整式的乘除与乘法公式(张)
北师大版七年级(下册)数学知识点总结
北师大版数学七年级下册知识点总结第一章 整式的乘除1、单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。
单独的一个数或一个字母也是单项式。
单项式的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数。
2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。
多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。
3、整式：单项式和多项式统称整式。
注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。
也不是单项式和多项式。
4、同底数幂的乘法法则：n m n m a a a +=•（n m ,都是正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
注意：底数可以是多项式或单项式。
如：532)()()(b a b a b a +=+•+5、幂的乘方法则：mn n m a a =)(（n m ,都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。
如：10253)3(=-幂的乘方法则可以逆用：即m n n m mn a a a )()(==如：23326)4()4(4==6、积的乘方法则：n n n b a ab =)(（n 是正整数）积的乘方，等于各因数乘方的积。
如：（523)2z y x -=5101555253532)()()2(z y x z y x -=•••-7、同底数幂的除法法则：n m n m a a a -=÷（n m a ,,0≠都是正整数，且)n m同底数幂相除，底数不变，指数相减。
如：3334)()()(b a ab ab ab ==÷8、零指数和负指数；10=a ，（ɑ≠0）即任何不等于零的数的零次方等于1。
p p aa 1=-（p a ,0≠是正整数），即一个不等于零的数的p -次方等于这个数的p 次方的倒数。
9、科学记数法：如：0.00000721=6-1021.7⨯（第一个非零数字前零的个数）10、单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。
初中数学.整式的乘除与乘法公式
）
2 2 4
B． x 2 y 2 y x x 2 y
7
C． x 2 y 2 y x x 2 y x 2 y 【例 1】 1000 100 10 的结果是 【巩固】计算： 10 104 105 103 107
幂的运算
模块一
1.
同底数幂的乘法法则
同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
即 a m a n a m n （ m 、 n 都是正整数） 【巩固】如果把 x 2 y 看作一个整体，下列计算正确的是（ A． x 2 y 2 y x x 2 y
3 6 ⑵ ( a8b 2 a 3b 4 1.8a 2 b3 ) 0.6ab 2 5 5
【巩固】计算：⑴ (4 x 2 y )2 8 y 2 ；
1 3 ⑶ ( a 3b 2 )3 ( ab 2 ) 2 ； 3 4
⑵ 9a m n b 2 m n c3n 2 m 3a 2 b3 . ⑷ (0.8 x 2 y n )3 (4 x 2 y n )2
2 3 2
计算下列各式：⑴ 2 x y
3 2 2 1 xy 4 z ；⑵ 3a 2 a 2 2a 2 5a 3 2
4
初中数学．整式的乘除．第 01 讲．学生版
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⑶ a a 3 a 4 a 2 2a 4 ；⑷ 2 x 2 x3 3x3 5 x x 7
计算 ( x3 2 x 2 5)(2 x 2 3x 1)
【巩固】计算： (3x 2 2)(5 x 4 2 x 2 3) (5 x 4 x 2 3)(3x 2 3)
整式的乘除—乘法公式
整式的乘除—乘法公式1整式的乘除—乘法公式【复习】(a+b)(a-b)=a 2-b 2 (a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2(a+b)(a 2-ab+b 2)=a 3+b 3 (a-b)(a 2+ab+b 2)=a 3－b 3归纳⼩结公式的变式，准确灵活运⽤公式：①位置变化，(x +y )(-y +x )=x 2-y 2②符号变化，(-x +y )(-x -y )=(-x )2-y 2= x 2-y 2③指数变化，(x 2+y 2)(x 2-y 2)=x 4-y 4④系数变化，(2a +b )(2a -b )=4a 2-b 2⑤换式变化，[xy +(z +m )][xy -(z +m )]=(xy )2-(z +m )2=x 2y 2-(z +m )(z +m )=x 2y 2-(z 2+zm +zm +m 2)=x 2y 2-z 2-2zm -m 2⑥增项变化，(x -y +z )(x -y -z )=(x -y )2-z 2=(x -y )(x -y )-z 2=x 2-xy -xy +y 2-z 2=x 2-2xy +y 2-z 2⑦连⽤公式变化，(x +y )(x -y )(x 2+y 2)=(x 2-y 2)(x 2+y 2)=x 4-y 4⑧逆⽤公式变化，(x -y +z )2-(x +y -z )2=[(x -y +z )+(x +y -z )][(x -y +z )-(x +y -z )]=2x (-2y +2z )=-4xy +4xz【典例分析】例1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。
