复数概念教学设计1终稿

§3.1.1 数系的扩充与复数的概念

学生情况分析：

在学习本节之前，学生对数的概念已经扩充到实数，也已清楚各种数集之间的包含关系等内容，但知识是零碎、分散的，对数的生成发展的历史和规律缺乏整体认识与理性思考，知识体系还未形成。另一方面学生对方程解的问题会默认为在实数集中进行，缺乏严谨的思维习惯。

一、教学目标

1.在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及与现实世界的联系。

2.理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件。

3.了解复数的代数表示法及其几何意义。

4.能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。

二、教学重难点

重点: 理解虚数单位i的引进的必要性及复数的有关概念．

难点：复数的有关概念及应用．

三、教具

多媒体

四、教学过程

（一）引入

1.前面我们学习的数系扩充：N Z Q R

思考：如何解决方程210x +=在实数集中无解的问题？

（二）新知导学

探究1复数的引入

引导1: 为了解决方程210x +=在实数集中无解的问题，我们设想我们

引入一个新数i ，并规定：（1）=2i -1 ；

（2）实数可以与i 进行加法和乘法运算：

实数a 与数i 相加记为： a i + ；实数b 与数i 相乘记为：bi ；实数a 与实数b 和i 相乘的结果相加，结果记为：bi a +；

（3）实数与i 进行加法和乘法时，原有的加法、乘法运算律仍然成立．i 就是－1的一个平方根，即方程x 2=－1的一个根，方程x 2=－1的另一个根是－i

引导2:复数的有关概念：

（1）我们把形如bi a +()R b a ∈,的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位 , 全体复数所组成的集合叫做复数集，常用大写．．

字母 C 表示。 （2）复数的代数形式：

复数通常用小写字母 z 表示，即bi a z +=()R b a ∈,，这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部。

例1请说出复数2,1,2.0,23,2

13i i i i ---+的实部和虚部，有没有纯虚数？ 引导:考虑复数的有关概念.对于复数(),z a bi a b R =+∈，a 叫实部，b 叫虚部.

探究2复数的分类：对于复数()R b a bi a z ∈+=,

当且仅当0=b 时，复数z 表示： 实数 ; 当且仅当0,0==b a 时，复数z 表示： 实数0 ; 当0≠b 时，复数z 叫做 虚数 ;

当0,0≠=b a 时，复数z 叫做 纯虚数 ;

点拨：将新生知识合理分类不仅便于后续学习的应用，还可以培养我们分类划归解决问题的思想，也体现了知识形成的规范性.

例2 实数m 分别取什么值时，复数()i m m z 11-++=是

(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？

探究3复数集C 和实数集R 之间的关系：

{

{）

实数（）虚数（）非纯虚数（

）纯虚数（复数集0b 0b 0,00,0=≠≠≠≠=b a b a 点拨：引入复数后，每一个实数都可以写成复数形式，即每个实数也是一个复数，因此引入复数的过程相当于数系的再一次扩充，所以实数集R 和复数集C 的关系为R C.

探究4两复数相等

复数()R b a bi a z ∈+=,1与()R d c di c z ∈+=,2相等的充要条件是 d b ==且c a .⇔=+0bi a 0==b a

思考：（1）a +bi =1+i ⇔a=b=1成立吗？为什么？

（2）复数相等的定义是求复数值，在复数集中解方程的重要依据 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能

比较大小.如3+5i 与4+3i 不能比较大小.

强调：两复数不能比较大小，只有等与不等。

现有一个命题：“任何两个复数都不能比较大小”对吗？如果不对 应该怎样说？

点拨：考虑到一个复数是由其实部和虚部共同决定，所以两个复数相等的充要条件为实部 与实部相等，且虚部与虚部相等.

例3已知i y y i x )3()12(--=+-,其中，,x y R ∈，求x 与y ．

引导:因为,x y R ∈，所以由两个复数相等的定义，可列出关于x ，y 的方程组，解这个方程组，可求出x ，y 的值．

学生练习

变式训练1：.已知复数a bi +与3(4)k i +-相等，且a bi +的实部、虚部分别是方程0342=+-x x 的两根，试求：,,a b k 的值。

（三）课堂小结：（学生完成）

（四）作业

导学案上的巩固练习

五、反思

巩固练习、反馈不懂或是没有理解的知识

自我检测:

1.判断下列命题是否正确：

（1）若a 、b 为实数，则z a bi =+为虚数；（ ）

（2）若b 为实数，则z bi =必为纯虚数； （ ）

（3）若a 为实数，则z a =一定不是虚数； （ ）

2.（2010四川），设i 是虚数单位，计算23i i i ++=（ ）

A-1 B 1 C -i D i

3.复数(2x 2+5x +2)+(x 2+x －2)i 为虚数，则实数x 满足( )

A.x =－21

B.x =－2或－2

1 C.x ≠－

2 D.x ≠1且x ≠－2

4.已知集合M =｛1，2，(m 2－3m －1)+(m 2－5m －6)i ｝，集合P =｛－1，3｝.M ∩P =｛3｝，则实数m 的值为( )

A.－1 B .－1或4 C.6 D.6或－1

5.满足方程x 2－2x －3+(9y 2－6y +1)i =0的实数对(x ，y )表示的点的个数是______.

6.已知m ∈R ，复数z =1)2(-+m m m +(m 2+2m －3)i ，当m 为何值时， (1)z ∈R; (2)z 是虚数；(3)z 是纯虚数；(4)z =2

1+4i .