2020学年第二学期浙江省名校协作体高三试题

2020学年第二学期浙江省名校协作体试题
高三年级数学学科
第Ⅰ卷（选择题部分，共40分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.设全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}2,3,5A =，{}1,3,4,6B =，则集合U
A B =
（ ）
A.{}3
B.{}2,5
C.{}1,4,6
D.{}2,3,5
2.过点()1,0且倾斜角为30°的直线被圆()2
2
21x y -+=所截的弦长为（ ）
A.
2
B.1
D.3.设实数x 、y 满足不等式组3603030x y x y y -+≥⎧⎪
-≤⎨⎪-≤⎩
，则x y -的最大值为（ ）
A.4-
B.3
2
-
C.0
D.6 4.已知平面α，l ，m 是两条不同的直线，且m α⊂（ ） A.若//l m ，则//l α B.若l m ⊥，则l α⊥ C.若//l α，则//l m
D.若l α⊥，则l m ⊥
5.设函数()3
31log 1x x f x x +⎛⎫
=
⎪-⎝⎭
，则函数()f x 的图像可能为（ ） A. B.
C. D.
6.将函数sin 26y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图象向右平移()0ϕϕ>个长度单位所得图象的对应函数为()g x ，则“3
π
ϕ=
”是“()g x 为偶函数”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
7.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()3
661201911a a -+-=，
()()3
201520151201911a a -+-=-，则下列结论正确的是（ ）
A.20202020S =，20156a a <
B.20202020S =，20156a a >
C.20202020S =-，20156a a ≤
D.20202020S =-，20156a a ≥
8.过双曲线C ：()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左焦点F 作x 轴的垂线交双曲线于点A ，双曲
线C 上存在点B （异于点A ），使得2
ABF π
∠=.若4
BAF π
∠=
，则双曲线的离心率为
（ ）
A.1+
B.1
C.2+
D.2
9.设函数()()f x x ∈R 满足()()f x f x -=，且当[)0,1x ∈时，()3
f x x =，当1x ≥时，
()()1
22
f x f x =
-，又函数()()sin g x x x π=，函数()()()h x g x f x =-在[]1,2-上的零点个数为（ ） A.4 B.5 C.6 D.7
10.在矩形ABCD 中，AB =3AD =，E 、F 分别为边AD 、BC 上的点，且
2AE BF ==，现将ABE △沿直线BE 折成1A BE △，使得点1A 在平面BCDE 上的射影
在四边形CDEF 内（不含边界），设二面角1A BE C --的大小为θ，直线1A B 与平面
BCDE 所成的角为α，直线1A E 与直线BC 所成角为β，则（ ）
A.βαθ<<
B.βθα<<
C.αβθ<<
D.αθβ<<
第Ⅱ卷（非选择题部分，共110分）
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.
11.若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积________3cm ；表面积是________2cm .
12.1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式
e cos sin ix x i x =+，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天
桥”.根据此公式，则e 1i π+=________；3
12⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭
________.
13.二项展开式()5
2345
0123452x a a x a x a x a x a x -=+++++，则0a =________；
135a a a ++=________.
14.某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生
得到甲公司面试的概率为
3
4
，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的，记X 为该毕业生得到面试的公司个数，若()1
036
P X ==，p =
________；若1
2
p =，则随机变量X 的期望()E X =________.
15.有8个座位连成一排，甲、乙、丙、丁4人就坐，要求有且仅有两个空位相邻且甲、乙两人都在丙的同侧，则共有________种不同的坐法
16.设实数a ，b 满足0a >，1a b +=，则22
212
a b a b ++-的最大值是________. 17.不共线向量OA ，OB 满足1OA OB ==.若对于给定的实数μ∈R ，存在唯一的点
P ，满足OP OA OB λμ=+（,λμ∈R ）且2OP =，则2
μλ
的最小值是________.
三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.已知角α，β（0α<，βπ<）的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重
合，点12A ⎛ ⎝⎭
，
B 分别在角α，β的终边上.
（Ⅰ）设函数()()2sin 2f x x α=-，3, 82x ππ⎛⎫
∈
⎪⎝
⎭，求()f x 的最大值；
（Ⅱ）若点C 在角β的终边上，且线段AC 的长度为
3
AOC △的面积.
19.已知四边形ABCD ，90ABC CAD ∠=∠=︒，2
AB BC AD ==
，将ABC △沿AC 翻折至PAC △.
（Ⅰ）若PA PD =，求证：AP CD ⊥； （Ⅱ）若二面角P AC D --的余弦值为1
4
-，求PD 与面PAC 所成角的正弦值. 20.已知数列{}n a 满足：11
4
a =，11230n n n n a a a a ++-+=. （Ⅰ）证明：数列11n a ⎧⎫
-⎨
⎬⎩⎭
为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）记()2
21
n n n b a n =++，求使[][][][]1232020n b b b b +++
+≤成立的最大正整数n
的值.（其中，符号[]x 表示不超过x 的最大整数）
21.已知椭圆1C ：2
212
x y +=和抛物线2C ：()220x py p =>，点Q 为第一象限中抛物线2C 上的动点，过Q 作抛物线2C 的切线l 分别交y 轴、x 轴于点A 、B ，F 为抛物线2C 的焦
点.
（Ⅰ）求证：FB 平分AFQ ∠；
（Ⅱ）若直线l 与椭圆1C 相切于点P ，求APF △面积的最小值及此时p 的值. 22.已知函数()e ln x
f x x a x =-，定义域为()0,+∞.
（Ⅰ）当2e a =时，求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）记()()min g a f x =，当()0,a ∈+∞，求()g a 的最大值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在0c >，d ∈R ，使得()()()2
max f x g a c x d -≥-.若存在，求c 的取值范围；若不存在，请说明理由.。