高等数学A2复习要点
1-12-2高等数学A2期末总复习
淮 海 工 学 院11 – 12 学年 第 二 学期 高等数学A （2） 期末总复习一、选择题（本大题共8小题，每题4分，共32分）1. 由向量)2,0,1(=OA ，)2,1,0(=OB 围成的三角形OAB ∆面积为--------------（A ） （A ）23（B ）2 （C ）3 （D ）4注1：已知,a b ，会求,,a b a b a b ⋅⨯⨯，举例说明并练习.注2：已知,a b ，会求由,a b 构成的面积s a b =⨯，举例说明并练习.2．)tan()1(),(2222y x y y x y x f +-+=，则(,1)xx f x =-----------------------------（B ） （A ）1 （B ）2 （C ）x （D ）x 2 注1：二元初等函数求偏导数值，将另一变量的值代入，在对该变量求导. 如： 2(,)1,f x y y xy =+求(3,1),(,1),(,1),(0,1),(0,),(0,)x x xx y y yy f f x f x f f y f y . 又如：对选择题2，求(1,1),(0,1)x y f f .3. z y e u x-+=ln 在点)1,1,0(-处沿下列哪个方向的方向导数最大-----------（B ） （A ）)1,1,0(- （B ）)1,1,1(- （C ）)1,1,0( （D ）)1,0,1(注1：(,,)u f x y z =在点0M 处沿梯度方向000((),(),())x y z f M f M f M 的方向导数达到最大值222000()()()x y z f M f M f M ++.如：函数32),,(222+-+=z y x z y x f 在点)27,1,1(处沿下列哪个方向的方向导数最大？并求最大值.简要解答：,2x f x =z f y f z y 4,2-==则 )72,2,2()27,1,1(-=g r a df ，6)27,1,1(][max )27,1,1(==∂∂grad l f . 又如：对选择题3，求方向导数的最大值.4．二次积分⎰⎰exdy y x f dx 1ln 0),(的另一种积分次序为----------------------（B ）（A ） x d y x f dy ye e ⎰⎰1),( （B ） x d y x f dy eey ⎰⎰10),(（C ）x d y x f dy ee ey⎰⎰1),( （D ）x d y x f dy eeey ⎰⎰1),(注1：在直角坐标系下，交换二次积分的积分次序，需熟练描绘积分区域的图形，并将其表示成另一种积分区域. 如：⎰⎰1),(yydx y x f dy 的另一种积分次序为--------------------------------------------（C ） （A ）⎰⎰10),(xx dy y x f dx （B ）⎰⎰10),(xxdy y x f dx（C ）⎰⎰102),(xx dy y x f dx （D ）⎰⎰12),(x xdy y x f dx又如：x d y x f dy e ey ⎰⎰1),(的另一种积分次序为⎰⎰e xdy y x f dx 1ln 0),(.5．2272(21)(1)x y x y ds +=++=⎰----------------------------------------------------------------（D ）（A ）0 （B ） π （C ）2π （D ） 22π注1：第一种曲线积分的计算需利用(,),L Lx y L ds s ∈=⎰与对称奇偶性来完成.如：设L 为椭圆2215x y +=，其周长为l ，则()(5)Lx y x yd s ++=⎰----------------（D ） （A ）15l （B ） l （C ） 5l （D ） 5l6．设∑为锥面22y x z +=与平面1z =所围立体Ω的表面内侧，则223x zdydz xyzdzdx zdxdy ∑--=⎰⎰----------------------------------------------------（D ）（A ）π- （B ）3π- （C ）3π （D ）π 注1：第二种曲线积分的计算需利用高斯公式与kdv kv ΩΩ=⎰⎰⎰来完成，注意内外侧. 如：设空间闭区域{}(,,)1,2,||3x y z x y z Ω=≤≤≤，∑是Ω的整个边界曲面的外侧，用高斯公式计算得23xdydz ydzdx zdxdy ∑-+=⎰⎰ 96 .又如：对选择题6，设∑为空间闭区域{}22(,,)1,1x y z x y z Ω=+≤≤的表面内侧，用高斯公式计算223x zdydz xyzdzdx zdxdy ∑--⎰⎰.简要解答: Ω是半径为1、高为2的圆柱体，其体积为2π，令2,23P x z Q xyz R z ==-=-，则3x y z P Q R ++=-则原式()xyz P QR dv Ω=++⎰⎰⎰3dv Ω=⎰⎰⎰6π=．7．设)1(1+=n n u n ，则级数-------------------------------------------------------------（ D ）（A ）∑∑∞=∞=121n n n nu u 与都收敛 （B ）∑∞=1n nu 与∑∞=12n nu都发散（C ）∑∞=1n nu收敛，而∑∞=12n nu发散 （D ）∑∞=1n nu发散，而∑∞=12n nu收敛注1：对于p 级数11p n n ∞=∑，当1p ≤时发散，当1p >时收敛． 如：下列级数中收敛的是--------------------------------------------------------------------（D ）（A ）∑∞=+11n n n （B ）∑∞=+1)1(1n n n （C ）∑∞=+11n n n （D ）∑∞=+111n n n又如：若级数5611pn n∞-=∑收敛，则p 的取值范围是-----------------------------------------（A ）（A ）(,23)-∞ （B ）(,23]-∞ （C ）(23,)+∞ （D ）[23,)+∞ 8．设)(x f 是以π2为周期的周期函数，其在],(ππ-上的解析式为21,0()3,0x x f x x x ππ⎧--<≤=⎨-<≤⎩，若记)(x f 的傅里叶级数为()S x ，则(8)S π=-----（C ） （A ）1 （B ）32（C ）2 （D ）3注1：以π2为周期的)(x f 满足狄利克雷收敛条件，若0x 为)(x f 的第一类间断点，则)(x f 的傅里叶级数001()[()()]2S x f x f x +-=+.如：对选择题8，24(7)2S πππ--+=.二、计算题（本大题共4小题，每题7分，共28分）1. 设),(y x f z =是由 z x z y 25)35ln(-=- 所确定的隐函数,求23x y z z +. 注1：设),(y x f z =是由(,,)0F x y z =所确定的隐函数，则有公式法如下： ,x x z y y z z F F z F F =-=-．解：设=),,(z y x F z x z y 25)35ln(+-------------------------------------1 则03532,355,5≠--=-=-=zy F z y F F z y x (3分,偏导错一个扣分)则23x y z z +(23)x y z F F F =-+ =5.-------------------------------------------------3如： 设0)3cos()2sin(=-+-z y z x 确定了隐函数),(y x z z =，求23x y z z +. 2． 设1(,)z f xy x y x =+，其中f 可微，求)0,1(dz . 解：12211()z f yf f x x x ∂=-++∂-----------------------------------------------------------------2121()z xf f y x∂=+∂-----------------------------------------------------------------------------2 )0,1(dz= 212[(0,1)(0,1)][(0,1)(0,1)]f f dx f f dy -++.-----------3注1：含抽象复合函数的偏导数计算需利用链式法则.如： )(),(xyg yx xy f z +=,其中g f ,均可微，求x y xz yz +. 简要解答: ),(1221y x g x y f y yf x z '-+=∂∂ ),(1221y x g x f yx xf y z '+-=∂∂ 则12x y xz yz xyf +=.又如：对计算题2，求x y z z -.注2：(,)z f x y =的全微分公式为x y dz z dx z dy =+，求出,x y z z ，可得dz ， 进一步，将00,x x y y ==代入dz ，可得00(,)x y dz，或00(,)dz x y .