例2．已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。
例3：计算19992-2000×1998例4：已知a+b=2，ab=1，求a 2+b 2和(a-b)2的值。
2 例5：已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。
求x 2-z 2的值。
七年级数学下册第3章整式的乘除 乘法公式1第2课时教案新版浙教版
3.4乘法公式(1)教学目标：1．经历探索平方差公式的过程,会通过图形的拼接验证平方差公式,了解平方差公式的几何背景,并会运用所学的知识,进行简单的混合运算.2．通过创设问题情境,让学生在数学活动中建立平方差公式模型,通过探索规律,归纳出利用平方差公式,解决数字运算问题的方法,培养学生观察、归纳、应用能力. 3．了解平方差公式的几何背景,培养学生的数形结合意识.在探究学习中体会数学的现实意义,培养学习数学的信心. 教学重点与难点：重点：平方差公式的几何解释和广泛的应用．难点：准确地运用平方差公式进行简单运算,培养基本的运算技能． 教法及学法指导：有效的数学学习方法不能单纯地依赖模仿与记忆,我以问题为线索,让学生在动口、动手、动脑的活动中学习知识,让学生进一步理解“探索发现——归纳验证——应用拓展”这一学习与研究数学问题的方法．以探究体验的教学法为主,为学生创造一个良好的学习情境,指导学生深刻思考,细心观察,在解题时,一切从习题特点出发,根据习题特点寻找最佳解题方法,具体在运用公式计算时,要认清结构,找准a 、b ． 课前准备：多媒体课件,一张正方形纸板,剪刀． 教学过程:一、速算王的绝招师：在一次智力抢答赛中,主持人提供了两道题：1．2119?⨯= 2. 10397?⨯=主持人话音刚落,就立刻有一个学生刷地站起来抢答说：“第一题等于399,第二题等于9991。
”其速度之快,简直就是脱口而出。
同学们,你知道他是如何计算的吗？（学生讨论,部分预习效果较好的同学能够体会其中的道理,仍有部分学生很困惑．）师：这其中的奥秘,其实我们已经接触过了,通过本节课的学习我们都能像速算王一样聪明,能够迅速得到结果,我们开始今天的学习吧．【教师板书课题：3.4乘法公式(1)】设计意图：通过“速算王的绝招”这一故事的情境创设,引发学生学习的兴趣,同时激发了学生的好奇心和求知欲,顺利引入新课。
二、一起来热身师：为了更好地解决本节课的内容,大家回顾一下上节课学习的平方差公式的内容,哪个同学来回答？生1：平方差公式：22()()a b a b a b +-=-．生2：两个数的和与这两个数差的积等于这两个数的平方差．生3：这个公式的结构特点是：左边是两个二项式的乘积,即两数和与这两数差的积； 右边是两数的平方差.师：大家回答的都很好.下面通过一组习题来复习一下大家的掌握情况. （多媒体出示习题） 利用平方差公式计算：（1）(23)(23)x y x y +-； （2）(2)(-2)x y y x --； （3）(5+8)(58)x x -； （4）2(3)(9)(3)x x x -++． （学生独立做题,师巡视.）【答案：（1）2249x y -；（2）224y x -；（3）22564x -；（4）481x -．】 师：在运用平方差公式时要注意什么？生：1．字母a 、b 可以是数,也可以是整式；2．注意计算过程中的符号和括号． 设计意图：通过习题训练功过上节课所学知识,为下面教学的展开做好铺垫． 三、数学是什么师：有人说,数学只是一些枯燥的公式、规定,没有什么实际意义！请问数学真的没有什么实际意义吗？ 请看下面的问题：师：请表示右图中阴影部分的面积. 生：a 2－b 2．师：你能将将阴影部分通过裁剪拼成一个长方形吗？如果能这个长方形的长和宽分别是多少？你能表示出它的面积吗？（学生动手操作,教师巡视指导,指定同学演示）生：我是把剩下的图形（即上图阴影部分)先剪成两个长方形(沿上图虚线剪开),上面的大长方形宽是(a －b ),长是a ；下面的小长方形长是(a －b ),宽是b ．我们可以将两个长方形拼成一个更大长方形,是由于大长方形的宽和小长方形的长都是(a －b ),我们可以将这两个边重合,这样就拼成了一个如下图所示的图形（阴影部分）,它的长和宽分别为(a +b )、(a －b )．师：比较前两问的结果,你有什么发现? （学生思考交流）生：这两部分面积应该是相等的,即(a +b )(a －b )=a 2－b 2．生：通过裁剪拼凑我们验证了上节课所学的平方差公式：(a +b )、(a －b )= a 2－b 2． 生：用拼图来验证平方差公式很直观,一剪一拼,利用面积相等就可推证． 师：由此我们对平方差公式有了更多的认识.这节课我们来继续学习平方差公式,也许你会发现它更“神奇”的作用．设计意图：设计几何解释,目的是使学生看到数学中的公式反映了实际问题中的客观关系,是看得见摸得着的,纠正 “数学只是一些枯燥的公式、规定,没有什么实际的意义。
2022秋八年级数学上册 第12章 整式的乘除12.3 乘法公式 2两数和(差)的平方课件华东师大版
则(x－y)2＝_1_4______；
[知识迁移] 类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以 得到一个恒等式． (5)根据图③，写出一个代数恒等式： __(_a_＋__b_)_3＝__a_3_＋__3_a_2_b_＋__3_a_b_2＋__b_3___； (6)已知a＋b＝3，ab＝1，利用上面的恒等式求的值． 解：∵a＋b＝3，ab＝1， ∴a3＋2 b3＝（a＋b）3－23ab（a＋b）＝27－ 2 9＝9.
谢谢观赏
You made my day!
