用空间向量证明线线垂直与线面垂直

第二节 用空间向量证明线线垂直与线面垂直

一、空间向量及其数量积

1、 在空间,既有大小又有方向的量称为空间向量。用或a 表示,其中向量的大小称为向量的长度或模,

或a

。正如平面向量可用坐标(x,y.)表示,空间向量也可用坐标（x,y,z)表示。若已知点Ａ坐标为(x 1，ｙ1，ｚ1),点B 坐标为（ｘ2,y 2，z 2)

则向量=(x 2 －ｘ1，y 2－ y １,z ２ -z 1）即是终点坐标减起点坐标。 在空间,知道向量=(ｘ,y ，z)

222z y x ++ 2、 空间向量数量积

① 已知两个非零向量a 、b ，在空间任取一点Ｏ,作OA ＝a ，OB =b ,则角∠A ＯB 叫向量a 与b 的

夹角,记作＜，＞规定，若０≤<，＞≤π,若＜,>=

2

π

,称与垂直,记作⊥。 ② 已知空间两个向量、,

则

ＣOS ＜，＞叫向量、的数量积，记作a ⋅

COS

＜,>若⊥⇔a ⋅

＝0

③ 若已知空间向量＝（ｘ1，y 1，z 1）, ＝（x 2,ｙ2，z ２） 则a •b =x １x 2+y １ｙ2+z 1z 2 , COS<,>

2

2

2

22

22

12

12

12

12121z y x z y x z z y y x x ++⋅++++=

例１ 如图，已知直三棱柱ABC －A 1B 1C １中，∠B ＣA=９０0,D 1、E 1分别为Ａ1B 1、A 1C １中点,若BC=ＣA ＝C Ｃ1，求向量1BD 与1AE 所成角的余弦值。

C 1

B 1 Ａ1

Ａ

Ｃ

Ｂ D 1 E 1

E

D A 1

F D 1 A

B 1

C

B

C 1

1111D C B A 中,11E B =11F D =

4

1

1B A ,求向量1BE 与1DF 所成角的余弦值。

二 、利用向量证线线垂直与线面垂直

例2 在正方体ＡB ＣD —1111D C B A 中,求证Ａ1C ⊥平面AB 1D 1

练习：在正方体ABCD —1111D C B A 中,Ｏ为底面ABCD 的中心,Ｐ为ＤＤ1的中点， 求证：Ｂ1O ⊥平面PAC 。

例3 如图,PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M, Ｎ分别是AB ，P Ｃ中点 (1)求证：M N ⊥CD

(2)若∠P ＤA=４５0

，求证：MN ⊥平面P ＣD

B

A D C

B A

C D B 1 A 1 D C B A C 1

D 1 O P C

D

P

N

练习:正方体ＡＢＣD —1111D C B A 中，M 是棱D 1D 中点,N 是ＡD 中点, P 为棱A 1B 1上任一点。求证:ＮP ⊥AM

作业：

1．如图，正方体ＡBC Ｄ—1111D C B A 中，Ｅ是ＢB 1中点,O 是底面AB ＣD 中心，

求证:O E ⊥平面D 1ＡC.

2.如图,正方体AB ＣD —1111D C B A 中,O ，M 分别是B Ｄ1, A Ａ1中点,求证：OM 是异面直线A Ａ1和BD 1的公垂线.

3、如图,直三棱柱ABC-—Ａ1B 1C 1中,∠A ＣＢ＝９00

，ＡC=1,CB=2,侧棱AA 1=1,，侧面AA 1Ｂ1B 的两

条对角线交点为D ，B 1C 1的中点为M 。求证:CD ⊥平面BD Ｍ

C

D

A 1

A

B

N A

C

D A 1

B 1

D 1

M P C 1

E

O

B 1 A 1 D

C B A

C 1

D 1

O

M

B 1

A 1

D

C

B

A

C 1

D 1

4在棱长为a 的正方体A ＢＣD —1111D C B A 中,E ， F 分别为棱ＡB 和BC 的中点,M 为棱B 1B

上任一点,当

MB

M

B 1值为多少时能使D 1M ⊥平面EFB 1

5、如图， ABC 为正三角形,ＡＥ和ＣＤ都垂直于平面ABC ，且AE=AB ＝2ａ, CD=a,F 为BE 中点，求证:A F ⊥BD

6、如图，已知直三棱柱ＡBC-Ａ1B 1C 1中Ｂ1Ｃ1=A 1C 1,A 1B ⊥A Ｃ1。 求证:A 1Ｂ⊥B 1Ｃ

第三节 利用空间向量求二面角及证明面面垂直

一、二面角

A A

M

C

B

B

C

D 1

E

F D F

E D C B A

C 1

Ａ1

Ａ

Ｃ

Ｂ

二面角βα--l ，若α的一个法向量为，β的一个法向量为,则|

|||,cos n m ⋅>=

< ，二面角的

大小为><,或><-,π

例1.如图，正三棱柱111C B A ABC -中，E 为1BB 的中点,111B A AA =,求平面EC A 1与平面111C B A 所成锐角的大小。

例2.(05年全国）如图，在四棱锥V-A ＢCD 中

,平面V ＡD ⊥底面A ＢC Ｄ. （1）证明AB ⊥平面V AD ；

(2)求面ＶＡD 与面VBD 所成的二面角的大小.

练习：如图,棱长为1的正方体

1111D C B A ABCD -中，E 是1CC 的中点，

求二面角D E B B --1的余弦值。