玩转函数第1招--函数与映射概念的理解(精编文档).doc
函数与映射基础
函数与映射基础函数和映射是数学中两个重要的概念。
它们在数学和其他学科中的应用广泛，对于理解和解决问题起着关键的作用。
本文将介绍函数和映射的基础概念、特性以及它们的应用。
一、函数的定义和特性函数是一种特殊的映射关系，它将一个集合中的每个元素都映射到另一个集合中的唯一元素。
函数可以表示为f：X→Y，它将集合X中的元素映射到集合Y中的元素上。
函数有以下几个基本特性：1. 定义域和值域：函数的定义域是输入的集合，值域是输出的集合。
2. 单射性：如果一个函数的每个不同的元素都有不同的映射元素，那么这个函数是单射的。
3. 满射性：如果一个函数的每个元素都有至少一个映射元素，那么这个函数是满射的。
4. 双射性：如果一个函数既是单射的又是满射的，那么这个函数是双射的。
5. 逆函数：对于双射的函数，可以定义一个逆函数，用于将输出映射回输入。
二、映射的定义和分类映射是一种关联关系，它将一个集合中的元素与另一个集合中的元素对应起来。
映射可以表示为M：X→Y，它将集合X中的元素与集合Y中的元素对应。
根据映射的性质和关系，映射可以分为以下几种类型：1. 单射：每个输入只对应一个输出。
2. 满射：对于输出集合中的每个元素，存在至少一个输入与之对应。
3. 耦合映射：输入的元素与输出的元素具有明确的对应关系。
4. 多对一映射：多个输入对应一个输出。
5. 一对多映射：一个输入对应多个输出。
6. 多对多映射：多个输入对应多个输出。
三、函数与映射的应用函数和映射在数学和其他学科中有许多应用。
以下是一些常见的应用领域：1. 数学分析：函数是数学分析的重要概念，它用于描述和分析数学中的各种关系和变化规律。
2. 统计学：映射在统计学中被广泛应用，用于描述和分析数据和变量之间的关联关系。
3. 计算机科学：函数是编程语言中的基本构建块，它用于实现各种算法和程序逻辑。
4. 金融学：函数和映射在金融学中用于建立数学模型，对市场、投资和风险进行分析和预测。
函数映射知识点归纳总结
函数映射知识点归纳总结一、函数的定义与基本概念函数是数学中最基本的概念之一，在现代数学中函数被广泛应用到各个领域。
在实际应用中，函数是用来描述变量之间的关系的，它是一个很重要的工具。
1.1 函数的定义函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
在数学上，我们通常用字母 y=f(x) 来表示这一关系，其中 x 是自变量，y 是因变量，f(x) 表示函数关系。
当 x 取不同的值时，y 也会随之变化，这就是函数的基本概念。
1.2 函数的表示方法函数可以用不同的表达方式来表示，其中最常见的有函数图像、函数的解析式、函数的数值表以及函数的映射图等。
函数图像可以直观地表示函数的变化规律，函数的解析式可以用代数式来表示函数的关系，函数的数值表可以用一组数据来列举函数的取值，函数的映射图则可以用有向箭头来表示函数元素之间的映射关系。
1.3 函数的性质函数有很多重要的性质，比如定义域和值域、奇偶性、周期性、增减性、极值等。
这些性质对于研究函数的特性和行为非常重要，它们可以帮助我们更深入地了解函数的规律和特点。
二、常见函数的类型及特点在数学中有很多常见的函数类型，它们都具有各自特定的特点和规律。
了解这些函数类型的特点对于理解函数的本质和规律非常有帮助。
2.1 一次函数一次函数是最简单的函数类型之一，它的解析式可以写成 y=ax+b 的形式，其中 a 和 b 分别是函数的斜率和截距。
一次函数的图像是一条直线，斜率决定了直线的倾斜程度，截距则是直线与坐标轴的交点。
2.2 二次函数二次函数是一个抛物线函数，它的解析式可以写成 y=ax^2+bx+c 的形式，其中 a、b、c 是函数的系数。
二次函数的图像是一个开口朝上或者朝下的抛物线，a 的正负决定了抛物线的开口方向，b 和 c 则决定了抛物线的位置和形状。
2.3 指数函数指数函数是一个以底数为常数的幂函数，它的解析式可以写成 y=a^x 的形式，其中 a 是底数，x 是幂。
映射与函数知识点总结
映射与函数知识点总结一、映射与函数的概念1.映射的定义：将一个集合中的每个元素都对应到另一个集合中的一些元素的规律称为映射。
对于给定的两个集合A和B，如果每个元素a∈A都有一个元素b∈B与之对应，那么就称集合A到集合B的映射。
记作f：A→B。
2.函数的定义：函数是一种特殊的映射，它满足每个元素a∈A只能对应一个元素b∈B的规律。
对于给定的两个集合A和B，如果每个元素a∈A都有唯一的元素b∈B与之对应，那么就称集合A到集合B的函数。
记作f：A→B。
3.定义域和值域：函数f的定义域是指所有可能作为函数输入的数的集合，通常用符号D(f)表示；函数f的值域是指函数所有可能的输出的数的集合，通常用符号R(f)表示。
二、映射与函数的性质1.单射：也称为一一对应，指当对于集合A中的不同元素a1和a2，它们在集合B中的对应元素f(a1)和f(a2)也不相同。
换句话说，每个元素a∈A都对应着集合B中唯一的元素。
2.满射：也称为映满函数，指函数的值域与集合B相同，即函数的所有可能的输出都在集合B中。
3.双射：即同时满足单射和满射的函数，也称为一一映射。
4.奇函数和偶函数：如果对于函数f的定义域中的每一个实数x，都有f(-x)=-f(x)成立，则称函数f是奇函数；如果对于函数f的定义域中的每一个实数x，都有f(-x)=f(x)成立，则称函数f是偶函数。
5.反函数：如果函数f的定义域和值域都是实数集，且对于函数f中的每一对实数(x,y)，都有y=f(x)，则存在一个函数g，使得对于函数g中的每一对实数(y,x)，都有x=g(y)。
这样的函数g称为函数f的反函数。
三、映射与函数的应用1.函数关系式：映射与函数可以描述实际问题中的各种关系，如线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。
通过分析函数关系式，我们可以了解函数的性质和特点，从而应用到各种实际问题中。
2.函数的图像：通过绘制函数的图像，可以直观地表达函数的变化规律，了解函数的增减性、奇偶性、周期性等。
中考数学复习如何理解函数与映射的概念
中考数学复习如何理解函数与映射的概念函数与映射是中学数学中重要的概念之一，很多同学在学习数学时往往对这两个概念感到困惑。
为了帮助大家更好地理解函数与映射，本文将从概念定义、特性以及实际应用等方面进行探讨。
一、函数的概念与特性在数学中，函数是指两个数集之间的一种对应关系，其中每个输入都对应唯一的一个输出。
具体地说，对于一个函数 f，输入集合中的每个元素 x，都对应唯一的输出 y。
函数通常用 f(x) 来表示，其中 x 是自变量，y 是因变量。
函数可以用多种形式来表示，比如集合表示法、符号表示法、图像表示法等。
符号表示法最为常用，通常采用 f(x) = ... 的形式来表示。
