上海市-学年高一数学上学期期末考试试题
上海市光明中学2019-2020学年度高一数学第一学期期末考试(详解版)
光明中学2019学年第一学期期末考试高一数学试题命题人 向宪贵 审题人 蔡晓荣 2020.01考生注意： l ．本试卷共有19道试题，满分100分．考试时间90分钟．2．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、姓名、学号、准考证号等填写清楚．友情提示： 诚实守信，沉着冷静，细致踏实，自信自强！一、填空题（本大题共有10道小题，1-6题填对得3分，7-10题填对得4分，满分34分）1、函数12()f x x =的定义域是 ；2、不等式111x <-的解集为 ； 3、函数2()1(0)f x x x =-≥的反函数1()f x -= ；4、函数()ln(2)f x x =-的递增区间为 ；5、方程96370x x -⋅-=的解是 ；6、已知函数()f x 为偶函数，且当0x >时2()1f x =x x -+，则当0x <时()f x = ； 7、已知函数⎩⎨⎧≥-<=)4(),1()4(,2)(x x f x x f x ，那么(5)f 的值为____________；8、函数2()f x x bx c =++与函数21()x x g x x ++=在区间1[,2]2上的同一点处取相同的最小值，则()f x 在区间1[,2]2上的最大值是 ；9、直线1y =与曲线2y x x a =-+有四个交点，则a 的取值范围是 ；10、设函数定义域为R ，对于给定的正数K ，定义函数取函数．当=时，函数的单调递增区间为 .二、单选题（本大题共有4道题，每道题只有一个正确选项，选对得4分，满分16分）11、下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是（ ）.A 1a b >+ .B 1a b >- .C 22a b > .D 33a b >()y f x =(),(),(),().K f x f x K f x K f x K ≤⎧=⎨>⎩()2x f x -=K 12()K f x12、定义域为R 的函数()f x 是奇函数，且在[0,5]x ∈上是增函数，在[5,)+∞上是减函数，又(5)2f =，则()f x （ ）.A 在[5,0]x ∈-上增函数且有最大值-2 .B 在[5,0]x ∈-上增函数且有最小值-2.C 在[5,0]x ∈-上减函数且有最大值-2 .D 在[5,0]x ∈-上减函数且有最小值-213、若函数()f x 为R 上的偶函数，且()f x 在[)0+∞，上单调递减，则不等式(21)()f x f x -≥的解集为（ ）A. 113⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B. [)1,1,3⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦U C. (][),11,-∞+∞U D. (],1-∞ 14、有下面四个命题：①奇函数一定是单调函数；②函数3(0)xy k k =⋅>（k 为常数）图像可由3x y =的图像平移得到；③若幂函数a y x =是奇函数，则a y x =是定义域上的增函数；④既是奇函数又是偶函数的函数是0()y x R =∈．其中正确的有（ ）.A 3个 .B 2个 .C 1个 .D 0个三、解答题（本大题共有5道题，满分50分）15、（本题满分8分，第一问4分，第二问4分） 已知1{|39}3x A x =<<， {}2|log 0B x x =>． （1）求A B ⋂和A B ⋃；（2）定义{|A B x x A -=∈且}x B ∉，求A B -和B A -．16、（本题满分10分，第一问4分，第二问6分）函数()2x f x =和3()g x x =的图像的示意图如图所示，两函数的图像在第一象限只有两个交点()()111212,,,,A x y B x y x x <（1）请指出示意图中曲线12C C 、分别对应哪一个函数；（2）设函数()()()h x f x g x =-,则函数()h x 的两个零点为12x x 、，如果12[,1],[,1]x a a x b b ∈+∈+，其中,a b 为整数，指出,a b 的值，并说明理由．17、（本题满分10分，第一问4分，第二问6分） 已知函数3()log 0,13m x f x m m x -=>≠+（）． （1）判断()f x 的奇偶性并证明；（2）若12m =，试用定义法判断()f x 在3,+∞（）的单调性．18、（本题满分10分，第一问3分，第二问7分）科学家发现某种特别物质的温度y （单位：摄氏度）随时间x （时间：分钟）的变化规律满足关系式：122x x y m -=⋅+（04x ≤≤，0m >）.（1）若2m =，求经过多少分钟，该物质的温度为5摄氏度；（2）如果该物质温度总不低于2摄氏度，求m 的取值范围.19、（本题满分12分，第一问3分，第二问4分，第三问5分）已知函数1()22x xf x =-，()(4lg )lg ()g x x x b b R =-⋅+∈. （1）若()0f x >，求实数x 的取值范围；（2）若存在12,[1,)x x ∈+∞，使得12()()f x g x =，求实数b 的取值范围；（3）若()0<g x 对于(0,)x ∈+∞恒成立，试问是否存在实数x ，使得[()]f g x b =-成立？若存在，求出实数x 的值；若不存在，说明理由.上海市光明中学2019学年第一学期期终考试高一数学试题参考答案一、填空题（本大题共有10道小题，1-6题填对得3分，7-10题填对得4分，满分34分）1、[)0,+∞2、(,0)(2,)-∞+∞U 3、1(1)f x x -≥-4、()2,+∞5、3log 7x =6、2()1f x =x +x +7、88、49、5(1,)4 10、二、单选题（本大题共有4道题，每道题只有一个正确选项，选对得4分，满分16分）11、A 12、B 13、A 14、C三、解答题（本大题共有5道题，满分50分）15、（本题满分8分，第一问4分，第二问4分）解：（1）()1{|39}1,23x A x =<<=-； --------1分 {}()2|log 01,B x x =>=+∞ --------2分()1,2A B ⋂=, --------3分()1,A B ⋃=-+∞--------4分（2） (]1,1A B -=-, --------2分[)2,B A -=+∞--------4分16、（本题满分10分，第一问4分，第二问6分）【解】（1）C 1对应的函数为3()g x x =，--------2分C 2对应的函数为()2x f x =. --------4分（2）计算得1,9a b == --------1分理由如下：令3()()()2x x f x g x x ϕ=-=-， --------2分 (,1)-∞-由于93103(1)10,(2)40,(0,(10)210909)2h h h h =>=-<=<=->-，--------4分 则函数()x ϕ的两个零点2(1,2),(9,10)i x x ∈∈--------5分 因此整数1,9a b == --------6分17、（本题满分10分，第一问4分，第二问6分）【解】（1）()f x 是奇函数；证明如下： 由303x x -+＞解得3,3x x <->或； 所以()f x 的定义域为(,3)(3,)-∞-+∞U 关于原点对称． --------1分∵()3333m m x x f x log log x x --+-==-+-=()13()3m x log f x x -+=--， --------3分 故()f x 为奇函数．--------4分（2）任取1212,3,x x x x ∈+∞<（）,且 - ()()1212123333m m x x f x f x log log x x ---=-++=()()()()12123333m x x log x x -++-， --------2分 ∵()()()()()112221333036x x x x x x -+-+-=<-，∴()()()()121203333x x x x <-+<+-，即()()()()1212330133x x x x -+<+-＜， -------4分 当12m =时，()()()()12112233033x x log x x -+>+-，即()12()f x f x >．--------5分 故()f x 在3,+∞（）上单调递减．--------6分18、（本题满分10分，第一问3分，第二问7分）【解】（1）由题意，当2m =，令122222252x x x xy -=⋅+=⋅+=， 04x ≤≤Q 时，解得1x =， -------2分因此，经过1分钟时间，该物质的温度为5摄氏度；--------3分（2）由题意得1222x x m -⋅+≥对一切04x ≤≤恒成立，则由1222x x m -⋅+≥，得出22222x x m ≥-，--------2分 令2x t -=，则1116t ≤≤，且222m t t ≥-，--------4分构造函数()221122222f t t t t ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭， 所以当12t =时，函数()y f t =取得最大值12，则12m ≥.--------6分 因此，实数m 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.--------7分19、（本题满分12分，第一问3分，第二问4分，第三问5分）【解】（1）()0f x >即22x x ->，∴x x >-，∴0x >.--------3分 （2）设函数()f x ，()g x 在区间[)1,+∞上的值域分别为A ，B ，因为存在[)12,1,x x ∈+∞，使得()()12f x g x =，所以A B ⋂≠∅，--------1分∵()122x x f x =-在[)1,+∞上为增函数，∴3,2A ⎡⎫=+∞⎪⎢⎣⎭，--------2分 ∵()()2lg 24g x x b =--++，[)1,x ∈+∞，∴()(],4g x b ∈-∞+，∴(],4B b =-∞+.--------3分 ∴342b +≥即52b ≥-.--------4分 （3）∵()()2lg 240g x x b =--++<对于()0,x ∈+∞恒成立，∴40b +<，4b <-，--------1分且()g x 的值域为(],4b -∞+.--------2分∵()122x x f x =-为增函数，--------3分 且0x <时，()0f x <，∴()0f g x ⎡⎤<⎣⎦.--------5分∴()0f g x b ⎡⎤+<⎣⎦，-------6分∴不存在实数x ，使得()f g x b ⎡⎤=-⎣⎦成立. --------7分。
上海市高一上学期数学期末考试试卷
上海市高一上学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知全集U=R，集合，集合，则下列结论中成立的是（）A .B .C .D .2. （2分）已知直线l1∥l2 ， A是l1 ， l2之间的一定点，并且A点到l1 ， l2的距离分别为1，2，B 是直线l2上一动点，作AC⊥AB且使AC与直线l1交于点C，则△ABC的面积最小值为（）A . 2B . 3C . 4D . 53. （2分） (2017高二下·芮城期末) 函数的定义域为（）A .B .C .D .4. （2分）已知幂函数的图象过点，若，则实数的值为（）A .B .C .D .5. （2分）已知A（﹣1，1），B（3，1），C（1，3），则△ABC的BC边上的高所在的直线的方程为（）A . x+y+2=0B . x+y=0C . x﹣y+2=0D . x﹣y=06. （2分）(2017·铜仁模拟) 四面体A﹣BCD中，AB=CD=10，AC=BD=2 ，AD=BC=2 ，则四面体A ﹣BCD外接球的表面积为（）A . 50πB . 100πC . 200πD . 300π7. （2分） (2017高二下·沈阳期末) 若函数的图象如图所示，则下列函数与其图象相符的是（）A .B .C .D .8. （2分） (2016高三上·北京期中) 已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，下列四个命题中，正确的是（）A . 若m∥α，n∥α，则m∥nB . 若m⊂α，n⊂α，且m∥β，n∥β，则α∥βC . 若α⊥β，m⊂α，则m⊥βD . 若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α9. （2分）直线l1：2x﹣y=4与直线l2：x﹣2y=﹣1相交，其交点P的坐标为（）A . （2，1）B . （，）C . （1，1）D . （3，2）10. （2分）曲线与直线y=2x+m有两个交点，则m的取值范围是（）A . m>4或m<-4B . -4<m<4C . m>3或m<-3D . -3<m<311. （2分）已知正三棱柱底面边长是2，，外接球的表面积是，则该三棱柱的侧棱长（）.A .B .C .D .12. （2分） (2018高三上·定州期末) 已知函数，设方程的四个不等实根从小到大依次为，则下列判断中一定成立的是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分） (2019高三上·吉林月考) 若，，则 ________．14. （2分）(2018·浙江模拟) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________，表面积为________15. （1分） (2017高一下·鸡西期末) 直线与直线的距离是________．16. （1分） (2018高三上·河北月考) 已知函数下列四个命题：①f(f（1）)>f（3）；② x0∈(1,+∞),f'(x0)=-1/3；③f(x)的极大值点为x=1；④ x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)-f(x2)|≤1其中正确的有________（写出所有正确命题的序号）三、解答题 (共6题；共60分)17. （5分）设全集是实数集R，集合A={x|x（x﹣3）＜0}，B={x|x≥a}．（1）当a=1时，求∁R（A∪B）；（2）若A∩B≠∅，求实数a的取值范围．18. （15分） (2015高一上·腾冲期末) 已知点A（1，3）B（3，1），C（﹣1，0）求：（1）求BC及BC边上的中线所在直线的方程；（2）求BC边上的垂直平分线所在直线方程；（3）求△ABC的面积．19. （10分）(2018高一下·四川期末) 如图1所示，在等腰梯形中，.把沿折起，使得，得到四棱锥 .如图2所示.（1）求证：面面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.20. （15分） (2016高一上·东海期中) 已知函数（x∈R）．（1）求函数f（x）的值域；（2）①判断函数f（x）的奇偶性；②用定义判断函数f（x）的单调性；（3）解不等式f（1﹣m）+f（1﹣m2）＜0．21. （5分）求两条垂直的直线2x+y+2=0与ax﹣y﹣2=0的交点坐标．22. （10分） (2018高二下·中山月考) 如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A、B 及CD的中点P 处，已知AB=20km,CB =10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且与A、B等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO、BO、OP ，设排污管道的总长度为 km．（1）按下列要求写出函数关系式：①设∠BAO= (rad)，将表示成的函数；②设OP (km) ，将表示成的函数．（2）请选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使铺设的排污管道总长度最短．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、18-1、18-2、18-3、19-1、20-1、20-2、20-3、21-1、22-1、22-2、。
上海市浦东新区高一上学期期末考试数学试卷含答案
上海市浦东新区2021--2022学年度第一学期期末考试高一年级数学试卷试卷共 4 页考生注意：1、答卷前，考生务必将姓名、班级、学号等在指定位置填写清楚； 2、本试卷共有21道试题，满分100分，考试时间90分钟；3、请考生用黑色水笔或圆珠笔将答案写在答题(卡)卷上；一、填空题（每小题3分，共36分） 1、若43πα=，则α的终边在第________象限. 2、如果32a =，那么3log 8=______．（用a 表示）3、设集合{}1,A a =，{}21,B a =．若A B =，则实数a 的值为______．4、某扇形的圆心角为2弧度，半径为4cm ，则该扇形的面积为___________2cm .5、已知常数0a >且1a ≠，假设无论a 为何值，函数12x y a -=+的图像恒经过一个定点，则这个点的坐标为_________.6、若幂函数()f x 过点()2,8，则满足不等式()()310f a f a -+-≤的实数a 的取值范围是______.7、已知()()sin cos πθπθ-++=1tan tan θθ+的值是___________.8、设函数1221(0)()(0)x x f x x x -⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩,若0()1f x >，则0x 的取值范围是________. 9、设x R ∈，求方程|2||23||35|x x x -+-=- 的解集__________ 10、设,0a b >，若41a b +=，则22log log a b +的最大值为__________．11、已知函数223,[,0]y x x x m =++∈的最大值为3，最小值为2，则实数m 的取值范围是____________.12、已知R λ∈，函数()24,43,x x f x x x x λλ-≥⎧=⎨-+<⎩，若函数()y f x =图像与x 轴恰有两个交点，则实数λ的取值范围是______________.二、选择题：（每题3分，共12分）13、下列四个命题中，为真命题的是（ ）A ．若a b >，则22ac bc > B.若a b >，c d >，则a c b d ->- C ．若||a b >，则22a b > D ．若a b >，则11a b< 14、若不等式20ax bx c ++>的解集是{|x 1123x -<<}，则不等式20cx bx a +<+的解集是（ ）. A ．(3,2)- B.(2,3)- C. (,2)(3,)-∞-+∞ D. (,3)(2,)-∞-+∞15、用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”成立时，假设正确的是（ ） A ．假设三内角都不大于60° B ．假设三内角都大于60°C ．假设三内角至少有一个大于60°D ．假设三内角至多有两个大于60°16、若存在实数a ，使得当[0,]x m ∈（0m >）时，都有2|21|||4x x a -+-≤，则实数m 的最大值是（ ）A ．1B ．32 C ．2 D ． 52【提示】由各选项知最大值m t ≤，由214x -≤，解得3522x -≤≤，这样必须有52m ≤，然后不等式变形为22421421x x a x x -+-≤≤+--，记()2421f x x x =+--，()2421g x x x =-+-，分类讨论去绝对值符号，可得()f x 的最小值是3，因此()g x 的最大值性质不大于3，才存在a 保证不等式恒成立，由最大值()3g m ≤可得m 的范围，得m 的最大值； 三、解答题：(共52分)17、（本题8分）已知集合{||2|3}A x x =-<，集合12{|0}7xB x x -=>-，求集合A B18、（本题8分） 已知sin 0αα=，求 （1）222sin3sin cos 5cos αααα-+的值；（2）若[0,2)απ∈，求角α的值19、（本题12分）某农户利用墙角线互相垂直的两面墙，将一块可折叠的长为a m 的篱笆墙围成一个鸡圈，篱笆的两个端点,A B 分别在这两墙角线上，现有三种方案：方案甲：如图1，围成区域为三角形AOB ； 方案乙：如图2，围成区域为矩形OACB ；方案丙：如图3，围成区域为梯形OACB ，且60OAC ∠=︒.（1）在方案乙、丙中，设m AC x =，分别用x 表示围成区域的面积()22S m ，()23S m ;（2）为使围成鸡圈面积最大，该农户应该选择哪一种方案，并说明理由.20、（本题10分） 设函数()y f x =的表达式为2()||f x x x a =+-，其中a 为实常数. （1）判断函数()y f x =的奇偶性，并说明理由；（2）设0a >,函数()()f x g x x=在区间(0,]a 上为严格减函数，求实数a 的最大值.21、（本题14分） 已知函数()y f x =的定义域为D ，若存在实数a ，b ，对任意的x D ∈，有2-∈a x D ，且使得()(2)2f x f a x b +-=均成立，则函数()y f x =的图像关于点(,)a b 对称，反之亦然，我们把这样的函数()f x 叫做“ψ函数；（1）已知“ψ函数”的图像关于点(1,2)对称，且(0,1)x ∈时，1()f x x x=-；求(1,2)x ∈时，函数()f x 的解析式；（2）已知函数123()1234x x x x f x x x x x +++=+++++++，问()f x 是否为“ψ函数”？请说明理由； （3）对于不同的“ψ函数”()f x 与()g x ，若()f x 、()g x 有且仅有一个对称中心，分别记为(,)m p 和(,)n q ， ①求证：当m n =时，()()f x g x +仍为“ψ函数”；②问：当m n ≠时，()()f x g x +是否仍一定为“ψ函数”？若是，请说明理由；若不一定是，请举出具体的反例；【提示】（1）根据函数图像的对称关系列关系式计算即可；（2）根据“ψ函数”的定义，结合题给的具体函数解析式，计算出a ,b 的值即可得出结果；（3）①根据定义验证即可；②根据定义，举出具体函数验证结论，所举函数不唯一；答案解析2021--2022学年度第一学期期末高一年级数学卷试卷共 4 页考生注意：1、答卷前，考生务必将姓名、班级、学号等在指定位置填写清楚； 2、本试卷共有21道试题，满分100分，考试时间90分钟；3、请考生用黑色水笔或圆珠笔将答案写在答题(卡)卷上；一、填空题（每小题3分，共36分） 1、若43πα=，则α的终边在第________象限. 【提示】注意：高中研究“角”的前提 【答案】三； 【解析】+3παπ=；【说明】本题考查了角是“旋转”的量；高中研究角，前提：在直角坐标系中，顶点在原点，始边在x 轴的正半轴上；2、如果32a =，那么3log 8=______．（用a 表示） 【提示】注意：指数与对数的互化； 【答案】3a ；【解析】方法1、由332log 2aa =⇒=，而33log 83log 23a ==；方法2、333log 83log 23log 33aa ===；【说明】本题主要考查指数与对数的互化或对数的换底公式； 3、设集合{}1,A a =，{}21,B a =．若A B =，则实数a 的值为______．【提示】注意：集合相等的隐含条件； 【答案】0；【解析】由已知，得20a a a =⇒=或1a =（舍去）； 【说明】本题考查了集合相等与集合元素的互异性；4、某扇形的圆心角为2弧度，半径为4cm ，则该扇形的面积为___________2cm . 