用空间向量证明线线垂直与线面垂直
32(二)向量方法证明空间线面垂直关系
学习目标 1.能用向量法判断一些简单线线、线面、面面垂直关系.2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.3.能用向量方法证明空间线面垂直关系的有关定理.知识点一 向量法判断线线垂直思考 若直线l 1的方向向量为μ1＝(1，3，2)，直线l 2的方向向量为μ2＝(1，－1，1)，那么两直线是否垂直？用向量法判断两条直线垂直的一般方法是什么？答案 l 1与l 2垂直，因为μ1·μ2＝1－3＋2＝0，所以μ1⊥μ2，又μ1，μ2是两直线的方向向量，所以l 1与l 2垂直.判断两条直线是否垂直的方法：(1)在两直线上分别取两点A 、B 与C 、D ，计算向量AB →与CD →的坐标，若AB →·CD →＝0，则两直线垂直，否则不垂直.(2)判断两直线的方向向量的数量积是否为零，若数量积为零，则两直线垂直，否则不垂直. 梳理 设直线l 的方向向量为a ＝(a 1，a 2，a 3)，直线m 的方向向量为b ＝(b 1，b 2，b 3)，则l ⊥m ⇔a·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0. 知识点二 向量法判断线面垂直思考 若直线l 的方向向量为μ1＝⎝⎛⎭⎫2，43，1，平面α的法向量为μ2＝⎝⎛⎭⎫3，2，32，则直线l 与平面α的位置关系是怎样的？如何用向量法判断直线与平面的位置关系？答案 垂直，因为μ1＝23μ2，所以μ1∥μ2，即直线的方向向量与平面的法向量平行，所以直线l 与平面α垂直.判断直线与平面的位置关系的方法：(1)直线l 的方向向量与平面α的法向量共线⇒l ⊥α.(2)直线的方向向量与平面的法向量垂直⇒直线与平面平行或直线在平面内. (3)直线l 的方向向量与平面α内的两相交直线的方向向量垂直⇒l ⊥α.梳理 设直线l 的方向向量a ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量μ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ⊥α⇔a ∥μ⇔a ＝k μ(k ∈R ).知识点三 向量法判断面面垂直思考 平面α，β的法向量分别为μ1＝(x 1，y 1，z 1)，μ2＝(x 2，y 2，z 2)，用向量坐标法表示两平面α，β垂直的关系式是什么？ 答案 x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2＝0.梳理 若平面α的法向量为μ＝(a 1，b 1，c 1)，平面β的法向量为ν＝(a 2，b 2，c 2)，则α⊥β⇔μ⊥ν⇔μ·ν＝0⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0.类型一 证明线线垂直例1 已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长都为1，M 是底面上BC 边的中点，N 是侧棱CC 1上的点，且CN ＝14CC 1.求证：AB 1⊥MN .证明 设AB 中点为O ，作OO 1∥AA 1.以O 为坐标原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，OO 1为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.由已知得A ⎝⎛⎭⎫－12，0，0，B ⎝⎛⎭⎫12，0，0，C ⎝⎛⎭⎫0，32，0，N ⎝⎛⎭⎫0，32，14，B 1⎝⎛⎭⎫12，0，1， ∵M 为BC 中点， ∴M ⎝⎛⎭⎫14，34，0.∴MN →＝⎝⎛⎭⎫－14，34，14，AB 1→＝(1，0，1)，∴MN →·AB 1→＝－14＋0＋14＝0.∴MN →⊥AB 1→， ∴AB 1⊥MN .反思与感悟 证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直.跟踪训练1 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4，求证：AC ⊥BC 1.证明 ∵直三棱柱ABC －A 1B 1C 1底面三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5， ∴AC 、BC 、C 1C 两两垂直.如图，以C 为坐标原点，CA 、CB 、CC 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.则C (0，0，0)，A (3，0，0)，C 1(0，0，4)，B (0，4，0)， ∵AC →＝(－3，0，0)，BC 1→＝(0，－4，4)， ∴AC →·BC 1→＝0.∴AC ⊥BC 1. 类型二 证明线面垂直例2 如图所示，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1的中点.求证：AB 1⊥平面A 1BD .证明 如图所示，取BC 的中点O ，连接AO .因为△ABC 为正三角形，所以AO ⊥BC .因为在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面BCC 1B 1， 所以AO ⊥平面BCC 1B 1.取B 1C 1的中点O 1，以O 为原点，以OB →，OO 1→，OA →分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则B (1，0，0)，D (－1，1，0)，A 1(0，2，3)，A (0，0，3)，B 1(1，2，0). 所以AB 1→＝(1，2，－3)，BA 1→＝(－1，2，3)，BD →＝(－2，1，0). 因为AB 1→·BA 1→＝1×(－1)＋2×2＋(－3)×3＝0. AB 1→·BD →＝1×(－2)＋2×1＋(－3)×0＝0.所以AB 1→⊥BA 1→，AB 1→⊥BD →，即AB 1⊥BA 1，AB 1⊥BD . 又因为BA 1∩BD ＝B ，所以AB 1⊥平面A 1BD . 反思与感悟 用坐标法证明线面垂直的方法及步骤 方法一：(1)建立空间直角坐标系. (2)将直线的方向向量用坐标表示.(3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量. (4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0. 方法二：(1)建立空间直角坐标系. (2)将直线的方向向量用坐标表示. (3)求出平面的法向量.(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行.跟踪训练2 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝1，AA 1＝2，点P 为DD 1的中点.求证：直线PB 1⊥平面P AC .证明 如图建系，C (1，0，0)，A (0，1，0)，P (0，0，1)，B 1(1，1，2)，PC →＝(1，0，－1)，P A →＝(0，1，－1)，PB 1→＝(1，1，1)，B 1C →＝(0，－1，－2)，B 1A →＝(－1，0，－2).PB 1→·PC →＝(1，1，1)·(1，0，－1)＝0， 所以PB 1→⊥PC →，即PB 1⊥PC .又PB 1→·P A →＝(1，1，1)·(0，1，－1)＝0， 所以PB 1→⊥P A →，即PB 1⊥P A .又P A ∩PC ＝P ，所以PB 1⊥平面P AC . 类型三 证明面面垂直例3 在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，E 为BB 1的中点，求证：平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C .证明 由题意知直线AB ，BC ，B 1B 两两垂直，以点B 为原点，分别以BA ，BC ，BB 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (2，0，0)，A 1(2，0，1)，C (0，2，0)，C 1(0，2，1)，E (0，0，12)，故AA 1→＝(0，0，1)，AC →＝(－2，2，0)，AC 1→＝(－2，2，1)，AE →＝(－2，0，12).设平面AA 1C 1C 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AA 1→＝0，n 1·AC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧z ＝0，－2x ＋2y ＝0.令x ＝1，得y ＝1，故n 1＝(1，1，0). 设平面AEC 1的法向量为n 2＝(a ，b ，c )， 则⎩⎪⎨⎪⎧ n 2·AC 1→＝0，n 2·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋2b ＋c ＝0，－2a ＋12c ＝0. 令c ＝4，得a ＝1，b ＝－1，故n 2＝(1，－1，4). 因为n 1·n 2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0， 所以n 1⊥n 2.所以平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C . 反思与感悟 证明面面垂直的两种方法(1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明.(2)向量法：证明两个平面的法向量互相垂直.跟踪训练3 在四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC ＝CD ，∠BCD ＝90°，∠ADB ＝30°，E 、F 分别是AC 、AD 的中点，求证：平面BEF ⊥平面ABC .证明 以B 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设A (0，0，a )，则易得B (0，0，0)，C ⎝⎛⎭⎫32a ，32a ，0，D (0，3a ，0)，E ⎝⎛⎭⎫34a ，34a ，a 2，F (0，32a ，a 2)，故AB →＝(0，0，－a )，BC →＝⎝⎛⎭⎫32a ，32a ，0.设平面ABC 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AB →＝0，n 1·BC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－az 1＝0，x 1＋y 1＝0，取x 1＝1，∴n 1＝(1，－1，0)为平面ABC 的一个法向量. 设n 2＝(x 2，y 2，z 2)为平面BEF 的一个法向量， 同理可得n 2＝(1，1，－3).∵n 1·n 2＝(1，－1，0)·(1，1，－3)＝0， ∴平面BEF ⊥平面ABC .1.下列命题中，正确命题的个数为( )①若n 1，n 2分别是平面α，β的法向量，则n 1∥n 2⇔α∥β； ②若n 1，n 2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β ⇔ n 1·n 2＝0； ③若n 是平面α的法向量，a 与平面α平行，则n ·a ＝0； ④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面不垂直. A.1 B.2 C.3 D.4 答案 C解析 ①中平面α，β可能平行，也可能重合，结合平面法向量的概念，易知②③④正确. 2.已知两直线的方向向量为a ，b ，则下列选项中能使两直线垂直的为( ) A.a ＝(1，0，0)，b ＝(－3，0，0) B.a ＝(0，1，0)，b ＝(1，0，1) C.a ＝(0，1，－1)，b ＝(0，－1，1)D.a＝(1，0，0)，b＝(－1，0，0)答案 B解析因为a＝(0，1，0)，b＝(1，0，1)，所以a·b＝0×1＋1×0＋0×1＝0，所以a⊥b，故选B.3.若直线l的方向向量为a＝(1，0，2)，平面α的法向量为μ＝(－2，0，－4)，则()A.l∥αB.l⊥αC.l⊂αD.l与α斜交答案 B解析∵a∥μ，∴l⊥α.4.平面α的一个法向量为m＝(1，2，0)，平面β的一个法向量为n＝(2，－1，0)，则平面α与平面β的位置关系是()A.平行B.相交但不垂直C.垂直D.不能确定答案 C解析∵(1，2，0)·(2，－1，0)＝0，∴两法向量垂直，从而两平面垂直.5.已知平面α与平面β垂直，若平面α与平面β的法向量分别为μ＝(－1，0，5)，ν＝(t，5，1)，则t的值为________.答案 5解析∵平面α与平面β垂直，∴平面α的法向量μ与平面β的法向量ν垂直，∴μ·ν＝0，即(－1)×t＋0×5＋5×1＝0，解得t＝5.空间垂直关系的解决策略40分钟课时作业一、选择题1.设直线l 1，l 2的方向向量分别为a ＝(－2，2，1)，b ＝(3，－2，m )，若l 1⊥l 2，则m 等于( ) A.－2 B.2 C.6 D.10 答案 D解析 因为a ⊥b ，故a ·b ＝0，即－2×3＋2×(－2)＋m ＝0，解得m ＝10.2.若平面α，β的法向量分别为a ＝(－1，2，4)，b ＝(x ，－1，－2)，并且α⊥β，则x 的值为( )A.10B.－10C.12D.－12答案 B解析 因为α⊥β，则它们的法向量也互相垂直， 所以a ·b ＝(－1，2，4)·(x ，－1，－2)＝0， 解得x ＝－10.3.