影院座位设计的数学模型
数学建模综合题影院座位设计问题概要
数学模型张峰华材料学院材料成型及控制工程04班20123631 刘泽材料学院材料成型及控制工程04班20123627 杨海鹏材料学院冶金工程03班20123203一、问题重述影院座位的满意程度主要取决于视角α和仰角β，视角是观众眼睛到屏幕上下边缘的视线的夹角，越大越好；仰角是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角，太大使人的头部过分上仰，引起不适，一般要求仰角β不超过030；记影院的屏幕高为h，上边缘距离地面高为H,影院的地板线通常与水平线有一个倾角θ，第一排和最后一排与屏幕水平距离分别为,d D，观众的平均座高为c（指眼睛到地面的距离），已知参数h=1.8. H=5， 4.5,19==，c=1.1(单位m)。
d D求解以下问题：θ时，求最佳座位的所在位置。
(1) 地板线的倾角010=(2) 地板线的倾角θ一般超过020，求使所有观众的平均满意程度最大时的地板线倾角。
二、问题的分析电影院座位的设计应满足什么要求，是一个非常现实的问题。
根据题意观众对座位的满意程度主要取决于观看时的视角α和仰角β，α越大越好，而β越小越好，最佳位置就是要在这两者之间找到一个契合点，使观众对两者的综合满意程度达到最大。
本文通过对水平视角α和仰角β取权重，建立适当的坐标系，从而建立一个线形型满意度函数。
针对问题一，已知地板线倾角，求最佳座位所在，即将问题转化求综合满意度函数的最大值，建立离散加权的函数模型并利用Matlab数学软件运算求解；针对问题二，将所有观众视为离散的点，要使所有观众的平均满意程度达到最大，即将问题转化求满意度函数平均值的最大值。
对此利用问题一所建立的满意度函数，将自变量转化为地板线倾角；在问题二的基础上对地板线形状进行优化设计，使观众的平均满意程度可以进一步提高。
本文在满意度呈线性的基础上来建立模型的，为使模型简化，更好地说明问题，文中将作以下假设。
三、模型假设1.忽略因视力或其他方面因素影响观众的满意度；2.观众对座位的仰角的满意程度呈线性；3.观众对座位的水平视角的满意程度呈线性；4.最后排座位的最高点不超过屏幕的上边缘；5.相邻两排座位间的间距相等，取为0.8m；6.对于同一排座位，观众的满意程度相同；7.所有观众的座位等高为平均座高；8.影院的的地板成阶梯状。
噶米影院座位设计优化模型
影院座位设计优化模型下图为影院的剖面示意图，座位的满意程度主要取决于视角α和仰角β。
视角α是观众眼睛到屏幕上、下边缘视线的夹角，α越大越好；仰角β是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角，β如果太大会使人的头部过分上仰，引起不舒适感，一般要求β不超过30︒。
(1) 地板线倾角θ＝10︒，问最佳座位在什么地方。
(2) 求地板线倾角θ（一般不超过20︒），使所有观众的平均满意程度最大。
(3) 地板线设计成什么形状可以进一步提高观众的满意程度。
影院座位设计优化模型吕华军陈霞曹智芳摘要：本文针对影院座位设计问题，利用三角形正切，建立了视角α与仰角β关于地板线倾角θ的数学模型。
并通过Matlab、Lingo、VB等软件，利用求极值的方法解答了问题一，得当倾角θ为10︒时，最佳座位在(6.228,1.4)处。
对于问题二，我们通过泛函分析等方法，将座位分成n排，得出排与排之间的距离是14.5/n，对每排观众的视角α和仰角β进行求和，得出视角α和仰角β的平均值，从而取得平均满意度，再通过求极值的方法算出当θ为15.14︒时，观众的平均满意度最大。
此外，在β角不超过30︒的前提下我们还对地板线的设计进行改进（将第一排座位抬高），通过方程组（7）的解答，可得到最佳的地板线设计，进一步提高观众的满意度。
我们还对模型进行了误差分析，若n越大，模型的精确度就越高。
关键词：座位设计仰角视角平均满意度一、问题的重述下图为影院的剖面示意图，座位的满意程度主要取决于视角α和仰角β。
视角α是观众眼睛到屏幕上、下边缘视线的夹角，α越大越好；仰角β是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角，β如果太大会使人的头部过分上仰，引起不舒适感，一般要求β不超过30︒。
(1) 地板线倾角θ＝10︒，问最佳座位在什么地方。
(2) 求地板线倾角θ（一般不超过20︒），使所有观众的平均满意程度最大。
(3) 地板线设计成什么形状可以进一步提高观众的满意程度。
电影院座位的排列组合题
电影院座位的排列组合题在电影院中，座位的排列组合是一个常见的问题。
通过不同的排列组合方式，可以实现座位的合理规划和管理，以提供更好的观影体验。
本文将探讨电影院座位的排列组合问题，并提出一种有效的解决方案。
在电影院中，座位的排列方式通常采用矩阵形式。
每个座位可以用行和列的坐标来表示。
假设一个电影院的座位排列为m行n列，即总共有m*n个座位。
首先，我们考虑座位的排列组合方式。
对于每个座位，观众可以选择坐下或离开。
因此，每个座位有两种状态：占用或空闲。
对于m*n个座位来说，一共有2^(m*n)种可能的组合方式。
然而，并不是所有的组合方式都是可行的。
在实际情况中，观众需要一定的间隔来保持舒适的观影环境。
为了满足这一要求，我们可以引入一些限制条件。
首先，由于人的身体大小是有限的，我们需要确保每个座位周围有足够的空间。
通常情况下，至少要保持一个座位的间隔。
这就意味着每个观众所占据的空间实际上是一个2*2的矩阵。
在排座位时，我们可以将这个矩阵看作是一个整体，而不是单独的座位。
其次，为了方便观众的进出，我们可以在每一排中留出通道。
这样，观众可以更轻松地通过通道进入或离开他们所在的排。
为了确保通道的宽度足够，我们可以预留一定数量的座位来构建通道。
在考虑了以上限制条件后，座位的排列组合方式将大大减少。
我们可以使用排列组合的方法进行计算，得到最终的组合方式数。
在实际应用中，可以使用计算机程序来快速计算。
通过合理的座位排列组合，电影院可以提供更好的观影体验。
观众可以更轻松地进入和离开座位，同时享受到更宽敞舒适的观影环境。
此外，通过适当的座位规划，电影院还可以最大限度地提高座位数量，从而增加收益。
总结起来，电影院座位的排列组合是一个重要的问题。
