毕奥萨伐尔定律安培环路定律磁通连续原理
毕奥—萨伐尔定律,安培环路定理
长直线
长
内
直
圆
柱外
面
长 直
内
圆
柱 体
外
B 0I 2r
B0
第八章
B 0I 2r
B
0 Ir 2R 2
B 0I 2r
恒定电流的磁场
8-4磁场的安培环路定理
练习：求同轴B的的两分筒布状。导线通有等值反向的电流I,
(1) r R2 , B 0
R2
R1
(2)
R1
r
R2 ,
B
0I 2r
I
rI
(3) r R1, B 0
B • dl 0
第八章 恒定电流的磁场
8-4磁场的安培环路定理
安培环路定理
在稳恒磁场中，磁感应强度
B
在闭合曲线
上的环流，等于该闭合曲线所包围的电流的代
数和与真 空中的磁导率的乘积。即
B • dl 0 Ii
说明：
I4
I1 I2 I3
电流取正时与环路成右旋关系
l
B • dl 0 Ii
.. . . .
R1 R2
.. . .
..r...............
q
v
第八章 恒定电流的磁场
8-4磁场的安培环路定理
一、 安培环路定理
静电场 E dl 0
l
磁 场 B dl ?
1、圆形积分回路
B
dl
0I 2r
dl
0I
2r
dl
0I 2r
2r
B dl 0I
I
r
B
B
0I
2r
第八章 恒定电流的磁场
8-4磁场的安培环路定理
I
10.3-4a 毕奥萨伐尔定律及安培环路定理
0 NI / 2 2 0 sin d R
0 NI NI 0 R 4 4R
R d r O ⊙
⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙⊙⊙
x
x
21
三、安培环路定理
1.定理表述 磁感应强度沿闭合回路的线积分等于环路所包围 的电流代数和乘以 0。 数学表达式：
2 2 5.由 B Bx By Bz2 求总场。
4
例1:一段有限长载流直导线,通有电流 I ,求距 a 处 P 点的磁感应强度。 l
0 Idl sin dB 2 4 r l actg( ) actg
解: 分割电流元
2
Idl
dl a csc d a r sin r a csc
R B o
I
Bo
0 I
2R
11
归纳：（1）载流圆环轴线上
B 2 x R
2
Idl
0 IR2
2 3/ 2
I
R
o
Idl
r dB dB来自（2）载流圆环环心处 Bo 2R （3）半圆圆心处：
B
0 I
dBx x P dBx ' x dB ' dB '
r dN dB
Idl
S
P
16
例6：氢原子中的电子，以速率v在半径为r的圆周轨道 上作匀速率运动。求电子在轨道中心产生的磁感应强 度。 v 解： 应用运动电荷的磁场公式：
0 q v r 可得： B 4 r3 0 ev B 2 方向如图所示。 4 r I
R sin r 2R
安培环路定理推导毕奥萨伐尔定律
安培环路定理是电磁学中非常重要的原理之一，它描述了磁场的环路积分与通过该环路的电流之间的关系。
而毕奥萨伐尔定律则是安培环路定理的应用，它指出了磁场的旋度与电流密度之间的关系。
本文将围绕这两个定律展开，从安培环路定理的推导开始，逐步深入探讨毕奥萨伐尔定律的相关内容。
1. 安培环路定理的推导安培环路定理是从麦克斯韦方程组中的法拉第电磁感应定律和高斯定理推导而来的。
首先我们回顾一下这两个定律的表达式：- 法拉第电磁感应定律：$\oint_{\partial \Sigma} \mathbf{E} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{\ell}=-\frac{\partial}{\partialt}\int_{\Sigma} \mathbf{B} \cdot \mathrm{d} \mathbf{S}$- 高斯定理：$\oint_{\partial V} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S} = \int_V \nabla \cdot \mathbf{F} \, \mathrm{d}V$其中，$\Sigma$ 为任意闭合曲面，$\partial \Sigma$ 为该闭合曲面的边界，$\mathbf{E}$ 为电场强度，$\mathbf{B}$ 为磁感应强度，$\mathbf{F}$ 为任意矢量场，$\mathbf{S}$ 为曲面的法向量，$\boldsymbol{\ell}$ 为曲线的切向量，$V$ 为任意闭合曲面围成的体积。