A．2 cm2 B．2a cm2 C．4a cm2 D．(a2－1)cm2
【点拨】本题利用了面积法，长方形的面积等于大正 方形的面积减去小正方形的面积，即(a＋1)2－(a－1)2 ＝4a(cm2)．
【答案】C
16．【中考·邵阳】先化简，再求值：(a－2b)(a＋2b)－(a－ 2b)2＋8b2，其中a＝－2，b＝ 1 . 2
D．－12
8．【中考·白银】若x2＋4x－4＝0，则3(x－2)2－6(x＋
1)(x－1)的值为( B )
A．－6
B．6
C．18
D．30
【点拨】3(x－2)2－6(x＋1)(x－1)＝－3(x2＋4x)＋18，
由x2＋4x－4＝0得x2＋4x＝4，所以原式＝－3×4＋18
＝6.
9．计算下列各题． (1)【2020·西宁】3(x2＋2)－(x－1)2；
13．若4x2－12x＋k满足a2－2ab＋b2的形式，则k等于( A )
A．9
B．－9 C．±9 D．±3
14．已知a＋
1 a
＝4，则a2＋
整式的乘除知识点整理
一、知识点归纳： （一）幂的四种运算：1、同底数幂的乘法：⑴语言叙述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加； ⑵字母表示：a m ·a n = a m+n ；(m ，n 都是整数) ；⑶逆运用：a m+n = a m ·a n2、幂的乘方：⑴语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘； ⑵字母表示：(a m ) n = a mn ；(m ，n 都是整数)； ⑶逆运用：a mn =(a m )n =(a n )m ；3、积的乘方：⑴语言叙述：积的乘方，等于每个因式乘方的积； ⑵字母表示：(ab)n = a n b n ；(n 是整数)； ⑶逆运用：a n b n = (a b)n ；4、同底数幂的除法：⑴语言叙述：同底数幂相除，底数不变，指数相减；⑵字母表示：a m ÷a n = a m-n ；(a≠0，m 、n 都是整数)； ⑶逆运用：a m-n = a m ÷a n .（二）整式的乘法：1、单项式乘以单项式：⑴语言叙述：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。
⑵实质：分三类乘：⑴系数乘系数；⑵同底数幂相乘；⑶单独一类字母，则连同它的指数照抄； 2、单项式乘以多项式：⑴语言叙述：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式中的每一项，再把所得的积相加。
⑵字母表示：c)＝ma ＋mb ＋mc ；（注意各项之间的符号！） 3、多项式乘以多项式：(1)语言叙述：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加；(2)字母表示：＝mn ＋mb ＋an ＋ab ；（注意各项之间的符号！） 注意点：⑴在未合并同类项之前，积的项数等于两个多项式项数的积。
⑵多项式的每一项都包含它前面的符号，确定乘积中每一项的符号时应用“同号得正，异号得负”。
⑶运算结果中如果有同类项，则要 合并同类项（三）乘法公式： 1、平方差公式：(1)语言叙述：两数和与这两数差的积，等于这两个数的平方差。
整式的乘法乘法公式
先算乘方，再算乘除，最后算 加减；
运用分配律
将括号内的代数式展开，并运用 分配律进行计算；
合并同类项
将同类项进行合并，得到最简结果 。
整式乘法公式的计算技巧
熟记公式
熟练掌握整式乘法公式，如平 方差公式、完全平方公式等；
化简代数式
在计算过程中，尽量化简代数 式，减少计算量；
灵活运用运算法则
整式乘法公式是一种简化的运算方法，适用于任何两个整式 的乘法运算。
整式乘法公式的特点
1
整式乘法公式具有普遍适用性，适用于任何两 个整式的乘法运算。
2
整式乘法公式可以简化复杂的计算过程，提高 运算效率。
3
整式乘法公式有助于培养学生的数学思维能力 和符号意识。
整式乘法公式的历史与发展
01
整式乘法公式是数学运算中的基本工具，有着悠久的历史和广 泛的应用。
2023
《整式的乘法乘法公式》
contents
目录
• 整式乘法公式概述 • 整式乘法公式的形式与证明 • 整式乘法公式的计算方法与技巧 • 整式乘法公式的应用实例
01
整式乘法公式概述
整式乘法公式的定义
整式乘法公式定义：整式乘法公式是单项式与单项式相乘， 把他们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同他的 指数不变，作为积的因式的运算。
交换律公式
$(a+b)(c+d)=(a+b)(c+d)$
整式乘法公式的证明方法
分配律公式的证明
根据乘法分配律，可以得出$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$。
结合律公式的证明
根据乘法结合律，可以得出$(a+b)(a+b)=a^2+2ab+b^2$。
《乘法公式》整式的乘除与因式分解
把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被 除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式 。
多项式除以单项式
定义
把一个多项式除以另一个单项式的商叫做多项式除以单项式。
运算法则
把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。
多项式除以多项式
