材料力学课件 (朱占元)第2章 轴向拉伸与压缩

A
F 2
B
q
C
3
1 l
F 2
2l
F
3 D l
x
1 (b) FR
A
F 2
B
q
C
3
1 l 1
F 2
2l
F
3 D l
x
(c) F
A
FN1
x
1
3
(e) FN 3 3
F
4l-x
D
以图c为分离体，得FN1=F 以图e为分离体，得FN3=F
0 xl 3l x 4l
1 (b) FR
A
F 2
B
q
C
3
1 l
Y
∑X = 0
NP=0 N=P
P
｝
N
x
N 总是与轴线重合，故称为轴力。 轴力通常用字母 N 表示，它的单位即为 力的单位，基本单位为牛顿(N)，常用单 位有千牛(kN)。
m P Y P N P
m
｝
N
x P
保留右段时： P N= 0
N = P
N 与 N 大小相等，方向相反， 为一对作用力与反作用力。
P 2 = = = 4kN (拉) sin 30 0.5
将NBC的值代入(1)，可得
N AB 3 N BC cos30 4 3.46kN (压) 2

(2)计算各杆应力
σ BC
3 N BC 4 10 6 N 12.7 10 2 m ABC π 202 106 4
截面法求轴力的步骤： (1) 假想的截面截开指定截面m－m ； (2) 用内力代替另一部分对所取分离体的作用力； (3) 根据分离体的平衡求出内力值。
符号规定：
正号轴力-- N的方向与截面外法线方向一致。 负号轴力-- N的方向与截面外法线方向相反。 也即：拉伸为正、压缩为负。
例2－1 一直杆受力如图所示。试求各段中横 截面上的轴力。
Δl ε= l Δb 横向线应变： ε = b
`
线应变
实验表明:在弹性范围内加载，纵向线应变与横向 线应变之间存在如下关系
ε' v =| | ε
v：泊松比，无量纲
ε ' = -vε
2、胡克定理
NL ΔL A
引入弹性模量E
NL ΔL ΕA
EA：抗拉刚度
Δl ε= = l
NL
EA = N 1 = σ L AE E
I
6kN
A
I B II 10kN
C
8kN
III D
4kN
I
6kN A N1
II
III
6kN
10kN
II N2
II
在 BC 段内沿横截面 II － II 将杆假想地 截开，并留下左段为脱离体，假设 II － II 截面的轴力为正号的N2由静力平衡条件.
∑X = 0,
II
N2-6+10=0
6kN
10kN
解：1-1截面，取右边，受力如图。
2-2截面, 取右边, 受力如图。
3-3截面, 取右边, 受力如图。
ΣX=0，FN3=-F3=−20(kN)
轴力图
【例2-2】试作图a 所示杆的轴力图。 F
(a)
A
F q l
F
l
B
F
2l
C
l
D
解: 1. 用截面法分别求各段杆的轴力 约束反力为FR=F
1 (b) FR
用径向截面将薄壁圆环截开，取其上半部分为分离 体，如图b所示。分布力的合力为 π d FR ( pb d )sin pbd 0 2 FR pbd 由SFy=0，得 FN
2 2
径向截面上的拉应力为
FN 1 pbd pd ( 2 106 Pa)(0.2 m) ( ) A bd 2 2d 2(5 10-3 m) 40 106 Pa 40 MPa
屋架结构简图
受轴向外力作用的等截面直杆——拉杆和压杆
桁架的示意图
（未考虑端部连接情况）
受力特点：外力合力作用线与杆轴线重合。 变形特点：杆件沿轴线方向伸长或缩短。 材料力学中的杆件，如果没说明， 通常不计自重。
2.2 轴力与轴力图
求图示拉杆m－m截面的内力
m
P m Y P
P
｝
N
x
N ：分布内力系的合力称为内力，代 表移去部分对保留部分的作用。 由平衡方程
1. 求分布荷载作用的BC段的轴力时，不允许用合 力2lq＝2F代替分布荷载。 2. 求轴力时，不允许将力沿其作用线段移动，例 如，将作用在D截面的力F移到C截面时，AB、 BC段的轴力不变，而CD段轴力为零。
(a)
A l BFqF lF 2lC
l
D
F
画轴力图的要求
①平行并对齐原杆件
②轴力的符号要标在图上
P
解：(1) 计算各杆轴力 AB和BC均为二力杆。
设两杆均受拉力，作节点 B的受力图图
(b)，由静力平衡条件：
∑X = 0
N AB + N BC cos30 = 0