已知点A (0，1，0)，B (－1，0，－1)，C (2，1，1)，P (x ，0，z )，若P A ⊥平面ABC ，则点P 的坐标为( )A.(1，0，－2)B.(1，0，2)C.(－1，0，2)D.(2，0，－1) 答案 C解析 由题意知AB →＝(－1，－1，－1)，AC →＝(2，0，1)，AP →＝(x ，－1，z )，又P A ⊥平面ABC ，所以有AB →·AP →＝(－1，－1，－1)·(x ，－1，z )＝0，得－x ＋1－z ＝0， ① AC →·AP →＝(2，0，1)·(x ，－1，z )＝0，得2x ＋z ＝0，②联立①②得x ＝－1，z ＝2，故点P 的坐标为(－1，0，2).4.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若E 为A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于( ) A.AC B.BD C.A 1D D.A 1A 答案 B解析 建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为1，则A (0，1，0)，B (1，1，0)，C (1，0，0)，D (0，0，0)，A 1(0，1，1)，C 1(1，0，1)，E ⎝⎛⎭⎫12，12，1，∴CE →＝⎝⎛⎭⎫－12，12，1，AC →＝(1，－1，0)， BD →＝(－1，－1，0)，A 1D →＝(0，－1，－1)，A 1A →＝(0，0，－1)， ∵CE →·BD →＝(－1)×(－12)＋(－1)×12＋0×1＝0，∴CE ⊥BD .5.若平面α，β垂直，则下面可以作为这两个平面的法向量的是( ) A.n 1＝(1，2，1)，n 2＝(－3，1，1) B.n 1＝(1，1，2)，n 2＝(－2，1，1) C.n 1＝(1，1，1)，n 2＝(－1，2，1) D.n 1＝(1，2，1)，n 2＝(0，－2，－2) 答案 A解析 ∵1×(－3)＋2×1＋1×1＝0， ∴n 1·n 2＝0，故选A.6.两平面α，β的法向量分别为μ＝(3，－1，z )，v ＝(－2，－y ，1)，若α⊥β，则y ＋z 的值是( )A.－3B.6C.－6D.－12 答案 B解析 α⊥β⇒μ·v ＝0⇒－6＋y ＋z ＝0，即y ＋z ＝6. 二、填空题7.在三棱锥S －ABC 中，∠SAB ＝∠SAC ＝∠ACB ＝90°，AC ＝2，BC ＝13，SB ＝29，则异面直线SC 与BC 是否垂直________.(填“是”或“否”) 答案 是解析 如图，以A 为原点，AB ，AS 分别为y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则由AC ＝2，BC ＝13，SB ＝29， 得B (0，17，0)，S (0，0，23)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫21317，417，0， SC →＝⎝⎛⎭⎪⎫21317，417，－23，CB →＝⎝⎛⎭⎪⎫－21317，1317，0. 因为SC →·CB →＝0，所以SC ⊥BC .8.已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4，2，0)，AP →＝(－1，2，－1).对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量；④AP →∥BD →.其中正确的是________.(填序号) 答案 ①②③解析 ∵AP →·AB →＝(－1，2，－1)·(2，－1，－4)＝－1×2＋2×(－1)＋(－1)×(－4)＝0，∴AP ⊥AB ，即①正确；∵AP →·AD →＝(－1，2，－1)·(4，2，0)＝(－1)×4＋2×2＋(－1)×0＝0，∴AP ⊥AD ，即②正确； 又∵AB ∩AD ＝A ， ∴AP ⊥平面ABCD ，即AP →是平面ABCD 的一个法向量，即③正确； ∵AP →是平面ABCD 的法向量， ∴AP →⊥BD →，即④不正确.9.在空间直角坐标系Oxyz 中，已知点P (2cos x ＋1，2cos 2x ＋2，0)和点Q (cos x ，－1，3)，其中x ∈[0，π].若直线OP 与直线OQ 垂直，则x 的值为________. 答案 π2或π3解析 由题意得OP →⊥OQ →，∴cos x ·(2cos x ＋1)－(2cos 2x ＋2)＝0. ∴2cos 2x －cos x ＝0， ∴cos x ＝0或cos x ＝12.又x ∈[0，π]， ∴x ＝π2或x ＝π3.10.在△ABC 中，A (1，－2，－1)，B (0，－3，1)，C (2，－2，1).若向量n 与平面ABC 垂直，且|n |＝21，则n 的坐标为________________. 答案 (－2，4，1)或(2，－4，－1)解析 据题意，得AB →＝(－1，－1，2)，AC →＝(1，0，2).设n ＝(x ，y ，z )，∵n 与平面ABC 垂直，∴⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AB →＝0，n ·AC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ －x －y ＋2z ＝0，x ＋2z ＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4z ，y ＝－2x . ∵|n |＝21，∴x 2＋y 2＋z 2＝21，解得y ＝4或y ＝－4.当y ＝4时，x ＝－2，z ＝1；当y ＝－4时，x ＝2，z ＝－1.三、解答题11.如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，AD ＝5，∠DAB ＝∠ABC ＝90°，E 是CD 的中点.证明：CD ⊥平面P AE .证明 如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系.设P A ＝h ，则相关各点的坐标为A (0，0，0)，B (4，0，0)，C (4，3，0)，D (0，5，0)，E (2，4，0)，P (0，0，h ).易知CD →＝(－4，2，0)，AE →＝(2，4，0)，AP →＝(0，0，h ).因为CD →·AE →＝－8＋8＋0＝0，CD →·AP →＝0，所以CD ⊥AE ，CD ⊥AP ，而AP ，AE 是平面P AE 内的两条相交直线，所以CD ⊥平面P AE .12.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝AB ＝1，AD ＝3，点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动.求证：无论点E 在BC 边的何处，都有PE ⊥AF .证明 建立如图所示空间直角坐标系，则P (0，0，1)，B (0，1，0)，F ⎝⎛⎭⎫0，12，12，D ()3，0，0，设BE ＝x (0≤x ≤3)，则E (x ，1，0)，PE →·AF →＝(x ，1，－1)·⎝⎛⎭⎫0，12，12＝0， 所以x ∈[0， 3 ]时都有PE ⊥AF ，即无论点E 在BC 边的何处，都有PE ⊥AF .13.已知正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1上的动点.(1)求证：A 1E ⊥BD ；(2)若平面A 1BD ⊥平面EBD ，试确定E 点的位置.(1)证明 以D 为坐标原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系.设正方体棱长为a ，则 A (a ，0，0)，B (a ，a ，0)，C (0，a ，0)，A 1(a ，0，a )，C 1(0，a ，a ).设E (0，a ，e ) (0≤e ≤a )，A 1E →＝(－a ，a ，e －a )，BD →＝(－a ，－a ，0)，A 1E →·BD →＝a 2－a 2＋(e －a )·0＝0，∴A 1E →⊥BD →，即A 1E ⊥BD .(2)解 设平面A 1BD ，平面EBD 的法向量分别为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，n 2＝(x 2，y 2，z 2). ∵DB →＝(a ，a ，0)，DA 1→＝(a ，0，a )，DE →＝(0，a ，e )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ ax 1＋ay 1＝0，ax 1＋az 1＝0，⎩⎪⎨⎪⎧ ax 2＋ay 2＝0，ay 2＋ez 2＝0. 取x 1＝x 2＝1，得n 1＝(1，－1，－1)，n 2＝(1，－1，a e)， 由平面A 1BD ⊥平面EBD 得n 1⊥n 2，∴2－a e ＝0，即e ＝a 2. ∴当E 为CC 1的中点时，平面A 1BD ⊥平面EBD .。
空间向量在立体几何中的应用教案(教师使用)
空间向量在立体几何中的应用（一）授课时间：2014年5月11日第7节课 授课班级：高二（9）班 授课教师：高志华教学目标 1、知识与技能(1) 进一步理解向量垂直的充要条件； (2)利用向量法证明线线、线面垂直；(3)利用向量解决立体几何问题,培养学生数形结合的思想方法； 2、过程与方法通过学生对空间几何图形的认识，建立恰当的空间直角坐标系，利用向量的坐标将几何问题代数化，提高学生应用知识的能力。
3、情感态度与价值观通过空间向量在立体几何中的应用，让学生感受数学、体会数学的美感， 从而激发学数学、用数学的热情。
教学重点建立恰当的空间直角坐标系,用向量法证明线线、线面垂直。
教学难点、关键建立恰当的空间直角坐标系,直线的方向向量; 正确写出空间向量的坐标。
教学方法启发式教学、讲练结合 教学媒体ppt 课件学法指导交流指导，渗透指导. 课型 新授课教学过程一、知识的复习与引人 自主学习1.若OP =x i +y j +z k ，那么（x ，y ，z ）叫做向量OP 的坐标，也叫点P 的坐标.2. 如图，已知长方体D C B A ABCD ''''-的边长为AB=2,AD=2,1AA '=．以这个长方体的顶点A 为坐标原点，射线A A AD AB ',,分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，试求长方体各个顶点及A C '中点G 的坐标．3.设a =（x 1，y 1，z 1），b =（x 2，y 2，z 2），那么b a ±=（x 1±x 2，y 1±y 2， ）， a ⊥b ⇔ b a ∙=x 1x 2+y 1y 2+ =0.4.设M 1（x 1，y 1，z 1），M 2（x 2，y 2，z 2），则 12M M =（2121,x x y y --， ） [探究]1．直线的方向向量：直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量，一条直线的方向向量有 个． 2．空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l 1的方向向量为1l ， 直线l 2的方向向量为2l ， 直线a 的方向向量为a ， 直线b 的方向向量为b .l 1⊥ l 21l ⊥2l ⇔l 1⊥αl 1⊥a ,l 1⊥b, ,a b αα⊂⊂，a ∩b=o ，[合作探究]二、新授课：利用空间向量证明线线垂直、线面垂直例1、如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为BC的中点，N为AB的中点，P为BB1的中点．(Ⅰ)求证：BD1⊥B1C；(Ⅱ)求证：BD1⊥平面MNP．设计意图：使学生明确空间向量在证明线线垂直、线面垂直中的作用。
空间向量的应用-证明平行与垂直
∴MN⊥n， 又∵MN⊄平面 A1BD，∴MN∥平面 A1BD.
→
1 → 1 → 方法二：∵MN＝C1N－C1M＝2C1B1－2C1C
→ → → → 1 → 1 → ＝2(D1A1－D1D)＝2DA1，
∴MN∥DA1，又∵MN⊄平面 A1BD. ∴MN∥平面 A1BD.
[点评与警示] 证明线面平行可以用几何法，也可以用向 量法．用向量法的关键在于构造向量并用共线向量定理或共面
→ → → → →
∴DM⊥PB，即DM⊥PB. 又∵PA∩PB＝P，∴DM⊥平面PAB， ∵DM⊂ 平面PAD.∴平面PAD⊥平面PAB.
→
[点评与警示] 用向量的方法解决垂直问题即几何问题代
数化，这种方法降低了思维的抽象性，使很多思维量较大的证
明与计算简单化，突出了向量方法的优点．
1．用向量解决立体几何问题时，首先要选择恰当的基 向量，然后将立体几何中的平行、垂直、距离等问题转化为 向量的运算， ①证明线线平行就利用 a∥b(b≠0)⇔a＝λb； ② 证明线线垂直，就利用 a⊥b⇔a· b＝0；③在求立体几何中线 段的长度时，就利用|a|2＝a2 来求；④求角度时就用 cosθ＝ a· b . |a||b|
所以D1F⊥面AED.
又因为D1F⊂面A1FD1，所以面AED⊥面A1FD1.
[点评与警示 ] 用空间坐标运算证明 “ 面面垂直 ” ，一般
先求出其中一个平面的一个法向量，然后证明它垂直于另一个
平面的法向量．因为本例有(1)、(2)作铺垫，所以直接利用其结 果便可．
在正方形 ABCD － A1B1C1D1 中， E 、 F 分别是 BB1 、 CD 的中
连接EO.