定义
把一个多项式除以另一个多项式的商叫 做多项式除以多项式。
《乘法公式》整式的乘除与 因式分解
2023-11-09
目录
• 乘法公式 • 整式的乘法 • 整式的除法 • 因式分解 • 乘法公式、整式的乘除与因式分解的关系 • 经典例题解析
01
乘法公式
乘法公式的定义
乘法公式的定义
乘法公式是指将两个或多个数相 乘的结果用一个简单的符号表示
。例如，$(a+b)^2$ 表示 $a^2+2ab+b^2$。
因式分解的例题
3. 双十字相乘法
$x^2 + 5xy + 6y^2 = (x+2y)(x+3y)$。
2. 公式法
$a^2 - 8a + 16 = (a-4)^2$。
总结词
因式分解的方法多种多样，通过经典例题 解析可以更好地理解各种方法的适用条件 和操作技巧。
详细描述
因式分解是将一个多项式分解为若干个因 式之积的过程，下面通过一些例题及解析 来探讨因式分解的方法
乘法公式与因式分解的关系
乘法公式在因式分解中的应用
在因式分解中，乘法公式被广泛应用，例如利用乘法公 式进行多项式的展开、分组、约分等，这些方法都是基 于乘法公式进行推导和复杂的乘法公式问题时，通过因式分解可以 将问题转化为更简单的形式，例如利用因式分解解决一 些分式的约分问题。
初中数学整式的乘除与因式分解知识点归纳
初中数学整式的乘除与因式分解知识点归纳一、整式的乘法：1.普通整式相乘：将每一项的系数相乘，同时将每一项的指数相加。
2.平方整式相乘：先将每一项平方，再将每一项相乘得到结果。
3.完全平方的平方差公式：(a-b)(a+b)=a²-b²。
4. 公式展开：通过公式展开可求两个或多个整式的乘积，例如(a+b)²=a²+2ab+b²。
二、整式的除法：1.整式相除的概念：整式A除以整式B，若存在整式C，使得B×C=A，那么C称为A除以B的商式。
2.用辗转相除法进行整式的除法计算。
三、因式分解：1.抽象公因式法：将多项式中的每一项提取出公因式，然后将剩下的部分合并。
2.公式法：运用一些常用的公式，如平方差公式、完全平方公式等进行因式分解。
3.分组法：将多项式中的项进行分组，使每一组都有一个公因式，然后进行合并。
4. 二次三项式的因式分解：对于二次三项式a²+2ab+b²或a²-2ab+b²，可以因式分解为(a±b)²。
5.因式定理和余式定理：若(x-a)是多项式P(x)的因式，则P(a)=0。
根据这一定理可以找到多项式的因式。
四、常见整式的因式分解：1.平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)。
2. 完全平方公式：a²+2ab+b²=(a+b)²，a²-2ab+b²=(a-b)²。
3. 符号"相反"公式：a²-2ab+b²=(b-a)²。
4. 三项平方公式：a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)，a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)。
5. 公因式公式：a²+ab=a(a+b)。
初中七年级数学整式的乘除及乘法公式期末复习
整式的乘法运算：整式的乘法运算是指两个或多个整式相乘的运算。
整式的乘法运算中，我们要注意变量的指数和系数的相乘运算以及同类项的合并运算。
1.变量的指数相乘：当同一个字母的指数相乘时，我们可以将指数相加，然后保留同一个字母，并写上新的指数。
例如：3x²*4x³=12x^(2+3)=12x⁵2.系数的相乘：当整式中的系数相乘时，我们可以直接将系数相乘，然后保留原来的字母和指数。
例如：2x * 3y = 6xy3.同类项的相乘：同类项是指具有相同字母和指数的项。
当整式中的同类项相乘时，我们可以直接将系数相乘，然后保留原来的字母和指数。
例如：3x²*5x²=15x^(2+2)=15x⁴整式的除法运算：整式的除法运算是指一个整式除以另一个整式的运算。
整式的除法运算中，我们要注意变量的指数和系数的相除运算以及整除时的余数。
1.变量的指数相除：当同一个字母的指数相除时，我们可以将指数相减，然后保留同一个字母，并写上新的指数。
例如：10x⁵÷2x²=5x^(5-2)=5x³2.系数的相除：当整式中的系数相除时，我们可以直接将系数相除，然后保留原来的字母和指数。
例如：12xy ÷ 4x = 3y3.整除和余数：当两个整式相除时，如果能整除，则商为一个整式，余数为零。
如果不能整除，余数不为零，我们可以保留余数，但不能继续进行整除运算。
乘法公式的运用：乘法公式是指将一个较为复杂的乘法运算通过一定的方法化简，使运算变得简便的运算法则。
1.二次方差式公式：(a+b)² = a² + 2ab + b²(a-b)² = a² - 2ab + b²例如：(x+2)²=x²+2x*2+2²=x²+4x+42.一次方差式公式：(a+b)(a-b)=a²-b²例如：(x+3)(x-3)=x²-3²=x²-93.三次方差式公式：(a+b)(a²-ab+b²) = a³ + b³例如：(x+2)(x²-2x+4)=x³+2³=x³+8综上所述，整式的乘法运算和除法运算是我们初中七年级数学中的重要内容。
七年级下册整式的乘除
七年级下册整式的乘除一、整式乘除的意义和基本概念在七年级下册的数学课程中，我们将会学习一项重要的内容——整式的乘除。
整式的乘除是数学基本技能的重要组成部分，它不仅在日常生活和实际应用中有着广泛的应用，而且对于培养我们的逻辑思维和抽象思维能力也具有关键作用。
我们来理解一下什么是整式。
