理想刚塑性平面应变问题
理想刚塑性详解
=
1 2
sij
sij
1 2
(s
2 x
s
2 y
s
2 xy
s
2 yx
)
(x
y 2
)2
2 xy
=2max
偏应力的第二不变量与最大剪应力的平方相等 这说明Mises屈服条件与Tresca条件在平面应变刚塑性条件下重合。
基本方程 在物体中出现两个区域，塑性区和刚性区。
（1）刚性区 应变率场等于零， 应力场满足平衡方程和力边界条件，不违背屈服条件，可以不唯一。
B
C
说明：设A点的A已知，根据已知条件，A点的A也已知 沿线： A2kA=C1 可算出C1， C2kC =C1 可算出C（因为C已知） 沿线： C＋2kC=C1 可算出C1， B＋2kB=C1 可算出B
若滑移线为直线，则沿该直线、、 C和C以及x，y和xy均为常数。 说明：设线为直线，则沿该直线为常数， 由于在同一条滑移线上C是常数，因此=C+2k也是常数。
n
nt
n
x
1 2
arccos( n t
速度方程求解
x y tan2 2 xy
vx 0, v y 0
x
y
vx v y tan2( vx v y )0
x y
y x
vx=v cosv sin， vy=v sin+vcos
x
(v cosv sin)＝0
y
(v
sin+vcos)＝0
v v
v
v
沿线：
dv v d = 0
沿线：
（2）塑性区内 平衡方程：（不考虑体积力）
x yx 0 x y
xy y 0 x y
理想刚塑性
滑移线坐标x、y已知，若任一点的值已知，其它各点的应力值均可求出
C
B
说明：设A点的A已知，根据已知条件，A点的A也已知
沿线： A2kA=C1 可算出C1， C2kC =C1 可算出C（因为C已知） 沿线： C＋2kC=C1 可算出C1， B＋2kB=C1 可算出B
x
控制方程
沿线， 沿线， 沿线： 沿线： 2k = const1 或 +2k = const2 或 dv v d = 0 dv + v d = 0 d=2kd d= 2kd
边界条件
1 arccos( nt / k ) +m 2 ＝n + ksin2()
力的方向，可确定哪一条是线。 求极限荷载p OA边，t<0，n=0是大主应力，n =1＝＋k＝0， A == k。 OAB是均匀应力区，得B =A = k， 沿BC线（线），d = 2kd，从B点到C点，=2/2，得 C = B 2k= k2k(2/2)= 2k(2+1/2/2) OCD是均匀应力区，则D =C
( 2k) 0 s来自沿线，沿线，2k = const1
+2k = const2
或者写成增量的形式 沿线， = 2k 沿线， = 2k
速度方程求解
x y 2 xy tan2
v x v y v x v y tan 2( )0 x y y x
nt nt
t t
对于速度场，连续性条件要求：法向分量应连续，切线分量可以间断， 塑性区可相对于刚性区作相对滑动，即：
vn vn
vt vt
t
t
n
n
理想刚塑性平面应变问题
理想刚塑性平面应变问题滑移线作为一种分析和作图相结合的方法是首先由Bat-dorf 和Budiansky 在1949年提出的。
由于它对于求解理想刚塑性平面应变问题的方便和有效。
滑移线理论在塑性力学中占有很重要的地位，一直得到较快的发展。
除了对理想刚塑性平面应变问题例如机械加工，金属成型等冲压，轧锟和锻造等生产上广泛应用之外，近年来对平面应力问题，各向异性材料等也提出了滑移线理论和求解方法。
应当说理想刚塑性平面是一种假设，因为真实材料在塑性加工和变形过程中，往往存在加工硬化影响。
蠕变和应变率效应，惯性力的影响等，滑移线理论是在忽略这些因素，把问题作为“准静态”处理，从而导致理想化的理论模式。
自然这样的理想化的理论计算给出工程上的很好近似，方便求出极限载荷，与实验也比较相符，因而滑移线理论是值得深入研究和进一步发展的塑性力学重要内容。
刚塑性平面应变问题的基本方程一、不可压缩条件平面应变的位移满足关系：),(y x u u x x = ),(y x u u y y = 0=z u （1）其速度场满足：),(y x v dtdu x x =),(y x v dtdu y y=0==z z v dtdu （2）其应变率张量为：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=0000)(210)(21y v x v yv yv x v xv y y x xy x ij ε（3）不可压缩条件表示为：0=++z y x εεε （4）因为0=z ε，故有: 0=∂∂+∂∂yv xv y x （5）二、Levy —Mises 关系由于)2(yxx xS σσλλε-==)2(xy y y S σσλλε-==xyxy τλγ2=故有 xyxyxyxy x yx y yv xv x v yv τσσγεε2-=-=∂∂+∂∂∂∂-∂∂三、平衡条件和屈服条件不考虑体积力,平衡条件为:0=∂∂+∂∂y x xy x τσ (6.1)0=∂∂+∂∂yxyxy στ (6.2)Mises 屈服条件:022=-=k J f由正交流动法则,并知0=z ε,则有:0)(=-==∂∂=σσλλσλεzz zz S f进而可知: σσσσ=+=2yxz(7)注意到: 2yxxx S σσσσ-=-=2xyyy S σσσσ-=-= 故有y x S S -= (8)进而可知:22222222)2()2(2121xy yx xyxxyyxij ij SSSSSS S J τσσ+-=+=++==∴Mises 屈服条件可进一步表示为下式:22244)(k xy y x=+-τσσ(9)又考虑到: 2231)2(2xy yxyxτσσσσσσ+-±+=故有:2231)2(2xy yxτσσσσ+-=-因此Tresca 屈服条件表示为:22244)(k xy y x =+-τσσ (10)应当注意: (9)中的3sk σ=,而(10)中的2sk σ=注：如果给定应力边界条件还可以用(6)式和(10)式来求x σ ，y σ， xy τ在刚性区则有: 22244)(k xy y x <+-τσσϕκσσ2cos +=xϕκσσ2c o s -=yϕκτ2s i n =xy其中ϕ为1σ与x 轴夹角,而α线与x 轴夹角为θ,则有:4πθϕ+=进而: θϕ2si n 2co s -= , θϕ2cos 2si n =θκσσ2sin -=xθκσσ2sin +=yθκτ2cos =xy将上式代入平衡方程(6)式可得:02sin 22cos 20=∂∂-∂∂-+∂∂yk xk xθθθθσ02cos 22sin 20=∂∂+∂∂-∂∂+yk xk yθθθθσ (11)由 式θκσσ2sin -=xθκσσ2sin +=yθκτ2cos =xy可得xyyxtg τσσθ22-=-将上式代入式xyxyxyxy x yx y yv xv x v yv τσσγεε2-=-=∂∂+∂∂∂∂-∂∂ 可得0)(2)(=∂∂+∂∂+∂∂-∂∂xv yv tg yv xv y x y x θ0=∂∂+∂∂yv xv y x (12)注：如果给定速度边界条件还可以用(11)和(12)来求y x V V ,，θ，σ滑移线1、应力场中的滑移线、应力方程材料发生塑性屈服时，任一点的应力状态可以用等斜面上的平均正应力和等斜面上剪应力表出。
塑性理论 第五章 应变分析
u y x
dx
u y y
dy
u y z
dz
x
uz
'
uz
(x
dx,
y
dy,
z
dz)
uz (x,
y, z)
uz x
dx
uz y
dy
uz z
dz
z
ui
M
' 1
ui ui
M1
uz
M(xi)
uy
ux
0
u
' z
u'
M (x dxi )
y
u
' x
y
变形体内无限接近两点的位移分量
——M’点位移到M’1点
z
第五章 应变分析
radius 3/8 in.
