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多元线性回归模型的估计、回归系数和回归方程的检验、标准化回归方程、预测

实验二：多元线性回归模型的估计、回归系数和回归方程的检验、标准化回归方程、预测实验题目：研究货运总量y（万吨）与工业总产量x1(亿元)，农业总产值x2（亿元），居民非商品支出x3（亿元）的关系。

数据如表：1.计算y,x1,x2,x3的相关系数矩阵；2.求y关于x1,x2,x3的三元线性回归方程；3.对所求得的方程作拟合度检验4.对回归方程作显著性检验；5.对每一个回归系数作显著性检验；6.如果有的回归系数没有通过显著性检验，将其剔除，重新建立回归方程，再作回归方程的显著性检验和回归系数的显著性检验；7.求出新回归方程的每一个回归系数的置信水平为９５％的置信区间；8.求标准化回归方程；9.求当x01=75,x1=42, x2=3.1时的y的预测值，给定置信水平为95%，用SPSS 软件计算精确置信区间，手工计算近似预测区间？10 结合回归方程对问题作一些基本分析。

数据如下：y x1 x2 x31607035 1.02607540 2.42106540 2.02657442 3.02407238 1.22206845 1.52757842 4.01606636 2.02757044 3.22506542 3.0实验目的：掌握多元线性回归模型的估计、回归系数和回归方程的检验、标准化回归方程、预测SPSS主要操作：操作步骤类似于一元线性回归模型的方法SPSS输出结果及答案：1:y,x1,x2,x3的相关系数矩阵如下表：由上述输出结果知：y=-348.280+3.754x1+7.101x2+12.447x3 3模型汇总b模型R R 方调整 R 方标准估计的误差1 .898a.806 .708 23.44188a. 预测变量: (常量), 居民非商品支出X3（亿元）, 工业总产值X1（亿元）, 农业总产值X2（亿元）。

b. 因变量: 货运总量Y（万吨）由上述输出结果知：调整R square=0.708,拟合的较好4Anova b模型平方和df 均方 F Sig.1 回归13655.370 3 4551.790 8.283 .015a残差3297.130 6 549.522总计16952.500 9a. 预测变量: (常量), 居民非商品支出X3（亿元）, 工业总产值X1（亿元）, 农业总产值X2（亿元）。

多元线性回归模型的各种检验方法

对多元线性回归模型的各种检验方法对于形如u X X X Y k k +++++=ββββ 22110 （1）的回归模型，我们可能需要对其实施如下的检验中的一种或几种检验：一、对单个总体参数的假设检验：t 检验在这种检验中，我们需要对模型中的某个（总体）参数是否满足虚拟假设0H ：j j a =β，做出具有统计意义（即带有一定的置信度）的检验，其中j a 为某个给定的已知数。

特别是，当j a =0时，称为参数的（狭义意义上的）显著性检验。

如果拒绝0H ，说明解释变量j X 对被解释变量Y 具有显著的线性影响，估计值j βˆ才敢使用；反之，说明解释变量j X 对被解释变量Y 不具有显著的线性影响，估计值j βˆ对我们就没有意义。

具体检验方法如下：（1）给定虚拟假设 0H ：j j a =β；（2）计算统计量 )ˆ(ˆ)ˆ()(ˆjj j j j j Se a Se E t βββββ-=-= 的数值； 11ˆ)ˆ(++-==j j jj jj j C C Se 1T X)(X ，其中σβ（3）在给定的显著水平α下（α不能大于1.0即 10%，也即我们不能在置信度小于90%以下的前提下做结论），查出双尾t （1--k n ）分布的临界值2/αt ；（4）如果出现 2/αt t >的情况，检验结论为拒绝0H ；反之，无法拒绝0H 。