函数的定义域是指所有可能的自变量的取值，值域是指所有可能的因变量的取值。
函数具有以下特性：1. 唯一性：每个自变量的取值只能对应一个输出。
2. 定义域与值域：函数的定义域和值域可以是实数集、整数集或自然数集等。
3. 单调性：函数可以是递增的或递减的。
4. 奇偶性：函数可以是奇函数或偶函数，具有一定的对称性。
5. 周期性：有些函数具有周期性，即在一定的周期内重复。
二、映射的概念与特性映射是函数的一种特殊形式，也是一个集合与集合之间的对应关系。
映射从一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素，通常用f: A →B (读作“映射 f 从集合 A 到集合B”) 来表示。
A 称为原集合，B 称为目标集合。
映射的特性包括：1. 确定性：映射中的每个元素在原集合中只能有一个对应元素。
2. 全射性：如果目标集合中的每个元素都有在原集合中的对应元素，则称映射是满射的。
3. 单射性：如果原集合中的每个元素在目标集合中都有唯一的对应元素，则称映射是单射的。
4. 满射性：如果映射同时具有全射性和单射性，则称映射是双射的。
三、函数与映射的实际应用函数与映射在数学中具有广泛的应用，也在实际生活中起到重要作用。
下面以几个实际例子来说明：1. 财务管理中的函数：在企业财务管理中，成本与产量之间的关系可以用函数来表示。
函数、映射的概念
函数、映射的概念•1、映射：（1）设A，B是两个非空集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任何一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么，就称对应f：A→B为从集合A到集合B的映射，记作：f：A→B。
（2）像与原像：如果给定一个集合A到集合B的映射，那么，和集合A中的a对应的集合B中的b叫做a的像，a叫做b的原像。
2、函数：（1）定义（传统）：如果在某变化过程中有两个变量x，y并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数，x叫做自变量，x 的取值范围叫做函数的定义域，和x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。
（2）函数的集合定义：设A，B都是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A 中的任何一个元素x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：x→y为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），x∈A，其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数f（x）的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{ f（x）|x ∈A}叫做函数f（x）的值域。
显然值域是集合B的子集。
3、构成函数的三要素：定义域，值域，对应法则。
值域可由定义域唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，值域一定相同，它们可以视为同一函数。
4、函数的表示方法：（1）解析法：如果在函数y=f（x）（x∈A）中，f（x）是用代数式（或解析式）来表达的，则这种表示函数的方法叫做解析式法；（2）列表法：用表格的形式表示两个量之间函数关系的方法，称为列表法；（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系。
注意：函数的图象可以是一个点，或一群孤立的点，或直线，或直线的一部分，或若干曲线组成。
•映射f：A→B的特征：（1）存在性：集合A中任一a在集合B中都有像；（2）惟一性：集合A中的任一a在集合B中的像只有一个；（3）方向性：从A到B的映射与从B到A的映射一般是不一样的；（4）集合B中的元素在集合A中不一定有原象，若集合B中元素在集合A中有原像，原像不一定惟一。
函数与映射的概念及其表示方法
函数与映射的概念★知识梳理1．函数的概念 (1)函数的定义：设B A 、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，通常记为A x x f y ∈=),( (2)函数的定义域、值域在函数A x x f y ∈=),(中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈)(称为函数)(x f y =的值域。
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应法则 2．映射的概念设B A 、是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任意元素，在集合B 中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从A 到B 的映射，通常记为B A f →:★重、难点突破重点：掌握映射的概念、函数的概念，会求函数的定义域、值域 难点：求函数的值域和求抽象函数的定义域 重难点：1．关于抽象函数的定义域求抽象函数的定义域，如果没有弄清所给函数之间的关系，求解容易出错误 问题1：已知函数)(x f y =的定义域为][b a ，，求)2(+=x f y 的定义域[误解]因为函数)(x f y =的定义域为][b a ，，所以b x a ≤≤，从而222+≤+≤+b x a 故)2(+=x f y 的定义域是]2,2[++b a[正解]因为)(x f y =的定义域为][b a ，，所以在函数)2(+=x f y 中，b x a ≤+≤2， 从而22-≤≤-b x a ，故)2(+=x f y 的定义域是]2,2[--b a 即本题的实质是求b x a ≤+≤2中x 的范围问题2：已知)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，求函数)(x f y =的定义域 [误解]因为函数)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，所以得到b x a ≤+≤2，从而22-≤≤-b x a ，所以函数)(x f y =的定义域是]2,2[--b a[正解]因为函数)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，则b x a ≤≤，从而222+≤+≤+b x a 所以函数)(x f y =的定义域是]2,2[++b a 即本题的实质是由b x a ≤≤求2+x 的范围 即)(x f 与)2(+x f 中x 含义不同1． 求值域的几种常用方法（1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，如求函数4cos 2sin 2+--=x x y ，可变为2)1(cos 4cos 2sin 22+-=+--=x x x y 解决（2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数)32(log 221++-=x x y 就是利用函数u y 21log =和322++-=x x u 的值域来求。