通过对法拉第电磁感应定律取环路积分，我们可以得到：$\oint_{\partial \gamma} \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell} = -\frac{\partial}{\partial t} \iint_{\Sigma}\mathbf{B} \cdot \mathrm{d} \mathbf{S}$再根据斯托克斯定理，上式可以转化为：$\oint_{\partial \gamma} \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell} = -\frac{\partial}{\partial t} \iint_{\Sigma}\nabla \times \mathbf{A} \cdot \mathrm{d} \mathbf{S}$其中，$\mathbf{A}$ 为矢量势。
毕奥萨伐尔定律、安培环路定律、磁通连续原理
认为： 磁场力 = 电流 磁感应强度
定义：磁感应强度 B (又称磁通密度)
B 0 4π
I 'd l eR l R2
0
4π
I dl (r r) l r r 3 单位 T（Wb/m2）
——毕奥—沙伐定律的积分形式
磁场对回路电流的作用力 磁场对运动电荷的作用力
F l Id l B
f qv B
B, r
BH
r H
0
H
单向电流励磁
B Br
Hc 0
Hc
H
正反电流励磁和退磁
3.2 磁通连续性原理
为了形象地描述磁场, 引入磁感应线(也称磁力线)。
➢ 磁力线有以下特点: (1) 磁力线是无头无尾的闭合曲线(或两端伸向无 穷远处)。所以磁场是涡旋场。 (2) 磁力线与载流电路互相铰链(即每条磁力线都 围绕着载流导线)。 (3) 任两条磁力线都不相交。
解: 采用圆柱坐标系，取电流 I dl，
B 0 Idl eR 4π L R2
式中 R 2 2 z 2
dl eR dz sin e dz sin e R dze
B
0
4π
L1
I dz
L2 ( 2 z 2 )3 2
0I [ L1 L2 ] 4π 2 L12 2 L22
Idl 是元电流，R 是两电流元之间距离。
两载流回路间的相互作用力
上式就是真空中的安培力定律。 ➢ 安培力定律是多年经实验验证的，是电磁学基础定律。
3.1.2 毕奥—沙伐定律 、磁感应强度
安培力定律公式可改写为：
F
Id l ( μ0
l
4π
l
I
d
l R2
eR
安培环路定理和毕奥萨伐尔定律
安培环路定理和毕奥萨伐尔定律是电磁学中重要的定理和法则，它们在描述电路中电流和磁场的关系上起着关键作用。
下面将分别对这两个定理进行介绍和解析。
一、安培环路定理安培环路定理又称安培定律，是电磁学中重要的定理之一，它描述了磁场中闭合曲线上的磁场强度与该曲线所围成的电流的关系。
安培环路定理可以总结为以下几点：1. 磁场环路定理的表述在闭合曲线上的磁场强度的矢量和等于该曲线所围成的电流的矢量和乘以一个常数μ0，即ΣH·dl=μ0ΣI。
2. 安培环路定理的数学表达式安培环路定理的数学表达式为∮H·dl=μ0∑I，其中∮H·dl表示磁场强度矢量沿着曲线的积分，μ0为真空磁导率，∑I表示曲线所围成电流的代数和。
3. 安培环路定理的应用安培环路定理可以用于计算闭合曲线中的磁场强度，是电磁学中重要的工具之一。
通过安培环路定理，可以求解复杂电路中的磁场分布，为电磁学的研究和应用提供了重要的方法。
二、毕奥萨伐尔定律毕奥萨伐尔定律是电磁学中描述通过导体中电流产生的磁场的定律，它对于电路和电磁场的分析具有重要意义。
以下是毕奥萨伐尔定律的主要内容：1. 毕奥萨伐尔定律的表述毕奥萨伐尔定律指出，通过导体中电流产生的磁场的强度与导体上任意点到电流元素的距离成正比，在大小和方向上满足右手定则。
2. 毕奥萨伐尔定律的数学表达式毕奥萨伐尔定律的数学表达式为B=μ0/4π∫(Idl×r)/r^3，其中B表示磁场强度，μ0为真空磁导率，Idl表示电流元素，r为导体上任意点到电流元素的距离。
3. 毕奥萨伐尔定律的应用毕奥萨伐尔定律可用于计算导体中的磁场分布，也可以应用于分析电路中的电流产生的磁场对周围环境的影响。
在电磁学的理论研究和工程实践中，毕奥萨伐尔定律都具有重要的应用价值。
总结安培环路定理和毕奥萨伐尔定律是描述电流和磁场之间关系的重要定理，在电磁学的理论研究和工程应用中起着关键作用。
通过学习和理解这两个定律，可以更好地理解电磁学的基本原理，为电路和电磁场的分析提供重要的方法和工具。
磁通连续性和安培环路定理
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36
§ 2.4 稳恒磁场的散度和旋度
DIVERGENCE AND CURL OF THE STEADY MAGNETIC FIELDS
穿进的磁通量必定等于穿出的磁通量，亦即通过任
意闭合曲面S 的净磁通量必定恒为零：
SB dS 0
(2.3-3)
这就是磁场的“高斯定理”.它反映了磁通量的连 续性，所以也被称为“磁通连续性原理”.
7
现在，我们从毕奥—萨伐尔定律出发，对(2.3-3)加 以证明.
