2020--2021学年九年级数学中考冲刺：二次函数之铅垂法求三角形面积
铅锤法求二次函数三角形面积
铅锤法求二次函数三角形面积三角形是我们数学中很常见的一个几何图形，从小学我们就开始接触。
我们知道，三角形的面积应该等于底乘以高除以二，但是在初中求解三角形的面积时却玩出了新花样，因为不会直接告诉我们三角形的底和高，最常见的是在反比例函数和二次函数中。
在二次函数中，经常会求解三角形面积的最大值，常用的方法之一就是铅锤法。
在了解什么是铅锤法之前，我们先了解一下，铅锤法中涉及到的知识点。
1.坐标系中怎么求三角形的面积？常用的方法有哪些？坐标系中求三角形的面积，方法和几何中求三角形的面积类似。
割补法（“不规则”的三角形，也就是不知道底和高的三角形）、面积法（规则三角形）、铅锤法、转化法（同底等高的三角形面积相等）2.坐标系中一般怎么求解特殊线段（平行于x轴或y轴的线段）长？平行于x轴的线段长：右边点的横坐标—左边点的横坐标平行于y轴的线段长：上面点的纵坐标—下面点的纵坐标3.坐标系中求解什么样的三角形需要用到铅锤法？三边均不与坐标轴平行的三角形4.铅锤法的具体做法是什么？什么是铅锤高？什么是水平宽？怎么用铅锤法求三角形的面积？5.二次函数什么时候取得最大值？开口向下的二次函数一般在对称轴处取得最大值这就是利用铅锤法求三角形的面积，首先我们需要做辅助线，过三角形的任意一个顶点做x轴或y轴的垂线，然后去求铅锤高和水平宽，再利用公式：三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半，将三角形面积求解出来。
在看一道求三角形面积最值的例题，感受下铅锤法和二次函数最值的求法。
例题2：如图，抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，-2）三点．（1）求出抛物线的解析式；（2）在直线AC上方抛物线上有一动点D，求使△DCA的面积最大，求点D的坐标.铅锤法在二次函数中求三角形的面积利用很广泛，同学们可以自己试着去找几道题目做一下。
二次函数之“铅垂法”求三角形面积
二次函数之“铅垂法”求三角形面积求三角形面积往往用公式12S a h∆=或1sin2S ab C∆=进行计算。
在二次函数里，有时用公式求三角形面积有一定的难度，我们不妨考虑用“铅垂法”来解决。
图1 图2作法：1、作铅直线PM交线段AB于点M；2、分别过A、B两点作PM的垂线段。
计算：如图1：S△PAB= S△PMA+S△PMB=12×PM×h2+12×PM×h1=12×PM×(h2+h1)；①如图2：S△PAB= S△PMA﹣S△PMB=12×PM×h2－12×PM×h1=12×PM×(h2－h1)。
②理解：我们把公式中的PM称为三角形的“铅直高度”，把(h2+h1)或(h2－h1)称为三角形的“水平宽度”，则三角形的面积等于“铅直高度”与“水平宽度”积的一半。
特别地，在二次函数中，三角形的“铅直高度”就是动点P和铅直线PM与线段AB交点M的纵坐标之差（y P －y M），“水平宽度”就是两定点A与B的横坐标之差（x B－x A），即S△=12×（y P－y M）×（x B－x A）。
我们把这种求三角形面积的方法叫做“铅垂法”。
运用：例：如图，直线l:y=−x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=ax2−2ax+a+4(a<0)经过点B。
（1）求该抛物线的函数表达式；（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M 的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值及此时动点M的坐标。
解答：（1）y=－x 2+2x+3；（2）过点M 作MC ⊥x 轴交直线AB 于点C 。
设M （t ，－t 2+2t+3），则C （t ，－t+3）。
∵A （3，0），B （0，3）∴S=12×〖（－t2+2t+3）－（－t+3）〗×（3－0）化简整理得：23327()224S t =--+。
二次函数的应用之铅锤法求面积
二次函数的应用之铅锤法求面积铅锤法是一种常用于求解曲线下面积的数学方法，也被称为直接切割法。
它的基本思想是将曲线下面的面积分割成多个矩形，并将这些矩形的面积相加，从而得到近似的曲线下面积。
这种方法在二次函数的应用中经常被使用。
首先，我们来看一下二次函数的一般形式：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a≠0。