通过合理的座位规划，可以提供更好的观影体验，增加观众的舒适度和满意度。
同时，适当的座位规划也能够增加电影院的经济效益。
在实际应用中，我们可以使用计算机程序来计算最佳的座位排列组合方式，以实现座位的合理规划和管理。
关于最优观影位置选择的数学模型
数理科学科技创新导报 Science and Technology Innovation Herald169当今这个时代，电影是一种喜闻乐见的大众艺术，人们喜欢在闲暇时间走进影院，体验其中的喜怒哀乐。
而同时，作为一种消费，人们总是希望自己能坐在电影院的最佳位置，使得视觉、听觉得到最好的享受。
在设计影院时，已经充分考虑了观众看电影的舒适度，对于影院的地板倾角、前后排椅子之间的距离等都经过了精心的设计，而尽管如此，不同位置看电影肯定也有很大差异。
根据这个想法，该文进行了数学建模。
1 模型的构建1.1 模型假设与符号假设影院的座位席倾角已知，座位的水平间距已知且相等，第一排座位到屏幕的水平距离已知，屏幕上下边缘到水平面的竖直高度已知。
假设影厅内只有两组音响，对称放置在屏幕两端，屏幕和座椅席宽度大致相同且已知，在考虑声音的影响时，因为座椅高度对于距离的影响较小，所以考虑座椅到音响的距离时近似认为座椅与音响在同一水平面。
L 1：第一排座位到屏幕的水平距离；L 2：观影位置距离屏幕的水平距离；h 1：屏幕下端距离水平面的竖直高度；h 2：屏幕上端距离水平面的竖直高度；h 3：观影位置距离水平面的竖直高度；α：观众眼睛到屏幕上边缘与水平线夹角；β：观众眼睛到屏幕下边缘的夹角；γ：座位席斜面的倾角；x：水平排距，各排相等；n：最优排数；S：屏幕和座椅席的宽度；(x,y)：座椅席上任意一点的坐标；x：座位距离音响1的平行于屏幕面方向的水平距离；y：座位距离屏幕的垂直于屏幕面方向的水平距离；s 1：座椅到音响1的距离；s 2：座椅到音响2的距离；v：声速；：两组音箱的声音到达座椅的时间差。
1.2 角度对于观影位置选择的影响看电影时的舒适程度取决于观看的仰角，即观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角，太大容易使人头部过分上仰，引起不适。
因此，这部分将会构建数学模型说明仰角和座位所处的影院位置的关系，建立起位置（排数）和仰角的函数；又从生理学的角度，了解到仰角不能超过一定的值，在这个值之内的仰角对应的位置均可称为可接受的舒适位置，而这个值之外的仰角对应的位置则较不舒适，不予选择。
影院座位设计建模论文
影院座位设计摘 要本文研究了电影院的座位设计问题，观众对座位的满意程度主要取决于视角α与仰角β，视角越大，仰角越小，满意度就越大。
根据这一条件，建立模型，进行比较，提出了增加观众平均满意度的设计改进方案。
问题一：当θ一定时，满意程度主要取决于视角α与仰角β，由图中的几何关系建立的数学模型，以数形结合结合的方法进行分析，利用Matlab 软件作图，通过图像得知视角α与仰角β的变化关系，在30β=︒时取到最佳位置，此时α最大值为°13.9174，其对应的x 的值为1.7282米，结合实际考虑离散化的情形，相邻两排座位间的间距相等，取为0.8米【1】这个最佳位置应当是影院的第四排。
问题二：运用题目中的已知条件，在某一座位选定时（即x 的值确定时），通过分析视角α与地板线倾角θ的内在关系，随着地板线倾角θ的增大，视角α逐渐增大；并且，由β与θ的关系，θ角越大，β角不超过30︒的区域越大，即仰角不超过条件的座位所占比例越大。
给出合理的约束条件，找到约束条件下的最优解，考虑到最后一排观众视高不超过屏幕上边缘的限定，我们可以得出合理的θ值，解出15.054θ≈︒时达到平均观众满意度的最大值。
问题三：先考虑改进直线的情况下的最优方案，因此改进计划中第一要解决的就是使β角符合条件区域更广；其次，还要尽可能的进一步提高α角的平均值。
再对直线地板先来改进设计，保证对应的座位点的坐标均在抛物线上，且均在平均满意度最大的直线的上方，由问题二中的模型求解知当°15.054θ=时，观众的平均满意度最大。
由引理，考虑到屏幕中垂线处视角最大，可采取抬高各排高度的措施。
如果考虑到人的眼睛到头顶的距离0.1m ，若后排不被前排挡住视线，地板线倾角在7.12515.054︒︒范围内变化。
利用C 语言进行搜索求出最大平均视角6.435α=︒，5D y m =，倾角7.125θ=︒.座位安排为第一排被抬高3.1m 的倾斜直线，过直线首尾端点，以高于直线0.01m,采用x 为y 的二次曲线进行拟合，得到的拟合二次函数的表达式为：20.00730.1618 4.1940y x x =-++.最大平均视角将在原有基础上提高，得出改进后的地板线会提高观众的平均满意程度。
电影院座位设计问题[1]
![电影院座位设计问题[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/03bc7e8c9ec3d5bbfc0a7401.png)
电影院座位设计问题一、问题的提出下图为影院的剖面示意图，座位的满意程度主要取决于视角α和仰角β。
视角α是观众眼睛到屏幕上、下边缘视线的夹角，α越大越好；仰角β是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角，β太大使人的头部过分上仰，引起不舒适感，一般要求β不超过o30。
设影院屏幕高h , 上边缘距地面高H ，地板线倾角θ，第一排和最后一排座位与屏幕水平距离分别为d 和D , 观众平均坐高为c （指眼睛到地面的距离）。
已知参数 h =1.8， H =5，d =4.5 ，D =19，c =1.1（单位：m ）。
(如图所示)(1) 地板线倾角θ＝o10，试问最佳的座位在什么地方。
(2) 求地板线倾角θ（一般不超过o20），使所有观众的平均满意程度最大。
(3) 地板线设计成什么形状可以进一步提高观众的满意程度。