【提示】注意：扇形的面积公式的相关要素； 【答案】16； 【解析】由221112416222S lr r α===⨯⨯=； 【说明】本题考查了扇形的面积公式，注意：角的单位须：弧度；5、已知常数0a >且1a ≠，假设无论a 为何值，函数12x y a -=+的图像恒经过一个定点，则这个点的坐标为_________.【提示】注意：“指数函数”的图像特征；【答案】(13)，【解析】由指数函数xy a =的图像恒经过一个定点(01)，，所以，函数12x y a -=+的图像恒经过一个定点(13)，；【说明】本题考查了指数函数xy a =的图像特征；6、若幂函数()f x 过点()2,8，则满足不等式()()310f a f a -+-≤的实数a 的取值范围是______. 【提示】注意：幂函数的定义并判断单调性； 【答案】(],2-∞；【解析】由题意，不妨设幂函数()af x x =，因为，若幂函数()f x 过点()2,8，则幂函数为3y x =；又，幂函数为3y x =为奇函数；则不等式()()310f a f a -+-≤，等价为()()()()3131f a f a a a -≤-⇔-≤-，解得2a ≤；【说明】本题既考查了利用待定系数法求幂函数；又综合考查了函数的奇偶性、单调性的交汇；7、已知()()sin cos πθπθ-++=1tan tan θθ+的值是___________.【提示】注意：转化为“同角”； 【答案】3；【解析】由已知()()sin cos 3πθπθ-++=sin cos 3θθ-=；又1tan tan θθ+=sin cos 1cos sin sin cos θθθθθθ+=， 再据21(sin cos )12sin cos 3θθθθ=-=-，解得1sin cos 3θθ=，所以，1tan tan θθ+=sin cos 13cos sin sin cos θθθθθθ+==； 【说明】本题既考查了诱导公式，又综合考查了平方关系及其变式2(sin cos )12sin cos θθθθ±=±；8、设函数1221(0)()(0)x x f x x x -⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩,若0()1f x >，则0x 的取值范围是________. 【提示】注意：分段函数；在给定区间上利用单调性进行转化； 【答案】(,1)(1,)-∞-+∞；【解析】当00x ≤时，由已知，得0010211221x x x --->⇔>⇔<-，即01x <-；当00x >时，由已知，得111222000111x x x >⇔>⇔>，即01x > 综上，可得01x <-或01x >；【说明】本题考查了依据分段函数，结合指数函数与幂函数的单调性进行等价转化为不等式解之； 9、设x R ∈，求方程|2||23||35|x x x -+-=- 的解集__________ 【提示】注意：题设中“(2)(23)(35)x x x -+-=-”的特点；【答案】3(,][2,)2-∞+∞；【解析】由三角不等式|35||(2)(23)||2||23|x x x x x -=-+-≤-+-，等号成立条件是：(2)(23)|0x x -⋅-≥，解得32x ≤或2x ≥，即3(,][2,)2-∞+∞； 【说明】本题基本方法是：分段讨论或借助函数数形结合，计算量大；但是，若能理解与用好“新教材”中的三角不等式与等号成立条件，则简捷合理；10、设,0a b >，若41a b +=，则22log log a b +的最大值为__________．【提示】注意：限制条件，研究“最大值”的目标是：小于等于常数，并保证等号成立； 【答案】4-；【解析】由,0a b >，若41a b +=，结合基本不等式，得1142416a b ab ab =+≥⇔≤（等号，当且仅当“41a b +=且4a b =”时成立）； 而22221log log log log 416a b ab +=≤=- 【说明】本题既考查了基本不等式，又考查了对数的运算法则；有一定的综合性；11、已知函数223,[,0]y x x x m =++∈的最大值为3，最小值为2，则实数m 的取值范围是____________. 【提示】画出函数的图像，对称轴为1x =-，函数在对称轴的位置取得最小值2，令2()233f x x x =++=，可求得0x =，或2x =-，进而得到参数范围； 【答案】[2,1]--；【解析】函数2()23f x x x =++的图象是开口朝上，且以直线1x =-为对称的抛物线， 当1x =-时，函数取最小值2，令2()233f x x x =++=，则0x =，或2x =-，若函数2()23f x x x =++在[],0m 上的最大值为3，最小值为2，则[]2,1m ∈--，故答案为：[]2,1--；【说明】本题主要考查一元二次函数给定，区间变化；数形结合解答这类填充、选择题最有效；12、已知R λ∈，函数()24,43,x x f x x x x λλ-≥⎧=⎨-+<⎩，若函数()y f x =图像与x 轴恰有两个交点，则实数λ的取值范围是______________.【提示】注意：关键词“函数()y f x =图像”、“x 轴恰有两个交点” 【答案】 (]()1,34,+∞；【解析】方法1、由题意，函数()y f x =图像与x 轴恰有两个交点，就是方程()0f x =有两个根； 分别解出方程40x -=有一个根：14x =，方程2430x x -+=有两个根21x =或33x =；所以，当1λ≤时，方程()0f x =有1个根；当13λ<≤时，方程()0f x =有2个根； 当34λ<≤时，方程()0f x =有3个根；当4λ>时，方程()0f x =有2个根； 综上，(]()1,34,λ∈+∞；方法2、画出函数()24,43,x x f x x x x λλ-≥⎧=⎨-+<⎩的图像，如图据图，得（同方法1）【说明】本题主要考查了分段函数、初等函数的图像；以及新教材中“零点”的定义与“三种等价”形式，渗透了函数与方程思想与数形结合的数学思想方法的考查； 二、选择题：（每题3分，共12分）13、下列四个命题中，为真命题的是（ ）A ．若a b >，则22ac bc > B.若a b >，c d >，则a c b d ->- C ．若||a b >，则22a b > D ．若a b >，则11a b< 【提示】注意：不等式性质； 【答案】C ；【解析】由不等式性质22||0a b a b >>⇒> 【说明】本题考查了不等式性质； 14、若不等式20ax bx c ++>的解集是{|x 1123x -<<}，则不等式20cx bx a +<+的解集是（ ）. A ．(3,2)- B.(2,3)- C. (,2)(3,)-∞-+∞ D. (,3)(2,)-∞-+∞【提示】注意：一元二次不等式与一元二次方程的沟通； 【答案】B ；【解析】由不等式20ax bx c ++>的解集是{|x 1123x -<<}，则 得0a <且方程20ax bx c ++=的两个根为：112x =-或213x =，由11()()023c a =-⨯<，则0c >，所以，方程2 0cx bx a +=+的两个根为： 32x =-或43x =，则不等式2 0cx bx a +<+的解集是(2,3)-；【说明】本题综合考查了一元二次不等式与一元二次方程的沟通与一元二次方程根的定义；15、用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”成立时，假设正确的是（ ） A ．假设三内角都不大于60° B ．假设三内角都大于60°C ．假设三内角至少有一个大于60°D ．假设三内角至多有两个大于60°【提示】注意审题，关键词“至少有一个不大于”； 【答案】B【说明】本题考查了新教材中新增必修的知识点“反证法”；16、若存在实数a ，使得当[0,]x m ∈（0m >）时，都有2|21|||4x x a -+-≤，则实数m 的最大值是（ ）A ．1B ．32 C ．2 D ． 52【提示】由各选项知最大值m t ≤，由214x -≤，解得3522x -≤≤，这样必须有52m ≤，然后不等式变形为22421421x x a x x -+-≤≤+--，记()2421f x x x =+--，()2421g x x x =-+-，分类讨论去绝对值符号，可得()f x 的最小值是3，因此()g x 的最大值性质不大于3，才存在a 保证不等式恒成立，由最大值()3g m ≤可得m 的范围，得m 的最大值； 【答案】C ；【解析】由各选项知最大值m t ≤，因为214x -≤，解得3522x -≤≤，所以52m ≤；不等式2214x x a -+-≤可化为22421421x x a x x -+-≤≤+--.设()2421f x x x =+--，()2421g x x x =-+-，因为()22123021252x x x f x x x x m ⎧⎛⎫++≤< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩的最小值为3，所以当[]()0,0x m m ∈>时，都有()3g x ≤.若10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()2233g x x x =--≤-；若1,2x m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()2253g x x x =+-≤，所以2280m m +-≤，解得2m ≤.综上，所求实数m 的最大值为2； 故选：C ；【说明】本题综合考查了分段函数、函数的最值、绝对值不等式、一元二次函数在给定区间上求最值；解题的切入点是：通过绝对值的性质挖掘自变量x 的隐含条件，由此得出52m ≤的隐含条件；从而，等价为一元二次函数在给定区间上求最值与恒成立问题； 三、解答题：(共52分)17、（本题8分）已知集合{||2|3}A x x =-<，集合12{|0}7xB x x -=>-，求集合A B 【提示】先利用“解不等式”知识，化简集合； 【解析】由条件可知，(1,5)A =-，1(,7)2B =，所以，(1,7)AB =-；【说明】本题考查了简单的绝对值不等式、分式不等式的解法与集合的并集运算；18、（本题8分） 已知sin 0αα=，求 （1）222sin3sin cos 5cos αααα-+的值；（2）若[0,2)απ∈，求角α的值【提示】注意：关于sin ,cos αα的“齐次式”的运算技巧，已知三角比求角，注意角的范围；【解析】由条件可知sin αα=，所以tan α=222222222sin 3sin cos 5cos 2tan 3tan 52sin 3sin cos 5cos =sin cos tan 1ααααααααααααα-+-+-+=++，所以，原式（2）由tan α=[0,2)απ∈，所以，25,33ππα=； 【说明】本题考查了同角三角比之间关系与已知三角比求角；而本题若注意“关于sin ,cos αα的“齐次式””，采用先化简后计算，则解答更简捷；19、（本题12分）某农户利用墙角线互相垂直的两面墙，将一块可折叠的长为a m 的篱笆墙围成一个鸡圈，篱笆的两个端点,A B 分别在这两墙角线上，现有三种方案：方案甲：如图1，围成区域为三角形AOB ； 方案乙：如图2，围成区域为矩形OACB ；方案丙：如图3，围成区域为梯形OACB ，且60OAC ∠=︒.（1）在方案乙、丙中，设m AC x =，分别用x 表示围成区域的面积()22S m ，()23S m ;（2）为使围成鸡圈面积最大，该农户应该选择哪一种方案，并说明理由. 【提示】（1）根据矩形面积与梯形的面积公式表示即可得答案；（2）先根据基本不等式研究方案甲得面积的最大值为24a ，再根据二次函数的性质结合（1）研究2S ，3S 的最大值即可得答案；【答案】（1）22S x ax =-+，0x a <<；23333S x =，0x a <<；（2）农户应该选择方案三； 【解析】（1）对于方案乙，当AC x =时，()m BC a x =-，所以矩形OACB 的面积()22S x a x x ax =-=-+，0x a <<；对于方案丙，当AC x =时，()m BC a x =-，由于60OAC ∠=︒ 所以113,22OA a x x a x OB =-+=-=， 所以梯形OACB 的面积为311313322222S a x a x a x ⎛⎫⎛⎫=-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2333=，0x a <<.（2）对于方案甲，设,AO x BO y ==，则222x y a +=，所以三角形AOB 的面积为2221112224x y a S xy +=≤⋅=，当且仅当2x y ==时等号成立，故方案甲的鸡圈面积最大值为24a ；对于方案乙，由（1）得22222244a a a S x ax x ⎛⎫=-+=--+≤ ⎪⎝⎭，0x a <<，当且仅当2a x =时取得最大值24a ，故方案乙的鸡圈面积最大值为24a ；对于方案丙，22343S x ax ⎫==-⎪⎝⎭2222242393a a x a x ⎤⎛⎫⎫=--=-⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，0x a <<. 当且仅当23a x =22； 由于()()()123max max max S S S =<所以农户应该选择方案丙，此时鸡圈面积最大；【说明】本题综合考查了利用函数模型建立函数关系式；然后通过求相应函数的“最值”，确定选择方案； 20、（本题10分） 设函数()y f x =的表达式为2()||f x x x a =+-，其中a 为实常数. （1）判断函数()y f x =的奇偶性，并说明理由；（2）设0a >,函数()()f x g x x=在区间(0,]a 上为严格减函数，求实数a 的最大值. 【提示】（1）利用奇偶性的定义，讨论0a =和0a ≠即可；（2）利用单调性的定义得出120x x a -<，进而得出20a a a ⎧≥⎨>⎩即可求出；【答案】（1）当0a =时，()y f x =为偶函数，当0a ≠时，()y f x =为非奇非偶函数；（2）1； 【解析】（1）可得()f x 的定义域为R ，关于原点对称，()22()||||f x x x a x x a -=-+--=++， 当0a =时，()()f x f x -=，则()f x 为偶函数，当0a ≠时，()()f x f x -≠且()()f x f x -≠-，则()f x 为非奇非偶函数；（2）当(]0,x a ∈，2()()1x x a f x ag x x x x x+-===+-，任取120x x a <<≤， 则()()()()121212121212x x x x a a a g x g x x x x x x x ---=+--=，因为，120x x a <<≤，所以，120x x -<且2120x x a <<，因为，()g x 在区间(0，a ]上为严格减函数，所以，120x x a -<，即12a x x >恒成立，所以，2a a a ⎧≥⎨>⎩，解得01a <≤，所以， a 的最大值为1；【说明】本题综合考查了函数奇偶性的判断依据与方法，与分类讨论进行了简单的交汇；以及利用定义证明单调性的基本方法与步骤；【注意】利用定义判断函数单调性的步骤：（1）在定义域内任取12x x <；（2）计算()()12f x f x -并化简整理；（3）判断()()12f x f x -的正负； （4）得出结论，若()()120f x f x -<，则()f x 单调递增；若()()120f x f x ->，则()f x 单调递减； 21、（本题14分） 已知函数()y f x =的定义域为D ，若存在实数a ，b ，对任意的x D ∈，有2-∈a x D ，且使得()(2)2f x f a x b +-=均成立，则函数()y f x =的图像关于点(,)a b 对称，反之亦然，我们把这样的函数()f x 叫做“ψ函数；（1）已知“ψ函数”的图像关于点(1,2)对称，且(0,1)x ∈时，1()f x x x=-；求(1,2)x ∈时，函数()f x 的解析式；（2）已知函数123()1234x x x x f x x x x x +++=+++++++，问()f x 是否为“ψ函数”？请说明理由； （3）对于不同的“ψ函数”()f x 与()g x ，若()f x 、()g x 有且仅有一个对称中心，分别记为(,)m p 和(,)n q ， ①求证：当m n =时，()()f x g x +仍为“ψ函数”；②问：当m n ≠时，()()f x g x +是否仍一定为“ψ函数”？若是，请说明理由；若不一定是，请举出具体的反例；【提示】（1）根据函数图像的对称关系列关系式计算即可；（2）根据“ψ函数”的定义，结合题给的具体函数解析式，计算出a ,b 的值即可得出结果；（3）①根据定义验证即可；②根据定义，举出具体函数验证结论，所举函数不唯一； 【答案】（1）()12(12)2f x x x x=++<<-；（2）()f x 是“ψ函数”；（3）()()f x g x +①仍为“ψ函数”；m n ≠②时，()()f x g x +不一定是“ψ函数”；【解析】（1）根据“ψ函数”的概念，()()24f x f x +-=，所以， ()()42f x f x =--，()1,2x ∈时，()()20,1x -∈，又 ()0,1x ∈时，()1f x x x=-， ()1,2x ∈时，()()()114242222f x f x x x x x ⎡⎤=--=---=++⎢⎥--⎣⎦， 即()1,2x ∈时，()f x 的解析式为 ()12(12)2f x x x x=++<<-； （2）方法1、根据题意，取52a =-，上式计算得()()58f x f x +--=，此时 4b =；所以函数()f x 是“ψ函数”； 方法2、()1234123412111134x x x x f x x x x x x x x x +++=+++=----++++++++， 所以，()5441121113f x x x x x --=------------；所以，()(5)8f x f x +--=；所以，()f x 关于点5(,4)2-对称，故函数()f x 是ψ函数； （3）根据题意，()()()()22,22f x f m x p g x g n x q +-=+-=，m n =①时，()()()()()22222f x f n x g x g n x p q p q +-++-=+=+，所以此时()()f x g x +仍为“ψ函数”；m n ≠时，()()f x g x +不一定是“ ψ函数”；设()1f x x=，易知函数()f x 图像关于 ()0,0对称，得0,0m p ==； 设()1xg x x =+，知函数()g x 图像关于()1,1-对称，得1,1n q =-=， ()()2123221222312342122232412311114123421222324f x f a x x x x x a x a x a x a x x x x x a x a x a x a x x x x x x x x x x a x a x a x a +-+++--+-+-+=+++++++++++-+-+-+-++++=++++++++++++--------此时，()()11x f x g x x x +=++，其图像不关于某一点对称，即不是“ ψ函数”；结论得证； 【说明】本题借助“新定义”，考查了新教材依据奇函数的定义，研究奇函数的图像关于原点对称的过程、方法与拓展；体现了考试试题“源于教材，又高于教材”的特点；。
上海市宝山区201x-201x学年高一上学期期末数学试卷 Word版含解析
上海市宝山区2021-2021 学年高一上学期期末数学试卷一、填空题〔本大题共有12题，总分值36分〕考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否那么一律得零分．1．〔3分〕函数y=log2〔x﹣1〕的定义域是．2．〔3分〕设全集U=R，集合S={x|x≥﹣1}，那么∁U S=．3．〔3分〕设关于x的函数y=〔k﹣2〕x+1是R上的增函数，那么实数k的取值范围是．4．〔3分〕x=log75，用含x的式子表示log7625，那么log7625=．5．〔3分〕函数y=的最大值为．6．〔3分〕假设函数f〔x〕=﹣a是奇函数，那么实数a的值为．7．〔3分〕假设不等式x2﹣mx+n＜0〔m，n∈R〕的解集为〔2，3〕，那么m﹣n=．8．〔3分〕设α：0≤x≤1，β：m≤x≤2m+5，假设α是β的充分条件，那么实数m的取值范围是．9．〔3分〕设a，b均为正数，那么函数f〔x〕=〔a2+b2〕x+ab的零点的最小值为．10．〔3分〕给出以下命题：①直线x=a与函数y=f〔x〕的图象至少有两个公共点；②函数y=x﹣2在〔0，+∞〕上是单调递减函数；③幂函数的图象一定经过坐标原点；④函数f〔x〕=a x﹣2〔a＞0，a≠1〕的图象恒过定点〔2，1〕．⑤设函数y=f〔x〕存在反函数，且y=f〔x〕的图象过点〔1，2〕，那么函数y=f﹣1〔x〕﹣1的图象一定过点〔2，0〕．其中，真命题的序号为．11．〔3分〕设函数f〔x〕〔x∈R〕满足|f〔x〕+〔〕2|≤，且|f〔x〕﹣〔〕2|≤．那么f〔0〕=．12．〔3分〕假设F〔x〕=a•f〔x〕g〔x〕+b•+c〔a，b，c均为常数〕，那么称F〔x〕是由函数f〔x〕与函数g〔x〕所确定的“a→b→c〞型函数．设函数f1〔x〕=x+1与函数f2〔x〕=x2﹣3x+6，假设f〔x〕是由函数f1﹣1〔x〕+1与函数f2〔x〕所确定的“1→0→5〞型函数，且实数m，n 满足f〔m〕=f〔n〕=6，那么m+n的值为．二、选择题〔本大题共有4题，总分值12分〕每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否那么一律得零分．13．〔3分〕“a＞1〞是“a＞0〞的〔〕A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件14．〔3分〕函数y=x+〔x＞0〕的递减区间为〔〕A．〔0，4] B．C．15．〔3分〕如图为函数f〔x〕=t+log a x的图象〔a，t均为实常数〕，那么以下结论正确的选项是〔〕A．0＜a＜1，t＜0 B．0＜a＜1，t＞0 C．a＞1，t＜0 D．a＞1，t＞0 16．〔3分〕设g〔x〕=|f〔x+2m〕﹣x|，f〔t〕为不超过实数t的最大整数，假设函数g〔x〕存在最大值，那么正实数m的最小值为〔〕A．B．C．D．三、解答题〔本大题共有5题，总分值52分〕解答以下各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．〔8分〕解不等式组：．18．〔8分〕某“农家乐〞接待中心有客房200间，每间日租金为40元，每天都客满．根据实际需要，该中心需提高租金．如果每间客房日租金每增加4元，客房出租就会减少10间．〔不考虑其他因素〕〔1〕设每间客房日租金提高4x元〔x∈N+，x＜20〕，记该中心客房的日租金总收入为y，试用x表示y；〔2〕在〔1〕的条件下，每间客房日租金为多少时，该中心客房的日租金总收入最高？19．〔10分〕f〔x〕=|x+a|〔a＞﹣2〕的图象过点〔2，1〕．〔1〕求实数a的值；〔2〕如下列图的平面直角坐标系中，每一个小方格的边长均为1．试在该坐标系中作出函数y=的简图，并写出〔不需要证明〕它的定义域、值域、奇偶性、单调区间．20．〔12分〕设函数f〔x〕=log m〔1+mx〕﹣log m〔1﹣mx〕〔m＞0，且m≠1〕．〔1〕判断f〔x〕的奇偶性；〔2〕当m=2时，解方程f〔6x〕=1；〔3〕如果f〔u〕=u﹣1，那么，函数g〔x〕=x2﹣ux的图象是否总在函数h〔x〕=ux﹣1的图象的上方？请说明理由．21．〔14分〕对于四个正数x，y，z，w，如果xw＜yz，那么称〔x，y〕是〔z，w〕的“下位序对〞．