理想刚塑性平面应变问题

理想刚塑性平面应变问题

滑移线作为一种分析和作图相结合的方法是首先由Bat-dorf 和Budiansky 在1949年提出的。由于它对于求解理想刚塑性平面应变问题的方便和有效。滑移线理论在塑性力学中占有很重要的地位，一直得到较快的发展。除了对理想刚塑性平面应变问题例如机械加工，金属成型等冲压，轧锟和锻造等生产上广泛应用之外，近年来对平面应力问题，各向异性材料等也提出了滑移线理论和求解方法。

应当说理想刚塑性平面是一种假设，因为真实材料在塑性加工和变形过程中，往往存在加工硬化影响。蠕变和应变率效应，惯性力的影响等，滑移线理论是在忽略这些因素，把问题作为“准静态”处理，从而导致理想化的理论模式。自然这样的理想化的理论计算给出工程上的很好近似，方便求出极限载荷，与实验也比较相符，因而滑移线理论是值得深入研究和进一步发展的塑性力学重要内容。

刚塑性平面应变问题的基本方程

一、不可压缩条件

平面应变的位移满足关系：

),(y x u u x x = ),(y x u u y y = 0=z u （1）

其速度场满足：

),(y x v dt

du x x

=

),(y x v dt du y y = 0==z z v dt du （2） 其应变率张量为：

⎥⎥⎥⎥⎥

⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢

⎢⎢⎢⎢⎢

⎢

⎢

⎣

⎡∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=00

00)

(210)(21y v x v y

v y

v x v x v y y x x

y x

ij ε

（3）

不可压缩条件表示为：

0=++z y x εεε

（4） 因为0=z ε ，故有: 0=∂∂+∂∂y

v x v y

x （5） 二、Levy —Mises 关系

由于

)2(y

x x x

S σσλλε-==

)2

(x

y y y S σσλλε-==

xy

xy τλγ 2= 故有 xy x y xy x y x

y x y

y

v x v x v y v τσσγεε2-=

-=∂∂+∂∂∂∂-

∂∂ 三、平衡条件和屈服条件

不考虑体积力,平衡条件为:

0=∂∂+∂∂y

x xy

x τσ (6.1) 0=∂∂+∂∂y

x

y xy στ (6.2)

Mises 屈服条件:02

2

=-=k J f 由正交流动法则,并知0=z ε

,则有:

0)(=-==∂∂=σσλλσλεz z z

z S f 进而可知:

σσσσ=+=

2

y

x z (7)

注意到:

2

y

x x x S σσσσ-=

-=

2

x

y y y S σσσσ-=-= 故有y x S S -= (8)

进而可知:

2

2222222)2

()2(2121xy y x xy x xy y x ij ij S S S S S S S J τσσ+-=+=++==

∴Mises 屈服条件可进一步表示为下式:

22

244)(k xy y x =+-τσσ (9)

又考虑到: 2

23

1)2(2xy y x y

x τσσσσσσ+-±+=

故有:

2

23

1)2

(

2

xy

y

x τσσσσ+-=-

因此Tresca 屈服条件表示为:

22

244)(k xy y x =+-τσσ (10)

应当注意: (9)中的3

s

k σ=

,而(10)中的2

s

k

σ=

注：如果给定应力边界条件还可以用(6)式和(10)式来求x σ ，y σ， xy τ

在刚性区则有: 22244)(k xy

y x <+-τσσ

ϕκσσ2cos +=x

ϕκσσ2cos -=y

ϕκτ2sin =xy

其中ϕ为1σ与x 轴夹角,而α线与x 轴夹角为θ,则有:4

π

θϕ+=

进而: θϕ2sin 2cos -= ,

θϕ2cos 2sin =

θκσσ2sin -=x

θ

κσσ2sin +=y

θκτ2cos =xy

将上式代入平衡方程(6)式可得:

02sin 22cos 20=∂∂-∂∂-+∂∂y

k x k x θθθθσ 02cos 22sin 20=∂∂+∂∂-∂∂+y

k x k y θθθθσ (11)

由 式

θκσσ2sin -=x

θ

κσσ2sin +=y

θκτ2cos =xy

可得

xy y

x tg τσσθ22-=

-

将上式代入式xy x y xy x y x

y x y

y

v x v x v y v τσσγεε2-=

-=∂∂+∂∂∂∂-

∂∂ 可得 0)(2)(=∂∂+∂∂+∂∂-∂∂x

v y v tg y v x v y

x y x θ 0=∂∂+∂∂y

v x v y

x (12) 注：如果给定速度边界条件还可以用(11)和(12)来求y x V V ,，θ，σ