二、问题的分析观众在电影院观赏电影，感觉是否满意不仅取决于电影的精彩与否，而且还取决于座位设计的舒适程度. 座位的设计应满足什么要求，是一个非常现实的问题.根据题意观众对座位的满意程度主要取决于观看时的视角和仰角. 经调查可知这两者都要满足一定的条件.但在实际生活中又不可能同时满足，只能在二者兼顾的条件下求出使平均满意度最大的那种情况. 根据题意很容易得知α和β的正切值呈递减趋势，这对问题的解决很有帮助.下文针对题目提出的三个问题逐一进行分析.针对问题1：为方便求解，可以以屏幕所在的墙壁的剖面为y 轴，向上为正方向，以与之垂直的地面为x 轴，以交点为原点O,建立直角坐标系.当地板线倾角o 10=θ时，根据已知条件通过计算得知，最前排视角α和仰角β的值均为最大，最后排视角α和仰角β的值均为最小.那么仰角030=β时的位置是否是最佳位置呢？我们可以先将离散的座位连续化，根据条件求出αtg 的表达式，作出α对x 的变化图象以及其变化率图象，计算αtg 的最大值，找到最佳座位点，然后再将问题离散化，对求得的最佳座位点进行优化.针对问题2： 一般地，人们对某件事物看法的心理变化是一个模糊的概念.本文观众对座位是否满意也是一个模糊概念.根据模糊数学隶属度的概念和心理学的相关知识，我们可以引入满意度函数的概念，构造一个满意度函数，通过这一函数来度量观众满意程度随其座位离屏幕的距离x 的变化趋势.在倾斜角θ固定的情况下，满意度函数值随x 的变化而变化，不同的x 有不同的满意度.有了满意度函数这一衡量标准后，我们可以求出所有座位的平均满意度.当平均满意度最大时，求出此时对应的倾斜角θ，即为所要求的平均满意度最大时地板线的倾斜角度.三.模型的假设1. 假设座位在地板线上严格等距，且均匀分布；2. 假设观众的满意度可以用一连续函数来衡量，因而可将离散问题连续化；3. 假设视角对观众的满意度影响较大；四.符号说明α当人坐下时眼睛到屏幕上、下边缘视线的夹角 β当人坐下时眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角),(y x p 当人坐下时眼睛所处在坐标系中的位置坐标）（x F α关于距离x 和倾斜角θ的正切函数 ）（x G β关于距离x 和倾斜角θ的正切函数 )(x M 满意度函数)(i x M 第i 个位置的满意程度M 平均满意程度λ满意度函数的相关因子（即满意因子）五.模型的建立 1.建模的准备1.1 建立坐标系为了建立合适的数学模型，我们先建立如下坐标系：由题意及坐标图得，直线L 的方程：c d x tg y +-=)(θ （1） 直线L 上任意一点),(y x P 的仰角β的正切值为：xtg d x c H tg θβ)(---=（2）又由图可知： xtg d x h c H tg θαβ)()(----=- （3）由（2）（3）得： xdtg c H h dtg c H x tg dtg c H htg htg )()()1()(222θθθθθα+--+-++++--=1.2 构造满意度函数一般说来，人们的心理变化是一个模糊的概念.本文中观众对某个座位是否满意的看法就是一个典型的模糊概念.由模糊数学隶属度的概念和心理学的相关知识，根据人们通常对一件事物评价的心理变化应遵循一定规律，不妨定义观众对座位的满意度为：)0()(20)(>=--λλx x ex M （4）其中λ表示观众满意度的相关因子，称为满意因子，一般为常数. 0x 表示最佳座位点，即最佳座位处的横坐标值.2.模型的建立2.1 问题1的模型座位的满意程度主要取决于视角α和仰角β.α越大越好，β太大使人的头部过分上仰，引起不舒适感，一般要求β不超过o30.要确定最佳座位，必须同时兼顾视角α和仰角β.由上文不难发现αtg 和βtg 均是x 的函数，这里不妨令αtg x F =)(，βtg x G =)(，则可得到：xdtg c H h dtg c H x tg dtg c H htg hx F )()()1()(2)(22θθθθθ+--+-++++--=（5）xtg d x c H x G θ)()(---=（6）由030≤β，即030tg tg ≤β得：θπθtg tgdtg c H x ++-≥6又由题意知：D x ≤则x 的取值范围为：D x tg tg dtg c H ≤≤++-θπθ6（7）从而得到求解最佳座位的数学模型：xdtg c H h dtg c H x tg dtg c H htg hx MaxF )()()1()(2)(22θθθθθ+--+-++++--=t s .D x tg tgdtg c H ≤≤++-θπθ6（8）当θ=10度时求得模型的解观众的满意度随位置变化曲线如图：4681012141618-0.100.10.20.30.40.50.60.70.8地板线横坐标x观众的满意度值θ=10度时观众的满意度曲线2.2问题2的模型为了求平均满意程度最大时地板的倾角θ，本文先设法求平均满意程度M . 由（4），记第i 个座位满意度为：)0()(20)(>=--λλx x i i ex M （9）则区间],[D d 上n 个座位的满意度为：∑=ni i x M 1)( （10）从而得座位的平均满意程度为：nx M M ni i∑==1)( （11）从而得到求解地板倾角的数学模型：Max nx M M ni i∑==1)( （12）其中i x 的表达式为：l i d x i )1(-+=，l 为常数，表示前后两个座位之间的距离.，n 的表达式为：1][+-=ldD n . 观众满意度随地板线曲率变化如图：00.51 1.52 2.59.29.49.69.81010.210.4地板线斜率k(tgθ)观众平均满意度观众平均满意度随地板线斜率变化曲线有图解得：︒==8.1936.0arctan θ2.3问题3的模型为了进一步提高观众的满意程度，应当使总满意程度进一步增大。
影院座位设计的数学模型
影院座位设计的数学模型2002级3班吴小刚【摘要】：本文在平均视角越大越好的前提下，建立了一个简单的数学模型，求出了最佳视角所在位置，提出了进一步提高观众满意程度的地板设计方案。
【关键词】：视角平均视角模型数学建摸问题提出：下图为影院的剖面示意图，座位的满意程度主要取决于视角。
仰角α是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角，β是观众眼睛到屏幕下边缘视线与水平线的夹角，视角的大小等于α-β，c为观众平均坐高。
a=3.9m b=2.1m d=4.5m D=19m c=1.1m(1)地板倾角θ=10度，问最佳位置在什么地方。
(2)求地板线倾角θ（一般不超过20度），使所有观众的平均满意程度最大。
(3)地板线设计成什么形状可以进一步提高观众的满意程度。
模型假设：1、观众的满意程度主要取决于视角α-β，越大越好。
