在n次实验中恰有k次发生的概率，但要注意公式的使用条件。
（2）事件互斥是事件独立的必要非充分条件，反之，事件对立是事件互斥的充分非必要条件；（3）概率问题的解题规范：①先设事件A=“…”， B=“…”；②列式计算；③作答。
解决几何概型疑难杂症的四步曲如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型（geometric models of probability），简称为几何概型.在几何概型中，事件A的概率计算公式为：.用几何概率公式计算概率时，关键是构造出随机事件所对应的几何图形，并对几何图形进行相应的几何度量. 对于一些简单的几何概型问题，可以快捷的找到解决办法.例1 如图，以正方形ABCD的边长为直径作半圆，重叠部分为花瓣. 现在向该矩形区域内随机地投掷一飞镖，求飞镖落在花瓣内的概率.解：飞镖落在正方形区域内的机会是均等的，符合几何概型条件. 记飞镖落在花瓣内为事件A，设正方形边长为2r，则.所以，飞镖落在花瓣内的概率为.点评：此题的关键是正确计算花瓣的面积. 这类题型中，试验全部结果的区域与构成事件A的区域，都直接由题中条件给出，从而易解.然而，有些几何概型的问题，既不容易分辩出属于几何概率模型，也难发现随机事件的构成区域，但仔细研究此类问题后，我们可以发现一些解题的规律.例2 两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时离去. 求两人能够会面的概率.解：设两人到达的时间分别为7点到8点之间的x分钟、y分钟.用表示每次试验的结果，则所有可能结果为：；记两人能够会面为事件A，则事件A的可能结果为：.如图所示，试验全部结果构成区域Ω为正方形ABCD. 而事件A所构成区域是正方形内两条直线，所夹中间的阴影部分. 根据几何概型公式，得到：.所以，两人能够会面的概率为.点评：题目的意思简单明了，但如何转化为数学模型来求解却比较困难. 需要我们先从实际问题中分析得到存在的两个变量，如此题中两人到达的时间都是随机的，设为两个变量. 然后把这两个变量所满足的条件写成集合形式，并把所研究事件A的集合也分析得出. 把两个集合用平面区域表示，特别注意不等式所表示区域. 我们可以发现，要表示二元一次不等式的平面区域，按两步解决：（1）作出直线；（2）取一特殊点验证，直线的哪侧符合不等式，则哪侧就是所表示区域. 准确得到随机事件的构成区域后，根据几何概型的概率公式，易求得概率.根据以上的解法和分析，我们把此类疑难问题的解决总结为以下四步：（1）构设变量. 从问题情景中，发现哪两个量是随机的，从而构设为变量x、y.（2）集合表示. 用表示每次试验结果，则可用相应的集合分别表示出试验全部结果Ω和事件A所包含试验结果. 一般来说，两个集合都是几个二元一次不等式的交集.（3）作出区域. 把以上集合所表示的平面区域作出，先作不等式对应的直线，然后取一特殊点验证哪侧是符合条件的区域.（4）计算求解. 根据几何概型的公式，易从平面图形中两个面积的比求得.在以上四步曲中，第二步和第三步是解答的关键，通过这两步，可以发现随机事件所对应的几何图形. 第三步的作图需理解其原理. 下面依据这四步曲再解一题.例3 一条直线型街道的A、B两盏路灯之间的距离为120米，由于光线较暗，想在中间再随意安装两盏路灯C、D，顺序为A、C、D、B. 问A与C、B与D之间的距离都不小于40米的概率是多少？解：（1）构设变量. 设A与C、B与D之间的距离分别为x米、y米.（2）集合表示. 用表示每次试验的结果，则所有可能结果为：；记A与C、B与D之间的距离都不小于40米为事件A，则事件A的可能结果为.（3）作出区域. 如图所示，试验全部结果构成区域Ω为直线与两坐标轴所围成的△ABC. 而事件A 所构成区域是三条直线，，所夹中间的阴影部分.（4）计算求解. 根据几何概型公式，得到：.所以，A与C、B与D之间的距离都不小于40米的概率为.点评：此题易错误的认为，把AB三等分，由于中间长度为40米，所以路灯C与D需安装在中间一段，从而CD安装在中间的概率为. 错误的原因是试验的结果不可能独立地安装在这三段，有可能跨这三段中的两段安装. 用以上四步曲求解，我们可以得到清晰的解题思路.