diameter, 0.5 in.
diameter, 0.75 in.
gauge length, 2 in.
reduced section, 2.25 in.
主要内容
5.1 应变的基本概念 5.2 几何方程 5.3 一点附近的应变分析 5.4 主应变、应变张量不变量 5.5 主剪应变，最大剪应变 ５.6 应变速率 5.7 变形表示法 5.8 应力一应变曲线 5·9 变形体模型 5.10 变形协调方程 5.11 平面变形问题和轴对称问题
crack propagation
(in shear)
单元体均匀变形：直线—→直线，平行—→平行
小变形：
大变形：
103 ~ 102
102 ~ 101
例：将矩形六面体在千锤下进行撤粗，其塑性变形前后物体的形状：
图 矩形件塑性变形前后形状
第一类变形：诸棱边的相对变化，其下标表示伸长的方向或与棱边平行的轴向。
塑性成形原理复习题
一、填空1、典型的塑性成形工艺包括拉深,挤压,轧制,拉拔等。
2、金属发生塑性变形时,其晶内变形的主要方式是滑移和孪生。
3、主应变简图采用主应变的个数和方向描述一点的应变状态,满足体积不变条件的应变状态主应变简图有3种。
4、米塞斯和屈雷斯加两个屈服准则相差最大的应力状态是平面应变状态。
5、不考虑材料的弹性,也不考虑材料硬化的材料模型称为理想刚塑性材料;不考虑材料的弹性,考虑材料硬化的材料模型称为刚塑性硬化材料。
6、超塑性成形工艺方法有结构超塑性和动态超塑性。
(相变超塑性)7、米塞斯和屈雷斯加两个屈服准则一致的应力状态是单向应力状态。
8、按照加工特点来分,塑性成形可以分为块料成形和板料成形两大类,其中,常见的块料成形包括拉拔,锻造,挤压,轧制等工艺。
9、冷挤压钢制零件时,需要对制件表面进行磷化处理,磷化处理后必须进行润滑处理,常用的润滑方法是表面皂化。
10、主应力简图共有9种。
满足体积不变条件的主应变简图共有3种。
11、应力偏张量引起物体产生形状变化;应力球张量引起物体产生体积变化。
12、多晶体的塑性变化包括晶内变形和晶间变形,其中,晶间变形的主要方式是滑移。
13、对数应变的主要特点是准确性、叠加性、可比性。
14、塑性应力应变关系与加载历史有关,变形过程中材料体积不变。
15、单位面积的内力被称为应力。
16、多晶体塑性变形的特点包括:具有不均匀性、不同时性、和相互协调性。
17、塑性成形中的三种摩擦状态分别是:干摩擦,流体摩擦,边界摩擦。
18、常用的求解塑性工程问题的方法有主应力法、滑移线法、上限元法。
19、塑性成形工艺按成形件的特点可以分为块料成形和板料成形。
20、金属发生塑性变形时,其晶内变形的主要方式是滑移和孪生。
21、屈雷斯加屈服准则的物理意义为,当材料的最大剪应力达到某一常数时材料就屈服了;米塞斯屈服准则的物理意义为,当材料的等效应力达到某一定值时,材料就屈服了。
22、关于摩擦产生机理有:表面凸凹学说,分子吸附学说,表面粘着学说。
塑性成形原理重点问题解答
一、加工硬化加工硬化指经过塑性变形后，金属内部的组织结构和物理力学性能发生改变，其塑性、韧性下降，强度、硬度增加，继续变形的力提高的现象。
微观上，加工硬化与金属内部的位错滑移、位错交割、位错塞积、交滑移以及晶粒的破碎与变化等有关。
加工硬化的后果： 强度提高，增加设备吨位；塑性下降，降低变形程度，增加变形工序和中间退火工序；强化金属材料（不能热处理的），提高金属零件的强度，改善冷塑性加工的工艺性能。
附：金属的结构：单晶体结构（体心立方、面心立方、密排六方） 实际多晶体结构（点缺陷、线缺陷、面缺陷） 单晶体的塑性变形机构：滑移，挛生 位错理论的基本概念：位错、刃型位错、螺型位错、柏氏矢量、位错运动与增值 多晶体冷塑性变形的微观机理：晶界、晶粒位向、晶内变形、晶间变形、变形不均匀性、 变形后组织与性能的改变 有关基本内容参阅金属学及热处理 二、金属的塑性与塑性指标金属的塑性：指固体金属在外力的作用下产生永久变形而不破坏其完整性的能力。
注：塑性是一种状态、而不是一种性质 塑性的影响因素：（各因素具体的影响没详细） 内部因素：晶格类型、化学成分、晶相组织； 外部因素：变形温度、变形速度、受力状态 附：塑性指标三、金属受外力而变形，抵抗变形的力—变形抗力 变形的难易程度 单位流动应力 变形抗力的影响因素： 化学成分、组织结构、变形温度 变形速度、变形程度、应力状态四、金属的超塑性—金属材料在一定的内部条件（金属的组织状态）和外部条件（变形温度、变形速度）下变形体现出的极高的塑性，延伸率达δ＝100％～2000％。
, m ＝0.3~1.0超塑性结构超塑性（微细晶粒超塑性） 动态超塑性（相变超塑性）超塑性的影响因素：组织结构（晶粒度5 ~ 10μm ） 变形温度（0.5 ~ 0.7T m ）、变形速度（10-4 ~ 10-1 min-1） 五、塑性力学的基本假设：1.变形体连续2.变形体均质和各向同性3.变形体静力平衡4.体积力和体积变形不计 六、主应力、应力状态特征方程（在课本上） 1、应力特征方程的解是唯一的；2、对于给定的应力状态，应力不变量也具有唯一性；3、应力第一不变量J1反映变形体体积变形的大小，与塑性变形无关；J3也与塑性变形无关；J2与塑性变00100%h l l l δ-=⨯ 延伸率−00100%hA A A φ-−=⨯断缩面收率 00100%h C H H H ε-−=⨯压缩变形程度()()()()()()()()22222222222212322311616x y y z z x xy yz zx x y y z z x xy yz zx J σσσσσστττσσσσσστττσσσσσσ⎡⎤''''''=-++-++⎣⎦⎡⎤=-+-+-+++⎢⎥⎣⎦⎡⎤=-+-+-⎣'⎦10x y z J σσσ'''+'=+=形有关；4、应力不变量不随坐标而改变，是确定点的应力状态异同的判据。