…(1) NBC …(2) NAB 30
y
Y =0 ∑ N BC sin 30 - P = 0

B P
x
(b)
由(2)式可得
N BC
III
∴ N 2 = 4kN
N3 III
4kN
6kN
A
I B I
10kN
II II
C
8kN
III D III
4kN
N +6 +4 4 +
x 6 4
+ 4 N图（kN)

F
F
(c)
(f)
轴力图(FN图)——显示横截面上轴力与横截面 位置的关系。
【例2-1】试作图a所示杆的轴力图。
解: 1. 用截面法分别求各段杆的轴力。为求轴力方 便，先求出约束力 FR=10 kN。
弹性模量和泊松比都是材料的弹性常数。
例2－6 一构件如图所示，已知： P1=30k ， P2=10kN ， AAB=ABC=500mm2 ， ACD=200mm2， E=200GPa。
试求：(1) 各段杆横截面上的内力和应力； (2) 杆的总伸长。 A 100 B P1 100 100 C D P2
F 2
F 2l
F
3 D l
x
q 2 2
(d)
F
A B F
FN2
x
以图d为分离体，得
F Fx 0, FN2 q(x-l ) 2F F l x 2Fl
x 3l
2. 由以上结果画出轴力图如图f所示 F
(a)
A
F q l
F
2l
C
l
B
F
l
D
F (f)
+ +
F
F
FN 图
注 意：
(压应力)
结果表明，最大工作应力为 max= 2= -1.1 MPa (压应力）
例2-5 试求薄壁圆环在内压力作用下径向截面上 的拉应力。已知：d = 200 mm，d= 5 mm，p = 2 MPa。
解: 薄壁圆环(δ<<d )在内压力作用下，径向截面 上的拉应力可认为沿壁厚均匀分布，故在求出径 向截面上的法向力FN后，用式 FN/(bδ)求拉应力。
-0.015 10 m -0.015mm
-3
即AD杆缩短了0.015mm。 D点向左位
移了0.015mm。
如果在杆总长范围内，不能满足杆伸长 计算公式的适用条件，但将杆分成若干段 (n
段)每一段能分别满足式的适用条件。则杆的
总伸长公式为
N i li Δl = ∑ i= 1 Ei Ai
n
6kN
A
I I I I
II B 10kN II
C
8kN
III D III
4kN
6kN
A
N1
解：在 AB 段内，沿横截面 I － I 把杆件假想 截开，保留左段，假设 I － I 截面上有正 号的轴力 N1 ，以杆轴为 x 轴，由静力平 衡条件
∑X = 0,
N1-6=0
A 6kN
I
N1
∴ N1 =6kN
A 100 N +
B P1 100 20kN
C 100
D P2

10kN
解：① 作轴力图如上图所示。
② 求横截面上的应力 “ AB”， “ BC”， “ CD”段上任意横 截面上的应力分别为：
σ AB σ BC σCD N AB 20 103 6 40 10 Pa 40MPa 6 AAB 500 10 N BC 10 103 6 20 10 Pa 20MPa 6 ABC 500 10 NCD 10 103 6 50 10 Pa 50MPa 6 ACD 200 10
=12.7MPa(拉)
σ AB N AB 3.46 10 6 N 6.4 10 2 6 m AAB 540 10
3
-6.4MPa(压)
例2-4 试求图a所示正方 形砖柱由于荷载引起的 横截面上的最大工作应 力。已知F = 50 kN。
1.作轴力图如图所示。分别求各段柱的 工作应力。Ⅰ段柱横截面上的正应力
③ 控制点的坐标要标上
2.3 拉（压）杆横截面与斜截面上的应力 1、拉(压)杆横截面上的应力
N— 一般地， 为位置的函数， dA组成垂直于横截面的平行力 系，其合力即为轴力
N =∫ σ dA A
考察杆件受力变形：
P
P
∴ N =∫ A σdA = σ ∫ A dA = σA