我们考虑电流圈L中其中一个电流元Idl ，设它的流
我们已经得到稳恒磁场两个积分方程：
B dS 0
磁场“高斯定理”
S
SB dS V BdV
B 0
安培环路定理
Bdl
L
0
J dS
S
LB dl S ( B)dS
B 0J
37
B 0 J 则表示在J≠0处，▽×B ≠ 0，稳恒磁
场的B 线在电流分布点周围形成涡旋，
而在J = 0的地方， ▽×B = 0，无涡旋. （静电场 E 0 ）
0 I 4
0 I 4
4
0 I
得证
14
如果有多个电流 I1、I2 …...In穿过积分回路L，根
据叠加原理，即可得:
n
B dl L
0
Ii
i 1
I5 L
当电流以一定的密度J 分布于
以积分回路L为边界的曲面S上，
安培环路定理就表示为
毕奥萨伐尔定律及安培环路定理
2
说明r的：方向dB：从4电0 流Id元lr3所r在位置指向场点IdPl。
P
r
dB
•大小o：dBo1c2440Id1l 0rs2i7n(
N
/
A2
)
真空中的磁导率
dB
Idl
•方 为向I：dlI与dlr之r间的的方夹向角。。
r
dB 的方向垂直于Idl和r 所形
成的平面。 2. 一段载流导线产生的磁场：
1 0, 2 ;
I
B 0
2a
l 2
Idl
lr
o
1 a
2.半无限长载流直导线的磁场：
1
2
,
2
;
B 0I 4a
I
3.半无限长载流直导线的磁场：
1
,
2
;
B 0I (cos 1) 4a
I
P a
dB
Px
P a
6
4.载Id流l导//线r,延I长dl线上r任一0 点的B磁场0
a P
I
例2：一正方形载流线圈边长为 b,通有电流为 I，求正
.... . . .... . . . . ..
r
A1
p
A2
B
I
B 2
0 IR 2
x2 R2
3/ 2
l R cot dl R csc2 d
R2 l2 r2
B
dB
0 R2Indl
2
(
R2
l
2
3
)2
sin 2
R2 r2
R2
l2
R2
sin2
R2
csc2
B
2(
1
毕沙定律安培环路定理
P1dBr
2 R
dI
2
1
1 2
0nI
sin
××××××
d
l
×××××
I
B
1 2
0nI
cos2
cos1
方向：
B
B
右手螺旋
O
x
讨论
B
1 2
0nI
(cos
2
cos1
)
．．．．．．．．．．．
（1）无限长螺线管
1 π, 2 0 B 0nI
.A1
1
2
B
×××××××××××
（2）半无限长螺线管端点中心处，例 A1 点
dq 2π r dr
Q π R2
dI dq 2π r dr
T 2π
dI r dr
(2) 该电流元在场点 P 处旳磁场
dB
0r 2dI
3
0r 2
r dr
3
2 r2 x2 2
2
r
2
x
2
2
(3) 分析另一环状电流元在场点 P 处旳dB 旳方向，与 dB 方向相同。
(4) 统一变量，计算成果。
0 Ix
2π b
d
dx 2x
2
Bx
dBx
0 Id
2π b
bb22
d
dx 2x
2
0I
πb
arctan b 2d
By dBy
0 I
2π b
bb22
d
xdx 2 x2
0
P
dB dB
可由电流分布具有对称性得到。
B
Bx
0I
πb
arctan b 2d
稳恒磁场中的安培环路定理与毕奥-萨伐尔定律比较
稳恒磁场中的安培环路定理与毕奥-萨伐尔定律比较简介稳恒磁场是物理学中的重要概念，描述了一个恒定且均匀的磁场空间。
在磁场中，安培环路定理和毕奥-萨伐尔定律是两个关键的物理定律，用于描述磁场中磁场线圈的环路积分。
本文将比较这两个定律的异同点，探讨它们在不同场景中的适用性和优势。
安培环路定理安培环路定理是电磁学中的基本定律之一，它描述了通过闭合路径的磁场线圈的磁场总强度。
根据安培环路定理，通过一条封闭路径的磁场总强度等于路径上的环路积分。
数学表达式如下：$$\\oint \\vec{B} \\cdot d\\vec{l} = \\mu_0i_{\\text{enc}}$$在这里，$\\vec{B}$ 是磁场密度的矢量，$d\\vec{l}$ 是路径的微元位移，$\\mu_0$ 是真空的磁导率，$i_{\\text{enc}}$ 是当前通过路径围绕的电流。
