玩转函数第1招--函数与映射概念的理解(精编文档).doc
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一一映射既是一对一又是B无余的映射.
在理解映射概念时要注意：⑴A中元素必须都有象且唯一；
⑵B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。
总结：取元任意性，成象唯一性。
【精准训练】
（1）设 是集合 到 的映射，下列说法正确的是
A、 中每一个元素在 中必有象 B、 中每一个元素在 中必有原象
C、 中每一个元素在 中的原象是唯一的 D、 是 中所在元素的象的集合（答：A）；
（13）、设集合 ， 是映射，且满足条件 ，这样的从 自身的映射个数是 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4
（14）、已知集合 ， ，则满足条件 的映射 的个数是 （A）1 （B）5 （C）7 （D）10
（15）、从任何一个正整数n出发，若n是偶数就除以2，若n是奇数就乘3再加1,如此继续下去…,现在你从正整数3出发，按以上的操作，你最终得到的数不可能是
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玩转函数第一招
第1招：函数与映射概念的理解
【知识点理解】
①映射.映射 : A B的概念。
对于两个集合A，B如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应（包括A、B及f）叫做从集合A到集合B的映射.记作：f：A→B.
f f f f
④映射允许集合B中的某些元素在集合A中没有原象，也就是由象组成的集合C B.
⑤映射允许集合A中不同的元素在集合B中有相同的象，即映射只能是“多对一”或“一对一”，不能是“一对多”.
一 一映射：设A，B是两个集合，f：A→B是从集合A到集合B的映射，如果在这个映射的作用下，对于集合A中的不同的元素，在集合B中有不同的象，而且B中每一元素都有原象，那么这个映射叫做从A到B上的一一映射.
（4）a、b为实数，集合 表示把集合M中的元素x映射到集合N中仍为x，则 =A、1B、0C、－1D、±1
（5）若 ， ， ，则 到 的映射有个， 到 的映射有个， 到 的函数有个（答：81,64,81）；
（6）设集合 ，映射 满足条件“对任意的 ， 是奇数”，这样的映射 有____个（答：12）；
（7）设 是集合A到集合B的映射，若B={1,2}，则 一定是_____（答： 或{1}）.
(1) (2) (3) (4)
在以上的四种对应关系中，（1）（3）不是映射，（2）（4）是映射.
对于映射这个概念，应明确以下几点：
①映射中的两个集合A和B可以是数集，点集或由图形组成的集合以及其它元素的集合.
②映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往是不相同的.
③映射要求对集合A中的每一个元素在集合B中都有象，而这个象是唯一确定的.这种集合A中元素的任意性和在集合B中对应的元素的唯一性构成了映射的核心.
A、27B、9C、21D、12
解：（1）当一个不等号也没有时，（即与B中的一个元素对应），则f有C 个
（2）有一个不等号时的映射（即与B中的两个元素对应），f有C ·C =12个
（3）有二个不等号的映射，f有C ·C =6个。
所以共有3+12+6=21个，答案选C。
（12）、已知映射 ，其中集合 ，集合B中的元素都是A中元素在映射f下的象，且对任意的 ，在B中和它对应的元素为 ，则集合B的真子集个数是————。
b:近代（映射）定义：设A，B都是解空的数的集合，f是从A到B的一个对应法则，那么A到B的映射f：A→B叫做A到B的函数.记作y=f(x)，其中x∈A，y∈B.
原象的集合A叫做函数f(x)的定义域。
注：（1）两种定义的比较：
①相同点：1°实质一致
2°定义域，值域意义一致
3°对应法则一致
②不同点：1°传统定义从运动变化观点出发，对函数的描述直观，具体生动.