如：设(,)y z yf x y x=-，其中f 可微，求(1,0)dz -.简要解答: 122()x y z y f f x =-+，121()y z f y f f x=+-， 因x y dz z dx z dy =+，则(1,0)(0,1)dz f dy -=-. 又如：对计算题1，求dz .3．设D 由23,1y x y x ==-及x 轴所围成，求2221(1)Ddxdy x y ++⎰⎰. 解: :01,03D r πθ≤≤≤≤----------------------------------------------2则原式122300(1)d r rdr πθ-=+⎰⎰-----------------------------------------212220(1)(1)6r d r π-=++⎰12π=.----------------------------------3 注1：若积分区域为圆（扇、环）域，被积函数为22()f x y +，则用极坐标.如： 若{}1),(22≤+=y x y x D ，求221Dx y dxdy --⎰⎰.简要解答: 原式212001d d πθρρρ=-⋅⎰⎰01)1(32232ρπ--=32π=. 又如：对计算题3，求2231(1)Ddxdy x y ++⎰⎰.4．取L 为22132x y +=的顺时针方向，用格林公式求422(2)(1)23L x y dy y dx x y +-++⎰. 解：原式41(2)(1)6L x y dy y dx =+-+⎰-------------------------------------------------------2221321(21)6Green x y d σ+≤=-+⎰⎰--------------------------------------------------------------3 221321622x y d σπ+≤=-=-⎰⎰.----------------------------------------------------------2 注1：用格林公式求LPdx Qdy +⎰时，若,P Q 含分母，利用(,)x y L ∈将分母变为常数，再用格林公式进行计算，注意L 的逆（顺）时针方向. 如：设L 是221x y +=的逆时针边界曲线，则=+--+⎰Lyx dyy x dx y x 22)()(π2-. 再如：对计算题4，求2(2)(2)y Ly y dx xy e dy --+⎰.三、计算题（8分）记曲面zxy z ln 21+=在点),,(0000z y x M 处的切平面为∏，若已知直线z y xL -==32:与∏垂直，求点),,(0000z y x M 及∏的方程. 解： 设=),,(z y x F z z x y 21ln-+，则 )211,1,1(),,(000--=z x F F F M z y x ------2 由L ⊥∏，知 0000111211,22112x z x z --==⇒==- ------------------------------3 代入zxy z ln 21+=可得：2ln 210+=y ----------------------------------------------1故∏：0)2()2ln 21()21(2=----+-z y x ，即 02ln 22=--+z y x .---2注1：曲面(,,)0F x y z =在点0M 处的法向量为0(,,)x y z M F F F .如：在曲面xy z =上求一点，使该点处曲面的法线垂直于平面.093=+++z y x 简要解答: 设所求点为 ),,(0000z y x M , 令(,,)F x y z z xy =- 则点0M 处的法向量为000(,,)(,,1)x y z M F F F y x =-由已知得113100-==x y ，解之得: 1,300-=-=y x ，则 3000==y x z 故所求点为)3,1,3(--.又如：求曲面0162222=++-+-z x z y x 在)1,3,1(处的切平面I 的方程, （1）判断平面∏：0536=---z y x 与切平面I 的位置关系；（2）判断直线11:63x z L y --==与切平面I 的位置关系. 简要解答: （1）令162),,(222++-+-=z x z y x z y x F则,14-=x F x 62,2+=-=z F y F z y ，切平面I 法向量)8,6,3(1-=n切平面I 方程为： 07863=++-z y x ，∏平面法向量为)3,1,6(2--=n由021=∙n n 知 21n n ⊥ ，即 ∏⊥I . （2）直线L 的方向向量为(6,1,3)s =-由10n s ∙=，知1n s ⊥，又直线L 上的点(1,0,1)∉I ，则L I .注意：当1n s ⊥时，若直线L 上的某点M ∈I ，则有L ⊂I . 四、计算题（８分）求幂级数∑∞=+---11212)12(2)1(n n n nn x 的收敛半径和收敛域．解: =+∞→|)()(|lim 1x u x u n n n 24x -----------------------------------------------------------------2当142<x 时，即2||<x 时，该级数绝对收敛-------------------------------------------1 当214x >时，即||2x >时，该级数发散------------------------------------------------1 则收敛半径2=R ---------------------------------------------------------------------------12±=x 时，相应级数为∑∞=--±1121)1(41n n n 收敛--------------------------------------2∴收敛域为]2,2[-． -------------------------------------------------------------------------1注1：熟练掌握求幂级数收敛半径和收敛域的解题方法与过程． 如：求幂级数n n n x n 2114⋅⋅∑∞=-的收敛半径和收敛域．简要解答: 1lim |()()|n n n u x u x +→∞=24x ，当241x <时，即||12x <时，该级数绝对收敛； 当241x >时，即||12x >时，该级数发散，则收敛半径12R = ，12x =±时，相应级数为14n n∞=∑发散，∴收敛域为(12,12)-． 五、证明计算题（本题8分）求证：23(32)(2)y y x e x y dx x e x y dy +-+-+为某二元函数(,)u x y 的全微分， 并求(,)u x y ．解: 23(,)32,(,)2yyP x y x e x y Q x y x e x y =+-=-+ ----------------------------------1231y P Q x e y x∂∂=-=∂∂-----------------------------------------------------------------------2 则(,)u x y 与积分路径无关-------------------------------------------------------------------1 (,)u x y =(,)23(0,0)(32)(2)x y y yx e x y dx x e x y dy C +-+-++⎰----------------------12300(32)(2)x yy x x dx x e x y dy =++-+⎰⎰---------------------------------------2322y x e x xy y C =+-++．-----------------------------------------------------------1 注1：x y LPdx Qdy du Q P Pdx Qdy +=⇔=⇔+⎰与积分路径L 无关，且000(,)(,)(,)(,)x y x yx y x y u Pdx Qdy P x y dx Q x y dy C =+=++⎰⎰⎰，一般取00(,)x y 为原点.如：证明：dy y x x y dx x y y x )sin sin 2()cos cos 2(22-++在整个xoy 平面内是某个二元函数的全微分，并求出一个这样的二元函数．简要解答: 因x y y x yPx Q cos 2sin 2+-=∂∂=∂∂，则命题得证； (,)2(0,0)2(2sin sin )x y xyu Pdx Qdy C xdx y x x y dy C=++=+-+⎰⎰⎰22sin cos y x x y C =++又如：对证明计算题五，求证:LI Pdx Qdy =+⎰与积分路径L 无关,仅与L 的起点仅与L 的起点(0,0)A 与终点(,)B x x 有关，并求出I ． 