这里的x和y分别表示函数的自变量和因变量。
二次函数的图像通常是一个抛物线。
为了方便计算，我们可以将抛物线分割成多个小矩形，并将每个小矩形的面积近似为其上底和下底的平均值乘以矩形的高度。
我们可以使用铅锤法来求解这些小矩形的面积，并将它们相加，从而得到整个曲线下的面积。
具体来说，我们可以将自变量x的取值范围划分成n个小区间，即x1, x2, x3, ..., xn。
然后，我们可以在每个小区间中选择一个特定的x值作为铅锤，然后通过计算该点的函数值，得到对应的y值。
这样，我们就得到了n个点（x1, y1），(x2, y2)，(x3, y3)，...，(xn, yn)。
这些点位于曲线上，而我们需要计算的是曲线下方的面积。
接下来，我们将每个小区间划分成更小的小区间，即将x1和x2之间的区间划分成更小的区间(x1, x1 + Δx)，(x1 + Δx, x1 +2Δx)，..., (x2 - Δx, x2)，其中Δx是一个非常小的数。
我们将这些小区间对应的铅锤的y值连接起来，就得到了一根连续的折线，这条折线在每个小区间上与原曲线接近。
然后，我们可以将每个小区间划分成更小的矩形，并计算每个矩形的面积。
根据矩形面积的计算公式，每个矩形的面积可以表示为：矩形的宽度乘以矩形的高度。
矩形的宽度是Δx，而矩形的高度可以通过铅锤方法得到。
具体来说，我们可以在每个小区间上选择一个点(xi, yi)，然后计算这个点和曲线的交点的纵坐标，即函数值。
这样，我们就得到了每个小区间的高度。
接下来，我们只需要将宽度Δx和高度yi相乘，得到每个小矩形的面积。
二次函数的应用之铅锤法求面积
二次函数的应用之铅锤法求面积铅锤法是一种通过二次函数的应用来求解面积的方法。
铅锤法常常用于计算不规则形状的面积，特别是那些无法通过几何方法直接求解的形状。
通过铅锤法，我们可以将复杂的形状分解为一系列简单的几何形状，然后通过计算这些简单形状的面积，最终得到整个形状的面积。
假设我们要计算一个不规则图形的面积，可以将其分解为若干个矩形、三角形或梯形等简单形状的组合。
首先，我们需要在图形上选取一条基准线，通常选择横坐标轴或纵坐标轴作为基准线。
然后，我们用铅锤垂直于基准线从图形上各点悬垂，使得铅锤与基准线之间的距离为x。
接下来，我们需要确定铅锤与图形的交点坐标。
对于每个交点，我们可以根据交点的横坐标和铅锤的高度来计算出相应的面积。
对于矩形，面积等于宽度乘以高度；对于三角形，面积等于底边乘以高度的一半；对于梯形，面积等于上底加下底的一半乘以高度。
通过计算每个交点处的面积，并将它们累加起来，我们就可以得到整个图形的面积。
当然，在实际计算过程中，我们可能需要使用数值积分等数学方法来求解面积的近似值。
铅锤法在实际应用中非常有用。
例如，在建筑设计中，我们常常需要计算不规则形状的地面面积，以确定所需的材料数量；在地理测量中，我们常常需要计算湖泊、岛屿等复杂形状的面积，以了解其地理特征。
通过铅锤法，我们可以准确地计算出这些形状的面积，并为相关工作提供准确的数据支持。
铅锤法是一种通过二次函数的应用来求解面积的方法。
通过将复杂的形状分解为简单形状，并计算各个形状的面积，我们可以准确地计算出整个形状的面积。
铅锤法在实际应用中具有重要的意义，可以用于建筑设计、地理测量等领域。
它是一种非常有用的工具，为各种工程和研究提供了准确的面积数据。
二次函数铅锤法求三角形面积的题型
二次函数铅锤法求三角形面积的题型在平面直角坐标系中，给定一个三角形的三个顶点坐标，可以利用二次函数铅锤法求出该三角形的面积。
具体步骤如下：1. 将三个顶点坐标分别记作（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）。
2. 计算出三边长度a、b、c，可以利用勾股定理，即a=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)，b=sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2)，c=sqrt((x3-x1)^2+(y3-y1)^2)。
3. 计算出半周长s，即s=(a+b+c)/2。