〔1〕对于2，3，7，11，试求〔2，7〕的“下位序对〞；〔2〕设a，b，c，d均为正数，且〔a，b〕是〔c，d〕的“下位序对〞，试判断，，之间的大小关系；〔3〕设正整数n满足条件：对集合{t|0＜t＜2021}内的每个m∈N+，总存在k∈N+，使得〔m，2021〕是〔k，n〕的“下位序对〞，且〔k，n〕是〔m+1，2021 〕的“下位序对〞．求正整数n的最小值．上海市宝山区2021-2021 学年高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题〔本大题共有12题，总分值36分〕考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否那么一律得零分．1．〔3分〕函数y=log2〔x﹣1〕的定义域是〔1，+∞〕．考点：对数函数的定义域．专题：计算题．分析：由函数的解析式知，令真数x﹣1＞0即可解出函数的定义域．解答：解：∵y=log2〔x﹣1〕，∴x﹣1＞0，x＞1函数y=log2〔x﹣1〕的定义域是〔1，+∞〕故答案为〔1，+∞〕点评：此题考察求对数函数的定义域，熟练掌握对数函数的定义及性质是正确解答此题的关键．2．〔3分〕设全集U=R，集合S={x|x≥﹣1}，那么∁U S={x|x＜1}．考点：补集及其运算．专题：集合．分析：由全集U=R，以及S，求出S的补集即可．解答：解：∵全集U=R，集合S={x|x≥﹣1}，∴∁U S={x|x＜1}，故答案为：{x|x＜1}．点评：此题考察了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解此题的关键．3．〔3分〕设关于x的函数y=〔k﹣2〕x+1是R上的增函数，那么实数k的取值范围是〔2，+∞〕．考点：函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：直接利用一次函数时单调递增函数求出参数k的范围．解答：解：关于x的函数y=〔k﹣2〕x+1是R上的增函数所以：k﹣2＞0解得：k＞2所以实数k的取值范围为：〔2，+∞〕故答案为：〔2，+∞〕点评：此题考察的知识要点：一次函数单调性的应用．属于根底题型．4．〔3分〕x=log75，用含x的式子表示log7625，那么log7625=4x．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数的运算性质即可得出．解答：解：∵x=log75，∴log7625==4x，故答案为：4x．点评：此题考察了对数的运算性质，属于根底题．5．〔3分〕函数y=的最大值为2．考点：函数的值域．专题：函数的性质及应用．分析：首先把二次函数转化成标准型，进一步利用定义域求出函数的最值．解答：解：函数=函数的定义域{x|0＜x＜4}所以：当x=2时，函数取最小值所以：y min=2故答案为：2点评：此题考察的知识要点：二次函数的性质的应用，属于根底题型．6．〔3分〕假设函数f〔x〕=﹣a是奇函数，那么实数a的值为1．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据奇函数的结论：f〔0〕=0列出方程，求出a的值即可．解答：解：因为奇函数f〔x〕=﹣a的定义域是R，所以f〔0〕=﹣a=0，解得a=1，故答案为：1．点评：此题考察奇函数的性质的应用，属于根底题．7．〔3分〕假设不等式x2﹣mx+n＜0〔m，n∈R〕的解集为〔2，3〕，那么m﹣n=﹣1．考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系，求出m、n的值即可．解答：解：∵不等式x2﹣mx+n＜0〔m，n∈R〕的解集为〔2，3〕，∴对应方程x2﹣mx+n=0的两个实数根2和3，由根与系数的关系，得，∴m﹣n=5﹣6=﹣1．故答案为：﹣1．点评：此题考察了不等式的解法与应用问题，也考察了根与系数的应用问题，是根底题目．8．〔3分〕设α：0≤x≤1，β：m≤x≤2m+5，假设α是β的充分条件，那么实数m的取值范围是．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分条件和必要条件的关系转化为不等式之间的关系，进展判断即可．解答：解：∵α：0≤x≤1，β：m≤x≤2m+5，∴α是β的充分条件，那么，即，解得﹣2≤m≤0，故答案为：．点评：此题主要考察充分条件和必要条件的应用，根据充分条件和必要条件的关系转化为不等式之间的关系是解决此题的关键．9．〔3分〕设a，b均为正数，那么函数f〔x〕=〔a2+b2〕x+ab的零点的最小值为﹣．考点：函数零点的判定定理．专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：函数f〔x〕=〔a2+b2〕x+ab的零点即方程〔a2+b2〕x+ab=0的解，由根本不等式求最值．解答：解：函数f〔x〕=〔a2+b2〕x+ab的零点即方程〔a2+b2〕x+ab=0的解，x=﹣≥﹣；当且仅当a=b时，等号成立；故答案为：﹣．点评：此题考察了函数的零点与方程的根的关系应用及根本不等式的应用，属于根底题．10．〔3分〕给出以下命题：①直线x=a与函数y=f〔x〕的图象至少有两个公共点；②函数y=x﹣2在〔0，+∞〕上是单调递减函数；③幂函数的图象一定经过坐标原点；④函数f〔x〕=a x﹣2〔a＞0，a≠1〕的图象恒过定点〔2，1〕．⑤设函数y=f〔x〕存在反函数，且y=f〔x〕的图象过点〔1，2〕，那么函数y=f﹣1〔x〕﹣1的图象一定过点〔2，0〕．其中，真命题的序号为②④⑤．考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：①，利用函数的概念〔自变量与函数值一一对应〕可判断①；②，利用幂函数的性质可知y=x﹣2在〔0，+∞〕上是单调递减函数，可判断②；③，幂函数y=x﹣1的图象不经过坐标原点，可判断③；④，利用指数函数的图象与性质，可判断④；⑤，依题意，可知函数y=f﹣1〔x〕的图象过点〔2，1〕，从而可判断⑤．解答：解：对于①，直线x=a与函数y=f〔x〕的图象至多有1个公共点；，故①错误；对于②，由于﹣2＜0，由幂函数的性质可知，函数y=x﹣2在〔0，+∞〕上是单调递减函数，故②正确；对于③，幂函数y=x﹣1的图象不经过坐标原点，故③错误；对于④，函数f〔x〕=a x﹣2〔a＞0，a≠1〕的图象恒过定点〔2，1〕，故④正确；对于⑤，设函数y=f〔x〕存在反函数，且y=f〔x〕的图象过点〔1，2〕，那么函数y=f﹣1〔x〕的图象过点〔2，1〕，y=f﹣1〔x〕﹣1的图象一定过点〔2，0〕，故⑤正确．综上所述，真命题的序号为②④⑤．故答案为：②④⑤．点评：此题考察命题的真假判断及应用，综合考察函数的概念、幂函数的单调性质、指数函数的图象与性质及反函数的概念及应用，属于中档题．11．〔3分〕设函数f〔x〕〔x∈R〕满足|f〔x〕+〔〕2|≤，且|f〔x〕﹣〔〕2|≤．那么f〔0〕=．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：利用赋值法求解，最后用不等式的交集求出结果．解答：解：利用赋值法，令x=0，那么|f〔0〕﹣1|解得：同理：令x=0，那么|f〔0〕|解得：所以：即f〔0〕=故答案为：点评：此题考察的知识要点：赋值法在函数求值中的应用．属于根底题型．12．〔3分〕假设F〔x〕=a•f〔x〕g〔x〕+b•+c〔a，b，c均为常数〕，那么称F〔x〕是由函数f〔x〕与函数g〔x〕所确定的“a→b→c〞型函数．设函数f1〔x〕=x+1与函数f2〔x〕=x2﹣3x+6，假设f〔x〕是由函数f1﹣1〔x〕+1与函数f2〔x〕所确定的“1→0→5〞型函数，且实数m，n 满足f〔m〕=f〔n〕=6，那么m+n的值为2．考点：进展简单的合情推理．专题：综合题；推理和证明．分析：由新定义，确定f〔x〕=x〔x2﹣3x+6〕+5，利用f〔m〕=f〔n〕=6，可得m〔m2﹣3m+6〕=1，n〔n2﹣3n+6〕=7，设m+n=t，那么m=t﹣n，代入m〔m2﹣3m+6〕=1，可得〔t﹣n〕=1，即n3﹣〔3t﹣3〕n2+〔3t2﹣6t+6〕n﹣t3+3t2﹣6t+1=0，对照n2的系数，可得3t ﹣3=﹣3，即可得出结论．解答：解：∵f1〔x〕=x+1，∴f1﹣1〔x〕=x﹣1，即f1﹣1〔x〕+1=x﹣1+1=x，∵f〔x〕是由函数f1﹣1〔x〕+1与函数f2〔x〕所确定的“1→0→5〞型函数，∴f〔x〕=x〔x2﹣3x+6〕+5，由f〔m〕=f〔n〕=6可得f〔m〕=6，f〔n〕=12，即m〔m2﹣3m+6〕=1，n〔n2﹣3n+6〕=7，设m+n=t，那么m=t﹣n，代入m〔m2﹣3m+6〕=1，可得〔t﹣n〕=1，即n3﹣〔3t﹣3〕n2+〔3t2﹣6t+6〕n﹣t3+3t2﹣6t+1=0，对照n2的系数，可得3t﹣3=﹣3，∴t=2故答案为：2．点评：此题考察新定义，考察学生分析解决问题的能力，正确换元是关键．二、选择题〔本大题共有4题，总分值12分〕每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否那么一律得零分．13．〔3分〕“a＞1〞是“a＞0〞的〔〕A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分条件和必要条件的定义进展判断即可．解答：解：假设a＞1，那么a＞0成立，假设a=，满足a＞0，但a＞1不成立，故“a＞1〞是“a＞0〞的充分不必要条件，应选：A点评：此题主要考察充分条件和必要条件的判断，比较根底．14．〔3分〕函数y=x+〔x＞0〕的递减区间为〔〕A．〔0，4] B．C．考点：函数的单调性及单调区间．专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用．分析：首先根据函数的关系式求出函数的导数，进一步利用y′＜0，求出函数的单调递减区间．解答：解：函数y=〔x＞0〕那么：解得：0＜x＜2所以函数的递减区间为：〔0，2〕应选：D点评：此题考察的知识要点：函数的导数的应用，利用函数的导数求函数的单调区间．属于根底题型．15．〔3分〕如图为函数f〔x〕=t+log a x的图象〔a，t均为实常数〕，那么以下结论正确的选项是〔〕A．0＜a＜1，t＜0 B．0＜a＜1，t＞0 C．a＞1，t＜0 D．a＞1，t＞0考点：对数函数的图像与性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据对数函数的图象和性质即可得到答案解答：解：因为对数函数y=t+log a x的图象在定义域内是增函数，可知其底数大于1，由图象可知当x=1时，y=t＜0，应选：C点评：此题考察了对数函数的图象与性质，是根底的概念题．16．〔3分〕设g〔x〕=|f〔x+2m〕﹣x|，f〔t〕为不超过实数t的最大整数，假设函数g〔x〕存在最大值，那么正实数m的最小值为〔〕A．B．C．D．考点：函数的最值及其几何意义．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由题意知，当n﹣1≤x+2m＜n，〔n∈Z〕时，f〔x+2m〕=n﹣1；从而可化简得2m﹣1＜f〔x+2m〕﹣x≤2m，再由最值可得2m≥|2m﹣1|；从而求得．解答：解：∵f〔t〕为不超过实数t的最大整数，∴当n﹣1≤x+2m＜n，〔n∈Z〕时，f〔x+2m〕=n﹣1；故n﹣1﹣2m≤x＜n﹣2m；故2m﹣1＜f〔x+2m〕﹣x≤2m；又∵m＞0；故假设函数g〔x〕存在最大值，那么2m≥|2m﹣1|；故m≥；应选D．点评：此题考察了绝对值函数与分段函数的应用，属于中档题．三、解答题〔本大题共有5题，总分值52分〕解答以下各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．〔8分〕解不等式组：．考点：其他不等式的解法．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：运用二次不等式和分式不等式的解法，分别求出它们，再求交集即可．解答：解：原不等式组可化为，解得，从而有0＜x＜2，所以，原不等式的解集为〔0，2〕．点评：此题考察二次不等式和分式不等式的解法，考察运算能力，属于根底题．18．〔8分〕某“农家乐〞接待中心有客房200间，每间日租金为40元，每天都客满．根据实际需要，该中心需提高租金．如果每间客房日租金每增加4元，客房出租就会减少10间．〔不考虑其他因素〕〔1〕设每间客房日租金提高4x元〔x∈N+，x＜20〕，记该中心客房的日租金总收入为y，试用x表示y；〔2〕在〔1〕的条件下，每间客房日租金为多少时，该中心客房的日租金总收入最高？考点：函数模型的选择与应用．专题：函数的性质及应用．分析：〔1〕设每间客房日租金提高4x元〔x∈N+，x＜20〕，记该中心客房的日租金总收入为y，根据条件即可求出y的表达式；〔2〕利用根本不等式或者一元二次函数的性质求最值即可．解答：解：〔1〕假设每间客房日租金提高4x元，那么将有10x间客房空出，故该中心客房的日租金总收入为y=〔40+4x〕=40〔10+x〕，〔这里x∈N•且x＜20〕．〔2〕∵y=40〔10+x〕≤40〔=40×225=9000，当且仅当10+x=20﹣x，即x=5时，y的最大值为9000，即每间客房日租金为40+4×5=60〔元〕时，该中心客房的日租金总收入最高，其值为9000元．点评：此题主要考察函数的应用问题，根据条件建立函数关系，利用根本不等式的性质求最值是解决此题的关键．此题也可以使用一元二次函数的最值性质解决．19．〔10分〕f〔x〕=|x+a|〔a＞﹣2〕的图象过点〔2，1〕．〔1〕求实数a的值；〔2〕如下列图的平面直角坐标系中，每一个小方格的边长均为1．试在该坐标系中作出函数y=的简图，并写出〔不需要证明〕它的定义域、值域、奇偶性、单调区间．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：〔1〕根据图象过点〔2，1〕，代入求出a的值，〔2〕根据分段函数分段画的原那么，根据函数的图象，我们可以分析出自变量，函数值的取值范围，从而得到定义域和值域，分析出从左到右函数图象上升和下降的区间，即可得到函数的单调区间解答：解：〔1〕依题意得f〔2〕=1，即|2+a|=1，∵a＞﹣2，∴2+a=1，解得a=﹣1，〔2〕由〔1〕可得f〔x〕=|x﹣1|，故y==，即y=．定义域：〔﹣∞，﹣1〕∪〔1，+∞〕，值域：，奇偶性：非奇非偶函数，单调〔递减〕区间：〔﹣∞，0]．点评：此题考察的知识点是分段函数的解析式求法及其图象的作法，函数的定义域及其求法，函数的值域，函数的图象，其中利用零点分段法求出函数的解析式是解答此题的关键．20．〔12分〕设函数f〔x〕=log m〔1+mx〕﹣log m〔1﹣mx〕〔m＞0，且m≠1〕．〔1〕判断f〔x〕的奇偶性；〔2〕当m=2时，解方程f〔6x〕=1；〔3〕如果f〔u〕=u﹣1，那么，函数g〔x〕=x2﹣ux的图象是否总在函数h〔x〕=ux﹣1的图象的上方？请说明理由．考点：对数函数图象与性质的综合应用；对数函数的图像与性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：〔1〕先求出函数f〔x〕的定义域为〔﹣，〕，再确定f〔﹣x〕=log m〔1﹣mx〕﹣log m〔1+mx〕﹣f〔x〕即可；〔2〕当m=2时，f〔x〕=log2〔1+2x〕﹣log2〔1﹣2x〕，由f〔6x〕=1得log2〔1+2•6x〕﹣log2〔1﹣2•6x〕=1，从而求解；〔3〕方法一：注意到f〔x〕的定义域为〔﹣，〕．假设m＞1，那么﹣＜u＜，即u2＜1；假设0＜m＜1，那么考虑函数F〔x〕=f〔x〕﹣x+1，也可得到u2＜1；那么g〔x〕﹣h〔x〕=〔x2﹣ux〕﹣〔ux﹣1〕=〔x﹣u〕2+1﹣u2≥1﹣u2＞0，从而证明；方法二：如同方法一讨论，也可构造函数G〔x〕==﹣m x﹣1﹣1，从而同方法一中的方法证明即可．解答：解：〔1〕函数f〔x〕的定义域为〔﹣，〕，关于原点对称；又f〔﹣x〕=log m〔1﹣mx〕﹣log m〔1+mx〕﹣f〔x〕，即f〔﹣x〕=﹣f〔x〕，故f〔x〕为定义域〔﹣，〕上的奇函数．〔2〕当m=2时，f〔x〕=log2〔1+2x〕﹣log2〔1﹣2x〕，由f〔6x〕=1得log2〔1+2•6x〕﹣log2〔1﹣2•6x〕=1，去对数得1+2•6x=2〔1﹣2•6x〕，解得6x=，从而x=﹣1．经检验，x=﹣1为原方程的解．〔3〕方法一：注意到f〔x〕的定义域为〔﹣，〕．假设m＞1，那么﹣＜u＜，即u2＜1；假设0＜m＜1，那么考虑函数F〔x〕=f〔x〕﹣x+1．因log m〔1+mx〕在〔﹣，〕上递减，而log m〔1﹣mx〕在〔﹣，〕上递增，故f〔x〕在〔﹣，〕上递减，又﹣x在〔﹣，〕上递减，所以F〔x〕在〔﹣，〕上也递减；注意到F〔0〕=1＞0，F〔1〕=f〔1〕＜0，所以函数F〔x〕在〔0，1〕上存在唯一零点，即满足f〔u〕=u﹣1的u∈〔0，1〕〔且u唯一〕，故u2＜1．综上所述，u2＜1．于是g〔x〕﹣h〔x〕=〔x2﹣ux〕﹣〔ux﹣1〕=〔x﹣u〕2+1﹣u2≥1﹣u2＞0，即g〔x〕﹣h〔x〕＞0，即对于任一x∈R，均有g〔x〕＞h〔x〕，故函数g〔x〕=x2﹣ux的图象总在函数h〔x〕=ux﹣1图象的上方．方法二：注意到f〔x〕的定义域为〔﹣，〕．假设m＞1，那么﹣＜u＜，即u2＜1；假设0＜m＜1，设函数G〔x〕==﹣m x﹣1﹣1，注意到在〔﹣，〕上递增，m x﹣1在〔﹣，〕上递减，故G〔x〕在〔﹣，〕上递增，又G〔0〕=1﹣＜0，G〔1〕=﹣1＞0，所以函数G〔x〕在〔0，1〕上存在唯一零点，又G〔x〕=0，即f〔x〕=x﹣1，于是，满足f〔u〕=u﹣1的u∈〔0，1〕〔且u唯一〕，故u2＜1．综上所述，u2＜1．于是g〔x〕﹣h〔x〕=〔x2﹣ux〕﹣〔ux﹣1〕=〔x﹣u〕2+1﹣u2≥1﹣u2＞0，即g〔x〕﹣h〔x〕＞0，即对于任一x∈R，均有g〔x〕＞h〔x〕，故函数g〔x〕=x2﹣ux的图象总在函数h〔x〕=ux﹣1图象的上方．点评：此题考察了函数的性质的应用及恒成立问题，同时考察了分类讨论的数学思想应用，属于中档题．21．〔14分〕对于四个正数x，y，z，w，如果xw＜yz，那么称〔x，y〕是〔z，w〕的“下位序对〞．〔1〕对于2，3，7，11，试求〔2，7〕的“下位序对〞；〔2〕设a，b，c，d均为正数，且〔a，b〕是〔c，d〕的“下位序对〞，试判断，，之间的大小关系；〔3〕设正整数n满足条件：对集合{t|0＜t＜2021}内的每个m∈N+，总存在k∈N+，使得〔m，2021〕是〔k，n〕的“下位序对〞，且〔k，n〕是〔m+1，2021 〕的“下位序对〞．求正整数n的最小值．考点：不等式的根本性质．专题：不等式．分析：〔1〕据新定义，代入计算判断即可；〔2〕根据新定义得到ad＜bc，再利用不等式的性质，即可判断；〔3〕由题意得到，继而求出n≥4029，再验证该式对集合{t|0＜t＜2021}内的每个m∈N+的每个正整数m都成立，继而求出最小值解答：解：〔1〕∵3×7＜11×2，∴〔2，7〕的下位序对是〔3，11〕．〔2〕∵〔a，b〕是〔c，d〕的“下位序对〞，∴ad＜bc，∵a，b，c，d均为正数，故﹣=＞0，即﹣＞0，所以＞；同理＜．综上所述，＜＜．〔3〕依题意，得，注意到m，n，l整数，故，于是2021〔mn+n﹣1〕≥2021×2021 k≥2021 〔mn+1〕，∴n≥，该式对集合{t|0＜t＜2021}内的每个m∈N+的每个正整数m都成立∴n≥=4029，∵＜＜，∴＜＜，∴＜＜，∴对集合{t|0＜t＜2021}内的每个m∈N+，总存在k∈N+，使得〔m，2021〕是〔k，n〕的“下位序对〞，且〔k，n〕是〔m+1，2021 〕的“下位序对〞．正整数n的最小值为4029点评：此题考察了新定义的学习和利用，关键掌握读懂新定义，属于难题如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。
上海市曹杨二中2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题(解析版)
上海市曹杨二中 2021-2022 学年高一上学期期末考试数学试题一、填空题（本大题共有 12 小题，满分 54 分，第 1～6 题每题 4 分，第 7～12 题每题 5 分） 1．已知集合 A ＝{0，1，2}，则集合 B ＝{b |b ＝3a ，a ∈A }＝．（用列举法表示）2. 已知 a 为常数，若关于 x 的不等式 2x 2﹣6x +a ＜0 的解集为（m ，2），则 m ＝ ．3. 若一个扇形的弧长和面积均为3，则该扇形的圆心角的弧度数为．6．已知 lg2＝a ，10b ＝3，用 a 、b 表示 log 56＝．9. 已知实数 x 、y 满足 lg x +lg y ＝lg （x +y ），则 x +2y 的最小值为．10. 已知函数 y ＝f （x ）是定义在 R 上的奇函数，且当 x ＞0 时，f （x ）＝x 2﹣ax +4．若 y ＝f（x ）的值域为 R ，则实数 a 的取值范围是．二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分） 13．已知角 α 的终边经过点 P （2，﹣1），则 sin α+cos α＝（）14．已知 a 、b ∈R ，h ＞0．则“|a ﹣b |＜2h ”是“|a |＜h 且|b |＜h ”的（）4．已知全集U ＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A 、B 均为U 的子集．若A ∩B ＝{5}， ，则A ＝．5．已知幂函数的图像经过点，则该函数的表达式为．7．已知 ，化简：＝．8．已知函数y ＝f （x ）的表达式为 ，则函数y ＝f 〖f （x ）〗的所有零点之和为．11．已知函数y ＝f （x ）的表达式为若存在实数x 0，使得对于任意的实数x 都有f （x ）≤f （x 0）成立，则实数a 的取值范围是 ． 12．已知常数a ＞0，函数y ＝（f x ）、y ＝g （x ）的表达式分别为 、．若对任意x 1∈ 〖﹣a ，a 〗，总存在x 2 ∈〖﹣a ，a 〗，使得（f x 2 ） ≥g （x 1），则a 的最大值为 ．A ．B ．C ．D ．A.充分不必要条件C．充要条件B.必要不充分条件D．既不充分也不必要条件15．在用计算机处理灰度图像（即俗称的黑白照片）时，将灰度分为256 个等级，最暗的黑色用0 表示，最亮的白色用255 表示，中间的灰度根据其明暗渐变程度用0 至255 之间对应的数表示，这样可以给图像上的每个像素赋予一个“灰度值”．在处理有些较黑的图像时，为了增强较黑部分的对比度，可对图像上每个像素的灰度值进行转换，扩展低灰度级，压缩高灰度级，实现如图所示的效果：则下列可以实现该功能的一种函数图象是（）A．0 B．1 C．2 D．3三、解答题（本大题共有 5 题，满分76 分）（1）求集合A 和集合B；（2）求A∪B＝B，求实数m 的取值范围．A．B．C．D．16．已知x、y、z是互不相等的正数，则在x（1﹣y）、y（1﹣z）、z（1﹣x）三个值中，大于的个数的最大值是（）17．（14分）已知m≥1，设集合，B＝{x||x﹣2m|＞m﹣1}．18．（14分）已知函数y＝f（x）是函数的反函数．（1）求函数y＝f（x）的表达式，写出定义域D；（2）判断函数y＝f（x）的单调性，并加以证明．19．（14分）培养某种水生植物需要定期向水中加入营养物质N．已知向水中每投放1个单位的物质N，则t（t∈〖0，24〗）小时后，水中含有物质N的浓度增加y mol/L，y与t的函数关系可近似地表示为根据经验，当水中含有物质N的浓度不低于2mol/L时，物质N才能有效发挥作用．（1）若在水中首次投放1 个单位的物质N，计算物质N 能持续有效发挥作用的时长；（2）若t＝0 时在水中首次投放1 个单位的物质N，t＝16 时再投放1 个单位的物质N，试判断当t∈〖16，24〗时，水中含有物质N 的浓度是否始终不超过3mol/L，并说明理由．2 12（1） 若函数 y ＝f （x ）为偶函数，求 a 的值； （2） 若 a ＞0，求函数 y ＝f （x ）•f （﹣x ）的最小值；（3） 若方程 f （x ）＝6 有两个不相等的实数解 x 1、x ，且|x ﹣x |≤1，求 a 的取值范围．