《实数》培优材料

④计算中的性质 2： a 2 = a = ⎨

； - a(a ≤ 0)

⎪负无理数 （二分法） 实数⎨ （三分法） 实数⎨零

⎪无理数 ⎪负实数⎧⎨负有理数

⎧正无理数 ⎩负无理数 ⎪ ⎪

⎩负无理数 练习：（1） ( x - 1) 2 = 9

（2） （x + 1）3 = 25

3

2017 春七年级数学实数培优

一、实数：

（一）【内容解析】

（1）概念：平方根、算术平方根、立方根、无理数、实数；

要准确、深刻理解概念。如平方根的概念：①文字概念：若一个数 x 的平方是 a ，那么 x 是 a 的平方

根；②符号概念：若 x 2 = a ，那么 x = ± a ；③逆向理解：若 x 是 a 的平方根，那么 x 2 = a 。 （2）性质：①在平方根、算术平方根中，被开方数 a ≥0 ⇔ 式子有意义；

②在算术平方根中，其结果 a 是非负数，即 a ≥0；

③计算中的性质 1： ( a ) 2 = a （a ≥0）；

⎧a(a ≥ 0) ⎩ ⑤在立方根中， 3 - a = -3 a （符号法则）

⑥计算中的性质 3： (3 a ) 3 = a ； 3 a 3 = a

（3）实数的分类：

⎧ ⎧正有理数 ⎧ ⎧正有理数 ⎪ ⎪

⎪正实数⎨ ⎪有理数⎨零 ⎪ ⎩正无理数

⎪ ⎪ ⎩

⎪ ⎪

⎨

⎩ ⎩

（二）【典例分析】 1、利用概念解题：

例 1. 已知：M = b -1 a + 8 是 a + 8 的算术数平方根，N = 2a -b +4 b - 3 是 b - 3 立方根，求 M + N 的平方根。

练习：1. 已知 x + 2 y = 3，4 x - 3 y = -2 ，求 x + y 的算术平方根与立方根。

2．若 2a ＋1 的平方根为±3，a －b ＋5 的平方根为±2，求 a+3b 的算术平方根。

例 2、解方程（x+1）2=36.

1

5

2、利用性质解题：

例1已知一个数的平方根是2a－1和a－11，求这个数．

变式：①已知2a－1和a－11是一个数的平方根，则这个数是；

②若2m－4与3m－1是同一个数两个平方根，则m为。例2．若y=3-x＋x-3＋1，求（x＋y）x的值

例3．x取何值时，下列各式在实数范围内有意义。

⑴

⑵⑶⑷

例 1．比较 13 - 3 如：比较 3 -1 5

例 4．已知 3 1 - 2 x 与 3 3 y - 2 互为相反数，求 1 + 2 x y

的值.

练习： 1.若一个正数 a 的两个平方根分别为 x + 1 和 x + 3 ，求 a 2005 的值。

2. 若（x －3）2＋ y - 1 =0，求 x ＋y 的平方根；

3. 已知 y = 1 - 2 x + 4 x - 2 + 2, 求 x y 的值.

4. 当 x 满足下列条件时，求 x 的范围。

①

(2 - x) 2 =x －2

② 3 - x = x - 3

③ x =x

5. 若 - 3 a = 3 7

8

，则 a 的值是

3、利用取值范围解题：

例 1. 已知有理数 a 满足 2004 - a + a - 2005 = a ，求 a - 20042 的值。

3、利用估算比较大小、计算：

估算法的基本是思路是设 a ，b 为任意两个正实数，先估算出 a ，b 两数或两数中某部分的取值范围，再 进行比较。

1

与 的大小

8 7

说明：比较大小的常用方法还有： ①差值比较法：

如：比较 1－ 2 与 1－ 3 的大小。

解 ∵（1－ 2 ）－（1－ 3 ）= 3 － 2 ＞0 ， ∴1－ 2 ＞1－ 3 。 ②商值比较法（适用于两个正数）

1

与 的大小。

5 5 3 -1 1

3 -1 1 解：∵ ÷ = 3 -1＜1

∴ ＜

5

5 5

③倒数法：倒数法的基本思路是：对任意两个正实数a ，b ，先分别求出 a 与 b 的倒数，再根据当 a ＜b 。来比较 a 与 b 的大小。（以后介绍）

④取特值验证法：比较两个实数的大小，有时取特殊值会更简单。

1 1

＞ 时， a b

如：当 0

1

2 ，则： x 2 = 4 ， x 4 ＜ 2 ＜2，∴ x 2 ＜ x ＜ 6 - 6)

2

1；②3 B

x 的大小顺序是____________。

解：（特殊值法）取 x = 1 1 1 1 1 =2。∵

1

x 。

例 2．若 3 + 5 的小数部分是 a ， 3 - 5 的小数部分是 b ，求 a+b 的值。

例 3.计算：①

6 ( 1

② 3- 2 + 3-2 - 2 -1

练习：1.估计 10＋1 的值是（

）

（A ）在 2 和 3 之间 （B ）在 3 和 4 之间 （C ）在 4 和 5 之间

（D ）在 5 和 6 之间

2．比较大小：①

5 -1 1

2 2.1（填“>”、“<”）

4、利用数形结合解题：

例 1 实数 a 、b 在数轴上的位置如图所示，那么化简|a +b |+ (b - a) 2 的结果是（

）

A 、2b

B 、2a

C 、－2a

D 、－2b a 0 b

例 2 如图，数轴上表示 1、 2 的对应点为 A 、 ，点 B 关于点 A 的对称点为 C ，则点 C 所表示的数是（

）

A 、 2 －1

B 、1－ 2

C 、2－ 2

D 、 2 －2

C

A B

1

2

（三）【常见错误诊断】

1、混淆平方根和算术平方根：

①由-3 是 9 的平方根得： 9 =-3。 ②由 81 的平方根是±9 得 81 =±9

③ - 5 是 5 的平方根的相反数 2、混淆文字表示和符号表示：

① 16 的算术平方根是 4； ② 64 的立方根是 4 3、概念理解不透彻：

（1）平方根、算术平方根的概念不清：

① 6 是 6 的平方根；②6 的平方根是 6 ；③ 6 与 - 6 互为相反数；

④a 的算术平方根是 a （2）无理数的概念不清：