整式是包含加、减、乘、除四种运算的代数式，它不同于我们过去学习的算术式，例如：2x + 3y就不能简单地通过加减得到结果，而是需要我们进行进一步的运算。
二、整式乘除的规则和方法整式的乘除是按照特定的规则进行的。
乘法满足交换律、结合律和分配律，例如，(ab)c=ab(c)，(ab)c=a(bc)，(a+b)c=ac+bc等。
这些规则可以帮助我们进行大规模的运算，简化复杂的问题。
而除法则有一些不同。
在整式除法中，我们通常通过乘以一个数的倒数来将除法问题转化为乘法问题。
例如，如果我们要计算a除以b，我们可以乘以b的倒数1/b，这样就可以转化为乘法问题a×(1/b)。
三、整式乘除的应用整式的乘除不仅在数学中有着广泛的应用，在我们的日常生活中也有着广泛的应用。
例如，在解决物理问题、化学问题以及工程问题时，我们都需要使用到整式的乘除。
通过这些应用，我们可以看到数学在我们生活中的重要性，以及我们学习数学的意义。
四、结语七年级下册的整式乘除是一项非常重要的数学技能。
我们需要理解其基本概念和规则，掌握其方法，才能有效地应用到实际生活和各种问题中。
通过学习整式的乘除，我们也可以进一步培养我们的逻辑思维和抽象思维能力。
因此，我们应该认真对待这一部分的学习，打好数学基础。
七年级上册整式乘除试卷及答案一、填空题（每题2分，共20分）1、单项式相乘，把他们的_________分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
2、多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的_________，再把所得的积_________。
整式的乘除与因式分解知识点全面
整式的乘除与因式分解知识点全面一、整式的乘法与除法知识点：1.整式的乘法：整式的乘法是指两个或多个整式相乘的运算。
乘法的结果称为“积”。
-乘法的交换律：a×b=b×a-乘法的结合律：(a×b)×c=a×(b×c)-乘法的分配律：a×(b+c)=a×b+a×c2.整式的除法：整式的除法是指一个整式被另一个整式除的运算。
除法的结果称为“商”和“余数”。
-除法的除数不能为0，即被除式不能为0。
-除法的商和余数满足等式：被除式=除数×商+余数3.次数与次项：整式中的变量的幂次称为整式的次数。
次数为0的项称为常数项，次数最高的项称为最高次项。
4.整式的乘除法规则：-乘法规则：乘法运算时，将整式中的每一项依次相乘，然后将结果相加即可。
-除法规则：除法运算时，可以通过因式分解的方法进行计算。
5.乘法口诀：乘法口诀是指两个整数相乘时的计算规则。
-两个正整数相乘，结果为正数。
-两个负整数相乘，结果为正数。
-一个正整数与一个负整数相乘，结果为负数。
二、因式分解知识点：1.因式分解：因式分解是将一个整式表示为几个乘积的形式的运算。
可以通过提取公因式、配方法等方式进行因式分解。
2.提取公因式：提取公因式是指将整式中公共的因子提取出来，分解成公因式和余因式的乘积的过程。
3.配方法：配方法是指将整式中的一些项配对相加或相乘，通过变换形式，使得整个式子能够因式分解的过程。
4.差的平方公式：差的平方公式是指一个完全平方的差能够分解成两个因子相加的形式。
例如：a^2-b^2=(a+b)(a-b)。
5. 完全平方公式：完全平方公式是指一个完全平方的和可以分解成一个因子的平方的和的形式。
例如：a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^26.公式法：根据特定的公式，将整式进行因式分解。
7.分组法：将整式中的项分为两组，分别提取公因式，然后进行配方法或其他操作，将整式进行因式分解。
整式的乘除复习课件
运算步骤：首先确定系数相乘，然 后相同字母的幂相乘，最后将剩余 的字母和指数不变。
注意事项：注意相同字母的幂相乘 时，底数不变，指数相加。
举例说明：例如单项式2x^3与单项 式3y^2相乘，结果是6x^3y^2。
单项式与多项式的乘法
定义：单项式与多项式相乘，就是单项式中的每一项与多项式中的每一项相乘 运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减 乘法分配律：$(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn$ 注意事项：注意符号和指数的运算
巩固练习题及解析
整式的乘除运算规则练习 常见错误分析 解题技巧分享 综合应用题解析
学生自我评价与反馈
学生自我评价：对整式的乘除运算的掌握程度进行自我评价，包括概念理解、运算技 巧等方面。
反馈内容：针对复习内容提出自己的疑问和建议，以便教师更好地了解学生的学习情 况，为后续教学提供参考。
巩固练习：提供一些与整式的乘除运算相关的练习题，让学生通过练习巩固所学知识， 提高解题能力。
除法法则：多项式 除以多项式时，按 照除法的分配律和 结合律进行计算， 即先计算括号内的 除法，再计算乘法， 最后进行加法或减 法。
注意事项：在多 项式除以多项式 时，需要注意除 数不能为零，且 结果是一个商式 和一个余式的形 式。
举例：以多项式 a(x) = 2x^3 + 3x^2 - 4x + 5 和 b(x) = x^2 x + 2 为例，进 行多项式除以多 项式的运算。
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整式的乘除复习课件