毕奥-萨伐尔定律毕奥-萨伐尔定律描述了通过任意闭合曲面的磁场总通量，通过这个曲面的磁感应强度等于曲面上的通量。
数学表达式如下：$$\\Phi_B = \\oint \\vec{B} \\cdot d\\vec{A} = 0$$在这里，$\\Phi_B$ 是磁通量，$\\vec{B}$ 是磁场密度的矢量，$d\\vec{A}$ 是曲面元。
比较1.适用性：–安培环路定理更加适用于描述磁场中的环路磁场分布，特别适合计算磁场线圈产生的磁场。
–毕奥-萨伐尔定律更适用于描述磁场中的磁通量，特别适合分析磁场的分布和变化。
2.物理意义：–安培环路定理揭示了磁场中环路的特性，强调了路径积分和电流的关系。
–毕奥-萨伐尔定律关注磁通量的总量，强调了磁场的整体性质。
3.数学表达：–安培环路定理通过路径的积分表述磁场参数与电流之间的关系。
–毕奥-萨伐尔定律通过曲面上的通量表述磁场的整体情况。
4.应用：–安培环路定理在电路设计、电磁感应、发电机等方面有着广泛应用。
–毕奥-萨伐尔定律在磁场分析、磁铁设计、磁共振成像等领域具有重要意义。
电磁场课件9毕奥萨伐尔定律、安培环路定律、磁通连续原理-zyw教程
0 I 0 M dl
l
移项，除去系数
B l ( 0 M ) dl I
B H -M 0
H 与I 成右螺旋关系
定义：磁场强度
A/m
则有
H dl I
l
媒质安培环路定律
一般式：
H dl I
l
磁场强度 H 沿任一闭合路径的线积分等于穿过该回路 所包围面积的传导电流 I 的代数和。
P
长直导线的磁场
例 3.1.2 真空中有一载流为 I，半径为 R 的圆环， 试求其轴线上 P 点的 磁感应强度 B 。 解：元电流 Idl 在 P 点产生的 dB 为
dB
0 Id l e r
4π r
2
( Id l
er )
dB
2 4π( R 2 x 2 )
0 Idl sin
1820年，奥斯特发现通有 电流的导线能使附件的磁针发 生偏转，即电流的磁效应。 I
N S
同时，人们还发现： 磁铁对载流导线也有力的作用； 磁铁对运动电荷也有力的作用； 电流与电流之间也有力的相互作用。
安培对这些实验事实进行分析，提出物质磁性本质假说：
一切磁现象都起源于电荷的运动(电流)。
物质间的磁力相互作用是以什么方式进行的呢 ? 近代的理论和实验都表明，物质间的磁力作用是通过 磁场传递的。即
磁通量
磁场中,通过给定曲面的磁力线数目,称为通过该曲面的磁通量。
m B d S BdS cos
s
s
在国际单位制中,磁通量的单位为韦伯(wb)。
磁通连续性原理 由于磁力线是闭合曲线，既无始端又无终端， 因此，通过任一闭合曲面磁通量的代数和(净通量) 必为零。
《电磁场与电磁波》恒定磁场
分界面磁化电流: Km (M1 M2 ) en
Im
M dl
l
安培环路定理
1.真空中的安培环路定理
l B dl 0 I
真空磁场中，磁感应强度沿任意回路的 环路积分等于真空的磁导率乘以穿过该 回路所限定面的电流的代数和；
2.一般形式的安培环路定理
l B dl 0 ( I Im )
H dl H dl I
PaQ
PbQ
c
I
闭合回路PaQcP：
Q
H dl 2I PaQcP
H dl H dl 2I
PaQ
PcQ
规定:积分路径不穿过电流回路所限定的面。
2.标量磁位的边值问题 微分方程
B 0
H 0
H m
m 0
m m 0 均匀媒质：=0
2m 0 标量磁位的微分方程
Sd
（1）常磁链系统：
Wm
1 2
H BdV
V
V
B2 dV
20
B2Sd
2d
20 20S
f
Wm g
k const
2 20 S
吸力：F 2 f
3.虚位移法举例
例：分析电磁铁吸力，气隙截面积S，长d
1. 恒定磁场基本方程 恒定磁场的性质可由下面一组基本方程描述：
磁通连续性定理 SB dS 0 安培环路定理 l H dl I
各向同性线性媒质的构成方程
B 0 H J
B H
恒定磁场的性质：有旋无散。
2.分界面的衔接条件
B 的衔接条件
2
B2n B2
S h
1 B1
B1n
SB dS 0
B1nS B2nS 0 B1n B2n
安培定律和毕奥萨伐尔定律的区别
