实数的概念及运算
实数运算知识点总结
实数运算知识点总结一、实数的基本性质1. 实数的定义及性质实数是指包括有理数和无理数的数集。
实数的性质包括封闭性、传递性、结合律、交换律和分配律等。
2. 实数的大小比较对于任意实数a和b，有两个重要性质：反对称性和三角不等式。
3. 实数的绝对值绝对值是实数a到原点的距离。
绝对值的性质包括非负性、非零性、三角不等式和绝对值的运算法则。
4. 实数的方根与幂实数的n次方根、实数的n次幂的运算法则和性质。
二、实数的运算1. 实数的加法运算实数的加法运算法则，包括交换律、结合律和单位元素等性质。
2. 实数的减法运算实数的减法定义，以及减法的性质和规律。
3. 实数的乘法运算实数的乘法运算法则，包括交换律、结合律、分配律和零因子等性质。
4. 实数的除法运算实数的除法定义，包括零的倒数、分数的相乘和相除等性质。
5. 实数的乘方运算实数的乘方运算法则，包括同底数幂的乘法法则和除法法则等。
三、实数的运算法则1. 基本的实数运算法则包括整数的加减法和乘法运算、有理数的加减法和乘法运算、实数的加减法和乘法运算等基本法则。
2. 实数的化简运算将实数的表达式化为最简形式，包括有理数的四则运算和乘方运算、无理数的运算等。
3. 实数的合并与分解将实数的表达式进行合并或分解，以便进行进一步的运算。
四、实数的应用1. 实数的应用于代数方程实数的应用包括一元一次方程、一元二次方程等的求解和实数的性质应用等方面。
2. 实数的应用于不等式实数的应用包括一元一次不等式、一元二次不等式等的求解和实数的性质应用等方面。
3. 实数的应用于几何问题实数的应用包括平面几何和立体几何中实数的运用、问题的建立和解决。
五、实数的推论与应用1. 实数的应用问题实数的运算和性质在实际生活中的应用，如金融、工程、物理等领域的问题解决。
2. 实数性质的证明实数的性质和运算法则的证明，以及实数应用问题的解题过程。
3. 实数性质的应用实数的性质在代数方程、不等式、几何问题和实际应用问题中的具体应用。
实数的定义及其运算
18．若∣a∣=6， =3，且ab 0，则a-b=______。
19．数轴上点A，点B分别表示实数 则A、B两点间的距离为______。
20．一个正数x的两个平方根分别是a+2和a-4，则a=_____，x=_____。
三、认真解一解
按整数、分数的关系分类：按正数、负数、零的关系分类：
三、数轴：
1.数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。
注意：①数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；②数轴有三要素：原点、正方向、单位长度三者缺一不可；③原点的位置、正方向的取向、单位长度的大小的选定，都是根据实际需要而定的。
2.数轴的画法：①画一条水平的直线；②在直线的适当位置选取一点作为原点，并用0表示这点；③确定向右为正方向，用箭头表示出来；④选取适当的长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次为1，2，3，…；从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次为－1，－2，－3，…。如图1所示。
五、非负数
若数a≧0，则称a为非负数。
非负数的性质：任何非负数的和仍为非负数；如果几个非负数的和为0，则这几个非负数均为0。
3.点A在数轴上表示的数为 ，点B在数轴上表示的数为 ，则A，B两点的距离为______
解析：在数轴上找到A、B两点，
例题：1、如图，数轴上表示1， 的对应点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，则点C表示的数是（）．
12． 的算术平方根是_______， =______。
13．____的平方根等于它本身，____的立方根等于它本身，____的算术平方根等于它本身。
14．已知∣x∣的算术平方根是8，那么x的立方根是_____。
实数的概念和运算
实数的概念和运算实数是数学中的一种重要概念，它包括有理数和无理数两部分。
实数运算指对实数进行加、减、乘、除等基本运算的操作。
在本文中，我们将从实数的概念入手，探讨实数的性质、分类以及基本运算规则。
一、实数的概念实数是一种可以用来表示尺寸、时间、温度、权重等具体物理量的数。
它包括有理数和无理数两个部分。
有理数是可以表示为两个整数的比值的数，而无理数则无法表示为有理数的比值。
有理数是实数的一部分，它包括整数、分数和小数。
整数是不带小数点的正负整数，分数是两个整数的比值，小数是无限位小数或者有限位小数。
有理数之间的运算满足交换律、结合律和分配律等基本运算规则。
无理数包括无限不循环小数和根号形式的数。
无限不循环小数是指小数位数无限且没有循环的小数，如圆周率π和自然对数的底数e。
根号形式的数是指无法表示为有理数的平方根或立方根等形式的数，如根号2和根号3等。
二、实数的分类实数可以分为有限实数和无限实数。
有限实数是指小数位数有限的实数，而无限实数则是指小数位数无限的实数。
在有限实数中，又可以进一步分为有理数和有限不循环小数。
有理数是可以表示为两个整数的比值，而有限不循环小数则是指小数位数有限且不出现循环的小数，如0.25和0.333等。
在无限实数中，又可以进一步分为无理数和无限不循环小数。
无理数是指无法表示为有理数的比值的数，而无限不循环小数是指小数位数无限且不出现循环的小数，如π和e等。
三、实数的基本运算规则实数的基本运算包括加法、减法、乘法和除法。
下面将分别介绍它们的运算规则。
1. 加法：实数的加法满足交换律、结合律和零元素的存在。
即对于任意实数a、b和c，满足以下规则：- 交换律：a + b = b + a- 结合律：(a + b) + c = a + (b + c)- 零元素：a + 0 = a2. 减法：实数的减法可以转化为加法运算。
即对于任意实数a、b 和c，满足以下规则：- 减法定义：a - b = a + (-b)3. 乘法：实数的乘法满足交换律、结合律和单位元素的存在。
初二实数的概念及运算