4. 分别求出三个顶点到对边的距离d1、d2、d3，可以利用以下公式：d1=2*sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c))/(b+c)d2=2*sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c))/(a+c)d3=2*sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c))/(a+b)5. 分别求出三条高h1、h2、h3，可以利用以下公式：h1=2*sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c))/ah2=2*sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c))/bh3=2*sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c))/c6. 利用二次函数铅锤法，可以求出三边所对应的三个角度的正弦值sinA、sinB、sinC，具体步骤如下：6.1. 设三角形的底边为a，对应的高为h。
6.2. 构造二次函数f(x)=x^2-h^2，它的图像在x轴上的两个交点就是a的两个端点。
6.3. 以函数f(x)的顶点作为坐标系的原点，建立新的坐标系。
6.4. 在新的坐标系中，顶点A对应的坐标是(0,0)，顶点B对应的坐标是(a,0)，顶点C对应的坐标是(2p,h)，其中p是函数f(x)的顶点横坐标的绝对值。
6.5. 利用三角函数的定义，可以求出三个角的正弦值，即sinA=h/p，sinB=h/(a-p)，sinC=h/(a+p)。
7. 利用海伦公式，可以求出三角形的面积S，即S=sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c))。
二次函数铅垂法求面积中考真题(初三数学铅垂定理)
二次函数铅垂法求面积中考真题（初三数学铅垂定理）铅垂定理，是初中解决平面直角坐标系中的特殊三角形的面积和求二
次函数最值（动点）问题的法宝，已经掌握的同学可以划走。
不送，哈哈。
先看定理：
那种知道坐标的特殊三角形这种方法不适合。
千万别用，反而繁琐。
那这个定理怎么来的呢？首先我们要知道原理，也就是怎么推导出来的。
先看下面推导过程。
了解定理和掌握推导之后，接下来怎么用呢。
一般情况下，我们要求
出BC两点坐标，这样就得出水平C的距离了。
再求出BC的一次函数解析
式（待定系数法求出即可），再根据A点坐标求出D点坐标，由于AD横
坐标相同，则把A的横坐标代入BC解析式中即可求出D的纵坐标。
这样
就可以求出AD的长度。
然后利用公式就可以得出面积。
真的不要小看这个定理，很多二次函数的综合大题，特别是动点问题，用这个来解决问题，是最合适不过了。
下次你遇到这种类型的题目可以尝
试着去用一下看看哦。
当然，铅垂定理有很多种画法，只需要掌握这一种即可，其他的意思
都一样。
另外，铅垂高是竖直的哦，与Y轴平行。
好了，今天就分享到这里，下期见。
ps：满招损，谦受益，低调做人，高调做事。
我是小李飞道丶，喜欢
理科的同学，关注我，我们一起学习哦。
,。
二次函数铅锤法求三角形面积
二次函数铅锤法求三角形面积二次函数铅锤法求三角形面积是一种利用二次函数和几何知识求解三角形面积的方法。
在这个方法中，我们可以通过构造一个一般式二次函数，然后以三角形的顶点作为$x,y$坐标系下的截距，进而确定这个二次函数的解析式。
然后，我们利用这个解析式和关于三角形高的知识，最终求得三角形面积。
1. 构造二次函数我们先来看一个以三角形的三个顶点为坐标系下的点$(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)$为截距的一般式二次函数：$$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)+b(x-x_1)(x-x_3)+c(x-x_2)(x-x_3)$$$a,b,c$为系数，根据函数图像的对称性和零点情况可解得：2. 确定顶点根据二次函数的顶点公式可得：$$x_0=\frac{x_1+x_2+x_3}{3}$$$$y_0=f(x_0)$$$(x_0,y_0)$为函数的顶点坐标。
3. 计算高由于三角形的高为从底边上一点到对脚线的距离，我们可以将对脚线$y=-\frac{1}{a}(x-x_0)+y_0$与底边平行的直线$y=k$相交，求得交点坐标$(x_4,y_4)$；然后再计算出底边长度，从而求得三角形面积。
$a$为二次函数系数。
根据三角形的面积公式可得：$$S=\frac{1}{2}\times b\times h$$$b$为底边长度，$h$为高。
底边长度为：$$b=\sqrt{(x_4-x_1)^2+(y_4-y_1)^2}$$高为：将以上公式带入三角形面积公式中，便可求出三角形面积。
至此，二次函数铅锤法求三角形面积的求解过程已经结束。