因为底面ABCD是正方形，所以点O是AC的中点．
用空间向量证明线线垂直与线面垂直
第二节 用空间向量证明线线垂直与线面垂直一、空间向量及其数量积1、 在空间，既有大小又有方向的量称为空间向量。
用AB 或a 表示，其中向量的大小称为向量的长度或或a。
正如平面向量可用坐标(x,y.)表示，空间向量也可用坐标(x,y,z)表示。
若已知点A 坐标为（x 1，y 1，z 1）,点B 坐标为（x 2，y 2，z 2） 则向量AB =（x 2 -x 1，y 2- y 1，z 2 -z 1在空间，知道向量=（x，y ，z2、 空间向量数量积① 已知两个非零向量a 、b a 与b 的夹角，记作＜a ，b ＞规定，若0a ⊥。
② 已知空间两个向量、COS例１ 1B 1、A 1C 1中点，若BC=CA=CC 1，C 1B 1 Ａ1ＡＣＢ D 1 E 1练习：已知正方体ABCD —1111D C B A 中，11E B =11F D =411B A ，求向量1BE 与1DF 所成角的余弦值。
二 、利用向量证线线垂直与线面垂直例2 在正方体ABCD —1111D C B A 中，求证A 1C ⊥平面AB 1D 1P 为DD 1的中点，例3 如图，PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M, N 分别是AB ,PC 中点 （1）求证：M N ⊥CDE D A 1FD 1AB 1C BC 1 PN（2）若∠PDA=450，求证：MN ⊥平面PCD练习：正方体ABCD —1111D C B A 中，M 是棱D 1DP 为棱A 1B 1上任一点。
求证：NP ⊥AM作业：1.如图，正方体ABCD —1111D C B A 中，E 是BB 1中点，O 求证：O E ⊥平面D 1AC.2.如图，正方体ABCD —1111D C B A 中，O ,M 分别是BD 1, AA 1中点，求证：OM 是异面直线AA 1和BD 1的公垂线.3、如图，直三棱柱ABC-—A 1B 1C 1中，∠ACB=900，AC=1，CB=2，侧棱AA 1=1，，侧面AA 1B 1B 的两条对角线交点为D ，B 1C 1的中点为M 。
高考数学 专题32 空间中直线、平面垂直位置关系的证明方法黄金解题模板
专题32 空间中直线、平面垂直位置关系的证明方法【高考地位】立体几何是高考的重点内容之一，每年高考大题必有立体几何题，尤其是第一问主要考查证明线面垂直、平行，面面垂直等问题，解决这类问题的方法主要有：几何法和空间向量法. 在高考中其难度属中档题. 【方法点评】方法一 几何法使用情景：转化的直线或平面比较容易找到解题模板：第一步 按照线线垂直得到线面垂直，进而得出面面垂直的思路分析解答；第二步 找到关键的直线或平面； 第三步 得出结论.例1、【2018广西桂林市第十八中模拟】如图，在三棱锥P ABC -中， ,44CBA AB π∠===，,D E 分别为线段,AB BC 的中点， ,PD AC PE BC ⊥⊥.（1）求证： CD ⊥平面PAB ；（2）若F 为PA 上的点，且2,3C PEF PF FA V -==P 平面ABC 的距离.又∵,PD AC BC AC C ⊥⋂=，∴PD ⊥面ABC ， ∵CD ⊂面ABC ∴PD CD ⊥在ABC ∆中D 是AB 的中点， AC BC =，∴CD AB ⊥ ∵PD AB D ⋂=， ,PD AB ⊂面PAB ，∴CD ⊥平面PAB （2）由（1）知P 到面ABC 的距离为PD 由等体积知： 2233C PEF F PEC A PEC P AEC V V V V ----===∵3C PEF V -=2P AEC V -=∴123AEC PD S ∆⨯⨯⨯=∵122AEC S AC AE ∆=⨯⨯=， 1223PD ⨯⨯⨯=， ∴98PD =. 例2、如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 为等腰梯形，E 为PD 中点，PA ⊥平面ABCD ，//,,24AD BC AC BD AD BC ⊥==．证明：平面EBD ⊥平面PAC ； 【答案】详见解析线线垂直PA BD ⊥.试题解析：因为PA ⊥平面,ABCD BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥，又因为,AC BD PA AC A ⊥=，所以BD ⊥平面PAC ，而BD ⊂平面EBD ，所以平面EBD ⊥平面PAC ． 考点：面面垂直判定定理【思路点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.【变式演练1】如图, 已知矩形ABCD 所在平面垂直于直角梯形ABPE 所在平面, 平面ABCD平面ABPE AB =,且2,1,AB BP AD AE AE AB ====⊥,且AE BP . 设点M 为棱PD 中点, 在面ABCD 内是否存在点N ,使得MN ⊥平面ABCD ？若存在, 请证明, 若不存在, 说明理由。
专题08 利用空间向量证明平行、垂直(解析版)
2020年高考数学立体几何突破性讲练08利用空间向量证明平行、垂直一、考点传真：能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系二、知识点梳理：证明平行、垂直问题的思路(1)恰当建立空间直角坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键．(2)证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为向量运算．3其一证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；其二证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可，当然，也可证直线的方向向量与平面的法向量平行；其三证明面面垂直：①证明两平面的法向量互相垂直；②利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可.三、例题：例1. （2019江苏卷）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC．求证：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．【解析】证明：（1）因为D，E分别为BC，AC的中点，所以ED∥AB.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1，所以A 1B 1∥ED .又因为ED ⊂平面DEC 1，A 1B 1⊄平面DEC 1， 所以A 1B 1∥平面DEC 1.（2）因为AB =BC ，E 为AC 的中点，所以BE ⊥AC . 因为三棱柱ABC-A 1B 1C 1是直棱柱，所以CC 1⊥平面ABC . 又因为BE ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥BE .因为C 1C ⊂平面A 1ACC 1，AC ⊂平面A 1ACC 1，C 1C ∩AC =C ， 所以BE ⊥平面A 1ACC 1.因为C 1E ⊂平面A 1ACC 1，所以BE ⊥C 1E .例2.（2016年北京卷） 如图，在四棱锥中，平面PAD ⊥平面，，，，，，（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由.【解析】(1)∵面PAD面ABCD AD =，面PAD ⊥面ABCD ，∵AB ⊥AD ，AB ⊂面ABCD ，∴AB ⊥面PAD ，P ABCD -ABCD PA PD ⊥PA PD =AB AD ⊥1AB =2AD =AC CD ==PD ⊥PAB PB PCD PA M //BM PCD AMAP∵PD ⊂面PAD ， ∴AB ⊥PD ， 又PD ⊥PA ，∴PD ⊥面PAB ， (2)取AD 中点为O ，连结CO ，PO ，∵CD AC == ∴CO ⊥AD ， ∵PA PD =， ∴PO ⊥AD ，以O 为原点，如图建系易知(001)P ，，，(110)B ，，，(010)D -，，，(200)C ，，，则(111)PB =-，，，(011)PD =--，，，(201)PC =-，，，(210)CD =--，，， 设n 为面PDC 的法向量，令00(,1)n x y =，．011,120n PD n n PC ⎧⋅=⎪⎛⎫⇒=-⎨⎪⎝⎭⋅=⎪⎩，，则PB 与面PCD 夹角θ有，sin cos ,1n PB n PB n PBθ⋅=<>== (3)假设存在M 点使得BM ∥面PCD ， 设AMAPλ=，()0,','M y z ， 由(2)知()0,1,0A ，()0,0,1P ，()0,1,1AP =-，()1,1,0B ，()0,'1,'AM y z =- 有()0,1,AM AP M λλλ=⇒- ∴()1,,BM λλ=--∵BM ∥面PCD ，n 为PCD 的法向量， ∴0BM n ⋅=，即102λλ-++=，∴1=4λ∴综上，存在M 点，即当14AM AP =时，M 点即为所求． 例3.（2011安徽）如图，ABCDEFG 为多面体，平面ABED 与平面AGFD 垂直，点O 在线段AD 上，1,2,OA OD ==OAB ∆，OAC ∆，ODE ∆，ODF ∆都是正三角形． （Ⅰ）证明直线BC ∥EF ； （Ⅱ）求棱锥F OBED -的体积．【解析】（Ⅰ）（综合法）证明：设G 是线段DA 与EB 延长线的交点． 由于OAB ∆与ODE∆都是正三角形，所以OB ∥DE 21，OG=OD=2， 同理，设G '是线段DA 与线段FC 延长线的交点，有.2=='OD G O 又由于G 和G '都在线段DA 的延长线上，所以G 与G '重合．在GED ∆和GFD 中，由OB ∥DE 21和OC ∥DF 21，可知B 和C 分别是GE 和GF 的中点，所以BC 是GEF ∆的中位线，故BC ∥EF ．（向量法）过点F 作AD FQ ⊥，交AD 于点Q ，连QE ，由平面ABED ⊥平面ADFC ，知FQ ⊥平面ABED ，以Q 为坐标原点，QE 为x 轴正向，QD 为y 轴正向，QF 为z 轴正向，建立如图所示空间直角坐标系． 由条件知).23,23,0(),0,23,23(),3,0,0(),0,0,3(--C B F E则有33(,0,),(3,0,BC EF =-=- 所以,2=即得BC ∥EF ．（Ⅱ）由OB=1，OE=2，23,60=︒=∠EOB S EOB 知，而O E D ∆是边长为2的正三角形，故.3=OED S 所以.233=+=OED EOB OBED S S S过点F 作FQ ⊥AD ，交AD 于点Q ，由平面ABED ⊥平面ACFD 知，FQ 就是四棱锥F —OBED 的高，且FQ=3，所以.2331=⋅=-OBED OBED F S FQ V 例4.（2011江苏）如图，在四棱锥ABCD P -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB AD =，BAD ∠=60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点． 求证：（Ⅰ）直线EF ∥平面PCD ；（Ⅱ）平面BEF ⊥平面PAD ．【证明】（Ⅰ）在△PAD 中，因为E 、F 分别为AP ，AD 的中点，所以EF//PD ．又因为EF ⊄平面PCD ，PD ⊂平面PCD ，所以直线EF//平面PCD ．（Ⅱ）连结DB ，因为AB=AD ，∠BAD=60°，所以ABD ∆为正三角形，因为F 是AD 的中点，所以BF ⊥AD ．因为平面PAD ⊥平面ABCD ，BF ⊂平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD=AD ，所以BF ⊥平面PAD ．又因为BF ⊂平面BEF ，所以平面BEF ⊥平面PAD ．例5.(2010广东)如图，¼AEC 是半径为a 的半圆，AC 为直径，点E 为»AC 的中点，点B 和点C 为线段AD 的三等分点，平面AEC 外一点F 满足FB FD ==，EF =．（Ⅰ）证明：EB FD ⊥；（Ⅱ）已知点,Q R 为线段,FE FB 上的点，23FQ FE =，23FR FB =，求平面BED 与平面RQD 所成二面角的正弦值．【证明】：（Ⅰ）连结CF ，因为¼AEC 是半径为a 的半圆，AC 为直径，点E 为»AC 的中点，所以EB AC ⊥．在RT BCE ∆中，EC ===．在BDF ∆中，BF DF ==，BDF ∆为等腰三角形， 且点C 是底边BD 的中点，故CF BD ⊥．在CEF ∆中，222222)(2)6CE CF a a EF +=+==，所以CEF ∆为Rt ∆，且CF EC ⊥．因为CF BD ⊥，CF EC ⊥，且CE BD C =I ，所以CF ⊥平面BED ， 而EB ⊂平面BED ，CF EB ∴⊥．因为EB AC ⊥，EB CF ⊥，且AC CF C =I ，所以EB ⊥平面BDF ， 而FD ⊂平面BDF ，EB FD ∴⊥．（Ⅱ）设平面BED 与平面RQD 的交线为DG ．由23FQ FE =，23FR FB =，知//QR EB ． 而EB ⊂平面BDE ，∴//QR 平面BDE ， 而平面BDE I 平面RQD = DG ， ∴////QR DG EB ．由（Ⅰ）知，BE ⊥平面BDF ，∴DG ⊥平面BDF ， 而,DR DB ⊂平面BDF ，∴DG DR ⊥，DG DQ ⊥， ∴RDB ∠是平面BED 与平面RQD 所成二面角的平面角． 在Rt BCF ∆中，2CF a ===，sin FC RBD BF ∠===cos RBD ∠==． 在BDR ∆中，由23FR FB =知，133BR FB ==，由余弦定理得，RD== 由正弦定理得，sin sin BR RD RDB RBD=∠∠，即332sin RDB =∠，sin RDB ∠=故平面BED 与平面RQD 所成二面角的正弦值为29．为GC 的中点，FO ＝3，且FO ⊥平面ABCD .(1)求证：AE ∥平面BCF ； (2)求证：CF ⊥平面AEF .【解析】证明 取BC 中点H ，连接OH ，则OH ∥BD ，又四边形ABCD 为正方形， ∴AC ⊥BD ，∴OH ⊥AC ，故以O 为原点，建立如图所示的直角坐标系，则A (3，0，0)，C (－1，0，0)，D (1，－2，0)，F (0，0，3)，B (1，2，0).BC →＝(－2，－2，0)，CF →＝(1，0，3)，BF →＝(－1，－2，3). (1)设平面BCF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BC →＝0，n ·CF →＝0，即⎩⎨⎧－2x －2y ＝0，x ＋3z ＝0，取z ＝1，得n ＝(－3，3，1). 