求三角函数值域及最值的常用方法+练习题

求三角函数值域及最值的常用方法

（一）一次函数型

或利用：=+

=x b x a y cos sin )sin(22ϕ+⋅+x b a

化为一个角的同名三角函数形式，利用三角函数的有界性或单调性求解；

（2）2sin(3)512

y x π

=--

+，x x y cos sin =

（3）函数x x y cos 3sin +=在区间[0,]2

π

上的最小值为 1 ．

（4）函数tan(

)2

y x π

=-

(4

4

x π

π

-

≤≤

且0)x ≠的值域是 (,1][1,)-∞-⋃+∞

（二）二次函数型

利用二倍角公式，化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法、 换元及图像法求解。

（2）函数)(2cos 2

1

cos )(R x x x x f ∈-

=的最大值等于43．

（3）.当2

0π

<

x x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为 4 ．

（4）.已知k ＜－4，则函数y ＝cos2x ＋k (cos x －1)的最小值是 1 ．

（5）.若2αβπ+=，则cos 6sin y βα=-的最大值与最小值之和为____2____．

（三）借助直线的斜率的关系，用数形结合求解

型如d

x c b

x a x f ++=

cos sin )(型。此类型最值问题可考虑如下几种解法：

①转化为c x b x a =+cos sin 再利用辅助角公式求其最值；

②利用万能公式求解；

③采用数形结合法（转化为斜率问题）求最值。 例1：求函数sin cos 2

x

y x =

-的值域。

解法1：数形结合法：求原函数的值域等价于求单位圆上的点P(cosx , sinx )与定点Q(2, 0)所确定的直线的斜率的范围。作出如图得图象，当过Q 点的直线与单位圆相切时得斜率便是函数sin cos 2

x

y x =

-得最值，由几何知识，易求得过Q 的两切线得斜率分别为3

3

-、

33。结合图形可知，此函数的值域是33

[,]33

-

。 解法2：将函数sin cos 2x y x =-变形为cos sin 2y x x y -=，∴22s i n ()1y

x y

φ+=

+由2

|2||sin()|11y x y φ+=

≤+22(2)1y y ⇒≤+，解得：3333

y -

≤≤，故值域是33

[,]33-

解法3：利用万能公式求解：由万能公式2

12sin t

t

x +=，221cos 1t x t -=+，代入sin cos 2x y x =-得到2

213t y t

=--则有2

320yt t y ++=知：当0t =，则0y =，满足条件；当0t ≠，由2

4120y =-≥△，3333

y ⇒-≤≤，故所求函数的值域是33[,]33-。 解法4：利用重要不等式求解：由万能公式2

12sin t t x +=，221cos 1t x t -=+，代入sin cos 2x y x =

-得到2

213t

y t =--当0t =时，则0y =，满足条件；当0t ≠时，

22

113(3)

y t t t t

=

=---+，如果t > 0，则2223113233(3)y t t t t ==-≥-=---+，

x Q P

y O

此时即有3

03

y -

≤<；如果t < 0，则223

1

31

()(3)2()(3)

y t t t

t

=≤

=-+---，此时有303

y <≤

。综上：此函数的值域是33[,]33-。

例2.求函数2cos (0)sin x

y x x

π-=<<的最小值．

解法1：（利用三角函数的有界性求解）原式可化为sin cos 2(0)y x x x π+=<<，得21sin()2

y x ϕ++=，即2

2sin()1x y

ϕ+=+，

故

2

211y

≤+，解得3y ≥或3y ≤-（舍），所以y 的最小值为3．

解法2：(从结构出发利用斜率公式，结合图像求解)2cos (0)sin x

y x x

π-=

<<表示的是点

(0,2)A 与(sin ,cos )B x x -连线的斜率，

其中点B 在左半圆22

1(0)a b a +=<上，由图像知，当AB 与半圆相切时，y 最小，此时3AB k =，所以y 的最小值为3．

（四）换元法

代数换元法代换：x x x x y cos sin cos sin ++=

令：t t y t x x +-==+2

1

,cos sin 2则再用配方. 例题：求函数sin cos sin cos y x x x x =⋅++的最大值．

解：设sin cos x x t +=(22)t -≤≤，则21sin cos 2t x x -⋅=，则211

22

y t t =+-，

当2t =

时，y 有最大值为1

22

+．