安培定律和毕奥萨伐尔定律的区别本文介绍安培定律和毕奥萨伐尔定律的定义、应用和区别。
下面是本店铺为大家精心编写的3篇《安培定律和毕奥萨伐尔定律的区别》，供大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。
《安培定律和毕奥萨伐尔定律的区别》篇1一、引言在电磁学中，安培定律和毕奥萨伐尔定律都是描述电流和磁场之间关系的定律。
它们都可以用来求解磁场强度 B，但它们的应用场景和推导方式略有不同。
本文将介绍它们的定义、应用和区别。
二、安培定律安培定律，也称为安培定理，是由法国物理学家安培提出的。
它描述了通过一条导线的电流元产生的磁场强度与该电流元长度之比。
数学表达式为：B = μ * J / (2 * pi * r)其中，B 为磁场强度，μ为真空磁导率，J 为电流元，r 为观测点与电流元之间的距离。
安培定律适用于求解无限长导线产生的磁场强度。
在实际应用中，可以通过将导线分割为许多无限小的单元，计算每个单元产生的磁场强度，再求和得到整个导线产生的磁场强度。
三、毕奥萨伐尔定律毕奥萨伐尔定律，也称为毕奥定律，是由丹麦物理学家毕奥萨伐尔提出的。
它描述了在静止的导线圈中，磁场强度 B 与电流 I 之间的关系。
数学表达式为：B = μ * I / (2 * pi * r)其中，B 为磁场强度，μ为真空磁导率，I 为电流，r 为观测点与导线圈之间的距离。
毕奥萨伐尔定律适用于求解静止的闭合导线圈产生的磁场强度。
在实际应用中，可以通过将导线圈分割为许多无限小的单元，计算每个单元产生的磁场强度，再求和得到整个导线圈产生的磁场强度。
四、区别与联系安培定律和毕奥萨伐尔定律都是描述电流和磁场之间关系的定律，但它们的应用场景和推导方式有所不同。
安培定律适用于求解无限长导线产生的磁场强度，可以通过将导线分割为许多无限小的单元，计算每个单元产生的磁场强度，再求和得到整个导线产生的磁场强度。
毕奥萨伐尔定律适用于求解静止的闭合导线圈产生的磁场强度，可以通过将导线圈分割为许多无限小的单元，计算每个单元产生的磁场强度，再求和得到整个导线圈产生的磁场强度。
大学物理第十二章
d m B d s m B d s
闭合曲面： m 单位:
s B dS
S
B cosdS
S
25
韦伯 Wb(T.m2 )
2. 磁场的高斯定理
由磁感应线的闭合性可知，对任意闭合曲面， 穿入的磁感应线条数与穿出的磁感应线条数相同， 因此，通过任何闭合曲面的磁通量为零。
L i
28
(2) 证明（以长直电流 I 的场为例）
1） 电流穿过环路
在垂直于导线的平面内任作一环路得到： B
0 I
2 πr
B dl B cos dl
dl cos rd L L 0 I 0 I 2π LB dl L 2πr rd 2π 0 d 0 I
9
（3） 磁感应强度
由实验结果可见，磁场中任何一点都存在一个 固有的特定方向和确定的比值Fm/(qv)，与试验电荷 的性质无关，反映了磁场在该点的方向和强弱特征， 为此，可用磁感应强度来描述该点性质： 大小：
方向：小磁针平衡时N 极的指向。 q x Fm 单位：特斯拉（T） 高斯（Gs） z 1T 104 Gs 人体心电激发的磁场约 310-10 T，地球磁场约 510-5 T，电磁铁约几（十）T，超导磁铁约几十T，原子 核附近约104 T，脉冲星约108 T。 10
§12.2 毕奥-萨伐尔定律
1. 毕奥–萨伐尔定律
(法国，J.B.Biot: 1774~1862; Felix Savart: 1791~1841)
回顾求任意形状带电体产生的电场 E ：
E dE
dq r 3 4π 0 r
r
dq
P
12
类似方法计算任意形状电流产生的磁场： 线电流
毕奥—萨伐尔定律,安培环路定理
8-4磁场的安培环路定理 由环路内电流决定 由环路内电流决定
r r ∫ B • dl = µ0 ∑ Ii = µ0(I2 − I3 )
环路所包围的电流
I1 I4
l
I2
I3
第八章
恒定电流的磁场
8-4磁场的安培环路定理 不变
?
I4
r r ∫ B • dl = µ0 ∑ Ii = µ0 (I2 − I3 )
r B2
r2
.