又四边形BDEF 为平行四边形， ∴DE →＝BF →＝(－1，－2，3)， ∴AE →＝AD →＋DE →＝BC →＋BF →＝(－2，－2，0)＋(－1，－2，3)＝(－3，－4，3)， ∴AE →·n ＝33－43＋3＝0，∴AE →⊥n ， 又AE ⊄平面BCF ，∴AE ∥平面BCF .(2)AF →＝(－3，0，3)，∴CF →·AF →＝－3＋3＝0，CF →·AE →＝－3＋3＝0， ∴CF →⊥AF →，CF →⊥AE →， 即CF ⊥AF ，CF ⊥AE ， 又AE ∩AF ＝A ， AE ，AF ⊂平面AEF ， ∴CF ⊥平面AEF .2.如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C 和侧面AA 1B 1B 都是正方形且互相垂直，M 为AA 1的中点，N 为BC 1的中点．求证：(1)MN ∥平面A 1B 1C 1； (2)平面MBC 1⊥平面BB 1C 1C .【解析】证明 由题意知AA 1，AB ，AC 两两垂直，以A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系．不妨设正方形AA 1C 1C 的边长为2，则A (0,0,0)，A 1(2,0,0)，B (0,2,0)，B 1(2,2,0)，C (0,0,2)，C 1(2,0,2)，M (1,0,0)，N (1,1,1)．(1)因为几何体是直三棱柱，所以侧棱AA 1⊥底面A 1B 1C 1.因为AA 1→＝(2,0,0)，MN →＝(0,1,1)，所以MN →·AA 1→＝0，即MN →⊥AA 1→.MN ⊄平面A 1B 1C 1，故MN ∥平面A 1B 1C 1.(2)设平面MBC 1与平面BB 1C 1C 的法向量分别为 n 1＝(x 1，y 1，z 1)，n 2＝(x 2，y 2，z 2)． 因为MB →＝(－1,2,0)，MC 1→＝(1,0,2)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧n 1·MB →＝0，n 1·MC 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＋2y 1＝0，x 1＋2z 1＝0，，令x 1＝2，则平面MBC 1的一个法向量为n 1＝(2,1，－1)．同理可得平面BB 1C 1C 的一个法向量为n 2＝(0,1,1)．因为n 1·n 2＝2×0＋1×1＋(－1)×1＝0，所以n 1⊥n 2，所以平面MBC 1⊥平面BB 1C 1C . 3.如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD ＝60°，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，DE ＝2，M 为线段BF 的中点．(1)求M 到平面DEC 的距离及三棱锥M －CDE 的体积； (2)求证：DM ⊥平面ACE .【解析】(1)设AC ∩BD ＝O ，以O 为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，过O 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，则C (0，3，0)，D (－1,0,0)，E (－1,0,2)，M (1,0,1)， DE →＝(0,0,2)，DC →＝(1，3，0)，DM →＝(2,0,1)， ∵DE →·DC →＝0， ∴DE ⊥DC ，∴S △DEC ＝12×DE ×DC ＝12×2×2＝2，设平面DEC 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DE →＝2z ＝0，n ·DC →＝x ＋3y ＝0，取x ＝3，得n ＝(3，－1,0)，∴M 到平面DEC 的距离h ＝|DM →·n ||n |＝233＋1＝3，∴三棱锥M －CDE 的体积V ＝13×S △CDE ×h ＝13×2×3＝233.(2)证明：A (0，－3，0)，AC →＝(0,23，0)，AE →＝(－1，3，2)， AC →·DM →＝0，AE →·DM →＝－2＋2＝0， ∴AC ⊥DM ，AE ⊥DM ，∵AC ∩AE ＝A ，∴DM ⊥平面ACE .4．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧面P AD ⊥底面ABCD ，且P A ＝PD ＝22AD ，设E ，F 分别为PC ，BD 的中点．(1)求证：EF ∥平面P AD ； (2)求证：平面P AB ⊥平面PDC .【解析】证明 (1)如图，取AD 的中点O ，连接OP ，OF .因为P A ＝PD ，所以PO ⊥AD .因为侧面P AD ⊥底面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，PO ⊂平面P AD ， 所以PO ⊥平面ABCD .又O ，F 分别为AD ，BD 的中点， 所以OF ∥AB .又ABCD 是正方形，所以OF ⊥AD . 因为P A ＝PD ＝22AD ， 所以P A ⊥PD ，OP ＝OA ＝a2.以O 为原点，OA ，OF ，OP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系， 则A ⎝⎛⎭⎫a 2，0，0，F ⎝⎛⎭⎫0，a 2，0，D ⎝⎛⎭⎫－a2，0，0， P ⎝⎛⎭⎫0，0，a 2，B ⎝⎛⎭⎫a 2，a ，0，C ⎝⎛⎭⎫－a2，a ，0. 因为E 为PC 的中点，所以E ⎝⎛⎭⎫－a 4，a 2，a4. 易知平面P AD 的一个法向量为OF →＝⎝⎛⎭⎫0，a 2，0， 因为EF →＝⎝⎛⎭⎫a 4，0，－a 4，且OF →·EF →＝⎝⎛⎭⎫0，a 2，0·⎝⎛⎭⎫a4，0，－a 4＝0， 又因为EF ⊄平面P AD ， 所以EF ∥平面P AD .(2)因为P A →＝⎝⎛⎭⎫a 2，0，－a 2，CD →＝(0，－a,0)， 所以P A →·CD →＝⎝⎛⎭⎫a2，0，－a 2·(0，－a,0)＝0， 所以P A →⊥CD →，所以P A ⊥CD . 又P A ⊥PD ，PD ∩CD ＝D ， PD ，CD ⊂平面PDC ， 所以P A ⊥平面PDC . 又P A ⊂平面P AB ， 所以平面P AB ⊥平面PDC .5．如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上．已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2.(1)证明：AP ⊥BC ；(2)若点M 是线段AP 上一点，且AM ＝3.试证明平面AMC ⊥平面BMC .【解析】证明 如图所示，以O 为坐标原点，以射线OP 为z 轴的正半轴建立空间直角坐标系Oxyz .则O (0,0,0)，A (0，－3,0)，B (4,2,0)，C (－4,2,0)，P (0,0,4)．(1)∵AP →＝(0,3,4)，BC →＝(－8,0,0)，∴AP →·BC →＝(0,3,4)·(－8,0,0)＝0，AP →⊥BC →，即AP ⊥BC . (2)由(1)知|AP |＝5，又|AM |＝3，且点M 在线段AP 上， ∴AM →＝35AP →＝⎝⎛⎭⎫0，95，125. 又AC →＝(－4,5,0)，BA →＝(－4，－5,0)， ∴BM →＝BA →＋AM →＝⎝⎛⎭⎫－4，－165，125， 则A P →·BM →＝(0,3,4)·⎝⎛⎭⎫－4，－165，125＝0， ∴AP →⊥BM →，即AP ⊥BM ，又根据(1)的结论知AP ⊥BC ，BM ∩BC ＝B ， ∴AP ⊥平面BMC ，于是AM ⊥平面BMC . 又AM ⊂平面AMC ，故平面AMC ⊥平面BCM .6. 如图所示，已知四棱锥P －ABCD 的底面是直角梯形，∠ABC ＝∠BCD ＝90°，AB ＝BC ＝PB ＝PC ＝2CD ，侧面PBC ⊥底面ABCD .证明：(1)P A ⊥BD ；(2)平面P AD ⊥平面P AB .【解析】证明 (1)取BC 的中点O ，连接PO ，△PBC 为等边三角形，即PO ⊥BC ， ∵平面PBC ⊥底面ABCD ，BC 为交线，PO ⊂平面PBC ， ∴PO ⊥底面ABCD .以BC 的中点O 为坐标原点，以BC 所在直线为x 轴，过点O 与AB 平行的直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示.不妨设CD ＝1，则AB ＝BC ＝2，PO ＝ 3.∴A (1，－2，0)，B (1，0，0)，D (－1，－1，0)，P (0，0，3). ∴BD →＝(－2，－1，0)，P A →＝(1，－2，－3). ∵BD →·P A →＝(－2)×1＋(－1)×(－2)＋0×(－3)＝0， ∴P A →⊥BD →， ∴P A ⊥BD .(2)取P A 的中点M ，连接DM ，则M ⎝⎛⎭⎫12，－1，32.∵DM →＝⎝⎛⎭⎫32，0，32，PB →＝(1，0，－3)，∴DM →·PB →＝32×1＋0×0＋32×(－3)＝0，∴DM →⊥PB →，即DM ⊥PB .∵DM →·P A →＝32×1＋0×(－2)＋32×(－3)＝0，∴DM →⊥P A →，即DM ⊥P A .又∵P A ∩PB ＝P ，P A ，PB ⊂平面P AB ， ∴DM ⊥平面P AB . ∵DM ⊂平面P AD ， ∴平面P AD ⊥平面P AB .7.如图所示，在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1D ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱A 1A ＝2.(1)证明：AC ⊥A 1B ；(2)是否在棱A 1A 上存在一点P ，使得AP →＝λP A 1→且面AB 1C 1⊥面PB 1C 1.【解析】 如图所示，以DA ，DC ，DA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则D (0,0,0)，A (1，0,0)，C (0,1,0)，A 1(0,0，3)，B (1,1,0)，D 1(－1,0，3)，B 1(0,1，3)，C 1(－1,1，3)．(1)证明：AC →＝(－1,1,0)，A 1B →＝(1,1，－3)， ∴AC →·A 1B →＝0，∴AC ⊥A 1B . (2)假设存在， ∵AP →＝λP A 1→， ∴P ⎝⎛⎭⎪⎫11＋λ，0，3λ1＋λ. 设平面AB 1C 1的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， ∵AB 1→＝(－1,1，3)，AC 1→＝(－2,1，3)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AB 1→＝－x 1＋y 1＋3z 1＝0，n 1·AC 1→＝－2x 1＋y 1＋3z 1＝0.令z 1＝3，则y 1＝－3，x 1＝0.∴n 1＝(0，－3，3)．同理可求面PB 1C 1的一个法向量为n 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3λ＋1，－1， ∴n 1·n 2＝0.∴－331＋λ－3＝0，即λ＝－4.∵P 在棱A 1A 上，∴λ>0，矛盾． ∴这样的点P 不存在．8.如图，棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的所有棱长都等于2，∠ABC 和∠A 1AC 均为60°，平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD .(1)求证：BD ⊥AA 1；(2)在直线CC 1上是否存在点P ，使BP ∥平面DA 1C 1，若存在，求出点P 的位置，若不存在，请说明理由.【解析】(1)证明 设BD 与AC 交于点O ，则BD ⊥AC ，连接A 1O ，在△AA 1O 中，AA 1＝2，AO ＝1，∠A 1AO ＝60°，∴A 1O 2＝AA 21＋AO 2－2AA 1·AO cos 60°＝3， ∴AO 2＋A 1O 2＝AA 21， ∴A 1O ⊥AO .由于平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD ，且平面AA 1C 1C ∩平面ABCD ＝AC ，A 1O ⊂平面AA 1C 1C ，∴A 1O ⊥平面ABCD .以OB ，OC ，OA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，－1，0)，B (3，0，0)，C (0，1，0)，D (－3，0，0)，A 1(0，0，3)，C 1(0，2，3).由于BD →＝(－23，0，0)，AA 1→＝(0，1，3)， AA 1→·BD →＝0×(－23)＋1×0＋3×0＝0， ∴BD →⊥AA 1→，即BD ⊥AA 1.(2)解 假设在直线CC 1上存在点P ，使BP ∥平面DA 1C 1， 设CP →＝λCC 1→，P (x ，y ，z )，则(x ，y －1，z )＝λ(0，1，3).从而有P (0，1＋λ，3λ)，BP →＝(－3，1＋λ，3λ). 设平面DA 1C 1的法向量为n 3＝(x 3，y 3，z 3)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 3⊥A 1C 1→，n 3⊥DA 1→，又A 1C 1→＝(0，2，0)，DA 1→＝(3，0，3)，则⎩⎨⎧2y 3＝0，3x 3＋3z 3＝0，取n 3＝(1，0，－1)，因为BP ∥平面DA 1C 1， 则n 3⊥BP →，即n 3·BP →＝－3－3λ＝0，得λ＝－1， 即点P 在C 1C 的延长线上，且C 1C ＝CP .。
3.2.2 利用向量证明空间中的垂直关系
垂直关系
一、基础知识
1、立体几何中如何证明两条直线垂直？
①利用定义：证明两直线所成角为 900； ②利用线面垂直的性质来证明线线垂直.
线面垂直的性质:如果一条直线垂直一个平面，那么这条直线 垂直该平面内的任一直线.
αA
l B
Q C
lα AB α
l
BB1，CD 的中点，求证：D1F⊥平面 ADE.