(完整版)《金属塑性成形原理》习题答案
《金属塑性成形原理》习题答案一、填空题1•衡量金属或合金的塑性变形能力的数量指标有伸长率和断面收缩率。
2. 所谓金属的再结晶是指冷变形金属加热到更高的温度后，在原来变形的金属中会重新形成新的无畸变的等轴晶，直至完全取代金属的冷变形组织的过程。
3. 金属热塑性变形机理主要有：晶内滑移、晶内孪生、晶界滑移和扩散蠕变等。
4•请将以下应力张量分解为应力球张量和应力偏张量5.对应变张量L： b ^」，请写出其八面体线变盹与八面体切应变兀的表达式。
旳土£ 厂勺『+ （勺一珀徒一％『十6（总+凡+怎）6.1864年法国工程师屈雷斯加(H.Tresca )根据库伦在土力学中研究成果, 并从他自已所做的金属挤压试验，提出材料的屈服与最大切应力有关，如果T =盂呼-益=C采用数学的方式，屈雷斯加屈服条件可表述为^ 2。
7. 金属塑性成形过程中影响摩擦系数的因素有很多，归结起来主要有金属的种类和化学成分、工具的表面状态、接触面上的单位压力、变形温度、变形速度等几方面的因素。
8. 变形体处于塑性平面应变状态时，在塑性流动平面上滑移线上任一点的切线方向即为该点的最大切应力方向。
对于理想刚塑性材料处于平面应变状态下，塑性区内各点的应力状态不同其实质只是平均应力不同，而各点处9. 在众多的静可容应力场和动可容速度场中，必然有一个应力场和与之对应的速度场，它们满足全部的静可容和动可容条件，此唯一的应力场和速度场，称之为真实应力场和真实速度场，由此导出的载荷，即为真实载荷，它是唯一的。
10. 设平面二角形单兀内部任意点的位移米用如下的线性多项式来表示:良〔工”卩)二位］+<3》工+说劉认&小令+吋+口訝，则单元内任一点外的应变可表示为11、金属塑性成形有如下特点：_____ 、________ 、_____ 、___________12、按照成形的特点，一般将塑性成形分为_______ 和________ 两大类，按照成形时工件的温度还可以分为___________ 、________ 和_________ 三类。
工程弹塑性力学题库及答案
(2)如将该曲线表示成
解：（1）由 在
处连续，有
形式，试给出 的表达式。
（a）
由在
处连续，有
（a）、（b）两式相除，有
由（a）式，有
（2）取
形式时，
当
：
即
当
：应力相等，有
解出得，
（代入 值）
（b） （c） （d）
（代入 值） 5.6已知简单拉伸时的应力-应变曲线
如图5-1所示，并表示如下：
问当采用刚塑性模型是，应力-应变曲线应如何表 示？
解：1） OD 边：
GD 边：
沿
线，
，
2）
沿 OB 线，
，
8.7 Mises 线性等强化材料，在平面应变（ 试导出用表示的强化规律和本构关系。
解：当 时，在弹性阶段有
）和泊松比 条件下，
得
平均应力 因此在弹性阶段有
，进入塑性后有
对平均应变
刚进入塑性时
。由上式导出
。因此进入塑性
后还满足
（2）当 = 时，继续加载，使 解：1）开始屈服时
，求此时的 、 、 。 ，代入 Mises 屈服准则
得
；
2）屈服后对应的塑性应变增量为
由 及屈服条件的微分形式
， 式子得到答案结果。
7.9 在如下两种情况下，试求塑性应变增量的比。
（1）单向拉伸应力状态，
；
，联列可得 ，代入
（2）纯剪力状态，
。
解：（1）单向拉伸应力状态
在
中：
沿
线，
中： ，
中：
,
，
，
, 情况二见图（1），与①一样
所以
8.6 已知具有尖角为 的楔体，在外力 P 的作用下，插入具有相同角度的 V 形缺口 内，试分别按如下两中情况画出滑移线场并求出两种情况的极限荷载。 1）、楔体与 V 形缺口之间完全光滑；2）、楔体与 V 形缺口接触处因摩擦作用其剪应 力为 k。
弹性与塑性力学基础 第六章 塑性力学解题方法及应用举例
§6-3 滑移线场概念及其在平冲头镦粗半无限体中的应用
6.3.1 滑移线的定义与滑移线法
➢ 滑移线的基本概念
作用于最大剪应力面上的正应力13恰等于平均应力m或中间主应
力2 ，即
1 3 m 2 1 2 (13 ) 1 2 (xy)
任一点应力状态可用静水压(平均
应力)与最大剪切力K相叠加来表
2020/10/16
弹性与塑性
力 学 基 础 第六章 塑性力学解题方法及应用举例
§6-3 滑移线场概念及其在平冲头镦粗半无限体中的应用
6.3.1 滑移线的定义与滑移线法 ➢ 滑移线的基本概念 塑性变形体（或变形区）内任一点的应力状态如图所示
2020/10/16
弹性与塑性
力 学 基 础 第六章 塑性力学解题方法及应用举例
压力容器、管道、挤压凹模等) 2020/10/16轴对称平面问题
应力分析：
rz、θr为零 θ 、 r为主应力，仅随 r 变化； 平衡微分方程：
dr r 0 (6-1)
dr r
弹性与塑性
力 学 基 础 第六章 塑性力学解题方法及应用举例
§6-1 平衡微分方程和屈服准则联立求解及其应用
6.1.2 受内压塑性圆筒及受内拉的塑性圆环应力计算
弹性与塑性力学基础
第六章
塑性力学解题方法及应用举例
2020/10/16
弹性与塑性
力 学 基 础 第六章 塑性力学解题方法及应用举例
1、塑性力学问题求解现状
(1) 在塑性状态物体内应力的大小与分布求解比较弹性状态困难； (2) 非线性塑性应力应变关系方程； (3) 联解平衡方程和屈服准则，补充必要的物理方程和几何方程，在
代入式(6-12)得
z =s
塑性力学问题及主应力解法
（3）在应用米塞斯屈服准则时，忽略切应力和摩擦力的影响， 将米塞斯屈服准则二次方程简化为线性方程。即在主应力法中 所采用的屈服准则为：
对于平面应变问题，习惯用剪切屈服强度k表示，即