简要解答: 因231y Q Px e x y∂∂==-∂∂，则命题得证； (,)23(0,0)(32)(2)x x xxy I Pdx Qdy x x dx x e x y dy =+=++-+⎰⎰⎰32x x e x =+．六、计算题（本题8分）求,122σd y x D⎰⎰-+ {}(,)01,01D x y x y =≤≤≤≤．[解] 如图,原式122222(1)(1)D D x y d x y d σσ=--++-⎰⎰⎰⎰------------------------------212222(1)2(1)DD x y d x y d σσ=+-+--⎰⎰⎰⎰-----------------------------221112220000(1)2(1)dx x y dy d r rdr πθ=+-+-⎰⎰⎰⎰-------------------------2143π=-.----------------------------------------------------------2七、应用题（本题8分）如图ABCD 是一块边长为100m 的正方形地皮，其中ATPN 是一座半径为90m 的扇形小山，P 是弧TN 上一点，其余部分都是平地.某开发商想在平地上建造一个有边落在BC 与CD 上的矩形停车场PQCR ， 设,PR x AM y ==，求该停车场PQCR 的最大面积.解：在Rt APM ∆中，222(100)90x y -+=----------------------------------1 停车场PQCR 的面积(100)S x y =-，,(0,100)x y ∈------------------------1 构造222(100)[(100)90]L x y x y λ=-+-+-， ------------------------------------------1 由(100)2(100)0,20x y L y x L x y λλ=---==-+=----------------------1 解得x y =或100x y +=------------------------------------------------1 当x y =时，易得2950S m =---------------------------------------------------------------------1 当100x y +=，易得2(1405090002)S m =----------------------------------------------1 故停车场PQCR 的最大面积为2(1405090002)m -.-----------------------1 注1：此类优化应用题应化为条件极值问题，一般利用拉格朗日乘数法解决，也可将条件代入目标函数转化为无条件极值问题加以解决.如：2008年5月12日我国四川汶川发生了强烈地震，整个汶川地区的道路网受到了空前的破坏，为重建家园，政府决定建立一个优化的道路系统．现有一个道路子网将连接汶川地区的四个农庄A B C D 、、、，A B C D 、、、恰好座落在边长为km 2的正方形顶点上，该道路子网有一条关于,AD BC 对称的中心道21O O 及四条支道1122O A O B O C O D 、、、，整个设计要求11,O A O B x ==22O C O D y ==，设21O O 长为2z ，问,,x y z 为多少时，道路子网总长度最短？A BO 1O 2D C简要解答:221122x y z -+-+=，且(1,2),(1,2),(0,1)x y z ∈∈∈该题要求在上述条件下求道路总长度2()d x y z =++的条件最小值构造拉格朗日函数222()(1122)L x y z x y z λ=+++-+-+-222220120122011220x y z xL x y L y L L x y z λλλλ⎧=+=⎪-⎪⎪⎪=+=⎨-⎪⎪=+=⎪=-+-+-=⎪⎩解得213,1333x y z ===-，可使道路子网总长度最短． 注意：本题也可将221122x y z -+-+=化为222211z x y =----，代入目标函数222()2(1)11d x y z x y x y =++=++----令0x y d d ==进行求解．八、微分方程复习题1、yx ey +='的通解为----------------------------------------------------------------------（ B ）（A ）C e e yx=-- （B ）C e e y x =+- （C ）C e e y x =+- （D ）C e e y x =+ 注1：一阶可分离变量微分方程()()y f x g y '=的解法为()()dyf x dxg y =⎰⎰.对选择题1，,x y y e e '=y xe dy e dx -=⎰⎰，则选（ B ）.如：求23x y y e -'=的通解.2、12x y C C e =+是下列哪个微分方程的通解------------------------------------------（ A ） （A ）0='-''y y （B ）0='+''y y （C ）0=-''y y （D ）0=+''y y 注1：0y py qy '''++=的特征方程为20r pr q ++=，0,∆<不要求；若0,∆>特征方程有两个不同实根12r r ≠，原方程通解为1212r x r xy C eC e =+； 若0,∆=特征方程有两个相同实根r ，原方程通解为12()rx y C C x e =+.对选择题2，因011,x x x e e e ==为该微分方程的两个特解，则120,1r r ==为其特征方程有两个不同实根，其特征方程为2(1)0r r r r -=-=，故选（A ） 如：0=-''y y 的通解为12x x y C e C e -=+； 通解为12x x y C e C e -=+，则微分方程为0=-''y y . 又如：20y y y '''++=的通解为12()xy C C x e -=+； 通解为12()x y C C x e -=+，则微分方程为20y y y '''++=.3、 微分方程x xe y y y 244-=+'+''的一个特解可设为---------------------------（C ） （A ）2()x ax b e -+ （B ）x e b ax x 2)(-+ （C ）x e b ax x 22)(-+ （D ）xe x 23-注1：xy py qy ceλ'''++=的特解可设为*k xy ax eλ=，当λ为其相应特征方程20r pr q ++=的非特征根，单根，重根时，k 分别取0,1,2.注2：()x y py qy cx d e λ'''++=+的特解可设为*()k xy ax b x e λ=+，当λ为其相应特征方程20r pr q ++=的非特征根，单根，重根时，k 分别取0,1,2.对选择题3，因2λ=-为其相应特征方程2440r r ++=的重根，取2k =，其特解可设为*22()x y ax b x e -=+；1y y '''+=的特解可设为*y ax =.4、解微分方程.0)0(222⎩⎨⎧==+'-y xe xy y x注1：y Py Q '+=的通解可用公式法()Pdx Pdxy e Qe dx C -⎰⎰=+⎰，也可用构造法，利用()'PdxPdxye Qe ⎰⎰=求其通解.解（一）：公式法：22)(,2)(x xe x Q x x P -==⎰=∴2)(x dx x P ， 2)(222)(x dx e xedx e x Q x x dxx P =⋅=⎰⎰⎰-故通解为)(22C x e y x +=-由0)0(=y 得0=C ， 因此 22x e x y -=.解（二）：构造法：222()'2xdx xdx x ye xe e -⎰⎰=，则2()'2x ye x =，于是222x yexdx x C ==+⎰,有22()x y e x C -=+，下与解（一）相同.如：求解微分方程2111y x y x x +'-=++． 简要解答: 公式法， 111121()1dx dx x x x y e e dx C x -+++⎰⎰=++⎰ ln(1)ln(1)21()1x x x e e dx C x +-++=++⎰21(1)()1x dx C x =+++⎰(1)(arctan )x x C =++ 构造法：111121()'1dx dx x x x e y e x --+++⎰⎰=+，则ln(1)ln(1)21()'1x x x e y e x -+-++=+， 化简得21()'11y x x =++， 则21arctan 11y dx x C x x ==+++⎰，有(1)(arctan )y x x C =++． 注意：ln u e u =，如311ln ln ln ln 23ln 22311,,u x x x xx x x e u ee e e e e x x --=====．。
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(ax bx )i (ay by ) j (az bz )k
a b {ax bx , ay by , az bz }
a