2、观众眼睛处于同一斜面，可以在斜面的任意位置。
3、如图建立直角坐标系，设某观众的眼睛在此坐标系中的坐标为（x,y）。
模型建立：根据题目，结合模型假设，有Y=xtanθtanα=tanxd xαθ-+tanβ=tanb xd xθ-+tan ()βα-=βαβαtantan1tantan+-=xdxxbaabxdba+++-++-θθ22tantan)()(模型求解：（1）令f(x)=(d+x)+x d x x b a ab +++-θθ22tan tan )( )tan(20βαπβα-∴<-< 为增函数要使tan(βα-)最大，即视角βα-最大，只需f(x)最小，为此，我们对f(x)求导f ′(x)=1+2222)()tan tan )(())(tan )(tan 2(x d x x b a ab x d b a x +++--++-θθθθ =1+22222)(tan )(tan )(tan x d ab d b a d d x +-+--+θθθ 令f ′(x)=0x=1tan tan )(tan 222+++=θθθab d b a d (0≤x ≤14.5) 0≤x<1tan tan )(tan 222+++=θθθab d b a d f ’(x)>0 1tan tan )(tan 222+++=θθθab d b a d <x ≤14.5 f ’(x)<0 因此，tan(βα-)在x=1tan tan )(tan 222+++=θθθab d b a d 处取得最大值。
数学建模-影院角度
数学建模-影院⾓度影院⾓度问题下图为影院的剖⾯⽰意图，座位的满意程度主要取决于视⾓α和仰⾓β。
视⾓α是观众眼睛到屏幕上、下边缘视线的夹⾓，α越⼤越好；仰⾓β是观众眼睛到屏幕上边缘视线与⽔平线的夹⾓，β太⼤使⼈的头部过分上仰，引起不舒服感，⼀般要求β不超过30度。
记影院屏幕⾼h ，上边缘距地⾯⾼ H，地板线倾⾓θ，第⼀排和最后⼀排座位与屏幕⽔平距离分别为 d和 D ，观众平均座⾼为c（指眼睛到地⾯的距离）。
已知参数 h=1.8,d = 4.5 ， D=19 ，c =1.1，H=5（单位：m）。
（1）地板线倾⾓θ =10 ，问最佳座位在什么地⽅?（2）求地板线倾⾓（⼀般不超20 ），使所有观众的平均满意程度最⼤。
（3）地板线设计成什么形状可以进⼀步提⾼观众的满意程度。
摘要对于问题1，⾸先根据满意度设置两种求解情况，第⼀种是当仰⾓β<=30时，由于⾓度较⼩，可以粗略的认为只要β<=30，就⽆须再考虑仰⾓对观众的影响。
将视⾓α作为满意度依据，另⼀种当β>30时，同时考虑这两个⾓度对满意度的影响，同时设置α的影响因⼦p，和β的影响因⼦1-p，根据观众实际情况合理的设置p，这⾥拟合了不同的p对满意度的影响。
通过MATLAB求出了距离屏幕6.2274m的距离观众满意度最佳。
对于问题2，将观众离散均匀分布，算出每⼀排距离屏幕的距离xi，然后利⽤问题⼀情况⼆的思路求出每⼀排的满意度Si，最后求和除以总的排数求出S。
同时⽤不同的θ和p来拟合，找出不同p的情形下最⼤S对应的θ。
问题3从提⾼地板线和将地板线设计成折线这两个⽅⾯来提⾼满意度。
关键词：⾮线性规划 MATLAB 三⾓函数⼀,问题提出⼆,模型假设假设题⽬给出的已知参数是合理的。
三,符号说明S 平均满意度Si 第i排的满意度x 到屏幕的⽔平距离xi 第i排到屏幕的⽔平距离p 对α和β影响的权重θ重新设置的地板线⾓度n 总的排数四,模型建⽴与求解4.1问题⼀的分析与求解⾸先根据满意度设置两种求解情况，第⼀种是当仰⾓β<=30时，就将视⾓α作为满意度依据，另⼀种当β>30时，同时考虑这两个⾓度对满意度的影响，同时设置α的影响因⼦p，和β的影响因⼦1-p，根据观众实际情况合理的设置p，此处设置不同的p来拟合数据进⽽分析规律。
数学建模作业：影院座位选择
标准实用影院座位选择摘要看电影是众多大学生所喜爱的业余享受，怎样选择一个好位子观影也是大家所关心的一个问题。
本文针对如何在敬文讲堂选择一个好位子看电影，建立模型进行分析。
由于座位的满意程度主要取决于视角和仰角，视角越大，仰角越小越合适.因此是一个多目标规划问题。
本文先建立了模型1，采用主目标法找出了讲堂最优的一个位子。
而后就"怎样选择一个好位子"的问题，建立模型2，分析了讲堂中央部分座位的满意程度，因为这个问题涉及的目标较多，即要考虑水平和垂直两种情况，相对复杂。
模型 2 作了巧妙的假设，提出了"基本视效"的概念将目标化为单一的一个，运用几何的方法，给出了各个座位的基本视效值，从而基本视效值大的座位满意度高，反之，满意度低。
模型 2 的优点在于避免了其他方法，如权重法的主观性。
因此模型也更加可信。
关键词多目标规划视角仰角几何基本视效m a t l a b一、问题的背景看电影一直是广大学生所偏好的业余活动，将自己隐藏在一片漆黑之中，心随画面变换，感受视听震撼，仿佛置身另一个世界，一时间忘却所有烦恼。
在师范大学，每到周末便可看到各个海报栏贴着电影放映的信息，其中每周敬文讲堂放映的英文电影，因其免费放映、效果良好、寓教于乐，更是成为多年来的保留节目。
每每放映之前，讲堂门口都聚集着众多同学，排着长队，准备争抢观影好地形。
二、问题的提出有效视角是指人的有效视觉范围，一般，双眼正常有效视角大约为水平90°，垂直70°，考虑双眼余光时的视角大约为水平180°，垂直90°。
观影时的视角是观众眼睛到屏幕上、下边缘视线的夹角。
经医学实验得知：10°以内是视力敏锐区，即中心视野，对图像的颜色及细节部分的分辨能力最强。
20°以内能正确识别图形等信息，称为有效视野。
*0°～30°，虽然视力及色辨别能力开始降低，但对活动信息比较敏感，30°之外视力就下降很低了。
影院座位设计
影院座位设计问题分析 座位的满意程度主要取决于视角α与仰角β，视角α是观众眼睛到屏幕上、下边缘视线的夹角，α越大越好；仰角β是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角，β太大使人的头部过分上仰，引起不舒适感，一般要求β不超过030。
模型假设1、β不超过030时，由决β定的满意程度相同；2、α越大，由α决定的满意程度越大；3、同一排的各个座位的满意程度都相同。
模型构成 以屏幕所在直线为y 轴，地面所在直线为x 轴。
