光学仪器的像分辨本领

4.光学仪器的像分辨本领

1.在50公里远处有两只弧光灯，今用一通光孔径为40mm 的望远镜观察它们，并在物镜前置一宽度可调的缝，缝的宽度方向和两弧光灯连线方向一致。观察发现，当缝宽减至30mm 时，两光源恰可被分辨，缝再窄就分辨不清了。取波长为600nm，试问两弧光灯之间的距离是多少？

解：恰可分辨时，满足瑞利判据，一个灯的中央衍射极大恰与另一灯的第一衍射极小相重，即最小分辨角为。故两灯的间距为

()a /sin

1λθ−=m

L l 1=⋅=∆θ2.一直径为2mm 的氦氖激光管，发出波长为632.8nm 的氦氖激光，问：射向远离我们公里的月球，则月球上的光斑有多大？若先将激光束扩束51076.3×成直径为5m 的光束，则射向月球在月球上的光斑又是多大？

解：激光管直径为2mm 时，月球上光斑直径为m a

L D 5109.2222.1×=×⋅=λ月地将激光扩束至5m 直径，增大了2500倍，则月球上光斑直径也缩小2500倍，为m

21016.1×3.一对双星的角距离为，要用多大口径的望远镜才能把它们分辨开？''05.0这样的望远镜的正常放大率是多少？

解：望远镜最小分辨角，已知，，故望远镜D /22.1λθ=µλ55.0=''05.0=θ物镜的口径直径为

m D 77.222

.1==θ

λ瞳孔直径d 在夜间可取成6mm，故望远镜正常放大率为倍

462=D 4.宇航员声称他恰能分辨在他下面100公里地面上两个黄绿点光源。若瞳孔直径为4mm，试估算这两个点光源的间距。解：两个点光源的间距为

m d

L l 8.1622.1=×=λ

5.一架光圈数最大为2.8的优质照相机，现在用它来拍摄天上的星点，试计算其像面上的像点有多大？

解：已知，，像点大小就是艾里斑直径，它是，µλ55.0=8.2/'==D f F l 2而

µ

λ88.1/22.1'=×=D f l 故直径为3.76微米。

若光圈数增大一倍，即F＝5.6，意味着物镜口径缩成一半，则艾里斑直径也增大一倍，成为7.52微米。

6.一架生物显微镜，使用的物镜为0.25×10，即数值孔径N.A.＝0.25，物镜放大率为10；目镜为10×。光波波长以550nm 计算，试问可分辨的最小间隔是多大？目镜焦面上恰可辨两物点的艾里斑中心间距有多大？

解：显微镜最小可分辨两物点的间距为

µ

λδ34.1../61.0==A N r 物镜放大率，故目镜焦面上和恰可分辨两物点对应的艾里斑中心间距10=β为1.34微米

7．光学系统(望远镜或者显微镜)所成发光点的象是一组衍射环。按照瑞利判据，成象刚能分辨的两邻近点之间的最小距离这样确定：第一发光点衍射环的中央亮斑应在第二发光点所给出的衍射图象的第一暗环处。大体上可认为：若两邻近点的几何成象处照度的极大值超过其中间强度15％以上，眼晴既能分辨这两点。用这一说法来验证当瑞利判据成立时是否确实得到两独立发光点的分开的象。

解：在两个独自发光点的情况下．其辐射波不相干。两波的强度相加就是屏上的总强度。设两点对于主光轴对称分布。我们讨论沿X 轴(图122)的强度分布。在该轴观察点的位置可用坐标表示。根据瑞利判据，衍射圆环中心之a x λ

πξ2=间的最小距离对应的坐标差为(见361题解)。在图122中，虚线表示所πξ=∆探讨的每个独自发光点的强度分布，而实线表示总强度。我们看到，衍射图形的中心强度几乎比每个发光点的最大强度即强度极大值小20%。因此，满足瑞利判

据，得到独自发光点分开的象。

8．假定所成象的两点不是独立发光，而是用同一光源照射的，求解上题。譬如可在屏上取两个圆孔，其大小比它们间的距离小得多。定性讨论下列三种情况，1)用平行于主光轴的光束照射孔；2)用与主光轴倾斜的平行光线照射孔；