r1
r B 1
dϕ
cos θ1dl = − r1dϕ
r r r B ⋅ dl + B2 ⋅ dl = 0 1
cos θ 2 dl = r2 dϕ r
第八章
r r ∫ B• dl = 0
恒定电流的磁场
8-4磁场的安培环路定理 安培环路定理
v 在稳恒磁场中， 在稳恒磁场中，磁感应强度 B 在闭合曲线
r v 1 ∫ E • dS = ∑qi
s
ε0
r v ∫ B• dS = 0
磁力线闭合、 磁力线闭合、 无自由磁荷 磁场是于正电荷、 止于负电荷。 止于负电荷。 静电场是有源场
第八章
r r 二、安培环路定理的应用 ∫ B• dl = µ0 ∑Ii
计算磁感应强度 1. 无限长载流圆柱导体 已知： 已知：I、R 电流沿轴向， 电流沿轴向，在截面上均匀分布 分析对称性 电流分布——轴对称 轴对称 电流分布 磁场分布——轴对称 轴对称 磁场分布
r r ∫ B • dl = µ0nabI
r ............... B
a
b
µ0nI 内 B= 外 0
第八章
⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗ ⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗
恒定电流的磁场
毕奥萨伐尔定律、安培环路定律、磁通连续原理共38页文档
6、法律的基础有两个，而且只有两个……公平和实用。——伯克 7、有两种和平的暴力，那就是法律和礼节。——歌德
8、法律就是秩序，有好的法律才有好的秩序。——亚里士多德 9、上帝把法律和公平凑合在一起，可是人类却把它拆开。——查·科尔顿 10、一切法律都是无用的，因为好人用不着它们，而坏人又不会因为它们而变得规矩起来。——德谟耶克斯
END
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
安培定律和毕奥-萨伐尔定律
安培定律和毕奥-萨伐尔定律安培定律和毕奥--萨伐尔定律1.物质的磁性与电流的磁效应从天然磁体到指南针的发明人类对磁现象的最初认识，是发现天然磁体之间存在互相吸引或排斥作用，以及天然磁体对诸如铁这类物体产生吸引力.人们观察到，任何磁性物体都有两个不同的“磁极”，同性磁极互相排斥，异性磁极互相吸引.后来又发现，如果将一根条形小磁体的中心支撑起来并让它可以自由转动,小磁体的某一极总是转向北方.人们由此认识到，原来我们所居住的地球就是一个巨大的天然磁体.磁性物体中指向北方的那个极被称为“北磁极”或N极，指向南方的另一极称为“南磁极”或S极.中国人对磁现象的发现和应用，比西方人要早得多.春秋战国时期（公元前770-221年）的文献已有“磁石吸铁”的记载，北宋时期已经利用磁针制造指南针并应用于航海.至公元1600年，英国人吉尔伯特（M.Gilbert）发表《论磁体》一书，这被认为是人类对磁现象系统而定性研究的最早著作.从库仑到奥斯特 From Coulomb To Oersted库仑（C.A.de Coulomb）大家已经知道，1785年,法国的库仑通过实验，总结出静电相互作用的规律.大约同期，库仑也通过实验对磁力进行了测量，并指出与电力一样，磁力“与磁分子之间的距离平方成反比”. 库仑的“磁分子”包含有南、北两种磁荷，它们在磁体内首尾相吸形成“磁分子纤维”,使磁荷不能象电荷那样从一个物体转移到另一个物体.但是，电力与磁力有关吗？库仑和他同时代的许多物理学家都认为：虽然磁力与电力在距离关系上有相似性，但并无同一性. 奥斯特（H.C.Oersted）然而，丹麦人奥斯特在德国哲学家康德（I.Kant）和谢林（W.J.Schelling）关于自然力转化与统一的思想影响下，经过20多年对电力、磁力及化学亲和力等的广泛研究，终于在1820年4月发现了电流的磁效应――通有电流的导线使其附近的磁针发生了偏转！奥斯特的伟大发现，轰动了当时欧洲的物理学界，由此开创了实验上与理论上研究电磁统一性的纪元.从奥斯特到安培、毕奥和萨伐尔安培（A.M.Ampere）法国物理学家安培获知奥斯特的发现之后，很快（1820年9月）就发现两根通电流的导线之间也存在相互作用力，并于同年12月发表了这种相互作用力的定量公式――现在我们称之为安培定律. (见教材P336)安培进而用“分子电流”假说解释磁体的磁性――磁性体内分子电流的有规排列，呈现出宏观磁化电流，正是宏观磁化电流使之产生宏观磁性（见教材P336）毕奥和萨伐尔（J.B.Biot and F.Savart）也是在1820年，法国物理学家毕奥和萨伐尔,通过实验测量了长直电流线附近小磁针的受力规律,发表了题为“运动中的电传递给金属的磁化力”的论文，后来人们称之为毕奥--萨伐尔定律.稍后，在数学家拉普拉斯的帮助下，以数学公式表示出这一定律.