σ������ − σ������ =±2������ 对于轴对称问题，习惯用屈服应力σ������ 表示，即 σ������ − σ������ =± σ������ （4）接触表面上的摩擦力分布采用简单的模型，例如库伦摩
的主要研究内容，也是分析塑性力学问题时依据的物理关系。
屈服条件是判断材料处于弹性阶段还是处于塑性阶段的根 据。对于理想塑性模型，在经过塑性变形后，屈服条件不变。 但如果材料具有强化性质，则屈服条件将随塑性变形的发展而 改变，改变后的屈服条件称为后继屈服条件或加载条件。
对于处于单向拉伸（或压缩）的物体，当应力达到屈 服极限时，材料开始进入塑性状态，对于处于复杂应力状 态的物体，由弹性状态过渡到塑性状态的临界条件称为屈
4.3 主应力法
金属塑性成形中经常采用的一种简化方法，对于平面应 变问题将屈服条件简化为
σ x −σ y = 2k
分析中还假设应力在一个方向的分布是均匀的。计算中
所用的数学形式比较简单。这种简化方法有时不仅能求
出各种工艺过程中的应力，而且还可求出应力分布规律， 以及某些因素的影响。
4.4 主应力法基本原理
行归纳并提出合理的假设和简化模型，确定应力超过弹性极 限后材料的本构关系，从而建立塑性力学的基本方程。解出 这些方程，便可得到不同塑性状态下物体内的应力和应变。
二、塑性力学中的基本假设
（1）连续性假设：变形体内均由连续性介质组成，即整个变形
体内不存在任何空隙。 （2）均匀性假设：变形体内各质点的组织、化学成分、物理性 能都是相同的。 （3）各向同性假设：变形体内各质点在各个方向上的物理性能、
第六章 塑性力学平面问题
• 进一步求解，得到 进一步求解，得到Hencky方程。取与滑移线 α , β 重合的曲 方程。 方程 线坐标 系统 ( Sα , S β ) ，根据方向导数的公式 ∂ ∂ ∂ = cos θ + sin θ ∂Sα ∂x ∂y
那么有
∂ ∂ ∂ = − sin θ + cos θ ∂S β ∂x ∂y ∂ ∂ ∂ = cos θ − sin θ ∂x ∂Sα ∂S β
（3）如已知滑移线场中任一点的 σ 值，则可算出滑移线场各点 ） 的 σ 值。 的分布。如图6-7所示 所示， 已知滑移线场就是已知 θ ( x, y ) 的分布。如图 所示， 如果已知A点的压力 也已知，这样利用(6-13) 如果已知 点的压力 σ A ，那么 θ A 也已知，这样利用 就可以算出 β1的参数 η1 即 η1 = σ A / 2k + θ A 这样在已知B点的 情况下，就可以算出B点的压力 这样在已知 点的 θ B 情况下，就可以算出 点的压力σ B 即 σ B = 2k (η1 − θ B ) 进而算出C点的压力 同样道理可以算出 α1 的参数 ξ1 ，进而算出 点的压力 依此类推就可以算出该滑移线场各点的 σ 。
这就说明， 这就说明，在塑性区内任一点的应力状态可用静水压力 σ 与 两个分量来表示。这里采用体积不可压缩的假定， 剪应力 τ 两个分量来表示。这里采用体积不可压缩的假定， 则其应力状态相当于纯剪应力状态。 如果不考虑平均应力 σ ，则其应力状态相当于纯剪应力状态。 2. 滑移线。 刚才提及理想刚塑性平面应变问题在塑性区的应 滑移线。 力状态是相当于纯剪应力状态， 力状态是相当于纯剪应力状态，此时材料沿最大剪应力线滑 所以最大剪应力线又称滑移线。因为剪应力是成对的， 移，所以最大剪应力线又称滑移线。因为剪应力是成对的， 则过xoy平面内的每一点可以作两条这样的线，它们应该是 平面内的每一点可以作两条这样的线， 则过 平面内的每一点可以作两条这样的线 正交的，所以在整个xoy平面内滑移线是两族正交曲线，分 平面内滑移线是两族正交曲线， 正交的，所以在整个 平面内滑移线是两族正交曲线 别称为 α 族和 β 族。 现在我们来分析一下一点的应力状态和主应力、 现在我们来分析一下一点的应力状态和主应力、最大剪 应力之间的关系，从而来得到两族滑移线的微分方程。 应力之间的关系，从而来得到两族滑移线的微分方程。 下面的图可以看到在xy坐标平面、 下面的图可以看到在 坐标平面、主平面和最大剪应力 坐标平面 面的关系。最大主应力的方向与x轴成 顺时针转45度 面的关系。最大主应力的方向与 轴成 ϕ 角，顺时针转 度 得到最大剪应力方向， 族线，它与x轴的夹角为 得到最大剪应力方向，即 α 族线，它与 轴的夹角为 θ ， 族线为正。 以x轴逆时针转动到 α 族线为正。那么另外一个最大剪应力 轴逆时针转动到 方向上最大主应力逆时针转动45度得到 度得到， 族线。 方向上最大主应力逆时针转动 度得到，即 β 族线。
第八章理想刚塑性体的滑移线解法
OBC
区域是中心场，其张角为
2
2
。
根据 OA 边上各点的应力状态判断 线， 线。
已知 OA 边界上 nt =0， n =0，经分析：t <0 是小主应力，因此 n =0 是大主应力。 根据 8.2 节关于滑移线的定义，可确定哪一条是 线，如图 8.5 所示。 ， 线必须正确确定，否则求出的极限荷载是错误的。
xy2
k2
s2
（8.2.5）
由图 8.2c 可见，最大剪应力面上的正应力就等于平均应力 ，故理想刚塑性体平面应变条
件下塑性区的应力状态可表示为
1 k 2 3 k
（8.2.6）
σy τyx
σx
p
τxy
y
τyx
σy
τxy σx
o
x
σ1 π/4 θ
σ3
p
σ3
σ1 φ=θ+π/4
σ1
2 2 v
2 2 v
故在 OD 边有
v v 2V ( X )
4
在整个塑性区中， 线是直线，沿同一条 线 v const 。在塑性-刚性区的交界线
ABCD 线上（ 线），法向速度 vn （ v ）应与刚性区连续，而在刚性区 v =0。因此，在整 个塑性区中， v =0。同样，在同一条 线上 v const 。由于， v =0，在 OD 边上，
v = 2V ( X ) ，因此，在整个塑性区沿 线有
v 2V ( X )