初二实数的概念及运算实数是数学中最基本的数集之一，包括正数、负数和零。
初二数学课程中，学生开始接触实数的概念和运算。
本文将详细介绍初二实数的概念以及基本运算。
1. 实数的概念实数是一种用来表示具体数量的数。
它们可以是有理数或无理数的集合。
有理数是可以用两个整数的比表示的数，包括整数、分数和可以有限或无限循环的小数。
无理数是无法表示为有理数的数，例如根号2和圆周率π等。
初二阶段，学生主要学习实数的基本概念，包括正数、负数和零。
正数是大于零的数，负数是小于零的数，零是不大于也不小于零的唯一数。
2. 实数的运算实数具有四种基本的运算，分别是加法、减法、乘法和除法。
下面我们将逐一介绍这些运算。
2.1 加法实数的加法满足交换律和结合律。
给定实数a、b和c，a + b的结果仍然是一个实数，记作c。
例如，2 + 3 = 5，-5 + 7 = 2。
2.2 减法实数的减法也是一种加法运算，可以将减法转化为加法的形式。
给定实数a和b，a - b的结果可以表示为a + (-b)。
例如，5 - 3 = 5 + (-3) = 2。
2.3 乘法实数的乘法也满足交换律和结合律。
对于给定的实数a、b和c，a × b的结果仍然是一个实数，记作c。
例如，2 × 3 = 6，-5 × 7 = -35。
2.4 除法实数的除法也可以转化为乘法的形式。
给定实数a和b，a ÷ b的结果可以表示为a × (1/b)。
需要注意的是，除数b不能为零，否则结果将无意义。
例如，6 ÷ 3 = 6 × (1/3) = 2，-15 ÷ (-5) = -15 × (1/(-5)) = 3。
3. 实数的性质实数具有许多重要的性质，下面我们简要介绍其中几个。
3.1 闭合性实数的加法和乘法都满足闭合性。
也就是说，对于任意的实数a和b，a + b和a × b仍然是实数。
实数的性质与运算法则
实数的性质与运算法则一、实数的定义与性质1.实数是具有大小和方向的数，包括有理数和无理数。
2.实数可分为正实数、负实数和零。
3.实数具有加法、减法、乘法、除法等运算性质。
4.实数具有相反数、绝对值、平方等基本性质。
5.实数在数轴上表示，数轴上的点与实数一一对应。
二、实数的运算规则1.加法运算：同号两数相加，取相同符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
2.减法运算：减去一个数等于加上这个数的相反数。
3.乘法运算：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
4.除法运算：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
5.零的运算：任何数与零相加等于该数本身；任何数乘以零等于零；零除以任何非零数等于零。
6.一的运算：任何数乘以一等于该数本身；任何数除以一等于该数本身。
三、实数的平方与开方1.平方：一个数的平方等于该数与自身相乘。
2.开方：一个数的开方等于使该数平方后得到该数的正数。
四、实数的绝对值与倒数1.绝对值：一个数的绝对值等于该数到原点的距离。
2.倒数：一个数的倒数等于1除以该数。
五、实数的乘方与幂运算1.乘方：一个数的乘方等于该数连乘自身若干次。
2.幂运算：幂运算包括乘方和开方，其中乘方是重复乘以同一个数，而开方是求一个数的平方根。
六、实数的三角函数1.正弦函数：正弦函数等于直角三角形中对边与斜边的比值。
2.余弦函数：余弦函数等于直角三角形中邻边与斜边的比值。
3.正切函数：正切函数等于直角三角形中对边与邻边的比值。
七、实数的指数函数与对数函数1.指数函数：指数函数等于底数连乘自身若干次。
2.对数函数：对数函数等于以10为底数的对数。
八、实数的方程与不等式1.方程：方程是一个含有未知数的等式。
2.不等式：不等式是一个含有不等号的式子。
九、实数的函数与图像1.函数：函数是一种关系，使一个集合（定义域）中的每个元素对应到另一个集合（值域）中的一个元素。
高考实数及其运算知识点
高考实数及其运算知识点高考是每个学生人生中重要的一步，在备战高考的过程中，实数及其运算是一个非常重要的知识点。
实数是数学中的基础概念，也是高中数学的重点内容之一。
本文将从实数的定义、实数的分类、实数的运算及实数的应用等方面进行探讨。
一、实数的定义与分类实数是指包括有理数和无理数在内的一切数。
有理数是可以表示为两个整数之比的数，包括整数、分数、循环小数等。
无理数是不能表示为两个整数之比的数，如π和根号2等。
实数是实数集合的元素，用符号R表示，即R={x | x是实数}。
实数可以分为有序实数和无序实数。
有序实数是指可以在数轴上比较大小的实数，如整数、分数等。
无序实数是指无法在数轴上比较大小的实数，如无理数。
实数在数轴上呈现出密集性，即在任意两个不相等的实数之间，总存在着其他实数。
二、实数的运算实数的运算主要包括加法、减法、乘法和除法。
这些运算都遵循一定的运算规律和性质。
1. 加法运算：实数的加法满足交换律、结合律和存在单位元素的性质。
2. 减法运算：实数的减法可以通过加法运算转化为负数与另一个数的加法。
3. 乘法运算：实数的乘法满足交换律、结合律和存在单位元素的性质。
4. 除法运算：实数的除法可以通过乘法运算转化为一个数与另一个数的乘法。
实数的运算性质为实数的运算提供了便利，同时也为解决实际问题提供了基础。
三、实数的应用实数的应用广泛存在于各个领域，如物理、化学、生物等。
1. 物理应用：实数在物理学中有着重要的应用，如测量物体的质量、长度、时间等都需要用到实数。
2. 化学应用：在化学实验中，实数常用来表示物质的质量、浓度等。
3. 生物应用：实数可以用来表示生物的数量、体重等，如在植物生长实验中，用实数表示植物的高度。
实数的应用不仅限于科学领域，还可以应用于经济、统计学等各个领域，为问题的解决提供了数学工具和方法。
总结起来，实数及其运算是高中数学中的重要内容，也是高考数学中的重点和难点。
了解实数的定义与分类、掌握实数的运算，以及应用实数解决实际问题，对提高数学能力和应对高考具有重要意义。
第1讲 实数的概念和运算
(2)将-0.0003054用科学记数法可表示为：-3.05410-4 .