3)用漫射光照射孔。

解：若象点不能独自发光，而由同一光源照亮，则它们发出的光是相干的。考虑到他们之间的位相差，要跌价不是强度，而是振幅。由361题题解得到、在一个点成像的情况下，每一光环的范围内（属于正方形光阑——亮的正方形）振动位相是相同的，同时由亮环经过照度极小值变到相邻的亮环时，位相改变了。

1)平行于主光轴的光照射两个孔。在此情况下，由两孔发出的光波位相相同，因光波到达O点通过的距离相等，因此在O点的位相亦相同。在O点的合振幅将是一个孔成像时振幅的2倍，强度是4倍。合强度分布如图123所示的曲线，它有一个极大值，眼睛看到如同一个点的象。所以在所讨沦的照明方式中，若被照两点之间的距离等于瑞利判据所要求的最小距离，就得不到两点分开的象。为

得到分开的象，要使这个距离大约增大到1．4倍；据此，和独自发光体的情形相比，分辨也减少到同样的倍数。

2）与主光轴成角的平行光照射两个孔。在此情况下，由两孔射出的光的ϑ位相不同，其位相差，式中d 是两孔中心之间的距离。到达O 点λϑπδ/sin 2d =时，两光线也有同样位相差。若dsin ＝λ／4，则δ＝90度，在O 点的强度将ϑ是一个孔所对应强度的2倍。这种照明方式下的分辨率将与独自发光体的情形一样。耕dsin ＝λ／2，则δ＝180度，此时到达O 点的光线位相相反，这里的ϑ强度将等于零。象分开得格外清楚。在这种照明情形下，孔距可以小于瑞利限度，依然得到它们分开的象。

3）用所有可能方向的光照射两孔。在此情形下，实际上得到同独自发光体一样的分辨率。

9．设自然照射时最大光量是在波长5500附近，试计算当适应于不大的0

A 亮度时眼睛所能分辨的最小角距离(瞳孔直径为4毫米)；2)求眼睛所能分辨的画在纸上细线之间的最小距离，而纸放在明视距离(25厘米)处。

解：1）34”2）0.042毫米

10．为充分利用目视望远镜物镜的分辨率，其放大率应为多少?

解：N＝D/d

11．1)试计算物镜直径为5厘米的目视望远镜的分辨率。2)当放大率为多少时该望远镜的分辨率才能被充分利用?眼睛瞳孔的直径d＝5毫米。

解：望远镜分辨角距离，其小D 是物镜的直径。用视觉观察时，D /22.1λϑ=可取；此时。2)当放大率N＞D／d＝10时。0

5500A =λ67.2′′=ϑ12．苏联建造了世界上最大的望远镜并安装在高加索山北支脉临近泽连丘斯卡亚车站的天文台上。该望远镜反射镜直径D＝6米。求它对波长所0

5500A =λ能分辨的角距离。

δϑ解：302.0/22.1′′==D λδϑ13．若用望远镜观察星球，其放大率并不比用肉眼更有利，问用望远镜的益处是什么?

解：几乎所有的星球的角直径甚至比最大望远镜的分辨角距离都要小得多。在这样条件下，星球在眼睛视网膜上成象的大小仅决定于光学系统(望远镜＋眼睛)中的衍射效应，而与放大率无关：然而象的亮度与进入光学系统的光通量成正比。在使用望远镜时，该光通量比通过眼睛瞳孔的光通量大多少倍，物镜孔面积比眼睛瞳孔面积(如果望远镜放大率是标准的)也大多少倍。因此用望远镜可比用肉眼看到更弱的星球。在标准放大率时，出射瞳孔的直径等于眼睛瞳孔的直径。采用高放大率观察星球是无益的．较小放大率时。不是所有进入望远镜的光都能通过眼睛瞳孔。

14．为什么用望远镜甚至在白天都能观察到那些远离太阳的最明亮的星？解：见上题。