(ax
{ax ,
bx )i
ay ,
(ay
az }
by
)
j
(az
bz
)k
(ax )i (ay ) j (az )k
向量模长的坐标表示式
| a |
的距离为
M0
d
n
M1
(3) 点
到直线
的距离为
M 0 (x0 , y0 , z0 ) d
d M0M1 s s
s (m,n, p)
M1(x1, y1, z1)
i
j
k
1 m2 n2 p2
x1 x0 m
y1 y0 z1 z0
n
p
（4）两直线间的距离
命题1 两平行直线
l1 :
x x1 X
T( x, z) 0
y
0
10、平面
[1] 平面的点法式方程 A( x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0
[2] 平面的一般方程
Ax By Cz D 0
[3] 平面的截距式方程 x yz 1 a bc
z
n
M0 M
o
y
x
M 0( x0 , y0 , z0 )
n { A, B, C}
y)
2z z
xy
( ) y x
f xy ( x, y)
2 z z
yx
( ) x y
f yx (x,
y)
2 z z
y 2
( ) y y
f yy(x, y)
高等数学A2期末复习要点
第七章 微分方程一、教学要求：掌握可分离变量的方程、可降阶微分方程的解法，一阶线性微分方程的解法；二阶常系数齐次线性微分方程的解法。
理解齐次方程的概念；线性微分方程解的性质及解的结构定理。
二、练习题：1、方程的通解中应包含的任意常数的个数为（ ）（A ） 2 （B ） 4 （C ） 3 （D ） 02、微分方程是( )微分方程．A ．一阶线性齐次B ．一阶线性非齐次C ．可分离变量D ．二阶线性齐次3、已知，，是方程的三个解，则通解为 ( ) ABC D4、已知是某二阶非齐次常微分方程的三个解，则该方程的通解为（ ）A ．B ．C ．D ．5、微分方程不是 ( )A. 线性方程B. 非齐次线性方程C. 可分离变量方程D. 齐次方程6、下面哪个不是微分方程的解（ ）（A ） （B ） （C ） （D ） 7、微分方程的通解是 8、微分方程的通解是222(1)1xxd ye e dx+⋅+=2(1)0y dx x dy --=x y cos =xe y =x y sin =()()()xf y x Q dx dyx P dxy d =++22xc e c x c y x sin cos 321++=()()x x e x c e x c y -+-=sin cos 21()x c x c e c c y x sin cos 12121--++=()x c x c e c c y xsin cos 12121++++=2,sin ,1x y x y y ===221sin 1x C x C y ++=2321sin x C x C C y ++=21221sin C C x C x C y --+=212211sin C C x C x C y --++=0ydx xdy -=''5'60y y y +-=65x x e e -+x e 6x e -6x x e e -+01=+''y 044=+'+''y y y9、微分方程的通解为 10、微分方程满足初始条件的解为 11、微分方程的通解是12、微分方程的通解是 13、微分方程的通解为 14、方程x x y sin +=''的通解是=y 15、微分方程04=+''y y 的通解为16、求微分方程25)1(12+=+-x x y dx dy 的通解 17、求微分方程x e y dx dy-=+的通解 18、求方程1sin '+=xy y x x的通解．第八章 向量代数与空间解析几何一、教学要求：掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积）；单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式及其运算；平面方程和直线方程及其求法；两个向量垂直与平行的条件。
高等数学A2复习题(2018-new)
高等数学A （2）复习题一、空间解析几何1. 设→→→→+-=k j i a 2，→→→→-+=k j i b 3， 求：(1) 与→a ，→b 均垂直的单位向量；(2) )()23(b a b a ρρρ⨯•-→；(3) 向量→a 的方向余弦。
2. 已知三角形的顶点为A )2,1,3(-、B )2,2,4(、C )3,0,1(，求此三角形的面积。
3. 已知 →→→→+-=k j i a 3，→→→→+-=k j i b 2，计算以→a ，→b 为邻边的平行四边形的面积。
4. 平行四边形ABCD 的两边为b a AB ϖρ2+=→--，3AD a b =-u u ur r r ，其中2,3==b a ρρ，并且a b ⊥r r ，求：(1)b a ρρ+；(2) 平行四边形ABCD 面积。
5. 求由yOz 平面上曲线 223y z -= 绕Oz 轴旋转一周所得的曲面方程。
6. 求过点)2,3,1(-且平行于平面132=-+z y x 的平面方程。
7. 求点)2,2,1(0-P 与平面11435=-+z y x 的距离。
8. 求直线 41112:1--==+z y x L 与 22221:2-=-+=z y x L 的夹角。
9. 求过点)5,3,2(-且与平面 13=+y x 垂直的直线方程。
10. 求过点），，（4120-P 且与直线 ⎩⎨⎧=---=-+-022012z y x z y x l ： 平行的直线方程。
11. 求平面1x z -=与xOy 平面的夹角。
12. 求过点)3,2,1(且与直线223032+12=0x y z x y z ++-=⎧⎨-+⎩垂直的平面方程。
二、多元函数微分学1．求极限 （1）x xyy x sin lim)2,0(),(→；（2）xyxy y x 11lim)0,0(),(-+→；（3）2222)0,0(),(cos 1)(limyx y x y x +-+→；（4）y x y x xye xy +→+)1ln(lim )0,1(),(；（5）2222)0,0(),(1sin)(limy x y x y x ++→。
成考专升本高等数学(二)重点及解析(精简版)
解： ∂z = 2x sin 2 y ， ∂z = 2x2 cos 2 y
∂x
∂y
三、全微分
1、全微分公式：函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 处全微分公式为： dz = ∂z dx + ∂z dy ∂x ∂y
2、全微分求法：（1）、先求出两个一阶偏导数 ∂z 和 ∂z . （2）、然后代入上述公式即可. ∂x ∂y
一、多元函数的定义：由两个或两个以上的自变量所构成的函数，称为多．元．函．数．。其自 变量的变化范围称为定．义．域．，通常记作 D 。 例如：二元函数通常记作： z = f (x, y) ， (x, y) ∈ D
二、二元函数的偏导数 1、偏导数的表示方法： （1）设二元函数 z = f (x, y) ，则函数 z 在区域 D 内对 x 和对 y 的偏导数记为：
或 dy
x= x0
dx
x = x0
（2）函数 f (x) 在区间（a,b）内的导数记作：
f '(x ) ， y' 或 dy dx
二、求导公式（必须熟记） （1） (c)' = 0 （C 为常数） （3） (ex )' = ex （5） (sin x)' = cos x
（2） (xα )' = α xα −1 （4） (ln x)' = 1
x2
− 2x + x2 −1
1
.
……… 0未定式，提取公因式 0
解：原式=
lim
x→1
(
x
( x −1)2 −1)( x +1)
=
lim
x→1
( (
x x
−1) +1)
=
高等数学 A1 A2考试大纲
《高等数学A》考试大纲一、总要求学生应了解或理解《高等数学A》中函数、极限和连续、一元和多元微积分、空间解析几何、无穷级数、常微分方程的基本概念与基本理论；学会应用变量数学的方法分析和研究自然现象中的数量关系，能运用基本概念、基本理论和基本方法进行推理证明及计算、能综合运用所学知识分析并解决实际问题。
本大纲对内容要求的高低用不同词汇加以区分；对概念和理论从高到低分“理解”、“了解”（或“知道”）两个层次；对方法和运算从高到低分“掌握”、“会”两个层次。
第一部分高等数学A1部分第一章函数与极限考试内容:映射和函数；数列的极限；函数的极限；无穷小、无穷大；极限运算法则；极限存在准则、两个重要极限；无穷小的比较；函数的连续性与间断点；连续函数的运算与初等函数的连续性；闭区间上连续函数的性质。
考试要求:1．理解函数的概念，掌握函数的表示法, 会建立简单应用问题中的函数关系式。
2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。
3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数的概念。
4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。