21．（18 分）已知定义在 R 上的函数 y ＝f （x ）满足：y ＝f （x ）在区间〖1，3）上是严格增函数，且其在区间〖1，3）上的图像关于直线 y ＝x 成轴对称． （1）求证：当 x ∈〖1，3）时，f （x ）＝x ；（2） 若对任意给定的实数 x ，总有 f （x +2）＝f （x ），解不等式 f （x ）≥x 2；（3）若 y ＝f （x ）是 R 上的奇函数，且对任意给定的实数 x ，总有 f （3x ）＝3f （x ），求f （x ）的表达式．20．（16分）已知a 为常数，设函数y ＝f （x ）的表达式为 ．由根与系数的关系知 ，解得m ＝1，a ＝4．故答案为：1．3．〖解析〗根据扇形的面积公式S ＝lr 可得：3＝ ×3r ，解得r ＝2cm ，再根据弧长公式可得该扇形的圆心角的弧度数α＝ ＝ ．故答案为： ． ▁ ▃ ▅ ▇ █ 参 *考 *答 * 案 █ ▇ ▅ ▃ ▁一、填空题（本大题共有 12 小题，满分 54 分，第 1～6 题每题 4 分，第 7～12 题每题 5 分） 1．{0，3，6}〖解 析〗由集合 A ＝{0，1，2}，集合 B ＝{b |b ＝3a ，a ∈A }故集合 B 中的元素有 0，3，6，集合 B ＝{0，3，6}，故答案为：{0，3，6}． 2．1〖解 析〗因为不等式 2x 2﹣6x +a ＜0 的解集为（m ，2），所以 m 和 2 是方程 2x 2﹣6x +a ＝0 的解，4．{5，7}〖解 析〗全集 U ＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合 A 、B 均为 U 的子集．〖解 析〗设幂函数的解析式为：y ＝x α，〖解 析〗∵10b ＝3，∴b ＝lg3，又∵lg2＝a ， A ∩B ＝{5}， ，∴A ＝{5，7}．故答案为：{5，7}．5．y ＝由函数图象经过点（4， ），则有4α＝ ，解得：α＝﹣ ，故答案为：y ＝ ．6．∴log 56＝ ＝＝，故答案为：．7．〖解 析〗因为，所以sin，8．2（1）当 x ⩽0 时，y ＝f （x ）＝0，x ＝0，（2）当 x ＞0 时，令 t ＝log 2x ，则 t ∈R ，y ＝f （t ）＝0， 若 t ⩽0，则 t ＝0，即 f （0）＝0，所以 x ＝0（舍去）， 若 t ＞0 时，则 log 2t ＝0，解得 t ＝1，即 log 2x ＝1，所以 x ＝2． 综上所述，函数 y ＝f 〖f （x ）〗的零点为 0，2， 故函数 y ＝f 〖f （x ）〗的所有零点之和为 2．故答案为：2．〖解 析〗∵实数 x 、y 满足 lg x +lg y ＝lg （x +y ），10．〖4，+∞）〖解 析〗函数 y ＝f （x ）是定义在 R 上的奇函数，所以 f （0）＝0，图象关于原点对称，且当 x ＞0 时，f （x ）＝x 2﹣ax +4．若 y ＝f （x ）的值域为 R ，则当 x ＞0 时，f （x ） ≤ ， min故实数 a 的取值范围是〖4，+∞）．故答案为：〖4，+∞）．所以 ＝＝sin ．故答案为： ． 〖解 析〗函数 .9．2 +3∴xy ＝x +y ，且x ＞0，y ＞0，∴ + ＝1， ∴x +2y ＝（x +2y ）（ + ）＝ + +3≥2+3， 当且仅当 ＝，即x ＝+1，y ＝1+时取等号， 则x +2y 的最小值为2 +3，故答案为：2+3．f （x ）＝x 2﹣ax +4的图象开口向上，对称轴为x ＝，f （0）＝4，则 ＞0，f （x ） min ＝f （ ）＝ ﹣ +4≤0，解得a ≥4，12．0 1 2 2 111．〖1，+∞）使得对于任意的实数 x 都有 f （x ）≤f （x ）成立，即函数有最大值 f （x ），又因为当 x ＞a 时，f （x ）＝﹣x +2，单调递减，且 f （x ）＜﹣a +2， 故当 x ≤a 时，f （x ）＝﹣x 2﹣2x ＝﹣（x +1）2+1，所以 1≥﹣a +2 且 a ≥﹣1，故 a ≥1，所以实数 a 的取值范围为〖1，+∞）．故答案为：〖1，+∞）．〖解 析〗∵对任意 x ∈〖﹣a ，a 〗，总存在 x ∈〖﹣a ，a 〗，使得 f （x ）≥g （x ），二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分） 13．C〖解 析〗因为角 α 的终边经过点 P （2，﹣1），所以 sin α＝＝﹣ ，cos α＝ ＝，则 sin α+cos α＝﹣ +＝．故选：C ．〖解 析〗函数若存在实数x 0，∴存在x ∈〖﹣a ，a 〗，使得f （x ）≥g （x ） 2 2 max＝ ，即≥在〖﹣a ，a 〗上有解，即2a 2x 2﹣3x +2a ≤0在〖﹣a ，a 〗上有解，设h （x ）＝2a 2x 2﹣3x +2a ，其对称轴为x ＝ ，若 ＜a ，即a ＞ 时，此时Δ＝9﹣16a 3＜0，则2a 2x 2﹣3x +2a ≤0不成立；若 ≥a ，即0＜a ≤时，只需h （x ） min≤0，即h （a ）＜0即可， 则 ，解得0＜a ≤ ；综上，实数a 的最大值为 ．故答案为： ．14．B〖解析〗由|a﹣b|＜2h 可得：﹣2h＜a﹣b＜2h，由|a|＜h，|b|＜h 可得：﹣h＜a＜h，﹣h＜b＜h，则﹣2h＜a﹣b＜2h，但是如﹣2＜a﹣b＜2 ﹣1＜a＜1 且﹣1＜b＜1，或者0＜a＜1 且﹣1＜b＜2 等等，所以“|a﹣b|＜2h”是“|a|＜h 且|b|＜h”的必要不充分条件，故选：B．15．A〖解析〗根据处理前后的图片变化可知，相对于原图的灰度值，处理后图像上每个像素的灰度值值增加，所以图象在y＝x 上方．故选：A．16．C〖解析〗假设x（1﹣y）、y（1﹣z）、z（1﹣x）三个值都大于，则x（1﹣y）y（1﹣z）z（1﹣x），即x（1﹣x）y（1﹣y）z（1﹣z），∵x、y、z 是互不相等的正数，∴1﹣y＞0，1﹣z＞0，1﹣x＞0，∴x（1﹣x）＝，当且仅当x＝1﹣x即x＝时，等号成立，同理y（1﹣y），z（1﹣z），又x，y，z互不相等，∴x（1﹣x）y（1﹣y）z（1﹣z），这与x（1﹣x）y（1﹣y）z（1﹣z）矛盾，∴假设不成立，∴x（1﹣y）、y（1﹣z）、z（1﹣x）三个值不可能都大于，取x＝，y＝，z＝，则x（1﹣y）＝＝，y（1﹣z）＝＝，z（1﹣x）＝×＝，此时x（1﹣y）、y（1﹣z）、z（1﹣x）中有两个值都大于，所以在x（1﹣y）、y（1﹣z）、z（1﹣x）三个值中，大于的个数的最大值是2，故选：C．三、解答题（本大题共有 5 题，满分76 分）17．解：（1）∵m≥1，集合＝{x| ＜0}＝{x|3＜x＜6}，B＝{x||x﹣2m|＞m﹣1}＝{x|x﹣2m＜1﹣m 或x﹣2m＞m﹣1}＝{x|x＜m+1 或x＞3m﹣1}．19．（1）解：当0≤t ≤12时，由题得 ，解之得4≤t ≤12；当12＜t ≤24时，由题得，解之得12≤t ≤16；所以4≤t ≤16．20．解：（1）若函数y ＝f （x ）为偶函数，则f （﹣x ）＝f （x ），即＝，12 1 2 1 2 1 23 1 3 2（2）f （x ）单调递增，证明如下，设﹣1＜x ＜x ＜1， 则 x ﹣1＜0，x ﹣1＜0，x ﹣x ＜0，所以 t （x ）＜t （x ），所以 log t （x ）＜log t （x ），所以 y ＝f （x ）在（﹣1，1）上单调递增．所以物质 N 能持续有效发挥作用的时长为12 小时．（2） 解：当 t ∈〖16，24〗时，水中含有物质 N 的浓度为 ymol /L ，当且仅当 t ＝20 时等号成立．所以当 t ∈〖16，24〗时，水中含有物质 N 的浓度的最大值为3mol/L ． 所以当 t ∈〖16，24〗时，水中含有物质 N 的浓度始终不超过 3mol/L ．整理得（a ﹣1）（2x ﹣2﹣x ）＝0，所以 a ﹣1＝0，即 a ＝1．（2）∵A ∪B ＝B ，∴A B ，∴6≤m +1或3≥3m ﹣1，解得m ≥5或1≤m ，∴实数m 的取值范围是〖1， 〗∪〖5，+∞）．18．解：（1）由 ，得，所以x ＝log 3，所以f （x ）＝log 3，D ＝（﹣1，1），设t （x ）＝ ＝﹣1﹣ ，则t （x 1 ）﹣t （x ）＝ 2﹣＝＜0，则．（2）函数y ＝f （x ）•f （﹣x ）＝（）（）＝a 2+1+a （22x +），所以函数 y ＝f （x ）•f （﹣x ）的最小值为 a 2+2a +1．（3） 当 a ≤0 时，f （x ）在R 上递增，f （x ）＝6 只有一个实根，不成立；方程 f （x ）＝6 有两个不等的实根等价为 y ＝f （x ）与 y ＝6 的图象有两个交点．且 36﹣4a ＞0，即 0＜a ＜9，则 a 的取值范围是〖8，9）．21．（1）证明：依题意， x ∈〖1，3），函数 y ＝f （x ）的图象上任意点（x ，y ）关于直线 y＝x 对称点（y ，x ）在函数 y ＝f （x ）的图象上， 则有：x ＝f （y ），且 1≤y ＜3，于是得：f （f （x ））＝x ，显然 f （x ）＝x 满足 f （f （x ））＝x ，当 f （x ）≠x 时，若 f （x ）＞x ，而 1≤f （x ）＜3， 又 y ＝f （x ）在区间〖1，3）上是严格增函数， 则 f （f （x ））＞f （x ），即 x ＞f （x ）与 f （x ）＞x 矛盾，若 f （x ）＜x ，而 1≤f （x ）＜3，又 y ＝f （x ）在区间〖1，3）上是严格增函数，则 f （f （x ））＜f （x ），即 x ＜f （x ），与 f （x ）＜x 矛盾， 所以当 x ∈〖1，3）时，f （x ）＝x ；（2）由（1）知，函数 y ＝f （x ）在区间〖1，3）上的值域为〖1，3），函数 y ＝f （x +2）的图象可由 y ＝f （x ）的图象向左平移 2 个单位而得，因为a ＞0，22x + ≥2 ＝2，当且仅当22x ＝ ，即x ＝0时等号成立，所以a 2+1+a （22x + ）≥a 2+2a +1，当a ＞0时， ≥2 ，当且仅当2x ＝ 时，f （x ）取得最小值2 ，当直线y ＝6与y ＝f （x ）相切时，2 ＝6，解得a ＝9；设t ＝2x （t ＞0），则t +＝6，即t 2﹣6t +a ＝0，可得t 1+t 2＝6，t 1t 2 ＝a ，①由|x 1 ﹣x |≤1，可设x ＞x ，可得 2 1 2 ≤2，即 ≤2，②由①②可得t 2 ≥2，且t ＝3﹣ 2 ，解得8≤a ＜9，因对任意给定的实数x，总有f（x+2）＝f（x），则函数y＝f（x）在R上的图象可由数y＝f（x）（x∈〖1，3））的图像向左向右每2个单位平移而得，于是得函数y＝f（x）在R上的值域为〖1，3），由x2＜3得：﹣＜x＜，当﹣3≤x＜﹣1 时，1≤x+4＜3，则f（x）＝f（x+2）＝f（x+4）＝x+4，由f（x）≥x2 得：x2≤x+4，解得≤x≤，则有≤x＜﹣1，当﹣1≤x＜1 时，1≤x+2＜3，则f（x）＝f（x+2）＝x+2，由f（x）≥x2 得：x2≤x+2，解得﹣1≤x≤2，则有﹣1≤x＜1，当1≤x＜3 时，由f（x）≥x2 得：x2≤x，解得0≤x≤1，则有x＝1，综上得：≤x≤1，所以不等式f（x）≥x2的解集是〖，1〗；（3）因对任意给定的实数x，总有f（3x）＝3f（x），n∈N*，当3n≤x＜3n+1时，有1 ，则f（x）＝f（3×）＝3f（3×）＝32f（）＝…＝3n f（）＝3n×＝x，n∈N*，当3﹣n≤x＜3﹣n+1 时，有1≤3n•x＜3，则f（x）＝f（3x）＝f（32x）＝…＝f（3n x）＝×3n x＝x，显然x≥1，函数y＝3x的值域是〖3，+∞），函数y＝3﹣x+1的值域是（0，1〗，则n取尽一切正整数，{x|3﹣n≤x＜3﹣n+1}∪{x|1≤x＜3}∪{x|3n≤x＜3n+1}＝（0，+∞），因此，当x∈（0，+∞）时，f（x）＝x，而y＝f（x）是R 上的奇函数，则当x∈（﹣∞，0）时，﹣x∈（0，+∞），f（x）＝﹣f（﹣x）＝x，又f（0）＝0，所以，x∈R，f（x）＝x，即函数f（x）的表达式是f（x）＝x．上海市曹杨二中 2021-2022 学年高一上学期期末考试数学试题一、填空题（本大题共有 12 小题，满分 54 分，第 1～6 题每题 4 分，第 7～12 题每题 5 分） 1．已知集合 A ＝{0，1，2}，则集合 B ＝{b |b ＝3a ，a ∈A }＝．（用列举法表示）2. 已知 a 为常数，若关于 x 的不等式 2x 2﹣6x +a ＜0 的解集为（m ，2），则 m ＝ ．3. 若一个扇形的弧长和面积均为3，则该扇形的圆心角的弧度数为．6．已知 lg2＝a ，10b ＝3，用 a 、b 表示 log 56＝．9. 已知实数 x 、y 满足 lg x +lg y ＝lg （x +y ），则 x +2y 的最小值为．10. 已知函数 y ＝f （x ）是定义在 R 上的奇函数，且当 x ＞0 时，f （x ）＝x 2﹣ax +4．若 y ＝f（x ）的值域为 R ，则实数 a 的取值范围是．二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分） 13．已知角 α 的终边经过点 P （2，﹣1），则 sin α+cos α＝（）14．已知 a 、b ∈R ，h ＞0．则“|a ﹣b |＜2h ”是“|a |＜h 且|b |＜h ”的（）4．已知全集U ＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A 、B 均为U 的子集．若A ∩B ＝{5}， ，则A ＝．5．已知幂函数的图像经过点，则该函数的表达式为．7．已知 ，化简：＝．8．已知函数y ＝f （x ）的表达式为 ，则函数y ＝f 〖f （x ）〗的所有零点之和为．11．已知函数y ＝f （x ）的表达式为若存在实数x 0，使得对于任意的实数x 都有f （x ）≤f （x 0）成立，则实数a 的取值范围是 ． 12．已知常数a ＞0，函数y ＝（f x ）、y ＝g （x ）的表达式分别为 、．若对任意x 1∈ 〖﹣a ，a 〗，总存在x 2 ∈〖﹣a ，a 〗，使得（f x 2 ） ≥g （x 1），则a 的最大值为 ．A ．B ．C ．D ．A.充分不必要条件C．充要条件B.必要不充分条件D．既不充分也不必要条件15．在用计算机处理灰度图像（即俗称的黑白照片）时，将灰度分为256 个等级，最暗的黑色用0 表示，最亮的白色用255 表示，中间的灰度根据其明暗渐变程度用0 至255 之间对应的数表示，这样可以给图像上的每个像素赋予一个“灰度值”．在处理有些较黑的图像时，为了增强较黑部分的对比度，可对图像上每个像素的灰度值进行转换，扩展低灰度级，压缩高灰度级，实现如图所示的效果：则下列可以实现该功能的一种函数图象是（）A．0 B．1 C．2 D．3三、解答题（本大题共有 5 题，满分76 分）（1）求集合A 和集合B；（2）求A∪B＝B，求实数m 的取值范围．A．B．C．D．16．已知x、y、z是互不相等的正数，则在x（1﹣y）、y（1﹣z）、z（1﹣x）三个值中，大于的个数的最大值是（）17．（14分）已知m≥1，设集合，B＝{x||x﹣2m|＞m﹣1}．18．（14分）已知函数y＝f（x）是函数的反函数．（1）求函数y＝f（x）的表达式，写出定义域D；（2）判断函数y＝f（x）的单调性，并加以证明．19．（14分）培养某种水生植物需要定期向水中加入营养物质N．已知向水中每投放1个单位的物质N，则t（t∈〖0，24〗）小时后，水中含有物质N的浓度增加y mol/L，y与t的函数关系可近似地表示为根据经验，当水中含有物质N的浓度不低于2mol/L时，物质N才能有效发挥作用．（1）若在水中首次投放1 个单位的物质N，计算物质N 能持续有效发挥作用的时长；（2）若t＝0 时在水中首次投放1 个单位的物质N，t＝16 时再投放1 个单位的物质N，试判断当t∈〖16，24〗时，水中含有物质N 的浓度是否始终不超过3mol/L，并说明理由．2 12（1） 若函数 y ＝f （x ）为偶函数，求 a 的值； （2） 若 a ＞0，求函数 y ＝f （x ）•f （﹣x ）的最小值；（3） 若方程 f （x ）＝6 有两个不相等的实数解 x 1、x ，且|x ﹣x |≤1，求 a 的取值范围．21．（18 分）已知定义在 R 上的函数 y ＝f （x ）满足：y ＝f （x ）在区间〖1，3）上是严格增函数，且其在区间〖1，3）上的图像关于直线 y ＝x 成轴对称． （1）求证：当 x ∈〖1，3）时，f （x ）＝x ；（2） 若对任意给定的实数 x ，总有 f （x +2）＝f （x ），解不等式 f （x ）≥x 2；（3）若 y ＝f （x ）是 R 上的奇函数，且对任意给定的实数 x ，总有 f （3x ）＝3f （x ），求f （x ）的表达式．20．（16分）已知a 为常数，设函数y ＝f （x ）的表达式为 ．由根与系数的关系知 ，解得m ＝1，a ＝4．故答案为：1．3．〖解析〗根据扇形的面积公式S ＝lr 可得：3＝ ×3r ，解得r ＝2cm ，再根据弧长公式可得该扇形的圆心角的弧度数α＝ ＝ ．故答案为： ． ▁ ▃ ▅ ▇ █ 参 *考 *答 * 案 █ ▇ ▅ ▃ ▁一、填空题（本大题共有 12 小题，满分 54 分，第 1～6 题每题 4 分，第 7～12 题每题 5 分） 1．{0，3，6}〖解 析〗由集合 A ＝{0，1，2}，集合 B ＝{b |b ＝3a ，a ∈A }故集合 B 中的元素有 0，3，6，集合 B ＝{0，3，6}，故答案为：{0，3，6}． 2．1〖解 析〗因为不等式 2x 2﹣6x +a ＜0 的解集为（m ，2），所以 m 和 2 是方程 2x 2﹣6x +a ＝0 的解，4．{5，7}〖解 析〗全集 U ＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合 A 、B 均为 U 的子集．〖解 析〗设幂函数的解析式为：y ＝x α，〖解 析〗∵10b ＝3，∴b ＝lg3，又∵lg2＝a ， A ∩B ＝{5}， ，∴A ＝{5，7}．故答案为：{5，7}．5．y ＝由函数图象经过点（4， ），则有4α＝ ，解得：α＝﹣ ，故答案为：y ＝ ．6．∴log 56＝ ＝＝，故答案为：．7．〖解 析〗因为，所以sin，8．2（1）当 x ⩽0 时，y ＝f （x ）＝0，x ＝0，（2）当 x ＞0 时，令 t ＝log 2x ，则 t ∈R ，y ＝f （t ）＝0， 若 t ⩽0，则 t ＝0，即 f （0）＝0，所以 x ＝0（舍去）， 若 t ＞0 时，则 log 2t ＝0，解得 t ＝1，即 log 2x ＝1，所以 x ＝2． 综上所述，函数 y ＝f 〖f （x ）〗的零点为 0，2， 故函数 y ＝f 〖f （x ）〗的所有零点之和为 2．故答案为：2．〖解 析〗∵实数 x 、y 满足 lg x +lg y ＝lg （x +y ），10．〖4，+∞）〖解 析〗函数 y ＝f （x ）是定义在 R 上的奇函数，所以 f （0）＝0，图象关于原点对称，且当 x ＞0 时，f （x ）＝x 2﹣ax +4．若 y ＝f （x ）的值域为 R ，则当 x ＞0 时，f （x ） ≤ ， min故实数 a 的取值范围是〖4，+∞）．故答案为：〖4，+∞）．所以 ＝＝sin ．故答案为： ． 〖解 析〗函数 .9．2 +3∴xy ＝x +y ，且x ＞0，y ＞0，∴ + ＝1， ∴x +2y ＝（x +2y ）（ + ）＝ + +3≥2+3， 当且仅当 ＝，即x ＝+1，y ＝1+时取等号， 则x +2y 的最小值为2 +3，故答案为：2+3．f （x ）＝x 2﹣ax +4的图象开口向上，对称轴为x ＝，f （0）＝4，则 ＞0，f （x ） min ＝f （ ）＝ ﹣ +4≤0，解得a ≥4，12．0 1 2 2 111．〖1，+∞）使得对于任意的实数 x 都有 f （x ）≤f （x ）成立，即函数有最大值 f （x ），又因为当 x ＞a 时，f （x ）＝﹣x +2，单调递减，且 f （x ）＜﹣a +2， 故当 x ≤a 时，f （x ）＝﹣x 2﹣2x ＝﹣（x +1）2+1，所以 1≥﹣a +2 且 a ≥﹣1，故 a ≥1，所以实数 a 的取值范围为〖1，+∞）．故答案为：〖1，+∞）．〖解 析〗∵对任意 x ∈〖﹣a ，a 〗，总存在 x ∈〖﹣a ，a 〗，使得 f （x ）≥g （x ），二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分） 13．C〖解 析〗因为角 α 的终边经过点 P （2，﹣1），所以 sin α＝＝﹣ ，cos α＝ ＝，则 sin α+cos α＝﹣ +＝．故选：C ．〖解 析〗函数若存在实数x 0，∴存在x ∈〖﹣a ，a 〗，使得f （x ）≥g （x ） 2 2 max＝ ，即≥在〖﹣a ，a 〗上有解，即2a 2x 2﹣3x +2a ≤0在〖﹣a ，a 〗上有解，设h （x ）＝2a 2x 2﹣3x +2a ，其对称轴为x ＝ ，若 ＜a ，即a ＞ 时，此时Δ＝9﹣16a 3＜0，则2a 2x 2﹣3x +2a ≤0不成立；若 ≥a ，即0＜a ≤时，只需h （x ） min≤0，即h （a ）＜0即可， 则 ，解得0＜a ≤ ；综上，实数a 的最大值为 ．故答案为： ．14．B〖解析〗由|a﹣b|＜2h 可得：﹣2h＜a﹣b＜2h，由|a|＜h，|b|＜h 可得：﹣h＜a＜h，﹣h＜b＜h，则﹣2h＜a﹣b＜2h，但是如﹣2＜a﹣b＜2 ﹣1＜a＜1 且﹣1＜b＜1，或者0＜a＜1 且﹣1＜b＜2 等等，所以“|a﹣b|＜2h”是“|a|＜h 且|b|＜h”的必要不充分条件，故选：B．15．A〖解析〗根据处理前后的图片变化可知，相对于原图的灰度值，处理后图像上每个像素的灰度值值增加，所以图象在y＝x 上方．故选：A．16．C〖解析〗假设x（1﹣y）、y（1﹣z）、z（1﹣x）三个值都大于，则x（1﹣y）y（1﹣z）z（1﹣x），即x（1﹣x）y（1﹣y）z（1﹣z），∵x、y、z 是互不相等的正数，∴1﹣y＞0，1﹣z＞0，1﹣x＞0，∴x（1﹣x）＝，当且仅当x＝1﹣x即x＝时，等号成立，同理y（1﹣y），z（1﹣z），又x，y，z互不相等，∴x（1﹣x）y（1﹣y）z（1﹣z），这与x（1﹣x）y（1﹣y）z（1﹣z）矛盾，∴假设不成立，∴x（1﹣y）、y（1﹣z）、z（1﹣x）三个值不可能都大于，取x＝，y＝，z＝，则x（1﹣y）＝＝，y（1﹣z）＝＝，z（1﹣x）＝×＝，此时x（1﹣y）、y（1﹣z）、z（1﹣x）中有两个值都大于，所以在x（1﹣y）、y（1﹣z）、z（1﹣x）三个值中，大于的个数的最大值是2，故选：C．三、解答题（本大题共有 5 题，满分76 分）17．解：（1）∵m≥1，集合＝{x| ＜0}＝{x|3＜x＜6}，B＝{x||x﹣2m|＞m﹣1}＝{x|x﹣2m＜1﹣m 或x﹣2m＞m﹣1}＝{x|x＜m+1 或x＞3m﹣1}．19．（1）解：当0≤t ≤12时，由题得 ，解之得4≤t ≤12；当12＜t ≤24时，由题得，解之得12≤t ≤16；所以4≤t ≤16．20．解：（1）若函数y ＝f （x ）为偶函数，则f （﹣x ）＝f （x ），即＝，12 1 2 1 2 1 23 1 3 2（2）f （x ）单调递增，证明如下，设﹣1＜x ＜x ＜1， 则 x ﹣1＜0，x ﹣1＜0，x ﹣x ＜0，所以 t （x ）＜t （x ），所以 log t （x ）＜log t （x ），所以 y ＝f （x ）在（﹣1，1）上单调递增．所以物质 N 能持续有效发挥作用的时长为12 小时．（2） 解：当 t ∈〖16，24〗时，水中含有物质 N 的浓度为 ymol /L ，当且仅当 t ＝20 时等号成立．所以当 t ∈〖16，24〗时，水中含有物质 N 的浓度的最大值为3mol/L ． 所以当 t ∈〖16，24〗时，水中含有物质 N 的浓度始终不超过 3mol/L ．整理得（a ﹣1）（2x ﹣2﹣x ）＝0，所以 a ﹣1＝0，即 a ＝1．