映射的概念和函数的概念
映射的概念和函数的概念映射的概念和函数的概念都涉及了数学中的一种关系，在数学中常被用来描述元素之间的对应关系。
虽然映射和函数都描述了元素之间的关系，但在不同的数学领域和语境中，这两个术语的使用可能略有不同。
下面将分别对映射和函数这两个概念进行较为详细的解释。
映射是数学中的一个概念，它描述了元素之间的一种对应关系。
简单来说，映射就是将一个集合中的元素对应到另一个集合中的元素，其中每个元素在映射中只能被对应一次。
映射通常用箭头“→”或者表示，例如“f: A →B”，表示把集合A中的元素映射到集合B中的元素。
其中，A称为映射的定义域或者输入域，B称为映射的值域或者输出域。
映射的定义可以相当灵活，可以是任意类型的元素之间的对应关系，不仅局限在数字之间的对应关系。
例如，我们可以定义一个映射f，把一个人的名字对应到他的年龄上。
在这个例子中，映射的定义域是人的名字的集合，值域是人的年龄的集合。
我们可以通过查找映射f来找到某个人的年龄。
函数是映射的一种特殊情况，它在数学中具有更为具体严格的定义。
函数是一种关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
函数通常用一种常见的表示法“y = f(x)”来展示，其中y是函数的输出，x是函数的输入。
函数的定义域是所有可能的输入，而值域则是所有可能的输出。
函数的定义域和值域可以是实数集、整数集或者其他类型的集合，取决于问题的具体上下文，而函数的定义域和值域通常具有一定的关系。
例如，我们可以定义一个函数f(x) = x²，其中定义域和值域都是实数集。
这个函数接受一个实数作为输入，并将其平方作为输出。
函数在数学中有很多重要的属性和性质。
比如，函数可以是线性的、非线性的、一一对应的、多对一的、单射的、满射的等等。
函数之间可以进行运算，比如函数的加法、减法、乘法和除法。
函数还可以进行复合，即将一个函数的输出作为另一个函数的输入。
在计算机科学中，函数被广泛应用于编程和算法设计中。
一函数与映射的基本概念
一、函数与映射的基本概念一、基本概念1．函数的定义：设A 、B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的元素y 和它对应，那么就称这样的对应“f :A →B ”为从集合A 到B 的一个函数，记作y =f （x ），x ∈A ，其中x 叫做自变量.x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合C={y|y = f （x ）,x ∈A }叫做函数的值域)(B C ⊆. 函数符号y =f (x )表示“y 是x 的函数”，或简记为f (x )．这里的“f ”即对应法则，它确定了y 与x 的对应关系．从函数概念看，“定义域、值域和对应法则”是构成函数的三个要素，其中，“定义域和对应法则”是两个关键性要素，定义域和对应法则一旦确定，函数的值域也随之确定．2、对应法则是指y 与x 的对应关系，它含有两层意思，一是对应的过程（形式），即由x 求出y 的运算过程，一般体现在函数的解析表达式中；二是运算的结果（本质），即y 的值，两个对应法则是否相同，要看对于同一个自变量的值所得到的函数值是否相同，有时形式上不同的对应法则本质上是相同的。
例如：x x x y x y ++=+=22cos sin 1与的对应法则是相同的。
3、同一个函数两个函数当且仅当定义域和对应法则二者均相同时才表示同一个函数，而值域相同是两函数为同一函数的必要非充分条件．4、变换字母在函数的定义域及对应法则不变的条件下，用不同的字母表示自变量及对应法则，这对于函数本身并无影响，比如f （x ）=x 2+1，g （t ）= t 2+1，都表示同一函数.5、区间及其表示方法．区间是数学中常用的表示数集的术语与符号．设b a R b a <∈,、，规定闭区间: [a ，b ]={}b x a x ≤≤|，开区间:（a ，b ）={}b x a x <<|，半开半闭区间:（a ，b ]={}b x a x ≤<|，[a ，b ）={}b x a x <≤|． 其中a 、b 分别为区间的左端点、右端点，b -a 为区间长度．符号+∞读作正无穷大，﹣∞读作负无穷大，它们都不是一个具体的数． 用+∞或-∞作为区间的端点，表示无穷区间，并且只能用开区间的形式． 如：{}a x x a >=+∞|),(，{}}|),(b x x b <=-∞，R =+∞-∞),(6．映射的概念：映射是两个集合间的一种特殊的对应关系，即若按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任一元素，在集合B 中都有唯一的元素与之对应，那么这样的对应（包括集合A 、B 和对应法则f ）就叫做集合A 到集合B 的映射，记作f ：A →B ．在映射f ：A →B 中，若A 中元素a 与B 中元素b 对应，则b 叫做a 的象，a 叫做b 的原象．因而，映射可以理解为“使A 中任一元素在B 中都有唯一象”的特殊对应（即单值对应）．如果映射f ：A →B 满足①A 中不同元素在B 中有不同的象；②B 中任一元素均有原象，那么这个映射就是A 到B 上的一一映射．7、映射与函数的关系函数是映射，但映射不一定是函数。
函数与映射关系深度剖析
函数与映射关系深度剖析函数与映射关系是数学中两个密切相关的基础概念。
函数是一个将一个集合映射到另一个集合的规则，而映射是一个集合到另一个集合的二元关系。
函数和映射之间的主要区别在于函数必须是单射的，这意味着对于每个输入值，只有一个输出值。
映射不需要是单射的，可以有多个输入值映射到同一个输出值。
函数函数是一个将一个集合（称为定义域）中的元素映射到另一个集合（称为值域）中的元素的规则。
函数可以用多种方式表示，包括：•函数表达式：函数表达式是一个数学表达式，它定义了函数的规则。
例如，函数f(x)=x2将每个实数x映射到其平方。
•函数图表：函数图表是一个表格，它列出了函数的输入值和输出值。
例如，函数f(x)=x2的函数图表如下：输入值输出值-2 4-1 10 01 12 4•函数图：函数图是函数的几何表示。
函数图是函数表达式或函数图表中的点的集合。
例如，函数f(x)=x2的函数图是一个抛物线。
映射映射是一个集合到另一个集合的二元关系。