20
4.校核 ij si j 中的 是否小于零（即校核塑性耗散功率是否为非负）
在由滑移线组成的正交坐标系下
1 2
k
代入几何方程（8.1.3），有
1 2k
v s
v s
材料固体力学-塑性平面应变问题和极限分析
第六章 塑性平面应变问题和极限分析1. 设具有角形深切口的厚板，其滑移线场构造如图6.1(a)，试求此时该板所能承受的弯矩值。
图6.1(a)解：由于形状对称，滑移线场对称，故可只取右半部分进行分析。
厚板的下部C AO '∆是均匀应力区，在'AO 边上，0==n n τσ，k t 2±=σ，根据力矩M 的方向，应取负值，即4,,2πθσσ=-=-=k k t其应力状态和α线的方向如6.1（b ）所示。
由于厚板的上部ODB ∆也是均匀应力区，在OB 边上，0==n n τσ，k t 2±=σ，根据力矩M 的方向，应取正值，即γαα ββ4π 图6.1(c)图6.1(b)γπθπγππγθσσ-=-=-+===4,42)4(,,2k k t其应力状态和α线方向如图6.1（c ）所示。
正方形'OECE 是均匀应力区，根据对称性知道沿着垂直截面将只作用有拉应力q ，其数值及应力间断点C 的位置由下列平衡方程求得：⎪⎭⎪⎬⎫=---=--0)(210)(2212111h h k qh M h h k qh 由此得出Mkh kM q khM h h -==-212,由于CEDB 是同一根β线，故B BC C k k θσθσ22+=+)21()4(2)4(2γππγπσ-+=---+=k k k k C取OC 边上的单元体进行分析，如图6.1（d ）所示得：4,0,πθτσ-===n n qk q k t t n 2,2-==-σσσ)2(21)(21k q q t n -+=+=σσσk q k C -=-+=)21(γπσ图6.1（d ）Mkh kM k q -=-+=22)21(γπγπγπ24)22(2-+-+=kh M令2021kh M =则可得γπγπ24210-+-+=M M2. 设两边有对称角形深切口的厚板，角形深切口处的高度为h ，试求在极限状态时，该板所能承受的弯矩值。
清华大学研究生弹塑性力学讲义 9弹塑性_塑性力学平面问题
弹塑性力学第八章 塑性力学平面问题一、刚性理想塑性平面应变问题的基本方程和定解条件和弹性问题一样，平面应变问题的位移场应为()(),, ,, 0x x y y z u u x y u u x y u === (1)所研究的是柱形体，承受与轴线垂直、沿轴向均布载荷的作用，且两端约束轴向位移为零。
若物体的材料为理想塑性，则当载荷达到某定值时，物体可在载荷不变的情况下发生无限制的塑性流动，即达到塑性极限状态，简称极限状态。
下面来寻求在平面应变条件下物体在达到极限状态瞬时的响应，即应力和应变率在物体中的分布以及相应的极限载荷。
因为在刚达到极限状态的瞬时，应力率和塑性应变率均为零，且总体变形属于小量可以忽略不计。
在塑性流动过程中，塑性变形比弹性变形大得多，故可假设材料为刚性理想塑性，因而可用莱维－米赛斯塑性流动理论。
极限状态到达后，物体将继续不断产生塑性流动，几何尺寸发生显著变化，因此对继续塑性流动的研究将是材料和几何双重非线性问题，求解相当复杂。
但如果在流动过程中塑性区域在空间保持不变或几何相似，则属于稳定流动或准稳定流动问题。
这时采用空间坐标描述，则在任意瞬时仍可按塑性界限状态一样处理。
z 基本方程和定解条件根据平面应变定义和刚性理想塑性假设，在笛卡尔坐标系中塑性区应满足下列方程组： 几何方程, , y y x x x y xy v v v v x y y x εεγ∂∂∂∂===+∂∂∂∂&&& (2)本构关系，包括屈服条件()22244, (Tresca)x y xy s k k σστσ−+== (3)流动法则（莱维－米赛斯理论）()(),,2x x y y xy xy ελσσελσσγλτ=−=−=&&&第八章 塑性力学平面问题()()1 , 0 2,0 2x y z x y x y x y xy xy σσσσλσλεεσσεεγτ=+=>−−=+=&&&&&其中为塑性流动因子消去和后可得体积不可压缩条件(4)平衡方程0, 0xy xy y x x y x y ττσσ∂∂∂∂+=+=∂∂∂∂ (5)将(2)式代入(4)式，消去应变率分量，可得, 02y x x y y x y x xy v v v v x y v v x y x y σστ∂∂−−∂∂∂∂=+=∂∂∂∂+∂∂ (6)一般情况，塑性区的边界不仅指物体的实际边界，还包括两个不同区域的交界面，它可能有下列4种不同类型：给定面力的实际边界t Γ, n n n t t t στ==(7)给定表面速度的实际边界v Γ, n n t t v v v v ==(8)图8.1 给定面力边界 图8.2 给定表面速度边界图8.3 两个塑性区界面（速度间断） 图8.4 两个塑性区界面（应力间断）研究生学位课弹塑性力学电子补充讲义 姚振汉与其它塑性区的交界面y Γ可能情况1（交界面两侧切向速度发生间断，即两个塑性区相对滑动）, , n n n n n n v v k σσττ−+−+−+====± (9)此时[]0t t t v v v +−=−>，即两个塑性区可以相对滑动。
工程弹塑性力学-第八章
(8.8)
注意到： sx = σ x − σ = (σ x − σ y ) / 2, sy = −sx , sxy = τ xy , sz = sxz = syz = 0 注意到：
σ x −σ y 2 2 1 2 2 2 2 2 ′ J 2 = (sx + sy + sxy ) = sx + sxy = ( ) + τ xy = τ s2 = κ 2 2 2
刚塑性情况的Levy—Mises关系 关系: 刚塑性情况的 关系
