镜像法-高中物理竞赛讲义

镜像法

思路

用假想的镜像电荷代替边界上的感应电荷。

保持求解区域中场方程和边界条件不变。

使用范围：界面几何形状较规范，电荷个数有限，且离散分布于有限区域。使用范围

界面几何形状较规范，电荷个数有限，且离散分布于有限区域。

步骤

确定镜像电荷的大小和位置。

去掉界面，按原电荷和镜像电荷求解所求区域场。

求解边界上的感应电荷。

求解电场力。

平面镜像1

点电荷对平面的镜像

(a) 无限大接地导体平面上方有点电荷q

（b）用镜像电荷-q代替导体平面上方的感应电荷

图4.4.1 点电荷的平面镜像

在无限大接地导体平面（YOZ 平面）上方有一点电荷q，距离导体平面的高度为h。

用位于导体平面下方h处的镜像电荷-q 代替导体平面上的感应电荷，边界条件维持不变，即YOZ平面为零电位面。

去掉导体平面，用原电荷和镜像电荷求解导体上方区域场，注意不能用原电荷和镜像电荷求解导体下方区域场。

电位：

(4.4.2.1

)

电场强度：

(4.4.2.2)

其中，

感应电荷：=>

(4.4.2.3)

电场力： (4.4.2.4)

图4.4.2 点电荷的平面镜像图4.4.3 单导线的平面镜像无限长单导线对平面的镜像

与地面平行的极长的单导线，半径为a，离地高度为h。

用位于地面下方h 处的镜像单导线代替地面上的感应电荷，边界条件维持不变。

将地面取消而代之以镜像单导线（所带电荷的电荷密度为）

电位： (4.4.2.5)

对地电容：

(4.4.2.6

平面镜像2

无限长均匀双线传输线对平面的镜

像

与地面平行的均匀双线传输线，

半径为a，离地高度为h，导线间距离为d，

导线一带正电荷+，导线二带负电荷-。

用位于地面下方h处的镜像双

导线代替地面上的感应电荷，边界条件维

持不变。

将地面取消而代之以镜像双导线。

图 4.4.4 无限长均匀传输线对地面的镜像

求解电位： (4.4.2.8)

(4.4.2.9)

平行导线间单位长度电容：

(4.4.2.10)

其中

小天线的镜像

与地面的小天线，长度为l ，离地高度为h 。

用位于地面下方h 处的镜像小天线代替地面上的感应电荷，边界条

件维持不变。

与自由空间的天线比较，当天线离平面很近时，若天线与平面平行，

辐射功率为零，若天线与平面垂直，辐射功率增强。若天线与平面倾斜放置，则

辐射功率的变化与倾斜角度有关。具体辐射功率的计算请参看天线辐射（超链），

此处仅给出思路和结论。

点电荷对相交接地平面的镜像

条件：两相交接地平面夹角为，n=1,2,3…

镜像电荷：2n-1个。

若两相交接地平面夹角不满足上述条件，则镜像电荷为无

穷多个。

图 4.4.5 点电荷对相交接地地面

的镜像

点电荷对介质平面的镜像

1区和2区为不同介质，求解时要分区域考虑。

求解区1的场：在区2置镜像电荷。求解区2的场：在区1置镜像电荷。

图4.4.6 点电荷对介质平面的镜像

求解和：

z>0时， (4.4.2.11)

z<0时， (4.4.2.12)

根据边界条件、可以解得

(4.4.2.13)

(4.4.2.14)

分区域考虑镜像电荷。

求单导线的对地电容

求单导线的对地电容。一根极长的单导线与地

面平行。导线半径为a，离地高度为h，求单位长

度单导线地对地电容。

单位长度单导线的对地电容可表示为

（式1）。

式中为单导线的电位，为地电位

（＝0），为导线的线电荷密度。现在需要

例题图4.9

求出，用镜像法求解。

单位长度单导线的对地电容可表示为（式1）。

式中为单导线的电位，为地电位（＝0），为导线的线电荷密度。现在需要求出。

令（近似认为均匀分布于导线表面），利用镜像法，将地面取消而代之以镜像单导线（带）。则原地面上方任意点P 的电位为（式2）。

式中、分别代表镜像单导线及原单导线到P点的垂直距离。由2式可知为。

把此式代入1式则得单导线对地电容为

（式3）。

有了上式，就可以方便地写出平行双导线间的单位长度的电容为

（式4）。

式中，D为平行双导线间的距离（相当于本题中的2h），a为导线半径。若D>>a，就可以简化为式4的近似式。

掌握如何利用平面镜像法求解典型传输设备的对地电容。

球面镜像1

点电荷对接地导体球的镜像

题目：半径为a的接地导

体球，在与球心相据的一点电荷

。

在导体球内，距离球心处

的点处置一镜像电荷来代替

导体球上的感应电荷，边界条件维持

不变，即导体球面为零电位面。

去掉导体球，用原电荷和

镜像电荷求解导体球外区域场，注意

不能用原电荷和镜像电荷求解导体

球内区域场。

求解镜像电荷的大小和位置：将原导

图4.4.7 点电荷对接地导体球的镜像

体球移去，及像电荷在原球面

上任一点P处产生的电位应为零，即

(4.4.3.1)

我们在球面上取通过的直径的两端点，对于这两点的电位式为

(4.4.3.2) (4.4.3.3)