（2）∵A ∪B ＝B ，∴A B ，∴6≤m +1或3≥3m ﹣1，解得m ≥5或1≤m ，∴实数m 的取值范围是〖1， 〗∪〖5，+∞）．18．解：（1）由 ，得，所以x ＝log 3，所以f （x ）＝log 3，D ＝（﹣1，1），设t （x ）＝ ＝﹣1﹣ ，则t （x 1 ）﹣t （x ）＝ 2﹣＝＜0，则．（2）函数y ＝f （x ）•f （﹣x ）＝（）（）＝a 2+1+a （22x +），所以函数 y ＝f （x ）•f （﹣x ）的最小值为 a 2+2a +1．（3） 当 a ≤0 时，f （x ）在R 上递增，f （x ）＝6 只有一个实根，不成立；方程 f （x ）＝6 有两个不等的实根等价为 y ＝f （x ）与 y ＝6 的图象有两个交点．且 36﹣4a ＞0，即 0＜a ＜9，则 a 的取值范围是〖8，9）． 21．（1）证明：依题意， x ∈〖1，3），函数 y ＝f （x ）的图象上任意点（x ，y ）关于直线 y＝x 对称点（y ，x ）在函数 y ＝f （x ）的图象上，则有：x ＝f （y ），且 1≤y ＜3，于是得：f （f （x ））＝x ，显然 f （x ）＝x 满足 f （f （x ））＝x ，当 f （x ）≠x 时，若 f （x ）＞x ，而 1≤f （x ）＜3，又 y ＝f （x ）在区间〖1，3）上是严格增函数，则 f （f （x ））＞f （x ），即 x ＞f （x ）与 f （x ）＞x 矛盾，若 f （x ）＜x ，而 1≤f （x ）＜3，又 y ＝f （x ）在区间〖1，3）上是严格增函数，则 f （f （x ））＜f （x ），即 x ＜f （x ），与 f （x ）＜x 矛盾，所以当 x ∈〖1，3）时，f （x ）＝x ；（2） 由（1）知，函数 y ＝f （x ）在区间〖1，3）上的值域为〖1，3），函数 y ＝f （x +2）的图象可由 y ＝f （x ）的图象向左平移 2 个单位而得，因为a ＞0，22x + ≥2 ＝2，当且仅当22x ＝ ，即x ＝0时等号成立， 所以a 2+1+a （22x + ）≥a 2+2a +1，当a ＞0时， ≥2 ，当且仅当2x ＝ 时，f （x ）取得最小值2 ，当直线y ＝6与y ＝f （x ）相切时，2 ＝6，解得a ＝9； 设t ＝2x （t ＞0），则t + ＝6，即t 2﹣6t +a ＝0，可得t 1+t 2＝6，t 1t 2 ＝a ，① 由|x 1 ﹣x |≤1，可设x ＞x ，可得 2 1 2 ≤2，即 ≤2，② 由①②可得t 2 ≥2，且t ＝3﹣ 2，解得8≤a ＜9，因对任意给定的实数x，总有f（x+2）＝f（x），则函数y＝f（x）在R上的图象可由数y＝f（x）（x∈〖1，3））的图像向左向右每2个单位平移而得，于是得函数y＝f（x）在R上的值域为〖1，3），由x2＜3得：﹣＜x＜，当﹣3≤x＜﹣1 时，1≤x+4＜3，则f（x）＝f（x+2）＝f（x+4）＝x+4，由f（x）≥x2 得：x2≤x+4，解得≤x≤，则有≤x＜﹣1，当﹣1≤x＜1 时，1≤x+2＜3，则f（x）＝f（x+2）＝x+2，由f（x）≥x2 得：x2≤x+2，解得﹣1≤x≤2，则有﹣1≤x＜1，当1≤x＜3 时，由f（x）≥x2 得：x2≤x，解得0≤x≤1，则有x＝1，综上得：≤x≤1，所以不等式f（x）≥x2的解集是〖，1〗；（3）因对任意给定的实数x，总有f（3x）＝3f（x），n∈N*，当3n≤x＜3n+1时，有1 ，则f（x）＝f（3×）＝3f（3×）＝32f（）＝…＝3n f（）＝3n×＝x，n∈N*，当3﹣n≤x＜3﹣n+1 时，有1≤3n•x＜3，则f（x）＝f（3x）＝f（32x）＝…＝f（3n x）＝×3n x＝x，显然x≥1，函数y＝3x的值域是〖3，+∞），函数y＝3﹣x+1的值域是（0，1〗，则n取尽一切正整数，{x|3﹣n≤x＜3﹣n+1}∪{x|1≤x＜3}∪{x|3n≤x＜3n+1}＝（0，+∞），因此，当x∈（0，+∞）时，f（x）＝x，而y＝f（x）是R 上的奇函数，则当x∈（﹣∞，0）时，﹣x∈（0，+∞），f（x）＝﹣f（﹣x）＝x，又f（0）＝0，所以，x∈R，f（x）＝x，即函数f（x）的表达式是f（x）＝x．。
2024年上海市曹杨第二中学高一上学期期末考试数学试卷含详解
上海市曹杨二中2023学年度第一学期高一年级期终考试数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）1.已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}13,5A =,，则A =____________.2.函数()f x =_________.3.函数21xy =-的反函数为____________.4.已知扇形的弧长为4cm ，面积为24cm ，则该扇形的圆心角的大小为___________.5.已知正数a 、b 满足a +b =1，则a ·b 的最大值为_____．6.已知πsin sin 8x =，且π3π,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则x =___________.7.已知lg 2a =，103b=，则24log 5可以用a 、b 表示为_________.8.已知a ∈R ，()y f x =是定义在R 上的偶函数，且当0x <时，()3ax f x =.若()3log 24f =，则=a _________.9.已知a ∈R ，若函数()3312,1,1a x a x y x x ⎧-+>=⎨≤⎩的值域为R ，则a 的取值范围是________.10.对于实数x ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，并记{}[]x x x =-，例如{}10=，{}1.230.23=.则关于x 的方程{}10x x ⋅=在区间[]0,2024上解的个数为_________.11.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且(1)0f -=，若对任意的()12,,0x x ∈-∞，当12x x ≠时，都有112212()()x f x x f x x x ⋅-⋅<-成立，则不等式()0f x <的解集为_____．12.已知b ∈R ，设函数()2log 2f x x x b=++在区间[](),10t t t +>上的最大值为()t M b .若(){}2tb M b ≥=R ，则正实数t 的最大值为_________.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分.13.若0a b <<，则下列不等式中不成立的是（）A.11a b >； B.11a b a>-；C.a b >；D.22a b >．14.已知0a >且1a ≠，则“2a >”是“函数()2log a y a x =-是严格增函数”的（）.A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分条件又非必要条件15.设方程2|lg |x x -=的两个根为12,x x ，则A.120x x < B.121=x x C.121x x > D.1201x x <<16.已知函数()y f x =满足()()111f x f x +=+，且当[]0,1x ∈时，()f x x =.若在区间(]1,1-上关于x 的方程()0f x mx m --=有且仅有一解，则实数m 的取值范围是（）.A.1,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭B.1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C.10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.{}10,2∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17.已知1a ≤，设集合111A x x ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，集合()(){}210B x x a x a =--->.（1）分别求集合A 和B ；（2）若A B A = ，求a 的取值范围.18.（1）已知m ∈R ，若sin α、cos α是关于x 的一元二次方程()210x mx m -++=的两实根，求m 的值；（2）已知()0,πα∈，且1sin cos 3αα-=，求sin cos αα及()11πcos 2πcos 2αα++⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.19.某机构为了研究某种药物对某种疾病的治疗效果，准备利用小白鼠进行试验，研究发现，药物在血液内的浓度与时间的关系因使用方式的不同而不同：若使用注射方式给药，则在注射后的4小时内，药物在白鼠血液内的浓度1y （单位：毫克/升）与时间t （单位：小时）满足关系式16y at =-（0a >，a 为常数）；若使用口服方式给药，则药物在白鼠血液内的浓度2y （单位：毫克/升）与时间t （单位：小时）满足关系式22014614t t y t t ≤<⎧⎪=⎨-≤≤⎪⎩，，现对小白鼠同时进行注射和口服该种药物，同时使用两种方式给药后，小白鼠血液中药物的浓度等于单独使用每种方式给药的浓度之和.（1）若1a =，求4小时内，该小白鼠何时血液中药物的浓度最高，并求出最大值；（2）若小白鼠在用药后4小时内血液中的药物浓度都不低于6毫克/升，求正数a 的取值范围.20.已知k ∈R ，设()()14122xxf x k k k =⋅+-⋅++.（1）若0k =，求函数()y f x =的值域；（2）已知0k <，若函数()y f x =的最大值为12，求k 的值；（3）已知01k <<，若存在两个不同的正实数m 、n ，使得当函数()y f x =的定义域为[],m n 时，其值域为1122m n ++⎡⎤⎣⎦，，求k 的取值范围.21.已知函数()y f x =的定义域为D .若存在实数a ，使得对于任意1x D ∈，都存在2x D ∈，使得()12x f x a +=，则称函数()y f x =具有性质()P a .（1）分别判断：2x y =及21y x =+是否具有性质()0P ；（结论不需要证明）（2）若函数()y f x =的定义域为D ，且具有性质()1P ，证明：“1D ∈”是“函数()y f x =存在零点”的充分非必要条件；（3）已知t ∈R ，设()22g x tx x =+，若存在唯一的实数a ，使得函数()y g x =，[]0,2x ∈具有性质()P a ，求t的值.上海市曹杨二中2023学年度第一学期高一年级期终考试数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）1.已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}13,5A =,，则A =____________.【答案】{}2,4【分析】利用集合的补集运算即可得解.【详解】因为{}1,2,3,4,5U =，{}13,5A =,，所以A ={}2,4.故答案为：{}2,4.2.函数()f x =_________.【答案】【详解】试卷分析：首先考虑使函数解析式有意义的要求，，用区间表示成故答案为：(],1-∞考点：1.函数的定义域；2.解不等式组，3.区间表示法3.函数21x y =-的反函数为____________.【答案】()()2log 11y x x =+>-【分析】利用反函数的定义求解即可.【详解】因为21x y =-的反函数为21y x =-，所以12y x +=，则()()2log 11y x x =+>-.故答案为：()()2log 11y x x =+>-.4.已知扇形的弧长为4cm ，面积为24cm ，则该扇形的圆心角的大小为___________.【答案】2【分析】根据弧长和面积求出扇形的半径，进而求出扇形的圆心角的大小.【详解】设扇形的半径为r ，圆心角的大小为θ，其中4l =cm ，则142lr =，解得2r =cm ，则422l r θ===.故答案为：25.已知正数a 、b 满足a +b =1，则a ·b 的最大值为_____．【答案】14【详解】114a b ab +=≥⇒≤故答案为：146.已知πsin sin8x =，且π3π,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则x =___________.【答案】7π8【分析】根据诱导公式结合正弦函数性质分析求解.【详解】因为πsin sin08x =>，且π3π,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可知π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，又因为ππ7πsin sinsin πsin 888x ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，且7ππ,π82⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，结合sin y x =在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减，可得7π8x =.故答案为：7π8.7.已知lg 2a =，103b =，则24log 5可以用a 、b 表示为_________.【答案】13a a b-+【分析】利用指数、对数互化关系及对数换底公式求解即得.【详解】由103b =，得lg 3b =，而lg 2a =，所以243lg 51lg 21log 5lg(23)3lg 2lg 33aa b--===⨯++.故答案为：13a a b-+8.已知a ∈R ，()y f x =是定义在R 上的偶函数，且当0x <时，()3axf x =.若()3log 24f =，则=a _________.【答案】2-【分析】先根据函数的奇偶性得到0x >时的解析式，再根据()3log 24f =，得到24a -=，求出2a =-.【详解】当0x >时，0x -<，则()3axf x --=，又()y f x =是定义在R 上的偶函数，故()()f x f x -=，则()3axf x -=，其中3log 20>，故()3log 2332log 2a a f --==，故24a -=，解得2a =-.故答案为：2-9.已知a ∈R ，若函数()3312,1,1a x a x y x x ⎧-+>=⎨≤⎩的值域为R ，则a 的取值范围是________.【答案】1235a <≤【分析】求出函数3y x =在1x ≤时的值域，根据给定条件确定当1x >时(31)2y a x a =-+的取值集合，再分类讨论求解即得.【详解】函数3y x =在(,1]-∞上单调递增，函数值集合为(,1]-∞，由函数()3312,1,1a x a x y x x ⎧-+>=⎨≤⎩的值域为R ，得函数(31)2y a x a =-+在1x >时的取值集合包含(1,)+∞当310a -<时，(31)2y a x a =-+在(1,)+∞上单调递减，函数值集合为(,51)a -∞-，不符合题意，当310a -=时，2,1y a x =>，函数值集合为{2}a ，不符合题意，当310a ->时，(31)2y a x a =-+在(1,)+∞上单调递增，函数值集合为(51,)a -+∞，由(51,)(1,)a +∞⊆-+∞，得511a -≤，解得25a ≤，由310a ->，得13a >，因此1235a <≤，所以a 的取值范围是1235a <≤.故答案为：1235a <≤10.对于实数x ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，并记{}[]x x x =-，例如{}10=，{}1.230.23=.则关于x 的方程{}10x x ⋅=在区间[]0,2024上解的个数为_________.【答案】2014【分析】画出(){}[]f x x x x ==-的函数图象，0不是方程{}10x x ⋅=的根，转化为()f x 与10y x=在(]0,2024的交点个数，数形结合得到答案.【详解】画出(){}[]f x x x x ==-的函数图象，如下：当0x =时，{}010x x ⋅=≠，0不是方程{}10x x ⋅=的根，当(]0,2024x ∈时，由{}10x x ⋅=得{}10x x=，故方程{}10x x ⋅=在区间(]0,2024上解的个数即为()f x 与10y x=在(]0,2024的交点个数，其中10y x=在(]0,2024上单调递减，当()0,10x ∈时，()101,y x=∈+∞，故两函数无交点，当[)10,11x ∈时，1010,111y x ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦，()[)0,1f x ∈，有1个交点，同理当[)11,12x ∈时，10510,611y x ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦，()[)0,1f x ∈，有1个交点，依次类推，……，当[)2023,2024x ∈时，10510,10122023y x ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦，()[)0,1f x ∈，有1个交点，当2024x =时，()0f x =，51012y =，2024不是方程{}10x x ⋅=的根，综上，()f x 与10y x=在(]0,2024的交点个数为2024102014-=.故答案为：201411.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且(1)0f -=，若对任意的()12,,0x x ∈-∞，当12x x ≠时，都有112212()()0x f x x f x x x ⋅-⋅<-成立，则不等式()0f x <的解集为_____．【答案】()()101-∞-⋃，，；【详解】令()()g x xf x =,则()g x 为偶函数,且(1)0g -=,当0x <时,()g x 为减函数所以当11x -<<时,()0g x <;当11x x ><-或时,()0g x >;因此当01x <<时,()0f x <;当1x <-时,()0f x <,即不等式()0f x <的解集为()()101-∞-⋃，，点睛：利用函数性质解抽象函数不等式，实质是利用对应函数单调性，而对应函数需要构造.12.已知b ∈R ，设函数()2log 2f x x x b =++在区间[](),10t t t +>上的最大值为()t M b .若(){}2tb M b ≥=R ，则正实数t 的最大值为_________.【答案】13【分析】画出函数图象，数形结合得到当()()1f t f t =+时，()t M b 取得最小值，最小值为()f t ，并得到()21log 1212b t t t =-+--，从而得到不等式，求解解集，得到答案.【详解】画出()2log 2f x x x b =++的图象如下：故()()(){}max ,1t M b f t f t =+，由图象可知，当()()1f t f t =+时，()t M b 取得最小值，最小值为()f t ，此时1t m t <<+，()()()22log 2log 121t t b t t b -++=++++，则()21log 1212b t t t =-+--①，故只需要()2log 22t t b -++≥②，将①代入②得()221log 2log 12122t t t t t ⎛⎫-+-+--≥ ⎪⎝⎭，化简得114t t +≤，解得13t ≤，故正实数t 的最大值为13.故答案为：13二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分.13.若0a b <<，则下列不等式中不成立的是（）A.11a b >； B.11a b a>-；C.a b >；D.22a b >．【答案】B【分析】根据不等式的性质判断四个选项的正误即可得正确选项.【详解】对于选项A ：若0a b <<，则11a b>，故选项A 正确；对于选项B ：()()()11a a b ba b a a b a a b a---==---，因为0a b <<，所以()0b a b a <-，即110a b a-<-，所以11a b a <-，故选项B 不正确；对于选项C ：若0a b <<，则||||a b >，故选项C 正确；对于选项D ：若0a b <<，则22a b >，故选项D 正确，故选：B14.已知0a >且1a ≠，则“2a >”是“函数()2log a y a x =-是严格增函数”的（）.A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分条件又非必要条件【答案】A【分析】根据充分性和必要性分别讨论即可.【详解】充分性：当“2a >”时，20a ->，log a y x =单调递增，则()2log a y a x =-是单调递增函数，充分性满足；必要性：当()2log a y a x =-是单调递增函数，则2a >或01a <<，必要性不满足，则“2a >”是“函数()2log a y a x =-是严格增函数”的充分不必要条件.故选：A15.设方程2|lg |x x -=的两个根为12,x x ，则A .120x x < B.121=x x C.121x x > D.1201x x <<【答案】D【分析】画出方程左右两边所对应的函数图像，结合图像可知答案．【详解】画出函数2xy -=与|lg |y x =的图像，如图结合图像容易知道这两个函数的图像有两个交点，交点的横坐标即为方程2|lg |x x -=的两个根12,x x ，结合图像可知101x <<，21x >，根据2xy -=是减函数可得1222x x -->，所以12lg lg x x >有图像可知12lg 0,lg 0x x <>所以12lg lg x x ->即12lg lg 0x x +<，则12lg lg1x x <，所以121x x <，而120x x >所以1201x x <<故选D【点睛】本题考查对数函数与指数函数的图像与性质，解题的关键是画出图像，利用图像解答，属于一般题．16.已知函数()y f x =满足()()111f x f x +=+，且当[]0,1x ∈时，()f x x =.若在区间(]1,1-上关于x 的方程()0f x mx m --=有且仅有一解，则实数m 的取值范围是（）.A.1,2∞⎛⎫+⎪⎝⎭B.1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C.10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.{}10,2∞⎛⎫⋃+⎪⎝⎭【答案】D【分析】求出函数()f x 在(]1,1-上的解析式，作出函数()f x 与(1)y m x =+的图象，数形结合即可求解.【详解】依题得：()()111f x f x =-+，当1()0x ∈-，时，1(0,1)x +∈，则()()1111111xf x f x x x -=-=-=+++，则函数()y f x =在区间(]11-，的解析式为,10()1,01xx f x x x x -⎧-<<⎪=+⎨⎪≤≤⎩，在区间(]11-，上关于x 的方程()0f x mx m --=有且仅有一解，即函数,10()1,01x x f x x x x -⎧-<<⎪=+⎨⎪≤≤⎩与函数(1)y m x =+在区间(]1,1-内有一个公共点，在同一平面直角坐标系作出,10()1,01x x f x x x x -⎧-<<⎪=+⎨⎪≤≤⎩与(1)y m x =+的图象，当直线(1)y m x =+经过点()1,1时，代入有12m =，12m =，由图可知{}10,2m ⎛⎫∈⋃+∞⎪⎝⎭.