& & ε ij = λ sij
(8.6)
& 由 ε z = 0, sz = σ z − σ = (2σ z − σ x − σ y ) = 0,即
1 3 &s = λ (σ − σ ) = 0 & & εz = λ z z
1 σ z = σ = (σ x + σ y ) = σ 2
(8.1)
εx =
应变分量为: 应变分量为:
(8.2)
εz = 0
σ x = σ x ( x, y), σ y = σ y ( x, y) σ z = σ z ( x, y) τ = τ ( x, y), τ = τ = 0 xy yz zx xy
(8.3)
8.1 平面应变问题的基本方程
任一点的应力状态 由静水应力σ与纯剪 应力τ=κ叠加而成。 叠加而成。
κ κ κ σ
ϕ
θ
O
x
4
在与主应力σ ϕ=45°角的方向上 角的方向上： 在与主应力σ1成ϕ=45°角的方向上：
π ϕ = θ + ,cos2ϕ = − sin 2θ ,sin 2ϕ = cos2θ
塑性成形原理-应变分析
(16-23)
表明在三维空间内三个切
应变分量一经确定，则线
应变分量也就被确定。
五、有限变形（略）
前面所讨论的应变是属于小应变的情况，在推导小应变
几何方程过程中，位移及其导数是很小的，并略去二阶以上 的高阶微量，对于小变形，这些公式是足够精确的，而且推
导出的方程都是线性的。但实际塑性加工时，往往变形量较
2
欧拉法
e e
' x ' y ' z ' ' '
e e xy ( e yz ( e zx (
w y1 u z1
u x1 v y1 w z1 v x1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1 2 1 2 u 2 x1 u 2 y1 u 2 z1 u u y1 x1 v z1 w x1
(16-21)
表明在每个坐标平面内，两个线应
变分量一经确定，则切应变分量随
之被确定。
zx xy yz 2 x ( ) x y z x yz 2 y xy yz zx ( ) y z x y zx yz zx xy 2 z ( ) z x y z xy
U U sin U cos 1 U U 1 U 2 1 1 U 1 U U 2 sin 1 1 U U U 2 sin
法的相对位移计算是以变形后物体内一点作为参考点，亦
即以变形后的坐标作为自变量，这种方法称为欧拉法。
工程塑性理论应变分析2
由式可见, 当变形程度很小时, 由式可见 当变形程度很小时 工程应变的高次项 可以忽略，对数应变近似地等于工程应变， 可以忽略，对数应变近似地等于工程应变，即 Є ≈ε。 Є 。 变形程度愈大，二者相差愈大。 变形程度愈大，二者相差愈大。 一般当变形程度<10%时，就可以认为：Є ≈ε 一般当变形程度 时 就可以认为：Є
工程应变＝ 工程应变＝
变形后的尺寸－ 变形后的尺寸－变形前 的尺寸 ×100％ 变形前的尺寸
设l0为物体中两质点变形前的尺寸，ln为变形后 为物体中两质点变形前的尺寸， 尺寸，则工程应变可用下式表示， 尺寸，则工程应变可用下式表示，即
l n − l0 ε= × 100% l0
◆工程应变一般适用于变形程度较小的情况。 工程应变一般适用于变形程度较小的情况。 当变形程度较大时， ◆当变形程度较大时，工程应变不足以反映实际的 变形过程。只有采用对数应变才能得到合理的结果。 变形过程。只有采用对数应变才能得到合理的结果。
为线应变或正应变， 为线应变或正应变，线段伸长时的正 应变为正，缩短时为负。 应变为正，缩短时为负。
◆ 表示角度变化的量称为切应变。角度 表示角度变化的量称为切应变。
减小时的切应变为正值，角度增大时 减小时的切应变为正值， 为负值。 为负值。
在以下所分析的应变量都是小应变， 在以下所分析的应变量都是小应变， 一般不超过10 数量级，因此， 一般不超过10-3∼10-2数量级，因此，对 弹性应变和塑性应变不加区别。 弹性应变和塑性应变不加区别。 由于变形较小，可以忽略切应变对线 由于变形较小， 长度的影响。 长度的影响。
A点沿x轴和y轴方向的位移分别为 点沿x轴和y B点沿x轴和y轴方向的位移分别为 点沿x轴和y D点沿x轴和y轴方向的位移分别为 点沿x轴和y
塑性成形判断题
二、判断题（共16分，每小题1分：在题号后的括号中打√或×） 应力分析：1. ( ) 主平面上的剪应力为0，因此该面上的主应力就是全应力。
2. ( ) 正应力为0的平面是主剪平面，剪应力为0的平面是主平面。
3. ( ) 应力张量不变量的大小与坐标系的选取有关。
4. ( ) 工艺塑性是指同一种材料在不同的成形工序中所体现出来的塑性。
5. ( ) 所谓冷变形是指在生产中不需要加热的变形。
应变分析：6. ( ) 工程剪应变的数值等于应变张量之剪应变分量。
7. ( ) 弹性变形会引起体积的变化，而塑性变形时体积不变。
8. ( ) 金属的塑性变形会引起变形体形状的变化和体积的变化。
9. ( ) 平面变形应变莫尔圆的两个小圆直径可以不相等，但这两个小圆一定分别位于坐标轴γ的两侧。
屈服准则：10. ( ) π平面垂直于MISES 屈服圆柱的轴线，且其上每点的应力状态为纯偏量状态。
11. ( ) 在主应力空间中Mises 圆柱的半径为S 32σ，且该圆柱轴线与三个坐标轴等倾。
12. ( ) MISES 屈服准则和TRESCA 屈服准则的根本区别在于前者考虑了中间主应力的影响，而后者没有考虑中间主应力的影响。
13. ( ) 由于应力张量可以分解为球张量和偏张量两个部分，所以，先施加应力球张量然后再施加应力偏张量所产生的变形，与施加应力张量所产生的变形相同。
14. ( ) 塑性变形是永久的、不可逆的变形，但塑性变形与加载历史（或加载路径）无关。