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01 添加目录标题 03 整式乘法运算
02 整式乘除的回顾 04 整式除法运算
第一章：整式的乘除(1)
第一章：整式的乘除知识要求：1、理解、掌握整式的有关概念2、牢固地掌握幂的运算性质和整式乘除的运算法则，理解、掌握乘法公式；3、加强运算能力，以及分析问题、解决问题的能力知识重点：整式的乘法及乘法公式，幂的相关运算性质。
知识难点：熟练掌握整式的有关计算及相关运用：幂的运算，整式乘法，整式除法。
知识点：一、整式的有关概念整式：可以看成是分母不含有字母的代数式，注意：一是分母不含有字母但可以是数字，二要是代数式不能含有等号或表示数量关系的符号。
单项式与多项式统称为整式。
(1)定义：表示数与字母的积的代数式。
单独的一个数是单项式。
1、 单独字母也是单项式。
单 (2)系数:单项式中的数字因数叫做单项式的系数。
项 注意系数包括前面的符号，式 系数是1时通常省略，π是系数，72xyz -的系数是72- 单独字母的系数是1。
a=1×a单独数字的系数是本身。
3=3×a 0(3)次数：单项式的次数是指所有字母的指数的和。
单独字母的次数是1.单独一个非零数字的次数是0.2、多项式：（1）几个单项式的和叫做多项式。
（几次几项式）（2）每一个单项式叫做多项式的项， 注意项包括前面的符号。
（3）多项式的次数：多项式中次数最高的项的次数。
项的次数是几就叫做几次项，（4）不含字母的项叫做常数项。
2、多项式二、整式的加减：实质是合并同类项①先去括号； （注意括号前有数字因数）②再合并同类项。
（系数相加，字母与字母指数不变）三、幂的运算性质1、同底数幂相乘：底数不变，指数相加。
m n m n a a a +=• ⇔ m n a a •=+m n a （m,n 都是正整数）2、幂的乘方：底数不变，指数相乘。
nm m n a a =)( ⇔ m n a )(a nm =（m,n 都是正整数）3、积的乘方：把积中的每一个因式各自乘方，再把所得的幂相乘。
n n n b a ab =)( ⇔ n ab)（=n n b a （n 为正整数）4、零指数幂：任何一个不等于0的数的0次幂等于1。
整式的乘除-乘法公式
公式 bn bm an am n m b a +++=++))(( (x ＋a )(x ＋b )＝x 2＋(a ＋b )x ＋ab完全平方公式常见的变形有a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ， a 2＋b 2＝(a －b )2＋2ab ， (a ＋b )2－(a －b )2＝4ab ，1．下列运算正确的是 ( )A ．3412a a a ⋅=B ．3362a a a +=C ．330a a ÷=D ．2353515x x x ⋅=2．下列等式成立的是( )A ．(a －b )2＝a 2－b 2B ． (a ＋b )2＝a 2＋b 2C ． (ab )2＝a 2b 2D ． (ab 3)2＝a 2b 53．下列等式错误的是( )A ． (102)3．(102)＝108B ． [(x 2)3]4＝x 24C ．[ (a －b )3 ]2＝[ (b －a )2 ]3D ． (－3x 2y 2)3＝－9x 6y 64． 计算：(－3a 2b 3c )3＝ ，=-332)21(yz x ．5． ，=⋅+122)()(n n b a ab ． )7(28324y x y x -÷＝6． 计算：82005×0．1252006＝7．若43=n a ，则=n a 6 ==+x x x ，则已知3248．如果3,2==y x a a ，则y x a23+＝ y x a -2＝ 若3m ·3n ＝1，则m ＋n ＝_________ 9．已知x ＋4y －3＝0，则y x 162⋅＝11．下列添括号正确的是( )．A ．a －2b －c ＝a －(2b －c )B ．a －b ＋c －d ＝a －(b ＋c －d)C ．a －2b ＋c －1＝－(－a ＋2b －c ＋1)D ．a －b －c ＋3＝－(b －3)＋(－c －a )12． 计算(a ＋1)(－a －1)的结果是( )A ． －a 2－2a －1B ． －a 2－1C ． a 2－1D ．－a 2＋2a －113．计算 22)21()21(-+a a 得( )A ．412-aB ．1614-aC ．1612124+-a a D ．以上都不对 14． 下列各式中运算错误的是( )A ．a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2abB ．(a －b )2＝(a ＋b )2－4abC ．(a ＋b )( －a ＋b )＝ －a 2＋b 2D ．(a ＋b )(－a －b )＝ －a 2－b 215．计算(32)2003×1．52002×(－1)2004的结果是( ) A ．32 B ．23 C ．－32 D ．－23 16．已知16,822=-=+y x y x ，则____=-y x17．如果的值为那么b a b a b a +=-+++,63)122)(122(18．已知x ＋y ＝1，那么21x 2＋xy ＋21y 2的值为 19．已知m 2＋m －1＝0，则m 3＋2m 2＋2004＝20．-+=+222)1(1x x xx ＝2)1(x x -＋ 21．已知31=+x x ，则221xx +＝ 2)1(x x -＝ ． 22．已知：x 2＋3x ＋1＝0．=+221x x 23．