知 识 点 分 析
（四 ）平方根与立方根
a ，这两个平方根 1.正数a有两个平方根记为： a 和 互为相反数 ；0的平方根是 0 ，负数 没有平方根 .
a
叫做a的算数平方根，0的算数平方根是
3a
0
.Hale Waihona Puke 2. a的立方根2 a 3.
知 识 点 分 析
（二 ）实数的有关概念
1.数轴的三要素： 原点
、 正方向 和
单位长度 .
2. 实数 与数轴上的点一一对应. 3.相反数：只有 符号 不同的两个数，我们称其中一个数是另 一个数的相反数，也称 这两个数互为相反数 .在数轴上，互 为相反数的两个数所对应的点在 原点 的两侧，且到 原点 的 距离相等. a的相反数是
.
0 ；
a a 0
0 ; a
0
例4.（1） ９ 的平方根是 3 （2） ３ （3）
－８ ＝ -2
３－２ ＝ 2- 3
２
知 识 点 分 析
（五 ）实数的运算
1.实数的运算顺序： 先乘方、开方，再算 乘 除 ，最后算 加 减，同级运算 按 从左到右 的顺序进行；有括号的先算 括 号 里 面 的. 2.
a0 = 1
(a≠0)
3. a-p=
1 a p (a ≠0,p为整数)
负数 ，
4.正数的任何次幂都为 正数 ；负数的奇次幂为 偶次幂为 . 正数 5.若几个非负数的和为0，则这几个非负数
同 时 为 0 .
若 a b2 c 0, 则 a =0，b2 =0 ，c =0
知 识 点 分 析
实数的概念与计算
实数的概念与计算在我们的数学世界中，实数是一个极其重要的概念，它与我们的日常生活和各种科学领域都有着紧密的联系。
要深入理解实数，首先得搞清楚它到底是什么。
实数，简单来说，就是包括有理数和无理数的数的集合。
有理数，大家应该都比较熟悉，像整数（比如－3、0、5 ），以及分数（比如1/2 、－3/4 ），这些都属于有理数的范畴。
那无理数又是什么呢？无理数是指无限不循环小数，比如圆周率π，约等于 31415926，还有像根号 2 ，约等于 141421356，它们的小数部分没有规律地无限延伸，而且永远不会循环。
实数的概念之所以重要，是因为它能够准确地描述我们在现实世界中遇到的各种数量。
比如说，测量一个物体的长度、计算一个图形的面积、表示物体运动的速度等等，都离不开实数。
接下来，咱们再聊聊实数的计算。
实数的计算包括加法、减法、乘法、除法等基本运算。
先说说加法和减法。
在进行实数的加法和减法运算时，我们要先把它们的小数点对齐，然后再像整数加减法那样进行计算。
例如，计算35 ＋ 12 ，我们把 35 和 12 的小数点对齐，得到 35 ＋ 12 ＝ 47 。
如果是减法，比如 58 23 ，同样小数点对齐，计算结果为 35 。
乘法运算相对来说稍微复杂一点。
计算两个实数的乘法时，我们先把它们当作整数相乘，然后再看两个乘数一共有几位小数，就在积的末尾从右往左数出几位，点上小数点。
比如 25 × 16 ，先算 25 × 16 ＝400 ，因为 25 有一位小数， 16 也有一位小数，一共两位小数，所以25 × 16 ＝ 400 ＝ 4 。
除法运算则需要把除数变成整数，然后再进行计算。
比如计算 15 ÷05 ，我们把除数 05 扩大 10 倍变成 5 ，同时被除数 15 也扩大 10 倍变成 15 ，然后计算 15 ÷ 5 ＝ 3 。
在实数的计算中，还有一些特殊的情况需要注意。
实数的有关概念和运算
1 22
1、实数 , 0 , 27 ， 16 ， ， ，0 . 1010010001 ，3 . 1415 ，
3 7
3
其中无理数有( C )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
知识点:2：实数的有关概念数轴、相反数、绝对值
③ 数轴是一条可以向两端无线延伸的直线，故两端不能画端
点
知识点:2：实数的有关概念数轴、相反数、绝对值
2.相反数
（1）定义：
代数定义
像2与-2,5与-5这样，只有符号不同的两个数，叫做互为相反数
几何定义
在数轴上，互为相反数的两个数对应的点在原点两侧，并到原点的距离相等
实数a的相反数为 -a ;
若a,b互为相反数, 则a+b=
0
知识点:2：实数的有关概念数轴、相反数、绝对值
3.绝对值
（1）定义
几何定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a
的绝对值，记作
代数定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是
它的相反数；0的绝对值是0
用符号表示：实数a的绝对值为|a|=
知识点3：实数的有关运算（有理数、无理数）
<
b.
4.根式比较法:a>b≥0⇔
5.差值法比较:(1)a-b>0⇔a>b; (2)a-b<0⇔a<b; (3)a-b=0⇔a=b.
6.求商法比较:若b>0,则(1)
>1⇔a>b;Fra bibliotek(2)
<1⇔a<b;
(3)
=1⇔a=b.