t 检验方法的关键是统计量 )ˆ(ˆj jj Se t βββ-=必须服从已知的t 分布函数。

什么情况或条件下才会这样呢？这需要我们建立的模型满足如下的条件（或假定）：（1）随机抽样性。

我们有一个含n 次观测的随机样(){}n i Y X X X i ik i i ,,2,1:,,,,21 =。

这保证了误差u 自身的随机性，即无自相关性，0))())(((=--j j i i u E u u E u Cov 。

（2）条件期望值为0。

给定解释变量的任何值，误差u 的期望值为零。

多元线性回归模型的统计检验

在总体上存在显著的线性关系； ❖ 若F F (k , n-k-1)，接受H0 ，模型在总体
上的线性关系不显著。
12ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
❖F检验只是把模型作为一个整体，对总体线性关系进行检验；
❖方程在总体上存在显著的线性关系每个解释变量对被解释变量都具有显著影响
❖还应对模型中的各个解释变量进行显著性检验，以决定它们是否应当作为解释变量被保留在模型之中。
可决系数R2 ESS 1 RSS
TSS
TSS
R2越接近于1，模型的拟合效果越好。
2
问题
❖ 如果在模型中增加一个解释变量，R2往往会增大（Why?）
❖ 容易产生错觉：要使模型拟合得好，只要增加解释变量即可。
❖ 但实际上，通过增加解释变量引起的R2的增大与拟合好坏无关。
❖ R2度量模型拟合效果失真，R2需调整。
9
若H0 成立，则有：
F
ESS / k
RSS /n k
1
~
F (k
,
n
k
1)
由样本数据求出F统计量的值。
（3）给定显著性水平，查表得到临界
值F(k , n-k-1)。
10
F检验的拒绝域
f (F)
1-
F F
11
（4）比较、判断 ❖ 若F F (k , n-k-1)，拒绝H0，接受H1 ，模型
开关
类型，尽量选择平头
键
类的按键，以防按键
下陷。
2.开关按键和塑胶按
F检验的思想来自于TSS的分解： TSS = ESS + RSS
其中，ESS表示X对Y的线性作用结果。
考虑比值：ESS / RSS 如果这个比值较大，则X对Y的解释程度较高，可认为二者在总体上存在线性关系；

多元线性回归模型的各种检验方法

特别是，当j a =0时，称为参数的（狭义意义上的）显著性检验。

具体检验方法如下：（1）给定虚拟假设 0H ：j j a =β；（2）计算统计量 )ˆ(ˆ)ˆ()(ˆjj j j j j Se a Se E t βββββ-=-= 的数值； 11ˆ)ˆ(++-==j j jj jj j C C Se 1T X)(X ，其中σβ（3）在给定的显著水平α下（α不能大于1.0即10%，也即我们不能在置信度小于90%以下的前提下做结论），查出双尾t （1--k n ）分布的临界值2/αt ；（4）如果出现 2/αt t >的情况，检验结论为拒绝0H ；反之，无法拒绝0H 。

t 检验方法的关键是统计量 )ˆ(ˆj jj Se t βββ-=必须服从已知的t 分布函数。

什么情况或条件下才会这样呢？这需要我们建立的模型满足如下的条件（或假定）：（1）随机抽样性。

我们有一个含n 次观测的随机样(){}n i Y X X X i ik i i ,,2,1:,,,,21 =。

这保证了误差u 自身的随机性，即无自相关性，0))())(((=--j j i i u E u u E u Cov 。

（2）条件期望值为0。

给定解释变量的任何值，误差u 的期望值为零。

多元线性回归模型检验

多元线性回归模型检验引言多元线性回归是一种常用的统计分析方法，用于研究两个或多个自变量对目标变量的影响。

在应用多元线性回归前，我们需要确保所建立的模型符合一定的假设，并进行模型检验，以保证结果的可靠性和准确性。

本文将介绍多元线性回归模型的几个常见检验方法，并通过实例进行说明。

一、多元线性回归模型多元线性回归模型的一般形式可以表示为：$$Y = \\beta_0 + \\beta_1X_1 + \\beta_2X_2 + \\ldots + \\beta_pX_p +\\varepsilon$$其中，Y为目标变量，$X_1,X_2,\\ldots,X_p$为自变量，$\\beta_0,\\beta_1,\\beta_2,\\ldots,\\beta_p$为模型的回归系数，$\\varepsilon$为误差项。