故选：D 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17.已知1a ≤，设集合111A xx ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，集合()(){}210B x x a x a =--->.（1）分别求集合A 和B ；（2）若A B A = ，求a 的取值范围.【答案】（1）{}01A x x =<<，{1B x x a =>+或}2x a <（2）(]1,1,12⎡⎤-∞-⎢⎥⎣⎦ 【分析】（1）解分式不等式得到{}01A x x =<<，结合1a ≤，求出{1B x x a =>+或}2x a <；（2）根据交集的结果得到包含关系，从而得到不等式，求出a 的取值范围.【小问1详解】1111000111x x x x x -+->⇒>⇒<---,解得01x <<，故{}01A x x =<<，因为1a ≤，所以()2110a a a -+=-≤，故21a a ≤+，故{1B x x a =>+或}2x a <；【小问2详解】因为A B A = ，所以A B ⊆，故21a ≥或10a +≤，结合1a ≤，解得112a ≤≤或1a ≤-，故a 的取值范围是(]1,1,12⎡⎤-∞-⎢⎥⎣⎦ .18.（1）已知m ∈R ，若sin α、cos α是关于x 的一元二次方程()210x mx m -++=的两实根，求m 的值；（2）已知()0,πα∈，且1sin cos 3αα-=，求sin cos αα及()11πcos 2πcos 2αα++⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【答案】（1）1m =-；（2）49；3174【分析】（1）利用韦达定理可得sin cos sin cos 1m m αααα+=⎧⎨⋅=+⎩，同角三角关系分析求解，注意0∆>；（2）根据sin cos ,sin cos αααα±⋅之间的关系结合诱导公式运算求解.【详解】（1）由题意可知：()2Δ410m m =-+>，解得2m >+或2m <-，且sin cos sin cos 1m m αααα+=⎧⎨⋅=+⎩，又因为()2sin cos 12sin cos αααα+=+⋅，即()2121m m =++，整理得2230m m --=，解得1m =-或3m =（舍去），所以1m =-；（2）因为1sin cos 3αα-=，且()2sin cos 12sin cos αααα-=-⋅，即112sin cos 9αα=-⋅，可得4sin cos 09αα⋅=>，且()0,πα∈，可知π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 0,cos 0αα>>，又因为()217sin cos 12sin cos 9αααα+=+⋅=，且sin cos 0αα+>，可得sin cos 3+=αα，所以()1111sin cos πcos 2πcos sin sin cos 4cos 2αααααααα++=+==+⎛⎫- ⎪⎝⎭.19.某机构为了研究某种药物对某种疾病的治疗效果，准备利用小白鼠进行试验，研究发现，药物在血液内的浓度与时间的关系因使用方式的不同而不同：若使用注射方式给药，则在注射后的4小时内，药物在白鼠血液内的浓度1y （单位：毫克/升）与时间t （单位：小时）满足关系式16y at =-（0a >，a 为常数）；若使用口服方式给药，则药物在白鼠血液内的浓度2y （单位：毫克/升）与时间t （单位：小时）满足关系式22014614t t y t t ≤<⎧⎪=⎨-≤≤⎪⎩，，现对小白鼠同时进行注射和口服该种药物，同时使用两种方式给药后，小白鼠血液中药物的浓度等于单独使用每种方式给药的浓度之和.（1）若1a =，求4小时内，该小白鼠何时血液中药物的浓度最高，并求出最大值；（2）若小白鼠在用药后4小时内血液中的药物浓度都不低于6毫克/升，求正数a 的取值范围.【答案】（1）当2t =时血液中药物的浓度最高，最大值为8（2）50,4⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】（1）根据题意建立函数关系式，进而结合二次函数最值求法和基本不等式求得答案；（2）由题意可知6,04y t ≥≤≤，讨论01t <<和14t ≤≤两种情况，根据恒成立问题，结合一次函数和二次函数的性质分析求解.【小问1详解】当1a =时，药物在白鼠血液内的浓度y 与时间t 的关系为126,01412,14t t y y y t t t +≤<⎧⎪=+=⎨⎛⎫-+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，①当01t ≤<时，67y t =+<；②当14t ≤≤时，因为44t t+≥，当且仅当2t =时，等号成立，所以当2t =时，max 1248y =-=；且78<，所以当2t =时，血液中药物的浓度最高，最大值为8．【小问2详解】由题意可得()1226,01412,14a t t y y y at t t ⎧-+≤<⎪=+=⎨⎛⎫-+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，由题意可知6,04y t ≥≤≤，且0a >，①当01t ≤<时，即()266a t -+≥，则66266a =⎧⎨-+≥⎩，解得02a <≤；②当14t ≤≤时，即4126at t ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭，可得246a t t≤-+，令11,14v t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，则223946444a v v v ⎛⎫≤-+=--+ ⎪⎝⎭，则239594,4444v ⎛⎫⎡⎤--+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故504a <≤．综上所述：正数a 的取值范围为50,4⎛⎤ ⎥⎝⎦．20.已知k ∈R ，设()()14122x x f x k k k =⋅+-⋅++.（1）若0k =，求函数()y f x =的值域；（2）已知0k <，若函数()y f x =的最大值为12，求k 的值；（3）已知01k <<，若存在两个不同的正实数m 、n ，使得当函数()y f x =的定义域为[],m n 时，其值域为1122m n ++⎡⎤⎣⎦，，求k 的取值范围.【答案】（1）1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭（2）1k =-（3）1,23⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据题意结合指数函数性质分析求解；（2）令20x t =>，可得()()21102y kt k t k t =+-++>的最大值为12，结合二次函数性质分析求解；（3）令21x t =>，由题意可知()()2112g t kt k t k =-+++在()1,∞+内有两个零点，结合二次函数零点分布求解.【小问1详解】若0k =，则()122xf x =+，因为20x >，则()11222x f x =+>，所以函数()y f x =的值域为1,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【小问2详解】令20x t =>，则()2112y kt k t k =+-++，因为0k <，可知()2112y kt k t k =+-++开口向下，对称轴为102k t k-=>，当12k t k -=，二次函数取到最大值()2111112222k k k k k k k --⎛⎫⎛⎫+-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得23210k k +-=，解得1k =-或13k =，且0k <，所以1k =-.【小问3详解】令21x t =>，则因为01k <<，()2112y kt k t k =+-++开口向上，对称轴102k t k-=<，可知()2112y kt k t k =+-++在()1,∞+内单调递增，且2x t =在()0,∞+内单调递增，可知()f x 在()0,∞+内单调递增，由题意可知：()12x f x +=至少有2个不同的正根，即()1141222x x x k k k +⋅+-⋅++=，整理得()141202x x k k k ⋅-+⋅++=，可得()()2112g t kt k t k =-+++在()1,∞+内有两个零点，且01k <<，则()()21Δ14021121102k k k k k g k ⎧⎛⎫=+-+> ⎪⎪⎝⎭⎪⎪+>⎨⎪⎪=->⎪⎩，解得1323k <<，所以k 的取值范围13,23⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.21.已知函数()y f x =的定义域为D .若存在实数a ，使得对于任意1x D ∈，都存在2x D ∈，使得()12x f x a +=，则称函数()y f x =具有性质()P a .（1）分别判断：2x y =及21y x =+是否具有性质()0P ；（结论不需要证明）（2）若函数()y f x =的定义域为D ，且具有性质()1P ，证明：“1D ∈”是“函数()y f x =存在零点”的充分非必要条件；（3）已知t ∈R ，设()22g x tx x =+，若存在唯一的实数a ，使得函数()y g x =，[]0,2x ∈具有性质()P a ，求t 的值.【答案】（1）2x y =不具有性质()0P ，21y x =+具有性质()0P ，理由见解析（2）证明见解析（3）12-或354--【分析】（1）根据新定义判断即可；（2）由定义结合必要不充分条件证明即可；（3）将问题转化为[]2,a a F -⊆，再对t 进行分类讨论，求得()g x 的值域，结合a 的唯一性求得t 的值，从而得解.【小问1详解】2x y =不具有性质()0P ，21y x =+具有性质()0P ，理由如下：因为指数函数2x y =的定义域为R ，对于0a =，11x =，2120x +>恒成立，所以不存在2R x ∈满足()120x f x +=，因此函数2x y =不具有性质()0P ；因为一次函数21y x =+的定义域为R ，对于0a =，1R x ∈，取121R 2x x +=-∈，则12210x x ++=，因此21y x =+具有性质()0P .【小问2详解】当1D ∈时，由于函数()y f x =具有性质()1P ，取11x =，则存在2x D ∈，使得()()12211x f x f x +=+=，所以()20f x =，因此函数()y f x =存在零点2x ，即充分性成立；当函数()y f x =存在零点时，设()41f x x =-，10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则104f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为对于任意110,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，取211124x x =-，则2311,0,822x ⎡⎤⎡⎤∈⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，且满足()12111141124x f x x x ⎛⎫+=+--= ⎪⎝⎭，所以函数()y f x =具有性质()1P ，但110,2⎡⎤∉⎢⎥⎣⎦，即必要性不成立；因此“1D ∈”是“函数()y f x =存在零点”的充分非必要条件.【小问3详解】依题意，存在唯一的实数a ，使得函数()22g x tx x =+，[]0,2x ∈具有性质()P a ，即存在唯一的实数a ，对任意[]10,2x ∈，都存在[]20,2x ∈满足12()x g x a +=，即()21g x x a =-+，因为102x ≤≤，则120x -≤-≤，故12a x a a -≤-+≤，记()g x 的值域为F ，则[]2,a a F -⊆，当0=t 时，()2g x x =，02,024x x ≤≤≤≤，即[]0,4F =，所以204a a -≥⎧⎨≤⎩，得24a ≤≤，显然a 不唯一，不符合题意；当0t ≠时，()22g x tx x =+的对称轴为1x t=-，44t ∆=-，当0t >，即10t -<时，()22g x tx x =+在[]0,2上递增，所以[]0,44F t =+，所以2044a a t -≥⎧⎨≤+⎩，得244a t ≤≤+，由于a 唯一，所以244t =+，解得12t =-，不符合题意；当102t -≤<，即12t-≥时，()22g x tx x =+在[]0,2上递增，所以[]0,44F t =+，则2044a a t -≥⎧⎨≤+⎩，得244a t ≤≤+，由于a 唯一，所以244t =+，解得12t =-，符合题意；当112t -≤<-，即112t≤-<时，()g x 的最大值是11g t t ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，最小值是()00f =，则10,F t ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，所以201a a t -≥⎧⎪⎨≤-⎪⎩，得12a t ≤≤-，由于a 唯一，所以12t =-，解得12t =-，不符合题意；当1t <-，即101t <-<时，()g x 的最大值是11g t t ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，最小值是()244g t =+，则144,F t t ⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦，所以2441a t a t -≥+⎧⎪⎨≤-⎪⎩，得146t a t +≤≤-，由于a 唯一，所以146t t +=-，解得354t --=（354-舍去），满足题意；综上，t 的值为12-或354--.【点睛】思路点睛：对新定义的题型要注意一下几点：（1）读懂定义所给的主要信息筛选出重要的关键点（2）利用好定义所给的表达式以及相关的条件（3）含有参数是要注意分类讨论的思想.。
上海市高一上学期期末数学试题(解析版)
一、填空题1．若扇形的弧长为，半径为2，则该扇形的面积是__________ 2π【答案】2π【分析】根据扇形面积公式求得正确答案. 【详解】依题意，扇形的面积为.12π22π2⨯⨯=故答案为：2π2．已知一元二次方程的两个实根为，则____ 20(0)x ax a a --=>12x x 、1211x x +=【答案】1-【分析】先利用韦达定理得到，再由代入即可求解.1212,x x x x +12121211x xx x x x ++=【详解】因为一元二次方程的两个实根为， 20(0)x ax a a --=>12x x 、所以. 1212,x x a x x a +==-故121212111x x a x x x x a++===--故答案为： 1-3．函数的定义域是__________. 22log 1x y x +=-【答案】(,2)(1,)-∞-+∞ 【分析】先利用对数式中真数为正得到，再将分式不等式化为一元二次不等式进行求解. 201x x +>-【详解】要使有意义，须， 22log 1x y x +=-201x x +>-即，解得或， (2)(1)0x x +->1x ><2x -即函数的定义域是. 22log 1x y x +=-(,2)(1,)-∞-+∞ 故答案为：.(,2)(1,)-∞-+∞4．已知，则__________cos160m = tan20= 【答案】【分析】根据诱导公式及同角三角函数的基本关系求得的值，进而求得的值. sin20 cos20 【详解】因为，所以， cos160m = cos20cos160m=-=-所以，sin 20=== 所以sin 20tan 20cos 20===故答案为：5．定义且，若，则______{A B xx A -=∈∣}x B ∉{}{}1,3,5,7,9,2,3,5A B ==()()A B B A -⋃-=【答案】{}1,2,7,9【分析】根据题目定义，分别求得和，再利用并集运算即可得出结果.{}1,7,9A B -={}2B A -=【详解】根据集合且的定义可知， {A B xx A -=∈∣}x B ∉当时，可得，； {}{}1,3,5,7,9,2,3,5A B =={}1,7,9A B -={}2B A -=所以 ()(){}1,2,7,9A B B A -⋃-=故答案为：{}1,2,7,96．将函数的图象向左平移__________个单位可得到函数的图象. 2x y =32x y =⋅【答案】2log 3【分析】根据指数对数的运算知，即可求解. 22log 3log 322232x x x y +=⋅==⋅【详解】因为，22log 3log 322232x x x y +=⋅==⋅所以将函数的图象向左平移个单位可得函数的图象. 2x y =2log 332x y =⋅故答案为：2log 37．当，时，则的最小值是__________． lg lg a b =()a b ≠13a b+【答案】【分析】由且，得出，用均值不等式即可得出答案． lg lg a b =a b ¹1ab =【详解】，且，而函数在上单调递增，lg lg a b = a b ¹lg y x =()0,+∞，即，且，，lg lg lg 0ab a b ∴=+=1ab =0a >0b >， 13a b ∴+≥=当且仅当，即13a b =b =a =故答案为：8．已知关于的方程有四个不相等的实数根，则的取值范围___________.x 265x x a -+=a 【答案】.(0,4)【分析】由题知转化为函数与有个不同的交点，画出函数的图265y x x =-+y a =4265y x x =-+像即可求出的取值范围.a 【详解】方程有四个不相等的实数根，265x x a -+=等价于函数与有个不同的交点.265y x x =-+y a =4由函数的图像知：265y x x =-+的取值范围为：.a 04a <<故答案为：(0,4)【点睛】本题主要考查方程的根的问题，转化为函数的交点问题为解题的关键，属于中档题.9．德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名函数，该函数被1,()0,x y D x x ⎧==⎨⎩为有理数为无理数称为狄利克雷函数．若存在三个点、、，使得为等边三角11(,())A x D x 22(,())B x D x 33(,())C x D x ABC A 形，则________． 123()()()D x D x D x ++=【答案】1【分析】由狄利克雷函数分析得出的位置有两种情况，逐一分析即可得出答案．ABC A 【详解】，1,()0,x y D x x ⎧==⎨⎩为有理数为无理数或1，∴()0D x =存在三个点、、，使得为等边三角形，11(,())A x D x 22(,())B x D x 33(,())C x D x ABC A 不同时为0或1，∴123(),(),()D x D x D x 不妨设，123x x x <<分析得的位置有两种情况，ABC A第一种情况：当为有理数时，即，如图，1x 1()1D x =过点作，垂足为，得，，B BD AC ⊥D 1BD =AD =AB AC BC ===可知，为无理数， 211x x AD x =+=31x x =即，，与图形不一致，舍去； 2()0D x =3()0D x =第二种情况：当为无理数时，即，如图，1x 1()0D x =过点作，垂足为，得，，B BD AC ⊥D 1BD =AD =AB AC BC ===可知，， 211x x AD x =+=31x x =存在，且 1x =210Q x x ==∈31x x ==即，与图形一致，符合题意， 2()1D x =3()0D x =此时，，123()()()0101D x D x D x ++=++=故答案为：1． 10．已知函数在是严格增函数，在上为严格减函数，若对任意()1ln xf x x+=(]0,1[)1,+∞，都有，则k 的取值范围是_________()0,x ∞∈+e x x k ≤【答案】1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭【分析】根据函数的单调性求出函数最大值可求出的最大值，对两边取自然对数，ln x x -e x x k ≤分离，利用不等式恒成立求解即可. ln k 【详解】因为在是严格增函数，在上为严格减函数， ()1ln xf x x+=(]0,1[)1,+∞所以. 1ln ()(1)1xf x f x+=≤=由，可得，0x >ln 1x x -≤- 又时，由可得， ()0,x ∞∈+e x x k ≤ln ln(e )ln x x k k x ≤=+即恒成立， ln ln x x k -≤所以，即.ln 1k ≥-1ek ≥故答案为：1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭二、单选题11．若为第三象限角，则（ ） αA ． B ． C ． D ．cos 20α>cos20α<sin 20α>sin 20α<【答案】C【解析】利用为第三象限角，求所在象限，再判断每个选项的正误. α2α【详解】因为为第三象限角，所以， α3222k k πππαπ+<<+()k Z ∈可得 ， 24234k k ππαππ+<<+()k Z ∈所以是第第一，二象限角， 2α所以，不确定， sin 20α>cos 2α故选：C【点睛】本题主要考查了求角所在的象限以及三角函数在各个象限的符号，属于基础题.12．已知定义域为的函数满足：①对任意，恒成立；②若R ()y f x =,R x y ∈()()()f x y f x f y +=⋅则.以下选项表述不正确的是（ ）x y ≠()()f x f y ≠A ．在上是严格增函数 B ．若，则()y f x =R (3)10f =(6)100f =C ．若，则 D ．函数的最小值为2(6)100f =1(3)10f -=()()()F x f x f x =+-【答案】A【分析】根据给定条件，探讨函数的性质，再举例判断A ；取值计算判断B ，C ；借助均值不()f x 等式求解判断D 作答.【详解】任意，恒成立，,R x y ∈()()()f x y f x f y +=⋅且，假设，则有，R a ∈0a ≠()0f a =(2)()()()0()f a f a a f a f a f a =+=⋅==显然，与“若则”矛盾，假设是错的，因此当且时，，2a a ≠x y ≠()()f x f y ≠R a ∈0a ≠()0f a ≠取，有，则，于是得，，0,0x a y =≠=()()(0)f a f a f =⋅(0)1f =R x ∀∈()0f x ≠，，，R x ∀∈2()([()]0222x x x f x f f =+=>()()(0)1f x f x f ⋅-==对于A ，函数，，，1()()2xf x =,x y ∀∈R 111()()()()()()222x y x y f x y f x f y ++==⋅=⋅并且当时，，即函数满足给定条件，而此函数在上是严格减函数，x y ≠()()f x f y ≠1()()2xf x =R A 不正确；对于B ，，则，B 正确；(3)10f =(6)(3)(3)100f f f =⋅=对于C ，，则，而，有，又，因此(6)100f =(3)(3)100f f ⋅=(3)0f >(3)10f =(3)(3)1f f ×-=，C 正确； 1(3)10f -=对于D ，，，则有，()()1f x f x ⋅-=()0f x >()()()1F x f x f x =+-³=当且仅当，即时取等号，所以函数的最小值为2，D 正确. ()()1f x f x =-=0x =()()()F x f x f x =+-故选：A【点睛】关键点睛：涉及由抽象的函数关系求函数值，根据给定的函数关系，在对应的区间上赋值即可.13．