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[解] 把 3 个选择题记为 x1，x2，x3,2 个判断题记为 p1，p2. “甲抽到选择题，乙抽到判断题”的情况有：(x1，p1)，(x1，p2)， (x2，p1)，(x2，p2)，(x3，p1)，(x3，p2)，共 6 种； “甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况有：(p1，x1)，(p1，x2)， (p1，x3)，(p2，x1)，(p2，x2)，(p2，x3)，共 6 种； “甲、乙都抽到选择题”的情况有：(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x1)， (x2，x3)，(x3，x1)，(x3，x2)，共 6 种； “甲、乙都抽到判断题”的情况有：(p1，p2)，(p2，p1)，共 2 种． 总的事件数为 20.
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数据的数字特征 【例 2】 在射击比赛中，甲、乙两名运动员分在同一小组，给 出了他们命中的环数如下表：
甲967627798 9 乙 2 4 6 8 7 8 9 7 9 10 赛后甲、乙两名运动员都说自己是胜者，如果你是裁判，你将 给出怎样的评判？
(2)组委会决定在 5 名(其中第 3 组 2 名，第 4 组 2 名，第 5 组 1 名)选手中随机抽取 2 名选手接受 A 考官面试，求第 4 组至少有 1 名 选手被考官 A 面试的概率．
[解] (1)第 1 组的频数为 100×0.100＝10 人， 所以①处应填的数为 100－(10＋20＋20＋10)＝40， 从而第 2 组的频率为14000＝0.400， 因此②处应填的数为 1－(0.100＋0.400＋0.200＋0.100)＝0.200.
互斥事件与对立事件的概率求法 【例 4】 甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有 5 个不同的题 目．其中，选择题 3 个，判断题 2 个，甲、乙两人各抽一题． (1)甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率 是多少？ (2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？ [思路探究] 用列举法把所有可能的情况列举出来，或考虑互斥 及对立事件的概率公式．
则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为( )
1
1
A.4
B.3
5
10
C.14
D.27
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(2)假设要检查某企业生产的袋装牛奶的质量是否达标，现从 500 袋牛奶中抽取 60 袋进行检验，利用随机数表法抽取样本时，先将 500 袋牛奶按 000,001，…，499 进行编号，使用随机数表中各个 5 位数 组的后 3 位，选定第 7 行第 5 组数开始，取出 047 作为抽取的代号(从 左向右读取数字)，随后抽到的 5 袋牛奶的号码分别是(下面摘取了某 随机数表第 7 行至第 9 行)________．
第五章 统计与概率
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巩 固
层
知
识 整
合
提 升
层
题
型
探
究
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抽样方法及应用 【例 1】 (1)利用简单随机抽样，从 n 个个体中抽取一个容量
为 10 的样本．若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为13，
84421 75331 57245 50688 77047 44767 21763 35025 83921 20676 63016 47859 16955 56719 98105 07185 12867 35807 44395 23879 33211
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[跟进训练] 2．甲、乙两人数学成绩的茎叶图如图所示：
(1)求出这两名同学的数学成绩的平均数、标准差； (2)比较两名同学的成绩，谈谈你的看法．
∴s 乙≈9.8. (2)由(1)得 x 甲＜ x 乙且 s 甲＞s 乙． ∴乙同学的平均成绩较高且标准差较小； 说明乙同学比甲同学的成绩扎实、稳定．
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用样本估计总体 【例 3】 近期中央电视台播出的《中国诗词大会》火遍全国， 下面是组委会在选拔赛时随机抽取的 100 名选手的成绩，按成绩分 组，得到的频率分布表如下所示．
频率分布直方图如图所示．
(2)设第 3 组的 2 名选手为 A1，A2，第 4 组的 2 名选手为 B1，B2， 第 5 组的 1 名选手为 C1，则从这 5 名选手中抽取 2 名选手的所有情 况为(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A2，B1)，(A2，B2)， (A2，C1)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)，共 10 种，其中第 4 组的 2 名选手中至少有 1 名选手入选的有(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2， B2)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)共 7 种，所以第 4 组至少有 1 名 选手被考官 A 面试的概率为170.
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随机抽样有简单随机抽样和分层抽样两种．其共同点是在抽样 过程中每个个体被抽到的机会相等，当总体中的个体数较少时，常 采用简单随机抽样；当已知总体由差异明显的几部分组成时，常采 用分层抽样．其中简单随机抽样是最简单、最基本的抽样方法．分 层抽样时都要用到简单随机抽样．
规则 3：平均环数与命中 10 环次数相结合，平均环数高者胜．若 平均环数相等，则再看命中 10 环次数，命中 10 环次数多者胜，则 乙胜．
以上规则都是以平均环数为第一标准，如果比赛规则是看命中 7 环以上或 10 环的次数，那么就不需要先看平均环数了．
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∴用水量小于等于 3 立方米的频率为 0.85，又 w 为整数， ∴为使 80%以上的居民在该月的用水价格为 4 元/立方米，w 至 少定为 3.