应力应变关系：15. ( ) 弹性变形的广义虎克定律写成张量形式为：ij m ij ij E G δσμσε2121'-+= 16. ( ) 根据增量理论，已知ij d ε只能求出'ij σ，但无法求出平均应力；已知ij σ则只能求出ij d ε各分量之间的比值。
17. ( ) 若已知某点的应力张量ij σ，则可根据增量理论求出该点应变增量的各个分量的值。
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理想刚塑性平面应变问题滑移线作为一种分析和作图相结合的方法是首先由Bat-dorf 和Budiansky 在1949年提出的。
由于它对于求解理想刚塑性平面应变问题的方便和有效。
滑移线理论在塑性力学中占有很重要的地位，一直得到较快的发展。
除了对理想刚塑性平面应变问题例如机械加工，金属成型等冲压，轧锟和锻造等生产上广泛应用之外，近年来对平面应力问题，各向异性材料等也提出了滑移线理论和求解方法。
应当说理想刚塑性平面是一种假设，因为真实材料在塑性加工和变形过程中，往往存在加工硬化影响。
蠕变和应变率效应，惯性力的影响等，滑移线理论是在忽略这些因素，把问题作为“准静态”处理，从而导致理想化的理论模式。
自然这样的理想化的理论计算给出工程上的很好近似，方便求出极限载荷，与实验也比较相符，因而滑移线理论是值得深入研究和进一步发展的塑性力学重要内容。
刚塑性平面应变问题的基本方程一、不可压缩条件平面应变的位移满足关系：),(y x u u x x = ),(y x u u y y = 0=z u （1）其速度场满足：),(y x v dtdu x x=),(y x v dt du y y = 0==z z v dt du （2） 其应变率张量为：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=0000)(210)(21y v x v yv yv x v x v y y x xy xij ε（3）不可压缩条件表示为：0=++z y x εεε（4） 因为0=z ε ，故有: 0=∂∂+∂∂yv x v yx （5） 二、Levy —Mises 关系由于)2(yx x xS σσλλε-==)2(xy y y S σσλλε-==xyxy τλγ 2= 故有 xy x y xy x y xy x yyv x v x v y v τσσγεε2-=-=∂∂+∂∂∂∂-∂∂ 三、平衡条件和屈服条件不考虑体积力,平衡条件为:0=∂∂+∂∂yx xyx τσ (6.1) 0=∂∂+∂∂yxy xy στ (6.2)Mises 屈服条件:022=-=k J f 由正交流动法则,并知0=z ε,则有:0)(=-==∂∂=σσλλσλεz z zz S f 进而可知:σσσσ=+=2yx z (7)注意到:2yx x x S σσσσ-=-=2xy y y S σσσσ-=-= 故有y x S S -= (8)进而可知:22222222)2()2(2121xy y x xy x xy y x ij ij S S S S S S S J τσσ+-=+=++==∴Mises 屈服条件可进一步表示为下式:22244)(k xy y x =+-τσσ (9)又考虑到: 2231)2(2xy y x yx τσσσσσσ+-±+=故有:2231)2(2xyyx τσσσσ+-=-因此Tresca 屈服条件表示为:22244)(k xy y x =+-τσσ (10)应当注意: (9)中的3sk σ=,而(10)中的2skσ=注：如果给定应力边界条件还可以用(6)式和(10)式来求x σ ，y σ， xy τ在刚性区则有: 22244)(k xyy x <+-τσσϕκσσ2cos +=xϕκσσ2cos -=yϕκτ2sin =xy其中ϕ为1σ与x 轴夹角,而α线与x 轴夹角为θ,则有:4πθϕ+=进而: θϕ2sin 2cos -= ,θϕ2cos 2sin =θκσσ2sin -=xθκσσ2sin +=yθκτ2cos =xy将上式代入平衡方程(6)式可得:02sin 22cos 20=∂∂-∂∂-+∂∂yk x k x θθθθσ 02cos 22sin 20=∂∂+∂∂-∂∂+yk x k y θθθθσ (11)由 式θκσσ2sin -=xθκσσ2sin +=yθκτ2cos =xy可得xy yx tg τσσθ22-=-将上式代入式xy x y xy x y xy x yyv x v x v y v τσσγεε2-=-=∂∂+∂∂∂∂-∂∂ 可得 0)(2)(=∂∂+∂∂+∂∂-∂∂xv y v tg y v x v yx y x θ 0=∂∂+∂∂yv x v yx (12) 注：如果给定速度边界条件还可以用(11)和(12)来求y x V V ,，θ，σ滑移线1、应力场中的滑移线、应力方程材料发生塑性屈服时，任一点的应力状态可以用等斜面上的平均正应力和等斜面上剪应力表出。
因为斜面上的平均正应力式不影响屈服的，因此材料是沿斜面剪应力方向发生剪切屈服破坏。
在平面应变问题中，连续材料质点的剪应力最大值即各质点等斜面剪应力轨迹线或滑移线。
如果能在平面内描出塑性变形滑移线。
也表示沿这些线上的剪应力等于屈服剪应力，而与之对应的面上正应力即为平均应力。
在塑性变形中，任一点的滑移线方向已知，由式θκσσ2sin -=xθκσσ2sin +=yθκτ2cos =xy可知，如果能计算出该点的平均应力大小，那么该点的应力状态可唯一的确定，如此通过平面滑移线作图与应力分析，就可以求出平面应变的应力分量。
由于滑移曲线仅限于二维坐标平面，因而它仅限于求解平面应变问题，页因为应力场中剪切屈服认为式等值才能描述出滑移线，所以只能认为理想刚塑性的材料才是适宜的。