映射可以用多种方式表示，包括：•映射图：映射图是一个表格，它列出了映射的每个输入值和输出值。
例如，映射f:A→B的映射图如下：输入值输出值a bb cc d•映射图：映射图是映射的几何表示。
映射图是映射图中的点的集合。
例如，映射f:A→B的映射图是一个有向图。
函数与映射之间的关系函数与映射之间的主要区别在于函数必须是单射的，这意味着对于每个输入值，只有一个输出值。
映射不需要是单射的，可以有多个输入值映射到同一个输出值。
例如，函数f(x)=x2是单射的，因为对于每个输入值x，只有一个输出值x2。
映射f:A→B不是单射的，因为有多个输入值映射到同一个输出值。
例如，输入值a 和b都映射到输出值b。
函数和映射的应用函数和映射在数学和计算机科学中有广泛的应用。
一些常见的应用程序包括：•数学分析：函数和映射用于研究函数的性质、极限和导数。
•计算机科学：函数和映射用于定义数据结构和算法。
一、函数与映射的基本概念
一、函数与映射的基本概念一、基本概念1．函数的定义：设A 、B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的元素y 和它对应，那么就称这样的对应“f :A →B ”为从集合A 到B 的一个函数，记作y =f （x ），x ∈A ，其中x 叫做自变量.x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合C={y|y = f （x ）,x ∈A }叫做函数的值域)(B C ⊆. 函数符号y =f (x )表示“y 是x 的函数”，或简记为f (x )．这里的“f ”即对应法则，它确定了y 与x 的对应关系．从函数概念看，“定义域、值域和对应法则”是构成函数的三个要素，其中，“定义域和对应法则”是两个关键性要素，定义域和对应法则一旦确定，函数的值域也随之确定．2、对应法则是指y 与x 的对应关系，它含有两层意思，一是对应的过程（形式），即由x 求出y 的运算过程，一般体现在函数的解析表达式中；二是运算的结果（本质），即y 的值，两个对应法则是否相同，要看对于同一个自变量的值所得到的函数值是否相同，有时形式上不同的对应法则本质上是相同的。
例如：x x x y x y ++=+=22cos sin 1与的对应法则是相同的。
3、同一个函数两个函数当且仅当定义域和对应法则二者均相同时才表示同一个函数，而值域相同是两函数为同一函数的必要非充分条件．4、变换字母在函数的定义域及对应法则不变的条件下，用不同的字母表示自变量及对应法则，这对于函数本身并无影响，比如f （x ）=x 2+1，g （t ）= t 2+1，都表示同一函数.5、区间及其表示方法．区间是数学中常用的表示数集的术语与符号．设b a R b a <∈,、，规定闭区间: [a ，b ]={}b x a x ≤≤|，开区间:（a ，b ）={}b x a x <<|， 半开半闭区间:（a ，b ]={}b x a x ≤<|，[a ，b ）={}b x a x <≤|． 其中a 、b 分别为区间的左端点、右端点，b -a 为区间长度．符号+∞读作正无穷大，﹣∞读作负无穷大，它们都不是一个具体的数． 用+∞或-∞作为区间的端点，表示无穷区间，并且只能用开区间的形式． 如：{}a x x a >=+∞|),(，{}}|),(b x x b <=-∞，R =+∞-∞),(6．映射的概念：映射是两个集合间的一种特殊的对应关系，即若按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任一元素，在集合B 中都有唯一的元素与之对应，那么这样的对应（包括集合A 、B 和对应法则f ）就叫做集合A 到集合B 的映射，记作f ：A →B ．在映射f ：A →B 中，若A 中元素a 与B 中元素b 对应，则b 叫做a 的象，a 叫做b 的原象．因而，映射可以理解为“使A 中任一元素在B 中都有唯一象”的特殊对应（即单值对应）．如果映射f ：A →B 满足①A 中不同元素在B 中有不同的象；②B 中任一元素均有原象，那么这个映射就是A 到B 上的一一映射．7、映射与函数的关系函数是映射，但映射不一定是函数。
函数和映射的区别和联系
函数和映射的区别和联系许多人将函数和映射混为一谈，但它们虽然是一类概念，但它们还是有着紧密的关系与不同之处的。
本文将就函数和映射的区别和联系作一个详细的介绍，以加深对这两个概念的理解。
首先，让我们来了解一下函数和映射。
函数是一种特定类型的数学关系，它主要用来表示两个变量或者实体之间存在某种推导或者关系，可以将其视为“表达式”或者“等式”，例如y=a*x+b，两边的x 和y是变量，而a和b是常量，当我们改变x的值时，y的值也会相应发生变化。
而映射将一个特定的值映射到另一个特定的值，其中可以存在多对一的映射，一对多的映射，多对一的映射和多对多的映射，而且当映射关系发生变化时，所有的映射都会发生变化。
其次，我们来看函数和映射之间的关系。
首先，函数可以被看作是一种特殊的映射，可以将函数看作是一种特殊的一对一的映射，即给定一个x值，就可以求得其对应的y值，而且不管如何改变x值，y值都是唯一的，这正是函数的定义和特征。
其次，两者还有着共同的特点，比如它们都可以用来描述两个不同的实体之间的某种联系，而且都可以用来构建某种变换关系，例如将函数应用到映射中，可以将原来的映射变换成新的映射，而且它们之间也可以相互转换，将函数转换成映射，将映射转换成函数，甚至变换成多项式之类的结构。
最后，我们再来总结一下函数和映射的区别和联系。
函数是一种特定类型的数学关系，可以将其视为“表达式”或者“等式”，两边的x和y是变量，而a和b是常量，当改变x的值时，y的值也会相应发生变化，而映射是将一个特定的值映射到另一个特定的值，可以存在多对一，一对多，多对多的映射关系发生变化时，所有的映射都会发生变化。
函数和映射之间有着非常紧密的关系，可以将函数看作是特殊的一对一映射，也具有一些共同的特点，比如可以用来构建某种变换关系，而转换成一个另外函数或者映射，两者之间也可以相互转换。
综上所述，函数和映射是一类概念，有着相互关联的特征，但仍有不少的区别，两者之间的关系可以通过函数转换成映射或者映射转换成函数来实现，用来表示两个变量或者实体之间存在某种推导或者关系，对此，我们应当做到分清概念，从而可以更好地理解它们之间的不同之处。
2.1(1)函数和映射的概念
乘2
1 1 -1 2 -2
求平方
求倒数
1
1 1 4 2 3
1 2
2 3 4
1 2
1 3
3
5
6
3
-3
9
4
1 4
（3）
（1）
（2）
共同点：对于集合A中的任意一个元素，集合B中
都有唯一的元素和它对应。
环节2：函数的定义
x 2 2 ( x 0) •(2)设函数 f ( x ) ( x 2) 2x
18 • f(-4)=_____________; • 4 或 6 • x0=_______________.