(2)当 w＝3 时，该市居民该月的人均水费估计为： (0.1×1 ＋ 0.15×1.5 ＋ 0.2×2 ＋ 0.25×2.5 ＋ 0.15×3)×4 ＋ 0.15×3×4＋[0.05×(3.5－3)＋0.05×(4－3)＋0.05×(4.5－3)]×10＝7.2 ＋1.8＋1.5＝10.5(元)． 即该市居民该月的人均水费估计为 10.5 元．
7.5
1
规则 1：平均环数和方差相结合，平均环数高者胜．若平均环数
相等，则再看方差，方差小者胜，则甲胜．
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规则 2：平均环数与中位数相结合，平均环数高者胜．若平均环 数相等，则再看中位数，中位数大者胜，则乙胜．
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[解] (1) x 甲＝110(65＋70＋80＋86＋89＋95＋91＋94＋107＋113) ＝89.
s2甲＝110[(65－89)2＋(70－89)2＋(80－89)2＋(86－89)2＋(89－89)2 ＋ (95－ 89)2＋ (91－ 89)2＋ (94－ 89)2＋ (107－ 89)2＋ (113－ 89)2] ＝ 199.2，∴s 甲≈14.1.
样本分布中相应的统计图表主要包括：频率分布表、频率分布 直方图、频率分布折线图等．通过这些统计图表给出的相应统计信 息可以估计总体．
[跟进训练] 3．某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过 w 立 方米的部分按 4 元/立方米收费，超出 w 立方米的部分按 10 元/立方 米收费，从该市随机调查了 10 000 位居民，获得了他们某月的用水 量数据，整理得到频率分布直方图：
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样本的数字特征可分为两大类：一类是反映样本数据集中趋势 的，包括平均数、众数、中位数；另一类是反映样本数据的波动大 小，包括样本方差及标准差．通常，在实际问题中，仅靠平均数不 能完全反映问题，还要研究方差，方差描述了数据相对平均数的离 散程度，在平均数相同的情况下，方差越大，离散程度越大，数据 波动性越大，稳定性越差；方差越小，数据越集中，质量越稳定．
ห้องสมุดไป่ตู้
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分层抽样，简单随机抽样 [由于甲、乙、丙三个地区有明显差 异，所以在完成①时，需用分层抽样．在甲地区有 10 个特大型超市 代理销售该品牌的白酒，没有显著差异，所以完成②宜采用简单随 机抽样．]
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应用各种抽样方法抽样时要注意以下问题： (1)利用抽签法时要注意把号签放在不透明的容器中且搅拌均 匀． (2)利用随机数表法时注意编号位数要一致． (3)在分层抽样中，若在某一层抽到的个体数不是整数，应在该 层剔除部分个体，使抽取个体数为整数．
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[解] 为了分析的方便，先计算两人的统计指标如下表所示．
平均环数 方差 中位数 命中 10 环次数
甲
7
4
7
0
乙
7
5.4
x 乙＝110(79＋86＋83＋88＋93＋99＋98＋98＋102＋114)＝94.
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s2乙＝110[(79－94)2＋(86－94)2＋(83－94)2＋(88－94)2＋(93－94)2 ＋(99－94)2＋(98－94)2＋(98－94)2＋(102－94)2＋(114－94)2]＝96.8.
(1)如果 w 为整数，那么根据此次调查，为使 80%以上居民在该 月的用水价格为 4 元/立方米，w 至少定为多少？
(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当 w＝3 时，估计该市居民该月的人均水费．
[解] (1)由题图所示，用水量在[0.5,3)的频率的和为：(0.2＋0.3 ＋0.4＋0.5＋0.3)×0.5＝0.85.
题号 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 第6组
分组 [160,165) [165,170) [170,175) [175,180) [180,185] [160,185]
频数
① 20 20 10 100
频率 0.100
② 0.200 0.100 1.00
(1)请先求出频率分布表中①、②位置的相应数据，再完成如下 的频率分布直方图：
(1)C (2)025,016,105,185,395 [(1)根据题意，n－9 1＝13，解得 n ＝28.
故在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率为1208＝154. (2)由已知读取号码的初始值为第 7 行第 5 组数中的后 3 位，第 一个号码为 047. 凡不在 000～499 中的数跳过去不取，前面已经取过的也跳过去 不取，从而随后抽到的 5 袋牛奶的编号为 025,016,105,185,395.]
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[跟进训练] 1．某品牌白酒公司在甲、乙、丙三个地区分别有 30 个、120 个、180 个代理商．公司为了调查白酒销售的情况，需从这 330 个代 理商中抽取一个容量为 11 的样本，记这项调查为①；在甲地区有 10 个特大型超市代理销售该品牌的白酒，要从中抽取 7 个调查其销售 收入和售后服务情况，记这项调查为②.则完成①②这两项调查宜采 用的抽样方法依次是________．