【解析】如图,以 O 为原点建立空间直角
z
D1
C1 坐标系.设棱长为 2，由题意可得
A1
D(0,0,0),D1(0,0,2),F(0,1,0),A(2,0,0),
B1
E(2,2,1)
D xA
E C
y
D1F (0,1,2),DE (2,2,1),DA (2,0,0)
C.l1⊥l2
D.不能确定
2.设平面α的法向量为a (1,2,2) ，平面β的法向量为
b (2,4,k)，若α⊥β，则 k=( B )
A.2
B.-5
C.4
D.-2
3.已知平面α内的两个向量a (2,2,1),b (2,0,0)，则平面的一个
法向量是( A )
A.(0,1,2) B.(1,0,2) C.(1, 2, 1) D.(0,0, 2)
(1)l⊥m
(2)l//m
答案： (1)α β
(2)α //β
设两个平面α,β的法向量分别为a ,b ,则
α β ab ab0
二、自我检测
C 1、直线 l1,l2 的方向向量分别为a (1,2,2),b (2,3,2) ，则( )
直线平面垂直判定定理向量法证明
直线平面垂直判定定理向量法证明直线平面垂直判定定理是解决几何问题中常用的一个定理，它判断了一条直线和一个平面是否垂直。
本文将使用向量法来证明这个定理。
我们需要了解一些基本概念和性质。
1. 向量的定义和性质向量是具有大小和方向的量，用箭头表示。
两个向量可以相加、相减，并且可以与实数相乘。
向量的长度称为模，方向由箭头指示。
2. 内积的定义和性质两个向量u和v的内积定义为：u·v = |u||v|cosθ，其中θ是两个向量之间的夹角。
内积满足交换律：u·v = v·u，并且对于任意实数k，有(ku)·v = u·(kv) = k(u·v)。
3. 垂直的定义和性质两个向量u和v垂直（或正交）当且仅当它们的内积为零：u·v = 0。
如果两个非零向量垂直，则它们互为对方在另一个方向上的单位向量。
4. 平行线与平面一条直线与一个平面垂直当且仅当该线上任意一点到该平面上任意一点的向量与该直线的方向向量垂直。
根据以上基本概念和性质，我们可以证明直线平面垂直判定定理。
证明如下：【第一部分：平行线与平面的垂直性质】假设有一条直线L和一个平面P，我们需要证明L与P垂直的条件。
1. 设L上有一点A，P上有一点B，并且从A到B的向量为u。
2. 设L的方向向量为v。
3. 设P上任意一点C，并且从A到C的向量为w。
根据定义，我们知道u·v = 0。
现在我们需要证明u·w = 0。
由于P是一个平面，所以AC在该平面上。
w是该平面上任意一点到A的向量。
根据定义，我们知道v与w垂直。
根据内积的性质（交换律），我们可以得到：(u + v)·w = u·w + v·w = 0由于v与w垂直，所以v·w = 0。
(u + v)·w = u·w + 0 = u·w = 0u与w也是垂直的。
线线平行垂直,线面平行垂直,面面平行垂直判定与性质
1.线线平行判定：a用向量，方向向量平行b一条直线平行于另一个平面，则它平行于它所在平面与那个平面的交线。
C若一平面与两平行平面相交，则两交线平行。
D同时与一平面垂直的两直线平行。
E同时平行于一条直线的两直线平行。
性质：貌似没啥性质，一般是证明线面关系的时候先证明线线关系。
2.线线垂直判定：a向量，方向向量垂直b直线垂直于平面，则直线与平面中的任意直线都垂直c第一条直线与第二条直线平行，第一条垂直于第三条，则第二条也垂直于第三条d把两直线放在一个平面中，利用平面几何各种判定方法，如等腰三角形的底和高等。
E（重点）三垂线定理：平面内的一条直线，如果和过平面的一条斜线在平面内的射影垂直，那么它就和这条斜线垂直。
三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果和过平面的一条斜线垂直，那么它也垂直于斜线在平面内的射影。
（这个比较重要，记不住的话找一下例题，多看看图就好了）性质：貌似也没什么性质，一般也是要证明线面关系的时候用到它。
注意：第一条直线垂直于第二条直线，第一条直线垂直于第三条直线，则第二条直线与第三条直线可垂直可平行也可普通相交。
3,线面平行判定：a面外一条线与面内一条线平行。
（常用）b空间向量法，证明线一平行向量与面内一向量（x1x2-y1y2=0）（常用）c面外一直线上不同两点到面的距离相等d证明线面无交点（定义）e反证法（线与面相交，再推翻）性质：平面外一条直线与此平面平行，则过这条直线的任意平面与此平面的交线与该直线平行。
4.线面垂直判定:a一条线和平面内两条相交直线都垂直,那么这条直线和这个平面垂直b两个平面垂直,其中一个平面内的直线垂直两平面的交线，那么这条直线和这个平面垂直c直线的方向向量与平面的法向量平行性质：如果两条直线同时垂直一个平面，那么这两条直线平行。
5.面面平行判定a一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行,则这两个平面平行。
（常用）b如果两平面同时垂直于一条直线，则两平面平行（大题一般不用）性质：a两个平面平行，在一个平面内的任意一条直线平行于另外一个平面b两个平面平行，和一个平面垂直的直线必垂直于另外一个平面 c 两个平行平面，分别和第三个平面相交，交线平行d平行平面所截的线段对应成比例（这个是推论，不好描述，书上或练习册上应该有类似的题）6.面面垂直判定：一个面如果过另外一个面的垂线，那么这两个面相互垂直性质：a如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
如何证明线面垂直的判定定理
如何证明线面垂直的判定定理线面垂直的判定定理是几何学中一个重要的定理，它能够帮助我们判断一条直线与一个平面是否垂直。
在本文中，我们将从几何学的角度出发，详细阐述如何证明线面垂直的判定定理。
我们先来明确一下线和面的概念。
在几何学中，线是由一系列无限延伸的点构成的，它没有宽度和厚度；而面是由一系列无限延伸的点构成的，它有宽度和厚度。
在三维空间中，一条直线和一个平面的相交情况有三种可能：相交于一点、相交于一条直线或者不相交。
现在，我们来证明线面垂直的判定定理。
假设有一条直线l和一个平面P，我们要证明l与P垂直。
首先，我们需要找到平面P上的两个不共线的向量a和b，这两个向量既不能平行于线l，也不能共线于线l。
然后，我们需要证明向量a与线l上的任意一个向量的点积为零，同时向量b与线l上的任意一个向量的点积也为零。
只有当这两个条件同时满足时，我们才能够得出结论：线l与平面P 垂直。
为了证明这个定理，我们可以采用反证法。
假设线l与平面P不垂直，即存在线l上的一个向量与向量a的点积不为零，或者存在线l上的一个向量与向量b的点积不为零。
我们将这两种情况分别进行讨论。
假设存在线l上的一个向量与向量a的点积不为零。
我们知道，两个向量的点积等于它们的模长乘积与它们夹角的余弦值。
因此，如果线l上的一个向量与向量a的点积不为零，那么它们的夹角一定不是90度。
根据三角学的知识，我们可以得出结论：线l与平面P 不垂直。
这与我们的假设相矛盾，因此我们可以排除这种情况。
接下来，假设存在线l上的一个向量与向量b的点积不为零。
同样地，我们可以得出结论：线l与平面P不垂直。
这也与我们的假设相矛盾，因此我们可以排除这种情况。
我们可以得出结论：线l与平面P垂直。
根据以上的证明过程，我们可以得出线面垂直的判定定理：如果一条直线上的任意一个向量与平面上的两个不共线的向量的点积都为零，那么这条直线与这个平面垂直。
线面垂直的判定定理在几何学中具有重要的应用价值。
空间向量证明线面垂直
空间向量证明线面垂直
在三维空间中，我们可以使用向量来证明线和面的垂直关系。
假设有一条直线 L，其方向向量为 a，过一点 P 的平面方程为 Ax
+ By + Cz + D = 0。
我们要证明直线 L 与平面的法向量垂直。
首先，我们知道直线 L 上的任意一点可以表示为 P = P0 + ta，其中 P0 是直线上的一个特定点，a 是直线的方向向量，t 是一个
实数。
假设直线 L 与平面的法向量为 n = (A, B, C)。
现在我们来证明直线 L 与平面的法向量垂直。
我们知道如果两
个向量垂直，它们的点积为零。
因此，我们可以计算直线的方向向
量与平面的法向量的点积：
a · n = Aa1 + Ba2 + Ca3。
其中，a1、a2 和 a3 是向量 a 的分量。
由于直线 L 上的任意
一点 P 可以表示为 P0 + ta，我们可以将 P 的坐标代入平面方程中：
A(P0x + tax) + B(P0y + tay) + C(P0z + taz) + D = 0。
展开并整理得到：
t(Aa1 + Ba2 + Ca3) + (AP0x + BP0y + CP0z + D) = 0。
由于上式对于直线 L 上的任意点成立，因此必须有 Aa1 + Ba2 + Ca3 = 0。
这意味着直线的方向向量与平面的法向量垂直，即直线和平面垂直。
因此，我们使用空间向量证明了直线和平面的垂直关系。
这种方法可以帮助我们在三维空间中分析线和面的相互关系，为我们理解空间中的几何关系提供了有力的工具。
用空间向量证明线线垂直与线面垂直
第二节 用空间向量证明线线垂直与线面垂直一、空间向量及其数量积1、 在空间，既有大小又有方向的量称为空间向量。
用或表示，其中向量的大小称为向量的长度或或a。
正如平面向量可用坐标(x,y.)表示，空间向量也可用坐标(x,y,z)表示。
若已知点A 坐标为（x 1，y 1，z 1）,点B 坐标为（x 2，y 2，z 2） 则向量=（x 2 -x 1，y 2- y 1，z 2 -z 1）即是终点坐标减起点坐标。
在空间，知道向量=（x ，y ，z222z y x 2、 空间向量数量积① 已知两个非零向量、，在空间任取一点O ，作=，=，则角∠AOB 叫向量与的夹角，记作＜，＞规定，若0≤＜，＞≤ ，若＜，＞=2，称与垂直，记作⊥b 。
② 已知空间两个向量、COS ＜，＞叫向量、的数量积，记作aCOS＜，＞若⊥ a＝０③ 若已知空间向量＝（x 1，y 1，z 1）， ＝（x 2，y 2，z 2） 则•＝x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2 ， COS ＜，222222212121212121z y x z y x z z y y x x例１ 如图，已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BCA=900,D 1、E 1分别为A 1B 1、A 1C 1中点，若BC=CA=CC 1，求向量1BD 与1AE 所成角的余弦值。
C 1B 1 Ａ1ＡＣＢ D 1 E 1练习：已知正方体ABCD —1111D C B A 中，11E B =11F D =411B A ，求向量1BE 与1DF 所成角的余弦值。
二 、利用向量证线线垂直与线面垂直例2 在正方体ABCD —1111D C B A 中，求证A 1C ⊥平面AB 1D 1练习：在正方体ABCD —1111D C B A 中，O 为底面ABCD 的中心，P 为DD 1的中点， 求证：B 1O ⊥平面PAC 。
例3 如图，PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M, N 分别是AB ,PC 中点 （1）求证：M N ⊥CDE D A 1FD 1AB 1C BC 1 BA D CB AC D B 1 A 1 D C B A C 1D 1 O P PN（2）若∠PDA=450，求证：MN ⊥平面PCD练习：正方体ABCD —1111D C B A 中，M 是棱D 1D 中点，N 是AD 中点， P 为棱A 1B 1上任一点。
2010-12-22向量方法(二)平行和垂直
求得平面BDGH的法向
oD
量为 m (2,2,1)
A x
显然有 m n
故 平面AEH∥平面BDGF
H C1 B1
y C B
二、 用空间向量处理“垂直”问 题设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，平面 ,
的法向量分别为 u, v ，则
线线垂直 l ⊥ m a ⊥ b a b 0 ； 线面垂直 l ⊥ a ∥ u a ku ； 面面垂直 ⊥ u ⊥ v u v 0.
22 MN DC ( 1 , 0, 1 ) (0,1, 0) 0 MN DC
22
又 PD DC D MN 平面PDC
练习1
已知ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，
PD＝DC＝a，AD＝ 2a ，M、N分别是
AD、PB的中点。
P
⑴求证：平面MNC⊥平面PBC；
⑵求点A到平面MNC的距离。
A1
平行四边形A1BCD1
D
A1B∥D1C
A
平行四边形DBB1D1 B1D1∥BD
于是平面A1BD∥平面CB1D1
C1 B1
C B
证明：建立如图所示的 空间直角坐标系o-xyz
z D1
C1
设正方形边长为1， A1
B1
则向量 DA1 (1,0,1)
DB (1,1,0)
oD
y C
设为平面nBD(Ax1,的y法, z向) 则量有x A
画出图形意会
二、 用空n
n
m
m
n
n•m0
例5 : 在正方体ABCD A' B 'C ' D '中.E,F分别是CC ', BD的中点.
求证：A' F 平面BDE.
空间向量线面和面面平行与垂直(周清)
图形语言
符号语言
PO ⊥ , A , a
PO = , a ⊥
OOA
a
⊥
PA
PO ⊥ , A , a
PO, a =⊥OPA
a
⊥
OA
2
3
m = n m ∥ n 直线 m ⊥平面
（1） 直线 m 方向向量 m ； m • AB =0 m ⊥AB
（2） 平面内两相交直线
的方向向量 AB , CD
m • CD =0 m ⊥CD m ⊥
AB,CD 且AB CD=P
（1） 平面的法向量 m （2） 平 面 的法向量 n
m•n=0 m⊥n
直线 m ∥平面
（1） 平面的法向量 m （2） 平 面 的法向量 n
m = n m ∥ n 平面∥平面
线线 垂直
垂 直 线面 的 垂直 证 明
面面 垂直
（1） 直线 m 方向向量 m ； （2） 直线 n 方向向量 n
m•n=0m⊥nm⊥ n
（1） 直线 m 方向向量 m ；
（2） 平面的法向量 n
条直线垂直于这个平面。
平面互相垂直。
个平面内的任意一条直线。
判 图形 定 语言 定 符号 理 语言
文字语言
a a
c
⊥
ab,=,cbP⊥b
c
⊥
三垂线定理
a a
⊥
⊥
b a ⊥ a ⊥ b
三垂线逆定理
在平面内的一条直线，如果它和这个平面内的一条 在平面内的一条直线，如果它和这个平面内的 一条斜线 斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 垂直，那么它也和这条斜线在平面内的 射影垂直。
有 两 条 相 交 直 线 分 别 条相交直线分别平行于另外
线面垂直判定定理证明
线面垂直判定定理证明线面垂直判定定理证明引言：在几何学中，我们常常需要判断两个物体之间是否垂直。
在平面几何中，我们可以使用勾股定理来判断两条线段是否垂直。
但是，在空间几何中，我们需要使用线面垂直判定定理来判断一条直线和一个平面是否垂直。
本文将详细介绍线面垂直判定定理的证明过程。
一、线面垂直判定定理的表述线面垂直判定定理是指：如果一条直线与一个平面相交，并且这条直线与平面上的任意一条直线都垂直，则这条直线与该平面垂直。
二、证明过程为了证明该定理，我们需要先了解以下两个引理：引理1：如果两个向量的点积为0，则它们互相垂直。
引理2：如果一个向量与一个平面上的任意一个向量点积为0，则这个向量与该平面垂直。
接下来，我们开始证明：假设有一条经过点P的直线l和一个经过点P的平面α，且l与α上任意一条经过点P的曲线都相交于90度角。
现在我们需要证明l与α相互垂直。
首先，我们可以在平面α上找到一条经过点P的直线m，使得l与m 相互垂直。
这是因为，如果l与α不垂直，则必然存在一条经过点P 的曲线n，使得l与n的夹角不为90度。
而这与假设矛盾。
接下来，我们需要证明向量l在平面α上的投影向量为0。
我们可以将向量l表示为两个向量之和：一个在平面α上的向量和一个垂直于该平面的向量。
由于l与平面α上任意一条经过点P的曲线都相交于90度角，所以可以得出该垂直于该平面的向量就是法线向量n。
因此，我们可以将向量l表示为：l = a + bn其中a是在平面α上的投影向量，b是垂直于该平面的投影向量。
由引理1可知，a与n互相垂直。
由引理2可知，n与平面α上任意一个向量c点积为0。
因此，a·c + b·c = (a + bn)·c = l·c = 0即a在平面α上的投影向量为0。
最后，根据引理1可知，a和b互相垂直。
因此，l·n = (a + bn)·n = a·n + b·n = b·n = 0即向量l与平面α垂直。
利用向量证明垂直问题
3.利用空间向量的关系来证明相关的垂直问题.
