影院座位设计的数学模型

影院座位设计的数学模型

2002级3班吴小刚

【摘要】：本文在平均视角越大越好的前提下，建立了一个简单的数学模型，求出了最佳视角所在位置，提出了进一步提高观众满意程度的地板设计方案。

【关键词】：视角平均视角模型数学建摸

问题提出：下图为影院的剖面示意图，座位的满意程度主要取决于视角。仰角α是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角，β是观众眼睛到屏幕下边缘视线与水平线的夹角，视角的大小等于α-β，c为观众平均坐高。

a=3.9m b=2.1m d=4.5m D=19m c=1.1m

(1)地板倾角θ=10度，问最佳位置在什么地方。

(2)求地板线倾角θ（一般不超过20度），使所有观众的平均满意程度最大。

(3)地板线设计成什么形状可以进一步提高观众的满意程度。

模型假设：1、观众的满意程度主要取决于视角α-β，越大越好。

2、观众眼睛处于同一斜面，可以在斜面的任意位置。

3、如图建立直角坐标系，设某观众的眼睛在此坐标系中的坐标为（x,y）。

模型建立：根据题目，结合模型假设，有

Y=xtanθtanα=

tan

x

d x

αθ

-

+

tanβ=

tan

b x

d x

θ

-

+

tan ()β

α-=

β

α

β

α

tan

tan

1

tan

tan

+

-

=

x

d

x

x

b

a

ab

x

d

b

a

+

+

+

-

+

+

-

θ

θ2

2tan

tan

)

(

)

(

模型求解：（1）令f(x)=(d+x)+x d x x b a ab +++-θθ22tan tan )( )tan(20βαπ

βα-∴<-< 为增函数

要使tan(βα-)最大，即视角βα-最大，只需f(x)最小，为此，我们对f(x)求导

f ′(x)=1+2222)

()tan tan )(())(tan )(tan 2(x d x x b a ab x d b a x +++--++-θθθθ =1+22222)

(tan )(tan )(tan x d ab d b a d d x +-+--+θθθ 令f ′(x)=0

x=1

tan tan )(tan 222+++=θθθab d b a d (0≤x ≤14.5) 0≤x<1

tan tan )(tan 222+++=θθθab d b a d f ’(x)>0 1

tan tan )(tan 222+++=θθθab d b a d

tan tan )(tan 222+++=θθθab d b a d 处取得最大值。 将 a=3.9,b=4.5,θ=10度代入上式，解得x=3.7m

综上，当地板倾角θ=10度时，最佳座位在离屏幕水平距离为4.5+3.7=8.2m 处。

（2）假设相邻两排观众间的水平距离为1

m ，那么观众所在位置的横坐标x 的取值范围为0---

14.5，x 为整数。下面结合模型，利用VB 语言编写程序，分别求出地板倾角θ=1，2，----，20度时的平均视角，从而找出使得平均视角最大的θ的值。具体程序见附录①，程序运行结果如下：

结果分析：从以上数据可看出，随着地板倾角θ的增大，平均视角也在增大。那么，这是否意味着θ=20度就是所求结果呢？当然不是，我们还得考虑如下问题：处在最后一排的观众的水平视线应该位于屏幕中线以下，否则观众就得低着头看电影了，这与实际不符。我们可用如下数学语言来描述这个问题：

假设最后一排观众所在位置的地板高为h，则由题目数据及以上分析可得h≤5-1.8/2-1.1=3m。对于此限制条件，可用VB语言描述，具体程序见附录②，程序运行结果如下：

结果分析：以上数据就是地板倾角在不同取值时，最后一排所在位置的地板高度，不难看出，当地板倾角θ=12度时，h≈3m ，最符合限制条件。

综上，地板的倾角应为12度。

敏感性分析：由于地板倾角的取值和相邻两排座位间的水平距离都是假设的，因此需要对二者（即t,x）作敏感性分析。

首先我们研究地板倾角在12度附近变化时对平均视角的影响。假设相邻两排座位间的水平距离x不变，利用VB分别求出地板倾角为11.5、12.6、----

、12.4、12.5度时的平均视角，具体程序见附录③，程序运行结果如下：

结果分析：从以上数据可知，当地板倾角θ在12度附近变化时，对平均视角并无多大影响，这说明对地板倾角的假设是可用的。

下面我们研究相邻两排座位间的水平距离改变时对平均视角的影响。结合实际，间距可取为0.7m、0.8m、0.9m.假设地板倾角不变，利用VB求出不同间距所对应的平均视角，

具体程序见附录④，程序运行结果如下：

结果分析：我们可以挑取某一地板倾角对应的平均视角进行比较，在此以12度为例。

Step( ) Step( 1) Step(0.9 ) Step(0.8 ) Step(0.7 )

A(12) 2.904829 2.904831 2.904833 2.65224

从以上比较结果可知，相邻两排间的水平间距取0.8m 为宜。

（3）首先证明如下结论：

如图所示，随着点A 的下降（点A 位于点C 所在水平线上），α逐渐减小。

证明：cos α=ab c b a 2222-+≥ab c ab 222-=1-ab

c 22

∵随着点A 的下降，a,b 都在增大

∴1-ab

c 22

增大，即cos α增大 又∵0〈 α〈90º

∴α逐渐减小

基于以上结论，我们可以适当升高位于屏幕下边缘所在水平面以下的座位，从而增大视角和平均视角，进一步提高观众的满意程度。地板可设计如下：

值得注意的是，ab 、cd 不能太长，否则位于同一水平面的前排观众会影响后排观众的视线，不符合题目要求。另外，cd 应该稍低于屏幕下边缘所在水平线，否则后排观众将不能看到屏幕下边缘。