伺服电机选型必备 惯量匹配和最佳传动比

惯量匹配和最佳传动比

1 功率变化率

伺服电机的基本功能就是将输入的电功率快速的转换为机械功率输出。功率转换的越快，伺服电机的快速性越好。功率转换的快速性用功率变化率（dP/dt）来衡量：

P=T·ω

T=J·dω/dt

dP/dt=d(T·ω)/dt=T·dω/dt=T·T/J

dP/dt=T2/J

伺服电机以峰值转矩Tp进行加/减速运动时的功率变化率最大：

(dP/dt)max=Tp2/Jm

通常用理想空载时伺服电机的功率变化率来衡量伺服电机的快速性。

衡量伺服电机快速性的性能指标还有：

转矩/惯量比：Tp/Jm= dω/dt

最大理论加速度：（dω/dt）max= Tp/Jm

这些指标都是单一衡量伺服电机加速性能的指标。

2 惯量匹配

伺服系统要求伺服电机能快速跟踪指令的变化。对一个定位运动而言，就是要求以最短的时间到达目标位置。换一种说法，就是在直接驱动负载的定位过程中，负载以最大的功率变化率将输入功率转换为输出功率。

伺服电机驱动惯性负载J L的加速度、加速转矩计算如下：

负载的加速度（系统加速度）：dω/dt=Tp/(Jm+J L)

负载的加速转矩：T L= J L·dω/dt= J L·Tp/(Jm+J L)

负载的功率变化率为：

dP L/dt=T L2/J L

dP L/dt= J L2·Tp2/(Jm+J L)2/J L = J L·Tp2/(Jm+J L)2

从式中可以看出：

J L远大于Jm时：dP L/dt= Tp2/J L，负载惯量越大，负载的功率变化率越小。

J L远小于Jm时：dP L/dt= J L·Tp2/Jm，负载惯量越大，负载的功率变化率越小。

负载惯量J L相对电机惯量Jm变化时，负载的功率变化率存在一个最大值。

根据极值定理，对应dP L/dt极值的J L值为使d(dP L/dt)/d(J L) = 0的值。

d(dP L/dt)/d(J L)= d(J L·Tp2/(Jm+J L)2)/d(J L)

利用复合微分法则对(dP L/dt)求导：

设v = (Jm+J L)2

u = Tp2·J L

dP L/dt = u/v

d(u/v)/d(J L) = [v·du/d(J L)-u·dv/d(J L)]/v2

d(dP L/dt)/d(J L) = {(Jm+J L)2·d(Tp2·J L)/d(J L)-d[(Jm+J L)2]/d(J L)·Tp2·J L}/(Jm+J L)4

d(dP L/dt)/d(J L)=Tp2·[(Jm+J L)2-2(Jm+J L)·J L]/(Jm+J L)4

令d(dP L/dt)/d(J L)=0，则

(Jm+J L)2-2(Jm+J L)·J L=0

(Jm+J L)2-2(Jm+J L)·J L=Jm2+2JmJ L+J L2-2JmJ L-2J L2

=Jm2-J L2

=(Jm+J L)(Jm-J L)

=0

因为Jm+J L＞0

所以Jm-J L=0，J L=Jm

负载的转惯量J L等于电动机的转动惯量Jm称为“惯量匹配”。惯量匹配时，负载的功率变化率最大，响应最快。

3 最佳减速比

伺服电机通常是高转速、低转矩输出，而负载要求通常是要求低转速、高转矩，因此伺服电

机和负载之间通常要接有减速器，其作用是降低转速、放大转矩，实现电机与负载间转速和转矩的匹配。电机转速与负载转速之比称为减速比。所谓“最佳减速比”就是使负载侧的功

率变化率最大。

（1）旋转运动负载的“最佳减速比”

设：

ωL-负载角速度

ωm-电机角速度

J L－负载侧转动惯量

Jc-折算到电机侧的负载转动惯量

i-减速比，i=ωm/ωL

η-减速器效率

根据能量守恒定律，减速器负载侧的动能等于电机侧动能乘以减速器的效率：

J L·ωL2/2=η·Jc·ωm 2/2

Jc＝J L/(ωm 2/ωL2·η)= J L/(i2·η)

当惯量匹配时，负载侧的功率变化率最大：

Jc＝Jm

惯量匹配时的最佳减速比ip：

Jm＝J L/(ip2·η)

Ip=√(J L/(Jm·η))

（2）直线运动负载的最佳螺矩

直线运动负载通常是伺服电机直接驱动丝杠。设：

V L-负载运动速度（m/min）

Nm-电机转速（r/min）

M L－负载运动部分的质量（kg）

Jc-折算到电机侧的负载转动惯量（kg-m2）

λ-丝杠螺矩（m），V L＝Nm·λ

η-减速器效率

根据能量守恒定律，负载直线运动侧的动能等于电机侧动能乘以减速器的效率：

M L·V L2/2=η·Jc·Nm 2/2

Jc＝M L/(Nm 2/V L2·η)= M L/(( V L2/ Nm 2)·η)

Jc＝M L/(λ2·η)

当惯量匹配时，负载侧的功率变化率最大：

Jc＝Jm

惯量匹配时的最佳螺矩λp：

Jm＝M L/(λp2·η)

λp=√(M L/(Jm·η))

4 最佳减速比和惯量匹配的在选择电机功率时的应用

选择伺服电机的步骤是：

（1）根据负载图，按发热等效预选电动机的功率

（2）根据电动机速度和负载速度确定减速比：选择电动机的速度和惯量最接近最佳减速比的电动机型号。

（3）考虑电机数据，校验电动机的发热

（4）校验电动机的过载能力

（5）校验惯量匹配：

动态性能“激进”的系统：要求跟踪性能好的位置随动系统（伺服型负载），J L=0.8-1.2

Jm

动态性能“适度”的系统：一般伺服系统（伺服－调整混合型负载），

J L=0.8-4.0 Jm

动态性能“保守”的系统：运动指令变化缓慢的伺服系统（调整型负载），

不需校验负载惯量。负载惯量有助于减小速度波动。