当堂训练
D1
1.正方体ABCD-A1B1C1D1 A1
中,E,F分别是BB1,DC的中
点,求证:平面AD1F⊥平面
D
ADE.
C1 B1EF来自CAB
2.正方体ABCD-A1B1C1D1 D1 中,O是AC与BD的交点,G A1
D
Cy
面VAD是正三角形,平面
VAD⊥底面ABCD.
xA
B
求证：AB⊥平面VAD
证明：以D为坐标原点建立坐标系如图.
设底面边长为1，则A(1,0,0),B(1,1,0),V( 1 ,0, 3 ).
uuur AB
(0,1,
uur 0),VA
(
1
,
0,
3)
22
uuur uur
22
AB VA 0
AB VA,又AB AD,且VA I AD A
AB 平面VAD
题2:在直三棱柱ABC-A1B1C1中,
AB⊥BC,|AB|=|BC|=2,|BB1|=1,
z B1
C1
E为BB1的中点.
求证:平面AEC1⊥平面AA1C1C. A1
E
证明：以B为坐标原点建立坐标系如图，
B
Cy
A(2,0,0), B(0,0,0),C(0, 2,0),
1
A1
(2,
题2:在直三棱柱ABC-A1B1C1中,
z B1
C1
AB⊥BC,|AB|=|BC|=2,|BB1|=1,
E为BB1的中点.
A1
E
求证:平面AEC1⊥平面AA1C1C.
B
Cy
立体几何垂直的证明方法【线线垂直+线面垂直+面面垂直】【20210210】
空间点、线、面的位置关系:垂直【背一背基础知识】1.判定两直线垂直，可供选用的定理有：①若a ∥b ，b ⊥c ，则a ⊥c .②若a ⊥α，b ⊂α，则a ⊥b .2.线面垂直的定义：一直线与一平面垂直⇔这条直线与平面内任意直线都垂直；3.线面垂直的判定定理，可选用的定理有：①若a ⊥b ，a ⊥c ，b ，c ⊂α，且b 与c 相交，则a ⊥α.②若a ∥b ，b ⊥α，则a ⊥α.③若α⊥β，α∩β＝b ，a ⊂α，a ⊥b ，则a ⊥β.4.判定两平面垂直，可供选用的定理有：若a ⊥α，a ⊂β，则α⊥β.线面垂直1.如图，在三棱台ABC-DEF 中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=F C=1，BC=2，AC=3.（I）求证：BF⊥平面ACFD；2.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是︒=∠60DAB 且边长为a 的菱形，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD ⊥底面ABCD ,G 为AD 的中点.求证：BG ⊥平面PAD .线线垂直1、如图，在三棱锥P ABC -中，90PAC BAC ∠=∠=︒，PA PB =，点D ，F 分别为BC ，AB 的中点．（1）求证：PF ⊥AD ．2、如图，在三棱柱111ABC A B C -中，面11ABB A 为矩形，11,2,AB BC AA D ===为1AA 的中点，BD与1AB 交于点1,O BC AB ⊥.（Ⅰ）证明：1CD AB ⊥3、下图为一简单组合体，其底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，//EC PD ，且22PD AD EC ===，N 为线段PB 的中点．（Ⅰ）证明：NE PD ⊥；4、如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，11AA B B 为正方形，11BB C C 为菱形，1160BB C Ð=°,平面11AA B B ^平面11BB C C 。
专题六 立体几何 第三讲 利用空间向量证明平行与垂直关系——2024届高考数学二轮复习
的值为( )
A. 11
6
√B. 11 6
C. 1
2
D. 1
3
设 D(x, y, z) ,则 AD (x 1, y 1, z 2), AB (2, 1, 3), DB (1 x, y, 1 z) . AD 2DB ,
x 1 2(1 x),
x
1 3
,
y
z
1 2
2 y, 2
2z.
y
z
1, 3 0,
D
1 3
,
1 3
,0
, CD
1 3
,
,
1
.
CD
AB,CD
AB
2
1 3
3(1
)
0,
11 6
.故选
B.
（二）核心知识整合
考点 2：向量法求线线角、线面角、面面角 1.向量法求空间角 （1）异面直线所成的角：设 a，b 分别为异面直线 a，b 的方向向量，
则两异面直线所成的角满足 cos ＝ | a b | ．
则 B(0,0,0) ， A(1,0,1) ，C(0,1,1) ，N(1,1,0) ，因此 BA (1, 0,1) ，BC (0,1,1) ，BN (1,1,0) .设平面 ABC
的一个法向量为
n
(
x,
y,
z)
，则
n
BA
x
z
0,
令
x
1，得
n
(1,1,
1)
.易知三棱锥
S
ABC
的外
n BC y z 0
√A.-1
B.1
C.2
D.3
a c ，a c 2x 4 2 0 ，解得 x 1，又 b//c ， 1 y 1 ，
用空间向量解决立体几何中的垂直问题
第2课时用空间向量解决立体几何中的垂直问题学习目标 1.能用向量法判断一些简单线线、线面、面面垂直关系.2.掌握用向量方法证明有关空间线面垂直关系的方法步骤．知识点一向量法判断线线垂直设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m⇔a·b ＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.知识点二向量法判断线面垂直设直线l的方向向量a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量μ＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ(k∈R)．知识点三向量法判断面面垂直思考平面α，β的法向量分别为μ1＝(x1，y1，z1)，μ2＝(x2，y2，z2)，用向量坐标法表示两平面α，β垂直的关系式是什么？答案x1x2＋y1y2＋z1z2＝0.梳理若平面α的法向量为μ＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(1)平面α的法向量是唯一的，即一个平面不可能存在两个不同的法向量．(×)(2)两直线的方向向量垂直，则两条直线垂直．(√)(3)直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时，直线与平面垂直．(√)(4)两个平面的法向量平行，则这两个平面平行；两个平面的法向量垂直，则这两个平面垂直．(√)类型一线线垂直问题例1已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N 是侧棱CC 1上的点，且CN ＝14CC 1.求证：AB 1⊥MN .考点 向量法求解直线与直线的位置关系 题点 方向向量与线线垂直证明 设AB 中点为O ，作OO 1∥AA 1.以O 为坐标原点，OB 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴，OO 1所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz . 由已知得A ⎝⎛⎭⎫－12，0，0， B ⎝⎛⎭⎫12，0，0，C ⎝⎛⎭⎫0，32，0， N ⎝⎛⎭⎫0，32，14，B 1⎝⎛⎭⎫12，0，1， ∵M 为BC 中点， ∴M ⎝⎛⎭⎫14，34，0.∴MN -→＝⎝⎛⎭⎫－14，34，14，AB 1-→＝(1,0,1)，∴MN -→·AB 1-→＝－14＋0＋14＝0.∴MN -→⊥AB 1-→，∴AB 1⊥MN .反思与感悟 证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直．跟踪训练1 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4，求证：AC ⊥BC 1.考点 向量法求解直线与直线的位置关系 题点 方向向量与线线垂直证明 ∵直三棱柱ABC －A 1B 1C 1底面三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，∴AC ，BC ，C 1C 两两垂直．如图，以C 为坐标原点，CA ，CB ，CC 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系Cxyz .则C (0,0,0)，A (3,0,0)，C 1(0,0,4)，B (0,4,0)， ∵AC →＝(－3,0,0)，BC 1-→＝(0，－4,4)， ∴AC →·BC 1-→＝0.∴AC ⊥BC 1.类型二 证明线面垂直例2 如图所示，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1的中点． 求证：AB 1⊥平面A 1BD .考点 向量法求解直线与平面的位置关系 题点 向量法解决线面垂直证明 如图所示，取BC 的中点O ，连接AO .因为△ABC 为正三角形，所以AO ⊥BC .因为在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，且平面ABC ∩平面BCC 1B 1＝BC ，AO ⊂平面ABC ，所以AO ⊥平面BCC 1B 1.取B 1C 1的中点O 1，以O 为坐标原点，OB ，OO 1，OA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Oxyz ，则B (1,0,0)，D (－1,1,0)，A 1(0,2，3)，A (0,0，3)， B 1(1,2,0)．所以AB 1-→＝(1,2，－3)，BA 1-→＝(－1,2，3)， BD -→＝(－2,1,0)．因为AB 1-→·BA 1-→＝1×(－1)＋2×2＋(－3)×3＝0. AB 1-→·BD -→＝1×(－2)＋2×1＋(－3)×0＝0.所以AB 1-→⊥BA 1-→，AB 1-→⊥BD -→，即AB 1⊥BA 1，AB 1⊥BD . 又因为BA 1∩BD ＝B ，所以AB 1⊥平面A 1BD . 反思与感悟 用坐标法证明线面垂直的方法及步骤 方法一：(1)建立空间直角坐标系． (2)将直线的方向向量用坐标表示．(3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量． (4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0. 方法二：(1)建立空间直角坐标系． (2)将直线的方向向量用坐标表示． (3)求出平面的法向量．(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行．跟踪训练2 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝1，AA 1＝2，点P 为DD 1的中点．求证：直线PB 1⊥平面P AC .考点 向量法求解直线与平面的位置关系 题点 向量法解决线面垂直证明 如图，以D 为坐标原点，DC ，DA ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Dxyz ， C (1,0,0)，A (0,1,0)，P (0,0,1)，B 1(1,1,2)， PC →＝(1,0，－1)，P A →＝(0,1，－1)， PB 1-→＝(1,1,1)，B 1C -→＝(0，－1，－2)， B 1A -→＝(－1,0，－2)．PB 1-→·PC →＝(1,1,1)·(1,0，－1)＝0，所以PB 1-→⊥PC →，即PB 1⊥PC . 又PB 1-→·P A →＝(1,1,1)·(0,1，－1)＝0， 所以PB 1-→⊥P A →，即PB 1⊥P A .又P A ∩PC ＝P ，所以PB 1⊥平面P AC . 类型三 证明面面垂直问题例3 三棱锥被平行于底面ABC 的平面所截得的几何体如图所示，截面为A 1B 1C 1，∠BAC ＝90°，A 1A ⊥平面ABC ，A 1A ＝3，AB ＝AC ＝2A 1C 1＝2，D 为BC 的中点．证明：平面A 1AD ⊥平面BCC 1B 1. 考点 向量法求解平面与平面的位置关系 题点 向量法解决面面垂直证明 方法一 如图，以A 为坐标原点，AB ，AC ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Axyz ，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，A 1(0,0，3)，C 1(0,1，3)． ∵D 为BC 的中点，∴D 点坐标为(1,1,0)， ∴AD →＝(1,1,0)，AA 1-→＝(0,0，3)，BC →＝(－2,2,0)， ∴AD →·BC →＝1×(－2)＋1×2＋0×0＝0， AA 1-→·BC →＝0×(－2)＋0×2＋3×0＝0， ∴AD →⊥BC →，AA 1-→⊥BC →， ∴BC ⊥AD ，BC ⊥AA 1.又A 1A ∩AD ＝A ，∴BC ⊥平面A 1AD .又BC ⊂平面BCC 1B 1，∴平面A 1AD ⊥平面BCC 1B 1. 方法二 同方法一建系后，得AA 1-→＝(0,0，3)， AD →＝(1,1,0)，BC →＝(－2,2,0)，CC 1-→＝(0，－1，3)． 