需要注意的是，在实际应用时，需要保证所构造的二次函数符合三点共线的要求，否则将会得到无法解决的矛盾情况。
在实际应用中，二次函数铅锤法求解三角形面积有着广泛的应用。
它可以用于建筑、工程、机械制造、科学研究等领域，尤其是在需要研究弯曲表面的情况下，这种方法可以非常方便地求出弯曲表面的曲率、面积等信息。
最新铅垂法求三角形面积资料
二次函数三角形之面积问题（铅垂法）专题前请先思考以下问题:问题1：坐标系背景下问题的处理原则是什么？问题2：坐标系中处理面积问题的思路有哪些？问题3：具有什么样特征的三角形在表达面积时会使用铅垂法？问题4：铅垂法的具体做法是什么？问题5：如何利用铅垂法表达三角形的面积？以下是问题及答案，请对比参考:问题1：坐标系背景下问题的处理原则是什么？答：充分利用横平竖直线段长，几何特征函数特征互转。
问题2：坐标系中处理面积问题的思路有哪些？答：公式法（规则图形）；割补法（分割求和，补形作差）；转化法（例：同底等高）。
问题3：具有什么样特征的三角形在表达面积时会使用铅垂法？答：三边均是斜放置在坐标系中的三角形在表达面积时一般使用铅垂法。
问题4：铅垂法的具体做法是什么？答：若是固定的三角形，则可从任意一点作铅垂；若为变化的图形，则从动点向另外两点所在的定直线作铅垂。
问题5：如何利用铅垂法表达三角形的面积？答：从动点向另外两点所在的固定直线作铅垂，将变化的竖直线段作为三角形的底，则高就是两个定点的横坐标之差，然后结合三角形的面积公式表达。
例1：如图，在平面直角坐标系中，顶点为(4,1)的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为(0,3)．点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，当△PAC的面积最大时，求P的坐标和△PAC的最大面积.解：试题难度：三颗星知识点：铅垂法求面积（铅垂线在三角形内部）例2：如图，一次函数122y x=+与y轴、x轴分别交于点A，B，抛物线2y x bx c=-++过A，B两点．Q为直线AB下方的抛物线上一点，设点Q的横坐标为n，△QAB的面积为S，求出S与n之间的函数关系式并求出S的最大值. 解：试题难度：三颗星知识点：铅垂法求面积 （铅垂线在三角形外部）……………………………………………………………………………………………………… 总结反思篇：决胜中考：1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数213222y x x =-++的图象与y 轴交于点A ，与x 轴交于B ，C 两点（点B 在点C 的左侧）．点P 是第二象限内抛物线上的点，△PAC的面积为S ，设点P 的横坐标为m ，求S 与m 之间的函数关系式.2. 如图，已知抛物线213222y x x =+-与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ．M 为抛物线上一动点，且在第三象限，若存在点M使得12ACM ABCS S∆∆=，求此时点M的坐标.3.如图，已知直线12y x=与抛物线2(0)y ax b a=+≠交于A（-4，-2），B（6，3）两点，抛物线与y轴的交点为C．在抛物线上存在点P使得△PAC的面积是△ABC面积的34，求时点P的坐标.。
最新九年级中考数学：铅锤法求三角形的面积 课件
∵抛物线经过A(1,0),B(4,0),C(0,-4)三点,
abc0 16a 4b+c=0
c 4
a 1
解得
b
5
c 4
y x2 5x 4
新知探究
解:(2)设过点B(4,0),C(0,-4)的直线的函数 表达式为y=kx+m.根据题意,得
4k m 0
m 4
解得
k 1 m 4
令- x+1=-2x2+4x+1,
解得 x1= ,x2=0,
则 C ,- .
过点 P 作 PE⊥x 轴于点 E,交直线 AC 于点 Q,过点 A 作 AM⊥PE 于点 M,过点 C 作 CN⊥PE 于点 N.
设 P(m,-2m2+4m+1),则 Q m,- m+1 . 由题意,知 0<m< ,则 PQ=yP-yQ=(-2m2+4m+1)- - m+1 =-2m2+ m.
过点P作x轴的垂线与直线AB交于点E
则S
ABP
AB水平宽度 PE铅垂高度 2
x -x A B
yP yE
2
利用铅垂法求三角形的面积问题
知识回顾
类型一 一边在坐标轴上或平行于坐标轴的三角形面积的计算
直接使用三角形的面积公式 S 1 AB • h
2
其中AB是三角形在坐标轴上 (或平行于坐标轴)的线段长 ， h为AB边上的高.