随机事件的概率及古典概型一、知识导学1.必然事件：在一定的条件下必然要发生的事件.不可能事件：在一定的条件下不可能发生的事件.随机事件：在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件.2. 概率：实际生活中所遇到的事件包括必然事件、不可能事件和随机事件.随机事件在现实世界中是广泛存在的.在一次试验中，事件A是否发生虽然带有偶然性，但在大量重复试验下，它的发生呈现出一定的规律性，即事件A发生的频率总是接近于某个常数，在它附近摆动，这个常数就叫做事件A的概率.记着P（A）.0≤P（A）≤13．若在一次试验中，每个基本事件发生的可能性都相同，则称这些基本事件为等可能基本事件．4．具有以下两个特点：（１）所有的基本事件只有有限个；（２）每个基本事件的发生都是等可能的．我们将满足上述条件的随机试验的概率模型称为古典概型5．等可能事件的概率：如果一次试验中共有ｎ种等可能出现的结果，其中事件A包含的结果有ｍ种，那么事件A的概率P（A）＝．二、疑难知识导析1．必然事件、不可能事件、随机事件的区别与联系：必然事件是指在一定条件下必然发生的事件；不可能事件是指在一定的条件下不可能发生的事件；随机事件是指在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件.要辨析清事件的条件和结果，理解事件的结果是相应于“一定条件”而言的，必须明确什么是事件发生的条件，什么是在此条件下产生的结果.上述三种事件都是在一定条件下的结果.2．频率与概率：随机事件A的频率指此事件发生的次数ｍ与试验总次数ｎ的比值，它是随着试验次数的改变而变化的，它具有一定的稳定性，即总在某个常数ｐ附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小，于是，我们给这个常数取个名字，叫随机事件的概率.因此，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小；而频率在大量重复试验的前提下，可近似地作为这个事件的概率.即概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值. 3．必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率：0＜P（A）＜1，这里要辩证地理解它们的概率：必然事件和不可能事件可以看作随机事件的两个极端，它们虽是两类不同的事件，但在一定的情况下又可以统一起来，即任意事件A的概率满足：0≤P（A）≤14．等可能事件的理解：一次试验中所有可能的ｎ个基本结果出现的可能性都相等，这ｎ个结果对应着ｎ个基本事件.对等可能事件的理解，其实质在于对等可能性的理解.“等可能性”指的是结果，而不是事件.例如抛掷两枚均匀的硬币，可能出现“两个正面”“两个反面”“一正一反”“一反一正”这四种结果，每一种结果的可能性相等，都是0.25；而出现“两个正面”“两个反面”“一正一反”这三种结果就不是等可能的.5．注意用集合的观点来看概率，运用图式法来弄清各事件之间的关系.对古典概率来说，一次试验中等可能出现的几个结果组成一个集合I，其中各基本事件均为集合I的含有一个元素的子集，包括ｍ个基本事件的子集A，从而从集合的角度来看：事件A的概率是子集A的元素的个数与集合I的元素个数的比值，即P（A）＝.因此，可以借助集合的表示法来研究事件，运用图示法弄清各事件的关系，从而做到较深刻的理解.三、经典例题导讲[例1] 某人有5把钥匙，但忘记了开房门的是哪一把，于是，他逐把不重复地试开，问恰好第三次打开房门锁的概率是多少？错解：有5把钥匙，每次打开房门的概率都是，不能打开房门的概率是，因而恰好第三次打开房门的概率是××＝.错因:上述解法忽略了条件“逐把不重复地试开”.正解：我们知道最多开5次门，且其中有且仅有一次可以打开房门，故每一次打开门的概率是相同的，都是.开三次门的所有可能性有种.第三次打开房门，则房门钥匙放在第3号位置上，前两次没能打开门，则前2个位置是用另4把钥匙安排的，故有种可能.从而恰好第三次打开房门锁的概率是P（A）＝.[例2]某组有16名学生，其中男、女生各占一半，把全组学生分成人数相等的两小组，求每小组里男、女生人数相同的概率.