1、实数的运算顺序是先算
实数的概念和运算
难点三， 难点三，实数的分类和大小比较
对实数的分类，要做到“标准一致，不重不漏” 实数的大小比较在于两个负数的比较，可以转 化为绝对值之间的大小比较。
1实数的分类 实数的分类
a按大小分 b按性质分
正有理数 正实数
0
正无理数 负有理数
实数
负实数
负无理数
按大小分类
有限小数及无限循环小数
整数 分数
4，数轴与其他概念关系 ，
在数轴上表示一对相反数（除原点）的两个点 同时满足：a,在原点左右两侧b,到原点距离相 等。 实数在数轴上的位置如图所示，则 平 方 的大小关系是（ ）。 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ
小小测试
如果数轴上点A和B分别代表-3和1，点P到点A 或者点B距离为4的点，那么所有满足条件的 点P到原点的距离之和是＿＿＿ 注意：距离A的点P有两个，距离B的点P也有 两个。
开 方 是本身
求一个数的平方 求一个数的立方 根的运算叫开平 根的运算叫开立 方 方
0,1
0
0,1,-1
Hale Waihona Puke 1、平方根的定义：若 、平方根的定义：若 叫做a X2=a，则X就叫做a的 __________。 __________。 平方根
a的平方根用________表示 的平方根用________表示 2、平方根的性质 （1）一个正数有 2 平方根，它 们互为________ 们互为________ 相反数 （2）0的平方根还是____ 的平方根还是____ 0 （3）负数没有 平方根 ）负数_______ _______平方根 3、平方根的求法： 如求4 如求4的平方根： ∵ (±2)2 = 4 ∴4的平方根是±2 即
实质问题
1把握相关概念与性质：相反数关系、倒数关 系、绝对值关系，实数与数轴关系、科学记数 法、实数分类、大小比较方法。 2对实数计算运算意义和运算法则的把握，解 题时灵活应用运算律和运算性质，对含有符号 的运算要注意符号变化。
实数及其运算
运算顺序与括号
运算顺序
在进行实数的复合运算时，如果没有括号，则按照先乘除后 加减的顺序进行。即乘法和除法运算优先级高于加法和减法 运算。
括号的作用
括号可以改变运算顺序，使得括号内的运算优先执行。当有 多层括号时，内层括号优先级高于外层括号。通过合理运用 括号，可以明确运算顺序，确保计算结果的准确性。
实数在统计学中扮演重要角色， 用于收集、整理和分析数据。通 过实数运算，人们能够揭示数据
背后的规律和趋势。
科学研究中的实数应用
数学建模
实数是数学建模的基础，科学家使用实数构建数学模型来 描述和解释自然现象。这些模型常常涉及复杂的实数运算 和方程求解。
物理实验
在物理实验中，实数用于测量物理量，如距离、速度、加 速度、力等。通过实数运算，科学家能够推导物理定律和 原理。
错误的函数参数
在使用一些数学函数（如平方根、对数等）时，如果参数不满足函数的定义域要 求，可能导致错误或无法预料的结果。在使用这些函数时，需要确保参数在合适 的范围内。
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乘法与除法
乘法定义
实数乘法是指两个实数相乘得到的结果也是一个实数。正数与正数相乘或负数与负数相乘结果都为正 数，正数与负数相乘结果为负数。乘法运算满足交换律和结合律，即a*b=b*a，(a*b)*c=a*(b*c)。
除法定义
实数除法是指将一个实数除以另一个实数得到结果也是一个实数，但除数不能为0。在除法运算中， 同号相除结果为正数，异号相除结果为负数。同时，除法也可以通过乘以倒数的方式转化为乘法运算 。
理等。工程师使用实数进行信号的滤波、变换、压缩等操作。
03
数值模拟
工程技术人员使用实数进行数值模拟，通过计算机仿真实验来验证设
实数的概念及运算
证明：交换律可以通过定义和泛应用，是数学运算的基本规则之一。
结合律的定义：结合律是数学中 的基本运算规则之一，它规定了 几个数相加或相乘时，不论怎样 改变它们的排列顺序，结果都相 同。
结合律的应用：结合律在数学中 有着广泛的应用，例如在实数、 复数、矩阵等数学领域中都有重 要的应用。
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结合律的证明：可以通过代数证 明来证明结合律的正确性。
结合律的意义：结合律是数学运 算中的基本规则之一，它对于数 学的发展和应用都起到了重要的 作用。
定义：a × (b + c) = a × b + a × c 举例：5 × (2 + 3) = 5 × 2 + 5 × 3 = 15 应用：在数学、物理、工程等领域中广泛使用 注意：分配律不适用于除法运算
XX,a click to unlimited possibilities
01 实 数 的 定 义 02 实 数 的 运 算 03 实 数 的 四 则 运 算 规 则 04 实 数 的 运 算 顺 序 05 实 数 在 生 活 中 的 应 用
无理数则无法表示为两个整 数之比，常见于无限不循环 小数，如圆周率π。
性质：乘法交换律、结合律、 分配律
运算方法：按照定义和性质进 行计算
注意事项：注意运算顺序和符 号
定义：将一个数分成若干相等的部分，每一部分称为除数 性质：除法有唯一确定的商，当且仅当被除数能够被除数整除 运算规则：除以一个数等于乘以它的倒数 运算律：结合律、交换律和分配律
定义：交换律是指实数的加法、减法、乘法和除法满足交换律，即a+b=b+a，ab=ba， a-b=b-a，a/b=b/a。
中考复习之—实数的概念及其运算
中考复习之——实数的概念及其运算一、实数的分类：实数有理数 整数 正整数0负整数 分数 正分数负分数 有限小数或无限循环小数 无理数 正无理数负无理数 无限循环小数 与π有关的数：如−2π等 有根号但开方开不尽的数： 7， 53等 有规律但不循环的无限小数，如1.010010001…等 二、基本概念：1.相反数：a 的相反数是 ，x+y 的相反数是 ，m-n 的相反数是 。
注：相反数等于本身的数是0.2.倒数：乘积为1的两个数互为倒数，注：0没有倒数，倒数等于本身的数是±1.3.绝对值：数轴上表示数a 的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。
注：正数的绝对值是它本身，0的绝对值还是0，负数的绝对值等于它的相反数。