新知探究类型二 三边都不平行于坐标轴或不在坐标轴上的三角形面积计算
割
补
h1 D
∴直线BC的函数表达式为y=x-
P
4设. 点D的坐标为(x,-x2+5x-4),过点D作y轴的平行
二次函数压轴题铅垂法求三角形面积
1铅垂法求面积最值求三角形的面积是几何题中常见问题之一，可用的方法也比较多，比如面积公式、割补、等积变形、三角函数甚至海伦公式，本文介绍的方法是在二次函数问题中常用的一种求面积的方法——铅垂法．【问题描述】在平面直角坐标系中，已知()1,1A 、()7,3B 、()4,7C ，求△ABC 的面积．【分析】显然对于这样一个位置的三角形，面积公式并不太好用，割补倒是可以一试，比如这样：构造矩形ADEF ，用矩形面积减去三个三角形面积即可得△ABC 面积． 这是在“补”，同样可以采用“割”：()111222ABCACDBCDSSSCD AE CD BF CD AE BF =+=⋅+⋅=+ 此处AE +AF 即为A 、B 两点之间的水平距离． 由题意得：AE +BF =6． 下求CD ：根据A 、B 两点坐标求得直线AB 解析式为：1233y x =+由点C 坐标（4,7）可得D 点横坐标为4， 将4代入直线AB 解析式得D 点纵坐标为2， 故D 点坐标为（4,2），CD =5,165152ABCS =⨯⨯=．【方法总结】 作以下定义：A 、B 两点之间的水平距离称为“水平宽”；过点C 作x 轴的垂线与AB 交点为D ，线段CD 即为AB 边的“铅垂高”． 如图可得：=2ABC S⨯水平宽铅垂高【解题步骤】（1）求A 、B 两点水平距离，即水平宽；（2）过点C 作x 轴垂线与AB 交于点D ，可得点D 横坐标同点C ； （3）求直线AB 解析式并代入点D 横坐标，得点D 纵坐标； （4）根据C 、D坐标求得铅垂高； （5）利用公式求得三角形面积．3【2019海南中考（删减）】如图，已知抛物线25y ax bx =++经过(5,0)A -，(4,3)B --两点，与x 轴的另一个交点为C ． （1）求该抛物线的表达式；（2）点P 为该抛物线上一动点（与点B 、C 不重合），设点P 的横坐标为t ．当点P 在直线BC 的下方运动时，求PBC ∆的面积的最大值．【分析】（1）265y x x =++，（2）取BC 两点之间的水平距离为水平宽，过点P 作PQ ⊥x 轴交直线BC 于点Q ，则PQ 即为铅垂高．根据A 、C 两点坐标得AC =4，根据B 、C 两点坐标得直线BC 解析式：y =x +1， 设P 点坐标为（m ，m ²+6m +5），则点Q （m ，m +1）， 得PQ =-m ²-5m -4，考虑到水平宽是定值，故铅垂高最大面积就最大．当52-时，△BCP 面积最大，最大值为278．【小结】选两个定点作水平宽，设另外一个动点坐标来表示铅垂高．【思考】如果第3个点的位置不像上图一般在两定点之间，如何求面积？铅垂法其实就是在割补，重点不在三个点位置，而是取两个点作水平宽之后，能求出其对应的铅垂高！因此，动点若不在两定点之间，方法类似： 【铅垂法大全】（1）取AB 作水平宽，过点C 作铅垂高CD ．（2）取AC 作水平宽，过点B 作BD ⊥x 轴交直线AC 于点D ，BD 即对应的铅垂高， =2ABCABDBCDSSS⨯-=水平宽铅垂高（3）取BC 作水平宽，过点A 作铅垂高AD ．甚至，还可以横竖互换，在竖直方向作水平宽，在水平方向作铅垂高．（4）取BC作水平宽，过点A作铅垂高AD．（5）取AC作水平宽，过点B作铅垂高BD．（6）取AB作水平宽，过点C作铅垂高CD．说这么多做法也不是要记住的，基本上从（3）开始往后都是用不上的，用以帮助我们了解铅垂法的解题原理，再来看个例子巩固下呗．5【2019绵阳中考】在平面直角坐标系中，将二次函数2(0)=>的图像向右平移1个单位，再向下平移2y ax a个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），1OA=，经过点A的一次函数(0)=+≠的图像与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个y kx b k交点为D，ABD∆的面积为5．（1）求抛物线和一次函数的解析式；（2）抛物线上的动点E在一次函数的图像下方，求ACE∆面积的最大值，并求出此时点E的坐标．7【分析】（1）抛物线解析式：21322y x x =--； 一次函数解析式：1122y x =+． （2）显然，当△ACE 面积最大时，点E 并不在AC 之间．已知A （-1,0）、10,2C ⎛⎫⎪⎝⎭，设点E 坐标为213,22m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，过点E 作EF ⊥x 轴交直线AD 于F 点，F 点横坐标为m ，代入一次函数解析式得11,22m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭可得213222EF m m =-++考虑到水平宽是定值，故铅垂高最大面积最大．既然都是固定的算法，那就可以总结一点小小的结论了， 对坐标系中已知三点()11,A x y 、()22,B x y 、()33,C x y ， 按铅垂法思路，可得：12233121321312ABCSx y x y x y x y x y x y =++--- 如果能记住也不要直接用，可以当做是检验的方法咯．【总结】铅垂法是求三角形面积的一种常用方法，尤其适用于二次函数大题中的三角形面积最值问题，弄明白方法原理，熟练方法步骤，加以练习，面积最值问题轻轻松松．。