计算(1)(3x ＋2)(3x －2)；(2)(b ＋2a )(2a －b )；(3)(－x ＋2y )(－x －2y )．(4) (x ＋2)(x －3)(5)(y ＋2)(y －2)－(y －1)(y ＋5)．(6)(x ＋3)2－(x ＋2)(x －2)．(7)(a ＋b )(a －2b )－(a ＋2b )(a －b )；(8)5x (x 2＋2x ＋1)－(2x ＋3)(x －5)．24．解方程 3x (7－x )＝18－x (3x －15)；26．若(x 2＋p x ＋q)(x 2－2x －3)展开后不含x 2，x 3项，求p 、q 的值27．已知 (a －b )2＝7， (a ＋b )2＝13， 试求a 2＋b 2和ab 的值；28．已知：x 2＋y 2＋4x －6y ＋13＝0，x 、y 均为有理数，求x y 的值．29．已知0142522=+++-x y xy x ，求x 、y 的值．30．当a ，b 为何值时，多项式a 2＋b 2－4a ＋6b ＋18有最小值？并求出这个最小值．31．已知a ＝1990x ＋1989，b ＝1990x ＋1990，c ＝1990x ＋1991，求a 2＋b 2＋c 2－ab －ac －bc 的值32．若a ，b ，c 是三角形的三边，且满足关系式a 2＋b 2＋ c 2－ab －ac －bc ＝0，试判断这个三角形的形状33．已知102=-y x ，求[]y y x y y x y x 4)(2)()(222÷-+--+的值34．已知x 2＋y 2＝25，x ＋y ＝7，且x >y ，求x －y 的值35．的值，求已知：n n n 1924212=++ 36．的值，求已知：m m m 723921=-+37．已知：)(2,222n m m n n m ≠+=+= 求：332n mn m +-的值38．已知yz y xy x 4812922-+-04422=+-+z z ，求x 、y 、z 的值。
《整式的乘法》整式的乘除
汇报人： 2023-11-28
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• 整式乘除法的定义与规则 • 整式乘法的运算方法 • 整式除法的运算方法 • 整式乘除法的实际应用 • 整式乘除法在数学中的重要性 • 整式乘法的技巧和注意事项
01
整式乘除法的定义与规则
整式的乘法定义
整式乘法的定义
整式乘法是将几个整式相乘，所得的 积叫做整式的乘积。
整式乘法的运算顺序
在进行整式乘法时，应先进行单项式 的乘法运算，再合并同类项。
整式的乘法规则
同底数幂相乘
同底数幂相乘，底数不变，指 数相加。
幂的乘方
幂的乘方，底数不变，指数相 乘。
积的乘方
积的乘方，等于把积的每一个 因式分别乘方，再把所得的幂 相乘。
单项式与多项式相乘
单项式与多项式相乘，就是根 据分配律用单项式去乘多项式 的每一项，再把所得的积相加
单项式与多项式的乘法运算
要点一
总结词
要点二
详细描述
逐项处理，将单项式与多项式的每一项分别相乘，再合并 同类项。
单项式与多项式的乘法运算，需要把单项式与多项式的每 一项分别相乘，并且把所得的积相加。具体地，对于多项 式的每一项，将其系数和字母部分分别与单项式的系数和 字母部分相乘，然后合并同类项得到结果多项式的每一项 。特别地，当多项式中有一项与单项式完全相同时，则结 果多项式中该项的系数为单项式的系数乘以多项式中该项 的系数。
03
整式除法的运算方法
单项式与单项式的除法运算
总结词
简单、易于操作
详细描述
单项式与单项式的除法运算相对简单，只需将被除数除以除数，得到商即可。例 如，$10/3 = 3.33\ldots$。
整式的乘法公式和分式的运算
整式的乘法公式和分式的运算整式的乘法公式是数学中重要的内容之一，它们能够帮助我们简化复杂的算术操作，使得解题更加高效和准确。
与此同时，分式的运算也是我们在日常生活和学习中经常遇到的情况之一，掌握好分式的运算规则可以帮助我们解决许多实际问题。
本文将重点讲解整式的乘法公式和分式的运算，并通过例题帮助读者更好地理解和应用。
1. 整式的乘法公式整式是由常数和字母的积、和以及差构成的式子，例如2x² + 3xy + 4。
整式的乘法公式能够帮助我们将两个或多个整式相乘并进行简化。
下面是常见的整式乘法公式：①两个单项式相乘： (ax)(by) = abxy②单项式和多项式相乘： (ax)(b + cy + dz) = abx + acxy + adxz③两个多项式相乘： (a + bx + cy)(d + ex + fy) = ad + aex + afy + bdx + bex² + bfxy + cdy + cexy + cfy²使用整式的乘法公式，我们可以快速地计算出两个或多个整式的乘积。
举个例子，如果我们要计算(2x + 3)(4x - 5)，根据公式我们可以展开并进行简化运算：(2x + 3)(4x - 5) = 2x * 4x + 2x * (-5) + 3 * 4x + 3 * (-5)= 8x² - 10x + 12x - 15= 8x² + 2x - 15通过整式的乘法公式，我们得到了(2x + 3)(4x - 5)的简化结果为8x²+ 2x - 15。
2. 分式的运算分式是由分子和分母构成的比值表达式，通常以a/b的形式表示。
在日常生活中，我们经常遇到各种各样的分式运算，例如分式的加减乘除。
下面我们将介绍分式的运算规则。
①分式的加减：要进行分式的加减，首先需要找到两个分式的公共分母，然后对分子进行相应的加减操作，最后将结果化简为最简分数。
整式的乘除及乘法公式