a = a （a ＞0）0（a =0）−a （a ＜0）4.科学记数法：把一个数写成a ³10n（其中1≤ a ＜10）的形式，叫做科学记数法。
①绝对值大于10的数，n= 。
②绝对值小于1的数，n= 。
5.近似数：一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。
注：科学记数法或含单位的大数的精确度要看最后一个有效数字的实际数位。
如25.7万精确到 位；3.75³108精确到 位。
6.常见的非负数： a ，a 2，a 4， a （二次根式中a ≥0）等。
注：如果几个非负数的和等于0，那么这几个非负数都等于0。
如 x +1+（y −2017）2=0，则x y = ．7.实数的幂运算： 幂的运算 同底数幂的乘法：a m a n =am+n ，a m+n =a m a n 同底数幂的除法：a m ÷a n =a m −n ，a m −n =a m ÷a n 幂的乘方： a m n =a mn ，a mn = a m n 积的乘方： ab n =a n b n ，a n b n = ab n零次幂：a 0=1 a ≠0 →如20=1，（−3）0=1，（3−π）0=1等 负指数次幂：a −n =1n a ≠0 →如3−1=1 ，（−5）−2 =1 ，（−1）−1=−2，（−1）−2=9等 8.实数的大小比较：①正数＞0，负数＜0，正数＞负数；②两个负数，绝对值大的数反而小；③差值比较法：a-b ＞＞b；；a-b ＜＜b 。
实数的概念及运算
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩实数⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎫⎨⎬⎭⎩正整数整数零负整数正分数分数有限小数或无限循环小数负分数⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎧⎫⎨⎬⎭⎩有理数正无理数无理数无限不循环小数负无理数第1讲 实数的概念及运算1. 实数的概念(分类)(1)按定义分类：(2)按正、负分类：实数还可以分为：正实数、0、负实数．2. 实数的表示(1)“数”的方面：用字母表示实数，如实数a 等．(2)“形”的方面：用数轴上的点表示实数．(3)数轴的三要素：原点，正方向和单位长度．(4)数轴上的点与实数一一对应．3. 实数大小的比较“数”的方面：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；“形与数结合”的方面：两个正数，绝对值大的较大；两个负数，绝对值大的反而小；“形”的方面：从数轴上看，数轴上右边的点表示的实数大于左边的点所表示的实数．4. 实数的运算(1)在实数范围内加、减、乘、除、乘方运算都可以进行(规定：除数不能为0；01(0)a a =≠；1(0)p pa a a -=≠)； (2)正数可以开任何次方，负数不能开偶次方.(3)有理数的一切运算性质和运算律都适用于实数运算；(4)进行实数的运算，需做好“三确定”：一是确定运算顺序，二是确定结果的符号，三是确定结果的绝对值.5.两实数的关系(1)相反数①定义：实数a 的相反数是－a ，零的相反数是零.②从“数”的角度：a b 、互为相反数0a b ⇔+=③从“形”的角度：在数轴上表示相反数的两点与原点对称.④从“形数结合”角度：由0a b +=得a b =-，即直线y x =-上的点横、纵坐标互为相反数，以互为相反数作为点的横、纵坐标，所组成的图形为直线y x =-．(2)倒数①定义：乘积是1的两个数互为倒数，零没有倒数.②从“数”的角度：111;,.ab a a b b-=== ③从“形”的角度：面积为1的矩形的长和宽的关系．④从“形数结合”角度：函数1y x =图像上的点横、纵坐标的关系；过函数1y x=图像上的点向x 轴y 轴作垂线段，两条垂线段与坐标轴所围矩形的面积．6. 平方根与立方根①一个正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根.如：4=±②任何一个实数都有一个立方根，正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立2=4=-7.实数的绝对值与非负性(1)绝对值.①定义：正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0．②从“数”的角度：(0)||0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩③从“形”的角度：实数a 的绝对值就是在数轴上表示实数a 的点离开原点的距离． ④从“形数结合”角度：函数y x =的图像．⑤绝对值的非负性：a 为实数，||0a ≥．(2)实数的三个非负性：2||0, 0,0(0)a a a ≥≥≥≥(0)||(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩8. 准确数、近似数、精确度、有效数字、科学计数法(1)准确数与近似数：用数表示事物的多少，一般有两种，一是准确数，二是近似数．四舍五入法是常用的取近似数的方法．(2)精确度：用来刻画一个近似数的精确程度，精确度有两种表示方法，一是精确到指定的位数(如精确到个位、百位、万位、0.01等)，二是保留若干个有效数字．(3)有效数字：一个数，从左边的第一个不是0的数字起，到精确到的这位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．(4)科学计数法：是一种记数的方法，把一个数写成10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数这种记数法叫做科学记数法．科学计数法常用来表示绝对值较大或较小的数．有时候，只有利用科学计数法才能表示一个数的精确度及有效数字．。
实数的基本性质与运算法则
实数的基本性质与运算法则实数是数学中非常重要的一类数，由于能完全描述物理世界中的量和大小，因此在各种数学领域和物理学中占有重要地位。
本文将介绍实数的基本性质和运算法则。
一、实数的定义和基本性质实数是具有三个特征的数，它们是无穷可数的、有序排列的，而且它们之间可以进行比较。