建立直角坐标系，如图1所示设某一座位的坐标为（x ，y ），则由三角函数关系式知： xy H -=βtan ……………………（1） xy h H --=-)tan(αβ 又αβαβαβtan tan 1tan tan )tan(+-=- ∴)tan(tan 1)tan(tan tan αββαββα-+--=2()()hx x H y H h y =+--- ……………………（2） 又c d x y +-=θtan )(， 知o x y 图12tan [()tan ][()tan ]()tan tan hx x H x d c H h x d c H x d c x αθθθβ⎧⎫=⎪⎪+-------⎪⎪⎨⎬---⎪⎪=⎪⎪⎩⎭…………………（⊗）模型求解（1）地板线倾角θ=010，问最佳座位在什么地方？由模型假设1知，最佳座位显然要满足0030β<≤ 从而， 3.9( 4.5)tan 0tan x x θβ--<=≤3当θ=010时，⇒ 6.227191.8 1.8tan 43x x x α≤≤⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎬≤<⎪⎪⎪⎪⎩⎭易知，x=6.227时，tan α取得最大值，此时y=(6.227—4.5)0tan10+1.1=1.409 即最佳座位处为（6.227，1.409）（2）求地板线倾角θ（一般不超过020），使所有观众的平均满意程度最大。
由（⊗）式知，当x 取某一定值时，θ越大，则α就越大，β就越小，也即观众的满意度就越大。
数学建模综合题影院座位设计问题
数学模型张峰华材料学院材料成型及控制工程04班20123631 刘泽材料学院材料成型及控制工程04班20123627 杨海鹏材料学院冶金工程03班20123203一、问题重述影院座位的满意程度主要取决于视角α和仰角β，视角是观众眼睛到屏幕上下边缘的视线的夹角，越大越好；仰角是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角，太大使人的头部过分上仰，引起不适，一般要求仰角β不超过030；记影院的屏幕高为h ，上边缘距离地面高为H ,影院的地板线通常与水平线有一个倾角θ，第一排和最后一排与屏幕水平距离分别为,d D ，观众的平均座高为c （指眼睛到地面的距离），已知参数h =1.8. H =5， 4.5,19d D ==，c =1.1(单位m)。
求解以下问题：(1) 地板线的倾角010=θ时，求最佳座位的所在位置。
(2) 地板线的倾角θ一般超过020，求使所有观众的平均满意程度最大时的地板线倾角。
二、问题的分析电影院座位的设计应满足什么要求，是一个非常现实的问题。
根据题意观众对座位的满意程度主要取决于观看时的视角α和仰角β，α越大越好，而β越小越好，最佳位置就是要在这两者之间找到一个契合点，使观众对两者的综合满意程度达到最大。
本文通过对水平视角α和仰角β取权重，建立适当的坐标系，从而建立一个线形型满意度函数。
针对问题一，已知地板线倾角，求最佳座位所在，即将问题转化求综合满意度函数的最大值，建立离散加权的函数模型并利用Matlab 数学软件运算求解；针对问题二，将所有观众视为离散的点，要使所有观众的平均满意程度达到最大，即将问题转化求满意度函数平均值的最大值。
对此利用问题一所建立的满意度函数，将自变量转化为地板线倾角；在问题二的基础上对地板线形状进行优化设计，使观众的平均满意程度可以进一步提高。
本文在满意度呈线性的基础上来建立模型的，为使模型简化，更好地说明问题，文中将作以下假设。
三、模型假设1.忽略因视力或其他方面因素影响观众的满意度；2.观众对座位的仰角的满意程度呈线性；3.观众对座位的水平视角的满意程度呈线性；4.最后排座位的最高点不超过屏幕的上边缘；5.相邻两排座位间的间距相等，取为0.8m ；6.对于同一排座位，观众的满意程度相同；7.所有观众的座位等高为平均座高；8.影院的的地板成阶梯状。
影院座位设计(谭_严_李)
影院座位设计模型严博谭赛花李国强指导老师：杨涤尘摘要：本文讨论的是电影座位设计的问题，即如何选择最佳座位，如何确定地板线的倾角，以及怎样设计地板线以提高观众满意度的问题。
所有问题都是围绕观众的满意度来展开讨论的，而观众满意度取决于视角的大小和仰角的大小，视角越大，仰角越小，满意度就越大。
本文考虑到赋权值有太大的主观因素，建立了以视角的正切与最大视角的正切之比为观众对视角的满意度，以最小仰角的正切与仰角的正切之比为观众对仰角的满意度的模型。
对于问题一：建立了求tanα为最大值的代数模型，从而可以确定最佳座位的表达式，由目标函数取最值的条件可求得各个参数之间需满足的条件。
第二问，建立了以视角的正切与最大视角的正切之比为观众对视角的满意度，以最小仰角的正切与仰角的正切之比为观众对仰角的满意度的连续模型，对满意度函数积分除以D d-得出关于θ的函数即为观众的平均满意度函数，对其求极大值，可以确定观众的平均满意度最大时，地板线倾角的值为（7度），求得对应的最佳位置为第五排。
第三问，为增加观众的满意度，我们采用逐步优化的思想，建立了多变量的非线性规划模型。
即对第二问的满意度离散化，从已经确定最佳位置（第二问已求）起，向两边逐步优化求得每个位置的最佳视角位置，从而可以得出地板线的形状。
本模型以数学理论为基础，剔除了人为主观因素的影响，且模型中的各个量均以符号代替，对不同影院都有参考价值，实用性很强。
关键词：非线性规划代数模型连续模型离散模型最佳位置观众满意度平均满意度问题重述下图为电影院剖面图，座位的满意程度主要取决于两个因素：（1）视角α，即观众眼睛到屏幕上下两边的视线的夹角，α越大越好。
（2）仰角β，即观众为看见屏幕上边需上仰头部的角度，β太大，观众有不舒适感，一般要求0°≤β≤30°。
简单情况下，地板线为直线，记倾角为θ，第一排座位在离屏幕d处，最后一排在离屏幕D处，c为观众坐高。
1、已知参数c、d、D、H，h及θ，问最佳座位在何处（用上述参数表示）？并讨论这些参数应满足什么条件你的结果才合理？2、已知下表数据，试求出地板线倾角θ，使所有观众的平均满意度最大，并给出相应的最佳座位的位置。
数学建模课程设计