f(x0）=8 则
例5
求下列函数的定义域
1 2 1 y x 2 | x |
（2）如何判断给定的两个变量之间是否具 有函数关系？
①定义域和对应法则是否给出？ ②根据所给对应法则，自变量x在其定义域中的每一 个值，是否都有惟一确定的一个函数值y和它对应。
此时我们可以回答前面提到的问题了
判断下列对应能否表示y是x的函数
（1） y=|x| （3） y=x 2 （2）|y|=x （4）y2 =x
{x x＜a} {x x≤a} {x x＞b} {x x≥b} {x x∈R}
区间表示 数轴表示 。 。 (a , b) [a , b] . . 。 [a , b) . 。 . (a , b] 。 (－∞, a) . (－∞, a] 。 (b , +∞) . [b , +∞) (－∞,+∞) 数轴上所有的点
例6 已知a满足下列条件： （） 3 2a 1, 3a 1 1 ( 2) 点p( a ,2a 6)在坐标系中 位于第四象限 . 试求a的取值范围
函数的映射与函数方程的解法
函数的映射与函数方程的解法函数是数学中的一个重要概念，它描述了两个集合之间的关系。
函数的映射和函数方程是函数的两个关键概念，它们在数学应用和问题解决中起到了重要的作用。
本文将介绍函数的映射和函数方程的基本概念，并讨论它们的解法。
一、函数的映射函数的映射指的是将一个集合中的元素对应到另一个集合中的元素的过程。
通常用数学符号表示为f: A → B，其中 A 和 B 是两个集合，f 表示映射关系。
在函数的映射中，集合 A 称为定义域，集合 B 称为值域。
对于定义域中的每个元素 a，都存在一个与之对应的值域中的元素 b。
这种映射关系可以用图像、表格或公式等方式表示出来。
函数的映射可以是一对一映射，也可以是多对一或一对多映射。
一对一映射指的是集合 A 中的每个元素都有唯一的对应元素在集合 B 中，而多对一映射和一对多映射分别指的是集合 A 中的多个元素对应到集合 B 中的同一个元素，或集合 A 中的一个元素对应到集合 B 中的多个元素。
二、函数方程的解法函数方程是描述函数之间关系的等式，我们可以通过解方程来求解函数方程。
解函数方程的方法通常有代入法、插值法、递推法等。
1. 代入法代入法是求解函数方程的一种常用方法。
它通过将已知条件代入到方程中，求解未知变量的值。
以一元一次方程为例，假设有一个函数方程 f(x) = ax + b，其中 a 和 b 是已知常数，我们可以通过将已知条件代入方程中，解得未知变量 x 的值。
2. 插值法插值法是用已知的函数值推算出未知函数值的方法。
它通过构造插值多项式，将已知函数值代入多项式中，求解出未知函数值。
插值法在函数逼近和曲线拟合中得到广泛应用。
3. 递推法递推法是通过已知函数值推算出后续函数值的方法。
它利用已知函数值之间的递推关系，通过迭代计算来求解未知函数值。
递推法在数列和递归函数的求解中常常被使用。
三、函数映射与函数方程的应用函数的映射和函数方程在数学和实际问题中有着广泛的应用。
函数和映射的区别和联系
函数和映射的区别和联系函数和映射是数学中两个概念，但有时会经常被混淆。
它们之间存在一定的区别和联系，例如从功能和表示方法的差异。
虽然它们有一些相似性，它们也有显著的差异和区别。
本文的目的是弄清楚这些差别，以及他们之间的联系。
首先，我们来看一下函数和映射之间的区别。
函数是一个关系，其中每个输入值都会有唯一的输出值。
它可以表示为一个方程：如果x是一个实数，那么y=f(x)是一个函数。
映射涉及多个输入和多个输出。
它们没有规律，每个输入可以有多个输出，但不一定会有任何输出。
它可以表示为一个表格，如：（x，y）=（1，2）映射。
此外，函数和映射还可以通过它们的表示方法进行区分。
函数可以表示为曲线或图表，而映射可以表示为表格或图形。
函数可以用函数图表和函数方程来表示，而映射可以用表格和图形来表示。
当然，函数和映射之间还有许多明显的差异。
例如，函数是单射的，而映射可以是双射或多射的。
函数可以用方程表示，而映射不能用方程表示。
此外，函数只允许一个输入对应一个输出，而映射可以有多个输入对应一个输出。
虽然有一定的区别，但函数和映射之间仍然存在很多联系。
首先，函数可以被看作是特殊的映射，它们之间存在相同的基本概念。
函数和映射都是把一个输入变成一个输出，但函数是一个特殊的映射，它遵循一定的规则。
此外，函数和映射之间还有着共同的目的，那就是把一种东西变换成另一种东西。
此外，函数和映射还可以用来实现同样的任务。
例如，函数和映射都可以用来同构，即映射一种数据结构到另一种数据结构。
此外，函数和映射也可以用来处理数据，如将两个数字相加或两个字符串拼接。
总之，函数和映射是数学中两个重要概念，它们之间存在一定的差异和联系。
函数是一个关系，其中每个输入值都会有唯一的输出值，可以表示为一个函数方程和图表；而映射则涉及多个输入和多个输出，可以表示为一个表格或图形。
函数比映射更加简单，但它们有很多相同的用途和相同的目的。
映射与函数的概念
映射与函数的概念嘿，朋友们！今天咱来聊聊映射与函数，这可真是数学世界里超级有趣的玩意儿啊！你看啊，映射就好像是一个神秘的红娘，把这边的一堆东西和那边的一堆东西牵线搭桥。
比如说，咱把班里的同学和他们的学号对应起来，这就是一种映射呀！每个同学都有唯一对应的学号，多神奇！这就像给每个人都贴上了一个专属的标签。