2020年九年级中考数学二次函数综合题——铅垂线面积问题(无答案))
二次函数面积问题一、公式法：适用于有一边在坐标轴上或与坐标轴平行的三角形。
注意事项：1.以坐标轴上线段或以与轴平行的线段为底边，横坐标大减小，即可求出底边长。
2.以第三点到该轴的距离为三角形的高。
3.根据公式:S△=×底边×高，可求出面积。
二、铅垂线法：适用于斜三角形。
如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平垂直的三条线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高h”。
三角形面积的新方法:即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。
注意事项：1.找出B、C的坐标，横坐标大减小，即可求出水平宽;2.求出直线BC的解析式，A与D的横坐标相同，A与D的纵坐标大减小，即可求出铅垂高;3.根据公式:S△=×水平宽×铅锤高，可求出面积。
三．割补法：适用于四边形等图形。
O xyDC图四xyOMENA图五PxyOA BD图二ExyOA BC图一xyOA B图三例题练习1.（2012秋•桐城市校级期中）已知二次函数y＝x2与一次函数y＝2x+1相交于A、B两点，点C是线段AB上一动点，点D是抛物线上一动点，且CD平行于y轴，求在移动过程中CD的最大值．2.（2018•阜新）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C．（1）求这个二次函数的表达式；（2）点P是直线BC下方抛物线上的一动点，求△BCP面积的最大值；3．如图，直线y＝﹣x+5与x轴交于点B，与y轴交于点D，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝﹣x+5交于B，D两点，点C是抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）点M是直线BD上方抛物线上的一个动点，其横坐标为m，过点M作x轴的垂线，交直线BD于点P，当线段PM的长度最大时，求m的值及PM的最大值；4．已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3的图象和x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点P是直线AC上方的抛物线上的动点．（1）求直线AC的解析式；（2）当P是抛物线顶点时，求△APC面积；（3）在P点运动过程中，求△APC面积的最大值．。
铅锤法求二次函数三角形面积
铅锤法求二次函数三角形面积一、前言在计算几何学中，铅锤法是一种常见的求解三角形面积的方法。
本文将介绍如何使用铅锤法求解二次函数所构成的三角形面积。
二、铅锤法原理铅锤法是利用三角形内部任意一点到三边距离之积等于该点到对边距离之积的原理，通过将三角形分割成若干个小三角形，并计算这些小三角形面积之和来求得整个三角形的面积。
具体来说，我们可以在二次函数所构成的三角形内部任意取一点P，并向三边分别作垂线，得到垂足A、B、C。
然后，我们可以通过计算PA、PB、PC以及AB、BC、CA之间的距离关系，求出小三角形ABC、ABP、BCP和CAP的面积，并将它们相加得到整个三角形的面积。
三、函数设计为了实现铅锤法求解二次函数所构成的三角形面积，我们需要先定义一个函数，该函数可以接受任意一个二次函数及其定义域上任意一点作为参数，并返回该点在该二次函数上对应的纵坐标值。
具体来说，我们可以使用Python语言编写如下的函数：```pythondef quadratic_function(x, a, b, c):"""计算二次函数在某一点的纵坐标值:param x: 二次函数上的横坐标值:param a: 二次项系数:param b: 一次项系数:param c: 常数项系数:return: 该点在该二次函数上对应的纵坐标值"""return a * x ** 2 + b * x + c```接下来，我们需要定义一个函数，该函数可以接受三个顶点坐标作为参数，并返回该三角形的面积。
具体来说，我们可以使用Python语言编写如下的函数：```pythondef triangle_area(x1, y1, x2, y2, x3, y3):"""计算三角形面积（海龙公式）:param x1: 第一个顶点横坐标值:param y1: 第一个顶点纵坐标值:param x2: 第二个顶点横坐标值:param y2: 第二个顶点纵坐标值:param x3: 第三个顶点横坐标值:param y3: 第三个顶点纵坐标值:return: 三角形面积大小（单位：平方单位） """# 计算三边长度a = ((x1 - x2) ** 2 + (y1 - y2) ** 2) ** 0.5b = ((x2 - x3) ** 2 + (y2 - y3) ** 2) ** 0.5c = ((x3 - x1) ** 2 + (y3 - y1) ** 2) ** 0.5# 计算半周长s = (a + b + c) / 2# 计算面积area = (s * (s - a) * (s - b) * (s - c)) ** 0.5return area```最后，我们需要定义一个函数，该函数可以接受二次函数的系数以及三角形顶点坐标作为参数，并返回该二次函数所构成的三角形面积。