多元线性回归模型的目标是通过调整回归系数，使得模型预测值和实际观测值之间的误差最小化。

二、多元线性回归模型检验在进行多元线性回归分析时，我们需要对所建立的模型进行检验，以验证假设是否成立。

常用的多元线性回归模型检验方法包括：1. 假设检验多元线性回归模型的假设包括：线性关系假设、误差项独立同分布假设、误差项方差齐性假设和误差项正态分布假设。

我们可以通过假设检验来验证这些假设的成立情况。

•线性关系假设检验：通过F检验或t检验对回归系数的显著性进行检验，以确定自变量与目标变量之间是否存在线性关系。

•误差项独立同分布假设检验：通过Durbin-Watson检验、Ljung-Box 检验等统计检验，判断误差项是否具有自相关性。

•误差项方差齐性假设检验：通过Cochrane-Orcutt检验、White检验等统计检验，判断误差项的方差是否齐性。

•误差项正态分布假设检验：通过残差的正态概率图和Shapiro-Wilk 检验等方法，检验误差项是否满足正态分布假设。

2. 多重共线性检验多重共线性是指在多元线性回归模型中，自变量之间存在高度相关性的情况。

多元线性回归模型的各种检验方法

对多元线性回归模型的各种检验方法对于形如u X X X Y k k +++++=ββββΛΛ22110 （1）的回归模型，我们可能需要对其实施如下的检验中的一种或几种检验：一、对单个总体参数的假设检验：t 检验在这种检验中，我们需要对模型中的某个（总体）参数是否满足虚拟假设0H ：j j a =β，做出具有统计意义（即带有一定的置信度）的检验，其中j a 为某个给定的已知数。

特别是，当j a =0时，称为参数的（狭义意义上的）显著性检验。

具体检验方法如下：（1）给定虚拟假设 0H ：j j a =β；（2）计算统计量 )ˆ(ˆ)ˆ()(ˆjj j j j j Se a Se E t βββββ-=-= 的数值； 11ˆ)ˆ(++-==j j jj jj j C C Se 1T X)(X ，其中σβ（3）在给定的显著水平α下（α不能大于1.0即10%，也即我们不能在置信度小于90%以下的前提下做结论），查出双尾t （1--k n ）分布的临界值2/αt ；（4）如果出现 2/αt t >的情况，检验结论为拒绝0H ；反之，无法拒绝0H 。