那函数呢，其实就是一种特殊的映射啦！它就像是个更挑剔的红娘，要求这边的一个只能对应那边的一个，不能一对多哦！这就好比你去参加相亲大会，一个人只能跟另一个人牵手成功，不能脚踏几条船呀，哈哈！想象一下，我们生活中有多少像函数一样的关系呀！比如你每天喝的水的量和你的口渴程度，一般来说，喝得水越多，口渴程度就越低，这就是一种函数关系嘛。
再比如你学习的时间和你的考试成绩，通常情况下，努力学习的时间越长，成绩可能就会越好，这也可以近似看成一种函数关系呀。
我们的世界充满了各种各样的映射和函数。
就像四季的更替，春天对应着万物复苏，夏天对应着炎热，秋天对应着丰收，冬天对应着寒冷，这就是一种自然的映射呀！而我们每天的行为和产生的结果，很多不也是一种函数关系吗？你对别人友善，别人可能就会对你友善，这多有意思呀！而且哦，映射和函数可不是仅仅存在于数学书里的枯燥概念，它们在好多地方都大显身手呢！工程师们用函数来设计各种建筑和机器，让它们更稳定更高效；科学家们用函数来描述自然现象，探索宇宙的奥秘；就连我们平时玩游戏，背后也可能隐藏着各种映射和函数呢！你说映射和函数是不是很奇妙？它们就像隐藏在生活背后的神秘规律，等着我们去发现和利用。
当你真正理解了它们，你就会发现数学原来这么好玩，这么有用！所以呀，别再觉得数学是一堆无聊的数字和公式啦，去挖掘其中的乐趣吧，你一定会有惊喜的发现哟！总之，映射与函数真的是非常重要的概念，它们在我们的生活和学习中无处不在，我们要好好去认识它们、理解它们、运用它们呀！。
函数、映射到底是什么？
函数、映射到底是什么？在生活中笔者问过许多人, 函数是什么？大家都是笑一笑、摇摇头，不知道该怎么讲。
最近笔者尝试写《老唐讲微积分》一书，先把函数这一节的部分内容发上来，请大家指正。
>>>>一、函数的前世要学懂微积分，第一个要掌握数学概念就是函数，它是微积分的研究对象。
（1）函数概念要解决什么问题？它产生于16、17世纪，起因是生产和科学技术的发展要求数学研究运动和变化中的数量关系。
那么如何研究？数学家们首先创造一个变量的概念，然后紧接着又定义一个函数概念，函数就是研究变量一个工具和办法。
函数要描述一个什么内容？概括性地讲，函数要描述两个变量之间的相互依赖、转化的关系，这就是函数的本质。
（2）伟大的概念首先，它是从常量数学迈进变量数学的标志。
16世纪以前，数学研究的多为静止不动的常量，称为常量数学或者初等数学。
16世纪，变量和函数概念产生标志着数学从常量时代进入到变量时代。
其次，它是数学中最重要的概念之一，有着无比重要地位，在高等数学和近代数学中处于中心地位。
可以讲，没有函数就没有高等数学和近代数学。
克莱因在其名著《高观点下的初等数学》中曾说过：“在过去两个世纪的一切数学概念中，凡用到数学思想的地方，函数概念总起着主导的作用。
函数是数学思考和科学思考的心脏和灵魂。
”美国数学家柯朗与鲁滨逊在其名著《数学是什么》中说：“近代数学的主体，主要围绕着函数和极限的概念。
”再其次，几乎所有的科学领域都离不开函数概念。
它不仅在数学、物理、化学、生物、建筑、机械、电子等自然科学与工程技术学科中有着广泛应用，大到宇宙起源、天体的运行，小到原子、分子的运动，而且在世界人口的增长、金融市场的变化、国民经济的发展、工程技术的创新等社会科学与人文学科也是一种有效研究方法。
（3）函数一词的最初含义函数概念在其产生后的200多年间经历了五次大的演变，这里面既有质的改变，也有形式内容上的完善，其中前几次演变与微积分学有密切关系。
映射和函数之间的关系
映射和函数之间的关系映射和函数是数学中的基本概念，它们之间存在着紧密的关系。
在讨论映射和函数之间的关系之前，首先我们需要了解这两个概念的定义。
1.映射的定义：映射是一种将一个集合的元素对应到另一个集合的元素的方式。
更具体地说，如果集合A中的每一个元素a都与集合B中唯一的一个元素b对应，那么我们就说集合A到集合B的映射是存在的。
通常我们使用小写字母f来表示一个映射，如f: A -> B。
2.函数的定义：函数是一种特殊的映射，它满足以下两个条件：(a)每个输入值（自变量）都有且仅有一个输出值（因变量）；(b)不同的输入值不会映射到相同的输出值。
了解了映射和函数的定义后，我们可以进一步讨论它们之间的关系。
事实上，函数可以被视为映射的一种特殊情况，即满足每个输入值都有且仅有一个输出值的映射。
因此，我们可以说函数是一种特殊类型的映射。
具体来说，函数是一种更严格、更具体的映射，它将集合A的每个元素都映射到集合B中的唯一元素上。
而映射则可以更宽泛地描述集合之间的对应关系，不要求每个元素都有唯一的对应关系。
需要注意的是，在函数中，每个输入值都对应一个唯一的输出值，但可能有多个输入值对应相同的输出值。
这被称为函数的值域可以有相等元素，一个函数的值域可以与对应的映射的值域相同。
然而，在映射中，每个输入值对应的输出值都是唯一的，不存在多个输入值对应同一个输出值的情况。
此外，函数可以有不同的表示方法。
最常见的表示方式是函数表达式，其中使用数学公式来描述输入值和输出值之间的关系。
例如，我们可以表示一个函数f(x) = x^2，表达式中的x表示输入值，f(x)表示输出值。
另一种表示函数的方式是函数图像，其中将输入端的值映射到输出端的值，并在坐标系中绘制出函数的图形。
函数图像可以帮助我们更直观地理解函数的特性，如增减性、奇偶性等。