02sin 22cos 20=∂∂-∂∂-+∂∂yk x k x θθθθσ02cos 22sin 20=∂∂+∂∂-∂∂+yk x k y θθθθσ由于问题解与坐标选择无关,将y x ,坐标系化为βα,坐标系(取0=θ)则有:0)2(=-θσαk d d0)2(=+θσβk d d进而可得: ξθσ=-k 2 (沿α线) (24.1)ηθσ=+k 2 (沿β线) (24.2)上式称为Hencky 方程。
此外由图可见, 沿α线满足θtg dxdy=, 沿β线θctg dxdy-= 。
这是互相垂直的平面坐标中两曲线族，一条曲线的切线与x 轴夹角为θ ，另一条曲线是逆时针转90度形成的曲线，显然，曲线族任何点都满足这个条件，而满足这个条件各点连成曲线形成平面中互为正交的两族曲线。
这两族曲线被称为α和β两族滑移线。
滑移线上各点既满足屈服条件和满足平衡方程，是塑性区的解。
自然，滑移线是一种通过作图给出塑性解的形象描述，它不是指一点或一条线而言，而是对某塑性区的描述，因而能在某塑性区域中画出滑移线，也就能求出该区域中的塑性解。
2、速度滑移线、速度方程平面刚塑性的变形问题一一速度场是在应力场的基础上加以分析求解。
它也可以借助于作图和分析相结合的办法求出变形过程中的应变率分量和速度分量。
而这一滑移线且 刚好与应力场中的滑移线是吻合的。
本节对此加以说明在直角坐标下，平面应变的速度分量分别为(),x V x y 和()y x V x ,。
应变率分别为x ε，y ε和xy γ，并且两者之间有⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫∂∂+∂∂=∂∂=∂∂=x V y V yV x V y x xy y y x x γεε（9.42） 显然，如以x V 和y V 作为基本未知量表示平面应变中的变形，那么依据塑性区体积不可压缩条件0=+y x εε，得出0=∂∂+∂∂yV x V yX （9.43） 在求出应力解基础上，利用增量型本构方程xyxy y y x x S S τλγλελε 2.=== （9.44）将与表示的应变率带入上式，得出⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫=∂∂-∂∂-=∂∂-=∂∂xy yx m y y m x xx V y V y V x V τλσσλσσλ 2)()( (9.45)由以上三式消去λ，并用应力分量表示X V 和yV ，则xy xy x y yx xV y V xV y V σστ-=∂∂-∂∂∂∂+∂∂2 (9.46) 这样对刚塑性平面应变变形问题，由（9.43）和(9.46)两个方程求解XV 和y V的两个未知数。
因而与应力场一样，平面应变的速度场也是静定的。
显然直接求解(9.43)和（9.46）两个方程是不可能的，依然可用特征值和滑移线方法求速度场问题。
将(9.46)方程中的应力分量用平均应力σ滑移线夹角θ表示成θτθσσθσσ2cos 2sin 2sin k k k xy y x =+=-=将速度方程改写成0)(2=∂∂+∂∂+∂∂-∂∂xV y V tg y V x V y x y x θ （9.47） 再考虑体积不变条件和沿xy 平面上任一曲线XV 和y V 的增量，则有⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫∂∂+∂∂=∂∂+∂∂==∂∂+∂∂dyy V dx x V dV dy y V dx x V dV yV x V y y y x x x yx 0 （9.48） 以上4个方程式构成一组以x V x ∂∂、y V x∂∂、x V y ∂∂、yV y ∂∂未知量的线性方程组，令其系数行列式等于零，即0010011221=-dy dxdy dx tg tg θθ展开得解得：⎩⎨⎧-=θθctg tg dx dy（9.49）说明x V 和y V 的特征线在xy 平面中与应力场中定义的滑移线式同一曲线，也就是平面应变的滑移线既是应力解方程的特征线，也是速度解方程的特征线。
因为它们在平面中具有相同的曲线切线描述。
并由Levy-Mises 本构理论，应变增量分量与对应的应力偏量分量成正比，也就是两者的主方向重合。
因而最大剪应力与最大剪应变率方向重合，说明由应力场中所划出的滑移线，不但表达了各点最大剪应力以及进而发生屈服的方向，也表达了最大剪应变率以及屈服的变形方向。
在应力场中的滑移线理论中，曾给出了沿α和β滑移线σ和θ满足的滑移方程，在研究变形问题即速度场中，也由速度滑移线给出由αV ，βV 和θ表达的速度方程，这一方程首先是由Griringer 在1930年给出的，又称为Griringer 方程。
如图9.17所示，αV 和βV 是任一点θ的速度矢量，并且是沿滑移线α和β的速度分量，θ则是α线与x 正方向的夹角。
按图示的坐标转换关系，则有直角坐标速度分量X V 、y V和滑移线速度分量αV 、βV之间的关系⎪⎭⎪⎬⎫+=-=θθθθβαβαcos sin sin cos V V V V V V y x (9.50)Levy-Mises 本构理论在这里表示为⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=∂∂=∂∂y yx x S y V S x V ..λλ （9.51） 如果沿滑移线方向取微元，并用αl d 、βl d 分别表示其沿α与β线之微弧长。
以α滑移线与β滑移线方向的局部坐标代表该点的直角坐标x 轴与y 轴的话，那么由滑移线所表达的力学概念，必有微元正应力ασ和βσ均为平均应力σ，于是有α与β线上的应力偏量分量为零，即⎭⎬⎫=-==-=00σσσσββααS S （9.52）依据（9.44）式的本构关系知，沿滑移线的应变率也为零。