错解：把全组学生分成人数相等的两小组，有种分法，事件A为组里男、女生各半的情形，它有种，所以P（A）＝.错因:这里没注意到均匀分成两组与分成A、B两组的区别.正解：基本事件有，事件A为组里男、女生各半的情形，它有种，所以P（A）＝.[例3] 把一枚硬币向上连抛10次，则正、反两面交替出现的概率是.错解：抛掷一枚硬币出现正、反两面的可能性都相等，因而正、反两面交替出现的概率是.错因：没审清题意.事实上，把一枚硬币向上连抛10次，出现正面5次的概率同样也不等于.正解：连抛10次得正、反面的所有可能的情况共有种，而题设中的正、反两面交替出现的情况只有2种，故所求的概率为.[例4]（2003.上海卷）某科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成，现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为（结果用分数表示）.解：设“从20名成员中随机选出的2人来自不同国家”为事件A，则A所包含的基本事件数为，又基本事件数为.故P（A）＝.[例5]将4个编号的球放入3个编号的盒中，对于每一个盒来说，所放的球数ｋ满足0≤ｋ≤4.在各种放法的可能性相等的条件下，求：（1）第一个盒没有球的概率；（2）第一个盒恰有1个球的概率；（3）第一个盒恰有2个球的概率；（4）第一个盒有1个球，第二个盒恰有2个球的概率.解：4个不同的球放入3个不同的盒中的放法共有种.（1）第一个盒中没有球的放法有种，所以第一个盒中没有球的概率为：P1＝.（2）第一个盒中恰有1个球的放法有种，所以第一个盒中恰有1个球的概率为：P2＝.（3）第一个盒中恰有2个球的放法有种，所以第一个盒中恰有2个球的概率为：P3＝.（4）第一个盒中恰有1个球，第二个盒中恰有2个球的放法有种，所以所求的概率为：P4＝.[例6]一个口袋内有7个白球和3个黑球，分别求下列事件的的概率：（1）事件A：从中摸出一个放回后再摸一个，两回摸出的球是一白一黑；（2）事件B：从袋中摸出一个黑球，放回后再摸出一个是白球；（3）事件C：从袋中摸出两个球，一个黑球，一个白球；（4）事件D：从从袋中摸出两个球，先摸出的是黑球，后摸出的是白球.解：（1）基本事件总数是10×10.事件A包括“先摸出黑球后摸出白球”及“先摸出白球后摸出黑球”，摸出白球及黑球分别有7种和3种可能.所以A发生共有2×7×3种可能.∴P（A）＝＝0.42.2）事件B与事件A不同，它确定了先摸黑球再摸白球的顺序.P（B）＝＝0.21（3）事件C说明摸出两个球不放回，且不考虑次序，因此基本事件总数是，事件C包含的基本事件个数是.P（C）＝≈0.47.（4）与事件A相比，D要考虑摸出两球的先后次序.P（D）＝≈0.23评注：注意“放回抽样”与“不放回抽样”的区别.本例（1）（2）是放回抽样，（3）（4）是不放回抽样.四、典型习题导练1．对某电视机厂生产的电视机进行抽样检测的数据如下：抽取台数50 100 200 300 500 1000优等品数40 92 192 285 478 954（1）计算表中优等品的各个频率；（2）该厂生产的电视机优等品的概率是多少？2．先后抛掷三枚均匀的硬币，至少出现一次正面的概率是（）A、B、C、D、3．停车场可把12辆车停放一排，当有8辆车已停放后，则所剩4个空位恰连在一起的概率为（）A. B. C. D.4．有5条线段，其长度分别为1、3、5、7、9，现从中任取3条线段，求3条线段构成三角形的概率.5．把10个运动队平均分成两组进行预赛，求最强的两队被分在（1）不同组内；（2）同一组内的概率.6．甲、乙两人参加普法知识问答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，甲、乙两人依次各抽一题.（1）甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？（2）甲、乙两人至少有一人抽到选择题的概率是多少？§9.5几何概型及互斥事件的概率一、知识导学1. 对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点．