二次函数铅垂法求三角形最大面积
二次函数铅垂法求三角形最大面积
二次函数铅垂法是一种通过求解二次函数的极值来求解三角形最
大面积的方法。
该方法利用了二次函数的性质，即函数在极值点处取
得最大值或最小值。
要利用二次函数铅垂法求解三角形最大面积，首先需要考虑一个
三角形的特点：给定一个底边长度，其他两条边的长度是可以变化的。
因此，我们可以假设一个二次函数，其中自变量是不同的边长，因变
量是三角形的面积。
假设三角形的底边长度为x，其他两条边的长度为y和z。
根据
三角形面积公式，可以得到面积S与底边长度x、两边长度y和z之间的关系式： S = 0.5 * x * sqrt(y^2 - (x/2)^2)。
接下来，我们可以将面积S表示为一个关于底边长度x的二次函数。
为了求解最大面积，我们需要找到这个二次函数的极值点。
利用二次函数的导数性质，可以求得二次函数的极值点对应的底
边长度x值。
此时，我们需要求解二次函数关于x的导数，然后令导
数等于零。
解出的x值即为最大面积对应的底边长度。
通过代入得到的x值，可以进一步计算出最大面积。
同时，由于
存在二次函数的关系，我们还需要验证求解得到的底边长度是否在有
效范围内，确保它能够构成一个合理的三角形。
综上所述，二次函数铅垂法是一种通过将三角形的面积表示为一
个关于底边长度的二次函数，并通过求解二次函数的极值点来求解最
大面积的方法。
铅垂法求三角形面积
二次函数三角形之面积问题（铅垂法）专题前请先思考以下问题:问题1：坐标系背景下问题的处理原则是什么？问题2：坐标系中处理面积问题的思路有哪些？问题3：具有什么样特征的三角形在表达面积时会使用铅垂法？问题4：铅垂法的具体做法是什么？问题5：如何利用铅垂法表达三角形的面积？以下是问题及答案，请对比参考:问题1：坐标系背景下问题的处理原则是什么？答：充分利用横平竖直线段长，几何特征函数特征互转。
问题2：坐标系中处理面积问题的思路有哪些？答：公式法（规则图形）；割补法（分割求和，补形作差）；转化法（例：同底等高）。
问题3：具有什么样特征的三角形在表达面积时会使用铅垂法？答：三边均是斜放置在坐标系中的三角形在表达面积时一般使用铅垂法。
问题4：铅垂法的具体做法是什么？答：若是固定的三角形，则可从任意一点作铅垂；若为变化的图形，则从动点向另外两点所在的定直线作铅垂。
问题5：如何利用铅垂法表达三角形的面积？答：从动点向另外两点所在的固定直线作铅垂，将变化的竖直线段作为三角形的底，则高就是两个定点的横坐标之差，然后结合三角形的面积公式表达。
例1：如图，在平面直角坐标系中，顶点为(4,1)的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为(0,3)．点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，当△PAC的面积最大时，求P的坐标和△PAC的最大面积.解：试题难度：三颗星知识点：铅垂法求面积（铅垂线在三角形内部）例2：如图，一次函数122y x=+与y轴、x轴分别交于点A，B，抛物线2y x bx c=-++过A，B两点．Q为直线AB下方的抛物线上一点，设点Q的横坐标为n，△QAB的面积为S，求出S与n之间的函数关系式并求出S的最大值.解：试题难度：三颗星知识点：铅垂法求面积 （铅垂线在三角形外部）……………………………………………………………………………………………………… 总结反思篇：决胜中考：1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数213222y x x =-++的图象与y 轴交于点A ，与x 轴交于B ，C 两点（点B 在点C 的左侧）．点P 是第二象限内抛物线上的点，△PAC的面积为S ，设点P 的横坐标为m ，求S 与m 之间的函数关系式.2. 如图，已知抛物线213222y x x =+-与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ．M 为抛物线上一动点，且在第三象限，若存在点M 使得12ACM ABC S S ∆∆=，求此时点M 的坐标.3.如图，已知直线12y x =与抛物线2(0)y ax b a =+≠交于A （-4，-2），B （6，3）两点，抛物线与y 轴的交点为C ．在抛物线上存在点P 使得△PAC 的面积是△ABC 面积的34，求时点P 的坐标.。
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二次函数与面积
解这类问题一般用到以下与面积相关的知识：图形割补、等积转换、等比转化.