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠病毒感染累计人数（的单位:天）的Logistic 模型:其中为最大病毒感()I t t ()()0.23531e t K I t --=+K 染数.当时，标志着该地区居民工作生活进入稳定窗口期.在某地区若以2022年12月()0.95I t K ≥15日为天，以Logistic 模型为判断依据，以下表述符合预期的选项是（ ） 1t =A ．该地区预计2023年元旦期间进入稳定窗口期; B ．该地区预计2023年1月底进入稳定窗口期; C ．该地区预计2023年2月中下旬进入稳定窗口期; D ．该地区预计2023年某时刻不起再有新冠病毒感染者. 【答案】C【分析】根据条件列不等式，解指数型不等式即可. 【详解】由题意知，，0.23(53)0.951et K K --≥+即：， 0.23(53)201e19t --+≤所以， ln19353535313660.230.23t ≥+≈+≈+=因为以2022年12月15日为天，所以天，即预计2023年2月18日后该地区进入稳定窗1t =66t ≥口期，即该地区预计2023年2月中下旬进入稳定窗口期.故选：C.14．已知函数，定义域为，值域为.则以下选项正确的是（ ）()()23log 2f x mx x m =-+A B A ．存在实数使得 m R A B ==B ．存在实数使得 m R A B =⊆C ．对任意实数 10,m A B -<<⋂≠∅D ．对任意实数 0,m A B >⋂≠∅【答案】D【分析】设，考虑，，，，，几种情22y mx x m =-+1m >1m =01m <<0m =10m -<<1m ≤-况，分别计算集合和，再对比选项得到答案..A B 【详解】设，当，即时， 22y mx x m =-+2440m ∆=->11m -<<设对应方程的两根为，，不妨取，1x 2x 12x x <当时，，，且； 1m >2440m ∆=-<R A =R B ≠B ≠∅当时，，；1m =()(),11,A =-∞+∞ R B =当时，，，； 01m <<2440m ∆=->()()12,,A x x =-∞+∞ R B =当时，，；0m =(),0A =-∞R B =当时，，，，故；10m -<<2440m ∆=->()12,A x x =max 1y m m =-31,log B m m ⎛⎤⎛⎫=-∞- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦当时，函数无意义.1m ≤-对选项A ：根据以上情况知不存在的情况，错误； R A B ==对选项B ：根据以上情况知不存在的情况，错误； R A B =⊆对选项C ：假设任意实数，， 10m -<<A B ⋂≠∅取，解得，则， 119m m -=m =(],2B =-∞-对于，有220mx x m -+=1x =此时应满足，解得， 12x =<-405m -<<易得，错误； m =A B ⋂=∅对选项D ：根据以上情况知对任意实数，正确； 0,m A B >⋂≠∅故选：D【点睛】关键点睛：本题考查了对数型复合函数的定义域和值域，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，根据二次函数的开口方向和的正负讨论的范围，进而计算集合∆a A 和是解题的关键，分类讨论的方法是常考方法，需要熟练掌握.B三、解答题15．如图所示：角为锐角，设角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点ααx ，将射线绕坐标原点按逆时针方向旋转后与单位圆交于点. 2,cos 3P α=OP O π2()11,Q x y(1)求的值; tan α(2)求的值. 1y【答案】 (2) 23【分析】（1）确定，计算得到答案.sin 0α>sin α=sin tan cos ααα=（2）设终边对应的角度为，则，，计算得到答案. OQ βπ2βα=+1cos y α=【详解】（1）角为锐角，，，则， αsin 0α>2cos 3α=sin α===sin tan cos ααα==（2）设终边对应的角度为，，OQ βπ,π2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则，π2βα=+1π2sin sin cos 23y βαα⎛⎫==+== ⎪⎝⎭16．集合{为严格增函数}.S =()()(),0,f x f x x y x∈+∞=∣()()2121(0),(0)f x x x f x x x =+>=>(1)直接写出是否属于集合 ()()12,f x f x ;S (2)若.解不等式：()m x S ∈()()223223ee e e xxxx m m -+⋅<⋅(3)证明：“”的充要条件是“” ()()()()120H x af x bf x ab =+≠()H x S ∈0,0b a ><【答案】(1)不属于集合，属于集合 ()1f x S ()2f x S (2) ()3,1-(3)证明见解析【分析】（1）根据定义直接判断即可； （2）由，可得函数为增函数，不等式，即为不等式()m x S ∈()m x y x=()()223223e ee e x x xx m m -+⋅<⋅，再根据函数的单调性解不等式即可；()()222332e e e e x xxxm m ++<（3），即函数在定义域内为增函数，根据函数的单调性结合充分条件和必要条()H x S ∈()H x y x=件的定义证明即可. 【详解】（1）因为在定义域内为减函数， ()()1110f x y x x x==+>所以不属于集合， ()1f x S 因为在定义域内为增函数， ()()20f x y x x x==>所以属于集合； ()2f x S （2）不等式，()()223223ee ee xxxx m m -+⋅<⋅即为不等式，()()222332e e e e x xxxm m ++<因为， ()m x S ∈所以函数为增函数， ()m x y x=所以，223e e xx+<所以，解得， 223x x +<31x -<<所以不等式的解集为；()()223223ee ee xxxx m m -+⋅<⋅()3,1-（3），()()()()2120H x af x bf x bx ax a ab =+=++≠则， ()()0H x abx a x x x=++>令， ()()0ag x bx a x x=++>当，则在上递增， ()H x S ∈()()0ag x bx a x x=++>()0,∞+令，120x x <<则对任意的恒成立，()()210g x g x -≥12,x x ()()2121212112a x x a abx a bx a b x x x x x x -⎛⎫++-++=-- ⎪⎝⎭恒成立，()()211212x x bx x a x x --=≥即恒成立， 120bx x a -≥因为，所以， 0ab ≠0,0a b ≠≠当时，恒成立， 0b >12ax x b ≥因为，所以， 120x x >0ab≤又，所以， 0,0b a >≠a<0当时，恒成立， 0b <12ax x b≤因为没有最大值，所以不恒成立，与题意矛盾， 120x x >12ax x b≤综上所述，当在上递增时，， ()()0ag x bx a x x=++>()0,∞+0,0b a ><当时， 0,0b a ><则函数在上都是增函数， ,ay bx y a x==+()0,∞+所以函数在上是增函数， ()()0ag x bx a x x=++>()0,∞+综上所述，“”的充要条件是“”.()H x S ∈0,0b a ><【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于把握新定义的含义，以及函数单调性的判定及利用函数的单调性解不等式.。
2021-2022学年上海市进才中学高一年级上册学期期末数学试题【含答案】
2021-2022学年上海市进才中学高一上学期期末数学试题一、填空题1．若集合2{,}A x x =，则实数x 可取的值的全体所构成的集合为 __． 【答案】()()(),00,11,∞∞-⋃⋃+【分析】根据集合元素的互异性求解即可. 【详解】解：∵2x x ≠ ，∴0x ≠且1x ≠ ；所以，实数x 可取的值的全体所构成的集合为()()(),00,11,∞∞-⋃⋃+； 故答案为：()()(),00,11,∞∞-⋃⋃+ 2．已知1x >，则41x x +-的取值范围是__________. 【答案】[5,)+∞【分析】化成积为定值的形式后,利用基本不等式可得. 【详解】因为1x >,所以10x ->,所以41x x +-411151x x =-++≥=-,当且仅当411x x -=-,即3x =时取等号. 故答案为:[5,)+∞.【点睛】本题考查了基本不等式求最小值,属于基础题.3．已知函数()y f x =为定义在R 上的奇函数，写出函数()12y f x =--的图象的一个对称中心______. 【答案】1,2【分析】由奇函数的定义可得()f x 的1个对称中心为()0,0，由函数图象的变换规律分析可得答案. 【详解】根据题意，函数()y f x =为定义在R 上的奇函数，其对称中心为()0,0，将()y f x =的图象向右平移1个单位得()1y f x =-，再向下平移2个单位可得()12y f x =--的图象，所以函数()12y f x =--的图象的一个对称中心为1,2； 故答案为：1,2.4．已知函数1y kx =+的零点在区间()1,1-内，常数k 的取值范围为______.【答案】()(),11,-∞-⋃+∞【分析】利用函数零点存在性定理即可解决问题. 【详解】∵函数1y kx =+恰有一个零点在区间()1,1-内， ∴()()110-+<k k ， ∴()(),11,k ∈-∞-+∞，故答案为：()(),11,-∞-⋃+∞.5．已知2log 90a <，实数a 的取值范围为__________. 【答案】10,2⎛⎫⎪⎝⎭【分析】利用对数的性质得到22log 9log 1a a <，从而判断得2log a y x =的单调性，由此即可求得a 的范围.【详解】因为22log 90log 1a a <=，91>， 所以2log a y x =在()0,∞+上单调递减， 则021a <<，得102a <<，即10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 故答案为：10,2⎛⎫⎪⎝⎭.6．已知集合11,,0,2,32A ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭，()(){,kB y f x f x x k A ===∈且()y f x =为奇函数}，则集合B 的子集个数为______. 【答案】4【分析】根据题意，由幂函数的性质可得集合B ，进而分析可得答案. 【详解】根据题意，集合11,,0,2,32A ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭，()(){,k B y f x f x x k A ===∈且()y f x =为奇函数}，则()(){}13,B f x x f x x -===，则集合B 有2个元素，所以集合B 的子集有224=个， 故答案为：4.7．函数22y x x =-，[]2,1x ∈-的反函数为______.【答案】1y =[]1,8x ∈-【分析】先由二次函数的性质求得[]1,8y ∈-，即为反函数的定义域，再由220x x y --=，解得1x =.【详解】解：函数22y x x =-的对称轴为1x =， ∴当[]2,1x ∈-时，22y x x =-单调递减，∴[]1,8y ∈-，由22y x x =-可得220x x y --=，解得1x =又∵[]2,1x ∈-，∴1x =∴函数22y x x =-，[]2,1x ∈-的反函数为1y =[]1,8x ∈-.故答案为：1y =[]1,8x ∈-8．函数()2lg 82y x x =+-的单词递增区间是_________.【答案】(]2,1-【分析】先求()2lg 82y x x =+-的定义域，再通过282y x x =+-的单调增区间求函数()2lg 82y x x =+-的单词递增区间．【详解】解：函数()2lg 82y x x =+-的定义域为()2,4-，在区间()2,4-内，由复合函数的单调性得函数()2lg 82y x x =+-的单词递增区间即为函数282y x x =+-的单调增区间，即为(]2,1-， 故答案为：(]2,1-【点睛】本题考查对数型复合函数的单调性，注意函数的定义域，是基础题．9．要建造一个高为3米，容积为48立方米的无盖长方体蓄水池.已知池底的造价为每平方米1500米，池壁的造价为每平方米1000元.该蓄水池的总造价y （元）关于池底一边的长度x （米）的函数关系为：______.【答案】166000150016y x x ⎛⎫=++⨯ ⎪⎝⎭，0x >【分析】根据条件便可得到池底面积为4平方米，底面的另一边长16x，从而便可得到总造价y 与x 的解析式.【详解】根据条件，该蓄水池的总造价y 元，池底一边的长度x 米，底面另一边长为16x米,∴长方体的底面积为16，侧面积为1632x x ⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭，由题意得：166000150016y x x ⎛⎫=++⨯ ⎪⎝⎭，0x >,故答案为：166000150016y x x ⎛⎫=++⨯ ⎪⎝⎭，0x >.10．若函数()()()3141112x a x a x y a x ⎧-+<⎪=⎨-≥⎪⎩是R 上的严格减函数，则实数a 的取值范围为______.【答案】11,123⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】根据分段函数单调性的性质建立不等式关系进行求解即可.【详解】()()()3141112x a x a x y a x ⎧-+<⎪=⎨-≥⎪⎩是R 上的严格减函数，310011712a a a a ⎧⎪-<⎪<<⎨⎪⎪-≥-⎩，解得11123a ≤<，实数a 的取值范围是11,123⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为：11,123⎡⎫⎪⎢⎣⎭.11．商品批发市场中，某商品的定价每天随市场波动，甲乙两名采购员在每月的同一天去该市场购买同一种商品，甲每次购买a 公斤，乙每次购买b 元（a ，b 互不相等），该方案实施2次后______的购买方案平均价格更低.（填“甲”或“乙”） 【答案】乙【分析】设每次购买时商品的价格分别为x 元/公斤、y 元/公斤(),0x y >，可将甲乙2次购买的平均价格用x ，y 表示出来，再用基本不等式比较即可得答案.【详解】设每次购买时商品的价格分别为x 元/公斤、y 元/公斤(),0x y >， 则甲的平均价格为：22ax ay x ya ++=；乙的平均价格为：22bxyb b x y xy =++， 因为,0x y >，所以2x y+≥=2xy x y=+（当且仅当x y =时取“=”号）， 所以22x y xyx y+≥+（当且仅当x y =时取“=”号），故乙的平均价格更低， 故答案为：乙.12．已知函数()y f x =为()22f ax x b x =++，其中a b >，若()0f x ≥对任意x ∈R 的恒成立，且函数存在零点，则22a b a b+-的最小值为______.【答案】【分析】根据题意，由二次函数的性质分析可得1ab =，由此可得()()22222a b ab a b a b a b a b a b-++==-+---，结合基本不等式的性质分析可得答案.【详解】根据题意，函数()22f ax x b x =++满足()0f x ≥对任意x ∈R 的恒成立，且函数存在零点，必有440ab ∆=-=，则有1ab =，则()()22222a b ab a b a b a b a b a b-++==-+---，又由a b >，则()2a b a b -+≥-当且仅当a b -=即22a b a b+-的最小值为故答案为：二、单选题13．已知函数()y f x =的定义域为R ，则命题“()y f x =是偶函数”是命题“()()f x f x =对一切实数x 都成立”的（ ）条件A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充分必要D ．既不充分也不必要【答案】C【分析】根据题意，由函数奇偶性的性质分析两个命题的关系，结合充分必要条件的定义可得答案． 【详解】解：根据题意，若()y f x =是偶函数，即()()f x f x -=，必有()()f x f x =成立， 反之，若()()f x f x =，当0x <时，有()()f x f x -=，则函数()f x 为偶函数， 故题“()y f x =是偶函数”是命题“()()f x f x =对一切实数x 都成立”的充分必要条件， 故选：C ．14．“对于任意R x ∈的实数，不等式|2||3|x x a +--≥恒成立”的一个充分必要条件是（ ） A ．][(),23,a ∞∞∈--⋃+B ．[]2,3a ∈-C ．(],5a ∞∈-D ．(],5a ∞∈--【答案】D【分析】将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，因此利用分类讨论法求得|2||3|x x +--的最小值，即可求得答案.【详解】对于任意R x ∈的实数，不等式|2||3|x x a +--≥恒成立，min [|2||3|]a x x ∴≤+--，由20x +=，得2x =-，由30x -=，得3x =， 当<2x -时，|2||3|235x x x x +--=---+=-；当23x -≤≤时，|2||3|2321[5x x x x x +--=+-+=-∈-，5]； 当3x >时，|2||3|235x x x x +--=+-+=, 综上，|2||3|[5x x +--∈-，5].min [|2||3|]5a x x ∴≤+--=-，∴“对于任意R x ∈的实数，不等式|2||3|x x a +--≥恒成立”的一个充分必要条件是(-∞，5]-.故选：D .15．已知lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则2(lg )ab的值是( )A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C【分析】运用二次方程的韦达定理和对数的运算性质，结合配方法，计算即可得到所求值． 【详解】lga lgb ， 是方程22410x x -+=的两个根，由韦达定理可得， 可得122lga lgb lgalgb +==， ， 则22221lg ?4244222a lga lgb lga lgb lgalgb b ⎛⎫=-=+-=-⨯=-= ⎪⎝⎭（）（）．故选C ．【点睛】本题考查对数的运算性质，以及二次方程根的韦达定理的运用，考查配方法，属于基础题． 16．已知函数()y f x =，x D ∈，若存在实数m ，使得对于任意的x D ∈，都有()f x m ≥，则称函数()y f x =，x D ∈有下界，m 为其一个下界.类似的，若存在实数M ，使得对于任意的x D ∈，都有()f x M ≤，则称函数()y f x =，x D ∈有上界，M 为其一个上界.若函数()y f x =，x D ∈既有上界，又有下界，则称该函数为有界函数.对于下列4个命题： ①若函数()y f x =有下界，则函数()y f x =有最小值；②若定义在R 上的奇函数()y f x =有上界，则该函数是有界函数； ③对于函数()y f x =，若函数()y f x =有最大值，则该函数是有界函数； ④若函数()y f x =的定义域为闭区间[],a b ，则该函数是有界函数. 其中真命题的序号为（ ） A ．①③ B ．②③C ．②④D ．②③④【答案】B【分析】举特例说明①、④不正确；由奇函数的性质结合已知，可判断②；根据已知推导出()M f x M -≤≤，即可判断③；【详解】根据函数上界，下界，有界的定义分别进行判断即可. 对于①，设()1f x x=()0x >，则()0f x ≥恒成立，即函数()y f x =有下界，但函数()y f x =没有最小值，故①错误；对于②，若定义在R 上的奇函数()y f x =有上界，设上界为M ，则0M >，根据题意有，x ∀∈R ，有()f x M ≤成立.所以当0x >，()f x M ≤成立，则当0x <时，有0x ->，则()f x M -≤，即()f x M -≤，则()f x M ≥-； 当0x <时，()f x M ≤成立，则当0x >时，0x -<，则()f x M -≤，即()f x M -≤，则()f x M ≥-； 当0x =时，由奇函数性质可得()()00f f =-，所以()00f =.所以，当0x >时，()M f x M -≤≤成立；当0x <时，()M f x M -≤≤成立；当0x =时，()00f =，显然满足()0M f M -≤≤.所以x ∀∈R ，都有()M f x M -≤≤成立，所以函数是有界函数，故②正确；对于③，对于函数()y f x =，若函数()y f x =有最大值，设()f x M ≤，则()M f x M -≤≤，该函数是有界函数，故③正确；对于④，令()1,01,01x f x x x=⎧⎪=⎨<≤⎪⎩，则函数()y f x =的定义域为闭区间[]0,1，则函数()f x 的值域为[)1,+∞，则()f x 只有下界，没有上界，即该函数不是有界函数.故④错误； 所以真命题的序号为②③. 故选：B.三、解答题17．设全集U =R ，设函数2lg(1)y ax =-的定义域为集合A ，函数1y x x=+的值域为集合B ． (1)当1a =时，求A ；(2)若R A B =，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)[1,1]A =- (2)1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】（1）当1a =时解不等式210x ->，再求A 即可； （2）先求函数1y x x=+的值域得到集B ，根据R A B =可转化为当(2,2)x ∈-时，210ax -≤恒成立，从而分类讨论即可．【详解】（1）当1a =时，由对数函数的定义域可得210x ->， 解得1x >或1x <-， 故[1,1]A =-.（2）由对勾函数的值域可得(,2][2,)B =-∞-+∞， 又因为R A B =，所以(2,2)A -⊆，即当(2,2)x ∈-时，210ax -≤恒成立， ①当0x =时，10-≤恒成立，符合题意， ②当0x ≠时，210ax -≤即21a x ≤， 因为2114x >，所以14a ≤；综上所述，实数a 的取值范围为1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.18．已知关于x 的不等式()lg 37x x a ++-≤. (1)当1a =时，解该不等式；(2)若该不等式的解集为∅，求常数a 的取值范围. 【答案】(1)[]3,7-； (2)(),1-∞【分析】（1）利用对数函数单调性，原不等式等价为3710x x ++-≤，分类讨论求解或由绝对值几何意义求解均可；（2）不等式的解集为∅，则()min lg 37a x x ⎡⎤<++-⎣⎦恒成立，求37x x ++-最小值即可.