具体地说，实数包含了有理数和无理数，可以用实轴上的点表示。
实数的基本性质有：1.实数具有唯一性。
任何两个实数都不相同，并且一个实数只能对应于一个点在数轴上。
2.实数具有稠密性。
在任何两个不同的实数之间，都可以找到一个实数。
换句话说，实数是一个连续的数列。
3.实数具有有限的可数性。
在有限的范围内，实数的数量是可数的。
例如，在0到1之间的实数是一个可数的集合。
4.实数具有无限的不可数性。
实数的数量是不可数的。
这意味着，任何实数的集合都不能完全列举出来。
二、实数的运算法则实数是可以进行各种四则运算的数。
下面介绍实数的各种运算法则。
1.加法运算实数的加法遵循交换律、结合律和分配律。
换句话说，对于任意的实数a、b和c，有以下公式成立：a+b=b+a （交换律）a+(b+c)=(a+b)+c （结合律）a×(b+c)=a×b+a×c （分配律）另外，对于任何实数a，都有a+0=a和a+（-a）=0。
2.减法运算实数的减法可以转化为加法。
也就是说，a-b=a+（-b）。
这个公式在证明复杂的问题时非常有用。
3.乘法运算实数的乘法遵循交换律、结合律和分配律。
换句话说，对于任意的实数a、b和c，有以下公式成立：a×b=b×a （交换律）a×（b×c）=（a×b）×c （结合律）a×（b+c）=a×b+a×c （分配律）此外，对于任何实数a，都有a×1=a和a×0=0。
4.除法运算在实数范围内，只有0不能够作为除数。
实数的概念与运算
实数的概念与运算实数是数学中一个非常重要的概念，它包括有理数和无理数。
在本文中，我们将详细介绍实数的概念以及实数的基本运算法则。
一、实数的概念实数是指包括正数、负数和零的全体数。
实数可以表示为有限小数、无限小数或无限不循环小数。
它们可以在数轴上表示，并且可以进行加法、减法、乘法和除法运算。
实数可以用符号表示，如正数表示为“+”，负数表示为“-”，零表示为“0”。
例如，3、-2、1.5 都是实数。
二、实数的加法运算实数的加法运算是指将两个实数相加，得到它们的和。
加法运算满足以下法则：1. 结合律：对于任意实数 a、b、c，有 (a+b)+c=a+(b+c)。
2. 交换律：对于任意实数 a、b，有 a+b=b+a。
3. 零元素：对于任意实数 a，有 a+0=a。
4. 相反数：对于任意实数 a，存在一个实数 -a，使得 a+(-a)=0。
例如，对于实数 2、3 和 4，我们有 2+3+4=9，符合以上的加法运算法则。
三、实数的减法运算实数的减法运算是指将一个实数减去另一个实数，得到它们的差。
减法运算满足以下法则：1. 减法的定义：对于任意实数 a 和 b，a-b 可以理解为 a+(-b)。
2. 减法的法则：对于任意实数 a、b、c，有 a-(b+c)=(a-b)-c。
例如，对于实数5 和3，我们有5-3=2，符合以上的减法运算法则。
四、实数的乘法运算实数的乘法运算是指将两个实数相乘，得到它们的积。
乘法运算满足以下法则：1. 结合律：对于任意实数 a、b、c，有 (a*b)*c=a*(b*c)。
2. 交换律：对于任意实数 a、b，有 a*b=b*a。
3. 单位元素：对于任意实数 a，有 a*1=a。
4. 零元素：对于任意实数 a，有 a*0=0。
例如，对于实数 2、3 和 4，我们有 2*3*4=24，符合以上的乘法运算法则。
五、实数的除法运算实数的除法运算是指将一个实数除以另一个实数，得到它们的商。
除法运算满足以下法则：1. 除法的定义：对于任意实数 a 和 b（b≠0）， a/b 可以理解为a*(1/b)。
实数的有关概念及运算
实数的有关概念及运算【知识要点】实数的有关概念(1)实数的组成 脑筋急转弯：一个多边形的盒子有几个边{}⎧⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎭⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数零负整数有理数有尽小数或无尽循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无尽不循环小数 负无理数 (2)数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时，要注童上述规定的三要素缺一个不可)，实数与数轴上的点是一一对应的。
数轴上任一点对应的数总大于这个点左边的点对应的数，(3)相反数实数的相反数是一对数(只有符号不同的两个数，叫做互为相反数，零的相反效是零)．从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称．(4)绝对值从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离(5)倒数实数a(a ≠0)的倒数是a1(乘积为1的两个数，叫做互为倒数)；零没有倒数． 【典型例题】例1（1）已知013=+++b a ，则实数（a+b ）的相反数（2）数－3．14与 －Л的大小关系是（3）和数轴上的点成一一对应关系的是（4）和数轴上表示数－3的点A 距离等于2．5的B 所表示的数是例2（1）在实数中 Л,52-,0, 3,－3．14, 4无理数有（ ） （A ）1 个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个（2）．一个数的绝对值等于这个数的相反数，这样的数是（ ）（A ）非负数 （B ）非正数 （C ）负数 （D ）正数（3）．若x ＜－3，则｜x ＋3｜等于（ ）（A ）x ＋3 （B ）－x －3 （C ）－x ＋3 （D ）x －3（4）．下列说法正确是（ ）（A ） 有理数都是实数 （B ）实数都是有理数（B ） 带根号的数都是无理数 （D ）无理数都是开方开不尽的数5．实数在数轴上的对应点的位置如图，比较下列每组数的大小：（1）c-b 和d-a（2）bc 和ad例3．1）光年是天文学中的距离单位，1光年大约等于9.46万亿千米,用科学记数法可表示为（ ）A ．米1310946⨯ B. 米161046.9⨯ C. 米151046.9⨯ D.米141095.0⨯2）今年5月，台湾亲民党宋楚瑜先生带着堂客及家人回到阔别57年的家乡湘潭， 若每年按365天计算（结果保留两个有效数字）用科学记数法表示57年的天数正确的是（ ）A 天4102⨯ B.天41008.2⨯C. 