数学建模课程设计0840503220 苏阳 0840503224 张明 0840503226 郑景旻影 院 座 位 设 计问题回顾：影院座位的满意程度主要取决于视角α和仰角β，视角是观众眼睛到屏幕上下边缘的视线的夹角，越大越好；仰角是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角，太大使人的头部过分上仰，引起不适，一般要求仰角β不超过030；记影院的屏幕高为h ，上边缘距离地面高为H ,影院的地板线通常与水平线有一个倾角θ，第一排和最后一排与屏幕水平距离分别为,d D ，观众的平均座高为c （指眼睛到地面的距离），已知参数h =1.8. H =5， 4.5,19d D ==，c =1.1(单位m)。
求解以下问题：(1) 地板线的倾角010=θ时，求最佳座位的所在位置。
(2) 地板线的倾角θ一般超过020，求使所有观众的平均满意程度最大时的地板线倾角。
(3) 地板线设计成什么形状，可以进一步提高观众的满意程度。
本次课程设计研究了电影院的座位设计问题，根据观众对座位的满意程度主要取决于视角α与仰角β这一前提条件，建立了满意程度最大的相关模型，并进行求解。
问题一，首先建立在满足仰角条件情况下的优化模型，接着通过主观臆断分别对视角和仰角赋权重，对座位进行离散分析，并引入满意度函数建立了离散加权模型，最后求解出当地板线的倾角为 10时，最佳位置距屏幕的水平距离为6.8635米。
问题二，根据问题一中的离散加权模型，将座位看作离散的点，建立满意度函数平均值模型，解得当地板线的倾角为 0543.15时，所有观众的平均满意程度最大。
问题三，在问题二的基础上，为进一步提高观众的满意程度，将地板线设计成折线形状，即相邻两排座位所在的点构成一条直线，且每排座位所在地板线的倾角以 5.2变化，增加到 20后保持不变，第一排抬高2.1米。
在此在此课程设计中作以下假设:1.忽略因视力或其他方面因素影响观众的满意度；2.观众对座位的仰角的满意程度呈线性；3.观众对座位的水平视角的满意程度呈线性；4.最后排座位的最高点不超过屏幕的上边缘；5.相邻两排座位间的间距相等，取为0.8m ；6.对于同一排座位，观众的满意程度相同；7.所有观众的座位等高为平均座高；8.影院的的地板成阶梯状。
影院座位设计
影院座位设计摘要本文研究了电影院座位设计问题，由于座位的满意程度主要取决于视角α和仰角β，我们建立了满意程度的数学模型，并进行最优求解。
问题一，首先利用了加权平均数建立满意度随座位与屏幕距离的变化而变化的模型，并利用matlab软件对该函数进行分析，结果当座位在最后一排时，观众的满意度最大。
问题二，在问题一的模型的基础上，将θ角也定为变量，建立满意程度随座位与屏幕距离和θ角的变化而变化的模型，再对变量x求相应区间的定积分，从而可以得到平均满意度随θ角变化的模型，再用matlab软件分析模型，求得当θ=20︒时，平均满意度最大。
关键词：加权平均数满意度函数定积分一、问题重述影院座位的满意程度主要取决于视角α和仰角β。
视角α是观众眼睛到屏幕上、下边缘视线的夹角，α越大越好；仰角β是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角，β太大是人的头部过分上仰，引起不舒适感，一般要求β不超过30︒.记影院屏幕高h,上边缘距地面高H，地板线倾角θ，第一排和最后一排座位与屏幕水平距离分别为d和D，观众平均坐高为c（指眼睛到地面的距离）。
已知参数h=1.8m，H=5m，D=19m，c=1.1m。
1)地板线倾角θ=10︒，问最佳作为在什么地方？2)求地板线倾角θ（一般不超过20︒），使所有观众平均满意度最大。
二、问题的分析根据观众对座位的满意程度主要取决于观看时的视角α和仰角β，α越大越好，β越小越好，最佳位置β就是在这两者之间找一个平衡点，使观众的综合满意度最大。
既然β>30︒不可避免，那么在建立模型时，必须将α与β同时考虑。
于是本文通过对α与β分别设立权重，建立适当的坐标系，从而形成一个线性的满意度函数。
对于问题一，已知地板线倾角，求最佳座位所在，即将问题转化为求综合满意度函数的最大值，用matlab软件做出综合满意度图像，在进行求解。
对于第二问，将所有的座位想像为一个个连续的点，此时，综合满意度为关于x与θ的二元函数，先对x求所在区间的积分，从而求出其在所有位置上的平均满意度，再利用matlab做出平均满意度关于θ的函数的图形，从而可进行直观求解。
小影院座位安排问题
tan | x d tan 30 0 tan | x D 0
H c 3 d 3 H c ( D d ) t an 0
(5)
参数应满足条件
最佳位置
结 果
d x* D
x*
x* d
x* D
d
D
方法二
h k 记： 1 1 tan , k 2 H d tan c 2
2
(3)
x0
2
k1 h 2 2 2k 2 tan . x 4 k2 0
切点的坐标
x0 k 2 tan k tan
由 tan H f ( x) H c d tan tan x x
可见：随χ 的增大，仰角ω 减小 由几何知识知，当视点逐渐远离切点时，视角θ 也逐渐减小， 将视点沿χ 增大的方向移动以使仰角减小，当ω 恰好等于 30°时，即是所要求的最佳位置
t an30 t an x H c d t an
S x 140.1 28.3 tan 39.5 tan2
d sx 0 d
D 1 min S D d d Sdx 2 x 2 H c x d tan hH c x d tan S cot xh
S ( ) 52.96
2. f ( x) 0.12299 0.14333 0.00355 2 0.00003 3 x x x
S ( ) 58.43
2 2
2
k 1h 2 2 ×× 圆心横坐标 4 k 2 ÷×× ÷ ××
数学建模,电影院座位数的设定
m< 查表可得 ， 1400−1.28× 300=1378 因此，新电影院的座位规模应在1378左 右为宜。
m−1400 ≤ −1.28 300
评注： 1、理论依据： 当n很大时，应用棣莫佛——拉普拉 斯定理对服从二项分布的相关概率用正 态分布近似计算。 2、应用与推广； 应用棣莫佛——拉普拉斯定理对一 些公共设施的设置量进行估价，在以一 定管理满足公众需求的条件下，确定最 小设置量，以免造成不必要的浪费。
X600× = 1200, D( X ) = 1600× × = 300 4 4 4