5．理解极限的概念，理解函数左、右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。
6．掌握极限的性质及四则运算法则。
了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限的方法。
7．理解无穷小、无穷大以及无穷小的阶的概念，会用等价无穷小求极限。
8．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。
9．了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（最大值、最小值定理、零点定理与介值定理），并会应用这些性质。
第二章导数与微分考试内容：导数的概念；函数的求导法则；高阶导数；隐函数及由参数方程所确定的函数的导数；相关变化率；函数的微分。
考试要求：1．理解导数概念及导数的几何意义,会求平面曲线的切线方程和法线方程.理解函数的可导性与连续性之间的关系。
2. 掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法,掌握基本初等函数的导数公式。
09-10-2高等数学A2公本知识点
高等数学2(公办本)复习要点一 题型1、填空题（3618⨯=分）;2、单项选择题（3412⨯=分）3、求函数的偏导数或微分（每题6分，共12分）4、求积分（每题5分，共20分）5、判别级数的敛散性（每题6分，共12分）6、（4大题共26分）二 知识点第7章 微分方程1、 二阶常系数齐次线性微分方程求通解,特解概念：若 22()()0d y dyP x Q x y dx dx++=中(),()P x Q x 为常数，称之为二阶常系数齐次微分方程。
解题步骤：（1）写出微分方程对应的特征方程20r pr q ++=，并求解出特征根12,r r （2）根据特征方程的两个根的不同情形，按照下列表格写出微分方程的通解：（3）将初始条件代入（2）中的通解中求解出通解中的12,C C（4）将12,C C 代入到通解里去，得到题目要求的特解。
例题：求微分方程230y y y ''--=满足初始条件0|0x y ==，0'|4x y ==的特解。
解： 所给微分方程的特征方程为2230r r --=其根121,3r r =-=是两个不相等的实根，因此所求通解为312x xy C e C e -=+ （1）从而312'3x x y C e C e -=-+ （2） 将初始条件0|0x y ==，0'|4x y ==代入（1）、（2） 得：120C C =+，1243C C =-+ 从而121,1C C =-=所以，原微分方程的特解为3x x y e e -=-+例题：求方程022=++s dtdsdt s d 满足初始条件：2..400-=='==s s t t 的特解解 对于求满足初始条件的特解的这类方程，应先求出原方程的通解,然后再求特解：原方程对应的特征方程为：.0122=++r r 即0)1(2=+r2121,.1r r r r -==∴为重根．t e t c c s -+=∴)(21(1) 再对(1)的两边关于t 求导:t t t e t c c c e t c c e c dtds-----=-++=)()1)((212212(2) 把40==s t 代入(1)的41=c 把⎪⎩⎪⎨⎧=-==4210c s t 代入(2)得，22=ct e t s -+=∴)24(为所求．例题： 求微分方程：052=+'-''y y y 通解． 解 所给方程的特征方程为：i r r r 2122042,0522,12±=-±==+-为一对共轭复根．).2sin 2cos (21x c x c e y x +=∴(这里2,1==βα) 练习：课本P340，2第8章 空间解析几何与向量代数 1平面方程练习：课本P42 1，8 2.直线的方程概念：直线间关系：平面与直线间的关系：练习：课本P49 1，8，10 3.曲面和曲线方程的表示形式; 曲面S 的方程：0),,(=z y x F曲线方程⎪⎩⎪⎨⎧===).(),(),(t z z t y y t x x4. 向量的运算、数量积与向量积的计算. 概念：(,,),(,,),(,,)x y z x y z x y z a a a a b b b b c c c c === 向量运算：加减：(,,)x x y y z z a b a b a b a b ±=±±± 数乘：(,,)x y z a a a a λλλλ= 点积：x x y y z z a b a b a b ⋅=++a b叉积：xy z x yza a ab b b ⨯=ij k a b 向量关系：例 设 a =(4,3,0), b =(1,3,2), 求2+a b ，a -4b 解 22(4,3,0)(1,3,2)(9,9,2)992+=+==++a b i j k ，(4,3,0)(4,12,8)(0,9,8)=-=--a -4b ，练习：1、已知两向量(1,4,5),(2,3,7)=-=-a b ，求3+a b ，32-a b2、已知向量(2,-2,3),=(-4,1,2),=(1,2,-1)a =b c ，求 ①()⋅a b c ②2()⋅a b c ③222++a b b c c a3、课本P22 1 P50 1第9章 多元函数微分法及其应用 1.二元函数的定义域、极限的计算;例1求函数z =D .解要使z =, 应有22440x y -- ,即2214y x + .故 22(,)14y D x y x 禳镲镲=+ 睚镲镲铪例2 求ln()z x y =-的定义域D .解 要使ln()z x y =-有意义, 应有0x y ->, 故 {}(,)0D x y x y =->. 例3求函数z =的定义域D 。
高等数学二知识点总结
高等数学二知识点总结（实用版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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高数 A2 期末考查的知识点
高数A2期末考查的知识点第八章向量代数与空间解析几何约20分（1）了解空间直角坐标系；（2）掌握向量的基本概念、向量的分解与向量的坐标、方向余弦与方向数；（3）理解投影定理。
（4）掌握向量的线性运算性质、向量积、混合积、两向量的夹角及两向量平行与垂直的条件（重点向量积）。
（5）会求平面方程的点法式、一般式、及截距式（重点）；（6）会求两平面的夹角；（7）了解两平面平行与垂直的条件；（8）会求点到平面的距离、（重点掌握）空间直线方程（一般式、点向式、参数式）、两直线的夹角；（9）理解两直线平行与垂直的条件；（10）会求直线与平面的夹角及交点；（11）理解直线与平面平行、垂直的条件；（12）会平面束方程的思想，求解数学问题（重点）。
（13）了解曲面方程、球面方程、旋转曲面的方程（包括圆锥面）、母线平行于坐标轴的柱面方程及空间曲线的方程（一般式、参数式）等概念；（14）会求空间曲线在坐标面上的投影；（3）掌握椭球面、抛物面及双曲面的定义及性质。
第九章多元函数微分法及其应用约23分（1）知道平面点集和n维空间的有关概念；（2）知道多元函数、多元函数的极限和多元函数连续的概念；（3）了解二元函数、二元函数极限、二元函数连续（重点）、二元函数间断点的概念；（4）知道多元函数在有界闭区域上的有界性，最大值最小值定理和介值定理。
（5）理解偏导数与偏导数的几何意义；（6）了解高阶偏导数的定义，知道二阶混合偏导数相等的充分条件；（7）理解全微分的定义，可微、可导与连续之间的关系，了解全微分形式的不变性（重点）；（8）掌握多元复合函数的求导法则，会求多元复合函数的一、二阶偏导数；（9）了解方程和方程组所定的隐函数存在定理的条件与结论，会求方程和方程组所定的隐函数的的导数（重点）；（10）会求空间曲线的切线与法平面的方程，曲面的切平面与法线的方程（重点）；（11）了解方向导数与梯度的概念以及导数、方向导数和梯度之间的联系，会用偏导数求函数的方向导数和梯度；（12）了解二元函数极值与条件极值的概念，掌握二元函数极值、条件极值和最值的求法（重点）。
高数同济第六版A2重点知识整理
20
6．应用 几何应用： 平面图形的面积：
空间曲面的面积：
d
D
A 1 f x f y d
2 2 D
或
A
D
z z 1 d y x
2
2
D 怎样确定？
空间立体的体积： V
z
z0
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5
4、 空间直线与平面的方程 空间平面 一般式 点法式 截距式
x a y b z c 1
y y1 y2 y1 y3 y1
点 : ( x0 , y0 , z0 ) 法向量 : n ( A , B , C )
z z1 z2 z1 0 z3 z1
f x
cos
f y
cos
f z
cos
2、梯度 gradf ( x , y , z )
f x
i
f y
j
f z
k
x (t ) 3、空间曲线 : y ( t ) z (t )
切向量
T ( t ), ( t ), ( t )
( x0 , y0 , z0 ) 为直线上一点;
参数式
s ( m , n , p ) 为直线的方向
向量.