t 检验方法的关键是统计量 )ˆ(ˆj jj Se t βββ-=必须服从已知的t 分布函数。

什么情况或条件下才会这样呢？这需要我们建立的模型满足如下的条件（或假定）：（1）随机抽样性。

我们有一个含n 次观测的随机样(){}n i Y X X X i ik i i ,,2,1:,,,,21ΛΛ=。

这保证了误差u 自身的随机性，即无自相关性，0))())(((=--j j i i u E u u E u Cov 。

（2）条件期望值为0。

给定解释变量的任何值，误差u 的期望值为零。

多元线性回归模型的各种检验方法

多元线性回归模型的各种检验方法多元线性回归模型是常用于数据分析和预测的方法，它可以用于研究多个自变量与因变量之间的关系。

然而，仅仅使用多元线性回归模型进行参数估计是不够的，我们还需要对模型进行各种检验以确保模型的可靠性和有效性。

下面将介绍一些常用的多元线性回归模型的检验方法。

首先是模型的整体显著性检验。

在多元线性回归模型中，我们希望知道所构建的模型是否能够显著解释因变量的变异。

常见的整体显著性检验方法有F检验和显著性检查表。

F检验是通过比较回归模型的回归平方和和残差平方和的比值来对模型的整体显著性进行检验。

若F值大于一定的临界值，则可以拒绝原假设，即模型具有整体显著性。

通常，临界值是根据置信水平和自由度来确定的。

显著性检查表是一种常用的汇总表格，它可以提供关于回归模型的显著性水平、标准误差、置信区间和显著性因素的信息。

通过查找显著性检查表，我们可以评估模型的显著性。

其次是模型的参数估计检验。

在多元线性回归模型中，我们希望知道每个自变量对因变量的影响是否显著。

通常使用t检验来对模型的参数估计进行检验。

t检验是通过对模型的回归系数进行检验来评估自变量的影响是否显著。

与F检验类似，t检验也是基于假设检验原理，通过比较t值和临界值来决定是否拒绝原假设。

通常，临界值可以通过t分布表或计算机软件来获取。

另外，我们还可以使用相关系数来评估模型的拟合程度。

相关系数可以用来衡量自变量与因变量之间的线性关系强度，常见的相关系数包括Pearson相关系数和Spearman相关系数。

Pearson相关系数适用于自变量和因变量都是连续变量的情况，它衡量的是两个变量之间的线性关系强度。

取值范围为-1到1，绝对值越接近1表示关系越强。

Spearman相关系数适用于自变量和因变量至少有一个是有序变量或者都是有序变量的情况，它衡量的是两个变量之间的单调关系强度。

取值范围也是-1到1，绝对值越接近1表示关系越强。

最后，我们还可以使用残差分析来评估模型的拟合程度和误差分布。

计量经济学第三章第3节多元线性回归模型的显著性检验

ˆ b ˆ X b ˆY ˆ b Y t 0 1 t 2 t 1 ˆ b ˆ X b ˆ Y b ˆY ˆ b Y
t 0 1 t 2 t 1
3 t 2
其中t为当前期变量，t-k称为k期滞后变量。
1) 使用软件估计模型
将之前已经建立的Workfile文件打开点击菜单中的“Quick”→“Estimate Equations”
2
2
2
*赤池信息准则和施瓦茨准则
• 为了比较所含解释变量个数不同的多元回归模型的拟合优度，常用的标准还有: 赤池信息准则（Akaike information criterion, AIC） e e 2( k 1) AIC ln n n 施瓦茨准则（Schwarz criterion，SC）
Yi b0 b1 X1i b2 X 2i bk X ki ui
样本回归方程为：
ˆ b ˆ X b ˆ X b ˆ X ˆ b Y i 0 1 1i 2 2i k ki
我们将Yi与其平均值Y之间的离差分解如下 ˆ ) (Y ˆ Y ) Y Y (Y Y
B)调整后的拟合优度(样本决定系数)
RSS n k 1 n 1 RSS R 1 1 TSS n 1 n k 1 TSS n 1 2 2 即，R 1 ( 1 R ) n k 1
2
说明：
n 1 “ ”与“1-R 2? 一增一减，此消彼长 n k 1 从而保证R 2不会随解释变量个数的变化产生大的波动。
在对话框中输入：
y c x y(-1)
y c x y(-1) y(-2)
字母之间用空格分隔。注：滞后变量不需重新形成新的时间序列，软件自动运算实现，k期滞后变量，用y(-k)表示。

多元线性回归模型的统计检验

2、t检验
设计原假设与备择假设：
H0：i=0 H1：i0
（i=1,2…k）
给定显著性水平，可得到临界值t/2(n-k-1)，由
样本求出统计量t的数值，通过
|t| t/2(n-k-1) 或 |t|t/2(n-k-1)
来拒绝或接受原假设H0，从而判定对应的解释变量是
否应包括在模型中。
注意：一元线性回归中，t检验与F检验一致
因此，必须对每个解释变量进行显著性检验，以决定是否作为解释变量被保留在模型中。
这一检验是由对变量的 t 检验完成的。
1、t统计量
由于
以cii表示矩阵(X’X)-1 主对角线上的第i个元素，于是参数估计量的方差为：
其中2为随机误差项的方差，在实际计算时，用它的估计量代替:
因此，可构造如下t统计量
给定显著性水平 =0.05，查分布表，得到临界值：
一元例：F(1,21)=4.32
二元例： F(2,19)=3.52
显然有 F F(k,n-k-1) 即二个模型的线性关系在95%的水平下显著成立。
2、关于拟合优度检验与方程显著性检验关系的讨论
由 R2 1RS/S(nk1) 与
TS/S(n1)
可推出：
在中国居民人均收入-消费支出二元模型例中, 给定=0.05，查表得临界值：t0.025(19)=2.093
从回归计算中已得到：
计算得参数的置信区间：
0 ：(44.284, 197.116) 1 ： (0.0937, 0.3489 ) 2 ：(0.0951, 0.8080)
如何才能缩小置信区间？
•增大样本容量n，因为在同样的样本容量下，n越大，t分布表中的临界值越小，同时，增大样本容量，还可使样本参数估计量的标准差减小；