由棣莫佛——拉普拉斯定理，X——N （1200，300）。假定新设计电影院座位 数为m应满足 P{X ≤ m−200}≤ 0.1 ，所以
X −1200 m − 1400 X1 , X 2 ,...P{X ≤ m − 200} = P{ ≤ 300 300 m − 1400 = Φ( ) ≤ 0.1 300
设每日看电影的人依次编号为1，2，…， 1600 若第i号观众去看新电影院看电影 1 记 i 0 若第i号观众不去看新电影院看电影 3 1 = 按预计，应有P{Xi = 1} = = p, P{Xi = 0} = , q 4 4 假定各人是否去新电影院看电影是相互独立的， 则X 1 , X 2 ,... X 1600 是相互独立的随机变量，则去新 3 X= 么 电影院看电影的总人数为： X1 +X2 +...+X1600,那 X~B(1600, )
电影院座位数的设定
某地区有家小电影院，因该地区每日平均看 电影者均达1600人，小电影院不能满足需求， 故规划部门打算再建一座新电影院。预计新电 影院落成后，平均有3/4的观众会去这座电影 院看电影。在设计新电影院的座位规模时有这 样的考虑，希望座位数要尽可能地多，但“空 座位达到200位或更多”的概率要不超过0.1， 依目前的情况，新电影院设多少个座位比较合 适？
数学建模解决电影院座位安排问题
数学建模解决电影院座位安排问题介绍电影院座位安排问题是一个涉及数学建模的实际问题。
在繁忙的电影院中，如何高效地安排座位，以满足观众的需求，是一个重要的问题。
本文将利用数学建模的方法来解决这一问题。
问题描述电影院座位安排问题的目标是在给定的座位布局和观众的需求下，找到一种合适的座位安排方案。
观众通常会提供自己的座位偏好，例如靠近屏幕或靠近出口。
同时，电影院还需要考虑座位之间的空间要求，并保证每个座位都能被合理利用。
数学建模方法1. 座位分配算法为了高效地安排座位，我们可以使用贪心算法。
首先，根据观众的座位偏好进行排序，然后按照顺序分配座位。
如果观众的偏好相同，则可以考虑分配距离屏幕最近的座位。
2. 座位布局优化为了确保每个座位都能被合理利用，我们可以使用图论中的最大匹配算法。
将座位布局看作是一个二分图，观众和座位分别作为图的顶点，根据观众的座位偏好和座位之间的空间关系建立边。
然后，使用最大匹配算法找到最优的座位分配方案。
3. 座位调整策略在实际运行中，可能会出现观众需要调整座位的情况，例如不满意当前的座位。
为了避免频繁的座位调整，我们可以使用图的染色算法。
将每个观众看作是一个顶点，并根据他们的座位偏好和距离等因素，确定他们在座位中的位置。
然后，使用染色算法为每个观众分配一个颜色，表示他们的座位偏好。
这样，当观众需要调整座位时，我们只需要调整同一颜色的座位。
结论通过数学建模的方法，我们可以解决电影院座位安排问题。
通过合适的座位分配算法、座位布局优化和座位调整策略，我们能够提高观众的满意度，并在电影院的座位安排上实现高效和合理。
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影院座位设计的数学模型2002级3班吴小刚【摘要】：本文在平均视角越大越好的前提下，建立了一个简单的数学模型，求出了最佳视角所在位置，提出了进一步提高观众满意程度的地板设计方案。
【关键词】：视角平均视角模型数学建摸问题提出：下图为影院的剖面示意图，座位的满意程度主要取决于视角。
仰角α是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角，β是观众眼睛到屏幕下边缘视线与水平线的夹角，视角的大小等于α-β，c为观众平均坐高。
a=3.9m b=2.1m d=4.5m D=19m c=1.1m(1)地板倾角θ=10度，问最佳位置在什么地方。
(2)求地板线倾角θ（一般不超过20度），使所有观众的平均满意程度最大。
(3)地板线设计成什么形状可以进一步提高观众的满意程度。
模型假设：1、观众的满意程度主要取决于视角α-β，越大越好。
2、观众眼睛处于同一斜面，可以在斜面的任意位置。
3、如图建立直角坐标系，设某观众的眼睛在此坐标系中的坐标为（x,y）。
模型建立：根据题目，结合模型假设，有Y=xtanθtanα=tanxd xαθ-+tanβ=tanb xd xθ-+tan ()βα-=βαβαtantan1tantan+-=xdxxbaabxdba+++-++-θθ22tantan)()(模型求解：（1）令f(x)=(d+x)+x d x x b a ab +++-θθ22tan tan )( )tan(20βαπβα-∴<-< 为增函数要使tan(βα-)最大，即视角βα-最大，只需f(x)最小，为此，我们对f(x)求导f ′(x)=1+2222)()tan tan )(())(tan )(tan 2(x d x x b a ab x d b a x +++--++-θθθθ =1+22222)(tan )(tan )(tan x d ab d b a d d x +-+--+θθθ 令f ′(x)=0x=1tan tan )(tan 222+++=θθθab d b a d (0≤x ≤14.5) 0≤x<1tan tan )(tan 222+++=θθθab d b a d f ’(x)>0 1tan tan )(tan 222+++=θθθab d b a d <x ≤14.5 f ’(x)<0 因此，tan(βα-)在x=1tan tan )(tan 222+++=θθθab d b a d 处取得最大值。
将 a=3.9,b=4.5,θ=10度代入上式，解得x=3.7m综上，当地板倾角θ=10度时，最佳座位在离屏幕水平距离为4.5+3.7=8.2m 处。
（2）假设相邻两排观众间的水平距离为1m ，那么观众所在位置的横坐标x 的取值范围为0---14.5，x 为整数。
下面结合模型，利用VB 语言编写程序，分别求出地板倾角θ=1，2，----，20度时的平均视角，从而找出使得平均视角最大的θ的值。
具体程序见附录①，程序运行结果如下：结果分析：从以上数据可看出，随着地板倾角θ的增大，平均视角也在增大。
那么，这是否意味着θ=20度就是所求结果呢？当然不是，我们还得考虑如下问题：处在最后一排的观众的水平视线应该位于屏幕中线以下，否则观众就得低着头看电影了，这与实际不符。