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7
5.线面之间的相互关系
面与面的关系 平面
平面 2 : A2 x B2 y C 2 z D2 0, n2 ( A2 , B2 , C 2 )
垂直: 平行: n1 n2 0
f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 ) x
高等数学a2教材内容全解
高等数学a2教材内容全解高等数学A2教材是大学中所教授的一门重要课程，内容涵盖了微积分、常微分方程、多元函数等多个方面。
本文将对该教材的主要内容进行全面解析。
一、微积分微积分是高等数学的重要分支，也是数学分析的基础。
微积分主要包括极限、导数、积分等概念和方法。
1. 极限在微积分中，极限是重要的概念之一。
极限可以用来描述函数在某一点的趋近情况。
在A2教材中，我们学习了极限的定义、性质和计算方法，例如夹逼定理、洛必达法则等。
2. 导数导数是描述函数变化率的概念。
在A2教材中，我们学习了导数的定义、性质和计算方法，例如基本导数公式、导数的四则运算等。
同时，还学习了一阶导数、高阶导数以及隐函数求导等相关内容。
3. 积分积分是求函数面积、长度、体积等问题的数学工具。
在A2教材中，我们学习了定积分和不定积分的概念、性质和计算方法，例如牛顿-莱布尼兹公式、换元积分法等。
同时，还学习了定积分的应用，例如曲线长度、旋转体的体积等。
二、常微分方程常微分方程是描述变化率和变化量之间关系的方程。
在A2教材中，我们学习了常微分方程的基本概念、分类和求解方法。
1. 一阶常微分方程在A2教材中，我们学习了一阶常微分方程的概念和求解方法，例如可分离变量法、齐次方程法、线性方程法等。
通过这些方法，我们可以求解一阶常微分方程，并得到其通解。
2. 高阶常微分方程除了一阶常微分方程，A2教材中还介绍了高阶常微分方程的求解方法。
我们学习了线性常系数齐次方程、常系数非齐次方程等类型的求解方法。
三、多元函数多元函数是指自变量有多个的函数。
在A2教材中，我们学习了多元函数的概念、性质和计算方法。
1. 偏导数偏导数是多元函数的导数的推广。
在A2教材中，我们学习了偏导数的定义、性质和计算方法，例如高阶偏导数、隐函数偏导数等。
2. 多元函数的极值与条件极值在A2教材中，我们学习了多元函数的极值与条件极值的判定方法，例如利用二阶偏导数的符号判定极值，以及拉格朗日乘数法求解条件极值等。
高等数学A2考试重点
高等数学A2考试重点
第八章空间解析几何与向量代数
1．了解向量的概念、线性运算。
2．掌握数量积、向量积的计算。
3．掌握旋转曲面方程的写法。
4．会判断空间直线和平面的位置关系。
5．熟练掌握空间平面方程和空间直线方程的求法。
第九章多元函数微分法及其应用
1．了解平面点集、多元函数的概念。
2．掌握多元函数的极限的求法，多元函数自然定义域求法。
3．掌握多元函数全微分的求法。
4．熟练掌握抽象函数的一阶偏导数的求法。
5．熟练掌握具体函数的一阶、二阶偏导数的求法。
6．熟练掌握一个方程确定的隐函数的一阶偏导数。
7．熟练掌握二元函数的极值的求法（无条件极值、条件极值）。
第十章重积分
1．了解二重积分概念和性质。
2．掌握二重积分的几何意义。
3．会交换二重积分的积分次序。
4．熟练掌握在直角坐标和极坐标下计算二重积分。
5．掌握在直角坐标系和柱面坐标系下三重积分的计算。
第十一章曲线积分和曲面积分
1．了解曲线积分、曲面积分的概念和性质。
2．熟练掌握对坐标的曲线积分的计算方法。
3．熟练掌握利用格林公式计算曲线积分。
4．熟练掌握利用高斯公式计算曲面积分。
第十二章级数
1．了解常数项级数的概念与性质。
2．掌握幂级数收敛区间的求法。
3．掌握利用几何级数、p-级数、比值审敛法、莱布尼兹定理判断级数的敛散性。
4．掌握级数的绝对收敛、条件收敛的判定。
5．熟练掌握把有理函数展开成幂级数。
6．熟练掌握求幂级数的和函数。
高数A(Ⅱ)总复习一 (微分方程、级数)
1 x
x ( x 1) e dx c
1 x x c ( xe c) e x x
f (1) = e 代入，得 c = 0
∴ f (x) = ex
SHIJIAZHUANG TIEDAO UNIVERSITY
高等数学（A）I
2. 二阶常系数非齐次线性微分方程 y"- 4y' + 3y= 4xe3x 的
高等数学（A）I
1. 解微分方程 xf ( x) f ( x) （x 1)e x , f (1) e.
解:
1 x 1 x P( x) , Q( x) e x x
∴ 通解为
f ( x)
1 dx e x
1 dx x 1 x x e e d x c x
高等数学（A）I
6. 任意项级数的比值判别法 和根值判别法
un 1 ∑un为任意项级数， lim ( 或 lim n | un | ) n un n
① ρ< 1 ， 级数绝对收敛 ② ρ> 1 或为+∞， 级数发散 ③ ρ= 1 ，另行判定
SHIJIAZHUANG TIEDAO UNIVERSITY
n 1
SHIJIAZHUANG TIEDAO UNIVERSITY
*例. 级数 A. 收敛;
高等数学（A ）I
n2
(1) n n (1)
n
的收敛性为 【 A 】 C． 不确定 ； D. A, B, C 都不对
( n 2, 3,...)
B. 发散 ;
1 1 1 解： S2n-1 = 1 3 4 56 (2n 1) (2n)
高等数学下A2复习题
微分方程1．求微分方程xy dxdy2=的通解。
2．求微分方程ydy dx y xydy dx +=+2的通解。
3．求微分方程xyx y dx dy tan +=的通解。
4．求初值问题0|,0110==+-+=x y dy xydx y x 的解。
5．求微分方程xxx y dx dy sin =+的通解。
6．求微分方程25)1(12+=+-x x y dx dy 的通解。
7．求微分方程x xy dxdy42=+的通解。
8．求微分方程x e y xcos 2-=''满足1)0(,0)0(='=y y 的特解。
9．求微分方程0)3()4(=-y xy 的通解。
10．求微分方程02='-''y y y 的通解。
11．求微分方程02)1(2='-''+y x y x 的通解。
12．证明函数12cos sin y C x C x ωω=+（12,C C 为常数）是微分方程20y y ω''+=的通解。
13．证明函数xex C C y -+=)(2121,(C C 为常数）是微分方程02=+'+''y y y 的通解，求满足初始条件4)0(=y ，2)0(-='y 的特解。
空间解析几何与向量代数1．设点P 在x 轴上，它到点)3,2,0(1P 的距离为到点)1,1,0(2-P 的距离的两倍，求点P 的坐标。
2．两点)5,0,4(A 和)3,1,7(B ，求与向量平行的单位向量。
3．已知两点)0,3,1(),2,2,2(21M M ，计算向量21M M 的模、方向余弦和方向角。
4．若向量a 与b 共线，求b a ⨯。
5．若向量与垂直，求⋅。
6．已知}2,2,1{},4,1,1{-=-=，求（1）b a ⋅；（2）a 与b 的夹角；（3）a 在b 上的投影。
7．求点),,(c b a 关于原点的对称点的坐标。
高等数学A2[111102114]04-文档_10
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称函数z = f ( x, y)在点( x, y)可微分， AΔx + BΔy称为函数z = f ( x , y )在点( x, y)的全
微分，记为dz，即 dz= AΔx + BΔy.
y0 , z0 ) = 0，Fz ( x0 , y0 , z0 ) ≠ 0，则方程F ( x, y, z) = 0在点 P( x0 , y0 , z0 )的某一邻域内恒能唯一
确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数
z = f ( x, y)，它满足条件z0 = f ( x0 , y0 )，
并有
∂z = − Fx ， ∂x Fz
y0 )),
也可以记为
lim
P→P0
f
(P)
=
A或f
(P)
→
A(P
→
P0 ).
说明：
（1）定义中 P → P0 的方式是任意的；
（2）二元函数的极限也叫二重极限 lim f ( x, y); x→ x0 y→ y0
（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．
4.极限的运算
设 P → P0 时，f (P) → A, f (P) → B,则 (1) f (P) ± g(P) → A ± B; (2) f (P) ⋅ g(P) → A ⋅ B; (3) f (P) g(P) → A B (B ≠ 0).