课前练习
如图1，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”（a ），中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高（h ）”．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：ABC S △＝12
ah ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半． 解答问题：
如图2，顶点为C （1,4）的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 交轴于点A （3,0），交y 轴于点B ．
（1）求抛物线和直线AB 的解析式；
（2）点P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连接P A ，PB ，当P 点运动到顶点C 时，求△CAB 的铅垂高CD 及CAB S △；
△是否存在抛物线上一点P ，使PAB S △＝CAB S △？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．
x C
B
模型讲解 竖切
面积公式均为1
=2
S dh
横切
面积公式均为1
=2
S dh
总结
这种“铅垂高×水平宽的一半”的求解方法可过三角形的任意一点，并且“横竖”均可.而在选择时，如何选用，取决于点D 的坐标哪种更易求得.
C
B
h
C B
h C
B
D
例题1 已知一次函数y＝（k＋3）x＋（k-1）的图像与x轴、y轴分别相交于点A、B，P（-1，-4）.
（1）若△OBP的面积为3，求k的值；
（2）若△AOB的面积为1，求k的值.
ax2-ax＋c的图像的顶点为C，一次函数y＝-x＋3例题2 如图，二次函数y＝1
2
的图像与这个二次函数的图像交于A、B两点（其中点A在点B的左侧），与它的对称轴交于点D.
（1）求点D的坐标；
（2）若点C与点D关于x轴对称，且△BCD的面积为4，求此二次函数的关系式.
例题3 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴正半轴上，线段OB、OC的长（OB＜OC）是方程x²-10x＋16＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x＝-2.
（1）求抛物线解析式；
（2）若点E时线段AB上的一个动点（与点A、B不重合），过点E作EF△AC 交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围.
巩固练习
1.已知直线y ＝2x ＋4与x 轴、y 轴分别交于A ，D 两点，抛物线y ＝-1
2
x ²＋bx ＋c 经过点A ，D ，点B 是抛物线与x 轴的另一个交点． （1）求这条抛物线的解析式及点B 的坐标；
（2）设点M 是直线AD 上一点，且AOM S △:OMD S △＝1:3，求点M 的坐标；
2．如图，已知抛物线y ＝-x ²＋bx ＋c 与一直线相交于A （-1,0），C （2,3）两点，与y 轴交于点N ，其顶点为D ． （1）抛物线及直线AC 的函数关系式；
（2）若P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点，直接写出△APC 的面积的最大值及此时点P 的坐标．
3．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax²-2ax-3a（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y＝kx＋b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．
（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；
，求a （2）点E是直线l上方的抛物线上的一点，若△ACE的面积的最大值为5
4 Array的值；
4. 已知：二次函数y＝ax²＋bx＋6（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A、点B的横坐标是方程x²-4x-12＝0的两个根．
（1）求出该二次函数的表达式及顶点坐标；
（2）如图，连接AC、BC，点P是线段OB上一个动点（点P不与点O、B重
合），过点P作PQ△AC交BC于点Q，当△CPQ的面积最大时，求点P的坐标．
5. 已知：在直角坐标系中，点C 的坐标为（0，-2），点A 与点B 在x 轴上，且点A 与点B 的横坐标是方程x ²-3x -4＝0的两个根，点A 在点B 的左侧. （1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的关系式.
（2）点D 的坐标为（2，0），点P （m ，n ）是该抛物线上的一个动点（其中m ＞0，n ＜0）连接CD 、CP ，设△CDP 的面积为S ，当S 取某一个值时，有两个点P 与之对应，求此时S 的取值范围？
7、如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线l 与抛物线y ＝mx ²＋nx 相交于A （1，3），B （4，0）两点. （1）求出抛物线的解析式；
（2）点P 是线段AB 上一动点，（点P 不与点A 、B 重合），过点P 作PM △OA ，交第一象限内的抛物线于点M ，过点M 作MC △x 轴于点C ，交AB 于点N ，若△BCN 、△PMN 的面积BCN S △、PMN S △满足BCN S △＝2PMN S △，求出MN
NC
的值，并求出此时点M 的坐标.。