（2）、若从集合A到集合B的映射f满足B中的任何一个元素在A中都有原象，则称映射f为从集合A到集合B的满射，现集合A中有3个元素，集合B中有2个元素，则从集合A到集合B的满射f的个数是： A、5 B、6 C、8 D、9（答：B）
（3）点 在映射 的作用下的象是 ，则在 作用下点 的原象为点________（答：（2，－1））；
（19）设M＝{平面内的点(a，b)}，N＝{f(x)|f(x)＝acos2x+bsin2x}，给出M到N的映射
f：(a，b)→f(x)＝acos2x＋bsin2x，则点(1， )的象f(x)的最小正周期为
A．πB．2πC． D．
②函数：
1函数定义
a:传统（古典）定义：如果在某变化过程中，有两个变量x，y，并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数.x叫做自变量，x的取值范围叫做函数的定义域，和x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.
A，10 B，4 C，2 D，1
（16）、已知集合 ， ，则满足条件：对每一个 是偶数的映射 的个数是 （A）4 （B）7 （C）12 （D）非上述结果
（17）、 由 定义映射 ： ，则 的象是（）
A、 B、 C、 D、
（18）、定义运算 ，则 ，按照 ，称点（x,y）映到点（x’,y’）的一次变换。把直线y=kx上的各点映到这点本身，而把直线y=mx上的各点映到这点关于原点的对称点。这时，k=m=p=q=24，1，3，3，-2
（8）、已知集合 ， ，则满足条件 的映射 的个数是 ( )（A）2 （B）4 （C）5 （D）7
（9）、从集合 到 的映射 中满足条件 个数是 ( )（A）2 （B）3 （C）4 （D）6
（10）、已知集合 ，在 的映射中满足条件 ， 个数是 ( )
（11）、．A=｛1，2，3，4，5，｝，B=｛6，7，8，｝从集合A到B的映射中满足f（1）≤f（2）≤f（3）≤f（4）≤f（5）的映射有（）
2°近代定义从集合映射观点出发，描述更广泛，更具有一般性.
（2）对函数定义的更深层次的思考：
①映射与函数的关系：函Hale Waihona Puke Baidu是一种特殊的映射f：A→B，其特殊性表现为集合A，B均为非空的数集.
.函数 : A B是特殊的映射。特殊在定义域A和值域B都是非空数集！据此可知函数图像与 轴的垂线至多有一个公共点，但与 轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个。
在理解映射概念时要注意：⑴A中元素必须都有象且唯一；
⑵B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。
总结：取元任意性，成象唯一性。
【精准训练】
（1）设 是集合 到 的映射，下列说法正确的是
A、 中每一个元素在 中必有象 B、 中每一个元素在 中必有原象
C、 中每一个元素在 中的原象是唯一的 D、 是 中所在元素的象的集合（答：A）；
（13）、设集合 ， 是映射，且满足条件 ，这样的从 自身的映射个数是 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4
（14）、已知集合 ， ，则满足条件 的映射 的个数是 （A）1 （B）5 （C）7 （D）10
（15）、从任何一个正整数n出发，若n是偶数就除以2，若n是奇数就乘3再加1,如此继续下去…,现在你从正整数3出发，按以上的操作，你最终得到的数不可能是
【最新整理，下载后即可编辑】
玩转函数第一招
第1招：函数与映射概念的理解
【知识点理解】
①映射.映射 : A B的概念。
对于两个集合A，B如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应（包括A、B及f）叫做从集合A到集合B的映射.记作：f：A→B.
f f f f
④映射允许集合B中的某些元素在集合A中没有原象，也就是由象组成的集合C B.
⑤映射允许集合A中不同的元素在集合B中有相同的象，即映射只能是“多对一”或“一对一”，不能是“一对多”.
一 一映射：设A，B是两个集合，f：A→B是从集合A到集合B的映射，如果在这个映射的作用下，对于集合A中的不同的元素，在集合B中有不同的象，而且B中每一元素都有原象，那么这个映射叫做从A到B上的一一映射.
（4）a、b为实数，集合 表示把集合M中的元素x映射到集合N中仍为x，则 =A、1B、0C、－1D、±1
（5）若 ， ， ，则 到 的映射有个， 到 的映射有个， 到 的函数有个（答：81,64,81）；
（6）设集合 ，映射 满足条件“对任意的 ， 是奇数”，这样的映射 有____个（答：12）；
（7）设 是集合A到集合B的映射，若B={1,2}，则 一定是_____（答： 或{1}）.