总结起来，映射和函数之间的关系可以概括为：函数是映射的一种特殊情况，它是一种满足每个输入值都有且仅有一个输出值的映射。
函数与映射的关系和区别
函数与映射的关系和区别函数和映射是初中代数的两个新概念，但是这两个看似简单的概念，其实里面却有很大的不同。
而且它们之间也存在着许多联系和区别。
今天我就来给大家说说这两者之间的不同吧！对于函数来说，定义域要比值域宽，所以在选择解决问题的方法时，一般都先将它化为集合上的问题，然后转化为函数上的问题。
而映射则不同，由于它只在集合上讨论，在变量的选择上必须要从具体情况出发，如果不能确定哪个变量是主要的，那么一般要考虑其它的变量是否也有影响。
在一元二次方程解析式，如果化成集合上的问题，那么一般就可以采用韦达定理来进行解答了。
例如求y=0时方程的解x(x>0)，此时x为常数，且x<0，则对于已知二次函数的图像求根，我们通常采用的方法是配方法或换元法。
化为集合上的问题的好处还在于我们所要求解的问题会更加清晰，不容易漏掉根的情况。
3、函数与集合的关系：自变量和因变量有相同的地方，即它们都必须是一个实际存在的集合。
这种相同也表现在它们的作用上。
集合是被假设成唯一的自变量。
函数是一个从一个集合到另一个集合的过渡。
4、函数与集合的区别： 1）对象不同。
函数研究的是自变量x与因变量y之间的依赖关系，而集合是自变量与因变量x， y之间的依赖关系； 2）侧重点不同。
函数侧重的是自变量对因变量的影响，而集合侧重的是自变量与因变量x， y之间的依赖关系。
函数通过自变量对因变量的影响来描述自变量与因变量之间的依赖关系。
而集合是通过自变量与因变量的依赖关系来描述自变量与因变量之间的依赖关系的。
区别，主要表现在三个方面：第一，集合是自变量与因变量之间的关系，是抽象的关系，而函数是反映自变量与因变量之间的关系，是具体的关系。
第二，集合中的自变量可以是数字，而函数中的自变量只能是数字。
第三，集合中的自变量是一个具体的数值，函数中的自变量是一个抽象的数值。
函数与映射的概念
《必修1》 第二章 函数一、函数与映射的概念 1、函数定义：设集合A 是一个非空数集，对A 中的任意数x ，按照确定的法则f ，都有唯一确定的数y 与它对应，则这种对应关系叫做集合A 上的一个函数. 记作：y=f(x),x A ∈自变量x 的取值范围（即数集A ）叫做函数的定义域 自变量x 取某一特殊值a 时，对应的y 的值叫做函数在x=a 处的函数值，记作： y=f(a)，或ax y=所有函数值构成的集合{A x x f y y ∈=),(}叫做函数的值域.【注】函数y=f(x)也常记作：函数f(x)或函数f.2. 函数的三要素：定义域，值域，对应法则. ,从逻辑上讲，定义域，对应法则决定了值域，是两个最基本的因素. 3. 区间的概念4.映射的定义：设非空集合A ，B ，若按照某种对应法则f ，对集合A 中任一元素x ，在集合B 中有唯一元素y 与之对应，则称从A 到B 的对应为映射，记为f ：A →B ，x →f(x)其中，x 叫做原象，y 叫做在映射f 下的象，即有y=f(x). 若A 中不同元素的象也不同，且B 中每一个元素都有原象与之对应, 则称从A 到B 的映射为一一映射。
若B 中任何元素都有原象，则称映射为满射.【注】(1) 三要素：A → B(2) A 中元素的任意性，B 中元素的唯一性(3)可以“多对一”，不可以“一对多”. 5. 函数与映射的关系函数就是定义在非空数集A ，B 上的映射，此时称数集A 为定义域，象集C ={f (x )|x ∈A }为值域。
B C ⊆。
因此函数是一种特殊的映射。
练习1：函数的概念1、（07北京理14）已知函数()f x ，()g x 分别由下表给出f则[(1)]f g 的值为；满足[()][()]f g x g f x >的x 的值是．2、设M ={x |0≤x ≤2}，N ={y |0≤y ≤3}，给出下列四个图形（如图所示），其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的有 （ ）A .0个B .1个C .2个D .3个注： 同样的抛物线由于开口方向不同，有的是函数，而有的就不是。
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在理解映射概念时要注意：⑴A中元素必须都有象且唯一；
⑵B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。
总结：取元任意性，成象唯一性。
【精准训练】
（1）设 是集合 到 的映射，下列说法正确的是
A、 中每一个元素在 中必有象 B、 中每一个元素在 中必有原象
C、 中每一个元素在 中的原象是唯一的 D、 是 中所在元素的象的集合（答：A）；
（8）、已知集合 ， ，则满足条件 的映射 的个数是 ( )（A）2 （B）4 （C）5 （D）7
（9）、从集合 到 的映射 中满足条件 个数是 ( )（A）2 （B）3 （C）4 （D）6
（10）、已知集合 ，在 的映射中满足条件 ， 个数是 ( )
（11）、．A=｛1，2，3，4，5，｝，B=｛6，7，8，｝从集合A到B的映射中满足f（1）≤f（2）≤f（3）≤f（4）≤f（5）的映射有（）
(1) (2) (3) (4)
在以上的四种对应关系中，（1）（3）不是映射，（2）（4）是映射.