天5101.2⨯D. 天4101.2⨯ 例4. 1)当x 为何值时，（1）x x 2162-++ （2）x x x 200722+--在实数范围内有意义2)．计算（1）132+ （2）3535+- （3）2002)145(sin 230tan 2121-+--（4）（3)23121418÷+-+ （5）3)2()32(5623---+-- π【课堂练习】一．判断题：（每小题各1.5分，共12分）1）如果a 为实数，那么－a 一定是负数（ ）2）对于任何实数a 与b,|a －b|=|b －a|恒成立（ ）3）两个无理数之和一定是无理数（）4）两个无理数之积不一定是无理数（ ）5）任何有理数都有倒数（ ） 6）最小的负数是－1（ ）7）a 的相反数的绝对值是它本身（）8）若|a|=2,|b|=3且ab>0，则a －b=－1（ ）二 填空题及选择题 （每空各2分，共26分）1．把下列各数分别填入相应的集合里－|－3|，21．3，－1．234，722-,0，sin60°,9-,381--, 2π-,8, 0)3-2(，3－2，ctg45°,1.2121121112．．．．．．中无理数集合｛ ｝ 负分数集合｛ ｝ 整数集合 ｛ ｝ 非负数集合｛ ｝2．3－л的相反数是 ，38-的相反数是 ； 3-2的倒数是 3 33-,л,0)2-(1,722-,0．1313…,2cos60º, －3－1 ,1．101001000… (两1之间依次多一个0),中无理数有 ，整数有 ，负数有4．下列语句正确的是（ ）（A ）无尽小数都是无理数 （B ）无理数都是无尽小数（C ）带拫号的数都是无理数 （D ）不带拫号的数一定不是无理数。
实数的概念和运算
实数的概念和运算实数是数学中重要的概念之一，广泛应用于各个领域。
本文将介绍实数的概念、实数的分类以及实数的基本运算。
一、实数的概念实数是数学中最基本的数集，包括有理数和无理数两部分。
有理数是可表示为两个整数的比值的数，而无理数则不能以有限或无限循环小数的形式精确表示。
实数的表示形式有多种，最常见的是十进制表示法，即小数形式。
实数可以表示为有限小数或无限循环小数，例如：- 有限小数：0.25、1.5、3.78- 无限循环小数：1.333...、2.71828...除了十进制表示法，实数还可以用分数形式表示，例如：- 分数形式：1/2、3/4、5/7实数的性质包括可加性、可乘性等，使其成为数学中重要的研究对象。
二、实数的分类根据实数的性质，我们可以将实数进行进一步的分类。
实数可以分为有理数和无理数。
1. 有理数有理数包括整数、分数和整数部分为0的小数。
有理数之间可以进行加法、减法、乘法和除法运算，并且结果仍为有理数。
整数是正整数、负整数和零的集合，例如：-3、0、1、2。
整数之间的运算遵循基本的数学规则。
分数是两个整数的比值，例如：1/2、3/4、5/7。
分数之间的运算同样遵循基本的数学规则。
2. 无理数无理数是不能表示为两个整数的比值的数，它们无法用分数或小数的形式精确表示。
常见的无理数有根号2、圆周率π等。
无理数与有理数的主要区别在于其十进制表示不会出现周期性循环，例如根号2的十进制表示为1.41421356...，没有规律的循环。
三、实数的基本运算实数的基本运算包括加法、减法、乘法和除法。
下面将依次介绍这些运算。
1. 加法实数的加法运算是指将两个实数相加，求得它们的和。
加法运算遵循交换律和结合律。
例如，将实数-2和实数3相加，得到：-2 + 3 = 12. 减法实数的减法运算是指将一个实数减去另一个实数，求得它们的差。
减法运算不满足交换律，但满足结合律。
例如，将实数5减去实数2，得到：5 - 2 = 33. 乘法实数的乘法运算是指将两个实数相乘，求得它们的积。
实数的概念定义是什么及运算
实数的概念定义是什么及运算实数，是有理数和无理数的总称。
数学上，实数定义为与数轴上的点相对应的数。
下面是百分网我给大家整理的实数的概念简介，盼望能帮到大家!实数的概念实数由有理数和无理数组成，其中无理数就是无限不循环小数，有理数就包括整数和分数。
数学上，实数直观地定义为和数轴上的点一一对应的数。
原来实数仅称作数，后来引入了虚数概念，原本的数称作"实数'意义是"实在的数'。
实数的运算定理1、加法：(1)同号两数相加，取原来的符号，并把它们的肯定值相加;(2)异号两数相加，取肯定值大的加数的符号，并用较大的肯定值减去较小的肯定值。
可使用加法交换律、结合律。
2、减法：减去一个数等于加上这个数的相反数。
3、乘法：(1)两数相乘，同号取正，异号取负，并把肯定值相乘。
(2)n个实数相乘，有一个因数为0，积就为0;假设n个非0的实数相乘，积的符号由负因数的个数打算，当负因数有偶数个时，积为正;当负因数为奇数个时，积为负。
(3)乘法可使用乘法交换律、乘法结合律、乘法安排律。
4、除法：(1)两数相除，同号得正，异号得负，并把肯定值相除。
(2)除以一个数等于乘以这个数的倒数。
(3)0除以任何数都等于0，0不能做被除数。
5、乘方与开方：乘方与开方互为逆运算。
6、实数的运算挨次：乘方、开方为三级运算，乘、除为二级运算，加、减是一级运算，假如没有括号，在同一级运算中要从左到右依次运算，不同级的运算，先算高级的运算再算低级的运算，有括号的先算括号里的运算。
无论何种运算，都要留意先定符号后运算。
实数的倒数、相反数和肯定值1、相反数实数与它的相反数时一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零)，从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点〔关于〕原点对称，假如a与b互为相反数，那么有a+b=0，a=b，反之亦成立。
2、肯定值一个数的肯定值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|0。
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9、实数的各运算法则：
①加法法则，同号两数相加， 取相同的加数的符号，并把绝对值相加， 异号两数相加，绝对值相等时和为零， 绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号， 并用较大的绝对值减去较小的绝对值， 一个数同零相加，仍得这个数， 互为相反数的两数相加得零.