从奥斯特到安培，两个引人深思的问题一个引人深思的问题是：从奥斯特发现电流磁效应（1820年4月）到安培发现电流相互作用的规律（1820年9月），前后只是相差5个月，我们可以从中获得什么教益？另一个同样引人深思的问题是：安培提出磁性的“分子电流假说”，比1897年汤姆孙发现电子，以及后来发现物质的原子和分子电结构，早了70多年以上.我们又可以从中获得什么教益？安培的“分子电流圈”，按现在的理解，就是分子内的电荷运动形成的磁偶极矩m .由照经典模型，分子磁偶极矩矢量描述为其中，I 是分子电流强度，系.为电流圈的面积矢量，规定它的方向与电流流向成右手螺旋关今天，人们对磁现象的认识，已经比安培那个时代深刻得多：不仅原子和分子中的电子绕核运动形成一定的“轨道磁矩”，而且，电子、质子等“基本的”带电粒子，都有一定的自旋磁矩.分子的总磁矩是所有粒子轨道磁矩和自旋磁矩的矢量和.磁场读者知道，电荷之间的相互作用，通过电荷的电场传递.电流之间的相互作用，则是通过电流的磁场传递的.如果我们在一块水平放置的平板上，放上一块条形磁铁，再在其周围撒上小铁粉，我们将会看到，小铁粉会呈现很有规律性的排列，如图2-1.这是由于：磁铁内分子电流（磁矩）的有规排列所形成的宏观“磁化”电流产生了宏观磁场，在这磁场作用下，小铁粉（小磁矩）发生了朝着“磁力线”方向的偏转而呈现有规律的排列.同样的，两条电流线之所以存在互作用力，是一条电流线产生的磁场，作用于另一条电流线的结果.2.安培定律（Amperes’ Law）（教材P337）现在，让我们写出安培作用定律真空中，两个稳恒的电流回路L1和L2 ，电流元I1dl1 对I2dl2的作用力为(2.2-1)其中，I1和I2 是两个回路的电流强度，r12是从I1dl1到I2dl2的距离，矢量.是这方向上的单位在MKSA单位制中，比例常数（2.2-2）其中，m0称为真空磁导率，它与真空介电常数?0 （真空电容率）共同构成作为基本物理常数的真空中光速C：（2.2-3）读者将会看到，电流强度I 的单位――“安培”，是由(2.2-1）来定义的.由于力的单位为牛顿，距离的单位为米，故从定义“安培”这一需要出发，真空磁导率取值为（2.2-4）这也是真空介电常数?0为什么由下式表示（2.2-5）的原因.由于回路L1的每个电流元对另一回路L2每个电流元都将产生作用力，因此，回路L1对回路L2的合力应当是一个二重积分：（2.2-6)回路L2 对回路L1 的作用力则是（2.2-7)其中，r21 = r12,是电流元I2dl2到I1dl1的方向上的单位矢量.可以证明，两个稳恒电流回路之间的作用力与反作用力，大小相等方向相反： F21 = -F12（2.2-8)但是，对于两个“孤立的稳恒电流元”，一般地dF21 ≠ - dF12 这是因为：稳恒电流必定构成闭合回路，既孤立又“稳恒”的电流元实际上并不存在.3.磁感应强度 (magnetic induction) （P346）前面我们已指出，电流之间的相互作用是通过磁场来传递的.因此，安培定律（2.2-6)中，电流回路L2受到的合力，实质上是电流回路L1产生的磁场对它施加的总作用力，因此，安培定律实质上是：感谢您的阅读，祝您生活愉快。
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朱英伟
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第三章 恒定磁场
导体中通有直流电流时，在导体内部和它周围 的媒质中，不仅有电场还有不随时间变化的磁场， 称为恒定磁场。
恒定磁场和静电场是性质完全不同的两种场， 但在分析方法上却有许多共同之处。学习本章时， 注意类比法的应用。
实验测得电流回路 l’ 对电流回路 l 的作用力F
F 0
Idl (I 'dl ' eR )
4π l l'
R2
式中， 为真空中的磁导率 0
Idl 是元电流，R 是两电流元之间距离。
两载流回路间的相互作用力
上式就是真空中的安培力定律。 ➢ 安培力定律是多年经实验验证的，是电磁学基础定律。
3.1.2 毕奥—沙伐定律 、磁感应强度
比较静电场与恒定磁场的知识结构和分析方法。
基本实验定律 (安培力定律） 磁感应强度（B）(毕奥—沙伐定律)
H 的旋度 基本方程 B 的散度
磁位(m) 分界面衔接条件 磁矢位（A）
数值法
边值问题
解析法
有限差分法 有限元法 分离变量法 镜像法
电感的计算 磁场能量及力 磁路及其计算
§3.0 磁力和磁场 磁感应强度
m IS
B
0m 2 x3
3.2 安培环路定律
考虑磁场矢量线积分的特性。 3.2.1 真空安培环路定律
首先计算简单实例——无限长直导线的磁场环量， 然后推广——认为任意情形下磁场的环量都满足特例的结果 这一结果称为安培环路定理。