【详解】（1）24,73710,3724,3x x y x x x x x ->⎧⎪=++-=-≤≤⎨⎪-+<-⎩，则10y ≥当1a =时，关于x 的不等式()lg 371lg10x x ++-≤=，∴3710x x ++-≤，解集为[]3,7-； （2）若该不等式的解集为∅，则()lg 37a x x <++-恒成立，即()min lg 37a x x ⎡⎤<++-⎣⎦， lg101a <=，则常数a 的取值范围为(),1-∞.19．某条货运线路总长2000千米，交通法规定，在该线路上货车最低限速50千米/时（含），最高限速100千米/时（含）.汽油的价格是每升8元，汽车在该路段行驶时，速度为x 千米/时，每小时油耗为24240x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭升.（假设汽车保持匀速行驶）(1)求该线路行车油费y （元）关于行车速度x （千米/时）的函数关系； (2)车速为何值时，行车油费达到最低？并求出最低的行车油费；(3)运营该条线路的刘师傅接到某公司的货运派单，要求在24小时内送达，否则将少支付50元费用作为超时补偿.请写出此时刘师傅驾驶的最优车速. 【答案】(1)640002003xy x =+，[]50,100x ∈ (2)50x =，138403元 (3)50千米/时【分析】（1）行车所用时间为2000x ，汽车每小时油耗24240x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭升，然后求解行车总费用.（2）当[]50,100x ∈时，函数严格增，然后求解函数的最小值.（3）求出行车总费用6400200250,[50,]33()6400020025050,(,100]33xx x y f x x x x⎧+∈⎪⎪==⎨⎪+-∈⎪⎩，通过分段函数，求解函数的最小值即可.【详解】（1）行车所用时间为2000x，根据汽油的价格是每升8元， 而汽车每小时油耗24240x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭升，则行车总费用为2200064000200842403x x y x x ⎛⎫=⨯⨯+=+ ⎪⎝⎭，[]50,100x ∈.（2）由（1）知640002003x y x =+，[]50,100x ∈ 令64000200()3xg x x =+，[]50,100x ∈ 设2150x x >≥， 则()2112212121122002009606400064000()()200333x x x x g x g x x x x x x x ⎛⎫--=+--=- ⎪⎝⎭因为2150x x >≥，故129600x x ->，所以21()()g x g x > 所以当[]50,100x ∈时，函数640002003xy x =+严格增， 则当50x =时，行车油费最低，最低为138403元. （3）在24小时内送达行驶速度为1000250243＝，由题意知行车总费用 6400200250,[50,]33()6400020025050,(,100]33xx x y f x x x x⎧+∈⎪⎪==⎨⎪+-∈⎪⎩，当25050,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数640002003x y x =+严格增，()y f x =的最小值为()13840503f =，当250,1003x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，函数64000200503x x y +-=严格增，()f x >2505646213840393f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭， 所以综上所述，最优车速为50千米/时. 20．已知函数()y f x =满足()()1log 0,11a mxf x a a x -=>≠-且()y f x =为奇函数. (1)求m 的值；(2)判断()y f x =在区间()1,+∞上的单调性；(3)当12a =时，若对于任意的[]3,4x ∈，总有()12xf x b ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭成立，求实数b 的取值范围.【答案】(1)1m =- (2)答案见解析(3)9,8⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【分析】（1）先由()y f x =是奇函数得到()()f x f x -=-，从而由x 不恒为0求得m 即可； （2）利用复合函数的单调性的性质，先判断得12111x t x x +==+--在()1,+∞上单调递减，再通过讨论a 的范围即判断函数()y f x =的单调性；（3）构造函数()()12xg x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将问题转化为()min b g x <，再结合（2）中结论判断得()g x 的单调性，从而得解.【详解】（1）因为()y f x =是奇函数， 所以()()f x f x -=-，即111log log log 111a a a mx mx x x x mx+--=-=----， 则11011mx x x mx+-=>---，得22211m x x -=-， 则()2210m x -=，由于x 不恒为0，故21m =，即1m =±，当1m =时，111011mx xx x --==-<--，不满足题意，舍去； 当1m =-时，()1log 1ax f x x +=-，由101xx +>-得1x <-或1x >，所以()f x 的定义域关于原点对称， 又有()()f x f x -=-，故()f x 是奇函数，满足题意； 综上：1m =-.（2）由（1）知()1log 1a x f x x +=-， 令12111x t x x +==+--，易知其在()1,+∞上单调递减，且2111t x =+>-， 所以当1a >时，log a y t =在()1,+∞上单调递增，则()y f x =在()1,+∞上单调递减； 当01a <<时，log a y t =在()1,+∞上单调递减，则()y f x =在()1,+∞上单调递增； 综上：当1a >时，()y f x =在()1,+∞上单调递减； 当01a <<时，()y f x =在()1,+∞上单调递增.（3）对于任意的[]3,4x ∈，总有()12x f x b ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭成立，即()12xb f x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭恒成立，令()()12xg x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()min b g x <，因为当12a =时，由（2）知()121log 1x f x x +=-在区间()1,+∞上单调递增， 又易知12xy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[]3,4上单调递增，所以()()12xg x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[]3,4上单调递增，故()()311min22131193log log 231288g x g +⎛⎫==-=-=- ⎪-⎝⎭，所以98b <-，即9,8b ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭.21．对于函数()y f x =,x D ∈,设区间I 是D 上的一个子集,对于区间I 上任意的1x ,2x ,3x ,当123x x x <<时,如果总有()()()()21322132f x f x f x f x x x x x --<--,则称函数()y f x =是区间I 上的T 函数.(1)判断下列函数是否是定义域上的T 函数:①2yx ,②21y x =+;(2)已知定义域上的严格增函数()y f x =也是定义域上的T 函数,试问:()1y f x -=是否是定义域上的T 函数?若是,请给出证明;若不是,请说明理由;(3)若函数()y f x =为区间I 上的T 函数,证明:对于任意的1x ,2x I ∈和任意的()0,1λ∈,总有()()()()121211f x x f x f x λλλλ+-<+-⎡⎤⎣⎦. 【答案】(1)①是;②不是 (2)不是,理由见解析 (3)证明见解析【分析】(1)利用作差法,结合T 函数的定义即可逐个判定;(2)()1y f x -=不是定义域上的T 函数,由反函数的性质及T 函数的定义即可证明;(3)假设12x x <,则()11221x x x x λλ<+-<,利用T 函数的定义化简即可得证. 【详解】（1）①当123x x x <<时,()()()()()()222221323221213213213221320f x f x f x f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -----=-=+-+=-<----，所以①是定义域上的T 函数;②当123x x x <<时,()()()()21322132f x f x f x f x x x x x ---=--()()()()2132213221212121220x x x x x x x x +-++-+-=-=--,所以②不是定义域上的T 函数.（2）()1y f x -=不是定义域上的T 函数,理由如下:因为()y f x =是定义域上的严格增函数,所以当123x x x <<时,()()()231f x f x f x <<,即123y y y <<,若原函数为增函数,则反函数也是增函数,即若123x x x <<,则()()()111123f x f x f x ---<<,又因为()y f x =是定义域上的T 函数,即当123x x x <<时,总有()()()()213221320f x f x f x f x x x x x --<<--,所以()()()()32212132x x x x f x f x f x f x -->--,即当123x x x <<时,()()()()111121322132f y f y f y f y y y y y ------>--, 综上所述,()1y f x -=不是定义域上的T 函数.（3）证明:若对于任意的1x ,2x I ∈和任意的()0,1λ∈,假设12x x <,则()11221x x x x λλ<+-<, 因为函数()y f x =为区间I 上的T 函数,所以()()()()()()()()1212121212121111f x x f x f x f x x x x x x x x λλλλλλλλ+---+-<+---+-⎡⎤⎣⎦,化简得()()()()()()()()()1212122121111f x x f x f x f x x x x x x λλλλλλ+---+-<---,∵21x x >,∴210x x ->,∴()()()()()()()121212111f x x f x f x f x x λλλλλλ+---+-<-,∴()()()()()()()()1212121111f x x f x f x f x x λλλλλλλλ+--<---+-, ∴()()()()()121211f x x f x f x λλλλ+-<+-.【点睛】本题主要考查函数恒成立问题，解题的关键是对新函数定义的理解与应用，考查逻辑推理能力，属于难题.。
2022-2023学年上海市上海中学高一上学期期末考试数学试卷带讲解
【分析】根据幂函数的定义及性质列方程与不等式求解即可得实数 的取值集合.
【详解】解：因为幂函数 ，所以 ，
解得 或 ，
幂函数 的图像与两条坐标轴均没有公共点，所以 ，即 ，
所以 或 均符合题意，则实数 的取值集合是 .
故答案为： .
7.不等式 的解为______.
【答案】
【分析】根据幂函数的性质确定幂函数 的奇偶性与单调性即可解不等式.
A.若 ，则函数 的图象关于原点对称
B.若 ， ，则方程 有大于2的实根
C.若 ， ，则方程 有两个实根
D.若 ， ，则方程 有三个实根
【答案】B
【分析】A.取 ， 判断；B.由 ， 仍是奇函数，2仍是它的一个零点，再由上下平移判断；C.取 ， 判断；D.取 ， 判断.
【详解】A.若 ， ，则函数 不是奇函数，其图象不可能关于原点对称，故错误；
（3）根据保序同构函数的定义可知 为单调递增的函数，结合对勾函数的单调性即可求解.
【小问1详解】
【小问2详解】
假设存在一个从集合 到集合 的“保序同构函数”，
由“保序同构函数”的定义可知，集合 和集合 中的元素必须是一一对应的，
不妨设整数0和1在 中的像分别为 和 ，
根据保序性，因为 ，
所以 ，
又 也是有理数，但是 没有确定的原像，
因为0和1之间没有另外的整数了，
故假设不成立，故不存在从集合 到集合 的“保序同构函数”；
（1）写出服药后 与 之间的函数关系式 ；
（2）进一步测定：每毫升血液中的含药量不少于 毫克时，药物对治疗疾病有效，求服药一次治疗疾病的有效时间．
【答案】代入函数 的解析式，求出 的值，将点 的坐标代入函数 的解析式，由此可得出函数 的解析式；
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2016学年度第一学期高一数学学科期末考试卷(考试时间:90分钟 满分:１00分 ）一、填空题(本大题共12小题,满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分．１．已知幂函数()y f x =的图像过点1,22⎛ ⎝⎭,则2log (2)f =＿__＿_＿_＿__。
2.设A 、B 是非空集合,定义{}*|,A B x x A B x A B =∈∉且，{}22x x y x A -==,⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧==-41x y y B ,则=*B A ＿＿_____＿__＿_____。
３.关于x 的不等式2201a xx a ->--(1a ≠)的解集为＿____＿_______。
4．函数)01(312<≤-=-x y x 的反函数是__＿＿____＿__＿＿__＿_＿_____。
5.已知集合{}2,A x x x R =>∈,{}1,B x x x R =≥-∈，那么命题p “若实数2x >,则1x ≥-”可以用集合语言表述为“A B ⊆”。
则命题p 的逆否命题可以用关于,A B 的集合语言表述为_＿___＿__＿___＿＿____＿＿___。
6.已知关于x 的方程ax-=⎪⎭⎫⎝⎛1121有一个正根,则实数a 的取值范围是___＿__＿____＿__。
7.定义在(1,1)-上的奇函数()f x 也是减函数，且2(1)(1)0f t f t -++<，则实数t 的取值范围为_____＿______＿。
８.若偶函数()f x 在(]0-，∞单调递减，则满足1(21)()3f x f -<的x 取值范围是_______＿____。
9．作为对数运算法则:lg()lg lg a b a b +=+(0,0a b >>）是不正确的。
但对一些特殊值是成立的，例如：lg(22)lg 2lg 2+=+。
那么，对于所有使lg()lg lg a b a b +=+ （0,0a b >>）成立的b a 、应满足函数()a f b =的表达式为_＿_＿＿＿____＿_＿＿_________。
1０.已知函数1y x=的图像与函数()1xy a a =>及其反函数的图像分别交于A 、B 两点，若2AB =，则实数a 为__＿__＿＿__＿__。
11.若函数1log 2)(|3|+-=-x x f a x 无零点，则a 的取值范围为_＿_＿__＿＿___＿_。
12.求“方程34()()155x x +=的解”有如下解题思路:设函数34()()()55x x f x =+,则函数()f x 在R 上单调递减,且(2)1f =,所以原方程有唯一解2x =。
类比上述解题思路,方程 623(23)23x x x x +=+++的解集为__＿＿__＿＿_＿_＿。
二、选择题（本大题共有４小题，满分１2分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分.１３.设P 和Q 是两个集合,定义集合{}Q x P x x Q P ∉∈=-且，如果{}1log 2<=xx P ,{}12<-=x x Q ，那么=-Q P( ）（Ａ))1,0( （B) ]1,0( （C))2,1[ （D ）)3,2[ 1４.已知关于x 的不等式21<++ax x 的解集为P ,若P ∉1，则实数a 的取值范围为 ( ） （A)),0[]1,(+∞--∞ (B)]0,1(- (C)]0,1[-(D)),0()1,(+∞--∞1５.已知函数)(x f y =的定义域为[]b a ,，(){}(){}0|,),(|,=≤≤=x y x b x a x f y y x 只有一个子集,则 ( )(A) 0>ab (Ｂ)0≥ab （C)0<ab (D ）0≤ab 16.已知()f x 是单调减函数，若将方程()f x x =与1()()f x f x -=的解分别称为函数()f x 的不动点与稳定点。
则“x 是()f x 的不动点”是“x 是()f x 的稳定点”的 ( )(Ａ)充要条件 (B)充分不必要条件 （C)必要不充分条件 （Ｄ）既不充分也不必要条件三、解答题（本大题共5题，满分５2分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.１７.(本题满分8分)已知函数()221f x x tx =-+,[]2,5x ∈有反函数，且函数()f x 的最大值为8,求实数t 的值。
解：18．(本题满分８分,每小题满分各4分)已知集合{}0)1(2>--+=a x a x x A ，{}0))((>++=b x a x x B ，其中b a ≠,全集=U R 。
（1）若1->>b a ，求B A ； （2）若∈+412a UA ，求实数a 的取值范围。
解:19.（本题满分１0分，第（1）小题满分４分，第(2）(3)小题各满分3分)已知()()f x g x ==()()()H x f x g x =⋅。
（1)写出()H x 的解析式与定义域; （２)画出函数(1)2y H x =-+的图像； (3）试讨论方程(1)2H x m -+=的根的个数。
解：20．（本题满分１2分,每小题满分各6分)某医药研究所开发一种新药，在实验药效时发现：如果成人按规定剂量服用,那么服药后每毫升血液中的含药量y (微克）与时间x (小时）之间满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+⋅<<+=--)1(142)10(1112x a x x axy x x ,其对应曲线(如图所示）过点16(2,)5。
(1）试求药量峰值(y 的最大值）与达峰时间(y 取最大值时对应的x 值）;（2）如果每毫升血液中含药量不少于1微克时治疗疾病有效,那么成人按规定剂量服用该药一次后能维持多长的有效时间？（精确到0.01小时) 解:ﻮ２１．（本题满分14分,第（1）小题满分4分，第（2)（3)小题各满分5分)已知2()21x x af x -=+（R a ∈）的图像关于坐标原点对称。
(1)求a 的值,并求出函数11242)()(-+-+=x xx f x F 的零点； （2)若函数()()221x x bh x f x =+-+在[0,1]内存在零点,求实数b 的取值范围； (3)设4()log 1k x g x x +=-,若不等式1()()f x g x -≤在12[,]23x ∈上恒成立，求满足条件的最小整数k 的值。
解:ﻬ金山中学2０16学年度第一学期高一数学学科期末考试卷参考答案 （考试时间：90分钟 满分：1０0分 命题人:陈繁球 审核人:龚伟杰)一、填空题(本大题共１2小题，满分36分)1.已知幂函数()y f x =的图像过点12⎛ ⎝⎭，则2log (2)f =12。
2.设A 、B 是非空集合，定义{}*|,A B x x A B x A B =∈∉且，{}22x x y x A -==,⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧==-41x y y B ,则=*B A {}0(2,)+∞。
3．关于x 的不等式2201a x x a ->--（1a ≠）的解集为()22,1a a +。
4.函数)01(312<≤-=-x y x的反函数是⎥⎦⎤⎝⎛∈+-=1,311log 3x x y 。
5.已知集合{}2,A x x x R =>∈,{}1,B x x x R =≥-∈,那么命题p “若实数2x >，则1x ≥-”可以用集合语言表述为“A B ⊆”。
则命题p 的逆否命题可以用关于,A B 的集合语言表述为RRB A ⊆。
6.已知关于x 的方程a x-=⎪⎭⎫⎝⎛1121有一个正根,则实数a 的取值范围是()0,∞-。
7.定义在(1,1)-上的奇函数()f x 也是减函数，且2(1)(1)0f t f t -++<,则实数t 的取值范围为(1,0)-。
８.若偶函数()f x 在(]0-，∞单调递减,则满足1(21)()3f x f -<的x 取值范围是3231<<x 。
９.作为对数运算法则:lg()lg lg a b a b +=+（0,0a b >>)是不正确的。
但对一些特殊值是成立的,例如：lg(22)lg 2lg 2+=+。
那么,对于所有使lg()lg lg a b a b +=+ (0,0a b >>)成立的b a 、应满足函数()af b =的表达式为(1)1ba b b =>-。
10．已知函数1y x=的图像与函数()1xy a a =>及其反函数的图像分别交于A 、B两点，若2AB =，则实数a 为4。
11.若函数1log 2)(|3|+-=-x x f a x 无零点，则a 的取值范围为),3(+∞。
1２．求“方程34()()155x x +=的解”有如下解题思路：设函数34()()()55x x f x =+，则函数()f x 在R 上单调递减，且(2)1f =，所以原方程有唯一解2x =。
类比上述解题思路,方程 623(23)23x x x x +=+++的解集为{1,3}-。
二、选择题(本大题共有4小题,满分１２分）１3.设P 和Q 是两个集合，定义集合{}Q x P x x Q P ∉∈=-且，如果{}1log 2<=xx P ，{}12<-=x x Q ,那么=-Q P（ B ）(A))1,0( (Ｂ) ]1,0( (C))2,1[ (D ）)3,2[ 14.已知关于x 的不等式21<++ax x 的解集为P ,若P ∉1,则实数a 的取值范围为 ( Ｃ )(A)),0[]1,(+∞--∞ (B)]0,1(- （C)]0,1[- （D)),0()1,(+∞--∞ 15.已知函数)(x f y =的定义域为[]b a ,，(){}(){}0|,),(|,=≤≤=x y x b x a x f y y x 只有一个子集，则 （ A ）(Ａ) 0>ab (B ）0≥ab (C)0<ab (D)0≤ab 16.已知()f x 是单调减函数,若将方程()f x x =与1()()f x f x -=的解分别称为函数()f x 的不动点与稳定点。
则“x 是()f x 的不动点”是“x 是()f x 的稳定点”的 （ B ）(A)充要条件 （Ｂ)充分不必要条件 (C)必要不充分条件 (Ｄ)既不充分也不必要条件三、解答题(本大题共5题,满分5２分)17.(本题满分8分）已知函数()221f x x tx =-+，[]2,5x ∈有反函数，且函数()f x 的最大值为8，求实数t 的值。