专题 平面向量-2019年高考数学一轮复习讲义

专题 平面向量-2019年高考数学一轮复习讲义

考情速递

1真题感悟 真题回放

1.(2018年新课标Ⅱ文)已知向量a ,b 满足|a |＝1,a ·b ＝－1,则a ·(2a －b )＝( ) A.4 B.3 C.2 D.0

【答案】B

【解析】由题意,a ·(2a －b )＝2a 2

－a ·b ＝2＋1＝3.

2. 2018年浙江）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π

3

，向量b 满足

b 2-4e •b +3=0，则|a -b |的最小值是（ ）

A ．3-1

B ．3+1

C ．2

D ．2- 3 【答案】A

【解析】由b 2

-4e •b +3=0，得(b -e )·(b -3e )=0，∴（b -e ）⊥（b -3e ），如图，不妨设e =(1，0)，则b 的终点在以（2，0）为圆心，以1为半径的圆周上，又非零向量a 与e 的夹角为π

3，则a 的终点在不含端点O

的两条射线y =±3x （x ＞0）上．不妨以y =3x 为例，则|a -b |的最小值是（2，0）到直线3x -y =0的距离减1．即|23|

3+1

-1=3-1．故选A ．

3．（2018年北京）设向量a =（1，0），b =（-1，m ）．若a ⊥（m a -b ），则m = ． 【答案】-1

【解析】向量a =（1，0），b =（-1，m ）．m a -b =（m +1，-m ）．∵a ⊥（m a -b ），∴m +1=0，解得m =-1．故答案为-1．

4.(2018年新课标Ⅲ文)已知向量a ＝(1,2),b ＝(2,－2),c ＝(1,λ).若c ∥(2a ＋b ),则λ＝________. 【答案】12

【解析】(2a ＋b )＝2(1,2)＋(2,－2)＝(4,2),由c ∥(2a ＋b ),得14＝λ2,解得λ＝1

2.

2热点题型

题型一：平面向量的概念以及线性运算

例1．（2018•新课标Ⅰ）在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则=（ ）

A ．

﹣

B ．

﹣

C ．

+

D ．

+

【分析】运用向量的加减运算和向量中点的表示，计算可得所求向量． 【答案】A

【解析】：在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，

=﹣

=

﹣ =﹣×（+

）

=

﹣

，

故选：A ．

题型二：平面向量基本定理及坐标表示

例2．（2018•南开区三模）向量，，在单位正方形网格中的位置如图所示，则•（）= 3 ．

【分析】首先以向量的起点为原点，分别以水平方向和竖直方向为x轴、y轴建立坐标系，将三个向量用坐标表示，再进行运算．

【答案】：3

【解析】如图建立平面直角坐标系，

则=（1，3），=（3，﹣1）﹣（1，1）=（2，﹣2），=（（3， 2）﹣（5，﹣1）=（﹣2，3），

∴=（0，1），

∴=（1，3）•（0，1）=3．

故答案为：3．

【点评】本题考查了向量的坐标运算，包括向量的加法运算、数量积的坐标运算，关键是正确建立坐标系，将向量坐标化，再进行运算．

变式训练2

（2018•新余二模）已知向量，，，若，则= ．

【答案】

题型三平面向量的数量积

例3（2018年天津）在如图的平面图形中，已知OM=1，ON=2，∠MON=120°，→

OM

NA，则→BC·→

BM=2→

MA，→

CN=2→

值为（）

A．-15 B．-9 C．-6 D．0

【分析】解法Ⅰ，由题意判断BC∥MN，且BC=3MN，

再利用余弦定理求出MN和∠OMN的余弦值，计算•即可．

解法Ⅱ：用特殊值法，不妨设四边形OMAN是平行四边形，

由题意求得的值．

【答案】C

∴cos∠OMN===，

∴•=||×||cos（π﹣∠OMN）=3×1×（﹣）=﹣6．

解题Ⅱ：不妨设四边形OMAN是平行四边形，

由OM=1，ON=2，∠MON=120°，=2，=2，

知=﹣=3﹣3=﹣3+3，

∴=（﹣3+3）•

=﹣3+3•

=﹣3×12+3×2×1×cos120°

=﹣6．

故选：C．

变式训练4

（2018•昌平区二模）向量，在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则向量，所成角的余弦值

是；向量，所张成的平行四边形的面积是 3 ．

【答案】，3

【解析】：如图所示，建立直角坐标系，不妨取=（2，1），=（1，2），

则===．向量，所张成的平行四边形的面积

S=••sin=×=5×=3．

故答案分别为：，3．

3新题预测

1.如图，在等腰直角△ABO中，OA=OB=1，C为AB上靠近点A的四等分点，过C作AB的垂线l，P为垂线上任一点，则等于（）

A．﹣ B．C．﹣ D．

【答案】A

【解析】：由已知条件知，AB=，∠OAB=45°；

又，；

∴===．

故选：A．

2．设A，B，C是半径为1的圆O上的三点，，则的最大值是（）A．B．C．D．1

【答案】：A

=||2﹣||•||cos＜，（）＞

=1﹣×cos＜，（）＞，

∴当＜，（）＞=180°时，取最大值1+．

故选：A．

专项训练平面向量

一.选择题

1. （2018•延安模拟）在△ABC中，点D在边AB上，=，设=，=，则=（）

A．+B．+C．+D．+

【答案】：B

【解析】∵，

∴，解得．

∴．