多元线性回归模型的各种检验方法

特别是，当j a =0时，称为参数的（狭义意义上的）显著性检验。

t 检验方法的关键是统计量 )ˆ(ˆj jj Se t βββ-=必须服从已知的t 分布函数。

什么情况或条件下才会这样呢？这需要我们建立的模型满足如下的条件（或假定）：（1）随机抽样性。

我们有一个含n 次观测的随机样(){}n i Y X X X i ik i i ,,2,1:,,,,21 =。

这保证了误差u 自身的随机性，即无自相关性，0))())(((=--j j i i u E u u E u Cov 。

（2）条件期望值为0。

给定解释变量的任何值，误差u 的期望值为零。

多元线性回归模型检验

多元线性回归模型检验引言多元线性回归模型是一种常用的统计分析方法，用于研究多个自变量与因变量之间的关系。

在建立多元线性回归模型后，我们需要对其进行一系列的检验，以确保模型的准确性和可靠性。

本文将介绍多元线性回归模型的检验方法。

模型假设在进行多元线性回归模型检验前，我们首先需要明确模型所假设的条件。

多元线性回归模型假设以下几个条件：1.线性关系：自变量和因变量之间存在线性关系。

2.独立性：不同自变量之间相互独立。

3.同方差性：模型的误差项在自变量的每个取值下具有相同的方差。

4.正态性：误差项服从正态分布。

多元线性回归模型检验方法1. 相关系数检验在建立多元线性回归模型时，我们首先需要对自变量和因变量之间的相关关系进行检验。

常用的方法是计算各个自变量和因变量之间的相关系数，并通过假设检验确定其显著性。

2. 模型整体显著性检验在多元线性回归模型中，我们需要判断整体回归关系是否显著。

常用的方法是计算模型的F统计量，并通过显著性检验确定其结果。

F统计量的计算公式如下：$$ F = \\frac{(SSR/k)}{(SSE/(n-k-1))} $$其中，SSR为回归平方和，k为模型自变量个数，SSE为误差平方和，n为样本的观测值个数。

F统计量服从自由度为k和n-k-1的F分布。

3. 自变量的显著性检验除了整体显著性检验外，我们还可以对每个自变量进行显著性检验，以确定其对因变量的贡献程度。

常用的方法是计算自变量的t统计量，并通过显著性检验确定其结果。

t统计量的计算公式如下：$$ t = \\frac{\\hat{\\beta_j}}{\\sqrt{MSE \\cdot (X^TX)^{-1}_{jj}}} $$其中，$\\hat{\\beta_j}$为第j个自变量的估计系数，MSE为均方误差，(X T X)jj−1为自变量矩阵X的逆矩阵元素。

4. 模型的拟合度检验除了检验自变量的显著性外，我们还需要评估模型的拟合度。

第三章多元线性回归模型（stata）

第三章多元线性回归模型（stata）⼀、邹式检验（突变点检验、稳定性检验）1.突变点检验1985—2002年中国家⽤汽车拥有量（t y ，万辆）与城镇居民家庭⼈均可⽀配收⼊（t x ，元），数据见表。

表中国家⽤汽车拥有量（t y ）与城镇居民家庭⼈均可⽀配收⼊（t x ）数据年份 t y （万辆） t x （元）年份 t y （万辆） t x （元）1985 1994 1986 1995 4283 1987 1996 1988 1997 1989 1998 1990 1999 5854 1991 2000 6280 1992 2001 19932002下图是关于t y 和t x 的散点图：从上图可以看出，1996年是⼀个突变点，当城镇居民家庭⼈均可⽀配收⼊突破元之后，城镇居民家庭购买家⽤汽车的能⼒⼤⼤提⾼。