对于映射这个概念，应明确以下几点：
①映射中的两个集合A和B可以是数集，点集或由图形组成的集合以及其它元素的集合.
②映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往是不相同的.
③映射要求对集合A中的每一个元素在集合B中都有象，而这个象是唯一确定的.这种集合A中元素的任意性和在集合B中对应的元素的唯一性构成了映射的核心.
（4）a、b为实数，集合 表示把集合M中的元素x映射到集合N中仍为x，则 =A、1B、0C、－1D、±1
（5）若 ， ， ，则 到 的映射有个， 到 的映射有个， 到 的函数有个（答：81,64,81）；
（6）设集合 ，映射 满足条件“对任意的 ， 是奇数”，这样的映射 有____个（答：12）；
（7）设 是集合A到集合B的映射，若B={1,2}，则 一定是_____（答： 或{1}）.
A、27B、9C、21D、12
解：（1）当一个不等号也没有时，（即与B中的一个元素对应），则f有C 个
（2）有一个不等号时的映射（即与B中的两个元素对应），f有C ·C =12个
（3）有二个不等号的映射，f有C ·C =6个。
所以共有3+12+6=21个，答案选C。
（12）、已知映射 ，其中集合 ，集合B中的元素都是A中元素在映射f下的象，且对任意的 ，在B中和它对应的元素为 ，则集合B的真子集个数是————。
2°近代定义从集合映射观点出发，描述更广泛，更具有一般性.
（2）对函数定义的更深层次的思考：
①映射与函数的关系：函数是一种特殊的映射f：A→B，其特殊性表现为集合A，B均为非空的数集.
.函数 : A B是特殊的映射。特殊在定义域A和值域B都是非空数集！据此可知函数图像与 轴的垂线至多有一个公共点，但与 轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个。
（2）、若从集合A到集合B的映射f满足B中的任何一个元素在A中都有原象，则称映射f为从集合A到集合B的满射，现集合A中有3个元素，集合B中有2个元素，则从集合A到集合B的满射f的个数是： A、5 B、6 C、8 D、9（答：B）
（3）点 在映射 的作用下的象是 ，则在 作用下点 的原象为点________（答：（2，－1））；
（13）、设集合 ， 是映射，且满足条件 ，这样的从 自身的映射个数是 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4
（14）、已知集合 ， ，则满足条件 的映射 的个数是 （A）1 （B）5 （C）7 （D）10
（15）、从任何一个正整数n出发，若n是偶数就除以2，若n是奇数就乘3再加1,如此继续下去…,现在你从正整数3出发，按以上的操作，你最终得到的数不可能是
（19）设M＝{平面内的点(a，b)}，N＝{f(x)|f(x)＝acos2x+bsin2x}，给出M到N的映射
f：(a，b)→f(x)＝acos2x＋bsin2x，则点(1， )的象f(x)的最小正周期为
A．πB．2πC． D．
②函数：
1函数定义
a:传统（古典）定义：如果在某变化过程中，有两个变量x，y，并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数.x叫做自变量，x的取值范围叫做函数的定义域，和x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.
A，10 B，4 C，2 D，1
（16）、已知集合 ， ，则满足条件：对每一个 是偶数的映射 的个数是 （A）4 （B）7 （C）12 （D）非上述结果
（17）、 由 定义映射 ： ，则 的象是（）
A、 B、 C、 D、
（18）、定义运算 ，则 ，按照 ，称点（x,y）映到点（x’,y’）的一次变换。把直线y=kx上的各点映到这点本身，而把直线y=mx上的各点映到这点关于原点的对称点。这时，k=m=p=q=24，1，3，3，-2
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【知识点理解】
①映射.映射 : A B的概念。
对于两个集合A，B如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应（包括A、B及f）叫做从集合A到集合B的映射.记作：f：A→B.
f f f f
b:近代（映射）定义：设A，B都是解空的数的集合，f是从A到B的一个对应法则，那么A到B的映射f：A→B叫做A到B的函数.记作y=f(x)，其中x∈A，y∈B.
原象的集合A叫做函数f(x)的定义域。
注：（1）两种定义的比较：
①相同点：1°实质一致
2°定义域，值域意义一致
3°对应法则一致
②不同点：1°传统定义从运动变化观点出发，对函数的描述直观，具体生动.
④映射允许集合B中的某些元素在集合A中没有原象，也就是由象组成的集合C B.
⑤映射允许集合A中不同的元素在集合B中有相同的象，即映射只能是“多对一”或“一对一”，不能是“一对多”.
一 一映射：设A，B是两个集合，f：A→B是从集合A到集合B的映射，如果在这个映射的作用下，对于集合A中的不同的元素，在集合B中有不同的象，而且B中每一元素都有原象，那么这个映射叫做从A到B上的一一映射.