设平面A 1AD 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 平面BCC 1B 1的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AA 1-→＝0，n 1·AD →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧3z 1＝0，x 1＋y 1＝0，令y 1＝－1，则x 1＝1，z 1＝0， ∴n 1＝(1，－1,0)．由⎩⎪⎨⎪⎧n 2·BC →＝0，n 2·CC 1-→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋2y 2＝0，－y 2＋3z 2＝0，令y 2＝1，则x 2＝1，z 2＝33， ∴n 2＝⎝⎛⎭⎫1，1，33. ∵n 1·n 2＝1－1＋0＝0，∴n 1⊥n 2， ∴平面A 1AD ⊥平面BCC 1B 1.反思与感悟 证明面面垂直的两种方法(1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明． (2)向量法：证明两个平面的法向量互相垂直．跟踪训练3 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，CD 的中点． (1)求证：平面AED ⊥平面A 1FD 1；(2)在直线AE 上求一点M ，使得A 1M ⊥平面AED . 考点 向量法求解平面与平面的位置关系 题点 向量法解决面面垂直(1)证明 以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz .设正方体的棱长为2，则D (0,0,0)，A (2,0,0)，E (2,2,1)，F (0,1,0)，A 1(2,0,2)，D 1(0,0,2)，∴DA →＝D 1A 1-→＝(2,0,0)，DE →＝(2,2,1)，D 1F -→＝(0,1，－2)． 设平面AED 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)．由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DA →＝(x 1，y 1，z 1)·(2，0，0)＝0，n 1·DE →＝(x 1，y 1，z 1)·(2，2，1)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧2x 1＝0，2x 1＋2y 1＋z 1＝0. 令y 1＝1，得n 1＝(0,1，－2)．同理，平面A 1FD 1的一个法向量为n 2＝(0,2,1)． ∵n 1·n 2＝(0,1，－2)·(0,2,1)＝0，∴n 1⊥n 2， ∴平面AED ⊥平面A 1FD 1. (2)解 由于点M 在直线AE 上， 因此可设AM -→＝λAE →＝λ(0,2,1)＝(0,2λ，λ)， 则M (2,2λ，λ)，∴A 1M -→＝(0,2λ，λ－2)． 要使A 1M ⊥平面AED ，只需A 1M -→∥n 1， 即2λ1＝λ－2－2，解得λ＝25. 故当AM ＝25AE 时，A 1M ⊥平面AED .1．下列命题中，正确命题的个数为( )①若n 1，n 2分别是平面α，β的法向量，则n 1∥n 2⇔α∥β； ②若n 1，n 2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β ⇔ n 1·n 2＝0；③若n 是平面α的法向量，a 是直线l 的方向向量，若l 与平面α平行，则n ·a ＝0； ④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面不垂直． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4考点 向量法求解平面与平面的位置关系 题点 向量法解决面面垂直 答案 C解析 ①中平面α，β可能平行，也可能重合，结合平面法向量的概念，可知②③④正确．2．已知两直线的方向向量为a，b，则下列选项中能使两直线垂直的为()A．a＝(1,0,0)，b＝(－3,0,0)B．a＝(0,1,0)，b＝(1,0,1)C．a＝(0,1，－1)，b＝(0，－1,1)D．a＝(1,0,0)，b＝(－1,0,0)考点向量法求解直线与直线的位置关系题点向量法解决线线垂直答案 B解析因为a＝(0,1,0)，b＝(1,0,1)，所以a·b＝0×1＋1×0＋0×1＝0，所以a⊥b，故选B. 3．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为μ＝(－2,0，－4)，则()A．l∥αB．l⊥αC．l⊂αD．l与α斜交考点向量法求解直线与平面的位置关系题点向量法解决线面垂直答案 B解析∵a∥μ，∴l⊥α.4．平面α的一个法向量为m＝(1,2,0)，平面β的一个法向量为n＝(2，－1,0)，则平面α与平面β的位置关系是()A．平行B．相交但不垂直C．垂直D．不能确定考点向量法求解平面与平面的位置关系题点向量法解决面面垂直答案 C解析∵(1,2,0)·(2，－1,0)＝0，∴两法向量垂直，从而两平面垂直．5．在三棱锥S－ABC中，∠SAB＝∠SAC＝∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝13，SB＝29，则异面直线SC与BC是否垂直________．(填“是”或“否”)考点向量法求解直线与直线的位置关系题点向量法解决线线垂直答案是解析如图，以A为坐标原点，AB，AS所在直线分别为y轴，z轴建立空间直角坐标系Axyz ， 则由AC ＝2，BC ＝13， SB ＝29，得B (0，17，0)，S (0,0，23)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫21317，417，0， SC →＝⎝⎛⎭⎪⎫21317，417，－23， CB →＝⎝⎛⎭⎪⎫－21317，1317，0. 因为SC →·CB →＝0，所以SC ⊥BC .空间垂直关系的解决策略一、选择题1．设直线l 1，l 2的方向向量分别为a ＝(－2,2,1)，b ＝(3，－2，m )，若l 1⊥l 2，则m 等于( ) A ．－2 B ．2 C ．6 D ．10考点 向量法求解直线与直线的位置关系 题点 方向向量与线线垂直 答案 D解析 因为a ⊥b ，故a ·b ＝0，即－2×3＋2×(－2)＋m ＝0，解得m ＝10.2．若平面α，β的法向量分别为a ＝(－1,2,4)，b ＝(x ，－1，－2)，并且α⊥β，则x 的值为( ) A ．10 B ．－10 C.12 D ．－12考点 向量法求解平面与平面的位置关系 题点 向量法解决面面垂直 答案 B解析 因为α⊥β，所以它们的法向量也互相垂直， 所以a ·b ＝(－1,2,4)·(x ，－1，－2)＝0， 解得x ＝－10.3．已知点A (0,1,0)，B (－1,0，－1)，C (2,1,1)，P (x,0，z )，若P A ⊥平面ABC ，则点P 的坐标为( ) A ．(1,0，－2) B ．(1,0,2) C ．(－1,0,2)D ．(2,0，－1)考点 向量法求解直线与平面的位置关系 题点 向量法解决线面垂直 答案 C解析 由题意知AB →＝(－1，－1，－1)，AC →＝(2,0,1)，AP →＝(x ，－1，z )，又P A ⊥平面ABC ，所以有AB →·AP →＝(－1，－1，－1)·(x ，－1，z )＝0，得－x ＋1－z ＝0. ① AC →·AP →＝(2,0,1)·(x ，－1，z )＝0，得2x ＋z ＝0，② 联立①②得x ＝－1，z ＝2，故点P 的坐标为(－1,0,2)．4．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，若E 为A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于( )A ．ACB ．BDC ．A 1D D ．A 1A考点 向量法求解直线与直线的位置关系题点 方向向量与线线垂直答案 B解析 以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Dxyz .设正方体的棱长为1.则C (0,1,0)，B (1,1,0)，A (1,0,0)，D (0,0,0)，C 1(0,1，1)，A 1(1,0,1)，E ⎝⎛⎭⎫12，12，1，∴CE →＝⎝⎛⎭⎫12，－12，1，AC →＝(－1,1,0)， BD →＝(－1，－1,0)，A 1D -→＝(－1,0，－1)，A 1A -→＝(0,0，－1)，∵CE →·BD →＝(－1)×12＋(－1)×⎝⎛⎭⎫－12＋0×1＝0，∴CE ⊥BD . 5．已知平面α内有一个点A (2，－1,2)，α的一个法向量为n ＝(3,1,2)，则下列点P 中，在平面α内的是( )A. (1，－1,1)B.⎝⎛⎭⎫1，3，32C.⎝⎛⎭⎫1，－3，32D.⎝⎛⎭⎫－1，3，－32 考点 直线的方向向量与平面的法向量题点 法向量求解线面垂直答案 B解析 要判断点P 是否在平面α内，只需判断向量P A →与平面α的法向量n 是否垂直，即P A →·n是否为0，因此，要对各个选项进行检验．对于选项A ，P A →＝(1,0,1)，则P A →·n ＝(1,0,1)·(3,1,2)＝5≠0，故排除A ；对于选项B ，P A →＝⎝⎛⎭⎫1，－4，12，则P A →·n ＝⎝⎛⎭⎫1，－4，12·(3,1,2)＝0，故B 正确；同理可排除C ，D.故选B.6．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在A 1D ，AC 上，且A 1E ＝23A 1D ，AF ＝13AC ， 则( )A ．EF 至多与A 1D ，AC 中的一个垂直B ．EF ⊥A 1D ，EF ⊥ACC ．EF 与BD 1相交D ．EF 与BD 1异面考点 直线的方向向量与平面的法向量题点 求直线的方向向量答案 B解析 以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴，y 轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz ，设正方体的棱长为1，则A 1(1,0,1)，D (0,0,0)，A (1,0,0)，C (0,1,0)，E ⎝⎛⎭⎫13，0，13，F ⎝⎛⎭⎫23，13，0，B (1,1,0)，D 1(0,0,1)，∴A 1D -→＝(－1,0，－1)，AC →＝(－1,1,0)，EF →＝⎝⎛⎭⎫13，13，－13，BD 1-→＝(－1，－1,1)，∴EF →＝－13BD 1-→，A 1D -→·EF →＝0，AC →·EF →＝0，从而EF ∥BD 1，EF ⊥A 1D ，EF ⊥AC ，故选B.7．两平面α，β的法向量分别为μ＝(3，－1，z )，v ＝(－2，－y ，1)，若α⊥β，则y ＋z 的值是( )A ．－3B ．6C ．－6D ．－12考点 向量法求解平面与平面的位置关系题点 向量法求解面面垂直答案 B解析 ∵α⊥β，∴μ·v ＝0，即－6＋y ＋z ＝0，即y ＋z ＝6.二、填空题8.如图所示，在三棱锥A －BCD 中，DA ，DB ，DC 两两垂直，且DB ＝DC ，E 为BC 的中点，则AE →·BC →＝_______.考点 向量法求解直线与直线的位置关系题点 方向向量与线线垂直答案 0解析 因为BE ＝EC ，故AE →＝DE →－DA →＝12(DB →＋DC →)－DA →，在三棱锥A －BCD 中， DA ，DB ，DC 两两垂直，且DB ＝DC ，故AE →·BC →＝⎣⎡⎦⎤12(DB →＋DC →)－DA →·(DC →－DB →)＝12(DC →2－DB →2)＝0. 9．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量． 其中正确的是________．(填序号)考点 向量法求解直线与直线的位置关系题点 向量法解决线线垂直答案 ①②③解析 AP →·AB →＝(－1,2，－1)·(2，－1，－4)＝－1×2＋2×(－1)＋(－1)×(－4)＝0，∴AP ⊥AB ，即①正确．AP →·AD →＝(－1,2，－1)·(4,2,0)＝－1×4＋2×2＋(－1)×0＝0.∴AP ⊥AD ，即②正确．又∵AB ∩AD ＝A ，∴AP ⊥平面ABCD ，即AP →是平面ABCD 的一个法向量，③正确．10．在△ABC 中，A (1，－2，－1)，B (0，－3,1)，C (2，－2,1)．若向量n 与平面ABC 垂直，且|n |＝21，则n 的坐标为________________．考点 向量法求解线面垂直问题题点 向量法求解线面垂直答案 (－2,4,1)或(2，－4，－1)解析 据题意，得AB →＝(－1，－1,2)，AC →＝(1,0,2)．设n ＝(x ，y ，z )，∵n 与平面ABC 垂直，∴⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AB →＝0，n ·AC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ －x －y ＋2z ＝0，x ＋2z ＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4z ，y ＝－2x . ∵|n |＝21，∴x 2＋y 2＋z 2＝21，解得y ＝4或y ＝－4.当y ＝4时，x ＝－2，z ＝1；当y ＝－4时，x ＝2，z ＝－1.三、解答题11.如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，AD＝5，∠DAB ＝∠ABC ＝90°，E 是CD 的中点．