整式的乘除和因式分解【考点知识】1、整式的乘法法那么2、整式的乘法公式3、同底数塞的除法4、整式的除法法那么5、因式分解【根底过关】I.(2014・邵阳，第2题3分)以下计算正确的选项是()A.2x-x=xB.a 3∙a 2=a 6 2、以下运算正确的选项是()A 、8X 9÷4X 3=2/B 、4tz⅛3÷4a 2b i =OC 、a 2m ÷a ,n =a 2D 、2ab 2c÷(-ab 2)=~4c3、以下多项式乘法中可以用平方差公式计算的是( )A 、S 蚁…B 、(x÷2)(2÷x)C 、(*y)(yf) 4、假设多项式χ2+kx+25是一个完全平方式,那么值是() A.10B.±10 C.5D.±55、在边长为a 的正方形中挖去一个边长为胡勺小正方形(a>8),再沿虚线剪开，如图①，然后拼成一个梯形，如图②，根据这两个图形的面积关系，说明以下式子成立的是()。
力、a-∖-β-(∕3÷b)[a —Z?) B 、(a÷b)2=a 2÷2a∂÷I)C>(a —1))2-a-2ab-∖-β D 、a^-t)=(a-1))26.如图，你能根据面积关系得到的数学公式是() A.30B.-30C.11D.-11C. (a - h) 2=a 2 - b 2^D. ia+b} (a - h) =a 2+b 2D 、(% — 2)(x +1)A. a 2—b 2= (a+b) (a —b) C.(a —b) 2=a 2-2ab+b 2B. (a+b) 2=a 2+2ab+b 2 D. a (a+b) =a 2+ab 7、以下分解因式正确的选项是() A. 3X 2 — 6x =x(χ-6)C. 4X 2 — y 2=(4χ-y)(4x+y) B. — a 2+b^∙=(b+a)(b—a)D. 4X 2—2xy+y 2=(2X —y)28.如果 m —n=-5, mn=6,那么 m%—mi?的值是()【专题讲解】知识专题一：同底数骞的乘除及应用1.假设3"=4,9,'=7,那么3x-2-y的值为(4 7 2A.yB.4C.-3D.y2、假设a为正整数，且/=5,那么(2x力2÷4∕的值为(（八）5 (B)- (C)25 (D)1023、£=5,a w=4,求产的值.4、3年2斤2,求27"÷9"的值.5、83Λ÷162Λ=4,求X的值6、2x÷16,=8,求2『8y的值.专题知识二：整式乘法公式综合应用1 .假设25f+30孙+k是一个完全平方式，那么％是()A.36y2B.9y2C.6y2D.y22 .(一。
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【课后巩固】
1．下列各式：①
② ，③ ，
④ ，其中正确的个数为（）
A．0个B．1个C．2个D．3个
2．如果： ，则（）
A． B． C． D．
3．下列计算中，正确的是 （）
A．
B．
C．
D．
4．如果 恒成立，那么 的值为（）
A． 5， 6 B． 1， －6 C． 1， 6 D． 5， －6
1．
2．
3．
例3求值问题
1．已知 ， ， ，试求 的值
2．若 展开项中不含 和 项，求p和q的值．
3． 其中 ， ．
4．已知一个多项式与单项式 的积为 ，试求这个多项式
5．已知 ， ，求 的值．
例4
1．如果1㎏煤的全部能量都释放出来有 ，完全燃烧1㎏煤却只能释放 的热。1㎏煤的全部能量是完全燃烧释放的热的多少倍？（保留3个有效数字）
整式的乘除与乘法公式
【知识梳理】
(1) (m．n都是正整数)．
(2) (m．n都是正整数)．
(3) (n是正整数)．
(4) (a≠0，m．n都是正整数， )．
(5) =．
(6) =．
(7) =．
(8) =．
(9) =．
(10) =( )．
【例题讲解】
例1计算
1．
2．
3．
4．
例2应用运算性质及公式进行简便运算
2．如图，某市有一块长为 米，宽为 米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像，则绿化的面积是多少平方米？并求出当 ， 时的绿化面积．
3．利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式：
该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐．简洁美．
（1）请你检验这个等式的正பைடு நூலகம்性．
A．8整除B． 整除
C． 整除D． 整除
9． =，
10．若 ，则 ＝_____
若 ，则n＝_____
11．设 是一个完全平方式，则 =_______
12．设 ，则 ＝
＝
13．方程
的解是_______．
14．若 则
的值是
15．
=
16．边长为 的正方形，边长增加 以后，则所得新正方形的面积比原正方形的面积增加了
5．若 成立，则（ ）
A． 必须为B． 必同为正偶数
C． 为正奇数， 为正偶数
D． 为正奇数
6．三个连续偶数，若中间一个为k ,则积为（）
A． B．
C． D．
7．矩形ABCD中，横向阴影部分是长方形，另一部分是平行四边形，依照图中标注的数据，图中空白部分的面积为（ ）
A B．
C D．
8．对于任何整数，多项式 一定能被（）
17．
18．
19．
20．
21．已知 ，
求的值．
22．已知：，
求代数式的值
23．已知a2－3a＋1＝0．求 和 的值；
24．某城市为了鼓励居民节约用水，对自来水用户按如下标准收费：若每月每户用水不超过 吨，每吨 元；若超过 吨，则超过的部分以每吨 元计算．现有一居民本月用水 吨，则应交水费多少元？