现在⽤邹突变点检验法检验1996年是不是⼀个突变点。

：两个字样本（1985—1995年，1996—2002年）相对应的模型回归参数相等HH：备择假设是两个⼦样本对应的回归参数不等。

1在1985—2002年样本范围内做回归。

在回归结果中作如下步骤(邹⽒检验)：1、 Chow 模型稳定性检验（lrtest）⽤似然⽐作chow检验，chow检验的零假设：⽆结构变化，⼩概率发⽣结果变化* 估计前阶段模型* 估计后阶段模型* 整个区间上的估计结果保存为All* ⽤似然⽐检验检验结构没有发⽣变化的约束得到结果如下;(如何解释)2.稳定性检验（邹⽒稳定性检验）以表为例，在⽤1985—1999年数据建⽴的模型基础上，检验当把2000—2002年数据加⼊样本后，模型的回归参数时候出现显著性变化。

* ⽤F-test作chow间断点检验检验模型稳定性* chow检验的零假设：⽆结构变化，⼩概率发⽣结果变化* 估计前阶段模型* 估计后阶段模型* 整个区间上的估计结果保存为All* ⽤F 检验检验结构没有发⽣变化的约束*计算和显⽰ F 检验统计量公式，零假设：⽆结构变化然后 dis f_test 则得到结果;* F 统计量的临界概率然后得到结果* F 统计量的临界值然后得到结果(如何解释)⼆、似然⽐（LR ）检验有中国国债发⾏总量（t DEBT ，亿元）模型如下：0123t t t t t DEBT GDP DEF REPAY u ββββ=++++其中t GDP 表⽰国内⽣产总值（百亿元），t DEF 表⽰年财政⾚字额（亿元），t REPAY 表⽰年还本付息额（亿元）。

多元线性回归模型的统计检验方法

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§2.4 多元线性回归模型的统计检验 Statistical Test of MultipleLinear Regression Model
一、拟合优度检验二、方程显著性检验三、变量显著性检验
说明由计量经济模型的数理统计理论要求的以多元线性模型为例将参数估计量和预测值的区间检验单独列为一节，在一些教科书中也将它们放在统计检验中包含拟合优度检验、总体显著性检验、变量显著性检验、偏回归系数约束检验、模型对时间或截面个体的稳定性检验等
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一、拟合优度检验Testing the Simulation Level
1、概念
统计量问题：采用普通最小二乘估计方法，已经保证了模型最好地拟合了样本观测值，为什么还要检验拟合程度？
2、总体平方和、残差平方和和回归平方和
（Total Sum of Squares）（Explained Sum of Squares）（Residual Sum of Squares）
不行统计量必须是相对量TSS=RSS+ESS
3、一个有趣的现象
矛盾吗？可能吗？
4、拟合优度检验统计量：可决系数r2和调整后后的可决系数R2
二、方程显著性检验Testing theOverall Significance
1、关于假设检验
2、方程的显著性检验

计量经济学第三章第3节多元线性回归模型的显著性检验

2
当增加一个对被解释变量有较大影响的解释变量时，残差平方和减小的比n-k-1 减小的更显著，拟合优度就增大，这时就可以考虑将该变量放进模型。如果增加一个对被解释变量没有多大影响的解释变量，残差平方和减小没有n-k-1减小的显著，拟合优度会减小，其说明模型中不应该引入这个不重要的解释变量，可以将其剔除。
在对话框中输入：
y c x y(-1)
y c x y(-1) y(-2)
字母之间用空格分隔。注：滞后变量不需重新形成新的时间序列，软件自动运算实现，k期滞后变量，用y(-k)表示。
• 使用k期滞后变量，数据将损失k个样本观察值，例如：
序号 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 y 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Y(-1) Y(-2) Y(-3)
2
2
2
*赤池信息准则和施瓦茨准则
• 为了比较所含解释变量个数不同的多元回归模型的拟合优度，常用的标准还有: 赤池信息准则（Akaike information criterion, AIC） e e 2( k 1) AIC ln n n 施瓦茨准则（Schwarz criterion，SC）
一元、二元模型的系数均大于0，符合经济意义，三元模型系数的符号与经济意义不符。用一元回归模型的预测值是1758.7，二元回归模型的预测值是1767.4，2001年的实际值是1782.2。一元、二元模型预测的绝对误差分别是23.5、14.8。
3) 三个模型的拟合优度与残差
二元：R2 =0.9954，E2 ei2 13405 三元：R2 =0.9957，E3 ei2 9707
746.5 788.3