我们可用如下数学语言来描述这个问题：假设最后一排观众所在位置的地板高为h，则由题目数据及以上分析可得h≤5-1.8/2-1.1=3m。
对于此限制条件，可用VB语言描述，具体程序见附录②，程序运行结果如下：结果分析：以上数据就是地板倾角在不同取值时，最后一排所在位置的地板高度，不难看出，当地板倾角θ=12度时，h≈3m ，最符合限制条件。
综上，地板的倾角应为12度。
敏感性分析：由于地板倾角的取值和相邻两排座位间的水平距离都是假设的，因此需要对二者（即t,x）作敏感性分析。
首先我们研究地板倾角在12度附近变化时对平均视角的影响。
假设相邻两排座位间的水平距离x不变，利用VB分别求出地板倾角为11.5、12.6、----、12.4、12.5度时的平均视角，具体程序见附录③，程序运行结果如下：结果分析：从以上数据可知，当地板倾角θ在12度附近变化时，对平均视角并无多大影响，这说明对地板倾角的假设是可用的。
下面我们研究相邻两排座位间的水平距离改变时对平均视角的影响。
结合实际，间距可取为0.7m、0.8m、0.9m.假设地板倾角不变，利用VB求出不同间距所对应的平均视角，具体程序见附录④，程序运行结果如下：结果分析：我们可以挑取某一地板倾角对应的平均视角进行比较，在此以12度为例。
Step( ) Step( 1) Step(0.9 ) Step(0.8 ) Step(0.7 )A(12) 2.904829 2.904831 2.904833 2.65224从以上比较结果可知，相邻两排间的水平间距取0.8m 为宜。
（3）首先证明如下结论：如图所示，随着点A 的下降（点A 位于点C 所在水平线上），α逐渐减小。
证明：cos α=ab c b a 2222-+≥ab c ab 222-=1-abc 22∵随着点A 的下降，a,b 都在增大∴1-abc 22增大，即cos α增大 又∵0〈 α〈90º∴α逐渐减小基于以上结论，我们可以适当升高位于屏幕下边缘所在水平面以下的座位，从而增大视角和平均视角，进一步提高观众的满意程度。
地板可设计如下：值得注意的是，ab 、cd 不能太长，否则位于同一水平面的前排观众会影响后排观众的视线，不符合题目要求。
另外，cd 应该稍低于屏幕下边缘所在水平线，否则后排观众将不能看到屏幕下边缘。
附录①Private Sub Form_Click()Dim x%, t%, f!, y!, a(20)Const pi = 3.14f = 0y = 1.8 / (4.5 + x + (16 - 8.2 * (Tan(pi * t / 180)) + (Tan(pi * t / 180)) ^ 2 * x ^ 2) / (4.5 + x))For t = 0 To 20For x = 0 To 20f = f + yNext xa(t) = f / 21Next tFor t = 0 To 18 Step (3)Print "a("; t; ")"; "="; a(t); "a("; t + 1; ")"; "="; a(t + 1); "a("; t + 2; ")"; "="; a(t + 2)PrintNext tEnd Sub②Private Sub Form_Click()Dim y!, x!, t%, h(20)Const pi = 3.14For t = 0 To 20y = 14.5 * Tan(t * pi / 180)h(t) = yNext tFor t = 0 To 18 Step (3)Print "h("; t; ")"; "="; h(t); "h("; t + 1; ")"; "="; h(t + 1); "h("; t + 2; ")"; "="; h(t + 2)PrintNext tEnd Sub③Private Sub Form_Click()Dim x%, t!, f!, y!, a(20)Const pi = 3.14f = 0y = 1.8 / (4.5 + x + (16 - 8.2 * (Tan(pi * t / 180)) + (Tan(pi * t / 180)) ^ 2 * x ^ 2) / (4.5 + x))For t = 11.5 To 12.5 Step (0.1)For x = 0 To 14f = f + yNext xa(t) = f / 15Next tFor t = 11.5 To 12.5 Step (0.1)Print "a("; t; ")"; "="; a(t)PrintNext tEnd Sub④Private Sub Form_Click()Dim x%, t%, f!, y!, a(20)Const pi = 3.14f = 0y = 1.8 / (4.5 + x + (16 - 8.2 * (Tan(pi * t / 180)) + (Tan(pi * t / 180)) ^ 2 * x ^ 2) / (4.5 + x))For t = 0 To 20For x = 0 To 20f = f + yNext xa(t) = f / 21Next tFor t = 0 To 18 Step (3)Print "a("; t; ")"; "="; a(t); "a("; t + 1; ")"; "="; a(t + 1); "a("; t + 2; ")"; "="; a(t + 2)PrintNext tEnd Sub【参考文献】：【1】姜启源谢金星叶俊《数学模型》高等教育出版社【2】朱道元《数学建模案例精选》科学出版社Mathematical modeling for theater seat designWu Xiaogang【Abstract】A simple mathematical modeling is set up in view of the average angle of view, a best position of viewing is acquired,.Furtherly the floor design programmers for promoting the watchers satisfaction is proposed. 【Key words】 Perspective Average perspective Model Mathematical modeling。