5、实数的大小比较 数轴上右边的点表示的数总是大
于左边的点表示的数，既正数大于一 切负数和零，零大于一切负数，两个 负数比较绝对值大的反而小。
每个实数都可以用数轴上的点
来表示，数轴上的每个点都表示一 个实数，但不一定是有理数， 6、了解平方根，算术平方根，立方根的 概念，会用根号表示数的平方根，算术 平方根，立方根.
8、科学记数法的表示：
a 10n
(1 a 10)
n 是整数
例1：如果零上2℃，记作+2℃，那么零下
3℃，就记作 __-3_℃___.
例2:在实数－1, 22 , 3 , 9,
3
0
,
sin45°,
72
3 64 中,无理数的是__s__in_4_5_°__,
,
正有理数是__2_2___3________
…请你将规律用含自然数n(n ≥ 1）
的式子表示出来________
n 1 n 1 1
n2
n2
独立 作业
1.练习卷.
祝你成功！
例3:
⑴
31 2
的倒数为___7__72_2_
⑵ 64 的立方根为_2__
⑶ 3 64 的平方根为____2__
⑷ 22 的算术平方根为_2___
例4:实数a,b在数轴上的位置如图所示
那么化简 a b a b2 的结果是( D )
A、2a B、2b C、 2a D、 2b
ab
0
例5：比较两个实数的大小：
1、实数的分类？
2、数轴的三要素是什么？ 原点、正方向和单位长度。 数轴上的点与实数一一对应。
3、理解一个数的相反数，倒数及绝对值. ⑴只有符号不同的两个数是 互为相反数，
即位于原点的两侧，与原点距离相等. ⑵积为1的两个数互为倒数. ⑶一个数所对应的点与原点的距离是这个
数的绝对值.
正整 数
有理数 实数
则a－b的值为 __6____1__
例13:下列二次根式中 4 12
50
1 2
中与 2 是同类二次根式的个数为__2_个__
例14:下列是最简二次根式的是( C )
A、 x 3
B、 8x C、 x2 1 D、 6x3
例15:观察下列各式: 1 1 2 1
33
21 3 1 44
31 4 1 55
（零的算术平方根是零， 一个正数有一个算术平方根， 负数没有算术平方根）
a ③立方根：若一个数 x的立方等于 ，即
x3 a ，则这个数x 叫 a 的立方根
（也叫三次方根）记作3 a ，读作a
的立方根或三次方根.
（零的立方根是零，正数的立方根是 正数，负数的立方根是负数）
7、有效数字的含义
从左边第一个不是零的数字开始， 到最后一个数为止都是有效数字.
整数 零 负整 数
分 数 正分 数 负分数
有限小数或循环小数
正无理 数 无理数 负无理 数 无限不循环小数
实数又可分为正实数，零，负实数
4、请说一说如何求一个数的 相反数，倒数及绝对值.
相反数：正数的相反数是负数，负数 的相反数是正数，零的相反数是零.
倒数：1除以一个数得到这个数的倒数.
绝对值：正数的绝对值是它本身，负数的 绝对值是它的相反数，零的绝对值是零.
②减法法则：减去一个数，等于 加上这个数的相反数.
③乘法法则：两数相乘，同号得正， 异号得负，并把绝对值相乘。
④有理数的除法法则：除以一个非零数等于 乘以这个数的倒数（小数一般以分数的结果出现）。
⑤乘方运算：求几个相同因数的积的运算。即 an 中，a 叫做底数，n叫做指数， an 叫做幂，读做
a 的n次幂或 a 的n次方
（底数为负数或分数时要用小括号括起来）
⑥二次根式的运算法则
a• b a•b a 0 b0
a a bb
a0 b0
10、实数的运算顺序 先算乘方，再算乘除，最后算加减， 若有括号，要先算括号里面的。
11、实数的运算律：
(1)加法的交换律：a+b=b+a (2)加法的结合律：(a+b)+c=a+(b+c) (3)乘法的交换律：ab=ba (4)加法的结合律：(ab)c=a(bc) (5)乘法对加法的分配律：a(b+c)=ab+ac
275 ﹤ 4 11 _________
_﹥__ 3.14
例6: 10 的小数部分为__1__0__3__
例7：已知a，b是互为相反数，c，d是互为倒数， e是非零实数，
求 2a b 1 cd 1 e0 的值. (0)
22
例8：2003年广州市完成国内生产总值（GDP） 达3466.53亿元,用四舍五入法取的近似值, 保留三个有效数字,并用科学记数法表示
例9: 计算：
3
1 1
3
0
23
2
例10:规定一种新的运算:a□b=ab-a-b+1 如3□4=3×4－3－4+1 请比较大小: (－3)□4 _=__ 4□(－3) (填﹤,﹥,=)
例11：a= 2
2004
5•
2005
0
52 2 5 2
2 2
求a2+4a的值.
1
例12: 5 6 的整数部分为a,小数部分为b,
①平方根：若一个数x 的平方等于 a 即x2 a,则这个数x 叫a
的平方根（也叫二次方根），记作 a
读作“正负根号a ”
（零的平方根是零，一个正数有 两个平方根，负数没有平方根）
②算术平方根：一个正数x 的平方等于a 即 x2 a，则这个正数x叫a
的算术平方根，记作 a ，读作“根号a ”