多元线性回归模型的各种检验方法

对多元线性回归模型的各种检验方法对于形如LL uYXXX??????????k11k220）（1的回归模型，我们可能需要对其实施如下的检验中的一种或几种检验：一、对单个总体参数的假设检验：t检验在这种检验中，我们需要对模型中的某个（总体）?a?：，做出具有统计意参数是否满足虚拟假设H jj0a义（即带有一定的置信度）的检验，其中为某个给ja=0定的已知数。

特别是，当时，称为参数的（狭义j意义上的）显著性检验。

如果拒绝，说明解释变量H0Y?X具有显著的线性影响，估计值对被解释变量才?j jX Y不具对被解释变量敢使用；反之，说明解释变量j??对我们就没有意义。

具有显著的线性影响，估计值j体检验方法如下：a?；：）给定虚拟假设1（H?jj01．??a??E()???j j jj?t???的数值；计算统计量）（2(Se)Se)(??j j??1T?中，其X)?(XSe()?CC??1j?1jj jj j?j??0.1即（3）在给定的显著水平下（不能大于以下的前提下做90%，也即我们不能在置信度小于10%t；）t（分布的临界值双结论），查出尾1k?n??2/t?t的情况，检验结论为拒绝4）如果出现（?2/H H。

；反之，无法拒绝00????jj?t必须服从已检验方法的关键是统计量t?(Se)?j t分布函数。

什么情况或条件下才会这样呢？这需知的：要我们建立的模型满足如下的条件（或假定）n次观测的随机）随机抽样性。

我们有一个含（1????LL,X,X,nX,:1,2,,Yi?样。

这保证了误i1i i2iku差2．自身的随机性，即无自相关性，Cov(u?E(u))(u?E(u))?0。

jiji （2）条件期望值为0。

给定解释变量的任何值，误差u的期望值为零。

即有L,X)?,X,0E(uX k21L,,XX,X这也保证了误差独立于解释变量，即21uE(u)?0模型中的解释变量是外生性的，也使得。

(3）不存在完全共线性。

多元线性回归模型拟合优度假设检验

设观测数据为：Y： 3 1 8 3 5 X2：3 1 5 2 4 X3：5 4 6 4 6 试求 R 2和R 2 。
解：我们有
3 1 Y 8 3 5 1 1 X 1 1 1 3 1 5 2 4 5 4 6 4 6

e e n k 1
ˆ ~ N ( , 2 c ) i i ii
因此，可构造如下t统计量
ˆ i t i S ˆ
i
ˆ i i ~ t ( n k 1) e e c ii n k 1
2、t检验
设计原假设与备择假设： H0：i=0 H1：i0 给定显著性水平，可得到临界值t/2(n-k-1)，由样本求出统计量t的数值，通过 |t| t/2(n-k-1) 或 |t|t/2(n-k-1)
(0.43)
(0.06)
(0.15)
请检验“斜率”系数和的显著性。
解：(1) 检验的显著性原假设 H0： = 0 备择假设 H1： ≠0 由回归结果，我们有：t＝0.23/0.06=3.83 用=24－3＝21查t表，5%显著性水平下，tc ＝2.08. ∵t＝3.83 tc ＝2.08，故拒绝原假设H0 。结论：显著异于0。 (2) 检验的显著性原假设H0： = 0 备择假设H1： ≠0 由回归结果，我们有：t＝0.81/0.15=5.4 ∵t＝5.4 tc ＝2.08，故拒绝原假设H0 。结论：显著异于0。
注意：一元线性回归中，t检验与F检验一致
一方面，t检验与F检验都是对相同的原假设 H0：1=0 进行检验; 另一方面，两个统计量之间有如下关系：
ˆ 2 x2 1 i F 2 2 ei ( n 2) e i ( n 2)