证明：CD ⊥平面P AE .考点 向量法求解直线与平面的位置关系题点 向量法解决线面垂直证明 如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系Axyz .设P A ＝h ，则A (0,0,0)，B (4,0,0)，C (4,3,0)，D (0,5,0)，E (2,4,0)，P (0，0，h )．所以CD →＝(－4,2,0)，AE →＝(2,4,0)，AP →＝(0,0，h )．因为CD →·AE →＝－8＋8＋0＝0，CD →·AP →＝0，所以CD ⊥AE ，CD ⊥AP ，而AP ，AE 是平面P AE 内的两条相交直线，所以CD⊥平面P AE.12.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥底面ABCD，P A＝AB＝1，AD＝3，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．求证：无论点E在BC边的何处，都有PE⊥AF.考点向量法求解直线与直线的位置关系题点方向向量与线线垂直证明 以A 为坐标原点，AD ，AB ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系Axyz ，则P (0,0,1)，B (0,1,0)，F ⎝⎛⎭⎫0，12，12，D ()3，0，0， 设BE ＝x (0≤x ≤3)，则E (x,1,0)，PE →·AF →＝(x,1，－1)·⎝⎛⎭⎫0，12，12＝0， 所以x ∈[0， 3 ]时都有PE ⊥AF ，即无论点E 在BC 边的何处，都有PE ⊥AF .13.如图，在底面为平行四边形的四棱锥P －ABCD 中，AB ⊥AC ，P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝AB ，点E 是PD 的中点．求证：(1)AC ⊥PB ；(2)PB ∥平面AEC .考点 向量法求解直线与直线的位置关系题点 方向向量与线线垂直证明 (1)如图，以A 为坐标原点，AC ，AB ，AP 所在直线分别为x 轴，y轴，z 轴，建立空间直角坐标系Axyz ，设AC ＝a ，P A ＝b .则有A (0,0,0)，B (0，b,0)，C (a,0,0)，P (0,0，b )，∴AC →＝(a,0,0)，PB →＝(0，b ，－b )．从而AC →·PB →＝0，∴AC ⊥PB .(2)由已知得D (a ，－b,0)，E ⎝⎛⎭⎫a 2，－b 2，b 2，∴AE →＝⎝⎛⎭⎫a 2，－b 2，b 2. 设平面AEC 的一个法向量为n ，则n ⊥AC →且n ⊥AE →，可得n ＝(0,1,1)．∵n ·PB →＝0，∴n ⊥PB .又PB ⊄平面AEC ，∴PB ∥平面AEC . 四、探究与拓展14.如图，P A ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，E 是CD 的中点，F 是AD 上一点，当BF ⊥PE 时，AF ∶FD 的比值为( )A ．1∶2B ．1∶1C ．3∶1D ．2∶1 答案 B解析 以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，设正方形边长为1，P A ＝a ，则B (1,0,0)，E ⎝⎛⎭⎫12，1，0，P (0,0，a )．设点F 的坐标为(0，y,0)，则BF →＝(－1，y,0)，PE →＝⎝⎛⎭⎫12，1，－a .因为BF ⊥PE ，所以BF →·PE →＝0，解得y ＝12，即点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，12，0，所以F 为AD 的中点，所以AF ∶FD ＝1∶1.15.如图，已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为3的正方体，点E 在AA 1上，点F 在CC 1上，且AE ＝FC 1＝1.(1)求证：E ，B ，F ，D 1四点共面；(2)若点G 在BC 上，BG ＝23，点M 在BB 1上，GM ⊥BF ，垂足为H ，求证：ME ⊥平面BCC 1B 1.考点 向量法求解直线与平面的位置关系题点 向量法解决线面垂直证明 (1)以B 为坐标原点，BA ，BC ，BB 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz ，则BE →＝(3,0,1)，BF →＝(0,3,2)，BD 1→＝(3,3,3)，∴BD 1→＝BE →＋BF →，故BD 1→，BE →，BF →共面．又它们有公共点B ，∴E ，B ，F ，D 1四点共面．(2)设M (0,0，z )，则GM -→＝⎝⎛⎭⎫0，－23，z ，而BF →＝(0,3,2)， 由题设得GM -→·BF →＝－23·3＋z ·2＝0，得z ＝1. ∵M (0,0,1)，E (3,0,1)，∴ME -→＝(3,0,0)，又BB 1→＝(0,0,3)，BC →＝(0,3,0)∴ME -→·BB 1→＝0，ME -→·BC →＝0，从而ME ⊥BB 1，ME ⊥BC .又BB 1∩BC ＝B ，故ME ⊥平面BCC 1B 1.。
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第二节 用空间向量证明线线垂直与线面垂直
一、空间向量及其数量积
1、 在空间,既有大小又有方向的量称为空间向量。
用或a 表示,其中向量的大小称为向量的长度或模,
或a。
正如平面向量可用坐标(x,y.)表示,空间向量也可用坐标（x,y,z)表示。
若已知点Ａ坐标为(x 1，ｙ1，ｚ1),点B 坐标为（ｘ2,y 2，z 2)
则向量=(x 2 －ｘ1，y 2－ y １,z ２ -z 1）即是终点坐标减起点坐标。
在空间,知道向量=(ｘ,y ，z)
222z y x ++ 2、 空间向量数量积
① 已知两个非零向量a 、b ，在空间任取一点Ｏ,作OA ＝a ，OB =b ,则角∠A ＯB 叫向量a 与b 的
夹角,记作＜，＞规定，若０≤<，＞≤π,若＜,>=
2
π
,称与垂直,记作⊥。
② 已知空间两个向量、,
则
ＣOS ＜，＞叫向量、的数量积，记作a ⋅
COS
＜,>若⊥⇔a ⋅
＝0
③ 若已知空间向量＝（ｘ1，y 1，z 1）, ＝（x 2,ｙ2，z ２） 则a •b =x １x 2+y １ｙ2+z 1z 2 , COS<,>
2
2
2
22
22
12
12
12
12121z y x z y x z z y y x x ++⋅++++=
例１ 如图，已知直三棱柱ABC －A 1B 1C １中，∠B ＣA=９０0,D 1、E 1分别为Ａ1B 1、A 1C １中点,若BC=ＣA ＝C Ｃ1，求向量1BD 与1AE 所成角的余弦值。
C 1
B 1 Ａ1
Ａ
Ｃ
Ｂ D 1 E 1
E
D A 1
F D 1 A
B 1
C
B
C 1
1111D C B A 中,11E B =11F D =
4
1
1B A ,求向量1BE 与1DF 所成角的余弦值。
二 、利用向量证线线垂直与线面垂直
例2 在正方体ＡB ＣD —1111D C B A 中,求证Ａ1C ⊥平面AB 1D 1
练习：在正方体ABCD —1111D C B A 中,Ｏ为底面ABCD 的中心,Ｐ为ＤＤ1的中点， 求证：Ｂ1O ⊥平面PAC 。
例3 如图,PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M, Ｎ分别是AB ，P Ｃ中点 (1)求证：M N ⊥CD
(2)若∠P ＤA=４５0
，求证：MN ⊥平面P ＣD
B
A D C
B A
C D B 1 A 1 D C B A C 1
D 1 O P C
D
P
N
练习:正方体ＡＢＣD —1111D C B A 中，M 是棱D 1D 中点,N 是ＡD 中点, P 为棱A 1B 1上任一点。
求证:ＮP ⊥AM
作业：
1．如图，正方体ＡBC Ｄ—1111D C B A 中，Ｅ是ＢB 1中点,O 是底面AB ＣD 中心，
求证:O E ⊥平面D 1ＡC.
2.如图,正方体AB ＣD —1111D C B A 中,O ，M 分别是B Ｄ1, A Ａ1中点,求证：OM 是异面直线A Ａ1和BD 1的公垂线.
3、如图,直三棱柱ABC-—Ａ1B 1C 1中,∠A ＣＢ＝９00
，ＡC=1,CB=2,侧棱AA 1=1,，侧面AA 1Ｂ1B 的两
条对角线交点为D ，B 1C 1的中点为M 。
求证:CD ⊥平面BD Ｍ
C
D
A 1
A
B
N A
C
D A 1
B 1
D 1
M P C 1
E
O
B 1 A 1 D
C B A
C 1
D 1
O
M
B 1
A 1
D
C
B
A
C 1
D 1
4在棱长为a 的正方体A ＢＣD —1111D C B A 中,E ， F 分别为棱ＡB 和BC 的中点,M 为棱B 1B
上任一点,当
MB
M
B 1值为多少时能使D 1M ⊥平面EFB 1
5、如图， ABC 为正三角形,ＡＥ和ＣＤ都垂直于平面ABC ，且AE=AB ＝2ａ, CD=a,F 为BE 中点，求证:A F ⊥BD
6、如图，已知直三棱柱ＡBC-Ａ1B 1C 1中Ｂ1Ｃ1=A 1C 1,A 1B ⊥A Ｃ1。
求证:A 1Ｂ⊥B 1Ｃ
第三节 利用空间向量求二面角及证明面面垂直
一、二面角
A A
M
C
B
B
C
D 1
E
F D F
E D C B A
C 1
Ａ1
Ａ
Ｃ
Ｂ
二面角βα--l ，若α的一个法向量为，β的一个法向量为,则|
|||,cos n m ⋅>=
< ，二面角的
大小为><,或><-,π
例1.如图，正三棱柱111C B A ABC -中，E 为1BB 的中点,111B A AA =,求平面EC A 1与平面111C B A 所成锐角的大小。
例2.(05年全国）如图，在四棱锥V-A ＢCD 中
,平面V ＡD ⊥底面A ＢC Ｄ. （1）证明AB ⊥平面V AD ；
(2)求面ＶＡD 与面VBD 所成的二面角的大小.
练习：如图,棱长为1的正方体
1111D C B A ABCD -中，E 是1CC 的中点，
求二面角D E B B --1的余弦值。
二.证面面垂直
若平面α的一个法向量为m ，平面β的一个法向量为n ，且n m ⊥,则βα⊥。
例3．在四棱锥P-A ＢCD 中，侧面PCD 是正三角形,且与底面ABCD 垂直，已知底面是面积为32的菱形，
060=∠ADC ，Ｍ是PB 的中点。
(1)求证：CD PA ⊥
(2)求二面角D AB P --的度数;
（3)求证：平面⊥PAB 平面CDM 。
练习:（０4年辽宁)已知四棱锥Ｐ－ＡBC Ｄ中,底面ＡBCD 是菱形,⊥︒=∠PD DAB ,60平面ＡBCD ，PD ＝AD,点Ｅ为AB 的中点,点F 为 ＰD 的中点。
(1）证明平面PED ⊥平面P ＡB;
(2）求二面角P-AB-F 的平面角的余弦值．
作业:
1.(04年广东）如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，
已知F E AA AD AB ,,2,3,41===分别是线段BC AB ,上的点，且1==FB EB 。
(Ⅰ）求二面角Ｃ-D Ｅ-C 1的正切值;
(Ⅱ）求直线ＥC 1与FD １所成角的余弦值。
D
A
A
C
A
M
A
B
P
A
F E
P
D
C
B
A
2．(05年全国)已知四棱锥P-ABCD 的底面为直角梯形，A Ｂ∥ＤC,⊥=∠PA DAB ,90
底面AB ＣＤ,且P Ａ=A Ｄ=DC=
2
1
AB=１,M 是P Ｂ的中点。
(1）证明：面PA Ｄ⊥面PCD; （２）求ＡC 与PB 所成的角；
(3)求面AMC 与面BMC 所成二面角的大小。
3．已知四棱锥P-A ＢCD 的底面是边长为２的正方形，侧棱⊥PA 底面ABC Ｄ，PA=2,M 、N 分别是ＡD 、BC 的中点,PD MQ ⊥于Q
(1）求证：平面PM Ｎ⊥平面PAD ； (2)求PM 与平面ＰCD 所成角的正弦值; （3)求二面角Q MN P --的余弦值。
4.（06年全国）如图,在直三棱柱A ＢC-Ａ１B 1C 1中，AB=ＢC, Ｄ、E 分别为BB 1、ＡC 1的中点.
(1）证明:ＥＤ为异面直线BB 1与ＡC 1的公垂线;
（２)设AA 1＝AC ＝，２ＡＢ,求二面角A １－A Ｄ-C １的大小．
A
B
C
D
E
A 1
B 1
C 1
N N
M
Q
A
P
D
C
B
5． (０４年浙江）如图，已知正方形ABCD 和矩形AC ＥF 所在的平面
互相垂直，AB =2，AF ＝１,M 是线段EF 的中点。
ﻫ（１）求证：
ＡＭ／/平面ＢDE ；
（2)求二面角A -DF －B 的大小；ﻫ（3)试在线段AC 上确定一点P ,使得ＰF 与BC 所成的角是6０︒。
6.（0５年湖南)如图1，已知ABCD 是上.下底边长分别为2和6,高为3的等腰梯形,将它沿对称轴O Ｏ1折成直二面角，如图2.
（１）证明：AC ⊥BO １；
（2)求二面角Ｏ-A Ｃ-Ｏ1的大小。
7.(06年山东）如图,已知四棱锥P-ABC Ｄ的底面ＡＢCD 为 等腰梯形，AB ∥ＤＣ,AC ⊥BD,AC 与ＢＤ相交于点O ，且顶点 P 在底面上的射影恰为点O ，又BO=2,ＰＯ=2,PB ⊥ＰD. (１）求异面直线P Ｄ与BC 所成角的余弦值; (2)求二面角P －A B-C 的大小;
A
D
E
F
M
B
C
B A 图1 O O 1 D
C O 1 C
O D
A
B
图2 M
(3）设点M 在棱PC 上,且,PM
MC
λλ=问为何值时, PC ⊥平面ＢMD ．。