6.多元连续函数的性质
（1）最大值和最小值定理
在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上 至少取得它的最大值和最小值各一次．
（2）介值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在
高等数学a2 门限
高等数学a2 门限高等数学A2门限是指学生在学习高等数学A2课程时所需达到的最低要求或标准。
在高等数学A2课程中，学生需要掌握的知识和技能相对较多，门限的设定旨在帮助学生明确自己的学习目标，促使他们努力学习和提高。
首先，在高等数学A2门限中，学生需要掌握基本的数学概念和基本的运算技巧。
这包括对微积分、线性代数、概率论等数学分支的基本理解和掌握。
学生需要能够熟练运用微积分中的导数和积分，理解线性代数中的向量、矩阵和线性方程组的基本概念，掌握概率论中的概率计算和统计分析等知识。
其次，在高等数学A2门限中，学生需要具备一定的数学建模能力和问题解决能力。
数学建模是将数学方法应用于实际问题的过程，学生需要能够将抽象的数学概念与具体的实际问题相结合，解决现实生活中的复杂问题。
学生需要能够分析和理解问题的本质，运用数学方法和技巧进行建模和求解，提出有效的解决方案。
另外，在高等数学A2门限中，学生需要具备良好的数学推理和逻辑思维能力。
数学是一门逻辑严谨的学科，学生需要能够理清问题的逻辑关系，进行严密的数学推导和证明。
学生需要能够准确地分析和推理问题，发现问题的规律和特点，运用数学方法进行证明和推理，得出正确的结论。
最后，在高等数学A2门限中，学生需要具备良好的数学学习能力和自主学习能力。
高等数学A2课程的学习需要学生具备良好的学习态度和学习方法，学生需要能够主动学习，积极思考，独立解决问题，不断学习和提高自己的数学水平。
学生需要能够合理安排学习时间，有效利用学习资源，不断探索和学习新的数学知识和技能。
总的来说，高等数学A2门限是学生在学习高等数学A2课程中所需达到的最低要求或标准，学生需要掌握的数学知识和技能，具备数学建模能力和问题解决能力，具备数学推理和逻辑思维能力，具备数学学习和自主学习能力。
学生只有在达到高等数学A2门限的基础上，才能够更好地学习和应用数学，提高数学水平，为未来的学习和工作打下坚实的数学基础。
高等数学a2 门限
高等数学a2 门限摘要：一、高等数学A2 的重要性1.课程背景2.对学生能力的要求二、门限概念的引入1.门限的定义2.门限在高等数学A2 中的应用三、门限对高等数学A2 学习的影响1.帮助学生明确学习目标2.激发学生的学习动力3.增强学生的学习信心四、如何应对门限1.充分了解门限要求2.制定合理的学习计划3.积极参与课堂讨论和实践活动五、结论1.门限对高等数学A2 学习具有积极意义2.学生应正确看待门限，努力提高自身能力正文：高等数学A2 是大学教育中一门重要的基础课程，它对学生的基础知识、逻辑思维能力和运算能力都有着较高的要求。
为了保证课程质量，很多学校都会设置门限，以筛选出真正有能力完成课程学习的学生。
门限，简单来说，就是一个界限，只有达到一定水平的学生才能进入更高层次的学习。
在高等数学A2 中，门限通常以一定的考试成绩为标准。
只有通过这个门限，学生才能继续学习这门课程。
门限对高等数学A2 的学习具有积极意义。
首先，门限可以帮助学生明确学习目标。
有了门限的存在，学生可以更加清楚地认识到自己在学习过程中需要达到的目标水平，从而有针对性地进行学习。
其次，门限可以激发学生的学习动力。
面对挑战，学生会有更大的动力去克服困难，提高自己的能力。
最后，门限可以增强学生的学习信心。
当学生成功达到门限要求时，他们会对自己在学习过程中的努力和能力有一个更加清晰的认识，从而增强自信心。
那么，如何应对门限呢？首先，学生应充分了解门限的具体要求，包括门限的分数线、考试形式等，以便为自己的学习制定合理的目标。
其次，学生应制定一个科学合理的学习计划，确保自己在有限的时间内达到门限要求。
最后，积极参与课堂讨论和实践活动，这不仅可以帮助学生巩固理论知识，还能提高他们的实际操作能力。
总之，门限对高等数学A2 学习具有积极意义。
学生应正确看待门限，将其视为提高自身能力的动力，而非阻碍。
高等数学A2复习要点
高等数学A2复习要点1.极限与连续：-函数极限的定义与性质：极限存在的条件、函数极限的唯一性、极限的四则运算、函数极限存在的充要条件；-极限的计算方法：夹逼准则、无穷小量的性质、极限的运算法则；-函数的连续性：连续函数的定义、连续函数的运算、闭区间上连续函数的性质。
2.一元函数微分学：-导函数的定义与性质：导函数的定义、导函数的运算规则、导函数与函数的关系；- 高阶导数与导数意义：高阶导数的定义、导数意义、Leibniz公式；-微分中值定理：拉格朗日中值定理、柯西中值定理；-函数的凸凹性与拐点：函数的凸凹性、拐点的判定法与性质；-泰勒公式与微分近似：泰勒展开、泰勒公式的应用、微分近似的性质与应用。
3.微分方程：-常微分方程的基础知识：常微分方程的概念、初值问题的初等解法；- 一阶线性微分方程：可分离变量方程、齐次方程、Bernoulli方程、一阶线性非齐次方程；-可降次的高阶微分方程：高阶微分方程与一阶微分方程的关系、齐次线性微分方程的解法；-常系数线性微分方程：齐次线性微分方程的特征方程、非齐次线性微分方程的解法。
4.二元函数与偏导数：-二元函数的极限与连续：二元函数极限的定义、二元函数连续的定义；-偏导数与全微分：偏导数的定义与几何意义、全微分的定义与性质；-二元函数的高阶导数：混合偏导数、高阶偏导数；-隐函数与参数方程：隐函数的存在定理、参数方程的求导法则。
5.重积分：- 二重积分的概念与性质：二重积分的定义、积分中值定理、Fubini定理；-二重积分的计算：直角坐标系下的计算、极坐标系下的计算、变量代换；-三重积分的概念与性质：三重积分的定义、积分中值定理；-三重积分的计算：直角坐标系下的计算、柱坐标系下的计算、球坐标系下的计算。
6.曲线与曲面积分：-曲线积分的定义与计算：第一类曲线积分、第二类曲线积分；-曲面积分的定义与计算：第一类曲面积分、第二类曲面积分；-格林公式与高斯公式：格林公式的推广、高斯公式的应用。
高等数学a2 苋科 -回复
高等数学a2 苋科-回复高等数学A2 苋科《数列的求和与极限》一、引言在高等数学的学习中，数列是一个重要的概念。
通过研究数列的特性，我们可以更好地理解函数的性质及其极限，从而掌握数学分析的基本方法和技巧。
本文以数列的求和与极限为主题，将逐步解答相关的问题，帮助读者深入理解该概念并能够灵活运用。
二、数列的概念及求和公式数列是按照一定规律排列的一系列数，常用的表示形式为{ an } ，其中n 为自然数。
数列的求和是指将数列中的所有项相加得到的结果。
1. 数列求和的概念与性质数列求和是数列学习中的重要内容之一。
求和可分为有限求和和无限求和两种情况。
有限求和是指将数列中有限个数相加的结果，而无限求和是指将数列中所有数项相加的结果。
数列求和有以下三个基本性质：（1）线性性质：对于任意数列{ an } 和{ bn } ，以及任意实数a、b，有∑(a ·an + b ·bn) = a ·∑an + b ·∑bn（2）换序性质：对于任意数列{ an } 和排列π，有∑an = ∑an·π其中∑an·π表示将数列{ an } 按照排列π进行重新排列后的求和。
（3）绝对值性质：对于任意数列{ an } ，有∑an ≤∑an即求和后的值不能大于原数列每一项的绝对值之和。
2. 常用的数列求和公式数列求和的过程中，可以根据数列的特性和性质来选择相应的求和公式，以便简化求解的步骤。