(1) (2) (3) (4)
在以上的四种对应关系中，（1）（3）不是映射，（2）（4）是映射.
对于映射这个概念，应明确以下几点：
①映射中的两个集合A和B可以是数集，点集或由图形组成的集合以及其它元素的集合.
②映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往是不相同的.
③映射要求对集合A中的每一个元素在集合B中都有象，而这个象是唯一确定的.这种集合A中元素的任意性和在集合B中对应的元素的唯一性构成了映射的核心.
A、27B、9C、21D、12
解：（1）当一个不等号也没有时，（即与B中的一个元素对应），则f有C 个
（2）有一个不等号时的映射（即与B中的两个元素对应），f有C ·C =12个
（3）有二个不等号的映射，f有C ·C =6个。
所以共有3+12+6=21个，答案选C。
（12）、已知映射 ，其中集合 ，集合B中的元素都是A中元素在映射f下的象，且对任意的 ，在B中和它对应的元素为 ，则集合B的真子集个数是————。
b:近代（映射）定义：设A，B都是解空的数的集合，f是从A到B的一个对应法则，那么A到B的映射f：A→B叫做A到B的函数.记作y=f(x)，其中x∈A，y∈B.
原象的集合A叫做函数f(x)的定义域。
注：（1）两种定义的比较：
①相同点：1°实质一致
2°定义域，值域意义一致
3°对应法则一致
②不同点：1°传统定义从运动变化观点出发，对函数的描述直观，具体生动.
（2）、若从集合A到集合B的映射f满足B中的任何一个元素在A中都有原象，则称映射f为从集合A到集合B的满射，现集合A中有3个元素，集合B中有2个元素，则从集合A到集合B的满射f的个数是： A、5 B、6 C、8 D、9（答：B）
（3）点 在映射 的作用下的象是 ，则在 作用下点 的原象为点________（答：（2，－1））；
（19）设M＝{平面内的点(a，b)}，N＝{f(x)|f(x)＝acos2x+bsin2x}，给出M到N的映射
f：(a，b)→f(x)＝acos2x＋bsin2x，则点(1， )的象f(x)的最小正周期为
A．πB．2πC． D．
②函数：
1函数定义
a:传统（古典）定义：如果在某变化过程中，有两个变量x，y，并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数.x叫做自变量，x的取值范围叫做函数的定义域，和x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.
A，10 B，4 C，2 D，1
（16）、已知集合 ， ，则满足条件：对每一个 是偶数的映射 的个数是 （A）4 （B）7 （C）12 （D）非上述结果
（17）、 由 定义映射 ： ，则 的象是（）
A、 B、 C、 D、
（18）、定义运算 ，则 ，按照 ，称点（x,y）映到点（x’,y’）的一次变换。把直线y=kx上的各点映到这点本身，而把直线y=mx上的各点映到这点关于原点的对称点。这时，k=m=p=q=24，1，3，3，-2
（8）、已知集合 ， ，则满足条件 的映射 的个数是 ( )（A）2 （B）4 （C）5 （D）7
（9）、从集合 到 的映射 中满足条件 个数是 ( )（A）2 （B）3 （C）4 （D）6
（10）、已知集合 ，在 的映射中满足条件 ， 个数是 ( )
（11）、．A=｛1，2，3，4，5，｝，B=｛6，7，8，｝从集合A到B的映射中满足f（1）≤f（2）≤f（3）≤f（4）≤f（5）的映射有（）
2°近代定义从集合映射观点出发，描述更广泛，更具有一般性.
（2）对函数定义的更深层次的思考：
①映射与函数的关系：函Hale Waihona Puke Baidu是一种特殊的映射f：A→B，其特殊性表现为集合A，B均为非空的数集.
.函数 : A B是特殊的映射。特殊在定义域A和值域B都是非空数集！据此可知函数图像与 轴的垂线至多有一个公共点，但与 轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个。