这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等．用这种方法处理随机试验，称为几何概型.一般地，在几何区域Ｄ中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域ｄ内”为事件Ａ，则事件Ａ发生的概率Ｐ（Ａ）＝．这里要求Ｄ的测度不为０，其中“测度”的意义依Ｄ确定，当Ｄ分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的“测度”分别是长度、面积和体积等2．互斥事件：不可能同时发生的两个事件.如果事件A、B、C，其中任何两个都是互斥事件，则说事件A、B、C彼此互斥.当A，B是互斥事件时，那么事件A＋B发生（即A，B中有一个发生）的概率，等于事件A，B分别发生的概率的和.P（A＋B）＝P（A）＋P（B）.如果事件A1、A2、…、Aｎ彼此互斥，那么事件A1＋A2＋…＋Aｎ发生（即A1、A2、…、A ｎ中有一个发生）的概率，等于这ｎ个事件分别发生的概率的和.3．对立事件：其中必有一个发生的两个互斥事件.事件A的对立事件通常记着.对立事件的概率和等于1.P（）＝1－P（A）4．相互独立事件：事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件.当A，B是相互独立事件时，那么事件A B发生（即A，B同时发生）的概率，，等于事件A，B分别发生的概率的积.P（A B）＝P（A）P（B）.如果事件A1、A2、…、Aｎ相互独立，那么事件A1A2…Aｎ发生（即A1、A2、…、A ｎ同时发生）的概率，等于这ｎ个事件分别发生的概率的积.5．独立重复试验如果在1次试验中某事件发生的概率是P，那么在ｎ次独立重复试验中这个试验恰好发生ｋ次的概率二、疑难知识导析1．对互斥事件、对立事件的理解：从集合角度看，事件A、B互斥，就是它们相应集合的交集是空集（如图1）；事件A、B对立，就是事件A包含的结果的集合是其对立事件B包含的结果的补集（如图2）.“互斥事件”与“对立事件”都是就两个事件而言的，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件是其中必有一个发生的互斥事件，因此，对立事件必须是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，也就是说“互斥”是“对立”的必要但不充分的条件.根据对立事件的意义，（A＋）是一必然事件，那它发生的概率等于1，又由于A与互斥，于是有P（A）＋P（）＝P（A＋）＝1，从而有P（）＝1－P（A）.当某一事件的概率不易求出或求解比较麻烦，但其对立事件的概率较容易求出时，可用此公式，转而先求其对立事件的概率.2．对相互独立事件的理解：相互独立事件是针对两个事件而言的，只不过这两个事件间的关系具有一定的特殊性，即其中一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响.若A、B两事件相互独立，则A与、与B、与也都是相互独立的.3．正确理解A B与A＋B的关系：设A、B是两个事件，则A B表示这样一个事件，它的发生表示A与B同时发生；而A＋B表示这一事件是在A或B这两个事件中，至少有一个发生的前提下而发生的.公式P（A＋B）＝P（A）＋P（B）与P（A B）＝P（A）P（B）的使用都是有前提的.一般情况下，P（A＋B）＝1－P（）＝P（A）＋P（B）－P（A B）它可用集合中的韦恩图来示意.三、经典例题导讲［例1］从0,1，2,3这四位数字中任取3个进行排列，组成无重复数字的三位数，求排成的三位数是偶数的概率.错解：记“排成的三位数是偶数”为事件A，P（A）＝＝.错因:上述解法忽略了排成的三位数首位不能为零.正解：记“排成的三位数的个位数字是0”为事件A，“排成的三位数的个位数字是2”为事件B，且A与B互斥，则“排成的三位数是偶数”为事件A＋B，于是P（A＋B）＝P（A）＋P（B）＝＋＝.[例2] 从1,2，3，…,100这100个数中，随机取出两个数，求其积是3的倍数的概率.错解：从1,2，3，…,100这100个数中，随机取出两个数，其积是3的倍数，则须所取两数至少有一个是3的倍数. 