解三角形中角平分线之破题策略

仅当 a c 时等号成立，故 S 1 ac sin B 4 3 ，故选 B ． 2
角平分线之斯库顿定理
如图， AD 是 △ABC 的角平分线，则 AD2 AB·AC BD·CD. 就其位置关系而言，可记忆：中方=上积一下积.
已知：在 △ABC 中， AD2 BD·DC AB·AC 中， AD 是 BAC 的平分线，求证： AD2 BD·DC AB·AC 【 证 明 】 作 △ABC 的 外 接 圆 ， 延 长 AD 交 圆 于 E ， 连 BE ， 如 图 E C、1 2 △ABE∽△ADC AB AE · 即 AD·AE AB·AC AD（· AD DE） AB·AC AD2 AD·DE AB·AC
AB
AC

BD DC

5 7
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BD

5 ,CD 2

7 2
，根据斯库顿定理：
AD2

AB·AC

BD·CD. 代
入数据得： AD 105 ．故答案为 105 ．
2
2
【例 8】如图，在 △ABC 中， C 2B ， AC 3 ， BC 5 ，求 AB 之长.
【解析】作 ACB 的平分线 CD 交 CD 于 D ， ACB 2B，DCB B， BD CD ，由斯库顿定理得：
例1图
例2图
【例 2】（2013•福建）如图， 在 △ABC 中， 已知点 D 在 BC 边上，AD AC ，sin BAC 2 2 ，AB 3 2 ， 3
AD 3 ，则 CD 的长为
．
【解析】sin BAD sin
1

22 3
2

1 3
，DAC

90
，根据张角定理，sin BAC AD
= sin BAD b

sin 90 c
，
故 1 + 1 = 2 2 ， b = 3 2 ，故 CD = AD2 + AC 2 = 3 3.
3b 3 2 9
【例 3】（2015•新课标Ⅱ） △ABC 中， D 是 BC 上的点， AD 平分 BAC ， △ABD 面积是 △ADC 面积的 2
．
【解析】如图，ABD 30 ，CBD 90 ，根据张角定理，sin120 = sin 30 sin 90 ，故 1 + 1 = 3 ，
1
a
c
2a c 2
根据柯西不等式，可得

2a

c

1 2a

1 c


1 1 2 4 ，故 2a c 8 3 ，当仅当 c = 2a 时等号成立. 3

1 6

1 cos
，解得： cosa
=
-
2 3
舍
， cosa = 3 . 4
【例 5】（2019•江苏模拟）在 ABC 中，角 A ， B ，C 所对的边分别为 a ，b ， c ， ABC 2 ， ABC 的 3
平分线交 AC 于点 D ， BD 1，则 a c 的最小值为

1c 2
AD
sin

1b 2
AD
sin
，
cos

1

2
AD 2x

AD x


3 4x
， 由余弦定理可得：
(2x)2 12 ( 2 2x1
2)2
3 ， x 1 ， AC 1， BD 的 4x
长为 2 ， AC 的长为 1．
根据张角定理：①当 a = b 时， cosa = 1 AD + AD ，（角平分线张角定理） 2b c
ac
ac
ca
【例 6】（2019•云南一模）在 ABC 中，内角 A ， B ， C 对的边分别为 a ， b ， c ， ABC 2 ， BD 平分 3
ABC 交 AC 于点 D ， BD 2 ，则 ABC 的面积的最小值为 ( )
A． 3 3
B． 4 3
C． 5 3
D． 6 3
【解析】法一：设 A ，则 0 ，C 2 ， ABC 2 ，BD 平分 ABC 交 AC
3
3
3
3
于点 D ， BD 2 ，ABD CBD ，在三角形 ABD 中， ADB 2 ，
解三角形中角平分线之破题策略
如图，在 △ABC 中， D 为 BC 边上的一点，连接 AD ，设 AD = l ， BAD ， CAD ，则一定有
sin (a +b ) = sin a + sin b ．
l
bc
证明： S△ABC
=
S△ABD
+ S△ACD
， 1 bc sin
．
【解析】由题意得 1 ac sin 2 1 a sin 1 c sin ，即 ac a c ，得 1 1 1，
2
3 2 32 3
ac
得 a c (a c)( 1 1) 2 c a 2 2 a c 2 2 4 ，当且仅当 a c 时，取等号，故答案为 4．
3 2
(2