多元回归模型参数的各种检验及相关关系总结

多元回归模型参数的各种检验及相关关系总结常用的参数检验方法包括：回归系数的t检验、回归系数的显著性检验、决定系数（R-square）和方差分析（ANOVA）。

1.回归系数的t检验：回归系数的t检验用于检验回归系数是否显著。

在这里，我们假设零假设为回归系数等于0，备择假设为回归系数不等于0。

如果t值的绝对值大于临界值（通常取2），则拒绝零假设，即认为回归系数显著。

2.回归系数的显著性检验：回归系数的显著性检验用于检验回归系数是否显著不等于0。

一般情况下，我们使用p值来进行显著性检验。

如果p值小于显著性水平（通常取0.05），则拒绝零假设，即认为回归系数显著。

3. 决定系数（R-square）：决定系数用于衡量模型的拟合程度，表示因变量中能被自变量解释的比例。

决定系数的取值范围为0到1，越接近1表示模型的拟合程度越好。

但是，决定系数本身不能代表模型的好坏，因为它不考虑模型中所使用的自变量的数量和质量等因素。

4.方差分析（ANOVA）：方差分析用于检验模型整体的显著性。

方差分析的原假设为自变量对因变量没有影响，备择假设为自变量对因变量有影响。

通过计算方差分析中的F值来进行检验，如果F值大于临界值（通常取4），则拒绝原假设，认为模型整体显著。

在多元回归模型中，参数之间也存在一些相关关系。

1.多重共线性：多重共线性是指自变量之间存在高度相关性。

在多重共线性存在的情况下，模型的参数估计可能不准确，标准误差会增大。

可以通过计算自变量之间的相关系数矩阵来判断是否存在多重共线性，如果相关系数的绝对值大于0.7，则存在多重共线性。

2.自变量之间的相关性：自变量之间的相关性可以影响模型的解释和预测能力。

如果自变量之间存在高度相关性，可能需要对自变量进行筛选或变换，以减少相关性。

3.变量的重要性：通过参数的t检验或显著性检验可以确定回归系数的显著性，从而判断变量的重要性。

如果一些变量的回归系数显著，说明该变量对因变量有显著影响。

多元线性回归模型的参数估计与显著性检验

多元线性回归模型的参数估计与显著性检验多元线性回归模型是一种常用的统计分析方法，用于研究多个自变量与一个因变量之间的关系。

在进行多元线性回归时，我们希望通过估计模型的参数来描述自变量与因变量之间的关系，并通过显著性检验来确定这种关系是否存在。

一、多元线性回归模型多元线性回归模型可以用如下的数学表达式表示：Y = β0 + β1*X1 + β2*X2 + ... + βn*Xn + ε其中，Y表示因变量（被解释变量），X1、X2、...、Xn表示自变量（解释变量），β0、β1、β2、...、βn表示回归方程的参数，ε表示误差项。

二、参数估计在多元线性回归中，我们需要通过样本数据来估计回归方程的参数。

最常用的估计方法是最小二乘法（Ordinary Least Squares，OLS），它通过最小化观测值与回归方程预测值之间的残差平方和来确定参数的估计值。

具体而言，最小二乘法的目标是选择参数的估计值，使得残差平方和最小化。

为了得到参数的估计值，可以使用矩阵形式的正规方程来求解，即：β = (X'X)-1X'Y其中，β是参数的估计值，X是自变量矩阵，Y是因变量向量，X'表示X的转置，-1表示逆矩阵。

三、显著性检验在进行多元线性回归时，我们通常希望确定自变量与因变量之间的关系是否显著存在。

为了进行显著性检验，我们需要计算模型的显著性水平（p-value）。

常见的显著性检验方法包括F检验和t检验。

F检验用于判断整体回归模型的显著性，而t检验用于判断单个自变量对因变量的显著性影响。

F检验的假设为：H0：模型中所有自变量的系数均为零（即自变量对因变量没有显著影响）H1：模型中至少存在一个自变量的系数不为零在进行F检验时，我们计算模型的F统计量，然后与临界值进行比较。

若F统计量大于临界值，则拒绝原假设，认为回归模型显著。

而t检验的假设为：H0：自变量的系数为零（即自变量对因变量没有显著影响）H1：自变量的系数不为零在进行t检验时，我们计算各个自变量系数的t统计量，然后与临界值进行比较。