记事件A为任取两整数相乘为3的倍数，则P（A）＝错因: 这里相关的排列组合问题没有过关.正解：基本事件数有种.在由1到100这100个自然数中，3的倍数的数组成的集合M 中有33个元素，不是3的倍数组成的集合N中有67个元素，事件A为任取两整数相乘为3的倍数，分两类：（1）取M中2个元素相乘有种；（2）从集合M、N中各取1个元素相乘有种.因为这两类互斥，所以P（A）＝.[例3] 在房间里有4个人，问至少有两个人的生日是同一个月的概率是多少？解：由于事件A“至少有两个人的生日是同一个月”的对立事件是“任何两个人的生日都不同月”.因而至少有两个人的生日是同一个月的概率为：P（A）＝1－P（）＝1－＝1－.[例4] 某单位6名员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5（相互独立）.求（1）至少3人同时上网的概率；（2）至少几人同时上网的概率小于0.3？解：（1）至少3人同时上网的概率等于1减去至多2人同时上网的概率，即1－－－＝1－.（2）6人同时上网的概率为＜0.3；至少5人同时上网的概率为＋＜0.3；至少4人同时上网的概率为＋＋＞0.3.故至少5人同时上网的概率小于0.3.说明：本题是2002年全国高考新课程卷试题，以互联网为题设的背景，有很强的时代气息.所提出的问题（至少几人同时上网）难度适当，切合考生的实际.解答时应具备适度的逻辑思维能力，体现了以素质和能力为考查重点的试题设计理念.[例5]设甲、乙两射手独立地射击同一目标，他们击中目标的概率分别为0.9、0.8，求：（1）目标恰好被甲击中的概率；（2）目标被击中的概率.解：设事件A为“甲击中目标”，事件B为“乙击中目标”.由于甲、乙两射手独立射击，事件A与B是相互独立的，故A与、与B也是相互独立的.（1）目标恰好被甲击中，即事件A发生.P（A·）＝P（A）×P（）＝0.9×（1－0.8）＝0.18.∴目标恰好被甲击中的概率为0.18.（2）目标被击中即甲、乙两人中至少有1人击中目标，即事件A·、·B、A·B发生.由于事件A·、·B、A·B彼此互斥，所以目标被击中的概率为P（A·＋·B＋A·B）＝P（A·）＋P（·B）＋P（A·B）＝P（A）·P（）＋P（）·P（B）＋P（A·B）＝0.9×0.2＋0.1×0.8＋0.9×0.8＝0.98.评注：运用概率公式求解时，首先要考虑公式的应用前提.本题（2）也可以这样考虑：排除甲、乙都没有击中目标.因为P（·）＝P（）·P（）＝0.1×0.2＝0.02.所以目标被击中的概率为1－P（·）＝1－0.02＝0.98.[例6]（06年高考四川）某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格” ，两部分考核都是“合格”则该课程考核“合格”，甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9，0.8，0.7；在实验考核中合格的概率分别为0.8，0.7，0.9，所有考核是否合格相互之间没有影响.（1）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；（2）求这三人课程考核都合格的概率.（结果保留三位小数）解：记“甲理论考核合格”为事件A1，“乙理论考核合格”为事件A2，“丙理论考核合格”为事件A3，“甲实验考核合格”为事件B1，“乙实验考核合格”为事件B2，“丙实验考核合格”为事件B3.（1）记“理论考核中至少有两人合格”为事件C.则P（C）＝P（A1 A2＋A1A3＋ A2 A3＋A1 A2 A3）＝P（A1 A2）＋P（A1A3）＋P（ A2 A3）＋P（A1 A2 A3）＝0.9×0.8×0.3＋0.9×0.2×0.7＋0.1×0.8×0.7＋0.9×0.8×0.7＝0.902（2）记“三人该课程考核都合格”为事件D.则P（D）＝P［（A1·B1）·（A2·B2）·（A3·B3）］＝P（A1·B1）·P（A2·B2）·P（A3·B3）＝P（A1）·P（B1）·P（A2）·P（B2）·P（A3）·P（B3）＝0.9×0.8×0.8×0.8×0.7×0.9≈0.254所以，理论考核中至少有两人合格的概率为0.902；这三人该课程考核都合格的概率为0.254。