3.2.2 媒质的磁化及一般形式安培定律
引入磁场强度 H ，得到一般形式的安培环路定律。
B Bxex
0
4π(R2
I
x2
)
sin
dl
l
e
x
圆形载流回路轴线上的磁场分布
讨论：当 x = 0 时
B0
0I 2a
0
4π(R2
I
x2
)
R R2
x2
2πRex
当 x R时，r x
B
0IR 2 2x3
0 IR 2
2(R2 x2 )3/2
ex
定义磁偶极子 磁矩
磁偶极子产生的磁场
Ñ B J Bdl 0I Ñ lB g d l S ( B )g d S 0 SJ g d S
0
说明：
A. 恒定磁场是有旋场，磁场的涡旋源是电流； B. 当 I 的方向与环路的方向满足右手螺旋法则时，I 取正； C. 安培环路定律中，I 是穿过以环路为边界交链电流，
B 是环路内外所有电流产生的总的磁感应强度的矢量和。
解：元电流 Idl 在 P 点产生的 dB 为
dB
0
4π
Idl er r2
(Idl
er )
dB
0 Idl
sin
2
4π(R2 x2 )
圆形载流回路
根据圆环电流对 P 点的对称性， dBx dB sin dBy 0 sin θ R / r
dBx
0 Idl
sin
2
4π(R2 x2)
sin
安培对这些实验事实进行分析，提出物质磁性本质假说：
一切磁现象都起源于电荷的运动(电流)。
物质间的磁力相互作用是以什么方式进行的呢? 近代的理论和实验都表明，物质间的磁力作用是通过 磁场传递的。即
运动电荷
磁场
运动电荷
✓磁场和电场一样，也是物质存在的一种形式。
3.1 磁感应强度
Magnetic Flux Density 3.1.1 安培力定律 (两电流回路之间的作用力 )
一.磁力和磁场 早期磁现象磁铁
磁铁之间有相互作用。
(1)人造磁铁、天然磁铁有吸引铁、鈷、镍的性质—磁性。 (2) 磁铁有两个极：N，S。 (3) 磁极间存在相互作用力：同极相斥，异极相吸。
1820年，奥斯特发现通有 电流的导线能使附件的磁针发 生偏转，即电流的磁效应。
I
N S
同时，人们还发现： 磁铁对载流导线也有力的作用； 磁铁对运动电荷也有力的作用； 电流与电流之间也有力的相互作用。
3.2.1 真空中的安培环路定律
计算以无限长直导线为圆心的任意圆形环路的磁场环量。
长直导线的磁场
B
0 I 2
e
B
（1）安培环路与磁力线重合
Ñ LBdl
2
0
0Id 2
0 I 2
2
0
d
0I
（2）安培环路与磁力线不重合
Ñ LBdlLBCosdl dlcosd
2
0
0I 2
d
0I
dϕ
（3）安培环路不交链电流
是 Idl 与 r 之间的夹角。
B
2.磁场方向：由右手螺旋法则确定。
例3.1.1 试求有限长直载流导线产生的磁感应强度。
解: 采用圆柱坐标系，取电流 I dl，
B 0 Idl eR 4π L R2
式中 R 2 2 z 2
dl eR dz sin e dz sin e R dze
B
0
4π
L1 L2
(
2
I
z2)3
2
dz
0I [ L1 L2 ] 4π 2 L12 2 L22
0I 4π
(sin 1
sin
2)
当 L1 , L2
时，B
0I 2π
e
Idl
P
长直导线的磁场
例 3.1.2 真空中有一载流为 I，半径为 R 的圆环， 试求其轴线上 P 点的 磁感应强度 B 。
➢对于具有对称性分布的磁场，应用安培环路定律求解磁感应 强度 B 比毕奥-沙法尔定律简便。
例 3.2.2 试求载流无限长同轴电缆产生的磁感应强度。
解： 平行平面磁场, B B( )e
——毕奥—沙伐定律的积分形式
磁场对回路电流的作用力 磁场对运动电荷的作用力
F l Id l B
f qv B
安培力定律 洛伦兹力
毕奥—沙伐定律的微分形式 真空中，电流元 Idl 在 P点产生的磁场为 ：
Idl Idl
B P
dB
o 4
Idl er r2
r
1.磁场的大小：
dB o Idlsin 4 r 2
L B dlLBC d o l0 0s2 0I d0
（4）安培环路与若干电流交链
B L
dl
0
Ik
安培环路定律：在真空中，磁感应强度 B 沿任何闭合路径 l
的线积分等于该闭合路径 l 所包围的电流强度的代数和的 o 倍。
2.安培环路定律的微分形式
对任意电流产生磁场沿闭合回路的环量，均满足安培环路定理
安培力定律公式可改写为：
F Id l ( μ0 Id l eR )
l
4π l R2
IB
类比电场力计算式
F qE
认为： 磁场力 = 电流 磁感应强度
定义：磁感应强度 B (又称磁通密度)
B 0 4π
I 'd l eR l R2
0
4π
I dl (r r) l r r 3 单位 T（Wb/m2）