6 2sin(2

)
) 1
， 0


3
，
6

6

2

6

5 6
，
1 2
sin(2

)1 ，当 sin(2 6

)
6
1 时，即

6
时， Smin =
3 (2 6) 4 2
3，
故选： B ．
法二：根据角平分线张角定理可得： cos 1 ( BD BD ) 1 1 1 ac 2(a c) 4 ac ac 16 ，当 2a c ac 2
A． 10
4
B． 3 4
C． 7
4
D． 6
4
【解析】如图所示，令 ACM BCM ，则 sin 2 = sin sin 2cos = 1 1 ，由于 b cosC a ，
CM b
a
1 6a
( ) 故 B 90 ，a CM
cos

cos
， 2 cos
DM
DN
， S△ABD S△ADC

1 AB DM 2 1 AC DN

2 ， AB 2AC ，令 AC
x ，则 AB 2x ，BAD DAC
，
2
cos BAD cos DAC ， S△ABC
=
S△ABD
+ S△ACD
， 1 bc sin 2 2
3
3
3
根据正弦定理
AB sin( 2 )

BD sin
，
AB

2sin( 2 ) 3
sin

2 sin(
)
3
sin
，在三角形 CBD
中，CDB

3

，
3
由正弦定理
BC
sin(
)

BD
sin(
)
， BC

2 sin(
)
3
sin(

DAC
， △ABD
中，
BD sin BAD

AD sin B
，sin B

AD sin BAD BD
， △ADC
中，
DC sin DAC

AD sin C
， sin
C

AD sin DAC DC
； sin B sin C

DC BD

1 2
．
（2）由（1）知，BD 2DC 2 2 2 ．过 D 作 DM AB 于 M ，作 DN AC 于 N ， AD 平分 BAC ， 2
2



1 cl sin 2

1 bl sin 2
，
同除以 1 bcl 得： sin (a +b ) = sin a + sin b ．
2
l
bc
【例 1】（2019•深圳模拟）在中 △ABC ，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，ABC 120 ，BD BC
交 AC 于点 D ，且 BD 1，则 2a c 的最小值为
倍．
（1）求 sin B ； sin C
（2）若 AD 1 ， DC 2 ，求 BD 和 AC 的长．
2
【解析】（1）如图，过 A 作 AE BC 于 E ， S△ABD
S△ADC

1 BD AE 2 1 DC AE
2 ， BD 2DC ， AD 平分 BAC
2
BAD
② S△ABC
=
1 2
AD ×(b + c) sin a
³
AD2
tan a（角平分线面积问题）
证明：①根据张角定理可得： sin 2a AD
= sin a b
+ sin a c
，\ 2sin a cosa AD
= sin a b
+ sin a c
，\ cosa
=
1 2
AD + AD bc
② S = 1 bc sin 2a = 1 bc (1 + 1) AD sin a = 1 AD (b c) sin a
AD
．
【解析】法一： AB 5 ， AC 7 ， BC 6 ， A 的平分线 AD 交边 BC 于点 D ，由余弦定理可得：
cos B

AB2
BC2 AC2 2 AB BC

52 62 72 256

1 5
，
BD DC 6
AB AC
)
，S

1 2
ABBC sin
2 3

3 4

2
sin( 3
sin

)

2sin( )
3
sin(
)
3
3
3
3

3

1

1 2
cos
2

3 sin 2 2

2 1 cos 2 3 sin 2 1
4
4
4
3 2(2 cos 2 3 sin 2 ) 2 3 sin 2 cos 2 1
2
2
bc
2
AD bc sin a
AD
2S sin2 a sin 2a
= AD S tan a ， S AD2tan ，当仅当 b c 时等号成立.
【例 4】（2018•安阳二模）已知如图，在 △ABC 中， 角 A ， B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，b cosC a ， 点 M 在线段 AB 上， 且 ACM BCM ． 若 b 6CM 6 ，则 cos BCM （ ）

BD DC

5 7
，解得： BD

5 2
，在 ABD
中，由余弦
定理可得： AD AB2 BD2 2 ABBDcos B 52 (5)2 2 5 5 1 105 ．故答案为： 105 ．
2
25 2
2
BD DC 6
法二：利用角平分线定理

CD2 AC·BC AD·DB ，而 CD 是 ACB 的平分线， AD AC 3 AD 3 BD ， BD2 3 5 3 BD2 ，
BD BC 5
5
5
即 8BD2 75， BD 5 6 AB 2 6 . 4
AD AC 由相交弦定理得： BD·DC AD·DE， AD 2 BD·DC AB·AC 注意：角平分线张角定理强调的是角度，斯库顿定理强调的是长度，斯库顿定理可以绕过求张角而直接求
出三角形的各边长，通常和内角平分线定理合在一起出考题.
【例 7】（2019•赣榆期中）在 ABC 中， AB 5 ， AC 7 ， BC 6 ， A 的平分线 AD 交边 BC 于点 D ，则