常见的数列求和公式有以下几种：（1）等差数列的求和公式：若数列{ an } 是等差数列，即满足an = a1 + (n-1)d ，其中a1为首项，d为公差，则数列的前n项和Sn可表示为Sn = na1 + n(n-1) ·d / 2（2）等比数列的求和公式：若数列{ an } 是等比数列，即满足an = a1 ·r^(n-1) ，其中a1为首项，r为公比，则数列的前n项和Sn可表示为Sn = a1 ·(1 - r^n) / (1 - r)（3）调和数列的求和公式：调和数列为an = 1/n ，即数列的每一项为其项号的倒数。
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高等数学A2
第7章 向量代数与空间解析几何
1. 求向量的模。
（课本9页，例7-7）
2. 求向量的单位向量。
（课本9页，例7-7）
3. 求向量的方向角，方向余弦。
（课本10页，例7-8）
4. 求向量a →在b →
方向上的投影。
（课本17页，习题3）
5. 求向量的点积a b →→⋅，叉积a b →→⨯。
（课本15页，例7-13）
6. 求空间平面的方程（点法式方程，一般式方程，截距式方程）。
（寻找法向量）（课本29页，例7-24，7-25）
7. 求空间直线的方程（点向式方程，参数式方程，一般式方程）。
（寻找方向向量）（课本35页，例7-29、7-30）
第8章 多元函数微分学
1. 求多元函数的定义域。
（课本44页，例8-3）
2. 求多元函数的极限。
（课本46页，例8-6）
3. 求多元函数的偏导数。
（课本51页，例8-11）
4. 求多元函数的全微分。
（课本56页，例8-16）
5. 求多元复合函数的导数。
（课本60页，公式8-13，例8-22）
6. 求多元隐函数的导数。
（课本65页，公式8-23，例8-26）
7. 多元函数偏导数在几何上的应用。
（课本67页，例8-27；8-28）
8. 求多元函数的极值。
（课本71页，例8-30，课本74页，拉格 朗日乘子法）
第9章多元函数积分学
1. 二重积分的性质4. （课本79页，性质4）
2. 直角坐标系下二重积分的计算。
（课本86页，例9-5）
3. 直角坐标系下二重积分交换积分次序。
（课本87页，例9-6）
4. 极标系下二重积分的计算。
（极标系下二重积分计算的转换公式，课本88页，公式9-5，例9-8）
第10章无穷级数
1. 常用级数等比级数（课本125页，例10-2），P级数（课本131页，例10-6）的收敛性。
2. 利用定义法（课本125页，例10-1）；逆否命题法（课本128页，例10-4），比较判别法（课本133页，例10-7），比值判别法（课本135页，例10-8）等判断级数的收敛性。
3.判断常数项级数收敛还是发散，若收敛，是绝对收敛，还是条件收敛。
（利用正项级数，交错级数判别法）（课本138页，例10-10）
4.求幂级数的收敛半径，收敛域。
（课本143页，例10-11）
第11章微分方程
1. 理解微分方程、解、通解、特解的概念。
（课本159页）
2. 会判断微分方程的阶。
（课本160页，课后习题1）
3. 求解可分离变量的微分方程。
（一阶）（课本161页，例11-4）
4. 求解一阶线性微分方程。
（课本167页，例11-11）
5. 求解二阶常系数齐次线性微分方程。
（二阶）（课本178页，例11-19、 20、21.）
高等数学A2综合练习题（一）
一、填空题
1.
函数z = 。
2．设22ln(1)z x y =++，则全微分dz = 。
3. 计算D
xydxdy ⎰⎰= ，其中区域{}(,)|01,02D x y x y =<<<<。
4．幂级数21n n x n ∞
=∑的收敛半径为 。
5．判断级数11()3n n ∞
=∑的敛散性是 。
6．微分方程'''22'3()2()30y x y y --=是 阶微分方程。
7．已知向量(4,1,2)a =-,(0,2,1)b =-, 则a b •= 。
8．微分方程dy x dx y
=-的通解为 。
9．微分方程560y y y '''-+=的通解为 。
二、 计算题
1. 求过原点，且平行于两直线12112121:
,:011121x y z x y z l l -+-+++====的平面方程。
2.设2z u v =，而222,u x y v xy =-=，求
,z z x y ∂∂∂∂。
3. 2D
x ydxdy ⎰⎰，其中D 为直线24,1y x x ==所围成的闭区域。
4. 22x y D e dxdy +⎰⎰，其中{}22(,)|4D x y x y =+≤。
5.判断级数(-1
1ln 1)n n n n
∞-=∑是否收敛，如果收敛说明是绝对收敛还是条件收敛？ 6.
求幂级数1n n ∞=的收敛域。
7. 2(1)x dy e y dx =+ 的通解。
8.
sin ,|1x dy y x y dx x x
π=+==的特解。
高等数学A2综合练习题（二）
一、填空题
1. 向量(1,2,3)α=-，(1,2,1)b =--，则(2)a b •=
2．设2z xy =，则全微分dz = 。
3. 利用二重积分的几何意义，计算D d σ
⎰⎰= ，其中区域
{}22(,)|1D x y x y =+≤
4．幂级数0!n n x n ∞
=∑的收敛半径为 。
5. 微分方程''3'5()2()30y x y y --=是 阶微分方程。
6．判断级数111n n ∞=+∑
的敛散性是 。
7．极限10
sin lim x y xy x →→= 。
8．曲线通过点(1,2)，且该曲线的任一点(,)x y 处切线斜率为2x ，则该曲线方程为 。
9．微分方程230y y y '''--=的通解为 。
二、 计算题
1. 求过点(1,2,1)A -且平行于直线241:
131x y z L -++==-的直线方程。
2.设u v z e -=，而2sin ,u x v y ==，求,z z x y
∂∂∂∂。
3. 求过点(1,2,1)A -且垂直于两平面2530x y z -++=及370x y z +--=的平面方程。
4．求函数222z x xy y x y =-+-+的极值.
5
．计算D
，其中{}22(,)|14D x y x y =≤+≤。
6.
判断级数1
1)n n ∞=∑(-是否收敛，如果收敛说明是绝对收敛还是条件收敛？ 7. 求幂级数1
(3)3n n n x n ∞=-•∑的收敛域。
8.22()()y x y dy xy x dx +=- 的通解。
9.212,|0x dy y x y dx x
=-==的特解。
高等数学A2综合练习题（三）
一、填空题
1.设2z x y =，则全微分dz = .
2.极限01
sin lim x y xy x →→= . 3.向量(213)a =-，
，与向量(11)b m =，，垂直，则m = . 4.幂级数1(1)n n x n ∞
=+∑的收敛半径R = .
5.级数212n n ∞
=∑的敛散性是 . 6.利用二重积分的几何意义，D
dxdy ⎰⎰= ，其中D ：222x y x +≤.
7.设22z y x =-，则z 的驻点为 .
二、计算题
1．求过三点(045)A -，，，(122)B --，，，(421)C ，，的平面方程.
2．求过点(024)，，且与直线2132x z y z +=⎧⎨-=⎩
平行的直线方程. 3.设sin u z e v =, 而,u x y v xy =+=, 求z x
∂∂和z y ∂∂. 4.求由方程2223470x y z ++-=所确定的隐函数(,)z f x y =的一阶偏导数.
5.计算D
xdxdy ⎰⎰，其中D 由y x =，1xy =及2x =所围成区域.
6.求22dy y x dx x
+=的通解. 7.求870y y y '''-+=的通解.
8.三个正数,,x y z 之和为9，试确定,,x y z 的值，使222x y z ++为最小.（9分）。